Análisis Numérico para Ingeniería - Panel de Estado · Dada una función f definida en [a, b] y...

Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 12

Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 2

Aproximación de Funciones

Temas a tratar:

Interpolación por Splines Cúbicos.

Aproximación por Mínimos Cuadrados.

Criterios de elección:

Tipo de Aproximación

Polinomio resultante

Ventajas y desventajas de los métodos.


SPLINES

Aproximación por Splines Cúbicos


Interpolación por Splines Cúbicos

Dada una función f definida en [a, b] y un conjunto de números, llamados nodos, a = x

0 < x

1 < x

2 < … < x

n = b , un polinomio interpolante cúbico

spline S, para f, es una función que satisface las siguientes condiciones:

a) S es un polinomio cúbico denotado Sj en el sub-

intervalo [xj , x

j+1 ], para cada j=0, 1,..., n-1.

b) S(xj) = f(x

j), para cada j=0, 1,..., n.

c) Sj+1

(xj+1

) = Sj(x

j+1), para cada j=0, 1,..., n-2.

d) S'j+1

(xj+1

) = S'j(x

j+1), para cada j=0, 1,..., n-2.

e) S''j+1

(xj+1

) = S''j(x

j+1), para cada j=0, 1,..., n-2.



Además dicha función debe satisfacer alguna de las siguientes condiciones de frontera:

i. FRONTERA LIBRE

S''(x0) = S''(x

n) = 0

ii. FRONTERA SUJETA

S'(x0) = f '(x

0) y S'(x

n) = f '(x

n)


Polinomio de Spline Cúbico

S jx =a jb j⋅x−x jc j⋅x−x j2d j⋅x−x j

3

La forma general de un polinomio de Spline Cúbico es:

Aplicando la condición S(xj) = f(x

j), es evidente que:

S jx j = a j = f x j


Sj

Sj+1

xj+1

xj

aj = f(x

j)

S jx j = f x j = a j




Luego, aplicando la condición Sj(x

j+1) = S

j+1(x

j+1), se

tiene que:

a j+1 =S j(x j+1)=S j+1(x j+1) =

= a j+b j⋅(x j+1−x j)+c j⋅(x j+1−x j)2+d j⋅(x j+1−x j)

3

Como utilizaremos frecuentemente (xj+1

- xj ), adoptaremos la

siguiente notación para simplificar:

h j =x j1−x j


Sj

Sj+1

xj+1

xj

aj+1

hj

h j= x j1−x j




Siendo an = f(x

n), entonces para j=0, 1, 2,…, n-1:

a j+1 =S j(x j+1)=S j+1(x j+1) =

= a j+b j⋅(x j+1−x j)+c j⋅(x j+1−x j)2+d j⋅(x j+1−x j)

3

Y reemplazando, nos queda de la siguiente forma:

a j1 =S j x j1=S j1 x j1 =

= a jb j⋅h jc j⋅h j2d j⋅h j

3



Derivando el polinomio de Splines, obtenemos:

S ' j(x) =b j+2⋅c j⋅(x−x j)+3⋅d j⋅(x−x j)2

Lo cual implica :

S ' j(x j) =b j para j = 0, 1, 2, …, n-1


Sj

Sj+1

xj+1

xj

aj+1

hj

S ' jx j1=S ' j1 x j1




Luego, aplicando la condición S'j+1

(xj+1

) = S'j(x

j+1), se

tiene que:

b j1 =S ' jx j1=S ' j1 x j1 =

= b j2⋅c j⋅x j1−x j3⋅d j⋅x j1−x j2

Es decir:

b j+ 1 =S ' j(x j+ 1)=S ' j+ 1(x j+ 1) =

= b j+ 2⋅c j⋅h j+ 3⋅d j⋅h j2



Derivando nuevamente la expresión S'j(x), obtenemos:

Por lo tanto:

c j =S ' ' j(x j)

2

S ' ' j(x) =2⋅c j+6⋅d j⋅(x−x j)



Y como S''j+1

(xj+1

) = 2.cj+1

= S''j(x

j+1) , nos queda:

c j+ 1 =c j+ 3⋅d j⋅h j

Por lo tanto, si:

para j = 0, 1, 2, …, n-1

S j ' ' (x j+1) =2⋅c j+6⋅d j⋅(x j+1−x j)



Ahora despejando dj de la ecuación anterior,

c j1 =c j3⋅d j⋅h j

Nos queda:

d j =c j+ 1−c j

3⋅h j

para j = 0, 1, 2, …, n-1



Por lo tanto :

Y reemplazando dj en a

j+1 tenemos:

a j1=a jb j⋅h j2⋅c jc j1⋅h j

2

3

para j = 0, 1, 2, …, n-1

a j1 =S j x j1=S j1 x j1 =

= a jb j⋅h jc j⋅h j2d j⋅h j

3



Por lo tanto :

Y reemplazando dj en b

j+1 tenemos:

para j = 0, 1, 2, …, n-1

b j1 =S ' j x j1=S ' j1 x j1 =

= b j⋅h j2⋅c j⋅h j3⋅d j⋅h j2

b j1=b jh j⋅c jc j1



Y despejando bj , obtenemos:

Por último, a partir de la ecuación de aj+1

obtenemos :

b j =(a j+ 1−a j)

h j

−(2⋅c j+ c j+ 1)⋅h j

3

a j1=a jb j⋅h j2⋅c jc j1⋅h j

2

3



Si disminuimos en 1, el índice de bj, nos queda:

Y a partir de la ecuación de bj anteriormente obtenida:

b j =a j1−a j

h j

−2⋅c jc j1⋅h j

3

b j−1 =a j−a j−1

h j−1

−2⋅c j−1c j⋅h j−1

3



Con lo que obtenemos:

Realizamos la misma disminución en la siguiente expresión:

b j1=b jh j⋅c jc j1

b j=b j−1h j−1⋅c j−1c j



Arribamos al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Y reemplazando en :

b j−1 =a j−a j−1

h j−1

−2⋅c j−1c j⋅h j−1

3

h j−1⋅c j−1+2⋅(h j−1+h j)⋅c j+h j⋅c j+1 =3⋅(a j+1−a j)

h j

−3⋅(a j−a j−1)

h j−1


Polinomio de Spline CúbicoEl sistema planteado posee n ecuaciones y n+1 incógnitas, por lo tanto, es preciso utilizar las condiciones de frontera. Por ejemplo, para el caso de frontera libre o SPLINE CÚBICO NATURAL, tenemos :

S ' ' x0 = S ' ' xn = 0

cn =S ' ' xn

2= 0 porque S ' ' xn=0

S ' ' x0 = 2⋅c06⋅x0−x0 = 0 por lo tanto c0=0


A = [1 0 0 0 0h0 2h0h1 h1 0 00 h1 2h1h2 h2 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 hn−2 2hn−2hn−1 hn−1

0 0 0 0 1]

De esta forma, queda conformada una matriz tri-diagonal :

Coeficientes de Spline Cúbico


b = [0

3 a2−a1

h1

−3 a1−a0

h0

⋮⋮

3 an−an−1

hn−1

−3 an−1−an−2

h0

0

]Y su correspondiente vector de términos independientes :

Coeficientes de Spline Cúbico


Procedimiento de Cálculo

1.Los valores de aj y h

j se obtienen a partir de los

datos y con ellos se arma el sistema.

2.Resolviendo el sistema tri-diagonal planteado, se obtienen los valores de c

j.

3.Con los valores de aj y c

j se calculan los valores

de bj.

4.Con los valores de cj y h

j se calculan los valores

de dj.


Subrutina DGTSV

SUBROUTINE DGTSV( N, NRHS, DL, D, DU, B, LDB, INFO )*** .. Argumentos Escalares .. INTEGER INFO, LDB, N, NRHS* ..* .. Argumentos Matriciales .. DOUBLE PRECISION B( LDB, * ), D( * ), DL( * ), DU( * )*** Propósito* =======** DGTSV resuelve el sistema de ecuaciones lineales A*X = B,* donde A es una matriz tri-diagonal de NxN, por eliminación* Gaussiana con pivoteo parcial.


Código de Splines Cúbicos

Sique en la próxima página

SUBROUTINE splineCubico(a, b, c, d, h)REAL(8) a(0:), h(0:)REAL(8), ALLOCATABLE :: b(:), c(:), d(:), uD(:), dD(:), lD(:)INTEGER n, i

n = SIZE(a)-1 print *, n ALLOCATE(b(0:n), c(0:n), d(0:n)) ALLOCATE(uD(0:n-1), dD(0:n), lD(0:n-1))

uD(0) = 0 dD(0) = 1 lD(0) = h(0) c(0) = 0


Código de Splines Cúbicos DO i=1, n-1 uD(i) = h(i) dD(i) = 2*(h(i-1)+h(i)) lD(i) = h(i) c(i) = 3*((a(i+1)-a(i))/h(i) - (a(i)-a(i-1))/h(i-1)) END DO

dD(n) = 1 lD(n-1) = 0 c(n) = 0

CALL DGTSV( n, 1, lD, dD, uD, c, n, INFO )

DO i=0, n-1 b(i) = (a(i+1)-a(i))/h(i) - h(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3 d(i) = (c(i+1)-c(i))/(3*h(i)) ENDDO

DEALLOCATE(uD, dD, lD)

END SUBROUTINE


Ejemplo: Perfil de Snoopy

El perfil de la figura se divide en tres trazadores independientes, para evitar aquellos puntos en los que la derivada cambia abruptamente.


Ejemplo: Trazador 1

1,00 3,002,00 3,705,00 3,906,00 4,207,00 5,708,00 6,60

10,00 7,1013,00 6,7017,00 4,50

xi

f(xi )


Ejemplo: Trazador 2

17,00 4,5020,00 7,0023,00 6,1024,00 5,6025,00 5,8027,00 5,2027,70 4,10

xi

f(xi )


Ejemplo: Trazador 3

27,70 4,1028,00 4,3029,00 4,1030,00 3,00

xi

f(xi )


Ejemplo: Perfil de Snoopy

TRAZADORES


Aplicaciones de Splines

Se utilizan cuando es necesario que la/las funciones de interpolación pasen no solamente por los puntos dato, sino que además, copien fielmente la forma enmarcada por los mismos.

Por esta razón son ampliamente utilizados en programas de dibujo y sistemas de Diseño Asistido por Computadora (CAD).

Su principal ventaja es que los polinomios resultantes son de grado bajo. La desventaja es que se trata de un tipo de interpolación segmentada.


Aproximación Mínimo-Cuadrática

Se utiliza un polinomio de grado n como función aproximante.

Para determinar los coeficientes del polinomio, se establece como criterio de aproximación, que la diferencia entre los valores de la función y los del polinomio evaluado en cada uno de los puntos dato debe ser mínima.

El grado del polinomio se elige y no está determinado por la cantidad de puntos dato.


Polinomio de Mínimos Cuadrados

Criterio de aproximación: Minimizar la siguiente función

Función aproximante :

px = a0a1⋅xa2⋅x2⋯an⋅x

n

F a0, a1,⋯, an = ∑k=1

M

yk−p xk 2 = ∑

k=1

M

k2



Para obtener el mínimo, calculamos las derivadas de F, con respecto a cada coeficiente y las igualamos a cero.

∂F∂ai

= 0

F a0, a1,⋯, an = ∑k=1

M

yk−p xk 2 = ∑

k=1

M

k2

Dada la función F :

para i = 0, 1, 2, …, n



∂∂a0

[∑k=1

M

yk−∑i=0

n

ai⋅xki

2] =

Para i = 0 :

= ∂∂a0

[∑k=1

M

( yk−(a0+a1⋅xk+a2⋅xk2+⋯+an⋅xk

n))2] =

= ∑k=1

M

−2⋅[ yk−(a0+a1⋅xk+a2⋅xk2+⋯+an⋅xk

n)] = 0



∂∂a1

[∑k=1

M

yk−∑i=0

n

ai⋅xki

2] =

Para i = 1 :

= ∂∂a1

[∑k=1

M


n))2] =

= ∑k=1

M


n)⋅xk ] = 0



∂∂an

[∑k=1

M

yk−∑i=0

n

ai⋅xki

2] =

Para i = n :

= ∂∂an

[∑k=1

M


n))2] =

= ∑k=1

M


n)⋅xkn] = 0



Generalizando para cualquier valor de i, nos queda:

∂F∂ai

=−2⋅∑k=1

M

[ yk−(a0+a1⋅xk+a2⋅xk2+⋯+an⋅xk

n)⋅x k

i]=0

Para i = 0, 1, 2, …, n


Polinomio de Mínimos CuadradosOperando algebraicamente, obtenemos:

∑k=1

M

yk−∑j=0

n

a j⋅xkj⋅xk

i = 0

∑k=1

M

yk⋅xki −∑

j=0

n

a j⋅xkj⋅xk

i = 0

∑k=1

M

yk⋅xki −∑

k=1

M

∑j=0

n

a j⋅xkj+i = 0

∑k=1

M

yk⋅xki −∑

j=0

n

a j⋅(∑k=1

M

xkj+i) = 0



Con lo que finalmente obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales :

Para i = 0, 1, 2, …, n

∑j=0

n

a j⋅(∑k=1

M

xkj+i) = ∑

k=1

M

yk⋅xki


[M ∑

k=1

M

xk ∑k=1

M

xk2 ⋯ ∑

k=1

M

xkn

∑k=1

M

xk ∑k=1

M

xk2 ∑

k=1

M

xk3 ⋯ ∑

k=1

M

xkn1

∑k=1

M

xk2 ∑

k=1

M

xk3 ∑

k=1

M

xk4 ⋯ ∑

k=1

M

xkn2

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∑k=1

M

xkn ∑

k=1

M

xkn1 ∑

k=1

M

xkn2 ⋯ ∑

k=1

M

xk2n

]⋅[a0

a1

a2

⋮

an

]=[∑k=1

M

yk

∑k=1

M

yk⋅xk

∑k=1

M

yk⋅xk2

⋮

∑k=1

M

yk⋅xkn]

Sistema resultante


p1x=−61.882678⋅x80.06244

Aproximación de Grado 1


p2x =126.91394⋅x2−188.79661⋅x98.57073



p3 x =−35.30559⋅x3179.87232⋅x2

−208.76633⋅x99.72919



p4 x =−3.00755⋅x4−29.29048⋅x3176.03302⋅x2−208.03458⋅x99.71157



Valor Medio Cuadrático (RMS)

El Valor Medio Cuadrático, o Error Medio Cuadrático, mide el ”ajuste” del polinomio con referencia a los datos únicamente.

RMS = ∑k=1

M

k2

M

Una vez calculados los coeficientes del polinomio de aproximación de orden n, podemos calcular su Valor Medio Cuadrático.


Varianza al cuadrado

Este valor no sólo mide cuánto se aproxima el polinomio a los datos, sino que tiene en cuenta el esfuerzo computacional involucrado.

2n =∑k=1

M

k2

M−n−1

Una vez calculados los coeficientes del polinomio de aproximación de orden n, podemos calcular su varianza al cuadrado.


Aplicaciones de Mínimos Cuadrados

Sirven para aproximar grandes conjuntos de puntos, pudiendo elegir el grado del polinomio aproximante.

Esto permite obtener un modelo matemático simplificado del fenómeno representado por los datos.

Como el criterio de aproximación del método se basa en minimizar el error entre los datos y el aproximante, es posible que dicho polinomio, no coincida exactamente con ninguno de los puntos dato.


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