aplicacion de ecuaciones diferrenciales en ingenieria

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

DOCENTE : Ignacio Hacha Velázquez

Carrera : Ingeniería Civil

Curso : Calculo III

Alumnos : Melissa Almendra Luna Marquina.

Luis Mario Quispe Chacón.

Alejandro Sánchez Muñiz

Jestyn Quispe Cahua

Cusco – Perú

2015

ÍNDICE

Aplicaciones DE Ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Calculo III

1. Presentación

2. Introducción

3. Objetivos

4. Planteamiento del problema

5. Interpretación

6. Hipótesis

7. Bibliografía

ECUACIONES DIFERENCIALES 1


Calculo III

PRESENTACION

El presente trabajo fue realizado por estudiantes de la carrera profesional de

ingeniería civil de la Facultad de Ingenieras de la Universidad Andina del

Cusco, Dicho trabajo lleva el nombre de “ECUACIONES

DIFERENCIALES ”, el cual le presento a usted docente del curso de

CALCULO III

Esperando que el informe del presente trabajo sea de su completo agrado

me despido de usted expresándole mi más sincera gratitud por tener en

grato revisar este informe.



Calculo III

INTRODUCCION

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas

de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de

variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones

diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas

respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas

respecto a dos o más variables.

Como toda parte del cálculo, esta también es aplicada al campo de la

ingeniería, lo cual se verá en este informe.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:



Calculo III

Para este trabajo de investigación el principal problema a solucionar será

conocer que áreas de la Ingeniería Civil aplican las ecuaciones diferenciales

como principal herramienta para solucionar sus respectivas actividades, puesto

que en la actualidad los estudiantes dejan de lado su aplicación por la aparición

de software y programas que omiten realizar manualmente este cálculo. Así

también aprender como son aplicadas en algunas de estas áreas, con ejemplos

e imágenes.

Tendremos entonces que ver como son las ecuaciones diferenciales aplicadas

en flexiones de vigas y de otras estructuras, volúmenes y capacidades de

algunas áreas o superficies, etc.

INTERPRETACION:

Conoceremos cuales son las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en

diversos campos de la ingeniería. Tomaremos en cuenta lo aprendido durante

el curso de Calculo III, para resolución de casos que requieran ecuaciones

diferenciales

OBJETIVOS:

2.1. ESPECÍFICO

- Analizar todo tipos de métodos de ecuaciones diferenciales aplicados a

problemas de Ingeniería Civil.

- Desarrollar habilidades para la selección y aplicación de modos analíticos,

cualitativos y numéricos en la resolución de ecuaciones de primer orden

- Introducir al estudiante en el análisis de la solución de ecuaciones

diferenciales de primer orden.

- Potenciar el desarrollo de competencias, la resolución de problemas propios

de la ingeniería civil.

- Interpretar los métodos y procedimientos utilizados en la solución de

problemas prácticos de Ingeniería Civil mediante la Teoría aplicaciones de

ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil.

2.2. GENERALES



Calculo III

- Analizar los modelos matemáticos, para encontrar soluciones con la

aplicación de las ecuaciones diferenciales.

Reconocer los datos que se utilizaran en el modelo matemático.

HIPOTESIS:

Se partió de la hipótesis de que “las ecuaciones diferenciales son muy poco

utilizado en la carrera”, siguiendo con una investigación documental sobre las

aplicaciones a diversas áreas de Ingeniería civil como el análisis estructural lo

que llevó a un cambio de la hipótesis inicial por la siguiente: “las ecuaciones

diferenciales son una herramienta muy útil en la carrera de ingeniería civil” ya

que la ingeniería es la profesión que aplica conocimientos y experiencias para

que mediante diseños, modelos y técnicas se resuelvan problemas que afectan

a la humanidad; todo esto puede ser formulado con ecuaciones diferenciales.

Los futuros ingenieros civiles deben tener dominio los conceptos mecánicos

que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos

matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en

su carrera profesional.

La importancia de las ecuaciones diferenciales en el mundo actual es enorme,

ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin

él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran

funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se

realiza mediante las herramientas de ecuaciones diferenciales.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN

INGENIERIA CIVIL



Calculo III

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad

que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias

físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas

situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las

múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el

estudio de las flexiones, un ejemplo es:

FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:

Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya

longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican,

existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se

alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se

alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección

trasversal.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de

anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una

fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L)

o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de

proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en

detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una

fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

•Cálculo de la raíz de una ecuación.



Calculo III

•Integral definida.

Supongamos que

•La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección

trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

•Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es

pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el

momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el

extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.



Calculo III

El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

•Y es el módulo de Young del material

•I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del

extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados

aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del

siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y•I•α/L2

Ejemplo:

• Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.

• Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.

• La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede

cambiar.

• Elegimos como material, el Acero.

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación

del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

• El momento de inercia I vale

• Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo

de Young Y



Calculo III

ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para grandes flexiones de la barra.

Supongamos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:

ρ=ds/dφ



Calculo III

El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds

Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iníciales:

Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación diferencial

La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales



Calculo III

especificadas anteriormente:

La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen:

Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X

Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, φ0)

El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.

Cálculo numérico

Las ecuaciones anteriores las podemos expresar



Calculo III

Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre

Cálculo de φ0.

Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como se ve en la figura:

Requiere dos pasos:

1. Hallar la integral

2. Calcular la raíz de la ecuación



Calculo III

f(φ0)=0

La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2

El segundo cambio de variable es

Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2

El momento de inercia I vale

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir



Calculo III

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Conclusiones

Podemos concluir lo siguiente:

Las ecuaciones diferenciales son de una muy amplia aplicación en todas las carreras profesionales,

En nuestra carrera profesional, una vez que hayamos egresado y estemos ejerciendo nuestra profesión, será de mucha importancia saber determinar las flexiones de las vigas que construiremos, para poder evitar un posible futuro fallo de nuestras estructuras.

Es importante determinar cuanto se deformara la viga al reaccionar con las cargas vivas de puesta de servicio.

Este tema se abordara con mas detenimiento en resistecia de materiales.



Calculo III

BIBLIOGRAFIA:

Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam. Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379


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