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“Topologıa y curvaturade superficies minimales de R

3”

(sobre un trabajo de Pascal Collin)

Ma Magdalena Rodrıguez Perez (2001/2003)

Quisiera dedicar este trabajo a Joaquın Perez, mi director de tesis,a quien agradezco enormemente su dedicacion y paciencia conmigo; ya Jose y Ma Jose, por esas conversaciones constructivas y... por tantasotras cosas.

Agradezco a Luis, Gabri, Javi, Ana, Antonio, Isa, Cesar, Santi, JoseAntonio y Pablo las cervecillas, los cafelillos y esos momentos de risasque nos permiten seguir adelante.

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Indice general

Introduccion 7

Preliminares 13El Problema de Plateau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Principios del maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Grafos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. Algunos resultados sobre grafos minimales 23

2. La tercera funcion coordenada de E es propia 43

3. Caracterizacion geometrica de anillos con curvatura total infinita 53

4. Grafos extraıdos de superficies minimales estables 67

5. Demostracion del Teorema Principal 79

Bibliografıa 101

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Introduccion

En el siglo XVIII, el fısico-matematico suizo L. Euler comenzo a desarrollarel metodo del Calculo Variacional, que llego a convertirse en uno de los instrumen-tos mas importantes tanto en Matematicas como en Fısica. El objetivo inicial deEuler consistıa en encontrar las longitudes maxima y mınima de curvas cumpliendociertas condiciones (como pueden ser valores frontera prefijados). Posteriormente, J.L. Lagrange (tambien fısico-matematico, nacido en Turın) aplico los resultados deEuler a diversos problemas. Entre ellos, el problema consistente en encontrar unasuperficie que realizase un mınimo del funcional area y que tuviese valores fronteraprefijados (este es el llamado Problema de Plateau, ver pagina 14). Ası surge, en elsiglo XVIII, la Teorıa de Superficies Minimales en R3.

En un primer paso, Lagrange restringio su estudio a las superficies obtenidascomo grafo de una funcion u, y obtuvo la ecuacion de grafos minimales:

(1 + u2x2

)ux1x1 − 2ux1ux2ux1x2 + (1 + u2x1

)ux2x2 = 0 , (1)

que es una ecuacion casilineal elıptica de segundo orden (denotaremos uxi = ∂u∂xi

,

uxixj = ∂2u∂xi∂xj

). Pese a haber obtenido la ecuacion (1), Lagrange no se preocupo de

buscar soluciones no triviales de dicha ecuacion; ası, la unica superficie minimal quese conocıa era el plano. Euler descubrio la catenoide (inicialmente llamada alysseide),superficie de revolucion obtenida a partir de la catenaria; aunque fue el teoricoaeronautico, geometra y militar frances J. B. M. Meusnier quien comprobo queporciones graficas tanto de la catenoide como del helicoide verifican la ecuacion (1).Meusnier observo que todos los grafos de funciones verificando la ecuacion (1) tenıancurvatura media H cero. La curvatura media del grafo de una funcion u definidasobre un dominio del (x1, x2)-plano viene dada por

H(u) =1

2(1 + |∇u|2)3/2

((1 + u2

x2)ux1x1 − 2ux1ux2ux1x2 + (1 + u2

x1)ux2x2

),

siendo ∇u = (ux1, ux2) el gradiente de u. Surgio entonces el concepto de superficieminimal: se dice que una superficie es minimal si su curvatura media es identica-mente nula (esto es, H = 0). Ahora bien, como toda superficie (regular) se escribelocalmente como un grafo, concluımos que toda superficie minimal proviene de solu-ciones locales de la ecuacion (1). Ademas, es posible probar que todo grafo minimales un mınimo del area con sus condiciones frontera prefijadas. Por tanto,

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“Para cada punto de una superficie minimal, existe un entorno de dicho puntocuya area es la menor de entre todas las superficies con igual frontera”.

Y esta propiedad caracteriza a las superficies minimales.Hasta mas de medio siglo mas tarde no surgieron nuevos ejemplos de super-

ficies minimales: las superficies de Scherk (en honor al matematico aleman H. F.Scherk, quien las descubrio), que son ejemplos concretos de grafos de Jenkins-Serrin(ver Teorema 21). Por esa epoca (primera mitad del siglo XIX), se descubrieron rela-ciones entre la Teorıa de Superficies Minimales y las Teorıas de Funciones Armonicasy Analıticas, lo cual permitio enormes avances en la resolucion del Problema dePlateau por parte de importantes matematicos de la talla de Monge, Legendre,Schwarz, Riemann o Weierstrass. Enneper y Weierstrass dieron un metodo de cons-truccion de superficies minimales partiendo de dos funciones meromorfas definidassobre una superficie de Riemann cumpliendo una cierta condicion de compatibilidad:la Representacion de Weierstrass [19]. La representacion de Weierstrass fue practi-camente olvidada hasta que en los anos 60 el matematico neoyorkino R. Ossermanla recupero, lo cual permitio avanzar considerablemente en el conocimiento sobre su-perficies minimales completas aplicando resultados conocidos en Analisis Complejoy en la teorıa de Superficies de Riemann.

En este trabajo estudiaremos la relacion entre la topologıa y la curvatura totalde una supericie minimal M propiamente embebida en R3 (ver pagina 13), siendola curvatura total de M la integral sobre M de su curvatura de Gauss K

C(M) =

∫

M

K.

En un primer paso, supongamos que M es completa, inmersa (se admiten autointer-secciones) y tiene curvatura total finita. En tal caso, el tipo conforme de M es el unasuperficie de Rieman compacta menos una cantidad finita de puntos, llamados fi-nales. Esto es consecuencia de un Teorema de Huber [8, 27]. Ademas, Osserman [19]probo que en esta situacion, la aplicacion de Gauss de M se extiende conformementea los finales. Si adicionalmente los finales estan embebidos, entonces un trabajo deSchoen [25] nos dice que cada final de M es asintotico a un plano (en cuyo casose dice que es un final plano) o a media catenoide (y se dice que el final es de tipocatenoide). Por lo tanto, si la curvatura total de M es finita, conocemos tanto sutopologıa como su comportamiento asintotico.

No cabe esperar que topologıa finita* implique curvatura total finita, ni siquierapara superficies minimales propiamente embebidas, como bien pone de manifiestoel helicoide. En [15], Meeks y Rosenberg aseguran que si el espacio ambiente es

*Una superficie M tiene topologıa finita si es homeomorfa a una superficie compacta finitamentepunteada.

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completo, llano y no simplemente conexo (en vez de ser R3), entonces para superfi-cies minimales propiamente embebidas equivalen topologıa finita y curvatura totalfinita. Nosotros queremos mantener R3 como espacio ambiente, ası que buscaremosuna hipotesis adicional sobre M para obtener un recıproco, y ver como influye latopologıa de M sobre su curvatura total.

Nitsche demostro [18] que la catenoide vertical es el unico anillo minimal pro-piamente embebido en R3 que corta cada plano horizontal siguiendo una curva deJordan estrellada, y lanzo la siguiente Conjetura que lleva su nombre:

Conjetura 1 La catenoide vertical es el unico anillo minimal propiamente embebidoen R3 cuya interseccion con cada plano horizontal consiste en una curva de Jordan.

Hoffman y Meeks probaron que una superficie minimalM propiamente embebidaen R3 puede tener como mucho dos finales (topologicamente) anulares con curvaturatotal infinita, y conjeturaron lo siguiente:

Conjetura 2 Si M tiene al menos dos finales, entonces no tiene ningun final anularcon curvatura total infinita.

En [14], Meeks y Rosenberg afirmaban que los posibles finales anulares de Mcon curvatura total infinita deben ser parabolicos; es decir, su tipo conforme es elde S1 × [0,∞) y cortan cada plano horizontal (salvo posible rotacion) siguiendo unacurva de Jordan. Este trabajo de Meeks y Rosenberg motivo a Pascal Collin paraescribir [2], artıculo que estudiaremos detalladamente a lo largo de este trabajo. Enel, se prueba el siguiente resultado:

Teorema 3 (Teorema Principal, [2]) Sea E un anillo minimal propiamente em-bebido en un semiespacio H ⊂ R3 tal que ∂E es una curva de Jordan contenida en∂H. Entonces, E tiene curvatura total finita.

A continuacion, comentaremos algunas consecuencias del Teorema 3, entre lasque se encuentran soluciones a las Conjeturas 1 y 2.

Teorema 4 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con almenos dos finales, y sea E un final anular de M . Entonces, E tiene curvatura totalfinita.

Demostracion. Un resultado de Meeks y Rosenberg [14] asegura que en nuestrasutuacion, E es asintotico a un plano y tiene curvatura total finita, o bien x3|Ees una funcion armonica propia. En este ultimo caso, por el principio del maximo(y por el Teorema de Sard) podemos considerar un subanillo E′ ⊂ E con E − E′

compacto, tal que E′ cumple las hipotesis del Teorema Principal. Por tanto, E′ tienecurvatura total finita y lo mismo le pasa a E. 2

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Teorema 5 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con almenos dos finales. Entonces, M tiene topologıa finita si y solo si M tiene curvaturatotal finita, en cuyo caso la curvatura total de M viene dada por

C(M) = −4π grado(g) = 2π(χ(M) − n), (2)

siendo n ≥ 2 el numero de finales de M .

Demostracion. Si M tiene curvatura total finita, entonces la ecuacion (2) es la cono-cida formula de Jorge y Meeks [10]. Queda probar que si M tiene topologıa finita,entonces tiene tambien curvatura total finita. Como M tiene topologıa finita, todossus finales son anulares y solo hay una cantidad finita n de ellos. Como n ≥ 2, elTeorema 4 asegura que cada final deM tiene curvatura total finita, luegoM tambienla tiene. 2

El Teorema 5 admite como corolario inmediato la Conjetura de Nitsche, ya quenos afirma que una superficie M verficando las hipotesis de la Conjetura 1 tienecurvatura total finita igual a −4π. Por tanto, M ha de ser una catenoide [19].

Teorema 6 La unica superficie minimal propiamente embebida en R3 con exacta-mente dos finales y topologıa finita es la catenoide.

Demostracion. Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con ex-actamente dos finales y topologıa finita. Sabemos por el Teorema 5 que M tienecurvatura total finita. Como M es propia, tambien es completa y ahora el Teo-rema 6 se deduce directamente de un Teorema de Schoen [25], que caracteriza lacatenoide como la unica superficie minimal inmersa en R3, con curvatura total finitay exactamente dos finales embebidos. 2

Teorema 7 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 de generocero con n ≥ 2 finales. Entonces, n = 2, y M es una catenoide.

Demostracion. No es mas que aplicar el Teorema 5 y un resultado de Lopez y Ros [12]que dice que las unicas superficies minimales completas en R3 con curvatura totalfinita y genero cero son la catenoide y el plano. 2

Del Teorema 7 se deduce tambien claramente que la Conjetura de Nitsche seresuelve positivamente.

Para terminar esta introduccion, veamos un esquema de la demostracion del Teo-rema Principal. Comencemos notando que no es restrictivo suponer que el semies-pacio H que aparece en el enunciado del Teorema Principal es X = (x1, x2, x3) :x3 ≥ 0. Para cada t ∈ R denotaremos por Pt al plano horizontal x3 = t. Ası, unfinal E en las condiciones del Teorema Principal sera un final anular propiamente

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embebido en el semiespacio superior H, y su frontera ∂E sera una curva de Jordancontenida en ∂H = P0.

En el Capıtulo 1 probaremos en primer lugar un lema tecnico, que asegura quetoda superficie minimalM propiamente embebida en la region x1 ≥ 0, 0 ≤ x3 ≤ t0con borde ∂M contenido en P0 salvo posiblemente un compacto, es necesariamenteasintotica a P0. Probaremos lo anterior dejando a M por debajo de un grafo minimalasintotico a P0. A su vez, este grafo minimal se obtendra aplicando una homoteciaal lımite de una sucesion de grafos de Jenkins-Serrin con valores frontera por enci-ma de M (ver Teorema 21 para una descripcion de grafos de Jenkins-Serrin). Estelema tecnico nos permitira demostrar el Teorema 1.4, que dira que si Ω es un do-minio contenido en un semiplano H sobre el cual se define una solucion u 6= 0 de laecuacion (1) con u|∂Ω = 0, entonces contiene (salvo posiblemente un compacto) a to-da semirrecta r ⊂ H no paralela a ∂H. El ultimo resultado de este primer Capıtuloes el Teorema 1.8, que prueba que si u, v son dos soluciones de la ecuacion de grafosminimales con gradiente acotado, definidas sobre un dominio Ω ⊂ R2 con fronterano compacta y tales que u|∂Ω = v|∂Ω salvo un compacto, entonces sus grafos o bienson asintoticos o bien se alejan mas que cualquier potencia del logaritmo.

Comenzaremos el Capıtulo 2 con el Lema 2.1, que nos permite asegurar que un fi-nal E en las condiciones del Teorema Principal o esta contenido en P0 o tiene tercerafuncion coordenada no acotada. En este ultimo caso, demostraremos un resultadode Meeks y Rosenberg [14] (Teorema 2.2) que asegura que x3 es propia (es decir,E corta a cada banda horizontal 0 ≤ x3 ≤ t en un compacto para cada t ≥ 0).Para probar el Teorema 2.2 supondremos por reduccion al absurdo que x3|E no espropia y construiremos un grafo minimal G con gradiente acotado definido sobre undominio simplemente conexo de P0 con frontera no compacta, y ∂G estara (salvo uncompacto) a altura constante a0. Pero G contendra un arco propio y divergente aaltura estrictamente menor que a0, luego G no podra ser asintotico a Pa0, contradi-ciendo ası el Teorema 1.8. Como consecuencia del Teorema 2.2 obtendremos que E sepuede parametrizar conformemente en 0 < |z| ≤ 1 con tercera funcion coordena-da x3(z) = − ln |z|. En particular, no existira ningun punto con normal vertical en E.

El Capıtulo 3 lo dedicaremos a hacer un estudio de la geometrıa de un final Een las condiciones del Teorema Principal, supuesto que este tiene curvatura totalinfinita (ya que el Teorema Principal lo demostraremos por reduccion al absurdo).En concreto, estudiaremos el corte de E con planos Π tranversales a E y no ho-rizontales. Veremos que si Π ∩ ∂E = ∅, entonces Π ∩ E contiene al menos unacurva no compacta y a lo mas una curva compacta (en este ultimo caso, la curvacompacta sera homologa a ∂E). Si ademas Π contiene al vector flujo a lo largode ∂E (definido en la pagina 55), entonces Π ∩ E contendra infinitas componentesconexas. A continuacion introduciremos un nuevo concepto: diremos que significaque una componente de la interseccion de E con un semiespacio con frontera no

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horizontal esta bien o mal orientada. Finalmente, demostraremos como resultadocentral de este Capıtulo la Proposicion 3.6, que asegura la existencia de un plano Πno horizontal y transversal a E y de dos componentes conexas bien orientadas S1

y S2 de la parte de E a un lado de Π, que son simplemente conexas, con fronteracontenida en Π y que se pueden unir a ∂E mediante arcos contenidos en E−(S1∪S2).

En el Capıtulo 4 daremos un metodo para extraer grafos a partir de superficiesminimales estables bajo ciertas condiciones tecnicas. Estas condiciones seran verifi-cadas por ciertos discos estables Dn contenidos en el dominio exterior H− de E enH, discos obtenidos a partir de las componentes S1, S2 dadas en la Proposicion 3.6por aplicacion del Lema de Dehn.

Finalmente, en el Capıtulo 5 construiremos una curva c0 homotopicamente notrivial en H− contenida en una union de grafos extraıdos a partir de uno de losanteriores discos estables, Dm0 ; como en particular tendremos c0 ⊂ Dm0 ⊂ H−,obtenemos la contradiccion deseada (Dm0 es un disco pero c0 es no nulhomotopicaen H−), probando ası el Teorema Principal.

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Preliminares

Una superficie M de R3 se dice minimal si tiene curvatura media H = 0.Diremos que M es embebida si no tiene autointersecciones; y que M es propia si lainterseccion de M con cualquier bola cerrada de R3 es un compacto de M .

En [6] podemos encontrar una prueba de que, en general, dada una superficieorientable Σ ⊂ R3, si denotamos** por i = (x1, x2, x3)|Σ a la inclusion de Σ en R3, ypor ∆i = (∆(x1|Σ),∆(x2|Σ),∆(x3|Σ)) a su Laplaciano, entonces

∆i = 2HN,

donde N : Σ → S2 es la aplicacion de Gauss definida sobre Σ y H es la curvaturamedia de Σ respecto de N . En particular, esto nos dice que las funciones coorde-nadas de una superficie minimal orientable son funciones armonicas respecto de laestructura de superficie de Riemann inducida por su primera forma fundamental.

Lo anterior es un ejemplo de la estrecha relacion que existe entre la Teorıa deSuperficies Minimales y el Analisis. Otra muestra de ello es la siguiente version delPrincipio de Reflexion de Schwarz para minimales y la aplicacion, por ejemplo, delTeorema Grande de Picard en distintos puntos a lo largo de este trabajo.

Teorema 8 (Principio de Reflexion de Schwarz [6]) Si una superficie minimalM contiene un segmento rectilıneo l, entonces M es invariante por la rotacion deangulo π alrededor de la recta que contiene a l. Ademas, si M contiene en su fronteraun segmento rectilıneo l, entonces M se puede extender por la rotacion de anguloπ alrededor de la recta que contiene a l, obteniendo ası una superficie minimal quecontiene a l en su interior.

Teorema 9 (Teorema grande de Picard) Sea f una funcion holomorfa definidaen un disco punteado 0 < |z| < r ⊂ C, para cierto R > 0. Si f tiene unasingularidad esencial en z = 0, entonces f toma todos los valores en C infinitasveces salvo a lo mas una excepcion.

**x1, x2, x3 denotaran a lo largo de todo este trabajo las coordenadas euclıdeas de R3.

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Una superficie minimal M ⊂ R3 se dice estable si para cualquier dominio relati-vamente compacto Ω ⊂⊂ M*** se tiene que el funcional area definido sobre varia-ciones normales (no triviales) de Ω que fijan ∂Ω tiene segunda derivada no negativa;es decir, si cada compacto contenido en M es un mınimo del area en el conjuntode superficies minimales “cercanascon igual frontera. Un Teorema de Do Carmo yPeng [?] asegura que la unica superficie orientable, minimal completa y estable enR3 es el plano.

Teorema 10 [26, 21] Existe una constante C > 0 cumpliendo que para cada super-ficie minimal estable M ⊂ R3 y cada punto P ∈M se tiene

|K(P )| ≤ C

distM(P, ∂M)2,

donde K es la curvatura de Gauss de M y distM (P, ∂M) es la distancia intrınsecaentre P y la frontera de M .

El Problema de Plateau

El Problema de Plateau consiste en encontrar una superficie minimal (contopologıa prescrita) cuya frontera sea la union de una familia prefijada de curvasde Jordan disjuntas de R3. Recibe este nombre en honor al fısico belga J. A. F.Plateau, quien interpreto fısicamente dicho problema: la pelıcula jabonosa formadaentre curvas cerradas de alambre es una superficie minimal. Inmediatamente despuesde estudiar la existencia de solucion de un Problema de Plateau, surge la preguntasde si, en caso de existir solucion, es unica o si esta embebida.

Sea W ⊂ R3 un subdominio compacto con frontera diferenciable a trozos consis-tente en una cantidad finita de 2-sımplices con angulos interiores menores o igualesque π, y cada 2-sımplice con curvatura media no negativa respecto del normal in-terior de W . Diremos que la frontera de W es una buena barrera para resolver elProblema de Plateau.

Teorema 11 ([16]) Sea W ⊂ R3 un subdominio compacto cuya frontera es unabuena barrera para resolver el Problema de Plateau y Γ una union disjunta de curvasdiferenciables a trozos, contenidas en ∂W , que bordean una superficie compacta yorientable Σ ⊂ W . Entonces, existe una solucion M embebida en W del Problemade Plateau para Γ. Ademas, M es homotopica a Σ y tiene la menor area de entretodas las superficies orientables contenidas en W , homotopicas a Σ y con fronteraΓ (en particular, M es estable).

Teorema 12 (Lema de Dehn [16, 17]) Sea W ⊂ R3 un subdominio compactocuya frontera es una buena barrera para resolver el Problema de Plateau y Γ una

***Escribiremos Ω ⊂⊂ M cuando Ω sea un dominio contenido en M y Ω sea compacto.

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curva de Jordan en ∂W que sea nulhomotopica en W . Entonces, existe un discoD ⊂W minimal y embebido con ∂D = Γ, que tiene la menor area de entre todas lassuperficies orientables contenidas en W con frontera Γ. En particular, D es estable.

Teorema 13 (Rado [23]) Sea Γ ⊂ R3 una curva de Jordan regular que admiteuna proyeccion inyectiva sobre una curva plana, convexa y regular Γ′. Entonces,existe una unica solucion M del Problema de Plateau para Γ. Ademas, M es grafosobre el dominio acotado por Γ′ y minimiza el area en la familia de superficies deR3 con frontera Γ. En particular, M es estable.

Principios del maximo

Teorema 14 Sea Ω ⊂ R2 un dominio regular y sean u1, u2 dos soluciones de laecuacion de grafos minimales (1). Entonces,

1. Si u1 − u2 alcanza un maximo local en Ω, entonces u1 − u2 es constante.

2. Si Ω es acotado y u1 ≤ u2 en ∂Ω, entonces u1 ≤ u2 en Ω.

3. Si Ω es acotado y u1 = u2 en ∂Ω, entonces u1 = u2 en Ω.

Sean M1 y M2 dos superficies minimales de R3 y P un punto de M1 ∩M2 dondeambas superficies son tangentes (es decir, TPM1 = TPM2). Supongamos que M1,M2

vienen dadas localmente alrededor de P como grafos respectivos de u1, u2, funcionesdefinidas sobre un entorno del plano tangente comun en P . Diremos queM1 se quedaa un lado de M2 alrededor de P si u1 ≤ u2 (resp. u1 ≥ u2), y lo denotaremos porM1 ≤M2 (resp. M1 ≥M2).

Teorema 15 (Principio del maximo [25]) Sean M1 y M2 dos superficies mini-males de R3. Supongamos que se da una de las dos siguientes situaciones:

1. 0 es un punto interior de ∂M1 ∩ ∂M2, T0M1 = T0M2 y T0∂M1 = T0∂M2.

2. 0 es un punto interior de M1 y M2, y T0M1 = T0M2.

Entonces, M1 ≥M2 en un entorno de 0 solo si M1 = M2 en dicho entorno.

Una vez que sepamos que dos superficies minimales coinciden en un abierto novacıo, un argumento de conexion permite asegurar el siguiente enunciado.

Corolario 16 Sean M1, M2 ⊂ R3 dos superficies minimales cerradas, conexas yposiblemente con borde. Supongamos que M1∩M2 contiene un conjunto con interiorno vacıo en las topologıas inducidas de M1 y M2. Si ∂M2 ∩ M1 = ∅, entoncesM1 ⊂M2.

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Existe una version mas sofisticada del principio del maximo debida a Meeks yRosenberg [13] (ver tambien Langevin y Rosenberg [11]), que afecta a superficiesminimales posiblemente no compactas.

Teorema 17 (Principio del maximo en el infinito) Sea M1,M2 dos superficiesminimales propiamente inmersas en R3, conexas, disjuntas, con frontera compacta(posiblemente vacıa). Entonces,

1. Si ∂M1 6= ∅, entonces existen X ∈ ∂M1 e Y ∈ M2 tales que |X − Y | =distR3(M1,M2).

2. Si ∂M1 = ∂M2 = ∅, entonces M1 y M2 son dos planos paralelos.

Como aplicacion del Principio del Maximo se obtiene el siguiente Teorema.

Teorema 18 [Teorema del Semiespacio [7]] Si M es una superficie minimal propia-mente inmersa en R3, conexa y no llana, entonces M no esta contenida en ningunsemiespacio.

Diremos que una superficie M embebida en R3 (no necesariamente minimal)cumple la Propiedad de la envolvente convexa si todo dominio relativamente com-pacto Ω ⊂M esta contenido en la envolvente convexa**** de ∂Ω.

Teorema 19 [20] Una superficie embebida en R3 cumple la Propiedad de la envol-vente convexa si y solo si su curvatura de Gauss es menor o igual que cero.

Corolario 20 Las superficies minimales embebidas en R3 satisfacen la Propiedadde la envolvente convexa.

Grafos minimales

Sean Ω un dominio del plano y u ∈ C2(Ω). El grafo Gu de u es una superficieminimal de R3 si y solo si u cumple la ecuacion casilineal elıptica de segundo orden(1). Como ya senalamos en la introduccion, toda superficie minimal regular provienede soluciones locales de la ecuacion (1).

Para nosotros, el Problema de Dirichlet consistira en encontrar soluciones u ∈C2(Ω) ∩ C(Ω) de la ecuacion (1) con valores frontera prefijados (u|∂Ω = f , siendof una funcion continua sobre ∂Ω). No solo es interesante estudiar la existencia desolucion, sino tambien la unicidad.

Sea f una funcion continua a trozos en ∂Ω (es decir, continua en ∂Ω salvo enun subconjunto finito). El Problema de Dirichlet admite la siguiente generalizacion:aaa Supongamos que tanto Ω como f son acotados. Consideramos el Problema de

****Se define la envolvente convexa de Ω ⊂ R3 como el menor convexo de R3 que contiene a Ω.

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Plateau asociado a la curva de Jordan Γ formada por f(∂Ω) mas los segmentosverticales sobre los puntos de ∂Ω, que unan los extremos de ramas consecutivas delgrafo de f . Por el Teorema 11, sabemos que existe una superficie minimalM tal que∂M = Γ. Si M es el grafo de una funcion u definida sobre Ω, diremos que u es unasolucion al Problema de Dirichlet sobre Ω con valores frontera f .

Si Ω es un dominio convexo acotado y f es una funcion continua sobre ∂Ω, elTeorema de Rado 13 nos asegura la existencia de una unica superficie minimal Mcon ∂M = f(∂Ω), que es grafo sobre Ω (en particular, estable).

Cabe otra posible generalizacion del Problema de Dirichlet, consistente en admi-tir valores infinitos en el borde de Ω. El siguiente Teorema resuelve dicho problemaen casos particulares.

Teorema 21 (Jenkins-Serrin [9]) Sea Ω un dominio convexo y acotado tal que∂Ω contiene una cantidad finita de segmentos rectilıneos abiertos Aii, Bjj cum-pliendo que ningun par de segmentos Ai (resp. Bj) tienen un extremo comun, y que∂Ω − [(∪iAi) ∪ (∪jBj)] consiste en un numero finito de arcos abiertos Ckk unioncon los extremos de los Aii, Bjj, Ckk. Sea

P=P :P ⊂ Ω polıgono cerrado simple cuyos vertices son extremos de los Ai, Bj, Ck.

Para cada P ∈ P, denotamos por γ(P ) al perımetro de P , α(P ) =∑

Ai⊂P

long(Ai)

y β(P ) =∑

Bj⊂P

long(Bj). Consideremos los valores frontera f : ∂Ω → R dados por

f |∪iAi = +∞, f |∪jBj = −∞, siendo f |∪kCkuna funcion continua y acotada.

1. Si la familia Ckk no es vacıa, entonces existe una solucion de la ecuacion(1) definida en Ω con valores frontera f si y solo si

2α(P ) < γ(P ) y 2β(P ) < γ(P ) , ∀P ∈ P . (3)

Y en caso de existir, dicha solucion es unica.

2. Si ∪kCk = ∅, entonces existe una solucion de la ecuacion (1) en Ω si y solo si

α(Ω) = β(Ω) y se cumple (3) para cualquier otro polıgono (propio) de P.

Ademas, si existe dicha solucion, es unica salvo constante aditiva.

3. Si u, v : Ω → R son dos soluciones del Problema de Dirichlet planteado en elapartado anterior y cumplen u ≥ v sobre los arcos Ck, entonces u ≥ v sobretodo Ω.

En cualquiera de los casos anteriores, a la solucion u de la ecuacion (1) con va-lores frontera f la llamaremos extension minimal de f a Ω.

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Figura 1: Grafos de Jenkins-Serrin.

Para entender mejor las condiciones del teorema de Jenkins y Serrin, estudiemosel caso particular en el que Ω es un cuadrilatero. Si los lados de Ω son A1, C1, A2, C2,entonces la condicion necesaria y suficiente se reduce a:

long(A1) + long(A2) < long(C1) + long(C2).

Y analogamente si los lados de Ω son B1, C1, B2, C2. En general, un polıgono quetenga como mucho un lado Ai y como mucho un lado Bj, admite un grafo de Jenkinsy Serrin. Tambien admite solucion un polıgono regular con un numero par de ladosen el que se distribuyen los lados Ai, Bj de forma alternativa.

A continuacion veremos un resultado de unicidad de solucion para un problemade Dirichlet con condiciones frontera de tipo lineal, para dominios contenidos en unsector convexo. Dadas dos semirrectas r, r′ ⊂ R2 con el mismo origen, llamaremossector al interior de la envolvente convexa de r ∪ r′, y angulo del sector al anguloformado por dichas semirrectas. Un sector se dira propio si su angulo es estrictamentemenor que π.

Lema 22 Sea Ω un dominio contenido en un sector propio S de R2, S simetricorespecto del eje x1. Sea f : ∂Ω → R dada por f(x) = λx1 para cada x = (x1, x2) ∈ Ω,con λ ∈ R. Entonces, u : Ω → R definida como u(x) = λx1 es la unica extensionminimal de f a Ω.

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Demostracion. Podemos suponer que S = x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, µx1 + |x2| >0 para cierto µ > 0 y que Ω ⊂ S. Sea u(x) = λx1 para todo x ∈ Ω, y seav : Ω → R otra extension minimal de f a Ω distinta de u. Supongamos que existey = (y1, y2) ∈ Ω tal que v(y) > u(y) y lleguemos a una contradiccion. Consideremosen S la familia creciente de triangulos TLL>0, siendo TL = x ∈ S : x1 < L.Para cada L > 0, denotaremos a los lados del triangulo TL por C1

L = ∂TL ∩ x1 <

L, x2 < 0, C2L = ∂TL∩x1 < L, x2 > 0 y AL = ∂TL−C1

L ∪ C2L. Por el Teorema de

Jenkins-Serrin, sabemos que existe una unica solucion uL de la ecuacion (1) definidasobre TL cumpliendo uL|C1

L∪C2L

= λx1 y uL|AL= +∞ (si partiesemos de la existencia

de un punto y ∈ Ω con v(y) < u(y), impondrıamos uL|AL= −∞ y razonarıamos de

forma analoga).

Figura 2: El grafo de Jenkins-Serrin uL es la superficie rayada.

Notese que ∂GuL ⊂ x3 = λx1 ∩ (∂S × R) y que el espacio tangente a GuL enel origen es x3 = λx1. Como Ω ∩ ∂S = ∅, podemos tomar L0 > 0 suficientementepequeno cumpliendo TL0 ∩Ω = ∅, luego GuL0 ∩Gv = ∅. De la unicidad del Teoremade Jenkins-Serrin se deduce que para todo L > 0, GuL se obtiene a partir de GuL0

mediante una homotecia con centro el origen. Como el espacio tangente a GuL0 enel origen es x3 = λx1, deducimos que los grafos GuL decrecen cuando L → +∞hasta el lımite Σ = x3 = λx1 ∩ (S × R), siendo la convergencia uniforme sobrecompactos de S × R (notese que Gu ⊂ Σ). Como v(y) > λy1, entonces hay unprimer grafo GuL que corta a Gv; esto es, existe L′ = mınL > L0 : Gv ∩ GuL 6= ∅.Gv ∩ GuL′ 6= ∅ es claramente cerrado en Gv. Como ∂Ω ∩ ∂S = ∅, concluımos que lainterseccion Gv ∩ GuL′ es interior a ambos grafos. Y como Gv queda a un lado deGuL′ , el principio del maximo implica que Gv ⊆ GuL′ . Pero esto no es posible porquev no toma el valor +∞. 2

19

Finalizaremos esta Seccion de preliminares con tres resultados mas sobre grafosminimales. En el primero se dan condiciones para tomar lımites en una sucesion degrafos minimales. Los dos ultimos expresan un control sobre el tamano relativo deun grafo minimal en terminos de la curvatura o de la distancia al borde.

Teorema 23 Sea unn∈N una sucesion de soluciones de la ecuacion 1 definidassobre un dominio Ω ⊂ R2. Supongamos que se cumplen:

1. Existe x0 ∈ Ω tal que un(x0)n es una sucesion acotada.

2. |∇un|n esta uniformemente acotada en compactos de Ω.

Entonces, existe una parcial de unn convergente en la topologıa de Ck, ∀k ≥ 0, auna solucion u : Ω → R de (1).

Una sencilla demostracion del Teorema anterior puede encontrarse en [21].

Lema 24 (Lema del grafo uniforme [21]) Sea M una superficie minimal pro-piamente inmersa en un abierto O ⊂ R3. Supongamos que la curvatura de Gauss deM cumple |K| ≤ C0 para cierto C0 > 0.

1. Para cada P ∈M , consideramos R(P ) = mın

1

4C0,dist(P, ∂O)

2

. Entonces,

existe un entorno de P en M que es grafo sobre el disco D(P,R(P )) centradoen P y de radio R(P ) contenido en el plano tangente afın a M en P .

2. Si u ∈ C∞(D(P,R(P ))

)es la funcion que define dicho grafo, entonces para

cada Q ∈ D(P,R(P )) se cumple:

|u(Q)| ≤ 8C0|P −Q|2;|∇u|(Q) ≤ 8C0|P −Q|;|∇2u| ≤ 16C0.

Denotaremos a lo largo de todo el trabajo por B(X,R) a la bola abierta de R3

de centro X y radio R.

Corolario 25 Sea M una superficie minimal estable. Consideremos P ∈ M cum-pliendo distR3(P, ∂M) ≥ 2d para cierto d > 0. Entonces, existe un entorno V de P

en M ∩B(P, d) y existen dos constantes positivas µ y ν (independientes M , P ) deforma que V se puede ver como grafo de una funcion u acotada por µd y definidasobre el disco cerrado contenido en el espacio tangente afın a M en P , centrado enP y de radio νd. Ademas, ν se puede tomar como una funcion creciente en d, ypodremos tomar µ

νtan pequeno como queramos.

20

Demostracion. Notese que distM(Q, ∂M) ≥ distR3(Q, ∂M) ≥ d para todo Q ∈M ∩B(P, d). Por el teorema 10 (M es una superficie minimal estable), tenemos unaestimacion uniforme de la curvatura de Gauss sobre M ∩B(P, d):

|K(Q)| ≤ C

d2, para todo Q ∈M ∩B(P, d)

(recordemos que C es una constante universal). Consideramos el espacio tangente

afın a M en P que denotaremos por TPM . Por el lema 24, basta tomar 0 < ν < d4C

(ya que en este caso, O = R3) y µ = 8cdν2. Ademas, es claro que podemos tomar µ

ν

tan pequeno como queramos, puesto que ν es arbitrariamente pequeno. 2

21

Capıtulo 1

Algunos resultados sobre grafosminimales

El siguiente resultado nos da condiciones para que una superficie minimalcon borde apoyado en un semiplano (salvo un compacto), sea asintotica a dichosemiplano. Recordemos que x denota un par (x1, x2) ∈ R2 y que Pt = x3 = t paracada t ∈ R.

Lema 1.1 Sea M una superficie minimal propiamente inmersa (no necesariamenteconexa) contenida en el cuadrante (x, x3) ∈ R3 : x1 ≥ 0, x3 ≥ 0 y tal que ∂M =A ∪ B, donde A esta contenido en un compacto K y B ⊂ P0. Entonces, existe unasolucion w de la ecuacion (1) definida sobre H = x ∈ R2 : x1 ≥ 0 que solo dependede K y que verifica:

1. lım|x|→+∞

w(x) = 0;

2. Si supM

x3 < +∞, entonces x3 ≤ w(x) para todo (x, x3) ∈M .

Figura 1.1: La parte sombreada se corresponde con M ∩K.

23

Demostracion. Identificaremos H ≡ (x, x3) ∈ R3 : x3 = 0, x1 ≥ 0 y denotaremospor x ≡ (x, 0) a los puntos de H, y Dn = x ∈ H : |x| < n para cada n ∈ N.Recordemos que dada una funcion u, estamos denotando su grafo por Gu.

En un primer paso, fijados C, r > 0 y f ∈ C∞0 (] − r, r[) no negativa, construi-

remos una sucesion de grafos minimales Gwn(f,C)n∈N,n>r que admitira una parcialconvergente a un grafo minimal definido sobre todo H, grafo que no dependera dela eleccion de C > 0. Sean C, r > 0, f ∈ C∞

0 (] − r, r[) no negativa y n ∈ N tal quen > r. Llamamos wn(f,C) a la solucion del Problema de Dirichlet sobre Dn convalores frontera continuos a trozos

f(x2) si x1 = 0 y |x2| < nC si x1 > 0 y |x| = n,

donde f es la extension por 0 de f a todo R, ver la figura 1.2.

Figura 1.2: El borde de wn(f,C).

Notese que 0 ≤ wn(f,C) ≤ h por el principio del maximo, con h = maxmax]−r,r[

f,C.

Ası, Gwn(f,C) ⊂ S(0, h) = (x, x3) ∈ R3 : 0 ≤ x3 ≤ h.

Afirmacion 1.2 La sucesion wn(f,C)n>r admite una parcial convergente a unasolucion w(f,C) de la ecuacion (1) definida sobre H. Ademas,

1. lım|x|→+∞

w(f,C)(x) = 0 ;

2. w(f,C) no depende de C, por lo que denotaremos wf = w(f,C).

Demostracion de la Afirmacion 1.2. Todos los puntos de x1 = x3 = 0 son puntos deacumulacion de Gwn(f,C)n>r. Por la Observacion ?? deducimos que Gwn(f,C)n>r

admite una parcial convergente al grafo de una solucion w(f,C) de la ecuacion (1)definida sobre todo H. Ademas, como Gwn(f,C) ⊂ S(0, h) para cada n > r y S(0, h)es cerrado, entonces tambien sera Gw(f,C) ⊂ S(0, h).

24

Es claro que x1 = x3 = 0, |x2| ≥ r ⊂ Gw(f,C). Fijemos n0 ∈ N tal quen0 > r. Por el principio de reflexion de Schwarz, podemos extender la superficieminimal Gw(f,C) − (Dn0 × R) a un anillo minimal Σ ⊂ S(−h, h), que es grafo sobreP0−Dn0 ∪ (−Dn0) = X ∈ P0 : |X| > n. En particular, la aplicacion de Gauss de Σtoma valores solo en un hemisferio de S2, luego Σ tiene curvatura total finita. Comoademas Σ esta propiamente embebido y contenido en la banda S(−h, h), deducimosque Σ es un final plano. Y como x1 = x3 = 0, |x2| > r ⊂ Gw(f,C), concluımos queGw(f,C) es asintotico a P0. Luego, lım

|x|→+∞w(f,C)(x) = 0.

Nos queda probar que w(f,C) no depende de C. Tomemos 0 < C ′ < C yveamos que w(f,C ′) = w(f,C). Sabemos que existen parciales de wn(f,C

′)n ywn(f,C)n convergentes a w(f,C ′) y w(f,C) respectivamente (no hay problemaen tomar la misma parcial para ambos lımites; y por no complicar la notacion,seguiremos llamando wn(f,C

′)n y wn(f,C)n) a dichas parciales). Como C ′ < C,se tiene por definicion wn(f,C ′)|∂Dn ≤ wn(f,C)|∂Dn para todo n > r. Y por elprincipio del maximo, wn(f,C

′) ≤ wn(f,C) en Dn. Tomando lımites, obtenemosque w(f,C ′) ≤ w(f,C) en todo H. Para probar la otra desigualdad, usaremos lasiguente propiedad:

Existe n0 > r tal que para cada n ≥ n0 podemos elegir m ≥ n verificandown(f,C

′)|∂Dn ≥ wm(f,C)|∂Dn.

Supuesto que la propiedad es cierta, sera wn(f,C′) ≥ wm(f,C) en todo Dn por el

principio del maximo; y tomando n → ∞, concluiremos que w(f,C ′) = w(f,C)en H. Para comprobar la propiedad anterior, razonaremos por reduccion al absur-do: Supongamos que existe una sucesion divergente n(k)k∈N de numeros natu-rales tal que para todo k ∈ N y todo m ≥ n(k), existe x(k,m) ∈ ∂Dn(k) conwn(k)(f,C

′)(x(k,m)

)< wm(f,C)

(x(k,m)

). En particular, x(k,m) no puede estar

sobre ∂Dn(k) ∩ x1 = 0. Por tanto, lımk→∞

|x(k,m)| = lımk→∞

n(k) = ∞. Y aplicando el

primer apartado de la Afirmacion, obtenemos que lımk→∞

wm(f,C)(x(k,m)

)= 0. Y

como wn(k)(f,C′)(x(k,m)

)= C ′, tomando k → ∞ se deduce que C ′ ≤ 0, contradic-

cion. Con esto queda demostrada la propiedad de arriba, y con ella la Afirmacion1.2.

Para cada λ ≥ 1, denotaremos por Hλ : R3 → R3 a la homotecia de razon λ ycentro el origen, y wf,λ : H → R sera la solucion de (1) dada por

wf,λ(x) = λwf (1

λx).

Esto es, Gwf,λ = Hλ(Gwf ). Es claro que lım

|x|→∞wf,λ(x) = 0, para cualquier λ ≥ 1.

Por compacidad, existe R > 0 tal que K ⊂ B(0, R). El Lema 1.1 estara proba-do si encontramos una funcion f ∈ C∞

0 (] − R,R[) no negativa y λ ≥ 1 tales que

25

w = wf,λ cumpla las condiciones de dicho lema (dicha eleccion solo dependera delcompacto K). Como el primer apartado del lema se cumple para toda wf,λ, supong-amos que C0 = sup

Mx3 < +∞ y encontremos f ∈ C∞

0 (]−R,R[) no negativa y λ ≥ 1

cumpliendo x3 ≤ wf,λ(x) para todo (x, x3) ∈M .Notese que C0 > 0 salvo en el caso trivial M ⊂ P0, y que dada f ∈ C∞

0 (]−R,R[)no negativa, wf es lımite de una parcial de wn(f,C0)n>R. Para λ ≥ 1, denotaremos

wn(f,C0, λ)(x) = λwn(f,C0)(1

λx), x ∈ Hλ(Dn).

Claramente, wf,λ es el lımite de una parcial de wn(f,C0, λ)n>R.

Afirmacion 1.3 Existen f ∈ C∞0 (]−R,R[) no negativa y λ ≥ 1 tales que para todo

n ∈ N con n > R, se tiene L(n, f, λ) = R+, siendo

L(n, f, λ) =t > 0 : wn(f,C0, λ)(x)+t ≥ x3 para todo (x, x3) ∈M∩

(Hλ(Dn)×R

).

Demostracion de la Afirmacion 1.3. Fijemos f ∈ C∞0 (]−R,R[) no negativa y λ ≥ 1

(a determinar). Sea n ∈ N, n > R. Como wn(f,C0, λ) ≥ 0 y C0 = supM x3, entoncesC0 ∈ L(n, f, λ). Por tanto, L(n, f, λ) 6= ∅. Ademas, por definicion es claro queL(n, f, λ) es cerrado en R+ y que si t ∈ L(n, f, λ), entonces [t,∞[⊂ L(n, f, λ).Probemos que L(n, f, λ) es abierto para ciertas elecciones de f y λ, con lo cualtendremos por conexion probada la Afirmacion. Por abreviar notacion, escribiremosGt = Gwn(f,C0,λ) + te3

* para cada t > 0.

Figura 1.3: Gt se obtiene trasladando Gwn(f,C0,λ) verticalmente hacia arriba.

Fijemos t ∈ L(n, f, λ), y sea d = dist(M,Gt). Si d > 0, entonces existe ε > 0 talque ]t− ε,+∞[⊂ L(n, f, λ), y habremos acabado. Supongamos entonces que d = 0.Como Gt es compacto y M es propiamente inmersa, existe Q ∈ Gt ∩M .

*Denotaremos por e1, e2, e3 la base euclıdea usual.

26

Notese que ∂Gt ⊂ x1 = 0 ∪ x3 = λC0 + t. Como M ∩ x1 = 0 = ∅ por elprincipio del maximo, y M ∩ x3 = λC0 + t = ∅ por definicion de C0 (y porqueC0 < λC0 + t), deducimos que ∂Gt ∩ M = ∅, luego Q 6∈ ∂Gt ∩ M .

Vamos a probar que Q es un punto interior a Gt y a M , suponiendo por reduc-cion al absurdo que Q ∈ Gt ∩ ∂M y llegando a una contradiccion para eleccionesconvenientes de f, λ. Como f es no negativa, se tiene que Gt ⊂ x3 ≥ t. En parti-cular, x3(Q) ≥ t > 0 y por tanto Q ∈ A ⊂ K ⊂ B(0, R). Por otro lado, como wf,λ

es diferenciable en H y B(0, R) es compacto, existe una constante L = L(f,R) > 0cumpliendo

|wf(0) − wf (x)| ≤ L|x|, para todo x ∈ B(0, R) ∩ H.

Esta constante L es invariante por homotecias. Es decir, dado x ∈ B(0, λR) ∩ H,

|wf,λ(0) −wf,λ(x)| ≤ L|x|. (1.1)

En particular, (1.1) es cierto para cada x ∈ B(0, R) ∩ H, y obtenemos λ f(0) −wf,λ(x) ≤ |wf,λ(0) − wf,λ(x)| ≤ L|x| ≤ LR, de donde wf,λ(x) ≥ λf(0) − LR.Tomando f(0) > 0 (recordemos que f determina, junto con R = R(K), la constanteL > 0), basta elegir λ > L+1

f(0)R para que se de

wf,λ(x) > R, para todo x ∈ B(0, R) ∩ H.

En particular, wf,λ(x) > x3(Q)(ya que Q ∈ B(0, R)

). Por otra parte, si tomamos

f tal que max]−R,R[

f ≤ C0, entonces la sucesion wm(f,C0, λ)m>R es decreciente; luego

wn(f,C0, λ)(x) ≥ wf,λ(x). Por tanto, wn(f,C0, λ)(x) + t > wf,λ(x) > x3(Q) paratodo x ∈ B(0, R) ∩ H. En particular, no puede ser Q ∈ Gt, contradiccion. Noteseque las restricciones impuestas a f, λ no dependen de n.

De lo anterior deducimos que Q ∈ Gt ∩ M . Como t ∈ L(n, f, λ), M queda pordebajo de Gt. Aplicando el principio del maximo en el interior, deducimos que Gt yM coinciden en un entorno de Q. Por el Corolario 16, Gt coincide con la componenteconexa de M ∩ (Hλ(Dn) × R) que contiene a Q. Pero esto no es posible, ya que Gt

alcanza la altura C0 + t. Esto concluye la demostracion de la Afirmacion 1.3.

Usando la Afirmacion 1.3, podemos elegir f ∈ C∞0 (] − R,R[) no negativa y

λ ≥ 1 cumpliendo wn(f,C0, λ)(x) + t ≥ x3 para cualesquiera n > R, (x, x3) ∈M ∩Hλ(Dn) × R) y t > 0. Pasando a una parcial, obtenemos

wf,λ(x) + t ≥ x3 para cualesquiera (x, x3) ∈M y t > 0.

Tomando t 0 y w = wf,λ, queda probado el segundo apartado del Lema. 2

27

Una consecuencia del Lema 22 es que si Ω ⊂ R2 es un dominio contenido en unsemiplano H que admite una solucion no trivial de la ecuacion (1) con condicionesfrontera cero, entonces Ω no puede estar contenido en ningun sector propio de R2.Por tanto, toda semirrecta r ⊂ H que no sea paralela a la frontera de H cortanecesariamente a Ω. El siguiente teorema mejora esta propiedad si suponemos queΩ es simplemente conexo.

Teorema 1.4 Sea Ω un dominio simplemente conexo contenido en un semiplanoH y sea u ∈ C2(Ω)∩C(Ω), u 6= 0, una solucion de la ecuacion (1) tal que u|∂Ω = 0.Entonces, toda semirrecta r ⊂ H que no sea paralela a ∂H esta contenida en Ωsalvo posiblemente un compacto.

Demostracion. Veamos que podemos suponer u > 0 en todo Ω: Sea Ω una compo-nente conexa de Ω − x ∈ Ω : u(x) = 0, y supongamos que u > 0 en Ω (si u < 0,razonarıamos con −u). Como u|∂Ω = 0, entonces u|∂Ω = 0. Supongamos que existe

una componente conexa γ ⊂ ∂Ω compacta. Ω es simplemente conexo, luego existeun disco D ⊂ Ω tal que ∂D = γ. Como D es compacto y u|∂D = 0, el principiodel maximo implica u|D = 0, lo cual nos lleva a que u = 0 en Ω, imposible. Portanto, ∂Ω no tiene componentes conexas compactas. Y como Ω es un dominio plano,deducimos que Ω es simplemente conexo, y Ω esta en las mismas condiciones que Ω.Notese ademas que si probamos el Lema para Ω tambien lo tendremos para Ω. Portanto, supondremos en lo que sigue que u es positiva en Ω.

Sea r una semirrecta contenida en H que no sea paralela a ∂H. Observemos que,prolongando r en caso necesario, podemos suponer que r tiene su extremo en ∂H.Podemos por tanto elegir un sistema de coordenadas conveniente (no necesariamenteortogonal) de forma que sea H = x ∈ R2 : x1 ≥ 0 y r = x ∈ H : x2 = 0. Alo largo de toda la demostracion, sera x = (x1, x2) ∈ H en el anterior sistema decoordenadas.

Supongamos por reduccion al absurdo que (H−Ω)∩r no es compacto. Sea a > 0un valor regular de u y de u|Ω∩r, que existe por el Teorema de Sard. Consideramosuna componente conexa Ωa de x ∈ Ω : u(x) > a. Como u|∂Ω = 0, se tiene queu|∂Ωa = a. Notese que u|Ωa es una solucion no trivial de (1) con valores fronteraconstantemente a, luego Ωa no puede estar contenido en ningun sector de anguloestrictamente menor que π (Lema 22). El razonamiento que sigue es elaborado, porlo que daremos un pequeno esquema del mismo para esclarecer la demostracion delTeorema. Para esta componente Ωa encontraremos una componente frontera Γa, unpunto Qa ∈ (H−Ω)∩r y dos componentes conexas distintas Ω+

a ,Ω−a de Ω− [0, Qa]

**

(probaremos que este ultimo conjunto es no conexo) con las siguientes propiedades:

**En general, dados dos puntos P, Q, denotaremos por [P, Q] (resp. ]P, Q[, ]P, Q] o [P, Q[ ) alsegmento cerrado (resp. abierto, abierto en P y cerrado en Q o cerrado en P y abierto en Q) queune dichos puntos.

28

Γa ∩ r es compacto;

Γa ∩ [Qa,∞[r= ∅, donde [Qa,∞[r denota la semirrecta contenida en r conextremo Qa;

u|Ω+a

y u|Ω−a

son positivas y no acotadas.

Supuestas estas propiedades, construiremos dos dominios Ω(1),Ω(2) del tipo Ωa1,con a1 > a, siendo Ω(1) ⊂ Ω+

a y Ω(2) ⊂ Ω−a . El razonamiento terminara viendo que

uno de los dominios Ω(i) estara contenido en un sector propio.

Empecemos a probar las afirmaciones que aparecen en el parrafo anterior. Comou|∂Ωa = a, razonando como hemos hecho antes con Ω, deducimos que ∂Ωa no tienecomponentes conexas compactas, luego Ωa es un dominio simplemente conexo y noacotado. Ademas, r corta a ∂Ωa, ya que en caso contrario Ωa estarıa contenido enun sector propio de H, contradiciendo el Lema 22. Como a es valor regular de u|Ω∩r,deducimos que ∂Ωa ∩ r es transversal. Fijemos Q0 ∈ ∂Ωa ∩ r. Como ∂Ωa ∩ [0, Q0]es compacto, tenemos asegurada la existencia de un punto Pa ∈ ∂Ωa ∩ r verificandox1(Pa) ≤ x1(P ) para todo P ∈ ∂Ωa ∩ r. Llamemos Γa a la componente conexade ∂Ωa que contiene a Pa, que sabemos que no puede ser compacta. Pa divide aΓa en dos ramas infinitas que denotaremos por Γ+

a y Γ−a , siendo Γ+

a la contenidaen x ∈ H : x2 > 0 en un pequeno entorno de Pa (esto se tiene asegurado portransversalidad).

Figura 1.4: Pa es el punto de ∂Ωa ∩ r mas cercano al origen.

Denotaremos por ]P,Q[Γa (resp. [P,Q]Γa) al trozo abierto (resp. cerrado) de arcocontenido en Γa comprendido entre P y Q, para cualesquiera P,Q ∈ Γa; y ]P,∞[r(resp. [P,∞[r) denotara la semirrecta abierta (resp. cerrada) contenida en r conorigen P , para cada P ∈ r.

Afirmacion 1.5 I = Γ+a ∩ r es compacto (analogamente, Γ−

a ∩ r es compacto, luegoΓa ∩ r es compacto).

Demostracion de la Afirmacion 1.5. Por reduccion al absurdo, supongamos queexiste una sucesion Pnn∈N en I tal que P1 = Pa, lım

n→∞x1(Pn) = +∞ y x1(P ) <

29

Figura 1.5: P1 = Pa, y x1(P ) < x1(Pn) para cada P ∈]Pa, Pn[Γa∩r.

x1(Pn) para cada P ∈]Pa, Pn[Γa∩r (en particular, los puntos Pn estan ordenadostanto en x1 como en Γ+

a , ver Figura 1.5).

Llamamos v = u− a ∈ C2(Ωa) ∩C(Ωa) y λ = supx∈Ωa

v(x)

x1∈ R+ ∪ +∞. Es claro

que

v(x) ≤ λx1 para todo x ∈ Ωa.

Denotaremos por vn a la solucion del Problema de Dirichlet en x ∈ H : x2 > 0obtenida como lımite en k de las funciones vn,kk∈N dadas por el siguiente problemade contorno

vn,k es solucion de (1) en T n,k = x ∈ H : x2 > 0, x1 + x2 <x1(Pn)x1(P1)

kvn,k(x) = λx1 si x2 = 0 y 0 < x1 < x1(Pn)vn,k(x) = 0 en ∂T n,k − x2 = 0, 0 ≤ x1 ≤ x1(Pn).

Figura 1.6: Valores frontera de v1,k. Izquierda: caso λ < +∞. Derecha: caso λ = +∞.

Notese que para n y m fijos, los grafos Gvn,k , Gvm,k son homoteticos para k su-ficientemente grande (aquı estamos usando la unicidad del Teorema de Jenkins-Serrin). En consecuencia,Gvn , Gvm son tambien homoteticos. Ademas, 0 ≤ vn,k(x) ≤λx1 en T n,k por el principio del maximo. Tomando k → ∞, obtenemos 0 ≤ vn(x) ≤λx1 en x ∈ H : x2 > 0.

30

Para cada n ∈ N, consideremos el triangulo Tn = x ∈ H : x1 + |x2| < x1(Pn)y sea wn la unica solucion de la ecuacion (1) definida sobre Tn con valores frontera

wn(x) =

vn(x) si x1 > 0 y x2 > 0λx1 si x1 > 0 y x2 < 00 si x1 = 0.

Figura 1.7: Valores frontera de wn. Izquierda: caso λ < +∞. Derecha: caso λ = +∞.

Como los grafos Gvn son homoteticos, las condiciones frontera que definen a wn

tambien lo son. Y por tanto, los grafos Gwn son homoteticos. Pasando a una parcial (ala que denotaremos de la misma forma), la sucesion Gwnn converge uniformementesobre compactos de H× R a un grafo G∞ sobre H. Como los Gwn son homoteticosy las razones de dichas homotecias divergen a +∞, G∞ esta contenido en el planotangente comun a todos los Gwn en el origen, Π = x3 = λ′x1 para cierto λ′ ∈ R.

Veamos que 0 ≤ λ′ < λ: Como 0 ≤ wn|∂Tn ≤ λx1, el principio del maximoasegura que 0 ≤ wn ≤ λx1 en Tn. Tomando n → ∞ deducimos que 0 ≤ λ′ ≤ λ.Por otro lado, notese que wn < λx1 en Tn (ya que en caso contrario el principio delmaximo obligarıa a ser wn = λx1 en Tn, y esto conducirıa a que vn y λx1 coincidenen un punto interior de x ∈ H : x2 > 0; de nuevo por el principio del maximoy usando que vn ≤ λx1 llegarıamos a que vn = λx1 en x ∈ H : x2 > 0, encontradiccion con que vn = 0 en algunos puntos del eje x1). Si λ = λ′, entoncescontradiremos el principio del maximo en la frontera aplicado a Gwn y Π alrededordel origen. Por tanto, concluımos que 0 ≤ λ′ < λ.

El razonamiento que sigue demostrara que λ ≤ λ′, en contradiccion con la de-sigualdad que acabamos de obtener. Con esto, tendremos probada la Afirmacion1.6.

Para cada n ∈ N, denotaremos por Ωa,n a la componente conexa de Ωa− [Pn,∞[rque contiene a Pa en su frontera. Vamos a probar que v ≤ wn sobre Ωa,n∩Tn. Consid-eremos para cada n ∈ N la curva ηn = [0, Pa]∪]Pa, Pn[Γa∪[Pn,∞[r, que esta embebidaen H ya que hemos tomado la sucesion Pnn cumpliendo [Pa, Pn]Γa ∩ r ⊂ [Pa, Pn](ver Figuras 1.8 y 1.9). Como ηn es propia en H, ηn divide a H en dos componentesconexas: H+

n y H−n . Llamamos H−

n a aquella que cumple x1 = 0, x2 < 0 ⊂ ∂H−n .

Notese que H−n contiene a x ∈ H : x2 < 0 salvo un compacto y que H−

n ∩x2 > 0es relativamente compacto, con ∂(H−

n ∩ x2 > 0) ⊂]Pa, Pn[Γa∪[Pa, Pn].

31

Figura 1.8: Aunque Ωa es no acotado, puede que Ωa,n sı sea acotado.

Figura 1.9: En general, Ωa,n ∩ x2 > 0 ⊂ H−n ∩ x2 > 0, inclusion propia.

Como Ωa,n ∩ ηn = ∅, entonces o bien Ωa,n ⊂ H+n o bien Ωa,n ⊂ H−

n . Veamos queΩa,n ⊂ H−

n : Sea U un pequeno entorno de Pa en H cumpliendo Γ−a ∩ U ⊂ x2 < 0

y Γ+a ∩ U ⊂ x2 > 0. Ası, ηn ∩ U ⊂ x2 ≥ 0 y H+

n ∩ U ⊂ x2 > 0. PeroΩa,n∩U∩x2 < 0 6= ∅, ya que Pa ∈ ∂Ωa,n∩r y dicha interseccion es transversal. Portanto, Ωa,n∩U 6⊂ H+

n , y Ωa,n ⊂ H−n . En particular, el conjunto Ω+

a,n = Ωa,n∩x2 > 0esta contenido en H−

n ∩ x2 > 0, luego Ω+a,n es relativamente compacto.

Escribimos ∂Ω+a,n = An∪Bn, con An ⊂ [Pa, Pn] y Bn ⊂ Γ+

a ∩x2 > 0. Sobre An,es vn = λx1 ≥ v; y sobre Bn, v = 0 ≤ vn. Concluımos por el principio del maximo(Ω+

a,n es compacto) que v ≤ vn en Ω+a,n. Para probar que v ≤ wn en Ωa,n ∩ Tn, basta

ver que v ≤ wn en ∂(Ωa,n ∩ Tn), gracias de nuevo al principio del maximo. Noteseque ∂(Ωa,n ∩ Tn) ⊂ (∂Ωa,n ∩ Tn) ∪ (Ωa,n ∩ ∂Tn).

Si x ∈ ∂Ωa,n ∩ Tn, es v(x) = 0 ≤ wn(x).

32

Si x ∈ Ωa,n ∩ ∂Tn ∩ x2 > 0, entonces v(x) ≤ vn(x) = wn(x) (aquı usamosque v ≤ vn en Ω+

a,n).

Si x ∈ Ωa,n ∩ ∂Tn ∩ x2 < 0, entonces v(x) ≤ λx1 = wn(x).

De lo anterior, deducimos que

v ≤ wn en Ωa,n ∩ Tn. (1.2)

Tomando n→ ∞ en (1.2), se tendra que v ≤ λ′x1 sobre Ωa. Por definicion de λ,esto implica que λ ≤ λ′, contradiccion. Con esto queda probada la Afirmacion 1.5.

Figura 1.10: Ωa,n ∩ Tn es el trozo coloreado en gris oscuro.

Afirmacion 1.6 Γ+a ⊂ x2 > 0 salvo un compacto (analogamente, Γ−

a ⊂ x2 < 0salvo un compacto).

Demostracion de la Afirmacion 1.6. Como la curva η = [0, Pa] ∪ Γ+a es embebida y

propia, divide a H en dos componentes conexas: H+ y H−. Llamamos H− a aquellacumpliendo x1 = 0, x2 < 0 ⊂ H−. Como Ωa ∩ η = ∅, Ωa estara contenido en H+

o en H−. Considerando un entorno de Pa y, razonando como en la demostracion dela Afirmacion 1.5, llegamos a que Ωa ⊂ H−.

Supongamos por reduccion al absurdo que Γ+a ∩x2 ≤ 0 no es compacto. Por la

Afirmacion 1.5, Γ+a ∩x2 > 0 tendrıa que ser compacto, luego se alcanza el maximo

h > 0 de x2 sobre Γ+a ∩ x2 > 0. Y por tanto, Ωa estarıa contenido en el sector

x1 > 0, x2 < h de angulo menor que π, lo cual no es posible por el Lema 22. Estacontradiccion demuestra la Afirmacion 1.6.

Por la Afirmacion 1.6, tenemos que Γ+a ⊂ x2 > 0 (resp. Γ−

a ⊂ x2 < 0)salvo un compacto. Llamaremos Γ++

a (resp. Γ−−a ) a la rama infinita maximal de Γ+

a

33

(resp. Γ−a ) tal que Γ++

a ⊂ x2 > 0 (resp. Γ−−a ⊂ x2 < 0). Sabemos que Γa ∩ r es

compacto por la Afirmacion 1.5, luego podemos tomar un punto Qa ∈ r verificandoΓa ∩ [Qa,∞[r= ∅. Como (H − Ω) ∩ r se suponıa no compacto, y cualquier Q′

a ∈[Qa,∞[r sigue cumpliendo Γa ∩ [Q′

a,∞[r= ∅, no perdemos generalidad suponiendoque Qa 6∈ Ω (ver Figura 1.11).

Afirmacion 1.7 Toda curva γ ⊂ Ω que conecte Γ++a con Γ−−

a corta necesariamentea [0, Qa].

Demostracion de la Afirmacion 1.7. La clave de la demostracion estara en el hechode que Ω es simplemente conexo. Tomemos una curva γ ⊂ Ω que conecte Γ++

a conΓ−−

a . En particular, γ tiene puntos en x ∈ H : x2 > 0 y en x ∈ H : x2 < 0,luego γ ∩ r 6= ∅. Supongamos que γ ∩ r ∩ Γa 6= ∅. Como Γa ∩ [Qa,∞[r= ∅, se tieneΓa∩r ⊂ [0, Qa], luego ∅ 6= γ∩r∩Γa ⊂ γ∩ [0, Qa], y se tiene la tesis de la Afirmacion1.7 en este caso.

Por tanto, podemos suponer que γ∩r∩Γa = ∅. Tampoco resta generalidad asumirque γ es diferenciable y que γ ∩ r es transversal. γ podrıa no ser embebida, peroes claro que quitandole a γ una cantidad finita de subarcos abiertos, conseguiremosun arco diferenciable a trozos γ ⊂ γ uniendo los mismos extremos P+

a ∈ Γ++a y

P−a ∈ Γ−−

a que γ, tal que γ no tenga autointersecciones.Tambien es claro que γ corta a r, y que podemos suponer γ diferenciable en cada

punto de γ ∩ r, siendo dicha interseccion transversal. Notese que el arco ]P+a , P

−a [Γa

podrıa cortar a γ. Si Q ∈]P+a , P

−a [Γa∩γ, entonces necesariamente Q 6∈ r (porque

estamos suponiendo γ ∩ r ∩ Γa = ∅), luego o bien Q ∈ x ∈ H : x2 > 0 o bienQ ∈ x ∈ H : x2 < 0. Si se da lo primero sustituiremos P+

a por Q, mientras quesi se da lo segundo sustituiremos P−

a por Q. Reiterando este proceso una cantidadfinita de veces, encontraremos un arco diferenciable a trozos γ uniendo puntos P+ ∈Γa ∩ x2 > 0 y P− ∈ Γa ∩ x2 < 0, tal que c = γ∪]P+, P−[Γa es una curva deJordan contenida en Ω. Como Ω es simplemente conexo, c es el borde de un discocontenido en Ω. Ademas, por construccion, c ∩ r 6= ∅ es tranversal. Como Qa 6∈ Ω,la semirrecta [Qa,∞[r corta a c en una cantidad finita par de puntos. Como γ ∩ rconsiste en una cantidad impar de puntos (porque x2(P

+) > 0, x2(P−) < 0 y γ ∩ r

es transversal), concluımos que γ∩ [0, Qa] consiste en una cantidad impar de puntos.En particular, γ corta a [0, Qa], lo que termina la demostracion de la Afirmacion1.7.

De la Afirmacion 1.7 deducimos que Ω− [0, Qa] no es conexo, y Γ++a y Γ−−

a estancontenidas en componentes conexas distintas, Ω+

a y Ω−a (resp.), de Ω − [0, Qa].

Veamos que u no esta acotada sobre Ω+a : Por reduccion al absurdo, si u|Ω+

afuera

acotada, entonces el Lema 1.1 (notese que u > 0 en Ω+a ) implicarıa u(x) → 0 cuando

|x| → +∞, con x ∈ Ω+a . Pero esto es imposible porque u|Γ++

a= a > 0. Analogamente,

u no esta acotada sobre Ω−a .

34

Figura 1.11: Ω+a es la parte coloreada en gris oscuro, y Ω−

a en gris claro.

Observemos que todo lo anterior es valido para cualquier valor regular a > 0de u y u|Ω∩r. Fijado un valor regular a0 de u y de u|Ω∩r, a0 > 0, obtenemos Qa0 ∈(H − Ω) ∩ r verificando Γa0 ∩ [Qa0,∞[r= ∅. Definimos

M0 = maxu(x) : x ∈ Ω ∩ [0, Qa0],

y sea a1 un valor regular de u y u|Ω∩r tal que a1 > maxa0,M0. Como u noesta acotada (superiormente) sobre Ω+

a0y Ω−

a0, podemos considerar componentes

conexas Ω(1) y Ω(2) de x ∈ Ω : u(x) > a1 tales que Ω(1) ⊂ Ω+a0

y Ω(2) ⊂ Ω−a0

.Sabemos que Ω(1) y Ω(2) son dominios simplemente conexos y no acotados. Usandola Afirmacion 1.5 con Ω(i), i = 1, 2, en lugar de Ωa deducimos que Γ(i) ∩ r escompacto, donde Γ(i) es la componente conexa de ∂Ω(i) que contiene al puntoP (i) ∈ ∂Ω(i) ∩ r verificando x1

(P (i)

)≤ x1(P ) para todo P ∈ ∂Ω(i) ∩ r.

Sean Γ(i)+, Γ(i)− las dos ramas infinitas en que P (i) divide a Γ(i), siendo Γ(i)+

aquella contenida en x ∈ H : x2 > 0 en un pequeno entorno de P (i). Como (Γ(1)∪Γ(2)) ∩ r es compacto, podemos tomar un punto R ∈ (Γ(1) ∪ Γ(2)) ∩ r verificandox1(R) ≥ x1(P ) para todo P ∈ (Γ(1)∪Γ(2))∩r. Sin perdida de generalidad, podemossuponer que R ∈ Γ(1).

Sea α una curva en Ω+a0

uniendo R con un punto R+ ∈ Γ++a0

(notese que αexiste por conexion de Ω+

a0). Ademas, se puede tomar α ⊂ Ω+

a0∩ x2 > 0 de

forma que R+ sea el unico punto de corte de α con Γa0. Consideremos la curva η =[0, Pa0]∪]Pa0, R

+[Γa0∪α ∪ [R,∞[r. η es una curva propiamente embebida y coincide

con la semirrecta r salvo un compacto.Veamos que η ∩ Γ(2) = ∅:

[0, Pa0]∩Γ(2) = ∅, ya que Pa0 es el primer punto de r (medido desde el origen)donde u = a0, y u|Γ(2) = a1 > a0.

]Pa0, R+[Γa0

∩Γ(2) = ∅, ya que u = a0 sobre ]Pa0, R+[Γa0

, mientras que u = a1

sobre Γ(2).

35

Figura 1.12: Ω(1) ∩ [0, Q0] = ∅, porque a1 > M0; y Ω(1) ⊂ Ωa0 porque a1 > a0.

α ∩ Γ(2) = ∅, porque α ⊂ Ω+a0

y Γ(2) ⊂ Ω−a0

.

[R,∞[r∩Γ(2) = ∅, por definicion de R y porque estamos suponiendo R ∈ Γ(1).

Como η∩Γ(2) = ∅ y η coincide con r salvo un compacto, podemos trasladar paralela-mente r en el sentido positivo de x2 obteniendo una semirrecta r′ tal que r′∩Γ(2) = ∅.Ası, Ω(2) se queda en un sector angular de angulo menor que π, que no es posible.Con esto queda probado el Teorema 1.4. 2

El siguiente Teorema nos da condiciones en las que dos grafos han de ser asintoti-cos. Nos permitira demostrar en el capıtulo siguiente que un final E ⊂ H en lascondiciones del Teorema Principal o bien esta contenido en P0 o bien tiene tercerafuncion coordenada propia (en particular, no acotada).

Teorema 1.8 (Meeks-Rosenberg [14]) Sea Ω ⊂ R2 un dominio con frontera nocompacta, y sean u, v dos soluciones de (1) en Ω. Consideremos D = u− v y, paracada r > 0, M(r) = sup|D(x)| : x ∈ Ω, |x| = r. Supongamos que D|∂Ω tienesoporte compacto y que |∇u| y |∇v| estan acotados.

1. Si M(r) es una funcion acotada, entonces M(r) → 0 cuando r → +∞.

2. Si M(r) es no acotada, entonces lım infr→∞

M(r)

(ln r)n> 0 para todo n ∈ N.

Demostracion. Empezaremos introduciendo algo de notacion. Para cada r > 0, seanΩr = x ∈ Ω : |x| < r, Cr = x ∈ Ω : |x| = r. Como u|∂Ω y v|∂Ω coinciden salvoen un compacto, podemos tomar r0 > 0 tal que u = v en ∂Ω ∩ |x| ≥ r0.

36

Consideremos la 1-forma sobre Ω

ω =

(ux1√

1 + |∇u|2− vx1√

1 + |∇v|2

)dx2 −

(ux2√

1 + |∇u|2− vx2√

1 + |∇v|2

)dx1.

ω es cerrada porque u, v son soluciones de (1).

Afirmacion 1.9 Para todo r > 0,∫

Ωr

|ω|2dA ≤∫

∂Ωr

Dω

(aquı dA denota el elemento de area en R2).

Demostracion de la Afirmacion 1.9. Como ω es cerrada, el Teorema de Stokes ase-gura que∫

∂Ωr

Dω =

∫

Ωr

d(Dω)dA =

∫

Ωr

⟨√1 + |∇u|2N1 −

√1 + |∇v|2N2 , N1 −N2

⟩dA,

donde N1 = 1√1+|∇u|2

(−ux1,−ux2, 1) es el normal al grafo Gu de u, y N2 se define

analogamente para el grafo Gv de v. Teniendo en cuenta que N1, N2 son unitarios,se tiene ⟨√

1 + |∇u|2N1 −√

1 + |∇v|2N2 , N1 −N2

⟩

=(√

1 + |∇u|2 +√

1 + |∇v|2) (

1 − 〈N1, N2〉)

=

√1 + |∇u|2 +

√1 + |∇v|2

2|N1 −N2|2 ≥ |N1 −N2|2.

Por otro lado, notemos que |N1−N2|2 ≥ |π(N1−N2)|2, donde π(x1, x2, x3) = (x1, x2).Notese que

|π(N1 −N2)|2 =

(ux1√

1 + |∇u|2− vx1√

1 + |∇v|2

)2

+

(ux2√

1 + |∇u|2− vx2√

1 + |∇v|2

)2

= |ω|2.

Por tanto, ∫

Ωr

|ω|2dA ≤∫

Ωr

|N1 −N2|2dA ≤∫

∂Ωr

Dω,

y la Afirmacion 1.9 esta probada.

Para estimar la funcion M(r), nos sera util introducir otras dos funciones auxi-liares. Definimos para cada r > 0

37

µ(r) =

∫

Ωr

|ω|2dA− c0 y η(r) =

∫

Cr

|ω|ds ,

donde c0 =∫

∂ΩDω =

∫∂Ω∩|x|<r0

Dω, y s es el parametro arco de Cr.

Afirmacion 1.10 Sean r, r1 con r0 ≤ r1 ≤ r. Entonces se tiene

η(r)2 ≤ 2πr

∫

Cr

|ω|2ds, (1.3)

µ(r1) +

∫

Ωr−Ωr1

|ω|2dA ≤∫

Cr

Dω, (1.4)

µ(r1) +

∫ r

r1

η(τ )2

2πτdτ ≤M(r)η(r). (1.5)

Demostracion de la Afirmacion 1.10. (1.3) es consecuencia directa de la desigualdadde Cauchy-Schwarz. Probemos (1.4):

µ(r1) +

∫

Ωr−Ωr1

|ω|2dA =

∫

Ωr

|ω|2dA− c0Afirm. 1.9

≤∫

∂Ωr

Dω − c0 =

∫

Cr

Dω.

Por ultimo, (1.5) se debe a que

µ(r1) +

∫ r

r1

η(τ )2

2πτdτ

(1.3)

≤ µ(r1) +

∫ r

r1

(∫

Cτ

|ω|2ds)dτ = µ(r1) +

∫

Ωr−Ωr1

|ω|2dA

(1.4)

≤∫

Cr

Dω ≤ supCr

|D|∫

Cr

|ω|ds = M(r)η(r),

y la Afirmacion 1.10 esta probada.

Afirmacion 1.11 Existe d0 > 0 verificando

d0 |∇D| ≤ |ω| en Ω.

Demostracion de la Afirmacion 1.11. Como |∇u| y |∇v| estan acotados, los nor-males N1, N2 a Gu, Gv omiten un entorno del ecuador horizontal de S2. Notese quela diferencia de dos puntos del hemisferio superior abierto de S2 se hace arbitrari-amente proxima a vertical solo cuando ambos puntos convergen a un mismo lımitedel ecuador horizontal. Como esto no es posible para puntos de N1(Ω), N2(Ω), con-cluımos que en los puntos de Ω donde N1 6= N2 se tiene que N1 −N2 toma valoresen un conjunto que omite un entorno de la vertical (i.e., N1−N2 toma valores fuera

38

de un cono √x2

1 + x22 < λ|x3|, para cierto λ > 0). En particular, existe a ∈]0, 1]

tal que|π(N1 −N2)| ≥ a |N1 −N2| en Ω.

Y como |π(N1 −N2)|2 = |ω|2, entonces se tiene que

|ω| ≥ a |N1 −N2| en Ω.

Si probamos que existe L > 0 tal que L |N1 −N2| ≥ |∇D| en Ω, habremos acabadola demostracion de la Afirmacion 1.11 tomando d0 = a

L.

Consideremos la aplicacion I : S2 ∩ x3 > 0 → P1 dada por I(x1, x2, x3) =(x1

x3, x2

x3, 1). Es claro que I es un homeomorfismo de S2 ∩ x3 > 0 en P1, cuyo unico

punto fijo es (0, 0, 1). Tambien es facil probar que dado ρ ∈]0, 1], I es lipschitzianasobre Kρ = S2∩x3 ≥ ρ. Como N1(Ω), N2(Ω) ⊂ Kρ para cierto ρ ∈]0, 1], concluımosque existe L > 0 cumpliendo |I(N1) − I(N2)| ≤ L|N1 − N2| en Ω. Por ultimo,un calculo directo muestra que |I(N1) − I(N2)| = |∇D|, de donde se concluye laAfirmacion 1.11.

Veamos que podemos reducir el Teorema 1.8 al caso en que M(r) > 0 para todor ∈ [r0,+∞[: En efecto, supongamos queM(r1) = 0 para algun r1 ≥ r0. SiM(r) > 0en ]r1,+∞[, bastarıa tomar un nuevo r0 > r1. Si por el contrario existiese r2 > r1tal que M(r2) = 0, entonces serıa 0 = D = u− v en ∂W , siendo W = x ∈ Ω : r1 ≤|x| ≤ r2. Por el principio del maximo (Teorema 14), deducirıamos u = v en W ypor tanto u = v en Ω, en cuyo caso el Teorema serıa evidente. Por tanto, de ahoraen adelante supondremos M(r) > 0 para todo r ≥ r0.

Afirmacion 1.12 Dado r ≥ r0, se tiene

M(r) ≤∫

Cr

|∇D|ds.

Demostracion de la Afirmacion 1.12. Fijemos r ≥ r0. Como Cr es compacto, existeP ∈ Cr tal que |D(P )| = M(r) > 0 (notese que no puede ser P ∈ ∂Cr). Con-sideramos la componente conexa Γ de Cr que contiene a P y sea γ : [0, l] → Γuna parametrizacion por el arco de Γ. Ası, P = γ(l0) para algun l0 ∈]0, l[. ComoD|∂Cr = 0, se tiene

D(P ) =

∫ l0

0

(D γ)′(t) dt ≤∫ l

0

|dDγ(t)(γ′(t))| dt =

∫

Γ

|dD|ds ≤∫

Cr

|∇D|ds.

Si D(P ) > 0, obtenemos directamente la desigualdad de la Afirmacion 1.12. Si porel contrario D(P ) < 0, bastarıa cambiar D por −D en el razonamiento anterior, conlo que la Afirmacion 1.12 esta demostrada.

39

Afirmacion 1.13 Sean r ≥ r0 y d0 cumpliendo la Afirmacion 1.11. Entonces,

(i) d0M(r) ≤ η(r),

(ii) µ(r) + c0 ≥d2

0

2π

∫ r

0

M(τ )2

τdτ .

Demostracion de la Afirmacion 1.13.

d0 M(r)Afirm. 1.12

≤ d0

∫

Cr

|∇D|dsAfirm. 1.11

≤∫

Cr

|ω|ds = η(r),

que es (i). En cuanto a (ii),

µ(r) + c0 =

∫

Ωr

|ω|2dA =

∫ r

0

(∫

Cτ

|ω|2ds)dτ

(1.3)

≥∫ r

0

η(τ )2

2πτdτ

(i)

≥ d20

2π

∫ r

0

M(r)2

τdτ.

Por otro lado, el Teorema 14 implica que |D| = |u − v| no puede tener ningunmaximo local en Ω − Ωr0, luego M(r) tampoco puede tener un maximo local en]r0,+∞[. Como consecuencia, si M(r) es no decreciente en algun intervalo [r1, r2] ⊂[r0,+∞[ entonces seguira siendo no decreciente en [r1,+∞[. En particular, podemostomar r0 suficientemente grande de forma que M(r) sea monotona en [r0,+∞[.

Afirmacion 1.14 Sean M+, r1, r2 > 0 tales que r0 ≤ r1 < r2, µ(r1) > 0, y M(r) ≤M+ para todo r ∈ [r1, r2]. Entonces,

r2 < r1 exp4πM2

+

µ(r1).

Demostracion de la Afirmacion 1.14. Llamamos r = r1 exp4πM2

+

µ(r1)y supongamos

por reduccion al absurdo que r ≤ r2.Consideramos la funcion ξ : [r1, r[→ R dada por

ξ(r) =

(2M+

µ(r1)− 1

2πM+

lnr

r1

)−1

.

Ası, ξ(r1) =µ(r1)

2M+> 0 y ξ′(r) =

ξ(r)2

2πM+r. En particular, ξ es estrictamente creciente

en [r1, r[. Ademas, es claro que ξ(r) → +∞ cuando r → r−.Consideremos el conjunto

A =r ∈ [r1, r[: ξ < η en [r1, r]

.

40

De (1.5) se deduce que µ(r1) ≤ M(r1)η(r1). Y por tanto, ξ(r1) = 12M+

µ(r1) ≤1

2M+M(r1) η(r1) ≤ 1

2η(r1) < η(r1). Esto prueba que que r1 ∈ A. Claramente, A

es abierto en [r1, r2]. Tambien es claro que A es un intervalo con extremo inferiorr1. Veamos que A es cerrado en [r1, r[: Tomemos una sucesion rnn∈N en A, conrn r∞ ∈ [r1, r[. Como rn ∈ A para todo n ∈ N, se cumple ξ < η en [r1, r∞[.Queda entonces ver que ξ(r∞) < η(r∞).

Fijado n ∈ N, se tiene

M+ ξ(rn) = M+

(ξ(r1) +

∫ rn

r1

ξ′(r)dr

)=µ(r1)

2+

∫ rn

r1

ξ(r)2

2πrdr

≤ µ(r1)

2+

∫ rn

r1

η(r)2

2πrdr ≤M(rn) η(rn) −

µ(r1)

2,

donde hemos usado (1.5) en la ultima desigualdad. Como M+ > 0 y M(rn) ≤M+,tendremos

ξ(rn) ≤ M(rn)

M+η(rn) − µ(r1)

2M+≤ η(rn) −

µ(r1)

2M+.

Tomando n→ ∞, obtenemos ξ(r∞) ≤ η(r∞) − µ(r1)

2M+

< η(r∞). Luego r∞ ∈ A, y A

es cerrado en [r1, r[. Por conexion obtenemos que A = [r1, r[, luego ξ < η en [r1, r[.Esta desigualdad contradice que lım

r→r−ξ(r) = +∞ y que η esta definida en r. Por

tanto, r2 < r, y la Afirmacion 1.14 esta probada.

A continuacion, probaremos el primer apartado del Teorema 1.8: Supongamosque M(r) es acotada pero M(r) 6→ 0 cuando r → +∞. Como M(r) es monotona ypositiva en [r0,+∞[ yM(r) 6→ 0 cuando r → +∞, existeM0 > 0 tal queM(r) ≥M0

en [r0,+∞[. Por la Afirmacion 1.13, tenemos

µ(r) + c0 ≥d2

0

2π

∫ r

0

M(τ )2

τdτ ≥ d2

0

2π

∫ r

r0

M20

τdτ =

d20M

20

2πlnr

r0para cada r ≥ r0.

En particular, tomando r1 > r0 suficientemente grande podemos suponer µ(r) > 0 en[r1,+∞[. Por otro lado, estamos suponiendo que existe M+ > 0 tal que M(r) ≤M+

en [r1,+∞[. Como µ(r1) > 0, podemos aplicar la Afirmacion 1.14 concluyendo que

r < r1 exp4πM2

+

µ(r1)para todo r > r1, lo cual es absurdo. Y ası, el apartado 1 del

Teorema 1.8 esta probado.

Para terminar, supongamos queM(r) es no acotada. ComoM(r) se sabıa monotonaen [r0,+∞[, deducimos que M(r) +∞ cuando r → +∞. Ası, de nuevo existeM0 > 0 tal que M(r) ≥ M0 en [r0,+∞[. Razonando como antes llegaremos a que

41

tomando r1 > r0 suficientemente grande, podemos suponer µ(r) > 0 siempre quer ∈ [r1,+∞[.

Sea r2 > r1. Como M(r) es monotona y no decreciente en [r0,+∞[, se tiene queM(r) ≤M(r2) para todo r ∈ [r1, r2]. Tomando M+ = M(r2) en la Afirmacion 1.14,

deducimos que r2 < r1 exp 4πM(r2)2

µ(r1). En particular, obtenemos

M(r2) >

(µ(r1)

4πlnr2r1

)1/2

para todo r2 > r1. (1.6)

La ecuacion (1.6) nos dice que si acotamos µ(r1) por abajo, tendremos una esti-macion inferior del crecimiento de M(r2) en terminos de ln r2

r1, siempre que r2 > r1.

Vamos entonces a estimar inferiormente µ(r) para r ≥ r1:

µ(r) + c0Afirm. 1.13

≥ d20

2π

∫ r

0

M(τ )2

τdτ ≥ d2

0

2π

∫ r

r1

M(τ )2

τdτ

(1.6)

≥ d20µ(r1)

8π2

∫ r

r1

ln

(τ

r1

)dτ

τ=d2

0µ(r1)

16π2

[(lnτ

r1

)2]r

r1

=d2

0µ(r1)

16π2

(lnr

r1

)2

.

Ası,

µ(r) + c0 ≥d2

0µ(r1)

16π2

(ln

r

r1

)2

para todo r ≥ r1. (1.7)

Para usar esta estimacion inferior de µ(r) en (1.6) y mejorar la estimacion de M(r2),fijaremos r1 < r < r2. Sustituyendo r1 por

√r2r1 en (1.6) obtenemos

M(r2) >

(µ(√r2r1)

4πln

√r2r1

)1/2

=

[(µ(√r2r1) + c0

4π− c0

4π

)ln

√r2r1

]1/2

.

Usando ahora (1.7) con r =√r2r1, lo anterior se acota inferiormente por

[1

4π

d20µ(r1)

16π2

(ln

√r2r1

)2

− c04π

]ln

√r2r1

1/2

=1

2√π

[d2

0µ(r1)

16π2

(ln

√r2r1

)3

− c0 ln

√r2r1

]1/2

.

Por tanto,

M(r2) >1

2√π

[d2

0µ(r1)

16π2

(ln

√r2r1

)3

− c0 ln

√r2r1

]1/2

para todo r2 > r1. (1.8)

Luego M(r2) tiene un crecimiento, cuando r2 → +∞, al menos como el de (ln r2)3/2

(salvo constantes). Esta cota inferior puede mejorarse reiterando el proceso anterior,esto es, mejorando la cota de µ(r)+c0

(como hemos hecho en (1.7), pero integrando

la nueva cota de M(τ)2

τa partir de (1.8)

), y luego sustituyendo esta cota mejorada de

µ(r) en (1.8). De esta forma puede probarse que M(r2) admite como cota inferior acualquier potencia de ln r2. Esto termina la demostracion del Teorema. 2

42

Capıtulo 2

La tercera funcion coordenada deE es propia

En este capıtulo probaremos que un final minimal E en las condiciones delTeorema fundamental o bien esta contenido en el plano horizontal P0 (recordemosque Pt = x3 = t para cada t ≥ 0), o bien su tercera funcion coordenada es unafuncion armonica propia. Como consecuencia, veremos que si E no esta contenido enP0, entonces E es conformemente un disco punteado. Primero, veamos el siguiente

Lema 2.1 (Meeks-Rosenberg [14]) Sea Σ ⊂ H = x ∈ R3/x3 ≥ 0 una superfi-cie minimal propiamente inmersa tal que ∂Σ 6= ∅ (∂Σ no necesariamente compacta).Si x3(∂Σ) ≥ δ, entonces x3(Σ) ≥ δ.

Demostracion. Supongamos por reduccion al absurdo que ε = infx3(p) : p ∈ Σ <δ. Salvo traslacion, podemos suponer que ε = 0 (por no complicar la notacion,seguimos llamando δ a lo que serıa δ − ε).

Consideremos el disco cerrado D ⊂ P0 de radio uno y centrado en el origen.Como Σ ∩ P0 = ∅ (por el principio del maximo) y D es compacto, se tiene que

d = dist(D,Σ) > 0. Llamamos d = mın δ2, d

2 > 0, y D al disco obtenido al trasladar

verticalmente D hasta altura d.Para cada t ≥ 1, denotamos por St a la circunferencia en P0 de radio t y centro el

origen. St y ∂D son circunferencias horizontales coaxiales. Por un trabajo de Schoen[25], sabemos que todas las posibles superficies minimales inmersas con frontera

St ∪ ∂D han de ser necesariamente de revolucion, y por tanto trozos de catenoides.Notese que hay como mucho dos catenoides con frontera St ∪ ∂D. Una de ellas esestable (la solucion del Problema de Plateau con borde St ∪ ∂D). Para cada t ≥ 1,

llamamos Ct al trozo de catenoide estable tal que ∂Ct = St ∪ ∂D.C1 esta contenida en el cilindro macizo vertical finito D × [0, d], luego C1 y Σ

son disjuntas. Ademas, Ct depende continuamente de t y D ∪ Ct converge (sobrecompactos de R3) a Pd cuando t → ∞. Como hay puntos de Σ por debajo de Pd,existira una primera catenoide Ct que corta a Σ; esto es, existe t = mınt > 1 :

43

Figura 2.1: Ct es el trozo de catenoide estable bordeado por St ∪ ∂D.

Ct ∩Σ 6= ∅. Como Ct ∩ ∂Σ = ∅ (ya que d < δ) y ∂Ct ∩Σ = ∅, entonces Ct y Σ hande cortarse en un punto interior a ambas. Pero esto no es posible por el principiodel maximo. 2

Teorema 2.2 ([14]) Sea E ∼= S1× [0,+∞[ un final minimal propiamente embebidoen H con ∂E ⊂ P0. Entonces, o bien E ⊂ P0, o bien la tercera funcion coordenadadefinida sobre E es una funcion armonica propia.

Demostracion. Supongamos que E 6⊂ P0. Notese que, asumido cierto el Teorema,tendra que ser x3(E) no acotado. Por tanto, veamos en un primer paso que x3|E noesta acotada superiormente. En caso contrario, existirıa t0 > 0 verificando x3(P ) < t0para todo P ∈ E. Consideramos la funcion y3 = t0 − x3. Ası, E ⊂ y3 ≥ 0 ey3(∂E) = t0−x3(∂E) = t0. El Lema 2.1 implicarıa E ⊂ y3 ≥ t0, luego E ⊂ x3 ≤0, y E ⊂ P0, contradiccion.

Definimos

A = t ≥ 0 : (x3|E)−1[0, t] es compacto y L = sup A.

Notese que 0 ∈ A, ya que el principio del maximo asegura que (x3|E)−1(0) = ∂E, y∂E es compacto. Ası, el supremo anterior tiene sentido. El Teorema estara probadouna vez demostrado que L = ∞. Para ello, supongamos que L es finito, y lleguemosa una contradiccion.

Afirmacion 2.3 (x3|E)−1[0, L] y (x3|E)−1(L) son no compactos.

Cuando no de lugar a confusion, escribiremos x3 = x3|E (por no arrastrar notacion).

Demostracion de la Afirmacion 2.3. Como x−13 (L) es un cerrado de x−1

3 [0, L], bas-ta probar que x−1

3 (L) no es compacto. Por reduccion al absurdo, supongamos quex−1

3 (L) es compacto. Consideremos la superficie minimal Σ obtenida al quitarle a

44

x−13 [L,∞[ un pequeno entorno relativamente compacto U de x−1

3 (L). Notese que ∂Σes compacto. Podemos tomar x3(∂Σ) = L+ ε para cierto ε > 0. Como x−1

3 [L,L+ ε2]

no es compacto (por definicion de L) y x−13 [L,L+ ε

2]−Σ ⊂ U es compacto, podemos

asegurar que x−13 [L,L + ε

2] ∩ Σ 6= ∅. Pero esto contradice el Lema 2.1, y demuestra

la Afirmacion 2.3.

Figura 2.2: U es un pequeno entorno relativamente compacto de x−13 (L) en Σ

(supuesto x−13 (L) compacto).

Sea a0 > L un valor regular de x3|E (fijo a lo largo de toda la demostracion).El argumento para encontrar la contradiccion deseada consiste en construir unasucesion de grafos minimales contenidos en 0 < x3 ≤ a0 que convergera a un grafominimalG con gradiente acotado definido sobre un dominio simplemente conexo y noacotado de P0. ∂G estara contenido (salvo un compacto) en Pa0. Por el Teorema 1.8,G tendra que ser asintotico a Pa0. Pero veremos que esto no es posible, puesto queG contendra un arco propio y divergente a altura menor o igual que L.

Para cada valor regular a > a0 de x3|E, consideremos

Ea = (x3|E)−1[0, a].

Notese que, por el Teorema de Sard, podemos tomar a > a0 tan grande comoqueramos. A continuacion, haremos una descripcion geometrica de Ea.

Afirmacion 2.4 Ea es conexo y, salvo ∂E que es compacta y esta a altura cero,todas las componentes conexas de ∂Ea son no compactas y estan contenidas en Pa.Ademas, ∂Ea − ∂E 6= ∅.

Demostracion de la Afirmacion 2.4. Por el principio del maximo, (E−∂E)∩P0 = ∅,luego ∂Ea ⊂ ∂E ∪ Pa. Ademas, como x3 no esta acotada superiormente en E,deducimos que E ∩ Pa 6= ∅, de donde ∂Ea − ∂E 6= ∅.

Veamos que Ea es conexo. Sabemos que una componente conexa de Ea contienea ∂E. Si Ea tuviese alguna componente conexa Σ disjunta de ∂E, entonces serıa∂Σ ⊂ Pa. Por el Lema 2.1 se tendrıa Σ ⊂ x3 ≥ a, luego Σ ⊂ Pa. Finalmente, estoimplicarıa que E ⊂ Pa, contradiccion con que ∂E ⊂ P0. Por tanto, Ea es conexo.

45

Ya solo resta probar que las componentes conexas de ∂Ea∩Pa son no compactas.Sea γ ⊂ ∂Ea una componente conexa, γ 6= ∂E. Supongamos por reduccion alabsurdo que γ es compacta. Entonces, γ es topologicamente S1, y separa al anillo Een dos componentes conexas: una compacta (a la que llamaremos F ) y la otra nocompacta.

Figura 2.3: Posibles posiciones de γ, dependiendo de si rodea o no el final.

De nuevo por el principio del maximo, se tiene que ∂E ⊂ ∂F (por tanto, eldibujo de la izquierda de la Figura 2.3 no es posible). Por ser Ea conexo, deducimosque Ea = F , luego Ea es compacto. Pero esto es imposible, ya que x−1

3 [0, L] ⊂ Ea

y x−13 [0, L] no es compacto (Afirmacion 2.3). Con esto, queda probada la Afirma-

cion 2.4.

Consideremos un arco α embebido en Ea que conecte ∂E con una de las com-ponentes conexas de x−1

3 (a). Sean U(α) un entorno tubular abierto de α en Ea y∆ = Ea − U(α). Notese que ∆ es simplemente conexo.

Figura 2.4: Izquierda: Dibujo en R3 de ∆. Derecha: Dibujo topologico de ∆.

Para cada t > 0, denotaremos por C(t) al cilindro macizo y cerrado de radiot alrededor del eje x3. Sea tnn∈N una sucesion en R+ estrictamente creciente di-

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vergiendo a +∞ y tal que ∂C(tn) sea transverso a E para todo n ∈ N. Avanzando su-ficientemente en el ındice n, podemos suponer que t1 cumple ∂∆∩x3 < a ⊂ C(t1)(t1 depende de a). Para cada n ∈ N, denotaremos por ∆(tn) a la componente conexade ∆ ∩ C(tn) que contiene a ∂E ∩ ∆.

Figura 2.5: Izquierda: Dibujo en R3 de ∆(tn) (∂∆(tn) ⊂ P0 ∪ ∂C(tn) ∪ Pa).Derecha: Dibujo topologico, con ∆(tn) en gris oscuro y ∆ −∆(tn) en gris claro.

Afirmacion 2.5 ∆(tn) es topologicamente un disco.

Demostracion de la Afirmacion 2.5. Como ∆(tn) es un dominio plano, basta probarque ∂∆(tn) es conexo. Visto en R3, ∆(tn) es un conexo acotado. Como E es propio enR3, ∆(tn) ha de ser relativamente compacto en E. En particular, cada componenteconexa de ∂∆(tn) es compacta. Sea Γ1

∼= S1 la componente conexa de ∂∆(tn) quecontiene a ∂E ∩ ∆. Supongamos que existe otra componente conexa Γ2 de ∂∆(tn).Como Γ1 contiene a ∂E ∩ ∆, debe ser Γ2 ⊂ ∂C(tn) ∪ (C(tn) ∩ Pa). Como Γ2

∼= S1

y ∆ es topologicamente un disco, se tiene que Γ2 es borde de un disco abiertoD ⊂ ∆. Ademas, D ∩ ∆(tn) = Γ2 (en caso contrario, tendrıamos ∆(tn) ⊂ D, luego∂E ∩∆ ⊂ ∂D y ∂D tendrıa mas de una componente conexa, contradiccion). Ahoraveamos cual es la posicion de D en R3: Como ∂C(tn) y E se cortan transversalmentey D ∩ ∆(tn) = ∅, deducimos que D esta localmente contenido en el exterior deC(tn) ∩ 0 ≤ x3 ≤ a*. Ademas, ∂D ⊂ ∂(C(tn) ∩ 0 ≤ x3 ≤ a), pero estocontradice la propiedad de la envolvente convexa (notese que C(tn) ∩ 0 ≤ x3 ≤ aes una region compacta y convexa de R3), y prueba la Afirmacion 2.5.

Llamamos Ω al anillo exterior a ∂E en P0, B ⊂ H a la region cerrada cuyo bordees Ω ∪ E y Ba,n = B ∩ x3 ≤ a ∩ C(tn). Ba,n es una 3−variedad adecuada pararesolver Problemas de Plateau con datos en ∂Ba,n segun el Teorema 11. Ademas,∂∆(tn) es una curva de Jordan contenida en ∂Ba,n, y es homologicamente trivial

*De hecho, D ⊂ ∆ ⊂ Ea = x−13 [0, a], luego D esta localmente contenido en el exterior de C(tn).

47

en Ba,n por ser borde del disco ∆(tn) ⊂ Ba,n. Por el Lema de Dehn, sabemos que∂∆(tn) es el borde de un disco minimal y embebido D(tn) ⊂ Ba,n que minimiza elarea de entre todos los discos contenidos en Ba,n con borde ∂∆(tn). Notese que o bienD(tn) coincide con ∆(tn), o bien D(tn) y ∆(tn) solo se cortan a lo largo de ∂∆(tn).Como ∆(tn) ⊂ ∂Ba,n, en este ultimo caso D(tn) divide a Ba,n en dos componentesconexas. En cualquier caso, D(tn) es estable por ser un mınimo del area.

Figura 2.6: D(tn) es la solucion del Problema de Plateau en Ba,n

con valores frontera ∂∆(tn).

Como D(tn) es estable, cumple la estimacion de Schoen para superficies mini-males estables. Esto es, existe una constante universal C > 0 cumpliendo

∣∣KD(tn)(P )∣∣ ≤ C

dist(P, ∂D(tn)

)2 para todo P ∈ D(tn), (2.1)

La desigualdad (2.1) nos permitira considerar regiones de D(tn) suficientemente ale-jadas de ∂D(tn) que se podran poner como grafos sobre subconjuntos de Ω. Estosseran los grafos minimales de los que hablabamos al comienzo de la demostracion.

Demos ahora la siguiente definicion:

Dados un valor regular a > a0 de x3|E y k ∈ N, decimos que el par(a, tk) es admisible si para cualesquiera tn, t, P con tk ≤ t tn

** yP ∈ D(tn) ∩ ∂C(t) ∩ x3 ≤ a0, se tiene que TPD(tn) forma con P0 unangulo menor o igual que π/4.

Geometricamente, esto quiere decir que para tn tk, no se alejan demasiado de lahorizontal los planos tangentes en puntos deD(tn) por debajo de Pa0 y comprendidosentre los cilindros coaxiales ∂C(tk), ∂C(tn), suficientemente lejos de ∂C(tn).

Afirmacion 2.6 Existen pares admisibles.

**Dados a, b ∈ R, escribiremos a b (resp. a b) cuando a sea mucho menor (resp. muchomayor) que b.

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Demostracion de la Afirmacion 2.6. A partir de ahora, supondremos que el valor re-gular a de x3 cumple a L. Observemos que para cada n ∈ N, ∂D(tn) = ∂∆(tn) ⊂∂∆∪∂C(tn) ⊂ C(t1)∪Pa∪∂C(tn) y ∂D(tn) tiene puntos en cada uno de los conjun-tos C(t1), Pa y ∂C(tn). Tomando a y tk suficientemente grandes en terminos de L yt1 respectivamente, deducimos que para todo punto P ∈ D(tn) ∩ ∂C(t)∩ x3 ≤ a0con tk ≤ t tn, dist

(P, ∂D(tn)

)se hace arbitrariamente grande. Por la desigual-

dad (2.1), |KD(tn)(P )| se hace arbitrariamente pequena. Entonces, la segunda formafundamental de D(tn) es uniformemente proxima a cero en un disco geodesico arbi-trariamente grande alrededor de P . Esto nos dice que el plano tangente a D(tn) enP es casi horizontal: si no fuese ası, podrıamos tomar un disco geodesico suficien-temente grande como para que cortase el plano P0, que no es posible. Por tanto,(a, tk) es admisible, y queda probada la Afirmacion 2.6.

Afirmacion 2.7 Sea (a, tk) un par admisible. Para todo tn tk y todo t ∈]tk, tn/2],cada componente conexa de Wn(t) = D(tn)∩ (C(t)−C(tk))∩ x3 ≤ a0 es un grafominimal sobre P0.

Demostracion de la Afirmacion 2.7. Por definicion de par admisible, para tn sufi-cientemente grande se tiene que TPWn(t) = TPD(tn) forma con la horizontal unangulo menor o igual que π/4 para todo t ∈]tk, tn/2] y todo P ∈ Wn(t). Fijemost ∈]tk, tn/2]. Como queremos probar que cada componente conexa de Wn(t) es ungrafo, supongamos directamente que Wn(t) es conexo (por no complicar la notacion)y veamos que, en tal caso, Wn(t) es un grafo.

Por definicion de par admisible, para cada s ∈]tk, t[⊂]tk, tn/2], se tiene que ∂C(s)es transverso a Wn(t) y cada componente conexa Γ(s) de ∂C(s)∩Wn(t) es una curvaregular y embebida cuya inclinacion con la horizontal es a lo mas π/4. En particular,Γ(s) es localmente un grafo sobre su proyeccion vertical en la circunferencia ∂C(s)∩P0. Notese que esta ultima condicion elimina la posibilidad de que Γ(s) sea cerraday nulhomotopica en ∂C(s). Veamos que Γ(s) no puede ser cerrada: Supongamos queΓ(s) es cerrada. Como Γ(s) esta embebida y es localmente un grafo sobre ∂C(s)∩P0,deducimos que Γ(s) es realmente un grafo sobre dicha circunferencia. Como D(tn) esun disco, Γ(s) sera borde de un disco Ds ⊂ D(tn). Pero el Teorema de Rado aseguraque Ds es un grafo sobre C(s)∩P0, contenido entre alturas 0 y a. En particular, Ds

cortara a la curva α, contradiccion. Esto prueba que Γ(s) es un arco embebido conextremos a altura a0, y es un grafo sobre algun arco de ∂C(s) ∩ P0.

Para terminar, basta probar que no existen Γ1(s),Γ2(s) componentes conexasde ∂C(s) ∩ Wn(t) que sean grafos sobre arcos α1, α2 ⊂ ∂C(s) ∩ P0 (resp.) talesque α1 ⊂ α2. Como los planos tangentes en puntos de Wn(t) forman siempre unangulo con la horizontal menor o igual que π/4, y estamos suponiendo Wn(t) conexo,podemos asumir que la aplicacion de Gauss N deWn(t) toma valores en el hemisferiosuperior de la esfera unidad, fuera de un entorno del ecuador horizontal. Notese queWn(t) divide a (C(t) − C(tk)) ∩ x3 ≤ a0 en dos componentes conexas. N apuntahacia una de ellas. Por otra parte, podemos suponer que no existen componentes

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conexas de ∂C(s)∩Wn(t) entre Γ1(s) y Γ2(s), luego N toma valores en el hemisferioinferior sobre Γ1(s) o sobre Γ2(s), contradiccion. Esto prueba la Afirmacion 2.7.

Fijemos un par admisible (a, tk) y sea tn0 tk cumpliendo ∆ ∩ C(tk) ⊂ ∆(tn0)y la Afirmacion 2.7. Por la Afirmacion 2.3, existe un arco η ⊂ x−1

3 (L) propio yno acotado cuya interseccion con C(tk) es un unico punto Q (el extremo de η).Sean π(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0) y β el arco vertical con origen π(Q) y extremo Q,β = [π(Q), Q].

Afirmacion 2.8 D(tn0) ∩ β 6= ∅.

Demostracion de la Afirmacion 2.8. Si Q ∈ D(tn0), entonces es claro. Si Q 6∈ D(tn0),entonces D(tn0) 6= ∆(tn0), ya que Q ∈ ∆∩C(tk) ⊂ ∆(tn0). Ası,D(tn0) divide a Ba,n0

en dos componentes conexas: una de ellas conteniendo a Ω ∩ C(tn0) en su frontera,y la otra conteniendo a ∆(tn0) en su frontera. Si llamamos Q′ al punto mas bajo de∆(tn0)∩β, entonces se tiene que π(Q) yQ′ estan en componentes conexas distintas deBa,n0 −D(tn0). Por tanto, [π(Q), Q′]∩D(tn0 ) 6= ∅, y la Afirmacion 2.8 esta probada.

Como D(tn0) ∩ β 6= ∅, podemos considerar el punto de corte de β con D(tn0) demenor altura, Qn0 (notese que podrıa ser Qn0 = Q en el caso en el que D(tn0) y∆(tn0) coincidieran).

Llamamos Gn0 a la componente conexa de Wn0(tn0/2) que contiene a Qn0 . Comotn0 cumple la Afirmacion 2.7, sabemos que Gn0 es un grafo sobre P0.

Observemos que lo anterior es valido para todo n ≥ n0. Obtenemos ası una suce-sion Gnn≥n0 de grafos minimales definidos sobre subconjuntos de Ω. Notese quepodemos tomar ε > 0 arbitrariamente pequeno tal que Gn sea transversal a ∂C(tk +ε) para todo n ≥ n0. En adelante, seguiremos llamando Gn a Gn −C(tk +ε). De estaforma, tenemos asegurado que ∂Gn es analıtica salvo en puntos de ∂C(tk + ε)∩Pa0.Como (a, tk) es un par admisible, los grafos Gn tienen gradiente uniformemente aco-tado. Ademas, Gnn≥n0 tiene puntos de acumulacion (por ejemplo, todos los de

50

∂Gn0 ∩ Pa0). Por el Teorema (23), existe una parcial de Gnn≥n0 convergente (enla topologıa Cr, ∀r) a un grafo minimal G con gradiente acotado definido sobre undominio propio y no compacto de Ω. Ademas, ∂G ⊂ ∂C(tk + ε) ∪ Pa0 es no vacıo ydiferenciable salvo (posiblemente) en puntos de ∂C(tk + ε) ∩ Pa0.

Afirmacion 2.9 G es simplemente conexo.

Demostracion de la Afirmacion 2.9. El grafo minimal G se ha obtenido como lımitede una parcial de Gnn≥n0 . Por no complicar la notacion, seguimos llamandoGnn≥n0 a dicha parcial. Tambien simplificaremos escribiendo tk en vez tk + ε(notese que esto no modifica la sucesion tnn∈N).

Supongamos por reduccion al absurdo que G no fuese simplemente conexo. Estoes, supongamos que existe una curva γ ⊂ ∂G no nulhomotopica (como G es undominio plano, podemos suponer γ en el borde de G). γ se obtiene como lımite deuna sucesion de curvas γnn≥n0 , con γn ∈ ∂Gn para cada n ≥ n0. En principio, setendrıa γn ⊂ ∂C(tk)∪Pa0∪∂C(tn/2); pero como γ es compacta y ∂G ⊂ ∂C(tk)∪Pa0,podemos tomar n0 suficientemente grande cumpliendo γn ⊂ ∂C(tk)∪ Pa0 para todon ≥ n0. Notese ademas que γn 6⊂ Pa0 por el principio del maximo, y que γn 6⊂ ∂C(tk)porque Gn es un grafo sobre un dominio contenido en P0 (o por la Propiedad de laenvolvente convexa). Ası, γn tiene trozos contenidos en Pa0 y trozos en ∂C(tk).

Vista en el disco D(tn), γn es borde de un subdisco Dn relativamente compactoen D(tn). Supongamos que γn separa a Dn de Gn sobre D(tn). Como Gn ⊂ x3 <a0, concluımos que Dn esta localmente por encima de Pa0 (al menos en puntostransversales, que siempre existen). Por tanto, x3|Dn

alcanza un maximo en un puntointerior de Dn, en contradiccion con el principio del maximo. Ası,Dn y Gn coincidenlocalmente alrededor de γn. Como Dn es un disco, concluımos que Gn ⊂ Dn.

Vamos a probar que Dn ⊂ Gn para todo n ≥ n0 (y se tendra Dn = Gn). Estoprobara la Afirmacion 2.9, ya que la sucesion Dnn≥n0 convergera a un discoD ⊂ Gcon ∂D = γ, contradiccion. Supongamos por reduccion al absurdo que Dn 6⊂ Gn.Entonces existe γn ⊂ ∂Gn ∩ Dn. Afirmamos que γn ⊂ Pa0 ∪ ∂C(tk): En efecto, encaso contrario encontrarıamos un punto P ∈ γn ∩ ∂C(tn/2) ∩ x3 < a0, pero Dn

esta contenido en C(tn/2) (propiedad de la envolvente convexa), y encontraremosuna contradiccion aplicando el principio del maximo a Dn y al plano tangente a∂D(tn/2) en P . Por tanto, γn ⊂ Pa0 ∪∂C(tk). Y ademas, γn ∩Pa0 6= ∅ (propiedad dela envolvente convexa) y γn ∩ ∂C(tk) 6= ∅ (principio del maximo). Ahora podemosaplicar a Gn y al subdisco de Dn encerrado por γn un razonamiento como el dearriba, llegando a una contradiccion. Y la Afirmacion 2.9 queda probada.

Como G es simplemente conexo, no acotado y G ⊂ 0 < x3 ≤ a0, entonces setiene que ∂G esta formado por arcos no acotados a altura a0 con posibles trozoscompactos contenidos en ∂C(tk). Estamos en condiciones de aplicar el Teorema 1.8,el cual nos dice que G debe ser asintotico al plano Pa0.

51

Por otro lado, como η ⊂ E y G es lımite de grafos en Ba,n, deducimos que obien η ∩ G = ∅ o bien η ⊂ G ⊂ E (esta es una sencilla aplicacion del principio delmaximo en el interior o en la frontera, ya que estamos tomando tanto G como ηcerrados). El caso η ⊂ G ⊂ E es imposible porque G es asintotico a Pa0, pero ηes un arco divergente a altura L < a0. Por tanto, η ∩ G = ∅. Recordemos que, porconstruccion, Gn corta el segmento vertical [π(Q), Q] para todo n ≥ n0. Pasando allımite, G tambien cortara dicho segmento. Pero estamos suponiendo Q 6∈ G, luegoQ esta estrictamente por encima de G. Por otro lado, π(η) no puede cortar a ∂π(G),ya que η esta por encima de G sobre π(η) ∩ ∂π(G) ∩ ∂C(tk) = π(Q), y G se quedapor encima de η sobre π(η) ∩ (∂π(G) − ∂C(tk)) (puesto que ∂G − ∂C(tk) ⊂ Pa0,η ⊂ PL, y L < a0), luego serıa η∩G 6= ∅, contradiccion. Y como π(η) esta contenidoen π(G) para puntos proximos a π(Q), concluımos que π(η) es un arco divergentecontenido en π(G). Por tanto, el segmento vertical cerrado que une cada punto Q′

de η con P0 corta a G (por debajo de altura L), y G no puede ser asintotico al planoPa0 , contradiccion. Ası, L ha de ser finito, y el Teorema 2.2 queda probado. 2

Corolario 2.10 Sea E ∼= S1 × [0,+∞[ un final minimal propiamente embebido enH con ∂E ⊂ P0 y E 6⊂ P0. Entonces, E se puede parametrizar conformemente en0 < |z| ≤ 1, con tercera funcion coordenada x3(z) = − ln |z|. En particular, noexiste ningun punto con normal vertical en E.

Demostracion. Sea hnn∈N un sucesion divergente de valores regulares positivos dex3 = x3|E. Fijado n ∈ N, sabemos por el Teorema 2.2 que x−1

3 (hn) es compacto.Por tanto, toda componente conexa α de x−1

3 (hn) es una curva de Jordan. Ademas,notese que α ∩ ∂E = ∅, ya que ∂E ∩ Phn = ∅. El principio del maximo aseguraque α no puede ser borde de un disco topologico contenido en E, luego α ha deser homologa a ∂E. Y de nuevo por el principio del maximo, x−1

3 (hn) consiste enuna unica componente conexa y compacta homologa a ∂E. Por otra parte, sabemospor la Afirmacion 2.4 que x−1

3 [0, hn] es conexo. Entonces, existe un biholomorfismoφn : A(0;Rn, 1) → x−1

3 [0, hn], siendo Rn = e−hn . Ası, x3 φn y − ln |z| son dosfunciones armonicas definidas en A(0;Rn, 1) que coinciden en ∂A(0;Rn, 1). Por elprincipio del maximo para funciones armonicas, deducimos que (x3φn)(z) = − ln |z|para todo z ∈ A(0;Rn, 1).

Como hn → +∞, el lımite de A(0;Rn, 1)n es el disco punteado A(0; 0, 1). Tam-bien es claro que el lımite de x−1

3 [0, hn]n es E. Ademas, los biholomorfismos φn

convergeran o bien a un biholomorfismo φ : A(0; 0, 1) → E o bien a una funcion con-stante. Esto ultimo no es posible, ya que para cada n, φn||z|=1 es una parametrizacion(independiente de n) de ∂E. Por ultimo, la condicion (x3 φn)(z) = − ln |z| implicaque (x3 φ)(z) = − ln |z|, lo que prueba el Corolario. 2

52

Capıtulo 3

Caracterizacion geometrica deanillos con curvatura total infinita

Recordemos que E ∼= S1 × [0,+∞[ es un final minimal propiamente embe-bido en H con ∂E ⊂ P0 y E 6⊂ P0, y que estamos denotando por H+ y H− a lascomponentes conexas de H−E, siendo H− ∩P0 la componente conexa no compactade P0 − ∂E. Orientamos E considerando en cada uno de sus puntos el normal Nque apunta hacia H+.

Sea Π = X ∈ R3 : 〈X −X0, u〉 = 0 un plano transversal a E, con X0 ∈ R3

y u un vector no vertical de R3 que orienta a Π. Denotamos Π+ = X ∈ H :〈X −X0, u〉 > 0 y Π− = X ∈ H : 〈X −X0, u〉 < 0.

Si S es una componente conexa deE∩Π+, entonces ∂S ⊂ ∂E∪Π ⊂ P0∪Π = ∂Π+.Como S esta propiamente embebida, separa a Π+ en dos componentes conexas: S+

y S−. Llamamos S− a aquella para la cual S− ∩ P0 es la componente conexa nocompacta de (P0∩Π+)−∂S (notese que podrıa ser S−∩P0 = P0∩Π+). OrientamosS considerando en cada uno de sus puntos el normal que apunta hacia S+. Noteseque, a priori, la orientacion de S no tiene por que coincidir con la orientacion inducidade E.

Figura 3.1: S es la parte sombreada de E.

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Diremos que S esta bien orientada si su orientacion coincide con la inducida deE, y que S esta mal orientada en caso contrario (en la Figura 3.1, la componenteconexa S de E ∩ Π+ esta bien orientada; sin embargo, la componente conexa S deE∩Π+ que podemos ver en la Figura 3.2 esta mal orientada). Notese que para que Seste bien orientada, basta que coincidan en un punto de S los normales que apuntana S+ y a H+. En la practica, para decidir si una componente conexa de E ∩ Π+

esta bien orientada, usaremos la siguiente caracterizacion:

Observacion 3.1 (Caracterizacion de componentes bien orientadas) Sea Πun plano transversal a E, no horizontal y S una componente conexa de E ∩ Π+.Tomemos un punto Q de S y γ ⊂ Π+ una curva C1 a trozos, transversal a S, queparta de Q y llegue a S−∩P0. Si Q′ es el ultimo punto de corte de γ con S, entonces

S esta bien orientada si y solo si 〈γ′Q′ , NQ′〉 < 0.

Ademas, como S es transversal a Π y a P0, el mismo enunciado es valido si tomamosQ,Q′ ∈ S y γ ⊂ Π+.

Figura 3.2: Izquierda: S es una componente conexa de E ∩ Π+ mal orientada.Derecha: ampliacion de S.

Lema 3.2 Sea Π un plano transversal a E y no horizontal, y sea S una componenteconexa bien orientada de E ∩ Π+. Si Π′ es un plano paralelo a Π o se obtiene apartir de Π mediante una rotacion alrededor de Π∩ P0 (manteniendo la orientacionmediante la translacion o rotacion) y se cumple que S ∩ Π′ 6= ∅ es transversal,entonces existe una componente conexa bien orientada S ′ de E ∩ Π′+, con S ′ ⊂ S.

Demostracion. Consideremos un de punto Q ∈ S ∩ Π′ donde x3|S∩Π′ alcance sumınimo, que sabemos que existe porque x3|E es propia; y sea γ ⊂ Π′ el segmentoque minimiza la distancia de Q a P0, recorrido desde Q hasta P0. Notese que Q

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es el unico punto de corte de γ con S. Como S esta bien orientada, la Caracteri-zacion 3.1 afirma que 〈γ′Q, NQ〉 < 0. De nuevo por la Caracterizacion 3.1 deducimos

que la componente conexa S ′ de S ∩ Π′+ que contiene a Q en su frontera es unacomponente conexa bien orientada de E ∩ Π′+, y S ′ ⊂ S. 2

Lema 3.3 Sea Π un plano no horizontal, transversal a E, con ∂E∩Π = ∅. Entonces,E ∩ Π es una coleccion de curvas diferenciables con las siguientes propiedades:

1. Existe al menos un curva no compacta en E ∩ Π.

2. Existe a lo sumo una curva compacta en E ∩ Π. En este caso, dicha curva eshomologa a ∂E.

Demostracion. Por transversalidad, E ∩ Π o es vacıo o consiste en una union decurvas diferenciables. El punto 2 es una sencilla aplicacion del principio del maximo(teniendo en cuenta que ∂E∩Π = ∅). Probemos entonces 1: Consideremos un vectorunitario u que oriente a Π de forma que sea ∂E ⊂ Π−, y supongamos por reduccional absurdo que E∩Π o es vacıo o se reduce a una unica curva compacta Γ homologa a∂E. Por el Corolario 2.10, ningun punto de E puede tener normal vertical. Ademas,si E ∩ Π = Γ, el mismo Corolario implica que el normal N no toma los valores ±uen E ∩ Π+. Si suponemos E ∩ Π = ∅, de un trabajo de Fang y Meeks [5] obtene-mos que en E ∩ Π+ hay solo una cantidad finita de puntos donde N es ortogonala Π. Por el Teorema Grande de Picard tenemos que, en ambos casos, la aplicacionde Gauss de E ∩ Π+ no puede tener una singularidad esencial, luego E ∩ Π+ tienecurvatura total finita. En consecuencia, E tambien tiene curvatura total finita enambos casos, luego es E es un final de tipo plano o catenoide. Por el Corolario 2.10,concluımos que E es un final de tipo catenoide con normal lımite vertical. De aquı sededuce inmediatamente que E∩Π contiene una curva no compacta, contradiccion. 2

Corolario 3.4 Sea η una curva divergente y propiamente embebida en E partiendode ∂E. Si Π es un plano no horizontal tal que (∂E ∪ η) ∩ Π = ∅, entonces lascomponentes conexas de E∩Π son curvas no compactas. En particular, si orientamosΠ de forma que ∂E ∪ η ⊂ Π−, entonces las componentes conexas de E ∩ Π+ sonsimplemente conexas (ya que E ∩ Π+ es un dominio plano).

Para seguir obteniendo informacion sobre la geometrıa de nuestro final E, recor-demos que el vector flujo F a lo largo de ∂E se define como

F =

∫

∂E

ν ds,

donde ν es el conormal unitario exterior a E a lo largo de ∂E (i.e. ν es tangente aE, normal a ∂E y saliente a E) y ds denota el elemento de longitud en ∂E.

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Afirmamos que F no puede ser 0: En efecto, como E ⊂ H y ∂E ⊂ P0, la terceracoordenada ν3 de ν es menor o igual que 0 a lo largo de ∂E; por tanto, la terceracoordenada F3 de F tambien es menor o igual que 0, siendo F3 = 0 si y solo si ν3 = 0identicamente en ∂E. Este ultimo caso es claramente imposible por el principio delmaximo en la frontera. Por tanto, F 6= 0.

El lema 3.3 nos da informacion sobre las curvas obtenidas al cortar E con unplano no horizontal, transversal a E y que no corte a ∂E. A continuacion veremoscomo mejorar esta informacion para cortes de E con planos que contengan a F.

Lema 3.5 Sea Π un plano no horizontal, transversal a E, que contenga a F y tal que∂E∩Π = ∅. Entonces, se da una de las dos siguientes posibilidades (no excluyentes):

1. E es un final de tipo catenoide con normal lımite vertical.

2. E ∩ Π tiene un numero infinito de componentes conexas (a lo mas, una deellas compacta).

Demostracion. Sea u un vector unitario ortogonal a Π y h la funcion altura respectode u, restringida a E: h(z) = 〈ψ(z), u〉, donde ψ : 0 < |z| ≤ 1 → R3 es unaparametrizacion conforme de E. Como F ∈ Π, tenemos

0 = 〈F, u〉 = −∫

∂E

〈dψ J, u〉ds = −∫

∂E

d〈ψ, u〉 J = −∫

∂E

(dh J) =

∫

∂E

dh∗,

donde J es la rotacion de π/2 en el espacio tangente a E, y h∗ : 0 < |z| ≤ 1 → R esla conjugada armonica de h, que por la condicion anterior es una funcion univaluada(notese que h∗ esta definida salvo constante aditiva). Veamos que h∗ es estrictamentemonotona sobre cada componente conexa Γ de E ∩ Π. Identificando Γ con la curvacorrespondiente en 0 < |z| ≤ 1,

(h∗ Γ)′ = (dh∗)Γ(Γ′) = −(dh)Γ(J(Γ′)) = −⟨J(Γ′), u

⟩.

Como Π es transversal a E, la funcion que aparece en el mienbro de la derecha notiene ceros a lo largo de Γ. Por conexion, h∗ es estrictamente monotona sobre Γ.

Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ϕ = h+ ih∗ : 0 < |z| ≤ 1 → C es unafuncion holomorfa. Sobre cada componente conexa de Γ de E ∩Π, h es constante yh∗ es estrictamente monotona. Ası, ϕ es inyectiva sobre Γ.

Sea a = h|E∩Π ∈ R y ra = w ∈ C : Re(w) = a. Es claro que ϕ−1(ra) =E ∩ Π. Supongamos primeramente que E ∩ Π tiene un numero finito de compo-nentes conexas. Por tanto, ϕ solo toma un numero finito de veces cada punto dera. Por el Teorema Grande de Picard, ϕ no puede tener una singularidad esencialen 0, lo cual equivale a que dϕ no tenga una singularidad esencial en 0. Por elCorolario 2.10 sabemos que φ3 = 2∂x3

∂zdz tambien es meromorfa. Expresando u en

combinacion lineal de la base canonica, obtendremos tres coeficientes reales, y la

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combinacion lineal de las 1-formas de la representacion de Weiestrass φ1, φ2, φ3 conestos coeficientes nos dara la 1-forma diferencial dϕ. Usando esta combinacion lineal,el hecho de que dϕ, φ3 son linealmente independiente y que tanto dϕ como φ3 tienena lo mas un polo en el origen, obtenemos que φ1 y φ2 son tambien meromorfas, ypor tanto E es de curvatura total finita (Osserman [19]). 2

Proposicion 3.6 Supongamos que E tiene curvatura total infinita. Entonces, existeun plano orientado Π no horizontal, transversal a E, con ∂E ⊂ Π−; y existendos componentes conexas distintas S1 y S2 de E ∩ Π+ verificando para i = 1, 2 losiguiente:

1. Si esta bien orientada;

2. Si es simplemente conexa;

3. ∂Si ⊂ Π;

4. Existe un arco αi ⊂ E − (S1 ∪ S2) que une ∂Si con ∂E.

Demostracion. Salvo una rotacion de eje vertical, podemos suponer que 〈F, e1〉 = 0,donde F es el vector flujo a lo largo de ∂E. Denotaremos por Πa al plano verticaldeterminado por la ecuacion x1 = a, para cada a ∈ R.

En primer lugar, vamos a probar que la primera funcion coordenada x1 noesta acotada sobre E. En concreto, vamos a probar la siguiente

Afirmacion 3.7 Existen dos curvas η y η diferenciables a trozos, embebidas en E,y con extremos contenidos en ∂E tales que x1|η diverge a +∞ y x1|η diverge a −∞.

Demostracion de la Afirmacion 3.7. Consideremos un plano Π transversal a E, dadopor la ecuacion x1 − x3 = ρ ∈ R, tal que ∂E ∩ Π = ∅. Sabemos por el Lema 3.3que E ∩ Π contiene al menos una curva Γ no compacta. Como la tercera funcioncoordenada de E es propia (Teorema 2.2), deducimos que x3 diverge a +∞ sobre

Γ. Y por tanto, x1 diverge a +∞ sobre Γ (ya que Γ ⊂ Π). Consideramos un puntoQ ∈ Γ y un arco γ diferenciable y embebido en E que vaya de ∂E a Q y solo cortea Γ en Q (ver Figura 3.3). Llamamos η a la curva formada por γ desde ∂E hastaQ prolongada a traves de Γ por una de las dos ramas infinitas en que Q divide a Γ.Con esto, tenemos asegurado que x1|η diverge a +∞. Obtenemos de este modo lacurva η que buscabamos.

Con un razonamiento analogo aplicado un plano de ecuacion x1 + x3 = ρ, obte-nemos una curva η embebida en E que parte de ∂E y tal que x1(η) diverge a −∞,y ası concluımos la demostracion de la Afirmacion 3.7.

57

Figura 3.3: Representando E por 0 < |z| ≤ 1, las curvas divergentes contenidasen E se identifican con aquellas curvas contenidas en 0 < |z| ≤ 1 con extremosen z = 0.

Consideramos la curva η dada en la Afirmacion anterior, y sea a0 ∈ R. Como η∩x1 ≥ a0 es compacto, podemos considerar a0 suficientemente grande cumpliendoΠa0 ∩ η = ∅. Ademas, podemos tomar Πa0 transverso a E (Teorema de Sard) ytal que η ∪ ∂E ⊂ Π−

a0, considerando en Πa0 la orientacion dada por e1. Por el

Corolario 3.4, sabemos que E ∩ Πa0 esta formado por curvas no compactas, y quelas componentes conexas de E ∩Π+

a0son simplemente conexas. Ademas, el Lema 3.5

asegura que E ∩Πa0 esta formado por un numero infinito de componentes conexas.El plano Π de la Proposicion lo obtendremos a partir de Πa0 mediante traslacionesy/o rotaciones alrededor de Πa0 ∩ P0.

Afirmacion 3.8

1. Existe una componente conexa Γ de E ∩ Πa0 que se conecta a P0 por un arcoβ contenido en Πa0 − E.

2. Sea S una componente conexa de E∩Π+a0

para la cual existe un arco β contenidoen Πa0 − E uniendo ∂S con P0. Entonces, S esta bien orientada y x1|S noesta acotada superiormente.

Demostracion de la Afirmacion 3.8. Como x3|E es propia, entonces existe Q0 ∈E∩Πa0 verificando x3(Q0) = mın

E∩Πa0

x3. Notese que x3(Q0) > 0, ya que Πa0 ∩E∩P0 =

Πa0 ∩ ∂E = ∅. Llamamos Γ a la componente conexa de E ∩ Πa0 que contiene a Q0

y β al arco vertical cerrado [Q0, π(Q0)] ⊂ Πa0 −E, siendo π(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0).Es claro que Γ y β ası elegidos cumplen 1.

Probemos 2: Sea Q0 ∈ ∂S el extremo superior de β. Como β no corta a E salvoen Q0 y ∂E ⊂ Π−

a0, entonces β ′

Q0apunta hacia H−; esto es, 〈β ′

Q0, NQ0〉 < 0. Por

la caracterizacion 3.1, S es una componente conexa bien orientada de E ∩ Π+a0

.Para ver que x1 no esta acotada superiormente sobre S, consideremos el planoΠa0,λ = x1 − λx3 = a0 para cierto λ > 0 tal que S ∩ Πa0,λ 6= ∅ sea transver-sal (Πa0,λ se obtiene girando Πa0 respecto de Πa0 ∩ P0 un angulo suficientemente

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pequeno; notese que tomar λ > 0 implica Πa0,λ ⊂ Π+a0

). Sea Γλ una componenteconexa de S ∩ Πa0,λ. Por el Corolario 3.4 sabemos que Γλ es no compacta, ya que(∂E ∪ η) ∩ Πa0,λ = ∅. Como x3 es propia, concluımos que x3|Γλ

no esta acotadasuperiormente, de donde deducimos que x1|Γλ

no esta acotada superiormente (yaque Γλ ⊂ Πa0,λ). En particular, x1|S no esta acotada superiormente, y la Afirmacion3.8 queda probada.

Afirmacion 3.9 Si existen dos curvas Γ1,Γ2 de E ∩ Πa0 cumpliendo el apartado 1de la Afirmacion 3.8, entonces la Proposicion 3.6 es cierta.

Demostracion de la Afirmacion 3.9. Fijemos i = 1, 2. Como Γi es no compacta yno corta a ∂E, podemos pensar topologicamente en E como 0 < |z| ≤ 1, y en Γi

como un arco diferenciable embebido y disjunto con origen y final en z = 0. Sea S ′i

la componente conexa de E ∩ Π+a0

tal que Γi ⊂ ∂S ′i. Notese que S ′

i esta localmentea un lado de Γi, y que S ′

i ∩ |z| = 1 = ∅.Supongamos en primer lugar que S ′

1 6= S ′2. Consideremos para i = 1, 2 un arco

compacto ci embebido en E uniendo ∂S ′i con ∂E. Por compacidad de ci, existe a′ ≥ a0

tal que c1 ∪ c2 ⊂ Π−a′ (notese que ∂E ⊂ Π−

a′). No perdemos generalidad suponiendoque E ∩ Πa′ es transversal. Tomemos Π = Πa′ y veamos que cumple la tesis dela Proposicion. Sabemos por el apartado 2 de la Afirmacion 3.8 que S ′

i esta bienorientada y que Π ∩ S ′

i 6= ∅. Por el Lema 3.2, existe una componente conexa bienorientada Si de E ∩ Π+, con Si ⊂ S ′

i. En particular, S1 6= S2 (porque S ′1 ∩ S ′

2 = ∅).Ademas, Si ⊂ E− η, luego Si es simplemente conexa (Corolario 3.4). Y es claro que∂Si ⊂ Π, ya que ∂S ′

i ⊂ Πa0 ⊂ Π−. Ya tenemos los tres primeros apartados de latesis de la Proposicion. Para obtener el cuarto apartado, basta considerar un arcoc′i propiamente embebido en S ′

i − Si con origen en ∂Si y extremo el origen de ci, yαi = c′i ∪ ci. Ası, αi ⊂ (S ′

i − Si) ∪ Π− ⊂ E − (S1 ∪ S2) une ∂Si con ∂E.Supongamos ahora que S ′

1 = S ′2. Cambiando la orientacion de Πa0 (i.e. consider-

amos el plano Πa0 orientado por −e1), se tiene que ∂E ⊂ Π+a0

y que Γ1,Γ2 bordean

componentes conexas distintas S1, S2 ⊂ E ∩Π+a0

(resp.). Sea i ∈ 1, 2. Sabemos por

el segundo apartado de la Afirmacion 3.8 que Si esta bien orientada. Consideremosa′ < a0 cumpliendo (∂E∪η) ⊂ Π−

a′ (con la nueva orientacion, −e1). Razonando comoen el segundo apartado de la Afirmacion 3.8 con un plano del tipo x1 + λx3 = a0para cierto λ > 0 suficientemente pequeno, llegamos a que x1 no esta acotada in-feriormente sobre Si, luego Si ∩ Πa′ 6= ∅. Por el Lema 3.2, sabemos que existe unacomponente conexa Si de E ∩ Π+

a′ bien orientada, Si ⊂ Si.

Y ahora, S1, S2 estan en las mismas condiciones que S ′1, S

′2 del caso S ′

1 6= S ′2.

Razonando de forma analoga cambiando S ′i por Si, Πa0 por Πa′, la orientacion e1

por −e1 y η por η, se concluye la Afirmacion 3.9.

59

Figura 3.4: Dos ejemplos del caso S ′1 6= S ′

2 (demostracion de la Afirmacion 3.9).Lascurvas con trazo continuo y extremos en z = 0 se correponden con componentesconexas de E ∩Πa0, y las de trazo discontinuo representan componentes conexas deE ∩ Π.

Figura 3.5: Dos ejemplos del caso S ′1 = S ′

2 (demostracion de la Afirmacion 3.9).

60

Para terminar de probar la Proposicion 3.6, solo nos queda estudiar el caso en elque existe una unica componente Γ0 de E ∩ Πa0 cumpliendo el primer apartado dela Afirmacion 3.8. En particular, todos los segmentos verticales cerrados que unenpuntos de E ∩Πa0 con P0 cortan a Γ0 (i.e. Γ0 es la componente conexa mas baja deΠa0 ∩ E).

Llamamos S a la componente conexa de E ∩Π+a0

tal que Γ0 ⊂ ∂S. Sabemos queS esta bien orientada, x1|S no esta acotada superiormente, S es simplemente conexa(ya que η ∪ ∂E ⊂ Π−

a0) y ∂S ⊂ Πa0. Como x3 es propia y Γ0 es una curva divergente

en R3, x3|Γ0 diverge a +∞ en ambos extremos de Γ0. Por tanto, existe Q0 ∈ Γ0

tal que x3(Q0) = mınx3|Γ0. Notese que x3(Q0) > 0 porque Γ0 ∩ ∂E = ∅, y quex3(Q0) = mınx3|S por el principio del maximo. Por otro lado, Γ0 esta propiamenteembebida en E, luego Γ0 divide a E en dos componentes conexas, una de las cuales,F , contiene a ∂E. Llamaremos z(Q0) al punto de 0 < |z| ≤ 1 que parametriza aQ0 ∈ E. Como Γ0 es la componente conexa mas baja de Πa0 ∩E y x3(z) = − ln |z|,concluımos que en el anillo |z(Q0)| < |z| ≤ 1 no existen puntos de E ∩ Πa0.

Afirmamos que S no puede estar contenida en F : En caso contrario, S tendrıaalguna componente frontera Γ0 distinta de Γ0 contenida en F (porque S ⊂ Π+

a0,

∂E ⊂ F y ∂E ⊂ Π−a0

). Pero tal componente Γ0 contendrıa puntos en |z(Q0)| <|z| ≤ 1, contradiccion con que Γ0 ⊂ E ∩ Πa0. Por tanto, S 6⊂ F , luego S ∩ F = ∅.

Denotaremos por γ1, γ2 a las ramas infinitas de Γ0 tales que Γ0−Q0 = γ1∪γ2.

Figura 3.6: S es la zona sombreada en gris oscuro, que en el dibujo tiene mas deuna componente frontera, mientras que F es la zona sombreada en gris mas claro.

Afirmacion 3.10 Si existe una componente conexa Γ0 de ∂S distinta de Γ0, en-tonces se cumple la Proposicion 3.6 (este es el caso de la Figura 3.6).

Demostracion de la Afirmacion 3.10. Llamamos S ′ a la componente conexa de E ∩Π−

a0tal que Γ0 ⊂ ∂S ′. Como Γ0 separa sobre E a ∂E de Γ0, entonces ∂E ∩ S ′ =

∅, y ∂S ′ ⊂ Πa0. Tomando µ > 0 suficientemente pequeno, obtenemos un planoΠ′ = x1 + µx3 = a0 transversal a E, verificando S ′ ∩ Π′ 6= ∅ y η ∩ Π′ = ∅ (siguesiendo ∂E ⊂ Π′−). Sabemos que, en tales condiciones, existe una componente conexaΓ ⊂ S ′ ∩ Π′ no compacta (Corolario 3.4).

61

A continuacion, definiremos una curva γ ⊂ E − η embebida, diferenciable atrozos, divergente, partiendo de ∂E, con γ ∩ Γ0 = Q0. γ se obtendra recorriendoconsecutivamente tres arcos que definimos como sigue:

Comenzamos saliendo de un punto de ∂E y llegando a Q0 por un arco dife-renciable y propiamente embebido en (E ∩ Π−

a0) − η (por ejemplo, podemos

tomar este arco en |z(Q0)| < |z| ≤ 1 ⊂ F , ver Figura 3.7).

Continuamos con un arco diferenciable contenido en S∪ Γ0∪S ′, con origen Q0

y extremo en un punto P0 ∈ Γ (podemos suponer que P0 es el primer puntode corte de este arco con Γ). Notese que este arco es disjunto de η, puesto queη ∩ Π′ = ∅.

Finalmente, recorremos cualquiera de las dos ramas infinitas en que P0 dividea Γ, que son disjuntas de η porque η ∩ Π′ = ∅.

Figura 3.7: Las infinitas componentes conexas de E∩Πa0 se encuentran en el cırculointerior al anillo A ⊂ F . En el dibujo de la derecha, las curvas en gris se corres-ponden con componentes conexas de E ∩ Π′.

Notese que x1 + µx3 esta acotada sobre γ. Por tanto, existe b > a0 tal queΠ = x1 + µx3 = b cumple γ ∩ Π = ∅. Vamos a ver que este plano verifica la tesisde la Proposicion 3.6. Claramente, ∂E ⊂ Π−.

Como x3 no esta acotada sobre γ1 ni γ2, entonces γ1 y γ2 cortan a cualquierrecta horizontal contenida en Πa0 ∩ x3 ≥ x3(Q0). En particular, cortan a r(b) =Πa0 ∩ Π = (a0, x2,

b−a0

µ) : x2 ∈ R (aquı estamos usando que Q0 ∈ γ y que Π se ha

elegido cumpliendo γ ∩ Π = ∅). Usando de nuevo que x3 es propia, podemos tomarb > a0 de forma que γi ∩ r(b) consista en un unico punto Qi, i = 1, 2 (ver Figura3.8, derecha). Podemos suponer x2(Q1) = mın x2|Γ0∩r(b) y x2(Q2) = maxx2|Γ0∩r(b)

(esto es, x2(Q1) < x2(Q2)). Consideramos las componente conexas S1, S2 de E ∩Π+

que contienen a Q1, Q2 en su borde (resp.). Veamos que estas componentes S1, S2

62

cumplen la Proposicion 3.6. Notese que γ∪η divide a E en dos componentes conexas.Como (γ ∪ η) ∩ Γ0 = Q0, entonces γ1 y γ2 caen en componentes conexas distintasde E − (γ ∪ η), luego S1 y S2 son disjuntas (en particular, S1 6= S2).

Sea i = 1, 2. Como ∂E ∪ η ⊂ Π−, el Corolario 3.4 asegura que Si es simplementeconexa. Y es claro que ∂Si ⊂ Π. Llamamos αi al trozo de γi que va desde Qi

hasta Q0, seguido por del arco contenido en γ que parte de Q0 y llega a ∂E. Ası,αi ⊂ E − (S1 ∪ S2) une ∂Si con ∂E, y cumple el apartado 4 de la Proposicion 3.6.Ya solo nos falta probar el apartado 3 (i.e. Si esta bien orientada). Como Γ0 es lacomponente conexa mas baja de E ∩ Πa0, deducimos que (r(b) − [Q1, Q2]) ∩ E = ∅.Denotamos por L1 y L2 las semirrectas con orıgenes Q1 y Q2 (resp.) cumpliendoL1 ∪ L2 = r(b)−]Q1, Q2[. Como x3|E es propia, existen ρ1 < x2(Q1) y ρ2 > x2(Q2)tales que E ∩ Π ∩ x2 = ρi, x3 ≤ b−a0

µ = ∅, i = 1, 2.

Figura 3.8: A la izquierda, tenemos un dibujo sobre el plano vertical x2 = x2(Q0).A la derecha, el dibujo esta sobre Πa0.

Sea ξi la curva obtenida recorriendo consecutivamente el segmento horizontal[Qi, (a0, ρi,

b−a0

µ)] ⊂ r(b) con el segmento [(a0, ρi,

b−a0

µ), (b, ρi, 0)] ⊂ Π. Ası construi-

da, ξi ⊂ Π es una curva C1 a trozos, que parte de Qi ∈ ∂S ∩ ∂Si, no vuelve a cortara E y llega a S− ∩ S−

i ∩ P0. Como S esta bien orientada, 〈(ξ′i)Qi, NQi〉 < 0. LuegoSi esta bien orientada, y acabamos la demostracion de la Afirmacion 3.10.

Supongamos entonces que Γ0 = ∂S, pues en otro caso ya tendrıamos probadala Proposicion 3.6. Notese que Γ0 divide a E en dos componente conexas: S y F(recordemos que F es la componente conexa de E − Γ0 tal que ∂E ⊂ F , y S 6⊂ F ).Como E ∩ Πa0 tiene infinitas componentes conexas y S ∩ Πa0 = Γ0, entonces existe

una componente conexa Γ0 de E ∩ Πa0 contenida en F (de hecho, hay infinitas).Consideremos δ > 0 tal que E ∩ Πa0+δ sea transversal y supongamos que Πa0+δ

sigue estando en las mismas condiciones que Πa0. Esto es, supongamos que existeuna unica curva Γδ ⊂ E∩Πa0+δ que puede unirse a P0 mediante un arco contenido enΠa0+δ −E, y que si denotamos por Sδ a la componente conexa de Π+

a0+δ tal que Γδ ⊂∂Sδ, entonces ∂Sδ = Γδ (en otro caso, habrıamos acabado la demostracion partiendo

63

de Πa0+δ en vez de Πa0). Notese que podemos considerar (por transversalidad) δsuficientemente pequeno de forma que sea Sδ = S∩Π+

a0+δ. Ademas, la existencia de la

componente Γ0 implica que tomando δ suficientemente pequeno, podemos consideraruna componente conexa Γδ de E ∩ Πa0+δ contenida en F .

Como Γδ ⊂ S, Γδ ⊂ F y S ∩ F = ∅, entonces Γδ y Γδ estan separadas por∂S = Γ0 sobre E.

Figura 3.9: F es la parte coloreada en gris, y S es la parte en blanco.

Sea d = mın x3|Γδ. Como Γδ es la componente mas baja de E ∩ Πa0+δ, se tiene

d > mınx3|Γδ> mın x3|Γ0 = x3(Q0) > 0 (la segunda desigualdad se debe a que

Γδ ⊂ S). Existe d′ >> d tal que γi ∩ Pd′ consiste en un unico punto Qi, i = 1, 2.Suponemos x2(Q1) < x2(Q2), y denotamos E′ = (x3|E)−1[d′,+∞[. Observemos que

Γ0, Γδ y Γδ estan contenidas en E′ salvo un compacto, y que γ1∩E′, γ2∩E′ separana Γδ ∩ E′ de Γδ ∩ E′ sobre E′. Como Γδ,Γδ ⊂ Πa0+δ, concluımos que γ1 ∩ E′ yγ2 ∩ E′ estan contenidas en componentes conexas distintas S ′

1 y S ′2 de E′ ∩ Π−

a0+δ.Cambiando la orientacion e1 por −e1, se tiene que S ′

1, S′2 ⊂ E′ ∩ Π+

a0+δ.Sean ρ1, ρ2 ∈ R tales que ρ1 < x2(P ) < ρ2, para todo P ∈ (x3|E)−1[0, d′] (en

particular, ρ1 < x2(Q1) < x2(Q2) < ρ2). La curva ξi obtenida al recorrer el segmento[Qi, (a0, ρi, d

′)] seguido de [(a0, ρi, d′), (a0, ρi, 0)] es una curva C1 a trozos que parte

de ∂S, no vuelve a cortar a E y llega a S− ∩ P0. Como S esta bien orientada, setiene que

〈(ξ′i)Qi, NQi〉 < 0. (3.1)

Por otra parte, como E − E′ es un anillo y ξi no corta a E, entonces la curvacontenida en ξi que parte de Qi hasta cortar a Pd′ es una curva C1 a trozos, queparte de Qi ∈ S ′

i, no vuelve a cortar a E′ y llega a S ′i− ∩ Pd′. Por (3.1), deducimos

que S ′i es una componente conexa bien orientada de E′ ∩ Π+

a0+δ (en E′ se considerala orientacion inducida de E).

Sea i = 1, 2. S ′i es una componente conexa bien orientada de E′ ∩Π+

a0+δ, propia-mente embebida, con ∂S ′

i ⊂ Πa0+δ ∪ Pd′. Como x3|E es propia, entonces ∂S ′i ∩ Pd′

64

Figura 3.10: La parte coloreada se corresponde con el subanillo E′ ⊂ E.

es un compacto, y deducimos por el Teorema 1.1 que x1 no esta acotada sobre S ′i

(pues en caso contrario S ′i serıa asintotica al plano Πa0+δ, que no es posible porque

γi ⊂ S ′i y dist(γi,Πa0+δ) = δ > 0). Podemos entonces considerar a′0 < a0 tal que Πa′

0

sea transversal a E y ∂E′ ⊂ Π−a′0.

Como x1|S′ino esta acotada, entonces S ′

i ∩ Πa′06= ∅, y sabemos por el Lema 3.2

que existe una componente conexa S ′′i ⊂ E′ ∩ Π+

a′0

bien orientada. Ademas, como

∂E′ ⊂ Pd′ es una curva compacta homologa a ∂E y ∂S ′′i ⊂ Πa′

0, deducimos que S ′′

i

es una componente conexa bien orientada de E ∩Π+a′0. Notese que S ′′

i puede tomarse

simplemente conexa sin mas que tomar a′0 a0 cumpliendo ∂E ∪ η ⊂ Π−a′0. Ya

concluımos por la Afirmacion 3.9, y queda probada la Proposicion 3.6. 2

65

Capıtulo 4

Grafos extraıdos de superficiesminimales estables

Para cada α ∈ [0, π] denotaremos por P(α) al plano vectorial orientado por

~nα = (sinα, 0,− cosα).

Notese que P(0) = P0 con orientacion −e3 y P(π) = P0 con orientacion e3. Ademas,dados 0 ≤ α < β ≤ π y t > 0, denotaremos por pr(α, β, t) a la region (abierta)determinada por los planos P(α),P(β) y Pt; esto es,

pr(α, β, t) = X ∈ R3 : 〈X,~nα〉 < 0, 〈X,~nβ〉 > 0, x3(X) < t .

Observese que si 0 < α < β < π, entonces pr(α, β, t) es un prisma triangular infinito(abierto); y que pr(0, π, t) es la region (abierta) de R3 determinada por P0 y Pt, paracada t > 0.

Figura 4.1: Izquierda: pr(α, β, t), con 0 < α < β < π y t > 0.Derecha: pr(0, π, t), con t > 0.

Dados dos planos Π y Π′, ∠(Π,Π′) denotara el angulo formado por dichos planos,considerandolo siempre en [0, π/2] (en particular, ∠ es simetrico).

67

Dados 0 ≤ α < β ≤ π y 0 < t0 < t, diremos que una superficie Σ pertenece a lafamilia Aα,β,t0,t si:

Σ es una superficie minimal estable;

Σ ⊂ P(α)−;

∂Σ ∩ pr(α, β, t) = ∅;

x3(Σ) ≥ t0.

Notese que es posible que se de el caso ∂Σ ⊂ ∂pr(α, β, t), y que para todo β ′ ∈]α, β],es pr(α, β ′, t) ⊂ pr(α, β, t), luego Aα,β,t0,t ⊂ Aα,β′,t0,t.

Lema 4.1 Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ yθ0 ∈]0, π/2[ tales que para cualesquiera t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ∩pr(α,α+ε, λt),se cumple

∠(TQΣ,P(α)) ≤ θ0.

Demostracion. Dados ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[, definimos

d(ε, λ) =1

2mın

sin(β − α − ε)

sin(α + ε),1 − λ

λ

> 0.

Notese que d(ε, λ) es decreciente en ε y en λ.

Afirmacion 4.2 Sean t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α,α + ε, λt). Entonces,

distR3(Q, ∂Σ) ≥ 2 d(ε, λ)x3(Q) ≥ 2 d(ε, λ) t0 .

Demostracion de la Afirmacion 4.2. Como Q ∈ P(α+ε)+, entonces tg(α+ ε) ≥ x3(Q)

x1(Q)(ver Figura 4.2), y

distR3(Q,P(β)) = 〈Q,~nβ〉 = x1(Q) sin β − x3(Q) cos β ≥ x3(Q) sinβ

tg(α+ ε)− x3(Q) cos β

= x3(Q)sin β cos(α+ ε) − cosβ sin(α+ ε)

sin(α+ ε)= x3(Q)

sin(β − α− ε)

sin(α+ ε).

Por otra parte, se tiene que distR3(Q,Pt) = t−x3(Q) ≥ x3(Q)λ

− x3(Q) = x3(Q) 1−λλ

.

Como ∂Σ ∩ pr(α, β, t) = ∅ y Σ ⊂ P(α)−, entonces distR3(Q, ∂Σ) ≥ 2 d(ε, λ)x3(Q),y ya tenemos probada la Afirmacion 4.2.

Por la Afirmacion 4.2 y el Corolario 25, sabemos que existen µ(ε, λ), ν(ε, λ) > 0cumpliendo que para cualesquiera t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t (en particular, Σ es estable)

68

Figura 4.2: Q ∈ P(α), con α ∈]α,α+ ε[, luego x3(Q)x1(Q)

= tgα < tg(α+ ε).

y Q ∈ Σ∩ pr(α,α+ ε, λt), se tiene que un entorno de Q en Σ puede escribirse comografo de una funcion definida sobre un disco del espacio afın tangente de Σ en Q deradio ν(ε, λ) d(ε, λ) t0, estando la funcion acotada por µ(ε, λ) d(ε, λ) t0. Ademas, elCorolario 25 asegura que se puede tomar ν(ε, λ) como funcion creciente en d(ε, λ).Como esta ultima es decreciente en ε, λ, tambien ν(ε, λ) sera decreciente en ε, λ.

Elegiremos ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[ de forma que tengamos cierto control sobrela distancia de Σ ∩ pr(α,α + ε, λt) a P(α). Mas concretamente, tomaremos ε, λcumpliendo la siguiente

Afirmacion 4.3 Existen ε ∈]0, β−α[ y λ ∈]0, 1[ tales que para cualesquiera t > t0,Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α,α+ ε, λt) se verifica

distR3(Q,P(α)) ≤ ν(ε, λ)

2d(ε, λ)x3(Q).

Ademas, podemos tomar ε tan pequeno como queramos.

Demostracion de la Afirmacion 4.3. Sean ε ∈]0, β−α[, λ ∈]0, 1[, t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t

y Q ∈ Σ ∩ pr(α,α + ε, λt). Ası, tg(α + ε) ≥ x3(Q)

x1(Q)y Q ∈ P(α)−, luego

distR3(Q,P(α)) = 〈Q,−~nα〉 = −x1(Q) sinα+ x3(Q) cosα

≤ x3(Q)sin(α+ ε) cosα− cos(α + ε) sinα

sin(α + ε)= x3(Q)

sin ε

sin(α+ ε).

Por tanto, la desigualdad de la Afirmacion 4.3 estara probada si tomamos ε, λ cum-pliendo sin ε

sin(α+ε)≤ ν(ε,λ)

2d(ε, λ). Teniendo en cuenta la definicion de d(ε, λ), lo anterior

equivale a

1 ≤ ν(ε, λ)

4mın

sin(β − α − ε)

sin ε,

1 − λ

λ

sin(α+ ε)

sin ε

. (4.1)

69

Si α 6= 0, tomamos λ = 1/2. Y como lımε→0

sin(β−α−ε)sin ε

= +∞ , lımε→0

sin(α+ε)sin ε

= +∞ y ν(ε, λ)

es decreciente en ε, podemos tomar ε > 0 suficientemente pequeno verificando (4.1).

Supongamos por el contrario que α = 0. Como lımε→0

sin(β−ε)sin ε

= +∞, lımλ→0

1−λλ

= +∞y ν(ε, λ) es decreciente tanto en ε como en λ, de nuevo podemos tomar ε, λ > 0suficientemente pequenos cumpliendo (4.1).Notese que, en ambos casos, estas elecciones de λ, ε son independientes de t, Σ yQ; y que podemos tomar ε tan pequeno como queramos. Ası, queda demostrada laAfirmacion 4.3.

Fijemos ε y λ cumpliendo la Afirmacion 4.3. Estos ε, λ seran los que aparecenen el enunciado del Lema 4.1. Para obtener θ0, consideramos la funcion auxiliarf : [0, π/2] → R dada por

f(θ) = −ν sin θ + µ cos θ,

donde ν = ν(ε, λ) y µ = µ(ε, λ). f es continua y estrictamente decreciente en[0, π/2]. Como f(0) = µ y f(π/2) = −ν, existe θ0 ∈]0, π/2[ tal que f(θ0) = −ν/2,luego f(θ) ≥ −ν/2 si y solo si θ ∈ [0, θ0]. Veamos que ε, λ y θ0 ası elegidos cumplenel Lema 4.1.

Fijemos t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α,α + ε, λt), y sea

θ = ∠(TQΣ,P(α)).

Queremos obtener θ ≤ θ0, para lo cual probaremos que f(θ) ≥ −ν/2.

Denotemos por TQΣ al plano tangente afın de Σ en Q, D(Q, r) sera el disco

abierto de centro Q y radio r contenido en TQΣ, y ~n el normal a Σ en Q que cumple〈~n, ~nα〉 ≤ 0. Llamemos d = d(ε, λ)x3(Q) > 0. Por la Afirmacion 4.2, sabemosque distR3(Q′, ∂Σ) ≥ d para todo Q′ ∈ Σ ∩ B(Q, d), y el Corolario 25 asegura

la existencia de una funcion u definida sobre D(Q, νd) y acotada por µd tal queV = Gu = X + u(X)~n : X ∈ D(Q, νd) es un entorno de Q en Σ ∩B(Q, d).

Como pretendemos estimar un angulo, podemos trabajar vıa una aplicacionconforme. Para facilitar los calculos, consideramos una isometrıa h de R3 tal queh(Q) = 0 y h(P(α)) = P−δ (orientado por −e3), siendo δ = distR3(Q,P(α)). Comohemos tomado ε, λ cumpliendo la Afirmacion 4.3, entonces

δ ≤ ν

2d. (4.2)

Ademas, componiendo con un giro alrededor del eje x3 podemos suponer que elnormal a h(Σ) en 0 es (sin θ, 0, cos θ). Denotaremos u = u h−1.

Afirmacion 4.4 Existe Q′ ∈ h(V) tal que x3(Q′) ≤ d f(θ).

70

Demostracion de la Afirmacion 4.4. Observemos primero que si T0h(Σ) = P0, en-tonces θ = 0, f(θ) = µ y x3 = uπ ≤ µd, siendo π la proyeccion de R3 sobre las dosprimeras componentes. Por tanto, en este caso cualquier punto Q′ ∈ h(V) cumple laAfirmacion 4.4.

Supongamos ahora T0h(Σ) 6= P0. Ası, podemos considerarX ∈ h(∂D(Q, νd

))⊂

T0h(Σ) con x3(X) < 0. Sea Q′ el punto de h(∂V) cuya proyeccion ortogonal sobreT0h(Σ) es X. Entonces, νd sin θ = |X| sin θ = −x3(X) > 0 (ver Figura 4.3), y

x3(Q′) = x3(X) + u(X) cos θ = −νd sin θ + u(X) cos θ

≤ −νd sin θ + µd cos θ = d f(θ).

La Afirmacion 4.4 queda ası probada.

Figura 4.3: h(V) es el grafo de u definido sobre el disco contenido en T0h(Σ) centradoen el origen y de radio νd.

Sea Q′ ∈ h(V) cumpliendo la Afirmacion 4.4. Como V ⊂ P(α)−, tomandoimagenes por h obtenemos que x3(Q

′) ≥ −δ. Y con esto,

f(θ) ≥ x3(Q′)

d≥ −δ

d

(4.2)

≥ −ν2,

lo cual prueba el Lema 4.1. 2

Corolario 4.5 Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ yθ′0 ∈]0, π/2[ tales que para cualesquiera t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ∩pr(α,α+ε, λt),se cumple

∠(TQΣ,P(α+ ε)) ≤ θ′0.

71

Demostracion. Sean ε, λ, θ0 cumpliendo el Lema 4.1. Tengase en cuenta que

∠(TQΣ,P(α+ ε) ≤ ∠(TQΣ,P(α)) + ∠(P(α),P(α + ε)) ≤ θ0 + ε.

Tomando ε > 0 suficientemente pequeno verificando θ′0 = θ0 + ε < π/2, obtenemosdirectamente lo que buscamos. 2

Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ y θ′0 ∈]0, π/2[cumpliendo el Corolario 4.5. Consideremos la proyeccion ortogonal p : P(α+ ε)+ →P(α + ε). Dado X ∈ P(α+ ε), denotaremos

LX = p−1(X) y D(X, r) = B(X, r) ∩ P(α + ε).

Diremos que un punto P ∈ LX es un punto extremal de Σ respecto de P(α + ε) siP ∈ Σ y ademas se cumple que:

si Q ∈ Σ ∩ LX , entonces Q ∈ [X,P ].

Fijemos tambien una sucesion creciente tnn∈N de reales positivos divergiendo a+∞. Para la demostracion del Teorema Principal asociaremos a cada una de lascomponentes bien orientadas obtenidas en la Proposicion 3.6, S1 y S2, una sucesionde superficies minimales estables a la que le aplicaremos el siguiente Lema:

Lema 4.6 Sea Σnn∈N una sucesion de superficies relativamente compactas y sim-plemente conexas, con Σn ∈ Aα,β,t0,tn para cada n ∈ N. Supongamos que existenX0 ∈ P(α+ ε) y δ0 > 0 verificando la siguiente condicion de uniformizacion:

Para cada n ∈ N, existe un punto Pn ∈ Σn ∩ LX0 tal que |Pn −X0| ≥ δ0.

Entonces, para cada n ∈ N suficientemente grande existen un dominio Ωn ⊂ P(α+ε)y un grafo minimal Gun , con un : Ωn → R+

0 , cumpliendo:

1. X0 ∈ Ωn ⊂ Bn = P(α+ ε) ∩ 0 < x3 < λtn;

2. Ωn es conexo y simplemente conexo;

3. un|∂Ωn∩Bn= 0;

4. |∇un| ≤ tgθ′0;

5. Para cada X ∈ Ωn, un(X) = X + un(X)~nα+ε ∈ LX es extremal con respecto aΣn.

Ademas, la sucesion Gunn admite una parcial convergente a un grafo minimal Gu,siendo u : Ω → R+

0 y Ω ⊂ P(α + ε) un dominio simplemente conexo cumpliendou|∂Ω = 0.

72

Demostracion. Sean X0 ∈ P(α + ε) y δ0 > 0 cumpliendo la condicion de uni-formizacion. Es claro que, para n ∈ N suficientemente grande, se tiene X0 ∈ Bn

(en adelante, solo trabajaremos con estos n ∈ N). Como por hipotesis existe unpunto Pn ∈ Σn ∩ LX0 y X0 ∈ Bn, concluımos que X0 ∈ p(Σn ∩ p−1(Bn)). Sea Ωn lacomponente conexa de p(Σn∩p−1(Bn)) que contiene a X0. Notese que dado X ∈ Ωn,sobre la semirrecta LX existen puntos de Σn. Ademas, la distancia de los puntos deΣn ∩ LX a P(α + ε) esta acotada superiormente (pues Σn ∈ P(α)−), y por ser Σn

relativamente compacta, existe

un(X) = max|X − P | : P ∈ Σn ∩ LX.

Esto define una funcion un : Ωn → R+0 (en principio, no puede presuponerse ninguna

regularidad sobre un). Notese que la condicion de uniformizacion implica un(X0) ≥δ0. Veamos que un es una funcion continua, con lo que obtendremos que el grafoGun es conexo. Para cada X ∈ Ωn, denotaremos

un(X) = X + un(X)~nα+ε ∈ Gun ⊂ Σn.

Para probar la continuidad de un necesitamos la siguiente

Afirmacion 4.7 Dado X ∈ Ωn, existen un entorno (conexo) UX,n de un(X) enΣn y RX,n > 0 proporcional a un(X) tales que p : UX,n → D(X,RX,n) es undifeomorfismo.

Demostracion de la Afirmacion 4.7. Por el Corolario 4.5, sabemos que

p : Σn ∩ pr(α,α + ε, λtn) → P(α+ ε)

es un difeomorfismo local. Dado X ∈ Ωn, una simple aplicacion del Teorema de laFuncion Inversa prueba que existe un entorno UX,n de un(X) en Σn∩pr(α,α+ε, λtn)(que podemos suponer conexo) y existeRX,n > 0 tales que p : UX,n → D(X,RX,n) esun difeomorfismo. Solo queda probar que tomando UX,n convenientemente pequeno,podemos elegir RX,n proporcional a un(X).

Veamos en primer lugar que

distR3(un(X), ∂Σn) > d = un(X) cos(α + ε). (4.3)

Como Σn ∈ Aα,β,t0,tn, entonces basta probar que distR3(un(X),P(α+ ε)∪Pλtn) ≥ d.

Como 0 < α + ε, es claro que distR3(un(X),P(α + ε)) = un(X) > d. Ademas,

α + ε < π/2, luego x3(X) = x3(un(X)) + d (ver Figura 4.4), de donde obtenemos

que x3(un(X)) < λtn − d (ya que X ∈ Ωn ⊂ Bn). Ası, distR3(un(X),Pλtn) =

λtn − x3(un(X)) > d, y distR3(un(X), ∂Σn) > d.

Denotaremos por Tun(X)Σn al plano tangente afın a Σn en un(X), y ~n sera elnormal unitario a Σn en un(X) que cumple 〈~n, ~nα〉 ≤ 0. Como se cumple (4.3), el

73

Figura 4.4: |X − un(X)| = un(X), y d = un(X) cos(α + ε).

Corolario 25 asegura que existen µn, νn > 0, y existe una funcion vn definida sobre

el disco cerrado DX,n = B(X, νn

d2

)∩ Tun(X)Σn para los cuales

UX,n = Y + vn(Y )~n : Y ∈ DX,n

es un entorno de un(X) en Σn. Achicando νn, podemos suponer UX,n ⊂ UX,n.

Ademas, |vn(Y )| ≤ µnd2

para todo Y ∈ DX,n. Recordemos tambien que el Coro-lario 25 nos permite tomar µn

νntan pequeno como queramos, en particular, podemos

suponer que se cumple

µn <νn

tan θ′0. (4.4)

Una sencilla aplicacion del Teorema de Pitagoras nos asegura que para cadaY, Y ′ ∈ P(α + ε)+ se tiene que |p(Y ) − p(Y ′)|2 + 〈Y − Y ′, ~nα+ε〉2 = |Y − Y ′|2 (verFigura 4.5), luego

|p(Y ) − p(Y ′)|2 = |Y − Y ′|2 − 〈Y − Y ′, ~nα+ε〉2 = |(Y − Y ′) ∧ ~nα+ε|2.

Figura 4.5: El Teorema de Pitagoras se aplica al triangulo Y Y ′Y ′′.

74

En particular, aplicando lo anterior a un(X) e Y + vn(Y )~n, con Y ∈ DX,n, se tieneque ∣∣∣X − p

(Y + vn(Y )~n

)∣∣∣ =∣∣∣(un(X) − Y − vn(Y )~n

)∧ ~nα+ε

∣∣∣

≥∣∣∣(un(X) − Y

)∧ ~nα+ε

∣∣∣− |vn(Y )| |n ∧ ~nα+ε|

= |un(X) − Y | sin ∠(Y − un(X), ~nα+ε) − |vn(Y )| sin ∠(~n, ~nα+ε).

Notese que Y − un(X) ∈ Tun(X)Σn. Por el Corolario 4.5, sabemos que ∠(Y −un(X), ~nα+ε) ≥ π/2 − θ′0 y ∠(−~n, ~nα+ε) ≤ θ′0. Por tanto, queda

∣∣∣X − p(Y + vn(Y )~n

)∣∣∣ ≥ |Y − un(X)| sin(π/2 − θ′0) − |vn(Y )| sin θ′0

≥ |Y − un(X)| cos θ′0 − µnd

2sin θ′0.

Tomando ahora Y ∈ ∂DX,n, obtenemos

∣∣∣X − p(Y + vn(Y )~n

)∣∣∣ ≥ (νn cos θ′0 − µn sin θ′0)d

2

(4.4)> 0.

La desigualdad anterior demuestra que un(D(X, RX,n)) ⊂ UX,n, siendo RX,n =νn cos θ′0−µn sin θ′0

2d.

Figura 4.6: Un entorno de un(X) en Gun es difeomorfo a D(X, RX,n) mediante p.

Como p|UX,n

es un difeomorfismo sobre su imagen, terminamos tomando UX.n =(p|

UX,n

)−1 (D(X, RX,n)

), que es un grafo sobre D(X, RX,n). Y ahora RX,n es pro-

porcional a d, que a su vez lo era a un(X). Esto concluye la Afirmacion 4.7.

Afirmacion 4.8 un ∈ C(Ωn).

75

Demostracion de la Afirmacion 4.8. Por la Afirmacion 4.7, para cada X ∈ Ωn,existen un entorno (conexo) UX de un(X) en Σn y un radio RX > 0 proporcionala un(X) tales que UX se escribe como grafo de una funcion continua uX definidasobre D(X,RX) ⊂ Ωn, UX = GuX .

Sea X ∈ Ωn. Para probar que un es continua en X, tomemos una sucesion Xkk

convergente a X, y probemos que un(Xk) → un(X). Como Σn es relativamentecompacta, sabemos que la sucesion un(Xk)k admite una parcial convergente aun punto P ∈ Σn. Y como Xk → X, entonces P estara en la misma vertical(respecto de P(α+ ε)) que un(X). Ası, sera P = X + l ~nα+ε, con l ≥ 0. Si probamosque l = un(X), ya habremos acabado. Por extremalidad de un(X), es claro quel ≤ un(X). Por otro lado, sabemos que Xk ∈ D(X,RX ) a partir de cierto termino,y que un(Xk) ≥ uX(Xk). Tomando lımites, obtenemos l ≥ uX(X) = un(X), ya queuX sı es continua, luego l = un(X), y la Afirmacion 4.8 queda probada.

Ya tenemos probado que Gn = Gun ⊂ Σn es un grafo minimal definido sobre Ωn

(notese en particular que un es C∞). Por construccion, se cumplen los apartados 1y 5 del Lema 4.6. Para el apartado 3, tengamos en cuenta

un(∂Ωn ∩Bn) ⊂ ∂Σn ∪ [Σn ∩ (Pt0 ∪ P(α+ ε))].

Como ∂Σn ∩ pr(α, β, tn) = ∅ y por el principio del maximo Σn ∩ Pt0 = ∅, con-cluımos que un(∂Ωn ∩ Bn) ⊂ Σn ∩ P(α + ε), de donde el apartado 3 del Lema 4.6queda probado. El apartado 4 se debe a que ∠(TP Σn,P(α + ε)) ≤ θ′0 para todoP ∈ Gn ⊂ Σn ∩ pr(α,α + ε, λtn). Probemos 2: Como hemos tomado Ωn conexo,solo falta probar que Ωn es simplemente conexo. Sea γ ⊂ Ωn una curva de Jordan, yγn = (p|Gn )−1(γ). Como Σn es simplemente conexa, γn es borde de un discoDn ⊂ Σn.Ademas, la propiedad de la envolvente convexa nos asegura que Dn ⊂ p−1(Bn).Notese que Dn tiene como retracto de deformacion un punto. Componiendo dichoretracto de deformacion con p, obtenemos que γ es nulhomotopica en Ωn. Y portanto, Ωn es un dominio simplemente conexo, lo cual acaba con los cinco puntos delenunciado del Lema 4.6.

Para terminar, probemos que la sucesion unn∈N obtenida anteriormente admiteuna parcial convergente a una solucion de (1) definida sobre un dominio simplementeconexo. Por 3, podemos considerar para cada n ∈ N la extension de un por 0 atodo Bn, que denotaremos por un. un sigue siendo continua, y es diferenciable atrozos. Veamos que la sucesion un admite una parcial convergente a una funcion udiferenciable a trozos definida sobre todo P(α+ ε) ∩ x3 > 0.

Como Σn ⊂ P(α)−, unn es una sucesion uniformemente acotada en cadasemidisco Dm = P(α+ ε) ∩ x3(X) > 0, |X| < m ⊂ P(α+ ε) ∩ x3 > 0. Ademas,por el apartado 4 del Lema 4.6, la sucesion de gradientes ∇un esta uniformementeacotada por tan θ′0 enDm. En estas condiciones, el Teorema de Arzela-Ascoli asegura

76

que, tras pasar a una parcial, unn converge uniformemente en Dm a una funcioncontinua definida enDm. Usando un argumento diagonal, conseguiremos una parcial,a la que seguiremos denotando unn, que converge uniformemente sobre compactosde P(α+ ε) ∩ x3 > 0 a una funcion continua u.

Notese que para cada n ∈ N se tiene que un ≥ 0 y un(X0) ≥ δ0. Tomandolımites, obtenemos que u ≥ 0 y u(Q0) ≥ δ0 > 0. Podemos por tanto considerar lacomponente conexa Ω de X ∈ P(α + ε) : u(X) > 0 que contiene a X0, y seau = u|Ω. Como un|Bn−Ωn = 0 para cada n ∈ N, se tiene que u|∂Ω = 0.

Afirmacion 4.9 Para cada X ∈ Ω, existen un entorno abierto V(X) de X en Ω yun natural n(X) tales que V(X) ⊂ Ωn para todo n ≥ n(X), y u es lımite uniforme deun en V(X). En particular, u ∈ C∞(Ω), u es solucion de la ecuacion (1), y u|Ω > 0.

Demostracion de la Afirmacion 4.9. Fijemos X ∈ Ω tal que u(X) > 0. Por con-tinuidad de u, existe V(X) entorno relativamente compacto de X en Ω tal queu|

V(X)> 0. Ası, 0 < u|V(X)

= u|V(X)= lımun|V(X)

. Como V(X) es relativamente

compacto y u|V(X)

> 0, deducimos que un|V(X)> 0 a partir de un natural n(X),

y por tanto V(X) ⊂ Ωn y un|V(X)= un|V(X)

para todo n ≥ n(X). Ası, u|V(X)es

lımite uniforme de las soluciones un|V(X)de la ecuacion (1), y la Afirmacion 4.9

esta probada.

Afirmacion 4.10 En la situacion anterior, dado un compacto K ⊂ Ω, existe nK ∈N tal que K ⊂ Ωn para todo n ≥ nK . Ademas, unn converge uniformemente enK a u, y se cumple

un ≥ mın u|K2

en K. (4.5)

Demostracion de la Afirmmacion 4.10. Sea X ∈ K. Por la Afirmacion 4.9, existenV(X) entorno abierto de X en Ω y n(X) ∈ N tales que V(X) ⊂ Ωn para todon ≥ n(X), y u es lımite uniforme de unn sobre V(X). Por compacidad, existen

X1, . . . ,Xk ∈ K tales que K ⊂k⋃

i=1

V(Xi). Llamemos nK = maxn(X1), ..., n(Xk).

Ası, K ⊂ Ωn para cada n ≥ nK, y unn≥nKconverge uniformemente a u en K.

Por ultimo, (4.5) es consecuencia directa de que u es positiva y continua en Ω, yunn≥nK

converge uniformemente a u en K.

Para terminar la demostracion del Lema 4.6, solo resta probar que Ω es undominio simplemente conexo. Sea γ ⊂ Ω una curva de Jordan. Por la Afirmacion 4.10aplicada al compactoK = γ, existe nγ ∈ N tal que γ ⊂ Ωn y un|γ ≥ mın u|γ

2, para cada

n ≥ nγ. Sea D ⊂ P(α+ε) el dominio interior encerrado por γ. Como γ ⊂ Ωn y Ωn es

77

simplemente conexo, deducimos que D ⊂ Ωn. Por el principio del maximo, sabemosque un|D ≥ mınu|γ

2. Tomando lımites, obtenemos u|D ≥ mın u|γ

2> 0, luego D ⊂ Ω. Ya

tenemos probado que Ω es simplemente conexo, y esto concluye la demostracion delLema 4.6. 2

78

Capıtulo 5

Demostracion del TeoremaPrincipal

Sea E un final en las condiciones del Teorema Principal. Supondremos que Etiene curvatura total infinita, y llegaremos a una contradiccion. Por la Proposi-cion 3.6, sabemos que existe un plano Π no horizontal, transversal a E, y con∂E ⊂ Π−; y que existen dos componentes conexas S1, S2 de E ∩ Π+ bien orien-tadas, simplementes conexas y con frontera ∂Si ⊂ Π que se conecta a ∂E medianteuna curva ci ⊂ E− (S1 ∪S2). Salvo traslacion y/o rotacion de eje vertical, podemossuponer que Π = P(β), para cierto β ∈]0, π] (siguiendo la notacion de la pagina 67).

Sea S una de las dos componentes conexas S1, S2 cumpliendo la Proposicion 3.6.Consideremos α = supθ ≥ 0 : S ∩P(θ)+ = ∅. Nuestro primer objetivo sera probarque α = 0, que es una forma de expresar que la tercera funcion coordenada tiene uncrecimiento en S menor que sublineal (como ocurre en un final de tipo catenoide).

Sea t0 = mınx3|S > 0, que existe por el principio del maximo y por ser x3|Epropia; ademas, sabemos que dicho mınimo se alcanza en ∂S. Fijemos un puntoQ0 ∈ S y una sucesion estrictamente creciente tnn∈N de reales positivos divergien-do a +∞, con t1 > x3(Q0) ≥ t0 (suponemos S ∩ Ptn transversal para cada n ∈ N).Ası, para cada n ∈ N se tiene que Q0 ∈ S ∩ x3 < tn. Denotaremos por S(n)a la componente conexa de S ∩ x3 < tn que contiene a Q0. Notese que S(n) esrelativamente compacta por ser x3|E es propia y que ∂S(n) ⊂ ∂S ∪ Ptn . Como S essimplemente conexa, deducimos que S(n) es un disco topologico. El Lema de Dehnasegura la existencia de un disco minimal estable Σ(n) con borde ∂S(n), contenidoen H− ∩ pr(α, β, tn) ∩ x3 ≥ t0 (en particular, mın x3|Σ(n) ≥ t0). Sabemos ademasque o bien Σ(n) = S(n), o bien Σ(n)∪S(n) bordea un dominio simplemente conexocontenido en H−. Notese que Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn (ver definicion en la pagina 68).

Lema 5.1 Si α ∈ [0, π/2[, entonces podemos suponer que el plano Π respecto delcual esta definida la componente S, es de la forma Π = P(β), para cierto β ∈]α, π/2].

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Este Lema cambia el plano Π = P(β) asociado a la componente S. Por tanto, lacomponente en S1, S2 − S no tendra ya asociado el mismo plano Π. Una vezprobado que α = 0, sera posible tomar de nuevo P(β), con β ≤ π/2, comun a lasdos componentes.

Demostracion. Por definicion de α (y por el Teorema de Sard), podemos tomarβ ′ ∈]α,mınβ, π/2] tal que S∩P(β ′) 6= ∅ sea transversal. Por el Lema 3.2, sabemosque existe una componente conexa S ′ de E ∩ P(β ′)+ bien orientada, con S ′ ⊂ S.Falta comprobar que S ′ es simplemente conexa, y que se puede conectar a ∂Emediante un arco contenido en E− (S ′∪S ′′), donde S, S ′′ = S1, S2. Se concluyesiguiendo un razonamiento similar al seguido en el primer caso de la demostracionde la Afimacion 3.9. 2

En lo que sigue, denotaremos para cada n ∈ N

En = [(E ∩ x3 < tn) − S(n)] ∪ Σ(n).

Para cada n ∈ N suficientemente grande, existira m(n) ∈ N, m(n) ≥ n, parael que construiremos una curva γn ⊂ Em(n), uniendo ∂E con Ptm(n)

. Tomaremosun entorno tubular Un de γn en Em(n) y aplicaremos el Lema de Dehn con borde∂(Em(n) − Un) tomando como 3-variedad el dominio contenido en H de los dos enque Em(n) divide a 0 < x3 < tm(n). De esta forma, construiremos una sucesion dediscos minimales estables Dnn y, supuesto que α > 0, construiremos una curvade Jordan homotopicamente no trivial en Dn para n suficientemente grande. Estacontradiccion probara que α = 0.

Definimos el semiespacio abierto por encima de Pt

At = x3 > t, para cada t > 0 ;

la region infinita (abierta) determinada por P(α), P(α + ε), x2 = 1 y x2 = −1(ver Figura 5.1)

Bε =

cos(α+ ε)

sin(α + ε)x3 < x1 <

cosα

sinαx3, |x2| < 1

,

donde ε se elige en ]0, β − α[ (si α ∈ [0, π/2[, hemos cambiado β como dice elLema 5.1); y el cilindro vertical macizo y abierto de radio L

CL = x21 + x2

2 < L2, para cada L > 0 .

Para la construccion de la curva γn daremos tres pasos. En el primero, construi-remos el arco central de la curva γn sobre un grafo minimal contenido en Σ(m(n))∩Bε ⊂ Em(n) para cierto ε ∈]0, β − α[. En un segundo paso, uniremos un extremo

80

Figura 5.1: Izquierda: en gris, Bε en el caso 0 ≤ α < α+ ε < π/2.

Derecha: Bε en el caso π/2 ≤ α < α + ε < π.

de un subarco de este arco central de γn con ∂E mediante una curva contenidaen Em(n) ∩ CL, para cierto L > 0 suficientemente grande. Por ultimo, uniremosel otro extremo del subarco central con un punto en Ptm(n)

mediante un arco enΣ(m(n)) ∩Atn.

Para dar cada uno de estos tres pasos, necesitamos una de las tres siguientesAfirmaciones:

Afirmacion 5.2 Existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[, n0 ∈ N y una sucesion unn≥n0

de soluciones de (1) cumpliendo

1. Para cada n ≥ n0, un esta definida sobre un dominio Ωn simplemente conexocontenido en P(α+ ε) ∩ 0 < x3 < λtn verificando un|∂Ωn∩x3<λtn = 0.

2. Para cada n ≥ n0, el grafo minimal Gun esta formado por puntos extremalesde Σ(n) respecto de P(α + ε).

3. Pasando a una parcial, unn≥n0 converge hacia una solucion u : Ω → R+0 de

(1), siendo Ω un dominio simplemente conexo contenido en P(α+ε)∩x3 > 0;y se cumple u|∂Ω = 0.

Demostracion de la Afirmacion 5.2. Consideremos en primer lugar el caso 0 ≤ α <π/2. Por el Lema 5.1, podemos suponer que Π = P(β), para cierto β ∈]α, π/2].Recordemos que Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn. Para estos valores α, β y t0, sabemos que existenε ∈]0, β−α[ y λ ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5. Para obtener la Afirmacion 5.2en este primer caso, vamos a aplicar el Lema 4.6, pero para ello necesitamos unpunto X0 ∈ P(α + ε) verificando la condicion de uniformizacion que aparece en lashipotesis de dicho Lema.

Por definicion de α, podemos tomar un punto P0 ∈ S∩P(α+ε)+. Llamamos X0 =p(P0), siendo p : P(α+ε)+ → P(α+ε) la proyeccion ortogonal sobre P(α+ε). Como∂E ⊂ P(β)− ⊂ P(α + ε)− y α + ε ∈]0, π/2[, entonces LX0 = p−1(X0) ⊂ P(α + ε)+

nos define un segmento orientado l con origen X0 y extremo en H−∩P0. Y por ser S

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una componente bien orientada, si P ′0 es el punto de l mas alejado de X0, entonces el

vector tangente ~v a l en P ′0 apunta hacia H−. Sea n0 ∈ N cumpliendo que P ′

0 ∈ S(n)para todo n ≥ n0. Si Σ(n) = S(n), entonces es claro que l ∩ Σ(n) 6= ∅. Si por elcontrario Σ(n) 6= S(n), entonces se tiene que ~v es entrante al dominio encerrado porS(n)∪Σ(n). Como l termina en H− ∩ P0, que esta contenido en el dominio exteriorde S(n)∪Σ(n), deducimos que l corta a Σ(n). En cualquiera de los dos casos, existeun punto Pn ∈ l ∩ Σ(n), y ademas se tiene que |Pn − X0| ≥ |P ′

0 −X0|. Tomamosentonces δ0 = |P ′

0 −X0| > 0, y se cumple la condicion de uniformizacion en X0 queaparece en el enunciado del Lema 4.6. Ya estamos en condiciones de aplicar dichoLema, el cual prueba directamente la Afirmacion 5.2 en este primer caso.

Consideremos ahora el caso π/2 ≤ α < π (notese que no puede ser α = π, ya queserıa S ⊂ P0, contradiccion con que E tiene curvatura total infinita). Razonandocomo en el Lema 5.1, podemos suponer que Π = P(β), con β ∈

]α, π+α

2

]. Llamamos

α′ = α2

y β ′ = β − α2. Ası, α′ ∈]0, π/2[ y β ′ ∈]α′, π/2]. Notese que

pr (α′, β′, t′n) ⊂ Rot−α′

(pr(α, β, tn)

)

siendo t′n = sinα′

sinαtn y Rot−α′ la rotacion de angulo −α′ alrededor del eje x2 (ver

Figura 5.2). Ademas, si llamamos Σ(n)′ = Rot−α′(Σ(n)), entonces mınx3|Σ(n)′ ≥t′0 = sinα′

sinαt0 (ver Figura 5.2).

Figura 5.2: tnd

= sin(π − α) = sinα, luego t′n = d sinα′ = sin α′

sinαtn. Analogamente,

t′0 = sinα′

sin αt0. La zona en gris claro se corresponde con pr(α, β, tn) ∩ x3 ≥ t0; y

pr (α′, β′, t′n) ∩ x3 ≥ t′0 es la parte rayada.

Por tanto, Σ(n)′ ∈ Aα′,β′,t′0,t′n. Sean ε ∈]0, β − α[ y λ′ ∈]0, 1[ cumpliendo elCorolario 4.5 para α′, β ′ y t′0. Podemos aplicarle el caso anterior a Σ(n)′, obteniendoası una sucesion convergente de grafos minimales que cumple la Afirmacion 5.2para ε, λ′ y cierta parcial Σ(n)′n≥n0 . Rotando ahora el angulo α′ alrededor del

eje x2 y tomando λ = λ′ sinα′

sinαsin(α+ε)sin(α′+ε)

(ver Figura 5.3), obtenemos una sucesion de

grafos minimales Gunn cumpliendo los tres apartados de la Afirmacion 5.2. LaAfirmacion 5.2 queda ası demostrada.

82

Figura 5.3: t′′n = d′ sin(π−α−ε) = d′ sin(α+ε) = t′nsin(α′+ε)

sin(α+ε) = sin α′

sinαsin(α+ε)sin(α′+ε)

tn.

Sea c ∈ c1, c2 la curva contenida en E − (S1 ∪ S2) que une ∂S con ∂E, y Γ0

la componente conexa de ∂S que contiene al punto QS = c ∩ ∂S. Fijemos L0 > 0 ya0 > t0 cumpliendo ∂E ∪ c ⊂ CL0 ∩ x3 < a0.

Afirmacion 5.3 Dados a > a0 y ε ∈]0, β−α[, existen T > a y L > L0 cumpliendopara todo n ∈ N con tn ≥ 2T y todo P punto extremal de Σ(n) respecto de P(α+ ε)que:

Si x3(P ) < a, entonces existe una curva η embebida en En ∩ CL conorigen P y extremo en ∂E.

Ademas, η − Σ(n) ⊂ c ⊂ E − (S1 ∪ S2).

Demostracion de la Afirmacion 5.3. A cada componente conexa Γ de ∂S le asociamosun punto QΓ ∈ Γ tal que x3(QΓ) = mınx3|Γ (sabemos que existe por ser x3|Epropia). Recordemos que para cada P ∈ Γ, [QΓ, P ]Γ denota el trozo (cerrado) de Γcomprendido entre QΓ y P . Sea

Γa =⋃

P∈Γ∩x3≤a

[QΓ, P ]Γ

(notese que Γ ∩ x3 ≤ a ⊂ Γa, pero que en general no se da la igualdad, verFigura 5.4). Claramente, Γa es conexo y compacto.

Denotaremos

Λa = Γ componente conexa de ∂S : x3(QΓ) ≤ a y f(a) = supΓ∈Λa

(maxx3|Γa

).

Notese que, dada una componente conexa Γ de ∂S, puede ser Γa = ∅ (si x3(QΓ) > a).Sin embargo, Λa 6= ∅, ya que hemos tomado a > a0, y por tanto Γ0 ∈ Λa (en efecto,

83

Figura 5.4: Dibujo sobre P(β). Γa es la parte mas gruesa.

x3(QΓ0) ≤ x3(QS) < a0). Como Λa 6= ∅ y x3 no esta acotada superiormente sobreninguna componente de ∂S, deducimos que f(a) ≥ a. Vamos a probar que el supremoque aparece en la definicion de f(a) es de hecho un maximo. Para ello, veamos quepara cada altura t > t0 existe un numero finito de componentes conexas de ∂Sconteniendo puntos a altura menor o igual que t (en particular, esto nos dira tambienque Γa es compacto): En caso contrario, existirıa una sucesion de puntos Qkk en∂S ∩ x3 ≤ t, con cada Qk en una componente conexa distinta de ∂S. Como x3|Ees propia, entonces la sucesion Qkk tendrıa un punto de acumulacion Q∞ ∈ E,que no es posible. En particular, ∂S∩x3 ≤ a esta formado por una cantidad finitade componentes conexas, de donde concluımos que Λa es un conjunto finito. Luegof(a) es un maximo, y f(a) < +∞.

Para cada componente conexa Γ de ∂S, tomamos una curva ηΓ ⊂ S con origenQΓ y extremo QS (notese que Γ ∈ Λa no implica ηΓ ⊂ S ∩x3 ≤ a, ver Figura 5.5).

Como Λa es un conjunto finito, entonces existe f(a) = maxΓ∈Λa

(maxx3|ηΓ

)< +∞.

Figura 5.5: En este caso, Γ ∈ Λa, pero no es posible tomar una curva contenida enS ∩ x3 ≤ a uniendo QΓ con QS

Sean T > f(a), tn ≥ 2T y P ∈ Σ(n)∩x3 < a extremal con respecto a P(α+ε).Notese que QS ∈ ∂S(n) = ∂Σ(n) (ya que tn > a0).

Sean M y M0 las componentes conexas de Σ(n) ∩ x3 < T verificando P ∈M y QS ∈ ∂M0. Vamos a probar que M = M0: M0 divide a pr(0, β, T ) en doscomponentes conexas:M+

0 , M−0 . LlamamosM−

0 a aquella que cumple ∂M−0 ∩P0 6= ∅.

Como S esta bien orientada, llegamos a que S ⊂ M+0 en un entorno de QS. Como

84

M ⊂ Σ(n), entonces M es relativamente compacta, y x3|M alcanza su mınimo enuna componente Γ de ∂M . x3(P ) < a, luego x3(QΓ) = mınx3|M < a, y Γ ∈ Λa.

Consideramos la curva ηΓ ⊂ S, que une QΓ con QS. Hemos tomado T > f (a), lo cualimplica que ηΓ esta contenida en una misma componente conexa de S ∩ x3 < T.Como S ⊂ M+

0 en un entorno de QS, deducimos que ηΓ ⊂ M+0 (por conexion, y

porque o bien Σ(n) ⊂ S, en cuyo caso ηΓ ⊂M0, o bien Σ(n)∩S = ∅, y ηΓ∩M0 = ∅).Y por tanto, M ⊂ M+

0 (ya que P ∈ ηΓ ∩M y Σ(n) es embebida). A continuacion,

probaremos que tambien se tiene M ⊂ M−0 , con lo cual ya tendremos probada la

igualdad M = M0. Para ello, distinguimos dos casos:

(i) Supongamos que 0 ≤ α < π/2. Como P es extremal, si X = p(P ), entonces el

trozo de LX entre P y P0 no corta a Σ(n). En particular, P ∈ M−0 , de donde

concluımos directamente que M ⊂M−0 .

(ii) Supongamos ahora que π/2 ≤ α < π. Consideramos el segmento γP ortogonala P(α + ε) con origen P y extremo en P(α). Si tomamos T > a sin α

cos ε sin(α+ε),

entonces γP ⊂ x3 < T (ver Figura 5.6). Como P es extremal, sabemos queγP ∩Σ(n) = ∅. Ademas, Σ(n)∩P(α) tambien es vacıo porque Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn,por lo que si prolongamos γP hasta P0 sobre P(α), entonces obtenemos un arco

en M−0 partiendo de P , lo cual nos dice que P ∈M−

0 , como querıamos.

Figura 5.6: d2 = d1

sin(π−α−ε)= d1

sin(α+ε); d3 = d2

cos ε= d1

cos ε sin(α+ε);

y d4 = d3 cos(α − π/2) = d3 sinα = d1 sinαcos ε sin(α+ε)

.

Como d1 < a, entonces x3(γP ∩ P(α)) = d4 <a sinα

cos ε sin(α+ε).

Tomamos T > a sinαcos ε sin(α+ε)

, luego M = M0 en cualquiera de los casos (i), (ii)

anteriores. Entonces, podemos tomar una curva η ⊂M0 partiendo de P y llegandoa QS. Como Σ(n) es relativamente compacta, es claro que podemos tomar L > 0

85

verificando η ⊂ CL. Pero queremos que L sea independiente de n. Probaremos que ηesta contenida en un cilindro CL, donde L solo dependera de a. Tomaremos L > L0,con lo cual tendremos asegurado c ⊂ CL. La curva η que buscamos sera η ∪ c.

Cambiamos momentaneamente el sistema de coordenadas, considerando comotercera funcion coordenada y3 = 2T − x3, y le aplicamos el Lema 1.1 a (x, y3) ∈Σ(n) : 0 ≤ y3 ≤ 2T, que tiene su borde contenido en y3 = 0 salvo una partecontenida en el compacto K = ∂S ∩ x3 ≤ T ⊂ P(β). Como y3 esta claramenteacotada sobre Σ(n) ∩ 0 ≤ y3 ≤ 2T, entonces existe una solucion w de (1) quesolo depende de K, que cumple lım

|x|→+∞w(x) = 0 y tal que que y3 ≤ w(x) para todo

(x, y3) ∈ Σ(n) ∩ 0 ≤ y3 ≤ 2T; o lo que es equivalente, 2T − x3 ≤ w(x) para todo(x, x3) ∈ Σ(n)∩0 ≤ x3 ≤ 2T. En particular, como η ⊂M0 ⊂ Σ(n)∩0 ≤ x3 ≤ T,entonces

T ≤ w(x), para todo (x, x3) ∈ η.

Como hemos dicho antes, lım|x|→+∞

w(x) = 0. Por tanto, existe L > L0 tal que w(x) <

T para cada |x| ≥ L. Notese que L solo depende de T y de w, que a su vez solodependen de a y K; luego L es independiente de n. Ası, η ⊂ (x, x3) : w(x) ≥ T ⊂CL. Ya basta tomar η = η ∪ c. En efecto, c ⊂ [E − (S1 ∪ S2)] ∩ x3 < tn ∩ CL0 ⊂En∩CL, y por construccion η ⊂ Σ(n)∩CL ⊂ En∩CL. Ası, η es una curva embebidaen En∩CL uniendo P con ∂E, y η−Σ(n) ⊂ c. La Afirmacion 5.3 queda ası probada.

Afirmacion 5.4 Para cualesquiera t > 0, tn > t, y P ∈ Σ(n) con x3(P ) > f(t)(segun la notacion introducida en la pagina 83), existe una curva η embebida enΣ(n) ∩ x3 > t con origen P y extremo en Ptn.

Demostracion de la Afirmacion 5.4. Sea Σ la componente conexa de Σ(n) ∩ x3 >f(t) que contiene a P . Sabemos que Σ es relativamente compacta, y que ∂Σ ⊂∂Σ(n) ∪ Pf(t). Por el principio del maximo, no puede ser ∂Σ ⊂ Pf(t), luego ∂Σ ∩∂Σ(n) 6= ∅. Podemos por tanto considerar una curva γ ⊂ Σ partiendo de P yllegando a un punto P ′ ∈ ∂Σ(n). Pueden darse dos casos: P ′ ∈ Ptn o P ′ ∈ P(β).En el primer caso, ya habrıamos acabado tomando η = γ. Supongamos entoncesque estamos en el segundo caso. Sea Γ la componente conexa de ∂Σ(n) ∩ P(β) quecontiene a P ′. Notese que no existen P ′

1, P′2 ∈ Γ∩x3 < t tales que P ′ ∈]P ′

1, P′2[Γ, ya

que serıa P ′ ∈ Γt, luego x3(P′) ≤ f(t), contradiccion. Por tanto, podemos prolongar

γ a traves de ∂Σ(n) ∩ P(β) ∩ x3 > t hasta Ptn , obteniendo ası la curva η delenunciado, con lo que se obtiene la Afirmacion 5.4.

Ya estamos en condiciones de construir las curvas γn de las que hablabamosal comienzo del capıtulo. Por no complicar la notacion, restringiremos la suce-sion tnn∈N a la parcial que cumple el tercer apartado de la Afirmacion 5.2, yla seguiremos denotando como la sucesion original. Fijemos ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[cumpliendo la Afirmacion 5.2, y recordemos que a0 > t0 y L0 > 0 cumplıan

86

∂E ∪ c ⊂ CL0 ∩ x<a0.

Lema 5.5 Existen T > a0 y L > L0 cumpliendo que para cada n ∈ N con tn ≥ 2T ,existe m(n) ∈ N, con tn ≤ λtm(n), para el cual podemos construir una curva γn ⊂Em(n) ∩ (Atn ∪ Bε ∪ CL) uniendo ∂E con Ptm(n)

, cumpliendose γn − Σ(m(n)) ⊂ c ⊂E − (S1 ∪ S2).

Demostracion. Fijamos un : Ωn → R+n cumpliendo la Afirmacion 5.2 (ε, λ estabanya fijados), y sea u : Ω → R+ el lımite de una parcial de unn. Consideremos elsemiplano H = P(α + ε) ∩ x3 ≥ 0 y la semirrecta r = H ∩ x2 = 0, Notese queΩ ⊂ H es un dominio simplemente conexo, y que u ∈ C2(Ω)∩C(Ω), u 6= 0 y u|∂Ω = 0.Estamos, por tanto, en condiciones de aplicar el Teorema 1.4, el cual nos aseguraque r ⊂ Ω salvo un compacto. Recordemos que se define u(X) = X + u(X)~nα+ε,para cada X ∈ Ω. Denotaremos γ = u|Ω∩r, que es una curva divergente partiendode P(α+ ε) (ya que u|∂Ω = 0).

Fijemos a > maxa0,mın x3|γ, y sean T > a y L > L0 cumpliendo la Afirma-cion 5.3 (recordemos que T,L son independientes de n). Sea R0 ∈ γ con x3(R0) < ay fijemos tn > 2T . Como x3|γ no esta acotada superiormente, podemos tomar

Rn ∈ γ con x3(Rn) > f(tn). Consideremos el compacto Kn = p([R0, Rn]γ

)⊂

Ω, donde p : P(α + ε)+ → P(α + ε) es la proyeccion ortogonal. Por la Afirma-cion 4.10, existe m(n) ≥ n tal que Kn ⊂ Ωm para cada m ≥ m(n). En parti-cular, tn ≤ f(tn) < x3(Rn) ≤ λtm(n). Consideramos γn = um(n)(Kn). Notese que

γn ⊂ Σ(m(n))∩Bε ⊂ Em(n) ∩Bε. Sean R0,n = um(n)

(p(R0)

)y R′

n = um(n)

(p(Rn)

).

Como unn converge a u, entonces podemos tomar m(n) suficientemente grandecumpliendo x3(R0,n) < a y x3(R

′n) > f(tn). Nos quedamos con [R0,n, R

′n]γn, que

seguimos llamando γn. Como x3(R0,n) < a, la Afirmacion 5.3 asegura que podemosextender γn mediante un arco desde R0,n hasta ∂E sobre Em(n)∩CL (a esta extension

la seguimos denotando por γn), siendo γn − Σ(m(n)) ⊂ c. Y por la Afirmacion 5.4,prolongamos γn mediante un arco contenido en Σ(m(n)) ∩Atn ⊂ Em(n) ∩Atn desdeR′

n hasta Ptm(n). Ası, obtenemos una curva γn ⊂ Em(n)∩(Atn∪Bε∪CL), que podemos

tomar embebida, uniendo ∂E con Ptm(n), con γn − Σ(m(n)) ⊂ c. 2

Fijemos T > a0, L > maxL0, 1, m(n)tn≥2T y γntn≥2T cumpliendo elLema 5.5. Para cada n ∈ N con tn ≥ 2T , consideramos un entorno tubular Un de γn

contenido en Em(n)∩ (Atn ∪Bε ∪CL). Notese que Em(n) divide a 0 ≤ x3 < tm(n) endos componentes conexas. Sea H−

n aquella verificando H−n ⊂ H−. Ası, Em(n) −Un es

un disco con borde contenido en ∂H−n . Por el Lema de Dehn, existe un disco minimal

estable Dn ⊂ H−n con frontera ∂Dn = ∂(Em(n) − Un). Notese que el anillo Dn ∪ Un

es homologo en H− a Em(n) y a E ∩ x3 < tm(n).

87

Lema 5.6 α = supθ ≥ 0 : S ∩ P(θ)+ = ∅ = 0.

Demostracion. Vamos a suponer por reduccion al absurdo que α > 0 y vamos aconstruir una curva c0 ⊂ Dm0 (m0 ∈ N suficientemente grande) que sera no nula enπ1(H−), contradiccion con que Dm0 ⊂ H− es un dominio simplemente conexo.

Para cada n ∈ N, vamos a construir cuatro grafos minimales G1n, G2

n, G3n y G4

n

contenidos en Dn. La curva c0 de la que hablabamos estara contenida en⋃4

i=1 Gim0

(m0 ∈ N suficientemente grande). Para construir las sucesiones G1nn, G2

nn,G3

nn, G4nn, aplicaremos el Lema 4.6 a la sucesion Dnn respecto de los planos

Π(1), Π(2), Π(3), Π(4) (resp.) definidos como sigue:

Sean ε1 ∈]0,mınα, π/2[ y λ1 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para los va-lores α′ = 0, β ′ = mınα, π/2 y t0. Definimos Π(1) como el plano dado por laecuacion x1 sin ε1−x3 cos ε1 = L sin ε1, orientado por ~n(1) = (sin ε1, 0,− cos ε1).

Sean ε2 ∈]0, π/2[ y λ2 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α′ = 0, β ′ = π/2y t0. El plano Π(2) vendra dado por la ecuacion −x2 sin ε2−x3 cos ε2 = L sin ε2,y estara orientado por ~n(2) = (0,− sin ε2,− cos ε2).

Sean ε3 ∈]0,mınπ − β, π/2[ y λ3 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 paralos valores α′ = 0, β ′ = mınπ − β, π/2 y t0. Π(3) sera el plano de ecuacion−x1 sin ε3 − x3 cos ε3 = L sin ε3, orientado por ~n(3) = (− sin ε3, 0,− cos ε3).

Sean ε4 ∈]0, π/2[ y λ4 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α′ = 0, β ′ = π/2y t0. Π(4) sera el plano de ecuacion x2 sin ε4 − x3 cos ε4 = L sin ε4, orientadopor ~n(4) = (sin ε4, 0,− cos ε4).

No hay problema en considerar ε1 = ε2 = ε3 = ε4 y λ1 = λ2 = λ3 = λ4, sin mas quetomar en cada caso el mınimo de los cuatro valores.

Notese que para cada n ∈ N, la superficie minimal estable Dn ⊂ t0 ≤ x3 <tm(n) es simplemente conexa y relativamente compacta. Ademas, ∂Dn − Ptm(n)

⊂CL ∩ x3 ≥ 0 ⊂ ∩4

i=1Π(i)−. En particular, Dn ∈ Ait0,tm(n)

para cada n ∈ N y cada

i ∈ 1, 2, 3, 4, donde Ait0,tm(n)

se definde como la familia de superficies minimales

estables Σ tales que x3(Σ) ≥ t0, Σ ⊂ P(0)− y ∂Σ ∩ pri(0, ε1, tm(n)) = ∅, donde

pr1(0, ε1, tm(n)) = X ∈ R3: 〈X,~n0〉 < 0, 〈X,~nε1 〉 > 0, x3(X) < tm(n) + Le1;

pr2(0, ε1, tm(n)) = X ∈ R3: 〈X,~n′0〉 > 0, 〈X,~n′

π−ε1〉 < 0, x3(X) < tm(n)−Le2;

pr3(0, ε1, tm(n)) = X ∈ R3: 〈X,~n0〉 > 0, 〈X,~nπ−ε1 〉 < 0, x3(X) < tm(n)−Le1;

pr4(0, ε1, tm(n)) = X ∈ R3: 〈X,~n′0〉 < 0, 〈X,~n′

ε1〉 > 0, x3(X) < tm(n) + Le2,

88

Figura 5.7: Para i ∈ 1, 2, 3, 4, Π(i) sera el plano sobre el que se definiran los grafosGi

nn.

siendo n′θ = (0, sin θ,− cos θ) para cada θ ∈ [0, π].

Para aplicar el Lema 4.6 a Dn respecto del plano Π(i), con i ∈ 1, 2, 3, 4 (cam-biando en el sistema de coordenadas x1 por x1+L, −x2 +L, −x1+L o x2+L, seguncorresponda), necesitamos en cada uno de los cuatro casos encontrar un punto X(i)sobre cada plano Π(i) para el cual se cumpla la condicion de uniformizacion.

Sea i ∈ 1, 2, 3, 4. Para encontrar X(i), tomemos en primer lugar un puntoP (i) ∈ E ∩ Π(i)+, lo cual es posible por el Lema 3.3 (basta considerar un planoΠ cumpliendo Π(i) ∩ P0 ⊂ Π ⊂ Π(i)+ ∩ P(0)−; el Lema 3.3 asegura que E ∩ Π ⊂E ∩ Π(i)+ contiene una curva no compacta). Sea pi : Π(i)+ → Π(i) la proyeccionortogonal sobre Π(i). Para cada X ∈ Π(i), Li

X denotara la semirrecta p−1i (X) ⊂

Π(i)+, orientada partiendo de X. Sea X(i) = pi(P (i)) ∈ Π(i). Vamos a comprobarque se cumple la condicion de uniformizacion en X(i). Sea P (i)′ el ultimo punto decorte de Li

X(i) con E (pasando a una parcial, podemos suponer que x3(P (i)′) < tnpara todo n ∈ N). Entonces, el vector tangente a Li

X(i) en P (i)′ es entrante a H−. Y

como Dn∪Un y E∩x3 < tm(n) son homologos en H−, entonces el vector tangente a

LiX(i) en P (i)′ apuntara hacia el dominio delimitado por Dn∪Un∪

(E∩x3 < tm(n)

)

en 0 < x3 < tm(n). Como LiX(i) llega a P0, que esta en el exterior de dicho dominio,

entonces sera LiX(i)∩(Dn∪Un) 6= ∅. Ası, existe un punto Pn(i) ∈ Li

X(i)∩(Dn∪Un) con

|Pn(i)−X(i)| ≥ |P (i)−X(i)|. Como hemos tenido cuidado tomando x3(P (i)′) < tn,entonces Pn(i)) 6∈ Atn. Ademas, ε1 < mınα, π − β, luego Bε ⊂ Π(1)− ∪ Π(3)−;y L > 1, luego Bε ⊂ Π(2)− ∪ Π(4)−. Ası, Bε ⊂ ∪4

i=1Π(i)−. Y como claramenteCL ⊂ ∪4

i=1Π(i)−, deducimos que Pn(i) 6∈ Un, y por tanto Pn(i) ∈ Dn. Ası, X(i)

89

cumple la condicion de uniformizacion del Lema 4.6 con δi0 = |P (i) −X(i)| > 0.

Ya estamos en condiciones de aplicar el Lema 4.6, el cual asegura la existenciapara cada i ∈ 1, 2, 3, 4 de una sucesion de grafos minimales Gi

nn cumpliendo:

Para cada n ∈ N, Gin ⊂ Dn es un grafo formado por puntos extremales de Dn

respecto de Π(i).

Para cada n ∈ N, Gin es grafo de una funcion ui

n definida sobre un dominiosimplemente conexo Ωi

n ⊂ Π(i)∩t0 ≤ x3 < λ1tm(n), y uin = 0 en ∂Ωi

n∩x3 <λ1tm(n).

Una parcial (que se puede tomar comun a las cuatro sucesiones) de uinn con-

verge a una solucion ui de (1) definida sobre un dominio simplemente conexoΩi ⊂ Π(i) ∩ x3 ≥ t0, con ui|∂Ωi = 0.

Afirmacion 5.7 Existe m0 ∈ N cumpliendo que ∂Ωim0

∩ ∂Ωjm0

6= ∅, para cua-lesquiera (i, j) ∈ Θ = (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1).

Demostracion de la Afirmacion 5.7. Sea (i, j) ∈ Θ. Consideramos la semirrectari,j = Π(i) ∩ Π(j) ∩ x3 ≥ 0. Por el Teorema 1.4, sabemos que ri,j ⊂ Ωi ∩ Ωj

salvo un compacto. Seguiremos denotando por ri,j a la semirrecta contenida en laanterior interseccion con Ωi ∩ Ωj. Sea K un compacto contenido en ri,j ⊂ Ωi ∩ Ωj.Por la Afirmacion 4.10, existe ni,j tal que K ⊂ Ωi

n ∩Ωjn para todo n ≥ ni,j . Ademas,

podemos tomar ni,j suficientemente grande cumpliendo K ⊂ x3 < λ1tni,j. Portanto, ri,j ∩ Ωi

n ∩ Ωjn ∩ x3 < λ1tn 6= ∅ para todo n ≥ ni,j. Tomamos m0 =

maxn1,2, n2,3, n3,4, n4,1. Como Π(i)∩Π(j)∩ x3 ≤ λ1tm0 6⊂ Ωim0

∩Ωjm0

, tenemosasegurada la existencia de un punto P (i, j) ∈ ∂(Ωi

m0∩ Ωj

m0) ∩ x3 ≤ λ1tm0 ⊂(

∂Ωim0

∩ Ωjm0

)∪(Ωi

m0∩ ∂Ωj

m0

). Supongamos que P (i, j) ∈ ∂Ωi

m0y probemos que

P (i, j) ∈ ∂Ωjm0

. Por simetrıa, habrıamos probado la Afirmacion 5.7.

Como P (i, j) ∈ ∂Ωim0

, entonces uim0

(P (i, j)) = P (i, j); luego la semirrectaLi

P (i,j) = P (i, j) + l ~n(i) : l > 0 no corta a Dm0 (por extremalidad). Se tiene

que pj

(P (i, j) + l ~n(i)

)= P (i, j) +

(l ~n(i)− 〈l ~n(i), ~n(j)〉~n(j)

)= P (i, j) + l

(~n(i)−

cos2 ε1 ~n(j)). Ası, si P = pj

(P (i, j) + l ~n(i)

), entonces

x3(P ) = x3(P (i, j)) + l(〈~n(i), e3〉 − cos2 ε1 〈~n(j), e3〉

)

= x3(P (i, j)) − l cos ε1 sin2 ε1). (5.1)

En particular, x3(P ) < x3(P (i, j)) ≤ λ1tm0 . Luego la proyeccion de la recta LiP (i,j)

sobre Π(j) se queda por debajo de Pλ1tm0. Consideramos la extension por cero de

ujm0

a todo Π(j) ∩ x3 ≤ λ1tm0, que denotamos por ujm0

, y definimos la funcion

Φ : R+0 → R, Φ(l) = l 〈~n(i), ~n(j)〉 − (uj

m0 pj)

(P (i, j) + l ~n(i)

).

90

Como ujm0

≥ 0, entonces Φ(0) ≤ 0. Vamos a probar por otro lado que Φ(0) ≥ 0, conlo cual tendremos Φ(0) = 0, que equivale a que se cumpla uj

m0(P (i, j)) = 0. Y como

estamos suponiendo que P (i, j) ∈ Ωjm0 , entonces concluımos que P (i, j) ∈ ∂Ωj

m0,

como querıamos.

Probemos por tanto que Φ(0) ≥ 0: Notese que si Φ(l) = 0, entonces P (i, j) +l ~n(i) ∈ Gj

m0⊂ Dm0 . Pero esto no es posible si l > 0, ya que Li

P (i,j) ∩ Dm0 = ∅.Por continuidad, Φ no cambia de signo en R+. Ademas, uj

m0|Ωj

m0∩x3<t0 = 0 (ya que

x3 ujm0

≤ x3 en Π(j)∩ x3 ≤ λ1tm0 y Dm0 ⊂ x3 ≥ t0), de donde deducimos por

(5.1) que (ujm0

pj)(P (i, j)+ l ~n(i)

)= 0 para todo l > x3(P (i,j))−t0

cos ε1 sin2 ε1. En consecuencia,

lıml→+∞

Φ(l) = +∞, y Φ ≥ 0. En particular, Φ(0) ≥ 0, que es lo que querıamos

demostrar. Acaba ası la demostracion de la Afirmacion 5.7.

Para cada (i, j) ∈ Θ, fijemos un punto P (i, j) ∈ ∂Ωim0

∩ ∂Ωjm0

, que podemostomar por la Afirmacion 5.7 que acabamos de probar.

Para cada i ∈ 1, 2, 3, 4, consideramos j, j′ ∈ 1, 2, 3, 4 con (i, j), (j′, i) ∈ Θ.Como P (i, j), P (j′, i) ∈ ∂Ωi

m0, existe por conexion un arco ηi ⊂ Ωi

m0uniendo P (i, j)

con P (j′, i). Notese que se cumple uim0

|∂ηi = 0. Consideramos la curva de Jordan

c0 = ∪4i=1u

im0

ηi ⊂ ∪4i=1G

im0

⊂ Dm0 .

Figura 5.8: η1 esta contenida en Ω1m0

⊂ Π(1), que es la parte coloreada en gris.

Afirmacion 5.8 La curva de Jordan c0 ⊂ Dm0 no es homotopicamente trivial enH−.

Demostracion de la Afirmacion 5.8. Dado P ∈ c0, existen i ∈ 1, 2, 3, 4 y X ∈ ηi

tales que uim0

(X) = P . Como c0 ⊂ ∪4i=1G

im0

y Um0 ⊂ Π(i)−, entonces P es un punto

91

extremal de Dm0 ∪ Um0 respecto de Π(i). Ademas, Dm0 ∪ Um0 ⊂ H−, de dondededucimos que la semirrecta abierta contenida en Li

X partiendo de P no corta a E.

Vamos a probar que, para cada (i, j) ∈ Θ, el triangulo T (i, j) de vertices P (i, j),Li

P (i,j) ∩ P0 y LjP (i,j) ∩ P0 no corta a E. Ası, podremos construir una homotopıa (en

H−) que deforme c0 en una curva c0 ⊂ P0 a traves de⋃

(i,j)∈Θ

( ⋃

X∈ηi

LiX ∪ T (i, j)

).

Supongamos que T (i, j) ∩ E 6= ∅. Razonando como en veces anteriores (viendohacia donde apuntan los normales), llegamos a que T (i, j)∩ (Dm0 ∩Um0) 6= ∅. ComoT (i, j)∩Um0 ⊂ Π(i)+∩Π(j)+∩Um0 = ∅, deducimos que T (i, j)∩Dm0 6= ∅. Ademas,Dm0 ∩ ∂T (i, j) = P (i, j) (ya que Dm0 ∩ P0 = ∅ por el principio del maximo yDm0 ∩ Li

P (i,j) = Dm0 ∩ LjP (i,j) = ∅ por extremalidad). Por el principio del maximo,

T (i, j) ∩Dm0 contiene al menos una curva de Jordan. Y como Dm0 es simplementeconexa, dicha curva de Jordan bordea un disco contenido en Dm0 . Aplicando denuevo el principio del maximo a este disco, llegamos a que Dm0 esta contenida en elplano que determina T (i, j), contradiccion.

Probemos que c0 no es homotopicamente trivial en H−, con lo cual quedara proba-da la Afirmacion 5.8. c0 ⊂ ∪4

i=1Π(i)+ ∩ P0 es una curva de Jordan cumpliendoc0∩Π(i)+ 6= ∅ para cada i ∈ 1, 2, 3, 4, luego ∂E ⊂ CL∩P0 esta contenido en el do-minio interior encerrado por c0 en P0 (recordemos que ∂E ⊂ CL0 y L > L0). Ası, ∂Ey c0 son dos curvas homotopicas en H− ∩P0 (en particular, lo son en H−), de dondeconcluımos que c0 no es homotopicamente trivial en H−, acabando la demostracionde la Afirmacion 5.8.

Como c0 ⊂ Dm0 y Dm0 es simplemente conexo, entonces c0 bordea un discocontenido en Dm0 . Pero Dm0 ⊂ H−, lluego c0 es homotopicamente trivial en H−,contradiccion con la Afirmacion 5.8. Ası, queda probado el Lema 5.6. 2

A continuacion, seguiremos un razonamiento que nos llevara a una contradiccion,probando ası el Teorema Principal. Volvemos a considerar S1, S2 cumpliendo laProposicion 3.6. Por el Lema 5.6, sabemos que

supθ ≥ 0 : S1 ∩ P(θ)+ = ∅ = supθ ≥ 0 : S2 ∩ P(θ)+ = ∅ = 0.

El Lema 5.1 nos permite suponer que S1, S2 estan definidas con respecto a un planoP(β), con β ∈]0, π/2]. Para i ∈ 1, 2, fijamos un punto Qi

0 ∈ Si y consideramosuna sucesion estrictamente creciente y divergente tnn∈N de reales positivos, cont1 > maxx3(Q

10), x3(Q

20) (suponemos S1 ∩ Ptn y S2 ∩ Ptn transversales para cada

n ∈ N). Ası, para cada n ∈ N se tiene que Qi0 ∈ Si ∩ x3 < tn. Denotaremos por

Si(n) a la componente conexa de Si∩x3 < tn que contiene a Qi0. Razonando como

en la pagina 79 para S(n), deducimos que Si(n) es un disco.

92

Sea t0 = mınx3|S1∪S2 > 0. El Lema de Dehn asegura la existencia de un discominimal estable Σ1(n) con frontera ∂S1(n) contenido en H− ∩ pr(0, β, tn) ∩ x3 ≥t0. Aplicamos de nuevo el Lema de Dehn, obteniendo un disco minimal estableΣ2(n) con frontera ∂S2(n) contenido en el dominio exterior de (E − S1(n)) ∪ Σ1(n)en 0 < x3 < tn, interseccion con pr(0, β, tn) ∩ x3 ≥ t0. Obtenemos ası dosdiscos minimales estables y disjuntos Σ1(n), Σ2(n) con fronteras ∂S1(n), ∂S2(n)respectivamente. Notese que Σ1(n), Σ2(n) ∈ A0,β,t0,tn para cada n ∈ N.

Por la Afirmacion 5.2, existen ε ∈]0, β[, λ ∈]0, 1[, n0 ∈ N y dos sucesionesu1

nn≥n0 , u2nn≥n0 de soluciones de (1) cumpliendo para i = 1, 2:

1. Para cada n ≥ n0, uin esta definida sobre un dominio Ωi

n simplemente conexocontenido en P(ε) ∩ 0 < x3 < λtn verificando ui

n|∂Ωin∩x3<λtn = 0.

2. Para cada n ≥ n0, el grafo minimal Guin esta formado por puntos extremales

de Σi(n) respecto de P(ε).

3. uinn≥n0 admite una parcial (que seguiremos denotando como la sucesion ori-

ginal) convergente hacia una solucion ui : Ωi → R+0 de (1), siendo Ωi un do-

minio simplemente conexo contenido en P(ε)∩x3 > 0, y se cumple ui|∂Ωi = 0.Tomamos la parcial comun para u1

nn,u2nn.

El Teorema 1.4 asegura que Ω1 ∩ Ω2 6= ∅. Por la Afirmacion 4.10 y tomando n0

suficientemente grande, podemos suponer que Ω1n ∩Ω2

n 6= ∅ para todo n ≥ n0. ComoΣ1(n) ∩ Σ2(n) = ∅ y ui

n = 0 en ∂Ωin ∩ x3 < λtn, entonces Ω1

n ⊂ Ω2n o Ω2

n ⊂ Ω1n.

Nos quedamos sin perdida de generalidad con una parcial que cumpla Ω2n ⊂ Ω1

n

para cada termino de la sucesion. Usaremos resultados demostrados anteriormentea lo largo de este capıtulo para S = S2, tomando ciertas precauciones que iremossenalando.

Fijemos L0 > 0 y a0 > t0 cumpliendo ∂E ∪ c2 ⊂ CL0 ∩ x3 < a0 (recordemosque c2 ⊂ E− (S1∪S2) es un arco que conecta ∂S2 con ∂E). Por el Lema 5.5, existenT > a0 y L > maxL0, 1 verificando que, para cada n ∈ N con tn ≥ 2T , existem(n) ∈ N cumpliendo tn ≤ λtm(n), y existe una curva γn ⊂ E2

m(n) ∩ (Atn ∪ Bε ∪CL) uniendo ∂E con Ptm(n)

, siendo E2m(n) = [E − S2(m(n))] ∪ Σ2(m(n)). Ademas,

γn − Σ2(m(n)) ⊂ E − (S1 ∪ S2), luego γn ∩ S1 = ∅. Podemos por tanto tomar unentorno tubular Un de γn en E2

m(n)−S1, con Un ⊂ (Atn ∪Bε∪CL). El Lema de Dehn

nos asegura la existencia de un disco minimal estable Dn con borde ∂(E1,2m(n) − Un)

contenido en el dominio exterior de E1,2m(n) = [E2

m(n) − S1(m(n))] ∪ Σ1(m(n)) en

0 ≤ x3 < tm(n) (en particular, Dn ⊂ H−).

El razonamiento que seguiremos es parecido al seguido en la demostracion delLema 5.6. Vamos a construir cuatro sucesiones de grafos G1

nn, G2nn, G3

nn,G4

nn, con ∪4i=1G

in ⊂ Dn, y obtendremos una curva de Jordan c0 ⊂ ∪4

i=1Gim0

paracierto m0 ∈ N suficientemente grande, que no sera trivial en π1(H−). Pero como

93

c0 ⊂ Dm0 ⊂ H− y Dm0 es simplemente conexo, ya tendremos la contradiccion queprueba el Teorema Principal.

Los planos Π(2), Π(3), Π(4) se definen exactamente igual que en la demostraciondel Lema 5.6, al igual que las sucesiones G2

nn, G3nn, G4

nn. Ahora no podemosdefinir el plano Π(1) como hacıamos allı porque α = 0. Para obtener una sucesion degrafos minimales G1

nn formados por puntos extremales de Dn respecto de ciertoplano Π(1) giraremos los discos Dn, contruiremos los grafos sobre dichos discosgirados (aplicando el Lema 4.6), y desharemos finalmente el giro.

Sea Rα′ la rotacion de angulo α′ = π2− ε y eje

x1 = L/2, x3 = −L (1+sin ε)

2 cos ε

.

Denotaremos R−α′ = (Rα′)−1.

Afirmacion 5.9 Rα′(P(0)) = P(α′), Rα′(P(ε)) = x1 = −L sin ε y [Rα′(At) ∪Rα′(CL)] ∩ pt = ∅ para cada t > 0, donde pt = pr(α′, π

2, t

sin ε).

Demostracion de la Afirmacion 5.9. Rα′(P(0)) sera un plano paralelo a P(α′) (con-servando la orientacion al trasladar paralelamente). Por tanto, para probar queRα′(P(0)) = P(α′) bastara ver que 0 ∈ Rα′(P(0)). P = Rα′(L/2, 0, 0) = −L

2(sin ε, 0, cos ε) ∈

Rα′(P(0)), luego tambien se tendra 0 = P + |P |(sin ε, 0, cos ε) ∈ Rα′(P(0)) (ver Figu-ra 5.9, izquierda), y Rα′(P(0)) = P(α′).

Veamos ahora que Rα′(P(ε)) = x1 = −L sin ε. Que es un plano vertical con x1

constante, es claro. Sea Q = P(ε) ∩ x1 = L/2, x2 = 0. Se tiene (ver Figura 5.9,derecha) que x3(Q) = L

2(1, 0, tan ε), y x1(Rα′(Q)) = −L sin ε. Deducimos entonces

que Rα′(P(ε)) = x1 = −L sin ε.

Figura 5.9: Izquierda: P = Rα′(L2, 0, 0) = −L

2(sin ε, 0, cos ε) y ~v = (cosα′, 0, sinα′) =

(sin ε, 0, cos ε) ∈ P(α′). Derecha: x3(Q) = L2

tan ε, y x1(Rα′(Q)) = L2

−cos ε

[L(1+sin ε)

2 cos ε+ x3(Q)

]= −L sin ε.

Fijemos t > 0. Probemos a continuacion que Rα′(At) ∩ pt = ∅. Rα′(Pt) es unplano paralelo a P(α′) que cumple Rα′(Pt) ⊂ P(α′)−. Y Rα′(At) es el semiespacioque se queda a la izquierda de Rα′(Pt) ( es decir, aquel hacia el que apunta −~nα′). SiP = Rα′(Pt)∩x1 = 0, x2 = 0, entonces se tiene que x3(P ) = t

sin ε(ver Figura 5.10),

y Rα′(At) ∩ pt = ∅.

94

Figura 5.10: Izquierda: At es la parte en gris, y Rα′(At) se corresponde con la parterayada. Se comprueba que x3(P ) = t

sin ε. Derecha: pt = pr(α′, π

2, t

sin ε) esta en gris.

Por otro lado, Rα′(x1 = L) es un plano paralelo a P(π − ε) que pasa porRα′(L, 0, 0) = 0, luego Rα′(x1 = L) = P(π − ε). Y Rα′(CL) ⊂ P(π − ε)−, luegoRα′(CL) ∩ pt = ∅, y queda probada la Afirmacion 5.9.

Figura 5.11: r = x1 = L2, x3 = −L(1+sin ε)

2 cos ε. Izquierda: CL esta en gris, y Rα′(CL)

es la parte rayada. Derecha: pt = pr(α′, π2, t

sin ε) es la parte coloreada en gris.

Aplicaremos el Lema 4.6 a una sucesion de superficies minimales estables dela forma Rα′(D′

n)n, para ciertos D′n ⊂ Dn para cada n ∈ N. Sera Rα′(D′

n) ∈Aα′, π

2,

t0sin ε

, tnsin ε

. Para aplicar dicho Lema, necesitamos considerar un plano (sobre el

que estaran definidos los grafos), y comprobar que se cumple la condicion de uni-formizacion en uno de sus puntos.

Sea ε1 ∈]0, ε[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α′, π/2 y t0sin ε

(como dijimosen la demostracion del Lema 5.6, podemos tomar ε1 = ε2 = ε3 = ε4). El planoΠ(1) = R−α′(P(α′ + ε1)) sera el dado por la ecuacion x1 sin ε1 − x3 cos ε1 = L sin ε1

(ya que R−α′(0) = (L, 0, 0)), orientado por ~n(1) = (sin ε1, 0,− cos ε1). Denotaremospor p1 : Π(1)+ → Π(1) a la proyeccion ortogonal sobre Π(1), y L1

X = (p1)−1(X) para

95

cada X ∈ Π(1) (orientamos como siempre L1X partiendo de X).

Afirmacion 5.10 Existe una funcion φ : R−α′(ptn) → R (ptn definido como en laAfirmacion 5.9) cumpliendo:

1. φ(P ) < 0 para cada P ∈ Un ∩ R−α′(ptn).

2. φ(P ) = 0 si y solo si P ∈ Gu1m(n) ∩ R−α′(ptn).

3. Si P ∈ Π(1)+ ∩ R−α′(ptn) es un punto extremal de Dn respecto de Π(1), en-tonces φ(Q) > 0 para todo Q ∈]P,∞[L1

p1(P )∩R−α′(pt).

Demostracion de la Afirmacion 5.10. Llamamos u1m(n) a la prolongacion por 0 de

u1m(n) a P(ε)∩x3 < tn (recordemos que tn < λtm(n)). Notese que (p R−α′) (ptn) ⊂

P(ε) ∩ x3 < tn. Por tanto, podemos definir

φ : R−α′(ptn) → R, φ(P ) = 〈P, ~nε〉 − (u1m(n) p)(P ).

Por la Afirmacion 5.9, sabemos que (Atn ∪ CL) ∩ R−α′(ptn) = ∅. Por tanto,

Un ∩ R−α′(ptn) ⊂ Bε. Recordemos que γn ∩Bε ⊂ Gu2

m(n) . Podemos por tanto tomar

Un ∩ Bε ⊂ Gu2m(n) . Ası, si P ∈ Un ∩ R−α′(ptn), entonces P ⊂ Gu2

m(n) , y p(P ) ∈Ω2

m(n) ⊂ Ω1m(n). Luego u1

m(n)(P ) > u2m(n)(P ), y φ(P ) = [(u2

m(n) − u1m(n)) p](P ) < 0.

Esto prueba el apartado 1 de la Afirmacion 5.10.La implicacion a la izquierda del apartado 2 se cumple trivialmente por definicion

de φ. Probemos la implicacion la derecha. Si φ(P ) = 0, con P ∈ R−α′(ptn), entonces(u1

m(n) p)(P ) = 〈P, ~nε〉 > 0, de donde deducimos que p(P ) ∈ Ω1m(n) y que P =

(u1m(n) p)(P ) ∈ G

u1m(n) , lo cual acaba con el segundo apartado.

Nos queda probar 3. Supongamos que P ∈ R−α′(ptn) ∩ Π(1)+ es un punto ex-tremal de Dn respecto de Π(1). Como Σ1(m(n)) ⊂ P(0)−, entonces φ(QP ) > 0por definicion de φ, siendo QP = L1

p1(P ) ∩ P(0). Sea I la componente conexa de

Q ∈ L1p1(P ) ∩ R−α′(ptn) : φ(Q) > 0 que contiene a QP en su borde. Veamos que

]P,QP [⊂ I. Supongamos por reduccion al absurdo que existe Q ∈ ∂I∩]P,QP [. En-tonces, φ(Q) = 0. Por el segundo apartado (ya demostrado) de la Afirmacion 5.10,

serıa Q ∈ Gu1

m(n) ∩ R−α′(ptn) ⊂ Σ1(m(n)). Sea Q′ ∈ [Q,QP [ el ultimo punto decorte de L1

p1(P ) con Σ1(m(n)). El vector tangente a L1p1(P ) en Q′ es entrante al do-

minio delimitado por E1,2m(n) ∪ Dn ∪ Un en 0 < x3 < tm(n), de donde se deduce

que [Q′, QP [∩(Dn ∪Un) 6= ∅. Por el primer apartado de la Afirmacion anteriormenteprobado, sabemos que I ∩ Un = ∅, y [Q′, QP [∩Dn 6= ∅, lo cual es absurdo porextremalidad de P . La Afirmacion 5.10 queda demostrada.

Sea φ : R−α′(ptn) → R cumpliendo la Afirmacion 5.10. Consideramos, para cadan ∈ N,

D′n = Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0.

96

Afirmacion 5.11 ∂D′n ⊂ ∂R−α′(ptn).

Demostracion de la Afirmacion 5.11. ∂D′n ⊂

(∂Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0

)∪

(Dn ∩ ∂P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0

)⊂(∂Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0

)∪

(Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) = 0

)∪ ∂R−α′(ptn).

En primer lugar, deducimos que ∂Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0 = ∅ a partirde los siguientes puntos:

∂Dn ⊂ ∂E ∪ ∂Un ∪ Ptm(n)

(∂E ∪ Ptm(n))∩R−α′(ptn) ⊂ (CL ∪Atn)∩R−α′(ptn) = ∅, por la Afirmacion 5.9.

∂Un ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) ≥ 0 = ∅, por el primer apartado de la Afirma-cion 5.10.

Por otro lado, el segundo apartado de la Afirmacion 5.10 asegura que

Dn ∩ P ∈ R−α′(ptn) : φ(P ) = 0 = Dn ∩Gu1m(n) ∩R−α′(ptn).

Se pueden dar dos casos: Dn ∩Gu1m(n) ∩R−α′(ptn) = ∅ o Dn ∩Gu1

m(n) ∩R−α′(ptn) 6= ∅.Si se da el primer caso, hemos terminado. Supongamos entonces que Dn ∩Gu1

m(n) ∩R−α′(ptn) 6= ∅.

Notese que ∂Dn∩Gu1m(n)∩R−α′(ptn) ⊂ (∂E∪∂Un∪Ptm(n)

)∩Σ1(m(n))∩R−α′(ptn) ⊂(CL ∪ ∂Un ∪ Atn) ∩ Σ1(m(n)) ∩R−α′(ptn)

Afirm. 5.10= ∂Un ∩ Σ1(m(n)) ∩ R−α′(ptn). Re-

cordemos que Un ⊂ E2m(n) − S1, luego Un ∩ Σ1(m(n)) = ∅. Y por tanto, ∂Dn ∩

Σ1(m(n)) ∩R−α′(ptn) = ∅, luego Dn ∩ Σ1(m(n)) ∩R−α′(ptn) 6= ∅.Como Dn∩Σ1(m(n))∩R−α′(ptn) 6= ∅, Σ1(m(n))∩R−α′(ptn) ⊂ E1,2

m(n), yDn se que-

da a un lado de E1,2m(n), por el Principio del Maximo deducimos queDn = E1,2

m(n)−Un =

(E ∩ 0 ≤ x3 < tm(n))−Un (esta segunda igualdad se debe a que, como Dn es una

superficie minimal, en particular E1,2m(n) − Un debe ser diferenciable en ∂Si(m(n)),

luego Σi(m(n)) = Si(m(n)), i = 1, 2). En este caso, serıa D′n = Gu1

m(n) ∩ R−α′(ptn),que cumple lo deseado. La Afirmacion 5.11 queda ası probada.

Afirmacion 5.12 Existe un punto X(1) ∈ Π(1) cumpliendo la condicion de uni-formizacion del Lema 4.6 para la sucesion D′

nn.

Demostracion de la Afirmacion 5.12. En primer lugar, observemos que si Dn ∩Σ1(m(n)) 6= ∅, entoncesDn = (E∩0 ≤ x3 < tm(n))−Un, yD′

n = Gu1m(n)∩R−α′(ptn);

luego se cumple trivialmente la condicion de uniformizacion para cualquier puntode Ω1. Supongamos entonces que Dn ∩ Σ1(m(n)) = ∅.

97

Fijemos P (1) ∈ E ∩ Π(1)+ (sabemos que existe, por el Lema 3.3), y sea X(1) =p1(P (1)) ∈ Π(1). Pasando a una parcial, podemos suponer que X(1) ∈ R−α′(ptn)para todo n ∈ N. Razonando como en veces anteriores, deducimos que L1

X(1) ∩(Dn ∪ Un) 6= ∅, y Pn(1) ∈ L1

X(1) ∩ (Dn ∪ Un) cumpliendo |Pn(1) −X(1)| ≥ |P (1) −X(1)|. Podemos suponer que Pn(1) es un punto extremal de Dn ∪ Un respecto deΠ(1), y por tanto ]Pn(1),∞[L1

X(1)∩Σ1(m(n)) = ∅. Veamos que Pn(1) ∈ D′

n, con lo

cual habremos acabado. Como hemos supuesto X(1) ∈ R−α′(ptn), entonces Pn(1) ∈R−α′(ptn). Basta demostrar que φ(Pn(1)) ≥ 0 (por definicion de D′

n y porque φ|Un<

0). Supongamos por reduccion al absurdo que φ(Pn(1)) < 0. Si llamamos Q =L1

X(1) ∩ P(0), entonces sabemos que φ(Q) > 0; luego existira Q′ ∈]Pn(1), Q[ tal que

φ(Q′) = 0. La Afirmacion 5.10 asegura que Q′ ∈ Σ1(m(n)), contradiccion con que]Pn(1), Q[∩Σ1(m(n)) = ∅. Obtenemos por tanto que φ(Pn(1)) ≥ 0, y Pn(1) ∈ D′

n.Ası, X(1) cumple la condicion de uniformizacion del Lema 4.6 para la sucesionD′

nn, tomando δ10 = |P (1) −X(1)|. Y la Afirmacion 5.12 queda probada.

De la Afirmacion 5.11 deducimos que ∂Rα′(D′n) ⊂ ∂ptn. Y la Afirmacion 5.12

nos dice que existe un punto Rα′(X(1)) ∈ Rα′(Π(1)) = P(π/2 + ε1 − ε) que cumplela condicion de uniformizacion del Lema 4.6 para la sucesion Rα′(D′

n) respecto de

P(π/2 + ε1 − ε). Existe entonces una sucesion de grafos minimales G1nn cum-

pliendo el Lema 4.6. Aplicando la rotacion R−α′, obtenemos una sucesion de grafosG1

n = R−α′(G1n)

ncumpliendo:

Para cada n ∈ N,G1n ⊂ D′

n ⊂ Dn es un grafo formado por puntos extremales deD′

n (y por tanto de Dn, por el tercer apartado de la Afirmacion 5.10) respectode Π(1).

Para cada n ∈ N, G1n es grafo de una funcion v1

n definida sobre un dominiosimplemente conexo W 1

n ⊂ Π(1)∩x3 < λ1tn, y v1n = 0 en ∂W 1

n ∩x3 < λ1tn.

La sucesion v1nn converge a una solucion v1 de (1) definida sobre un dominio

simplemente conexo W 1 ⊂ Π(1) ∩ x3 ≥ 0, con v1|∂W 1 = 0.

La unica diferencia con respecto a la situacion a la que llegamos en el Lema 5.6es que aquı W 1

n es un dominio de x3 < λ1tn, y no de x3 < λ1tm(n). Pero enla demostracion de la Afirmacion 5.7 trabajabamos en x3 ≤ λ1tn, luego todo loallı hecho es valido en este caso. Construımos la curva η1 ⊂W 1

m0y la curva de Jor-

dan c0 ⊂ Dm0 (para m0 ∈ N suficientemente grande) de forma identica a lo hechoen la demostracion del Lema 5.6. Para probar que c0 no es trivial en π1(H−) (Afir-macion 5.8) solo resta comprobar que si X ∈ η1, entonces ]v1

m0(X),∞[L1

Xno corta a

E. Como v1m0

(X) en un punto extremal de Dm0 respecto de Π(1), la Afirmacion 5.10asegura que φ > 0 sobre ]v1

m0(X),∞[L1

X∩R−α′(ptn), y ]v1

m0(X),∞[L1

X∩Um0 = ∅.

Por tanto, v1m0

(X) es un punto extremal de Dm0 ∪ Um0 respecto de Π(1), luego

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]v1m0

(X),∞[L1X∩E = ∅ (razonando con los tangentes, como hemos en veces anterio-

res), como querıamos probar.

Hemos obtenido una curva de Jordan c0 ⊂ Dm0 ⊂ H− no nulhomotopica en H−,contradiccion con que Dm0 es un disco. Esto prueba el Teorema Principal.

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