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Análisis Numérico Avanzado/Análisis Numérico IIa Facultad de Ingeniería-UBA

ANÁLISIS NUMERICO AVANZADO 75:38 ANÁLISIS NUMÉRICO II a

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUIA DE PROBLEMAS 2006

1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Problema 1.1 Dibujar el patrón de características para el siguiente problema:

( ) 0; , 0u f u x tt x

∂ ∂+ = < ∞ ≥

∂ ∂

0 0

( ,0) 1 0 10 1

si xu x x si x

si x

<⎧⎪= − ≤⎨⎪ >⎩

≤

a) Tomar f(u) = u2/2 b) Tomar f(u) = 4u

Problema 1.2 Sea la siguiente ecuación diferencial:

0; , 0u uu xt x

∂ ∂+ = < ∞ ≥

∂ ∂t

0

con condiciones iniciales

0 11 -1

( ,0)1 0 10 1

si xx si x

u xx si x

si x

≤ −⎧⎪ + < ≤⎪= ⎨ − < ≤⎪⎪ >⎩

a) Dibujar el diagrama de curvas características para t > 0. b) Dibujar la forma de la solución para dos tiempos t1 y t2 tales que 0 < t1 < 1 y 1 < t2

Problema 1.3 Dibujar cualitativamente el diagrama de curvas características para los siguientes problemas:

a) 2 0; , 0u uu xt x

∂ ∂− = < ∞ ≥

∂ ∂t b) 2 0; , 0u uu x

t xt∂ ∂

+ = < ∞∂ ∂

≥

con las siguientes condiciones iniciales:

0 0( ,0) 0 1

0 1

si xu x x si x

si x

<⎧⎪= ≤ ≤⎨⎪ >⎩

Angel N.Menéndez Pág. 1/33 24/08/06






2 PROBLEMAS PARABOLICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 2.1 Sea el siguiente problema: u t = u xx , 0≤ x ≤π , t ≥ 0 u (x,0) = sen x u (0,t) = u(π ,t) = 0 cuya solución exacta es u (x,t) = e− .sen x. t

a) Resolverla utilizando el método explícito centrado, tomando un paso ∆x =π /10. Comparar con la

solución exacta. b) Recalcular la solución usando el método de Crank-Nicholson para la discretización temporal c) Replantear el problema con las siguientes condiciones de borde de Neumann en reemplazo de las de

Dirichlet: u x (0,t) = f(t), t≥0 u x (π ,t) = g(t), t≥0 donde f y g se obtienen de la solución exacta. Resolverlo utilizando el esquema explícito centrado con el

mismo paso de malla. d) Recalcular el problema anterior con el método fuertemente implícito. Problema 2.2 Se tiene la siguiente ecuación diferencial: u t + α u = γ u xx , α γ, >0. a) Discretizarla utilizando el esquema de Crank-Nicholson centrado espacialmente. b) Calcular el orden del error de discretización. c) Analizar la estabilidad numérica. d) Plantear el método de cálculo, discutiendo condiciones iniciales y de borde apropiadas. Problema 2.3 Sea la siguiente ecuación diferencial: u t - (1+u) u xx = 0 a) Discretizarla utilizando un esquema explícito apropiado. Inspirándose en el caso lineal, establezca de qué

tipo deben ser las condiciones de estabilidad del esquema propuesto. b) Utilizando la condición inicial siguiente



00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y condiciones de borde apropiadas, a su elección, avanzar cuatro pasos de cálculo. c) Estudiar la tendencia de la solución. Problema 2.4 Se tiene la siguiente ecuación de advección-difusión

2

2

, 0 , 0 x u u uU xt x

∂ ∂ ∂ν∂ ∂ ∂

+ = ≤ ≤ L t≤

donde U y ν son constantes positivas. a) Utilizando el método de acotamiento, surgen las siguientes condiciones de estabilidad:

Método explícito centrado: ∆∆t x

≤2

2ν, ∆x

U≤

2ν (1)

Idem pero con el término advectivo con upwinding: ∆∆

∆

t x

Ux

≤+

2ν (2)

Plantear un esquema donde el término advectivo se discretice como un promedio pesado entre la forma centrada y la forma con upwinding, y obtener las condiciones de estabilidad mediante el método de acotamiento. Mostrar que esas condiciones se reducen a las expresiones (1) y (2) en los correspondientes casos límites.

b) Explicar las características de cada uno de los tres métodos en cuanto a precisión y en cuanto a estabilidad para el caso en que la advección es dominante. Tiene alguna ventaja el esquema propuesto en esta última situación?

c) Plantear un esquema donde el término advectivo tenga upwinding pero sea fuertemente implícito. Demostrar, utilizando el método de von Neumann, que la única condición de estabilidad es la primera de las condiciones (1).

Problema 2.5 Sea la siguiente ecuación de advección-difusión

∂∂

∂∂

ν ∂∂

ut

U ux

ux

+ =2

2

donde U y ν son constantes positivas. a) Discretizarla utilizando un método localmente unidimensional. Elija esquemas explícitos centrados

espacialmente. b) Demostrar que el método así planteado es consistente.

Sugerencia: Reducir las dos ecuaciones en diferencias a una sola y demostrar la consistencia de esa ecuación reducida.

c) Verificar que el orden de precisión del método es el esperado. Angel N.Menéndez Pág. 3/33 24/08/06


Problema 2.6 Se tiene la siguiente ecuación parabólica bidimensional: u t = u xx + u , 0≤ x,y ≤ 1, t≥ 0 yy

u(x,y,0) = sen(π x).sen(π y) u(0,y,t) = u(1,y,t) = 0 u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0 cuya solución exacta es u(x,y,t) = e− sen(2 2π t π x).sen(π y) a) Resolverla utilizando un método explícito centrado con ∆x=0.1. Comparar con la solución exacta. b) Recalcular usando el esquema fuertemente implícito. Problema 2.7 Sea la siguiente ecuación diferencial: u t + c1 u x + c 2 u = y γ ( u xx + u yy ) , c1 ,c 2 , γ > 0 a) Resolverla utilizando el método de las direcciones alternadas de Peaceman-Rachford. Utilizar ∆x=0.1. b) Recalcular mediante un esquema localmente unidimensional y fuertemente implícito. Analizar la

estabilidad numérica y la consistencia. Problema 2.8 Sea el siguiente problema parabólico no lineal: ut=( a(u) ux )x , 0≤ x ≤ 1 , t≥ 0 , a(u)≥ 0 Construir una aproximación de orden dos en el espacio y en el tiempo utilizando el esquema de tres niveles de Du Fort-Frankel. Problema 2.9 Se tiene la siguiente ecuación diferencial

∂∂

∂∂

ν ∂∂

u t x

u x

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

donde ν(x) es una función conocida, que crece monótonamente con x. Se propone discretizar esa ecuación mediante un método explícito utilizando una malla con nodos alternados para u y ν, es decir que mientras u está localizado en los nodos j, j+1, j+2, etc., ν lo está en j+1/2, j+3/2, etc. a) Escribir la versión discretizada de la ecuación diferencial, utilizando un esquema explícito de orden 2 en

el espacio. b) Teniendo en cuenta que la ecuación diferencial puede reescribirse como

∂∂

∂ν∂

∂∂

ν ∂∂

u t x

u x

ux2− =2

plantear un esquema más estable que el anterior (reduciendo, como costo, el orden de precisión).

Demostrar, comparando con el esquema anterior, que esa mayor estabilidad se logra por la introducción de un término de difusión numérica.



Problema 2.10 Se tiene la siguiente ecuación

∂∂

ν ∂∂

∂∂

ut

ux

uy

= +( )2

2

2

2

donde ν es una constante positiva. a) Discretizarla por un método localmente unidimensional fuertemente implícito. b) Mostrar que, si se utiliza el operador

el sistema de ecuaciones en diferencias obtenido en el punto anterior puede reducirse a la ecuación

donde rx=ν∆t/∆x2 y ry=ν∆t/∆y2. (Sugerencia: escriba cada ecuación del sistema en términos del operador y luego opere para obtener la expresión requerida).

δ x ij i j i ju u u= −+ −1 2 1 2/ /

( )( )1 12 2 1− − =+r r ux x y y ijn

ijnδ δ u

c) Desarrollar los operadores en la ecuación obtenida en el punto anterior. Luego obtener la ecuación modificada de Hirt, aunque sin efectuar la reducción a operadores puramente espaciales. (Sugerencia: los desarrollos de Taylor hacerlos alrededor del nodo n+1,i,j). Comparar el término adicional obtenido con el correspondiente al método directo fuertemente implícito, que vale

¿Cuál de los dos métodos numéricos tiene mayor difusión numérica?

∂∂

ν ∂∂

∂∂

2

2

4

42

4

42

2 12u

tt u

xx u

yy

∆

∆ ∆+ +( )

Problema 2.11 Se tiene la ecuación de advección difusión:

2

2

xu

xuU

tu

∂∂

=∂∂

+∂∂ ν

donde U y ν son constantes. Ya se ha visto que si esta ecuación se discretiza mediante un método explícito directo, con el término difusivo centrado y el advectivo con upwinding, resulta un esquema consistente, condicionalmente estable. a) Discretizarla utilizando los mismos esquemas, pero con la técnica de desdoblamiento ("splitting"). b) Mostrar que el método así planteado es consistente. (Sugerencia: Llevar el problema en diferencias a una

sola ecuación y sólo analizar la parte en que difiere del método explícito directo). Problema 2.12 Sea la siguiente ecuación diferencial:

2 2

2 2

u uDt x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u

Discretizarla mediante un método explícito centrado espacialmente, utilizando la técnica de desdoblamiento (método localmente unidimensional). Considerar pasos espaciales (∆x,∆y) distintos en ambas direcciones. Demostrar que el esquema así construido es consistente con la ecuación diferencial, teniendo en cuenta que ambos pasos espaciales son siempre del mismo orden, es decir, O(∆x/∆y)=1. (Sugerencia: reducir las dos



ecuaciones en diferencias a una única ecuación, eliminando la variable intermedia, y hacer el análisis de consistencia sobre esa ecuación). Verificar que el orden de precisión del esquema numérico es O(∆t,∆x2,∆y2). Problema 2.13 Se tiene el siguiente problema parabólico no lineal:

2

2( ) ; 0 < 1; ( ,0) ; (0, ) 0; (1, ) 0 u u uu x u x x u t tt x x

ν∂ ∂ ∂= < = =

∂ ∂ ∂=

donde ν = α u, con α = constante. Discretizarlo mediante un método explícito centrado espacialmente. Aplicar el método de von Neumann para obtener el factor de amplificación de una perturbación en términos del parámetro p ≡ α ∆t/∆x2. A partir del factor de amplificación obtenido determinar las condiciones de estabilidad numérica, suponiendo que u es siempre positivo y que 2 0 0

1nj j ju u u−∆ ≤ − = ∆x 1, donde 2

1 2n n n nj j j ju u u u+ −∆ ≡ − + (esta condición

significa que la cota máxima de la “curvatura” de la solución numérica es un codo inicial con 1 11N Nu u −= ).

Problema 2.14 Para el problema planteado en el Problema anterior, tomar

α = 0,5; ∆x = 0,25 y p ≡ α ∆t/∆x2 = 0,5.

a) Avanzar la solución 4 pasos de cálculo (con el método explícito centrado). Graficarla. A partir de la observación, indicar si la solución calculada es estable numéricamente. Explicar si esto es consistente con las hipótesis y con las condiciones de estabilidad halladas en el Problema anterior.

b) Linealizar el problema tomando un valor constante de ν igual a ν[u(x = 0,75;t = 0)]. Recalcular 4 pasos de la solución con el método explícito centrado tomando el mismo paso temporal que en el Problema anterior. Calcular la diferencia entre esta solución y la del problema no lineal para cada uno de los 4 pasos de tiempo y graficarla. En base a la observación y al análisis de la aproximación impuesta, sacar alguna conclusión acerca de la tendencia de este error para pasos de cálculo creciente.

Problema 2.15 El desarrollo de una capa límite laminar a lo largo de la superficie plana de un cuerpo rígido (ver figura 1) se describe por el siguiente sistema de ecuaciones, que expresan la conservación de la masa y la cantidad de movimiento en la dirección de la corriente:

0u vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

2

2

u u Uu v U ux y x

νy

∂ ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

donde x e y son las coordenadas en las direcciones longitudinal y normal a la superficie del cuerpo, u y v las componentes de la velocidad en esas direcciones, respectivamente, U la velocidad de la corriente libre (es decir, lejos del contorno sólido) y ν la viscosidad cinemática del fluido. Esas ecuaciones de movimiento se complementan con las siguientes condiciones de borde, que expresan el no deslizamiento y la impenetrabilidad del contorno rígido y la tendencia asintótica hacia la corriente libre lejos de ese contorno:

( ,0) 0, ( ,0) 0, ( , ) ( )yu x v x u x y U x→∞= = ⎯⎯⎯→



δ u

U Figura 1 Perfil vertical de velocidad horizontal para una capa límite laminar

El problema de capa límite se da para zonas lo suficientemente alejadas del comienzo de la superficie; si esta distancia es x, la condición es Ux/ν >>1. Para completar el planteo del problema aún resta especificar los perfiles de las dos componentes de la velocidad para una sección inicial x = xo, es decir, u(xo,y) y v(xo,y). En el caso particular en que no existe un gradiente de presiones longitudinal, la corriente libre U es constante (es decir, independiente de x), por lo que desaparece su contribución en la ecuación de la cantidad de movimiento. Este se conoce como el problema de Blasius del flujo sobre el plato, y es el que deberá estudiar. ¿Cómo clasifica al sistema diferencial? (parabólico, hiperbólico, elíptico). Efectúe un análisis de escalas para mostrar que el espesor de la capa límite δ(x) es del orden (νx/U)½ si x es la distancia desde el inicio del plato. Demuestre también que δ(x) << x. Considere ahora el siguiente caso específico: U = 0,50 m/s; ν = 10-6 m2/s (agua). Se plantea una condición de arranque para un xo arbitrario (ahora no necesariamente medido desde el origen del plato) con un perfil de velocidades esquemático para u de acuerdo a lo mostrado en la figura 2, mientras que a la velocidad v se la toma idénticamente nula. Para el espesor inicial se toma el valor δo = 0,09 m. Plantee ahora una grilla de cálculo rectangular. Tome un paso vertical grueso ∆y = δo /3. Elija entonces un paso horizontal ∆x adecuado para resolver el problema con precisión. La idea es calcular la evolución de los perfiles de velocidad hasta una distancia L = 5∆x. Determine cuál es la altura adecuada H del dominio de cálculo en la dirección vertical. Para ello analice cómo espera que crezca el espesor de la capa límite sobre la distancia L. Discretizar las ecuaciones diferenciales mediante el método más simple de diferencias finitas y efectuar el cálculo sobre el dominio recién definido.


Figura 2 Perfil vertical de velocidad horizontal esquemático como condición de arranque

U

u(xo,y) δo

Es sabido que si se introduce una coordenada vertical alternativa

2U y

xη

ν=

y se adimensionaliza la velocidad horizontal uU

µ = ,

entonces resulta ( )µ µ η= , es decir, una solución autosimilar (ya que no depende explícitamente de x). El sistema de ecuaciones diferenciales para el problema de Blasius puede ser reemplazado entonces por la ecuación diferencial ordinaria (problema de valores de contorno)

''' '' 0f ff+ = ,


donde f’=µ. Las condiciones de borde se transforman en

(0) '(0) 0, '( ) 1f f f ηη →∞= = ⎯⎯⎯→

Resolverla mediante un método de diferencias finitas y compararla con la solución obtenida en el punto anterior al final del dominio. En base a ello, estimar cuál es la distancia al inicio del plato.

Problema 2.16 Sea la siguiente ecuación parabólica: 2 2

2 2

u uDt x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u .

a) Discretizarla utilizando un método de desdoblamiento ó “splitting” (localmente unidimensional); en cada paso usar un esquema explícito centrado.

b) Demostrar que el método es consistente, y determinar su orden de precisión. Por simplicidad, considere que ∆x = ∆y.

Sugerencia: Despejar la incógnita del primer paso y reemplazarla en el segundo paso.

Fórmula útil: Desarrollo en serie de Taylor:

, ,

2 2 22 2

2 2, , ,

3 33 3

3 3, ,

3 32

2 2, ,

( , ) ( , ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )(2 2

1 1( ) ( )6 6

1 1( ) ( )2 2

o o o o

o o o o o o

o o o o

o o o

o o o ox y x y

o ox y x y x y

o ox y x y

o ox y x y

f ff x y f x y x x y yx y

f f f )o ox x y y x xx y x y

f fx x y yx y

f fx x y yx y x y

∂ ∂= + − + −

∂ ∂

∂ ∂ ∂+ − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ − + −

∂ ∂

∂ ∂+ − − +

∂ ∂ ∂ ∂2 4( )( ) (

o

o o

y y−

)x x y y O h− − +

donde h es el orden de magnitud de ( )ox x− y de ( )oy y− .

Problema 2.17 Sea el siguiente problema de difusión: 2 2

2 2

u uDt x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= +⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u⎟ . 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0, con las

siguientes condiciones de borde:

( , ,0) ( ) ( ); (0, , ) (1, , ) 0; ( ,0, ) ( ,1, ) 0u x y sen x sen y u y t u y t u x t u x tπ π= = = = =

a) Discretizar la ecuación diferencial mediante un método de diferencias finitas localmente unidimensional fuertemente implícito.

b) Tomando pasos de discretización ∆x =∆y = 1/3 y r ≡ D∆t/∆x2, avanzar la solución un paso de tiempo. Calcular con una precisión de tres decimales.

c) En base a los resultados obtenidos en el punto anterior, sugiera una forma expeditiva de calcular la solución numérica para cualquier paso de tiempo. En particular, determine cuántos pasos de tiempo son necesarios para que la solución no supere en ningún punto un valor igual al 1% del valor inicial. Idem para el 1º/oo.







3 PROBLEMAS HIPERBOLICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 3.1 Sea la siguiente ecuación diferencial: ut - (1+u) ux = 0 a) Discretizarla utilizando un esquema explícito apropiado. Estudiar la estabilidad numérica. b) Utilizando las siguientes condiciones iniciales:

00 ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,9

1

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 y condiciones de borde apropiadas (a su elección), realizar los primeros cuatro pasos del cálculo. Problema 3.2 Se tiene la siguiente ecuación diferencial: ut - c ux + α u = 0 ; c,α > 0. a) Discretizarla utilizando un esquema implícito descentrado espacialmente. b) Establecer el orden del error de discretización. c) Hallar el coeficiente de viscosidad numérica. d) Analizar la estabilidad numérica. e) Plantear el método de cálculo, discutiendo sobre las condiciones iniciales y de borde apropiadas. Problema 3.3 Sea el siguiente problema hiperbólico no lineal:

0 =+

xuu

tu

∂∂

∂∂

con condiciones iniciales: u(x,t=0) = 1 , x ≤ 1 -x , -1 < x < 0 0 , x ≥ 0 Reescrita en su forma característica, la ecuación diferencial es Angel N.Menéndez Pág. 9/33 24/08/06


dudt

sobre dxdt

u= =0

Se define una grilla de discretización de pasos ∆x = 0,5 y ∆t = 0,4. a) Construir un esquema numérico explícito basado en las características. Utilizar los valores del paso de

tiempo n para obtener valores de la solución en el paso n+1 pero en puntos no coincidentes, en general, con los nodos de la grilla. Luego hallar los valores nodales mediante interpolación lineal. Avanzar 3 pasos de tiempo.

b) En base a los resultados obtenidos, inferir la solución numérica asintótica para tiempos grandes. c) Obtener la solución exacta del problema para los nodos de la malla y comparar con los valores numéricos. d) Coinciden las soluciones asintóticas exacta y numérica? En caso negativo sugerir variantes de cálculo

para que sí lo hagan. Problema 3.4 Sea la siguiente ecuación diferencial: utt - c2 uxx = 0 a) Discretizarla utilizando un método de paso doble de orden dos en el espacio y en el tiempo y hallar la

condición de estabilidad. b) Discretizarla utilizando la idea del esquema de DuFort-Frankel y mostrar que es incondicionalmente

estable. c) Dadas las siguientes condiciones iniciales y de contorno:

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ut (x,0) = 0 u(0,t) = u(1,t) = 0 avanzar 3 pasos de cálculo usando DuFort-Frankel. Tomar ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x / c. Problema 3.5 Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: vt + c vx = 0 wt - c wx = 0 a) Discretizarlo utilizando un esquema explícito descentrado (“aguas arriba” ó “aguas abajo”, según

convenga). b) Dadas las siguientes condiciones iniciales y de contorno: Para v(x,0) y para w(x,0) :



00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,450,5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

v(0,t) = -w(0,t) v(1,t) = -w(1,t)

avanzar la solución 3 pasos de cálculo con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x / c. c) Calcular u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) y comparar con los resultados del problema 4.6. Problema 3.6 Se tiene la siguiente ecuación diferencial: (u2/2)t + (u3/3)x = 0 a) Discretizarla utilizando el esquema de Lax. b) Demostrar que el factor de amplificación, calculado por el método de Von Neumann, vale: gn = (M cos(K∆x) + i N sen(K∆x))/(2 u j

n+1 ) con M = (1-r u ) u j

n + (1+r u jn ) u j

n jn+1 +1 −1 −1

N = (1-r u jn ) u - (1+r u j

n ) u jn +1 j

n+1 −1 −1

donde r = ∆t / ∆x (siendo ∆t el paso temporal y ∆x el espacial) y K es el número de ondas. c) Demostrar que si en la expresión anterior se toma u constante, se obtiene la condición de estabilidad de

CFL. Problema 3.7 Se tiene la siguiente ecuación diferencial: ut + c1 ux + c2 uy = 0, c1, c2 > 0 a) Por analogía con el caso unidimensional (c2 = 0), discretizarla utilizando el esquema de Lax. b) Utilizando el método de Neumann, demostrar que el factor de amplificación es: g=1/2(cos(K1 h) + cos(K2 h)) - i (r1 sen(K1 h) + r2 sen(K2 h))

con r1 = c1 ∆t / ∆x y r2=c2 ∆t / ∆x (siendo ∆t el paso temporal y ∆x el espacial) y K1 y K2 las componentes del vector número de ondas en las direcciones x e y, respectivamente.

c) Hallar la condición de estabilidad para el caso particular K1=K2. Mostrar que ella es más restrictiva que la correspondiente al caso unidimensional (c2=0)

d) Volver a discretizarla utilizando el esquema explícito de “aguas arriba”. e) Utilizando von Neumann demostrar que el factor de amplificación es g=1-2(r1 sen2(K1 h/2) + r2 sen2(K2 h/2)) - i (r1 sen(K1 h) + r2 sen(K2 h)) donde las constantes tienen el mismo significado que antes.



f) Hallar la condición de estabilidad para el caso particular K1=K2. Mostrar que ella es más restrictiva que la correspondiente al caso unidimensional (c2=0)

Problema 3.8 Sea el siguiente problema de valores iniciales: ut + ux + uy = 0 u(x,y,0) = 1 si x ≤ 0 e y ≤ 0 0 en el resto Las condiciones iniciales, discretizadas sobre una malla cuadrada, pueden representarse así: 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111000000 1111111000000 1111111000000 a) Discretizar la ecuación diferencial utilizando el esquema explícito de “aguas arriba”. De qué tipo será la

condición de estabilidad de este problema?. Inspirarse en el caso unidimensional. b) Tomando ∆x = 0.1 y eligiendo ∆t de modo de evitar inestabilidades numéricas, avanzar la solución tres

pasos de cálculo, representando cada paso en la misma forma en que se representaron las condiciones iniciales.

c) Discutir sobre la tendencia de la solución en base a los resultados obtenidos. Problema 3.9 Se tiene la siguiente ecuación diferencial ut + u ux + b u = 0 cuya formulación característica es

dudt

sobre dxdt

= − =bu u

Desarrollar la formulación de un método numérico de resolución en base a las curvas características, de acuerdo al siguiente procedimiento: i) Definir una red de cálculo regular sobre el plano x,t. ii) Suponer como dato los valores nodales de la solución en el paso de tiempo n. iii) Construir las curvas características que emanan desde cada uno de esos nodos. iv) Determinar los valores de la solución en el paso de tiempo n+1 en los puntos donde las características

cortan ese nivel de tiempos. v) Determinar los valores nodales en el paso n+1 por interpolación de los obtenidos en (iv). Limitar el paso de tiempo por la condición de Courant. Suponer u > 0. Se pide: a) Un método de orden de precisión 1. b) Un método de orden de precisión 2. Problema 3.10 Sea el siguiente sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales, que es la versión más simple de las denominadas ecuaciones para aguas poco profundas,



∂∂

∂∂

∂∂

ut

u ux

g hx

+ + = 0

∂∂

∂∂

∂∂

ht

u hx

h ux

+ + = 0

donde t y x son las coordenadas temporal y espacial, respectivamente, u la velocidad (media vertical) de la corriente y h la profundidad. Las ecuaciones se verifican en el dominio espacial 0 ≤ x ≤ L. Si se toman como escalas de referencia la profundidad media H para las distancias verticales, la longitud L para las distancias longitudinales, la celeridad de ondas (gH)1/2 para la velocidad y L/(gH)1/2 para el tiempo, la versión adimensional del sistema anterior puede escribirse como

∂∂

∂∂

∂∂

ut

u ux

hx

+ + = 0

∂∂

∂∂

∂∂

ht

u hx

h ux

+ + + =( )1 0

donde ahora h representa el apartamiento relativo de la superficie libre respecto de la profundidad media H y el dominio es 0 ≤ x ≤ 1. a) Linealizar el sistema de ecuaciones adimensional (es decir, despreciar directamente los términos no

lineales) y discretizar el sistema resultante mediante el método explícito centrado. Tomar 4 intervalos de discretización, condiciones de Dirichlet homogéneas para la velocidad en ambos extremos (u=0 en x=0 y en x=L) y, como condiciones iniciales, u idénticamente nula y los siguientes valores para h:

h0=0; h1=0,5; h2=0; h3=-0,5; h4=0 Tomar un paso temporal adecuado para la precisión de la solución numérica y avanzar 5 pasos de

cálculo. Graficar esquemáticamente la solución obtenida para h. (Comentario: La condición de borde u=0 puede utilizarse como una condición de antisimetría, es decir, que el valor de u en el nodo fantasma es menos el valor en el nodo especular interno).

b) Generalizar el esquema anterior para el sistema no lineal de ecuaciones adimensional. Repetir el cálculo desarrollado en el punto anterior. Interpretar las diferencias observadas, respecto del caso lineal, en la solución para h.

c) Comentar sobre las características de estabilidad esperadas para el esquema numérico planteado y sugerir formas de proceder para tender hacia condiciones más estables.

Problema 3.11 Se tiene el problema hiperbólico:

∞<<∞=∂∂

+∂∂ x

xuu

tu - ,0

⎢⎣

⎡>≤

==0 00 1

)0,(xsixsi

txu

a) Mostrar que si se utiliza un esquema numérico basado en las curvas características que emanan desde

cada nodo, del paso de tiempo n al n+1, e interpolación lineal en n+1, la discontinuidad permanece indefinidamente en el origen. Tomar ∆t=∆x/2.

b) Mostrar que si, en cambio, se usa interpolación cuadrática, la discontinuidad finalmente se dispara. (Nota: Usar la fórmula de interpolación sesgada hacia la derecha. Mostrar, simplemente, que hay un



instante en que se cruzan las características. Al final del examen se presenta la fórmula para interpolar cuadráticamente).

Problema 3.12 La siguiente es la forma conservativa de un problema hiperbólico

2 1 00; ( ,0)

0 02si xu u u xsi xt x

≤⎛ ⎞ ⎧∂ ∂+ = = ⎨⎜ ⎟ >∂ ∂ ⎩⎝ ⎠

Discretizarla mediante un método explícito centrado espacialmente. Tomar ∆x = 1 y r ≡ ∆t/∆x = 0,8 y avanzar la solución 4 pasos de tiempo. Graficarla Repetir el cálculo pero ahora usando un método explícito con upwinding. Graficarla A partir de la observación, comentar sobre la estabilidad de las soluciones numéricas obtenidas en los dos puntos anteriores. Analizar si se cumple la condición de Courant. Sacar conclusiones acerca de la necesidad o suficiencia de la condición de Courant para la estabilidad numérica. Comentar sobre la precisión de la solución numérica estable, comparándola con la solución cerrada del problema diferencial, explicando el origen de las discrepancias. Problema 3.13 Sea el siguiente problema hiperbólico:

1 00; ( ,0)


≤⎧∂ ∂+ = = ⎨ >∂ ∂ ⎩

c) Plantear su resolución numérica por el método de las características. Para calcular uj

n+1 trazar la característica que pasa por ese punto, remontarla hasta el paso de tiempo n y obtener el valor correspondiente de u mediante interpolación lineal entre los dos valores nodales vecinos. Tomar ∆x = 1 y r ≡ ∆t/∆x = 0,8 y avanzar la solución 4 pasos de tiempo.

d) Comentar sobre la precisión esperable de la solución numérica, comparándola con la solución cerrada del problema diferencial, explicando el origen de las discrepancias.

Problema 3.14 Se tiene el siguiente problema hiperbólico:

2 0 00; ( ,0)


<⎛ ⎞ ⎧∂ ∂+ = = ⎨⎜ ⎟ ≥∂ ∂ ⎩⎝ ⎠

Discretizarlo mediante un método explícito con upwinding. Tomar ∆x = 1 y ∆t = 0,5 y avanzar la solución 4 pasos de tiempo. Graficarla para cada paso de tiempo. Determinar la solución analítica del problema. Representarla para los instantes coincidentes con el paso de cálculo numérico sobre el mismo gráfico. Para ello considerar que el origen de la solución analítica está corrido en ∆x / 2 hacia la izquierda. Calcular los errores numéricos para cada paso de tiempo como diferencia entre las soluciones y graficarlo. Comentar sobre la evolución del error con el tiempo. Problema 3.15 Sea la ecuación diferencial hiperbólica

0u uct x

∂ ∂+ =

∂ ∂, c < 0.

a) Discretizarla con un esquema totalmente implícito con upwinding. b) Analizar la estabilidad del esquema mediante el método de Hirt.



Problema 3.16 Sea la siguiente ecuación hiperbólica no lineal: 0u uut x

∂ ∂+ =

∂ ∂.

a) Discretizarla utilizando un método explícito con upwinding. b) Hallar la ecuación “verdadera” de Hirt, eliminando los términos con derivada temporal hasta el orden 1 en el incremento. c) Identificar el coeficiente de difusividad numérica y hallar la condición de estabilidad numérica. d) Mostrar que el esquema introduce, además, dispersión numérica, variando la velocidad de propagación de la información. Identificar la velocidad numérica.

Problema 3.17 El esquema de Mac Cormack para la ecuación hiperbólica 0u ft x

∂ ∂+ =

∂ ∂, donde f = f(u),

puede escribirse como el siguiente método de dos pasos (suponiendo ∂f/∂u > 0):

( )

1

1

11 1 1

1

0

12 012

n n n nj j j j

nn n n njj j

j j

u u f ft x

u u u f fxt

+

−

++ + +

+

− −+ =

∆ ∆

− + −+ =

∆∆

donde . Demostrar que el esquema es consistente y de segundo orden de precisión en x y en t, para el caso particular en que f(u) = u.

11

(n

njjf f u

+≈ += )

Sugerencia: Reemplazar primero la forma particular de f en la ecuación diferencial. Despejar la incógnita del primer paso y reemplazarla en el segundo paso.







4 PROBLEMAS ELIPTICOS EN DIFERENCIAS FINITAS Problema 4.1 La ecuación de Laplace ϕ xx + ϕ yy = 0 se verifica sobre el dominio de la figura 4.1, donde también se especifican las condiciones de borde. a) Discretizar el problema en diferencias finitas utilizando una malla regular de paso ∆x = ∆y = 1. Plantear

explícitamente el sistema algebraico resultante para los nodos interiores y proponer un método de resolución de dicho sistema.

b) Repetir los pasos detallados en el punto anterior, pero utilizando un método seudo-evolucionario basado en el método implícito de las direcciones alternadas.

Figura 4.1

Problema 4.2 La ecuación de Laplace (ver Problema 5.1) se verifica sobre el dominio de la figura 5.2, donde también se especifican las condiciones de borde. En base a la grilla de la figura, hallar la solución en los nodos A, B, C y D mediante el método de diferencias finitas y la técnica iterativa de Jacobi. Obtener los resultados con una precisión de 3 dígitos.




2 2 02

2

2 2

2∂∂

∂∂

∂∂

ux

uxy

uy

x y+ + = ∈; ( , ) Ω

a) Construir una aproximación en diferencias finitas centradas (orden de precisión 2 en los pasos espaciales

∆x y ∆y). b) Plantear el sistema algebraico resultante para el siguiente problema diferencial: Ω = 0 ≤ x ≤ L ; 0 ≤ y ≤ L u(0,y) = 0 , 0 ≤ y < L u(L,y) = 1 , 0 ≤ y≤< L u(x,0) = 0 , 0 < x < L u(x,L) = 1 , 0 ≤ x≤ L tomando una malla cuadrada de pasos ∆x = ∆y = L / 3; c) Teniendo en cuenta que el problema tiene simetría respecto de la línea y = x, reducir el sistema de

ecuaciones a uno de 3 x 3 y resolverlo. Problema 4.4 Se tiene la siguiente ecuación diferencial: a ux = uxx , a > 0 sujeta a las siguientes condiciones de contorno: u(0.2) = 0.2 , u(0.8) = 0.8 ; a) Tomando ∆x = 0.2 , calcular u(0.4) y u(0.6) en función de a. b) Analizar la solución obtenida en a) para los casos límites a → 0 y a → ∞. Corroborar que estas soluciones

límites son correctas. c) Plantear un método seudoevolucionario para resolver este problema. Utilizar un esquema explícito, tomar

a = 1 y efectuar al menos dos pasos de cálculo, cuidando que el proceso permanezca estable (Tomar como condiciones iniciales la solución para a → 0).

Problema 4.5 Resolver numéricamente la ecuación elíptica: uxx + uyy = 2 ex+y , (x,y) ε Ω = [0,1]x[0,1] u(x,y) = g(x,y) si (x,y) ε δ (Ω) donde δ(Ω) es la frontera, tomando g(x,y) de la solución exacta u(x,y) = ex+y. a) Utilizar el método de Jacobi con ∆x = 0.1. b) Utilizar los métodos de Gauss-Seidel y SOR con el mismo paso y comparar tiempos de cómputo. Problema 4.6 Resolver numéricamente la ecuación elíptica: uxx + uyy - u + f = 0, (x,y) ε Ω = [1,2]x[1,2] f = f1 + f2 ; f1 = y(x-1) (x-2)(y-3); f2 = -2(y-1)(y-2); u(x,y) = g(x,y) si (x,y) ε δ (Ω)



donde δ(Ω) es la frontera. Obtener g(x,y) de la solución exacta del problema: u(x,y) = (x-1)(x-2)(y-1)(y-2). Utilizar Gauss-Seidel con ∆x = 0.1. Problema 4.7 Se tiene el siguiente problema elíptico:

2 2

2 2 0, 0 2, 0 1u u x yx y∂ ∂

+ = < < < <∂ ∂

( , 0) 0, ( 0, ) 0, ( 2, ) 0u x y u x y u x y= = = = = = 2 1

( , 1)2 1x si x

u x yx si x

⎧ ≤= = ⎨

− >⎩

a) Plantear el problema numérico resultante de la discretización, si se utiliza una grilla de 4 intervalos

en cada una de las dos direcciones. Expresar el sistema algebraico completo resultante. b) Mostrar cómo procedería para resolverlo con un método seudoevolucionario, utilizando un esquema

explícito. ¿Qué condición de estabilidad esperaría? Problema 4.8 La ecuación de Laplace

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

se cumple sobre el dominio cuadrado de la figura, donde también se indican las condiciones de borde de Dirichlet sobre los 4 lados y la grilla de discretización propuesta.

a) Obtener el sistema de 4 ecuaciones algebraicas acopladas que surge de discretizar el problema mediante diferencias finitas.

b) Plantear la resolución del problema mediante un método localmente unidimensional (desdoblamiento) fuertemente implícito. Obtener los sistemas de 2 ecuaciones algebraicas que surgen al aplicar esta metodología.

Problema 4.9 Se tiene el siguiente problema:

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

, para 2 2 1x y+ <



60 600

120 240u para

ϕϕ

− ° ≤ ≤ °⎧= ⎨ ° ≤ ≤ °⎩

60 120

1 240 300

u paraϕϕ

° < < °⎧= ⎨ ° < < °⎩

Discretizar el problema sobre una malla cartesiana regular cuadrada de paso ∆x = ∆y = 0,5. Resolverlo. Discretizar el problema sobre una malla regular en coordenadas polares con ∆ρ = 0,5 y ∆ϕ = 45°, teniendo en cuenta la expresión de la ecuación de Laplace en esas coordenadas (ver más abajo). Para el origen plantear una discretización en coordenadas cartesianas. Resolverlo. Comparar las soluciones. ¿Cuál considera que es más precisa? ¿Por qué?

Nota: Ecuación de Laplace en coordenadas polares: 2 2

2 2

1 1 0u u uρ ρ ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂

2+ + =∂ ∂ ∂


2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

, para 2 2 1x y+ <

( )

( )

2

2

2

2 / 2 / 2

2 / 2

2 / 2

u para

u para

u para

ϕ π ϕ ππ

π ϕπ ϕ π

π

π ϕπ ϕ π

π

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= <⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞= − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

≤

< −

Mostrar que los ejes x e y constituyen ejes de simetría del problema. Discretizar el problema para la malla cartesiana regular cuadrada de paso ∆x = ∆y = 0,5 mostrada en la figura, pero teniendo en cuenta los brazos menores de la molécula de cálculo cerca de los contornos. Tener en cuenta la simetría del problema, demostrada en el punto anterior, para simplificar el sistema algebraico a uno que involucra sólo los nodos 1 a 8 identificados en la figura. Resolver el sistema resultante y, a partir de la solución, graficar esquemáticamente las curvas de nivel de la solución sobre el dominio completo. Nota: La discretización de la ecuación de Laplace con brazos desiguales es la siguiente:

0E E N N W W S S o ou u u u uβ β β β β+ + + − =



2 EE

E W

ss s

β =+

, 2 WW

E W

ss s

β =+

, 2 NN

N S

ss s

β =+

, 2 SS

N S

ss s

β =+

, o E N W Sβ β β β β= + + +

(La interpretación de la fórmula está a cargo del alumno)


a

b

c

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

sobre el dominio de la figura

0 0,0 4 U 0 2, 4

1 0 4, 0 U 4,0 2

0 2, 2 4 U 2 4, 2

u sobre a x y x y

u sobre c x y x yu sobre b x y x yn

= = = ≤ ≤ ≤ ≤ =

= = < ≤ = = ≤ ≤

∂ = = = ≤ < ≤ < =∂

d) Discretizar por diferencias finitas el problema para la malla cartesiana regular cuadrada de

paso ∆x = ∆y = 1 mostrada en la figura, donde se indican los nodos en los cuales la función es incógnita. Utilizar un esquema numérico de orden 2, incluyendo las condiciones de borde.

e) Escribir el sistema resultante en forma matricial, asegurando así que la cantidad de ecuaciones y de incógnitas son las mismas.


Análisis Numérico Avanzado Facultad de Ingeniería-UBA





5 ELEMENTOS FINITOS Problema 5.1 La ecuación de Laplace ϕ xx + ϕ yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura, especificándose allí las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la función en el punto central, de coordenadas (0,0), en base a la discretización más simple que utilice sólo los valores en los cuatro vértices. a) Utilizar el método de las diferencias finitas. b) Utilizar el método de los elementos finitos


d udx

2

2 + =u 0

a) Obtener las funciones de forma para un elemento finito unidimensional de 3 nodos, 2 extremos y uno

central (equidistante de ambos extremos). Graficarlas. b) Plantear la formulación débil del problema diferencial (no considerar las condiciones de borde) y mostrar

gráficamente las funciones de peso a utilizar para una discretización en elementos finitos en base al método de Bubnov-Galerkin.

c) Calcular los siguientes elementos de la matriz de rigidez: - Ecuación correspondiente a nodo extremo: Coeficiente de la incógnita en ese nodo extremo Coeficiente de la incógnita en el nodo central derecho - Ecuación correspondiente a un nodo central: Coeficiente de la incógnita en ese nodo central Coeficiente de la incógnita en el nodo extremo derecho

Angel Menéndez Pág 21/33 24/08/06


Problema 5.3 Se tiene el siguiente problema parabólico:

∂∂

ν∂∂

ut

ux

x L t= ≤ ≤2

2 0 0, , ≤

∂∂

∂∂

ux

t ux

L t t u x g x x L( , ) ( , ) , ; ( , ) ( ),0 0 0 0 0= = ≤ = ≤ ≤

donde ν es una constante positiva y g(x) una función conocida. a) Plantear la formulación débil del problema sobre el dominio abierto Ω = 0 ≤ x ≤ L ; 0 ≤ t. b) A partir de la formulación débil, discretizar el problema utilizando elementos finitos en el espacio y en el

tiempo. Utilizar un elemento rectangular lineal (de cuatro nodos ubicados en los vértices), de lados ∆x y ∆t. Construir la función de peso usando el criterio de Galerkin sólo para los elementos que se hallan hacia t decrecientes respecto del nodo, y haciéndola nula en el resto del dominio. Obtener la forma genérica de la ecuación asociada al nodo n de la figura 1, utilizando la siguiente notación:

α ν∂∂

∂

∂ijim

jmN

xN

xdxdt

m= ∫∫

( ) ( )

Ω

δ∂∂ij

im

jmN

tN dxdt

m= ∫∫

( )( )

Ω

donde Nm

(i) es la función de forma del elemento cuadrangular m, asociada al nodo local i (1 ≤ i ≤ 4).

c) Teniendo en cuenta que los coeficientes valen lo que muestra la siguiente tabla (con r=ν∆t/∆x2),

explicitar la forma final de la ecuación y verificar que es consistente (es decir, que se reduce a la ecuación diferencial cuando los pasos tienden a cero). Sugerencia: Transformarla algebraicamente hasta obtener una expresión compatible con la ecuación diferencial.

i j αij δij

1 4 r ∆x / 6 - ∆x / 6 2 4 - r ∆x / 6 - ∆x / 12 3 4 - r ∆x / 3 ∆x / 12 4 4 r ∆x / 3 ∆x / 6 1 3 - r ∆x / 6 - ∆x / 12 2 3 r ∆x / 6 - ∆x / 6 3 3 r ∆x / 3 ∆x / 6 4 3 - r ∆x / 3 ∆x / 12



Problema 5.4 Se tiene el siguiente problema diferencial:

2

2 ( , ) 0, 0 1, (0) (1) 0d u f u x x u udx

+ = < < = =

a) Hallar la formulación débil. b) Plantear su discretización en elementos finitos para una función de peso arbitraria w y para un

elemento lineal de tres nodos, con dos nodos extremos y uno en el punto medio. c) Hallar las funciones de forma de ese elemento en términos de una coordenada local ξ del elemento

que varía entre 0 y 1. d) Utilizando el método de Bubnov-Galerkin, hallar la contribución total de un elemento al coeficiente

de la matriz de rigidez del nodo extremo izquierdo, proveniente del primer término de la ecuación diferencial.

Problema 5.5 En la siguiente figura se muestran dos elementos finitos triangulares de tres nodos, donde también se indica la numeración local (k) de los nodos.

1

1k= 3

k= 2k= 1 k= 1

k= 2k= 3

0

0

1

0

0 1

Elemento “a” Elemento “b” Determinar las funciones de forma asociadas a cada nodo para cada uno de los dos elementos. Calcular las siguientes integrales para cada uno de los dos elementos:

( ) ( )

m

m mi i

ij

N Nd dα ξ η

ξ ξΩ

∂ ∂=

∂ ∂∫ ; ( ) ( )

m

m mi i

ij

N Nd dβ ξ η

η ηΩ

∂ ∂=

∂ ∂∫

donde Ωm es el dominio interior a cada elemento. Problema 5.6 Sea el problema:

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

discretizado sobre una malla de elementos finitos triangulares regular de pasos ∆x y ∆y uniformes en las direcciones x e y, respectivamente, como la mostrada en la siguiente figura:



m= 1

m= 2

m= 3

m= 4

m= 5

m= 6 x

y

n

n2 n3

n4

n5n6

n1

a) Determinar la contribución a la ecuación correspondiente al nodo n de cada uno de los 6 elementos que contienen a ese nodo n. Utilizar las numeraciones de elementos y de nodo global indicadas en la figura. Expresar las contribuciones en términos de los coeficientes αij y β ij definidos en el problema anterior. Para ello efectuar una transformación de las coordenadas x,y a las coordenadas normalizadas ξ,η para cada elemento.

b) Efectuar el ensamble de la ecuación para el nodo n, reemplazar los valores de αij y β ij determinados en el problema anterior y llevar la ecuación resultante a una forma donde se haga patente la consistencia del esquema numérico planteado y su orden de precisión. (Sugerencia: Definir una numeración regular de la grilla, con n → i,j.

Problema 5.7 Se tiene la siguiente ecuación diferencial:

2 ( , ) ( , )ou x y q x x y yδ∇ = − − o en Ω

donde q es una constante, δ la delta de Dirac y (xo,yo) ∈ Ω. El dominio Ω de validez de esta ecuación se ha discretizado en elementos cuadrados, de lado l. La numeración local de nodos, para cada elemento m, se efectúa de acuerdo a la figura.

Plantear la formulación débil del problema, suponiendo que las condiciones de borde son del tipo Dirichlet. Obtener la expresión de la contribución del elemento m a la ecuación del nodo local 1, para una función de peso w arbitraria pero nula fuera de los elementos adyacentes a ese nodo. Calcular explícitamente esa contribución si para la elección de la función de peso se usa el criterio de Bubnov-Galerkin. Nota: Las funciones de forma para un elemento cuadrangular de lados unitarios son las siguientes:

N(1) = (1-ξ)(1-η); N(2) = (1-ξ)η; N(3) = ξη; N(4) =ξ(1-η)



Problema 5.8 Discretizar el siguiente problema por elementos finitos, utilizando elementos triangulares:

( ) ( ) .n n n rn

n nn

S H KkH pt

φ ρ ρ ρµ

∂ ⎡ ⎤= ∇ ∇ − ∇ +⎢∂ ⎣ ⎦

ng D Hq⎥ (fase no humectante) [1]

( ) ( )

.w w w rww w

w

S H KkH pt

φ ρ ρ ρµ

∂ ⎡ ⎤= ∇ ∇ − ∇ +⎢∂ ⎣ ⎦

wg D Hq⎥ (fase humectante) [2]

1n wS S+ = [3]

donde los siguientes son datos:

g (gravedad)

D(x,y) (profundidad)

H(x,y, D(x,y)) (espesor)

K (permeabilidad para fluido monofásico)

qn, qn (inyecciones de masa por unidad de volumen)

Se suponen conocidas las siguientes relaciones:

( w )pφ φ= (porosidad) ( )w w wpρ ρ= ; ( )n n npρ ρ= (densidades)

( )n w c wp p p S− = (presión capilar) [4] ( )rn rn wk k S= ; ( )rw rw wk k S= (permeabilidades relativas) ( )n n wSµ µ= ; ( )w w wSµ µ= (viscosidades)

Entonces, las incógnitas son:

pw, pn (presiones)

Sw, Sn (saturaciones)

para las cuatro ecuaciones [1] a [4]. Problema 5.9 La ecuación de movimiento para el flujo laminar en un conducto rectangular muy ancho puede escribirse como:

2

2

u uu gx y

ν∂ ∂= Γ +

∂ ∂ (1)



donde x es la coordenada longitudinal, y la coordenada vertical, u(x,y) la velocidad longitudinal (única componente existente), g la aceleración de la gravedad, ν la viscosidad cinemática del fluido y

1 pg xρ∂

Γ ≡ −∂

(2)

es el gradiente adimensional de presión en el sentido longitudinal, que es constante.

La velocidad es nula sobre ambas paredes:

( , ) ( , ) 0u x B u x B− = = (3)

donde 2B es la altura del conducto, y se ha ubicado el origen de la coordenada y a media altura. Finalmente, el perfil de velocidad de entrada es un dato:

(0, ) ( )u y w y= (4)

siendo w(y) una función conocida, y donde se ha ubicado el origen de la coordenada x en la entrada al conducto.

a) Plantear la formulación ponderada para la coordenada y. b)Tomar la siguiente familia de funciones de base:

2 2

( , ) ( ) ( )

( ) , 1, 2..j j

j jj

u x y x y

y y B j J

ϕ φ

φ

=

= − =

(5)

Aplicar el método de los residuos ponderados, con la técnica de Galerkin y obtener así la ecuación diferencial ordinaria para ϕ. c) Tomar J = 1 y calcular explícitamente los coeficientes de la ecuación diferencial. d) Discretizar el problema resultante por diferencias finitas.

Problema 5.10 Se tiene el siguiente funcional: ( )21( )2

I u uΩ

d= ∇∫ Ω

mk

sobre el dominio bidimensional Ω.

c) Mostrar que la discretización del principio variacional (δI = 0) por el método de los elementos finitos conduce a las siguientes contribuciones a los coeficientes de la matriz de rigidez desde el elemento em:

( ) ( ') ( ') ( ). ; , m

m m mk k np k

e

N N d a n G p G∇ ∇ Ω→ = =∫

d) Se tiene la grilla de elementos finitos triangulares mostrada en la siguiente figura (izquierda). Allí se identifica el nodo C y los 8 nodos que lo rodean, y se identifican los 8 elementos triangulares que contienen al nodo C como uno de sus vértices. Determinar las contribuciones de cada uno de esos



elementos a la ecuación del nodo C, calculándolas mediante transformación al elemento triangular normalizado (ver figura, izquierda).

NO N NE

E

SESSO

O C [1]

[2][3]

[4]

[5]

[6] [7]

[8]

1

1

(1)

0

0(2)

(3)

e) Ensamblar la ecuación y mostrar que se reduce a la clásica discretización del laplaciano en diferencias finitas.

Fórmulas útiles:

( ) 13 ( ) 12 ( )m m mk y k y k

m m

N l N l Nx ξ η

∂ ∂ ∂= −

∂ ∆ ∂ ∆ ∂; ( ) ( ) ( )13 12

m m mk kx x

m mkN N Nl l

y ξ η∂ ∂

= − +∂

∂ ∆ ∂ ∆ ∂

12 (2) (1) 13 (3) (1) 12 (2) (1) 13 (3) (1); ; ; m m m m m m m m m m m mx x y yl x x l x x l y y l y y≡ − ≡ − ≡ − ≡ − ; 12 13

12 13

m mx xmm my y

l ll l

∆ ≡

(1) (1) (2) (2) (3) (3)1; 1; 1; 0; 0; 1N N N N N Nξ η ξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂







6 VOLUMENES FINITOS Problema 6.1 La ecuación de Laplace ϕ xx + ϕ yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura 6.1, especificándose allí las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la función en el punto central, de coordenadas (0,0), en base al método de los volúmenes finitos. Utilizar un esquema centrado en la celda con el volumen de control mostrado en la figura.

Figura 6.1

Datos útiles: * Recordar que, con la función de peso w utilizada en volúmenes finitos,

− ∇ ∇ = ∫∫ ϕ∂ ϕ∂

. w dn

d

Ω ΓΓΩ

donde Γ es el contorno del dominio Ω y n es la normal a ese contorno. * Las funciones de forma, para el elemento genérico mostrado en la figura, son

N( ) ( ) (1 1 1 )= − −β γ N( ) ( )2 1= − β γ

N( )3 = β γ N( ) ( )4 1= −β γ

donde

β γ=−

=−x x

xy y

y1 1

∆ ∆ ;



Problema 6.2 Se desea calcular la siguiente contribución de la condición de Neumann, sobre un contorno Γ2 del plano (x,y), de una formulación en elementos o volúmenes finitos:

qwdΓΓ2

∫

donde q(x,y) es el valor de la derivada normal, w(x,y) es la función de peso y la integración es en sentido antihorario. Se supone que los elementos son triangulares, de tres nodos en los vértices. En la figura siguiente se muestra el elemento m, donde se identifica el lado que coincide con el borde en cuestión.

a) Discretizar la contribución del elemento para una función de peso arbitraria w. (Ayuda: representar la

derivada normal mediante interpolación en términos de sus valores en los nodos extremos). b) Calcular la contribución total del elemento al coeficiente de la matriz de rigidez del nodo local 1,

suponiendo que se trata de elementos finitos por el método de Bubnov-Galerkin. c) Calcular la misma contribución, pero suponiendo que se trata de volúmenes finitos por el esquema

centrado en la celda. Problema 6.3 Sea la ecuación:

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

a ser discretizada por el método de los volúmenes finitos sobre una malla de elementos triangulares regular de pasos ∆x y ∆y uniformes en las direcciones x e y, respectivamente, como la mostrada en la siguiente figura:



m= 1

m= 2

m= 3

m= 4

m= 5

m= 6 x

y

n

n2 n3

n4

n5n6

n1

a) Trazar los bordes del volumen de control alrededor del nodo n de modo de generar ecuaciones que acoplen los valores nodales sólo de los nodos vecinos.

b) Plantear la forma genérica de las integrales que constituyen la contribución de un elemento m a la ecuación correspondiente al nodo n.

Problema 6.4 En la siguiente figura se muestra un elemento triangular de tres nodos con la misma orientación del elemento m = 1 del problema anterior, pero con lados normalizados, donde también se indica la numeración local (k) de los nodos.

1

1k= 3

k= 2k= 1

0

0

Las funciones de forma asociadas son las siguientes:

(1) (2) (3)1 ; ; N N Nξ ξ η η= − = − =

De la contribución del elemento m =1 del problema anterior, calcular la parte asociada a la función de forma N1

(2). Sugerencia: Utilice geometría y tome valores medios de los integrandos. El teorema del coseno puede serle útil:

2 2 2+ 2 cosc a b ab φ= − . Recuerde que cos (45º) = 2 / 2



Problema 6.5 En la figura siguiente se muestran 8 elementos triangulares que convergen a un nodo, que constituyen una parte de una grilla de volúmenes finitos. Se ha identificado un elemento particular (15). Calcular las contribuciones de los tres nodos del elemento identificado a la matriz de rigidez, especificando claramente la fila y columna del coeficiente a que contribuye. Obtener esas contribuciones transformando primero el elemento a su forma normalizada.

15

Cálculo en base a forma normalizada:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 (2) 3 (3) 2 3 (mn

m m m mm mn n n n

u d a u a u a a un

Γ

∂ ⎡ ⎤Γ = + − +⎣ ⎦∂∫ 1)m

[ ]2 123 13m m mn n n

a ξ ηα α⎡ ⎤ ⎡ ⎤≡ Ψ + Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ; [ ]3 12 123m m mn n n

a ξ ηα α⎡ ⎤ ⎡≡ − Ψ − Ψ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )2 212 12 12

1m m mx yl lα = +

∆; ( )2 2

13 13 131m m m

x yl lα = +∆

; ( )123 12 13 12 131m m m m m

x x y yl l l lα = +∆

; 12 13 13 12m m m mx y x yl l l l∆ ≡ −

12 (2) (1)m mxl x x= − m m m m; ; ; 13 (3) (1)

m mxl x x= − 12 (2) (1)

m myl y y= − 13 (3) (1)

m myl y y= −

n

nξ⎡ ⎤Ψ⎣ ⎦ nη⎡ ⎤Ψ⎣ ⎦

(1)mG 1/ 2− 1/ 2

(2)mG 0 1/ 2−

(3)mG 1/ 2 0

Problema 6.6 Sea el siguiente problema:

22

2 0, 0 1, (0) (1) 0d u u x u udx

+ = < < = = .

a) Plantear la formulación débil.

b) Discretizarla por el método de los volúmenes finitos y ensamblar la ecuación resultante para un nodo genérico. Mostrar que la forma resultante es consistente con un método de diferencias finitas.

c) ¿Con qué método resolvería el sistema de ecuaciones resultante?







7 ELEMENTOS DE CONTORNO Problema 7.1 La ecuación de Laplace ϕ xx + ϕ yy = 0 se verifica sobre el dominio cuadrado de la figura 6.1, especificándose allí las condiciones de borde. Se desea calcular el valor de la función en el punto central, de coordenadas (0,0), mediante el método de los elementos de contorno con elementos lineales. Se pide: a) Plantear el problema de contorno discretizado para las derivadas normales q (es decir, llegar hasta el

sistema algebraico a resolver). Mostrar que qT=[0,0.5873,0,-0.5873] es la solución. b) Calcular la función en (0,0). Problema 7.2 La formulación integral de la ecuación de Laplace para la función incógnita u(x,y) es

− + − =∫ ∫12

0u u d u dp* ∂∂

∂∂

u n

u n

*

Γ ΓΓ Γ

Discretizarla mediante el método de los elementos de contorno utilizando segmentos con dos nodos extremos donde se definen las incógnitas u y ∂u/∂n; en el resto del elemento se utiliza interpolación lineal. Para simplificar considere que el contorno Γ es el eje x de coordenadas cartesianas, que la normal exterior es hacia las y positivas, y que se está analizando la contribución de un elemento que se encuentra a la derecha y alejado del punto P. La solución fundamental es

u x y x y r r x x y yp p p p* ( , ; , ) ln( ); ( ) ( )= − = − + −

12

2 2

π

Suponga que las coordenadas están adimensionalizadas con la extensión del elemento. Problema 7.3 La ecuación diferencial

0),,(2 =+∇ yxugu admite la siguiente formulación integral:

on la notación usual.

) Discretizarla con elementos de contorno lineales, con los nodos ubicados en los extremos de cada segmento (e interpolación lineal entre sus valores nodales). Mostrar las ecuaciones discretizadas,

∫ ∫∫Γ ΩΓ

Ω−=Γ∂∂

−Γ∂∂

+− dgudn

uudnuuuP *

*

*

21

c a



identificando claramente la expresión de los coeficientes. (Sugerencia: Expresar la función y su derivada normal sobre el contorno en términos de los valores nodales y las funciones de interpolación o de forma). Para el caso particular en que g no depende de u, la solución fundamental es u*=(-1/2π) ln r, donde r es la distancia entre el punto de observación P y el de la fuente (que se mueve sobre el contorno Γ).

b)

roblema 7.4 La formulación integral de la ecuación de Laplace en dos dimensiones puede escribirse como

Suponiendo un contorno horizontal infinito, usar esa función para obtener la expresión del coeficiente de la derivada normal en el nodo j, situado entre los elementos m-1 y m, en la ecuación asociada al punto P ubicado sobre el nodo j-2 (No hace falta resolver las integrales).

P*

*1 ( , )P Pu uu x y u d u d∂ ∂

− + Γ = Γ =2 n nΓ Γ∂ ∂∫ ∫

donde la solución fundamental está dada por

* 1( , ; , )P Pu x y x y 2 2ln , ( ) ( )2 P Pr r x x y yπ

= − = − + −

La ecuación se supone válida sobre el dominio de la figura. Su borde se discretiza en cuatro elementos de contorno, numerados de acuerdo a lo mostrado en la figura.

ementos de contorno. Para la integración puede

y de su derivada normal.

Construir las matrices G (que multiplica a los valores de la derivada normal de la función) y H (que multiplica a los valores de la función) del método de los elutilizar la regla del rectángulo. Suponiendo u1 = 0, u2 = 1, q3 = 0 y q4 = -1, plantear el sistema de ecuaciones para calcular los valores de contorno restantes de la funciónNota: Valores en la diagonal: Gii = (ri /π)[1-ln(ri )], 0iiH = El teorema del coseno puede serle útil: 2 2 2+ sc a b 2 coab φ 2 / 2= − (cos(45º) = )


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