Análisis Numérico II Volúmenes Finitos Problemas Elípticos...

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ELEMENTOS FINITOS

PROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico II

Volúmenes Finitos – Problemas Elípticos

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ELEMENTOS FINITOS

PROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico II

Elementos Finitos – Problemas Elípticos

• Formulación Débil

• Discretización

• Formulación Variacional

• Método de Ritz

• Discretización del Funcional

• Problemas de Capa Límite

3/46

PROBLEMA BASE

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil

2 ( , , ) 0 u f u x y en

1( , ) u x y u sobre

2( , ) u

x y q sobren

Formulación diferencial:

u clase C2

4/46

FORMULACION PONDERADA


1

2

2

0

u f wd u u wd

uq wd

n

5/46

INTEGRACION POR PARTES


10 w u u sobre

1 2

1 2

.

0

uu wd fwd w d

n

uu u wd q wd

n

2 w w sobre

6/46

FORMULACION DEBIL


2

. 0u wd fwd qwd

u clase C1

(Soluciones débiles o generalizadas)

1 u u sobre

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DISCRETIZACION DEL DOMINIO

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización

Elementos finitos triangulares

8/46

NUMERACION DE NODOS


n: numeración global , 1 n N

K = 3

k: numeración local, 1 k K

n = 57

n = 42

n = 58

k = 3

k = 1

k = 2

N: cantidad total de nodos

K: cantidad de nodos por

elemento

9/46

CONECTIVIDAD


m: numeración de elemento , 1 m M

# nodo global de nodo local k de elemento m

n = 57

n = 42

n = 58

k = 3

k = 1

k = 2

M: cantidad total de elementos

( ) :m

kG

27

(1) 57G

m=27

27

(2) 58G

27

(3) 42G

{xn,yn}: coordenadas de los nodos

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DISCRETIZACION DE LA FUNCION


:nu

( ) :m

kn G ( )

m

n ku u

valores nodales (incógnitas)

Método nodal

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FUNCION INTERPOLANTE


1

( , ) ( , )M

m

m

u x y u x y

( ) ( )

1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m m

k kmk

N x y u si x y eu x y

si x y

me

funciones de forma( ) :m

kN

m

m(k)

1

( , )mu x y

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FUNCIONES DE PESO


:nw tantas como incógnitas

( ) ( , ) ( , )( , )

0 ( , )

l l

l

m m

k

n

N x y si x y ew x y

si x y

lme

ml: elementos que contienen nodo n,

1 l Ln

Ln: cantidad de elementos

Método de Bubnov-Galerkin:

( )l

l

m

kn G

n

n

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ECUACIONES DISCRETAS


( ) ( , ) ( , )( , )

0 ( , )

l l

l

m m

k

n

N x y si x y ew x y

si x y

lme

2

. 0n n nu w d fw d qw d

1

( , ) ( , )M

m

m

u x y u x y

14/46

PRIMER TERMINO


( ) ( ) ( )

1 1

. .n

l l l

lml

L Km m m

n k k k

l k e

u w d u N N d

( )l

l

m

kn G

( ) ( ).l l

lml

m m

np k k

e

a N N d ( )lm

kp G

1 1

.nL K

n np p

l k

u w d a u

15/46

ENSAMBLE


( ')

m

kn G

( ) ( ').m

m m

k k np

e

N N d a ( )

m

kp G

Elemento m: 1 k,k’ K

16/46

DESAGREGADO


( ')

m

kn G

( ) ( ')

m

m m

k k

np

e

N Nd

x x

( )

m

kp G

np np npa

( ) ( ')

m

m m

k k

np

e

N Nd

y y

17/46

NORMALIZACION INTEGRALES


1

1

(1)

0

0(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

, 1

,

,

N

N

N

( ) ( ), ,m

m m

k k

ee

F N x y d J F N d

( ) ,m

m

k

e

F N x y d

3

( ) ( )

1

, m

k k

k

x N x

3

( ) ( )

1

, m

k k

k

y N y

m(1)

(2)

(3)

18/46

NORMALIZACION INTEGRALES


12 13

12 13

,

,

m m

x xm

m m

y y

x x

l lx yJ

l ly y

12 (2) (1)

13 (3) (1)

12 (2) (1)

13 (3) (1)

m m m

x

m m m

x

m m m

y

m m m

y

l x x

l x x

l y y

l y y

19/46

CALCULO DE INTEGRALES


( ) ( ')

m

m m

k k

np

e

N Nd

x x

( ) 13 ( ) 12 ( )

m m m

k y k y k

m m

N l N l N

x

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

1; 1

1; 0

0; 1

N N

N N

N N

( ) ( ') ( ) ( ')

2

m m m mmk k k km

np

e

N N N NJJ d

x x x x

12 13

12 13

m m

x xm m

m m

y y

l lJ

l l

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CALCULO DE INTEGRALES


2

213 12

12 13

1

2 2

m mmy y m m

np y ym m m

l lJl l

J

(1) 13 12

m m m

y y

m m

N l l

x

(2) 13

m m

y

m

N l

x

(3) 12

m m

y

m

N l

x

(1)

mn G

(1)

mp G

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SEGUNDO TERMINO


( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m m

k k k kf f x y u

1

( , , ) ( , , )M

m

m

f x y u f x y u

( ) ( )

1

( , ) ( , )( , , )

0 ( , )

Km m m

k kmk

N x y f si x y ef x y u

si x y

me

Si f f(u):

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SEGUNDO TERMINO


( )l

l

m

kn G( )

l l

ml

m m

np k n

e

N N d ( )

lm

kp G

1 1

nL K

n np p

l k

fw d f

23/46

TERCER TERMINO


( ) ( )( ) ( , )b b b

r rrq q x y

1

( , ) ( , )B

b

b

q x y q x y

( ) ( )

1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Rbb b

b r r

r

N x y q si x y gq x y

si x y

bg

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TERCER TERMINO


( )l

l

b

kn G( )

l l

bl

b b

nt r n

g

N N d ( )

lb

rt G

21 1

nS R

n nt t

s r

qw d q

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RESULTADOS


Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0,06891

RP-Momentos 0,05433 0,06888

RP-Galerkin 0,05540 0,06805

EF-Galerkin 0,05494 0,06751

Analítico 0,05550 0,06820

Primer problema: 1/3x

26/46

PROBLEMA BASE

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional

2 ( , , ) 0 u f u x y en


2( , ) u

x y q sobren

Formulación diferencial:

u clase C2

27/46

FORMULACION PONDERADA


1

2

2

0

u f wd u u wd

uq wd

n

28/46

FORMULACION DEBIL


2

. 0u wd fwd qwd

(caso particular)

Variación débil:

w u 10 u sobre

( , , ) ( , )f u x y u g x y


29/46

FORMULACION VARIACIONAL


2

2 21 10

2 2u u ug d qu d

Funcional:

0I

2

2 21 1( )

2 2I u u u ug d qud


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FUNCION APROXIMANTE

Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz

2

2 21 1( )

2 2I u u u ug d qud


1

( , )N

i i

i

u x y

Aproximación:

(satisface condiciones de borde geométrica)

31/46

PLANTEO


0I

i son las incógnitas; método modal

0, 1,2...i

Ii N

32/46

SEGUNDO PROBLEMA 1D


2

20 (0,1)

d uu x en

dx (0) 0 (1)

duu q

dx

21

2

0

1 1( ) (1)

2 2

duI u u ux dx qu

dx

2

2 21 1( )

2 2I u u u ug d qud


(0) 0u

33/46

SOLUCION


1( ) ( )x sen x 2 ( )x x

1 2( ) ( )u x sen x x

1 2

0I I

( )( ) (1 )

cos(1)

sen xu x q x (solución exacta)

34/46

SEGUNDO PROBLEMA 1D

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional

Se procede en forma análoga al

caso de partida desde la

formulación débil

35/46



1

( , ) ( , )M

m

m

u x y u x y

( ) ( )

1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m m

k kmk


si x y

me


kN

36/46

PLANTEO


1 2( , ... )NI u u u

0, 1,2..n

In N

u

37/46

PRIMER TERMINO


2

( ) ( ') ( ) ( ')

' 1 1

1 1.

2 2m m

K Km m m m

k k k k

k ke e

u d u u N N d

( )l

m

kn G

( ).m

m m

np k n

e

a N N d

( )

m

kp G

2

1

1

2 m

K

np p

kn e

u d a uu

21

( )2

I u u d

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SISTEMA DISCRETO


Resulta idéntico al obtenido

desde la formulación débil con

el método de Bubnov-Galerkin

39/46

PROBLEMA BASE

Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite

2 2

2 2

u u u uU V

x y x y

. . 0, ( , )n nu w d U uw d U U V

40/46



1

( , ) ( , )M

m

m

u x y u x y

( ) ( )

1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m m

k kmk


si x y

me


kN

41/46

FUNCIONES DE PESO


( ) ( ). ( , )( , )

0 ( , )

l l l

l l

m m m

k k

n

N h N si x y ew x y

si x y

lme

Método de Petrov-Galerkin: SUPG

( )l

l

m

kn G

42/46

CASO 1D


2

2, 0 ,

(0) , ( )o L

d u duU x L

dx dx

u u u L u

Solución cerrada:

( ) 1

1

xPe

Lo

Pe

L o

u x u e

u u e

ULPe

43/46

FORMULACION DEBIL


0

0

L

nn

dwdu duU w dx

dx dx dx

1

(2)1

(2)

(1)

(1)

( )

n

n

n

n n

n

n

dNN x si x x

dxw x

dNN x si x x

dx

44/46

FUNCIONES DE FORMA


1

(2)1

(2) 1 1

(2) (1)

( )

n

n

n n

x xN x

x x

(2)

(1)

(2) (1)

( )

n

n

n n

x xN x

x x

1 1

(2) (1)

1 1

(2) (1)

1

1

nn n

n

nn n

si x xx xdw

dxsi x x

x x

(igual que Bubnov-Galerkin)

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ECUACION ENSAMBLADA


1 1 1 1

12 2 0n n n n nu u u u u

Pg

U x

Pg

Si = 0: método centrado inestabilidad

Si = 1/2: upwinding (U > 0)

46/46

VALOR OPTIMO DEL PARAMETRO


1 1 1 2 coth coth :

2 2 2

Pg PgSi

Pg Pg

solución analítica verifica exactamente

ecuación numérica

1 1 1 1

12 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n nu x u x u x u x u x

Pg

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