“7x3 són 21 però què vol dir?”abeam.feemcat.org/pluginfile.php/1894/mod_resource/...“7x3...

“7x3 són 21 però què vol dir?”Sònia Esteve Frigola, Dept. de Didàctica de les Arts i de les Ciències Uvic

Membre del grup de recerca CODI (Coneixement i Didàctica)[email protected]

Qui ha participat en la recerca?

XIX Jornada Didàctica Matemàtica d’ABEAM

Escola Xoriguer de

Centelles, 3er, 4t i 5è de

primària

Helena Domènech Puig, [email protected]úria Fossas Colet, [email protected] Aregall Musach, [email protected]

Isabel Sellas Ayats, [email protected]

Metodologia de l’escola


La metodologia usada a l’escola és la del mètode CRA de Bruner

(1960): Concret – Representació -Abstracte

Problema plantejat


Pregunta

Els alumnes de 3r, 4t i 5è de l’escola Xoriguer de Centelles tenen clar el concepte de multiplicació com a grups iguals ?

Com representen 7 grups de 3 cercles?

Com representen 7x3 amb un dibuix?

Saben quant són 7x3?

Quins problemes proposen que es resolguin calculant 7x3?

Marc teòric

Hi ha tres tipus de coneixements que interactuen en l’aprenentatge de l’aritmètica (Delazer, 2003) :(a) Els fets numèrics bàsics com ara 2+2=4,

emmagatzemats a la memòria

(b) El coneixement procedimental que guia la realització de

procediments algorísmics

(c) El coneixement conceptual, que proporciona un

coneixement de les operacions aritmètiques


ConeixementConceptual

ConeixementProcedimental

Interactuen (Delazer, 2003) de forma gradual (Carpenter, 1986)i iterativa (Rittle-Johnson et al, 2001)

Activitats en context són molt útils (Van de Walle et al., 2010) i són un element clau en la millora dels coneixements conceptuals i procedimentals


Pel que fa a la multiplicació:

En un inici els alumnes haurien de relacionar la multiplicació amb (Mulligan i Watson, 1998; Van de Walle, Karp i Bay-Williams, 2010):

- grups d’igual mida (multiplicand)- el nombre de grups (el multiplicador),- i el total (el producte)

Tot i així cal desenvolupar el raonament multiplicatiu més enllà del punt de vista de la multiplicació com a suma iterada (Van de Walle et al. 2010).


Usar representacions en files i columnes ajuda a comprendre la multiplicació sobretot als alumnes amb un baix rendiment (Saleh, S., Saleh, F., Rahman i Mohamed, 2010).

S’han identificat tres models intuïtius per a la multiplicació: comptatge directe, suma iterada i operacions multiplicatives (Mulligan i Mitchelmore (1997).


Prova escrita passada als alumnes


La prova està inspirada en Lanin, Chval i Jones(2013)

Anàlisi de resultats

Saben representar 7 grups de 3 cercles?

Dibuixa 7grups de 3

Dibuixa 3grups de 7

Incorrecte Ho deixa enblanc Total

3r 17 1 1 2 214t 14 3 1 185è 14 14

45 4 2 2 53

Un 85% dels alumnes dibuixa correctament 7 grups de 3 cercles


3r 4t 5èRepresenten correctament 7x3 2 5 4 11

Representen 3x7 en comptes de 7x3 1 2 3 6

Representen 7x3 incorrectament 18 11 7 36

Total 21 18 14



Construir matemàtiques Compartir per aprendre

3r 4t 5è7 grups amb 3 objectes a cada grup 2 2 3 7

117 grups amb 3 objectes a cada grup + objectes en 7 files i 3 columnes 1 1objectes en 7 files i 3 columnes 2 2El model d’àrea correctament 1 1

2 5 43 grups amb 7 objectes a cada grup 1 3 4

63 grups amb 7 objectes a cada grup + objectes en 7 columnes i 3 files 2 21 2 3

Escriu “7x3” 6 3 4 13

36

Escriu “7+7+7=21” 1 1 2Escriu “7x3” i “7+7+7=21” 1 1Dibuixa 7 objectes usa el símbol “x” i dibuixa 3 objectes 3 5 1 9Dibuixa 7 objectes i 3 objectes 1 1Dibuixa 21 objectes 2 2Escriu els números de l’1 al 21 1 1Incorrecte (altres) 2 1 2 5En blanc 2 2

18 11 7Total 21 18 14


Construir matemàtiques Compartir per aprendre


Saben quant són 7x3?

Només al voltant d’un 10% dels alumnes s’equivoquen, i

tots són de tercer curs.



3r 4t 5è

Planteja un problema multiplicatiu 5 10 11

Planteja un problema additiu 5 5 1

Planteja un càlcul i no un problema 4 3 1

Ho deixa en blanc / No pregunta res 7 1

21 18 14



3r 4t 5è





21 18 14



3r 4t 5è




Ho deixa en blanc / No pregunta 7 1

21 18 14


Els problemes multiplicatius proposats de quin tipus són?

3r 4t 5èGrups iguals 5 6 5

Proporcions 2 3Preus 2Comparació multiplicativa 3ÀreaFiles i columnesCombinacions (Producte cartesià)

5 10 11




5 10 11




3r

4t





5 10 11




4t

5è




5 10 11




4t




5 10 11




5è


3r 4t 5èProblemaplantejatcorrecte

Problemaplantejatincorrecte

Problemaplantejatcorrecte




Representaciócorrecte de 7x3 2 2 3 4

Representaciócorrecte de 3 x7

1 2 3

Representacióincorrecta de7x3

5 13 6 5 4 3

5 16 10 8 11 321 18 14



3r 4t 5èProblemaplantejatcorrecte






Representaciócorrecte de 7x3 2 2 3 4

Representaciócorrecte de 3 x7

1 2 3

Representacióincorrecta de7x3

5 13 6 5 4 3

5 16 10 8 11 321 18 14

Pensar en un context ajuda a 12 dels 15 alumnes.Veiem-ne un exemple:


Conclusions

Els alumnes saben… Els alumnes tenen dificultats en… Que 7x3=21 (taules) Representar 7 grups de 3

cercles.

Representar 7x3 Proposar un problema que es

resolgui calculant 7x3 (excepte els alumnes de 5è).

Saber fer una representació de 7x3 no garanteix saber proposar unproblema que es resolgui calculant 7x3 correctament.

Treballar en un context, tal i com recomana Van de Walle et al.(2010) ajuda a fer una representació. Ja que la majoria delsalumnes que no havien estat capaços de representar 7x3 però quesí havien proposat un problema, sí que saben fer una representaciódel problema.

El tipus de problema que més plantegen els alumnes és el degrups iguals.


Implicacions educatives

Caldrà ajudar als alumnes, a avançar cap al pensamentmultiplicatiu. Per exemple animar als alumnes a usarestratègies més eficients com ara pensar en la manera mésràpida de resoldre el problema escrivint el menys possible(Kamii i Clark, 2014).

Fomentar que els alumnes comparteixin i comparindiferents estratègies de resolució per a un mateixproblema (Clark i Kamii, 1996).


Pel que fa a primària

Caldria incloure a la seqüència didàctica problemes demultiplicació usant files i columnes, emfatitzant lanaturalesa binària de la multiplicació (Saleh et al., 2010) i lesseves propietats (Barmby et al., 2008).

Cal reforçar el coneixement conceptual dels alumnesnecessari en la formulació, representació i resolució deproblemes (Baroody, 2003; Carpenter, 1986).

Cal treballar tots els tipus de problemes amb els alumnes.


Els alumnes deparvulari i cicle inicialraonen de maneraadditiva, però tambépoden resoldresituacions multiplicativescom ara situacions ons’usen unitats demesura o bé grupsiguals.


I a infantil què podem fer?



6 llapis

3 grups on a cada gruphi ha 2 llapis

Usant cartes de punts, poden comptar a intervals i fercàlculs informals, com ara:



4+4 2+2+2+22, 4, 6, 8

Referències bibliogràfiques

Barmby, P., Harries, T., Higgins, S., & Suggate, J. The array representationand primary children’s understanding and reasoning in multiplication.Educational Studies in Mathematics. 2009, 70, p. 217-241.

Baroody, A. The Development of Adaptive Expertise and Flexibility: theIntegration of Conceptual and Procedural Knowledge. Dins A.J. Baroody, A.Dowker (eds.) The development of Arithmetic Concepts and Skills.Constructing Adaptive Expertise Mahwah, NJ, USA: Lawrence ErlbaumAssociates, 2003, p. 384-407.

Bruner, J. (1960). The process of education. Cambridge. USA: BelknapPress.

Clark, F.B. & Kamii, C. Identification of Multiplicative Thinking in Children inGrade 1-5. Journal for Research in Mathematics Education. 1996, vo. 27,núm. 1, p. 41-51.


Carpenter, T. P. Conceptual knowledge as a foundation for proceduralknowledge: Implications from research on the initial learning of arithmetic.Dins Hiebert, J. (ed.) Conceptual procedural knowledge: The case ofmathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1986, p. 113–132.

Delazer, M. Neuropsychological findings on conceptual knowledge ofarithmetic. Dins A.J. Baroody, A. Dowker (eds.) The development ofArithmetic Concepts and Skills. Constructing Adaptive Expertise. Mahwah,NJ, USA: Lawrence Erlbaum Associates, 2003, p. 384-407.

Kamii, C., & Clark, F.B. (2014). [en línia] Multiplication is Different from Repeated Addition. Disponible a: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxjb25zdGFuY2VrYW1paXxneDo1ZGNiZGMyNDlkNWYxMDgy


Lannin, J., Chval, K., & Jones, D. (2013). Putting EssentialUnderstanding of Multiplication and Division into Practice. 3-5.Reston, USA: National Council of Teachers of Mathematics.

Mulligan, J., & Watson, J. A Developmental Multimodal Model forMultiplication and Division. Mathematics Education ResearchJournal. 1998, vol. 10, núm. 2, p. 61-86.

Mulligan, J., Mitchelmore, M.C. Young Children’s Intuitive Models ofMultiplication and Division. Journal for Research in MathematicsEducation. 1997, Vol. 28, núm. 3, p. 309-330.


Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Wagner Alibali, M. DevelopingConceptual Understanding and Procedural Skill in Mathematics: AnIterative Process. Journal of Educational Psychology. 2001, vol. 93,núm. 2, p. 346-362.

Saleh, S., Saleh, F., Rahman, S.A., & Mohamed, A.R. DiagnosingYear Two Pupils’ Misunderstanding of Multiplication Concepts atSelected Schools in Sabah. Procedia Social and BehavioralScieces. 2010, vol. 8, p. 114-120.

Van de Walle, J., Karp, K.S., & Bay-Williams, J.M. Elementary andMiddle School Mathematics. Teaching Developmentally. USA:Pearson Education, 2010.


Moltes gràcies per la vostra atenció!


“7x3 són 21 però què vol dir?”abeam.feemcat.org/pluginfile.php/1894/mod_resource/...“7x3...

Documents

Transcript of “7x3 són 21 però què vol dir?”abeam.feemcat.org/pluginfile.php/1894/mod_resource/...“7x3...