Problemas Propuestos

1.- Sustituir una serie de pagos trimestrales de 20000 por trimestre vencido, por pagos mensuales vencidos, con la tasa de interés del 15% capitalizable mensualmente.

A1 =20000 VF= A1∗[ (1+i )n−1i ]

M mensual = 12

M trimestral= 3 20000= A1∗[ (1+O ,O125 )3−10,0125 ]

i= 15%; i/m= 0,0125 A1= 6.584,02

2.- Por la compra a crédito de una maquinaria se establece el siguiente plan de pagos: 15000 de pago inicial; pagos mensuales de 4000 cada uno, durante 4 años; y, cuotas extras semestrales de 10000 cada una, durante los mismos 4 años. Considerando la tasa del 12% capitalizable mensualmente determinar el valor de contado equivalente de la maquinaria.

A1 = 15000 (un solo pago) J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

A2= 4000 (pagos mensuales)

A3= 10000 (pagos semestrales) J1=2 [(1+ 0,1212 )122 −1]

J2= 12%

M 1semestrales = 2 J1=0,123040

M 2mensual = 12

Valor de contado; VA= A1∗[ 1−(1+i )−n

i ] Tasa mensual: i=

0,1212

=0,01

Tasa semestral: i=0,123040

2=0,061520

VA=15000+4000[1−(1+0,01 )−48 ]

0,01+10000

[1−(1+0,061520 )−8 ]0,061520

VA=15000+151895,84+61726,09= 228621,93

3.- Una empresa solicitó un crédito por 200000, para cancelarlo mediante cuotas trimestrales durante 3 años. Si la tasa de interés es del 18% efectivo, determinar el valor de cada cuota.

Va=200000 J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

J2= 18% J1=4 [(1+ 0,181 )14−1]

M 1 trimestral = 4 J1=0,168986

M 2 anual = 1

n= 3

Requiere de una tasa de interés trimestral

Tasa trimestral: i=0,168986

4=0,042246

Determinando el valor de cada cuota

Valor actual: VA= A1∗[ 1−(1+i )−n

i ]200000= A1∗[ 1−(1+0,04224 )−12

0,042246 ]Despejando A1

200000

[ 1−(1+0,042246 )−12

0,042246 ]=A1

A1=21.589,15

4. N.N. decide constituir un fondo de cesantía para lo cual va a realizar depósitos mensuales de 80 cada uno durante 15 años. Si la tasa de interés durante los primeros 5 años se estima será del 8% efectivo; en los siguientes 5 años del 10% efectivo; y, en los 5 últimos, del 12% efectivo, determinar el valor que tendrá al final de los 15 años. VF = 33.784,39

Determinamos las tasas de interés de los correspondientes periodos

Durante los primeros 5 años la tasa de interés es del 8% (se necesita tasa mensual)

J2= 8%

m1= 12 (mensual) J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

m2= 1 (anual)

J1=12[(1+0,081 )112−1]= 0,07720836

Tasa de interés mensual

i=0,077212

=0,00643403

Durante los siguientes 5 años la tasa de interés es del 10% (se necesita tasa mensual)

J2= 10%

m1= 12 (mensual) J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

m2= 1 (anual)

J1=12[(1+0,101 )112−1]= 0,09568968

Tasa de interés mensual

i=0,0956896812

=0,00797414

Durante los últimos 5 años la tasa de interés es del 12% (se necesita tasa mensual)

J2= 12%

m1= 12 (mensual) J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

m2= 1 (anual)

J1=12[(1+0,121 )112−1]= 0,0113865516

Tasa de interés mensual

i=0,011386551612

=0,009488793

El valor que tendrá al final de los 15 años A1=80

VF= A1∗[ (1+i )n−1i ]

VF= 80∗[ (1+0,00643403 )60−10,00643403 ]∗(1+0,00797414 )60∗(1+0,009488793 )60=16562,922

+

VF= 80∗[ (1+0,00797414 )60−10,00797414 ]∗(1+0,009488793 )60=10794,16366

+

VF= 80∗[ (1+0,009488793 )60−10,009488793 ]=6427,301681

VF=16562,92221+10794,16366+6427,301681= 33784,39

5. Por un crédito contratado a 5 años plazo se debe pagar 8000 al final de cada mes. El prestatario propone al banco, modificar la forma de pago, por cuotas trimestrales. Si la tasa de interés acordada es del 18% capitalizable trimestralmente, determinar el valor de cada cuota.Con una tasa de interés es del 18% capitalizable trimestralmente (se necesita tasa mensual)

J2= 18% J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

m1= 12 (mensual)

m2= 4 (trimestral) J1=12[(1+0,184 )412−1]= 0,177365544

Tasa de interés mensual tasa de interés trimestral

i=0,17736554412

=0,014780462 i=0,1773655444

=0,044341386

Necesitamos encontrar el pago de cada trimestre

A1 =8000 (cada mes) n= 5m mensual = 12m trimestral= 4

VF= A1∗[ (1+i )n−1i ]

8000∗[ (1+0,014780462 )60−10,014780462 ]= A1∗[ (1+0,044341386 )20−1

0,044341386 ]i=0,014780462 (mensual)

i=0,044341386 (trimestral)A1= 24.356,48

6. Por la compra de un vehículo se acuerda pagar: 5000 de cuota inicial; cuotas mensuales de 250 durante 2 años; y, pagos semestrales extras de 2000, durante los mismos 2 años. Determinar el valor de contado equivalente, si la tasa de interés es del 18% capitalizable mensualmente.

Requiero de una tasa semestral y mensual

A1 = 5000 (cuota inicial) J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

A2= 250 (pagos mensuales)

A3= 2000 (pagos semestrales) J1=2 [(1+ 0,1812 )122 −1]

J2= 18%

M 1semestral= 2 J1=0,186887

M 2mensual = 12

Determinando tasas de interés mensual y semestral

Tasa mensual Tasa semestral

i=0,1812

=0,015 i=0,1868872

=0,093443263

Valor de contado; VA= A1∗[ 1−(1+i )−n

i ]VA=5000+250

[1−(1+0,015 )−24 ]0,015

+2000[1−(1+0,093443263 )−4 ]

0,093443263

VA=5000+5007,60+6430,77=16438,37

7. Determinar el valor actual de una serie de pagos anuales crecientes durante 10 años, si el valor del primero es de 20000; y, el incremento anual es de 4000. Considerar la tasa de interés del 16% capitalizable trimestralmente.

i= 16% i=(1+ jm)m

−1

m= 4 (trimestral) i=(1+ 0,164 )4

−1 = 0,169859

n=10A1=20000d= 4000

Determinando el valor actual

VA= A1∗[ 1−(1+i )−n

i ]+ di ∗{[ 1−(1+i )−n

i ]−n¿ (1+i )−n}VA=

20000∗[ 1−(1+0,169859 )−10

0,169859 ]+ 40000,169859

∗{[ 1−(1+0,169859 )−10

0,169859 ]−10¿ (1+0,169859 )−10}VA=93220,02+60711,94= 153931,97

8. ¿En qué tiempo se logrará ahorrar 50000, si se realizan depósitos trimestrales de 1000 cada uno a la tasa efectiva del 8% anual?Requiere de una tasa nominali= 8% i=m [ (1+i )1/m−1 ]m= 4 (trimestral)

A1=1000 i=4∗[ (1+0,08 )14−1]=0,077706

Vf= 50000

Tasa trimestral i=0,077706

4=0,01942655

Determinando número de pagos a partir de la fórmula de valor actual

VF= A1∗[ (1+i )n−1i ]

VF= A1∗(1+i)n

i−A1

VF∗i+A1=A1∗¿ (1+ i)n¿

log (vf∗i+A1)=log A1+n∗log (1+i )

n=log∗(vf∗i+A1 )−log A1

log∗(1+i)

n=log∗(50000∗0,01942655+1000 )−log 1000

log∗(1+0,01942655)

n=35,2753593

9. ¿Qué tasa de interés efectiva se paga por un crédito de 3000, si debe cancelarse 140 al final de cada mes, durante 2 años?

m= 12 (mensual) A1=140 Va= 3000j = 0,111264

Partiendo del valor futuro

VA=A ¿3000=140¿

21,42857143=¿

Tasa por periodoi=0,009272236632

Tasa nominal anual i∗m=0,009272236632∗12

tasa nominal anual=0,1112668396

Tasa efectiva

i=(1+ jm)m

−1

i=(1+ 0,111266839612 )12

−1

i=(1+0,009272236632 )12−1

Tasa efectivai=0,1171202403

10. ¿Qué tasa de interés capitalizable anualmente se requiere percibir para que una serie de depósitos trimestrales de 2000 cada uno, permitan acumular 60000, al término de 5 años?

m= 4 (trimestral) n = 5 A1=20000 Vf= 60000j = 0,16286

Partiendo del valor futuro

Vf=A ¿60000=2000¿

30=¿

Tasa por periodo i=0,04071385139

Tasa nominal anual i∗m=0,04071385139∗4

tasa nominal anual=0,162855Tasa efectiva

i=(1+ jm)m

−1

i=(1+ 0,1628554 )4

−1

i=(1+0,04071375 )4−1

Tasa efectiva i=0,173073354

11. Sustituir una serie de pagos de 20000 por trimestre anticipado, por pagos mensuales vencidos, con la tasa de interés del 15% capitalizable mensualmente.

A1 =20000 (trimestral) Aplicando tasa equivalenteM mensual = 12

M trimestral= 3 J1=m1∗[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

i= 15%; i/m= 0,0125

J1=4∗[(1+ 0,1512 )124 −1]

J1=0,03797

Usando la igualdad de valor futuro

VF= A1∗[ (1+i )n−1i ]

20000∗[ (1+0,03797 )1−10,03797 ]∗(1+0,03797 )=

A∗[ (1+0,0125 )3−1 ]0,0125

A=6834,02

12. Por la compra de un vehículo se acuerda pagar cuotas mensuales anticipadas de 1200 durante 3 años. Determinar el valor de contado equivalente, si la tasa de interés es del 15% capitalizable mensualmente.

n= 3i= 15% j=m [ (1+i )1 /m−1 ]m= 12 (trimestral)

A1=1200 j=12∗[ (1+0,15 )112−1]=0,140579004

Tasa mensual i=jm

i=0,140579004

12 =0,01171491692

Determinamos el valor actual

VA=A ¿VA=1200¿

VA=35049.43

13. ¿Qué tasa de interés capitalizable anualmente se requiere percibir para que una serie de depósitos trimestrales anticipados de 2000 cada uno, permitan acumular 60000, al término de 5 años?

m= 4(trimestral) A1=2000 Vf= 60000 (trimestral)n = 5j = 0,1488

Partiendo del valor futuro

Vf=A ¿60000=2000¿

30=¿

Tasa por periodo i=0,03718884509

Tasa nominal anual i∗m=0,03718884509∗4

tasa nominal anual=0,1487553804Tasa efectiva

i=(1+ jm)m

−1

i=(1+ 0,14875538044 )4

−1

i=(1+0,03718884509 )4−1

Tasa efectiva i=0,157261084

14. Sustituir una serie de pagos de 20000 por trimestre anticipado, por pagos mensuales anticipados, con la tasa de interés del 15% capitalizable mensualmente.

n= 3

i= 15% J1=m1∗[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

m= 12 (mensual)

A1=20000 (trimestre) J1=4∗[(1+ 0,1512 )124 −1]=0,151882812

Tasa trimestral

i= jm

i=0,1518828124

=0,03797

Determinamos el valor actual

Vf=A ¿

20000[ (1+0,03797 )1−10,03797 ] (1+0,03797 )=A

[ (1+0,0125 )3−1 ]0,0125

(1+0,0125 )

A=6749,65

15. Sustituir una serie de pagos de 10000 por semestre anticipado, por pagos trimestrales anticipados, con la tasa de interés del 15% capitalizable anualmente.

Va=10000 J1=m1[(1+ j2m2 )

m2m1−1]

J2= 15% J1=4 [(1+ 0,151 )14−1]

M 1 trimestral = 4 J1=0,142232305

M 2 anual = 1

Requiere de una tasa de interés trimestral

i=0,1422323054

=0,035558076 Tasa trimestral

Determinando el valor de cada pago

Valor actual

VA= A1∗[ 1−(1+i )−n

i ]

200000= A1∗[ 1−(1+0,035558076 )−1

0,035558076 ]Despejando A1

10000

[ 1−(1+0,035558076 )−1

0,035558076 ]=A1

A1=5087,34