Análisis, dinámica y sincronización de sistemas ...
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN. “Análisis, dinámica y sincronización de sistemas electromecánicos de un grado de libertad”. TESIS. QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA PRESENTA ING. JOSÉ JUAN MOJICA MARTÍNEZ Director: M. en C. Cándido Palacios Montúfar. Director: Dr. Juan Alejandro Flores Campos. México D. F. Junio 2014
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA.
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN.
“Análisis, dinámica y sincronización de sistemas electromecánicos de un grado de libertad”.
TESIS.
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA
PRESENTA ING. JOSÉ JUAN MOJICA MARTÍNEZ
Director: M. en C. Cándido Palacios Montúfar. Director: Dr. Juan Alejandro Flores Campos.
México D. F. Junio 2014
Agradecimientos.
AGRADECIMIENTOS.
Un sincero agradecimiento al M. en C. Cándido Palacios Montufar por trasmitirme
importantes conocimientos en el área de los Mecanismos y asesorarme en este trabajo
de investigación.
Un gran agradecimiento al Dr. Juan Alejandro Flores Campos por brindarme
importantes conocimientos en el área de Control, apoyarme económicamente para
construir la plataforma experimental y asesorarme en la realización de este trabajo de
investigación.
Doy las gracias a los profesores Dr. Samuel Alcántara Montes, Dr. Orlando Susarrey
Huerta, Dr. Ruperto Osorio Saucedo, por el tiempo brindado a la revisión,
aportaciones y comentarios a este trabajo.
Agradezco a mis padres y hermano por apoyarme, por sus consejos, por ayudarme
constantemente y estar conmigo siempre.
Agradezco a mi novia por estar ahí cuando más la necesitaba, por los consejos, ánimo,
colaboración y por su gran apoyo siempre.
Dedicatoria.
DEDICATORIA.
Esta tesis está dedicada a mis padres, que siempre con su ejemplo, apoyo y sacrificio
me han impulsado a seguir adelante.
A mi hermano, porque siempre ha estado ahí cuando más lo he necesitado, le doy
gracias a Dios por mandarme un gran hermano como él.
A Rosa Lilia, por apoyarme desde la licenciatura y ahora en esta etapa de mis estudios,
gracias por estar siempre conmigo.
Al M. en C. Cándido Palacios Montúfar y al Dr. Juan Alejandro Flores Campos por
apoyarme a cumplir mis objetivos, brindarme sus conocimientos y experiencias.
Resumen.
RESUMEN.
En este trabajo se propuso un método de control para sistemas electromecánicos de un
grado de libertad. El método propuesto garantiza robustez, y así alcanzar la posición
deseada en un tiempo determinado aplicando una ley de control por medio de modos
deslizantes con TBG.
La propuesta que se aplicó, resuelve la problemática de alcanzar una posición en un
determinado tiempo y tiene como aportación un algoritmo de control robusto el cual
puede ser adaptado a cualquier mecanismo de un grado de libertad que tenga como tarea
alcanzar una posición en un determinado tiempo, ya sea para actividades de paletizado o
alimentación de piezas, logrando cumplir con el objetivo general que se planteó al
principio de esta investigación.
En el capítulo uno se analizó un estudio de diversos artículos en los cuales se
encuentran diferentes esquemas de control aplicados a los mecanismos, pero ninguno de
ellos cumple con sincronizar un mecanismo en un determinado tiempo.
En el capítulo dos se llevó a cabo un análisis cinemático del mecanismo con topología
RRRP, en el cual se logró obtener las ecuaciones de restricción y los coeficientes de
velocidad y aceleración generalizados para poder obtener el modelo dinámico del
mecanismo.
En el capítulo tres se obtuvo el modelo dinámico que caracteriza al mecanismo con
topología RRRP por medio de la ecuación de movimiento de Eksergian, con el que se
realizó la comparación de posición, velocidad y aceleración del eslabón conductor.
En el capítulo cuatro se mostró los dos tipos de control: de posición y de seguimiento,
los cuales se pueden controlar en el espacio operacional o articular. De esta forma, se
aplicaron estos tipos de control al mecanismo de manivela corredera, sincronizándolos
en un determinado tiempo.
En el capítulo cinco se expuso la construcción de la plataforma la cual tuvo como
objetivo realizar experimentos para probar las leyes de control planteadas en el capítulo
cuatro.
Abstract.
ABSTRACT.
This paper proposed a control method for electromechanical systems of one degree of
freedom. The proposed method guarantees robustness, and so reach a desired position at
a given time by applying a control law using sliding modes with TGB.
The proposal implemented, solves the problem of reaching a position at a given time
and its contribution is a robust control algorithm which can be adapted to any
mechanism of one degree of freedom which has the task to reach a position in a given
time, either for palletizing activities or parts feeding, making satisfy the general
objective that was proposed at the beginning of this research.
In chapter one was analyzed an study of various articles in which different control
schemes were applied to mechanisms, but none of them satisfy to synchronize a
mechanism at a given time.
In chapter two was carried out a kinematic analysis of the mechanism with RRRP
topology, in which was obtained the equations of restriction and the coefficients of
velocity and acceleration generalized to obtain the dynamic model of the mechanism.
In chapter three was gotten the dynamic model that characterizes the mechanism with a
RRRP topology through Esergian equation of motion, made a comparation of position,
velocity and acceleration of the driver link.
In chapter four was shown the two types of control: position and tracking, which can be
controlled in the operational space or joint. Thus, these types of control were applied to
the slider-crank mechanism, synchronizing in a given time.
In chapter five was showed the construction of the platform which objective was realize
experiments to probe de control laws proposed in chapter four.
Índice.
Página I
ÍNDICE.
Tabla de contenidos.
ÍNDICE DE FIGURAS. .............................................................................................................................. V
ÍNDICE DE TABLAS. ................................................................................................................................IX
SIMBOLOGÍA. ........................................................................................................................................XI
OBJETIVO GENERAL. ......................................................................................................................... XVII
OBJETIVOS PARTICULARES. ............................................................................................................... XVII
JUSTIFICACIÓN. .................................................................................................................................. XIX
I. ESTADO DEL ARTE. .............................................................................................................................. 3
1.1 LA CIENCIA DE LA MECÁNICA. .............................................................................................................. 3 1.2 PRINCIPIO DE OPERACIÓN DE LOS MECANISMOS DE CADENA CINEMÁTICA CERRADA. ......................................... 4 1.3 MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO. .................................................................................................... 4 1.4 DEFINICIÓN DE SINCRONIZACIÓN. ......................................................................................................... 5 1.5 MECATRÓNICA. ............................................................................................................................... 5 1.6 ESTUDIO DE LOS MECANISMOS............................................................................................................. 6
1.6.1 Control aplicado a mecanismos de cadena cinemática cerrada. ............................................... 7 1.6.2 Control utilizado para sincronizar mecanismos. ...................................................................... 10
1.7 SINGULARIDADES CINEMÁTICAS. ........................................................................................................ 11 1.8 DEFINICIÓN DE ELECTROMECÁNICO. .................................................................................................... 15
II. MODELO CINEMÁTICO. .................................................................................................................... 19
2.1 GRADOS DE LIBERTAD. ..................................................................................................................... 19 2.3 CINEMÁTICA DIRECTA. ..................................................................................................................... 20 2.4 SISTEMA DE COORDENADAS. ............................................................................................................. 20 2.5 ECUACIONES DE LAZO VECTORIAL PARA MECANISMO CON TOPOLOGÍA RRRP. .............................................. 20 2.6 ANÁLISIS DE POSICIÓN DEL MECANISMO. .............................................................................................. 21 2.7 ANÁLISIS DE VELOCIDAD. .................................................................................................................. 23 2.8 ANÁLISIS DE ACELERACIÓN. ............................................................................................................... 26 2.9 OBTENCIÓN DE COEFICIENTES DE VELOCIDADES GENERALIZADOS. ............................................................... 28
III. MODELO DINÁMICO. ...................................................................................................................... 33
3.1 MODELO DINÁMICO. ....................................................................................................................... 33 3.2 OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES DE LOS CENTROS DE MASA. ................................................................... 33
3.2.1 Coeficientes del eslabón 2. ....................................................................................................... 34 3.2.2 Coeficientes del eslabón 3. ....................................................................................................... 35 3.2.3 Coeficientes del eslabón 4. ....................................................................................................... 36
3.3 OBTENCIÓN DE LA INERCIA GENERALIZADA DEL MECANISMO CON TOPOLOGÍA RRRP. ..................................... 37 3.4 ENERGÍA CINÉTICA. ......................................................................................................................... 38 3.5 REDUCCIÓN DE FUERZAS (MOMENTOS), MASAS Y MOMENTOS DE INERCIA DE SEGUNDO ORDEN EN LOS
MECANISMOS. ..................................................................................................................................... 40 3.6 FUERZAS GENERALIZADAS. ............................................................................................................... 43 3.7 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EKASERGIAN. ................................................................ 44 3.8 REPRESENTACIÓN DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS. ............................................................................... 44
3.8.1 Obtención de la energía potencial. .......................................................................................... 45 3.9 OBTENCIÓN DEL MODELO DINÁMICO Y SIMULACIÓN. .............................................................................. 46
3.9.1 Comparación de la gráfica de posición de la variable generalizada, Matlab-Simulink® vs Working Model®. .............................................................................................................................. 49 3.9.2 Comparación de la gráfica de velocidad de la variable generalizada, Matlab-Simulink® vs Working Model®. .............................................................................................................................. 50 3.9.2 Comparación de la gráfica de aceleración de la variable generalizada, Matlab-Simulink® vs Working Model®. .............................................................................................................................. 51
Índice.
Página II
IV. IMPLEMENTACIÓN DE LA LEY DE CONTROL. ................................................................................... 55
4.1 HISTORIA DEL CONTROL. .................................................................................................................. 55 4.1.2 Aplicaciones de la computadora al control. ............................................................................. 59
4.2 CONTROLADORES. .......................................................................................................................... 59 4.2.1 Control proporcional. ............................................................................................................... 60 4.2.2 Control integral. ....................................................................................................................... 60 4.2.3 Control derivativo. .................................................................................................................... 60 4.2.4 Control proporcional-integral: PI ............................................................................................. 60 4.2.5 Control proporcional-derivativo: PD ........................................................................................ 61 4.2.6 Control proporcional-integral-derivativo: PID .......................................................................... 61
4.2 TIPOS DE CONTROL. ........................................................................................................................ 62 4.2.1 Control de posición o regulación. ............................................................................................. 62
4.2.1.1 a) Control de posición articular. ....................................................................................................... 62 4.2.1.2 b) Control de posición operacional. ................................................................................................. 64
4.2.2 Control de seguimiento. ........................................................................................................... 65 4.2.2.1 c) Control de seguimiento articular. ................................................................................................. 66 4.2.2.2 d) Control por seguimiento operacional. ......................................................................................... 68
4.3 CONTROL POR MODOS DESLIZANTES.................................................................................................... 71 4.3.1 ¿En qué se basa en control de modo deslizante? ..................................................................... 72 4.3.1 Investigación del controlador por modos deslizantes. ............................................................. 72
4.4 GENERADOR DE TIEMPO BASE. .......................................................................................................... 73 4.5 DISEÑO DE CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES. ............................................................................ 76
4.5.1 Modelo dinámico de mecanismo manivela-corredera, con amortiguador y resorte. .............. 76 4.5.2 Control por modos deslizantes. ................................................................................................ 78
4.6 CONTROL DE POSICIÓN ARTICULAR PARA EL MECANISMO DE MANIVELA CORREDERA. ..................................... 80 4.7 CONTROL DE SEGUIMIENTO ARTICULAR PARA EL MECANISMO DE MANIVELA CORREDERA. ................................ 86 4.8 CONTROL DE POSICIÓN OPERACIONAL PARA EL MECANISMO DE MANIVELA CORREDERA. .................................. 92 4.9 CONTROL DE SEGUIMIENTO OPERACIONAL PARA EL MECANISMO DE MANIVELA CORREDERA. ............................ 98
V. CONSTRUCCIÓN E INTEGRACIÓN DE PLATAFORMA EXPERIMENTAL. ............................................. 107
5.1 DIMENSIONES DE LA PLATAFORMA EXPERIMENTAL. .............................................................................. 107 5.2 ACTUADOR DE MECANISMO. ........................................................................................................... 107
5.2.1 Medidas del actuador del mecanismo. .................................................................................. 108 5.2.2 Relación de engranaje. ........................................................................................................... 108 5.2.3 Alimentación de motor. ......................................................................................................... 108 5.2.4 Sensor del motor. ................................................................................................................... 108
5.3 ELEMENTOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL SOPORTE DEL ACTUADOR. ............................... 109 5.3.1 Pololu estampado de aluminio L-Bracket Pair para 37D Motorreductores de metal. ........... 109 5.3.2 Pololu aluminio universal de montaje del cubo de 6mm. ...................................................... 109
5.4 COMPONENTES DEL SISTEMA DE CONTROL PARA ALCANZAR UNA POSICIÓN DETERMINADA. ............................ 110 5.4.1 Arduino® UNO SMD. .............................................................................................................. 110
5.4.1.1 Potencia. ......................................................................................................................................... 112 5.4.1.2 Los pines de alimentación. ............................................................................................................. 112 5.4.1.3 Memoria. ........................................................................................................................................ 112 5.4.1.4 Entrada y salida. ............................................................................................................................. 112 5.4.1.5 Comunicación. ................................................................................................................................ 112 5.4.1.6 Programación. ................................................................................................................................ 113 5.4.1.7 Relé de protección multifunción USB. ............................................................................................ 113 5.4.1.7 Características físicas. ..................................................................................................................... 113
5.4.2 Codificador (Encoder): ............................................................................................................ 113 5.4.3 Etapa de potencia. ................................................................................................................. 115
5.4.3.1 Placa (Shield) para motor ............................................................................................................... 115 5.4.3.2 Diseño en software Eagle® de placa para motor Arduino®. ........................................................... 115
5.5 PROTOTIPO DE LA PLATAFORMA EXPERIMENTAL. ................................................................................. 117
CONCLUSIONES. ................................................................................................................................. 121
TRABAJOS FUTUROS. ......................................................................................................................... 123
Índice.
Página III
BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................................... 125
APÉNDICE A. PROGRAMAS REALIZADOS EN EL SOFTWARE. MATHEMATICA 8.0®. ............................. 127
A1) SIMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAZO DEL MECANICISMO MANIVELA-CORREDERA. ................................ 127 A2) SIMULACIÓN DE LA POSICIÓN DEL MECANICISMO MANIVELA-CORREDERA. ................................................. 129
APÉNDICE B. PROGRAMAS REALIZADOS EN EL SOFTWARE MATLAB®. ............................................... 131
B1) PROGRAMA PARA COMPROBAR EL MODELO DINAMICO. MATLAB FCN DINÁMICA. ....................................... 131
APÉNDICE C. PROGRAMA PARA COMPROBAR EL TBG EN SOFTWARE MATLAB®. .............................. 133
PROGRAMA PARA COMPROBAR LAS FUNCIONES DEL TBG. MATLAB FCN TBG. .................................................. 133
APÉNDICE D. PROGRAMAS PARA EL CONTROL DE POSICIÓN ARTICULAR EN EL SOFTWARE MATLAB®. .......................................................................................................................................................... 134
D1) PROGRAMA PARA IMPLEMENTAR EL TBG EN LA FUNCIÓN TAO. .............................................................. 134 D2) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA EL MODELO DINÁMICO DEL MECANISMO FNC DINAMICAT. ...................... 135 D3) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA LEY DE CONTROL DEL MECANISMO FNC TAO. ..................................... 137
APÉNDICE E. PROGRAMAS PARA EL CONTROL DE SEGUIMIENTO ARTICULAR EN EL SOFTWARE MATLAB®. .......................................................................................................................................... 138
E1) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA EL MODELO DINÁMICO DEL MECANISMO FNC BIELA. ............................... 138 E2) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA TRAYECTORIA A SEGUIR DEL MECANISMO FNC TRAYECTORIA. ................ 140 E3) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA LEY DE CONTROL DEL MECANISMO FNC TAO. ..................................... 141 E4) PROGRAMA PARA IMPLEMENTAR EL TBG EN LA FUNCIÓN TAO. ............................................................... 142
APÉNDICE F. PROGRAMAS PARA EL CONTROL DE POSICIÓN OPERACIONAL EN EL SOFTWARE MATLAB®. .......................................................................................................................................... 143
E1) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA EL MODELO DINÁMICO DEL MECANISMO FNC BIELA. ............................... 143 F2) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA LEY DE CONTROL DEL MECANISMO FNC TAO. ..................................... 145 F3) PROGRAMA PARA IMPLEMENTAR EL TBG EN LA FUNCIÓN TAO. ............................................................... 146
APÉNDICE G. PROGRAMAS PARA EL CONTROL DE SEGUIMIENTO ARTICULAR EN EL SOFTWARE MATLAB®. .......................................................................................................................................... 147
G1) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA EL MODELO DINÁMICO DEL MECANISMO FNC BIELA. ............................... 147 G2) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA TRAYECTORIA A SEGUIR DEL MECANISMO FNC TRAYECTORIA. ............... 149 G3) PROGRAMA DONDE SE ENCUENTRA LA LEY DE CONTROL DEL MECANISMO FNC TAO...................................... 150 G4) PROGRAMA PARA IMPLEMENTAR EL TBG EN LA FUNCIÓN TAO. .............................................................. 151
Índice.
Página IV
Tablas y Figuras.
Página V
Índice de figuras.
Figura 1.1 Ramas de la mecánica. ................................................................................... 3
Figura 1.2 Máquina-Herramienta. Cepillo de codo. ........................................................ 5
Figura 1.3 Mecanismo RRRP ........................................................................................ 12
Figura 1.4 Segundo tipo de singularidad para el mecanismo de RRRP. ....................... 14
Figura 1.5 Tercer tipo de singularidad para el mecanismo RRRP. ............................... 14
Figura 2.1 Mecanismo de manivela, biela y corredera, con topología RRRP............... 19
Figura 2.2 Definición de la ecuación de lazo para la obtención de las ecuaciones de
restricción. ...................................................................................................................... 21
Figura 2.3 Análisis de posición. .................................................................................... 22
Figura 2.4 Análisis de velocidad. .................................................................................. 23
Figura 2.5 Análisis de aceleración................................................................................. 26
Figura 3.1 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 2. ..................................... 34
Figura 3.2 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 3. ..................................... 35
Figura 3.3 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 4. ..................................... 36
Figura 3.4 Obtención de la inercia generalizada. .......................................................... 37
Figura 3.5 Esquema del mecanismo de reducción. ....................................................... 41
Figura 3.6 Eslabón de reducción con la fuerza y el momento de reducción. ............... 41
Figura 3.7 Obtención de la energía potencial. ............................................................... 45
Figura 3.5 Simulación en software Matlab/Simulink®. ................................................ 47
Figura 3.9 Gráfica de posición de la variable generalizada. .......................................... 49
Figura 3.10 Gráfica de velocidad de la variable generalizada. ..................................... 50
Figura 3.11 Gráfica de aceleración de la variable generalizada. .................................. 51
Figura 4.1 Reloj de Agua de Ktesibio. .......................................................................... 55
Figura 4.2 Clepsydra alarma de Platón.......................................................................... 56
Figura 4.3 Máquina de Vapor con regulador de Watt [Standh 89]. .............................. 57
Figura 4.4 Diagrama de bloques de un controlador PI. ................................................. 60
Figura 4.5 Diagrama de bloques de un controlador PD. ............................................... 61
Figura 4.6 Diagrama de bloques de un controlador PID. .............................................. 61
Figura 4.4 Diagrama sobre los tipos de control. ............................................................ 62
Figura 4.5 Ejemplo de un control de posición articular. ............................................... 64
Figura 4.6 Ejemplo de un control de posición operacional. .......................................... 65
Figura 4.7 Ejemplo de un control de seguimiento articular. ......................................... 67
Figura 4.8 Gráfica del seguimiento de trayectoria de una barra en dos dimensiones por
medio de un control de seguimiento articular. ............................................................... 67
Tablas y Figuras.
Página VI
Figura 4.9.1Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional. .......... 69
Figura 4.9.2 Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional. ......... 69
Figura 4.9.3 Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional. ......... 70
Figura 4.9.4 Ejemplo de un control de seguimiento operacional. ................................. 70
Figura 4.10 Gráfica del seguimiento de trayectoria de una barra, por medio de un
control de seguimiento operacional. ............................................................................... 71
Figura 4.11 Sistema de ecuaciones en software Mathematica 8.0, utilizando el comando
Solve [], para resolverlo.................................................................................................. 74
Figura 4.12 Simulación de la función que se implementa para el TBG. ....................... 74
Figura 4.13 Gráfica de la posición de en un segundo. .............................................. 75
Figura 4.14 Gráfica de la trayectoria de velocidad de en un segundo. ..................... 75
Figura 4.15 Gráfica de la ganancia alfa, encargada de llevar el error a cero en el espacio
transitorio en un tiempo determinado. ............................................................................ 76
Figura 4.16 Mecanismo de manivela-corredera con resorte y amortiguador. ............... 77
Figura 4.17 Superficie de deslizamiento en control por modos deslizantes. ................ 78
Figura 4.18 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de posición
articular con TBG del mecanismo, manivela corredera. ................................................ 82
Figura 4.19 Gráfica del torque de motor. ...................................................................... 83
Figura 4.20 Gráfica de posición de variable generalizada deseada y la posición inicial.
........................................................................................................................................ 83
Figura 4.21 Gráfica de velocidad de variable generalizada deseada y la velocidad
deseada articular. ............................................................................................................ 84
Figura 4.22 Gráfica del error posición articular. ........................................................... 84
Figura 4.23 Gráfica del error velocidad articular. ......................................................... 85
Figura 4.24 Diagrama de Fase. ...................................................................................... 85
Figura 4.25 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de seguimiento
articular con TBG del mecanismo manivela corredera. ................................................ 88
Figura 4.26 Gráfica del torque y la aceleración. ........................................................... 89
Figura 4.27 Gráfica de posición de variable generalizada y la referencia que se desea
seguir. ............................................................................................................................. 89
Figura 4.28 Gráfica de velocidad de variable generalizada y la referencia que se desea
seguir. ............................................................................................................................. 90
Figura 4.29 Gráfica del error posición. .......................................................................... 90
Figura 4.30 Gráfica del error velocidad. ....................................................................... 91
Figura 4.31 Diagrama de Fase. ...................................................................................... 91
Figura 4.32 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de posición
operacional con TBG del mecanismo, manivela corredera. ........................................... 94
Figura 5.1 Mecanismo manivela-biela-corredera. ....................................................... 107
Tablas y Figuras.
Página VII
Figura 5.2 Medidas del actuador del mecanismo. ....................................................... 108
Figura 5.3 Dibujo mecánico del soporte de aluminio para motorreductores 37 mm de
metal. ............................................................................................................................ 109
Figura 5.4 Ensamble del Motorreductor con el soporte y el cubo............................... 110
Figura 5.5 Imagen del microcontrolador Arduino® UNO SMD. ............................... 111
Figura 5.6 Endocer A y B salida para 37D mm motorreductor de metal con codificador
RCP. .............................................................................................................................. 114
Figura 5.7 Vista inferior de la tarjeta de la placa para motor. ..................................... 115
Figura 5.8 Eslabones de la plataforma experimental................................................... 117
Figura 5.9 Prototipo de plataforma experimental. ....................................................... 118
Figura 5.10 Conexión para la interfaz entre la tarjeta arduino y la PC. ...................... 118
Figura 5.11 Etapa de potencia. .................................................................................... 119
Figura 5.12 Targeta arduino. ....................................................................................... 120
Figura 5.13 Componentes de la plataforma experimental. ....................................... 120
Tablas y Figuras.
Página VIII
Tablas y Figuras.
Página IX
Índice de tablas.
Tabla 3.1 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software Working
Model®. .......................................................................................................................... 47
Tabla 3.2 Incisos del diagramas de bloques de la figura 3.5. ........................................ 48 Tabla 3.3 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software
Matlab/Simulink®. ......................................................................................................... 48 Tabla 4.1 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Working Model®. .......................................................................................................... 63
Tabla 4.2 Datos de la simulación para el control de posición operacional en el software
Working Model®. .......................................................................................................... 65 Tabla 4.3 Datos de la simulación para el control de seguimiento articular en el software
Working Model®. .......................................................................................................... 66
Tabla 4.4 Datos de la simulación para el control de seguimiento operacional en el
software Working Model®. ............................................................................................ 68 Tabla 4.5 Datos del mecanismo que se desea controlar. ............................................... 77
Tabla 4.6 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 80 Tabla 4.7 Ganancias para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 81
Tabla 4.8 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 86 Tabla 4.9 Ganancias para el control de seguimiento articular en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 87 Tabla 4.11 Ganancias para el control De posición operacional en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 93 Tabla 4.13 Ganancias para el control de seguimiento operacional en el software
Simulink/Matlab®. ......................................................................................................... 99 Tabla 5.1 Datos del Arduino® UNO SMD ................................................................. 111
Tabla 5.2 Funciones del Encoder................................................................................. 114 Tabla 5.3 Componentes shield para arduino............................................................... 116
Tablas y Figuras.
Página X
Simbología.
Página XI
Simbología.
CAPÍTULO 1.
CAPÍTULO 2.
m Movilidad o grados de libertad del mecanismo.
n Número o cantidad de eslabones.
J1 Pares cinemáticos de un grado de libertad.
J2 Pares cinemáticos de dos grados de libertad.
Vector de la ecuación del lazo. ( )
Vector de la ecuación de lazo. ( )
Vector de la ecuación de lazo. ( )
Punto del eslabón 4, en el eje X
Punto del eslabón 4, en el eje Y
Distancia de la manivela.
Distancia de la biela.
Variable generalizada. (Ángulo de entrada)
Ángulo formado entre la manivela y biela.
Vector de incógnitas.
Función de restricción cinemática en el eje X.
Función de restricción cinemática en el eje Y.
Derivada de la función con respecto al tiempo para obtener la velocidad
del mecanismo.
Derivada de la función de restricción cinemática, con respecto al
tiempo.
Derivada de la función de restricción cinemática, con respecto al
tiempo.
Coordenada de entrada.
Coordenada de salida.
A Derivada parcial de la función, con respecto a x. (matriz jacobiana).
B Derivada de la función con respecto a (matriz jacobiana).
( ) Determinante de la matriz B, para verificar la condición de
singularidad.
( ) Determinante de la matriz A, para verificar la condición de
singularidad.
Simbología.
Página XII
Velocidad angular del eslabón tres, con respecto al dos.
Velocidad del eslabón cuatro, en el eje X.
Velocidad angular de la variable generalizada.
( ) Jacobiano del mecanismo.
Variables de velocidad.
Término que contiene las variaciones de velocidad angular.
Coeficientes de velocidad.
Derivada del vector de incógnitas con respecto al tiempo.
Coeficiente de velocidad de la variable
Coeficiente de velocidad de la variable
Segunda derivada de la función de restricción cinemática, con respecto
al tiempo.
Segunda derivada de la función de restricción cinemática, con respecto
al tiempo.
Aceleración angular de la variable generalizada.
Aceleración del eslabón 4, en el eje X.
Aceleración angular del eslabón tres.
Segunda derivada del vector de incógnitas.
Coeficientes de aceleración.
Coeficiente de aceleración de la variable
Coeficiente de aceleración de la variable
CAPÍTULO 3
Coordenadas del centro de masa del eslabón 2.
Coeficiente de velocidad del centro de masa del eslabón 2.
Coeficiente de aceleración del centro de masa del eslabón 2
Longitud de la manivela.
Longitud de la biela.
Variable generalizada (ángulo de entrada)
Ángulo formado entre la manivela y biela.
Coordenadas del centro de masa del eslabón 3.
Coeficiente de velocidad del centro de masa del eslabón 3.
Coeficiente de aceleración del centro de masa del eslabón 3.
Coordenadas del centro de masa del eslabón 4.
Coeficiente de velocidad del centro de masa del eslabón4.
Simbología.
Página XIII
Coeficiente de aceleración del centro de masa del eslabón 4.
T Torque (o momento de fuerza rotatoria).
Aceleración angular.
Momento de inercia.
Fuerza aplicada al cuerpo.
Masa del cuerpo.
Aceleración del cuerpo
( ) Inercia generalizada.
Momento de inercia del eslabón 2.
Momento de inercia del eslabón 3.
Coeficiente de velocidad del centro de masa del eslabón 3 con respecto
a x.
Coeficiente de velocidad del centro de masa del eslabón 3 con respecto
a y.
Masa del eslabón 3.
Masa del eslabón 4.
( ) Derivada de la inercia generalizada con respecto a la variable
generalizada.
Energía cinética de un cuerpo rígido.
Coeficiente de velocidad con respecto a la variable generalizada.
Matriz de masa.
Matriz de inercia.
Coeficiente de velocidad angular con respecto a la variable
generalizada.
Velocidad de los centros de masa de los eslabones.
Velocidad angular de los centros de masa de los eslabones.
Fuerzas externas.
Vectores de posición.
Torques externos.
Ángulos formados por los torque externos.
Desplazamientos virtuales respecto a los vectores de posición.
Desplazamientos virtuales respecto a los ángulos.
Fuerzas externas generalizadas.
Fuerzas conservativas
Fuerzas no conservativas.
Gradiente de la función potencial.
Simbología.
Página XIV
V Energía potencial total del sistema.
Fuerza generalizada no conservativa.
Constante de Gravedad.
Aceleración angular de la variable generalizada.
Velocidad angular de la variable generalizada.
CAPÍTULO 4.
P Control proporcional
I Control integral
D Control derivativo
PI Control proporcional-integral
PD Control proporcional-derivativo
PID Control proporcional-integral-derivativo
( ) Salida del controlador.
Ganancia del control proporcional.
( ) Error en función.
Ganancia del control integral.
Posición obtenida, por algún tipo de sensor.
Ganancia del control derivativo.
Error obtenido del muestreo del sensor.
Derivada del error obtenido del muestreo del sensor.
Derivada de la posición angular medida por algún sensor.
Derivada de la posición angular deseada.
Posición angular medida por un sensor..
Posición angular deseada.
Posición deseada
Derivada de la posición obtenida por un sensor.
Derivada de la posición deseada.
Fuerza aplicada en los ejes x y y para el control de un bloque.
( ) Ganancia para poder aplicar el TBG.
TBG Generación de tiempo base.
( ) Función para crear la trayectoria deseada para el TBG.
Simbología.
Página XV
( ) Derivada de la función para crear la trayectoria deseada para el TBG.
( ) Segunda derivada de la función para crear la trayectoria deseada para
el TBG.
Tiempo inicial para el TBG.
Tiempo final para el TBG.
Tiempo en el que se desea aplicar el TBG
Incógnita de la función ( ).
Incógnita de la función ( ).
Incógnita de la función ( ).
CAPÍTULO 5.
37D Modelo de moto reductor utilizado.
CA Corriente Alterna.
CC Corriente Continua.
Atmega328 Modelo de microcontrolador.
7-12V Voltaje de entrada (recomendado)
VIN Puerto de entrada de arduino.
USB Universal serial bus
EEPROM Electrically Erasable Programmable Read-Only Memory
PWM Modulación por ancho de pulso
UART TTL Comunicación serial de % volts.
COM Puerto de comunicación.
VCC Voltaje de corriente continúa.
V Abreviación de la unidad Voltaje.
A Abreviación de la unidad Amper.
Simbología.
Página XVI
Objetivos.
Página XVII
Objetivo general.
Diseñar un algoritmo para sincronizar y garantizar el desempeño de tareas en un tiempo
específico aplicado a sistemas electromecánicos de un grado de libertad.
Objetivos particulares.
1. Analizar el estado del arte referente a los esquemas para la sincronización de
mecanismos.
2. Obtener el modelo cinemático y dinámico de un mecanismo con topología RRRP.
3. Diseñar e implementar un esquema para que un mecanismo realice una tarea
deseada en un tiempo determinado.
4. Implementar y simular el esquema propuesto para desempeñar tareas en el espacio
operacional y articular.
5. Construir e integrar la plataforma experimental para validar resultados de
simulación y realizar pruebas experimentales.
6. Analizar e interpretar resultados de simulación y experimentales obtenidos.
Objetivos.
Página XVIII
Justificación.
Página XIX
Justificación.
En los últimas décadas se ha dedicado mucho tiempo a la investigación de los
mecanismos de cadena cinemática abierta (Robots seriales). Pero se ha dejado de lado a
los mecanismos de cadena cinemática cerrada, olvidando las ventajas que tienen
respecto a los mecanismos de cadena cinemática abierta, los mecanismos de cadena
cinemática cerrada pueden ofrecer mayor rigidez, mayor velocidad, mayor capacidad de
carga y la disminución de costos [10][15]. Los mecanismos de cadena cinemática
cerrada, presentan muy buenas características en términos de exactitud, rigidez y
habilidad para manipular cargas muy elevadas a altas aceleraciones [14]. Estas
características son muy importantes y se pueden implementar para desarrollar una tarea
donde los mecanismos de cadena abierta presentarían algunas desventajas.
Una de las tareas donde es factible implementar un mecanismo de cadena cinemática
cerrada por su ventaja mecánica, es en el desbaste o corte de materiales, se trata de un
movimiento repetitivo que está sometido a enormes fuerzas generadas por el contacto
intermitente entre el cortador y la pieza. Este trabajo busca aprovechar las ventajas que
presentan los mecanismos de cadena cinemática cerrada aplicándolo a cualquier tarea de
paletizado, acomodo de piezas, alimentación de materia prima o tareas en donde sea
importante el tiempo de llegada del material (aprovechando que estos mecanismos
soportan mayor carga y pueden trabajar a mayores velocidades). Aplicando un control
robusto, donde se busca mostrar las ventajas que tienen con la aplicación del control a
esta clase de mecanismos. [16]
Una de las aportaciones de esta investigación se basa en la posibilidad de mostrar las
ventajas que tienen los mecanismos de cadena cinemática cerrada con la aplicación del
control, ya que amplía la posibilidad de realizar diversas tareas que requieren tiempos
definidos, obteniendo como mejoras: disminución del consumo de energía, precisión,
repetitividad, costo de producción entre otras.
Una de las principales características que presentan los mecanismos de cadena
cinemática cerrada es la ventaja mecánica, que sin lugar a dudas es mayor que en los
mecanismos de cadena cinemática abierta y presenta una gran cualidad que puede ser
aprovechada.
En los procesos de manufactura es común que existan restricciones en tiempos para
realizar tareas y que deben de respetarse, ya que un retraso en la producción representa
Justificación.
Página XX
grandes pérdidas en las industrias. Por lo anterior, en este trabajo se propone un
esquema aplicado a los mecanismos de cadena cinemática cerrada para desempeñar
tareas que garanticen las restricciones de tiempo impuestas por el sistema de
manufactura o producción. Aún más si estos sistemas de producción son sistemas de
manufactura integrada por computadora o sistemas flexibles de manufactura.
Mostrando así la importancia de la implementación del control a esta clase de
mecanismos y verificando cuales son las ventajas que brindan en diversas tareas de la
manufactura.
Alimentación de piezas por medio de un mecanismo, es necesario que los tiempos estén
sincronizados entre una banda y la otra.
A
B
C
D
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 1
Capítulo 1.
1
Estado del Arte.
Capítulo 1. Estado del Arte.
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Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 3
I. Estado del arte.
Introducción.
En este capítulo se presenta el estado del arte, que consiste en una revisión bibliográfica,
sobre investigaciones relacionadas con los esquemas aplicados para la sincronización de
mecanismos en el desempeño de tareas con restricciones de tiempo dadas. Con este
estado del arte se busca tener claro cuáles son los avances científicos en la actualidad
del tema que se está investigando. Ya que si no se tienen las bases del tema, no se puede
tener claro cuáles son las aportaciones para cualquier investigación. Desde los
antecedentes históricos, las investigaciones actuales, las aportaciones y desarrollos del
tema que se está investigando.
Por lo tanto en este capítulo se puede observar una investigación sobre la importancia de
la mecánica en nuestros días, las investigaciones del control aplicadas a mecanismos de
cadena cinemática cerrada, al igual que se hizo un estudio minucioso sobre el control de
posición para mecanismo de cadena cinemática cerrada.
1.1 La ciencia de la Mecánica.
La Mecánica es la rama de la física que científicamente se ocupa de analizar los
movimientos de los cuerpos, tomando en cuenta el tiempo y las fuerzas.
La mecánica se divide en:
La estática.-Estudia los cuerpos bajo la acción de fuerzas en equilibrio, o que se
encuentran en reposo, sin tomar en cuenta el tiempo.
Figura 1.1 Ramas de la mecánica.
La dinámica.- Estudia los cambios en el tiempo de un sistema físico en relación con las
causas que provocan los cambios de movimiento.
Como se ve en la figura 1.1 la dinámica está separada por dos disciplinas. Euler fue el
primero en reconocer que deben estudiarse por separado.
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 4
Estas dos ramas de la dinámica son muy importantes para cualquier análisis, la
cinemática que proviene del vocablo griego kinema, que significa movimiento y la
cinética que estudia el movimiento y las fuerzas que lo producen.
Para realizar un diseño de un sistema mecánico es necesario como primer paso realizar
un análisis cinemático, donde se estudiará el movimiento independientemente de las
fuerzas que lo producen. En este análisis se estudia la posición, desplazamiento,
velocidad y aceleración.
Lo anterior sólo puede suceder si los cuerpos que se estudian son rígidos, ya que si los
cuerpos tienen deformaciones o son flexibles, el análisis no se podría efectuar por
separado como lo plantea Euler. Por lo que, para estos análisis los eslabones se
consideran rígidos y después de obtener las reacciones para cada eslabón y una vez
realizado el análisis dinámico se puede diseñar las piezas tomando en cuenta sus
deformaciones. [1]
1.2 Principio de operación de los mecanismos de cadena cinemática
cerrada.
Los mecanismos de cadena cinemática cerrada tienen gran importancia, desde la
antigüedad estos mecanismos han sido utilizados para transformar un movimiento
angular de entrada, en un movimiento lineal en la salida, al igual que a partir de una
velocidad constante en la entrada se obtengan perfiles de velocidad deseados en la
salida. [2]
1.3 Mecanismos de Retorno rápido.
Este trabajo de investigación está enfocado en los mecanismos de retorno rápido, ya que
muchas aplicaciones en el diseño de maquinaria, tienen la necesidad de tener dos
velocidades diferentes, una de carrera hacia delante y la segunda de retorno. Por lo
común se realiza un trabajo externo en la carrera hacia delante y la de regreso necesita
regresar rápidamente, de modo que ese tiempo sea aprovechado por la carrera de
trabajo, a continuación se muestra un ejemplo de un mecanismo de retorno rápido.
El mecanismo manivela-corredera de retorno rápido (Mecanismo de Whitworth).- Se
utiliza en la industria para realizar operaciones repetitivas como alimentar piezas en una
línea de ensamble y corte de material (cepillo de codo). En estas aplicaciones se utilizan
motores eléctricos, sin embargo se podrían utilizar servomotores y poder aplicar leyes
de control para poder optimizar la tarea del mecanismo. Es una inversión del
mecanismo de manivela-corredera que se está analizando. Lo que se puede observar es
que estos mecanismos tienen muchas aplicaciones y si se optimizan aplicando un
control robusto, ya sea para regulación o seguimiento de trayectorias, estos mecanismos
pueden ser utilizados para diversas tareas, no sólo el desbaste de piezas. [3]
Este mecanismo ha sido de gran interés para la investigación y desarrollo de prototipos,
ya que desarrolla grandes fuerzas a una alta razón de alimentación (100 piezas/minuto),
debido a un volante de inercia y la geometría propia del mecanismo. [4]
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 5
Figura 1.2 Máquina-Herramienta. Cepillo de codo.
1.4 Definición de sincronización.
Es importante tener claro cuál es la definición de sincronización, por lo cual se muestran
tres definiciones.
Sincronización proviene del griego συν (sýn), "unido" y χρόνος (chrónos), "tiempo",
describe el ajuste temporal de eventos. [5]
Se habla de sincronización cuando determinados fenómenos ocurren en un orden
predefinido o a la vez.
Coincidencia de dos fenómenos o movimientos en un momento determinado
Hacer que coincidan en el tiempo dos o más movimientos o fenómenos.
1.5 Mecatrónica.
Para justificar por qué se aplica control a los mecanismos es necesario saber que es la
mecatrónica y por qué es un término que se utiliza en la actualidad.
La ingeniería mecatrónica es una disciplina que ha conjuntado diferentes ramas de la
ingeniería, desde la mecánica, la electrónica hasta la ingeniería de control.
En 1969, el japonés Tetsuro Mori, ingeniero de la empresa japonesa Yasakawa Electric
definió a la mecatrónica, como una palabra compuesta por "meca" referida a
mecanismo y "trónica" referida a la electrónica.
Los antecedentes de la mecatrónica se pueden observar desde el año 1936 en el área de
cibernética por Alan Turing, en 1948 por Norbert Wiener y Morthy, las máquinas de
control numérico, desarrolladas inicialmente en 1946 por George Devol, los
manipuladores, en 1951 por Goertz, o robotizados en 1954 por Devol, y los autómatas
programables desarrollados por Bedford Associates en 1968.
Capítulo 1. Estado del Arte.
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En la década de los setenta la mecatrónica se ocupó principalmente de la tecnología de
servomecanismos usada en productos como puertas automáticas.
En los años ochenta la mecatrónica dio un paso muy importante con la implementación
de los microprocesadores en los sistemas mecánicos para mejorar su desempeño. Este
gran pasó logró que las máquinas de control numérico y los robots se volvieran más
compactos.
Por la década de los noventas, se agregó la tecnología de comunicaciones, lo que llevó a
desarrollar productos que podrían conectarse en diferentes tipos de redes. Con este
avance se logró la operación remota de manipuladores robóticos. Otro gran avance
tecnológico es el uso de novedosos microsensores y microactuadores.
Esta rama de la ingeniería sirve para diseñar y desarrollar dispositivos que involucren
sistemas de control para el diseño de productos o procesos inteligentes, se busca
desarrollar maquinaria inteligente, que facilite las actividades del ser humano y optimice
el proceso.
Esta disciplina no es una nueva rama de la ingeniería, si no la integración de diferentes
disciplinas de la ingeniería.
La mecatrónica nace para resolver tres necesidades:
Automatizar la maquinaria, para lograr procesos productivos ágiles y confiables.
Desarrollar procesos inteligentes.
Conjuntar los componentes mecánicos y electrónicos de las máquinas.
En el diseño mecatrónico se debe de conjuntar los sistemas mecánicos y electrónicos, ya
que los sistemas electrónicos ayudan a optimizar y mejorar el sistema mecánico. La
implementación del control, es una herramienta importante, para el planteamiento de
trayectorias, control de velocidad, posición y fuerza.
El diseño de un sistema mecatrónico empieza con el modelado y la implementación del
sistema mecánico, para poder introducir los sensores, actuadores necesarios y poder
proponer un esquema de control. Se realizan diferentes pruebas, de las cuales se pueden
observar las ventajas y desventajas y así realizar un rediseño del sistema mecatrónico,
para poder hacer una excelente integración de todas las partes.
Para poder realizar un buen diseño es necesario antes de hacer el prototipo, realizar una
simulación del modelo en software y verificar las hipótesis planteadas.
Los softwares de diseño ayudan al desarrollo en las distintas ramas de la ingeniería, para
poder simularlas desde la parte mecánica, hasta la implementación de las leyes de
control y poder verificar si se optimiza el sistema mecánico.
1.6 Estudio de los mecanismos.
El estudio de los mecanismos se remonta desde la antigüedad, un ejemplo claro es la
rueda, siendo la base de numerosos mecanismos. Con la rueda surgieron diferentes tipos
de mecanismos, que ayudaron al ser humano a facilitar diferentes actividades. La
ingeniería mecánica tuvo sus principios en el diseño de máquinas en la Revolución
Industrial. James Watt fue uno de los primeros científicos que utilizó la cinemática para
sintetizar un eslabón lineal para girar los pines en las máquinas de vapor. Euler presentó
un trabajo sobre el análisis de los mecanismos donde incluyó el concepto del
movimiento plano, que consta de dos componentes independientes, la traslación de un
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 7
punto y la rotación del cuerpo en torno a dicho punto. Éste es el origen que se muestra
en la introducción, donde se divide la mecánica en cinemática y cinética.
En los últimos 20 años se han presentado diversos trabajos entorno a ellos, lo cual nos
muestra la importancia y el aporte científico que tienen cada uno de ellos, si se logra
optimizar o mejorar implementando el control, ya sea para alcanzar una posición
deseada, crear un perfil de velocidad o regular la fuerza del mecanismo.
Una parte fundamental de los mecanismos es el actuador ya que en la mayoría de los
mecanismos de cadena cinemática cerrada sólo tienen un grado de libertad, por lo tanto,
el actuador que ha sido muy utilizado y estudiado son los servomotores.
En 1986, J. S. Park realizó un estudio sobre la importancia que tienen los servomotores
en la industria, ya que gran parte de las máquinas automatizadas utilizan este tipo de
motores. En su trabajo muestra la eficiencia de los servomecanismos para el control
punto a punto, obteniendo un mayor grado de eficiencia de la energía. Park propone un
perfil de aceleración diferentes a los ya conocidos (perfil trapezoidal, exponencial,
polinomial, senoidal, cosenoidal) para maximizar la eficiencia de energía y evitar la
disipación de ésta (el calentamiento del motor). Estos perfiles en la entrada requieren
gran energía, por lo que no son convenientes y presentan un costo mayor en la
operación del motor.
Park considera al motor como un actuador que convierte la energía eléctrica a mecánica
y considera este tipo de actuadores de gran importancia para lograr la mayor eficiencia
de la energía y disminuir el calor disipado en el motor. El perfil que propone es el
parabólico de aceleración. [6] Eduardo BAYO
Una parte muy importante del estudio de los mecanismos es el modelado dinámico. En
los últimos años han sido de gran interés para diversas investigaciones, ya que el
modelo dinámico es necesario para aplicar alguna ley de control y poder tener en
cuentan las diferentes variables que pueden desestabilizar al mecanismo, ya sea en la
etapa transitoria o en la etapa estable.
Por lo que en 1997, Rang-Fong Fung presentó un trabajo sobre la dinámica inversa de
un mecanismo de cambio. El mecanismo que se estudia es una combinación de un
mecanismo de cuatro barras y un mecanismo de manivela-corredera. El objetivo fue
determinar las fuerzas motrices para producir un determinado movimiento. En este
trabajo se muestra cómo obtener la posición, velocidad y aceleración para un análisis
dinámico multicuerpo, utilizando las ecuaciones de Hamilton y los multiplicadores de
Lagrange, obteniendo ecuaciones de movimiento.
Las ecuaciones obtenidas que describen el movimiento del mecanismo de cambio son
complicadas de resolver, por lo que mediante el uso de relaciones geométricas se
reordenan y se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales en términos de un sólo
componente, las cuales, por medio del método numérico Runge-Kutta, se resuelven y se
obtiene el comportamiento del sistema. [7]
1.6.1 Control aplicado a mecanismos de cadena cinemática cerrada.
Como se habló anteriormente, la mecatrónica es la conjunción de diferentes ramas de la
ingeniería, esto nos lleva a que la mecánica necesita de la electrónica y el control, para
optimizar algún proceso industrial, por lo que es necesario implementar esquemas de
control a los mecanismos.
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 8
En el trabajo presentado por Tokuz Dulger and Serdar Uyan, en el año 1997, muestra el
modelado, simulación, y control de un mecanismo de cuatro barras con un servomotor
sin escobillas.
Los sistemas de control de servomecanismos tienen grandes aplicaciones en la
producción automática y la robótica. Estos sistemas dan flexibilidad al sistema.
Las escobillas y el conmutador mecánico en los servomotores de D.C. imponen
limitaciones en el rendimiento del motor, ya que puede afectar en el mantenimiento
continuo del servomotor, mientras que los servomotores sin escobillas y supliendo el
conmutador mecánico por uno electrónico, no necesitan mantenimiento.
Con el diseño del servomotor que proponen en el trabajo reducen las inercias, se elevan
las velocidades del rotor y mayor potencia a comparación del convencional.
Se describe el modelo matemático del motor y se obtiene un modelo no lineal, que se
representa por un conjunto de ecuaciones acopladas que se resuelven utilizando
métodos numéricos.
En esta investigación se muestran las ventajas de utilizar servomotores en los
mecanismos para optimizar la función que tiene el mecanismo al ser diseñado. [8]
En 1997, Ruvinda Gunawardana y Fathi Ghorbel presentaron un trabajo sobre las
ventajas que brindan los mecanismos de cadena cinemática cerrada respecto a los
mecanismos de cadena cinemática abierta. Desarrollaron una estrategia de control por
medio de un PD (control proporcional-derivativo). Presentaron un banco de pruebas,
donde se realizaron experimentos de control, y compararon la experimentación con la
simulación.
Este tema de investigación tiene gran importancia, ya que en las últimas dos últimas
décadas se han vuelto muy populares las investigaciones sobre mecanismos con
eslabones conectados secuencialmente (mecanismos de cadena cinemática abierta). Se
han planteado diversas leyes de control y ecuaciones de movimiento. Dejando de lado la
importancia que tienen los mecanismos de cadena cinemática cerrada, como lo muestra
esta investigación, donde proponen que los actuadores se pongan más cerca de la base o
en la propia base, esto hace que los eslabones sean más ligeros y por consiguiente
tengan más eficiencia y aceleraciones más rápidas. Estos mecanismos proporcionan
mayor rigidez y son adecuados para líneas de montaje rápido. [9]
Una investigación muy importante se realizó en el año de 1998, aplicando un control al
mecanismo de manivela-corredera, utilizando una técnica para adaptar el torque del
motor, considerando incertidumbres del sistema, accionado por un motor síncrono de
imán permanente. En la primera parte se obtuvo el modelo matemático por medio del
principio de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange, para obtener la ecuación de
movimiento del mecanismo. En esta investigación se propuso un control robusto por
modos deslizantes para controlar la posición.
El mecanismos de manivela-corredera, tiene diversas aplicaciones, como se han
señalado anteriormente, la más importante es en el motor de gasolina, donde la fuerza
del gas actúa en la corredera, convirtiendo un movimiento angular en lineal. En esta
investigación muestra que la respuesta del sistema depende de cinco parámentos:
longitud, masa, amortiguación, fuerza de émbolo y viscosidad.
Otra parte importante que señala esta investigación es la respuesta transitoria, donde se
ha investigado con base en las reacciones, la longitud de la manivela a la longitud de la
biela y las velocidades de rotación de la manivela a las rotaciones de la biela. Por otra
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 9
parte, este artículo nos habla que no se ha realizado ninguna investigación sobre la
aplicación de un actuador eléctrico y mucho menos sobre el control de posición,
velocidad o trayectoria, lo que nos da la pauta para seguir con la investigación que se
propone en este trabajo. [10]
Otro trabajo que tiene importancia en esta investigación fue publicado en 1999 por
Rong-Fong Fung, Ken-Wang Chen y Jia-Yush Yen, donde implementan un control por
modos deslizantes, utilizando un servomotor síncrono PM (imán permanente) para el
control de posición, de igual manera que en el artículo anterior.
De la misma forma que en el artículo anterior, se formula la ecuación de movimiento
por medio del principio de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange. Se propone un
control robusto. Una aportación importante es la implementación de un servomotor
síncrono PM, ya que tiene diversas aplicaciones en el control de movimiento con
potencias bajas o medias. Este motor presenta una estructura compacta, alta relación de
par a la inercia y alta capacidad de par de torsión.
Las ventajas que presenta este tipo de servomotor son diversas, la más importante es
que tiene una mayor eficiencia debido a que no presenta pérdidas en el rotor. [11]
En el año 1999, Hong-Sen Yan y Wei-Ren Chen presentaron un trabajo sobre el
mecanismo manivela-corredera, donde se propuso variar la velocidad de entrada para
obtener velocidades deseadas en la salida (puede ser una trayectoria deseada). Mediante
la implementación de un servomotor. En este trabajo se plantean las velocidades por
medio de curvas de bazier.
El mecanismo de manivela-corredera, tiene diversas aplicaciones, en esta investigación
muestran el ejemplo de un compresor, donde el actuador es un motor eléctrico que tiene
una velocidad constante y la velocidad que se desea de salida, se obtiene de la síntesis
del mecanismo. En este trabajo se presenta otra solución alternativa, que llevaría a tener
un mecanismo flexible, ya que con las mismas dimensiones se podrán obtener diferentes
velocidades de salida, aplicando la ley de control propuesta y un servomotor.
En esta investigación se muestran algunas aplicaciones del mecanismo manivela-
corredera donde se encuentran ventajas sobre la variación de la velocidad. Algunas
aplicaciones son: en una troqueladora o en punzadora; donde es necesario variar la
velocidad de la salida. Por último, se muestran los resultados obtenidos
experimentalmente y se analizan. [12]
En el año 2003, el Departamento de Ingeniería Eléctrica Kao Yuan, presentó una
investigación sobre el control de posición del mecanismo manivela-corredera, por
medio de un control PID autoajustable.
En la primera parte, obtienen el modelo matemático de la misma forma que los artículos
anteriores, por medio del principio de Hamilton y el método de los multiplicadores de
Lagrange.
En la segunda parte, proponen un controlador muy popular, con la aportación de que es
autoajustable. El controlador PID es muy popular, ya que es aplicado a la mayoría de
los procesos industriales y es fácil de implementar. Una de sus desventajas más
importantes es que no absorbe las perturbaciones externas de la planta y los parámetros
se sintonizan manualmente bajo condiciones ideales. Especialmente para sistemas no
lineales, como lo es el mecanismo de manivela-corredera. Los parámetros que se
sintonizan en condiciones ideales en su mayoría no son apropiados para condiciones
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 10
con plena carga. Por lo que este trabajo propone un ajuste automático inteligente por
medio de una PC.
Por último, los resultados de simulación y experimentales muestran el potencial de la
controlador propuesto. [13]
Una herramienta importante para el diseño mecánico son los softwares, ya que por
medio de ellos, no sólo se pueden realizar simulaciones, sino que también podemos
verificar si el modelo dinámico que se planteó es el correcto. Por lo tanto, para cerrar
esta investigación sobre el control de los mecanismos de cadena cinemática cerrada, en
especial el control del mecanismo de manivela-corredera, abordaremos un artículo
publicado en el año 2005. En este trabajo se muestra la importancia de los softwares, ya
que se obtuvo el modelo dinámico del mecanismo manivela-corredera por medio de
ADAMS® y se creó una interfaz con Matlab/Simulink®, para aplicar un PID y
retroalimentar el sistema, pudiendo variar las inercias, masas o algún parámetro en el
modelo dinámico.
Otra aportación que muestra este artículo, son las características que tienen los
mecanismo paralelos, altas precisiones, alta capacidad de carga, alta rigidez y rapidez,
por lo que también señala que por esas características es necesario un controlador de
excelente rendimiento y este rendimiento está dado por el modelo dinámico del sistema
mecánico. Como se ha mencionado anteriormente, los mecanismos de cadena
cinemática cerrada son no lineales, por lo que es muy importante obtener el modelo
dinámico y que en este trabajo se realiza por medio del software ADAMS®. Este
software está parametrizado para poder modificar el modelo y, como se especificó
anteriormente, se realiza la interfaz con Matlab/Simulink® para aplicar control PID.
Algo importante de señalar es que por medio de esta interfaz, se pueden realizar
cualquier cambio en modelo dinámico en ADAMS® y de inmediato se realizarán el
cambio en el modelo de Simulink®.
Esta interconexión produce una poderosa herramienta para modelar y analizar el
comportamiento dinámico de los sistemas mecatrónicos. Además, que se puede mejorar
la exactitud del modelo mediante el aprovechamiento del cálculo automático de las
propiedades de inercia de todas las partes del mecanismo. Esta herramienta nos permite
modificar fácilmente varios diseños e investigar su efecto sobre el comportamiento
dinámico del sistema. [14]
1.6.2 Control utilizado para sincronizar mecanismos.
En la actualidad se han realizado algunas investigaciones sobre la sincronización de
mecanismos de cadena cinemática cerrada. Un ejemplo, y muy importante, es la
investigación que se publicó en el años 2005, “PD no lineal de control sincronizado de
Manipuladores paralelos”, en este artículo se propone un algoritmo de control
sincronizado mediante un control de actuadores cruzados PD, donde es fácil de
estabilizar el movimiento de cada actuador y los errores de posición de los actuadores
converjan en cero para un robot en paralelo. En este tipo de mecanismos es necesario
sincronizar los tres actuadores, y que si no están éstos presentan grandes fuerzas de
interacción entre sí y, por consecuencia, hay un desgaste en ellos. Otra parte muy
importante de la cual habla esta investigación, son las ventajas que presentan este tipo
de mecanismos de cadena cinemática cerrada, su alta rigidez, alta precisión y alta
capacidad de carga mayor que los mecanismos de cadena cinemática abierta. [15]
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 11
En el año 2007 se vuelve a presentar otra investigación sobre la sincronización del
mismo mecanismo (mecanismo en paralelo) en el cual se aplica cuatro tipos de
controladores, proporcional-integral (PI) de tipo control sincronizado, control adaptativo
sincronizado (AS), control convencional proporcional-integral - diferencial (PID) y
control adaptativo para el seguimiento de trayectorias. En este trabajo se realiza la
comparación entre los cuatro tipos de control y se muestran las ventajas que tiene este
tipo de controladores para el seguimiento de trayectorias, por último muestra las
ventajas que tienen estos mecanismos con respecto a los mecanismos en serie. [16]
1.7 Singularidades cinemáticas.
En el estudio de la cinemática de los mecanismos es necesario abordar inevitablemente
los problemas de las configuraciones singulares.
Se han presentado diferentes trabajos de las singularidades de mecanismos de cadena
cinemática cerrada, donde clasifican las singularidades en tres grupos principales que se
basan en las propiedades de las matrices jacobianas. Es decir, aquellas matrices que
relacionan la velocidad de entrada con las velocidades de salida.
La relación entre las coordenadas de entrada y salida es:
( ) (1.1)
Donde F es una función de y x. Si tenemos la diferencial con respecto al tiempo se
tiene que la entrada y la salida de la velocidad es la siguiente:
(1.2)
Donde:
Donde A y B son ambas matrices jacobianas nxn.
Como se indicó anteriormente, las singularidades se producen en configuraciones de
cualquiera de las dos matrices A o B se pueden convertir en una singularidad.
Como se habló anteriormente, existen tres tipos de singularidades, a continuación se
muestran:
1) El primer tipo de singularidad se produce cuando se verifica la siguiente
condición:
( ) (1.3)
Esta configuración se refiere cuando la cadena cinemática alcanza su límite en el
espacio de trabajo. En esta singularidad se tendría que es diferente de cero, por lo que
será igual a cero. Para este tipo de singularidad, se dice que pierde un o más grados de
libertad. Si la cadena cinemática es considerada un mecanismo, este tipo de singularidad
corresponde a una configuración en que la salida es un punto muerto.
2) El segundo tipo de singularidad se produce cuando tenemos la siguiente
condición:
( ) (1.4)
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 12
Esto corresponde a configuraciones en las que el dispositivo de agarre es localmente
móvil incluso cuando todas las articulaciones de accionamiento están bloqueadas.
La diferencia que se encuentra entre la primera singularidad mostrada es, que esta
singularidad se encuentra en el espacio de trabajo de la cadena. En esta configuración se
dice que el enlace de salida gana uno o más grados de libertad, esto implica que el
enlace de salida no puede resistir una o varias fuerzas o momentos, incluso cuando
todos los actuadores estén bloqueados. Si la cadena cinemática se considera un
mecanismo, el segundo tipo de singularidad corresponde a una configuración en la que
la entrada es un punto muerto.
Tanto el primero como el segundo tipo de singularidad corresponden para
configuraciones que pueden suceder en cadenas cinemáticas complejas en general.
3) El tercer tipo de singularidad es un poco diferente a la naturaleza de los dos
primeros, ya que requiere de parámetros en los enlaces.
La tercera ocurre cuando, para determinadas configuraciones, tanto A como B se
convierten simultáneamente en singular. Esto ocurre cuando, para determinadas
configuraciones, A como B se convierten simultáneamente en singular, siempre y
cuando algunas condiciones especificadas sobre los parámetros de los enlaces se
cumplan.
Esta configuración corresponde a configuraciones en el que la cadena puede sufrir
movimientos finitos cuando sus actuadores estén bloqueados o en el que un movimiento
finito de las entradas no produce ningún movimiento de las salidas.
A continuación se muestra como ejemplo las singularidades del mecanismo RRRP que
se está analizando en este trabajo.
El mecanismo que se analiza en este trabajo es de un grado de libertad, como se muestra
en el capítulo dos. El ángulo q es la variable de entrada, mientas que el desplazamiento
de la corredera está dado por x (salida). Para este caso se tiene sólo una entrada y una
salida y las matrices jacobianas son de 1x1, es decir son escalares y se denotan por A y
B.
Figura 1.3 Mecanismo RRRP
Del siguiente enlace, se puede escribir:
( )
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 13
y se tiene que:
( )
√
( )
Se sustituye la ecuación 1.7 y la ecuación 1.5, para obtener:
√ ( )
Donde
( )
Tras la diferenciación de (1.8) con respecto al tiempo, se obtiene:
( )
Donde
√ ( )
(√ )
( )
Por lo tanto, el primer tipo de singularidad surge cuando = 0, es decir, cuando = 0 o
. En esta configuración, (1.8) se convierte
( )
y los enlaces de longitud R y L están alineados, lo que corresponde hasta el límite del
área de trabajo. Puesto que B es igual a cero, la valor de será igual a cero,
independientemente del valor de . Por otra parte, una fuerza aplicada en la salida a lo
largo de la dirección de los enlaces no tendrá ningún efecto sobre la entrada.
El segundo tipo de singularidad ocurre cuando A = 0. Esta condición conduce a:
( )
La configuración correspondiente se muestra en la figura 1.4. Esta configuración es
claramente dentro del rango de movimiento de la salida, es decir, dentro del área de
trabajo. Además, dado que el segundo término de la ecuación 1.8 desaparece, por lo
que las dos ramas del problema cinemático directo satisfacen. La salida puede
someterse a movimiento infinitesimal incluso si la entrada está bloqueada. Por otra
parte, el mecanismo no puede resistir una fuerza aplicada en la salida a lo largo del eje
x.
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 14
Figura 1.4 Segundo tipo de singularidad para el mecanismo de RRRP.
Como se indicó anteriormente, la tercera clase de singularidad requiere satisfacer
ciertas condiciones sobre los parámetros de vinculación. Para el ejemplo tratado aquí,
la condición es que el eslabón de entrada y el eslabón de acoplador tengan la misma
longitud, es decir:
( )
Por lo tanto la ecuación 1.8 puede quedar de la siguiente manera.
( )
o
{
} ( )
Cuando x es igual a cero, la entrada puede someterse a rotaciones arbitrarias, mientras
que la salida permanece en reposo. [17]
Figura 1.5 Tercer tipo de singularidad para el mecanismo RRRP.
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 15
1.8 Definición de Electromecánico.
La electromecánica es la combinación de las ciencias del electromagnetismo de
la ingeniería eléctrica y la ciencia de la mecánica.
Dispositivo mecánico accionado o controlado mediante corrientes eléctricas.
Técnica de las máquinas y dispositivos mecánicos que funcionan eléctricamente.
Los sistemas o dispositivos electromecánicos son los que combinan partes eléctricas y
mecánicas para conformar su mecanismo. Algunos ejemplos son los motores
eléctricos y los dispositivos mecánicos movidos por éstos, así como las, ya
obsoletas, calculadoras mecánicas y máquinas de sumar, los relevadores, las válvulas
a solenoide y las diversas clases de interruptores.
Capítulo 1. Estado del Arte.
Página 16
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 17
Capítulo 2.
2
Modelo Cinemático.
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 18
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 19
II. Modelo cinemático.
Introducción.
Es muy importante realizar el modelo matemático de cualquier mecanismo para obtener
las aceleraciones de los eslabones, tomando como base la segunda ley de Newton, una
fuerza dinámica es proporcional a la aceleración. También es fundamental saber sobre
las fuerzas dinámicas y los torques necesarios para poder mover un mecanismo, ya que
por medio de las fuerzas dinámicas y estáticas obtenidas podemos calcular los esfuerzos
en los componentes para evitar fallas en el mecanismo, de igual manera, es necesario
saber los torques que se deben aplicar para que por medio de un controlador podamos
obtener perfiles de velocidad deseados o alcanzar posiciones deseadas.
El análisis de un mecanismo se refiere a la investigación de la estructura cinemática,
dinámica y propiedades de los mecanismos.
En el problema de análisis de mecanismos se acostumbra dividirlo en dos partes:
a) Análisis estructural y cinemático.
b) Análisis dinámico de mecanismos.
En el análisis cinemático tiene como objetivo el estudio de los componentes
geométricos, tales como: pares cinemáticos, cantidad de cuerpos que lo forman, el grado
de libertad, las singularidades, las posiciones, velocidades y aceleraciones, sin tomar en
cuenta las fuerzas que intervienen en los eslabones del mecanismo durante su
movimiento, el cual se abordará en el siguiente capítulo.[18]
A continuación se presenta el desarrollo de la obtención del modelo cinemático del
mecanismo con topología RRRP, con la finalidad de determinar las configuraciones
singulares que tienen gran relevancia en la solución del problema propuesto.
2.1 Grados de libertad.
En este trabajo se hará un análisis de un mecanismo con manivela, biela, corredera.
En esta primera parte obtendremos los grados de libertad del mecanismo con topología
RRRP.
Determinar los grados de libertad de un mecanismo es fundamental para la síntesis y el
análisis de los mecanismos. Los grados de liberad de un mecanismo es el número de
entradas que se necesitan proporcionar a fin de originar una salida predecible. [3]
Es importante tener presente el número de grados de libertad de los mecanismos, ya que
esta investigación está dirigida a todos los mecanismos con un grado de libertad.
Figura 2.1
Mecanismo de manivela, biela y corredera, con topología RRRP.
Par de revolución (R).
Par de revolución (R).
Par de revolución (R).
Par prismático (P).
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 20
En la figura 2.1 se puede observar que el mecanismo cuenta con tres eslabones móviles
y uno fijo, conformado por cuatro pares cinemáticos de clase V, y cuenta con cuatro
pares inferiores y ninguno superior.
Utilizando el criterio de Kutzbach.
( ) (2.1)
Donde:
m = Movilidad o grados de libertad del mecanismo.
n = Número o cantidad de eslabones.
J1 = Pares cinemáticos de un grado de libertad.
J2 = Pares cinemáticos de dos grados de libertad.
Sustituimos los valores en la ecuación 2.1:
( ) ( ) ( )
Este mecanismo posee un grado de libertad. Teniendo como eslabón conductor a la
manivela. Tiene una bancada y forman una cadena cinemática cerrada con la biela y la
corredera.
2.3 Cinemática Directa.
Se sabe que para realizar el modelo dinámico de cualquier máquina o mecanismo es
necesario realizar el análisis cinemático con el fin de obtener las ecuaciones
correspondientes a la posición, velocidad y aceleración del mecanismo. De igual forma,
por medio de este análisis, se podrán obtener los coeficientes de velocidad y
aceleración, que son necesarios para obtener el modelo dinámico del mecanismo.
2.4 Sistema de coordenadas.
Es muy importante hablar de los sistemas de coordenadas, ya que cualquier análisis
cinemático, dinámico o de esfuerzos, es necesario plantear un sistema de coordenadas
de referencia. [1]
Existen tres partes importantes que dependen de los sistemas de coordenadas:
1. El origen de las coordenadas “O” desde donde podemos observar el punto p.
2. Los ejes de coordenadas, los cuales proporcionan dirección.
3. La unidad de distancia o distancia unitaria a lo largo de cualquiera de los ejes.
2.5 Ecuaciones de lazo vectorial para mecanismo con topología
RRRP.
Para poder establecer la ecuación de lazo se trazan vectores de posición que forman un
lazo (o polígono cerrado) de vectores. Es importante tener en cuenta que la suma de los
vectores del polígono es igual a cero ya que conforman una figura cerrada. Las
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 21
longitudes de los vectores corresponden a las longitudes de los eslabones y por lo tanto
son conocidas, excepto las longitudes que varían en el desplazamiento del eslabón
conducido. [19]
En la figura 2.2 Se puede observar los vectores que conforman la ecuación de lazo,
describen la restricción cinemática que limita el movimiento de los eslabones y su
relación entre ellos a partir de la configuración geométrica del mecanismo.
Figura 2.2 Definición de la ecuación de lazo para la obtención de las ecuaciones de
restricción.
Se muestra la ecuación de lazo de mecanismo:
(2.2)
Donde:
Los ángulos se obtienen a partir del eje X positivo.
Las componentes en el eje X y Y están dadas por:
( ) (2.3)
( ) (2.4)
( ) (2.5)
2.6 Análisis de posición del mecanismo.
Para el modelo cinemático de este mecanismo se comenzará con el análisis de posición.
Como se habló en la introducción, es muy importante obtener las posiciones del
mecanismo para posteriormente poder derivar y obtener las velocidades y por
consiguiente las aceleraciones del mecanismo.
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 22
Figura 2.3 Análisis de posición.
Se sabe que las variables en el análisis de posición son y , por lo que se forma un
vector de incógnitas [s] con las variables.
[ ] [ ] (2.5)
Por medio de las componentes en los ejes X y Y obtenemos los vectores de posición de
cada eslabón.
(2.6)
(2.7)
Para comprobar que estas ecuaciones cumplen con las direcciones y sentido de cada
eslabón, se realizó una simulación en el software Mathematica 8.0 con las ecuaciones de
lazo para comprobar que describe de forma correcta el mecanismo analizado. Los
programas de las dos simulaciones, tanto de posición como de las ecuaciones de lazo, se
encuentran en el apéndice A.
Cuando se tienen las componentes de los vectores de posición, se pueden obtener
funciones de restricción cinemáticas del mecanismo que representan las restricciones
físicas del movimiento de los eslabones del mecanismo. Sólo se tiene un lazo, el cual
está representado por las siguientes funciones, igualadas a cero. Deben ser igual a cero
porque es un polígono cerrado.
(2.8)
(2.9)
Con las funciones de restricción se puede formar la Matriz de posición, y así obtener
cualquier posición del mecanismo. Utilizando el software Mathematica 8.0® se pueden
obtener las posiciones de y para cualquier punto de interés.
[ ] [
(
)
] (2.10)
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 23
La matriz 2.10 muestra un sistema de dos ecuaciones que puede resolver para cualquier
posición del mecanismo manivela-corredera.
2.7 Análisis de velocidad.
A partir de que se obtiene el análisis de posición es posible continuar con el análisis de
velocidad, es importante conocer las velocidades del mecanismo ya que se utilizarán
para obtener la energía cinética. En la figura 2.6 se observa que para cada posición se
debe obtener la velocidad de cada eslabón.
Figura 2.4 Análisis de velocidad.
Existen dos casos para poder obtener las velocidades de este mecanismo, que se
mostrarán detalladamente. El caso que más nos interesa es el caso 2, ya que en éste
obtendremos los coeficientes de velocidad que ayudarán a obtener el modelo dinámico
del mecanismo.
A continuación se muestran, en forma matricial, las funciones de restricción cinemáticas
del mecanismo:
[ ] [
] [ ] (2.11)
Caso 1. En este caso se derivan las funciones con respecto al tiempo para obtener las
velocidades de las variables del mecanismo.
[
] [
]
Sustituyendo las funciones obtenemos las velocidades del mecanismo.
[ ] [
] [ ] (2.12)
Se muestra en forma matricial las funciones derivadas con respecto al tiempo, por
medio de cualquier software se pueden obtener las velocidades de .
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 24
Caso 2. En este caso se utiliza el jacobiano que se obtiene de las funciones del
mecanismo, es muy importante, ya que por medio de este método se podrán obtener los
coeficientes de velocidad que son fundamentales para obtener el modelo dinámico y
aplicar las leyes de control necesarias para resolver el problema planteado.
Para deducir la expresión general se consideran las ecuaciones de restricción.
Partimos de la expresión:
( ) (2.13)
Donde:
( )= jacobiano.
= variables de velocidad.
= velocidad angular de la variable generalizada.
Como primer paso se rescriben las ecuaciones que componen [
] de tal forma que de
un lado queden los términos que contienen las velocidades angulares y del otro lado de
la igualdad se factorizan las velocidades buscadas por incógnitas del sistema, lo que
resulte de esta factorización se le conoce como Jacobiano. Por lo tanto para obtener las
incógnitas se determinan por la inversa de la matriz del Jacobiano.
Llegando a la expresión:
( ) (2.14)
Algo importante que se debe de considerar es que ( ) tiene como término la variable
generalizada de posición y ( ) es la velocidad angular de la variable generalizada, así
que para obtener una solución al sistema es necesario definir los coeficientes de
velocidad.
[ ]
(2.15)
Se sabe que el vector de [s] ha sido declarado como un vector de incógnitas y si lo
derivamos con respecto al tiempo se puede obtener las velocidades:
[ ] [ ] [ ] [
]
De igual forma [ ] es el vector de ecuaciones de restricción:
[ ] [ ] (2.16)
Se reescribe de la ecuación 2.15:
[ ] [
] ( )
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 25
Primero se obtiene [
], utilizando el software Mathematica 8.0® se deriva respecto a la
variable generalizada .
[
]
[ ]
[ [ ] [ ]
] ( )
Para obtener el Jacobiano del mecanismo es necesario derivar con respecto al vector de
incógnitas [s]. El resultado que se muestra fue realizado por medio del software
Mathematica 8.0®.
[
]
[
]
[
] ( )
Ya que se obtiene el Jacobiano del mecanismo se calcula la inversa del Jacobiano.
( )
( )( ) (2.20)
Se utiliza el software Mathematica 8.0® para obtener la inversa del Jacobiano.
( ) [
] ( )
Para entender qué son los coeficientes de velocidad, se muestran los dos coeficientes
que se obtendrán para el mecanismo que se está analizando. En estas dos ecuaciones se
puede observar que se deriva con respecto a la variable generalizada ya que se busca
que todas las incógnitas están variando con respecto a la variable generalizada.
( )
( )
Se puede sustituir en la ecuación 2.17 y obtener los coeficientes de velocidad.
[ ] [
] (2.24)
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 26
[ ] [
] [
] [ [ ] [ ]
]
Por lo tanto, multiplicando [ ] [
] podemos obtener los coeficientes de velocidad
en una sola expresión.
[ ] [
] [ [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
] ( )
Los coeficientes de velocidad son muy importantes para obtener el modelo dinámico.
Por otra parte es necesario encontrar las incógnitas de velocidad ( ). Para obtener
estas incógnitas utilizamos la ecuación 2.17:
[ ] [
] [ ] [ ] (2.26)
Sustituyendo, se obtienen, en forma matricial, los vectores de velocidad:
[ ] [ ] [
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
] ( )
Con esta expresión se puede encontrar el vector de incógnitas de velocidad y poder
obtener las velocidades para cualquier punto del mecanismo.
2.8 Análisis de aceleración.
Ya que se efectuó el análisis de velocidad, es necesario encontrar las aceleraciones y los
coeficientes de aceleración que serán utilizados para resolver el modelo dinámico y
poder realizar el control de mecanismo.
Figura 2.5 Análisis de aceleración.
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 27
Para la obtención de las aceleraciones también se pueden obtener por dos casos.
Caso 1. En este caso utilizamos las ecuaciones de velocidad las derivamos con respecto
al tiempo para obtener las aceleraciones y se pueden resolver por cualquier método para
un sistema de dos ecuaciones, dos incógnitas.
Se tiene la matriz con los vectores de velocidad, ecuación (2.12).
[ ] [
] [ ]
Se deriva con respecto al tiempo.
[
]
[ ]
Sustituyendo las funciones obtenemos la matriz con las aceleraciones del mecanismo.
[ ] [
] [ ] (2.28)
En la matriz anterior se muestra un sistema de ecuaciones con dos incógnitas la cual se
puede resolver para cualquier posición deseada.
Caso 2. Aquí se utilizan los coeficientes de velocidad. Este caso es muy importante para
poder obtener el modelo dinámico del mecanismo, ya que se obtendrán los coeficientes
de aceleración y la otra forma de obtener las aceleraciones del mecanismo.
Se tiene la ecuación 2.24 y la ecuación 2.26 respectivamente.
[ ] [ ( )] [
]
[ ] [ ]
Se sabe que el vector de [s], ha sido declarado como un vector de incógnitas y si lo
derivamos con respecto al tiempo se obtendrá el vector de incógnitas de velocidad y si
se deriva con respecto al tiempo por segunda vez, se obtiene el vector de incógnitas de
aceleración.
[ ] [ ] [ ] [
] [ ] [
]
Para encontrar el vector de incógnitas de aceleración tenemos que:
[ ] [ ] [ ] [ ] (2.29)
Para obtener los coeficientes de aceleración se debe derivar los coeficientes de
velocidad con respecto a la variable generalizada.
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 28
[ ]
[ ( )] (2.30)
Se sustituyen los coeficientes de velocidad obtenidos en el análisis de velocidad y se
derivan con respecto a la variable generalizada, para así poder encontrar los coeficientes
de aceleración.
[ ]
[ ]
[
( [ ] [ ]
)
( [ ] [ ] [ ])]
Utilizando el software Mathematica 8.0®, se derivan los coeficientes de velocidad y se
obtienen los coeficientes de aceleración:
[ ] [
] [ [ ]( [ ] [ ] [ ])
[ ]( [ ] [ ] [ ]] (2.31)
Los coeficientes de aceleración muestran como varían las aceleraciones con respecto a
la variable generalizada q.
Ya que se obtienen los coeficientes de aceleración, se sustituyen en la ecuación 2.29
para poder obtener las aceleraciones del vector de incógnitas de aceleración.
[ ] [ ] [ ] [ ]
Se sustituyen los coeficientes de velocidad y de aceleración obteniendo así la ecuación
2.30:
[ ] [ ] [
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
]
[ [ ]( [ ] [ ] [ ])
[ ]( [ ] [ ] [ ]
]
En esta ecuación se muestra la suma de dos matrices multiplicadas por la velocidad
angular y aceleración angular de la variable generalizada, la cual es el dato de entrada
de nuestro mecanismo para poder obtener las aceleraciones de y y así poder
resolver la cinemática del mecanismo con topología RRRP.
2.9 Obtención de coeficientes de velocidades generalizados.
Para poder obtener el modelo dinámico del mecanismo de manivela-corredera, es
necesario tener presente los coeficientes de velocidad y aceleración con respecto a la
variable generalizada, ya que serán utilizados al igual que los coeficientes de
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 29
velocidades y aceleración de los centros de masa de cada eslabón, por tanto, es
necesario tenerlos presente. [19]
Coeficientes de velocidad:
[ ] [
] [
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
]
Coeficientes de aceleración:
[ ] [
] [
[ ]( [ ] [ ] [ ])
[ ]( [ ] [ ] [ ]
]
Capítulo 2. Modelo Cinemático.
Página 30
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 31
Capítulo 3.
3
Modelo Dinámico.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 32
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 33
III. Modelo Dinámico.
Introducción.
En el capítulo uno se habló sobre las áreas que estudia la mecánica. En este capítulo se
abordará una parte que estudia la dinámica. Como se había visto, la dinámica se divide
en dos grandes ramas, la cinemática y la cinética. Ya se obtuvo en el capítulo anterior la
cinemática del mecanismo, en este capítulo se estudiará la cinética del mecanismo y de
esta manera obtener el modelo dinámico del mecanismo manivela-corredera.
Se pueden diferenciar entre dos subclases los problemas dinámicos, dependiendo qué se
desee calcular y cuáles son los datos que se tienen.
La dinámica directa.
La dinámica inversa.
Es importante saber la diferencian entre la dinámica directa y la dinámica inversa.
En la dinámica directa se conoce todo acerca de las fuerzas y los momentos de fuerza
que se ejercen sobre el sistema y el estudio de los mecanismos para disminuir los
efectos de las fuerzas dinámicas que resulten de la aplicación de las fuerzas y momentos
aplicados al sistema.
Mientras que la dinámica inversa se encarga del estudio del régimen de movimiento
bajo la acción de las fuerzas dadas. Estudia además los métodos para abastecer los
regímenes del movimiento de los mecanismos. Los dos casos son problemas dinámicos.
Cada uno resuelve la ecuación , sólo que cada caso tiene una variable diferente.
[1]
3.1 Modelo dinámico.
Casi siempre es conveniente crear un modelo dinámico. Estos modelos se consideran
masas puntuales que están unidas por varillas inmateriales. Para que el modelo sea
equivalente con el real, es necesario que cumpla con tres reglas esenciales:
1. La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo original.
2. El centro de gravedad debe estar en la misma ubicación que en el cuerpo
original.
3. El momento de inercia debe ser igual al cuerpo original.[3]
Para obtener el modelo dinámico del mecanismo de manivela-corredera, se realizará un
análisis directo mediante la ecuación de movimiento de Ekergian. Se sabe que el
mecanismo que se está estudiando es de un grado de libertad, por lo tanto se puede
utilizar esta ecuación ya que está formulada sólo para mecanismos de un grado de
libertad.
3.2 Obtención de los coeficientes de los centros de masa.
El primer paso para obtener el modelo dinámico del mecanismo que se está analizando
es encontrar los coeficientes de los centros de masa para cada uno de los eslabones, ya
que se obtendrán los coeficientes de velocidad y aceleración de los centros de masa.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 34
Se sabe que en el mecanismo que se está analizando, sus eslabones tienen una geometría
regular, por lo tanto, los centros de masa se consideran a la mitad del eslabón.
3.2.1 Coeficientes del eslabón 2.
Para obtener las coordenadas de los centros de masa es necesario trazar un vector desde
el origen del eje de coordenadas inercial, hasta en centro de masa del eslabón 2.
Figura 3.1 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 2.
Las coordenadas del centro de masa vistas desde el eje de coordenadas inercial son:
(
) { } (3.1)
Para obtener los coeficientes de velocidad del centro de masa es necesario derivar con
respecto a la variable generalizada.
Utilizando el software Matematical 8.0® se obtienen los coeficientes de velocidad y
aceleración del centro de masa del eslabón 2.
(3.2)
(
) ( ( ) ( )) { (
) ( ) (
) ( )}
Ahora, para obtener los coeficientes de aceleración para el centro de masa es necesario
derivar los coeficientes de velocidad del centro de masa del eslabón dos con respecto a
la variable generalizada.
(3.3)
(
) ( ( ) ( )) { (
) ( ) (
) ( )}
Tanto los coeficientes de velocidad como los de aceleración, fueron obtenidos por
medio del software Matematical 8.0, cabe mencionar que el programa que se realizó
para obtener los coeficientes se encuentra en el apéndice A.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 35
3.2.2 Coeficientes del eslabón 3.
Se realiza el mismo procedimiento para el eslabón 3. Trazamos un vector desde el
origen del sistema de coordenadas inercial hacia el centro de masa del eslabón 3.
Figura 3.2 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 3.
Las coordenadas del centro de masa vistas desde el origen del eje de coordenadas
inercial son:
(
) {
} (3.4)
Para obtener los coeficientes de velocidad del centro de masa es necesario derivar con
respecto a la variable generalizada.
Utilizando el software Matematical 8.0® obtenemos los coeficientes de velocidad y
aceleración del centro de masa del eslabón 3.
(3.5)
{ ( ) (
( ) ) ( ) (
( ) )}
Ahora, para obtener los coeficientes de aceleración para el centro de masa es necesario
derivar los coeficientes de velocidad del centro de masa del eslabón tres con respecto a
la variable generalizada.
(3.6)
[
] [ [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
]
Los coeficientes del velocidad y aceleración que se muestran se encuentran respecto a
los ejes X y Y.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 36
3.2.3 Coeficientes del eslabón 4.
Se realiza el mismo procedimiento para el eslabón 4. Se traza un vector desde el origen
del sistema de coordenadas inercial hacia el centro de masa del eslabón 4.
Figura 3.3 Coordenadas de los centros de masa del eslabón 4.
Las coordenadas del centro de masa vistas desde el eje de coordenadas principal son:
{ } (3.7)
Para obtener los coeficientes de velocidad del centro de masa es necesario derivar las
coordenadas del centro de masa de eslabón cuatro con respecto a la variable
generalizada.
(3.8)
{ ( ) (
( ) ) ( ) (
( ) )}
Ahora, para obtener los coeficientes de aceleración para el centro de masa es necesario
derivar los coeficientes de velocidad del centro de masa del eslabón cuatro con respecto
a la variable generalizada.
(3.9)
[
] [ [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
]
Ya se obtuvieron las coordenadas de los centros de masa de cada uno de los eslabones y
derivando con respecto a la variable generalizada se obtuvieron los coeficientes de
velocidad y aceleración.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 37
3.3 Obtención de la inercia generalizada del mecanismo con
topología RRRP.
La segunda ley de Newton se aplica a sistemas tanto en rotación como en traslación.
Para la rotación la ley se representa de la siguiente manera:
(3.10)
Dónde:
T es el torque (o momento de fuerza rotatoria).
es la aceleración angular.
es el momento de inercia y es constante.
Figura 3.4 Obtención de la inercia generalizada.
Por lo tanto, el momento de inercia es una medida de resistencia de los cuerpos a ser
acelerados angularmente. En un caso más general, la inercia rotacional debe
representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que
forman el llamado tensor de inercia.
Por lo tanto, el tensor de inercia describe la distribución de masa en un sólido y la
aceleración angular en respuesta al par aplicado.
Si observa la segunda ley de Newton desde la parte de traslación, se tiene que:
(3.11)
Donde:
F es la fuerza aplicada al cuerpo.
es la masa del cuerpo.
es la aceleración del cuerpo.
Por lo que la masa es la resistencia que representa un cuerpo a ser acelerado en
translación.
Para el caso del mecanismo que se está analizando, la inercia no es constante ya que las
distancias con respecto a los centros de masa cambian. La inercia generalizada la
podemos expresar con respecto a la variable generalizada (q) de la siguiente manera:
( ) ∑ (
)
(3.12)
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 38
Utilizando el software Matematical 8.0 obtenemos los valores de la inercia generalizada
para el mecanismo manivela-corredera.
( ) (
) (
) (3.13)
Se realizó la sumatoria de las masas con respecto a los coeficientes de velocidad de los
centros de masa más la suma de los momentos de inercia de cada eslabón por los
coeficientes de velocidad de cada eslabón, y se obtiene la ecuación del momento de
inercia generalizada. Esta ecuación será sustituida en la obtención de la energía cinética,
en el próximo tema.
Como se verá en los próximos temas, para obtener el modelo dinámico del mecanismo
por medio de la ecuación de movimiento es necesario derivar con respecto a la variable
generalizada.
( ) ( )
(3.14)
Utilizando el software Matematical 8.0® obtenemos los valores de la derivada de la
inercia generalizada con respecto a la variable generalizada.
( ) ( ) ( )
La ecuación anterior será sustituida en la ecuación de movimiento que se verá en los
próximos temas.
3.4 Energía Cinética.
La energía cinética de un cuerpo rígido puede separarse en dos términos, uno que
depende de la velocidad de los centros de masa y el otro que depende de la velocidad
de rotación del cuerpo. Se sabe que los mecanismos tienen varios eslabones. Por lo que
la energía cinética total, será la suma de cada una de las energías de cada cuerpo.
∑ (
{ }
{ }
{ }
[ ]{ }) (3.15)
Donde { } representa la velocidad del centro de masa del cuerpo i, y { } representa la
velocidad angular del cuerpo i, ambas medidas en las coordenadas de un sistema
inercial.
Se definen los siguientes vectores columna como:
{ } ( )
{ } ( )
Se define una matriz de masa [ ] y una matriz de inercia [ ], por lo que la energía
cinética total de cualquier sistema puede expresarse como:
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 39
{ }
[ ]{ }
{ } [ ]{ } (3.16)
Para sistemas de un sólo grado de libertad, los vectores { } { } se pueden escribir en
términos de la variable generalizada , multiplicando por los coeficientes de velocidad,
como se explicó en el capítulo anterior.
{ } { } (3.17)
{ } { } (3.18)
Utilizando los coeficientes de velocidad, se puede escribir en términos de la variable
generalizada :
{ }
[ ]{ }
{ }
[ ]{ } (3.19)
La ecuación 3.19 se puede expresar de la siguiente manera:
( ) (3.20)
Donde ( ) es la inercia generalizada de la ecuación 3.13:
( ) { } [ ]{ }
{ }
[ ]{ }
En el caso del mecanismo manivela-corredera, la energía cinética se obtiene de la suma
de cada uno de los eslabones:
∑
∑
(3.21)
La velocidad para los centros de masas se expresa de la siguiente manera.
(
) (3.22)
(3.23)
Sustituyendo las velocidades de los centros de masa de las ecuaciones 3.22 y 3.23, en la
ecuación de la energía cinética 3.21, se tiene que:
(∑ (
) ∑ )
(3.24)
Donde se puede observar que es la misma ecuación de inercia generalizada 3.13,
obtenida en la ecuación 3.20.
( )
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 40
Por lo tanto, la inercia generalizada de la ecuación 3.12 es:
( ) ∑ (
) ∑
En el tema 3.3, se obtuvo la inercia generalizada, sustituyéndola en la ecuación de la
energía cinética se obtendrá la energía cinética total del mecanismo manivela-corredera.
[
(
) (
) ] (3.25)
3.5 Reducción de fuerzas (momentos), masas y momentos de inercia
de segundo orden en los mecanismos.
Otra forma de entender mejor la inercia generalizada, es conveniente estudiar como
cambiar todas las fuerzas por fuerzas actuando en uno de los eslabones.
Para poder realizar lo anterior en necesario que el trabajo en el desplazamiento virtual
elegido o la potencia desarrollada por las fuerzas reducidas, sean iguales a las sumas de
los trabajos o potencias desarrolladas por las fuerzas que actúan en cada uno de los
eslabones del mecanismo.
El eslabón donde se plantea que actúa la fuerza de reducción tiene el nombre de eslabón
de reducción.
Como el mecanismo es de un grado de libertad es suficiente conocer la ley de
movimiento de unos de sus eslabones (ley de movimiento de la variable generalizada).
El eslabón que se utiliza comúnmente como eslabón de reducción es el eslabón
conductor, que en este caso de estudio es el eslabón dos. La coordenada generalizada
como se ha señalado anteriormente es la q.
En el punto B del eslabón de reducción se encuentran actuando dos fuerzas
perpendicularmente, la fuerza motriz de reducción y la fuerza de reducción
productiva .
La fuerza Fm deberá producir el trabajo motriz Am, igual al trabajo de todas las fuerzas
activas o motrices; o lo que es lo mismo, desarrollar la potencia motriz Nm, igual a la
potencia de todas la fuerzas activas, a su vez la fuerza Fr deberá desarrollar el trabajo Ar
igual al trabajo de todas las fuerzas de resistencia, o de otra manera, desarrollar la
potencia Nr igual a la potencia de todas las fuerzas de resistencia.
Para el cálculo de las fuerzas o momentos de reducción se puede usar la igualdad:
∑
( )
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 41
Figura 3.5 Esquema del mecanismo de reducción.
En esta ecuación Nr es la potencia desarrollada por la fuerza de reducción o por el
momento de reducción y Ni la potencia desarrollada por la fuerza que actúa en el
eslabón i cuyas fuerzas también deben reducirse. El valor de la fuerza de reducción, está
dirigida según la velocidad del punto de reducción.
La potencia Nr se puede presentar como:
( )
Dónde:
es el valor de la fuerza de reducción actuando en el pinto B del eslabón de reducción.
es la velocidad del punto de reducción B.
es el momento de reducción del par de fuerzas.
es la velocidad angular del eslabón de reducción.
Figura 3.6 Eslabón de reducción con la fuerza y el momento de reducción.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 42
El valor de la fuerza de reducción Fr se puede presentar como:
∑
∑ ∑
( )
Donde Fi es el valor de la fuerza de reducción que actúa en el punto i del mecanismo; vi
es el valor de la velocidad del punto i; i el ángulo entre los vectores Fi y vi.; Mi es el
momento que actúa en el eslabón i; vr es la velocidad del punto de reducción.
El momento de reducción es:
∑
∑ ∑
( )
La fuerza de reducción y el momento de reducción están relacionados por la ecuación.
( )
Donde l es la distancia del punto de reducción de la fuerza hasta el eje de rotación del
eslabón de reducción.
La masa de reducción es una masa convencional concentrada en el punto de reducción.
La energía cinética Tr que es igual a la suma Ti de las energías cinéticas de aquellos
eslabones, cuya masa se puede reducir al punto de reducción.
De acuerdo con lo anterior la masa de reducción mr es:
∑
∑
( )
Dónde:
Vr es la velocidad del punto de reducción.
En el caso, cuando la masa de los eslabones se reduce al eslabón de reducción que
realiza movimiento de rotación con relación a la bancada, es necesario hacer uso del
concepto del momento de inercia de reducción Ir de estas masas con relación al eje de
rotación del eslabón de reducción.
El momento de inercia de reducción es:
∑
∑
∑
( )
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 43
Donde r es la velocidad angular del eslabón de reducción.
Los valores de mr y de Ir de las ecuaciones (3.31) y (3.32) pueden relacionarse de la
siguiente manera:
( )
Donde l es la distancia entre el punto de reducción y el eje de rotación del eslabón de
reducción.
De las fórmulas (3.31) y (3.32) se deduce que si para cada posición del mecanismo se
conocen las fuerzas que actúan en los eslabones del mecanismo y sus momentos, la
fuerza de reducción Fr, el momento de reducción Mr, la masa de reducción mr y el
momento de inercia de reducción Ir dependerán sólo de la relación de velocidades, las
cuales como se demuestra en el análisis y síntesis de mecanismos dependen sólo de la
posición de los eslabones, esto es de las coordenadas generalizadas. También se deduce
de estas fórmulas que para conocer las fuerzas Fi, las masas mi y los momentos de
inercia Ii de reducción no representa ninguna dificultad y se pueden realizar si se
conocen para cada posición del mecanismo el diagrama de velocidades y las relaciones
de velocidades. De esta forma podemos entender la inercia generalizada y como se
reducen los parámetros para tenerlos con respecto a la variable generalizada.
3.6 Fuerzas Generalizadas.
Como se vio en la introducción, todas las fuerzas y torques que trabajan sobre un
sistema influyen en la respuesta dinámica, lo que se busca es determinar una fuerza
generalizada, que al ser aplicada, haya un cambio virtual de coordenadas , por lo cual
realizara un trabajo virtual , este trabajo es igual a la suma del trabajo virtual de las
fuerzas y torques reales.
Se tiene a como las fuerzas externas aplicadas en ubicaciones definidas por vectores
de posición . De igual manera, se tiene como los torques externos actuando en
ángulos , por lo tanto el trabajo virtual estará dado por:
∑ ∑ (3.34)
Se sabe que todas las posiciones se encuentran en función de la variable generalizada q,
los desplazamientos virtuales pueden ser escritos como:
(3.35)
(3.36)
Por lo tanto, sustituyendo los desplazamientos virtuales se obtiene:
(∑
∑
) (3.37)
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 44
De la ecuación 3.29 podemos ver que Q es la inercia generalizada.
(∑
∑
) (3.38)
Para un sistema la potencia de entrada es igual al trabajo realizado entre la diferencial
de tiempo.
(3.39)
3.7 Obtención de la ecuación de movimiento de Ekasergian.
Se sabe que el trabajo realizado sobre un sistema mecánico es igual al cambio de la
energía cinética del sistema, por lo que se puede representar de la siguiente forma:
( ) ( )
(3.40)
Recordando la ecuación obtenida de la energía cinética (ecuación 3.20).
( )
Se igualan las ecuaciones 3.31 y 3.32 y se obtiene:
(3.41)
Dividiendo la ecuación 3.33 entre se obtiene:
(3.42)
Ésta es la ecuación de movimiento de Eksergian para el movimiento de sistemas de un
grado de libertad.
3.8 Representación de las fuerzas conservativas.
La fuerza que se representó como que actúa en el punto está constituida por dos
partes: una parte conservativa y la otra no conservativa. La fuerza conservativa se puede
escribir como el gradiente de la función potencial asociada:
(3.43)
Por lo tanto. la fuerza generalizada Q puede representarse en dos partes:
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 45
∑
∑ (
)
∑
∑
(3.44)
Por lo que:
(3.45)
Donde V representa la energía potencial total del sistema y representa la fuerza
generalizada no conservativa. Para la ecuación de Eksergian adquiere la siguiente
forma:
( )
(3.46)
La ecuación diferencial 3.37 describe el movimiento de un mecanismo de un grado de
libertad, en la mayoría de los casos son resueltas por medio de métodos numéricos, en
este caso se usará el método de Runge-Kutta. [19]
3.8.1 Obtención de la energía potencial.
El valor de la energía potencial depende de la situación del origen a partir del cual se
mide X. Para una posición dada del punto, la energía potencial puede ser positiva,
negativa o nula según sea la situación del origen.
Figura 3.7 Obtención de la energía potencial.
La energía potencial es la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para
realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede
pensarse como la energía almacenada en el sistema o como una medida del trabajo que
un sistema puede entregar. [20]
Como el mecanismo tiene varios eslabones, la energía potencial, será la suma de la
energía potencial de cada eslabón.
∑ (3.47)
Se obtiene la energía potencial del mecanismo manivela-corredera tomando como eje de
referencias el eje Y respecto a los centros de masa de cada eslabón.
(3.48)
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 46
Se deriva la energía potencial con respecto a la variable generalizada utilizando el
software Matematical 8.0®:
(3.49)
3.9 Obtención del modelo dinámico y simulación.
Ya que se obtuvo la ecuación diferencial para describir el modelo dinámico de los
mecanismos de un grado de libertad, se sustituye los términos obtenidos en los temas
anteriores y se resuelve la ecuación diferencial.
( )
(3.50)
Es necesario realizar una comparación entre una simulación del mecanismo real y
resolver el modelo dinámico del mecanismo numéricamente, para así poder comparar
las gráficas de posición, velocidad y aceleración angular de cualquiera de los eslabones.
Se utilizó el software Working Model®, para simular el movimiento del mecanismo. El
mecanismo que se muestra a continuación, tiene las medidas del mecanismo que se
construyó y se podrá observar en el próximo capítulo.
Figura 3.8 Simulación en software Working Model® 2004 en 2D.
Se obtuvieron las gráficas de posición angular, velocidad angular y aceleración angular
del eslabón 2. El motor se seleccionó en modo de torque ya que se quiere obtener las
gráficas para comprobar modelo dinámico del mecanismo.
Figura 3.9 Figura 3.10
Torque del motor
0.001 N-m
Manivela. Biela.
Bloque.
Figura 3.11
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 47
Tabla 3.1 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software Working Model®.
Datos. Valores.
Torque del actuador. 0.001 N-m
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Integrador. Kutta-Merson (accurete)
Tiempo de simulación. 3
De la misma forma, para comprobar las ecuaciones obtenidas, se realiza un diagrama en
Simulink®, donde se introducirá una función, con las masas de los eslabones, los
momentos de inercia, los coeficientes de velocidad y aceleración de los eslabones, al
igual que las distancias de los centros de masa y sus coeficientes de velocidad y
aceleración; para poder retroalimentar la posición y velocidad de la variable
generalizada, obteniendo la aceleración de la variable generalizada.
Figura 3.5 Simulación en software Matlab/Simulink®.
2 1
5
6
3 4
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 48
Tabla 3.2 Incisos del diagramas de bloques de la figura 3.5.
Incisos. Valores.
1 Scope (Se obtiene la gráfica de aceleración).
2 Scope (Se obtiene la gráfica de velocidad).
3 Scope (Se obtiene la gráfica de posición).
4 Condición inicial igual a cero.
Cuando se integra se obtiene la posición.
5 Condición inicial igual a cero.
Cuando se integra se obtiene la velocidad.
6 Se encuentra la función del Modelo dinámico.
Ver apéndice B.
Tabla 3.3 Datos de la simulación del modelo dinámico en el software
Matlab/Simulink®.
Datos. Valores.
Torque del actuador. 0.001 N-m
Paso de integración. Fixed
Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)
Tiempo de simulación. 3 seg.
Para poder simular en el software Matlab-Simulink® es necesario despejar la
aceleración del modelo dinámico. La ecuación que retroalimenta la aceleración de la
variable generalizada se muestra a continuación:
(
( )) (
)
(3.51)
El torque que se aplicó es de 0.001 N-m, es el mismo utilizado para la simulación en el
software Working Model®, se sustituye en la fuerza generalizada no conservativa
del mecanismo que proporciona el movimiento del mecanismo.
Se graficó por medio de un scope las gráficas de posición, velocidad y aceleración de la
variable generalizada (eslabón 2), y así compararlas con el software Working Model®.
En el apéndice B se encuentra el programa que contiene la función de Matlab®.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 49
Las gráficas que se observan a continuación muestran la comparación entre los datos
obtenidos en el software Working Model® y la simulación en el software Matlab-
Simulink®.
3.9.1 Comparación de la gráfica de posición de la variable generalizada,
Matlab-Simulink® vs Working Model®.
En la siguiente figura se muestra la comparación de las dos gráficas obtenidas, el
mecanismo comienza con las misma condiciones iniciales en las dos simulaciones.
Se realizó un acercamiento para poder observar el error por el paso de integración de los
dos softwares. Ya que a simple vista las dos gráficas se ven iguales.
Figura 3.9 Gráfica de posición de la variable generalizada.
La línea continua muestra la posición en el software Working Model® y la línea
punteada muestra la posición en el software Matlab-Simulink®.
Tiempo de simulación en [seg].
Posi
ción
angula
r d
el e
slab
ón 2
[ra
d].
osi
ción a
ngula
r del
esl
abón 2
[ra
d].
Posición Working Model®.
Posición Matlab-Simulink®.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 50
3.9.2 Comparación de la gráfica de velocidad de la variable generalizada,
Matlab-Simulink® vs Working Model®.
En la siguiente imagen se puede observar la velocidad de la variable generalizada,
donde las condiciones iniciales son las mismas, con una velocidad inicial de cero
radianes sobre segundo.
Figura 3.10 Gráfica de velocidad de la variable generalizada.
La gráfica de línea continua es la velocidad en el software Working Model® y la gráfica
de línea punteada muestra la velocidad en el software Matlab-Simulink®.
Tiempo de simulación [seg].
Vel
oci
dad
an
gula
r del
esl
abón 2
[ra
d/s
eg].
Velocidad Working Model®.
Velocidad Matlab-Simulink®.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 51
3.9.2 Comparación de la gráfica de aceleración de la variable generalizada,
Matlab-Simulink® vs Working Model®.
La figura siguiente muestra la aceleración de la variable generalizada, que se obtiene al
retroalimentar la posición y velocidad ( y ).
Figura 3.11 Gráfica de aceleración de la variable generalizada.
La línea continua muestra la aceleración en el software Working Model® y la línea
punteada muestra la aceleración en el software Matlab-Simulink®.
Para la simulación en el software Working Model® se utilizó el integrador Kutta-
Merson y un paso de integración fijo de 0.001 seg, mientras que para la simulación en
Matlab-Simulink® se utilizó el integrador Runge-Kutta y un paso de integración fijo de
0.001 seg. Es importante señalar que los integradores que se usan en Working Model®
como Matlab®, son muy parecidos por lo que se puede afirmar que el modelo dinámico
obtenido está comprobado para poder ser utilizado en el control del mecanismo.
Tiempo de simulación [seg].
Ace
lera
ción a
ngula
r del
esl
abón 2
[ra
d/s
eg2].
Aceleración Working Model®.
Aceleración Matlab-Simulink®.
Capítulo 3. Modelo Dinámico.
Página 52
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 53
Capítulo 4.
4
Implementación de la ley de control.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 54
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 55
IV. Implementación de la ley de control.
Introducción.
En los últimos años se han fabricado decenas de manipuladores robóticos, por lo tanto,
se han llevado a cabo diversos tipos de controladores para sistemas robóticos ya sea
control por modos deslizantes, control PID, control difuso, red neuronal o control en
tiempo finito. Estos controladores son muy importantes en el ámbito de la robótica, lo
que se busca en este trabajo es no sólo aplicar el control a mecanismos de cadena
cinemática abierta, sino realizar un control a los mecanismos de cadena cinemática
cerrada aprovechando las ventajas que brindan este tipo de mecanismos. Si se realiza un
control a estos mecanismos, podemos resolver diversos problemas en la manufactura,
desde controlar mecanismos de corte, mecanismos de cepillado, mecanismos que
realicen diferentes actividades de paletizado, acomodo de piezas, alimentación de
materia prima hasta poder controlar su posición o su velocidad dependiendo de la
actividad a la cual esta encomendado el mecanismo.
En este capítulo se hace una remembranza sobre la evolución histórica de la Ingeniería
de control, el estudio de algunas teorías de control, la aplicación, análisis e
implementación del control por modos deslizantes con generador de tiempo base.
Mostrando la eficiencia de este controlador y resolviendo el problema planteado.
4.1 Historia del control.
A lo largo de la historia el ser humano ha buscado realizar diferentes instrumentos para
controlar sistemas mecánicos, buscando optimizar y disminuir el trabajo. Un ejemplo de
lo anterior se puede observar en la idea de Ktesibios, en el siglo III antes de Cristo, él
diseñó un reloj de agua, conocido también como Clepsydra, y realizó un órgano que
funcionaba con agua. Las Clepsydras consistían en un mecanismo cuyo objetivo era que
el nivel de un depósito de agua subiera con una velocidad constante, el cual utilizaba un
flotador que regulaba la entrada de agua a un depósito auxiliar, de manera que el nivel
de éste se mantenía constante y fuera marcando las horas del día.
Figura 4.1 Reloj de Agua de Ktesibio.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 56
Otro ejemplo de control de agua fue la idea de que un reloj de agua pudiera realizar una
función automática, esta idea se le ocurre al gran filósofo Platón. Para esto, Platón
diseñó un sistema de alarma basándose en una Clepsydra, en el vaso de la Clepsydra se
ubicó un flotador encima del cual se depositaban unas bolas. Durante la noche se
llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y las bolas caían sobre un
plato de cobre, suponiendo que ante el ruido de las bolas la gente se despertaba. Se
puede observar que la mayoría de los sistemas de control en la antigüedad eran a base
de la caída y depósitos de agua.
Figura 4.2 Clepsydra alarma de Platón.
En la Clepsydra de la Figura 4.2 el caudal suministrado al depósito b es constante por lo
cual éste tardará en llenarse en un tiempo determinado y fijó que al término del tiempo
las bolas caen sobre la bandeja ejerciendo la función de alarma.
Las Clepsydras de Platón suscitó un gran interés en la época y en el siglo siguiente se
efectuaron gran cantidad de diseños de relojes de agua con dispositivos de señalización
auditiva.
Posteriormente en la Edad Media se desarrollan importantes mejoras técnicas pero en el
campo de los ingenios dotados con realimentación existen pocos desarrollos, solamente
cabría resaltar la realización de un sistema de control de un molino de harina realizado
por H.U. Lansperg hacia 1200 consistía que la cantidad de grano suministrada al molino
dependía de la fuerza del viento y la dureza del propio grano, permitiendo que el
sistema funcionará en condiciones óptimas, no se pretendía moler a velocidad constante.
Este distribuidor de grano es considerado como uno de los reguladores de la historia. Su
funcionamiento era muy sencillo e ingenioso. El grano llegaba a la rueda de molienda a
través de un alimentador con una pendiente muy pequeña, de forma que el grano no se
movía si el alimentador estaba en reposo.
En el año 1745 E. Lee inventa un sistema para controlar automáticamente la orientación
e inclinación de las aspas de los molinos de viento, de modo que se aprovechara mejor
la dirección del viento. Se trataba del primer servomecanismo de posición.
En el siglo XVII se empezaron a desarrollar las primeras máquinas de vapor. Al calentar
agua para producir vapor, éste alcanzó un volumen 2700 veces superior a la misma
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 57
masa de agua líquida. Esta propiedad expansiva del vapor constituye el fundamento de
la máquina que lleva su nombre, un ingenio que revolucionaría la sociedad occidental.
El ingeniero James Watt introdujo una modificación en la máquina: una cámara aparte y
el condensador, encargada de enfriar el vapor. También introdujo el cilindro de doble
efecto, que aceptaba vapor alternativamente a ambos lados del émbolo. El resultado fue
el aumento del rendimiento de la máquina hasta el 4%.
Figura 4.3 Máquina de Vapor con regulador de Watt [Standh 89].
A lo largo del siglo XIX se desarrollaron reguladores de temperatura y reguladores de
velocidad para turbinas de agua diseñados por Woodward en 1870. En estas máquinas
se usaba el regulador centrífugo sólo para accionar un embrague que controlaba la
transmisión de potencia a la admisión. Por lo tanto, los servomecanismos adoptan la
estructura funcional que se mantiene hasta el presente. Mientras en los reguladores de
Mead y Watt el control era proporcional, en este ingenio el control pasa a ser integral.
Los amplificadores de potencia mecánicos, conocidos en el contexto del control como
servomotores, siguen desempeñando una función fundamental en los sistemas de
control. En la década de los 1860 M.J. Farcot diseño un regulador centrífugo de alta
sensibilidad cuya señal de salida era suficiente para comandar un pequeño cilindro de
doble pistón que inyectaba vapor a una de las dos caras del pistón de otro cilindro de
potencia de diámetro mucho mayor. El factor de amplificación era proporcional a la
relación de áreas de los cilindros.
En 1889, Lyapunov presenta sus trabajos sobre estabilidad, los cuales servirán de base a
la teoría moderna de control.
Hasta bien entrado el siglo XX, las únicas herramientas analíticas que poseía el
especialista en control eran la utilización de ecuaciones diferenciales ordinarias junto
con criterios algebraicos para determinar la posición de las raíces de la ecuación
característica asociada. Aplicando el criterio de Routh y Hurwitz el ingeniero
determinaba la estabilidad o no de los sistemas, pero para esto se debía obtener el
modelo matemático operando mediante ecuaciones diferenciales. Esto suponía un arduo
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 58
trabajo, además hay que destacar que este criterio no ofrece información de cómo
mejorar la estabilidad del sistema.
Desde el punto de vista teórico, la Ingeniería de Control se empieza a consolidar cuando
se produce el traslado y aplicación de los conocimientos adquiridos en los problemas de
amplificación de señales a los problemas de control industrial.
Estos estudios desembocan en la llamada Teoría Clásica de Control, en la cual se
utilizaban como herramientas matemáticas los métodos de Transformación de Laplace y
Fourier y la descripción externa de los sistemas.
A partir del año 1955, se desarrollaron los métodos temporales, con el objetivo de
solucionar los problemas planteados en aplicaciones aeroespaciales, estos métodos
reciben un fuerte impulso con el desarrollo de las computadoras digitales, que
constituían la plataforma tecnológica necesaria para su implantación, prueba y
desarrollo.
En este momento aparece un nuevo método de diseño de control conocido, a partir de
entonces, como Teoría de Control Moderna. Se basaba en representar los sistemas en
variables de estado o representación interna y trabajando casi exclusivamente en el
dominio del tiempo.
La Teoría de Control Moderna está basada en el concepto de estabilidad de Liapunov
presentado a finales del siglo XIX. Los trabajos desarrollados por Lurie sobre
servomecanismos de posicionamiento de torretas de tanques dieron lugar al concepto de
estabilidad absoluta, generalizada después por Popov con el concepto de
hiperestabilidad, que considera no linealidades en la realimentación.
Los criterios de controlabilidad y observabilidad de sistemas dinámicos lineales se
deben a Kalman, aunque la noción de controlabilidad fue utilizada anteriormente por
Pontryagin.
También se desarrollan las técnicas de control adaptativo. Estas técnicas aparecen
cuando se transvasan a la máquina comportamientos inherentes al hombre: la
adaptación, no en términos de decisiones (conseguida con la realimentación simple),
sino en términos de estructuras para la decisión.
Las Estructuras de Control adaptativas que han tenido mayor impacto técnico son:
Sistemas Auto-Ajustables.
Sistemas Adaptativos con Modelo de Referencia (S.A.M.R.).
La aplicación del computador en el control de procesos supone un salto tecnológico
enorme que se traduce en la implantación de nuevos sistemas de control en el entorno
Industria y posibilita el desarrollo de la navegación espacial. Desde el punto de vista de
la aplicación de las teorías de control automático, la computadora no está limitada a
emular el cálculo realizado en los reguladores analógicos. La computadora permite la
implantación de avanzados algoritmos de control mucho más complejos como pueden
ser el control óptimo o el control adaptativo. El objetivo en un principio era sustituir y
mejorar los reguladores analógicos, pero este objetivo se fue ampliando dada las
capacidades de los computadores en realizar un control integral de las plantas de
fabricación, englobando también la gestión de la producción.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 59
4.1.2 Aplicaciones de la computadora al control.
Las principales aplicaciones industriales de la computadora son:
Adquisición de datos. Consiste en la recogida, tratamiento y almacenamiento de
los datos.
Supervisión. En esta función la computadora no efectúa directamente el control
del proceso. Se conecta a los controladores del proceso (autómatas, reguladores
PID) por medio de un sistema de comunicación serie o por una red de
comunicaciones industrial. La principal función es la ayuda al operador de
planta. La computadora suministra información elaborada como puede ser:
alarmas, tratamiento de fallos y procedimientos de rearme.
Control secuencial. En esta función la computadora suele tomar la forma de
autómata programable, en el cual se ejecutan programas de control de sistemas
secuenciales.
Control analógico digital. Es una forma de control que se utilizaba con los
primeros computadores en la cual la computadora se encargaba de elaborar la
consigna de los bucles analógicos.
Control digital directo. El computador ejecuta directamente el control del
proceso continuo. Toma la forma de regulador industrial o de la computadora
industrial con tarjetas de interface con el proceso.
Análisis de datos. Función clásica de las computadoras de gestión en el que se
analizan los datos de producción por medio de herramientas de informática.
Con la llegada de la computadora, se ha podido tener diferentes tipos de controladores
aplicados a sistemas mecánicos. [21]
4.2 Controladores.
Los controladores conforman una parte muy importante en los nuevos sistemas
mecánicos ya que mejoran sus características de funcionamiento con el objetivo de
satisfacer las especificaciones de diseño tanto en el estado transitorio como en estado
estable.
Se han planteado tres tipos de controladores fundamentales:
Control proporcional (P).
Control integral (I).
Control derivativo (D).
Los controladores pueden interactuar entre sí, lo que da por resultado la formación de
las siguientes configuraciones:
Control proporcional-integral (PI).
Control proporcional-derivativo (PD).
Control proporcional-integral-derivativo (PID).
Es importante señalar estos tipos de controladores, ya que la mayoría están basados en
alguna de las configuraciones anteriores.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 60
4.2.1 Control proporcional.
El control de tipo proporcional tiene una salida v(s) proporcional al error ( )
( ) ( ) (4.1)
4.2.2 Control integral.
El control es de tipo integral cuando la salida del controlador v(s ) es proporcional a la
integral del error ( ) ( ) ∫ ( ) (4.2)
Donde es la ganancia del control integral.
4.2.3 Control derivativo.
El control es de tipo derivativo cuando la salida del controlador v(s) es proporcional a la
derivada del error ( )
( ) ( )
(4.3)
Donde Kd es la ganancia del control derivativo.
4.2.4 Control proporcional-integral: PI
El control es de tipo proporcional-integral cuando la salida del controlador v(s) es
proporcional al error e(s), sumado a una cantidad proporcional a la integral del error
e(s).
( ) ( ) ∫ ( ) (4.4)
Figura 4.4 Diagrama de bloques de un controlador PI.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 61
4.2.5 Control proporcional-derivativo: PD
Se dice que un control es de tipo proporcional-derivativo cuando la salida del
controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la
derivada del error e(t).
( ) ( ) ( )
(4.5)
Figura 4.5 Diagrama de bloques de un controlador PD.
4.2.6 Control proporcional-integral-derivativo: PID
Se dice que un control es de tipo proporcional-integral-derivativo cuando la salida del
controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la
integral del error e(t) más una cantidad proporcional a la derivada del error e(t). [22]
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
(4.6)
Figura 4.6 Diagrama de bloques de un controlador PID.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 62
4.2 Tipos de control.
Antes de comenzar con el diseño del controlador para el mecanismo de manivela-
corredera, es necesario plantear diversos conceptos importantes, para este trabajo de
investigación. El primero, es explicar que existen dos tipos de control. En el siguiente
diagrama se muestran los dos tipos de control que existen y el error que se obtiene en
cada uno de ellos.
Figura 4.4 Diagrama sobre los tipos de control.
4.2.1 Control de posición o regulación.
El control de posición puede ser en forma articular y en forma operacional. Este control
es muy aplicado en Manipuladores robóticos, ya que muchos procesos industriales
deben posicionar el efector en un punto determinado, ya sea para el ensamble de piezas
o alimentación de materia prima. Es importante señalar que la referencia a la que se
desea llegar es un constante, ya sea para el control operacional o articular.
La posición deseada en el control operacional La posición deseada en el control articular
4.2.1.1 a) Control de posición articular.
Cuando el control de posición se realiza en forma articular, es necesario implementar un
sensor angular, el cual medirá la posición angular no importando cual sea la posición
final del efector final.
Existen dos tipos de acción de control.
Control de posición o regulación.
qd=constante.
xd=constante.
a) Control articular.
El error esta dado por:
b) Control operacional.
El error está dado por :
𝑒=x-xd
Control de seguimiento.
xd = f (t)
qd(t)=f(t)
c) Control articular.
El error está dado por
𝑒=𝑞(t)−𝑞d(t)
d(t)
d) Control operacional.
El error está dado por
𝑒=x(t)-xd(t)
-
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 63
Una razón importante es el error y la derivada del error, ya que es muy importante para
la aplicación en cualquier esquema de control. Para este tipo de control el error está
dado por:
( )
(4.8)
Para poder entender de una mejor forma este tipo de control se realizó una simulación
en el software Working Model®, en el cual se controla una barra de longitud de 2
metros.
La cual se obtiene el modelo dinámico para después aplicar una ley de control:
(4.9)
Tabla 4.1 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Working Model®.
Datos. Valores.
Posición a la que se desea llevar.
(qd) 60º
Posición inicial (q) 0º
Integrador. Kutta-Merson (accurete)
Tiempo de simulación. 3 seg.
Dimensiones de la barra. 8 x 0.4 metros.
Masa. 10 Kg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 64
Figura 4.5 Ejemplo de un control de posición articular.
4.2.1.2 b) Control de posición operacional.
La otra forma de aplicar un control de posición es por medio del control operacional, en
este caso es necesario aplicar un sensor en el efector final (cámara) el cual
retroalimentará la posición de la planta para poder llevarla a la posición deseada.
El error para este tipo de control está dado por:
( )
(4.11)
Para poder entender de una mejor forma este tipo de control, se realizó una simulación
en el software Working Model®, en el cual se controla un bloque por medio de una
fuerza para alcanzar una posición deseada.
El sensor que mide la posición se encuentra en el espacio operacional.
La ley de control que se aplica es la siguiente:
(4.12)
Velocidad deseada. ( =0)
Actuador angular y sensor
angular.
Posición inicial del a barra a 0º
qd = 60º
Y
X
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 65
Tabla 4.2 Datos de la simulación para el control de posición operacional en el
software Working Model®.
Datos. Valores.
Posición a la que se desea llevar.
(xd) 12.5 metros.
Posición inicial (x) 0
Integrador. Kutta-Merson (accurete)
Tiempo de simulación. 3 seg.
Dimensiones de la barra. 4 x 2 metros.
Masa. 10 Kg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Figura 4.6 Ejemplo de un control de posición operacional.
4.2.2 Control de seguimiento.
El control de seguimiento puede ser en forma articular y en forma operacional. Este
control es aplicado en procesos de soldadura o corte, ya que los manipuladores
robóticos deben seguir una referencia. Es importante señalar que la referencia que se
dese seguir es una función que varía en el tiempo, por lo que está en función del timpo.
Ya sea para el control operacional o articular.
La función deseada en el control operacional ( )
xd=13 m.
Y
X
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 66
La función deseada en el control articular ( )
4.2.2.1 c) Control de seguimiento articular.
Cuando el control de seguimiento se realiza en forma articular, e necesario implementar
un sensor angular, el cual medirá la posición angular para poder seguir la referencia que
se plantea.
Una razón importante es el error y la derivada del error, ya que es fundamental para la
aplicación en cualquier esquema de control. Para este tipo de control, el error está dado
por:
( )
(4.14)
Para poder entender de una mejor forma este tipo de control se realizó una simulación
en el software Working Model®, en el cual se controla una barra de longitud de 2
metros.
Con este software se obtiene el modelo dinámico para después aplicar una ley de
control.
(4.15)
La referencia que se desea seguir es una función senoidal que está en función del
tiempo.
( ) (4.16)
Tabla 4.3 Datos de la simulación para el control de seguimiento articular en el
software Working Model®.
Datos. Valores.
Trayectoria deseada. (qd) ( )
Posición inicial (q) 60º
Integrador. Kutta-Merson (accurete)
Tiempo de simulación. 3
Dimensiones de la barra. 8 x 0.4 metros.
Masa. 10 Kg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 67
Figura 4.7 Ejemplo de un control de seguimiento articular.
Figura 4.8 Gráfica del seguimiento de trayectoria de una barra en dos dimensiones por
medio de un control de seguimiento articular.
La barra llega en 0.4
segundos a la trayectoria.
Trayectoria a seguir.
Sigue una trayectoria la barra sen (2t)
Actuador angular y sensor
angular.
Oscila en esta posición.
X
Y
Posi
ción [
rad].
Tiempo [seg].
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 68
4.2.2.2 d) Control por seguimiento operacional.
La otra forma de aplicar un control por seguimiento es por medio del control
operacional, en este caso es necesario aplicar un sensor en el efector final (cámara,
sensor lineal o sensor ultrasónico) para muestrear la posición y saber el error en el
seguimiento de la referencia deseada.
El error para este tipo de control está dado por:
En el eje X.
( )
(4.18)
En el eje Y.
( )
(4.20)
Para poder entender de mejor este tipo de control se realizó una simulación en el
software Working Model®, en el cual se controla un bloque por medio de fuerzas en los
ejes X y Y, para seguir la referencia planteada.
La ley de control que se aplica es la siguiente:
(4.21)
(4.22)
Tabla 4.4 Datos de la simulación para el control de seguimiento operacional en el
software Working Model®.
Datos. Valores.
Trayectoria desea para formar
una circunferencia.
Una circunferencia. Radio de 4 metros.
Posición inicial (x) 0
Integrador. Kutta-Merson (accurete)
Tiempo de simulación. 3
Dimensiones de la barra hxl. 4 x 2 metros.
Masa. 10 Kg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Gravedad. 9.81 m/s2
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 69
Ganancias en la fuerza en X. Kp= 850 y Kd=200.
Ganancias en la fuerza en Y. Kp= 750 y Kd=200.
Figura 4.9.1Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional.
Figura 4.9.2 Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional.
Y
X
Y
X
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 70
Figura 4.9.3 Fotograma del ejemplo de un control de seguimiento operacional.
Figura 4.9.4 Ejemplo de un control de seguimiento operacional.
Y
X
Gravedad.
Radio = r.
r
r X
Y
Sensor en el espacio operacional.
Fuerzas que llevan el bloque a la trayectoria deseada.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 71
Figura 4.10 Gráfica del seguimiento de trayectoria de una barra, por medio de un
control de seguimiento operacional.
Ya que se explicaron los cuatro tipos de control que existen, es necesario enfocarse en
los esquemas de control que se aplicarán al mecanismo de manivela-corredera, para la
sincronización del mecanismo.
Para lograr solucionar del problema planteado es necesario que el mecanismo llegue a
una posición deseada en un tiempo determinado.
El esquema de control que se aplica para solucionar el problema planteado es el control
por modos deslizantes con un generador de tiempo base (TBG). El control que se
aplicará es un control robusto que absorbe las perturbaciones externas del sistema y
optimiza el mecanismo para diferentes aplicaciones.
4.3 Control por modos deslizantes.
En la actualidad se han realizado diversas investigaciones entorno al control de
manipuladores robóticos. Se ha tenido un gran progreso en el desarrollo de
controladores para los sistemas robóticos, tales como control de modo deslizante,
control difuso, la retroalimentación de salida PD de control, red neuronal y control en
tiempo finito.
El control de mecanismos de cadena cinemática abierta y como se está investigando en
esta tesis, de cadena cinemática cerrada presentan diversas incertidumbres, como
pueden ser la fricción, las perturbaciones, la gravedad y el cambio de cargas, esto hace
que no alcancen un rendimiento excelente y aún menos si este control se basa
simplemente en el modelo de la planta inexacta.
Trayectoria a seguir.
Sigue la trayectoria en un
tiempo de 0.8 segundos.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 72
Por lo tanto, es necesario aplicar leyes de control que permitan absorber estas
perturbaciones. En las últimas décadas el control por modos deslizante ha recibido
mucha atención, porque es un método de control que proporciona estabilidad y robustez
al sistema controlado.
El control que se plantea en esta investigación para poder llevar al mecanismo de
manivela-corredera a una posición deseada en un tiempo determinado, es una técnica
robusta que controla sistemas no lineales que operan en condiciones de incertidumbre,
como se habló anteriormente. El control por modos deslizantes puede reducir la
sensibilidad a la variación de parámetros inciertos y las perturbaciones externas. [23]
4.3.1 ¿En qué se basa en control de modo deslizante?
El control de modo deslizante se basa en el diseño de una ley de control de conmutación
que impulsa la trayectoria del sistema en un hiperplano elegida por el usuario en el
espacio de estado, también conocido como superficie deslizamiento.
Las características principales de control en modo deslizante son las siguientes:
1. La respuesta es rápida y tiene un buen rendimiento transitorio.
2. Gran robustez frente a una gran clase de perturbaciones o modelo
incertidumbres
3. La gran posibilidad de estabilizar algunos sistemas no lineales complejos que
son difíciles de estabilizar por otras leyes de control de retroalimentación
continúa.
En este capítulo se propone la solución al problema de diseñar un controlador para
sincronizar un mecanismo de manivela-corredera, no lineal con parámetros inciertos.
4.3.1 Investigación del controlador por modos deslizantes.
El enfoque de diseño de control de modo deslizante consta de dos fases:
1. La selección de una superficie de deslizamiento a fin de lograr el
comportamiento deseado del sistema, cuando el sistema de control alcanza el
deslizamiento superficie.
2. Selección de una ley de control, tal manera que la existencia del modo de
deslizamiento puede ser garantizada.
Como se vio anteriormente, la implementación del esquema de control por modos
deslizantes para llevar el mecanismo manivela-corredera a una posición deseada en un
determinado tiempo implica dos pasos. Se debe seleccionar una superficie de
deslizamiento adecuada, y capaz de asegurar la estabilidad del sistema, para que el error
de la dinámica pueda converger a cero. El control por modos deslizantes no sólo debe
ser determinado para garantizar el alcance de la superficie de deslizamiento en un
tiempo finito, sino que también que la trayectoria de estado pueda permanecer en la
superficie de deslizamiento, incluso cuando se someta a incertidumbres del sistema en
un tiempo deseado.
El segundo paso consiste en el diseño de un esquema de control adaptativo para el modo
deslizante para mantener el error en la superficie de deslizamiento.
Primero se analizará un análisis del control por modos deslizantes, para poder aplicarlo
al mecanismo que se está estudiando y poder resolver el problema planteado.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 73
4.4 Generador de tiempo Base.
Para entender el control por modos deslizantes es necesario expresar la ecuación del
generador en función del tiempo, para esto se considera la siguiente ecuación diferencial
lineal, variable en el tiempo no forzada.
( ) ( ) (4.23)
Donde:
( )
( ) ( )
Se plantea que:
El generador de base de tiempo ( ) debe ser proporcionado por la persona
que está diseñando el controlador a fin de que va suavemente desde 0 a 1 en un
tiempo finito , y ( ) es la derivada en forma de campana de de tal
forma que ( ) ( ) . De lo anterior se sabe que la solución para la ecuación
5.19 es:
( ) ( )[( ) ] ( )
La ganancia ( ) es ahora ( ) . Es importante saber que es independiente de
las condiciones iniciales, por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )
Se puede estimar un tiempo muy pequeño para que la convergencia de los errores
sean en un tiempo finito.
Con la explicación anterior se puede buscar una ecuación que al ser derivada cumpla
con la gráfica de una campana, como se ha explicado anteriormente. [24]
Para demostrar lo anterior se utiliza la ecuación que se plantean en el artículo de Parra-
Vega (2008). Donde la trayectoria de ( ) y la derivada ( )
La trayectoria de ( ) va desde 0 a 1 en un tiempo finito , y
( ) es la derivada en forma de campana de , por lo que en ( ) ( ) ,
como la trayectoria de la derivada de es en forma de campana, se tiene que el valor
máximo en , y para la segunda derivada se tienen que .
Se plantea la siguiente ecuación, su primera y segunda derivada respecto al tiempo para
demostrar que cumple con la trayectoria que se desea:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 74
Donde se dan valores para demostrar la trayectoria de las ecuaciones.
( ) , ( ) , ( ) ( ) y ( )
Se sustituye en el sistema de ecuaciones utilizando el software Mathematica 8.0, se
resuelve el sistema y se obtienen los siguientes valores,
Figura 4.11 Sistema de ecuaciones en software Mathematica 8.0, utilizando el
comando Solve [], para resolverlo.
La trayectoria del generador de base de tiempo (TBG) se muestra a continuación
utilizando el software Matlab y Simulik, para resolver las ecuaciones en un tiempo que
va de 0 a 1.
Figura 4.12 Simulación de la función que se implementa para el TBG.
Del diagrama en Matlab/Simulink® se obtienen las siguientes gráficas, donde se puede
comprobar que el sistema de ecuaciones 4.23, 4.24 y 4.25 cumple con las trayectorias
Ver código en apéndice C.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 75
que se buscan para poder llevar en un tiempo determinado la posición deseada en el
mecanismo manivela-corredera.
Figura 4.13 Gráfica de la posición de ( ) en un segundo.
Figura 4.14 Gráfica de la trayectoria de velocidad de ( ) en un segundo.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Posición [m]
Tie
mpo [
seg]
Posicion xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Velocidad [m/s]
Tie
mpo [
seg]
Velocidad xip
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 76
Figura 4.15 Gráfica de la ganancia alfa, encargada de llevar el error a cero en el
espacio transitorio en un tiempo determinado.
Para la investigación que se realiza e(t) indica el error de posición, (t) representa el
error de velocidad y (t) es una ganancia de realimentación variable en el tiempo útil
en la ley de control que permite la convergencia en un tiempo finito en posición y la
velocidad en sistemas mecatrónicos.
4.5 Diseño de controlador por modos deslizantes.
Ya que se realizó la investigación del control por modos deslizantes y se obtuvo la
función del generador de tiempo base, es posible diseñar el control por modos
deslizantes con TBG para el mecanismo manivela-corredera.
En el capítulo tres de este trabajo, se obtuvo el modelo dinámico del mecanismo que se
desea controlar. Ya que este trabajo está enfocado a implementar este mecanismo en el
área de manufactura, se utiliza un resorte con amortiguador y una fuerza para simular el
mecanismo en condiciones reales de trabajo (paletizado de una pieza).
4.5.1 Modelo dinámico de mecanismo manivela-corredera, con amortiguador
y resorte.
El modelo dinámico del mecanismo se obtuvo en el capítulo tres, mostrando a
continuación la ecuación diferencial que lo describe:
( )
( )
El control que se propone en este trabajo será, un control de posición articular, por lo
que los errores están dados en el espacio articular.
( )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25
30
35
Ganacia alfa
Tie
mpo [
seg]
Ganacia alfa
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 77
( )
El control que se está planteando debe tomar en cuenta las condiciones reales de trabajo,
es decir, se introduce un resorte, un amortiguador y una fuerza que simulan el choque
con la pieza que se llevará de un lado a otro.
Figura 4.16 Mecanismo de manivela-corredera con resorte y amortiguador.
Las dimensiones y datos del mecanismo son muy importantes para introducirlos en el
modelo dinámico, ya que si no se introducen de forma adecuada el mecanismo no estará
bien caracterizado. En la siguiente tabla se muestran los datos del mecanismo que se
desea controlar:
Tabla 4.5 Datos del mecanismo que se desea controlar.
Datos. Valores.
Masa del eslabón 2. 0.002 Kg.
Masa del eslabón 3. 0.005 Kg.
Masa del eslabón 4. 0.002 Kg.
Longitud del eslabón 2 (AB) 0.3 metros.
Longitud del eslabón 3 (BC) 0.1 metros.
Distancia de la corredera en el eje Y. -0.05 metros.
Momento de inercia del eslabón 2. (
)
Resorte y amortiguador.
-5 cm.
O2
cm
. A
q
B
C FB
XB eo
Xo
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 78
Momento de inercia del eslabón 2. = 0.00003.610 Kg m2
Fuerza aplicada en el eslabón 4. = 1 Newton.
Constante de gravedad. g = 9.807 m/s2
Coeficiente de rigidez del resorte (k). k = 50 N/m
Longitud natural del resorte. = 0.184 metros.
Constante de amortiguamiento. b = 1 N s/m
Posición de inicio del mecanismo. q = Pi/3
Posición a la que se desea llegar. qd = Pi/2
4.5.2 Control por modos deslizantes.
En los temas anteriores se habló sobre los diferentes tipos de control y los controladores
más populares, en esta sección se planteará la ley de control que se aplicará al
mecanismo.
Para el control que se está proponiendo es necesario tener una superficie de
deslizamiento. Esta superficie atrapa al sistema en el estado estable y no deja que
ninguna perturbación lo desestabilice.
Figura 4.17 Superficie de deslizamiento en control por modos deslizantes.
La superficie deslizamiento que se plantea en esta ley de control es la siguiente.
( ) ( )
S
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 79
Sustituimos en la ecuación de la superficie los errores (ecuaciones 4.31 y 4.32), para
que la ecuación de la superficie quede de la siguiente forma:
( ) ( )( ) ( )
Para plantear la ley de control utilizamos la ecuación 4.29 [25]. Donde utiliza la función
signo, para atrapar el error en la superficie de deslizamiento, llevarlo a cero y plantea las
siguientes ecuaciones:
( )
Sd es igual a:
( ) ( ) ( )
Dónde:
t = Tiempo final.
to = Tiempo inicial.
k = Ganancia.
S = Superficie de deslizamiento.
( ) = Error inicial en el tiempo [ ] de posición y velocidad.
La ley de control por modos deslizantes.
( ) ( )
La ecuación 4.32 es la ley de control planteada, para tener un control robusto, se aplica
un PID, por lo que la ley de control queda de la siguiente manera:
∫ ( ( ))
( )
Ya que se obtuvo la ley de control aplicamos el TBG, para poder sincronizar el
mecanismo en el tiempo que se decida. Ya sea que el sistema de producción no
retroalimente o el operador decida a que tiempo querrá que llegue a la posición deseada.
El TBG, solo varia la ganancia alfa del controlador y lo hace solo en el espacio
transitorio.
La ecuación 4.33 es la ley de control que se aplicara al mecanismo con topología RRRP
para el control articular de posición y el control articular de seguimiento de una
referencia en el tiempo.
En el siguiente tema se muestran los cuatro tipos de control para sincronizar el
mecanismo que se está estudiando, el control de posición articular, el control de
seguimiento articular, el control de posición operacional y el control de seguimiento
operacional. Cabe mencionar que los dos tipos de control operacional que se muestran a
continuación no se pueden aplicar a la plataforma experimental, ya que es necesario
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 80
tener un sensor en el espacio operacional (sensor lineal), este tipo de sensores tienen
precios muy elevados, por lo que es complicado adquirirlos. Por lo tanto no podemos
experimentar los dos controles operacionales en la plataforma experimental.
4.6 Control de posición articular para el mecanismo de manivela
corredera.
En esta tema se aplica un control de posición articular. El cual consiste en llevar el
mecanismo de una posición a una posición deseada en un tiempo determinado.
Tabla 4.6 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®.
Datos. Valores.
Posición a la que se desea llevar. (qd) Pi/2
Posición inicial (q) Pi/3
Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)
Tiempo de simulación. 1.5 seg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
En la tabla anterior se muestra la posición en la cual se encuentra el mecanismo en
condiciones iniciales y la posición a la cual se desea llevarlo en un tiempo determinado.
El error es muy importante en este tipo de controlador ya que es pieza fundamental de la
superficie de deslizamiento.
( )
( )
La superficie deslizamiento que se plantea en esta ley de control es la siguiente.
( ) ( )
Sustituimos en la ecuación de la superficie los errores. (4.34 y 4.35)
Por lo que la ecuación de la superficie queda de la siguiente forma. Tomando en cuenta
que α es la ecuación (4.24), para la implementación de TBG.
( ) ( )( ) ( )
Para llegar de una forma más suave al error a cero en la etapa transitoria, se introduce
Sd a la superficie de deslizamiento.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 81
Sd es igual a:
( ) ( ) ( )
Dónde:
t = Tiempo final.
to = Tiempo inicial.
k = Ganancia.
S = Superficie de deslizamiento.
( ) = Error inicial en el tiempo [ ] de posición y velocidad.
Superficie de deslizamiento con el término Sd.
( )
La ley de control que se aplica es por modos deslizantes como se mostró
anteriormente. Se utiliza la función tangente hiperbólica para disminuir el chattering en
el motor.
( ) ( )
La ecuación 4.40 es la ley de control planteada, para tener un control más robusto, se
aplica un PID, por lo que la ley de control queda de la siguiente manera:
∫ ( ( ))
( )
Tabla 4.7 Ganancias para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®.
Ganancias para el controlador. Valores.
Ganancia α en TBG. 30
Ganancia . 5
Ganancia k. 25
Ganancia Kv=Kd. 0.2401
Ganancia Ki Ki = (Kd) ( )
Ganancia Kp Kp=(Kd)(α)
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 82
A continuación se muestra el diagrama de bloques para la simulación del control, en el
cual se encuentra el modelo dinámico y el control por modos deslizantes con TBG.
Figura 4.18 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de posición
articular con TBG del mecanismo, manivela corredera.
Ver código en apéndice D2.
Ver código en apéndice D3.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 83
Figura 4.19 Gráfica del torque de motor.
Figura 4.20 Gráfica de posición de variable generalizada deseada y la posición inicial.
0 0.5 1 1.50
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [seg]
Torq
ue a
plic
ado a
l m
oto
r [N
-m]
Torque del motor
0 0.5 1 1.51
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Tiempo [seg]
Posic
ión [
rad]
Posición de q y qd
q
qd
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 84
Figura 4.21 Gráfica de velocidad de variable generalizada deseada y la velocidad
deseada articular.
Figura 4.22 Gráfica del error posición articular.
0 0.5 1 1.5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [seg]
Velo
cid
ad [
rad/s
]
Velocidad qp y qpd
qp
qpd
0 0.5 1 1.5-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Tiempo [seg]
Err
or
de p
osic
ión [
rad]
Error de posición
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 85
Figura 4.23 Gráfica del error velocidad articular.
Figura 4.24 Diagrama de Fase.
0 0.5 1 1.5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [seg]
Err
or
de v
elo
cid
ad [
rad/s
]
Error de velocidad
e
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 86
4.7 Control de seguimiento articular para el mecanismo de manivela
corredera.
En esta tema se aplica un control de seguimiento articular. El cual consiste en seguir una
referencia determinando y alcanzarla en un tiempo determinado.
Tabla 4.8 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®.
Datos. Valores.
Referencia que se desea seguir (q). qd = 0.5 sin(2 t)
Velocidad de la referencia a seguir (qd). ( ) ( )
Posición inicial (q) Pi/3
Tiempo de simulación. 10 seg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)
En la tabla anterior se muestra la posición en la cual se encuentra el mecanismo en
condiciones iniciales, la referencia de posición y velocidad que se desea seguir, para
alcanzarla en un tiempo determinado.
El error es muy importante en este tipo de controlador ya que es pieza fundamental de la
superficie de deslizamiento.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
La superficie deslizamiento que se plantea en esta ley de control es la siguiente.
( ) ( )
Sustituimos en la ecuación de la superficie los errores. (4.34 y 4.35)
Por lo que la ecuación de la superficie queda de la siguiente forma.
( ) ( )( ) ( )
Para llegar de una forma más suave al error a cero en la etapa transitoria, se introduce
Sd a la superficie de deslizamiento.
Sd es igual a:
( ) ( ) ( )
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 87
Dónde:
t = Tiempo final.
to = Tiempo inicial.
k = Ganancia.
S = Superficie de deslizamiento.
( ) = Error inicial en el tiempo [ ] de posición y velocidad.
Superficie de deslizamiento con el termino Sd.
( )
La ley de control que se aplica es por modos deslizantes como se mostró
anteriormente. Se utiliza la función tanangente hiperbólica para disminuir el chattering
en el motor.
( ) ( )
La ecuación 4.40 es la ley de control planteada, para tener un control más robusto, se
aplica un PID, por lo que la ley de control queda de la siguiente manera:
∫ ( ( ))
( )
Tabla 4.9 Ganancias para el control de seguimiento articular en el software
Simulink/Matlab®.
Ganancias para el controlador. Valores.
Ganancia α en TBG. 15
Ganancia . 10
Ganancia k. 1
Ganancia Kv=Kd. 0.004
Ganancia Ki (Kd) ( )
Ganancia Kp (Kd) (α)
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 88
A continuación se muestra el diagrama de bloques para la simulación del control, en el
cual se encuentra el modelo dinámico, la trayectoria a seguir y el control por modos
deslizantes con TBG.
Figura 4.25 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de seguimiento
articular con TBG del mecanismo manivela corredera.
Ver código en apéndice E1.
Ver código en apéndice E3.
Ver código en apéndice E2.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 89
Figura 4.26 Gráfica del torque y la aceleración.
Figura 4.27 Gráfica de posición de variable generalizada y la referencia que se desea
seguir.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [seg]
Torq
ue a
plic
ado a
l m
oto
r [N
-m]
Torque del motor
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo [seg]
Posic
ión [
rad]
Posición de q y qd
q
qd
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 90
Figura 4.28 Gráfica de velocidad de variable generalizada y la referencia que se desea
seguir.
Figura 4.29 Gráfica del error posición.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo [seg]
Velo
cid
ad [
rad/s
]
Velocidad qp y qpd
qp
qpd
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo [seg]
Err
or
de p
osic
ión [
rad]
Error de posición
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 91
Figura 4.30 Gráfica del error velocidad.
Figura 4.31 Diagrama de Fase.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Tiempo [seg]
Err
or
de v
elo
cid
ad [
rad/s
]
Error de velocidad
e
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 92
4.8 Control de posición operacional para el mecanismo de manivela
corredera.
Se aplica un control por modos deslizantes con TBG para llevar el efector final a una
posición deseada en un determinado tiempo. Es importante señalar que para este tipo de
controlador los errores se encuentran en el espacio operacional. Para este caso se
encuentran en el eje x, donde se desplaza el eslabón 4.
Tabla 4.10 Datos de la simulación para el control de posición articular en el software
Simulink/Matlab®.
Datos. Valores.
Posición a la que se desea llevar. (xd) 0.3 metros
Posición inicial (q) Pi/3
Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)
Tiempo de simulación. 10 seg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
En la tabla anterior se muestra la posición en la cual se encuentra el mecanismo en
condiciones iniciales y la posición a la cual se desea llevarlo el efector final en un
tiempo determinado.
El error es muy importante en este tipo de controlador ya que es pieza fundamental de la
superficie de deslizamiento.
( )
( )
Para llegar de una forma más suave al error a cero en la etapa transitoria, se introduce
Sd a la superficie de deslizamiento.
Sd es igual a:
( ) ( ) ( )
Dónde:
t = Tiempo final.
to = Tiempo inicial.
k = Ganancia.
S = Superficie de deslizamiento.
( ) = Error inicial en el tiempo [ ] de posición y velocidad.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 93
En este tipo de control, como se realiza en el espacio operacional es necesario aplicar
una fuerza que mueva el bloque cuatro, esta fuerza se traslada al torque del motor. Esta
misma fuerza es la superficie de deslizamiento para el control operacional.
La fuerza está dada por:
( ) ( )
La ley de control por modos deslizantes con TBG que se aplicó para llevar el eslabón
cuatro a una posición desea es:
(
) ( ( ) ∫
) ( )
El mecanismo que se está analizando el jacobiano está dado por las dos incógnitas.
Como se vio en el capítulo dos.
( )
( )
La parte que se utilizara para este tipo de control es donde se encuentra la velocidad en
, ya que es la que nos importa conocer y controlar. Por lo que se utiliza el coeficiente
de velocidad .
Tabla 4.11 Ganancias para el control De posición operacional en el software
Simulink/Matlab®.
Ganancias para el controlador. Valores.
Ganancia α en TBG. 25
Ganancia . 100
Ganancia k. 50
Ganancia Kd. 0.01
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 94
A continuación se muestra el diagrama de bloques para la simulación del control, en el
cual se encuentra el modelo dinámico y el control por modos deslizantes con TBG.
Figura 4.32 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de posición
operacional con TBG del mecanismo, manivela corredera.
Ver código en apéndice F1.
Ver código en apéndice F2.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 95
Figura 4.33 Gráfica del torque.
Figura 4.34 Gráfica de posición inicial y posición a la cual se desea llevar en el
espacio operacional.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Tiempo [seg]
Torq
ue a
plic
ado a
l m
oto
r [N
-m]
Torque del motor
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.295
0.3
0.305
0.31
0.315
0.32
0.325
Tiempo [seg]
Posic
ión [
m]
Posición de x y xd
x
xd
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 96
Figura 4.35 Gráfica de velocidad inicial y velocidad a la cual se desea llevar en el
espacio operacional.
Figura 4.36 Gráfica del error posición.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Tiempo [seg]
Velo
cid
ad [
m/s
]
Velocidad xp y xpd
xp
xpd
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [seg]
Err
or
de p
osic
ión [
m]
Error de posición
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 97
Figura 4.37 Gráfica del error velocidad.
Figura 4.38 Diagrama de Fase.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Tiempo [seg]
Err
or
de v
elo
cid
ad [
m]
Error de velocidad
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 98
4.9 Control de seguimiento operacional para el mecanismo de
manivela corredera.
Es el ultimo control que se aplicara al mecanismo de manivela corredera, para poder
mostrar la cuarta forma de sincronizar un mecanismo de un grado de libertad. El tipo de
control que se muestra a continuación, puede ser aplicado a resolver diferentes
problemáticas, ya que se puede generar una función y crear perfiles de velocidad que
mejoren procesos de manufactura.
Tabla 4.12 Datos de la simulación para el control de posición operacional en el
software Simulink/Matlab®.
Datos. Valores.
Referencia que se desea seguir (xd). ( )
Velocidad de la referencia a seguir (xpd). ( )( ) ( )
Posición inicial (q) Pi/3
Tiempo de simulación. 10 seg.
Paso de integración. Fixed 0.001 seg.
Integrador. Ode4 (Runge-Kutta)
En la tabla anterior se muestra la posición en la cual se encuentra el mecanismo en
condiciones iniciales y la referencia de posición y velocidad que se desea seguir, para
alcanzarla en un tiempo determinado.
El error es muy importante en este tipo de controlador ya que es pieza fundamental de la
superficie de deslizamiento.
( )
( )
Para llegar de una forma más suave al error a cero en la etapa transitoria, se introduce
Sd a la superficie de deslizamiento.
Sd es igual a:
( ) ( ) ( )
Dónde:
t = Tiempo final.
to = Tiempo inicial.
k = Ganancia.
S = Superficie de deslizamiento.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 99
( ) = Error inicial en el tiempo [ ] de posición y velocidad.
En este tipo de control, como se realiza en el espacio operacional es necesario aplicar
una fuerza que mueva el bloque cuatro, esta fuerza se traslada al torque del motor. Esta
misma fuerza es la superficie de deslizamiento para el control operacional.
La fuerza está dada por:
( ) ( )
La ley de control por modos deslizantes con TBG que se aplicó para llevar el eslabón
cuatro a una posición desea es:
(
) ( ( ) ∫
) ( )
El mecanismo que se está analizando el jacobiano está dado por las dos incógnitas.
Como se vio en el capítulo dos.
( )
( )
La parte que se utilizara para este tipo de control es donde se encuentra la velocidad en
, ya que es la que nos importa conocer y controlar. Por lo que se utiliza el coeficiente
de velocidad .
Tabla 4.13 Ganancias para el control de seguimiento operacional en el software
Simulink/Matlab®.
Ganancias para el controlador. Valores.
Ganancia α en TBG. 30
Ganancia . 15
Ganancia k. 100
Ganancia Kd. 0.009
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 100
A continuación se muestra el diagrama de bloques para la simulación del control, en el
cual se encuentra el modelo dinámico y el control por modos deslizantes con TBG.
Figura 4.39 Diagrama en el software Matlab/simulink® del control de seguimiento
articular con TBG del mecanismo manivela corredera.
Ver código en apéndice G1.
Ver código en apéndice G3. Ver código en apéndice G2.
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 101
Figura 4.40 Gráfica del torque y la aceleración.
Figura 4.41 Gráfica de posición inicial y referencia que se desea seguir en el espacio
operacional.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [seg]
Torq
ue a
plic
ado a
l m
oto
r [N
-m]
Torque del motor
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
Tiempo [seg]
Posic
ión [
m]
Posición de x y xd
x
xd
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 102
Figura 4.42 Gráfica de velocidad y referencia que se desea seguir en el espacio
operacional.
Figura 4.43 Gráfica del error posición.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Tiempo [seg]
Velo
cid
ad [
m/s
]Velocidad xp y xpd
xp
xpd
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Tiempo [seg]
Err
or
de p
osic
ión [
m]
Error de posición
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 103
Figura 4.44 Gráfica del error velocidad.
Figura 4.45 Gráfica de los errores de posición y velocidad.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tiempo [seg]
Err
or
de v
elo
cid
ad [
m]
Error de velocidad
Capítulo 4. Implementación de la ley de control.
Página 104
Con este último tipo de control se muestran los cuatro controladores que se pueden
aplicar a los mecanismos de un grado de libertad y sincronizarlos en un determinado
tiempo.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 105
Capítulo 5.
5
Construcción e integración de plataforma experimental.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 106
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 107
V. Construcción e integración de plataforma experimental.
Introducción.
El mecanismo de manivela-biela-corredera es un mecanismo de cadena cinemática
cerrada, diseñado para que a partir de un movimiento angular de entrada se obtenga un
movimiento lineal de salida o viceversa, como en los motores de combustión interna
donde se aplica un movimiento lineal para obtener un movimiento angular.
A partir de una velocidad constante en la entrada, se pueden obtener perfiles de
velocidad deseados en la salida.
Se realizó la construcción de una plataforma experimental, la cual tuvo una interfaz
entre una computadora y el actuador para así poder implementar la ley de control y
verificar los resultados obtenidos.
La plataforma que se construyó no sólo servirá para implementar los esquemas de
control que planteamos en el siguiente capítulo, sino que también se podrá hacer
experimentos con diferentes leyes de control para poder verificar cual cumple mejor con
la tarea que se desea realizar, ya sea control de posición o control de seguimiento de
trayectorias.
5.1 Dimensiones de la plataforma experimental.
Figura 5.1 Mecanismo manivela-biela-corredera.
En este trabajo no es necesario realizar la síntesis del mecanismo, ya que se busca
demostrar que teniendo un mecanismo construido, se puede aplicar un control de
posición, por esta razón las dimensiones planteadas son las siguientes, evitando entrar
en singularidades.
Manivela de 0.1 metros x 0.03 metros.
Biela de 0.3 metros x 0.03 metros.
Corredera de 0.06 metros x 0.08 metros.
5.2 Actuador de mecanismo.
Para controlar la posición del mecanismo es necesario implementar un actuador, en este
caso se utiliza un motor pololu con tres engranes ensamblados al eje del mismo, creando
así un motorreductor.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 108
5.2.1 Medidas del actuador del mecanismo.
Figura 5.2 Medidas del actuador del mecanismo.
El diagrama muestra las dimensiones (en mm) de la línea 37D mm de motor-reductores.
El valor de X es de 26,5 mm para el motor reductor de relación 131:1 37Dx57L.
5.2.2 Relación de engranaje.
Se tiene una caja de engranes metálicos que resultan de la relación 131.25:1 al eje del
motor DC, obteniendo con esto aumentar el torque y disminuir la velocidad. La
velocidad máxima fue de 80 rpm y un torque máximo de 250 oz-in (18 kg-cm).
5.2.3 Alimentación de motor.
El motor DC es alimentado con 12 V, consumiendo 300 mA al trabajar sin carga, que
no varía a más de 400 mA al conectarse al mecanismo, y de las mediciones hechas
consume aproximadamente 2 A máximo al conectarse al mecanismo y si se presenta
algún obstáculo en el funcionamiento del mismo. Además de las especificaciones
encontradas consume 5 A a máxima carga.
5.2.4 Sensor del motor.
Uno de dos canales de efecto Hall codificador se utiliza para detectar la rotación de un
disco magnético en una protuberancia posterior del eje del motor. El codificador de
cuadratura proporciona una resolución de 64 pulsos por revolución del eje del motor
cuando se cuentan ambos bordes de ambos canales. [26]
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 109
5.3 Elementos para la construcción de la estructura del soporte del
actuador.
5.3.1 Pololu estampado de aluminio L-Bracket Pair para 37D
Motorreductores de metal.
Este soporte de alumino permite montar motorreductores Pololu de 37D. El soporte
que se adquirió incluye seis tornillos M3 para fijar el motor al soporte. Cada soporte
cuenta con agujeros de montaje para M3 o tornillo #4 de tamaño. [27]
Figura 5.3 Dibujo mecánico del soporte de aluminio para motorreductores 37 mm de
metal.
5.3.2 Pololu aluminio universal de montaje del cubo de 6mm.
El centro de montaje de aluminio universal es utilizado para montar ruedas y
mecanismos con diámetro del eje del motor de 6 mm.
Incluye cuatro tornillos # 4-40 de ajuste hexagonales (dos por cada centro) que permiten
el acoplamiento seguro de eje a eje, y una "llave hexagonal de 0,05 mm.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 110
La siguiente imagen muestra el cubo acoplado al motorreductor. [28]
Figura 5.4 Ensamble del Motorreductor con el soporte y el cubo.
5.4 Componentes del sistema de control para alcanzar una posición
determinada.
Los componentes que controlan el grado de libertad del mecanismo son:
Arduino® UNO SMD.
Codificador (Encoder):
Etapa de potencia.
5.4.1 Arduino® UNO SMD.
El Arduino Uno SMD es una versión de la Arduino Uno.
Cuenta con 14 pines digitales de entrada / salida (de los cuales 6 pueden ser utilizados
como salidas PWM), 6 entradas analógicas, un oscilador de cristal de 16 MHz, una
conexión USB, un conector de alimentación, un header ICSP y un botón de
reinicio. Contiene todo lo necesario para apoyar el microcontrolador, basta con
conectarlo a un ordenador con un cable USB o alimentarla con un adaptador para
convertir la corriente CA a CC.
La diferencia con los demás arduinos es que no utiliza el chip controlador de USB a
serial FTDI, en su lugar ofrece las Atmega8U2 programado como convertidor USB a
serie.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 111
Figura 5.5 Imagen del microcontrolador Arduino® UNO SMD.
Tabla 5.1 Datos del Arduino® UNO SMD
Microcontrolador ATmega328
Tensión de funcionamiento 5V
Voltaje de entrada
(recomendado) 7-12V
Voltaje de entrada (límites) 6-20V
Digital I / O Pins 14 (de los cuales 6 proporcionan PWM)
Pines de entrada analógica 6
Corriente continua para las E
/ S Pin 40 mA
Corriente de la CC para Pin
3.3V 50 mA
Memoria Flash 32 KB ( ATmega328 ) de los cuales 0,5 KB utilizado
por el gestor de arranque
SRAM 2 KB ( ATmega328 )
EEPROM 1 KB ( ATmega328 )
Velocidad del reloj 16 MHz
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 112
5.4.1.1 Potencia.
El Arduino Uno puede ser alimentado a través de la conexión USB o con una fuente de
alimentación externa. La fuente de alimentación se selecciona automáticamente.
La fuente de alimentación externa de potencia puede venir con un adaptador de AC-DC
o la batería.
La tarjeta puede funcionar con un suministro externo de 6 a 20 V. Si se proporcionan
menos de 7V, no obstante, el pin de 5V puede suministrar menos de cinco voltios y la
junta puede ser inestable. Si se utiliza más de 12V, el regulador de voltaje se puede
sobrecalentar y dañar la placa. El rango recomendado es de 7 a 12 V.
5.4.1.2 Los pines de alimentación.
La tensión de entrada a la placa Arduino (VIN) utiliza una fuente de alimentación
externa (en contraposición a 5 V. de la conexión USB o de otra fuente de alimentación
regulada). Se puede suministrar tensión a través de este pin.
Para la fuente de alimentación regulada se usan 5V. Esta fuente se utiliza para alimentar
el microcontrolador y otros componentes de la placa.
Pin de tierra (GND).
5.4.1.3 Memoria.
El ATmega328 tiene 32 KB (con 0,5 KB utilizado por el gestor de arranque). También
dispone de 2 KB de SRAM y 1 KB de EEPROM (que puede ser leído y escrito con la
librería EEPROM ).
5.4.1.4 Entrada y salida.
Cada uno de los 14 pines digitales se pueden utilizar como una entrada o salida,
utilizando las funciones pinMode, digitalWrite, y digitalRead. Operan a 5V. Cada pin
puede proporcionar o recibir un máximo de 40 mA y tiene una resistencia de pull-up
(desconectado por defecto) de 20-50 kOhms.
Interrupciones externas. Pin 2 y Pin 3, estos pines pueden ser configurados para activar
una interrupción en un valor bajo, un flanco ascendente o descendente, o un cambio en
el valor.
Pines para PWM: 3, 5, 6, 9, 10, y 11 proporcionan un PWM de 8 bits utilizando el
comando analogWrite.
El microcontrolador Uno tiene 6 entradas analógicas, etiquetados A0 a A5, cada uno de
los cuales proporcionan 10 bits de resolución (es decir, 1.024 valores diferentes). Por
defecto se miden desde el suelo a 5 voltios, aunque es posible cambiar el extremo
superior de su rango con el pin AREF y la analogReference función.
5.4.1.5 Comunicación.
El Arduino Uno tiene una serie de instalaciones para la comunicación con un ordenador,
otro Arduino, u otros microcontroladores. El ATmega328 ofrece UART TTL (5 V.) de
comunicación en serie, que está disponible en los pines digitales 0 (RX) y 1 (TX). Un
ATmega8U2 en los canales de mesa esta comunicación serie a través de USB y aparece
como un puerto COM virtual para el software en el ordenador. El software de Arduino
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 113
incluye un monitor de serie que permite que los datos simples de texto que se envían
desde y hacia la placa Arduino. Las RX y TX LED en el tablero parpadearán cuando se
están transmitiendo datos a través del chip de USB a serie y conexión USB al ordenador
(pero no para la comunicación en serie en los pines 0 y 1).
El ATmega328 también es compatible con I2C (TWI) y la comunicación SPI. El
software de Arduino incluye una biblioteca de alambre para simplificar el uso de la I2C
bus. Para la comunicación SPI, utilice la biblioteca de SPI .
5.4.1.6 Programación.
El Arduino Uno se puede programar con el software de Arduino.
Los ATmega328 en la Arduino Uno viene precargado con un gestor de arranque que le
permite subir un código nuevo a ella sin el uso de un programador de hardware externo.
Se comunica utilizando el original STK500.
El ATmega8U2 código fuente del firmware está disponible. El ATmega8U2 se carga
con un cargador de arranque DFU. El Uno SMD tiene una resistencia pulldown atar el
pin HWB a tierra, por lo que todo lo que se necesita para entrar en modo DFU es lo
suficientemente corta brevemente a los pines cortos 5 y 6 del conector ICSP 8U2. Esto
conectará el pin de reset 8U2 a tierra. A continuación, puede utilizar el software de
Atmel FLIP (Windows) o el programador DFU (Mac OS X y Linux) para cargar un
nuevo firmware. O puede utilizar el encabezado de ISP con un programador externo
(sobrescribir el gestor de arranque DFU).
5.4.1.7 Relé de protección multifunción USB.
El Arduino Uno tiene una POLYFUSE reajustable que protege los puertos USB de su
ordenador desde parpadeos cortos y sobrecorriente. Aunque la mayoría de los
ordenadores proporcionan su propia protección interna, el fusible proporciona una capa
adicional de protección. Si hay más de 500 mA se aplica al puerto USB, el fusible se
rompe automáticamente la conexión hasta que se elimine la sobrecarga a corto.
5.4.1.7 Características físicas.
La longitud y la anchura del PCB Uno máxima son de 2,7 y 2,1 pulgadas,
respectivamente, con el conector USB y el conector de alimentación que se extiende
más allá de la dimensión anterior. Cuatro orificios de los tornillos que la junta pueda
fijarse a una superficie o caja. La distancia entre los pines digitales 7 y 8 es de 160
milésimas de pulgada (0,16 "). [29]
5.4.2 Codificador (Encoder):
Uno de dos canales de efecto Hall codificador se utiliza para detectar la rotación de un
disco magnético en una protuberancia posterior del eje del motor. El codificador de
cuadratura proporciona una resolución de 64 pulsos por revolución del eje del motor
cuando se cuentan ambos bordes de ambos canales. Para calcular los conteos por
revolución de la salida de la caja de cambios, multiplicar la relación de transmisión en
un 64. El motor / encoder tiene seis codificadas por colores. En la siguiente tabla se
describen las funciones de cada cable.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 114
Tabla 5.2 Funciones del Encoder.
El sensor Hall requiere una tensión de entrada, VCC, entre 3,5 y 20 V y dibuja un
máximo de 10 mA. Las salidas A y B son ondas cuadradas de 0 V a Vcc
aproximadamente 90º fuera de fase. La frecuencia de las transiciones le indica la
velocidad del motor, y el orden de las transiciones le indica la dirección. La siguiente
captura de osciloscopio muestra los A y B salidas del codificador (amarillo y blanco)
con un voltaje del motor de 12 V y un sensor Hall Vcc de 5 V. [1]
Figura 5.6 Endocer A y B salida para 37D mm motorreductor de metal con codificador
RCP.
Tanto los flancos ascendente y descendente tanto de la salidas A y B, es posible obtener
64 recuentos por revolución del eje del motor. El uso de un solo borde, de uno de los
canales resultados en 16 recuentos por revolución del eje del motor, por lo que la
frecuencia de la salida A en la captura del osciloscopio es 16 veces la frecuencia de
rotación del motor.
Color Función
Rojo Potencia del motor (se conecta a un terminal de motor).
Negro Potencia del motor (se conecta al otro terminal del motor).
Verde GND codificador.
Azul Codificador Vcc (3.5 - 20 V).
Amarillo Una salida de encoder.
Blanco Salida del codificador B.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 115
5.4.3 Etapa de potencia.
5.4.3.1 Placa (Shield) para motor
La placa para motor de Arduino se basa en el L298, que es un controlador de puente
completo dual diseñado para manejar cargas inductivas como relés, solenoides, DC y
motores paso a paso. Le permite manejar dos motores DC con la placa Arduino, el
control de la velocidad y dirección de cada uno de forma independiente. También se
puede medir el consumo de corriente de cada motor, entre otras características
Voltaje de entrada: 5 V a 1 2V.
Controlador de motor: L298P, Unidades 2 motores de corriente continua o un
motor paso a paso.
Corriente máxima: 2 A por canal o 4 A máx (con fuente de alimentación
externa)
5.4.3.2 Diseño en software Eagle® de placa para motor Arduino®.
Primero se muestra el diseño en Eagle® del circuito que contiene la placa para motor
desarrollada.
En la siguiente figura se muestra la distribución de los componentes y el cableado final de
la tarjeta.
Figura 5.7 Vista inferior de la tarjeta de la placa para motor.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 116
Tabla 5.3 Componentes shield para arduino.
COMPONENTES por placa Precio unitario
1 Capacitor de 470 1
2 Transistor TIP125 Darlington PNP 10
3 Transistor TIP120 Darlington NPN 10
4 Transistor 2N2222A NPN 1
5 Resistor de 100 ohms 0.2
6 Resistor de 3.3k ohms 0.2
7 Resistor de 10k ohms 0.2
8 Resistor de 470 ohms 0.2
9 Resistencia 1K ohms 0.2
10 Resistencia de 330 ohms 0.2
11 Push button 4 patas 1
12 Barra de headers macho (largo normal)
(55headers) 15
13 Barra para headers hembra (7) 10
14 Regulador de voltaje 7805 10
15 Diodo 1n400X 1
16 Capacitor 220nF electrolítico 1
17 Capacitor 100nF 1
18 74HCT595N 8
19 Led normal opaco cualquier color 1
20 Conector verde (borneras) 5
21 Zócalo 16 patas 5
22 Placa fenólica de 10 x10 doble cara(Si se hará
manualmente) 15
23 Sensor de corriente ±5 A(ACS714) 180
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 117
5.5 Prototipo de la plataforma experimental.
Ya que se implementaron todos los componentes anteriores para la construcción de la
plataforma experimental, se muestran imágenes del prototipo de la plataforma
experimental.
Figura 5.8 Eslabones de la plataforma experimental.
Biela.
Manivela.
Corredera.
Bloque.
.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 118
Figura 5.9 Prototipo de plataforma experimental.
Figura 5.10 Conexión para la interfaz entre la tarjeta arduino y la PC.
Bloque.
.
Tarjeta arduino.
Biela.
Manivela.
Etapa de potencia.
Servomotor.
Fuente de alimentación.
Conexión a PC por medio
de un puerto USB.
Conexión a tarjeta
arduino.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 119
Figura 5.11 Etapa de potencia.
Chip para medir la corriente
eléctrica. Puente H.
Conexión a servomotor. Alimentación
.
Capítulo 5. Construcción e integración de plataforma experimental.
Página 120
Figura 5.12 Targeta arduino.
Figura 5.13 Componentes de la plataforma experimental.
Computadora.
Fuente de alimentación.
Tarjeta arduino y etapa de
potencia.
Servomotor.
Puertos analógicos.
Puertos digitales. Botón de reset.
Alimentación.
Conclusiones.
Página 121
Conclusiones.
Se revisaron diferentes artículos sobre investigaciones donde se aplicaron esquemas de
control aplicados a mecanismo. En estas investigaciones no se encontró algún algoritmo
que haga que un mecanismo de un grado de libertad realice una tarea en un tiempo
determinado, sólo se observó que los esquemas de control son utilizados para llevar a un
mecanismo a una posición determinada, pero no toman en cuenta el tiempo en el que
desean alcanzar dicha posición. Existe sólo una investigación de sincronización donde
se buscó que los eslabones de un robot paralelo se movieran al mismo tiempo para
evitar torques excesivos en los motores.
Se diseñaron y aplicaron al mecanicismo de un grado de libertad (manivela-corredera),
cuatro esquemas de control para alcanzar una posición o seguir una trayectoria en un
tiempo determinado y se llegó a la conclusión que se cumplió el objetivo general. Se
obtuvo el modelo cinemático, el modelo dinámico y los coeficientes de velocidad y
aceleración del mecanismo con topología RRRP. Utilizando la ecuación de Eksegian
para poder obtener la ecuación diferencial que describe el movimiento del mecanismo
que se está analizando.
Se simuló en el software Matlab/Simulink, los esquemas de control propuestos para
seguir una referencia o llevar a una posición deseada cumpliéndolo en un tiempo
determinado, ya sea en el espacio articular u operacional, llegando a la conclusión que
los cuatro controladores propuestos cumplen con la tarea de sincronizar un mecanismo
de un grado de libertad, variando las ganancias del controlador y utilizando el control
por modos deslizantes con un generador de tiempo base (TBG).
Por último, se construyó una plataforma experimental donde se aplicaron diferentes
esquemas de control para poder analizar la eficiencia de las leyes de control que se
proponen en esta investigación.
Conclusiones.
Página 122
Trabajos futuros.
Página 123
Trabajos futuros.
Los trabajos futuros de la investigación que se realizó son diversos, ya que es un tema
muy interesante y extenso, donde se pueden realizar diversas actividades que ayudarían
a enriquecer y complementar el trabajo que se realizó:
Construcción de diferentes plataformas experimentales (Mecanismos de un grado de
libertad).
Construir diferentes plataformas experimentales con mecanismos de un grado de
libertad y verificar que los controladores que se proponen en esta investigación logren
sincronizar el mecanismo en el tiempo planteado.
Balanceo de los mecanismos.
El balanceo de los mecanismos es un tema muy extenso y tiene una importancia
fundamental en el diseño, ya que un mecanismo bien balanceado es más fácil de
controlar, pues sus momentos de inercia son menores y evita tener vibración en alguna
de sus juntas. Por lo que un trabajo futuro y de gran importancia sería el balanceo del
mecanismo para optimizar la función de mecanismo.
Experimentar los controles operacionales.
Realizar de forma experimental el control de posición y seguimiento en el espacio
operacional, introduciendo un sensor lineal en el área de trabajo (efector final),
comprobando los esquemas de control que se plantean en esta investigación.
Análisis de Resistencia de materiales.
Realizar la obtención de las fuerzas de reacción en las uniones de los eslabones para
llevar a cabo un análisis de resistencia de materiales, evitando así alguna deformación o
fractura en los juntas o en los eslabones debida a la fuerza aplicada en el eslabón de
salida (bloque).
Trabajos futuros.
Página 124
Bibliografía.
Página 125
Bibliografía.
[1] Teoría de máquinas y mecanismos. Jhoseph Edward Shigley.
[2] http://blog.utp.edu.co/adriamec/files/2012/04/LECCION3-Clasificacion.pdf
[3] Disign of Machinery. Robert Norton 2nd Edition.
[4] David Jiménez Villalobos, Juan C. Jáuregui Correa, Carlos López Cajún. Diseño de
un mecanismo de retorno rápido. 2008 PUEBLA, MÉXICO
[5] http://es.thefreedictionary.com/sincronizaci%C3%B3n
[6] Motion profile planning of repetitive point-to-point for maximum energy conversion
efficiency under acceleration conditions, mecatronics vol. 6, pp. 649-663,1996
[7] Inverse Dynamics of a toggle mechanism, Computer & Structures Vol. 63. No. 1.
pp. 9149. 1997
[8] Modelling, simulation and control of a four-bar mechanism with a brushless servo
motor, Mecatronics Vol. 7, No. 4, pp. 369-383, 1997
[9] PD Control of Closed-Chain Mechanical Systems: An Experimental Study Vol. 1,
pp. 79-84, Nantes, France, September 3-5, 1997.
[10] Slider-crank mechanical control using adaptive computed torque technique, IEEE
Proc. Control Theory Appl. Vol. 145, No. 3, 1998.
[11] Fuzzy sliding mode controlled sliderÐcrank mechanism using a PM synchronous
servo motor drive. International Journal of Mechanical Sciences 41, 1999.
[12] On the output motion characteristics of variable input speed servo-controlled
slider-crank mechanisms. Received 8 September 1998; accepted 25 March 1999
[13] Applying Experienced Self-Tuning PID Controllers to Position Control of Slider
Crank Mechanisms. Department of Electrical Engineering Kao Yuan Institute of
Technology. 2003.
[14] ADAMS/Simulink interface for Dynamic Modeling and Control of Closed Loop
Mechanisms. Zouhaier Affi, Lotfi Romdhane. 2005.
[15] Nonlinear PD Synchronized Control for Parallel Manipulators. Proceedings of the
2005 IEEE. International Conference on Robotics and Automation. Barcelona, Spain,
April 2005.
[16] Experimental Comparison of Control Approaches on Trajectory Tracking Control
of a 3-DOF Parallel Robot. IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 15,
no. 5, September 2007
[17] Clement Gosselin, Jorge Angeles. Singularity Analysis of Closed-Loop Kinematic
Chains. 1990
[18] Cinemática de mecanismos y máquinas. Cándido Palacios Montúfar.
[19] Mechanics of Machines. Samuel Dougthty.
[20] http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencial
[21] http://automata.cps.unizar.es/Historia/Webs/IntroduccionI.htm
Bibliografía.
Página 126
[22] Introducción a los sistemas de control: Conceptos, aplicaciones y simulación con
MATLAB. Ricardo Hernández Gaviño. Editorial Prentice Hall
[23] Design of Adaptive Sliding Mode Controller for Robotic Manipulators Tracking
Control. T. C. Kuo, Y. J. Huang, and B. W. Hong. World Academy of Science,
Engineering and Technology 77 2011
[24] Cartesian Sliding PD Control of Robot Manipulators for tracking in finite time:
Theory and experiments. International Scientific Book 2008, pp 257-272
[25] Dynamic Sliding PID Control for Tracking of Robot Manipulators: Theory and
Experiments. IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 19, no. 6, December
2003
[26] http://www.pololu.com/product/1447
[27] http://www.pololu.com/product/1084
[28] http://www.pololu.com/product/1083
[29] http://arduino.cc/en/Main/ArduinoBoardUnoSMD
Apéndice.
Página 127
Apéndice A. Programas realizados en el software.
Mathematica 8.0®.
A1) Simulación de las ecuaciones de lazo del mecanicismo manivela-
corredera.
i=0;
For[ q=0,q2 Pi,q+=20Degree, Clear[teta3,Xb, Yb];
AB=0.1;
BC=0.3;
Yb=-0.05;
(*q=0 Degree;*)
(*a=cd+3;*)
f1=AB Cos[q]+BC Cos[teta3]-Xb;
f2=AB Sin[q]+BC Sin[teta3]-Yb;
S={teta3,Xb}/.FindRoot[{f10,f20},{teta3,25.26 Degree},{Xb,-0.20}]; (*Comando FindRoot para encontrar las
raices, valores de 3,4,5,x,a *)
teta3=S[[1]];
Xb=S[[2]];
RAB=100AB{Cos[q],Sin[q]};
RBC=100BC{Cos[teta3],Sin[teta3]};(*Formación y escalación
de los eslabones para graficarlos en la animación*)
RAC=RAB+RBC;
(* G R A F I C A D E L M E C A N I S M O ==*) l=Arrowheads[Medium];
g2[i]=Graphics3D[{
(*D E S P L I E G U E D E L O S E S L A B O N E
S*)
(* Eslabón 2.AB ==*)
{AbsoluteThickness[7],RGBColor[0,1,1],Line[{{0,0,0},{RAB[[1
]],RAB[[2]],0}}]},
(* Eslabón 3. BC ==*)
Apéndice.
Página 128
{AbsoluteThickness[7],RGBColor[1,1,0],Line[{{RAB[[1]],RAB[[
2]],0},{100Xb,100Yb,0}}]},
(* Eslabón 4.Corredera ==*) {RGBColor[0.5,0.5,0.80],
Polygon[{{100Xb-1.5,100Yb-0.7,0},{100Xb-1.5,100Yb-
0.7,0},{100Xb+1.5,100Yb-0.7,0},{100Xb+1.5,100Yb-0.7,0}}]},
(* Despliegue de las uniones de los eslabones==*)
{RGBColor[0,0,0],PointSize[0.03],
Point[{0,0,0}]},
{RGBColor[0,0,0],PointSize[0.03],
Point[{RAB[[1]],RAB[[2]],0}]},
{RGBColor[0,0,0],PointSize[0.03],
Point[{RAC[[1]],RAC[[2]],0}]},
{RGBColor[0,0,0],PointSize[0.03],
Point[{100Xb,100Yb,0}]},
{AbsoluteThickness[0.1],RGBColor[1,0,0],{Dashed,Line[{{20,-
5,0},{40,-5,0}}]}},
Cuboid[{-45,0,-5},{45,0,5}]
}];
(* Despliegue del nombre de los puntos ==*)
g3[i]=Graphics3D[{
{Text["A",{0,0,0}]} ,
{Text["B",{RAB[[1]]-1,RAB[[2]],0}]},
{Text["C",{RAC[[1]]-1,RAC[[2]],0}]},
{Text["E",{100 Xb,100Yb,0}]}
}];
i++;
]
Manipulate[
Show[ {g2[t],g3[t]} ,AxesTrue, PlotRange{{-20,45},{-20,15},{-5,5}},ViewPoint{0,0,3.384},AspectRatioAutomatic ]
,{t,0,i-2,1}]
Apéndice.
Página 129
A2) Simulación de la posición del mecanicismo manivela-corredera.
i=0;
For[ q=0,q2 Pi,q+=10Degree, Clear[teta3,Xb,Yb];
AB=0.1;
BC=0.3;
Yb=-0.05;
(*q=0 Degree;*)
(*a=cd+3;*)
f1=AB Cos[q]+BC Cos[teta3]-Xb;
f2=AB Sin[q]+BC Sin[teta3]-Yb;
S={teta3,Xb}/.FindRoot[{f10,f20},{teta3,25.26 Degree},{Xb,0}]; (*Comando FindRoot para encontrar las
raices, valores de 3,4,5,x,a *)
teta3=S[[1]];
Xb=S[[2]];
RAB=100AB{Cos[q],Sin[q]};
RBC=100BC{Cos[teta3],Sin[teta3]};(*Formación y escalación
de los eslabones para graficarlos en la animación*)
RAC=RAB+RBC;
(* G R A F I C A D E L M E C A N I S M O ==*)
l=Arrowheads[Medium];
g2[i]=Graphics[{
(*D E S P L I E G U E D E L O S E S L A B O N E
S*)
(* Eslabón 2.AB ==*)
{AbsoluteThickness[7],RGBColor[0,1,1],Line[{{0,0},{RAB[[1]]
,RAB[[2]]}}]},
(* Eslabón 3. BC ==*)
{AbsoluteThickness[7],RGBColor[1,1,0],Line[{{RAB[[1]],RAB[[
2]]},{100Xb,100Yb}}]},
(* Eslabón 4.Corredera ==*) {RGBColor[0.5,0.5,0.80],
Apéndice.
Página 130
Polygon[{{100Xb-1.5,100Yb-0.7},{100Xb-
1.5,100Yb+0.7},{100Xb+1.5,100Yb+0.7},{100Xb+1.5,100Yb-
0.7}}]},
(* Eslabon 1. Tierra ==*) {Polygon[{{0,0},{0.7,-0.7},{-0.7,-0.7}}]},
{Polygon[{0,0}]},
(* Despliegue de las uniones de los eslabones==*) {Thick,Circle[{0,0},0.2]},
{Thick,Circle[{RAB[[1]],RAB[[2]]},0.2]},
{Thick,Circle[{RAC[[1]],RAC[[2]]},0.2]},
{Thick,Circle[{100Xb,100Yb},0.2]},
{AbsoluteThickness[0.1],RGBColor[1,0,0],{Dashed,Line[{{10,1
00 },{24,100}}]}}
}];
punto[i]=Graphics[{PointSize[0.008],Red,Point[{RAB[[1]],RAB
[[2]]}]}];
punto2[i]=Graphics[{PointSize[0.008],Blue,Point[{RAC[[1]],R
AC[[2]]}]}];
(* Despliegue del nombre de los puntos ==*) g3[i]=Graphics[{
{Text["A",{0,0}]} ,
{Text["B",{RAB[[1]]-1,RAB[[2]]}]},
{Text["C",{RAC[[1]]-1,RAC[[2]]}]},
{Text["D",{100 Xb,100Yb+1.5}]}
}];
i++;
]
Manipulate[
Show[ {g2[t],g3[t],Table[punto[u],{u,1,t}]
,Table[punto2[u],{u,1,t}]} ,AxesTrue, PlotRange{{-40,40},{-40,40}},AspectRatioAutomatic ],{t,0,i-2,1}]
Apéndice.
Página 131
Apéndice B. Programas realizados en el software Matlab®.
B1) Programa para comprobar el modelo dinamico. Matlab Fcn
dinámica.
%---------------------ESIME SEPI ZACATENCO------------------------- %---------------------M O D E L O D I N Á M I C O --------------- %---------------------DEL MECANISMO RRP ---------------------------
function qpp=dinamica(u) %% Retroalimentación qp = u(1); q = u(2);
%% Datos(Dimensiones de los eslabones) AB = 0.1; BC = 0.3; Yb = -0.05;
%% Masa de cada eslabón Kg m2 = 0.004; m3 = 0.011; m4 = 0.003;
%% Momento de inercia de cada eslabón respecto a su centro de masa
Icm2=3.389e-006; Icm3=8.217e-005;
g = 9.81; c = Yb;
%% Solución de Posición%%%%%%
teta3 = asin(((-AB*sin(q))+(c))/(-BC)); Xb = AB*cos(q)-BC*cos(asin(((-AB*sin(q))+(c))/(-BC)));
%% Coeficientes de velocidad Kteta3 = AB.*BC.^(-1).*cos (q).*sec(teta3); KXb=(-1).*AB.*sin(q)+AB.*cos (q).*tan(teta3);
%% Coeficientes de aceleración Lteta3=AB.*BC.^(-1).*sec (teta3).*((-1).*sin(q)+Kteta3.*cos
(q).*tan(teta3));
LXb=AB.*sec (teta3).*((-1).*cos(q+(-1).*teta3)+Kteta3.*cos
(q).*sec(teta3));
%% Coeficientes de velocidad de los centros de gravedad %%% %%Kq3=kq3;
Apéndice.
Página 132
Kc2x = -(1/2)*AB*sin(q); Kc2y = (1/2)*AB*cos(q);
Kc3x = (-1).*AB.*sin(q)+(1/2).*BC.*Kteta3.*sin(teta3); Kc3y = AB.*cos(q)+(-1/2).*BC.*Kteta3.*cos(teta3);
Kc4x = (-1).*AB.*sin(q)+BC.*Kteta3.*sin(teta3); Kc4y = AB.*cos(q)+(-1).*BC.*Kteta3.*cos(teta3);
%% Coeficientes de aceleración de los centros de gravedad
Lc2x = -(1/2)*AB*cos(q); Lc2y = -(1/2)*AB*sin(q);
Lc3x = (-
1).*AB.*cos(q)+(1/2).*BC.*Kteta3.^2.*cos(teta3)+(1/2).*BC.*Lteta3.*sin
(teta3); Lc3y = (-1/2).*BC.*Lteta3.*cos(teta3)+(-
1).*AB.*sin(q)+(1/2).*BC.*Kteta3.^2.*sin(teta3);
Lc4x = (-
1).*AB.*cos(q)+BC.*Kteta3.^2.*cos(teta3)+BC.*Lteta3.*sin(teta3); Lc4y =(-1).*BC.*Lteta3.*cos(teta3)+(-
1).*AB.*sin(q)+BC.*Kteta3.^2.*sin(teta3);
%% Inercia de cada eslabón
Ic2 = m2*(Kc2x.^2 + Kc2y.^2)+ Icm2; %I2o Ic3 = m3*(Kc3x.^2 + Kc3y.^2)+ Icm3*Kteta3.^2; Ic4 = m4*(Kc4x.^2 + Kc4y.^2);
Ig = Ic2 + Ic3 + Ic4;
%% DIg y Energia potencial
DIg2 = 0; DIg3 = m3*(Kc3x.*Lc3x + Kc3y.*Lc3y)+ Icm3.*Kteta3.*Lteta3; DIg4 = m4*(Kc4x.*Lc4x + Kc4y.*Lc4y);
DIg = DIg2 + DIg3 + DIg4;
dvdq = m2*g*Kc2y+ m3*g*Kc3y;
%% Torque C=0.001;
%% Salida del modelo dinámico qpp=((1/Ig).*((C-DIg.*(qp.*qp))-dvdq));
Apéndice.
Página 133
Apéndice C. Programa para comprobar el TBG en software
Matlab®.
Programa para comprobar las funciones del TBG. Matlab Fcn tbg.
function sal=tbg(u)
t=u; %Datos de TBG epsilon=0.001; alfa0=1.001; delta=0.001; t0=0; tb=1;
a3=10; a4=15; a5=6; phi=a3*(t-t0).^3/(tb-t0).^3-a4*(t-t0).^4/(tb-t0).^4+... a5*(t-t0).^5/(tb-t0).^5;
phiP =3*a3*(t-t0).^2/(tb-t0).^3-4*a4*(t-t0).^3/(tb-t0).^4+... 5*a5*(t-t0).^4/(tb-t0).^5; phiPP = 6*a3*(t-t0)/(tb-t0).^3-12*a4*(t-t0).^2/(tb-t0).^4+... 20*a5*(t-t0).^3/(tb-t0).^5; alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta));
sal=[phi;phiP;alfa];
Apéndice.
Página 134
Apéndice D. Programas para el control de posición articular
en el software Matlab®.
D1) Programa para implementar el TBG en la función tao.
function sal=tbg(u) t=u; %Datos de TBG epsilon=1e-3; alfa0=1+epsilon; delta=1e-12;
t0=0; tb=1;
a3=10; a4=15; a5=6;
phi=a3*(t-t0).^3/(tb-t0).^3-a4*(t-t0).^4/(tb-t0).^4+... a5*(t-t0).^5/(tb-t0).^5;
phiP =3*a3*(t-t0).^2/(tb-t0).^3-4*a4*(t-t0).^3/(tb-t0).^4+... 5*a5*(t-t0).^4/(tb-t0).^5; phiPP = 6*a3*(t-t0)/(tb-t0).^3-12*a4*(t-t0).^2/(tb-t0).^4+... 20*a5*(t-t0).^3/(tb-t0).^5;
alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta));
if t<tb alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta)) ; else alfa=30.0; end
sal=alfa;
Apéndice.
Página 135
D2) Programa donde se encuentra el modelo dinámico del
mecanismo Fnc dinamicaT.
function qpp=dinamicaT(u) clc;
%DATOS: m1=0.002; m2=0.005; m3=0.002;
R=0.1; L=0.3; c=-0.05;
Icm2=0.000001671;
I1o=Icm2 + m1*(R/2)^2 ; % kg-m2 momento de inercia eslabón R % respecto eje de giro I2cm=0.000037510;
%RETROALIMENTACIÓN qp=u(2); q=u(3); C=u(1);% u(3); %........................................... % COEFICIENTES DE VELOCIDAD: Dependen solo de la posición "q" %............................................
% ANALISIS DE POSICION: A=-asin((R*sin(q)-c)/L); X=R*cos(q)+L*cos(A);
%COEFICIENTES DE VELOCIDAD: ka= (-R*cos(q))/(L*cos(A)); kx= -R*sin(q)+R*cos(q)*tan(A);
%COEFICIENTES la y lx: la=((R*sin(q))/(L*cos(A)))-( (R*cos(q))/(L*cos(A)) )*tan(A)*ka; lx=-R*cos(q) - R*sin(q)*tan(A) + ( (R*cos(q))/(cos(A)^2) )*ka;
%COEFICIENTES DE VEL. PUNTO INTERES. up=L/2; vp=0; k2x = -R*sin(q)-ka*( up*sin(A) + vp*cos(A) ); k2y = R*cos(q)-ka*(-up*cos(A) + vp*sin(A) ) ;
%DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD l2x=-R*cos(q)-la*( up*sin(A) + vp*cos(A) )-ka^2*( up*cos(A) -
vp*sin(A)); l2y=-R*sin(q)-la*(-up*cos(A) + vp*sin(A) )-ka^2*( up*sin(A) +
vp*cos(A));
%ECUACION DE MOVIMIENTO EKSERGIAN (inercia no constante) Ig = I1o + m2*(k2x*k2x + k2y*k2y) + I2cm*ka*ka + m3*kx*kx;
Apéndice.
Página 136
dIg = m2*(k2x*l2x + k2y*l2y) + I2cm*ka*la + m3*kx*lx;
F=0.2;
%datos de amortiguador(Dashpot) ....FUERZAS NO CONSERVATIVAS.... b=0.05; %N-s/m Qnc= C + F*kx - b*kx*kx*qp;
%DATOS DEL RESORTE.... FUERZA CONSERVATIVA.... k=0.1; %Coeficiente de rigidez x0=0.45; e=0.132897056; % Longitug natural del resorte. dv=-k*(x0-X-e)*kx; %Energía potencial del resorte.
%EFECTOS DE LA GRAVEDAD... FUERZA CONSERVATIVA.... g=9.81;
V= m1*g*(R/2)*sin(q) + m2*g*(R*sin(q)+up*sin(A) );
dV_dq=m1*g*(R/2)*cos(q) + m2*g*(R*cos(q)+up*cos(A)*ka ) + dv;
qpp = (1/Ig)*(Qnc - dIg*qp*qp - dV_dq);
Apéndice.
Página 137
D3) Programa donde se encuentra la ley de control del mecanismo
Fnc tao.
function T=tao(u)
qd=u(1); qdp=u(2); q=u(3); qp=u(4); t=u(5); isignoSq=u(6);
Dq=q-qd; Dqp=qp-qdp; to=0;
%alfa=400; % Incrementa a sobreimpulso gamm=5.0; alfa=tbg(t); k=25; kd=0.2401; %0.2401 kv=kd; ki=kd*gamm; kp=kd*alfa;
%tbg=tbg_2gdl(t)
S= Dqp + alfa*Dq ; % Suaviza la curva a la superficie % deslizante so % so=Dqp + alfa*Dq
%==== error de posición y vel.en to=0 seg.=== so=(0-0)+alfa*( (pi/3)-(pi/2) ); %==== Observar que alfa = 0. en to=0 seg ==== so=0; %=========
sd=so*exp(-k*(t-to)); Sq=S-sd;
signoSq=tanh(60*Sq);
tao=-kp*Dq-kv*Dqp+kd*sd-ki*isignoSq;
%tao=0.01; T=[tao; Dq; Dqp; alfa; signoSq];
Apéndice.
Página 138
Apéndice E. Programas para el control de seguimiento
articular en el software Matlab®.
E1) Programa donde se encuentra el modelo dinámico del
mecanismo Fnc biela.
function qpp=biela(u) clc;
%DATOS: m1=0.002; m2=0.005; m3=0.002;
R=0.1; L=0.3; c=-0.05;
Icm2=0.000001671;
I1o=Icm2 + m1*(R/2)^2 ; % kg-m2 momento de inercia eslabón R % respecto eje de giro I2cm=0.000037510;
%RETROALIMENTACIÓN qp=u(2); q=u(3); C=u(1);% u(3); %........................................... % COEFICIENTES DE VELOCIDAD: Dependen solo de la posición "q" %............................................
% ANALISIS DE POSICION: A=-asin((R*sin(q)-c)/L); X=R*cos(q)+L*cos(A);
%COEFICIENTES DE VELOCIDAD: ka= (-R*cos(q))/(L*cos(A)); kx= -R*sin(q)+R*cos(q)*tan(A);
%COEFICIENTES la y lx: la=((R*sin(q))/(L*cos(A)))-( (R*cos(q))/(L*cos(A)) )*tan(A)*ka; lx=-R*cos(q) - R*sin(q)*tan(A) + ( (R*cos(q))/(cos(A)^2) )*ka;
%COEFICIENTES DE VEL. PUNTO INTERES. up=L/2; vp=0; k2x = -R*sin(q)-ka*( up*sin(A) + vp*cos(A) ); k2y = R*cos(q)-ka*(-up*cos(A) + vp*sin(A) ) ;
%DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD
Apéndice.
Página 139
l2x=-R*cos(q)-la*( up*sin(A) + vp*cos(A) )-ka^2*( up*cos(A) -
vp*sin(A)); l2y=-R*sin(q)-la*(-up*cos(A) + vp*sin(A) )-ka^2*( up*sin(A) +
vp*cos(A));
%ECUACION DE MOVIMIENTO EKSERGIAN (inercia no constante) Ig = I1o + m2*(k2x*k2x + k2y*k2y) + I2cm*ka*ka + m3*kx*kx; dIg = m2*(k2x*l2x + k2y*l2y) + I2cm*ka*la + m3*kx*lx;
F=0.2;
%datos de amortiguador(Dashpot) ....FUERZAS NO CONSERVATIVAS.... b=0.05; %N-s/m Qnc= C + F*kx - b*kx*kx*qp;
%DATOS DEL RESORTE.... FUERZA CONSERVATIVA.... k=0.1; %Coeficiente de rigidez x0=0.45; e=0.132897056; % Longitug natural del resorte. dv=-k*(x0-X-e)*kx; %Energía potencial del resorte.
%EFECTOS DE LA GRAVEDAD... FUERZA CONSERVATIVA.... g=9.81;
V= m1*g*(R/2)*sin(q) + m2*g*(R*sin(q)+up*sin(A) );
dV_dq=m1*g*(R/2)*cos(q) + m2*g*(R*cos(q)+up*cos(A)*ka ) + dv;
qpp = (1/Ig)*(Qnc - dIg*qp*qp - dV_dq);
Apéndice.
Página 140
E2) Programa donde se encuentra la trayectoria a seguir del
mecanismo Fnc trayectoria.
function sal=trayectoria(u)
t=u(1); w=2; A=0.5; q=A*sin(w*t); qp=A*w*cos(w*t); sal=[q;qp];
Apéndice.
Página 141
E3) Programa donde se encuentra la ley de control del mecanismo
Fnc tao.
function T=tao(u)
qd=u(1); qdp=u(2); q=u(3); qp=u(4); t=u(5); isignoSq=u(6);
Dq=q-qd; Dqp=qp-qdp; to=0;
%alfa=400; % Incrementa a sobreimpulso gamm=10; %20 alfa=tbg(t); k=1; kd=0.004; %0.2401 kv=kd; ki=kd*gamm; kp=kd*alfa;
%tbg=tbg_2gdl(t)
S= Dqp + alfa*Dq ; % Suaviza la curva a la superficie % deslizante so % so=Dqp + alfa*Dq
%==== error de posición y vel.en to=0 seg.=== so=(0-0.5)+alfa*( (pi/3)-(0) ); %==== Observar que alfa = 0. en to=0 seg ==== so=0; %=========
sd=so*exp(-k*(t-to)); Sq=S-sd;
signoSq=tanh(60*Sq);
%signoSq=sign(Sq);
tao=-kp*Dq-kv*Dqp+kd*sd-ki*isignoSq;
T=[tao; Dq; Dqp; signoSq];
Apéndice.
Página 142
E4) Programa para implementar el TBG en la función tao.
function sal=tbg(u) t=u; %Datos de TBG epsilon=1e-3; alfa0=1+epsilon; delta=1e-12;
t0=0; tb=1;
a3=10; a4=15; a5=6;
phi=a3*(t-t0).^3/(tb-t0).^3-a4*(t-t0).^4/(tb-t0).^4+... a5*(t-t0).^5/(tb-t0).^5;
phiP =3*a3*(t-t0).^2/(tb-t0).^3-4*a4*(t-t0).^3/(tb-t0).^4+... 5*a5*(t-t0).^4/(tb-t0).^5; phiPP = 6*a3*(t-t0)/(tb-t0).^3-12*a4*(t-t0).^2/(tb-t0).^4+... 20*a5*(t-t0).^3/(tb-t0).^5;
alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta));
if t<tb alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta)) ; else alfa=15.0; end
sal=alfa;
Apéndice.
Página 143
Apéndice F. Programas para el control de posición
operacional en el software Matlab®.
E1) Programa donde se encuentra el modelo dinámico del
mecanismo Fnc biela.
function sal=biela(u) clc;
%DATOS: m1=0.002; m2=0.005; m3=0.002;
R=0.1; L=0.3; c=-0.05;
Icm2=0.000001671;
I1o=Icm2 + m1*(R/2)^2 ; % kg-m2 momento de inercia eslabón R % respecto eje de giro I2cm=0.000037510;
%RETROALIMENTACIÓN qp=u(2); q=u(3); C=u(1);% u(3); %........................................... % COEFICIENTES DE VELOCIDAD: Dependen solo de la posición "q" %............................................
% ANALISIS DE POSICION: A=-asin((R*sin(q)-c)/L); X=R*cos(q)+L*cos(A);
% ANALISIS DE VELOCIDAD: %Ap=(-R*cos(q)*qp)/(L*cos(A)) %Xp=(-R*sin(q)*qp)-(L*sin(A)*((-R*cos(q)*qp)/(L*cos(A))))
%COEFICIENTES DE VELOCIDAD: ka= (-R*cos(q))/(L*cos(A)); kx= -R*sin(q)+R*cos(q)*tan(A);
%COEFICIENTES la y lx: la=((R*sin(q))/(L*cos(A)))-( (R*cos(q))/(L*cos(A)) )*tan(A)*ka; lx=-R*cos(q) - R*sin(q)*tan(A) + ( (R*cos(q))/(cos(A)^2) )*ka;
%COEFICIENTES DE VEL. PUNTO INTERES. up=L/2;
Apéndice.
Página 144
vp=0; k2x = -R*sin(q)-ka*( up*sin(A) + vp*cos(A) ); k2y = R*cos(q)-ka*(-up*cos(A) + vp*sin(A) ) ;
%DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD l2x=-R*cos(q)-la*( up*sin(A) + vp*cos(A) )-ka^2*( up*cos(A) -
vp*sin(A)); l2y=-R*sin(q)-la*(-up*cos(A) + vp*sin(A) )-ka^2*( up*sin(A) +
vp*cos(A));
%ECUACION DE MOVIMIENTO EKSERGIAN (inercia no constante) Ig = I1o + m2*(k2x*k2x + k2y*k2y) + I2cm*ka*ka + m3*kx*kx; dIg = m2*(k2x*l2x + k2y*l2y) + I2cm*ka*la + m3*kx*lx;
F=0.2;
%datos de amortiguador(Dashpot) ....FUERZAS NO CONSERVATIVAS.... b=0.05; %N-s/m Qnc= C + F*kx - b*kx*kx*qp;
%DATOS DEL RESORTE.... FUERZA CONSERVATIVA.... k=0.1; %Coeficiente de rigidez x0=0.45; e=0.132897056; % Longitug natural del resorte. dv=-k*(x0-X-e)*kx; %Energía potencial del resorte.
%EFECTOS DE LA GRAVEDAD... FUERZA CONSERVATIVA.... g=9.81;
V= m1*g*(R/2)*sin(q) + m2*g*(R*sin(q)+up*sin(A) );
dV_dq=m1*g*(R/2)*cos(q) + m2*g*(R*cos(q)+up*cos(A)*ka ) + dv;
qpp = (1/Ig)*(Qnc - dIg*qp*qp - dV_dq);
sal=[qpp; X; qp*kx; kx];
Apéndice.
Página 145
F2) Programa donde se encuentra la ley de control del mecanismo
Fnc tao.
function T=tao(u)
xd=u(1); xdp=u(2); q=u(3); X=u(4); Xp=u(5); t=u(6); iF=u(7); kx=u(8);
kd=0.01;
Dx=X-xd; Dxp=Xp-xdp; to=0;
alfa=tbg(t);
k=50; % suaviza llegada al tb, >k >suavidad to=0; %so=0.1; so=0; So=so*exp(-k*(t-to)); %So=0 gama=100;
F=(Dxp+alfa*Dx-So); % Enviar al integrador
%iF=iF2; % Recibir del integrador %============= Ley de Control SMC TBG ============
tao=-kd*(1/kx)*(Dxp+alfa*Dx-So+gama*iF); %tao=F*iJ
T=[tao; Dx; Dxp; F];
Apéndice.
Página 146
F3) Programa para implementar el TBG en la función tao.
function sal=tbg(u) t=u; %Datos de TBG epsilon=1e-3; alfa0=1+epsilon; delta=1e-12;
t0=0; tb=1;
a3=10; a4=15; a5=6;
phi=a3*(t-t0).^3/(tb-t0).^3-a4*(t-t0).^4/(tb-t0).^4+... a5*(t-t0).^5/(tb-t0).^5;
phiP =3*a3*(t-t0).^2/(tb-t0).^3-4*a4*(t-t0).^3/(tb-t0).^4+... 5*a5*(t-t0).^4/(tb-t0).^5; phiPP = 6*a3*(t-t0)/(tb-t0).^3-12*a4*(t-t0).^2/(tb-t0).^4+... 20*a5*(t-t0).^3/(tb-t0).^5;
alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta));
if t<tb alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta)) ; else alfa=25; end
sal=alfa;
Apéndice.
Página 147
Apéndice G. Programas para el control de seguimiento
articular en el software Matlab®.
G1) Programa donde se encuentra el modelo dinámico del
mecanismo Fnc biela.
function qpp=biela(u) clc;
%DATOS: m1=0.002; m2=0.005; m3=0.002;
R=0.1; L=0.3; c=-0.05;
Icm2=0.000001671;
I1o=Icm2 + m1*(R/2)^2 ; % kg-m2 momento de inercia eslabón R % respecto eje de giro I2cm=0.000037510;
%RETROALIMENTACIÓN qp=u(2); q=u(3); C=u(1);% u(3); %........................................... % COEFICIENTES DE VELOCIDAD: Dependen solo de la posición "q" %............................................
% ANALISIS DE POSICION: A=-asin((R*sin(q)-c)/L); X=R*cos(q)+L*cos(A);
%COEFICIENTES DE VELOCIDAD: ka= (-R*cos(q))/(L*cos(A)); kx= -R*sin(q)+R*cos(q)*tan(A);
%COEFICIENTES la y lx: la=((R*sin(q))/(L*cos(A)))-( (R*cos(q))/(L*cos(A)) )*tan(A)*ka; lx=-R*cos(q) - R*sin(q)*tan(A) + ( (R*cos(q))/(cos(A)^2) )*ka;
%COEFICIENTES DE VEL. PUNTO INTERES. up=L/2; vp=0; k2x = -R*sin(q)-ka*( up*sin(A) + vp*cos(A) ); k2y = R*cos(q)-ka*(-up*cos(A) + vp*sin(A) ) ;
%DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD
Apéndice.
Página 148
l2x=-R*cos(q)-la*( up*sin(A) + vp*cos(A) )-ka^2*( up*cos(A) -
vp*sin(A)); l2y=-R*sin(q)-la*(-up*cos(A) + vp*sin(A) )-ka^2*( up*sin(A) +
vp*cos(A));
%ECUACION DE MOVIMIENTO EKSERGIAN (inercia no constante) Ig = I1o + m2*(k2x*k2x + k2y*k2y) + I2cm*ka*ka + m3*kx*kx; dIg = m2*(k2x*l2x + k2y*l2y) + I2cm*ka*la + m3*kx*lx;
F=0.2;
%datos de amortiguador(Dashpot) ....FUERZAS NO CONSERVATIVAS.... b=0.05; %N-s/m Qnc= C + F*kx - b*kx*kx*qp;
%DATOS DEL RESORTE.... FUERZA CONSERVATIVA.... k=0.1; %Coeficiente de rigidez x0=0.45; e=0.132897056; % Longitug natural del resorte. dv=-k*(x0-X-e)*kx; %Energía potencial del resorte.
%EFECTOS DE LA GRAVEDAD... FUERZA CONSERVATIVA.... g=9.81;
V= m1*g*(R/2)*sin(q) + m2*g*(R*sin(q)+up*sin(A) );
dV_dq=m1*g*(R/2)*cos(q) + m2*g*(R*cos(q)+up*cos(A)*ka ) + dv;
qpp = (1/Ig)*(Qnc - dIg*qp*qp - dV_dq);
Apéndice.
Página 149
G2) Programa donde se encuentra la trayectoria a seguir del
mecanismo Fnc trayectoria.
function sal=trayectoria(u)
function sal=trayectoria(u)
t=u(1); w=2; A=0.05; xd=0.3+A*sin(w*t); xdp=A*w*cos(w*t); sal=[xd;xdp];
Apéndice.
Página 150
G3) Programa donde se encuentra la ley de control del mecanismo
Fnc tao.
function T=tao(u)
xd=u(1); xdp=u(2); q=u(3); X=u(4); Xp=u(5); t=u(6); iF=u(7); kx=u(8);
kd=0.009;
Dx=X-xd; Dxp=Xp-xdp; to=0;
alfa=tbg(t);
k=100; % suaviza llegada al tb, >k >suavidad to=0; so=0.1; So=so*exp(-k*(t-to)); %So=0 gama=15;
F=(Dxp+alfa*Dx-So); % Enviar al integrador
%iF=iF2; % Recibir del integrador %============= Ley de Control SMC TBG ============
tao=-kd*(1/kx)*(Dxp+alfa*Dx-So+gama*iF); %tao=F*iJ
T=[tao; Dx; Dxp; F];
Apéndice.
Página 151
G4) Programa para implementar el TBG en la función tao.
function sal=tbg(u) t=u; %Datos de TBG epsilon=1e-3; alfa0=1+epsilon; delta=1e-12;
t0=0; tb=0.5;
a3=10; a4=15; a5=6;
phi=a3*(t-t0).^3/(tb-t0).^3-a4*(t-t0).^4/(tb-t0).^4+... a5*(t-t0).^5/(tb-t0).^5;
phiP =3*a3*(t-t0).^2/(tb-t0).^3-4*a4*(t-t0).^3/(tb-t0).^4+... 5*a5*(t-t0).^4/(tb-t0).^5; phiPP = 6*a3*(t-t0)/(tb-t0).^3-12*a4*(t-t0).^2/(tb-t0).^4+... 20*a5*(t-t0).^3/(tb-t0).^5;
alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta));
if t<tb alfa=alfa0*(phiP/((1-phi)+delta)) ; else alfa=30; end
sal=alfa;
