APAREAMIENTO Y ENVOLVENTES DE GRAFOSCIENCIAS II

HARRY HOLLMAN GUTIERREZ 20112020011NICOLS ANZOLA BEDOYA, 20082020005SAKHI VALDS VILA, 20091020101

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERAINGNIERA DE SISTEMAS BOGOT20157

ApareamientosDefinicinCaractersticas y propiedadesAplicaciones y algoritmosAnlisis de complejidad de los algoritmos

EnvolventesDefinicinCaractersticas y propiedadesAplicaciones y algoritmosAnlisis de complejidad de los algoritmos

ApareamientosSea G un grafo. Dos aristas son independientes si no tienen un vrtice fin en comn. Un conjunto M de aristas independientes de G se llama un juego. El nmero coincidente, denotado (G), es el tamao mximo de apareamiento en G.

Sea M una coincidencia. Los vrtices que son incidente a un borde de M se corresponden o cubiertos por M. Si U es un conjunto de vrtices cubiertos por M, entonces decimos que M satura U. Los vrtices que no estn cubiertos se dice que estn expuestos.

Sea G = (V, E) un grafo y M un apareamiento. Una ruta M-alterna en G es un camino cuyos bordes son, alternativamente, en E \ M y M. Una ruta M-alterna cuyos dos vrtices finales estn expuestos es M-aumento. Podemos utilizar una ruta P M-aumentar transformar M en una mayor coincidencia (ver Figura 1). En efecto, si P es M-alterna, entonces la diferencia simtrica entre M y E (P)M = ME(P) = (M\(E(P)M)(E(P) \M) es tambin un apareamiento. Su tamao |M| igual |M|1+x donde x es el nmero de extremos expuestos de P.

Figura 1: Obtencin de una mayor coincidencia de una trayectoria de aumento P. bordes en negrilla es la de la coincidencia.

Por tanto, si M es mxima, no hay trayectorias de aumento. De hecho, como se muestra por Berge, esta condicin necesaria es tambin suficiente. Teorema (Berge 1957).

Sea M un apareamiento en un grafo G. Entonces M es mximo si y slo si no hay caminos M-aumentando.

Apareamientos en grafos bipartitos

Sea G = ((A, B), E) un grafo bipartito. Si | A | | B |, el tamao mximo de coincidencia es como mximo | A |. Queremos decidir si existe una coincidencia saturar A. Si hay una coincidencia tal M, entonces, para cualquier subconjunto S de A, los bordes de M enlazan los vrtices de S al mayor nmero de vrtices de B.Por lo tanto, tenemos una condicin necesaria, conocido como de Hall c Estado, por la existencia de una coincidencia saturando A: |N(S)||S| para todo S A donde N(S) es el grupo de vrtices G\ S adyacente a al menos un vrtice de S. El grupo N(S) se llama el vecindario de S: N(S) = UsSN(s) \S. En realidad, esta condicin es suficiente.Apareamiento y el vrtice de la cubiertaVamos a demostrar un teorema dual correspondiente al apareamiento mximo en grafos bipartitos.

Sea G = (V, E) un grafo. Un conjunto K V es un vrtice de la cubierta de E si cualquier borde de G es incidente a un vrtice en K. El nmero de vrtices de la cubierta de G, denota (G), es el tamao mnimo de un vrtice de la cubierta de G.Sea K un vrtice de la cubierta de un grfico. Entonces, para cualquier juego M, K contiene al menos un vrtice final de cada borde de M. Por lo tanto, | M | | K |. Por lo tanto, el tamao mximo de un juego es como mximo el tamao mnimo de un vrtice de la cubierta. Para un grafo bipartito, son iguales.Teorema (Knig 1931, Egerv'ary 1931). Sea G = ((A, B), E) un grafo bipartito. El tamao de un apareamiento mximo es igual al tamao de un vrtice-cobertura mnima, es decir (G) = (G).

Sea M una coincidencia mxima, sea U el conjunto de vrtices expuestas en A, y dej V 'sea el conjunto de vrtices de G vinculados a T utilizando caminos M-alterna. Deje A'= AV' y B'= BV'.Ver Siguiente figura El conjunto B' est saturado por M. De hecho, si un vrtice b B ' no se corresponde, entonces la ruta M-alterna que une b para un vrtice en U es un M-aumentar camino, contradiciendo la maximalidad de M (Teorema ). Por otra parte, N (A') = B' por definicin de V '. Deje K = B' (A \ A ')Entonces, cualquier borde de G tiene un vrtice fin en K. Por lo tanto, K es un vrtice de la cubierta de G. Pero | K | = | M | porque A \ A 'es el conjunto de vrtices en A que se corresponde con algunos vrtices en B \ B'.

Encontrar un vrtice cobertura mnima (cuadrados) de una coincidencia mxima (bordes en negrita).Por definicin de un vrtice de la cubierta, no hay bordes entre A \ A 'y B \ B', por lo tanto, | N (A \ A ') | | B'|