ANÁLISIS DEL INTERFERÓMETRO DE MICHELSON PARA LA …

ANÁLISIS DEL INTERFERÓMETRO DE MICHELSON PARA LA MEDICIÓN DE DEFORMACIONES EN ELEMENTOS

CARGADOS AXIALMENTE

T E S I S P R O F E S I O N A L

Q U E P A R A O B T E N E R EL T Í T U L O DE :

I N G E N I E R O E N R O B Ó T I C A I N D U S T R I A L

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CARLOS ALFONSO MENDOZA BASILIO

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AGRADECIMIENTOS

A CONACYT por el apoyo otorgado durante el desarrollo de este trabajo, sin el cual no hubiera sido posible llevarlo a cabo.

A mi familia, quienes a pesar de la distancia me dieron su apoyo incondicional y en los momentos de flaqueza siempre encontré en ellos una palabra de aliento para seguir adelante.

A mis padres, María de la Luz Basilio González y Carlos Joel Mendoza Martínez, quienes me procuraron la oportunidad de tener una formación académica y cuyas enseñanzas me dieron las armas necesarias para enfrentarme a la vida: “Aprende con el maestro, sin el maestro y a pesar del maestro”

A Luis y Liliana, quienes compartieron conmigo la niñez y muchas experiencias en mi vida que me dieron rumbo y forjaron mi carácter, y sobre todo les estoy muy agradecido por lo que son: mis hermanos.

A mi musa, por su paciencia y apoyo incondicionales durante el desarrollo de este trabajo, y principalmente por que me ha llevado a descubrir las diversas tonalidades que posee el mundo.

A mis amigos: Pechan, Lucy, Omar, Berto, Mamre, Rodrigo y algunos que tal vez omití mencionar, con quienes compartí muchas vivencias dentro y fuera del aula.

A mis maestros por el tiempo y paciencia dedicados a mi formación como ingeniero, sin los cuales este trabajo no hubiera sido posible.

A todas aquellas personas que he omitido mencionar, que en su momento fueron o que siguen siendo partícipes de mi formación tanto personal como profesional, sepan que no hay suficientes palabras para expresar mi gratitud por todo lo que han dejado en mí.

Índice general i

Análisis del interferómetro de Michelson para la medición de deformaciones en elementos cargados axialmente

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL i

ÍNDICE DE FIGURAS v

ÍNDICE DE TABLAS vii

RESUMEN viii

ABSTRACT ix

OBJETIVO GENERAL x

OBJETIVOS PARTICULARES x

JUSTIFICACIÓN xi

INTRODUCCIÓN xiv

SIMBOLOGÍA xviii

CAPÍTULO I. GENERALIDADES 1

I.1. Introducción 2

I.2. Métodos de punto por punto 3

I.2.1. Extensometría mecánica 3

I.2.2. Extensometría óptica 4

I.2.3. Extensómetros eléctricos 6

I.2.3.1. Transductor de capacidad variable 7

I.3. Métodos de campo total 9

I.3.1. Recubrimientos quebradizos 9

I.3.2. Método de franjas de moiré 10

I.3.3. Fotoelasticidad 12

Índice general ii


I.3.4. Interferómetros y hologramas láser 15

I.3.4.1. Interferometría 16

I.3.4.2. Interferómetro de Michelson 18

I.3.4.3. Patrones de moteado (speckle) 19

I.5. Sumario 20

I.6. Referencias 20

CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO 23

II.1. Tracción axial 24

II.2. Esfuerzo 25

II.2.1. Plano generalizado de esfuerzos 25

II.2.2. Estado tridimensional de esfuerzos 26

II.2.3. Esfuerzos principales 27

II.3. Círculo de Mohr 27

II.4. Deformación 28

II.5. Módulo de Young 29

II.6. Ensayo a tensión 30

II.7. Medición de desplazamientos con el interferómetro de Michelson 32

II.7.1. Generalidades 33

II.7.2. Solución de la ecuación de la onda 34

II.7.3. Superposición de ondas 35

II.7.4. Interferómetro de Michelson 37

II.8. Sumario 38

Índice general iii


II.9. Referencias 38

CAPÍTULO III. ANÁLISIS EXPERIMENTAL 43

III.1. Procedimiento experimental 44

III.1.1. Descripción de funcionamiento 44

III.1.2. Montaje del dispositivo 45

III.2. Desarrollo experimental 46

III.3. Obtención de datos experimentales 48

III.3.1. Descripción del experimento 48

III.4. Interpretación del desplazamiento de franjas como deformaciones

mecánicas 52

III.5. Simulación del desplazamiento equivalente a una franja en una barra a

tensión 53

III.6. Ventajas y desventajas 54

III.7. Sumario 55

III.8. Referencias 56

CAPÍTULO IV. ANÁLISIS NUMÉRICO 57

IV.1. El método del elemento finito 58

IV.1.1. Introducción 58

IV.1.2. Antecedentes históricos 58

IV.1.3. Conceptualización del método 60

Índice general iv


IV.1.4. Ventajas y desventajas del método 60

IV.1.5. Procedimiento a seguir empleando el método del elemento finito 61

IV.2. Desarrollo de análisis por elemento finito 61

IV.3. Sumario 67

IV.4. Referencias 67

DISCUSIÓN DE RESULTADOS 69

CONCLUSIONES 73

TRABAJOS FUTUROS 76

ANEXO A 79

Índice de figuras v


ÍNDICE DE FIGURAS

Figura I.1. Cuerpo en estado de deformación 2

Figura I.2. Extensómetro mecánico 4

Figura I.3. Extensómetro de espejos de Martens 5

Figura I.4. Extensómetro sin contacto 5

Figura I.5. Ilustración de una galga extensométrica 6

Figura I.6. Galga extensométrica aplicada en un componente 7

Figura I.7. Sensor infrarrojo y de gases basado en el principio de la celda de Golay 8

Figura I.8. Método de recubrimientos quebradizos 9

Figura I.9. Componente con laca agrietada 10

Figura I.10. Método de cuadrante de moiré 10

Figura I.11. Trayectoria del rayo principal 11

Figura I.12. Patrones de colores en una prueba de fotoelasticidad 13

Figura I.13. Barra de acero con cubierta de resina fotoelástica, sometida a flexión 13

Figura I.14. Polariscopio portátil de reflexión 14

Figura I.15. Hologramas láser 16

Figura I.16. Experimento de la doble rendija de Thomas Young 17

Figura I.17. Patrón de interferencia obtenido del interferómetro de Michelson 18

Figura I.18. Generación de patrones de moteado (speckle) 19

Figura I.19. Patrón de moteado 19

Figura II.1. Probeta para ensayo a tensión 24

Figura II.2. Plano generalizado de esfuerzos 25

Figura II.3. Estado tridimensional de esfuerzos 26

Índice de figuras vi


Figura II.4. Círculo de Mohr 28

Figura II.5. Diagrama esfuerzo-deformación 29

Figura II.6. Barra de sección uniforme sometida a tensión axial 30

Figura II.7. Estado de esfuerzos de una partícula en una barra sometida a tensión axial 31

Figura II.8. Círculo de Mohr para esfuerzos a tensión axial 32

Figura II.9. Interferencia a) constructiva y b) destructiva 35

Figura II.10. Interferómetro de Michelson 37

Figura III.1. Esquema del montaje del interferómetro de Michelson 45

Figura III.2. Patrón de franjas obtenido en el interferómetro de Michelson 46

Figura III.3. Corrimiento de una sola franja respecto al punto de referencia 47

Figura III.4. Micrómetro 48

Figura III.5. Placa base 50

Figura III.6. Patrón obtenido de la diferencia nula entre caminos ópticos 50

Figura III.7. Registro del corrimiento de franjas 51

Figura III.8. Comparativo entre a) Patrón inicial y b) patrón final 51

Figura III.9. Especificación de probetas para ensayos a tensión 53

Figura IV.1. Modelo para simulación en elementos finitos 62

Figura IV.2. Mallado del modelo 62

Figura IV.3. Empotramiento de un extremo del modelo 63

Figura IV.4. Desplazamiento especificado sobre el extremo opuesto al empotrado 64

Figura IV.5. Elongaciones sobre la sección (MN-mínimo, MX-máximo) 65

Figura IV.6. Representación de esfuerzos sobre la barra 65

Índice de tablas vii


ÍNDICE DE TABLAS

Tabla I.1. Patrones de color para pruebas de fotoelasticidad 14

Tabla III.1. Medidas de probeta redonda estándar para ensayos a tensión 53

Tabla IV.1. Unidades de elongación sobre el eje z correspondientes al color en la Figura IV.6 65

Tabla IV.2. Esfuerzos sobre la barra determinados por el programa de elementos finitos 66

Tabla IV.3. Esfuerzo y desplazamiento correspondiente a cada nodo en la cara opuesta al empotramiento, determinado por el programa de elementos finitos 66

Resumen viii


RESUMEN

En este trabajo se desarrolla la implementación de un sistema que trabaja mediante

interferometría de luz láser para medir pequeños desplazamientos, los cuales son interpretados a

manera de deformaciones en una probeta sometida a cargas axiales, con la finalidad de difundir

las nuevas tecnologías al desarrollo de las pruebas mecánicas en nuestro país, lo que conllevaría a

una mas precisa determinación de propiedades de materiales y por ende, una mejora en el estudio

de estos.

El sistema empleado es un interferómetro de Michelson, que trabaja mediante interferometría de

luz láser. El dispositivo genera patrones de franjas, debido a que hace interferir dos haces de la

misma fuente luminosa, mediante un arreglo de espejos perpendicularmente ubicados, con un

divisor de haz al centro. Los patrones obtenidos varían respecto a las modificaciones que se

tengan en ambos caminos ópticos (cambios en el índice de refracción, variación en la longitud del

camino óptico, vibraciones, entre otros), lo cual genera una transición de franjas directamente

proporcionales a estos cambios. El sistema se mantuvo en un ambiente estable, dejando

únicamente que la variación en el patrón de franjas estuviera afectado por el cambio de la

longitud del camino óptico; dichas variaciones nos dieron una lectura de 244 nanómetros en la

transición de una franja, lo que fue determinado de forma analítica y experimental.

En el apartado numérico, se realiza la modelación de una probeta redonda estandarizada de

acuerdo a la norma ASTM A 370, de 12.5 mm de diámetro y 50 mm de longitud calibrada, a la

cual le es aplicado un desplazamiento de 244 nanómetros, con lo cual se determina la carga

necesaria para obtener dicha deformación en el elemento, la cual es de 12.21 gramos, lo que

ilustra la alta sensibilidad del sistema para la medición de deformaciones de campo completo en

el rango elástico.

Resumen ix


ABSTRACT

In this paper the implementation of a system that works by laser light interferometry to measure

small displacements is developed, which are interpreted as deformation in a specimen subjected

to axial loads, in order to spread new technologies to the development of mechanical tests in our

country, which leads to a more accurate determination of material properties and thus an

improvement in the study of it.

The system used is a Michelson interferometer, which works by laser light interferometry. The

device generates fringe patterns due to two beams interference in the same light source through

an arrangement of mirrors placed at right angles with a beam splitter in the center of it. The

obtained patterns vary respect to the changes in both optical paths (change in refractive index

variation in the optical path length, vibration, etc.), which generates a transition slot directly

proportional to these changes. The system remained in a stable environment, leaving only the

variation in the fringe pattern were affected by the change of optical path length, and these

changes gave us a reading of 244 nanometers in the transition of a fringe, which was determined

analytically and experimentally.

The numerical modeling is performed in a standard round specimen according to ASTM A 370

standard, 12.5 mm in diameter and 50 mm gauge length, where it is applied a shift of 244 nm,

wherewith determining the load required to obtain this deformation in the element, it gave us a

value of 12.21 grams, that illustrates the high sensitivity of measurement system for full-field

deformations of elements in the elastic range.

Objetivos x


Objetivo

En el presente trabajo se analiza el uso de un sistema óptico con el propósito de implementarlo en

la medición de deformaciones en elementos mecánicos, el cual es un método indirecto no

invasivo con el que se pueden determinar las características mecánicas de diversos materiales. La

evaluación de la eficiencia de este sistema es analizada por métodos numéricos y analíticos.

Objetivos particulares

Para llevar a cabo el objetivo general, es necesario cumplir con una serie de metas intermedias,

las cuales se presentan a continuación:

• Comparar y analizar los diversos métodos de medición existentes.

• Analizar la relación entre las deformaciones y los esfuerzos desde el punto de vista

elástico.

• Implementar un método que minimice la afectación de las mediciones por vibraciones

mecánicas en el dispositivo.

• Evaluar las ventajas y desventajas de un sistema interferométrico en el estudio de

deformaciones y esfuerzos mecánicos.

• Dar pie al desarrollo de un sensor de deformaciones que utilice el interferómetro de

Michelson en pruebas mecánicas cuya sensibilidad sea alta.

Justificación xi


JUSTIFICACIÓN

Al llevar a cabo pruebas mecánicas sobre ciertos materiales, se busca obtener y/o comprobar las

propiedades mecánicas del mismo, como son el módulo de Young, la razón de Poisson, etc.

Para que un elemento mecánico sea efectivo y confiable es importante realizar ensayos con los

materiales involucrados, esto nos proporciona seguridad y eficiencia en el diseño final; el ensayo

a tracción es uno de los más empleados, donde las elongaciones van del orden del 0.1% de la

longitud total de la muestra, lo que conlleva a utilizar métodos de medición precisos, con el

propósito de plasmar las variaciones lo más apegado a la realidad, para obtener de manera exacta

el comportamiento del material y así, sus propiedades.

Una de las tareas primordiales en el diseño mecánico es la evaluación de la integridad estructural

de diversos componentes mecánicos. A nivel ingeniería, esto puede realizarse experimental o

numéricamente. En el primer caso, se puede emplear técnicas puntuales (como por ejemplo

galgas extensométricas resistivas) o con técnicas de campo completo. En este último caso se

puede mencionar la fotoelasticidad.

La selección de la técnica adecuada debe considerar diversos aspectos, tales como la geometría

de la pieza estudiada y la severidad e interacción de los puntos de concentración de esfuerzos. Si

bien es cierto que la fotoelasticidad muestra estos casos, en términos generales tiende a ser una

evaluación cualitativa, ya que en el caso de grietas es difícil ubicar el centro de la franja, tal como

lo reporta Rodríguez y colaboradores [1]. Por lo tanto, se han desarrollado una gran cantidad de

trabajos para poder determinar con precisión el campo de esfuerzos, mediante programas que

complementen la evaluación experimental de los resultados.

Asimismo, la rapidez de variación de la carga es difícil evaluar, más si se tiene un campo de

esfuerzos complejo [2]. En este caso, se recomienda el uso de transductores que puedan ser

conectados a sistemas de adquisición de datos. Pero tampoco debe perderse de vista el carácter

viscoelástico de los materiales, lo cual se manifiesta en un aumento, tanto de rigidez, como de

fragilidad, al aplicarse la carga con mayor velocidad.

Justificación xii


Por otra parte, el comportamiento de los materiales puede ser elástico, plástico o elastoplástico.

En cada uno de estos casos, se debe seguir un procedimiento adecuado para el análisis de

esfuerzos [3]. Esto también influye en la técnica de medición aplicada, ya que no es lo mismo

evaluar grandes o pequeñas deformaciones.

Tampoco debe perderse de vista que con el disminuir costos, se sigue un procedimiento híbrido

experimental-numérico. Esto es, los modelos numéricos se validan con resultados

experimentales.

De acuerdo a esto, se requiere una técnica que no perturbe al objeto de estudio y que tenga una

gran versatilidad para adaptarse a los aspectos antes mencionados. El análisis de esfuerzos con la

holografía, permite hacer este tipo de estudios, dando como resultado mediciones con gran

precisión, de ahí que en los últimos años se han enfocado una gran cantidad de recursos mediante

la aplicación de los rayos láser, óptica y mecánica para determinar la integridad estructural de

diversos componentes.

Aunado a lo anterior, es notable que para el desarrollo de sistemas mecánicos mundialmente

competitivos, se requiere proponer diseños y técnicas de caracterización a través de pruebas

experimentales sumamente sensibles, rápidas y de bajo costo; los equipos de interferometría láser

modernos son herramientas que sirven como base para el desarrollo de MicroNanotecnología con

aplicaciones potenciales en ésta y otras áreas de investigación, y que en su mayoría provienen del

extranjero. El hecho de no desarrollar investigación enfocada en estas nuevas técnicas daría lugar

a la dependencia tecnológica de nuestro país por tiempo indefinido. Con esta motivación, en este

trabajo se presenta el uso de un interferómetro tipo Michelson para la medición de

deformaciones, cuya principal ventaja es la utilización de la longitud de onda de la luz empleada

(nanómetros) como patrón para la determinación de elongaciones.

Referencias

1.- Rodríguez-Cañizo, R. G., Hernández-Gómez, L. H. y Urriolagoitia-Calderón, G., Análisis de

la interacción de grietas en placas, Revista Mexicana de Física, Vol. 51, México, pp. 5-10,

2005.

Justificación xiii


2.- Hernández-Gómez, L. H., Sauceda-Meza, I., Urriolagoitia-Calderón, G., Balankin, A. S.,

Susarrey, O., Evaluation of crack initiation angle under mixed mode loading at diverse strain

rates, Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 42, pp. 53-61, Septiembre 2004.

3.- Hernández-Gómez, L. H., Urriolagoitia-Calderón, G., Urriolagoitia-Sosa, G., Sandoval-

Pineda, J. M., Merchán-Cruz, E. A. y Guardado-García, J. F., Assessment of the structural

integrity of cracked cylindrical geometries applying the EVTUBAG program, Revista Técnica

Ingeniería de la Universidad de Zulia, Vol. 32, No. 3, pp. 190-199, 2009.

Introducción xiv


INTRODUCCIÓN

Durante las etapas de diseño [1], resulta de vital importancia el conocimiento de las

características reales de los materiales para su correcta aplicación, dado que estas pueden ser

determinantes en la selección del mismo y pueden influir en aspectos como la ergonomía del

elemento, su costo, los tratamientos que se le darán al material entre otros.

Las características de los materiales pueden ser muy diversas incluso entre elementos de la

misma colada, por lo que no pueden ser generalizadas sus propiedades en casos en que el diseño

sea detallado o hecho con materiales de los que se desconozcan sus características.

El comportamiento mecánico de un material es el reflejo de la relación entre su respuesta o

deformación ante una fuerza o carga aplicada y de ello depende la determinación de sus

características [2, 3].

Las pruebas a realizar para examinar materiales depende en gran medida de las condiciones de

servicio en que se encuentre el elemento; hay 3 formas principales en las que podemos aplicar

cargas: tensión compresión y cizalladura, de las cuales la prueba a tensión es la de mayor uso.

El ensayo de tensión se utiliza para evaluar varias propiedades mecánicas de los materiales,

donde la muestra se deforma gradualmente hasta la fractura, con cargas aplicadas axialmente.

Durante la aplicación de cargas, en el material se producen elongaciones en dirección de las

fuerzas (deformaciones), las cuales tienen un vínculo directo con las fuerzas internas del material

(esfuerzos), que es donde radica la importancia de esta prueba, debido a que con estas variables

es posible determinar el módulo de elasticidad, el limite elástico, la resistencia máxima a la

tensión, el porcentaje de elongación y el porcentaje de reducción de área [2].

Los métodos para determinar los esfuerzos principalmente se basan en la medición de las cargas

aplicadas respecto a la elongación del material, pero estas deformaciones muchas veces son del

orden del 0.1% de la longitud total de la probeta, los que da principal importancia al sistema

utilizado para determinarlas.

Introducción xv


Existen diversos métodos de medición de deformaciones pero actualmente el uso de los láseres

ha tenido un importante impacto debido a sus muy diversas formas de aplicarse.

En el caso de la interferometría, han sido propuestos diferentes métodos para determinar

propiedades y perturbaciones físicas que muchas veces requieren de fuentes de luz de muy alta

intensidad [4, 5, 6, 7, 8], materiales sensores con muy alta sensibilidad de respuesta [9, 10, 11,

12, 13, 14] o métodos sofisticados de modulación y detección [8, 15, 16, 17]; sin embargo, para

el caso específico del interferómetro de Michelson, puede emplearse la longitud de onda de un

láser de baja intensidad pero con muy alta estabilidad como patrón de referencia para la

determinación de desplazamientos, lo cual indica una precisión muy alta que puede bien

representar el comportamiento real de un material.

La precisión del método de medición de deformaciones juega un papel importante, ya que al ser

mayor de su exactitud, también lo será la representación del comportamiento del material, lo cual

hará una representación más apegada a la realidad sobre el material estudiado.

Referencias

1.- Norton, R. L., Diseño de Máquinas, Ed. Prentice Hall, México, pp. 1-5, 1999.

2.- Gere, J. G., y Goodno, B. J., Mecánica de Materiales, Séptima Edición, Ed. Cengage

Learning, México, pp. 3-27, 2009.

3.- Catalunya, Univesitat Politècnica de. Servei de Biblioteques i Documentació, Extraído el 14

de Abril de 2010 de http://hdl.handle.net/2099.1/3257, 2004.

4.- Torres-Torres, C. y Khomenko, A. V., Autodifracción vectorial de dos ondas degeneradas en

medios con efecto Kerr óptico, Revista Mexicana de Física, Vol. 51, No.2, pp. 162-167,

2005.

5.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A.; Rodríguez-

Fernández, L., y Oliver, A., Absorptive and refractive nonlinearities by four wave mixing in

Au nanoparticles in ion-implanted silica, Optics Express, Vol. 15, pp. 9248-9253, 2007.

6.- Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-

Fernández, L., y Oliver, A., Optical third order nonlinearity by nanosecond and picosecond

Introducción xvi


pulses in Cu nanoparticles in ion-implanted silica, Journal of Applied Physics, Vol. 104, No.

014306, 2008.

7.- Torres-Torres, C., López-Suárez, A., Tamayo-Rivera, L., Rangel-Rojo, R., Crespo-Sosa, A.,

Alonso, J. C. y Alonso, A., Thermo-optic effect and optical third order nonlinearity in nc-Si

embedded in a silicon-nitride film, Optics Express, Vol. 16, No. 22, pp. 18390-18398, 2008.

8.- Torres-Torres, J. A. y Boullosa, R. R. Influence of the bridge on the vibration of the top plate

of a classical guitar, , Applied Acoustics, Vol. 70, pp. 1371-1377, 2009.

9.- Khomenko, A. V. y Torres-Torres, C., Optical Kerr effect in photorefractive Bi12SiO20

crystal, No. 4, Vol. 49, Journal of Physics of Ukrania, Naukova Dumka, Ukraine, pp. 371-

377, 2004.

10.- Reyes-Esqueda, J. A., Torres-Torres, C., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-

Fernández, L., Noguez, C. y Oliver, A., Large optical birefringence by anisotropic silver

nanocomposites, Optics Express, No. 2, Vol. 16, pp. 710-717, 2008.

11.- López-Suárez, A., Torres-Torres, C., Rangel-Rojo, R., Reyes-Esqueda, J. A., Santana, G.,

Ortíz, A., Alonso, J. C. y Oliver, A., Modification of the nonlinear optical absorption and

optical Kerr response exhibited by nc-Si embedded in a silicon-nitride film, Optics Express,

Vol. 17, No. 10056, 2009.

12.- Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A.,

Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández, L., López-Suárez, A. y Oliver,

A., Large and anisotropic third-order nonlinear optical response from anisotropy-controlled

metallic nanocomposites, Optics Communications, Vol. 282, pp. 4157-4161, 2009.

13.- Reyes-Esqueda, J. A., Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C.,

Santiago-Ramírez, A. L., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández, L.,

López-Suárez, A. y Oliver, A. Anisotropic linear and nonlinear optical properties from

anisotropy-controlled metallic nanocomposites, Optics Express, No. 12849, Vol. 17, 2009.

14.- Trejo-Valdez, M., Torres-Martínez, R., Peréa-López, N., Santiago-Jacinto, P. y Torres-

Torres, C., Contribution of the two-photon absorption to the third order nonlinearity of Au

nanoparticles embedded in TiO2 films and in ethanol suspension, Journal of Physical

Chemistry C, Ed. in press, 2010.

15.- Garcia-Weidner, A., Torres-Torres, C., Khomenko, A. V. y Garcia-Zárate, M. A.,

Polarization insensitive linear intensity modulation in a Sagnac fiber-optic loop with an

Introducción xvii


electro-optic cell and optoelectronic feedback, Optics and lasers in engineering, Vol. 39, pp.

567-579, Junio 2003.

16.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V.; Tamayo-Rivera, L.; Rangel-Rojo, R.; Mao, Y.;

Watson, W. H. Measurements of nonlinear optical refraction and absorption in an amino-

triazole push-pull derivative by a vectorial self-diffraction method, Optics Communications,

Vol. 281, pp. 3369–3374, 2008.

17.- Torres-Torres, C., Trejo-Valdez, M., Sobral, H., Santiago-Jacinto, P., Reyes-Esqueda, J. A.,

Stimulated emission and optical third order nonlinearity in Li-doped ZnO nanorods, Journal

of Physical Chemistry C, No. 13515, Vol. 113, 2009.

Simbología xviii


SIMBOLOGÍA

P Fuerza o carga

V Carga cortante

σ Esfuerzo normal

τ Esfuerzo cortante

A Área

D Diámetro

C Centro del círculo de Mohr

R Radio del círculo de Mohr

θ Ángulo entre el plano del esfuerzo principal y el esfuerzo normal

Sy Límite de la cedencia a la tensión

ε Deformación unitaria

E Modulo de Young

ν Razón de Poisson

l Longitud a una determinada carga P

l0 Longitud inicial

δ Deformación

∆δ Incremento en la deformación

E Campo eléctrico

B Campo magnético

ε0 Permitividad del vacío

μ0 Permeabilidad del vacío

∇ Gradiente

∇2 Operador Laplaciano

λ Longitud de onda

∆φ Ángulo de desfasamiento

m Número de transiciones franja de interferencia.

d Desplazamiento

Capítulo I Generalidades

En este apartado se lleva a cabo un análisis sobre algunos métodos de medición de deformaciones aplicados a los ensayos mecánicos de materiales. Se realiza una breve descripción de su funcionamiento, así como sus principales ventajas y desventajas.

Capítulo I 2


I.1. Introducción

En general, en toda actividad encuadrada dentro del análisis experimental de estructuras se

pretende determinar el comportamiento resistente de un elemento o parte estructural mediante la

medida de una serie de magnitudes físicas. Estas representan, por una parte, las acciones

actuantes sobre ella, y por otra, su respuesta frente a dichas acciones exteriores [I.1].

Se supone que un cuerpo está formado por partículas pequeñas o moléculas entre las cuales

actúan fuerzas. Estas fuerzas moleculares se oponen a cambios de forma del cuerpo cuando sobre

él actúan fuerzas exteriores. Si un sistema exterior de fuerzas se aplica al cuerpo, sus partículas se

desplazan y estos desplazamientos mutuos continúan hasta que se establece equilibrio entre el

sistema exterior de fuerzas y las fuerzas interiores. Se dice en este caso que el cuerpo está en

estado de deformación (Figura I.1) [I.2].

Figura I.1. Cuerpo en estado de deformación

En el caso de pequeñas deformaciones, se comprueba que en la mayoría de los materiales, el

proceso de deformación es reversible, cuando se habla sobre el comportamiento. Asimismo se

verifica en casi en todos los materiales elásticos la proporcionalidad entre tensiones y

deformaciones (comportamiento elástico lineal) [I.3].

Capítulo I 3


En la zona elástica de los materiales, las tensiones son proporcionales a los alargamientos

unitarios, lo cual se conoce como la ley de Hooke, la cual es una característica de los materiales

que es determinada, principalmente, mediante pruebas a tensión. Además de que en la zona

plástica del material, pueden ser ubicados el punto de cedencia, el esfuerzo último y el punto de

ruptura del material [I.4].

Las técnicas experimentales para la determinación de esfuerzos están comprendidas en dos

grandes grupos [I.5]:

Métodos punto por punto.- Donde se miden esfuerzos o corrimientos en posiciones

seleccionadas.

Métodos de campo total.- Los cuales miden en una región determinada.

A continuación se presenta en forma detallada cada uno de los métodos utilizados para la

determinación de esfuerzos y deformaciones.

I.2. Métodos punto por punto

Dentro del grupo de determinación de esfuerzos de métodos punto por punto se encuentran las

siguientes acepciones. Probablemente los métodos aquí presentados son los más utilizados por el

sector industrial y científico.

I.2.1. Extensometría mecánica

La aplicación de la extensometría mecánica es utilizada por medio de instrumentos de medición

que evalúan el corrimiento relativo entre dos puntos, siendo la distancia entre estos dos puntos la

llamada o conocida como longitud del extensómetro [I.5-I.7].

La operación típica de este tipo de aparatos se lleva a cabo por medio de apoyarse en dos puntos

fijos de la estructura, que constituyen los extremos de longitud del extensómetro. Por lo general

la oscilación entre los puntos de referencia se encuentra entre 5 a 200 cm. Durante la aplicación

de la carga, uno de los pivotes se mantiene fijo y el otro móvil, donde este último transmite la

Capítulo I 4


variación de la longitud a un arreglo de engranes, el cual a su vez amplifica la lectura y la

transfiere a un indicador de aguja (Figura I.2).

Figura I.2. Extensómetro mecánico [I.6].

a) Esquema de funcionamiento, b) Extensómetro MK3

Este tipo de dispositivos mecánicos cuentan con numerosas ventajas, dentro de las cuales están la

estabilidad y portabilidad del instrumento. Asimismo, las mediciones no se ven afectadas por

factores ambientales (como ruido, la temperatura y humedad). Sin embargo, sus principales

desventajas presentan la lentitud en la adquisición de datos, la ausencia de un registro automático

de lecturas y en determinadas circunstancias, la precisión de la lectura depende en la

visualización por medio del personal que realiza el procedimiento experimental.

I.2.2. Extensometría óptica

La extensometría óptica se encuentra fundamentada en instrumentos de medición de una gran

precisión [I.8]. Este tipo de instrumentos son utilizados en ensayos experimentales que requieran

la toma de lecturas con valores de gran exactitud. Dentro de los instrumentos ópticos de

medición, el más conocido es el de espejos de Martens (Figura I.3).

a) b)

Capítulo I 5


Los extensómetros ópticos se aplican por medio de la utilización de las leyes físicas pertinentes,

con lo que son capaces de obtener lecturas amplificadas de magnitudes pequeñas. Las mediciones

que se pretenden obtener, pueden ser deformaciones o elongaciones de los cuerpos sometidos a la

acción de agentes externos durante el periodo elástico o elasto-plástico del material.

Figura I.3. Extensómetro de espejos de Martens

Actualmente existen extensómetros ópticos que utilizan el mismo principio, con mejoras

tecnológicas muy superiores que permiten realizar las mediciones sin necesidad de hacer contacto

con la pieza ensayada y en rangos de elongaciones altas con rangos que están cerca de los 0.15

μm (Figura I.4) [I.9]. Son extensómetros de alta precisión, sin embargo, el precio de estos

equipos es alto.

Figura I.4. Extensómetro sin contacto [I.9]

Capítulo I 6


I.2.3. Extensómetros eléctricos

Los instrumentos de medición que utilizan la medición de la resistencia eléctrica se basan en la

medida de la variación de esta resistencia, inductancia o capacidad en un transductor para medir

eléctricamente el desplazamiento [I.10, I.11]. Un ejemplo de este tipo de instrumentos son las

galgas extensométricas, las cuales son una serie de transductores de deformación que basan su

funcionamiento en la variación de la resistencia de un hilo o lámina de material conductor en

función de su deformación (Figura I.5).

Figura I.5. Ilustración de una galga extensométrica

Las galgas extensométricas al ser aplicadas en la superficie de un componente, deben ser

instaladas con una orientación y posición previamente determinada. La orientación y posición de

la galga extensométrica influencian directamente al tipo de medición que se va a determinar.

Asimismo, la geometría de la pieza a evaluar, como la dirección en la que se requieren realizar la

medición determinará el valor de la evaluación que se desea determinar. Es muy importante hacer

notar, que la galga extensométrica estará ligada a cualquier tipo de deformación y esfuerzo que

sufra el componente a evaluar. Las mediciones que la galga extensométrica realiza, son de

carácter de variaciones de resistencia eléctrica, las cuales se pueden medir mediante un puente de

Wheatstone y son convertidas en mediciones en deformaciones unitarias. Por lo que por medio de

relaciones Matemáticas y Físicas básicas pueden ser fácilmente transformadas en deformaciones,

elongaciones y cargas. También, es muy importante comentar, por medio de la utilización de

galgas extensométricas es posible determinar una gran variedad de funciones o parámetros. Sin

embargo, la aplicación de las galgas extensométricas está fundamentada a las condiciones de la

eléctrica para su óptimo funcionamiento y aplicación es de la barra (Figura I.6).

Capítulo I 7


Figura I.6. Galga extensométrica aplicada en un componente

Las principales ventajas de este tipo de metodologías son la sensibilidad en el equipo que se

emplea y la precisión que es posible obtener en la realización de las mediciones. Asimismo, es

relevante indicar que las mediciones están enfocadas a un solo punto en el componente, por lo

que el dato que se obtiene es un promedio del área que cubre la galga extensométrica. Además,

por medio de la utilización de las galgas extensométricas existe la posibilidad de automatizar el

proceso de toma de mediciones. Sin embargo, su principal inconveniente es su susceptibilidad en

la toma de mediciones que ocasiona el cambio de humedad del medio ambiente.

I.2.3.1. Transductor de capacidad variable

Las técnicas capacitivas, como su nombre lo indica, se basan en la medida del cambio en la

capacitancia entre dos electrodos cuando uno de ellos se desplaza o deforma debido a la fuerza

aplicada. El tamaño y geometría de los electrodos depende de la aplicación particular, pero

usualmente el sensor se compone de un condensador de dos placas paralelas. Hay diferentes

formas de medir el cambio inducido en una capacitancia [I.12].

A manera de ejemplo esta técnica se ilustra en la Figura I.7, la cual corresponde un sensor

infrarrojo miniaturizado basado en el principio de la celda de Golay desarrollado en la

Universidad de Osaka, Japón. A la izquierda aparecen los niveles de los que consta este prototipo

y a la derecha se ve la sección transversal del dispositivo. El sensor consta de una cámara de gas

y un capacitor plano paralelo [I.12].

Capítulo I 8


Figura I.7. Sensor infrarrojo y de gases basado en el principio de la celda de Golay [I.13]

Los transductores de capacidad variable ofrecen, sobre los demás tipos de componentes de

medición, la ventaja de simplicidad mecánica en el funcionamiento. En cambio, el circuito de

medición que utilizan es mucho más complicado, debido principalmente a su elevada

impedancia. La impedancia que se utiliza es considerablemente más alta, en relación a la que

ofrecen la mayoría de instrumentos comerciales indicadores o registradores. Esta elevada

impedancia da lugar también a dificultades asociadas al movimiento de los conductores o al

acercamiento de personas [I.5].

I.3. Métodos de campo total

Estos métodos determinan las deformaciones o corrimientos de una zona calibrada, generalmente

de una probeta o modelo del mismo material que la pieza a analizar, sometida a cargas para la

obtención de datos que proporcionen información sobre su comportamiento real.

Capítulo I 9


I.3.1. Recubrimientos quebradizos

Este tipo de técnica para la medición, consiste principalmente en recubrir la pieza que se quiere

evaluar mediante un barniz con características especiales [I.15, I.16]. El barniz al tiempo de

secarse acompañará a la pieza en cualquier tipo de deformación superficial que esta pueda sufrir.

La medición se realiza por medio de observar en desarrollo y crecimiento de las grietas que se

presentan en la capa de barniz y proporcionará la información necesaria sobre el estado de

deformación en los puntos específicos de la superficie del componente que se está ensayando

(Figura I.8).

Figura I.8. Método de recubrimientos quebradizos

El espesor del recubrimiento del barniz suele variar de entre 0.10 a 0.15 mm. En el desarrollo

teórico de este método, se admiten las hipótesis de que el barniz al ser aplicado no disminuye la

capacidad de deformación de la pieza y que el estado de deformación superficial de ésta se

manifiesta de forma idéntica con el barniz en la superficie.

El valor necesario de la deformación para originar uno de estos agrietamientos, depende en gran

medida de la composición de la laca que se utiliza y de las condiciones en las que se aplicó dicho

compuesto. En la actualidad, se disponen de lacas destinadas a romperse a deformaciones

unitarias de valor de 5x10-5. El método resulta muy adecuado para un análisis cualitativo, ya que

se ve afectada por variaciones pequeñas de la temperatura, humedad u otras variables que se

escapan del dominio del experimentador (Figura I.9).

Capítulo I 10


Figura I.9. Componente con laca agrietada

I.3.2. Método de franjas de moiré

El método de franjas de moiré está fundamentado en la medición de superficies. A la superficie

de un componente se fija una reja consistente en barras y rendijas paralelas equidistantes de

constante de reja p (líneas/unidad de longitud).

Sobre la superficie se proyecta o coloca una reja de referencia igual a la anterior. Si son paralelas

las rejas de referencia y modelo, y coinciden las barras de ambas, cuando se deforma la reja

modelo perpendicularmente a las barras aparecerán bandas obscuras que corresponden a aquellas

posiciones en las cuales las rendijas de la reja de referencia quedan oscurecidas por las barras de

la reja deformada (Figura I.10) [I.3, I.5, I.17, I.18, I.19].

Figura I.10. Método de cuadrante de moiré [I.20]

Capítulo I 11


Los patrones moiré pueden ser definidos como la superposición de dos ondas planas en ángulo

entre sus direcciones de propagación. En las regiones en que las dos ondas están en fase, ocurre

una interferencia constructiva, resultando en franjas claras y donde ellas están fuera de fase se

generan franjas oscuras, debido a la interferencia destructiva [I.21].

Debido a la capacidad de este método a la variación de su sensibilidad, puede ser empleado en la

medición de grandes deformaciones; esto se logra variando el arreglo de las líneas de

interferencia y empleando el procesamiento digital de los patrones de interferencia. La cantidad

de franjas de interferencia que se pueden emplear depende directamente del sistema de detección

de las mismas, dado que no se puede exceder la capacidad del mismo.

Los errores de perspectiva o de paralaje afectan de manera significativa sobre este método, por lo

que se recomienda el uso de sistemas telecéntricos (Figura I.11).

La Figura I.11 muestra la trayectoria del rayo principal (rojo) en dos sistemas formados por un

diafragma y una lente.

Figura I.11. Trayectoria del rayo principal: a) sistema telecéntrico; b) sistema no telecéntrico

Capítulo I 12


La Figura I.11a corresponde a un sistema telecéntrico, mientras que la Figura I.11b corresponde a

uno que no lo es. En el caso del sistema telecéntrico el rayo principal, a la salida del sistema, es

paralelo al eje, lo que significa que dicho rayo intersectará a la pantalla donde se capta la imagen

siempre a la misma altura aunque no esté siempre perfectamente enfocada [I.22].

Cuando el sistema no es telecéntrico (Figura I.11b), el rayo principal a la salida del sistema no es

paralelo al eje. En consecuencia, una variación en la posición de la pantalla donde se capta la

imagen comporta una variación de enfoque y una variación en el tamaño de la imagen [I.22].

Concretamente los sistemas telecéntricos son un arreglo de lentes en los cuales todos los rayos

incidentes son colimados, con lo cual los elementos pueden ser observados del mismo tamaño,

independientemente de la posición del punto de observación.

I.3.3. Fotoelasticidad

La técnica experimental conocida como fotoelasticidad proporciona información sobre los

niveles de esfuerzo presentes en los materiales, sobre todo cuando se trata de un análisis de

concentración de esfuerzos [I.23 - I.26].

El principio básico de la fotoelasticidad se debe al descubrimiento efectuado por David Brewster

en 1816. Utilizando una pieza de vidrio cargada y haciendo pasar a través del vidrio luz

polarizada, observó que aparecía un contorno coloreado causado por las tensiones presentes en la

pieza.

Existen dos maneras de realizar las pruebas de fotoelasticidad: por transmisión y por reflexión; en

el primero, se utiliza un modelo transparente de caras planas paralelas entre sí, que reproduce el

cuerpo en estudio o uno a escala, sometiéndole en su contorno a un sistema de fuerzas paralelas a

las caras planas del modelo, que se rige por las leyes de semejanza respecto al sólido real (Figura

I.12).

Capítulo I 13


Cuando se observa a través del polariscopio, los esfuerzos a los que se encuentra sometida la

pieza se muestran en una distribución de colores, cada uno de los cuales corresponde a un valor

de la Tabla I.1.

Figura I.12. Patrones de colores en una prueba de fotoelasticidad

El segundo método es el de fotoelasticidad por reflexión. Con este método no es necesario

construir un modelo de la parte que se desea analizar, ya que es la misma pieza la que se utiliza.

Sobre ella y en la zona que interese se adhiere una capa delgada de material birrefringente

(Figura I.13).

Figura I.13. Barra de acero con cubierta de resina fotoelástica, sometida a flexión

El método necesita utilizar un polariscopio especial de reflexión (Figura I.14) que permite

observar los fenómenos fotoelásticos, ya que el material de la pieza que analicemos será, por

regla general, opaco [I.3].

Capítulo I 14


Figura I.14. Polariscopio portátil de reflexión

Tabla I.1. Patrones de color para pruebas de fotoelasticidad

Color Retardación relativa aprox. Orden de

franja (N) nm 10-6 in

Negro 0 0 0

Amarillo pálido 345 14 0.6

Rojo degradado 520 20 0.9

Transición rojo/azul 575 22.7 1

Azul-verde

700 28 1.22

Amarillo 800 32 1.39

Rojo-rosado 1050 42 1.82

Transición rojo/verde 1150 45.4 2

Verde 1350 53 2.35

Amarillo 1440 57 2.50

Rojo 1520 60 2.65

Transición rojo/verde 1730 68 3

Verde 1800 71 3.10

Capítulo I 15


Como la técnica requiere la utilización de fuentes luminosas existen algunas consideraciones

ópticas. Esta técnica ha servido para determinar niveles de esfuerzo sobre distintos materiales

utilizando algunas propiedades ópticas. Es en cierta forma una herramienta alterna al uso de

extensometría, para conocer niveles de esfuerzo presentes sobre distintos elementos mecánicos.

Al trabajar con modelos a escala de los reales, se pueden obtener las distribuciones de esfuerzos a

los que estará sometido el elemento original. También es un método ideal para conocer las

distribuciones de esfuerzos en análisis de fractura, además de ser económico en cuanto a los

prototipos se refiere.

Su principal desventaja es la dificultad al maquinar los modelos, dado que el material es

susceptible a ser deformado debido al calor generado por el maquinado, lo que puede generar que

un modelo presente patrones de colores aun sin ser deformado.

I.3.4. Interferómetros y hologramas láser

Los interferómetros ópticos se emplean para medir la deformación de placas planas y pulidas y

las variaciones de espesor de modelos fotoelásticos transparentes. Recientemente se han

sustituido los focos luminosos convencionales por fuentes de luz láser, y los interferómetros

presentan ciertas ventajas sobre otros tipos.

Sobre una placa fotográfica se reproduce una figura de interferencias, llamada holograma (Figura

I.15), la cual representa la interferencia entre la luz reflejada por el cuerpo deformado y un haz de

referencia procedente del propio foco [I.27-I.29].

Capítulo I 16


Figura I.15. Hologramas láser [I.30]

Otros sistemas permiten determinar las tensiones principales individualmente, mediante la

medida punto por punto de la diferencia de caminos ópticos con la utilización de un

interferómetro.

I.3.4.1. Interferometría

La interferometría óptica es una técnica basada en la naturaleza ondulatoria originada por la

superposición de haces de luz. Este tipo de técnica permite realizar medidas precisas de las

formas o de las distancias, ya que proporciona una resolución extraordinaria y no requiere una

invasión física directa con la superficie sometida a estudio [I.30].

Cabe recordar que la expresión matemática que describe la perturbación óptica es una ecuación

diferencial que obedece al principio de superposición. La interferencia óptica se puede expresar

como la interacción vectorial de dos o más ondas de luz que producen una intensidad resultante,

la cual es diferente de la suma escalar de las intensidades componentes [I.8].

Capítulo I 17


Un rayo de luz es una onda electromagnética, de campos E y B variables. Cuando dos rayos de

luz se encuentran, los campos se superponen, y en cada punto del espacio el vector E o B será la

suma vectorial de los campos de los rayos individuales.

Si los dos haces de luz provienen de fuentes distintas, en general no existe relación constante

entre los campos de cada haz y se dice que los haces no son coherentes, de manera que cuando

estos se superponen el campo resultante oscila con el tiempo, y el ojo humano percibe una

intensidad promedio uniforme.

Thomas Young fue el primero en diseñar un método para producir y visualizar los máximos y

mínimos de intensidad descritos anteriormente (Figura I.16). La luz que, procedente de una

misma fuente, llega a una pantalla tras haber atravesado dos rendijas estrechas y juntas, forma un

patrón regular de bandas brillantes y oscuras. Este patrón de interferencia constituyó una

evidencia concluyente de la naturaleza ondulatoria de la luz. La doble rendija de Young es el

primer y más simple interferómetro. Por una parte, si el espacio entre las rendijas es conocido, el

espaciado entre los máximos y mínimos interferenciales permite medir la longitud de onda. Por

otra parte, si se conoce la longitud de onda, se puede determinar el espaciado entre las rendijas

[I.32].

Figura I.16. Experimento de la doble rendija de Thomas Young [I.30].

Capítulo I 18


I.3.4.2. Interferómetro de Michelson

Un importante dispositivo experimental que utiliza la interferencia es el interferómetro de

Michelson. Hace un siglo, este aparato aportó uno de los puntales experimentales clave de la

teoría de la relatividad.

En tiempos más recientes, se han utilizado interferómetros de Michelson para realizar mediciones

precisas de longitudes de onda y de distancias muy pequeñas, como los minúsculos cambios de

espesor de un axón cuando un impulso nervioso se propaga a lo largo de ellos.

Al igual que el experimento de Young de las dos ranuras, un interferómetro de Michelson toma

luz monocromática de una sola fuente y la divide en dos ondas que siguen caminos diferentes. En

el experimento de Young, esto se hace enviando parte de la luz a través de una ranura y parte a

través de otra. En los interferómetros de Michelson se emplea un dispositivo llamado divisor de

haz. En ambos experimentos hay interferencia cuando se combinan de nuevo las dos ondas

luminosas (Figura I.17).

Figura I.17. Patrón de interferencia obtenido del interferómetro de Michelson

Aunque inicialmente Michelson diseñó este interferómetro en 1881 para detectar el éter, una vez

que fue imposible demostrar su existencia, este dispositivo ha sido utilizado para medir

longitudes de onda o para, conocida la longitud de onda de una fuente emisora, medir distancias

muy pequeñas o índices de refracción de distintos medios.

Capítulo I 19


I.3.4.3. Patrones de moteado (speckle)

Denominamos speckle, a la distribución de intensidad al azar que se forma cuando la luz

coherente se refleja en una superficie rugosa a escala de la longitud de onda o se propaga a través

de un medio con fluctuaciones del índice de refracción (Figura I.18) [I.35].

Figura I.18. Generación de patrones de moteado (speckle)

Desde los inicios del uso del láser HeNe, se ha conocido al moteado, al principio fue considerado

ruido en las mediciones, y se idearon múltiples formas para su eliminación, pero tiempo después

se observó que el patrón de manchas generado era inherente a la superficie que lo generaba

(Figura I.19).

Figura I.19. Patrón de moteado

Capítulo I 20


Esta técnica basa la medición de deformaciones mediante el cambio de patrones de moteado,

dado que si la superficie cambia su forma, también lo hará el moteado y para la medición de

variaciones se emplea el procesamiento digital de imágenes para la evaluación de los esfuerzos,

haciendo comparaciones entre una imagen del estado inicial del patrón (sin carga) y el sucesivo

cambio de este a través de la aplicación de cargas.

I.5. Sumario

En el presente capítulo se clasificaron y explicaron brevemente distintos métodos de medición de

deformaciones en pruebas mecánicas, para la determinación experimental de esfuerzos en campo

total y punto por punto, así como sus principales ventajas y desventajas. También se incluyó una

elemental introducción sobre el estudio de métodos interferométricos, lo cual da pie al análisis

del interferómetro de Michelson como método de medición de deformaciones.

I.6. Referencias

I.1.- Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, Ed. Dover Edition, pp. 1-6, 1983.

I.2.- Timoshenko, S. P., Resistencia de Materiales, Vol. I, Ed. Espasa-Calpe, Madrid, pp. 1-9,

1957.

I.3.- Ortíz-Berrocal, L., Elasticidad, 3ra. Edición, Ed. McGraw-Hill, Madrid, pp. 1-11, 1998.

I.4.- Gere, J. M. y Goodno, B. J., Mecánica de Materiales, 7ª. Edición, Ed. CENGAGE, pp. 27-

29, 2009.

I.5.- Dugdale, D. S. y Ruiz, C., Elasticidad para Técnicos, Ed. Reverté, Barcelona, pp. 305-329,

1973.

I.6.- Calle-Trujillo, G. y Henao-Castañeda, E. de J., El extensómetro, Laboratorio de Resistencia

de Materiales, Ed. Universidad Tecnológica de Pereira,

http://www.utp.edu.co/~gcalle/Contenidos/Extensometro.htm, 2010

I.7.- Boylestad, R. L., Introducción al análisis de circuitos, 10ª. Edición, Ed. Pearson Educación

México, pp. 89, 2004.

I.8.- Zwick/Roell, http://www.zwick.es/es/productos/extensometros/extensometros-sin-contacto

.html, 2010.

I.9.- Corz-Rodríguez, A. y García-Sánchez, F., Extensometría y fotoelasticidad, Ed. CPC, 1997.

Capítulo I 21


I.10.- Lombillo, I., Villegas, L., Silió, D., Hopp.e, C. y Gted-UC, Evaluación no destructiva del

patrimonio construido, Revista Internacional Construlink, Vol. 6, No. 16, pp. 40-53, 2008.

I.11.- Pallás-Areny, R., Sensores y Acondicionadores de Señal, 4ª. Edición, Ed. Marcombo, pp.

60-68, 2003.

I.12.- Duarte, J., Fernández, F., y Moreno Sereno, M., Técnicas de medida para pequeños

desplazamientos, Dyna, Vol. 76, No. 158, pp. 167-176, 2008.

I.13.- Yamashita, K., Miniaturized infrared sensor using silicon diaphragm based on Golay cell,

Sensors and Actuators A: Physical, Vol. 66, No. 1-3, pp. 29-32, 1998.

I.14.- Albert A. L., Electrónica y Dispositivos Electrónicos, Ed. Reverté, Barcelona, pp. 160,

2005.

I.15.- Schweigger, E., Manual de Pinturas y Recubrimientos, Ed. Diaz de Santos, pp. 184-186,

2005.

I.16.- Misra, A. y Nastasi, M., Fundamental aspects of residual stress evolution in thin metal

films during energetic particle deposition: Adhesion Aspects of Thin Film, Vol. 1, Ed. K. L.

Mittal, pp. 17-29, 2001.

I.17.- Amidror, I., The Theory of the Moiré Phenomenon, Vol. II, Aperiodic Layers, Ed. Springer,

pp. 1-32, 2007.

I.18.- Walker, C. A., Handbook of Moiré Measurement: A brief history of the Moiré method, Ed.

Institute of Physics, pp. 1-2, 2004.

I.19.- Post, D., Han, B. y Ifju, P., High Sensitivity Moiré; Experimental Analysis for Mechanics

and Materials, Ed. Springer, pp. 135-226, 1994

I.20.- Kang, H. R., Color; Technology for Electronic Imaging Devices, Ed. Society of photo-

optical instrumental engineering, pp. 251, 1997.

I.21.- Malacara, D., Optical Shop Testing, 2ª. Edición, Ed.Wiley-Interscience Publication, pp.

653-681, 1992.

I.22.- Sagrario Millan, M., Escofet, J. y Pérez, E., Óptica Geométrica, Ed. Ariel Ciencia,

Barcelona, pp.. 173-175, 2004.

I.23.- Ganesan, T. P., Model Analysis of Structures, Ed. United Press, pp.. 103-145, 2000.

I.24.- Hearn, E. J., Mechanics of Materials 2, 3ª. Edición, Ed. Butterworth-Heinemann, pp. 181-

193, 1997.

I.25.- Richards, R. Jr., Principles of Solid Mechanics, Ed. CRC Press LLC, pp. 120-124, 2001.

Capítulo I 22


I.26.- Jessop, H. T., Photoelasticity; Principles and Method, Ed. Dover, pp. 184, 1950.

I.27.- Ditchburn, R. W., Óptica, 3ª. Edición, Ed. Reverté, pp. 353-392, 1982.

I.28.- Flores, N. E. y Figueroa, J. E., Física Moderna, Ed. Pearson, Prentice Hall, pp. 159-180,

2007.

I.29.- Rodríguez, J., Fernández, S. y Virgós, J. M., Óptica Intregada; Primeros Pasos,

Fundamentos Teórica y Aplicaciones, Ed. Servicio de Publicaciones de la Universidad de

Oviedo, pp. 9-22, 1992.

I.30.- Hecht, E., Optics, 4ª. Edición, Ed. Addison Wesley, San Francisco, USA, pp. 393-409,

2002.

I.31.- Física; Diccionario Oxford-Complutense, Ed. UCM, pp. 278, 1998.

I.32.- Bernardo, L. M., Historias da Luz e das Cores, 2ª. Edición, Ed. Editora da Universidade do

Porto, pp. 574, 2009.

I.33.- Rodríguez-García, J. y Virgós-Rovira, J. M., Fundamentos de Óptica Ondulatoria, Ed.

Universidad de Ovieda, pp. 172-175, 1998.

I.34.- Serway, R. A. y Jewett, J. W. Jr., Física; Para Ciencias e Ingenieros, 6ª. Edición, Ed.

Thomson, pp. 490, 2008.

I.35.- Dainty, J., Laser Speckle and Related Phenomena, Ed. Springer-Verlag, 1984.

Capítulo II Marco teórico

Se presenta el desarrollo analítico de las ecuaciones sobre tracción mecánica e interferencias ópticas, necesarias para llevar a cabo la interpretación de las mediciones llevadas a cabo en el Capítulo III, como deformaciones mecánicas de campo completo.

Capítulo II 24


II.1. Tracción axial

Las propiedades de los materiales por lo regular suelen ser determinadas en base a los resultados

obtenidos durante alguna prueba. Las pruebas más confiables son de tipo destructiva y con

condiciones de carga controladas. La prueba más utilizada para caracterizar a un material es el

ensayo de tensión axial. En este tipo de procedimiento experimental, se utiliza una probeta

estandarizada (Figura II.1), la cual es maquinada a partir del material que se quiere analizar [II.1-

II.4].

Figura II.1. Probeta para ensayo a tensión

El espécimen de tensión estandarizado según la norma ASTM A 370, tiene un diámetro de 0.5

pulgadas (ó 12.5 mm) y una longitud calibrada de 2.0 pulgadas (ó 50 mm) entre las marcas de

calibración, que son los puntos donde se fijan los brazos del extensómetro al espécimen.

Al iniciar el ensayo para caracterizar el material, se mide y se registra la carga axial que

monotónicamente se aplica, ya sea en forma automática o leyendo algún tipo de indicador. En

forma simultánea se mide el alargamiento en la longitud calibrada con métodos mecánicos o con

extensómetros (deformímetros o calibradores de deformación) de resistencia eléctrica [II.5]. El

espécimen es tomado de los extremos y se le aplica una carga que se incrementa lentamente

(cuasiestática) hasta llegar a la ruptura, con lo cual se habrán obtenido resultados de deformación

con respecto a la carga aplicada, los cuales son de utilidad para determinar algunas de las

características principales del material [II.2].

Capítulo II 25


II.2. Esfuerzo

El esfuerzo (σ) es definido como la fuerza aplicada (P) por unidad de área (A) y en realidad es la

respuesta del material con respecto a una carga aplicada. La aplicación de la carga o fuerza por lo

regular es perpendicular al área. Sin embargo, también puede ser del tipo cortante. La fórmula

que define al esfuerzo en forma general es [II.1-II.4 y II.6]:

σ =PA

II.1

El área que se debe de considerar, se refiere al de la sección transversal del espécimen. Los

esfuerzos de tipo cortante (τ) corresponden a cargas que se desplazan de forma paralela al plano

del área en cuestión (V) [II.1-II.4 y II.6]:

τ =VA

II.2

II.2.1. Plano generalizado de esfuerzos

En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una función

continuamente variable dentro del continuo del material [II.1, II.5]. Cada elemento infinitesimal

en el material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo. Por lo que se debe

considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro de

la pieza [II.2]. El primer análisis se realiza con los vectores en un solo plano y sobre un elemento

(Figura II.2).

Figura II.2. Plano generalizado de esfuerzos

Capítulo II 26


Al analizar el plano, se tiene que los esfuerzos cortantes tienen una nomenclatura τxy, lo cual

indica que está actuando sobre la cara x con dirección paralela al eje y. Cada par de esfuerzos

cortantes deben ser iguales y de signos opuestos en cada plano. Esto para conservar el equilibrio

en el elemento [II.1].

II.2.2. Estado tridimensional de esfuerzos

Un elemento infinitesimal puede estar sometido a esfuerzos tridimensionales dependiendo de las

cargas a las que está sometido. Para efectos de análisis se considera al elemento como un cubo de

caras paralelas a un sistema de coordenadas x y z (Figura II.3), las cuales definen la dirección de

cada uno de los esfuerzos [II.2].

Figura II.3. Estado tridimensional de esfuerzos

De lo anterior se tienen las siguientes relaciones:

τ xy =τ yx II.3

τ xz =τ zx II.4

τ yz =τ zy II.5

Con lo cual se logra el equilibrio en el elemento.

Capítulo II 27


II.2.3. Esfuerzos principales

Durante el trabajo de diseño es importante la determinación de los valores máximos y mínimos

de esfuerzo sobre el material. Para un estado de esfuerzos en dos dimensiones, los esfuerzos

principales son obtenidos mediante la siguiente fórmula [II.1]:

σ max ,σ min =σ x +σ y

2±

σ x −σ y

2

2

+τ xy2 II.6

No existen esfuerzos cortantes sobre los planos de acción de los esfuerzos principales. Sin

embargo, existen esfuerzos cortantes en otros planos. El esfuerzo cortante máximo se calcula a

partir de [II.1]:

τ max =σ x −σ y

2

2

+τ xy2 II.7

El plano de acción del esfuerzo cortante máximo está orientado 45º del plano de los esfuerzos

principales [II.1].

II.3. Círculo de Mohr

El círculo de Mohr es una representación gráfica de los esfuerzos que emplea σ - τ como sistema

de coordenadas (Figura II.4) [II.1-II.2 y II.4-II.5]. Las coordenadas del centro del círculo (C)

quedan representadas de la siguiente manera [II.1]:

Cσ x +σ y

2,0

II.8

Capítulo II 28


Figura II.4. Círculo de Mohr

El radio (R) del mismo esta dado por [II.1]:

R=σ x +σ y

2

2

+τ xy2 II.9

Los esfuerzos principales σ1 y σ2 tienen un plano de acción ubicado a 2θ en relación al plano de

los esfuerzos σx y σy respectivamente.

II.4. Deformación

En la práctica, la medición de esfuerzos nunca se lleva a cabo directamente, sino que esta es

obtenida mediante la relación de las deformaciones respecto a las cargas aplicadas en una prueba

mecánica. Para ello se recurre al estudio de las deformaciones unitarias (ε), que son el cambio de

longitud por unidad de longitud [II.6, II.7]:

ε=l− lo

lo

II.10

Capítulo II 29


De la Ecuación anterior, l representa la longitud final del espécimen al aplicar cualquier carga P

(la deformación unitaria es adimensional), y l0 corresponde a su longitud inicial. Al graficar este

comportamiento, se obtiene el diagrama de esfuerzo-deformación [II.1 y II.2].

Figura II.5. Diagrama esfuerzo-deformación

II.5. Módulo de Young

En la curva de esfuerzo-deformación es posible determinar un cierto número de parámetros que

son útiles para la caracterización del material. El módulo de Young (E) proporciona el llamado

límite elástico, donde el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación, según queda

expresado en la ley de Hooke [II.1-II.2 y II.7],

E =σε

II.11

Donde E se encuentra definida como la pendiente de la curva esfuerzo-deformación hasta su

límite de proporcionalidad y se conoce como módulo de Young (o módulo de elasticidad del

material). El módulo de Young es una medida de la rigidez del material en su rango elástico y

tiene las unidades de esfuerzo. La mayor parte de los materiales exhiben este comportamiento de

rigidez lineal y sus módulos elásticos varían muy poco con tratamientos térmicos o al agregar

elementos de aleación [II.1, II.2].

Capítulo II 30


II.6. Ensayo a tensión

El ensayo a tensión es una de las pruebas más difundidas y de mayor uso para el análisis de las

propiedades de los materiales, debido a que la aplicación de la carga es esencialmente uniforme

sobre toda la sección recta del elemento. Como primer paso, se sujeta por los extremos una barra

de sección uniforme. Posteriormente se carga cuasiestáticamente sobre su eje longitudinal (Figura

II.6) [II.2-II.3].

Figura II.6. Barra de sección uniforme sometida a tensión axial

En este caso, en la Ecuación II.10 se puede considerar a l – l0 como una variación o incremento

en la longitud ∆δ y despejarla de la Ecuación.

olεδ =∆ II.12

La Ecuación de esfuerzo II.1 es empleada para sustituir su valor en II.11 y se despeja la

deformación unitaria ε.

AEP

=ε II.13

Por último se reemplaza la Ecuación II.13 en la Ecuación II.12 para dejarla en función de las

deformaciones.

AEPl

=∆δ II.14

Capítulo II 31


Con la Ecuación II.15, se muestra que es posible determinar una característica del material, como

lo es el módulo de elasticidad E, conociendo la longitud inicial del material, su elongación, la

carga aplicada y el área trasversal [II.1].

δ∆=

APlE II.15

Para el caso específico de tensión axial, el círculo de Mohr se simplifica, dado que no se

presentan esfuerzos cortantes ni a compresión, las ecuaciones pueden ser determinadas

fácilmente y los esfuerzos en la partícula quedan representados (Figura II.7) [II.2].

Figura II.7. Estado de esfuerzos de una partícula en una barra sometida a tensión axial

Donde:

AP

x=σ II.16

0===== yzxzxyzy τττσσ II.17

Los esfuerzos principales para este caso se deducen de la Ecuación II.6.

σ1 =σ x II.18

σ 2 =0 II.19

Capítulo II 32


Y determinando el centro del círculo y el radio con las ecuaciones II.8 y II.9 respectivamente, se

tiene,

( )0,xC σ II.20

R = σ x II.21

Expresado gráficamente el círculo de Mohr queda como se muestra en la Figura II.8.

Figura II.8. Círculo de Mohr para esfuerzos a tensión axial

II.7. Medición de desplazamientos con el interferómetro de Michelson

El interferómetro de Michelson es un dispositivo que presenta múltiples aplicaciones, aunque en

sus inicios fue diseñado para comprobar la existencia del éter. Es un mecanismo que hace

interferir dos haces de una misma fuente de luz y que presenta una muy alta sensibilidad a

cambios en su configuración, lo que nos permite emplearlo para realizar mediciones

II.7.1. Generalidades

La propagación de la luz puede describirse mediante teorías de rayos, de ondas o de fotones

[II.8]. La complejidad de la teoría utilizada debe satisfacer los efectos que desean estudiarse. En

Capítulo II 33


el desarrollo del presente trabajo se utiliza la teoría ondulatoria de la luz para analizar su

propagación.

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo crea un campo E

estático, pero ningún campo B; una carga puntual que se desplaza con velocidad constante crea

campos tanto E como B [II.9]. Lo anterior indica que para el caso dinámico, los campos no son

independientes uno del otro, Las derivadas del espacio y tiempo para medios libres de cargas y

corrientes pueden ser interrelacionadas de forma diferencia,

tBE

∂∂

−=×∇ 0µ II.22

tEB

∂∂

=×∇ 0ε II.23

La permeabilidad del vacío μ0 por definición tiene el valor exacto de 4πx10 -7 henries por metro

(H/m) y la permitividad del vacío ε0 cuyo valor es determinado por mediciones, es de 8.854x10-12

faradios por metro (F/m). Ahora los campos pueden ser separados tomando el operador rotacional

y la derivada con respecto al tiempo de otra, usando el hecho de que la diferenciación con

respecto al tiempo o el espacio puede ser invertido [II.10, II.11, II.12].

( ) 2

2

00 tEE

∂∂

−=×∇×∇ εµ II.24

( ) 2

2

00 tBB

∂∂

−=×∇×∇ εµ II.25

II.7.2. Solución de la Ecuación de la onda

Los fenómenos de electromagnetismo e inducción electromagnética, que condicionan este

proceso tienen su expresión matemática breve en las ecuaciones de Maxwell, que establecen la

relación entre las alteraciones de intensidad de los campos eléctrico (E) y magnético (B). Los

razonamientos de Maxwell en correspondencia con los datos experimentales muestran, que las

Capítulo II 34


direcciones de los vectores eléctrico y magnético resultan ser perpendiculares uno al otro y a la

dirección de propagación de la onda electromagnética. En el caso más simple de onda plana,

cuando la dirección de los ejes de las coordenadas es tal, que el campo eléctrico E está dirigido a

lo largo del eje z, y el campo magnético B, a lo largo del eje y, las ecuaciones de Maxwell tienen

la forma [II.11],

xE

tB

c ∂∂

−=∂∂µ II.26

xH

tE

c ∂∂

−=∂∂ε II.27

Al derivar la Ecuación II.26 respecto a x y la Ecuación II.27 respecto a t y eliminando B de ellas

encontraremos:

2

22

2

2

xEc

tE

∂∂

=∂∂

εµ II.28

Lo cual representa la Ecuación diferencial de las ondas que muestra que el campo eléctrico E se

propaga en el espacio a lo largo del eje x con una velocidad [II.10]:

εµcv = II.29

De esta manera, la solución de esta Ecuación puede ser expresada como [II.9]:

( )vtxfE −= II.30

Una conclusión análoga puede ser obtenida también para la magnitud del campo magnético B

[II.11].

Capítulo II 35


a) b)

II.7.3. Superposición de ondas

Esta propiedad, conocida como principio de superposición, sugiere que la perturbación resultante

en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas

empleando una fuente de luz láser, llevando a cabo la superposición de haces, los cuales tienden a

sumarse o eliminarse, llevando a cabo interferencias constructivas o destructivas, como se ilustra

en la Figura II.9 [II.10, II.11, II.13].

Figura II.9. Interferencia a) constructiva y b) destructiva. En ambas figuras la onda C es

producto de la suma de las ondas A y B

Existen diferentes intervalos durante los desfasamientos, para los cuales las interferencias no son

totalmente destructivas o constructivas, sino estados intermedios donde el producto de la

interferencia es la suma algebraica de las ondas en cada punto.

Recuérdese que se puede escribir una solución de la Ecuación diferencial de onda en la forma

[II.10]:

( ) ( )[ ]εω +−= kxtEtxE sin, 0 II.31

Capítulo II 36


Donde E0 representa la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo largo de la

dirección positiva del eje x. Alternativamente, si:

( ) ( )εεα +−= kxx, II.32

Entonces,

( ) ( )[ ]εαω ,sin, 0 xtEtxE += II.33

Supóngase que se tienen dos de tales ondas:

( ) [ ]1011 sin, αω += tEtxE II.34

y

( ) [ ]2022 sin, αω += tEtxE II.35

Las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiéndose en el espacio. La perturbación

resultante es la superposición lineal de estas ondas. Entonces

21 EEE += II.36

La perturbación total queda:

( ) tEtEE ωααω cossinsin 00 ++= II.37

( )αω += tEE sin0 II.38

La onda representada por la Ecuación II.38 es armónica y de la misma frecuencia que las

constitutivas aunque su amplitud y fase son diferentes [II.10].

Capítulo II 37


II.7.4. Interferómetro de Michelson

Este dispositivo toma un haz de luz monocromática y se hace pasar por un vidrio de caras

paralelas denominado divisor de haz; parte de la luz pasa a través del divisor hacia el espejo

móvil M1 y es regresada hacia el divisor, donde se refleja hacia la pantalla. La otra parte del haz

es reflejada del divisor hacia el espejo fijo M2 y devuelta a su vez hacia el divisor y proyectada

sobre la pantalla (Figura II.10).

Figura II.10. Interferómetro de Michelson

Para un análisis cuantitativo, el interferómetro sin la placa compensadora puede ser usado con

una fuente cuasi monocromática. La inclusión del compensador evita el efecto de dispersión, de

tal modo que aún una fuente con ancho de banda grande puede llegar a generar franjas

observables [II.10].

En el divisor de haz los dos haces reflejados se superponen y la interferencia entre estas dos

ondas se lleva a cabo, y esta será constructiva o destructiva dependiendo de la diferencia de

camino que hayan recorrido. Para hacer más visible la disposición de las franjas se utiliza un

lente divergente que magnifica el tamaño de la figura de interferencia. Moviendo el espejo M1

una distancia d en un cuarto de longitud de onda (λ/4), los haces en pantalla estarán en oposición

de fase (desfasados λ/2). De esta forma, tendremos un modelo de interferencia que volverá a ser

Capítulo II 38


como inicialmente cada vez que el espejo M1 se mueva un múltiplo de la mitad de la longitud de

onda de la luz utilizada. Contando el número de veces que el patrón de interferencia vuelve a ser

como inicialmente m, respecto a la distancia d, se puede calcular la longitud de onda λ de la luz

utilizada [II.10, II.11, II.13, II.14].

md2

=λ II.39

Si se conoce la longitud de onda utilizada, la Ecuación se puede utilizar para medir

desplazamientos de la siguiente manera:

2md λ

= II.40

Y más específicamente, el ángulo de desfase queda expresado por la siguiente Ecuación,

d22λπφ =∆ II.41

II.8. Sumario

En este capítulo se llevó a cabo el desarrollo de las fórmulas sobre tracción mecánica e

interferencias ópticas, que se emplearán en el análisis de los resultados de las mediciones,

realizadas con el interferómetro de Michelson y su respectiva interpretación a manera de

deformaciones mecánicas.

II.9. Referencias

II.1.- Kreith, F., Mechanical Engineering Handbook, Ed. CRC Press LLC, Boca Ratón, pp. 1-77,

1999.

II.2.- Norton, R. L., Diseño de Máquinas, Ed. Prentice Hall, México, pp. 57-63 y pp. 175-190,

1999.

II.3.- Shigley, J. E. y Mischke, C. R., Standard Handbook of Machine Design, 2ª Edición, Ed.

McGraw-Hill, New York, pp. 42-45 y 176-184, 1996.

Capítulo II 39


II.4.- Timoshenko, S. Resistencia de Materiales, Vol. I, Ed. Espasa-Calpe, Madrid, pp. 1-8,

1957.

II.5.- Gere, J. G., y Goodno, B. J., Mecánica de Materiales, 7ª Edición, Ed. Cengage Learning,

México, pp. 3-27, 2009.

II.6.- Dugdale, D. S. y Ruiz, C., Elasticidad para Técnicos, Ed. Reverté, Barcelona, pp. 13-20,

1973.

II.7.- Berrocal, O. L., Elasticidad, 3ª Edición, Ed. McGraw Hill, Madrid, pp. 1-23, 1998.

II.8.- Departamento de Física y Química del IES "Leonardo Da Vinci". Naturaleza dual de la luz.

[En línea] 1 de Marzo de 2010. [Citado el: 2 de Abril de 2010.]

http://intercentres.cult.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/Luz/Luz10.htm.

II.9.- Sears, F. W., y otros. Física Universitaria. 11ª Edición, Vol. I y II, Ed. Addison Wesley,

México, pp. 414-422, 1338-1358, 2007.

II.10.- Hecht, E., Optics. 4ª Edición, Ed. Addison Wesley, San Francisco, pp 10-26, 386-414,

2002.

II.11.- Landsberg, G. S. Óptica, Vol. I y II, Ed. Mir, Moscú , pp. 22-28, 139-142, 1976.

II.12.- Sirohi, R. S., Optical Methods of Measurement: Wholefield Techniques. 2ª Edición, Ed.

CRC Press, Boca Raton, pp. 13-25, 2009.

II.13.- Gil, S. y Rodríguez, E. Física Re-Creativa, Ed. Prentice Hall, Madrid, 2001.

II.14.- Duarte, J., Fernández, F., y Moreno S. M., Técnicas de medida para pequeños


II.15.- Rastogi, P. K., Topics in Applied Physics: Photomechanics. Vol. 77, Ed. Springer, Berlin,

pp. 9-18, 1999.

II.16.- Kreis, T., Handbook of Holographic Interferometry: Optical and Digital Methods, Ed.

Wiley, Weinheim, pp. 9-18, 2005.

II.17.- American Society for Testing and Materials. ASTM A 370 Standard Test Methods and

Definitions for Mechanical Testing of Steel Products. U.S.A. : ASTM, 2003.

II.18.- Rodrígues Vera, R., Rayas, J. A. y Dávila, A. Algunas aplicaciones industriales de la

interferometría electrónica de patrones de moteado, Centro de Investigaciones en Óptica,

Guanajuato, 2006.

II.19.- Hernández-Gómez, L. H., Sauceda-Meza, I., Urriolagoitia-Calderón, G., Balankin, A. S.,

Susarrey, O., Evaluation of crack initiation angle under mixed mode loading at diverse

Capítulo II 40


strain rates, Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 42, pp. 53-61, Septiembre

2004.

II.20.- Rodríguez-Cañizo, R. G., Hernández-Gómez, L. H. y Urriolagoitia-Calderón, G., Análisis

de la interaccion de grietas en placas, Revista Mexicana de Física, Vol. 51, México, pp.

5-10, 2005.

II.21.- Hernández-Gómez, L. H., Urriolagoitia-Calderón, G., Urriolagoitia-Sosa, G., Sandoval-

Pineda, J. M., Merchán-Cruz, E. A. y Guardado-García, J. F., Assessment of the structural

integrity of cracked cylindrical geometries applying the EVTUBAG program, Revista

Técnica Ingeniería de la Universidad de Zulia, Vol. 32, No. 3, pp. 190-199, 2009.

II.22.- Calle-Trujillo, G. y Henao-Castañeda, E. De J., El extensómetro. Laboratorio de

Resistencia de Materiales. [En línea] Universidad Tecnológica de Pereira, 18 de Agosto

de 2009, extrahído el 29 de Abril de 2010 de

http://www.utp.edu.co/~gcalle/Contenidos/Extensometro.htm.

II.23.- Ruiz B. R. y Pérez L. A., Interferómetro láser y conteo de franjas aplicado a la

calibración de acelerómetros y calibradores de vibraciones, Revista Mexicana de Física,

No. 4, Vol. 36, México, pp. 622-629, 1990.

II.24.- Catalunya, Univesitat Politècnica de. Servei de Biblioteques i Documentació, Extraído el

14 de Abril de 2010 de http://hdl.handle.net/2099.1/3257, 2004.

II.25.- Zwick Roell, Extraído el 14 de Abril de 2010 de

http://www.zwick.es/es/productos/extensometros/extensometros-sin-contacto.html.

II.26.- Garcia-Weidner, A., Torres-Torres, C., Khomenko, A. V. y Garcia-Zárate, M. A.,

Polarization insensitive linear intensity modulation in a Sagnac fiber-optic loop with an

electro-optic cell and optoelectronic feedback, Optics and lasers in engineering, Vol. 39,

pp. 567-579, Junio 2003.

II.27.- Khomenko, A. V. y Torres-Torres, C., Optical Kerr effect in photorefractive Bi12SiO20

crystal, No. 4, Vol. 49, Journal of Physics of Ukrania, Naukova Dumka, Ukraine, pp. 371-

377, 2004.

II.28.- Torres-Torres, C. y Khomenko, A. V., Autodifracción vectorial de dos ondas

degeneradas en medios con efecto Kerr óptico, Revista Mexicana de Física, Vol. 51,

No.2, pp. 162-167, 2005.

Capítulo II 41


II.29.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A.; Rodríguez-

Fernández, L., y Oliver, A., Absorptive and refractive nonlinearities by four wave mixing

in Au nanoparticles in ion-implanted silica, Optics Express, Vol. 15, pp. 9248-9253,

2007.

II.30.- Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A.,

Rodríguez-Fernández, L., y Oliver, A., Optical third order nonlinearity by nanosecond

and picosecond pulses in Cu nanoparticles in ion-implanted silica, Journal of Applied

Physics, Vol. 104, No. 014306, 2008.

II.31.- Torres-Torres, C., López-Suárez, A., Tamayo-Rivera, L., Rangel-Rojo, R., Crespo-Sosa,

A., Alonso, J. C. y Alonso, A., Thermo-optic effect and optical third order nonlinearity in

nc-Si embedded in a silicon-nitride film, Optics Express, Vol. 16, No. 22, pp. 18390-

18398, 2008.

II.32.- Torres-Torres, C., Khomenko, A. V.; Tamayo-Rivera, L.; Rangel-Rojo, R.; Mao, Y.;

Watson, W. H. Measurements of nonlinear optical refraction and absorption in an amino-

triazole push-pull derivative by a vectorial self-diffraction method, Optics

Communications, Vol. 281, pp. 3369–3374, 2008.

II.33.- Reyes-Esqueda, J. A., Torres-Torres, C., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A.,

Rodríguez-Fernández, L., Noguez, C. y Oliver, A., Large optical birefringence by

anisotropic silver nanocomposites, Optics Express, No. 2, Vol. 16, pp. 710-717, 2008.

II.34.- Torres-Torres, C., Trejo-Valdez, M., Sobral, H., Santiago-Jacinto, P., Reyes-Esqueda, J.

A., Stimulated emission and optical third order nonlinearity in Li-doped ZnO nanorods,

Journal of Physical Chemistry C, No. 13515, Vol. 113, 2009.

II.35.- López-Suárez, A., Torres-Torres, C., Rangel-Rojo, R., Reyes-Esqueda, J. A., Santana, G.,

Ortíz, A., Alonso, J. C. y Oliver, A., Modification of the nonlinear optical absorption and

optical Kerr response exhibited by nc-Si embedded in a silicon-nitride film, Optics

Express, Vol. 17, No. 10056, 2009.

II.36.- Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C., Reyes-Esqueda, J. A.,

Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández, L., López-Suárez, A. y

Oliver, A., Large and anisotropic third-order nonlinear optical response from anisotropy-

controlled metallic nanocomposites, Optics Communications, Vol. 282, pp. 4157-4161,

2009.

Capítulo II 42


II.37.- Reyes-Esqueda, J. A., Rodríguez-Iglesias, V., Silva-Pereyra, H. G., Torres-Torres, C.,

Santiago-Ramírez, A. L., Cheang-Wong, J. C., Crespo-Sosa, A., Rodríguez-Fernández,

L., López-Suárez, A. y Oliver, A. Anisotropic linear and nonlinear optical properties

from anisotropy-controlled metallic nanocomposites, Optics Express, No. 12849, Vol. 17,

2009.

II.38.- Torres-Torres, J. A. y Boullosa, R. R. Influence of the bridge on the vibration of the top

plate of a classical guitar, , Applied Acoustics, Vol. 70, pp 1371-1377, 2009.

II.39.- Trejo-Valdez, M., Torres-Martínez, R., Peréa-López, N., Santiago-Jacinto, P. y Torres-

Torres, C., Contribution of the two-photon absorption to the third order nonlinearity of

Au nanoparticles embedded in TiO2 films and in ethanol suspension, Journal of Physical

Chemistry C, Ed. in press, 2010.

II.40.- Torres-Torres, C., Morales-Bonilla, S., Muñoz-César, J., Trejo-Valdez, M., Urriolagoitia-

Sosa, G. y Urriolagoitia-Calderon, G., Profundímetro láser para monitoreo de inmersión

con equipo de buceo scuba con nanopartículas, Revista Científica, Ed. in press, 2010.

II.41.- Morales Bonilla, S. Evaluación de las propiedades ópticas de medios biológicos mediante

interferometría y sensores nanoestructurados, Tesis de Maestría, SEPI-ESIMEZ-IPN,

México, 2010.

II.42.- Urriolagoitia-Sosa, G., Urriolagoitia-Calderón, G., Sandoval-Pineda, J. M., Hernández-

Gómez, L. H., Merchán-Cruz, E. A., Rodríguez-Cañizo, R. G. y Beltrán-Fernández, J. A.,

Numerical evaluation of the crack compilance method (CCM) in beams with and without

prior history, Applied Mechanics and Materials, Ed. Trans Tech Publications, Vols. 13-

14, Switzerland, pp. 173-182, 2008.

Capítulo III Análisis experimental

En este Capítulo se presenta la descripción del experimento y el montaje del dispositivo, así como la obtención de los datos experimentales y la posterior interpretación de los desplazamientos a manera de deformaciones en una probeta sometida a tracción axial, por medio de la sustitución de ecuaciones, desarrolladas en el Capítulo II. Estas ecuaciones son utilizadas en el Capítulo IV para el desarrollo simulación numérica.

Capítulo III 44


III.1. Procedimiento experimental

En el desarrollo de este trabajo de tesis se implementará un interferómetro tipo Michelson para la

determinación experimental del desplazamiento.

III.1.1. Descripción de funcionamiento

En el interferómetro de Michelson en un principio la luz es dividida por una superficie

semiespejada (o divisor de haz) en dos haces. El primero es reflejado y se proyecta hasta el

espejo del cual vuelve, atraviesa la superficie semiespejada y llega al detector. El segundo rayo

atraviesa el divisor de haz, se refleja en un segundo espejo, para luego es reflejado en el

semiespejo hacia abajo y llega al detector. El espacio entre el semiespejo y cada uno de los

espejos se denomina brazo del interferómetro. Usualmente uno de estos brazos permanecerá

inalterado durante un experimento, mientras que en el otro se colocarán las muestras a estudiar.

Hasta la pantalla de observación llegan dos haces, que poseen una oposición de fase dependiendo

fundamentalmente de la diferencia de camino óptico entre ambos rayos. Esta diferencia puede

depender de la posición de los espejos o de la colocación de diferentes materiales en cada uno de

los brazos del interferómetro. Esta diferencia de camino hará que ambas ondas puedan sumarse

constructivamente o destructivamente, dependiendo de si la diferencia es un número entero de

longitudes de onda (0, 1, 2,...) o un número entero más un medio (0,5; 1,5; 2,5; etc.)

respectivamente.

En general se emplean lentes para ensanchar el haz y que sea fácilmente detectable por un

fotodiodo o proyectando la imagen en una pantalla. De esta forma el observador ve una serie de

anillos, y al desplazar uno de los espejos notará que estos anillos comienzan a moverse. En esta

forma se puede explicar la conservación de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en

regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía.

Dentro de las aplicaciones, generalmente cuando se monta un interferómetro de Michelson se

observa una figura de interferencia inicial. En esta no se puede determinar cuál es la diferencia de

camino, porque si se observa una suma constructiva sólo se puede inferir que la diferencia es

múltiplo de la longitud de onda. Por esto el interferómetro se usa para medir pequeños

desplazamientos. Una vez que se tiene una figura de interferencia inicial, al cambiar la posición

Capítulo III 45


de uno de los espejos se verá que las franjas de interferencia se mueven. Si se considera un punto

de referencia, por cada franja que lo atraviese se habrá movido el espejo una distancia

equivalente a una longitud de onda (menor al micrómetro).

Hacia fines del siglo XIX, para el experimento de Michelson y Morley, se utilizó la luz

proveniente de alguna estrella. Actualmente en cualquier laboratorio de enseñanza básico se

puede montar uno de estos interferómetros utilizando un láser con potencia suficiente para

obtener patrones de franjas perceptibles a simple vista.

III.1.2. Montaje del dispositivo

Para el desarrollo de este trabajo se utilizó un interferómetro tipo Michelson. Es tipo de equipo

está conformado por un láser cian de 10 mW de potencia, con una longitud de onda de 488 nm

como fuente de luz, utiliza un par de espejos los cuales están posicionados en planos

perpendiculares entre sí. De estos dos espejos, uno de ellos es móvil y están separados una

distancia l1 = l2 con respecto al centro del divisor del haz, con la finalidad de tener una diferencia

de camino óptico en cero (Figura III.1).

Figura III.1. Esquema del montaje del interferómetro de Michelson

Capítulo III 46


Este dispositivo responde a cambios existentes en el camino óptico de los brazos del

interferómetro. El camino óptico, se define como el producto del índice de refracción de la

trayectoria por la distancia que recorre el haz de luz [III.1, III.2]. De acuerdo a esto, cualquier

modificación en cuanto a la cantidad de recorrido que se tenga, ocasionará cambios en los

patrones de interferencia, asimismo también los cambios en el índice de refracción de la

atmósfera en los (cambios de temperatura, humedad, presión).

Cuando los espejos no están colocados perfectamente perpendiculares, en lugar de presentarse los

anillos de interferencia se observan franjas, sin embargo este efecto físico no influye en el

desarrollo del experimento y en la lectura de datos. Asimismo, cualquier cambio significativo en

el camino óptico de alguna de las trayectorias, ocasionará un cambio en el patrón de interferencia

resultante.

III.2. Desarrollo experimental

Los desplazamientos son datos que se pueden determinar a través del espejo móvil, con lo que es

posible conseguir una diferencia entre los caminos ópticos y así obtener patrones de franjas,

como se puede observar en la Figura III.2.

Figura III.2. Patrón de franjas obtenido en el interferómetro de Michelson

Con la finalidad de verificar y medir la sensibilidad del sistema de manera experimental, se

aplicaron desplazamientos sobre el espejo móvil con un micrómetro, el cual fue el aparato con el

Capítulo III 47


rango de medición mas pequeño que se pudo conseguir, procedimiento que se detalla más

adelante.

Para estar en condiciones de realizar las lecturas, el diámetro del haz es amplificado mediante una

lente y así poder visualizar las franjas de interferencia. Lo anterior se realiza sobre la pantalla,

donde ha sido colocada una hoja milimétrica para asistir a las mediciones y poder tomar puntos

de referencia en específico.

Al conocer la longitud de onda de la fuente empleada (488 nm), se puede emplear la Ecuación

II.39 (Capítulo II) para medir los desplazamientos d, dados sobre el espejo móvil M1. Se toma

como base un punto cualquiera en la pantalla y se identifica la posición respecto a la franja de

interferencia que se tiene (Figura III.3a).

Al realizar los desplazamientos del espejo móvil M1, se puede observar el corrimiento de las

franjas (Figura III.3b), por lo que los desplazamientos deben ser muy pequeños, para poder hacer

que una sola franja se traslade hasta la misma posición de la franja anterior, respecto a un punto

de referencia (Figura III.3c), con lo cual el valor de m será 1. Así sucesivamente se podrán

obtener sus valores subsecuentes.

Figura III.3. Corrimiento de una sola franja respecto al punto de referencia a) posición inicial, b)

transición de franja, c) ubicación de una nueva franja en el punto de referencia

Un resultado comparativo fue obtenido mediante este interferómetro en el trabajo [III.3]

cambiando el índice de refracción de uno de los brazos del interferómetro al introducir un

Capítulo III 48


portaobjetos de vidrio y observando el desplazamiento de las franjas, así mismo se verificó la

sensibilidad a la temperatura a través del efecto inducido por el calentamiento de una de las

trayectorias del haz, lo cual refrenda la sensibilidad del dispositivo a cambios de temperatura y a

vibraciones mecánicas.

III.3. Obtención de datos experimentales

En esta sección se presenta los datos y lecturas obtenidos de manera experimental por medio de

la aplicación del interferómetro de Michelson. Asimismo, se presenta la descripción del ensayo y

la instrumentación necesaria para llevarlo a cabo. Además, se especifican las herramientas

utilizadas en el desarrollo experimental.

III.3.1 Descripción del experimento

Para realizar el desarrollo experimental de este trabajo se utilizo un interferómetro de Michelson,

en el cual se adaptó un micrómetro para realizar las mediciones necesarias (Figura III.4). El

micrómetro está posicionado en la base del espejo M1. El micrómetro tiene una capacidad de

medición de 1 pulgada (25.4mm) y tiene una resolución mínima 0.0001 pulgadas (0.00254mm).

El micrómetro fue empleado para efectuar desplazamientos en intervalos conocidos para este

ensayo. Se dispuso de su uso, debido a que fue el dispositivo que aportaba la mayor precisión en

las mediciones, con el que podía contar al momento de llevar a cabo los experimentos.

Figura III.4. Micrómetro

Capítulo III 49


Para el desarrollo analítico de un intervalo de desplazamiento equivalente a la lectura mínima del

micrómetro sobre el espejo M1, se emplea la ecuación III.2, donde se conoce la longitud de onda

de la fuente luminosa y el desplazamiento aplicado, por ende, la única incógnita es despejada, la

cual es el valor correspondiente a la transición de franjas, cuyo concepto está definido

ampliamente en la sección II.7.4.

)10488()00254.0(2

6 mmxmmm −= III.1

franjasm 41.10= III.2

Este valor obtenido se comparará ulteriormente con el obtenido experimentalmente.

Para el desarrollo de la fase experimental de este ensayo, fue necesario realizar la serie de

experimentos en condiciones libres de fuentes de ruido y agentes externos que generaran

vibraciones, por lo que se verificó, que cerca del montaje experimental no existieran

interferencias ocasionadas por ondas electromagnéticas, ondas acústicas y cambios de

temperatura.

Sin embargo, dado que el arreglo experimental no estaba montado sobre una mesa aislada de

vibraciones, fue necesario detener las perturbaciones mecánicas originadas por las máquinas que

producían movimientos en la mesa. Todos los experimentos fueron efectuados en ausencia de

vibraciones externas en laboratorios vecinos.

Para reducir al mínimo estas perturbaciones, se empleó una placa de acero de 1/2 pulgada de

espesor (figura III.5), a la cual se le dio un proceso de rectificado, para montar sobre ella el

dispositivo. La rigidez del material redujo en gran medida las variaciones producidas por

vibraciones. La fijación de los elementos a la base se hizo mediante imanes de tipo comercial de

1 x 2 x 10 cm.

Capítulo III 50


Figura III.5. Placa base

Al inicio del ensayo experimental, mediante la aplicación de iteraciones se colocó la diferencia de

haces en cero (Figura III.6). Asimismo, se ajustó la posición de la base del espejo M1, lo anterior

se realizó hasta hacerla coincidir con una lectura exacta de la herramienta de medición

(micrómetro). La implementación del micrómetro se realizó asegurar que las mediciones

iniciarían en una referencia adecuada. A partir de esta etapa, se aplicaron desplazamientos d, en

una unidad mínima del micrómetro (0.0001 pulgadas) y se registraron paulatinamente el

corrimiento de las franjas m de manera simultánea.

Figura III.6. Patrón obtenido de la diferencia nula entre caminos ópticos

Capítulo III 51


Asimismo, se llevó a cabo un registro en video del corrimiento de franjas (Figura III.7). Lo cual

se realizó para llevar un conteo ulterior, dado que las transiciones no eran muy claras a simple

vista. El valor de cambio de intensidad, también fue verificado por un circuito detector con un

fotodiodo como elemento sensor.

Figura III.7. Registro del corrimiento de franjas

Además dentro del desarrollo de este ensayo experimental, fue necesario tomar una serie de

evidencias fotografías sobre la diferencia del estado inicial y final del patrón de interferencia, lo

que fue utilizado y aplicado para realizar un análisis del corrimiento de la posición de la última

franja respecto a la inicial (Figura III.8)

Figura III.8. Comparativo entre a) Patrón inicial y b) patrón final

Capítulo III 52


Durante el desarrollo de este trabajo, fue posible distinguir claramente el desplazamiento de

franjas ocasionado por movimientos del espejo y libre de otras perturbaciones. Un ejemplo típico

de nuestras mediciones, aquí reportadas, es el conteo realizado en pruebas donde se desplazaban

hasta un máximo de 10 franjas, más una fracción de desplazamiento final cuyo valor

correspondiente fue de aproximadamente 0.16 franjas. Sin embargo, se sugiere emplear un

sistema automatizado para la detección de franjas, así como, un laboratorio aislado de otras

perturbaciones físicas tal como se recomienda en el trabajo de [III.4].

III.4. Interpretación del desplazamiento de franjas como deformaciones mecánicas

De acuerdo a lo expuesto en las secciones anteriores de este capítulo, los desplazamientos d están

dados en semilongitudes de onda (λ/2) de la luz empleada. Lo cual sustituyendo los valores

conocidos en la Ecuación II.40, por lo que se tendrá:

( )md metros10244 9−×= III.3

Al sustituir el valor de d por él de la lectura mínima del micrómetro (0.00254mm) y despejando

m en la Ecuación III.3, se puede determinar analíticamente la cantidad de franjas en que existe en

ese intervalo.

franjas 41.10metros10244metros104.25

9

7

=××

= −

−

m III.4

La Ecuación III.3 de desplazamientos con respecto a las franjas de interferencia puede también

ser interpretada como la lectura de una deformación ∆δ de un elemento mecánico sometido a una

carga de tipo axial, con lo cual la Ecuación II.14 toma la siguiente forma:

AEPlm =

2λ III.5

Entonces de la Ecuación III.5 el modulo de elasticidad E puede ser despejado y determinado en la

prueba a tensión en función de los corrimientos de las franjas de interferencia.

Capítulo III 53


AmPlE

=

λ2 III.6

En el caso del uso del láser cian, la longitud de onda λ es conocida.

( )AmPlEmetros10244 9−×

= III.7

III.5. Simulación del desplazamiento equivalente a una franja en una barra a tensión

Para el desarrollo del análisis de este trabajo de tesis, se inicio con la simulación de una prueba a

tensión de una probeta redonda, con especificaciones de acuerdo a la norma ASTM A 370 (Figura

III.9), cuyas medidas están especificadas en la Tabla III.1.

Figura III.9. Especificación de probetas para ensayos a tensión [III.5]

Tabla III.1. Medidas de probeta redonda estándar para ensayos a tensión [III.5]

Diámetro nominal Estandarización del espécimen pulg. mm. 0.5 Ø 12.7 Ø

Longitud de prueba (A) 2 ± 0.005 50 ± 0.1

Diámetro de la sección calibrada (D) 0.5 ± 0.01 12.5 ± 0.25

Radio de filete (mínimo) (R) 3/8 10

Longitud de la sección de reducción (G) 2 1/4 60

Para el desarrollo del análisis propuesto en este trabajo, se aplican las consideraciones de las

condiciones conocidas del material, las cuales fueron obtenidas previamente por medio de un

Capítulo III 54


ensayo de tensión axial. Dado que el propósito de la prueba es la de cuantificar la mínima

cantidad esfuerzo que es capaz de detectarse mediante este método.

Se emplea un módulo de Young de 200 N/mm2, con lo que al emplear la Ecuación III.7, se puede

determinar el esfuerzo que existe para una elongación de la probeta equivalente a m = 1, y dejar a

él área y la carga como condiciones variables.

( )( )mm50

mm10244mmN200 6

2−×

=AP III.8

26

mmN10976 −×=

AP III.9

Sustituyendo el valor del área en la Ecuación III.9:

N1198.0=P III.10

kgf01261.0=P III.11

Lo cual indica que el sistema es capaz de detectar deformaciones provocadas por cargas de hasta

12.21 gramos-fuerza, aplicados sobre una probeta con geometría acorde a las medidas estándar de

la tabla III.1.

III.6. Ventajas y desventajas

Las características del dispositivo nos permiten identificar las siguientes características

favorables para el uso de este como medio para medir deformaciones mecánicas; la principal

característica del interferómetro de Michelson es el uso de la naturaleza ondulatoria de la luz, lo

cual nos permite llevar a cabo mediciones que son directamente proporcionales a la longitud de

onda de la luz empleada; las mediciones llevadas a cabo en este trabajo son del orden de los

244x10-9 metros por cada transición de franja, lo cual nos da la capacidad de examinar de mejor

manera experimentos sobre elementos donde las deformaciones son muy pequeñas, como es el

Capítulo III 55


caso de la determinación de deformaciones debidas a efectos térmicos, o en los casos donde se

lleven a cabo estudios sobre elementos con deformaciones en el rango elástico, con aplicación de

cargas con el propósito de identificar dislocaciones en la pieza, por mencionar algunos casos.

Estudios anteriores han sido llevados a cabo con este aparato, en la medición de deformaciones

debidas a cambios de temperatura, en materiales piezoeléctricos, tal como se muestra en el

trabajo de [III.6].

La elaboración del dispositivo consta únicamente de dos espejos y un trozo de vidrio comercial

de 5 x 5 cm. cada uno, una lupa para proyectar el haz expando, una base sólida para el montaje y

un láser cian, el cual puede ser sustituido por un apuntador láser, lo cual hace que la fabricación

del dispositivo sea muy económico y le proporciona flexibilidad al diseño para ser reproducido

fácilmente.

En contraparte, entre los inconvenientes del dispositivo esta su alta sensibilidad, dado que las

franjas de interferencia pueden ser afectadas por cambios en la temperatura sobre la trayectoria

de los haces, perturbaciones en el medio como lo son las vibraciones a causa de maquinaria en

funcionamiento, ruido excesivo, inclusive la voz, por lo que se requiere de un ambiente

controlado que establezca condiciones optimas para el desarrollo de las pruebas, además de una

base lo suficientemente plana para no perder la superposición de los haces en el interferómetro.

La implementación del dispositivo en una prensa para pruebas a tensión requiere de una

instalación de lo más meticulosa, dado que el arreglo de espejos debe quedar de manera

perpendicular, de lo contrario se estarían midiendo desplazamientos fuera del plano de

elongación de la probeta, así como también la disposición del aparato debe quedar en una base

libre de vibraciones mecánicas, como ha quedado especificado.

III.7. Sumario

En este capítulo se presentaron los resultados obtenidos de las lecturas obtenidas en transición de

franjas, respecto a los desplazamientos d realizados en uno de los brazos del interferómetro,

como se muestra en la Figura III.1.

Capítulo III 56


El desplazamiento dado fue de 0.0001 pulgadas (0.00254mm) aplicado con un micrómetro

adaptado en la base de uno de los espejos del interferómetro. Los corrimientos de franjas se

registraron en video para poder ser contados en cámara lenta, dado que los cambios se daban de

manera muy rápida.

III.8. Referencias

III.1.- Carreño S. F., Antón R. M., Ezquerro R. J. y Gómez, C. O., Experiencias de Óptica Física,

Editorial Complutense, Madrid, pp. 143-147, 2001.

III.2.- Hecht, E., Optics, 4ª. Edición, Ed. Addison Wesley, San Francisco, USA, pp. 393-409,

2002.

III.3.- Morales-Bonilla, S. Evaluación de las propiedades ópticas de medios biológicos mediante

interferometría y sensores nanoestructurados, Tesis de Maestría, SEPI-ESIMEZ, Instituto

Politécnico Nacional, México, 2010.

III.4.- Ruiz-Boullosa, R. y Pérez-López, A., Interferómetro láser y conteo de franjas aplicado a la

calibración de acelerómetros y calibradores de vibraciones, Revista Mexicana de Física,

No. 4, Vol. 36, México, pp. 622-629, 1990.

III.5.- American Society for Testing and Materials, ASTM A 370 Standard Test Methods and

Definitions for Mechanical Testing of Steel Products, ASTM, U.S.A., 2003.

III.6.- Duarte, J., Fernández, F., y Moreno-Sereno, M., Técnicas de medida para pequeños


Capítulo IV Análisis numérico

En este Capítulo se simula la aplicación de un desplazamiento equivalente al corrimiento de una franja en el patrón de interferencia sobre una probeta estandarizada, para evidenciar la sensibilidad del dispositivo por medio de un paquete de cómputo que emplea el Método del Elemento Finito.

Capítulo IV 58


IV.1. El método del elemento finito

IV.1.1. Introducción

Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del

complejo mundo que la rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de

proceder de ingenieros, científicos, e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en sus

componentes individuales, o "elementos", cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y

a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos componentes

[IV.1].

El método de elemento finito es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales,

primero, discretando las ecuaciones al describir el problema en sus dimensiones espaciales. Esta

discretización se lleva a cabo sobre las pequeñas regiones de formas arbitrarias. Estos resultados,

en matrices relacionan la entrada de puntos específicos a la salida de todos los puntos en el

dominio. Para resolver las ecuaciones sobre grandes regiones, las ecuaciones en matrices para

regiones más pequeñas son sumadas nodo por nodo. Esto resultará en el desarrollo de ecuaciones

matriciales globales [IV.2].

Este método nos permite llevar a cabo modelos del sistema real, lo cual resulta ser una alternativa

más eficaz, económica y fácil de modificar que el desarrollo de prototipos, aunque no deja de ser

un método de aproximación, dado que basa su precisión en la cantidad de elementos en los que

esté dividido el componente, aunado a las hipótesis básicas sobre el comportamiento del mismo,

por lo que los prototipos no dejan de ser necesarios, pero en menor medida.

IV.1.2 Antecedentes históricos

En sus inicios, el elemento finito fue empleado por los primeros geómetras para la determinación

del numero trascendente π, haciendo uso del método exhaustivo de Arquímedes, empleado para el

cálculo de áreas y volúmenes de modelos geométricos. Siglos después, Sir Isaac Newton y G.W.

Leibniz desarrollarían el cálculo infinitesimal [IV.3]. Sin embargo, el método tomaría forma

principalmente en las décadas de los cincuenta y sesenta del siglo pasado, debido en gran manera

a la necesidad de realizar cálculos para diseños cada vez más complejos en ingeniería civil,

aeronáutica y en otras ramas de la construcción en general. Con el desarrollo de las

Capítulo IV 59


computadoras, el análisis y la simulación numérica se vieron fuertemente favorecidos en este

aspecto.

No obstante de todo lo anterior, las bases matemáticas no habían sido formalmente establecidas

para el método del elemento finito, y no fue sino hasta que el interés en la solución de problemas

en ingeniería, tal como lo muestran los primeros trabajos realizados en este campo por Turner y

Argyris en el diseño de estructuras complejas para alas de aviones, así como Alley y Gerringer

que crearon métodos para el diseño de vehículos de lanzamiento espacial.

El origen de este método se puede hallar en el grupo que la casa Boeing puso a trabajar bajo la

dirección del profesor Turner, para encontrar un método numérico que superase las limitaciones

de otros métodos más clásicos, como el de diferencias finitas. Con la aparición del motor de

reacción aparecen unas solicitaciones superiores en las estructuras de los aviones acordes con las

características de seguridad y ligereza propias de la industria aeronáutica se necesitaban métodos

de cálculo más precisos. Fruto de ese trabajo es la publicación en 1956 en el Journal of

Aeronautics del artículo "Stiffness and deflection analysis of complex structures" de M.J. Turner,

R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp donde aparecen formulados los aspectos básicos que van a

configurar con el tiempo el nuevo método de los elementos finitos.[IV.4]

Otros ejemplos merecen ser citados como son "A finite element approach for the analysis on thin

shells" publicado por R.W. Clough en 1960, donde se menciona por primera vez como elemento

finito. La primera prueba de convergencia del método en la literatura de ingeniería, fue

presentada por R.J. Melosh en 1963 en "Basis of derivation of matrices for the direct stiffness

method", utilizando el principio variacional de Reissner. El caso axisimétrico fue tratado por P.E.

Grafton en 1963 en "Analysis of axisymetrical shells by the direct stiffness method". Por lo que

cabe al estudio de los problemas no-lineales, y soluciones transitorias, han contribuido

fuertemente Turner, Zienkiewicz y Davis en 1969 con su trabajo "The damped transient behavior

of finite beams and plates". Otra contribución matemática que cabe mencionar, fue hecha por G.

Birkhoff en 1968 en "Piecewise hermite interpolation in one and two variables with applications

to partial differential equations".

Capítulo IV 60


Especial importancia tiene el libro de O.C. Zienkiewicz en 1967: "The Finite Element Method in

Structural and Continuum Mechanics" que recoge el estado del arte hasta el momento sobre el

método y sus aplicaciones [IV.5].

Con la llegada de las computadoras digitales, los problemas discretos pueden resolverse

generalmente sin dificultad, aún cuando el número de elementos sea muy elevado. Como la

capacidad de las computadoras es finita, los problemas continuos sólo se pueden resolver de

forma exacta mediante manipulaciones matemáticas. En este aspecto, las técnicas matemáticas

disponibles suelen limitar las posibilidades a casos extremadamente simplificados.

Actualmente este método es ampliamente utilizado en la industria y se encuentra en vías de

expansión, aunado a la contribución de los ordenadores en la solución a la multitud de ecuaciones

que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo va a la par con el mejoramiento de la arquitectura de

los ordenadores, lo que ha facilitado la evolución en el campo del modelado y la síntesis de

resultados. En nuestros días la relación entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de

diseño y las técnicas de fabricación ha sido cada vez mayor.

IV.1.3. Conceptualización del método.

El concepto fundamental del método es la aproximación mediante un modelo discreto a uno

contínuo, el cual se efectúa dividiendo al dominio o región, en subdominios llamados “Elementos

Finitos”, de tal forma que la solución en cada uno de ellos (solución local), al ser ensamblados,

constituyan una solución global discreta, la que será una aproximación a la solución analítica en

la región no discretizada [IV.3].

IV.1.4. Ventajas y desventajas del método

La principal ventaja que presenta el método es su capacidad para analizar cuerpos compuestos de

diversos materiales, con diversas propiedades como el módulo de elasticidad, la conductividad

térmica y eléctrica, capacidad calorífica, anisotropía, entre otros, y en cuanto a las condiciones de

fronteras, el cuerpo puede ser continuo o discontinuo, con esquinas o bordes rugosos sin que esto

afecte de manera considerable el resultado [IV.3].

Capítulo IV 61


En cuanto a las limitaciones, la necesidad de un paquete computacional de cálculo resulta

indispensable, debido a la gran cantidad de cálculos involucrados en la solución de problemas

prácticos.

IV.1.5. Procedimiento a seguir empleando el método del elemento finito

La solución de cualquier problema utilizando el Método de los Elementos Finitos contempla los

siguientes pasos [IV.4]:

1. Especificar la geometría. Esto puede hacerse dibujando la geometría directamente en el

paquete o importando el modelo desde un modelador sólido.

2. Definir el tipo de elemento y las propiedades del material.

3. Enmallar el objeto. Consiste en dividir el objeto en pequeños elementos.

4. Aplicar las condiciones de frontera (restricciones) y las cargas externas.

5. Generar una solución.

6. Postprocesamiento. Los datos obtenidos como resultado pueden visualizarse a través de

gráficas o dibujos.

7. Refinar la malla. El método de Elementos Finitos es un método aproximado, y en general la

precisión de la solución se incrementa con el número de elementos usado. El número de

elementos requerido para obtener una respuesta confiable depende del problema específico;

sin embargo, es recomendable siempre incrementar el número de elementos en el objeto y

observar la variación en los resultados.

8. Interpretación de los resultados. Este paso es el más importante de todo el análisis, pues

requiere de los conocimientos y la habilidad del ingeniero para entender e interpretar los

resultados arrojados por el programa. Este paso es crítico para lograr la aplicación de los

resultados en la solución de los problemas reales, o para identificar los posibles errores

cometidos durante la etapa de modelamiento.

IV.2. Desarrollo de análisis por elemento finito

Para la simulación, se desarrolló el modelo en un programa de diseño por elementos finitos con

las dimensiones especificadas en la Tabla III.1, y sólo se utilizó la mitad de la longitud de prueba

debido a su simetría, dado que las condiciones de carga y son las mismas en ambos extremos del

elemento (Figura IV.1) [IV.7].

Capítulo IV 62


Figura IV.1. Modelo para simulación en elementos finitos

Se empleó el elemento SOLID185, el cual es empleado para el modelado de estructuras en 3D y

está definido por 8 nodos con 3 grados de libertad en cada uno (traslación en los ejes x, y y z) y

presenta versatilidad de ser tetraédrico o prismático, dependiendo de las características de la

geometría.

Posteriormente se llevó a cabo el mallado del modelo, el cual corresponde a un estilo de barrido

(Figura IV.2).

Figura IV.2. Mallado del modelo

Capítulo IV 63


Se llevaron a cabo otros tipos de mallado, pero en base a las iteraciones realizadas, este presentó

mejores características para la prueba que se realizó, dado que las condiciones de mallado

proporcionaron caras con mallado simétrico, lo que eliminó condiciones no deseadas de rotación

y desplazamientos fuera del eje de axial, situaciones que prácticamente no se presentan en una

prueba real.

El programa trabaja en ausencia de unidades de medición, por lo que los valores que se

introduzcan en este, deben estar todos especificados en el mismo sistema de medición (métrico,

inglés) y en las mismas unidades (metros, milímetros, pies, pulgadas). Para nuestro caso se

emplearon todos los valores en milímetros.

Paso seguido, se establecen las condiciones de frontera. En un extremo de la barra se colocó una

condición de empotramiento, lo cual simula el extremo de la probeta por el que se le está

aplicando la carga (Figura IV.3).

Figura IV.3. Empotramiento de un extremo del modelo

En el paquete de computo empleado se puede llevar a cabo el ensayo mediante la aplicación de

una carga al elemento, y así determinar los esfuerzos y por ende, las elongaciones que esta

provoca; sin embargo este procedimiento puede ser invertido, aplicando una deformación en el

Capítulo IV 64


elemento para calcular el esfuerzo al que se encuentra sometido, y con ello conocer las

condiciones de carga. Este último procedimiento fue empleado en esta prueba con la finalidad de

conocer la sensibilidad del interferómetro para la medición de cargas aplicadas.

El otro extremo representa la parte media de la probeta, donde ocurriría la falla debido a la carga

aplicada, pero en este caso es aplicado un desplazamiento equivalente a la variación en una franja

m=1 sobre toda el área transversal de la probeta, que para este caso, de acuerdo a la Ecuación

III.8 correspondería a 244 nanómetros (nm) o sea 0.000244 mm.; al emplear la mitad del modelo

original, la elongación estaría repartida entre las dos partes, por lo cual el desplazamiento

aplicado es de 122 nanómetros (0.000122 mm.) (Figura IV.4).

Figura IV.4. Desplazamiento especificado sobre el extremo opuesto al empotrado

La Figura IV.5 muestra en franjas de colores las elongaciones correspondientes a cada sección de

la barra sobre el eje z, y la Tabla IV.1 especifica los valores correspondientes.

Capítulo IV 65


Figura IV.5. Elongaciones sobre la sección (MN-mínimo, MX-máximo)

Tabla IV.1. Unidades de elongación sobre el eje z correspondientes al color en la Figura IV.6

Colores

Unidades

(mm) 0 .136-4 .271-4 .407-4 .542-4 .678-4 .813-4 .949-4 .108-3 .122-3

Una vez que se ha resuelto el problema en el programa de elementos finitos, se pueden ilustrar

los esfuerzos correspondientes a la elongación inicial dada, tal como se muestra en la Figura

IV.6, y sus correspondientes valores en la Tabla IV.2.

Figura IV.6. Representación de esfuerzos sobre la barra

Capítulo IV 66


Tabla IV.2. Esfuerzos sobre la barra determinados por el programa de elementos finitos

Deformación máxima 0.122-3 mm.

Esfuerzo mínimo 0.976-3 N/mm2

Esfuerzo máximo 0.976-3 N/mm2

Con lo anterior, podemos verificar que para una prueba a tensión, toda la barra se encuentra

sometida a la misma cantidad de esfuerzo. Conocida el área de la sección transversal de la

probeta y empleando la ecuación II.1, se logra obtener la carga necesaria para conseguir esta

deformación.

223

72.12210976.0

mmP

mmNx =− IV.1

NP 1198.0= IV.2

kgfP 01221.0= IV.3

El desplazamiento de cada uno de los 47 nodos correspondientes al área de elongación máxima

(MX), se obtuvo del programa de elementos finitos, así como el esfuerzo correspondiente sobre

el eje z; los resultados se presentan en la Tabla IV.3.

Tabla IV.3. Esfuerzo y desplazamiento correspondiente a cada nodo en la cara opuesta al

empotramiento, determinado por el programa de elementos finitos

Nodo Desplazamiento Esfuerzo Nodo Desplazamiento Esfuerzo

1 0.12200E-03 0.976E-05 25 0.12200E-03 0.976E-05

2 0.12200E-03 0.976E-05 145 0.12200E-03 0.976E-05

3 0.12200E-03 0.976E-05 146 0.12200E-03 0.976E-05

4 0.12200E-03 0.976E-05 147 0.12200E-03 0.976E-05

5 0.12200E-03 0.976E-05 148 0.12200E-03 0.976E-05

6 0.12200E-03 0.976E-05 149 0.12200E-03 0.976E-05

Capítulo IV 67


7 0.12200E-03 0.976E-05 250 0.12200E-03 0.976E-05

8 0.12200E-03 0.976E-05 251 0.12200E-03 0.976E-05

9 0.12200E-03 0.976E-05 252 0.12200E-03 0.976E-05

10 0.12200E-03 0.976E-05 253 0.12200E-03 0.976E-05

11 0.12200E-03 0.976E-05 254 0.12200E-03 0.976E-05

12 0.12200E-03 0.976E-05 255 0.12200E-03 0.976E-05

13 0.12200E-03 0.976E-05 340 0.12200E-03 0.976E-05

14 0.12200E-03 0.976E-05 341 0.12200E-03 0.976E-05

15 0.12200E-03 0.976E-05 342 0.12200E-03 0.976E-05

16 0.12200E-03 0.976E-05 343 0.12200E-03 0.976E-05

17 0.12200E-03 0.976E-05 344 0.12200E-03 0.976E-05

18 0.12200E-03 0.976E-05 345 0.12200E-03 0.976E-05

19 0.12200E-03 0.976E-05 430 0.12200E-03 0.976E-05

20 0.12200E-03 0.976E-05 431 0.12200E-03 0.976E-05

21 0.12200E-03 0.976E-05 432 0.12200E-03 0.976E-05

22 0.12200E-03 0.976E-05 433 0.12200E-03 0.976E-05

23 0.12200E-03 0.976E-05 434 0.12200E-03 0.976E-05

24 0.12200E-03 0.976E-05

El esfuerzo obtenido en la simulación, es el mismo que se obtuvo de manera analítica en la

Ecuación III.9, lo cual corrobora los resultados mostrados en la Ecuación III.10 en cuanto a la

capacidad del sistema para detectar cargas.

IV.3. Sumario

Se realizó una simulación numérica de la aplicación de un desplazamiento equivalente al de la

lectura del corrimiento en una franja del patrón de interferencia, sobre una probeta normalizada,

con lo cual se muestra la capacidad del sistema para la detección de cargas de un rango muy

pequeño sobre un elemento normalizado.

Capítulo IV 68


IV.4. Referencias IV.1.- Zienkiewicz, O. C. y Taylor, R. L., El Método de los Elementos Finitos, Vol. 1, 4ª Edición,

Ed. McGraw-Hill, Barcelona, pp. 1-7 ,1994.

IV.2.- Sánchez Toca, T. M., Análisis de esfuerzos y deformaciones en contenedores a presión

mediante el método de elemento finito, Tesis de Licenciatura en Ingeniería Mecánica,

Escuela de Ingeniería, Universidad de las Américas, Puebla, México, pp. 41-45, 2003.

IV.3.- Ortega, J. A., Hernández Gómez, L. H., Análisis del Elemento Finito y sus Aplicaciones a

la Ingeniería, Vol. 6, Ed. Sección de Graduados de ESIME, México, pp. 6-17, 1985.

IV.4.- Roa Garzón, M. A. y Garzón Alvarado, D. A., Introducción al Modelamiento por

Elementos Finitos con ANSYS, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia,

pp. 1-4, 2002.

IV.5.- Michavila, F., y Gavete, L., Programación y Cálculo Numérico, Ed. Reverté, España, pp.

274-276, 1985.

IV.6.- Daryl, L., A First Course in the Finite Element Method, 4a Ed., Ed. Thomson

IV.7.- Madenci, E., y Guvan, I., The Finite Element Method and Application in Engineering

Using ANSYS®, Ed. Springer, pp. 82-170, 2006.

Discusión de

resultados

Discusión de resultados 70


En el presente trabajo pudieron ser determinados desplazamientos del orden de los 244nm,

empleando el láser cian de longitud de onda de 488nm, esto debido a que las variaciones del

camino óptico d realizadas sobre el espejo M1 del interferómetro, son cuantificadas como el

doble de la longitud de onda entre cada cambio de posición m en el patrón de franjas.

Originalmente el diseño del dispositivo incluye el uso de un compensador, que es una réplica del

divisor de haz colocado de manera paralela a éste, del lado del espejo M2, pero en este caso su

uso fue omitido, debido a que la fuente de luz empleada es monocromática y el propósito del

compensador es el de reducir la dispersión de la luz y ajustar la diferencia de caminos ópticos.

También se pudo observar que el interferómetro tiene una sensibilidad muy alta a cambios

locales de temperatura, debido a que el patrón de franjas registraba corrimientos ocasionados por

cambios de temperatura sobre los espejos y los brazos del interferómetro, lo cual encierra la

posibilidad medir deformaciones tan pequeñas como las debidas a cambios de temperatura en los

materiales.

El dispositivo puede ser implementado utilizando materiales de bajo costo, como son los espejos

y el vidrio como divisor de haz; el láser cian puede ser reemplazado por un láser diodo

(apuntador), el cual puede no contar con especificación exacta de su longitud de onda, pero se

puede determinar una vez montado en el interferómetro al calibrar correctamente la distancia d

recorrida, llevando el conteo de las franjas m y empleando las fórmulas correspondientes. Sin

embargo la estabilidad del láser debe ser en este último caso monitoreada utilizando un haz de

referencia.

Este método utilizado para medir desplazamientos puede ser implementado en una prensa de

pruebas a tensión o compresión, únicamente colocando un espejo sobre uno de los cabezales de la

prensa para la medición de las deformaciones durante los ensayos, obteniendo así lecturas más

exactas y por ende, características que representan de mejor manera las propiedades de los

materiales estudiados. Este método muestra ser conveniente para realizar análisis de carácter

cualitativo, esto debido a que el sistema es muy sensible y puede ser afectado por cambios de

temperatura y vibraciones que no pueden ser del todo controladas.



La capacidad del sistema para medir deformaciones del orden de media longitud de onda de la

fuente de luz, le da la capacidad para ser implementado para la determinación de esfuerzos muy

pequeños, tal es el caso de los esfuerzos térmicos, así como se ha reportado anteriormente en

trabajos como en [1].

El sistema presenta limitantes en cuanto a su entorno, ya que este debe estar libre de vibraciones

y con una atmosfera de temperatura y presión controlada, debido a que estas variantes pueden

influir en la lectura de la cantidad y posición final de las franjas; sin embargo, las vibraciones

pueden ser reducidas con el montaje del dispositivo en una mesa flotante.

Una gran ventaja de utilizar un láser de tan alta estabilidad (menor al 2% de variación en su

intensidad) y una longitud de onda corta (488nm) es que la sensibilidad del interferómetro es muy

superior a la que puede obtenerse con luz roja o radiación IR asociada a láseres semiconductores

comerciales (650nm-800nm). El láser cian que se utilizó para el desarrollo de esta tesis ha sido

diseñado con la más alta tecnología. La cavidad láser utiliza un doblador de frecuencia de efectos

no lineales que permite convertir la energía de cada par de fotones generados en el semiconductor

en un solo fotón de 488nm que será utilizado para hacer las mediciones. Este láser ha sido

precisamente diseñado para aplicaciones biomédicas y mediciones de muy alta sensibilidad y

estabilidad.

La velocidad de respuesta ultra-rápida del interferómetro de Michelson se ve afectada por el

tiempo de respuesta del conteo de franjas, ya que en nuestro caso este conteo fue realizado

después de capturar la imagen en video. Sin embargo cabe mencionar que el detector de energía

que utilizamos durante la calibración fue un detector fotodiodo con velocidad de respuesta de

cerca de 2ps, así que con el debido desarrollo de una interfaz y un software computacional

argumentamos que mediante este sistema pueden medirse desplazamientos con alta sensibilidad

en tiempo real.



Referencias

1.- Rodríguez Vera, R., Rayas, J. A. y Dávila, A. Algunas aplicaciones industriales de la

interferometría electrónica de patrones de moteado, Centro de Investigaciones en Óptica,

Guanajuato, 2006.

Conclusiones

Conclusiones 74


La determinación de algunas propiedades mecánicas de un material mediante pruebas a tensión es

una práctica muy frecuente, donde las deformaciones obtenidas juegan un papel muy importante.

La medición de dichas deformaciones mediante el interferómetro de Michelson representa un

método que ofrece una precisión alta en el cual se emplea la longitud de onda de la fuente de luz

como referente para la determinación del desplazamiento, lo cual nos permite obtener datos

mucho más cercanos a la realidad y así poder determinar las características que definan de mejor

manera las propiedades de los materiales estudiados.

Durante el armado del interferómetro se pudo omitir el uso de un compensador, dado que la

fuente utilizada en el experimento es monocromática y fue ajustada experimentalmente la

diferencia de caminos ópticos en los brazos del sistema.

Las vibraciones mecánicas se lograron disminuir en gran medida con la colocación de una placa

de acero de 32cm X 51cm con 1 pulgada de espesor, lo que proporcionó estabilidad al dispositivo

debido a la rigidez del elemento; la geometría de la placa de acero fue obtenida en base

iteraciones realizadas de forma experimental, y esta fue seleccionada de acuerdo al material con

el que se contaba. Un desarrollo analítico sobre la rigidez y la propagación de ondas a través del

material, pueden determinar las características geométricas que se requieren para la base y el tipo

de material de la misma de manera específica.

Los resultados obtenidos en la simulación de desplazamiento, muestran la capacidad del sistema

para poder dar lecturas de 244 nm, lo cual puede dar como resultado la medición de

deformaciones permanentes debidas a cargas cíclicas o análisis de pruebas a fatiga, lo cual

indicaría la capacidad de detectar el rompimiento de enlaces con la aplicación de cargas en el

rango elástico. También presenta importantes posibilidades de aplicación en el ámbito de la

metrología y la biomecánica.

El uso de un láser con una longitud de onda relativamente corto, como el empleado en este

trabajo (488nm), representa una ventaja sobre otros de mayor longitud de onda, como el caso del

rojo, el cual oscila entre los 620 y los 750 nanómetros, dado que el patrón de medida que se

emplea para la determinación de los desplazamientos, es la longitud de onda de la luz empleada,

Conclusiones 75


y al ser este mas pequeño, proporciona al elemento una incertidumbre menor y por ende, una

determinación mas específica de las elongaciones.

Trabajos futuros

Trabajos futuros 77


Como trabajo futuro se puede concluir que este dispositivo puede ser implementado en una

prensa de ensayos a tensión con materiales como espejos y vidrio, además de la posibilidad de

utilizar diodos láser de baja coherencia como fuente de luz con monitores de intensidad de

referencia, lo que adiciona el carácter de economía al diseño.

La implementación de sensores para la lectura de franjas puede ser de la arquitectura mostrada en

trabajos como en [1] o pueden ser implementados sensores de respuesta ultra-rápida como los

que funcionan a base de nanoestructuras [2], esto para sustituir el uso de cámaras CCD en el

proceso.

Figura 1. Esquema propuesto para la implementación del sistema en una prensa de ensayos a

tracción.

El diseño de la detección de franjas indica que el sistema puede ser automatizable, lo que implica

que puede ser aplicado al análisis no sólo de lecturas de deformaciones debidas a cargas cuasi

estáticas, sino también a cargas dinámicas, de impacto y cíclicas.

Trabajos futuros 78


Referencias 1.- Torres-Torres, J. A. y Boullosa, R. R. Influence of the bridge on the vibration of the top plate

of a classical guitar, Applied Acoustics, Vol. 70, pp. 1371-1377, 2009. 2.- Morales-Bonilla, S. Evaluación de las propiedades ópticas de medios biológicos mediante

interferometría y sensores nanoestructurados, Tesis de Maestría, SEPI-ESIMEZ, Instituto

Politécnico Nacional, México, 2010.

Anexo A

Anexo A 80


Anexo A.- Código del programa de elementos finitos y descripción. Código Descripción

/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1

/GRA,POWER

/GST,ON

/PLO,INFO,3

/GRO,CURL,ON

/CPLANE,1

/REPLOT,RESIZE

WPSTYLE,,,,,,,,0

!*

/NOPR

/PMETH,OFF,0

KEYW,PR_SET,1

KEYW,PR_STRUC,1

KEYW,PR_FLUID,0

KEYW,PR_MULTI,0

/GO

!*

/COM,

/COM,Preferences for GUI filtering have been

set to display:

/COM, Structural

!*

/PREP7

!*

ET,1,SOLID185

!*

DOF,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ

!*

MPTEMP,,,,,,,,

Se define el tipo de análisis estructural.

Se define el tipo de elemento a utilizar.

Se agregan las condiciones de frontera.

Se definen las características del material:

Anexo A 81


MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,200

MPDATA,PRXY,1,,

CYL4,0,0,6.25

!*

VOFFST,1,25, ,

/VIEW,1,1,1,1

/ANG,1

/REP,FAST

CM,_Y,VOLU

VSEL, , , , 1

CM,_Y1,VOLU

CHKMSH,'VOLU'

CMSEL,S,_Y

!*

VSWEEP,_Y1

!*

CMDELE,_Y

CMDELE,_Y1

CMDELE,_Y2

!*

FLST,2,1,5,ORDE,1

FITEM,2,1

!*

/GO

DA,P51X,ALL,

FLST,2,1,5,ORDE,1

FITEM,2,2

!*

/GO

DA,P51X,UZ,0.000122

estructural, lineal, elástico e isotrópico y se

asigna el valor del módulo de elasticidad.

El coeficiente de Poisson se valora en cero.

Dibuja un círculo de 6.25 mm. de radio.

Extruye el círculo en 25 mm.

Cambia la vista a isométrico.

Aplica un mallado tipo barrido sobre la pieza.

Empotra uno de los extremos de la pieza.

Aplica un desplazamiento de 0.000122 mm. sobre

Anexo A 82


FINISH

/SOL

/STATUS,SOLU

SOLVE

el eje z.

Resuelve el análisis.

º

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