Razones y Proporciones

Razn Es la comparacin de dos magnitudes por medio de un cociente o divisin.

Ejemplo:a) Pepe tiene 45 aos y algunos de sus alumnos 15, si comparamos ambas edades tenemos la siguiente razn:

La edad de Pp es el triple de la de sus alumnos La edad de los alumnos es un tercio de la de Pp

Partes de una razn:

Al numerador se le llama antecedente, y al denominador se le llama consecuente.

En el ejemplo anterior:

Ejercicio:Compara las siguientes cantidades por medio de cociente (razn) y contesta:

1. Enrique tiene 27 libros y Eduardo 54: _________________. Los libros de Eduardo son: _______________________ que los de Enrique.2. La edad de Carlos es 60 aos y la de Laura 15: __________________.La edad de Carlos es: _________________________ que la de Laura.3. Mnica gana $240 por una hora de trabajo y Claudia gana $80 por una hora de trabajo. Lo que gana Claudia es: ____________ de lo que gana Mnica. Lo que gana Mnica es: _______________ de lo que gana Claudia.4. Gabriel tiene 36 lpices y Jorge 42. La cantidad de lpices de Gabriel es: _____________ que la de Jorge.5. En un grupo de 35 alumnos 14 son nias. Las nias son: ______________ de la cantidad de alumnos.

Proporcin Es igualar dos razones equivalentes.

Cuando se realizan compras de ropa, pulseras, libros, estampas, regalos, etc., se supone que al aumentar o disminuir una cantidad la otra puede aumentar o disminuir tambin, por lo que se les conoce como magnitudes directamente proporcionales:

+ Si se tiene ms dinero se puede comprar ms cosas.+ Al viajar ms lejos se gastar ms gasolina.

Cuando una cantidad aumenta y la otra disminuye se conocen como magnitudes inversamente proporcionales:

+ si se trabaja ms rpido se ocupa menos tiempo+si se ocupan ms hombres se necesitan menos das

Ejemplo:a) tres lpices cuestan $15; ocho lpices cuestan $40Comparando la cantidad de lpices con su precio se forma una razn e igualando las dos razones se forma la proporcin.

Partes de una proporcin:

Extremomedio

Medioextremo

Para realizar ejercicios con las proporciones siempre faltar un dato.Ejemplo:

a) Juan compr 23 transportadores por $57.50. Si hubiera comprado nicamente 14, cunto habra pagado?Igualando las razones:

Analizando la proporcin anterior:

Los trasportadores disminuyeron

El precio tambin debe disminuir disminuye

Entonces en una regla de tres directamente proporcional.

Para resolver:

El trmino desconocido en una proporcin lo podemos calcular por medio de la propiedad fundamental de las proporciones:

el producto de los extremos es igual al producto de los medios

realizando operaciones: despejando:resolviendo la divisinresultado

O como tambin se conoce regla de tres:

b) 10 obreros realizan una obra en 8 das. cuntos das tardarn en terminar la misma obra 20 obreros?

Analizando la proporcin anterior:

Los obreros aumentaron

Porque trabaja ms gente los das deben disminuir

Entonces es una regla de tres inversamente proporcional.Para resolver:

Ejercicio:1. Si compro 50 libros iguales por $1750, cunto necesitar para comprar 73 libros iguales?

2. Para elaborar panecillos se necesitan 3 tazas de harina por 8 panecillos. cuntas tazas de harina se necesitan para hacer 24 panecillos?

3. A una misma hora un edificio de 36m de altura proyecta una sombra de 18m, mientras que otro proyecta una sombra de 24m, cul es la altura del otro edificio?

4. Por 7m de tela se pagaron $245. cuntos metros de tela se pueden comprar con $525?

5. Un automovilista recorri 440 Km en 4 horas. cunto tardar en recorrer 770 Km a la misma velocidad?

6. 8 hombres han cavado una zanja en 20 das. cunto se tardarn en cavarla 2 hombres?

7. 3 hombres trabajan 8 hrs diarias para terminar a tiempo una obra. Si trabajan 5 hombres en la obra. cuntas horas diarias tendran que trabajar para entregar la misma obra en el mismo tiempo?

8. En un mapa de la ciudad 1cm representa 800m de la realidad. cul es la distancia real entre dos colonias que se encuentran a 3.8cm en el mapa?

9. Una tropa de 1500 hombres tienen vveres para 4 meses. Si la tropa tuviera 300 hombres menos cunto les duraran los vveres?

10. Una cuadrilla de hombres emplean en realizar cierta obra 14 das, trabajando 8 horas diarias. Si hubieran trabajado una hora menos al da, en cunto das habran terminado la obra?

Llamamos constante de proporcionalidad de una proporcin al cociente de cualquiera de sus razones.Ejemplo:

Si se divide: y

Ejercicio:

Completa las siguientes tablas, escribe el factor de proporcionalidad constante para cada una.1. En un recorrido en carretera un automvil se desplaza a una velocidad constante de 60Km por hora. Cuntos Km recorrer en las siguientes horas?Tiempo en horas123456

Recorrido en km60240

En 12 horas cul sera su recorrido?____________________________________

Cul es la constante de proporcionalidad?________________________________

2. En una fbrica de tornillos, un obrero produce 50 tornillos cada hora. Cuntos tornillos producir en las siguientes horas?

Tiempo en horas123456

# de tornillos50300

Cuntos producir en 20 horas?______________________________________

Cul es la constante de proporcionalidad?_______________________________

3. Tres vendedores de una tienda departamental acomodan 1500 productos por jornada laboral. Cuntos productos acomodaran el siguiente # de trabajadores?

# de vendedores13691215

Productos acomodados1500

Si los trabajadores fueran 30?____________________________________________

Cul es la constante de proporcionalidad?__________________________________

4. Por cinco naranjas pagu $4. Cunto pagar por las siguientes naranjas?

# de naranjas51015202530

costo

Si comprar 1 naranja?________________________________________________

Cul es el factor de proporcionalidad?___________________________________

5. La familia Prez va a viajar y cambia pesos por dlares.

Dlares204060100

Pesos2565127681280

Cunto pagarn por 350 dlares?_______________________________________Cul es el factor de proporcionalidad?___________________________________

Reparto proporcional

Se le llama as a la accin que se da en ciertas situaciones de la vida cotidiana que exige distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos datos dados.

En este sentido es importante diferenciar entre repartir en partes iguales y repartir en partes proporcionales:

Si tengo 50 paletas y dos grupos de nios, puedo dar a cada grupo 25 paletas, en este caso he repartido en partes iguales. Pero si conozco que el primer grupo est formado por 15 nios y el segundo grupo por 10 nios y decido que al primer grupo le doy ms paletas porque hay ms nios y al segundo grupo le doy menos paletas porque son menos nios, en este caso he repartido en partes proporcionales, no hay que repartir al azar, si al grupo de 15 nios le doy 30 paletas y al segundo le doy 20 paletas el reparto es proporcional.

Ejemplo:

a) Tres personas compraron un billete de lotera que result premiado con $60000. la primera aport $6, la segunda $4, y la tercera $10. si se repartir en esa proporcin, cunto dinero ganar cada persona?

1. Persona = $62. Persona = $43. Persona = $10 Total= $20 Por cada peso dado para comprar el boleto les toca $3000

Recibe:1. Persona = 2. Persona = 3. Persona = Total= $20

Ejercicio:1. Tienes que repartir proporcionalmente 240 dulces entre Pedro, Ana y Gustavo de acuerdo a sus edades que son 4,8 y 12 aos respectivamente. cunto le toca a cada quin?

2. Tres trabajadores hicieron una obra por la que se pag $ 11480. Cunto se le pagar a cada uno si el primero trabajo 3 das el segundo 5 y el tercero 6 das?

3. Una persona dispone en un testamento, que el monto total de la herencia, se reparte proporcionalmente entre sus 5 hijos de la siguiente manera: la primera recibir 2 partes; el segundo, 4 partes, el tercero 5 partes, el cuarto 7 partes y el quinto 3partes. Cunto recibir cada uno si la herencia es de $3 150 000?

4. Tres socios deciden liquidar su empresa y repartirse el capital proporcionalmente de acuerdo con los aos que han trabajado: 2, 4 y 6 aos respectivamente. Si el capital de la empresa es de 150 000 cunto le tocara a cada uno?

5. Divide proporcionalmente 1950 en las siguientes fracciones:

6. Divide proporcionalmente 380 en las fracciones:

7. En la escuela se elegirn doce personas para integrar el comit de representantes de la sociedad de alumnos. Al hacer las votaciones, los alumnos de tercero obtuvieron 459 votos a favor, los de segundo 270 y los de primero 360. El grupo de representantes debe estar compuesto por alumnos de los tres grados. Proporcionalmente a las votaciones, cuntos alumnos de cada grado deber tener el comit?

8. En el equipo de basquetbol, Juan y Pedro son los jugadores que se encargan de efectuar los tiros de castigo. Juan encesta tres de cada cinco tiros y Pedro encesta cinco de cada ocho tiros. Si el siguiente lanzamiento fuera decisivo para ganar el juego, a quin elegiras para que lo efecte?

9. Tita ahorr $7200, Dany $4500 y Nelly $5200, para salir de shopping. Dany gast cuatro quintas partes de lo que ahorro, Nelly la mitad de su ahorro y Tita $4800. Proporcionalmente, quin gast ms?

10. Israel, Eric y Mario salieron de paseo, Mario gast $1 500, Israel, $3 400; y Eric $2 400. Si Israel llevaba $ 4600 para el viaje; Eric, $3 200 y Mario, $2000, El gasto de cada uno fue proporcionalmente igual?

Escala Se llama escala a la razn o proporcin en la cual se encuentran dibujadas o trazadas una figura y su reproduccin. Se expresa como una fraccin o bien en forma general con los dos nmeros separados por : . la lectura de la escala se realiza de la siguiente manera:

1:100 una unidad de la reproduccin representa 100 unidades de la original. 1 / 1003:2 tres unidades de la produccin representan 2 unidades de la original. 3 / 2

Como se observa, las escalas pueden representar una copia ms pequea o ms grande que la figura original, cuando una escala es de aumento, el primer nmero es mayor que el segundo y en el caso contrario, la escala ser de reduccin.

Para trazar una figura en escala se mide cada lado de la figura original y se multiplica por la fraccin que representa la escala.

Ejemplo: hacerlo en clase

3.9cm

2.3cm

2cm

Hacer la reduccin a 1/3

b) Gerardo tiene que hacer un trabajo de historia ilustrado con fotografas y fue al Museo de Antropologa. Como el maestro pidi poner cuatro fotografas por pgina, Gerardo tuvo que reducirlas para que se adecuaran al tamao de las pginas. La fotografa original mide 15 cm de largo por 10 cm de ancho y la reduccin 7.5 cm de largo por 5 cm de ancho cul ser el factor de proporcionalidad? Dibujo 2 rectngulos foto original y foto reduccin

Para calcular el factor de proporcionalidad, se compara el valor de la reproduccin sobre el valor de la original:

Para conocer el factor de proporcionalidad del largo de la fotografa se compara el valor de la reduccin sobre el valor de la original

Esto quiere decir que: la reproduccin es la mitad de la original o que 1 cm de a reproduccin es 2cm en la original.

Ejercicio:Obtn el factor de proporcionalidad de las siguientes figuras:

14 cm

5.25

8 cm

6 cm

4cm

7cm

3cm

7.5 cm 10 cm

1.5 cm 2 cm

Al multiplicar una fraccin y un nmero dado se obtiene cierto producto, si este producto se multiplica por el recproco de la fraccin se obtiene el nmero dado inicialmente, a esto se le conoce como factor inverso o recproco.

Ejemplo: 8 por = 6 y 6 por 4/3 = 8

As el factor de proporcionalidad es : obtener los valores que faltan

5 cmx

y 2.5 cm

Obtener el factor de proporcionalidad y la medida de los segmentos que faltan:1 cm

AFEDCBGJIHLNM8 cm10 cm3 .5 cm4 cm2.5 cm

A

FEDCBGJIHLNM7.5 cm1 .5cm3 cm

5 cm

Obtener:

Ejercicios: Contesta y resuelve segn se te pide:

1. La razn entre las edades de Jos y su padre es 2/5, si el padre tiene 40 aos, Qu edad tiene Jos?

2. Elsa consume diariamente 2/3 del total de caloras que consume su hermano. Si el hermano consume 2400 caloras cuntas caloras consume Elsa?

3. La distancia entre el D.F. y Toluca est en razn 11/50 con respecto a la distancia entre el D.F. y Morelia, que es de 302 Km. cul es la distancia del D.F. a Toluca?

4. Arturo gasta en razn 1/5 de lo que gasta su hermana en ropa. Si la hermana gast $900 cunto gast Arturo?

5. La superficie del estado de Colima est en razn de 1/45 con respecto al estado de Chihuahua. Sabemos que Chihuahua tiene 246000Km2 de superficie, qu superficie tiene Colima?

6. La poblacin de Mxico est en razn 94/98 entre hombres y mujeres, segn el censo del ao 2000. si entonces eran 49000000 de mujeres, cuntos hombres haba?

7. De 30 Kg de betabel se pueden obtener 4Kg de azcar. cul es el factor de proporcionalidad que se usa para saber cunta azcar puede obtener de cualquier cantidad de betabel?

8. Mara mand a hacer una ampliacin de su fotografa a una escala de 5/2 de la original que es ancho 1.8cm, largo 2cm.qu medidas tiene la ampliacin?

9. Para colocar una imagen en el peridico mural de esta semana se realiz un dibujo de una persona a 1/3 de la estatura de uno de los compaeros. Si el dibujo mide 56cm de alto cul es la estatura del compaero?

10. En un embarazo normal, al tercer mes el feto mide75mm, lo que representa 3/20 de lo que medir al nacer. Si todo marcha bien, cunto medir ese nio el da de su nacimiento?

11. La produccin petrolera se obtiene del mar es de 2200000 barriles por da. Esto representa las 2/5 partes de la produccin total. cuntos miles de barriles se producen en Mxico cada da?

12. Al participar en un maratn, mi vecino haba avanzado 2/3 del recorrido total cuando alguien estaba llegando a la meta. Si en ese momento haba recorrido 8Km cul era la longitud del recorrido total?

13. En un mapa de la escuela la distancia entre dos ciudades es de 15cm. Si en el mapa se puede observar que est hecho a una escala de 1:500000 a qu distancia en realidad se encuentran dichas ciudades?

14. Mi pap me pidi que calcule la altura que tiene un mueble que quiere comprar, si la fotografa que presenta la publicidad tiene como referencia que est hecha 2/25 del tamao original qu altura tiene en realidad el mueble si en la fotografa mide 12cm de alto?

15. Hace 5 aos Marcos pesaba 60Kg, lo que equivale a 2/3 de su peso actual cunto pesa?

Proporciones Mltiples: Se forma por tres o ms razones igualadas.

Ejemplo:a) Para realizar una excursin a la sierra, se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada tres personas. cuntos litros se necesitarn si se va a realizar una excursin con 120 personas durante 7 das?

Agua

Personas

Das

Se comparan las razones completas con la que tiene la variable: Si son 3 personas y necesitan 12 litros de agua 120 personas necesitaran ms agua entonces la proporcin es directa se colocarn los signos de la siguiente manera:

si para 1 da se necesitan 12 litros para 7 das se necesitarn ms litros, entonces la proporcin es directa se colocan los signos

y al trmino que est con la incgnita siempre se le pone el signo

se resuelve multiplicando todos los trminos que tienen signo entre la multiplicacin de todos los trminos que tienen signo

Si al comparar se obtiene una proporcin inversa los signos se colocan: Ejercicio:

1. 6 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 160 metros de una obra en 10 das. cuntos das s necesitarn 10 hombres, trabajando 6 horas diarias para hacer 120 metros de la obra?

2. En un paseo se necesitan 24 litros de agua diarios para 12 nios, cuntos litros de agua se necesitan para 48 nios en un paseo de 6 das?

3. 15 hombres trabajando 7 horas diarias pueden construir 10 metros de una carretera en 4 das. En qu tiempo pueden 7 hombres, trabajando 5 horas diarias terminar una carretera el doble de larga?

4. Se emplean 10 hombres durante 5 das trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10m de profundidad. cuntos das necesitarn 6 hombres, trabajando 3 horas diarias para cavar una zanja de 8m de profundidad?

5. Una tropa de 1500 hombres tienen vveres para 4 meses, comiendo 3 veces al da. Si la tropa tuviera 300 hombres menos y comieran 2 veces al da cunto les duraran los vveres?

Ejercicios:Lee y contesta segn lo que se te pide

1. En cierto hospital, la dietista debe preparar cuatro comidas a partir de estos ingredientes: 200 gramos de pasta, 360 gramos de carne, 4 huevos y 300 gramos de legumbres, qu cantidad requiere de cada uno de los ingredientes para preparar seis comidas?

comidaspastacarnehuevoslegumbres

4

6

2. Roberto trabaja 6 horas diarias y recibe un salario de $4080 al mes. Su jefe le ha comunicado que la empresa aumentar su horario de trabajo en 2 horas diarias. cul ser a partir de ahora su sueldo?

3. Un ganadero tiene 34 vacas y slo dispone de alimento para 10 das. cuntas vacas tiene que vender para que el alimento le alcance para 5 das ms?

4. En D.F., por cada 5 automviles americanos estn registrados 7 automviles japoneses. En Zacatecas, por cada 3 automviles americanos estn registrados 4 japoneses. Proporcionalmente, en qu entidad hay ms automviles americanos?

5. Para hacer una bebida refrescante, la proporcin entre la esencia frutal y el agua carbonada es de 9 partes por 30, respectivamente. Para hacer un refresco de cola se usan 3 partes de esencia por 9 de agua. qu bebida contiene mayor cantidad de esencia?

6. Un contratista desea colocar piso de cermica en una superficie de . cada loseta es un cuadrado de 33 cm por lado. Contrat a Juan, quien puede colocar 1en 2 horas. Tambin contrat a Manuel, quien puede colocar por cada jornada de 8 horas. Entre los dos, en cunto tiempo terminan el trabajo?

7. Julin est organizando una fiesta y pretende decorar el saln con globos. Por cada 5 globos rojos colocar 2 azules. Para bailar, por cada 3 discos de salsa pondr 4 de rock. Si coloca 100 globos rojos, cuntos azules habr? cuntos discos de rock colocar si se escuchan 9 de salsa? Habr 35 invitados y calcula que cada uno consumir 5 vasos de refresco. Sern suficientes 160 vasos?

8. Se enlistan los ingredientes para hacer un pastel de manzana: determina la cantidad de cada uno de los ingredientes, si slo se dispone de 8 tazas de manzana. operaciones12 tazas de manzana rebanada8 tazas de manzana rebanada

taza de harina

cucharadita de sal

2 cucharadas de mantequilla

1 cucharadita de nuez

1 tazas de azcar

1 cucharadita de canela

9. Una seora fue a la carnicera a comprar $20 de carne molida. El carnicero quiere saber cunto debe marcar en la bscula para despacharla, si el precio es de $48 el Kg. Luego, la seora le pide aparte le ponga 400g de esa misma carne. cunto debe pagar por esta cantidad?

10. El automvil de mi pap gasta 3 de gasolina por cada 27 Km recorridos. El automvil de mi to gasta 2 de gasolina por cada 16 Km y el de los vecinos gastan 5 por 45 Km. Proporcionalmente, cul de los automviles es el ms econmico?

11. Un cliente le dio a coser a doa Lupe un lote de 78 pantalones. Ella estima que con tres costureras podr terminar 12 pantalones en 3 das. El cliente desea saber en cuntos das hbiles deber regresar por su lote completo de pantalones terminados.

12. En un censo de escolaridad se obtuvo que en las escuelas del D.F. hay inscritos 10 hombres por cada 9 mujeres, en Chiapas por cada 5 hombres, 4 mujeres, y en Oaxaca por cada 4 hombres, 3 mujeres. en qu estado hay mas mujeres estudiando?

13. Un vendedor ambulante vende aguas de naranja y zanahoria. Con 2 de jugo de naranja y 1 de agua hace la de naranja, y con 3 de jugo de zanahoria y 1 de agua hace la de zanahoria. cul de las dos bebidas contiene mayor cantidad de agua?

14. En una fbrica de clavos y tornillos, por cada 15 clavos se producen 6 tornillos y 10 tuercas. Cierta semana la produccin fue: lunes 23100 piezas, martes 29400 piezas, mircoles 18900 piezas, jueves 27300 piezas y viernes 17850 piezas de clavos. cuntos tornillos se produjeron esa semana?

Da / productolunesmartesmircolesjuevesviernes

Clavos

tornillos

15. En cierta fbrica de dulces tres son las mquinas que los producen. La primera produce 7 dulces defectuosos por 10 en buen estado, la segunda 3 dulces defectuosos y 5 buenos, y la tercera 8 defectuosos por 15 buenos. Si te dijeran que slo trabajarn dos mquinas, de cul detendras la produccin?

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