ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA RESPUESTA ANTE DIFERENTES …

DEL 24 AL 27 DE NOVIEMBRE DE 2015, ACAPULCO, GUERRERO, GRAND HOTEL

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA SÍSMICA A. C.

ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA RESPUESTA ANTE DIFERENTES SISMOS DE UNA

PRESA DE CCR

David Porras Navarro González (1)

, Alberto López López (1)

, Luis Eduardo Pérez Rocha (1)

1 Instituto de Investigaciones Eléctricas. Reforma 113, Col. Palmira, Cuernavaca Morelos, 62490, [email protected],

[email protected], [email protected]

RESUMEN

El objetivo de este trabajo es presentar un ejemplo de la metodología desarrollada para el estudio del análisis de

presas de concreto CCR. El modelo estudiado incluye el medio rocoso y el contraste de rigidez entre el módulo de

cortante de la presa y la roca. El desarrollo de la metodología implica el análisis de múltiples opciones de presas por

lo que se expone la forma de reducir los casos de estudio. Finalmente se desarrolla un ejemplo para cuatro

excitaciones sísmicas que poseen un mismo valor máximo de aceleración pero que contienen un diferente contenido

de frecuencias. El análisis se realiza dinámicamente mediante el método paso a paso utilizando elementos finitos.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present an example of the methodology developed for the study of the analysis of

CCR concrete dams. The model studied includes the rocky environment and stiffness contrast between the shear

modulus of the dam and the rock. The development of the methodology involves the analysis of multiple options of

dams and how to reduce the number of cases to study. Finally, an example for four seismic excitations where the

accelerograms have the same maximum acceleration but containing a different frequency content is developed The

analysis is performed dynamically by the step by step method using finite elements.

INTRODUCCIÓN

La etapa de análisis preliminar de una presa tiene como reto encontrar la sección óptima e inicial con la cual se puede

avanzar a la etapa de diseño a detalle e inclusive a etapas de diseño con características de material no lineal. El

diseño comienza con la definición de datos geométricos; en muchos casos conociendo la altura de la presa resulta

más sencillo definir los parámetros restantes como relaciones geométricas con respecto a la altura. El siguiente paso

es la revisión de la estabilidad de la sección transversal de la presa ante volteo y deslizamiento tanto para condiciones

de operación de la presa como para condiciones sísmicas. Una vez que se determina que la sección es estable se

procede al análisis de esfuerzos y deformaciones con el fin de obtener los esfuerzos ante condiciones usual (cargas

de operación), inusuales (ante sismo base de operación SBO) y extremas (ante sismo máximo creíble SMC).

Finalmente se procede a la obtención de la resistencia de la mezcla de CCR requerida; otra opción es saber si una

resistencia propuesta cumple con el diseño.

DEFINICIÓN DE VARIABLES DE PRESAS

Una presa es una estructura que contiene al menos 8 parámetros geométricos y un parámetro mecánico que es el

contraste de rigidez, el cual es la relación entre el módulo de cortante de la presa y el módulo de cortante de la

cimentación (roca o suelo).

XX Mexican Congress of Earthquake Engineering Acapulco, 2015

Los parámetros geométricos de estudio que permiten obtener la geometría de la sección transversal son: a1,a2,a3, h1 y

h2 y la geometría de la boquilla se define mediante los parámetros b1 y b2, (ver figura 1).

Figura 1 Parámetros geométricos de las presas en estudio.

Tomando en cuenta estos parámetros, la cantidad de posibilidades geométricas a analizar crece enormemente y la

posibilidad de realizar todos estos análisis se reduce aún más al enfrentar la barrera del tiempo computacional. Por

esta razón se desarrolló una metodología que permite reducir las opciones a estudiar con una adaptación de la ley

cuadrático-cúbica descrita por primera vez en el libro: Dos nuevas ciencias: Discorsi e Dimostrazioni Matematiche,

intorno e due nuove scienze (Galileo Galilei, 1638); esta ley permite conocer los esfuerzos de una geometría

cualquiera siempre que guarde aspectos de proporción con una geometría base.

La configuración geométrica de las presas permite establecer tres familias principales: las presas “PR” son aquellas

donde la altura h1 es igual a h2 formando una presa de paramento regular, las presas de paramento vertical llamadas

“PV” son las presas cuyos valores de h2 y a3 son iguales a cero y por último, las presas con talón son llamadas “PT”

(ver figura 2).

Figura 2 Principales familias de presas.

Uno de los parámetros más importantes en el análisis de presas es la influencia que puede ejercer el suelo o roca

sobre los esfuerzos en la presa, por lo que el contraste de rigidez también forma parte de los parámetros mecánicos.

Para el ejemplo en estudio se proponen valores de 0.5, 2 y 6.

En este trabajo se plantea el análisis de dos condiciones de carga principales; la primera es la condición de carga

usual donde se tienen presentes las cargas de operación de la presa, como son la carga hidrostática, el empuje de

azolves, el peso del volumen de agua y sedimentos sobre el paramento inclinado de la presa, la supresión en la base

de la presa y subpresión en las laderas, así como el peso propio de la estructura y un peso adicional por bordo libre.



La segunda condición corresponde a la condición sísmica. Las combinaciones logradas entre estas variables, es decir

el número de posibilidades de estudio, se resumen en las tablas 1 y 2.

Tabla 1 Casos de Análisis por cargas usual (Operación)

PRESAS TIPO PR Y PT

Variables de estudio Rango Valores Propuestos Casos

Totales

h1(m) 20-200 m 20 50 100 200 4

h2/h1 0.25 – 1 0.25 0.5 0.75 1 4

a1/h1 0.4 – 1 0.40 0.60 0.80 1 4

a2/h1 0.04 - 0.4 0.04 0.126 0.4 3

a3/h1 0.1 – 0.25 0.10 0.25 2

b1/b2 0.1 - 0.75 0.10 0.25 0.50 0.75 4

b2/h1 0.5 - 4 0.50 1 2 4 4

Contraste de Rigidez CR=Rpresa/Rcimentación

0.5 – 6 0.5 2 6 3

Total

Casos

6144

PRESAS TIPO PV


Totales

h1(m) 20-200 m 20 50 100 200 4

h2/h1 0.0 0.0 1

a1/h1 0.4 – 1 0.40 0.60 0.80 1 4

a2/h1 0.04 - 0.4 0.04 0.126 0.4 3

a3/h1 0.0 0.0 1

b1/b2 0.1 - 0.75 0.10 0.25 0.50 0.75 4

b2/h1 0.5 - 4 0.50 1 2 4 4

Contraste de Rigidez 0.5 – 6 0.5 2 6 3

Total

Casos

2304

Tabla 2 Casos de Análisis por cargas inusual (Operación + Carga Sísmica)

PRESAS TIPO PR Y PT


Totales

h1(m) 20-200 m 20 50 100 200 4

h2/h1 0.25 – 1 0.25 0.5 0.75 1 4

a1/h1 0.4 – 1 0.40 0.60 0.80 1 4

a2/h1 0.04 - 0.4 0.04 0.126 0.4 3

a3/h1 0.1 – 0.25 0.10 0.25 2

b1/b2 0.1 - 0.75 0.10 0.25 0.50 0.75 4

b2/h1 0.5 - 4 0.50 1 2 4 4

Contraste de Rigidez CR=Rpresa/Rcimentación

0.5 – 6 0.5 2 6 3

Coeficiente Sísmico 0.1-0.6 0.1 0.3 0.6 3

Total

Casos

18432


PRESAS TIPO PV


Totales

h1(m) 20-200 m 20 50 100 200 4

h2/h1 0.0 0.0 1

a1/h1 0.4 – 1 0.40 0.60 0.80 1 4

a2/h1 0.04 - 0.4 0.04 0.126 0.4 3

a3/h1 0.0 0.0 1

b1/b2 0.1 - 0.75 0.10 0.25 0.50 0.75 4

b2/h1 0.5 - 4 0.50 1 2 4 4

Contraste de Rigidez 0.5 – 6 0.5 2 6 3

Coeficiente Sísmico 0.1-0.6 0.1 0.3 0.6 3

Total

Casos

6912

El número de casos resulta en 8448 casos de estudio para la condición usual y 25344 para los casos inusuales, la

metodología para la reducción de los casos de estudio se verá a continuación y el resultado final de los casos

estudiados se puede consultar al terminar el tema de estabilidad.

Formula de Galileo para la reducción de los casos de estudio.

Para lograr reducir el número de análisis por calcular, se utilizará una adaptación a la ecuación cuadrática-cúbica que

nos permite obtener el esfuerzo de una presa objetivo mediante un cálculo previo de otra presa. Existen tres aspectos

principales en los modelos de las presas: la altura, la forma y el contraste de rigidez, si conservamos constante la

forma y el contraste y hacemos variar la altura (tabla 3) podemos predecir el esfuerzo de un modelo a otro mediante

la ecuación 1.

Tabla 3 Los tres aspectos principales en la parametrización de las presas

Altura Forma Contraste

Variable Constante Constante

1

2

12 h

h (1)

Es decir, el esfuerzo de un modelo base 1 dividido entre su altura es igual al esfuerzo

2 de otro modelo dividido

entre la altura correspondiente ecuación 2, por esta razón podemos conocer el esfuerzo de un modelo conociendo

solo el esfuerzo de un modelo previo que guarde la misma forma y relaciones geométricas.

2

2

1

1

hh

(2)

Al utilizar esta fórmula podemos despreciar la variable de la altura de la matriz inicial de casos (tabla 1 y tabla 2) y

estudiar una sola altura que sería la media geométrica del intervalo de alturas de las presas de estudio que es entre 20

y 200 m.; De esta manera la media geométrica se obtiene con las siguientes ecuaciones .

(3)



√ (4)

A partir de esta altura se puede obtener cualquiera de las configuraciones de presas con una altura entre 20 y 200

La idea principal de aplicar el concepto de factor de forma

1

2

h

h es que con el cálculo de esfuerzos de una sola

geometría se podrían obtener los resultados de los modelos correspondientes a las alturas de 20, 50, 100 y 200

metros, siempre y cuando todas las relaciones geométricas se conserven. Esto reduce de manera drástica en un factor

de ¼ las opciones a diseñar por tanto el número de análisis para la condiciones de operación se reduce de 8448 a

2112 casos y los casos de carga inusual de 25344 a 6336 casos.

Interpolación

Sin embargo, para obtener cualquier geometría dentro de los intervalos geométricos definidos, puede hacerse uso de

la interpolación entre los casos analizados para obtener cualquier geometría libre, que no guarde proporción con la

presa base y que se encuentre dentro de los parámetros de la tabla 1 y 2. Con la ayuda de un sistema computacional

que se alimenta con la base de datos de los modelos analizados podrá generarse cualquier geometría de presa

requerida, siempre que los valores geométricos y de contraste se encuentren dentro de los intervalos definidos.

El número máximo de interpolaciones a realizar, si se cambian los 6 parámetros geométricos (a1, a2, a3, h1 y h2) y el

contraste de rigidez, es de 127 interpolaciones (ver figura 3).

Figura 3 Número máximo de interpolaciones.

ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO DE LA RESPUESTA DE PRESAS

Dado que la frecuencia fundamental de las presas son muy susceptibles al cambio de rigidez del suelo, en la tabla 4

se presenta un ejemplo para una presa de 20 m de altura, donde se observa que el cambio de contraste de rigidez

afecta la frecuencia fundamental del sistema roca-cimentación. La variación de la frecuencia para este caso es de

20.18 Hz a 5.82 Hz para contrastes de rigideces de 0.5 y 6, respectivamente. Debido a que las frecuencias de

vibración de los sismos fuertes en México oscilan entre 0 y 16 Hz y estas afectaran el comportamiento dinámico del

sistema, no es posible abordar los análisis de carga inusual mediante análisis estáticos empleando para tal caso

valores de coeficientes sísmicos, sino que se deberán realizar análisis dinámicos paso a paso.

Para cada uno de los análisis dinámicos se necesitan tiempos computacionales muy altos, alrededor de 48 horas de

procesamiento, por lo que sería prácticamente imposible resolver el número de análisis necesarios para este estudio.


Para superar esta inconveniencia se propone utilizar una metodología para la evaluación de la respuesta sísmica de

presas (López et al,2015), la cual hace uso de una función unitaria impulso que desarrolla el comportamiento

dinámico completo del modelo; la respuesta en la frecuencia de la función impulsiva se convoluciona con el

espectro de un sismo especifico o normalizado a un coeficiente sísmico para así obtener la respuesta final de la presa

ante un evento sísmico dado.

El realizar un solo análisis dinámico que sirva de referencia para los coeficientes sísmicos a estudiar permite reducir

el número de posibilidades de análisis en 1/3 por lo que los 6,336 casos dinámicos podrían reducirse a 2,112 casos.

En el caso de los análisis dinámicos, el factor de forma que corrige el paso de tiempo de la señal dinámica es función

de la velocidad de onda de corte de la presa base 1 y de la presa objetivo 2 , así como de las alturas de las presas

base y objetivo y del paso de tiempo de la señal impulsiva original, como se expresa en la ecuación 5.

1

2

1

2

12

h

h

tt (5)

Tabla 4 Valores de Frecuencias fundamentales obtenidas con modelos de elementos finitos para distintos contraste de rigidez.

Altura (h1) = 20 m Contraste de Rigideces

b1 b2 a1 a2 a3 H2 0.5

5.0 20 8 8 2 20 Análisis

Requerido

Período

seg

Frecuencia

Hz

Estático T=0.05 F=20.18

2.0

Dinámico T=0.099 f=10.09

6.0

Dinámico T=0.172 f=5.82

Corrección por posición de acelerómetro

Las funciones de esfuerzos que se obtienen en el análisis dinámico deberán corregirse ya que fueron calculadas para

aceleraciones impulsivas en la base de la roca, mientras que la aceleración sísmica se registra normalmente en la

superficie del terreno, en la corona de presa o en el lecho del río. Para ello, se tiene que calcular una función de

transferencia que permita obtener la respuesta de esfuerzos relativa a la aceleración en la superficie. En la siguiente

figura 4 y con la ecuación 6, podemos evaluar la transformación de la función de esfuerzos por el cociente

.

(6)

Espectro de Fourier, resultado de la función de esfuerzos en el tiempo de un punto dado, obtenido

directamente del modelo de elementos finitos.

Espectro de Fourier de la función de la aceleración en el tiempo en la superficie de la roca, resultado del

movimiento de la superficie a la función impulso.

Espectro de Fourier de la función de Aceleración en el tiempo en la base del macizo rocoso, resultado

del movimiento de la base a la función impulso.

Función de esfuerzos corregida resultado de la transformación por el factor



Para tomar en cuenta las aceleraciones absolutas y no las aceleraciones relativas en la corrección de las funciones de

transferencia se deberá sumar el termino en la función de las aceleraciones en el tiempo de la base y de la

superficie, el valores deberá sumarse solo y exactamente en el paso de tiempo donde se impuso la aceleración

impulsiva.

Figura 4 Función de transferencia entre la aceleración de base y la aceleración en la superficie

Figura 5 Función en el dominio del tiempo de aceleración Figura 6 Espectro de Fourier de la aceleración en la base de la roca. base de la roca

Figura 7 Función en el dominio del tiempo de aceleración en la superficie

Figura 8 Espectro de Fourier de la aceleración en la superficie

Transformada

de Fourier


Finalmente el factor de corrección será una función que relaciona

para cada frecuencia del sistema.

Figura 9 Función de Transferencia (corrección) de aceleraciones

ESTABILIDAD

El análisis de la estabilidad de la presa ante volteo y deslizamiento debido a la presencia de las cargas de operación y

cargas sísmicas nos permite obtener finalmente el número de casos de estudio pues dentro de las posibilidades de la

tabla 1 y 2 existen secciones transversales de la presa que por sus dimensiones geométricas no son secciones

estables.

El diagrama de flujo de este análisis (US Army Corps of Engineers 1995) y una imagen de las fuerzas consideradas

se puede ver en las figuras 10 y 11. El análisis de estabilidad nos permitió descartar las opciones geométricas no

estables siendo finalmente los análisis realizados 720 casos PR, 1728 casos de la familia PT, 288 casos PV y 81

casos dinámicos.

Figura 10 Cargas consideradas en el análisis de la estabilidad



Figura 11 Diagrama de Flujo para Análisis de Estabilidad


MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS

Los análisis estáticos y dinámicos se realizaron con la técnica de análisis numérico de elementos finitos mediante el

software comercial ANSYS. El modelo considera la cimentación mediante un macizo rocoso con una dimensión de

2.5 veces la altura de la presa de estudio ICOLD (2012), (ver figura 12). El modelo contiene 106,656 de elementos

hexaédricos de 20 nodos y 459,128 nodos de los cuales 14637 pertenecen a la presa y están distribuidos en 41

secciones transversales (ver figura 13), cada una de ellas con 357 nodos por sección (ver figura 14).

Figura 12 Vista general del modelo de elementos finitos

Figura 13 Secciones Transversales contenidas en el modelo de presa CCR



Figura 14 Nodos incluidos en cada sección transversal de la presa

El programa Ansys Workbench nos permite parametrizar los datos geométricos de inicio así como los controladores

de malla, una vez creado el primer modelo parametrizado se pueden obtener de forma rápida y sencilla geometrías

de diferentes dimensiones de presas para poder comparar resultados, esta parametrización se realizó para las

diferente familias PT, PR y PV.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Las propiedades geométricas de la presa objetivo pueden observar en la figura 15, los esfuerzos se obtienen a partir

de una presa base, siendo el factor de escalamiento la relación de alturas

63.2456

100. Las propiedades mecánicas del

concreto CCR son = 2,200 kg/m3 , G= 8.70 e+9 y E= 2e+10 Pa; se estudian el comportamiento de una misma

estructura cimentada en 2 tipos de suelo distinto, uno con un contraste de rigidez correspondiente a 0.5 cuyas

características lo hacen una cimentación rígida = 2,400 kg/m3 G= 1.74e+10 Pa y E= 4.52e+10 Pa y un suelo con

contraste de 2.0 con = 2,400 kg/m3 G= 4.35e+10 Pa y E= 1.13e+10 Pa que lo hacen un suelo flexible.

En este ejemplo se monitorea la respuesta de un nodo en la base de la presa cerca de la sección central.


Figura 15 Presa de estudio y características geométricas.

Para este caso se estudia el comportamiento ante cuatro excitaciones sísmicas a las cuales se les ha normalizado para

que su magnitud máxima sea igual a uno y se ejemplifique como a pesar de que la magnitud de los sismos es la

misma los contenidos de frecuencia son muy distintos, como pueden observarse en la figura 16, conduciendo a

respuestas muy diferentes..

Los sismos corresponden a Caleta de Campos del 19 septiembre de 1985, sismo costero con una magnitud de 8.1,

San Marcos del 25 Abril de 1989 sismo costero con una magnitud de 6.9, Pinotepa Nacional del 20 de Marzo 2012

costero M=7.4 y Ciudad Universitaria siendo un sismo de campo lejano del 19 Septiembre de 1985 con una

magnitud de 8.1.

La figura 17 nos permite comparar las frecuencias fundamentales de estos 4 sismos así como sus distintas

características el sismo CU es un sismo de bajas frecuencias a diferencia de los otros 3 sismos, podemos observar

como el sismo Pinotepa tiene una frecuencia fundamental en los 6 Hz.

En la figura 18 se pueden ver las respuestas de la presa resultado de análisis dinámicos paso a paso sometidas a una

función impulsiva unitaria, podemos como las frecuencias fundamentales cambian al modificar el tipo de suelo en su

cimentación en el caso del contraste de 0.5 sus tres primeras frecuencias son 4.0, 6.0 y 9.0, al flexibilizar el suelo de

cimentación las frecuencias bajan a valores de 2.0, 3.0 y 5.7.

Se considera que los acelerogramas sísmicos se tomaron a una altura correspondiente al lecho del río por lo que se le

aplica una corrección que deamplifica la respuesta original del modelo.



Figura 16 Excitaciones Sísmicas y sus espectros de Fourier


Figura 17 Espectros de Fourier de las excitaciones sísmicas

Figura 18 Respuesta en el tiempo y su espectro de Fourier del Esfuerzo Szz ante la función impulsiva para CR 0.5 Y 2.0

A las espectros de Fourier de la función impulsiva se le convoluciona con los espectros de Fourier de las señales

sísmicas con el fin de obtener la respuesta de la presa ante las 4 excitaciones. En la figura 19 se puede observar



espectros de Fourier de las respuestas ante los cuatros sismos, primeramente para un contraste de rigidez de 0.5 se

puede ver para una de las frecuencia fundamentales del sistema presa- cimentación de 6 Hz la mayor respuesta se

obtiene con el sismo de Pinotepa seguido en orden de importancia por Caleta, San Marcos y CU.

En cambio es importante destacar como al cambiar el contraste de rigidez a 2.0 observamos como el sismo CU

adquiere mayor de importancia solo un nivel más abajo del máximo alcanzado por el sismo de Caleta para la

frecuencia fundamental del sistema a 2Hz.

Finalmente se puede observar en la tabla los máximos valores encontrados en la historia en el tiempo de la respuesta

para cada uno de los sismos y gráficamente se puede observar la comparativa de la respuesta en la figura 20.

Figura 19 Espectro de Fourier ante las cuatro excitaciones sísmicas para CR 0.5 Y 2.0


Figura 20 Historia en el tiempo de la respuesta ante las cuatro excitaciones sísmicas para CR 0.5 Y 2.0

CONCLUSIONES

La obtención de la sección transversal definitiva como objetivo de la etapa de análisis preliminar se puede obtener

mediante la aplicación de métodos de interpolación de presas base que mediante el factor de escalamiento para

condiciones estáticas y para condiciones dinámicas nos permiten obtener los esfuerzos de una presa objetivo

tomando en cuenta presas base iniciales. Esta importante característica reduce enormemente el número de análisis de

múltiples opciones, tanto de análisis dinámicos como estáticos. El método propuesto para el análisis dinámico

usando funciones impulso permite obtener la respuesta dinámica ante cualquier señal sísmica sin necesidad de

realizar el análisis dinámico para cada acelerograma deseado, lo que conlleva a menores tiempos de cálculo.

En el ejemplo se puede observar que las respuestas sísmicas son distintas a pesar de que los sismos tengan la misma

amplitud máxima, lo que hace la diferencia entre resultados es el contenido de frecuencias de cada sismo.



El contraste de rigidez entre la presa y cimentación juega un papel muy importante en la respuesta del sistema presa-

cimentación, a medida que el contraste de rigidez hace más flexible la cimentación las frecuencias del sistema baja

haciendo susceptible a sismos cuyas frecuencias bajas sean más importantes. Además se observó que los valores de

esfuerzos en las cercanías de las fronteras puede tener un error importante si la finesa de la malla no es suficiente.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece el apoyo de la Gerencia de Estudios de Ingeniería Civil de la CFE por el apoyo para la realización de los

estudios realizados.

REFERENCIAS

ICOLD (2012), Guidelines for Use of Numerical Models in Dam Engineering, ICOLD – Committee on

Computational Aspects of Analysis and Design of Dams, Bulletin n° 1, XX Commission Internationale des Grands

Barrages, Paris, France.

Galileo Galilei, (1638), Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno e due nuove scienze, Italia

López, A., Porras Navarro, D. y Peréz Rocha, L.E. (2015). Metodología para Evaluación de la Respuesta Sísmica de

Presas CCR. XX. Congreso Nacional de Ingeniería Civil.

US Army Corps of Engineers, (1995a). Gravity Dam Design, Engineer Manual EM 1110-2-2200, June, U.S.A.

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