Las medidas de la Gran Pirámide de Keops, aunque toda la bibliografía, evidentemente unas copia de

otras, se empeñan en decirnos que mide exactamente 440 x 280 codos, pues bien, estas medidas no

son exactas. Antes de proceder a dar las que considero como correctas, vamos a ver algunas cosas

que con un par de operaciones matemáticas quedan al descubierto como incorrectas o “falsas”.

Si digo esto, es porque, un monumento milenario que en sus medidas es capaz de contener, según

algunas publicaciones, videos, libros, etc. avalados por autores que parece gozan de un “status” o

prestigio académico del que no se puede dudar, desde el número Pi, hasta la velocidad de la luz, la

masa de la tierra y su perímetro, las coordenadas geográficas, la velocidad de rotación de la tierra, el

calendario anual, la precesión de los equinoccios, y un largo legado de deducciones que dejan

boquiabierto al profano, pues a primera vista, parece que los datos de la Pirámide tienen que ser

exactos, o bien todos los demás datos estarán mal calculados, quédese con lo que le parezca más

adecuado.

Vamos a empezar por la más sencilla de las demostraciones, el duplo de la base dividido por la altura

es igual al número Pi, veamos 440 x 2 = 880 dividido entre 280 pues exactamente 3,1428571..., esto

no es el número Pi, pero lo justifican diciendo que esta es una buena aproximación para los egipcios,

pues puede ser, pero no se como pudieron calcular “exactamente” las proporciones de la tierra, la

velocidad de la luz, las coordenadas, y todos los demás supuestos.

Llegados a este punto alguno me dirá porque no utilizo las medidas en “metros” que también dan los

autores. Sencillamente, el resultado tendría que ser el mismo y es más fácil utilizar los codos para el

cálculo. No obstante vamos a complacerles.

Esta universalmente aceptado que el codo tiene una medida de 0,5236067.., pues bien, vamos a ver

cuanto mide la pirámide en metros, como ejercicio puedes hacer las operaciones, 230,38694 de base

y una altura de 146,60987 metros, toda la bibliografía consultada, excepto en algún decimal,

coinciden en estas medidas como las de la Gran Pirámide.

Hay dos grupos de teóricos, los que basan la Pirámide en el número Phi, y el otro en el número Pi,

pero increíblemente los dos grupos terminan aceptando las medida de 440 x 280 codos.

Veamos, Phi es igual raíz cuadrada de cinco más uno, dividido todo entre dos es igual a 1,61803398..

luego dicen que si la base mide 1 la altura es igual raíz cuadrada de Phi y la hipotenusa es el número

Phi, dado que son operaciones matemáticas los tenemos que dar como exactos.

1

Phi Phi

1,618033988750

1,272019649514

RAZON ALTURA / SEMIBASE

1,272019649514

ALTURA 280 CODOS

SEMIBASE 220 CODOS

RAZON 1,272727272727

Phi

Phi

Evidentemente dos razones muy parecidas, podemos decir

iguales, si utilizamos solo los dos o tres primeros decimales.

Pero si trabajamos con todos los decimales, vemos que la

razón no es correcta. Por tanto, la base en codos, o la altura

no son correctas, o bien ambas. Si la base la multiplicamos por

220 para obtener los codos, la altura por 1,272... nos da un

resultado de 279,844, no 280 codos. Esto con ser importante

no es lo más relevante, a continuación veremos lo que dice

Herodoto sobre la Gran Pirámide.

He visto en un documental de una importante

revista, que afirma que la construcción de la

pirámide está basada en el número Phi, dice, que el

doble de la base menos la altura, es igual 314,16,

esto es, 100 veces Pi, evidentemente me imagino

que la altura aceptada para que cuadre será la de

280 codos ya que si operamos con la real da como

resultado otro número diferente. Aceptamos Phi

como principio constructivo, o si pero no, porque la

pirámide tiene otras medidas. Traduciendo los codos

a metros tenemos, base de la pirámide 230,38699..,

altura 146,52838.., luego dos veces la base menos

la altura 314,24559 no 100 veces Pi.

Veamos lo que dice Herodoto sobre la

Pirámide. Si se levanta un cuadrado sobre

su altura, su superficie corresponderá a

cada una las superficies triangulares.

ALTURA 280 CODOS

SUPERFICIE 78.400

SEMIBASE 220

ALTURA 280

HIPOTENUSA 356,089876295297

BASE 440

AREA 78.339,772784965365

Muy parecidas las dos superficies, pero

no iguales, no creo que una civilización

que es capaz de medir la tierra, la

velocidad de la luz y otros fenómenos

astronómicos, pueda cometer estos

errores de cálculo. Si a esto añadimos,

que dando como válidas otras medidas,

a partir de Phi, dan valores idénticos

para las dos superficies, la elección

esta clara, los números 440 x 280 no

son correctos, aunque estén aceptados

universalmente. Luego están los que

dicen que la pirámide tiene ocho caras,

por una fotografía sin ninguna otra

evidencia. Esto empeora las cosas ya

que todas las mediciones “in situ” han

tenido que ser erróneas.

Desde que el genial y erudito Flinders Petrie, que ocupo la primera cátedra de Egiptología en el reino

Unido, y escribió unos 97 libros, uno de los cuales publicado en el año 1988 removió los cimientos de

la arqueología ( The Pyramids and Temples of Gizeh ), todo un clásico, le llaman la Biblia de la

egiptología, con las medidas completas de la Gran Pirámide, interior y exterior, nadie ha vuelto ha

realizar un trabajo de tal envergadura. Todo lo que conocemos se lo debemos a Petrie.

Petrie midió con los aparatos más modernos de la época, eso sí, un poco rudimentarios actualmente,

hay fotos en la que se le ve paseando con una vara de madera calibrada en pulgadas imperiales

británicas, tuvo que hacer la conversión a codos, y todo esto encajarlo para mantener el ángulo de la

pirámide, tal vez, por todo esto tuvo que forzar alguna medida, dado que la pirámide está incompleta,

le falta la cúspide, y al exterior prácticamente todo el revestimiento, si a esto añadimos que lo que

queda está muy deteriorado por el paso de los milenios y las inclemencias del tiempo, pues que la

medición directa exacta, resulta imposible físicamente.

Como británico trabaja con la pulgada imperial

como unidad, y fabrica un codo para que coincida

con su pulgada, veamos un codo equivale a 20,6

pulgadas, por tanto 62 pulgadas no son 3 codos

exactos, el mismo caso se da con la medida de

41 pulgadas que no son 2 codos exactos. Por otra

parte vemos que el codo de Petrie mide en metros

20,6 x 2,54 = 0,523245 medida muy próxima al

codo real que sale por geometría 0,52360679775

pero que Petrie tuvo que adaptar ya que trabaja

con pulgadas, por tanto, a partir de este momento

no considero las referencias totalmente válidas.

Ya hemos visto que desde Petrie, al menos interiormente, nadie ha medido la Pirámide con tanta

exactitud y detalle, aunque si leéis el libro os daréis cuenta de lo farragoso y poco precisos que

resultan algunos pasajes, no hay un solo dibujo, por tanto las referencias de inicio y fin de las

medidas no están bien definidas, tras este paréntesis, continuamos, el exterior ha sido medido por

otros grandes científicos y matemáticos, pero todos, obsesionados con que las medidas de la

Gran Pirámide están relacionadas con el número Pi, y sin atreverse a desautorizar a Petrie han

dado medidas muy similares a 440 x 280 en codos, variando solo unos centímetros sus

mediciones, pero sin tener en cuenta las indicaciones que los sacerdotes le hicieron a Herodoto,

“la superficie del cuadrado levantado con la altura es igual a la superficie de una cara de la

pirámide”. Por tanto si no se cumple esta premisa, las medidas no pueden ser correctas.

En vista de lo anterior, y por estudios posteriores,

he llegado a la conclusión de que las pirámides “NO

SE MIDEN, SE DIBUJAN”.

Desafortunadamente, no hay un solo boceto, dibujo

o jeroglífico, que corrobore esta teoría, y si lo hay, lo

tienen a buen recaudo.

Pero como veremos más adelante, esta teoría

cumple en todos los extremos con lo que apuntó

Herodoto, relaciona a Phi con la Pirámide, y los

trazados son exactos.

Antes de entrar en materia me gustaría hacer una pequeña comprobación con una pirámide que

mide un metro menos de larga y otro menos de alta, aproximadamente, que la “oficial”, y que esta

si cumple con Herodoto.

LA SUPERFICIE DEL CUADRADO

CONSTRUIDO CON LA ALTURA

ES IGUAL A LA DEL TRIANGULO

BASE DE LA PIRAMIDE Y ALTURA

LA APOTEMA DE LA MISMA

AREA CUADRADO TRIANGULO

( Lado ) 2 ( 2b * c ) / 2

21.206,075308841 21.206,075308841

A Altura 145,6230589875

2b Base 228,9635369125

C Apotema 185,2853924544

Los defensores de esta teoría ( medidas de 440 x 280 codos ), defienden en última instancia, que

aunque hay premisas que no se cumplen, estos ligeros errores, unos pocos centímetros en tantos

metros no tienen ninguna relevancia. No he oído disparate mas contundente para pretender

justificar un error, cualquier construcción geométrica debe pasar el filtro de la verificación

matemática para ser considerada exacta. Esta misma teoría la mantienen los que resuelven la

pirámide a partir de un heptágono sin aportar un solo número y engañan a los ingenuos que no se

dan cuenta que una construcción de 230 metros en el terreno, en un papel de 23 centímetros,

cada centímetro equivale a 1.000, esto es igual a 10 metros, por tanto los errores que no puede

detectar la vista, segmentos que no son perpendiculares, triángulos rectángulos que no cumplen

el teorema de Pitágoras, y otros similares, pueden pasar desapercibidos, como lo son en efecto.

Esto también lo tengo resuelto pero como es un caso especial no le dedicaremos más tiempo.

Se puede estar a favor o en contra de una teoría, pero lo mínimo que se debe pedir, es que las

cosas más básicas como las sumas, restas o multiplicaciones sean exactas, no se puede decir

esta es la “buena” y que no cumpla ninguna verificación matemática.

Mediatriz de un segmento: es la recta

que pasa por el punto medio de un

segmento y es perpendicular a éste.

En un triángulo se pueden trazar tres

mediatrices, una por cada lado del

triángulo, las cuales se cortan en un

punto denominado CIRCUNCENTRO.

El circuncentro es el centro de una

circunferencia circunscrita que pasa

por los vértices del triángulo.

Mediante las fórmulas de Herón se

pueden obtener los dos lados ( e - d )

del triángulo y por Pitágoras, el radio. d

e

A

B C a

b c

B - C 228,963536912532

B - G ( d ) 114,481768456266

A - G 145,623058987491

F - G ( e ) 27,811529493745

A - F 117,811529493745

B - F 117,811529493745

A - H 235,623058987491

G - H 90,000000000000

F

G

H

Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide a un

ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí.

En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, una

por cada ángulo del triángulo, las cuales se cortan en

un punto denominado INCENTRO.

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita

que es tangente a los lados del triángulo.

A - B 228,963536912532

A - D ( d ) 114,481768456266

D - C 145,623058987491

D - E ( e ) 55,623058987491

A - C 185,235392454434

A - F 114,481768456266

F - C 70,753623998168

A - E 127,279220613579

C - E 90,00000000000

A B

C

D

E

F

d

e

Como vemos el Incentro también da lugar a una

medida exacta a partir de unas medidas con

doce decimales. Pero además una de las

partes de la hipotenusa, mide lo mismo que la

semibase 114,481768456266.

.

En su momento explicaremos con detalle de donde proceden estas medidas,

siempre trabajaremos con doce decimales para comprobar la exactitud de

los resultados. Lo primero que salta a la vista es que en estas figuras hay un

segmento que mide 90 metros exactamente, por diferencia de longitudes, y

eso al trabajar con doce decimales no puede ser casual.

Por otra parte ya hemos visto que cumple la premisa de Herodoto, por tanto,

de hay a considerar estas medidas como válidas solo hay un paso. Bueno

alguien puede pensar como unas medidas con doce decimales la podemos

considerar “exactas”, cuando pasemos a explicar el proceso en detalle lo

entenderá.

Soy un defensor de Phi como elemento constructivo de la Gran Pirámide, por

dos motivos, el primero es que se puede dibujar, por tanto, los números

pasan a ser segmentos que se pueden verificar matemáticamente, y que se

ajusta perfectamente a mi teoría de que “LAS PIRAMIDES NO SE MIDEN,

SE DIBUJAN”. Por otra parte este número tiene una serie de propiedades

únicas, que iremos viendo, pero además se puede obtener por cálculo y

gráficamente.

Para empezar, diremos que Phi es igual a 1,618033988750 que su cuadrado

es igual a 2,618033988750, que es lo mismo que ( Phi + 1). Uno dividido

entre Phi es igual 0,618033988750, esto es, ( Phi - 1 ). Su raíz cuadrada es igual a 1,272019649514.

Por cálculo se obtiene a partir de la raíz cuadrada de cinco más uno dividido todo entre dos. A continuación vamos a obtenerlo gráficamente.

A - B 1,000000000000

C - B 0,500000000000

C - D 1,118033988750

C - E 1,118033988750

B - E 0,618033988750

A - E 1,618033988750

A B

D

E C

5 - 1( 2/)PHI =

Una vez resuelto Phi de una forma gráfica

tan sencilla, viene la pregunta inevitable,

conocían el metro los egipcios.

Este es otro problema añadido, cuando pregunto, como los egipcios podían conocer el metro,

necesario para resolver el número Phi y el codo piramidal, siempre me contestan lo mismo, el

metro es un descubrimiento relativamente reciente, al menos implantado a partir de 1875. Pero

los “egipcios” conocían el número Phi y el teorema de Pitágoras, de eso no tengo ninguna duda,

si no es imposible construir la pirámide, por tanto, el conocimiento del metro parece inevitable.

De donde sacaron tales conocimientos, es otra historia, lo único claro es que los tenían.

A partir de este momento basaremos todos los cálculos en la hipótesis de que Phi es el elemento

clave para la construcción de la pirámide, tanto a nivel gráfico como matemático.

En la página siguiente desarrollamos los trazados básicos para obtener las medidas principales.

Una vez confirmado que la Pirámide está construida en base al numero Phi, como habíamos prometido,

vamos a analizar algunas particularidades intrínsecas asociadas a este número extraordinario.

1,618033988750

2,618033988750

0,618033988750

1,618033988750

2,618033988750

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE PHI

PHI = Ф

Ф2 = 1 + Ф

Ф = 1 + 1 / Ф

1 / Ф

Ф2

2,618033988750

4,236067977500

6,854101966250

11,090169943749

Ф2 = 1 + Ф

Ф3 = Ф + Ф2

Ф4 = Ф2 + Ф3

Ф5 = Ф3 + Ф4

Фn = Фn-2 + Фn-1

2,618033988750

4,236067977500

6,854101966250

11,090169943749

17,944271909999

SERIE DE FIBONACCI

Ф2 = 2 + 1 / Ф

Ф3 = 3 + 2 / Ф

Ф4 = 5 + 3 / Ф

Ф5 = 8 + 5 / Ф

Ф6 = 13 + 8 / Ф

Además de éstas, tiene otras muchas propiedades,

pero para no desviarnos del tema, dejamos que

cada uno las investigue por su cuenta, a nosotros

con estas nos vale para probar las propiedades del

número Phi, también llamado áureo.

Una de las propiedades más significativas, tanto

del cuadrado como del inverso, es que conservan

intactos todos sus decimales.

Y otra más para finalizar, al elevar el número Phi a

una serie de potencias sucesivas, tanto el termino

independiente como el divisor de Phi, siguen la

serie de Fibonacci, esto es, el número siguiente es

igual a la suma de los dos números anteriores o

precedentes.

A

B

C

A - B 1,618033988750

C - B 1,000000000000

C - A 1,272019649514

A1,618033988750

1,00

1,272019649514

Hemos visto que fácilmente se halla

1,618033 y a partir de este 1,272019

Está suficientemente claro, no medían con números con decimales,

medían con segmentos geométricos. De esta forma tan sutil podemos

llegar a entender porqué la base de la Pirámide de Keops mide 90

unidades geométricas y la altura otras 90, cada una en su unidad.

Una, 1,618 es el número Phi y la otra, 1,272 es la raíz cuadrada de Phi.

En general, muchas de las medidas, por no decir todas, se generan a

partir de triángulos rectángulos, fáciles de dibujar y fáciles de verificar.

GENERACION DE SEGMENTOS DE MEDICION

SE PARTE DE ALGUN NUMERO ENTERO

EL RESTO ES PURA GEOMETRIA

Los Egipcios utilizaban dos sistemas de medición, uno para las medidas

horizontales y otro para las verticales, pues la cosa parece que tiene

sentido. Pero todavía no ha aparecido el codo egipcio “exactamente” en

ninguna medida exterior , pues es verdad, esta unidad solo es utilizada,

como tal, en el interior de la Gran Pirámide. De esto deducimos que las

medidas en codos dadas por Petrie son una mera suposición.

Evidentemente los que diseñaron las pirámides hacían cosas prodigiosas

sin que conozcamos su significado. A veces incluso nos cuesta descubrir

una medida, no digamos su simbología, o utilidad práctica, hasta la fecha

no lo ha hecho nadie, no hay evidencias concretas, y eso que están

trabajando en el tema especialistas de renombre internacional. De las

mediciones de la hiladas que realizó Fliders Petrie, se deduce que no

hay dos iguales, es más, van disminuyendo de tamaño a medida que se

acercan a la cúspide, pero no siguen un patrón, ya que a intervalos

irregulares hay bloques mucho más grandes que los anteriores. Tampoco

estas medidas están relacionadas exactamente con el codo.

No obstante el codo esta íntimamente relacionado con el número Phi, si

elevamos Phi al cuadrado obtenemos una cantidad igual a Phi mas 1, y

dividiendo todo por 5 nos da exactamente el valor del codo, por tanto

aunque a primera vista el codo como tal no aparece, está implícito en las

medidas múltiplos de Phi.

Vamos a ver la forma gráfica de obtener el codo, y tal vez así podamos

entender mejor como manejaban algunas medidas. Evidentemente hay

medidas que a primera vista no “dicen nada” pero que son múltiplos o

fracciones del codo, por tanto en principio vamos a tratar de esta medida

en profundidad.

A - B 1,000000000000

B - C 0,500000000000

A - C 1,118033988750

A - D 0,894427191000

D - C 0,223606797750

B - D 0,447213595500

C - E 0,100000000000

E - B 0,400000000000

E - F 0,200000000000

F - B 0,200000000000

C - F 0,300000000000

C - G 0,223606797750

F - G 0,523606797750

F - G CODO / CODO REAL

Esta es la forma gráfica más sencilla

que conozco para hallar el codo de la

Gran Pirámide de Keops.

En principio se parte de la recta A - B

igual a la unidad, lo que implica que

también conocían el sistema métrico

decimal.

El resto trazado gráfico y verificar por

Pitágoras.

A B

C

D E

F

G

En realidad el codo es una fracción

de la unidad del sistema métrico

decimal. Se puede dibujar a partir

de una recta que mida la unidad.

En D el ángulo

es recto por

construcción.

Los perímetros de todos los triángulos de la parte superior

numerados del 1 al 9 miden exactamente los mismo, un

codo 0,523606797750. Comprobar por Pitágoras.

Los perímetros de los triángulos inferiores miden un codo,

y un metro piramidal, esto es, el doble del codo, y hay dos

triángulos llamados Isiacos, proporcionales a los números

3,4,5

12

3

4 5

6

78

9

A - B 1,000000000000

B - C 0,500000000000

A - C 1,118033988750

C - D 0,223606797750

D - A 0,894427191000

B - D 0,447213595500

E - F 0,400000000000

F - C 0,200000000000

B - F 0,300000000000

C - E 0,447213595500

B - E 0,400000000000

E - F 0,200000000000

E - C 0,100000000000

E - D 0,200000000000

D - C 0,223606797750

A

B C

D

E

E

F

E - D - C 0,523606797750

B - E - D 1,047213595500

F - E - C 1,047213595500

B - F - E 0,3 - 0,4 - 0,5

B - E - G 0,3 - 0,4 - 0,5

G Dominaban la geometría,

y como se ve, el codo y

el metro son segmentos

que se pueden obtener

gráficamente.

0,523606797750

1,047213595500

A - C 1,118033988750

B - C 0,500000000000

PHI 1,618033988750

1 / PHI 0,618033988750

PHI - 1 0,618033988750

PHI + 1 2,618033988750

( PHI ) 2 2,618033988750

A - B - C 2,618033988750

( A - C ) / 5 0,223606797750

CODO ANTERIOR + 0,30

CODO 0,523606797750

CODO x 2 1,047213595500

METRO 1,047213595500

PHI +1 / METRO 2,500000000000

Además del codo y el metro piramidal, con el triángulo doble

se puede obtener el número Phi, su cuadrado, su inverso y

algunas otras relaciones métricas. Por ejemplo Phi, es igual

a la suma de la hipotenusa más el cateto base.

A

B C

Hay otra serie de relaciones geométricas y

matemáticas, solo es cuestión de coger la

calculadora y descubrirlas. Me pregunto

como lo hicieron los Egipcios.

RESOLUCION GRAFICA DEL CODO Y METRO PIRAMIDAL

A - B 2,618033988750

A - C 1,309016994375

C - B 1,309016994375

C - D 2,618033988750

B - D 2,972050983125

E - B 0,523606797750

E - F 1,047213595500

B - F 1,170820393250

C - E 0,785410119662

A - E 2,094427191000

B - F 1,170820393250

A - F 2,341640786500

F - D 1,756230589875

A - D 2,927050983125

C - G 0,654508497178

A - G 1,463525491562

G - F 0,878115294493

G - D 1,963255491562LA NOMENCLATURA DE CODO Y METRO PIRAMIDAL SE MANTIENEN

PERO COMO SE VE SON CONSTRUCCIONES GRAFICAS SIMPLES

A

B

C D

E F

G

CODO

METRO

1 / 2

SE PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA

DE 2,618033988750 DE DIAMETROCODO X 2 = METRO

1,00

2,00

0,75 3,00

1,50

4,00

4,00

5,00

2,50

1,25 0,90

1,60

1,20

OBTENCION GRAFICA DEL

CODO Y SUS DERIVADOS

PARA LOS MULTIPLOS

DUPLICAR LAS MEDIDAS

TAMBIEN SE PUEDEN SUMAR

SEGMENTOS ADYACENTES

EL METRO PIRAMIDAL SE

OBTIENE CON DOS CIRCULOS

Hemos visto que el codo y sus múltiplos se obtienen de forma gráfica

a partir del número Phi, y matemáticamente, por supuesto, que la

Pirámide en sus medidas exteriores esta relacionada exactamente con

este número, que además, cumple con la premisa de las áreas

laterales y la altura de Herodoto, que su volumen esta relacionado

exactamente con un número de bloques que tienen las mismas

proporciones que las medidas de la base y altura de la pirámide, las

diferencias del Incentro y Circuncentro con la altura de la Pirámide son

exactas, y un largo número de otras, llamadas “coincidencias”, de

doce decimales, verificables matemáticamente, que escapan de la

casualidad y entran de lleno en el cálculo geométrico y matemático.

Hay personas que no admiten que los Egipcios conocían el número

Phi, el teorema de Pitágoras y algunos otros cálculos matemáticos

necesarios para construir la pirámide, su planteamiento, esto es, su

dibujo previo, ya que dada la complejidad de la construcción esto era

totalmente necesario, pero la pirámide está, pero si los Egipcios no

tenían estos conocimientos, quién hizo las pirámides. Como éste, es

otro tema de debate, lo dejamos estar, y nos centramos en el que nos

ocupa, las pirámides no pueden medir 440 x 280 codos, entre otras

cosas, porque esta no es la medida utilizada en el exterior de la

Pirámide, además, aún dando por válido este supuesto, como ya

hemos visto no cumple con Herodoto, ni con ninguna de las otras

deducciones citadas, no tengo claro porque se empeñan en mantener

estos datos como válidos. Con los métodos actuales de medición, este

problema se resolvería en poco tiempo, pero en Egipto, las

mediciones están prohibidas, los permisos son tan especiales, que

nadie los consigue, ¿Por qué será ?.

1 2 3 4

5 6 7

8 9

Radio = 1

0,5

1,25

1,25

AlturaALTURA DE LA PIRAMIDE

1,6180339887 = PHI

El siguiente paso es hallar la base

de la pirámide, para ello trazamos

una tangente a la circunferencia

de radio 1, que a su vez será

perpendicular al radio en el punto

de contacto. Por tanto, con los dos

datos conocidos, altura y radio

determinaremos la base, que nos

permitirá continuar con el proceso.

Esto a efectos de cálculo. La solución

gráfica es mucho mas sencilla, como

veremos a continuación.

Radio = 1

0,5

1,25

1,25

AlturaSEMIBASE DE LA PIRAMIDE

114,4817684563

El procedimiento es sencillo,

conocida la altura, con este segmento

como radio, trazamos el arco BD

hasta que corte la línea base,

el segmento A - D , es la semibase

de la pirámide.

A

C

Semibase

Altura

Radio

1,2720196495AD

1,6180339887AC

1,0000000000AB

B

D

E

Como ya sabemos,

para hallar un dato real,

se multiplica el teórico

por 90, radio real.

Radio = 1

0,5

Altura

1

Base

Hipotenusa

Radio 1,0000000000

Altura 1,6180339887

Base 1,2720196495

Hipotenusa 2,0581710273

Radio 90,0000000000

Altura 145,6230589875

Base 114,4817684563

Hipotenusa 185,2353924544

METODO GRAFICO

PARA DETERMINAR

LA PIARMIDE

Altura 145,6230589875 1,618033988750 90

Base 114,4817684563 1,272019649514 90

Hipotenusa 185,2353924544 2,058171027271 90

EN LA CONSTRUCCION DE LA PIRAMIDE UTILIZAN VARIAS MEDIDAS UNAS PARA LAS HORIZONTALES

OTRAS PARA LAS VERTICALES Y ADEMAS INTERVIENEN LAS OBLICUAS O HIPOTENUSAS PERO

ESTO NO ES TODO LAS HAY RELACIONADAS CON EL CODO Y OTRAS CON EL METRO PIRAMIDAL

ESTO ES SU DOBLE - A PARTIR DE UNOS POCOS EJEMPLOS VEREMOS ESTAS RELACIONES

Base ( a + b ) 70,7536239982 43,7281444581 114,4817684563

Parcial ( a ) 70,7536239982 1,272019649514 55,6230589875

Parcial ( b ) 43,7281444581 1,272019649514 34,3769410125

En ningún caso 90 55,6230589875 34,3769410125 90,0000000000

Parcial ( a ) 70,7536239982 0,786151377757 90,0000000000

Parcial ( b ) 43,7281444581 0,485868271757 90,0000000000

Suma parciales 0,786151377757 0,485868271757 1,272019649514

LO MAS CURIOSO ES QUE ESTOS

RATIOS EN ALGUNOS CASOS

SOLO FUNCIONAN CON LAS

MEDIDAS TOTALES ( VER EJEMPLO )

Son muy complejas las relaciones numéricas de la pirámide, los números

enteros sólo se dan en algunas razones, pero en todos los casos hay

alguna relación con el número Phi o sus derivados, por ejemplo,

1,272019649514 / 0,786151377757 = 1,618033988750

145,6

230589875

90,0

0

90,0

0

185,235924544

114,4817684563

114,481768456370,7536239982

235,6

230589875

145,6230589875 1,618033988750 90

114,4817684563 1,272019649514 90

185,2359245443 2,058171027271 90

235,6230589874 2,618033988750 90

70,7536239982 0,786151377757 90

299,7171609107 3,330190676786 90

2,058171027271 1,618033988750 3,330

DIVISORES DEL TRIANGULO FUNDAMENTAL

ALTURA 145,6230589875

SEMIBASE 114,4817684563

SEMIDIAGONAL 161,9016695953

APOTEMA 185,2353924544

ARISTA 217,7572637746

RESOLUCION GRAFICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE( La comprobación numérica la desarrollaremos en la pagina siguiente )

1 - Con radio AB trazamos el círculo CD, sobre la perpendicular AC - AD

2 - Por el punto medio de AC ( E ) trazamos un círculo con radio ED - EG - EF

3 - Con centro en A trazamos el circulo FH

4 - Por H trazamos una perpendicular a AH hasta que corte al círculo CD en B

5 - Unimos A con B

6 - Los segmentos AH - AB determinan el ángulo de la pirámide

A

B

C

D

EF G

H

510 49 38

A - B 1,0000000000

A - E 0,5000000000

E - C 0,5000000000

E - D 1,1180339887

E - F 1,1180339887

A - F 0,6180339887

A - H 0,6180339887

H - B 0,7861513778

SENO 0,7861513778

ARCO 0,9045568943

ANGULO 51,8272923730

ANGULO 510 49 38

RESOLUCION NUMERICA DEL ANGULO DE LA PIRAMIDE

Toda la resolución se basa en el Teorema de Pitágoras

y las conocidas fórmulas del seno, arco seno y ángulo.

B

CA

D

EF G

H

Además del ángulo de la pirámide

este trazado resuelve la pendiente

del corredor de entrada en el

triángulo ADE, ángulo 260 33 54

A - D 1,0000000000

A - E 0,5000000000

E - D 1,1180339887

SENO 0,4472135955

ARCO 0,4636476090

ANGULO 26,5650511771

ANGULO 260 33 54

El ángulo que forma la altura con el radio

de tangencia, es el mismo que forman la

tangente con la base de la pirámide.

CA

B

m

n

c

a

b

h

D E

e

CA

B

m

n

c

a

b

h

CA

B

m

n

c

b

h

a

g

k

Angulo A 510 49 38

B

CA

D

EF G

H

Angulo B 380 10 22

Con lo expuesto hasta el momento creo que las medidas de la pirámide son

correctas, tengo realizados otros muchos cálculos que así lo confirman, por

lo tanto, doy por zanjado el asunto.

No obstante y como colofón final vamos a ver cual es el volumen de la

pirámide, y cuantos bloques básicos caben en la misma. Es una curiosidad

pero es un número exacto, que parece imposible al dividir cantidades con

doce decimales.

BASE PIRAMIDE 228,963536912532

SUPERFICIE 52.424,301235496593

ALTURA 145,623058987491

VOLUMEN 2.544.729,037064897790

BASE 1,272019649514

SUPERFICIE 1,618033988750

ALTURA 1,618033988750

VOLUMEN 2,618033988750

NUMERO DE PIEZAS 972.000

Hay otras muchas “coincidencias” pero de doce decimales, por lo tanto

estamos hablando de geometría en estado puro y de matemáticas.

Fernando Güemes Andrés

fernandoguemes1@gmail.com