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Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático ASIGNACION DE MATEMATICA TEMA: AREAS, VOLUMENES, SOLIDOS GEOMETRICOS PROPIO DE: WALTER JOSUE QUISPE TICONA SEMESTRE : 1ro AREQUIPA – PERU 2014
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Año de la Promoción de la
Industria Responsable y del
Compromiso Climático
ASIGNACION DE MATEMATICA
TEMA: AREAS, VOLUMENES,
SOLIDOS GEOMETRICOS
PROPIO DE: WALTER JOSUE
QUISPE TICONA
SEMESTRE : 1ro
AREQUIPA – PERU
2014
AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS
AREA DEL CUADRADO
ÁREA
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado.
A= a2
AREA DEL RECTANGULO
ÁREA
El área de un rectángulo es el producto de la longitud de
los lados.
A= a · b
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN PARALELOGRAMO.
ÁREA
El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por
la altura.
A= b · a
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
ÁREA
El área de un triángulo es el producto de uno de sus
lados por la altura sobre él dividido entre dos.
AREA DEL ROMBO
El area del rombo es igual a la diagonal menor, Dividido por
dos.
AREA DEL TRAPECIO
El area del trapecio es igual a la suma de
las bases por la altura, y dividido por dos.
AREA DEL POLIGONO REGULAR
Apotema: La apotema es la distancia del centro de un polígono regular al
punto medio de un lado.
Perímetro: El perímetro es igual al número de lados por la longitud del
lado.
El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:
AREA DE REGIONES CIRCULARES
ÁREA DEL CÍRCULO
El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al
cuadrado multiplicado por Π.
A= Π·R2
CÁLCULO DEL ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
Primeramente tenemos que saber que es un sector, zona, porción, parte, etc., circular.
Sencillamente es una parte, zona del círculo que está comprendida entre DOS RADIOS Y EL
ARCO comprendido entre ambos.
Lo verás que es un concepto muy sencillo al comprobar la figura:
El sector circular es la superficie del círculo
comprendida entre dos radios y el arco.
Para el cálculo de su área son suficientes dos datos,
la medida del radio y el ángulo que forman los dos
radios.
Con una simple regla de tres obtienes el resultado.
AREA DE LA CORONA CIRCULAR
Llamamos corona circular a la parte del plano
comprendida entre dos circunferencias que tienen
el mismo centro:
La zona coloreada del plano es la corona circular.
Para saber su superficie necesitas conocer las
medidas del radio mayor y la del radio menor.
Primero calculas el área de un círculo con el radio mayor, seguidamente el área del círculo
con el radio menor y hallas su diferencia. Esta diferenta representa la corona circular:
Como observarás, hallas la diferencia de los cuadrados de los radios y multiplicas por
AREA DEL SEGEMENTO CIRCULAR
AREA
El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción
triangular.
Si el ángulo está en radianes.
DEMOSTRACION ALTERNATIVA
El área del sector circular es:
Si se bisecciona el ángulo , y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos
con área total:
Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción
triangular, se obtienen
De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo
doble , por lo tanto:
con lo que resulta que el área es:
CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
Primero tenemos que saber qué es un trapecio
circular, simplemente, un trapecio en el que sus
bases son curvas.
La zona en color azul es el área de un trapecio
circular. Comprobarás que las bases son curvas.
Para calcular el área de la superficie de color
azul hallamos primero el área del círculo de
mayor radio que lo representamos por R,
seguidamente el área del círculo de menor radio que lo representamos por r.
Hallamos su diferencia y obtenemos el área de la corona circular:
La zona coloreada es el área de la corona circular que corresponde a un ángulo central de
360º.
En el caso del cálculo del área del trapecio circular tendremos que saber el área de corona
circular que corresponde a un determinado ángulo, tal como lo tienes en la siguiente figura:
SOLIDOS GEOMETRICOS
Poliedros
Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas"
y -edro significa "cara").
Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono.
Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.
Ejemplos de poliedros:
Prisma triangular Cubo Dodecaedro
Poliedros comunes
Sólidos platónicos
Prismas
Pirámides
Contar caras, vértices y aristas
Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas
de un poliedro, descubrirás algo interesante:
El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2
Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación:
F + V - E = 2
Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", ¡y viene bien para saber si has
contado correctamente!
Ejemplos:
Este cubo tiene:
6 caras
8 vértices
12 aristas
F + V - E = 6+8-12 = 2
Este prisma tiene:
5 caras
6 vértices
9 aristas
F + V - E = 5+6-9 = 2
CLASIFICACION DE LOS POLIEDROS
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o
de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que
estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que
dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso
del toroide facetado y los sólidos de karim.
Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.
Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se reúnen en cada
arista son iguales.[cita requerida]
Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen
el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es
de caras regulares, de caras uniformes devértices uniformes y de aristas uniformes.
Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de
uno de ellos.
Poliedros regulares[
Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo
un cubo ohexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma
longitud, éstos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos
antiguamente y son conocidos aún, como Sólidos platónicos.
Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen
cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del
grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de
los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la
divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan
los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.
Poliedros irregulares[
Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras o ángulos desiguales.
Sólidos arquimedianos
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras
regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados
por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Tetraedro
truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro,
el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, elDodecaedro truncado, el Icosaedro truncado,
el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Prismas y antiprismas
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos
ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos
infinitos.
Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el
nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz.
Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se
compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3
donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma
decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20
vértices de orden 3.
Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de
triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma
cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.
PRISMA
El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2
polígonos regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos como
lados tenga la base.
Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la
base. (Ejemplo: Prisma pentagonal).
Ponga aquí el ratón y podrá ver el desarrollo de un prisma.
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando
las siguientes formulas:
Area lateral
AL = P · h
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la
altura (h) del prisma)
Area total
AT = AL + 2 · Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área de los polígonos de las 2 bases)
Volumen
V = Ab · h
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la
altura ( h ) del prisma)
PIRAMIDE
La pirámide es un poliedro que tiene una sola base y tantas caras laterales en forma de
triángulos como lados tenga la base y que se unen en un punto denominado vértice.
Apotema: es el segmento que parte del
centro de cada uno de los lados de la base
y llega hasta el vértice. Mide la altura de
sus caras laterales.
Altura :Es la distancia vertical que hay de
la base al vértice de la pirámide.
Según el número de lados que tiene la
base, las pirámides pueden ser:
Triangular (tetraedro): la base es un
triángulo.
Cuadrangular: La base es un
cuadrilátero.
Pentagonal: La base es un pentágono.
Hexagonal: La base es un hexágono.
Etc.
La pirámide puede ser recta u oblicua:
Pirámide recta es aquella que la altura parte justamente del centro de la base y llega al vértice.
Pirámide oblícua es aquella que la altura no parte justamente desde el centro de la base; puede
partir de otro punto de la base o incluso desde fuera de la base.
La pirámide puede ser también regular o irregular:
Pirámide regular: es una pirámide recta, cuya base es un polígono regular (triángulo,
cuadrado, pentágono, hexágono…) y que todas su caras laterales son iguales.
Si la base de una pirámide es un triángulo equilátero y sus caras laterales también son
triángulos equiláteros se denomina tetraedro regular.
ÁREA DE LA PIRÁMIDE
En una pirámide regular la superficie de sus caras se mide:
Área de las bases: (n º de lados x lado x apotema de la base) / 2
Área lateral: (n º de lados x lado x apotema de la cara lateral) / 2
Luego el área total:
Área total: (n º de lados x lado x apotema) / 2 + (n º de lados x lado x apotema de la cara
lateral) / 2 = n º de lados x lado x (apotema de la base + apotema de la cara lateral) / 2
Ejemplo:
Mide el área de una pirámide triangular cuyo lado mide 6 cm, la apotema de la base 4 cm y la
apotema de la cara lateral 7 cm.
Área total: n º de lados x lado x (apotema de la base + apotema de la cara lateral) / 2 = 3 x 6 x
(4 + 7) / 2 = 99 cm2
CILINDRO
Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por el giro de una
región rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de
simetría.
El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da
lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas
contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.
Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano,
obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro
recto.
Para desarrollar o dibujar un cilindro, ver figura:
Perímetro: es la línea que limita una figura plana.
Área lateral: Superficie de un cuerpo geométrico excluyendo las bases.
Área total: Superficie completa de la figura, es decir, el área lateral más el área de las bases de
la figura.
Área del cilindro
El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo
corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura
del cilindro, o sea h.
Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:
Área lateral = perímetro de la base x altura
Alateral = 2 π r . h
Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares basales,
obtenemos el área total del cilindro.
Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:
Área total = área lateral + 2 x área de la base
Atotal = Alateral + 2Abase
Entonces,
Atotal = 2 Π r h + 2 Π r2
Por lo tanto:
Atotal = 2 Π r ( h + r )
Volumen del cilindro
Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su
altura (h).
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base x altura
Es decir, Vcilindro= Abase · h
Vcilindro= Π r2 · h
Ejemplo:
¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su
altura mide 20 cm?
Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
2 Π · 10 cm (20 cm + 10 cm) = 20 Π cm (30 cm) = 600 Π cm2
Atotal = 600 Π cm2 = 600 x 3,14 = 1.884 cm2
¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?
Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
Π (10 cm)2 · 20 cm = 2000 Π cm3 = 6.283 cm3
Vcilindro = 6.283 cm3
CONO
El cono es el volumen de revolución resultante de hacer rotar un triángulo rectángulo de
hipotenusa g (la generatriz), cateto inferior r(el radio) y cateto h (altura del cono), alrededor
de h.
También se puede interpretar el cono como la pirámide inscrita a un prisma de base circular.
Para calcular el área o volumen de un cono sólo hacen falta dos
de los siguientes 3 datos: altura, radio, generatriz, ya que por el
teorema de Pitágoras se puede encontrar el tercero:
g2=r2+h2
El área lateral se calcula,
Alateral=π⋅r⋅gY el área total será:
Atotal=Alateral+Abase=π⋅r(r+g)
VOLUMEN Y ÁREA TOTAL DE UN CONO
La fórmula para calcular el volumen de
un cono es la misma que para una
pirámide, pero como en la base del cono
hay siempre un círculo, entonces
podemos escribir directamente la
fórmula del recuadro.
En el caso del área total ocurre lo mismo, solo que el área lateral es ahora diferente como
observas . En la otra fórmula se extrajo factor común, lo que facilita el cálculo.
Entre el radio, la altura y la generatriz del cono se forma un triángulo rectángulo, donde es
posible calcular cualquiera de esos elementos aplicando el conocido teorema de Pitágoras.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Una señal de tránsito, colocada en la calle, tiene forma cónica con 3,0 dm de radio y
4,0 dm de altura. Determina su volumen y su área lateral.
Para la primera respuesta calculamos el
volumen del cono. Conocemos el radio y la
altura, luego sustituimos y calculamos. En este
caso después de calcular el cuadrado de 3,
podemos simplificarlo con el 3 del
denominador y luego redondeamos la repuesta
y colocamos la unidad de medida
correspondiente.
Para calcular el área lateral, es necesario
determinar la longitud de la generatriz, y
como observas se calcula aplicando el
teorema de Pitágoras.
Luego sustituimos en la fórmula de área
lateral y redondeamos la respuesta obtenida.
ESFERA
La esfera está limitada por una superficie curva que es engendrada por
la semicircunferencia de diámetro AB. Todos los puntos de esta superficie se encuentran a la
misma distancia del punto O, que es el centro de la esfera. La distancia del centro a
cualquiera de estos puntos se denomina radio de la esfera.
VOLUMEN Y ÁREA DE LA ESFERA
Observa que ambas fórmulas solo dependen de la longitud del radio de la esfera. Luego para calcular su volumen o su área es necesario solo el radio o diámetro del cuerpo.
La fórmula del área es cuatro veces el área de uno de sus círculos máximos, que son los
círculos que contienen al diámetro.
