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CUADERNOS DEMATEMTICADE LAESCUELAPOLITCNICANACIONAL

JUANCARLOS DE LOSREYES

ANLISISNUMRICO PARA LARESOLUCIN DEECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES


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Cuaderno de Matemtica No. 6ANLISISNUMRICO PARA LARESOLUCIN DEECUACIONES

DIFERENCIALES PARCIALESJUANCARLOS DE LOSREYES

Responsable de la Edicin: Juan Carlos TrujilloAsistentes: Alejandro Coloma

Registro de derecho autoral No.ISBN:

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la EscuelaPolitcnica Nacional, Ladrn de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

Primera edicin: 2012Primera impresin: 2012

c Escuela Politcnica Nacional 2012


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ndice general

1 Introduccin 11.1 Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ecuacin del calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Elementos bsicos de la teora de ecuaciones en derivadas parciales 52.1 Preliminares de anlisis funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 EspaciosLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Dominios regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Derivadas en sentido dbil y espacios de Sobolev . . . . . . . 7

2.2 Soluciones dbiles de ecuaciones elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Condiciones en la frontera tipo Robin . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Operadores diferenciales en forma de divergencia . . . . . . . 12

3 Problemas con valores en la frontera unidimensionales 153.1 Aproximacin por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Discretizacin por Diferencias Finitas (FDM) . . . . . . . . . . 173.1.2 Estabilidad (mtodo de energa) . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.4 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.5 Un problema general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Mtodos de Galerkin y de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Formulacin Dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Propiedades del Mtodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Mtodo de los Elementos Finitos (FEM) . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Ecuaciones de AdveccinDifusin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Aproximacin de GalerkinFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Relacin entre FEM y FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3 Mtodo de Elementos Finitos Estabilizado . . . . . . . . . . . 373.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.1 Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Concentracin de Esporas en el Aire . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii


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iv ndice general

4 Problemas Elpticos 434.1 Aproximacin por Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Formulacin Variacional de Problemas Elpticos . . . . . . . . . . . . 444.3 Mtodo de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.1 Elementos finitos de gradok> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4.2 Elementos finitos rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Estimaciones de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Problemas Parablicos 595.1 Aproximacin por Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Aproximacin por Elementos Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


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Captulo 1

Introduccin

1.1 Ecuaciones de Navier-Stokes

Supongamos que queremos conocer el comportamiento de un diseo determinadoen la construccin de un ala. Si estamos bastante seguros de la geometra a utilizar-se, lo mejor sera someterla a un test en un tunel de viento. Sin embargo, debidoa los enormes costos econmicos de esta opcin experimental, sta no puede serusada a discrecin. Una alternativa para efectuar dichos experimentos consiste ensimularlos numricamente.

Consideremos entonces un canal, con la geometra en cuestin en el medio del

mismo. De acuerdo con las leyes de la fsica, en cada subconjunto de se deben

Figura 1.1:Simulacin de un ala rectangular en un canal.

satisfacer la ley de conservacin de la masa:

d

dt

dV=

u n d (1.1)

y la ley de conservacin del impulso:

ddt

u dV=

f dV+

pn d+

un d, (1.2)

dnde u(x, t)es la velocidad en cada punto del dominio y a cada instante, (x, t)

1


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2 Introduccin

es la densidad del fluido, n es la normal exterior a, p(x, t)es la presin y funafuerza volumtrica por unidad de masa, determinada por un campo (gravedad).

Considerando la densidad como constante y tomando, sin prdida de generali-dad, =1, la ecuacin (1.1) equivale a:

0=

un d,

la cual, usando la frmula de Green resulta en:

divu dV=0.

Puesto que esto se cumple para todo se tiene que

divu =0 (1.3)

De la ecuacin (2), usando la derivada total, obtenemos

d

dt

u dV=

(u

t +

=(u)u u

x1u1+

u

x2u2)dV

=

f dV+

u n d

p n d,

la cual, aplicando la frmula de Green, deviene en

u

t + (u)u dV=

f+u p dV

y, consecuentemente,u

t u+ (u)u+ p= f (1.4)

Es necesario adems considerar condiciones para la velocidad en la frontera =

e

g

1

sdel dominio. Una opcin frecuentemente utilizada es la siguiente:

u|e = R; u|g =0; u|1 =0; u

n|s =0. (1.5)

Tomando las ecuaciones (1.3), (1.4)and (1.5) se tiene el sistema de ecuaciones deNavier-Stokes:

ut u+ (u)u+ p= fdivu =0

u|e =; u|g =0

u|1 =0; un |s =0.

(1.6)

Una vez obtenidas las ecuaciones que describen el fenmeno, lo ideal sera ob-tener una solucin analtica de las mismas. Esto, sin embargo, en la mayora de los


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1.2 Ecuacin del calor 3

casos no es posible, por lo cual se recurre a la resolucin numrica del sistema. Pa-ra esto, el primer paso consiste en discretizar las ecuaciones, sea a travs de unaaproximacin de las derivadas (mtodo de diferencias finitas) o a travs de unaaproximacin del espacio solucin (mtodo de los elementos finitos).

Figura 1.2:Simulacin de un ala en un canal.

En general, el problema discretizado es de la forma

F(u) =0, (1.7)

dondeF: Rn Rn es una funcin diferenciable. Usando por ejemplo el mtodo deNewton para resolver (1.7), se tiene que resolver en cada iteracin el sistema lineal:

F(u)u= F(u). (1.8)

El sistema (1.8) es generalmente un problema a gran escala, que se trata de re-solver eficientemente en trminos de error, tiempo y exigencia computacional.

1.2 Ecuacin del calor

Supongamos una barra de longitud L, la cual pierde calor a travs de su superficiehacia un medioambiente de temperatura nula. Tomando un elemento infinitesimalde la barra, se debe cumplir que la variacin de temperatura en el interior es iguala lo que se transmite al resto de la barra ms lo que se transmite al exterior, menoslo que se obtiene de la fuente de calor. Aplicando la ley lineal de transferencia decalor se tiene que

d

dt

u dV=h u dV+

un d+

f dV, (1.9)

Utilizando integracin por partes,

d

dt

u dV=h u dV+

u dV+

f dV. (1.10)


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4 Introduccin

Si nos interesa el comportamiento estacionario del problema, se desprecia la varia-cin en el tiempo y se tiene:

u+h u dV= f dV. (1.11)Puesto que esto se cumple para todo,

u+h u= f. (1.12)

Considerando la temperatura en la barra fija en los extremos e igual a cer, se tieneel problema:

u+h u= f, (1.13)u(0) =u(1) =0. (1.14)


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Captulo 2

Elementos bsicos de la teora deecuaciones en derivadas parciales

2.1 Preliminares de anlisis funcional

2.1.1 EspaciosLp

Definicin 2.1. Se entiende por Lp(E), 1 p < el espacio de todas las funcionesmedibles y : E R tales que

E |y(x)|pdx < .Bajo esta definicin, las funciones que se diferencian entre si en un conjunto de

medida nula se consideran equivalentes. El espacio Lp(E)est dotado de la norma

yLp (E)=

E|y(x)|pdx

1/p.

Definicin 2.2. L(E)denota el espacio de las funciones medibles y : E Runiforme-mente acotadas c.t.p. El espacio est dotado con la norma

yL(E) =ess supxE

|y(x)|:= nf|F|=0

supxE\F

|y(x)|

.

Los espacios Lp(E)son espacios de Banach para 1 p y son reflexivospara 1 < p < .

En lo que sigue designaremos por RN un dominio, e.d., un conjunto abiertoy convexo, y porv : R una funcin definida sobre .

Definicin 2.3. El conjuntosuppv ={x : v(x) =0}se denomina soporte de v. Elsoporte es el cerrado mas pequeo fuera del cual v es identicamente nula. C k0(), 0 k, es el conjunto de las funciones v : R k veces continuamente diferenciables consoporte compacto en .

5


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6 Elementos bsicos de la teora de ecuaciones en derivadas parciales

En adelante se considerar el vector de coeficientes no negativos= (1, . . . , n) NN como un multi - ndice. Sus componentesideterminan entonces cuantas vecesderivar con respecto axi.

D

y=

||y

1 x1 NxN,

donde||= 1+ +N. Ejemplo:D(1,0,2)y= 3y

x12x3.

Definicin 2.4. C()es el espacio de las funciones reales continuas sobre . Ck()es elespacio de las funciones k veces continuamente diferenciables sobre . Estos espacios sonde Banach con las normas:

yC() = maxx

()|y(x)|; yCk() =max

x||k

|Dy(x)|.

2.1.2 Dominios regulares

Definicin 2.5. Sea RN, N2, un dominio acotado con frontera . El dominio se dice de clase Ck,1, k N {0}, si existe un nmero finito de sistemas de coordenadaslocales S1, . . . , SN, funciones de h1, . . . , hmy constantes a, b > 0tales que:

i) Todas las hison, sobre el conjunto N 1-dimensional

QN1= {y= (y1, . . . ,yN1) : |yi| a, i= 1, . . . ,N 1},k veces continuamente diferenciables con derivadas Lipschitz continuas hasta de orden

k.

ii) Para cada P existe un i {1 , . . . ,M}tal que P se puede expresar en el sistemade coordenadas Sicomo P= (y, hi(y)), y QN1.

iii) En el sistema de coordenadas local Sise tiene

(y,yN)

y QN1, hi(y) 0.

Entonces para cada par f L2(), g L2()existe una nica solucin dbil y H1().Adems existe una constante cRindependiente de f y g tal que

yH1 () cR fL2 ()+ gL2() .Demostracin. ConsideramosV=H1(), la forma bilineala : V V R dada por

a(y, v) =

yvdx+

c0yvdx+yvds

y el funcional linealF: V R definido por

F(v):= f vdx+ gvds.Para la forma bilineal se tiene que

|a(y, v)| =

yvdx+

c0yvdx+yvds

.Adicionalmente, del teorema de traza se tiene

yvds

L()yL2 ()vL2() L()cyH1()vH1 ().

En conjunto, por tanto,

|a(y, v)| 0yH1 ()vH1 (),

con lo cual se obtiene la continuidad dea(, ).Para la elipticidad, se tiene gracias a la hiptesis, que c0=0 enL()o =0

enL(). En el caso en quec0=0 existe un conjunto medible E con|| > 0 yun > 0 tal quec0(x) enE. Se tiene entonces que

a(y,y) = |y|2 +

c0y2 +

y2

|y|2 +

E

y2dx mn(1, )1c

y2H1 ().


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12 Elementos bsicos de la teora de ecuaciones en derivadas parciales

Gracias a la desigualdad generalizada de Poincar: c > 0 tal que

y2H1 c

|y|2dx+

E

y2dx

, y H1().

Para el caso en que =0 se tiene un conjunto de medida nula 1 y un >0con(x) sobre 1. Se tiene gracias a la desigualdad Friedrichs que

a(y,y)|y|2dx+

1

y2dx m n(1, ) 1c(1)

y2H1 .

Se concluye entonces la elipticidad dea(, ).

La estimacin se obtiene a partir del lado derecho:

|F(v)| |f||v|dx +

|g||v|ds

fL2()vL2 ()+ gL2 ()vL2() fL2()vH1 ()+ gL2 ()vH1() (traza) c

fL2()+ gL2()

vH1()

con lo cual

y

2

H1

a(y,y) =|F(y)|

c fL2 ()+ gL2 () yH1 ()

y se obtiene consecuentemente la estimacin.

2.2.2 Operadores diferenciales en forma de divergencia

Los problemas estudiados previamente son casos especiales del siguiente problema:

Ay+c0y= f en

Ay+y= g en 1y= 0 en 0

(2.7)

dondeAes un operador elptico de la forma

Ay(x) = N

i,j=1

Di(aij (x)Djy(x)). (2.8)

Los coeficientes a ij L()cumplen con la condicin de simetra aij (x) = aji (x)en y la condicin de elipticidad: 0 > 0 tal que

N

i,j=1

aij (x)ij 0||2 (2.9)


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2.2 Soluciones dbiles de ecuaciones elpticas 13

para todo RN y todox . PorAse entiende la derivada en el sentido de laconormal, definida por

(A)i(x) =N

j=1

aij (x)j . (2.10)

La frontera se descompone de la siguiente forma = 0 1. Las funcionesc0, ,fy g L2(1)estn dadas de manera similar al caso de Robin. El espacio solucinest dado por:

V={y H1() : y0

=0}.

La forma bilineal est definida por

a(y, v):=

N

ij,=1

aij DiyDjvdx+

c0yvdx+

yvds. (2.11)

La solucin dbily Vresuelve

a(y, v) = (f, v)L2()+ (g, v)L2(1), v V.

Teorema 2.5. Sea un dominio acotado tipo Lipschitz, c0 L(), L(1)talesque c0(x) 0c.t.p. en y(x) 0c.t.p. en 1. Si se satisface una de las condiciones

i) |0| > 0

ii) 1= y

c20(x)dx+ 2(x)ds > 0

entonces el problema (2.7) posee una solucin nica y V para cada f L2(), gL2(1). Adems existe una constante cA > 0tal que

yH1 () cA(fL2 ()+ gL2 (1)), f L2(),g L2(1).


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Captulo 3

Problemas con valores en lafrontera unidimensionales

3.1 Aproximacin por diferencias finitas

Consideremos el siguiente problema con valores en la frontera

u(x) = f(x), 0 < x < 1, (3.1)

u(0) =u(1) =0. (3.2)

Gracias al teorema fundamental del clculo, se tiene que si u C2([0, 1])y satisfacela ecuacin diferencial (3.1), entonces

u(x) =c1+c2x x

0F(s)ds,

dondec1,c2son constantes arbitrarias y F(s) =

s

0 f(t)dt. Usando integracin por

partes x0

F(s)ds =(sF(s))

x0 x

0sF (s)ds

=x x

0f(s)ds s

x0

f(s)ds

= x

0(x s)f(s)ds.

De las condiciones en la frontera se tiene que c1 =0 yc2 = 10(1 s)f(s)ds. Por lotanto, la solucin se puede escribir como:u(x) =x

10

(1 s)f(s)ds x

0(x s)f(s)ds

15


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16 Problemas con valores en la frontera unidimensionales

o, de manera compacta, como

u(x) = 1

0G(x, s)f(s)ds, (3.3)

donde

G(x, s) =

s(1 x) si 0 s x,x(1 s) six < s 1. (3.4)

La funcinGse denominafuncin de Greenpara el problema (3.1)(3.2), es lineal ycontinua a trozos parax(consfijo) y paras(conxfijo).

Adicionalmente,Ges continua, es simtrica (G(x, s) =G(s, x), x, s [0, 1]), nonegativa, nula sixosson 0 o 1 y

10

G(x, s)ds = x0

s(1 x)ds+ 1x

x(1 s)ds

= s2

2(1 x)

x0

+sx(1 s2

)

1x

= x2

2(1 x) + x

2 x2(1 x

2)

=12

x(1 x).

y su grfica es:

s1

Se concluye entonces que para cada f C0([0, 1]) existe una nica solucinu C2([0, 1]) del problema (3.1)(3.2), la cual admite la representacin (3.3). Apartir de (3.1) se puede obtener adems el siguiente resultado de regularidad: sif Cm([0, 1]), param 0, entoncesu Cm+2([0, 1]).

Otra caracterstica importante es que si f C0([0, 1])es no negativa, entoncesutambin lo es (propiedad de monotona).

Se cumple adicionalmente el siguienteprincipio del mximo: si f C0([0, 1])

u18 f (3.5)

con u = max0x1 |u(x)|. Ms especficamente, gracias a (3.3)y a queGes no nega-


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3.1 Aproximacin por diferencias finitas 17

tiva se tiene

|u(x)| 1

0G(x, s)|f(s)|ds f

10

G(x, s)ds =12

x(1 x) f ,

de lo cual se obtiene (3.5).

3.1.1 Discretizacin por Diferencias Finitas (FDM)

La idea bsica de los mtodos en diferencias finitas consiste en remplazar las deri-vadas de una ecuacin diferencial por sus respectivos cocientes en diferencias, paraluego resolver el sistema obtenido.

Se considera en el intervalo[0, 1]los puntos xj = jh, j =0, . . . n, donden 2es un entero y h = 1/nes el tamao del paso. La aproximacin de la solucin uen los puntos de discretizacin est dada poruj u(xj), j =0, . . . , n, donde losujsatisfacen

uj+1 2uj+uj1h2

= f(xj), j=1, . . . , n 1 (3.6)yu0=un=0.

Definiendo los vectores u= (u1, . . . , un1)T y f = (f1, . . . , fn1)T, con fi = f(xi),se puede expresar (3.6) de la siguiente forma:

Af d u= f, (3.7)

dondeAf d M(n1)es la matriz de diferencias finitas (simtrica) definida por

Af d = h2 tridiagn1(1, 2 1) (3.8)

=

2 11 2 . . .

. . . . . . 11 2

.

Esta matriz es adicionalmente diagonal dominante y definida positiva:

xTAf dx= h2

x21+x2n1+

n1i=2

(xi xi1)2

,

lo cual implica que(3.7) admite solucin nica.

3.1.2 Estabilidad (mtodo de energa)

Para reescribir la ecuacin(3.6) en forma operacional, seaVhuna coleccin de fun-ciones discretas definidas en los puntos del mallado xj, j =0, . . . , n. Utilizamos lanotacinvj = vh(xj)paravh Vh. Sea adems V0h el subconjunto de funciones de


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Vhcon valor cero enx0y xn. Para una funcinwhse define el operador

(Lhwh)(xj) = wj+1 2wj+wj1

h2 , j= 1, . . . , n 1, (3.9)

con lo cual el problema en diferencias finitas (3.6)puede ser formulado como: en-contraruh V0h tal que

(Lhuh)(xj) = f(xj), j=1, . . . , n 1. (3.10)

Aqu las condiciones de frontera estn incluidas en la eleccinuh V0h .Para dos funciones discretaswh, vh Vhdefinimos el producto escalar discreto

(wh, vh)h=hn

k=0

ckwkvk,

conc0 =cn =1/2 yck=1, k=1, . . . , n 1, y la norma enVh:

vhh = (vh, vh)1/2h .

Lema 3.1. El operador Lhes simtrico:

(Lhwh, vh)h =(wh,Lhvh)h, wh, vh V0h ,

y definido positivo:(Lhvh, vh)h > 0, vh V0h {0}.

Demostracin. Gracias a la identidad

wj+1vj+1 wjvj = (wj+1 wj)vj+ (vj+1 vj)wj+1,

se tiene, para todowh, vh Vh, quen1

j=0(wj+1 wj)vj =

n1

j=0(wj+1vj+1 wjvj)

n1

j=0 (vj+1 vj)wj+1

= wnvn w0v0 n1

j=0(vj+1 vj)wj+1.

Usando dos veces sumas por partes y utilizando notacinw1 = v1 =0, se tienepara todowh, vh V0h ,

(Lh

wh, v

h)

h =

h

1n1

j=0[(w

j+1 w

j)

(wj

wj1

)]vj

= h1n1

j=0[(wj+1 wj)(vj+1 vj)],


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de donde(Lhwh, vh)h =(wh,Lhvh)h. Tomando adicionalmentewh =vhse tiene que

(Lhvh, vh)h =h1

n1

j=0 vj+1 vj

2 , (3.11)

la cual es positiva excepto cuandovj =0, j=0, . . . , n.

Para una funcinvh Vhse define la norma

|||vh|||h =

h

n1

j=0

vj+1 vj

h

21/2, (3.12)

con lo cual (3.11) es equivalente a(Lhvh , vh)h =|||vh|||

2h, vh V0h . (3.13)

Lema 3.2. La siguiente desigualdad se cumple para toda funcin vh V0h ,

vhh 1

2|||vh|||h (3.14)

Demostracin. Gracias a que para cualquier v V0h ,v0 =0, se tiene que

vj =hj1k=0

vk+1 vkh

, j= 1, . . . , n 1

y, por tanto,

v2j =h2

j1k=0

vk+1 vkh

2.

Usando la desigualdad de Minkowski

mk=1

pk

2 m

mk=1

p2k

, (3.15)

vlida para todo enterom 1 y todam-tupla{p1, . . . ,pm} R, se obtienen1

j=1v2j h2

n1

j=1j

j1k=0

vk+1 vk

h

2.

Entonces se obtiene que

||vh||2h = h

n1

j=1v2j


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h2n1

j=1jh

n1k=0

vk+1 vk

h

2= h2

(n 1)n

2

|||vh|||2h.

Gracias a queh = 1/n, se concluye(3.14).

Multiplicando cada ecuacin (3.10) porujy sumando sobre j =0, . . . , n 1 seobtiene que

(Lhuh, uh)h = (f, uh)h.

Gracias a(3.13) y aplicando Cauchy-Schwarz,

|||uh|||2

h fh

h uh

h,

donde fh Vhes tal que fh(xj) = f(xj),j=1, . . . , n. Utilizando(3.14) obtenemosque

uhh12

fhh, (3.16)de donde se concluye la unicidad de la solucin al problema (3.6). Adicionalmente,se obtiene un resultado de estabilidad el cual establece la acotacin de la solucinen diferencias finitas por el dato fh.

3.1.3 Consistencia

Para analizar la convergencia del mtodo, empezaremos estudiando su consisten-cia. Asumiendou C4([0, 1])se tiene las expansiones de Taylor

uj+1 =u(xj+1) =uj+huj+

h2

2uj +

h3

6u

(3)j +

h4

4!u

(4)j (),

uj1=u(xj1) =uj huj+h2

2uj

h3

6u

(3)j +

h4

4!u

(4)j ()

y, por tanto, el error local de discretizacin satisface

h(xj) := (Lhu)(xj) f(xj), j= 1, . . . , n 1, (3.17)= h2[uj+1 2uj+uj1] f(xj)

= u(xj) f(xj) + h2

24

u(4)(j) +u

(4)(j)

= h2

24 u(4)(j) +u

(4)(j)

conj = ]xj, xj+1[; j ]xj1, xj[. Definiendo la norma del mximo discretavhh,= max0jn |vn(xj)|, (3.18)


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se obtiene de (3.18) que

hh,f

12 h2, (3.19)

asumiendo que f

C2([0, 1]). En particular se tiene que

l mh0

hh, =0, (3.20)

con lo cual se prueba la consistencia del esquema en diferencias finitas.

3.1.4 Convergencia

En norma h

Definiendo el error global de discretizacin comoe = u uh, se verifica que

Lhe= Lhu Lhuh =Lhu fh =h, (3.21)

lo cual, junto con el resultado de estabilidad y la consistencia, implica que

eh Cfh2. (3.22)

En norma h,

Ahora, para cada punto de mallaxkdefinimos la funcinGk V0h como solucindel problema

LhGk =ek, (3.23)

dondeek V0h satisfaceek(xj) =kj , 1 j n 1. Se verifica entonces que

G

k

(xj) =hG(xj, xk), (3.24)dondeGes la funcin de Green (3.4). Para cada funcing V0h definimos la funcin

wh =Thg=n1k=1

g(xk)Gk, (3.25)

con lo cual

Lhwh =n1k=1

g(xk)LhGk

=n1k=1

g(xk)ek=g. (3.26)


26/69


En particular, la solucinuhsatisfaceuh=Thf =n1k=1

f(xk)Gk, y, consecuentemente,

uh(xj) =h

n1

k=1 G(xj, xk)f(xk). (3.27)

Teorema 3.3. Suponga que f C2([0, 1]). Entonces el error e(xj) = u(xj) uh(xj)satisface

u uhh, h2

96

f

, (3.28)

lo cual implica que uhconverge a u en la norma del mximo discreta con orden 2respecto deh.

Demostracin. Gracias a la representacin de uh(3.27) se tiene (procediendo comopara obtener (3.5)) que

|uh(xj)| hn1k=1

G(xj, xk)|f(xk)|

fh,

hn1k=1

G(xj, xk)

=

f

h,

1

2

xj(1

xj) g=1 Thg=1

2

xj(1

xj) 1

8fh,,

por lo tanto,

uhh,18

fh, .Usando la ltima desigualdad alicada aLhe= h, se tiene

eh,

1

8

hh,.

Utilizando la estimacin para el error local hh,f

12 h2, se tiene

u uhh, h2

96

fh, .

3.1.5 Un problema general

Un problema ms general de valores en la frontera est dado por Lu(x) = (J(u)(x))+(x)u(x) = f(x), 0 < x < 1,u(0) =d0, u(1) =d1,


27/69


donded0, d1 R;,,f C([0, 1])y

J(u)(x) =(x)u(x).

Se considera(x) 0 en[0, 1]y(x) 0>

0.Para su aproximacin numrica consideremos una nueva malla con los puntosintermediosxj+1/2=

xj+xj+12 de los intervalos[xj, xj+1],j = 0, . . . , n 1.

La aproximacin por diferencias finitas est dada por: hallar uh Vhtal que

Lhuh(xj) = f(xj) j=1, . . . , n 1,uh(x0) = d0, (3.29)

uh(xn) = d1,

dondeLhest definido por

Lhwh(xj) = Jj+1/2(wh) Jj1/2(wh)

h +jwj, (3.30)

conj =(xj)y Jj+1/2(wh) =j+1/2wj+1wj

h .La matriz de diferencias finitas tiene la forma

Af d=h2 tridiagn1(a, d, a) + diagn1(c),

donde

a = (3/2, 5/2, . . . , n3/2)T Rn2,d = (1/2+3/2, . . . , n3/2+n1/2)T Rn1,c = (1, . . . , n1)T Rn1.

Al igual que antes, la matriz Af des simtrica definida positiva.

Ejemplo 2.

Lu(x) =

((x+ 1)

(x)

u(x))

+u(x) =2, 0 < x < 1,

u(0) =1, u(1) =0.

0 x1 x2 xn1 1

x1/2 x3/2 xn1/2

Se tiene que

Lhuj =

j+1/2

uj+1uj

h

j1/2

ujuj1

h

h +uj=

(xj+1/2+ 1)

uj+1ujh

(xj1/2+ 1)

ujuj1

h

h

+uj


28/69


= 1

h2

(xj1/2+1)uj1+ (xj1/2 xj+1/2)uj (xj+1/2+1)uj+1

+uj.

Para el anlisis de convergencia se pueden extender las tcnicas utilizadas previamente.

Consideremos ahora el caso en que las condiciones de frontera tienen otra forma:

u(0) =d0, J(u)(1) =g1,

cond0,g1 R. La condicin en x = 0 se denomina condicin de frontera Dirichlet,mientras que la condicin en x = 1 se denomina de Neumann. Para la discretiza-cin de las condiciones de Neumann se puede considerar una imagen simtrica: laexpansin de Taylor deenxnest dada por

n =

n

1/2+n+1/2

2 h2

16 ((n) +(n)).

Tomando= J(u)y despreciando el trmino con h2 se tiene

Jn+1/2(uh) =2g1 Jn1/2(uh).

En principio el trmino Jn+1/2no existe. Sin embargo, se lo considera como una ex-trapolacin lineal de los valores en los puntosxn1/2yxn. En el puntoxnla ecuacinen diferencias ser

Jn

1/2(uh)

Jn+1/2(uh)

h +nun= fn

la cual, usando la simetra, quedara en

n1/2 un1h2 +n1/2

h2 +

2

2

un=

g1h

+ fn2

.

3.2 Mtodos de Galerkin y de elementos finitos

3.2.1 Formulacin Dbil

Consideremos el siguiente problema con valores en la frontera:(u)(x) + (u)(x) + (u)(x) = f(x), 0 < x < 1,u(0) =u(1) =0,

(3.31)

donde ,y son funciones continuas en [0, 1] y, adems, (x) 0 > 0, x[0, 1]. Multipliquemos ahora la ecuacin (3.31) por una funcintest v C1([0, 1])eintegremos sobre el dominio = [0, 1](por partes): 1

0uvdx+

10uv dx+

10uvdx=

10

f v dx+ (uv)1

0.


29/69

3.2 Mtodos de Galerkin y de elementos finitos 25

Si la funcin test satisface adicionalmente las condiciones de fronterav(0) =v(1) =0, entonces se obtiene

1

0

uv dx+ 1

0

uv dx+ 1

0

uvdx= 1

0

f v dx.

El espacioVde las funciones test consiste en el espacio de las funciones continuastales quev(0) = v(1) =0 y cuya primera derivada sea continua a trozos en [0, 1].De manera ms precisa,Ves el espacio de Sobolev.

H10 (0, 1):=

v L2(0, 1) : v L2(0, 1), v(0) =v(1) =0 , (3.32)dondeves considerada en el sentido de las distribuciones.

Una funcinu C2(0, 1)solucin de (3.31) es tambin solucin del problema:hallaru Vtal que

a(u, v) = (f, v), v V, (3.33)

donde(f, v) = 1

0f v dxdenota el producto escalar enL2(0, 1)y

a(u, v) = 1

0uvdx +

10uv dx+

10uvdx (3.34)

es una forma bilineal. A la ecuacin (3.33) se le denomina formulacin dbil o va-riacional de (3.31).

En presencia de condiciones de borde no homogneas, u(0) = u0, u(1) = u1,se procede de la siguiente manera: se considera la rectau(x) = xu1+ (1 x)u0yse introduce la variable w = u(x) u(x). El problema consiste entonces en hallarw Vtal que

a(w, v) = (f, v) a(u, v), v V.

En el caso de condiciones de Neumann homogneas: u(0) =u (1) =0, se mul-tiplica (3.31) por una funcin testv V= H1(0, 1), con lo cual se obtiene la mismaforma dbil (3.33)pero esta vez con el espacioV= H1(0, 1). Si las condiciones sonno homogneasu (0) = g0, u(1) = g1, multiplicando(3.31) por una funcin testv C1(0, 1)e integrando por partes se obtiene que 1

0uvdx+

10uv dx+

10uvdx=

10

f v dx+g1v(1) g0v(0)

con lo cual el problema consiste en hallar u H1(0, 1)tal que

a(u, v) = (f, v) +g1v(1) g0v(0), v H1(0, 1).


30/69


3.2.2 Propiedades del Mtodo de Galerkin

El mtodo de Galerkin se basa en la formulacin dbil de los problemas con valoresen la frontera. SeaVhun subespacio vectorial de dimensin finita de V. El mtodo

de Galerkin consiste en aproximar la forma dbil (3.33) por el problema: hallaruh Vh : a(uh, vh) = f(vh), vh Vh. (3.35)

Sea{1, . . . ,n}una base del subespacioVh. Se tiene entonces que

uh(x) =N

j=1

ujj(x).

Tomandovh = ien (3.35), el problema de Galerkin se reduce a encontrar N

coeficientes{u1, . . . , un}tales que

N

j=1

uja(j,i) = (f,i) i= 1, . . . ,N. (3.36)

Introduciendo la matriz de rigidez AG = (aij ), conaij =a(i,j), y el lado derechofG = (fi), con fi = (f,i), el problema(3.36) es equivalente a resolver el sistemalineal

AGu= fG. (3.37)

Tanto la estructura de AGcomo la mayor o menor exactitud de uhdependen de laeleccin de la base{i}y, consecuentemente, del espacioVh.

Consideremos ahora el espacioH10 (0, 1)dotado de la norma

|v|H10=

10|v(x)|2 dx

1/2y asumimos que = 0; (x) 0 o que12+ 0. Esto asegura la existenciade una nica solucin al problema de Galerkin, continuamente dependiente de losdatos. Tomandovh =uhen (3.35) obtenemos que

0|uh|2H10

1

0uhu

hdx+

10uhuhdx = (f, uh) fL2 uhL2,

lo cual, gracias a la desigualdad de Poincar, implica que

|uh|H10 Cp

0fL2. (3.38)

Teorema 3.4. Sea C= 10 (+C2p ). Entonces se tiene que:

|u uh|H10 C mnwhVh |u wh|H10 . (3.39)


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Demostracin. Restando el problema de Galerkin (3.35) de la forma dbil (3.33) setiene que

a(u uh, vh) =0, vh Vh.Tomandoe(x) =u(x)

u

h(x)se tiene entonces que

0|e|2H10

a(e, e) =a(e, u wh) +a(e, wh uh), wn Vh= a(e, u wh).

Utilizando Cauchy-Schwarz se tiene entonces que

0|e|2H10

a(e, u wh) = 1

0e(u wh)+

10e(u wh)

|e|H1

0

|u

wh|H1

0

+

|e|L2|u

wh|L2

(+C2p ) |u wh|H10 |e|H10

= |e|H10 10

+C2p

|u wh|H10 , wh Vh,

= |u uh|H10 10

+C2p

mnwhVh

|u wh|H10 .

Los resultados obtenidos se pueden extender fcilmente a problemas ms gene-

rales. SeaVun espacio de Hilbert dotado de la normaVy a : V V Runaforma bilineal con las siguientes propiedades:

0 > 0: a(v, v) v2V, v V (coercividad). (3.40)

M > 0: |a(u, v)| M uVvV, u, v V continuidad. (3.41)Tomando en cuenta que el lado derecho(f, v)satisface la desigualdad

|(f, v)| KvV v V,se tiene que los problemas original (3.33) y aproximado (3.35) poseen solucin nica.Adems se tiene

uV K

0, uhV

K

0.

Adicionalmente se tiene la siguiente desigualdad para el error:

u uhV M

0mn

whVhu whV (3.42)

(lema de Ca).Para verificar que la matriz AG es definida positiva, tomemos un vector v =

(vi) R y la funcin Nj=1vjj Vh. Tomando en cuenta las propiedades de a(, )


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se tiene:

vTAGv =N

j=1

N

i=1

viaij vj

=N

j=1

N

i=1

via(i,j)vj

=N

j=1

N

i=1

a(vjj, vii)

= a(N

j=1

vjj,N

i=1

vii)

= a(vh, vh)

0

vh

2V

0.

Adems, si vTAGv = 0 entoncesvhV = 0, lo cual implica que vh = 0 y, conse-cuentementev= 0.

3.2.3 Mtodo de los Elementos Finitos (FEM)

El mtodo de los elementos finitos (FEM) es una tcnica para construir una base delsubespacioVha travs de la interpolacin polinomial. Consideremos la particin h

del intervalo [0,1] en n subintervalos Ij = [xj, xj+1], n 2 de tamao hj = xj+1 xj, j= 0, . . . , n 1, con

0= x0 < x1 < < xn1 < xn =1.

Seah =maxh (hj)el mximo tamao de paso. Consideremos la familia de polino-mios a trozos

Xkh:=

v C([0, 1]) : v

Ij

Pk(Ij), Ij h

.

Sea adicionalmente

Vh =Xk,0h =

vh Xkh : vh(0) =vh(1) =0

(3.43)

cuya dimensin esnk 1.Se tiene que

mnwhVh

u whH10

u khu

H10, (3.44)

dondek

hu

es el interpolante de la solucin exactau

V

. De la desigualdad(3.44)se puede observar que el problema de estimar el error de aproximacin de Galerkinu uhH10 se reduce a estimar el error de interpolacin

u khuH10 .En el casok= 1, usando el lema de Ca y el error de interpolacin lineal se tiene,


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asumiendou H2(0, 1), el error

u uhH10 M

0Ch uH2.

Esta estimacin se extiende parak> 1 en el siguiente teorema.

Teorema 3.5. Sea u H10 (0, 1) la solucin exacta del BVP (3.33) y uh Vh su apro-ximacin por elementos finitos usando polinomios continuos a trozos de grado k 1. Siu Hs(0, 1), s 2, entonces se tiene la estimacin:

u uhH10 M

0Chl uHl+1 (3.45)

donde l=m n(k, s

1). Con supuestos adicionales se puede probar adems que

u uhL2(0,1) Chl+1 uHl+1. (3.46)

A partir de la estimacin(3.45) se tiene la convergencia del mtodo de Galerkincuandoh0, con ordenl. Se puede notar adems que de nada sirve incrementarel grado de los polinomios si la regularidad de la solucin no es mejor (a l se lodenomina umbral de regularidad).

En problemas en los cuales la solucin u posee regularidad mnima (s = 1)ellema de Ca garantiza la convergencia del esquema, puesto que Vhes denso enV

cuandoh0. Sin embargo, no se puede determinar el orden de convergencia. Enla siguiente tabla se muestran los rdenes de convergencia para distintos casos:

k s=1 s=2 s= 3 s=4 s= 51 solo cv h h h h2 solo cv h h2 h2 h2

3 solo cv h h2 h3 h3

4 solo cv h h2 h3 h4

Para la construccin de la base {j} del espacio xkh, consideremos la funcingenrica

vh(x) =nk

i=0

vii(x)

donde {vi}denota los grados de libertad de vh y las funciones de base i(xj) =ij , j=0, . . . , n.

El espacioX1h

Este espacio consiste en los polinomios lineales a trozos sobre la particinh. Puestoque por dos puntos distintos pasa una nica recta, los grados de libertad devhsonlos mismos que la cantidad de nodos de la particin n+1. Consecuentemente, se


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necesitan n+1 funciones de base i, i = 0, . . . , npara generar el espacio X1h. Laeleccin ms natural es la siguiente:

i(x) =

x xi1xi xi1

sixi

1

x

xi,

xi+1 xxi+1 xi sixi x xi+1,0, si no

1

x0=0 x1 xi1 xi xi+1 xn1 xn =1

0 i n

Estas funciones de base ison lineales a trozos enhcon valor 1 en el nodoxiy 0 enlos dems. El soporte de las ies el intervalo[ Ii1,Ii], 1 i n 1, I0sii = 0 yInsii = n.

En cualquier intervalo Ii = [xi, xi+1], i =0, . . . , n 1, las dos funciones de baseiy i+1pueden ser consideradas como imgenes de funciones de base referencia-les

0y

1(definidas en el intervalo [0,1]), a travs de la transformacin

: [0, 1] Ii () =x = xi+(xi+1 xi), i= 0, . . . , n 1. (3.47)

Definiendo0() =1 y1() = , las funciones i, i+1se pueden construirenIide la siguiente forma

i(x) =0((x)), i+1(x) =1((x))donde(x) = (xxi)

(xi+1

xi).

1

1 1

xi+1xi

1

i+1

El espacioX2h

Una funcin vh X2h es un polinomio a trozos de grado 2 sobre cada intervaloIi. Como tal, est unvocamente determinada a partir de tres puntos diferentes en el


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intervaloIi. Se escogen los valores de la funcinvhen los nodosxi h, i=0, . . . , n,y en los puntos medios de cada intervalo Ii, i =0, . . . , n 1, obtenindose un totalde 2n+1 grados de libertad. Numerando los nodos de tal forma que x0 = 0 yx2n =1, se tiene que los puntos medios de cada intervalo corresponden a los nodos

impares, mientras el resto corresponden a los nodos pares.Las funciones de base estn dadas por:

(ipar) i(x) =

(x xi1)(x xi2)(xi xi1)(xi xi2) sixi2 x xi,(xi+1 x)(xi+2 x)

(xi+1 xi)(xi+2 xi) sixi x xi+2,0, si no.

(3.48)

(iimpar) i(x) = (xi+1

x)(x

xi

1)

(xi+1 xi)(xi xi1) sixi1 x xi+1,0, si no.

(3.49)

Cada funcin de base satisface que i(xj) =ij , i,j= 0, . . . , 2n.Las funciones de referencia en el intervalo [0,1] son

0() = (1 )(1 2),1() = 4(1 ), (3.50)

2() = (2 1).1 0 1 2

0,5

Al igual que con los elementos finitos lineales, las funciones de base (3.48)y(3.49) son las imgenes de las funciones de referencia (3.50) a travs de la transfor-macin afn dada por

x= () =x i+(xi+1

xi), i=0, . . . , n

1.

De manera similar se puede proceder para subespacios Xkh con karbitrario. Hayque tener en cuenta, sin embargo, que un incremento en el gradokde la aproxima-cin polinomial trae consigo un aumento en los grados de libertad y, por tanto, un


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incremento del costo computacional para la solucin del sistema correspondiente.

En cuanto a la matriz de rigidez AG = Af e, debido al soporte local de las fun-ciones de base de los subespacioskh, esta es necesariamente poco densa. En el casok=1 la matriz es tridiagonal, mientras que en el caso k=2 la estructura es penta-

diagonal. La condicin de la misma est en funcin del pasoh:

K2(Af e) =Af e2 A1f e 2 =O(h2).

Ejercicio 1.Discretizar, usando polinomios de grado 2, el problema de Neumann:u+ 2u= 0,u(0) =u(1) =0.

La formulacin variacional es: hallaru H1

(0, 1)tal que 10

uv dx+2 1

0uvdx= 0, v H1(0, 1).

1 0 1 2 3 4

x1 x2=0,5 x3 x4= 1x0=0

Tomamosu(x) = 4i=0uii(x)y obtenemos, parav = 0,4

i=0

ui

10

i0+ 2

4

i=0

10

i0=0

u0 0,5

0(0)2 +u1

0,50

01+u2

0,50

02

+2u0 0,5

020+2u1

0,50

01+ 2u2 0,5

002=0

u0 0,5

0

2x x1 x2

2h2

2+u1

0,50

2x x1 x2

2h2

x2+x0 2x

h2

+u2

0,50

2x x1 x2

2h2

2x x1 x0

2h2

+2u0

0,50

(x1 x)2(x2 x)24h4

+2u1 0,50 (x1 x)(x2 x)2(

x x0)

2h4 +2u2 0,5

0 (

x1 x)(

x2 x)(

x x0)

4h2 =0

Procediendo de manera similar para i, i=1, ..., 4 se obtienen las matrices de rigidez y demasa.


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3.3 Ecuaciones de AdveccinDifusin 33

3.3 Ecuaciones de AdveccinDifusin

Los problemas con valores en la frontera del tipo:(u)(x) + (u)(x) + (u)(x) = f(x), 0 < x < 1,u(0) =u(1) =0,

(3.51)

sirven generalmente para describir procesos de difusin, adveccin y reaccin deuna cierta cantidadu(x). El trmino (u)es responsable de la difusin, udela adveccin (o transporte), ude la reaccin ( > 0). En casos en que es pe-queo comparada con , los mtodos descritos hasta el momento pueden arrojar

resultados no muy buenos. Consideremos por ejemplo el mtodo de Garlekin y laestimacin

u uhV M

0mn

whVhu whV.

Si por ejemplo = , =0, 1, entonces se tiene que0 = y M = +Cp,con lo cual M0 es muy grande y la estimacin del error no nos garantiza nada.

Consideremos de aqu en adelante el problema

u+u =0, 0 < x < 1,u(0) =0, u(1) =1,

(3.52)

cony constantes positivas tales que / 1. Definimos el nmero global dePclet

Pegl = ||L

2 ,

dondeLes el tamao del dominio, el cual mide la preponderancia del trmino ad-vectivo sobre el difusivo.

La ecuacin caracterstica de la EDP es

2 + =0

cuyas races son1=0 y 2 =/. La solucin exacta est dada entonces por:

u(x) =c1e1x +c2e

2 x =c1+c2e(/)x.

Utilizando las condiciones de borde se tiene quec1 = 1

e/ 1 = c2, con lo cual

u(x) = e(/)x 1

e/ 1 .


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Si/ 1, se tiene a travs de una expansin que

u(x) = 1+ x+ 1

1+ +

1

x

=x,

con lo cual la solucin se aproxima a una recta que una las condiciones de borde. Sien cambio,/ 1 las exponenciales alcanzan valores altos y se tiene

u(x) e(/)x

e/=e(/)(1x).

Puesto que los exponentes son grandes la solucin es prcticamente nula, exceptoen una vecindad de x = 1 donde la solucin se acerca exponencialmente a 1. Eltamao de la vecindad es del orden de / 1. En tal caso se dice que la solucinposee una capa lmite (boundary layer) de tamaoO(/)enx =1.

1

1

/ 1

/ 1

3.3.1 Aproximacin de GalerkinFEM

Utilizando elementos lineales k = 1 el problema de aproximacin es el siguiente:

hallaruh X1htal que a(uh , vh) =0, vh X1,0h ,uh(0) =0, uh(1) =1,

(3.53)

dondeXk,0h ={vh Xkh : vh(0) =vh(1) =0}y la forma bilineal est dada por

a(uh, vh) = 1

0(uhv

h+u

hvh) dx. (3.54)

Tomando las funciones de base icomo funciones test se tiene que 10uh

idx+

10uhidx= 0, i=1, . . . , n 1.


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Tomandouh(x) = nj=0ujj(x)y considerando quesupp(i) = [xi1, xi+1]se veri-

fica que:

ui1 xi

xi1i

1

idx +ui

xi+1

xi1(i)

2 dx+ui+1 xi+1

xi

ii+1dx

+

ui1

xixi1

i1idx+ui xi+1

xi1(i)

idx+ui+1 xi+1

xii+1idx

= 0

parai =1, . . . , n 1. Tomando una particin uniforme xi = xi1+h,i =1, . . . , n;h=1/nse tiene que j(x) =

1hsixj1 x xj, j(x) =1h sixj x xj+1y

h(ui1+2ui ui+1) +12(ui+1 ui1) =0, i=1, . . . , n 1. (3.55)

Multiplicando por h y definiendo el nmero local de Pclet:

Pe= ||h

2

se obtiene que

(Pe 1)ui+1+2ui (Pe+1)ui1=0, i= 1, . . . , n 1. (3.56)

La solucin de esta ecuacin en diferencias est dada por

ui = A1i1+A2

i2,

donde1y2son las races de la ecuacin caracterstica

(Pe 1)2 +2 (Pe+1) =0,

1,2 =11 +Pe2 1

Pe

1

=

1+Pe1 Pe ,1.

Considerando las condiciones de borde en x = 0 y x =1

A1= 1

1 1+Pe1Pen , A2 = A1con lo cual la solucin es

ui =1

1+Pe1Pe

i

1 1+Pe1Pen, i=0, . . . , n.

Si Pe > 1, se tiene un efecto oscilante en la solucin.


40/69


1

1

Un remedio posible consiste en escoger h suficientemente pequeo para quePe < 1, lo cual resulta poco eficiente. Por ejemplo, sea = 1 y = 5 105. Setendra que tomarh = 110000 , lo cual es poco prctico.

3.3.2 Relacin entre FEM y FD

Consideremos una malla uniforme con paso h. Aproximando u(xi)y u(xi), i =1 , . . . , n 1, se obtiene el siguiente problema discretizado

ui+12ui+ui1h2

+ ui+1ui12h =0, i= 1, . . . , n 1u0 =0, uh=1.

(3.57)

Multiplicando cada una de las ecuaciones porh, se obtiene el mismo sistema(3.55)que cuando se utiliza elementos finitos lineales.

El efecto oscilatorio cuando Pe > 1 se puede explicar por el esquema centrado

de discretizacin. Un posible remedio consiste entonces en usar frmulas de dife-rencias unilaterales para la primera derivada, la cual depende de la direccin detransporte. De esta forma se toma una frmula regresiva (backward) si el trminoconvectivo es positivo y una progresiva (forward) si no. En el caso >0 se tieneentonces el esquema:

ui+1 2ui+ui1h2

+ui ui1

h =0; i=1, . . . , n 1 (3.58)

el cual, si = 0 resulta en u i = ui

1, obtenindose la solucin exacta deseada en

el caso u = 0. A este esquema se lo conoce como (upwinding). Si bien se ganaestablididad, el error local de discretizacin es solamente de O(h)y no de O(h2),como en el caso con diferencias centradas.

Considerando que

ui ui1h

=ui+1 ui1

2h h

2ui+1 2ui+ui1

h2 ,

la discretizacin upwinding puede interpretarse como la suma de una aproxima-cin centrada y un trmino proporcional a la discretizacin de la segunda derivada.El esquema(3.57) se puede reescribir entonces como:

h ui+1 2ui+ui1h2 +ui+1 ui1

2h =0, i=1, . . . , n 1, (3.59)


41/69


dondeh =(1 +Pe). Esto es equivalente a haber reemplazado la ecuacin originalpor la ecuacin perturbada:

hu+u=0y discretizarla usando diferencias centradas. A la perturbacin

Peu = h2

u

se le denomina viscosidad numrica o difusin artificial.De manera ms general se puede usar la viscosidad

h =(1+(Pe) (3.60)

dondees una funcin de Peque satisface

l mt0+

(t) =0.

3.3.3 Mtodo de Elementos Finitos Estabilizado

Consideremos el problema de adveccin-difusin (3.51) con el coeficiente de visco-sidad reemplazado por (3.60). Se tiene entonces el siguiente problema de Galerkin:hallar

u0h Xk,0h ={vh Xkh : vh(0) =vh(1) =0} tal queah(u

0h, vh) =

10vhdx, vh Xk,0h (3.61)

dondeah(u, v) =a(u, v) +b(u, v)yb(u, v) =(Pe) 1

0uvdx.

Para demostrar convergencia basta probar queu0h u0cuandoh 0, dondeu0(x) =u(x) x.

Teorema 3.6. Si k=1se tiene que

|u0 u0h|H10 ChG(u0)

donde C > 0es una constante independiente de h y u0 y

G(u0) =

|u0|H1+|u0|H2 , (upwind),

|u0|H2 , si(t) =t 1 +tB(2t); B(t) = t

et1 , t =0,0, t=0.

Demostracin. Gracias a la formulacin dbil del problema original se tiene que

a(u0, vh) = 1

0vhdx, vh Xk,0h .


42/69


Restando (3.61) se tiene que

ah(u0 u0h, vh) =b(u0, vh) vh Xk,0h . (3.62)

Notando porEh =u0

u0hel error de discretizacin y usando Poincar,

h|Eh|2H10

= ah(Eh, Eh) =ah(Eh, u0 khu0) +ah(Eh,khu0 u0h)

= ah(Eh, u0 khu0) +b(u0,khu0 u0h).

Utilizando Cauchy-Schwarz se tiene que

h|Eh|2H10

Mh|Eh|H10u0 khu0

H10

+(Pe) 1

0(u0)

khu

0 u0h

dx (3.63)

conMh =h+||Cp.

Utilizando de nuevo Cauchy-Schwarz, 10

(u0)khu

0 u0h

dx |u0|H10khu0 u0h

H10

|u0|H10khu0 u0h

H10+|Eh|H10

,

de donde se tiene que

h|Eh|2H10

|Eh|H10

Mh

u0 khu0H10

+(Pe)|u0|H10

+(Pe)|u0|H10

u0 khu0H10

.

Utilizando la estimacin de interpolacin

(fkhf)

L2 Chk

f(k+1)

L2 se

concluye que

h|Eh|2H10

|Eh|H10

MhChk|u0|Hk+1+(Pe)|u

0|H10

+C(Pe)|u0|H10

hk|u0|Hk+1.

Usando la desigualdad de Youngab a2 + b24 , a, b R, > 0.

h |Eh|2H10

h|Eh|

2H10

2 +

34h

(MhChk|u0|Hk+1)

2 + ((Pe)|u0|H10 )2

= |Eh|2H10

32

Mhh

2C2h2k|u0|Hk+1+

32

h

2(Pe)|u0|2

H10


43/69

3.4 Aplicaciones 39

+2h

(Pe)2|u0|H10 Chk|u0|Hk+1 .

Tomando en cuenta que h > se tiene que(Mh/) (1 +2CpPege)y

|Eh|2H10

32

C2(1 +2CpPegl )2h2k|u0|2Hk+1

+2(Pe)Chk|u0|H10 |u0|k+1+

32(Pe)2|u0|H10

M

h2k|u0|2Hk+1+(Pe)hk|u0|H10

|u0|Hk+1+(Pe)2|u0|

2H10

(3.64)

para alguna constanteM > 0.

Si consideramos el esquema upwindingse tiene que (Pe) = Pe = ||h2 y, por

tanto,|Eh|

2H10

Ch2

h2k2|u0|2Hk+1+hk1|u0|H10 |u

0|Hk+1+|u0|2

H10

.

Aplicando elementos lineales se obtiene la estimacin deseada.

En el caso del mtodo SG, asumiendo que existe K>0 tal queSG Kh2 parahsuficientemente pequeo, se tiene

|Eh|2H10

Ch4

h2(k2)|u0|Hk+1+h

k2|u0|H10 |u0|2Hk+1+|u

0|H10

.

3.4 Aplicaciones

3.4.1 Deslizamiento

Consideremos una pieza rgida que se desliza sobre una riel en la direccin xy lacual se encuentra separada por un fluido viscoso (lubricante). Supongamos que lapieza es de longitud L y se desliza con una velocidadUsobre el soporte, el cual seasume de longitud infinita. La superficie de la pieza de cara al soporte est descritapor la funcins.

Siendo la viscosidad del lubricante, la presin que acta sobre la pieza desli-zante est modelada por el siguiente problema de Dirichlet:

s3

6p

= (Us), x (0,L),p(0) =0, p(L) =0.


44/69


x

L

s(x)

Suponiendo = 1, L = 1 y s(x) = 1 32 x+ 98 x2, la solucin aproximada delproblema tiene la forma:

1

0

3.4.2 Concentracin de Esporas en el Aire

Consideremos los procesos de difusin y transporte de esporas en el aire, tales comoesporas bacterianas o el polen de las plantas. Estudiaremos la distribucin de laconcentracin de esporas sobre un rea extensa, tomando en cuenta el asentamientodebido a la gravedad y la difusin atmosfrica.

El modelo ms elemental asume difusividad (coeficiente de difusin) constan-te y velocidad de asentamiento constante . Al considerar un rea extensa, los

procesos de conveccin y de adveccin-difusin horizontal son despreciados.La distribucin estacionariau(x)de la concentracin de esporas (x 0 direccin

vertical) est modelada por el siguiente problema:u+u =0, 0 < x < H,u(0) =u0,u(H) +u(H) =0,

donde Hes una altura constante en el cual se asume que el flujo de adveccin di-

fusin u+ues nulo. Valores realistas para los coeficientes son= 10 m2

s1

y =0.03ms1. Adicionalmente se usu0 = 1 g m3 y una altura H = 10km. El n-mero global de Pclet es entonces Pegl =15.


45/69

3.4 Aplicaciones 41

Ejercicio 2.Resolver el problema usando elementos lineales y elementos lineales estabiliza-dos.


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47/69

Captulo 4

Problemas Elpticos

4.1 Aproximacin por Diferencias Finitas

Consideremos un dominio acotado R2. En lo que sigue buscaremos una solu-cin para el problema: u= f en ,

u= g en =, (4.1)

utilizando diferencias finitas.

Consideremos como caso particular el dominio = ]0, 1[ ]0, 1[. Utilizando lospasos de discretizacinh = 1n+1 ,k=

1m+1con n, m N obtenemos la malla:

hk=

(xj1, x

j2) : x

i1 =ih, x

j2=jh, i= 0, . . . , n+ 1, j= 0, . . . , m+1

.

4

7

1 2

5

8

3

6

9

x

x2

1

1

Usando una estrella de 5 puntos para la aproximacin de(4.1) se tiene entonces

43


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44 Problemas Elpticos

el siguiente esquema:

1

h2(ui+1,j

+2ui,j ui1,j

) + 1

k2(ui,j+1

+2ui,j ui,j1

) = fij

i= 1, . . . , n; j= 1, . . . , m,

uij =gij i= 0, n+1; j= 1, . . . , m,j=0, m+ 1; i= 1, . . . , n,

(4.2)

Utilizando un orden horizontal y luego vertical lexicogrfico, se tiene la matriz delsistema (con condiciones homogneas de Dirichlet):

4 1 .

.. 1 .

..1 4 . . . ... . . . ...

. . . . . . 1 ... . . . ... 01 4 ... 1 ...

1 ... 4 1 ... 1. . .

... 1 . . . . . . ... . . .. . .

... . . . . . .

1

... . . .

1 ... 1 4 ... 1... 1 ... 4 1...

. . . ... 1 4 . . .

0 ... . . . ... . . . . . . 1... 1 ... 1 4

Al igual que para el caso unidimensional, se puede verificar que el esquema endiferencias finitas es consistente de orden 2 y que el error de discretizacinu uhh,es de orden 2 con respecto a h.

Adicionalmente se tiene que la matriz de discretizacin Af des simtrica y defi-nida positiva.

4.2 Formulacin Variacional de Problemas Elpticos

Sea un dominio acotado de Rd, d =2, 3, con frontera Lipschitz continua y sea nla normal unitaria exterior en la frontera.


49/69

4.2 Formulacin Variacional de Problemas Elpticos 45

Consideramos el operador lineal de segundo orden Ldado por

L(w):= d

i,j=1

Di(aij Djw) +d

i=1

[Di(biw) +ciDiw] +a0w, (4.3)

donde Dj := xj y aij = aij (x), bi = bi(x), ci = ci(x), a0 = a0(x)son funcionesdadas.

Definicin 4.1. El operador diferencial L se dice elptico en si existe una constante0 > 0tal que

d

i,j=1

aij (x)ij 02Rd ,

para todo Rd y para casi todo x .

Al operadorLse asocia la forma bilineal

a(w, v):=

d

i,j=1

aij DjwDiv d

i=1

(biwDiv civDiw) +a0wv

, (4.4)

dondew, vson funciones definidas sobre . Un ejemplo usual es el operador L =

, el cual se asocia con la formaa(w, v) =

wv.

Tomando un subespacio cerradoVde H1 ()tal que

H10 () VH1()

y asumiendo queaij , bi, ci, a0 L()se tiene que la formaa(, )est bien definidasobre V V. El problema variacional es entonces: dadoF, funcional lineal continuosobreV, hallaru Vtal que

A(u, v) =F(v), v V, (4.5)

dondeA(u, v)coincide cona(u, v)excepto por la posible suma de trminos de fron-tera.

Sea Dun subconjunto de. Definimos entonces el espacio

H1D := v H1() : v=0 sobre D .

En particular se tiene que si D = el espacio H1D ()coincide con el espacioH10 ().


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i) Problema de DirichletConsideremos el problema de Dirichlet homogneo Lu = f en ,u=0 en.

(4.6)

La formulacin dbil es la siguiente: dada f L2(), hallar

u H10 () : a(u, v) = (f, v), v H10 (), (4.7)

donde(, )es el producto escalar enL2().

Integrando por partes se tiene que si ues solucin clsica de (4.6) entoncestambin es solucin de (4.7). Recprocamente, tomandov C0 ()en (4.7) eintegrando por partes se tiene que

Luv=

f v, v C0 (),

lo cual implica que Lu = fen el sentido de las distribuciones. Puesto quef L2(), la igualdad se cumple casi en todas partes en .

ii) Problema de Neumann

Considerando el problema

Lu = f en ,unL

=g en, (4.8)

dondeu

nl:=

d

i,j=1

aij Djuni b nu (4.9)

es la derivada conormal deuy ges una funcin sobre . Sib = 0 y aij =ij ,entonces(4.9) coincide con la derivada deuen la direccin de la normal.

La formulacin variacional de(4.8) es la siguiente: dados f L2()y gL2(), hallaru H1()tal que:

a(u, v) = (f, v) + (g, v), v H1(), (4.10)

donde(, ), denota el producto escalar enL2().

De manera similar al caso anterior, una solucin clsica de (4.8)es tambinsolucin de (4.10). Recprocamente, tomandovC0 ()se tiene queLu= fenD()y por tanto c.t.p. en . Tomandov

H1()e integrando por partes

se tiene que

Luv+

u

nLv=

f v+ (g, v), v H1(),


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4.2 Formulacin Variacional de Problemas Elpticos 47

asumiendo suficiente regularidad deu. Puesto queLu = fc.t.p. en , se tieneque

u

nLv= (g, v)

y puesto queves arbitrario, se tiene que unL =gen.

iii) Problema Mixto

Consideremos ahora el siguiente problema

Lu = f en ,u= 0 en D,u

nL=g en N,

(4.11)

donde Dy Nsubconjuntos abiertos disjuntos de , tales que D N =. La formulacin variacional de(4.11) es la siguiente: dadas f L2()yg L2(N), hallaru H1D ()tal que:

a(u, v) = (f, v) + (g, v)N, v H1D (). (4.12)

iv) Problema de Robin

Consideremos el problema:

Lu = f en ,

unL

+Ku = g en , (4.13)

donde Kes una funcin sobre . La formulacin dbil de(4.13) est dada


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por:hallaru H1()tal que

a(u, v) + (Ku, v)= (f, v) + (g, v), v H1() (4.14)

con f L2(), g L2()yK L().

La existencia y unicidad de soluciones a los problemas previamente descritosse obtiene utilizando el lema de Lax-Milgram, para lo cual es necesario verificar lacoercividad y continuidad de la forma bilineal involucrada.

4.3 Mtodo de Galerkin

Al igual que en el caso unidimensional la aproximacin de Galerkin del problema(4.5) est definida por:

hallaruh Vh : A(uh, vh) =F(vh), vh Vh,

dondeVhes un subespacio de dimensin finita deV. Para obtener existencia y uni-cidad de las solucionesuyuh, asumimos que la forma bilineal A(, )es continua ycoerciva y que el funcionalF()es continuo. Como consecuencia de estos supuestosse obtiene el lema de Ca:

u uhV M0

mnwhVh

u whV.

Proposicin 4.1. Asumamos que la forma bilineal A(, ) es continua y coerciva en V yque el funcional linealF()es continuo en V. Sea Vhuna familia de espacios de dimensin

finita de V. Suponiendo que existe un subconjuntoVdenso en V tal que

nfvhVh

v vh h0 0, v V, (4.15)

entonces el mtodo de Galerkin es convergente.

Demostracin. Puesto queVes denso enVse tiene que > 0, v Vtal que

u v < .

Adicionalmente, gracias a (4.15), existe unh0() > 0 tal que h < h0(), vh Vhsetiene que

v vh < .Utilizando el lema de Ca se tiene entonces que

u uh M0

u vh M0

(u v + v vh)


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4.4 Elementos finitos 49

2M0

.

Asumamos ahora que Rd, d =2, 3, es un dominio poligonal con frontera

Lipschitz. Sea

huna familia de triangulaciones de

.Una triangulacinhde es un conjunto de tringulosK1, . . . , Kmtales que

=

KihKi, y

2 tringulosKiyKj, i =jcomparten un vrtice, un lado o son disjuntos.

A continuacin especificaremosVhpara los diferentes problemas considerados.

i) Problema de DirchletPara este caso tomaremos

Vh =Xkh H10 ()

={vh Hkh : vh =0 en }, j 1 (4.16)

donde Xkh = {vh C0

: vh

k Pk,k h}si los elementos finitos

triangulares.

ii) Problema de Neumann y de Robin

En estos casos tenemos el subespacio

Vh=Xkh, k 1. (4.17)

iii) Problema Mixto

En este caso escogemos

Vh =Xkh H1D () ={vh Xkh : vh =0 en D}, k 1.

4.4 Elementos finitos

Sea un dominio poligonal de R2 de frontera. Consideremos el problema mo-delo u= f en ,

u=0 en ,

cuya formulacin variacional est dada por: hallaru H10tal que

uv dx =

fv dx, v H10 ().


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Sea ahora VhH10 ()un espacio de dimensin finita. La aproximacin de Galerkinest dada por: hallaruh Vhtal que:

uh vh dx= fvhdx, vh Vh.Tal como se vio previamente,Vhes el espacio de funciones continuas sobre, linea-les sobre cada tringulo deh.

Para la construccin de una base 1, . . . ,n, consideramos las funciones italesque:

i(Pj) =ij ,

donde losPjson los nodos de la malla.

Pi

Figura 4.1:El soporte de i, consiste en todos los tringulos que incluyen el vrticePi

Una funcing Vhse puede representar por

g(x) =N

i=1

i i(x),

dondei = g(Pi), 1i N,x = (x1, x2). Si : R es una funcin continua,se obtiene el interpolante de enVha travs de

h =

N

i=1

(Pi)i.

Ejercicio 3.Considere el dominio[0, 1] [0, 1]con la siguiente triangulacin


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a) Calcule la matriz de masa

Aji =

i jdx.

b) Obtenga el lado derecho fa travs de

fj =

fjdx,

utilizando la frmula de integracin numricaK

g(x)dx g(A1) +g(A2) +g(A3)3

rea(K).

c) Obtenga el sistema lineal a resolverse.

4.4.1 Elementos finitos de gradok> 1

En este caso el subespacioVhH1()de dimensin finita consiste en las funcionescontinuas en, cuya restriccin a cada tringuloKes un polinomio de grado menoro igual quek.

Para obtener una funcing Vhse procede de la siguiente forma: cada segmen-to de un tringulo K hse divide en kpartes iguales y se consideran todos losnodos (incluyendo los internos)


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La cantidad de nodos del tringulo Kest dada entonces por = (h+1)(k+2)2 . Porotro lado, sip(x1, x2)es un polinomio de gradokde la forma:

p(x1, x2) =a00+a10x1+a01 x2+a10x21+a11x1x2+a02 x

22

+. . .+ak0xk1+ak1 1x

k11 x2+. . .+a0kx

k2,

entonces pposee coeficientes aij (0 i+ j k). Se puede mostrar que existeun nico polinomio de grado menor o igual a kque pase por los valores de losvrtices del tringulok h.

Notando por P1, P2, . . . , Pk los nodos de la triangulacin, se puede describirlas funciones g Vh usando su valor en los nodos g(Pi). Las funciones de base1, 2, . . . , Nestn definidas por

i(Pj) =ij = 1, sii =j,

0, si no.

El soporte de iest compuesto por:

i) Los tringulosK hque tienen aPicomo vrtice.ii) Los tringulos Kp y Kq, si Pi est sobre la arista comn a Kp y Kq, y no es

vrtice.

iii) El tringuloK, siPiest en el interior deK.

Parak= 2, las funciones de base tienen la siguiente forma:


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4.4.2 Elementos finitos rectangulares

Al igual que con elementos triangulares, se puede construir subespacios VkdeH1()

con elementos finitos rectangulares. Para esto, consideremos un dominio rectangu-lar R2, el cual est subdividido en rectngulosK1, K2, . . . , Kmtales que:

=m

i=1

Ki,

Dos rectngulosKiy Kj,i= j, tienen un lado en comn, un vrtice comn oson disjuntos.

Ki

Pi

x1

x2

Abusando del lenguaje, hablaremos de una triangulacin hde con rectn-gulos. Definimos entonces

h:=maxKh

diam(K).

Utilizando elementos finitos de grado 1, el subespacio Vhde H1()est definidopor:

Vh = {g : R : es continua sobre y la restriccin g

Kes un polinomio

de grado menor o igual a 1 en cada una de las variables x1, x2de manera separada,

K h}.Un polinomio de grado 1 en cada una de las variablesx1y x2es de la forma

q(x1, x2) =a+bx1+cx2+dx1x2,


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el cual se conoce en la literatura como polinomio Q1. Se puede mostrar que sobreun rectnguloKi, existe un nico polinomio Q1que pase por los valores fijados enlos vrtices del rectngulo. Adicionalmente, siKiy Kjposeen un lado en comn ,y si qi y qj son los polinomios Q1sobre Kiy Kj respectivamente, entoncesqi y q

coinciden sobre .Para describir una funcing V1se necesitan sus valores g(Pi)en los nodosPi

coni = 1, 2, . . . , m. Las funciones de base 1,2, . . . ,mdeVhestn definidas por

i(Pj) =ij , 1 i,j m

y el soporte de i son los rectngulos que tienen a Pi como vrtice. Una funcing Vhse representa por

g(x) =m

i=1

ii(x)

yg(Pi) =i, 1i m. Si l : R es continua, entonces h = lh = mi=1l(Pi)eies un interpolante enVh.

Pi

i

4.5 Estimaciones de error

Teorema 4.2. Sea un dominio poligonal de Rd, d = 2, 3, con frontera Lipschitz y seah una triangulacin de . Suponga que la forma bilineal A(, ) es continua y coercivaen V y que el funcional lineal F() es continuo en V. Entonces el mtodo de Galerkin deelementos finitos es convergente. Si adicionalmente u Hs(), s 2, se tiene la siguienteestimacin

u uhH1 ChuHl+1 , (4.18)con = m n(k, s 1).

Demostracin. Puesto queC

es denso enH1 (), se puede tomarV=C

para los problemas de Neumann y Robin;V = C H10()para el problema

de Dirichlet yV = C H1D ()para el problema mixto. Adems, para cada


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4.5 Estimaciones de error 55

v Vnf

vhVhv vhH1 v kh(v)H1

con lo cual se tiene la convergencia de la aproximacin, gracias a la estimacin del

error de interpolacin.Para probar la estimacin, ntese que gracias a que u Hs () , s 2, y lasinyecciones de Sobolev, se tiene queuC0 , con lo cual la interpolacin kh(u)est bien definida. Adicionalmente, kh(u) Vh. De la estimacin del error de inter-polacin se tiene que

u kh(u)H1 ChuHl+1y gracias al lema de Ca

u

u

hH1

M

0nf

vhVh u

v

hH1 .

Las dos estimaciones conjuntas nos dan:

u uhH1 M

0ChuHl+1 .

El resultado de convergencia es ptimo para la norma de H1(). Volviendo,sin embargo, al error de interpolacin da la impresin de que se puede obtener unmejor resultado para la normaL2(). Para mostrar esto consideramos el problema

auxiliar: hallar(r) V: A(v,(r)) = (r, v), v V. (4.19)

Si la formaA(, )es continua y coerciva, se obtiene existencia y unicidad de (r).

Proposicin 4.3. Asuma los supuestos del Teorema4.2.Suponga adems que para cada L2()existe una solucin (r) H2()de(4.19), tal que existe C > 0:

(r)H2 CrL2 , r L2(). (4.20)

Si u Hs

(

), s 2, entonces se tiene la siguiente estimacin:u uhL2 Chl+1ul+1 (4.21)

con l =mn(k, s 1).Demostracin. Utilizando el problema (4.19) se tiene que

u uhL2 = suprL2()

r

=0

(r, u uh)rL2

= suprL2()

r

=0

A(u uh,(r))rL2

.

Para una funcinh Vharbitraria se tiene queA(u uh,h) =0 y, por lo tanto,

A(u uh,(r)) =A(u uh,(r) h).


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Consecuentemente,

(r, u uh) Mu uhH1(r) hH1 .

Gracias a que (r) H2() C0 se puede tomar h = kh((r)) y seobtiene de los errores de interpolacin que

(r, u uh) CMu uhH1 h(r)H2 .

Utilizando la estimacin (4.20)y la estimacin (4.18) se tiene entonces

u uhL2 suprL2r

=0

CMu uhH1 hrL2rL2

C ul+1hl+1.Teorema 4.4. Asuma los supuestos del Teorema4.2.Si uHl+1(), entonces se tiene lasiguiente estimacin:

u uhL() Chl+1d/2uHl+1()con l =mn{k, s 1}.

Demostracin. Usando la desigualdad triangular se tiene

u uhL() u kh(u)L() +kh(u) uhL().

Adicionalmente, de los errores de interpolacin, se tiene la siguiente estimacin

u kh(u)L(K) C hl+1K (meas(K))1/2|u|Hl+1(K), u Hl+1(K).

Si la familia de triangulaciones es regular, se tiene

(meas(K))1/2 C hd/2ky, por tanto,

u kh(u)L() C hl+1d/2|u|Hl+1(), u Hl+1(K).

De otro lado, puesto que en espacios de dimensin finita todas las normas sonequivalentes, se tiene que

uh kK(u)L(K) C uh kK(u)L2(K),donde, Kes el tringulo de referencia, i.e.,K= TK(K) = BK : K+bKcon BKmatriz


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4.5 Estimaciones de error 57

no singular. De la estimacin

|v|Hm(K) CB1k m|det Bk|1/2|v|Hm (K), v Hm(K),

dondev:=v TK, se obtieneuh kK(u)L(K)C[det Bk]1/2uh kK(u)L2(K)

C[meas(K)]1/2uh kK(u)L2(K).

Asumamos ahora que existe una constante> 0 tal que

mnkh

hk h, h > 0.

Entonces se tiene que[meas(K)]1/2 Chd/2, K h,h > 0,

con lo cual uh kh(u)L() C hd/2uh kh(u)L2().Usando nuevamente la desigualdad triangular se tiene que

uh kh(u)L2() u uhL2()+ u kh(u)L2().

De la estimacin de errores se tiene adems que

uh kh(u)L2() C hl+1|u|Hl+1(), u Hl+1().

En conjunto obtenemos entonces que

u uhL() C hl+1d/2|u|Hl+1(), u Hl+1().


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Captulo 5

Problemas Parablicos

Consideremos el problema de hallar una funcin u = u(x, t)parax[0, 1]y t > 0solucin de la ecuacin

u

t +Lu = f, 0 < x < 1, t > 0 (5.1)

con las condiciones de borde

u(0, t) =u(1, t) =0, t > 0 (5.2)

y la condicin inicialu(x, 0) =u0(x), 0 x 1. (5.3)

El operador diferencial Lest dado por

Lu = 2u

x2.

A la ecuacin(5.1) se le denomina tambin ecuacin del calor. Considerando una

barra metlica de longitud unitaria, u(x, t)describe la temperatura de la misma enel punto xy en el instante t. La conductividad trmica est dada por > 0 y latemperatura en los bordes es nula. En el instante inicial la temperatura est dadaporu0(x)y f(x, t)representa una fuente de calor.

Utilizando, por ejemplo, series de Fourier, se muestra que la ecuacin en cues-tin posee solucin nica, asumiendo regularidad en los datos. Adems se tiene quela energa

E(t) = 1

0u2(x, t)dx

satisface la desigualdad

E(t) etE(0) + 1

t0

e(st)F(s)ds (5.4)

59


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60 Problemas Parablicos

conF(t) = 1

0f2(x, t)dxy =

V

C2p.

5.1 Aproximacin por Diferencias FinitasPara la resolucin numrica de la ecuacin del calor se discretiza tanto la variableespacial como la temporal. Utilizando la notacinu i(t) = u(xi, t), i = 0, . . . , n, seaproxima el problema original por:

ui(t) h2(ui1(t) 2ui(t) +ui+1(t)) = fi(t), i= 1, . . . , n 1,u0(t) =un(t) =0, t > 0,ui(0) =u0(xi), i= 0, . . . , n.

Esta semi-discretizacin del problema original corresponde a un sistema de EDO dela forma

u(t) = Af du(t) + f(t), t > 0,u(0) =u0

(5.5)

dondeu(t) = (u1(t), . . . , un1(t))T;u0 = (u0(x1), . . . , u0(xn1))T y Af des la matrizde discretizacin por diferencias finitas.

Los esquemas ms utilizados para resolver (5.5) son los de Euler semi-implcitos.Denotando por vk el valor de ven el instante tk = kt, para t > 0, el esquema

semi-implcito con parmetroes de la siguiente forma:uk+1 uk

t = Af d(uk+1 + (1 )uk) +fk+1 + (1 )fk, k=0, 1, . . . ,

u0 =u0,(5.6)

o, de manera equivalente,

(I+tAf d)uk+1 = (I

t(1

)Af d)u

k +gk+1 (5.7)

congk+1 = t(fk+1 + (1 )fk).Si =0, se tiene el mtodo de Euler explcito:

uk = (I tAf d)ku0, k= 1, 2, . . . ,

para el cual se obtiene estabilidad condicional si t < 12h2.

Si =1, se tiene el mtodo de Euler implcito:

uk

= (I+tAf d)1ku0, k= 1, 2, . . . ,el cual es incondicionalmente estable.

De manera ms general un mtodo semi-implcito es incondicionalmente estable


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5.2 Aproximacin por Elementos Finitos 61

si 12 1 y condicionalmente estable si 0 < 12 . En cuanto al orden, el errorlocal es del orden de t+h2 si = 12 y del orden t2 +h2 si = 12 (esquema deCranck-Nicholson).

5.2 Aproximacin por Elementos Finitos

La discretizacin espacial tambin se la puede realizar a travs de elementos finitos.Para esto, multiplicamos (5.1)por una funcin testv V=H10 (0, 1)y se integra enel intervalo(0, 1). Buscamos entonces una funcinu(t) Vtal que, t > 0, 1

0

u(t)

t vdx+a(u(t), v) =F(v), v Vt > 0, (5.8)

conu(0) =u0,a(u(t), v) = 1

0u(t)x

vx

dxyF(v) = 1

0f(t)vdx.

SeaVh Vun subespacio de dimensin finita. Consideremos la aproximacinde Galerkin: t > 0, hallaruh(t) Vhtal que 1

0

uh(t)

t vhdx+a(uh(t), vh) =F(vh), vh Vh, (5.9)

dondeuh(0) =u0hyu0h Vhes una aproximacin deu0.De manera similar a la ecuacin original se obtiene la siguiente estimacin de

energa para la solucin discretauh(t)

Eh(t) etEh(0) + 1 t

0e(st)F(s)ds

conEh(t) = 1

0u2h(x, t)dx.

Considerando una base{j}deVh, la solucin se puede expresar como

uh(t) =

Nh

j=1

uj(t)j,

donde{uj(t)}son los coeficientes desconocidos y Nhes la dimensin deVh. Se ob-tiene entonces que

10

Nh

j=1

uj(t)jidx+a

Nh

j=1

uj(t)j,i

= F(i), i= 1, . . . ,Nh,

o equivalentemente,Nh

j=1

uj(t) 1

0jidx+

Nh

j=1

uj(t)a(j ,i) =F(i), i=1, . . . ,Nh.


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Se obtiene entonces el sistema

Mu(t) +Af eu(t) = ff e(t) (5.10)

donde Af e = (a(i,j)), ff e(t) = (F(i))y M = (mij ) = 10 jidxparai,j =1 , . . . ,Nh. Mse denomina matriz de masa.

Aplicando un esquema semi-implcito se obtiene

Muk+1 uk

t +Af e

k+1 + (1 )uk

= fk+1f e + (1 )fkf e. (5.11)

El esquema(5.11) es un sistema lineal con matriz

K= 1t

M+Af e.

SiMy Af eson simtricas definidas positivas, entonces tambin lo es la matriz K.

Para el anlisis de estabilidad aplicamos un mtodo semi-implcito al esquemade Galerkin (5.9), obtenindose

uk+1h ukht

, vh

+a(uk+1h + (1 )ukh, vh)

=Fk+1(vh) + (1 )Fk(vh), vh Vh (5.12)

conk 0,u0h = u0h, Fk(vh) =1

0 f(tk)vh(x)dx. ConsiderandoF =0 y analizando

el caso particular =1, se tieneuk+1h ukh

t , vh

+a(uk+1h , vh) =0, vh Vh.

Tomandovh =uk+1h se tiene

uk+1h ukht

, uk+1h

+a(uk+1h , u

k+1h ) =0.

Adicionalmente, de la definicin dea(, ),

a(uk+1h , uk+1h ) =uk+1h 2H10 ,

se obtieneuk+1h 2L2+ 2tuk+1h 2H10 u

kh2L2 . (5.13)

Observacin.Puesto que 0 (uk+1h ukh, uk+1h ukh) = uk+1h 2 2(uk+1h , ukh) +ukh2,


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5.2 Aproximacin por Elementos Finitos 63

se tiene uk+1h ukh

t , uk+1h

+

uk+1h

2H10

=0,

= (uk+1h ukh, uk+1h ) + t uk+1h 2H10 =0,=

uk+1h

2+ t

uk+1h

2H10

= (ukh, uk+1h ),

=

uk+1h

2+ t

uk+1h

2H10

12

uk+1h

2+

12

ukh

2.

Para todon 1 se tiene entonces que

n1k=0

uk+1h 2L2+ 2tn1k=0

uk+1h 2H10 n1k=0

ukh2L2 ,

entonces

unh2L2+2tn1k=0

uk+1h 2H10 u0h2L2 (5.14)

lo cual implica que el mtodo se incondicionalmente estable.

Para cuando f

=0, se obtiene de manera anloga que

unh2L2+2tn1k=0

k+1h H0 C

u0h2L2+n

k=1

tfk2L2

. (5.15)

Para < 12se obtiene que el respectivo mtodo es incondicionalmente estable, mien-tras que para 0 12el mtodo es estable si

t C1()h2,

conC1()una constante independiente dehy t. Utilizando los resultados de esta-bilidad, as como el error local de discretizacin, se puede probar el siguiente resul-tado de convergencia:

u(tk) ukhL2 C(u0,f u)(t() +h+1), k 1,

dondees el grado de los polinomios que generanVh,() =

1, si=1/22, si =1/2

y

Ces una constante independiente de hy t.

Si f 0 se obtiene la siguiente estimacin

u(tk) ukhL2 C

htk

+

t

tk

p()u0L2


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parak 1, =1 o = 12 .


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Bibliografa

[1] Atkinson, K. and Han, W. Theoretical numerical analysis: A functional analysisframework, Springer, 2009.

[2] Grossmann, Christian and Roos, Hans-Gorg and Stynes, Martin. Numericaltreatment of partial differential equations, Springer, 2007.

[3] Quarteroni, Alfio and Sacco, Riccardo and Saleri, Fausto.Numerical Mathema-tics, Springer, 2006.

[4] Quarteroni, Alfio and Valli, Alberto. Numerical approximation of partial differen-tial equations, Springer, 2008.

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