Análisis vectorial - Fisica.ru€¦ · drica y esférica. Veremos en esta sección su deﬁnición...

Capítulo 1

Análisis vectorial

1.1. Sistemas de coordenadas

En este curso se hace un uso intenso de tres sistemasde coordenadas: cartesianas, cilíndricas yesféricas. Naturalmente estos sistemas serán de utili-dad en situaciones físicas con simetrías rectangular, cilín-drica y esférica. Veremos en esta sección su definición yalgunos resultados de interés que siguen de estas defini-ciones.

1.1.1. Coordenadas cartesianas

AAy

x

Az

X

Y

X

y

z^

x

{{ {

A

Figura 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas.

Para describir vectores en este sistema de coordenadasse introduce la triada de vectores unitarios

�x � y � z � a lo

largo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vec-tor cualquiera �A tiene proyecciones a lo largo de lasdirecciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estasproyecciones o componentes se denotan: Ax � Ay y Az y el-las se obtienen mediante el producto punto entre el vector

�A y el vector unitario asociado:

Ax � �A � xAy � �A � yAz � �A � z

En este sistema entonces un vector cualquiera �A se es-cribe:

�A � Axx � Ayy � Azz �y su norma, definida como la raiz cuadrada del productopunto del vector consigo mismo (ver nota1), es

�� A ��

A2x � A2

y � A2z �

Un caso particular es el del vector de posición �r asociadoa un punto: la posición de un punto en este sistema estádefinida por la triada de coordenadas

�x � y � z � y en conse-

cuencia, el vector de posición queda dado por:

�r � xx � yy � zz

En este caso se tiene:

rx � �r � x � x

ry � �r � y � y

rz � �r � z � z

y su norma es:

�� r �� r � �r �� x2 � y2 � z2

1.1.2. Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas estábasado en la geometría del cilíndro. Se ubica un cilíndroimaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sis-tema de coordenadas cartesiano.

1El producto punto entre dos vectores �A y �B es �A � �B � AxBx � AyBy �AzBz)

1

230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad 2

Z

X

Y

A

Z

^Z

r

r^f

f^f^

Figura 1.2: Sistema de coordenadas cilíndricas.

Un punto se define sobre este cilindro por una coordena-da de altura z (la altura del cilíndro), una coordenada dedistancia radial ρ (el radio del cilindro) y una coordenadade posición angular φ (el ángulo que substiende el puntorespecto del eje x, medido a lo largo de la superficie delcilindro). A lo largo de las direcciones en que crecen ρ , φy z se definen vectores unitarios ρ, φ y z.

Este sistema está definido entonces por la triada de co-ordenadas

�ρ � φ � z � , y por los correspondientes vectores

unitarios asociados�ρ � φ � z � (ver Fig. ??).

En estas coordenadas las variables ρ , φ y z varían entre:

ρ : 0 � � � ∞φ : 0 � � � 2πz : � ∞ � � � ∞

Un vector cualquiera �A tendrá proyecciones sobre las di-recciones definidas por dichos vectores unitarios. Los val-ores de dichas proyecciones (las componentes del vector)se denotan correspondientemente por Aρ , Aφ y Az (verFig ??). Ellos se obtienen de la manera usual:

Aρ � �A � ρAφ � �A � φAz � �A � z

Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:

�A � Aρ ρ � Aφ φ � Azz

y su norma es�� A �� A � �A �

A2

ρ � A2φ � A2

z .

En el caso particular del vector de posición (que natural-mente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo

tanto tiene sólo componentes a lo largo del plano definidopor ρ y z)

X

Y

Z

ρ

Z

r

se tiene:

�r � ρρ � zz

y su norma es:�� r �� ρ2 � z2.

Destacamos nuevamente que el vector de posición �r notiene componente o proyección sobre el vector unitario φ(esto es �r � φ � 0), pero un vector cualquiera �A si podríatenerla (esto es �A � φ �� 0).

Proyectando �ρ � ρρ sobre los ejes OX y OY del sistemade coordenadas cartesiano asociado se obtiene la transfor-mación de coordenadas que nos lleva de las coordenadascilíndricas a las cartesianas:

x � ρ cosφy � ρ sinφz � z

Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.


X

Y

ρ

Z

φ

y usando que tan�φ � � y � x y que ρ2 � x2 � y2 sigue que,

para el primer cuadrante, la transformación inversa en elcaso del I cuadrante es:

φ � arctan�y � x �

ρ � x2 � y2

z � z �Hay que tener cierto cuidado para otros cuadrantes, puespor ejemplo en el caso del tercer cuadrante, donde ambosx e y son negativos, el cociente y � x da el mismo valor quepara el primer cuadrante y la transformación anterior noresulta válida. En este caso se tiene:

φ � arctan�y � x � � π

ρ � x2 � y2

z � z �

1.1.3. Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es muy sim-ilar al sistema de coordenadas que permiten ubicar unpunto geográfico sobre la superficie de la Tierra. Se de-fine una superficie esférica imaginaria de radio r, concén-trica al origen de un sistema de coordenadas cartesiano.La distancia de un punto en la superficie al origen es lacoordenada r. La ubicación del meridiano que contieneel punto se realiza mediante un ángulo φ medido, en elplano de las XY, a lo largo de la intersección de la superfi-cie esférica con el meridiano. Finalmente la ubicación delparalelo que determina la ubicación del punto se realizamediante un ángulo azimutal medido desde el eje z hastael punto mismo a lo largo del meridiano que lo contiene(ver Fig. ??).

f

f^

f^

{

X

Y

Z

q q^

r

r

r

^

Figura 1.3: Sistema de coordenadas esféricas.

Para describir vectores en este sistema de coordenadasse asigna una triada de vectores unitarios

�r � φ � θ � a lo

largo de las direcciones en que crecen r, φ y θ . Un vectorcualquiera �A tiene proyecciones sobre dichos ejes que sedenotan Ar � Aφ y Aθ respectivamente.

Ar � �A � rAθ � �A � θAφ � �A � φ

De modo que dicho vector se escribe:

�A � Ar r � Aφ φ � Aθ θ

y su norma es:�� A ��

A2

r � A2φ � A2

θ .

Un punto en dicho sistema de coordenadas queda determi-nado por las coordenadas de posición

�r� φ � θ � . Si embargo

el vector de posición mismo queda dado simplemente porla expresión:

�r � rr

ya que dicho vector no tiene componentes a lo largo delas direcciones φ ni θ . La norma del vector posición essimplemente:

�� r �� r2 � r.

En estas coordenadas las variables r, φ y θ varían entre:

r : 0 � � � ∞φ : 0 � � � 2πθ : 0 � � � π



La transformación que nos lleva de las coordenadas es-féricas a las cartesianas es:

x � �r sinθ � cosφ (1.1)

y � �r sinθ � sinφ (1.2)

z � r cosθ � (1.3)

como sigue del hecho que la proyección del vector deposición �r sobre el plano de las XY es r sinθ (ver figu-ra).

{{

{ {r sin sinq fr sin sinq

r sin cosfq

r cosq

r sinq

q {

r

X

Z

Y

Figura 1.4: componentes cartesianas en funcion de lasvariables esféricas.

Dependiendo del signo de x � y y z, hay ocho sectores de-nominados octantes. En el primer octante (x � t0, y � 0,x � 0) la transformación inversa es:

φ � arctan�y � x �

r � x2 � y2 � z2

θ � arccosz

x2 � y2 � z2�

y al igual que en el caso cilíndrico hay que tener los corre-spondientes cuidados de diferencia ángular al calcular φen otros octantes.

1.1.4. Elementos infinitesimales de área

A partir de los resultados expuestos es posible deducir ele-mentos de superficie dS para algunas situaciones geomet-ricas y que serán de utilidad en este curso:

Elemento de superficie sobre un disco plano. Co-mo se aprecia en la figura dS � largo � ancho ��dρ � � ρ dφ � � ρ dρ dφ .

{{ {rr

ds

d

=rdrdf

r

df

df

Elemento de superficie sobre el manto de un cilin-dro. Como se aprecia en la figura dS � alto � ancho ��dz � � ρ dφ � � ρ dφ dz.

Z

Y

X

{

df

{

rdf

f

{ r

{

d Z

ds=r ddf Z

Elemento de superficie sobre la superficie curvade una esféra. Como se aprecia en la figura dS ��r sinθdφ � � r dθ � � r2 sinθ dθ dφ .



{r sinq

q

ds = r sin d d2

q q f

dq{r

{

r dq

df

{

Z

X

Y

1.1.5. Elementos infinitesimales de volumen

A partir de los elementos infinitesimales de superficie (verfiguras previas) se pueden obtener elementos infinitesi-males de volumen para cada sistema de coordenadas. Es-tos son:

dV � dxdydz cartesianas

dV � ρ dρ dφ dz cilíndricas

dV � r2 sinθ dr dφ dθ esféricas

{{ {

{

{{

dx

x

dz

z

y dy

dv = dx dy dz

Figura 1.5: Elemento de volumen en cartesianas

ds=r ddf Z

dv = ds dl = d d dzr r f

{ dr

Figura 1.6: Elemento de volumen en cilíndricas

dr

r dq

sin dr q f

Figura 1.7: Elemento de volumen en esféricas



Ejemplo:

1. Cálculo del volumen de un cilindro de radio R yaltura h.

Vol ��

dV ��

ρ dρ dφ dz

�� z � h

z � 0

� φ � 2π

φ � 0

� ρ � R

ρ � 0ρ dρ dφ dz

�� z � h

z � 0

� φ � 2π

φ � 0

R2

2dφ dz

�� z � h

z � 0

R2

22π dz

� hR2

22π dz

� πR2h

es decir es el área de un circulo de radio R por laaltura h.

2. Cálculo del volumen de una esféra de radio R.

Vol ��

dV ��

r2 sinθ dr dφ dθ

�� r � R

r � 0

� φ � 2π

φ � 0

� θ � π

θ � 0r2 sinθ dr dφ dθ

�� r � R

r � 0

� φ � 2π

φ � 02r2 dr dφ

�� r � R

r � 04πr2 dr

� 43

πR3

que efectivamente es el volumen de una esféra.

3. Ejercicio propuesto. Calcule el volumen de un cas-carón esférico de radio interior R y de grosor ∆R.Demuestre, a partir de su resultado obtenido vía in-tegracion, que para ∆R muy pequeño, dicho volumenes aproximadamente: 4πR2∆R. Deduzca a partir deeste resultado (considerando que dicho volumen esaproximadamente superficie por grosor) cuál sería lasuperficie de una esféra de radio R.

1.1.6. Elementos diferenciales de camino

Por ultimo a cada elemento de volumen se le puede aso-ciar un vector desplazamiento infinitesimal d �r. Este ele-mento de camino es el que interviene en (i) el cálculo deltrabajo que realiza una fuerza para mover un punto ma-terial desde un lugar a otro (ver nota 2) así como en (b)

2NOTA: Ejemplo de cálculo de trabajo: Considere la fuerza

�F � F0x2yL3 x � F0

xyL2 y que actúa sobre una partícula que se mueve sobre

el cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos(materia que Ud. vió en el curso Física I). En esos cálcu-los aparecen integrales de camino de la forma (ver nota3): �

�F � d �r �En estas integrales figura el elemento vectorial de caminod �r (o vector desplazamiento infinitesimal). Revisemos co-mo se escriben los elementos de camino en los tres sis-temas de coordenadas descritos anteriormente:

Elemento de camino en coordenadas cartesianas: Dela Fig. ?? es directo apreciar que:

d �r � dxx � dyy � dzz

{

{

{

{ {{

X

Z

Y

dzdx

dy

XY

Z

Figura 1.8: Elemento de camino en coordenadas carte-sianas.

una trayectoria parabólica dada por y � Kx2, partiendo desde el origenA � 0 � 0 � hasta una posición final B � L � KL2 � . Determine el trabajo que re-aliza ésta fuerza sobre la partícula.Solución: Como y � Kx2 sigue que dy � 2Kxdx. Luego d �r � dxx �dyy � dxx � 2Kxdxy. La fuerza evaluada sobre la trayectoria es:

�F � F0x2 � Kx2 �

L3 x � F0x � Kx2 �

L2 y

� F0K � 1L3 x4 x � 1

L2 x3y �El trabajo resulta:

WBA � �F � d �r� F0K � 1

L3 x4 x � 1L2 x3 y � �� dxx � 2Kxdxy �

� F0K � 1L3 L

0x4dx � 1

L2 L

02Kx4dx �

� F0KL2

5� 1 � 2KL �

3NOTA: También aparecen integrales de camino en el cálculo deotras cantidades de interés para este curso tales como la diferencia depotencial eléctrico, y la fuerza electromotriz o f.e.m. debida a campos deinducción magnética variables generados por cables que llevan corriente



Elemento de camino en coordenadas cilíndricas: Dela Fig. ?? es directo apreciar que:

d �r � dρρ � ρdφφ � dzz

r fd

{dz

dr

Figura 1.9: Elemento de camino en coordenadas cilíndri-cas.

Elemento de camino en coordenadas esféricas De laFig. ?? es directo apreciar que:

d �r � dr r � r sinθ dφ φ � r dθ θ

dr

r dqsin dr q f

Figura 1.10: Elemento de camino en coordenadas esférias.

Ejercicios:

1. Cálculo de trabajo: Considere una partícula quese mueve en círculo bajo la fuerza tangencial �F �

� F0φ

2π φ (una especie de fuerza elástica en que ladeformación es proporcional al ángulo). Calcule eltrabajo para mover la partícula desde φ � 0, hastaφ � φB.

Indicación: Introduzca el elemento de camino en co-ordenadas cilíndricas y calcule la integral de trabajo.

2. Calculo de trabajo: Una partícula se mueve sobreuna curva espiral descrita por

x � Rcosφy � Rsinφ

z � h2π

φ

en que φ es el ángulo de giro en coordenadas cilín-dricas, y ρ � R el radio de cilindro en estas mismascoordenadas. La curva sube en h en una vuelta (comose puede ver a partir de la transformación de coorde-nadas cuando φ cambia en 2π .)

Sobre la partícula actúa una fuerza: �F � F0 sin� 2π

h z � y.

Calcule el trabajo que realiza esta fuerza sobre lapartícula al cabo de n vueltas.

Indicación: Use coordenadas cartesianas (ya que lafuerza está en cartesianas) pero introduzca que d �r �dxx � dyy � dzz � � Rsinφ x � Rcosφ y � h

2π dzz co-mo sigue de diferenciar las ecuaciones que describenla curva espiral, esto es:

dx � � Rsinφ dφdy � Rcosφ dφ

dz � h2π

dφ

y reemplaze en la expresión para el trabajo. Calculeexplícitamente la integral.

Indicación: Si ud opta por usar coordenadas cilín-dricas (ya que la curva está descrita en coordenadascilíndricas), entonces haga uso de que y � � sinφ ρ �cosφφ , e introduzca esto en su expresión para lafuerza, y luego realize los productos punto e integre.

Por entregar el producto punto un valor escalar suresultado no debe depender de que sistema de coor-denadas utiliza para evaluarlo.



1.2. Repaso: Resultados impor-tantes de algebra vectorial

En este curso se requiere ciertos conocimientos previosdel algebra vectorial, que normalmente se revisan en uncurso de Fisica I (alias Mecánica de la partícula). En estasección y como repaso recordarmos como se definen estosproductos cuando los vectores se escriben en sistemas decoordenadas cartesianas, y algunas propiedades (que Ud.debe preocuparse de saber demostrar) que siguen de estasdefiniciones.

1.2.1. Producto escalar o producto punto:�A � �

B

Se mezclan dos vectores para obtener un escalar. Se definemediante:

�A � �B � AxBx � AyBy � AzBz (1.4)

Este producto es conmutativo:

�A � �B � �B � �A �El módulo del producto punto se relaciona con los módu-los de cada uno de los vectores que intervienen y el cosenodel ángulo θ que substienden entre ellos:

� �A � �B � � �� A � � � � �B � � � cosθ�

1.2.2. Producto vectorial o producto cruz:�A

� �B

Aquí se mezclan dos vectores para obtener un nuevo vec-tor. Una receta mnemotécnica práctica que da un resultadoequivalente a la definición formal es la que hace uso deldeterminante de una matriz de 3 � 3 en que las filas sonconstruida con los vectores unitarios

�x � y � z � , las compo-

nentes cartesianas del vector �A y las componentes carte-sianas del vector �B:

�A � �B � det

��x y z

Ax Ay Az

Bx By Bz

�� (1.5)

� �AyBz

� ByAz � x � � AxBz� BxAz � y

� � AxBy� BxAy � z

Propiedades

El producto cruz es anti-conmutativo

�A � �B � � �B � �A

El módulo de vecA � �B se relaciona con los módulosde cada uno de los vectores que intervienen y el senodel ángulo θ que substienden entre ellos:

� �A � �B � � �� A � � � � �B �� sinθ�

Una propiedad que sigue de lo anterior es:

�A � �A � 0

Lo mismo ocurre para el producto cruz de dos vec-tores paralelos.

1.2.3. Ejercicios

Demuestre, usando las definiciones ?? y ?? del productoescalar y producto vectorial, que:

�A � �B � �A � �B (1.6)

�A � �B � � �B � �A (1.7)

�A � �A � 0 (1.8)

�A � ��B � �C � �

� �A � �B � � �C (1.9)

�A � ��B � �C � �

� �A � �C � �B �� A � �B � �C (1.10)

1.3. Nociones de Campo Escalar yCampo Vectorial

1.3.1. Campo Escalar

Entenderemos por un campo escalar a una aplicación de� 3 �. Es decir una aplicación que combina 3 valores

reales para dar 1 valor real.

Para los efectos prácticos de este curso un campo es-calar es una función real cuyo valor depende del punto

�r � � x � y � z � del espacio de coordenadas que se considere:

f� �r � � f

�x � y � z � coordenadas cartesianas

f� �r � � f

�ρ � φ � z � coordenadas cilíndricas

of� �r � � f

�r� θ � φ � coordenadas esféricas

Ejemplos familiares de campo escalar son la temperatu-ra sobre la superficie del globo terráqueo T � T

�r� θ � φ � ,

de la cual nos informamos diariamente en los programassobre el clima en televisión. En esos mismos programasse habla de zonas de presión alta y baja. Asociado a el-los están el campo de presión p � p

�r� θ � φ � que también

es un escalar. En estos ejemplos las coordenada r tomael valor de radio terrestre y las coordenadas θ y φ son



la localización geográfica de un punto sobre la superficieterrestre.

Otros campos escalares importantes son:

la densidad de número n � n� �r � definida co-

mo la cantidad de partículas dN que hay por unidadde volumen dV del espacio:

n � n�x � y � z � � lım

∆V � 0

∆N∆V

� dNdV

�

X

Y

Z

Figura 1.11: Densidad de masa. Elemento de masa y devolumen.

la densidad de masa ρm, definida como la can-tidad de masa que hay por unidad de volumen dV delespacio:

ρm � ρm�x � y � z � � lım

∆V � 0

∆M∆V � dM

dV�

un campo escalar importante en este curso esla densidad de carga eléctrica, definidacomo la cantidad de carga dQ que hay por unidad devolumen dV del espacio:

ρq � ρq�x � y � z � � lım

∆V � 0

∆Q∆V

� dQdV

�

Que estas funciones son campos se aprecia porque ellastoman distinto valor dependiendo de la posición �r del es-pacio que se considere.

Ejemplos y ejercicios

Campo que varía uniformemente con la direcciónx. Considere un campo escalar f cuya dependenciaen�x � y � sólo se da a través de la variable x. Veamos

una gráfica de dicho campo escalar. En la gráfica lasdensidades más bajas se representan en colores más

oscuros y las densidades más altas en colores másclaros:

f�x � y � � x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Campo escalar que varía tanto con x como con y.Un campo que varía lo largo de planos inclinados en45o respecto del eje y:

f�x � y � � x � y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

La densidad del aire que rodea la tierra puede de-scribirse en coordenadas esféricas aproximadamentepor una expresión de la forma:

ρm�r� θ � φ � � ρ0e

�� r � RT �� L �en que RT � 6400 [km] es el radio terrestre, y L esuna distancia característica en que varia la densidad.

Considere que L � 10 [km] y evalue cuanto dismin-uye la densidad a una distancia de 1 radio terrestresobre la superficie del suelo.

El campo de temperatura en torno a un cable calienterecto, ubicado a lo largo del eje z y sometido atemperatura T0, calienta el espacio en torno de él.Este calentamiento está dado aproximadamente por



la siguiente expresión evaluada en un cierto instantede tiempo:

T� �r � � T0e

� ρ2 � L2 � T0e� x2 � y2

L2

La longitud L es una función del tiempo que mide ladistancia característica que ha alcanzado a calentar elcable en torno de él. Un gráfico de la distribución detemperatura en torno al cable corresponde a la sigu-iente figura, para el caso L � 1:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

La figura siguiente corresponde a un las curvasde iso-temperatura (misma temperatura) en coorde-nadas cilíndricas:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1.3.2. Campos vectoriales

Entenderemos por campo vectorial a una función de� 3 � 3. Es decir una aplicación que combina 3 valores reales

para dar 3 valor reales.

Para los efectos prácticos de este curso un campo vectori-al es una función vectorial cuyo valor depende del punto

�r � � x � y � z � del espacio que se considere. Por ejemplo encoordeandas cartesianas:

�f � �r � � �f � x � y � z �� fx

�x � y � z � x � fy

�x � y � z � y � fz

�x � y � z � z

Note que a partir de la definición anterior queda claro queun campo vectorial tiene por componentes 3 campos es-calares (en este caso los campos fx � fy y fz).

Similarmente si el campo vectorial está descrito en coor-denadas cilíndricas:

�f � �r � � �f � ρ � φ � z �� fρ

�ρ � φ � z � ρ � fφ

�ρ � φ � z � φ � fz

�ρ � φ � z � z

y similamente si está descrito en coordenadas esféricas:

�f � �r � � �f � r � φ � θ �� fr

�r � φ � θ � r � fφ

�r� φ � θ � φ � fθ

�r� φ � θ � θ

Ejemplos

Un ejemplo familiar de campo vectorial es el campo develocidades de un fluído. La figura de a continuaciónmuestra el caso del llamado flujo de Poiseuille, o flujo enun canal de sección uniforme:

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.12: Representación gráfica del campo vectori-al asociado al flujo de Poiseuille (flujo a lo largo de uncanal).

Este flujo está descrito por la expresión

�f � 4v0

L2 y�y � L � x

en que v0 es la rapidez del fluido al centro del canal yL la separación entre las paredes del canal. En este casolas paredes del canal corresponden a los bordes superior einferior del dibujo.

Otras situaciones posibles y que exhiben el tipo de camposque serán de interés en este curso son:



Un sumidero: �f � �r � � � �r � � ρρ � � xx � yy

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.13: Representación gráfica del campo vectorialasociado a un sumidero de fluido.

Una fuente: �f � �r � � �r � ρρ � xx � yy

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.14: Representación gráfica del campo vectorialcorrespondiente a una fuente de flujido centrada en el ori-gen

Un vórtice: �f � z � �r � � yx � xy

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 1.15: Representación gráfica del campo vectorialcorrespondiente a un vórtice de fluido

1.3.3. Elementos de masa y carga

Elemento de masa dM . A partir de la densidad de masay los elementos de volúmen en los diferentes sistemas decoordenadas se obtiene:

dM � ρm dV

� ρm dxdydz (cartesianas)

� ρm ρ dρ dφ dz (cilíndricas)

� ρm r2 sinθ dr dθ dφ (esféricas)

Elemento de carga dQ . A partir de la densidad de car-ga y los elementos de volúmen en los diferentes sistemasde coordenadas se obtiene:

dQ � ρq dV

� ρq dxdydz (cartesianas)

� ρq ρ dρ dφ dz (cilindricas)

� ρq r2 sinθ dr dθ dφ (esféricas)

Ejercicios

Suponga que la masa M de un cilindro maciso de ra-dio a y altura h está distribuida uniformemente sobreel volumen de éste, de modo que la densidad de masaes uniforme. Use que en este caso, por ser la densi-dad uniforme, se cumple ρm � dM

dV � MV , donde V es

el volumen del cílindro, para determinar una expre-sión para la densidad de éste.

Repita su ejercicio anterior pero considerando unaesféra de radio a y masa M.

Considere un cilindro de radio a y altura h, con masatotal M, cuya masa esta distribuída de acuerdo a ladensidad

ρm�z � � A

zh

(i) Determine la constante A integrando la densi-dad de masa e imponiendo que ésta integraldebe ser igual a la masa total M del cilindro.Es decir imponiendo M � �

ρm dV .

(ii) A partir de su resultado y usando la expresiónpara la densidad determine cuanto vale la den-sidad de masa en la parte superior del cilindro(z � h).



1.3.4. Derivadas parciales de campos es-calares

A pesar de que este curso tiene como requisito inscribirparalelamente el Cálculo III conviene enfatizar aquíla notación que se usará en cuanto a derivación parcial.

Cartesianas: Entendemos por derivada parcíal, en elpunto

�x � y � z � , respecto a la variable x de una función es-

calar f�x � y � z � a:

∂ f∂x � lım

∆x � 0

f�x � ∆x � y � z � � f

�x � y � z �

∆x�

Del mismo modo la derivación parcial respecto de la vari-able y sería:

∂ f∂y� lım

∆y � 0

f�x � y � ∆y � z � � f

�x � y � z �

∆y�

Sigue en forma natural una relación similar para laderivación respecto de la variable z.

∂ f∂ z� lım

∆z � 0

f�x � y � z � ∆z � � f

�x � y � z �

∆z�

Cilíndricas: La derivación respecto de la variable ρ(coordenadas cilíndricas) de una función escalar f

�ρ � φ � z �

está definida como:

∂ f∂ρ � lım

∆ρ � 0

f�ρ � ∆ρ � φ � z � � f

�ρ � φ � z �

∆ρ�

Del mismo modo la derivación parcial respecto de la vari-able φ sería:

∂ f∂φ � lım

∆φ � 0

f�ρ � φ � ∆φ � z � � f

�ρ � φ � z �

∆φ�

La derivación respecto de la variable z no cambia respectode la definición en cartesianas.

Esféricas: La derivación respecto de la variable r (co-ordenadas esféricas) de una función escalar f

�r� φ � θ � está

definida como:

∂ f∂ r� lım

∆r � 0

f�r � ∆r� θ � φ � � f

�r� θ � φ �

∆r�

Del mismo modo la derivación parcial respecto de la vari-able θ sería:

∂ f∂θ � lım

∆θ � 0

f�r � θ � ∆θ � φ � � f

�r � θ � φ �

∆θ�

La derivación respecto de la variable φ toma la mismaforma que en cilindricas:

∂ f∂φ � lım

∆φ � 0

f�r � θ � φ � ∆φ � � f

�r � θ � φ �

∆φ�

Ejemplos y Ejercicios:

Cálculo de la derivada de f�x � y � z � � xy2 respecto de

la coordenada x:

∂ f∂x � ∂

∂x

�xy2 �

� � ∂x∂x� y2 � x

� ∂∂x

y2 �� 1y2 � x0

� y2

Cálculo de la derivada de f�x � y � z � � x2 � y2 � z2

respecto de z:

∂ f∂ z � 1

2 x2 � y2 � z2

∂∂ z

�x2 � y2 � z2 �

� 1

2 x2 � y2 � z2

�2z �

� z

x2 � y2 � z2

Calcule la derivadas:

∂x∂x

� ?

∂x∂y

� ?

∂ρ∂θ � ? (cilíndricas)

∂φ∂ z

� ? (cilíndricas)

∂φ∂θ � ? (esféricas)

∂ r∂θ � ? (esféricas)

En el caso que se mezcla coordenadas hay que tenercierto cuidado. Por ejemplo vea lo que pasa cuandose desea calcular ∂ r

∂ x . Aquí usamos que r � �� r � � � x2 � y2 � z2 y se hace:

∂ r∂x � ∂

∂x x2 � y2 � z2

� x

x2 � y2 � z2

� xr�

Calcule las derivadas (usando que r � �� r ��



x2 � y2 � z2) de:

∂ r∂y � ?

∂ r∂ z � ?

∂∂y

1r � ?

∂∂ z

r2 � ?

∂∂x

lnr � ?

1.3.5. Derivadas parciales de campos vecto-riales

La derivada parcial respecto de una variable x de una fun-ción vectorial �f � fx

�x � y � z � x � fy

�x � y � z � y � fz

�x � y � z � z es:

∂∂x�f � ∂

∂x

�fxx � fyy � fzz �

� ∂∂x

�fxx � � ∂

∂x

�fyy � � ∂

∂x

�fz z �

� ∂ fx

∂xx � ∂ fy

∂xy � ∂ fz

∂xz

Idem si se deriva �f respecto de y:

∂∂y�f � ∂ fx

∂yx � ∂ fy

∂yy � ∂ fz

∂yz �

Notar que al hacer estas derivadas los vectores unitariosse consideraron como constantes.

Hay que tener un cierto cuidado cuando se hace derivadasde este tipo para otros sistemas de coordenadas, por ejem-plo al derivar el vector �r respecto de la variable φ en co-ordenadas cilindricas:

∂ �r∂φ � ∂

∂φ�ρρ � zz �

� ∂∂φ�ρρ � � ∂

∂φ�zz �

� � ∂ρ∂φ

ρ � ρ∂ ρ∂φ� � ∂

∂φ�zz �

� �0 ρ � ρ

∂ ρ∂φ� � 0 z

Notar que aqui se ha usado la regla del producto aplicadaa la combinación ρρ, y se ha usado que ∂ ρ

∂ φ � 0 por ser r yφ variables independientes en el sistema de coordenadascilindrico. Idem para ∂ z

∂ φ � 0. Por último en este ejerci-cio falta calcular explícitamente como varía el vector uni-tario ρ cuando se varía la coordenada φ ; lo más adecuado

aquí es escribir las componentes cartesianas del vector ρexplícitamente en coordenadas cílindricas, usando comovectores unitarios los cartesianos

�x � y � z � :

ρ � cosφ x � sinφ y �Puesto que los vectores x � y y z son constantes, la derivada∂ ρ∂ φ es simplemente:

∂ ρ∂φ � ∂

∂φ�cosφ x � � ∂

∂φ�sinφ y �

� � ∂∂φ

cosφ � x � � ∂∂φ

sinφ � y� � sinφ x � cosφ y

� φ

de modo que finalmente:

∂ �ρ∂φ � ρφ �

Ejercicios:

Calcule (escribiendo adecuadamente las compo-nentes cartesianas) las derivadas de los siguientesvectores unitarios:

∂ φ∂φ � ? (cilindricas)

∂ r∂φ � ? (esféricas)

∂ r∂θ � ? (esféricas)

1.4. Diferencial y Gradiente de uncampo escalar

El diferencial de un campo escalar se define como la difer-encia de valor de la función entre dos puntos separadosinfinitesimalmente en d �r:

d f � f� �r � d �r � � f

� �r �Coordenadas cartesianas. En el caso de una sóla vari-able (por ejemplo x) el diferencial es simplemente d f �d fdx dx, sin embargo cuando hay más de una variable sedebe derivar con respecto a cada una de ellas. El diferen-cial de un campo escalar en coordenadas cartesianas es:

d f � ∂ f∂x

dx � ∂ f∂y

dy � ∂ f∂ z

dz

� � ∂ f∂x

x � ∂ f∂y

y � ∂ f∂ z

z � � � dxx � dyy � dzz �� ∇ f � d �r



En que hemos introducido la siguiente notación vectorial

∇ f � ∂ f∂x

x � ∂ f∂y

y � ∂ f∂ z

z

Coordenadas cilíndricas De la misma manera se puedeproceder en el caso de coordenadas cilíndricas. El difer-encial de un campo escalar es:

d f � ∂ f∂ρ

dρ � ∂ f∂φ

dφ � ∂ f∂ z

dz

� ∂ f∂ρ

dρ � 1ρ

∂ f∂φ

�ρ dφ � � ∂ f

∂ zdz

� � ∂ f∂ρ

ρ � 1ρ

∂ f∂φ

φ � ∂ f∂ z

z � � � dρ ρ � ρ dφ φ � dz z �� ∇ f � d �r

En que luego de identificar el diferencial de camino en co-ordenadas cilíndricas hemos introducido la siguiente no-tación vectorial:

∇ f � ∂ f∂ρ

ρ � 1ρ

∂ f∂φ

φ � ∂ f∂ z

z

Coordenadas esféricas Para el caso de coordenadas es-féricas se tiene:

d f � ∂ f∂ r

dr � ∂ f∂θ

dθ � ∂ f∂φ

dφ

� ∂ f∂ r

dr � 1r

∂ f∂θ

�r dθ � � 1

r sinθ∂ f∂φ

�r sinθ dφ �

� � ∂ f∂ r

r � 1r

∂ f∂θ

θ � 1r sinθ

∂ f∂φ

z � ��dr r � r dθ θ � r sinθ φ �

� ∇ f � d �rEn que luego de identificar el diferencial de camino encoordenadas esféricas hemos introducido la siguiente no-tación vectorial:

∇ f � ∂ f∂ r

r � 1r

∂ f∂θ

θ � 1r sinθ

∂ f∂φ

φ

1.4.1. Operador gradiente

Con el objeto de resumir conviene introducir un nuevooperador vectorial que se construye con las derivadas par-ciales. Este es el operador gradiente o nabla:

∇ �� x ∂

∂ x � y ∂∂ y � z ∂

∂ z (cartesianas)

ρ ∂∂ ρ � φ 1

ρ∂

∂ φ � z ∂∂ z (cilndricas �

r ∂∂ r � θ

r∂

∂ θ � φr sinθ

∂∂ φ (es f ricas �

con esto el diferencial d f queda:

d f � ∇ f � d �r

Significado del operador ∇ o gradiente aplicado a uncampo escalar El operador gradiente o ∇ recién intro-ducido, cuando es aplicado a un campo escalar, permiteobtener un vector que apunta (localmente, es decir en ca-da posición �r) en la dirección que crece más rapidamenteel campo escalar.

Para el ejemplo f� �r � � x, propuesto en la sección ??, el

gradiente vale:

∇ f � x∂∂x

x � x

de modo que el campo escalar crece en la dirección x demanera uniforme.

Para el ejemplo f� �r � � x � y propuesto en esa misma sec-

ción el gradiente vale:

∇ f � x∂∂x

�x � y � � y

∂∂y

�x � y �

� x � y

indicando que el campo tambien crece en forma uniforme,pero en dirección 45o respecto del eje de las x.

En el caso de la fórmula aproximada para la densidaddel aire con la altura, que vimos en la seccion ??, encon-tramos:

∇ρm � r∂∂ r

ρ0e�� r � RT �� L

� � rρ0

Le� � r � RT �� L

indicando que el aumento de densidad ocurre contra ladirección radial r y la tasa a lo cual ocurre esto dependede la coordenada radial r.

Por último en el ejemplo del calentamiento en torno a uncable delgado orientado a lo largo del eje z (que tambiénvimos en esa misma sección), el gradiente de la temper-atura obedece:

∇T � ρ∂

∂ρT0e

� ρ2 � L2 � � T02ρL2 e

� ρ2 � L2ρ

mostrando que el aumento de temperatura ocurre radial-mente hacia el cable, y este aumento depende de la dis-tancia radial ρ al cable.

1.4.2. Ejercicios

hallar ∇Φ (usando coordenadas cartesianas y coor-denadas esféricas) para:

1. Φ � lnr � ln�� r ��

2. Φ � rn � �� r �� nDemuestre que

∇�ΨΦ � � � ∇Ψ � Φ � Ψ

�∇Φ �



Considere que Φ � Φ�r � , es decir el campo escalar

depende exclusivamente de la coordenada radial r(esféricas). Muestre que en este caso:

∇Φ � f � � r � rCalcule ∇Φ, usando coordenadas cartesianas, paralos siguientes campos escalares:

1. Φ � �� r � �r0

� �2. Φ � 1� � �

r � �r0� �

3. Φ � ln � �� r � �r0

�� 4. Φ � �� r � �r0

� � n

1.4.3. Un primer teorema

La integral sobre un camino cualquiera del gradiente deuna función escalar, es igual a la diferencia de la funciónevaluada entre los extremos de dicho camino (ver nota4).

fB� fA �

� B

A∇ f � d �r

Que el teorema se cumple se verifica directamente puesd f � ∇ f � d �r, luego:� B

A∇ f � d �r �

� B

Ad f � f

� BA � fB

� BA

Aplicación: Obtención del trabajo para fuerzas con-servativas.

Si un fuerza es conservativa entonces existe una funciónescalar U tal que �F � � ∇U , en que U es el llamado poten-cial asociado a dicha fuerza. El potencial U � U

� �r � es uncampo escalar que tiene dimensiones de energía. Se tiene:

WBA �� B

A�F � d �r

� �� B

A∇U � d �r

� �� B

AdU � � � UB

� UA � � � ∆BAU

Ejemplo

Considere el potencial U � F0 � � x � x0 � 2 � 2xy � . La fuerzaasociada a este potencial es

�F � � ∇U � � ∂U∂x

x � ∂U∂y

y � ∂U∂ z

z

� � F0 � 2 � x � x0 � � 2y � x � 2F0xy

4NOTA: Por supuesto la validez de este teorema depende de cuanderivable sea la función y cuan suave sea el camino de integración. Cál-culo III

Evalúe el trabajo de esta fuerza al ser aplicada sobre unobjeto qeu se mueve desde un punto A

�3 � 2 � 0 � hasta un

punto B�1 � 2 � 0 � (en metros). Considere x0 � 2 [m] y F0 �

20 [N]. Solución:

Haciendo la integral en forma directa: Usamos que elcamino se caracteriza por y � 2, y que luego dy � 0

WBA ��F � d �r

��

� F0 � � 2 � x � x0 � � 4 �� x � 2F0 � � � dxx �� F0

� B

A� 2 � x � 2 � � 4 � dx

� � F0

� B

A2xdx

� � F0 x2�� BA

� � F0

� x � 1x � 3

� 160 � N �Evaluándo el negativo de la diferencia de energía po-tencial U:

WBA � � � UB� UA �

� � � F0 � � 1 � 2 � 2 � 2 � 1 � 2 �� F0 � � 3 � 2 � 2 � 2 � 3 � 2 � �

� � 5F0 � 13F0 � 8F0 � 160[N]

Que efectivamente es el valor obtenido por integración di-recta.

1.4.4. Trabajo sobre un camino cerrado deuna fuerza conservativa

Una consecuencia interesante del teorema es que la in-tegral de trabajo sobre un camino cerrado de una fuerzaconservativa es automáticamente nula:

�F � d �r � �

∇U � d �r � � � UA� UA � � 0

ya que al ser la integral sobre un camino cerrado el puntofinal B coincide con el punto inicial A.

1.4.5. Circulación de un campo vectorial

Es importante observar que esto no es cierto para todaslas fuerzas, esto ocurre sólo en el caso de las conservati-vas. Cuando las fuerzas son NO CONSERVATIVAS, laintegral resultante es no nula. Llamaremos a esta inte-gral la circulación del campo de fuerzas o



circulación Γ de un campo vectorial �fΓ �

�f � d �r

En lo que sigue deduciremos un importante teorema aso-ciado a este tipo de integrales: el Teorema de Stokes, peropreviamente conviene revisar los conceptos asociados alas integrales de superficie:

1.4.6. Integrales de superficie

Flujo de un campo vectorial

Una tipo de integración importante de un campo vectorial�f � �f � �r � es el llamado flujo Φ f del campo vectorial. Estaintegración está definida como:

Φ f ��

�f � �r � � d �Sdonde d �S � dSn es un vector que está construido co-mo un elemento infinitesimal de área multiplicando a unvector unitario orientado en forma exterior al volumendefinido por la superficie y perpendicularmente a la su-perficie (vector normal a la superficie). La figura siguientemuestra distintos elementos de superficie de una superfi-cie cubica de acuerdo a sus distintas caras.

Figura 1.16: Superficies de integración infinitesimales so-bre las caras de un cubo

Orientación del vector unitario n Un aspecto impor-tante a considerar (y que tendrá importancia posterior) escomo definir la orientación del vector unitario n cuando la

superficie no es cerrada (en cuyo caso no es posible distin-guir que es exterior e interior). La regla es darse el sentidoen que es recorrido el camino � que delimita el borde dela superficie. La dirección de n es definida de acuerdo ala regla de la mano derecha al recorrer dicho camino (verfigura)

Figura 1.17: Trayectoria cerrada que delimita una super-ficie. La orientación de d �S es “exterior” de acuerdo a laregla de la mano derecha respecto al sentido en que serecorre dicho camino.

Aún no se ha resuelto la ambiguedad de la dirección de n,pero en cambio se ha especificado una regla para elegirlocuando el borde de la superficie esta delimitado por uncamino que es recorrido en un sentido dado.

1.4.7. Circulación de un campo vectorial yteorema de Stokes

Consideremos primero la circulación del campo �f sobreel camino que describe la figura siguiente:

ff

f

Figura 1.18: Circulación de un campo vectorial



Es claro que dicha circulación se puede escribir como lacirculación de dos caminos que tienen parte de su trayec-toria en común, pero en que el segmento común es recorri-do en direcciones opuestas (y por lo tanto la contribuciónde dicho segmento por ambas integrales se cancela):

A

B

Figura 1.19: El camino cerrado se construye con doscaminos que delimitan la misma trayectoria

Se cumple:

��f � �r �

�

1

�f � d �r �

�

2

�f � d �r

Este argumento se puede externder al particionar fina-mente una superficie de forma arbitraria en N elementosde superficie

��f � d �r �

�

1

�f � d �r �

�

2

�f � d �r � � � �

�

N

�f � d �r

�N

∑i � 1

�

i

�f � d �r (1.11)

es decir la integral de camino sobre el circuito exterior sepuede escribir como una suma sobre pequeños caminoscuadrados distribuidos en toda la superficie que delimitael camino exterior

Figura 1.20: El camino exterior ha sido reemplazado porN caminos rectangulares.

En lo que sigue veremos que estas integrales sobre pe-queños caminos cuadrados al interior de la superficie sepueden reescribir en término de: (a) la superficie de loscuadrados y (b) derivadas del campo �f . La integral totalde circulación se reescribira a su vez como una integral desuperficie (el llamado “Teorema de Stokes”).

Para motivar este resultado veamos qué es la integral decamino sobre un camino cerrado cuadrado pequeño cuan-do éste está contenido en el plano de las XY . Se tiene quela integral sobre el circuito cerrado se puede descompon-er en cuatro integrales de línea sobre los segmentos rectosque forman el camino.

( x, y, z )

( x,y+ y, z )D

( x x, y, z )+D

X

Y

Z

X

Figura 1.21: Trayectoria rectangular paralela al plano XY

Llamemos a estos segmentos rectos � a, � b, � c y � d . Laintegración se puede escribir

�f � d �r ��

�a

�f � d �r ��

�

b

�f � d �r��

�c

�f � d �r ��

�

d

�f � d �r



Haciendo uso de que en los segmentos � a y � c se tiened �r � dxx, y que que en los segmentos � b y � d se tiened �r � dyy, las integrales quedan:

��

a

�f � d �r �� x � ∆x

xfx�x � y � dx

� fx�x � y � ∆x�

�

b

�f � d �r �� y � ∆y

xfy�x � ∆x � y � dy

� fy�x � ∆x � y � ∆y�

�c

�f � d �r �� x

x � ∆xfx�x � y � ∆y � � � dx �

� � fx�x � y � ∆y � ∆x�

�

d

�f � d �r �� y

y � ∆yfy�x � y � dy

� � fy�x � y � ∆y

La integral total queda:�f � d �r � fx

�x � y � ∆x � fy

�x � ∆x � y � ∆y

� fx�x � y � ∆y � ∆x � fy

�x � y � ∆y

� � fy�x � ∆x � y � � fy

�x � y � � ∆y

� � fx�x � y � ∆y � � fx

�x � y � � ∆x

��

fy�x � ∆x � y � � fy

�x � y �

∆x

� fx�x � y � ∆y � � fx

�x � y �

∆y � ∆x∆y

� � ∂ fy

∂x

� ∂ fx

∂y � ∆x∆y

� � ∂ fy

∂x

� ∂ fx

∂y � ∆Sz

en que hemos definido la superficie ∆Sz � ∆x∆y.

Z

X

Y

( x, y, z )+ zD

( x,y+ y, z )D

( x, y, z )

Figura 1.22: Trayectoria rectangular paralela al plano YZ

Un cálculo análogo para el camino propuesto en la Fig. ??entrega: �

�f � d �r � � ∂ fz

∂y� ∂ fy

∂ z � ∆y∆z

� � ∂ fz

∂y� ∂ fy

∂ z � ∆Sx �en que hemos definido la superficie ∆Sx � ∆y∆z.

Z

Y

X

( x x, y, z )+D

( x, y, z )+ zD

( x, y, z )

Figura 1.23: Trayectoria rectangular paralela al plano ZX

Si se considera el cámino propuesto en la Fig. ?? se ob-tiene: �

�f � d �r � � ∂ fx

∂ z� ∂ fz

∂x � ∆x∆z

� � ∂ fx

∂ z� ∂ fz

∂x � ∆Sy �en que hemos definido la superficie ∆Sy � ∆x∆z.

Definiendo un vector de superficie ∆ �S con componentesvectoriales:

∆Sx � ∆y∆z

∆Sy � ∆z∆x

∆Sz � ∆x∆y

la integración en un camino rectangular con dirección narbitraria para el vector ∆ �S, queda:

�f � d �r � � ∂ fz

∂y� ∂ fy

∂ z � ∆Sx

� � ∂ fx

∂ z� ∂ fz

∂x � ∆Sy

� � ∂ fy

∂x

� ∂ fx

∂y � ∆Sz

��∇ � �f � � ∆ �S



en que en la última línea, para simplificar la notación,hemos hecho uso del producto vectorial (producto cruz)que repasamos en ?? y del operador ∇ (gradiente) recien-temente introducido.

Volviendo al resultado obtenido en la expresión (??) y us-ando el resultado recien obtenido podemos escribir paraun camino arbitrario:

��f � d �r �

N

∑i � 1

�

i

�f � d �r (1.12)

�N

∑i � 1

�∇ � �f �

i� ∆ �Si (1.13)

expresión que en el límite de un reticulado muy fino(N ∞) se reduce a una integración de superficie,lo que se conoce como Teorema de Stokes:

�f � d �r ��

∇ � �f � � d �S (1.14)

la expresión ∇ � �f se conoce como el rotor delcampo vectorial �f .

Notación práctica para el rotor en coordenadas carte-sianas: Una manera cómoda y util de anotar el rotor encoordenadas cartesianas es:

∇ � �f � det

��x y z∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

fx fy fz

�� ∂ fz

∂y

� ∂ fy

∂z � x

� � ∂ fz

∂x� ∂ fx

∂ z � y

� � ∂ fy

∂x� ∂ fx

∂y � z

Notación práctica para el rotor en coordenadas cilín-dricas:

∇ � �f � 1ρ

det

��ρ ρ φ z∂

∂ ρ∂

∂ φ∂∂ y

fρ ρ fφ fz

��Notación práctica para el rotor en coordenadas esféri-cas:

∇ � �f � 1r2 sinθ

det

��r r θ r sinθ φ∂∂ r

∂∂ θ

∂∂ φ

fr r fθ r sinθ fφ

��

Consecuencia importante: El rotor de una fuerza con-servativa es nulo.

Si se considera una fuerza conservativa �F , sabemos quese tiene � �F � d �r � 0 sobre cualquier camino. Usando elTeorema de Stokes se concluye que

�F � d �r ��

∇ � �F � � d �S � 0

puesto que el camino es arbitrario y también la forma de lasuperficie de integración, sique que, para una fuerza con-servativa, el integrando debe ser nulo.

Esto es∇ � �F � 0 (1.15)

si la fuerza �F es conservativa.

Un ejemplo de esto es la fuerza elástica que experimentauna partícula ubicada en �r debido a un resorte muy blan-do que está fijo en �r0 (ejercicio propuesto, verificar que∇ � �F � 0, para esta fuerza):

�F � � k� �r � �r0 �

y la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas M ym

�F � � GMmr2 r (esféricas)

en que en este último caso hemos supuesto la masa Mubicada en el origen del sistema de coordenadas.

Un resultado similar seguirá para la fuerza eléctrica entre2 cargas q1 y q2 (nuevamente hemos supuesto una de lascargas ubicada en el origen del sistema de coordenadas):

�F � Kq1q2

r2 r esféricas

Ejercicios y Ejemplos

1. Considere �f � �r � � �r. Calcule ∇ � �f . Es decir ∇ � �r.Usando �f � xx � yy � zz se tiene:

∇ � �f � det

��x y z∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

x y z

�� ∂ z

∂y� ∂y

∂ z � x

� � ∂ z∂x

� ∂x∂ z � y

� � ∂y∂x

� ∂x∂y � z

� 0

2. Para el campo anterior determine explícitamente lacirculación sobre un camino cuadrado de lado con-tenido en el plano XY y que tiene un vértice en elpunto

�0 � 0 � y el vértice opuesto en el punto

�a � a � .



3. Considere el campo que describe el siguiente sum-idero: �f � � xx � yy. Verifique que dicho campo tienerotor nulo.

4. Considere el campo que describe la siguiente fuente:�f � xx � yy. Verifique que dicho campo tiene rotornulo.

5. Verifique que las fuerzas el;astica, gravitacional yeléctrica, descritas mas arriba son conservativas (esdecir tienen rotor nulo). Para el caso de la eléctricaverifique que la siguiente funcion potencial

U� �r � � Kq1q2

r

permite obtener dicha fuerza al calcular su gradiente( �F � � ∇U).

6. Considere ahora el vórtice: �f � � yx � xy. Verifiqueque el rotor de dicho campo no es nulo.

7. Considere el campo descrito por el flujo dePoiseuille: �f � 4v0

L2 y�L � y � x. Verifique que el rotor

de este no es nulo.

8. Considere un campo de la forma �f � f�ρ � ρ , muestre

que el rotor de este campo es nulo para cualquier de-pendencia de f con ρ .

9. Considere un campo de la forma �f � f�ρ � φ . Estudie

en que condiciones podria el rotor no ser nulo.

10. El campo magnético de un cable recto, orientado a lolargo del eje z y que lleva corriente I, está dado por:

�B � �r � � µ0I

2πρφ

Determine el rotor de este campo y muestre que esnulo en todas partes excepto en el origen (donde laderivadas no estan definidas pues el campo divergepara ρ � 0).

11. Demuestre las siguientes identidades:

a) ∇�ΨΦ � � Ψ∇Φ � Φ∇Ψ

b) ∇ � � Ψ �f � � Ψ�∇ � �f � � � ∇Ψ � � �f

c) ∇ � � ∇Ψ � � 0

d) ∇� �f � �g � � � �f � ∇ � �g � � �g � ∇ � �f � �f � � ∇ � �g � ��g � � ∇ � �f �

1.4.8. Integración sobre superficies cer-radas y el Teorema de la Divergencia

Un teorema que tendrá mucho interés en este curso esel llamado teorema de la divergencia que rela-ciona integrales de superficie (de campos vectoriales)sobre superficies cerradas, con integraciones sobre elvolumen encerrado por las superficies en cuestión (dederivadas de dichos campos vectoriales):

�f � d �S �

�∇ � �f dV

donde

∇ � �f � ∂ fx

∂x� ∂ fy

∂y� ∂ fz

∂ z

(expresado aquí en coordenadas cartesianas) se conocecomo la divergencia del campo �f .

Argumentemos sobre la validez de este teorema. Primeroveamos que ocurre con la integración de � �f � d �S sobrela superficie que delimita un vólumen con forma de par-alelepípedo recto.

S

ds

ds

ds

ds

ds

ds

Es claro que dicha integración puede separarse en dosvolumenes disjuntos, haciendo uso de que en la cara encomún se tiene

�f � d �S1 � � �f � d �S2

ds1

ds2

S1

S2

ff



ya que los vectores normales exteriores n1 y n2 asociadosa la superficie en comun son opuestos (n1 � � n2). Comoconsecuencia la integral sobre el paralelepípedo se puedeseparar en una integración sobre dos paralelepípedos conuna superficie de contácto en común.

�f � d �S �

S1

�f � d �S1 �

S2

�f � d �S2

Extendiendo esta idea una superficie que encierra un volú-men se puede subdividir entonces en muchos pequeñosparalelepípedos que llenan ese volúmen. Se tiene:

�f � d �S � ∑

i � 1

Si

�f � d �Si

Lo importante ahora es ver que ocurre para cada uno delos parapelepípedos: La integral de superficie se puedeseparar en seis integrales sobre las superficies rectangu-lares de cada área plana asociada al paralelepípedo de lafigura:

( x, y, z )( x x, y, z )+D

Z

X

Y

( x,y+ y, z )D

( x,y+ y, z )D

( x, y, z )

( x, y, z )

Ds3

Ds2

Ds1

Ds4

Ds5

Ds6

Figura 1.24: Superficies de integración para un par-alelepípedo elemental

Los campos y las superficies elementales satisfacen:

∆ �S1 � ∆y∆zx �f1 � �f � x � ∆x � y � z �∆ �S2 � � ∆y∆zx �f2 � �f � x � y � z �∆ �S3 � � ∆x∆zx �f3 � �f � x � y � z �∆ �S4 � ∆x∆zx �f4 � �f � x � y � ∆y � z �∆ �S5 � � ∆x∆yx �f5 � �f � x � y � z �∆ �S6 � ∆x∆yx �f6 � �f � x � y � z � ∆z �

de modo que la integral de superficie se puede trabajar

para obtener una expresión más reducida:�f � d �S �

� �f � x � ∆x � y � z � � x � �f � x � y � z � � x � ∆y∆z

� � �f � x � y � ∆y � y � z � � y � �f � x � y � z � � y � ∆x∆z

� � �f � x � y � z � ∆z � � z � �f � x � y � z � � z � ∆x∆y

� �fx�x � ∆x � y � z � � fx

�x � y � z � � ∆y∆z

� �f � y

�x � y � ∆y � y � z � � fy

�x � y � z � � ∆x∆z

� �fz�x � y � z � ∆z � � fz

�x � y � z � � ∆x∆y

� fx�x � ∆x � y � z � � �f � x � y � z �

∆x∆x∆y∆z

� fx�x � y � ∆y � z � � �f � x � y � z �

∆y∆x∆y∆z

� fx�x � y � z � ∆z � � �f � x � y � z �

∆x∆x∆y∆z

� ∂ fx

∂xdv � ∂ fy

∂ydv � ∂ fz

∂ zdv

� � ∂ fx

∂x� ∂ fy

∂y� ∂ fz

∂ z � dv

� ∇ � �f dv

en esta expresión reducida (la última línea) hemos intro-ducido la siguiente notación

∇ � �f � ∂ fx

∂x� ∂ fy

∂y� ∂ fz

∂ z

resultado escalar llamado la divergencia de �f .

Como el resultado anterior se repite en cada paralelepípe-do al interior del volúmen resulta:

S�f � d �S � lım

n � ∞

N

∑i � 1

Si

�f � d �Si

� lımN � ∞

N

∑i � 1

�∇ � �f � dv

de donde sigue:

S�f � d �S �

�∇ � �f dv

Que establece el teorema de la divergencia: La integralde superficie del flujo de un campo vectorial �f sobre unasuperficie cerrada, es igual a la integral de la divergenciade dicho campo (∇ � �f ) sobre el volúmen encerrado pordicha superficie (ver nota5).

5Nota: para las condiciones de validez del teorema vea su curso deCálculo III



Ejercicios y ejemplos

1. Considere el campo �f � �r � � �r. Calcule ∇ � �fSolución

∇ � �r � ∂∂x

x � ∂∂y

y � ∂∂ z

z

� 1 � 1 � 1 � 3

2. Calcule, para el campo anterior,�

∇ � �f dv sobre unvolumen esférico de radio R centrado en el orígenSolución:�

∇ � �f dv ��

3dv

� 3� 43

πR3 � � 4πR3

3. Calcule, para este mismo campo �f � �r la integral so-bre la superficie de una esféra de radio R arbitrariocentrada en el origen.Solución:

�f � d �S ��

rr � dS n

��

Rn � dSn

� R�

dS

� R�4πR2 � � 4πR3

4. Considere el campo vectorial �f � y y. Calcule ∇ � �f .Calcule también la integral

�∇ � d �f dv sobre un cubo

de lado L con 3 de sus caras apoyadas en las superfi-cies XY , YZ, ZX de un sistema de coordenadas carte-siano. Verifique el teorema de la divergencia calcu-lando explícitamente

� �f � d �S sobre las caras de dichocubo.

Algunos resultados importantes

Identidad ∇ � � ∇Ψ � � 0. Si se aplica el teorema deStokes a un campo que satisface �f � ∇Ψ (con ro-tor nulo ∇ � �f � 0) se obtiene que, para cualquiersuperficie:

0 �

∇Ψ � d �r� �

∇ � � ∇Ψ � � � d �Sde modo que sigue la identidad:

∇ � � ∇Ψ � � 0

Identidad que se puede chequear formalmente:

∇ � ∇Ψ � det

��x y z∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

∂ Ψ∂ x

∂ Ψ∂ y

∂ Ψ∂ z

�� ∂ 2Ψ

∂y∂ z� ∂ 2Ψ

∂ z∂y � x

� � ∂ 2Ψ∂x∂ z

� ∂ 2Ψ∂ z∂x � y

� � ∂ 2Ψ∂x∂y

� ∂ 2Ψ∂y∂x � z � 0

en que se ha supuesto que el campo escalar Ψ es dife-renciable tal que las derivadas parciales son simétricas( ∂ 2

∂ x∂ y � ∂ 2

∂ y∂ x ).

Identidad ∇ � � ∇ � �f � � 0. Esta es la que sigue de inte-grar un camino cerrado (muy pequeño) que delimita unasuperficie (ver figura).

En el límite que el camino tiende a cero en tamaño, laintegral � �f � d �r tiende a cero, de modo que se tiene:� �

∇ � �f � � d �S ��f � d �r � 0

0 ��f � d �r �

� �∇ � �f � � d �S

por el teorema de Stokes. Pero por el teorema de la diver-gencia sigue que tambien:� �

∇ � �f � � d �S � � ∇ � � ∇ � �f � dv

de donde, comparando los lados derechos de estas últimasexpresiones, se obtiene la identidad: ∇ � � ∇ � �f � � 0.

Esta identidad se puede chequear directamente con elmétodo algebraico como en el ejemplo anterior. Haga estocomo ejercicio.



Conclusiones importantes:

1. Si un campo vectorial satisface ∇ � �f � 0, entoncesexiste Ψ tal que �f � ∇Ψ.

Por ejemplo esto ocurre en el caso de una fuerza con-servativa, como la fuerza eléctrica entre cargas, enque ∇ � �F � 0, y luego existe una energía potencialU tal que �F � ∇Ψ � � ∇U , con U � � Ψ.

2. Si un campo vectorial satisface ∇ � �f � 0, entoncesexiste �A tal que �f � ∇ � �A (ya que ∇ � � ∇ � �A � � 0).

En el caso del campo de inducción magnética �B, estesatisface ∇ � �B � 0, de modo que exsite una función�A, llamada el vector potencial magnético que per-mite calcular �B mediante �B � ∇ � �A. El campo �A estárelacionado con las corrientes de carga que hay dis-tribuidas en el espacio en que interesa conocer �B.

Más ejercicios

Calcule ∇ � �rCalcule ∇ � rCalcule ∇ � �f , para �f �

�r � �r0� � �r � �r0

� �n . Verifique que resulta

nulo para el caso n � 3.

Calcule ∇ � �rCalcule ∇ � r

Calcule ∇ � �J0� � �

r � �r0� �

n . El vector �J0 es un vector con-stante.

Calcule ∇ � ��J0 � �

r � �r0� � �r � �r0

� �n � , para los casos n � 1 � 2 � 3.

El vector �J0 es un vector constante.

Derivación parcialCalcule las derivadas parciales ∂ f

∂ x , ∂ f∂ x , ∂ f

∂ x de las fun-ciones:

f�x � y � z � � kxyz

f�x � y � z � � q

4πε0

1

x2 � y2 � z2

f�x � y � z � � q

4πε0

1

� x � x0 � 2 � � y � y0 � 2 � � z � z0 � 2Calcule las derivadas parciales (coordenadas cilñdri-cas) ∂ f

∂ ρ , ∂ f∂ φ , ∂ f

∂ z de las funciones:

f�ρ � φ � z � � λ

2πε0ln�ρ0 � ρ �

f�ρ � φ � z � � q

4πε0

1

ρ2 � z2

f�ρ � φ � z � � λa

2πε0

cosφρ2

Calcule las derivadas parciales (coordenadas esféric-as) ∂ f

∂ r , ∂ f∂ φ , ∂ f

∂ θ de las funciones:

f�r � φ � θ � � q

4πε0

1r

f�r � φ � θ � � � E0 � a3

r2� r � cosθ

f�r � φ � θ � � Qa

4πε0

cosθr2

f�r � φ � θ � � Qa

4πε0

1

� d2 � r2 � 2dr cosθ

Rotor de un campo vectorial

1. Demuestre las siguientes identidades:

∇ � � ∇Φ � � 0

∇ � �Φ �F � � Φ

�∇ � �F � � � ∇Φ � � �F

∇� �F � �G � � � �F � ∇ � �G � � �G � ∇ � �F

� �F � � ∇ � �G � � �G � � ∇ � �F �2. Evalúe los rotores de los siguientes campos (se

indica las coordenadas para que ud. determineel sistema de coordenadas a utilizar):

�F � x � y � z � � kxx

�F � x � y � z � � kxy

�F � x � y � z � � kxz

�B � ρ � φ � z � � µ0I

2πρφ

�F � r� φ � θ � � � GMmr2 r

�A � �m � �r4πr3

donde para el último ejemplo el vector �m es unvector constante.

Divergencia de un campo vectorial

1. Demuestre que

∇ � � Φ �F � � �∇Φ � � �F � Φ

�∇ � �F �

∇ � � ∇ � �A � � 0

∇ � � �A � �B � � �B � � ∇ � �A � � �A � � ∇ � �B �∇ � � ∇ � �F � � ∇

�∇ � �F � � ∇2 � �F �

2. Hallar (usando coordenadas cartesianas, cilin-dricoas y/o esféricas) ∇ � �A para los siguientes



campos vectoriales:

�A � �r�A � �r

r2

�A � µ0I

2πρφ


Análisis vectorial - Fisica.ru€¦ · drica y esférica. Veremos en esta sección su deﬁnición...

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