antologIa estadiasca inferncial

7/25/2019 antologIa estadiasca inferncial

1/27

ANTOLOGIA PARA LA MATERIA DE ESTADISTICA INFERNCIAL

ContenidoTemario original por la escuela....................................................................................................... 3

Temario ue se !er" en clase..........................................................................................................3

#ni$a$ I In%erencia es&a$'s&ica o in$uc&i!a......................................................................................(

In&ro$ucci)n................................................................................................................................. (

Campos $e aplicaci)n.................................................................................................................. (

#ni$a$ II Teor'a elemen&al $el mues&reo......................................................................................... (

Dis&ri*uciones $e mues&reo......................................................................................................... +

Dis&ri*uci)n $e mues&reo $e me$ias........................................................................................ +

Dis&ri*uci)n $e mues&reo $e proporciones...............................................................................,

Dis&ri*uci)n $e mues&reo $e $i%erencias - sumas....................................................................

#ni$a$ III Teor'a $e la es&imaci)n es&a$'s&ica................................................................................/0

Es&imaciones sin sesgo.............................................................................................................. /0

Es&imaciones $e in&er!alo $e con1an2a para par"me&ros $e po*laci)n..................................../0

In&er!alo $e con1an2a para las me$ias.................................................................................. //

In&er!alos $e con1an2a para proporciones.............................................................................//

In&er!alos $e con1an2a para $i%erencias - sumas................................................................../

#ni$a$ I4 Teor'a es&a$'s&ica $e las $ecisiones............................................................................../35ip)&esis Nula6.........................................................................................................................../3

5ip)&esis Al&erna&i!a6................................................................................................................. /3

Con&ras&e $e 7ip)&esis - signi1caci)n o reglas $e $ecisi)n......................................................./3

Errores $e &ipo I - $e &ipo II......................................................................................................../(

Ni!el $e signi1caci)n................................................................................................................. /(

Con&ras&es me$ian&e la $is&ri*uci)n normal.............................................................................. /(

Con&ras&es $e una - $os colas................................................................................................ /+

Cur!as $e operaci)n carac&er's&icas8 po&encia $e un con&ras&e................................................./9#ni$a$ 4 Tes& $e :i;Cua$ra$a...................................................................................................../9

De%inici)n $e


2/27

Rec&a $e m'nimos cua$ra$os................................................................................................../

Par"*ola $e m'nimos cua$ra$os.............................................................................................0

#ni$a$ 4II Teor'a $e la correlaci)n................................................................................................ /

Correlaci)n - regresi)n.............................................................................................................. /

Correlaci)n lineal....................................................................................................................... /

La rec&a $e regresi)n $e m'nimos cua$ra$os............................................................................

#ni$a$ 4III An"lisis $e !arian2a.................................................................................................... 3

E@perimen&os $e %ac&or nico.................................................................................................... 3

4ariaci)n &o&al8 !ariaci)n $en&ro $e los &ra&amien&os - !ariaci)n en&re &ra&amien&os................(


3/27

Temario original por la escuela#ni$a$ I In%erencia Es&a$'s&ica o in$uc&i!a

#ni$a$ II La es&imaci)n

#ni$a$ III Es&imaci)n Pun&ual

#ni$a$ I4 Es&imaci)n por in&er!alos

#ni$a$ 4 Prue*a $e 7ip)&esis es&a$'s&icas

#ni$a$ 4I Con&inua prue*a $e 7ip)&esis

#ni$a$ 4II Prue*a $e 7ip)&esis re%eren&e a $os me$ias

#ni$a$ 4III Prue*a $e 7ip)&esis re%eren&es a las !arian2as

#ni$a$ IB Prue*a $e 7ip)&esis para $os po*laciones normales

#ni$a$ B Cur!as carac&er's&icas $e operaci)n

#ni$a$ BI Prue*a $e :i;cua$ra$a $e la *on$a$ $e a=us&e

#ni$a$ BII Regresi)n

#ni$a$ BI4 Correlaci)n

#ni$a$ B4 An"lisis $e la !arian2a

Temario que se ver en clase#ni$a$ I In%erencia Es&a$'s&ica o in$uc&i!a

#ni$a$ II Teor'a elemen&al $el mues&reo

#ni$a$ III Teor'a $e la es&imaci)n es&a$'s&ica

#ni$a$ I4 Teor'a es&a$'s&ica $e las $ecisiones

#ni$a$ 4 Tes& $e :i;Cua$ra$a

#ni$a$ 4I A=us&e $e Cur!as - el m>&o$o $e m'nimos cua$ra$os.

#ni$a$ 4II Teor'a $e la Correlaci)n

#ni$a$ 4III An"lisis $e !arian2a

Unidad I Inferencia estadstica o inductiva


4/27

Introduccin

Compren$e auellas &>cnicas por me$io $e las cuales se &oman $ecisiones so*re una po*laci)nes&a$'s&ica *asa$as en una mues&ra o en =uicios $e los a$minis&ra$ores. De*i$o a ue esas$ecisiones se &oman en con$iciones $e incer&i$um*re8 se reuiere el uso $e concep&os $epro*a*ili$a$. Consi$eran$o ue las carac&er's&icas me$i$as en una mues&ra se $enominanes&a$'s&icas mu>s&rales8 las carac&er's&icas me$i$as en una po*laci)n es&a$'s&ica o uni!erso8 se

llaman par"me&ros po*lacionales.

Ningn m>&o$o es&a$'s&ico pue$e corregir los $e%ec&os por una ina$ecua$a selecci)n $epro*lema ue se in!es&iga8 o por una mala recolecci)n $e $a&os. #na in!es&igaci)n ue empie2amal8 con seguri$a$ &ermina mal.Con datos de mala calidad no ser posible dar una respuesta adecuada a un problemacientco.

Campos de aplicacin

La in%erencia es&a$'s&ica es ampliamen&e u&ili2a$a en $i!ersas "reas8 a con&inuaci)n semencionan unas pocas.

En las ciencias na&urales6 se emplea en la $escripci)n $e mo$elos &ermo$in"micoscomple=os mec"nica es&a$'s&ica8 en %'sica cu"n&ica8 en mec"nica $e ui$os o enla &eor'a cin>&ica $e los gases8 en&re o&ros muc7os campos.

En las ciencias sociales - econ)micas6 es un pilar *"sico $el $esarrollo $e la$emogra%'a - la sociolog'a aplica$a.

En econom'a6 suminis&ra los !alores ue a-u$an a $escu*rir in&errelaciones en&re

ml&iples par"me&ros macro - microecon)micos.

En las ciencias m>$icas6 permi&e es&a*lecer pau&as so*re la e!oluci)n $e lasen%erme$a$es - los en%ermos8 los 'n$ices $e mor&ali$a$ asocia$os a procesosmor*osos8 el gra$o $e e1cacia $e un me$icamen&o8 e&c>&era.

En&re o&ras.

Unidad II Teora elemental del muestreo

La &eor'a $el mues&reo es&u$ia la relaci)n en&re una po*laci)n - las mues&ras &oma$as $e ella. Es$e gran u&ili$a$ en muc7os campos. Por e=emplo para es&imar magni&u$es $esconoci$as $e unapo*laci)n8 &ales como me$ia - !arian2a8 llama$as a menu$o par"me&ros8 a par&ir $econocimien&o $e esas magni&u$es so*re mues&ras8 ue se llaman es&a$'s&icos. Tam*i>n es &ilpara $e&erminar si las $i%erencias o*ser!a$as en&re mues&ras son $e*i$as a !ariaciones%or&ui&as o si son realmen&e signi1ca&i!as. Por e=emplo cuan$o se es&u$ia el resul&a$o $e una


5/27

me$icina como &ra&amien&o $e cier&a en%erma$8 o al $eci$ir si un proceso $e pro$ucci)n es me=orue o&ro.

Distribuciones de muestreo

Si consi$eramos &o$as las posi*les mues&ras $e &amao n en una po*laci)n8 para ca$a mues&rapo$emos calcular un es&a$'s&ico como la me$ia o $es!iaci)n es&"n$ar ue !ariara $e mues&ra amues&ra. De es&a manera o*&enemos una $is&ri*uci)n $e mues&reo. Tenemos $i%eren&es &ipos $e$is&ri*uci)n $e mues&reo ue m"s a$elan&e !eremos.

Distribucin de muestreo de mediasSupongamos ue se &oman &o$as las posi*les mues&ras $e &amao n8 sin reposici)n $e unapo*laci)n 1ni&a $e &amao N. Si $eno&amos la me$ia - la $es!iaci)n es&"n$ar $e la $is&ri*uci)n

$e mues&reo $e me$ias por x y x - las $e la po*laci)n 8 respec&i!amen&e en&onces

x=

x=

nN n

N 1

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias conpoblacin nita o sin reposicin

Don$e6

N es el &amao $e la po*laci)n

n es el &amao $e la mues&ra

Si la po*laci)n es in1ni&a o si el mues&reo es con reposici)n8 los resul&a$os an&eriores se re$ucena

x=

x=

n

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias conpoblacin innita o con reposicin

Por e=emplo6

Las al&uras $e 3000 es&u$ian&es !arones $e una uni!ersi$a$ es&"n normalmen&e $is&ri*ui$os conme$ia 9? pulga$as - una $es!iaci)n es&"n$ar $e 3 pulga$as. Si se &oman ?0 mues&ras $e +es&u$ian&es ca$a una. Cu"les ser"n la me$ia - la $es!iaci)n es&"n$ar espera$as $e laresul&an&e $is&ri*uci)n $e mues&reo $e me$ias8 si el mues&re se 7i2o a con reposici)n - * sinreposici)n.

a


6/27

x=68

x= 3

25=0.6

*

x=68

x= 3

25300025

30001=0.5975

Como la $i%erencia es menor se consi$era para e%ec&os pr"c&icos la misma ue en mues&re conreposici)n.

En cu"n&as mues&ras esperar'amos encon&rar una me$ia $e a 99.? - 9?.3 pulga$as - * menor

ue 99.(

a

Z=X x

x

Z=66.868.0

0.6=2.0

Z=68.368.0

0.6

=0.5

0.(,,H0.//+0.99?,

0.99?,J?0+3.(9 o +3 mues&ras

*

Z=66.468.0

0.6=2.67

0.+;0.(90.003? 0.003?J?00.30( o cero

+00 es%eras &ienen un peso me$io $e +.0 gramos - una $es!iaci)n es&"n$ar $e 0.30 g. 5allar lapro*a*ili$a$ $e ue una mues&ra al a2ar $e /00 es%eras $e ese con=un&o &engan un peso &o&al aen&re (9 - +00 g - * m"s $e +/0g

x=5.02

x=0.30

100500100

5001=0.0268

a El peso &o&al es&ar'a en&re (9 - +00 si el peso me$io $e las /00 *olas es&" en&re (.9 - + g


7/27

Z=4.965.02

0.0268=2.23

Z=55.02

0.0268=0.74

JEn&re K2 a K2 se res&an

JEn&re H2 a H2 se res&anJSi la !aria*le es a la me$ia8 se suma 0.+

0.(?,/;0.,0(0./9,

* El peso &o&al e@ce$er" los +/0g si el peso me$io $e las /00 *olas e@ce$e +./0 g

Z=5.105.02

0.0268=2.98

0.+;0.(?90.00/(

Distribucin de muestreo de proporcionesSupongamos ue una po*laci)n es in1ni&a - ue la pro*a*ili$a$ $e ocurrencia $e un suceso su>@i&o es p8 mien&ras la pro*a*ili$a$ $e ue no ocurra es /;p. Por e=emplo una po*laci)npue$e ser &o$os los posi*les lan2amien&os $e una mone$a8 en la ue la pro*a*ili$a$ $e >@i&o es. Consi$eremos &o$as las posi*les mues&ras $e &amao n $e &al po*laci)n8 - para ca$a una $eellas $e&erminaremos la proporci)n $e >@i&os P. En el caso $e una mone$a8 P ser'a la proporci)n$e soles en n &ira$as. O*&enemos as' una $is&ri*uci)n $e mues&reo $e proporciones cu-a me$ia

p - cu-a $es!iaci)n &'pica p !ienen $a$as por

p=p

p=pq

n=

p (1 p )n

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones conmuestreo con reposicin

Es&a %)rmula es !"li$a para po*laciones 1ni&as reali2a$as con mues&reo con reposici)n. Parapo*laciones 1ni&as con mues&reo sin reposici)n se usa6

p=p

p=pq

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones sinmuestreo con reposicin


8/27

Ca$a persona $e un grupo $e +00 lan2a una mone$a /0 !eces. Cu"n&as personas se esperaue a Sauen en&re (0 - 90 $e soles - * +? $e sus lan2amien&os o m"s $e soles

p=1

2=0.5

p=

1

2

1

2

120=0.0456

Como la proporci)n es una !aria*le $iscre&a8 7a- ue 7acer una correcci)n8 si la !aria*le es

menor a la me$ia se res&a1

2n- si la !aria*le es ma-or o igual a la me$ia se suma

1

2n

Z=0.40.00410.5

0.0456=2.28

Z=0.6+0.00410.5

0.0456

=2.28

0.(?+,H0.(?+,0.,/(

+00J0.,/((? mues&ras

*

Z=0.6250.00410.5

0.0456=2.83

0.(,,

0.+;0.(,,0.003 +00J0.003 / personas.

Se 7a encon&ra$o ue el $e las pie2as %a*rica$as en una cier&a m"uina son $e%ec&uosasCu"l es la pro*a*ili$a$ $e ue en un en!'o $e (00 pie2as a el 3 o m"s * o menos8 sean$e%ec&uosas

p=0.02

p=

0.020.98

400 =0.007

a

/N/?000.00/

Z=0.03+0.00120.02

0.007=1.25

0.+;0.3((0./0+9


9/27

*

Z=0.02+0.00120.02

0.007=0.18

0.+H0.0,/(0.+,/(

Distribucin de muestreo de diferencias " sumasSean $a$as $os po*laciones. Para ca$a mues&ra $e &amao n/$e la primera8 calculamos unes&a$'s&ico S/Q eso $a una $is&ri*uci)n $e mues&reo para S/8 cu-a me$ia - $es!iaci)n es&"n$ar$eno&aremos por s/ - s/. Del mismo mo$o8 para ca$a mues&ra $e &amao n $e la segun$apo*laci)n8 calculamos un es&a$'s&ico SQ eso nos $a un $is&ri*uci)n $e mues&reo para S cu-ame$ia - $es!iaci)n es&"n$ar $eno&aremos con s- s. Si &enemos me$ias mu>s&rales $e am*aspo*laciones8 la $is&ri*uci)n $e mues&reo $e las $i%erencias $e me$ias !iene $a$a parapo*laciones in1ni&as o con mues&reo con reposici)n con me$ias - $es!iaciones es&"n$ar por6

x 1 x 2=x 1 x 2=1 2

x1 x 2=x12+x 2

2=

1

2

n1

+ 2

2

n2

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias demedias.

Se pue$e usar la misma %)rmula para po*laciones 1ni&as o mues&reo sin reposici)n.

Para suma se u&ili2a6

x 1+ x 2=x1+x2=1+2

x1+x 2=x 12+x 2

2=

12

n1

+22

n2

Ecuacin !ormulas de m#edia " desviacin estndar de distribucin de muestreo de sumas de medias.

En caso ue se 7a*len $e proporciones se usa6

p1 p2=p1 p2=p1 p2

p1 p2=p12+p2

2=

p1

q1

n1+

p2

q2

n2

Ecuacin !ormulas de media " desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias deproporciones.

E=emplo6

Las *olas $e ro$amien&os $e cier&o %a*rican&e pesan 0.+0 g $e me$ia8 con $es!iaci)n ESTANDR$e 0.0 g. Cu"l es la pro*a*ili$a$ $e ue $os lo&es $e /000 *olas ca$a uno $i1eran en peso enm"s $e g

x 1 x 2=1 2=0.50.5=0


10/27

x1 x 2=(0.02 )

2

1000+

(0.02 )2

1000=0.0008

Z=( x1 x2 )0

0.0008=0.18

La $i%erencia en&re am*os $e*e ser $e g8 por lo ue /0000.00 g8 asi ue

Z=0.0020

0.0008=2.23

Z=0.0020

0.0008=2.23

.30.(?,/

Ilustracin $rea ba%o la curva que se busca para &'(.() o &*+(.()

Como se *usca la pro*a*ili$a$ $e ue PU.3 o PV;.3 en&onces 0.+;0.(?,/H0.+0.(?,/0.0+?

Unidad III Teora de la estimacin estadstica

Des$e un pun&o $e !is&a pr"c&ico8 suele resul&ar m"s impor&an&e ser capa2 $e in%erir in%ormaci)nso*re la po*laci)n a par&ir $e mues&ras. Con &al si&uaci)n &ra&a la in%erencia es&a$'s&ica8 ue usa

los principios $e la &eor'a $el mues&reo.

Estimaciones sin sesgo

Si un es&a$'s&ico $e mues&reo es igual al ue le correspon$e en la po*laci)n8 se $ice ue eles&a$'s&ico es un es&ima$or sin sesgo8 si no8 se llama es&ima$or sesga$o. La me$ia $e las$is&ri*uciones $e mues&reo !iene sien$o un es&ima$or sin sesgo -a ue siempre es igual a lame$ia $e la po*laci)n8 cosa con&raria con la !arian2a - $es!iaci)n es&"n$ar ue si !ar'an - porlo &an&o son es&imaci)n sesga$as.

Estimaciones de intervalo de conan,a para parmetros de poblacinSe llama in&er!alo $e con1an2a en es&a$'s&ica a un in&er!alo $e !alores alre$e$or $e unpar"me&ro mues&ral en los ue8 con una pro*a*ili$a$ o ni!el $e con1an2a $e&ermina$o8 sesi&uar" el par"me&ro po*lacional a es&imar.

Ni!el$econ1an2a

.,3

? 9 +.(+

+ 0 ?0 9?.,

+0


11/27

2c 3.00 .+? .0+ .0+ .00 /.9 /.9(+

/.? /.00 0.9,(+

Tabla -alores de #ccorrespondientes a varios niveles de conan,a.

Intervalo de conan,a para las medias.Si la po*laci)n es in1ni&a o $e una 1ni&a con reposici)n.

X ZC

n

Ecuacin Intervalo de conan,a para medias cuando es innita o con reposicin

Si la po*laci)n es 1ni&a sin reposici)n

X ZC

nN n

N 1

Ecuacin Intervalo de conan,a para medias cuando la poblacin es nita sin reposicin

Don$e B es la me$ia $e la mues&ra.

E=emplo6

Supongamos ue las al&uras $e /00 es&u$ian&es !arones $e una uni!ersi$a$ represen&an unamues&ra alea&oria $e es&u$ian&es $e esa uni!ersi$a$. La me$ia mues&ral es $e 9,.(+ pulga$as -la $es!iaci)n es&"n$ar mues&ral es $e .3 pulga$as. 5allar los in&er!alos $e con1an2a a + -* para es&imar la al&ura me$ia $e los es&u$ian&es.

a 67.451.96 2.93

100=67.450.57 (

Es&o signi1ca ue 99.?? W W 9?.0 o en o&ras pala*ras po$emos $ecir ue la

pro*a*ili$a$ $e ue la al&ura me$ia $e la po*laci)n es&> en&re 99.?? - 9?.0 pulga$as es$el +. Eui!ale a $ecir ue &enemos el + $e con1an2a ue la me$ia $e la po*laci)nes&" en&re 99.?? - 9?.0.

* 67.452.58 2.93

100=67.450.76

Es&o signi1ca ue 99.9 W W 9?./ o en o&ras pala*ras po$emos $ecir ue lapro*a*ili$a$ $e ue la al&ura me$ia $e la po*laci)n es&> en&re 99.9 - 9?./ pulga$as es$el . Eui!ale a $ecir ue &enemos el $e con1an2a ue la me$ia $e la po*laci)nes&" en&re 99.9 - 9?./.

Actividad en clase: Realizar ejercicio 9.6 de la pgina 214 del libro Estadstica Segnda Edici!n.

Intervalos de conan,a para proporciones.Si la po*laci)n es in1ni&a o $e una 1ni&a con reposici)n.

p ZCpq

n

Ecuacin Intervalo de conan,a para proporciones cuando la poblacin es innita o con reposicin


12/27

Si la po*laci)n es 1ni&a sin reposici)n

p ZCpq

nN n

N 1

Ecuacin Intervalo de conan,a para proporciones cuando la poblacin es nita sin reposicin

E=emplo6

#n son$eo $e /00 !o&an&es elegi$os al a2ar en un $is&ri&o in$ica ue el ++ $e ellos es&a*an a%a!or $e un cier&o can$i$a&o. 5allar los l'mi&es $e con1an2a a + * - c .,3 para laproporci)n $e &o$os los !o&an&es %a!ora*les a ese can$i$a&o.

a 0.551.96(0.55 ) (0.45 )

100=0.550.10

* 0.552.58

(0.55 ) (0.45 )

100=0.55 0.13

c 0.553(0.55 ) (0.45 )

100=0.550.15

Intervalos de conan,a para diferencias " sumasMe$ias

X1

X2

ZC

1

2

n1

+

2

2

n2

Ecuacin Intervalos de conan,a para diferencias " sumas de edias

E=emplo6

#na mues&ra $e /+0 l"mparas $el &ipo A 7a $a$o una !i$a me$ia $e /(00 7oras - una $es!iaci)n

es&"n$ar $e /07. #na mues&ra $e /00 l"mparas $el &ipo X $an !i$a me$ia $e /00 7 -$es!iaci)n es&"n$ar $e ?07. 5allar los l'mi&es $e con1an2a a + * para la $i%erencia $elas !i$as me$ias $e las po*laciones $e am*os &ipos.

a 140012001.96(120 )

2

150+

(80)2

100=20024.8

* 140012002.58(120 )

2

150+

(80)2

100=20032.6


13/27

Proporciones

P1

P2 ZC

p1

q1

n1

+p

2q2

n2

Ecuacin Intervalos de conan,a para diferencias " sumas de &roporciones

E=emplo6

En una mues&ra alea&oria $e (00 a$ul&os - 900 =)!enes ue !ieron un cier&o programa $e&ele!isi)n /00 a$ul&os - 300 =)!enes reconocieron ue les 7a*'a gus&a$o. De&erminar los l'mi&es$e con1an2a a + - * para la $i%erencia en proporciones $e &o$os los a$ul&os - =)!enesue !ieron con agra$o el programa. 3009000.+ (00/000.+

a 0.50.251.96(0.5 ) (0.5 )

600+

(0.25 ) (0.75 )400

=0.250.006

* 0.50.252.58(0.5 ) (0.5)

600+

(0.25) (0.75)400

=0.250.008

Unidad I- Teora estadstica de las decisiones

En la pr"c&ica nos !emos o*liga$os con %recuencia &omar $ecisiones rela&i!as a una po*laci)n

so*re la *ase $e in%ormaci)n pro!enien&e $e mues&ras. Tales $ecisiones se llaman $ecisioneses&a$'s&icas. Por e=emplo po$emos $eci$ir *asa$os en $a&os mu>s&rales8 si un m>&o$ope$ag)gico es me=or ue o&ro o si una mone$a es&a &ruca$a o no.

Al in&en&ar alcan2ar una $ecisi)n8 es &il 7acer 7ip)&esis so*re la po*laci)n implica$a. Tales7ip)&esis8 ue pue$en ser o no cier&as8 se llaman 7ip)&esis es&a$'s&icas.

/iptesis 0ula1En muc7os casos se %ormulan 7ip)&esis es&a$'s&ica con el nico prop)si&o $e rec7a2arla oin!ali$arla. As'8 si ueremos $eci$ir si una mone$a es&" &ruca$a8 %ormulamos la 7ip)&esis $e uela mone$a es *uena o sea p0.+. Es&a 7ip)&esis se le llama 7ip)&esis nula - se $e&ona por 5o.

/iptesis 2lternativa1Es &o$a 7ip)&esis ue $i1era $e una -a $a$a. Por e=emplo8 si una 7ip)&esis es p0.+8 lasal&erna&i!as pue$en ser p0.,8 pY0.+ o pZ0.+. Se $eno&a por 5/.

Contraste de 3iptesis " signicacin o reglas de decisin

Si suponemos ue una 7ip)&esis par&icular es cier&a pero !emos ue los resul&a$os 7alla$os ensu mues&ra alea&oria $i1eren no&a*lemen&e $e los espera$os *a=o &al 7ip)&esis8 en&onces $iremos


14/27

ue las $i%erencias o*ser!a$as son signi1ca&i!as - nos !er'amos o*liga$os a rec7a2ar la7ip)&esis. Por e=emplo en 0 lan2amien&os $e una mone$a salen /9 caras8 es&ar'amos o*liga$osa rec7a2ar la 7ip)&esis $e ue la mone$a es *uena8 aunue 7a- posi*ili$a$ $e eui!ocarnos. Losproce$imien&os para $e&erminar si las mues&ras o*ser!a$as $i1eren signi1ca&i!amen&e $e losresul&a$os espera$os se llaman con&ras&es o &es&s $e 7ip)&esis o $e signi1caci)n o reglas $e$ecisi)n.

Errores de tipo I " de tipo II

Si rec7a2amos una 7ip)&esis cuan$o $e*iera ser acep&a$a8 $iremos ue se 7a come&i$o un error$e &ipo I. Por o&ra par&e si acep&amos una 7ip)&esis ue $e*iera ser rec7a2a$a8 $iremos ue se7a come&i$o un error $e &ipo II. En am*os casos8 se 7a pro$uci$o un =uicio err)neo.

0ivel de signicacin

Al con&ras&ar una cier&a 7ip)&esis la m"@ima pro*a*ili$a$ con la ue es&amos $ispues&os a correrel riesgo $e come&er un error $e Tipo I se llama ni!el $e signi1caci)n $el con&ras&e. Es&a

pro*a*ili$a$ $eno&a$a a menu$o por [ se especi%ica an&es $e &omar la mues&ra. En la pr"c&ica es%recuen&e usar un ni!el $e signi1caci)n $e 0.0+ ) 0.0/. 8 por e=emplo si se usa 0.0+ + 7a- +opor&uni$a$es $e /00 $e rec7a2ar la 7ip)&esis8 es $ecir &enemos un + $e con1an2a $e ue7emos a$op&a$o la $ecisi)n correc&a - un + $e ue nos 7emos eui!oca$o.

Ni!el $esigni1caci)n [

0./0 0.0+ 0.0/ 0.00+ 0.0

4alores cr'&icos $e2 para &es&sunila&erales

;/.? o /.? ;/89(+ o/.9(+

;.33 o.33

;.+? o .+? ;.?? o .??

4alores cr'&icos $e

2 para &es&s*ila&erales

;/.9(+ -

/.9(+

;/.9 -

/.9

;.+? -

.+?

;.?/ - .?/ ;3.0? - 3.0?

Tabla Tabla de nivel de signicacin

Contrastes mediante la distribucin normalSupongamos ue *a=o cier&a 7ip)&esis - su $is&ri*uci)n $e mues&reo es&a$'s&ico S con uname$ia s- $es!iaci)n &'pica s.

Ilustracin Distribucin normal cannica con un 456 de conan,a de que la 3iptesis es verdadera

Como se !e en la ilus&raci)n 8 po$emos &ener + $e con1an2a ue la 7ip)&esis es !er$a$era8para ue es&o sea cier&o el !alor $e 2 $e*e es&ar en&re ;/.9 - /.9. Si no se encuen&ra8 $e*emosconcluir ue &al suceso po$r'a ocurrir con una pro*a*ili$a$ $e 0.0+ si la 7ip)&esis %uera cier&a.En&onces &en$remos ue rec7a2ar la 7ip)&esis.

El "rea &o&al som*rea$a 0.0+ es el ni!el $e signi1caci)n $el con&ras&e. Represen&a la pro*a*ili$a$$e eui!ocarnos al rec7a2ar una 7ip)&esis pro*a*ili$a$ $e erro &ipo I.

El con=un&o $e 2 %uera $e rango ;/.9 a /.9 en es&e e=emplo se le conoce como regi)n cri&ica$e la 7ip)&esis o regi)n $e rec7a2o $e la 7ip)&esis o regi)n $e signi1caci)n.


15/27

El con=un&o $e 2 $en&ro $el rango se le conoce como regi)n $e acep&aci)n $e la 7ip)&esis oregi)n $e no signi1caci)n.

Contrastes de una " dos colasEn el con&ras&e an&erior se *usca*a los !alores e@&remos $el es&a$'s&ico S. A es&e &ipo $econ&ras&es se les llama $e colas o *ila&erales.

Si es&amos in&eresa$os en !alores e@&remos a un la$o $e la me$ia8 como por e=emplo cuan$o se

con&ras&a una 7ip)&esis $e ue un proceso es me=or ue o&ro8 &ales con&ras&es se llamanunila&erales o $e una cola.

E=emplos6

En un e@perimen&o so*re percepci)n e@&rasensorial PES8 un in$i!i$uo en una 7a*i&aci)n esin!i&a$o a a$i!inar el color ro=o o a2ul $e una car&a elegi$a $e un ma2o $e +0 car&as *ienme2cla$as por o&ro in$i!i$uo en o&ra 7a*i&aci)n. El no sa*e cu"n&as ro=as - cuan&as a2ules 7a-en el ma2o. Si el su=e&o i$en&i1ca 3 car&as correc&amen&e8 $e&erminar si el resul&a$o essigni1ca&i!o al ni!el $e a 0.00+ - * 0.00/

506p0.+ - el su=e&o es&" simplemen&e $icien$o colores al a2ar.

5/6pZ0.+ - el su=e&o &iene po$eres $e PES

Como es&amos in&eresa$os en sa*er ue a$i!ine 3 o m"s en&onces se u&ili2a un con&ras&e $euna sola cola - es 7acia la $erec7a.

=Np=50 (0.5 )=25

=Npq=50 (0.5 ) (0.5 )=3.54

a para 0.0+ u&ili2amos 2/.9(+ -a ue es un con&ras&e $e una sola cola - es 7acia la$erec7a. Si es ma-or ue se !alor &iene po$eres PES si no es al a2ar

z=3225

3.54=1.98

En&onces el in$i!i$uo &iene po$eres PES

* para 0.0/ u&ili2amos 2.33. Como 2/.? - no es ma-or a .33 en&onces el in$i!i$uo no&iene po$eres PES

Cuan$o suce$en es&os caso ue en 0.0+ se cumple pero en 0.0/ no $ecimos ue es pro*a*le uesuce$a8 as' ue es me=or 7acer m"s in!es&igaci)n o prue*as.

Curvas de operacin caractersticas7 potencia de un contraste

Es posi*le e!i&ar el riesgo $e come&er un error $e Tipo II simplemen&e no acep&an$o nunca la7ip)&esis8 pero en muc7as aplicaciones pr"c&icas es&o es in!ia*le. En &ales casos se suele recurrira cur!as $e operaci)n carac&er's&icas o cur!as OC8 ue son gr"1cos ue mues&ran las


16/27

pro*a*ili$a$es $e error $e Tipo II *a=o $i!ersas 7ip)&esis. Proporcionan in$icaciones $e 7as&a u>pun&o un con&ras&e $a$o nos permi&ir" e!i&ar un error $e Tipo IIQ es $ecir8 nos in$icar" la po&encia$e un con&ras&e a la 7ora $e pre!enir $ecisiones err)neas. Son &iles en el $iseo $ee@perimen&os porue sugieren en&re o&ras cosas el &amao $e mues&ras a mane=ar.

Unidad - Test de 8i+Cuadrada

Los resul&a$os o*&eni$os por mues&reo no siempre coinci$en e@ac&amen&e con los espera$os&e)ricamen&e $e acuer$o con las le-es $e las pro*a*ili$a$es8 por e=emplo8 aunueconsi$eraciones &e)ricas con$ucen a esperar +0 soles - +0 "guilas en /00 lan2amien&os $e unamone$a *uena8 es raro ue eso ocurra e@ac&amen&e. En&onces po$emos &ener sucesos posi*lesE/8 E8 E3\ - se o*ser!a ue ocurren con %recuencias o/8 o8 o3\ llama$os %recuenciao*ser!a$a pero esper"*amos ue suce$ieran con %recuencia e/8 e8 e3\ llama$a %recuenciaespera$a.

A menu$o $eseamos sa*er si las %recuencias o*ser!a$as $i1eren signi1ca&i!amen&e $e lasespera$as.

Suceso E/ EFrecuencia o*ser!a$a o o/ oFrecuencia espera$a e e/ eTabla Tabla de contingencia

Definicin de 9(

#na me$i$a $e la $iscrepancia e@is&en&e en&re las %recuencias o*ser!a$as - espera$as !ieneproporciona$a por el es&a$'s&ico


17/27

v=k 1

Ecuacin !ormula para calcular los grados de libertad

Don$e ]al nmero $e e!en&os o sucesos.

Los gra$os $e li*er&a$8 m"s los ni!eles $e signi1caci)n se u&ili2aran con la siguien&e &a*la

Ilustracin -alores &ercentiles de 9(

E=emplo


18/27

En 00 &ira$as $e una mone$a8 7an sali$o //+ soles - ?+ "guilas. Con&ras&ar la 7ip)&esis $e uela mone$a es *uena8 con ni!el $e signi1caci)n a0.00+ - * 0.00/

Suceso E/Soles

Eguilas

Frecuencia o*ser!a$a o //+ ?+Frecuencia espera$a e /00 /00

En&onces6

2=

(115100 )2

100+

(85100)2

100=4.5

a ue ] en&onces !];/;//

a el !alor cri&ico $e 0.952 para / gra$o $e li*er&a$ es 3.?(. Asi pues como (.+0Z3.?(

rec7a2amos la 7ip)&esis $e ue la mone$a es *uena al ni!el $e signi1caci)n $e 0.0+* el !alor cri&ico $e 0.99

2 para / gra$o $e li*er&a$ es 9.93. Asi pues como (.+0W9.93 no

po$emos rec7a2ar la 7ip)&esis $e ue la mone$a es *uena al ni!el $e signi1caci)n $e 0.0/

Como suce$i) an&es es necesario 7acer m"s prue*as -a ue es pro*a*le ue suce$a pero no se&iene la cer&e2a.

Unidad -I 2%uste de curvas " el m:todo de mnimo cuadrados

Por lo general encon&ramos ue e@is&en relaciones en&re $os o m"s !aria*les8 como por e=emplolos pesos $e las personas $epen$en en cier&a me$i$a $e sus al&uras8 la presi)n $e una masa $egas $a$a $epen$e $e su !olumen - $e su &empera&ura. Suele ser $esea*le e@presar &alesrelaciones en %orma ma&em"&ica $e&erminan$o una ecuaci)n ue conec&e a las !aria*les.

2%uste de curvas

Para 7allar una ecuaci)n ue relacione las !aria*les8 el primer paso es recoger $a&os uemues&ren !alores correspon$ien&es $e las !aria*les *a=o consi$eraci)n. As' por e=emplosupongamos ue B e $eno&an8 respec&i!amen&e8 la al&ura - el peso $e personas a$ul&asQ

en&onces una mues&ra $e N in$i!i$uos re!elar'a las al&uras B/8 B\Bn- los pesos /8 \n

El pr)@imo paso es marcar los pun&os so*re un sis&ema $e coor$ena$as rec&angulares. Econ=un&o $e pun&os resul&an&e se llama $iagrama $e $ispersi)n. A par&ir $e $ic7o $iagrama $e$ispersi)n es posi*le8 !isuali2ar una cur!a sua!e ue apro@ime los $a&os. Tal cur!a se llama unacur!a apro@iman&e. El pro*lema general $e 7allar ecuaciones apro@iman&es ue se a=us&en a uncon=un&o $e $a&os se llama a=us&e $e cur!as.


19/27

Ilustracin Diagrama de dispersin que se apro;ima a una lnea recta.

Ilustracin Diagrama de dispersin que no es lineal " se dice que es una relacin no lineal

El m:todo de mnimos cuadrados

Para e!i&ar =uicios su*=e&i!os al cons&ruir rec&as8 par"*olas u o&ras cur!as apro@iman&es $e a=us&e$e $a&os8 es necesario acor$ar una $e1nici)n $e rec&a $e me=or a=us&e8 par"*ola $e me=or a=us&e8e&c. En&onces se $e*e usar el m>&o$o $e m'nimos cua$ra$as.


20/27

a1=N XY x y

N x2

( x )2

Ecuacin Ecuaciones para calcular a" a=para recta de mnimos cuadrados

E=emplo

A=us&ar una rec&a $e m'nimos cua$ra$os a los $a&os siguien&es

B / 3 ( 9 ? //

/(

/ ( ( + , ?

Y=a0+a

1X

En&onces &a*ulamos los !alores

B B B

/

3(9?

///(

/

((+,?

/

/9399(?/

///9

/

9/9((093??

/9

/

(/9/9+(9(?/

X=56 Y=40 X2=524 XY=364 Y

2=256

En&onces

a0=

(40) (524 ) (56) (364)8 (524 ) (56 )2

=0.545

a1=

8 (364 ) (56 ) (40)

8 (524) (56 )2 =0.636

Y=0.545+0.636X

&arbola de mnimos cuadrados

La par"*ola $e m'nimos cua$ra$os es&" $a$a por la ecuaci)n6

Y=a0+a1X+a2X2

Ecuacin &arbola de mnimos cuadrados


21/27

Unidad -II Teora de la correlacin

Correlacin " regresin

Si &o$os los !alores $e las !aria*les sa&is%acen una ecuaci)n e@ac&amen&e8 $ecimos ue las!aria*les es&"n per%ec&amen&e correlaciona$as o ue 7a- correlaci)n per%ec&a en&re ellas. Si selan2an $os $a$os /00 !eces8 no 7a- relaci)n en&re las pun&uaciones $e am*os $a$os a menosue es&>n &ruca$os8 es $ecir8 no es&"n en correlaci)n. 4aria*les &ales como el peso - la al&ura&ienen una cier&a correlaci)n. Cuan$o s)lo es&"n en =uego $os !aria*les8 7a*lamos $e correlaci)nsimple - regresi)n simple. En o&ro caso8 se 7a*la $e correlaci)n ml&iple - regresi)n ml&iple.

Correlacin lineal

Si B e son $os !aria*les en cues&i)n un $iagrama $e $ispersi)n mues&ra la locali2aci)n $e los

pun&os B8 so*re un sis&ema rec&angular $e coor$ena$as. Si &o$os los pun&os $el $iagramaparecen es&ar en una rec&a como en la ilus&raci)n 9 - , la correlaci)n se llama lineal. Si &ien$ea crecer cuan$o B crece en como en la ilus&raci)n 9 se $ice ue es posi&i!a. Si &ien$e a$ecrecer cuan$o B crece como en la ilus&raci)n , 8 se $ice ue es nega&i!a. Si &o$os los pun&osparecen es&ar so*re una cier&a cur!a8 la correlaci)n no es lineal. Si no 7a- relaci)n en&re las!aria*les $ecimos ue no 7a- correlaci)n en&re ellas.

Ilustracin Correlacin lineal positiva


22/27

Ilustracin Correlacin lineal negativa

Ilustracin >in correlacin

?a recta de regresin de mnimos cuadrados

La rec&a $e regresi)n $e so*re B es6

Y=a0+a

1X

Ecuacin recta de regresin @ sobre A

Don$e a0- a/se calculan

a0=Y X

2 X XY

N X2

(X)2

a1=N XY x y

N x2

( x )2

Ecuacin Ecuaciones para calcular a" a=para recta de regresin


23/27

La rec&a $e regresi)n $e B so*re es

X=b0+b

1Y

Ecuacin s&rales8 )sea8

eui!alen&emen&e8 con&ras&ar la 7ip)&esis $e ue &o$as las me$ias son iguales.

E;perimentos de factor Bnico

En un e@perimen&o $e un %ac&or8 las me$i$as u o*ser!aciones se o*&ienen para gruposin$epen$ien&es $e mues&ras8 $on$e el nmero $e me$i$as en ca$a grupo es *. 5a*lamos $e a&ra&amien&os8 ca$a uno $e los cuales &iene * repe&iciones.

Deno&aremos por Xj la me$ia $e las me$i$as en 1la =;>sima. En&onces &enemos


24/27

Xj=1

bk=1

b

Xjkj=1,2 a

El pun&o en Xj se usa para anunciar ue el 'n$ice ] se 7a suma$o. Los !alores se llaman

me$ias $e grupo8 me$ias $e &ra&amien&o o me$ias $e 1las. La me$ia glo*al se calcula

X=1

ab

j=1

a

k=1

b

Xjk

-ariacin total7 variacin dentro de los tratamientos " variacin entretratamientos

La !ariaci)n &o&al $eno&a$a por 48 se calcula con6

V=j ,k

(Xjk X)2

Ecuacin -ariacin Total

La !ariaci)n $en&ro $e los &ra&amien&os se calcula con6

VW=j ,k

(Xjk Xj )2

Ecuacin -ariacin dentro de los tratamientos

La !ariaci)n en&re los &ra&amien&os se calcula con6

VB=bj

(Xj X)2

Ecuacin -ariacin entre los tratamientos

Por lo &an&o 4 la po$emos calcular &am*i>n con6

V=VW+VB

En la pr"c&ica es con!enien&e res&ar alguna can&i$a$ 1=a $e &o$os los $a&os $e la &a*la parasimplicar los c"lculosQ &al operaci)n no &iene e%ec&o alguno so*re el resul&a$o 1nal.

E=emplo

La siguien&e &a*la $a las pro$ucciones por acre $e una cier&a !arie$a$ $e &rigo ue crece en

&errenos &ra&a$os con %er&ili2an&es A8 X - C. 5allar a las pro$ucciones me$ias para los $i%eren&es&ra&amien&os8 * la me$ia glo*al para &o$os los &ra&amien&os c la !ariaci)n &o&al $ la !ariaci)nen&re &ra&amien&os e la !ariaci)n $en&ro $e los &ra&amien&os.

A (? ( +0 (X (, ( (? (?C ( +/ +0 +0

Para 7acer me=or el c"lculo po$emos res&ar (+ a &o$os los $a&os - ue$a la &a*la


25/27

3 ( + ( ( 3 3( 9 + +

a

X1=1

4

(3+4+5+4 )=4

X2=1

4(2+4+3+3)=3

X3=

1

4(4+6+5+5)=5

*

X= 1

12(3+4+5+4+2+4+3+3+4+6+5+5 )=4

c

V=j ,k

(Xjk X)2

=(34 )2+(4 4 )2+(54 )2+(44 )2+ (24 )2+(44 )2+(34 )2+(34 )2+(44 )2+(64 )2+(54

$

VB=bj

(Xj X)2

=4 [(44 )2+ (34 )2+(54 )2 ]=8

e

VW=V VB=14 8=6

:todos 2breviados

V=j ,k

Xj , k2

T

2

ab

VB=1

b

j

Tj2

T

2

ab

VW=V VB

Ecuacin :todos 2breviados para e;perimento de un factor.

Don$e T es el &o&al $e !alores Xjk - T=es el &o&al $e !alores en el &ra&amien&o =;>simo.


26/27

XjkTj=k

Xjk

T=j , k

E;perimentos de Dos factores

El &ra&amien&o $e $os %ac&ores es como si %uera una ma&ri28 a con&inuaci)n se mues&ran las%ormulas.

V=j ,k

(Xjk X)2

Ecuacin -ariacin total de dos factores

4ariaci)n $e*i$a a error o a2ar

VE=jk

(Xjk Xj Xk+ X)2

Ecuacin -ariacin debida a error

4ariaci)n en&re 1las

V=bj=1

a

(Xj X)2

Ecuacin -ariacin entre las

4ariaci)n en&re columnas

VC=aj=1

b

(Xk X)2

Ecuacin -ariacin entre columnas

Formas a*re!ia$as

V=j ,k

Xj , k2

T

2

ab

V=

1

bj=1

a

Tj2

T2

ab

VC=1

aj=1

b

Tk2

T

2

ab

V!VE=V V

Ecuacin :todos 2breviados para e;perimento de ( factores


27/27

ibliografa

#ni$a$ I Estadstica Aplicada" #lian de la $orra %avarro" &c 'ra( $ill. )gina *4.

#ni$a$ II Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 1*6+2,-

#ni$a$ III Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 2,*+222

#ni$a$ I4 Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 22+24,

#ni$a$ 4 Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 26*+2*4

#ni$a$ 4I Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 2*9+,9

#ni$a$ 4II Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas 22+4*

#ni$a$ 4III Estadstica Segnda Edici!n" Spiegel" &c 'ra( $ill. )ginas -/+96

antologIa estadiasca inferncial

Documents

Transcript of antologIa estadiasca inferncial