UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA

FACULTA DE CIENCIAS E INGENIERIAS FISICAS Y FORMALES

PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CURSO:

CÁLCULO DIFERENCIAL

TEMA:

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERÍA

NOMBRES Y APELLIDOS:

ANGEL ARENAS RAMOS

GRUPO: C

FECHA:

12 DE JUNIO DEL 2014

FIRMA

APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERÍA

INTRODUCCION:

¿Por qué se utiliza la derivada?

Para conocer la variación de una magnitud en función de otra.La derivada nos permite conocer por ejemplo:

- la variación del espació en función del tiempo.- El crecimiento de una bacteria en función del tiempo.

Para conocer la variación de una magnitud en función de otra.La derivada nos permite conocer por ejemplo:

- El desgaste de un neumático en función del tiempo.- Los beneficios en función del tiempo.

Las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste la fuerza del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil... todo eso son las derivadas funcionando.

A partir del cálculo diferencial se puede calcular formulas, como por ejemplo la fórmula del área de un triángulo:

Ahora existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos,

etc.; esto es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de termodinámica, y de química.

 Prácticamente todas las formas que conocemos surgen a partir de ecuaciones diferenciales, y de condiciones; por ejemplo en análisis de señales ya que una señal tiene un amplitud y una frecuencia, actúan como funciones de senos y cosenos, y pues obvio para analizarlas te tienes que meter en una ecuación diferencial.

Y pues bueno, en una ingeniería se ocupan para analizar cuestiones técnicas de cada rama que estudie.

En muchos de los problemas de la ingeniería se utiliza la derivada.

Ejemplo:

En la termodinámica estudiar los fenómenos de transmisión de calor.

En ingeniería civil se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos flexionantes.

En mecánica se ocupan para calcular para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo.

Esto solo es lo básico, porque claro ocupas el cálculo y demasiado en las ingenierías.

En ingeniería para calcular otro ejemplo:

Como varia la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión

du=dq−dw=dq−pdvdh=du+ pdv+vdp

df=du−Tds=du−Tds−sdT=dq−pdv−Tds−sdTdg=dh−Tds−sdT=du+ pdv+vdp−Tds−sdT

(refrigeradores)Cuanta fuerza necesitas para resolver una mezcla o velocidad constante en función de cómo varia su densidad al aumentar los ingredientes (una fábrica de mermelada de frutos exóticos)

Cuanto tiempo le durara la batería a tu celular en función del cambio de consumo de corriente durante una llamada, usándolo para Escuchar música, escribiendo mensajes, jugando y otras funciones más que nos da nuestro celular.

Si metemos la física en nuestro Tema es muy similar al de la ingeniería (ingeniería es como física aplicada) pero a nivel un poco más teórico.

EJEMPLO

La variación de la aceleración en función a la pérdida de masa y el empuje en el despegue de un cohete.

Los corrimientos en frecuencia de la Luz que llega de las estrellas en función de lo largo que se encuentran (distancia) para ayudar a conocer su edad o esta misma su distancia.

Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones.De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienen forma de una función f, queremos saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas pérdidas.

Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos que calcular como sacar máximos beneficios.

Esta es una, tal vez la más utilizada, de las aplicaciones de las derivadas a la empresa.

APLICACIÓN EN ALGUNAS RAMAS

INGENIERIA ELECTRONICA :

Se le aplica con la ley de Ohm que no es más que el ABC de todo lo referente a la electricidad, es de suma importancia y aplicación. 

La unidad de medida de la Resistencia eléctrica es el Ohm u Ohmio, pero no de la ley en sí, en ella intervienen otras unidades, que son el Voltio (medida de fuerza electromotriz) y el Amper o Amperio (medida de intensidad de corriente).

También con circuitos RLC

- Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante.

INGENIERIA DE INDUSTRIA Y ALIMENTARIA :

El cálculo diferencial en las industrias alimentarias se aplica sobre todo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento (o momentum), de calor y de masa.

Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia (movimiento, calor y masa).

Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el

Rdidt

+Ld2 idt2

+iC

=0

d2 v

dt2+RLdvdt

+1LC

v=VLC

dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de los equipos o en el control de los procesos.

Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene en balance de materia, balance de energía y termodinámica.

Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más se aplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos y evaluación de la eficiencia de los procesos.

Esto es especialmente en procesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares.

INGENIERIA QUIMICA:

Se utiliza la derivada para:

- La determinación de volúmenes: Valga la redundancia estamos hablando que cada cuerpo posee un volumen y hay una fórmula para hallarlo con sus distintas dimensiones y unidades.

- Calculo de cambio de masa en un sistema en estado transitorio- Para deducir una ecuación para el vaciado de un tanque - con la leyes de las gases ideales

2 A→A2dC Adt

=−K⋅C A2

INGENIERIA CIVIL

- Para esta rama se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos flexionantes.

- También en la parte hidráulica, por ejemplo al momento de construir una represa de agua.

(Ecuaciones de cargas estáticas)

- En la resistencia de materiales: Para deducir la ecuación de la elástica es necesario usar cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión

Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:

∂P∂ x

=−ρ(V⋅∇ )u+ρgx+μ∇2u

∂P∂ y

=−ρ(V⋅∇ )v+ρg y+μ∇2 v

∂P∂ z

=−ρ(V⋅∇ )w+ ρgz+μ∇2w

Corresponde a la primera derivada de la función

Corresponde a la segunda derivada de la función

INGENIERIA DE SISTEMAS

En ingeniería en sistemas, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniería va de la mano con todos las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas que involucren velocidades.

Ejemplo:

Se le pide a un Ingeniero de Sistemas crear un programa que permita calcula dos números cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea máximo.

Datos:x= Primer número y= Segundo numerox+ y = 100

Función que hay que maximizarf(x,y) = xy Sujeto a x + y = 100 y = 100 – x

Se escribe la función en una sola variable:

f(x)= x (100 – x)f(x)= 100 x - X2

Se calculan los máximos y mínimos relacionados:

f´(x)= 100- 2x100 – 2x = 0X = 50Si x = 50Entonces: y = 50

INGENIERÍA MECANICA y FÍSICA

En esta área se ocupa para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo.

También las utilizamos en:

- Estática: Se dice que un sistema material está en equilibrio cuando todas sus partículas se encuentran en reposo y permanecen en el mismo estado de reposo.

Para que se verifique el equilibrio y este sea estable han de darse una serie de condiciones, cuyo análisis constituye el objeto de la estática en el que podremos analizar varios problemas. Las aplicaciones prácticas de la estática en la ingeniería son muy numerosas, siendo quizá la parte de la mecánica más empleada. Esto es así especialmente en el análisis estructural: por lo general las estructuras se diseñan para estar y permanecer en reposo bajo las cargas de servicio estáticas, o para que su movimiento bajo cargas dinámicas sea pequeño y estable (vibraciones).

- Inercia: Si sobre un sistema material no actúa fuerza alguna sigue en reposo o movimiento rectilíneo uniforme si inicialmente lo estaba.

Si sobre un sistema material actúa una fuerza, toma una aceleración cuya magnitud o módulo es el cociente del módulo de la fuerza partido por la masa del sistema material, y su dirección y sentido es el de la fuerza.

Si un sistema material ejerce una fuerza sobre otro sistema material, éste último ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud y dirección pero de sentido opuesto; el par directamente opuesto (acción, reacción) puede ser de contacto directo o de acción a distancia.

“La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula o punto material es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho punto o partícula “

“La derivada respecto al tiempo del momento cinético respecto a un punto O, es igual al momento de la fuerza con respecto al punto O”, constituye el teorema del momento cinético.

- En la mecánica de fluidos: La mecánica de los fluidos es la ciencia que estudia el comportamiento mecánico de los fluidos (en reposo o en movimiento) y su efecto sobre su entorno, tal como superficies de sólidos o interfaces con otros fluidos.

Al momento de aplicar las derivadas se definen en función a las Fundamentales, velocidad, densidad, viscosidad, etc.

Y hay un teorema en esta área que habla sobre la viscosidad dinámica.Para comprender este principio consideremos que entre dos placas paralelas de igual superficie y separadas por una distancia h se encuentra un fluido homogéneo a temperatura constante ¿por qué? , como se ve en la figura.

Se puede escribir la siguiente relación:

- En la termodinámica: Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o más variables de estado, como por ejemplo volumen constante, presión constante, etc. La identidad termodinámica se mantiene válida para cualquier cambio infinitesimal en un sistema, tanto tiempo como la presión y la temperatura estén bien definidas.

Se supone que el número de partículas es constante (o sea, estamos tratando con el mismo sistema antes y después del cambio).

A menudo, la definición de temperatura se hace en función de la energía cinética trasnacional media de las partículas; a esta se le llama temperatura cinética. Se puede hacer una definición alternativa de la temperatura desde la identidad termodinámica:

- En el comportamiento de energía térmica: Aunque todos los materiales son capaces de transferir energía térmica está claro que, cuantas más partículas participen en choques con las vecinas, mayor conductividad térmica mostrará un sistema, más rápidamente se producirá el intercambio de energía.

Así los sistemas densos, sólidos y líquidos, tendrán mayor capacidad de conducción del calor que los gases. Por otra parte los metales y

los fluidos ionizados, además de sus átomos ionizados, disponen de electrones aumentando el número de partículas capaces de transferir la energía térmica (y también carga).

La rigidez del sólido también favorece la conducción ya que se transmite cualquier movimiento con mayor facilidad, el diamante es una de los mejores conductores del calor. Los aislantes usuales son sólidos poco rígidos: blandos.

La variable que caracteriza la capacidad de conducción térmica se llama conductividad térmica κ y se define a través de la relación: Flujo de calor = - κ A dT/dx que relaciona el flujo de calor Q, energía térmica, por unidad de tiempo que atraviesa una superficie de área A de un material de espesor dx con una diferencia de temperatura dT entre sus extremos. La ley de Fourier se puede rescribir como: dQ/dt = - κ A dT/dx

- En problemas de dinámica de fluidos, para conseguir una mejor aerodinámica.

- En física, en cualquier situación de la vida real que se relacione el espacio en función del tiempo, se puede aplicar la derivada.

La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo.

La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la 2ª derivada del espacio respecto al tiempo

x ( t )=x0+v0 t+12at2

dxdt

=v ( t )=v0+at

d2 xdt 2

=a( t )

INGENIERIA INDUSTRIAL:

En la empresa suele utilizarse para:

- Maximizar o minimizar es el objetivo de cualquier problema de optimización.

- Un problema de optimización, consiste en calcular el máximo o mínimo sujeto a unas condiciones.

- Calcular el máximo o mínimo, implica la utilización de la derivada.Es decir: Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones.De esta forma si establecemos que los gastos de una empresa tienen forma de una función f, queremos saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas pérdidas.

Igualmente, si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y demanda, es más barato cuanto más haya tendremos que calcular como sacar máximos beneficios.

Esta es una, tal vez la más utilizada, de las aplicaciones de las derivadas a la empresa.

- En la investigación de operaciones: Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones es una herramienta de análisis en la toma de decisiones, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.Es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

- Estadística: El concepto de derivada es un concepto fundamental para el estudio del cálculo, sin embargo el tratamiento que se le da a este concepto generalmente se enfoca principalmente en el manejo y la aplicación de fórmulas estadísticas, y que se haya desarrollado ampliamente en los últimos años dentro de las Ciencias Experimentales, que éstas están sujetas a razonamientos de tipo inductivo que van de lo particular a lo general. Sacaremos conclusiones a partir de la información que nos proporciona un subconjunto más o menos amplio de los mismos.

La expansión de las Estadísticas Derivadas es tal que, es el primer concepto importante que hemos de transmitir y decimos que son

aquellas que parten de insumos provenientes de estudios estadísticos anteriores de fuentes internas y/o externas del organismo responsable y mediante un procedimiento técnico de reelaboración, se obtiene otra información estadística. Los productos estadísticos son estadísticas derivadas provenientes de una única fuente de información. 

- Logística: En estadística, la regresión logística es un tipo de análisis de regresión utilizado para predecir el resultado de una variable categórica (una variable que puede adoptar un número limitado de categorías) en función de las variables independientes o predictores.

Es útil para modelar la probabilidad de un evento ocurriendo como función de otros factores.

El análisis de regresión logística se enmarca en el conjunto de Modelos Lineales Generalizados que usa como función de enlace la función logita. Las probabilidades que describen el posible resultado de un único ensayo se modelan, como una función de variables explicativas, utilizando una función logística.

- Determinar los mejores costos: La derivada permite calcular los costes marginales (de producir una unidad más de producción) a partir de la función de producción de una empresa. Los administradores toman decisiones a base de eso, y los contadores elaboran presupuestos.

Gracias a estas derivadas se puede ver cómo trabaja una curva de oferta y demanda observando las fluctuaciones y exigencias del mercado dependiendo de un punto de evaluación.

Las derivadas se aplican de la forma siguiente:

Ingreso totalingreso marginalelasticidad de demanda

INGRESO MARGINAL: Es el ingreso que obtienes por cada unidad de producto vendido o servicio brindado, por lo tanto se puede decir que EL INGRESO MARGINAL es la derivada del ingreso total.

De la explicación anterior se deduce que el INGRESO TOTAL viene a ser entonces la anti derivada (INTEGRAL) del ingreso marginal.

El Ingreso Marginal es el ingreso que obtienes por cada unidad de producto vendido o servicio brindado, por lo tanto se puede decir que El Ingreso Marginal es la derivada del ingreso total.

De lo anterior se deduce que el Ingreso Total viene a ser la anti derivada (Integral) del ingreso marginal.

La función del ingreso marginal es expresada como la derivada de la función del ingreso total con respecto a la cantidad, así queda la derivada de un producto P . Q =P+Q . (dP/dQ)

Podemos expresar la elasticidad como el cambio proporcional de una variable (y) relativamente a otra variable (x):

E(y,x)= (Delta(y) / y) dividido (Delta (x) / x)En particular, si y(x) es derivable con respecto a x y no nula, quedaría:

E(y,x)= (x/y). (dy / dx) = (d log (y)) / (d log (x))