Análisis de Señales en Geofísica Clase Señales y...

Análisis de Señales en Geofísica

1° Clase

Señales y Sistemas

Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,

Universidad Nacional de La Plata, Argentina

Señales y Sistemas 2

Señales

Definición:

Llamaremos señal a cualquier observable que en su variación

espacial, temporal o respecto de cualquier otra cantidad, sea

capaz de contener o transportar información.

En general en este curso, consideraremos que las señales

varían respecto de una única variable independiente y que

esa variable independiente es genéricamente el tiempo.


Señales

Clasificación:

Analógicas: definidas en un dominio continuo.

Discretas: definidas en instantes regularmente dispuestos.

Digitales: discretas con amplitudes cuantizadas.


Señales

Clasificación por su naturaleza estadística:

Determinísticas: es posible predecirlas a partir de valores

pasados.

Ejemplo:

Innovativas, aleatorias o estocásticas: no es posible

predecir sus valores futuros.

Ejemplo: La bolsa de valores.

2

sin

2cos

t

t t t t t

U t

U aU U

a t


Conversor Analógico/Digital

Definición:

El conversor A/D es un dispositivo electrónico que nos permite

digitalizar señales analógicas.

Frecuentemente las señales digitales provienen del muestreo o

digitalización de señales analógicas. El intervalo de muestreo

puede variar ampliamente, desde una muestra por día o menos,

hasta más de diez millones de muestras por segundo.

X t A/D nX n t X

t


Muestreo y Aliasing

Consideremos una familia de exponenciales complejas:

cos sin

Discreticémosla tomando muestras equidistantes:

i t

t

i n t

nn t

f e t i t

f f e


Muestreo y Aliasing

Veamos qué sucede con las señales discretizadas cuando comparamos

diferentes miembros de la familia con distintos valores de frecuencias

que difieren en múltiplos de:

22 2

2 1,2,3,

Podemos ver que al discretizar estos miembros diferentes toman los

mismos valores:

i m n tm i mn t

i n t i n ttt tn n

m mt

f e e e e f


Aliasing

Cualquier señal arbitraria puede ser sintetizada como la suma de exponenciales complejas, es decir que las conclusiones a las que lleguemos para exponenciales complejas también serán válidas para cualquier señal arbitraria.

La frecuencia de una señal discretizada se corresponderá con la frecuencia de la señal analógica que le dio origen, hasta la frecuencia , a partir de esta frecuencia la señal discretizada tendrá el aspecto de una señal de frecuencia mucho más baja que la frecuencia de la señal analógica original.

Esta energía de baja frecuencia aparente presente en la señal discretizada, que no se encuentra en la señal original, es un alias de la alta frecuencia sí presente en la señal analógica. Este fenómeno es conocido con el nombre de aliasing.

t


Aliasing

En la figura (a) podemos ver la señal de frecuencia , en la figura (b) podemos ver

2la señal de frecuencia m, y en la figura (c) podemos ver las funciones analógicas

(a) y (b) superpuestas, con l

t

as posiciones de las muestras tomadas indicadas.


Frecuencia de Muestreo

Definición:

Se denomina frecuencia de muestreo (sampling) a la cantidad de muestras

que tomamos por unidad de tiempo, es decir:

1

La frecuencia angu

Sft

lar de muestreo estará dada por:

2 2

La frecuencia angular digital de muestreo estará dada por:

2

S S

S S

ft

t


Frecuencia de Nyquist

Definición:

Se define a la frecuencia de Nyquist como:

1

2

La frecuencia angular de Nyquist estará dada por:

2

N

N N

ft

f

La frecuencia angular digital de Nyquist estará dada por:

Esta frecuencia de Nyquist es de fundamental importancia, ya que nos dice

cual es la frecuencia

N N

t

t

máxima que puede estar presente en la señal analógica

sin que se produzca aliasing en la señal discretizada.


Sistemas

Definición:

Un sistema es cualquier entidad capaz de generar, medir o

modificar una señal.

Los sistemas pueden ser clasificados como analógicos,

digitales, determinísticos o innovativos según generen, midan

o modifiquen señales analógicas, digitales, determinísticas o

innovativas.


Sistemas

Propiedades:

Existen cinco propiedades de los sistemas que son de particular importancia para nuestro estudio:

Linealidad

Invarianza

Estabilidad

Causalidad

Invertibilidad

Las últimas tres propiedades también pueden ser aplicadas a señales.


Linealidad

Es la propiedad de un sistema que nos permite decir que el efecto

de la suma escalada de las causas es igual a la suma escalada de los

efectos individuales.

Para verlo con más claridad consideremos el s

iguiente sistema:

La operación que aplica el sistema sobre la señal de entrada para

generar la señal de salida está definida por el operador S{ }.

n n n nx S x y S x


Linealidad

0 1 2 0 1 2

0 0 1 1 2 2

Dadas las señales y y los escalares y ,

definimos las siguientes operaciones:

( , , , ) ( , , , )

( , , , )

Ahora podemos expresar mate

n n

n

n n

a b

a a a a a a a

a b a b a b a b

máticamente el concepto de

linealidad del siguiente modo:

La propiedad de linealidad expresada por esta ecuación

involucra a su vez las propiedades de superposición y la

n n n nS a b S a S b

de proporcionalidad.


Linealidad

Se define a la secuencia impulso unitario como:

1 si 0

0 si 0

A lo largo de este curso nos referiremos indistintamente a

secuencias como a señales digitales.

Pod

n

n

n

n

emos descomponer una señal como una suma escalada

de impulsos unitarios retardados, es decir:

Cuando no le ponemos límites a las sumatorias o a las integ

n

n k n k

k

x

x x

rales

significa que se extienden desde hasta .


Linealidad

Apliquemos a la descomposición anterior el operador , tenemos:

Aplicando la propiedad de superposición de los sistemas lineales:

n n k n k

k

S

y S x S x

Aplicando la propiedad de proporcionalidad, obtenemos:

Vemos que es la respuesta del sistema lineal cuando se lo

excita con un

n k n k

k

n k n k

k

n k

y S x

y x S

S

impulso unitario retardado.


Invarianza Temporal

La propiedad de invarianza temporal de los sistemas, implica que

la respuesta del sistema a un impulso unitario retardado es igual a

la respuesta retardada de un impulso unitario no retardado. Es decir

que ante una misma excitación retardada el sistema nos dará la

misma respuesta pero retardada.

Si es la respuesta impulsiva del sistema, entonces si el

sistema es invariante, se verifica que:

n nh S

n k n kh S


Producto de Convolución

Combinando las propiedades de linealidad e invarianza temporal

obtenemos finalmente:

Esta ecuación define lo que se conoce como producto de convolución

y

n k n k k n k

k k

y x S x h

simbólicamente se escribe así:

*

Un sistema lineal e invariante queda perfectamente definido por su

respuesta impulsiva. La operación que vincula la salida

n n ny x h

con la entrada

del sistema es el producto de convolución de la entrada por la respuesta

impulsiva del sistema.


Estabilidad

Se dice que un sistema digital es estable si y solo si su

respuesta impulsiva es absolutamente sumable:

n

n

h


Causalidad

Es la propiedad de aquellos sistemas que no nos entregan

una señal en la salida antes de ser excitados en su entrada.

Esto implica que su respuesta impulsiva debe ser:

0 para tonh do 0n


Invertibilidad

1

Un sistema es invertible si es posible expresar la entrada en

función de la salida:

Si el sistema invertible es lineal e invariante, podemos expresarlo d

n nx S y

1 1

1

e

esta manera:

* * *

Es decir que el sistema lineal e invariante será invertible, si existe

la respuesta impulsiva del sistema inverso , la cual deberá

c

n n n n n n

n

x h y h h x

h

1

umplir:

*n n nh h


Sistemas MA, AR y ARMA

La forma más general de vincular la entrada y la salida de los

sistemas lineales e invariantes (SLI) es por medio del producto

de convolución con la respuesta impulsiva del sistema, sin embargo

no es la única manera de hacerlo. Existen otras formas de establecer

este vínculo como por ejemplo mediante la retroalimentación o

feedback. Un sistema retroalimentado o recursivo es aquel en el cual

la salida se realimenta en la entrada del sistema.

Según este criterio de retroalimentación es posible clasificar a los

sistemas lineales e invariantes en: moving average o promedio móvil

(MA), autoregressive o autorregresivos (AR) y en autoregressive-moving

average o autorregresivo-promedio móvil (ARMA).


Sistema Moving Average (MA)

0 1 1 2 2

En estos sistemas no hay retroalimentación, las muestras de salida se

obtienen como una suma escalada o promedio pesado de ciertas

muestras de entrada, es decir:

n n n n Ny a x a x a x a x 0

En este caso tenemos un sistema moving average de orden N y lo

indicaremos de esta forma MA(N).

N

n N k n k

k

a x


Sistema Autoregressive (AR)

1 1 2 2 3 3

En estos sistemas cada muestra de salida se obtiene como una suma

escalada de la muestra actual de entrada y de ciertas muestras de salida

pasadas, es decir:

n n n n n M n My x b y b y b y b y x 1

En este caso tenemos un sistema autoregressive de orden M y lo

indicaremos de esta forma AR(M).

M

n k n k

k

b y


Sistema ARMA

0

En los sistemas autoregressive-moving average cada muestra de salida

se obtiene como una suma escalada de ciertas muestras de entrada y de

ciertas muestras de salida pasadas, es decir:

ny a 1 1 1 1 2 2

0 1

En este caso tenemos un sistema autoregressive-moving average de orden

M,N y lo indicaremos de esta forma ARMA(M,N).

n n N n N n n M n M

N M

n j n j k n k

j k

x a x a x b y b y b y

y a x b y


Bibliografía:

Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal

Processing, Academic Press, Chapter One.


2° Clase

Transformada Z



Transformada Z 2

Transformada Z

0 1 2 1

12 1

0 1 2 1

0

Definición:

Dada una secuencia ( , , , , ) de longitud definimos a su

transformada Z como el polinomio en z de grado 1:

( )

Indic

n N

NN k

N k

k

x x x x x N

N

X z x x z x z x z x z

aremos de las siguientes maneras que ( ) es la transformada Z de :

( )

( )

n

n

n

X z x

x X z

X z x

Z

Transformada Z 3

Operador de retardo unitario Z

2 1

0 1 2 1 0 1 2 1

1 0 1 2 1

La variable compleja se puede interpretar como un operador que introduce

un retardo unitario:

( , , , , ) ( )

(0, , , , , ) ( )

N

n N N

n N

z

x x x x x X z x x z x z x z

x x x x x zX z x

2 3

0 1 2 1

1 1 2 2

1 0 1 2 1 0 1 2 3 1

( , , , , ) ( )

En general:

N

N

N

n N N

z x z x z x z

x x x x x z X z x z x x z x z x z

( )k

n kx z X z

Transformada Z 4

Teorema de Convolución

Dadas dos secuencias y y sus transformadas Z ( ) y ( ), el producto de las

transformadas Z es igual a la transformada Z del producto de convolución entre las

mismas secuencias, es decir:

n na b A z B z

( ) ( ) *

Esto mismo lo podemos expresar de la siguiente manera, convolucionar dos secuencias

en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicarlas en e

n nA z B z a b Z

l dominio de las

transformada Z:

* ( ) ( )n na b A z B z

Transformada Z 5


Demostración:

Sea: * ( )

Cuando multiplicamos dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un

polinomio por todos los términos del

n

n n n n

n

c a b C z c z

otro y sumamos los productos que tienen la misma

potencia de z, esto es lo mismo que hacemos cuando convolucionamos:

n k n k n

n k n k k n k

k k

c z a z b z a b z

Si y son las longitudes de y de respectivamente, es fácil de ver que la longitud

de será igual a 1.

n k n k

k

n n

n

c a b

N M a b

c N M

Transformada Z 6

Diagrama de Convolución

0 1 2 3 4

0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4

1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4

0 0 0

1 0 1 1 0

2 0 2 1 1 2 0

3 0 3 1 2 2 1

4 0 4 1 3 2 2

5 1 4 2 3

6 2 4

n k n k

k

b b b b b

a a b a b a b a b a b



c a b

c a b

c a b a b

c a b a b a b

c a b a b a b

c a b a b a b

c a b a b

c a b

Transformada Z 7

Sistemas en Cascada

Dados dos SLI con respuestas impulsivas y , coloquémoslos en cascada del

siguiente modo:

* * *

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Estos

n n

n n

n n n n n n n

f g

x fx f g y x f g

X z F z G z Y z X z F z G zX z F z

n

sistemas en cascada serán equivalentes a un único sistema con respuesta

impulsiva * y transformada Z H(z)=F(z)G(z) :

* *

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n n n n n n

h f g

x h f g y x h

X z H z F z G z Y z X z H z

Transformada Z 8

Factorización de la TZ

Dado un SLI con respuesta finita de longitud , el teorema fundamental del álgebra nos

dice que la transformada Z de , un polinomio en de grado 1, posee 1 raíces o

ceros y puede ser fac

n

n

n

h N

h z N N

2 1

0 1 2 1 1 1 2 3 1

0 1 2 1 1 1 2

torizado en 1 factores:

( ) ( )( )( ) ( )

Esto mismo expresado en el dominio del tiempo queda:

( , , , , ) ( ,1)*( ,1)*(

N

N N N

n N N

N

H z h h z h z h z h z z z z

h h h h h h

3 1,1)* *( ,1)N

Transformada Z 9


Utilizando diagramas en bloque tenemos:

Este sistema es equivalente a 1 sistemas de respuesta impulsiva de

longitud 2 colocados en cascada:

n n nx h y

N

1

1 2 3 1 ( ,1) ( ,1) ( ,1) ( ,1)

Es decir que podemos descomponer el sistema con una respuesta impulsiva

de longitud en 1 sistemas con respuesta impulsivas de longitud 2 más

un fact

Nh

n N nx y

N N

or de escala.

Los sistemas con respuesta impulsiva de longitud 2 son llamados cuplas o dipolos.

Transformada Z 10


Otra forma de factorizar 𝐻 𝑧 es la siguiente:

𝐻 𝑧 = ℎ0 + ℎ1𝑧 + ℎ2𝑧2 +⋯+ ℎ𝑁−1𝑍

𝑁−1 = ℎ0 1 −𝑧

𝛼01 −

𝑧

𝛼11 −

𝑧

𝛼2⋯ 1 −

𝑧

𝛼𝑁−1

Esto mismo expresado en el dominio del tiempo queda:

ℎ𝑛 = ℎ0, ℎ1, ℎ2, ⋯ , ℎ𝑁−1 = ℎ0 1,−1

𝛼0∗ 1,

−1

𝛼1∗ 1,

−1

𝛼2∗ 1,

−1

𝛼3∗ ⋯∗ 1,

−1

𝛼𝑁−1

Esta forma de factorizar difiere de la anterior en el valor del factor de escala.

Esto que hemos realizado para respuestas impulsivas podría también efectuarse para

señales finitas. Por lo general, tanto las señales como las respuestas impulsivas toman

valores reales, por lo tanto las raíces de sus transformadas Z o bien serán reales o se

presentaran de a pares complejos conjugados.

Transformada Z 11

Operadores Inversos

1

1

En general nos referiremos a las respuesta impulsivas como operadores.

Dado un operador , diremos que es su operador inverso si solo si:

*

n n

n n n

h h

h h

1

Aplicando transformada Z, obtenemos:

( ) ( ) 1

Es decir que la transformada Z del operador inverso es simplemente:

H z H z

1 1 ( )

( )

Dado que cualquier secuencia de longitud puede ser descompuesta en la

convolución de 1 dipolos, comenzaremos estudiando el operador inverso

de una cupla o dipolo para luego genera

H zH z

N

N

lizar nuestras conclusiones.

Transformada Z 12

Operador Inverso de un Dipolo

Consideremos la siguiente transformada Z de una cupla o dipolo:

1 ( ) 1 donde

La transformada Z del operador inve

H z kz k

1

rso está dada por:

1 1 ( )

( ) 1

Para comprender el significado de este operador inverso consideremos el siguiente sistema:

H zH z kz

1 1 *

1 1( ) ( ) ( )

1 1

n n n nn

h y h xx

X z Y z X zkz kz

Transformada Z 13


1

1

*

Tomamos transformada Z:

1 ( ) ( ) ( ) ( )

1

n n ny h x

Y z H z X z X zkz

1

( )(1 ) ( )

( ) ( ) ( )

Ahora tomemos transformada Z inversa:

n n n

Y z kz X z

Y z kzY z X z

y ky x

1

Es decir que el operador inverso de un dipolo puede verse como un sistema autorregresivo

de primer orden AR(1).

n n ny x ky

Transformada Z 14


1

Una forma de encontrar el operador MA equivalente a este operador AR(1), es la siguiente:

n n ny x ky

1 1 2

2 2 3

3 3 4

n n n

n n n

n n n

y x ky

y x ky

y x ky

4 4 5

5 5 6

Reemplazando en cada una de estas ecuaciones, la salida ante

n n n

n n n

y x ky

y x ky

1 2 3 4 5 6

2 3

1 2

rior realimentada en la entrada, por la

salida de la ecuación siguiente, obtenemos:

n n n n n n n n

n n n n

y x k x k x k x k x k x ky

y x kx k x k x

4 5 6

3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 1

0

1 2 3 4 5 6 7

*(1 , , , , , , , , ) *

(1 , , , , , , , , )

n n n n

j

n n j n n n

j

n

k x k x k x

y k x x k k k k k k k x h

h k k k k k k k

Transformada Z 15


Otra manera de encontrar el operador MA equivalente al operador AR(1), es utilizando la

serie geométrica para desarrollar en potencias de z la transformada Z del operador inverso:

1 2 2 3 3 4 4

0

1 (z)= 1

1

Esta serie es absolutamente convergente si 1, pero si evaluamos la transformada

Z sobre el círculo unidad 1, será convergente si 1, o lo que es

n

n

H kz kz k z k z k zkz

kz

z k

1 2

equivalente

si 1.

Tomando transformada Z inversa a la serie geométrica obtenemos el operador inverso

de la cupla o dipolo en el dominio del tiempo:

(1 , , ,nh k k

3 4 5, , , )

El precio pagado por evitar la realimentación recursiva del operador AR(1) es la

utilización de un operador MA de longitud infinita.

k k k

Transformada Z 16


Convergencia:

La condición de convergencia del operador inverso, infinito y causal puede ser vista

de tres maneras equivalentes:

1- El módulo de debe ser menor que uno:

k

0

1 donde (1, )

2- El módulo del primer elemento de la cupla debe ser mayor que el módulo del

segundo elemento:

nk h k

h

01 0 1

1

donde ( , ),

3- La transformada Z de la cupla o dipolo tiene su cero o raíz fuera del círculo unidad:

1

n

hh h h h

h

0

1

1 donde

h

k h

Transformada Z 17

Dipolo de Fase Mínima

Definición:

Llamaremos cupla o dipolo de fase mínima o de mínimo retardo a aquella cupla o dipolo cuya

transformada Z tiene su cero fuera del círculo unidad.

Como hemos visto las cuplas o dipolos de fase mínima admiten inversas causales y estables. Si la

cupla no es de fase mínima la inversa causal no es estable.

Por el contrario llamaremos cupla o dipolo de fase máxima o de máximo retardo a aquella cuya

transformada Z tiene su cero dentro del círculo unidad.

Una cupla que tenga su cero sobre el círculo unidad no es de fase mínima ni de fase máxima y

veremos más adelante cuales son las consecuencias de ello.

Transformada Z 18

Inversa de un Dipolo de Fase

Máxima Cuando el dipolo es de fase máxima tendremos que 1, por lo tanto la inversa causal no

es estable. Sin embargo podemos encontrar una inversa anticausal que sí sea estable:

k

1

1 1 1 2 2 3 3 4 4

0

1 1 1 1 ( ) , 1 1

111

1 1 1 ( ) 1

Tomamos transformada Z inversa:

n

n

H z kkz kz k

kz

H z k z k z k z k zkz kz kz

1 5 4 3 2 1 ( , , , , , ,0)

Para lograr que el operador inve

nh k k k k k

rso del dipolo de fase máxima sea estable hemos tenido que

hacerlo anticausal, es decir, que la salida actual dependa de los infinitos valores futuros que

se presenten en la entrada, por lo cual es físicamente no-realizable.

Transformada Z 19

Generalización

Definiciones:

Diremos que una secuencia finita es de fase mínima o de mínimo retardo si su transformada Z

tiene todos sus ceros fuera del círculo unidad. Por el contrario, diremos que es de fase máxima

o de máximo retardo si su transformada Z tiene todos sus ceros dentro del círculo unidad.

Si tiene ceros tanto dentro como fuera del círculo unidad diremos que es de fase mixta.

Una secuencia de fase mínima de longitud se puede descomponer en la convolución de

1 dipolos de fase mínima, y su inversa se puede descomponer en la convolución de 1

secuencias causales y estables, por lo tanto su inv

N

N N

1 2 3 1

1 2 3 2 3 2 3

1 1 1 2 2 2 1 1 1

ersa estable será causal:

(1, )*(1, )*(1, )* *(1, )

(1, , , , )*(1, , , , )* *(1, , , , )

Análogamente si l

n N

n N N N

h k k k k

h k k k k k k k k k

a secuencia de longitud es de fase máxima su inversa estable será anticausal.

Mientras que si la secuencia es de fase mixta su inversa estable tendrá componentes tanto causales

como anticausales, es

N

decir su salida actual dependerá tanto de las entradas pasadas como futuras.

Transformada Z 20

Fracción Racional de Polinomios

La forma más general de expresar la transformada Z de un sistema ARMA(M,N) es

( )mediante la división de dos polinomios ( ) , la cual puede ser factorizada

( )

de la siguiente manera:

A zS z

B z

1 2 3

1 2 3

( )( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

El numerador es siempre causal mientras que el denominador por lo general será de fase

mixta y para asegurarnos estabilidad tend

N

M

z z z zA zS z

B z z z z z

remos que expandirlo en infinitos términos en

el pasado y en el futuro, luego multiplicar por el numerador y finalmente aplicar la

transformada Z inversa para obtener la respuesta impulsiva estable del sistema.

Transformada Z 21

Fracción Racional de Polinomios

Si el denominador ( ) es de fase mínima, es decir los polos de ( ) están fuera del

círculo unidad, la respuesta impulsiva es causal y estable.

Si tanto los polos como los ceros de ( ) están fuera d

B z S z

S z el círculo unidad la respuesta

impulsiva será causal estable y de fase mínima, ya que la inversa de una secuencia de

fase mínima es de fase mínima y el producto de dos secuencias de fase mínima es de

fase mínima.

Que una secuencia sea causal y estable no implica que sea de fase mínima.

Solamente son de fase mínima aquellos sistemas que tienen tanto sus ceros como sus

polos fuera del círculo unidad.

Transformada Z 22

Clasificación de Sistemas

Todos los sistemas.

Sistemas inestables.

Sistemas estables

representados por

fracciones racionales.

Sistemas causales y

estables con

denominador de fase

mínima.

Sistemas estables

no-causales.

Sistemas causales y

estables de fase

no-mínima.

Sistemas causales y

estables de fase

mínima.

Transformada Z 23

Sistemas Físicos Reversibles

La principal importancia de los sistemas de fase mínima es su relación

con los sistemas físicos que son reversibles. Para que un sistema físico

sea reversible no alcanza con que sea causal y estable, tiene que ser

también de fase mínima. Esto se debe a que si el sistema es reversible,

tiene que tener una inversa causal y estable, lo cual solo es posible

cuando el sistema es de fase mínima. Es decir, existen consideraciones

físicas por las cuales algunos sistemas deben ser de fase mínima.

Transformada Z 24

Sistemas Físicos Reversibles

Un hecho sumamente desafortunado y de profunda importancia en análisis de

señales, es el que los sistemas analógicos de fase mínima no siempre preservan esta

condición cuando los discretizamos.

La condición de fase mínima está ligada a la estabilidad numérica de los distintos

esquemas computacionales que podemos implementar para resolver un problema

de deconvolución o de ecuaciones de diferencias, por lo cual tiene un papel de

central importancia en el procesamiento de señales digitales.

La transformada Z, mediante una simple expansión en serie geométrica, nos ha

permitido convertir la acción recursiva o auto-regresiva de la inversa de una cupla,

en un operador equivalente de promedio móvil de longitud infinita. Como

consecuencia esta expansión nos permite relacionar la condición de fase mínima

con un aspecto físico central como es la causalidad.

Transformada Z 25

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Two.


3° Clase

Respuesta en Frecuencia

de los Sistemas Lineales e

Invariantes



Respuesta en

Frecuencia de los SLI

2

Funciones y Valores Propios

Definición:

Diremos que una función es una función propia de un sistema lineal e invariante

si cuando excitamos el sistema con esta función nos responde entregándonos la misma

función pero escala

n

n

x

x

da con un factor , este factor de escala es llamado valor

propio del sistema:

Ejemplo:

n n n n

t

x S y S x x

de

dt

t tde e

dt

Respuesta en


3

Respuesta en Frecuencia

Excitemos un SLI de respuesta impulsiva , con una función exponencial

compleja:

*

Llamaremos respuesta en frecuencia ( ) de los SLI a:

n

i n ki n i n i n i k

n n n n k k

k k

h

x e h y h e h e e h e

H

( )

( )

Es decir que la función exponencial compleja es una función propia de los SLI

y su valor propio as

i k

k

k

i n i n

n

H h e

e h H e

ociado es la respuesta en frecuencia ( ).H

Respuesta en


4

Propiedades de H(ω)

Es una función continua de la frecuencia angular digital .

Es una función periódica de la frecuencia de período 2 .

Está completamente determinada por la respuesta impulsiva del

sistema lineal

e invariante.

La respuesta impulsiva del sistema puede ser invertida a partir de

ella, es decir que define perfectamente al sistema.

Por lo general tomará valores complejos, es decir que introd

ucirá

cambios de escala y corrimientos de fase.

Respuesta en


5

Relación con la Transformada Z

La transformada Z de la respuesta impulsiva está dada por:

( )

Si evaluamos ( ) sobre el círculo unidad , obtenemos:

n

k

k

k

i

h

H z h z

H z z e

( ) ( )

Es decir que la respuesta en frecuencia ( ) de un SLI es la transformada Z

de su respuesta impulsiva evaluada sobre el círculo unidad. Esto significa que

la respuesta en

i i k

k

k

H e h e H

H

frecuencia ( ), es también una transformada que va del

dominio discreto del tiempo al dominio continuo de las frecuencias, y como

veremos más adelante, es una de las cuatro formas de la transformada

H

de Fourier.

Respuesta en


6

Ejemplo 1:

11 13

1 11 13 3

Suavicemos una señal aplicándole un filtro de 3 puntos:

Tomemos transformada Z:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

Evaluemos

n

n n n n

x

y x x x

Y z zX z X z z X z z z X z

1 13 3

está expresión sobre el círculo unidad:

( ) 1 ( ) 1 2cos( ) ( )

La respuesta en frecuencia del sistema, también llamada función de transferencia,

está dada por:

i iY e e X X

1 23 3

( ) ( ) + cos

( )

YH

X

Respuesta en


7

Ejemplo 1:

1 23 3

( ) cosH

23 ω

H(ω)

Respuesta en


8

Ejemplo 2:

11 14

1 11 14 4

Suavicemos la señal con un filtro de 3 puntos diferente:

2

Tomemos transformada Z:

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

Evalue

n

n n n n

x

y x x x

Y z zX z X z z X z z z X z

1 13 4

mos está expresión sobre el círculo unidad:

( ) 2 ( ) 2 2cos( ) ( )

La función de transferencia de este nuevo filtro está dada por:

( ) ( )

( )

i iY e e X X

YH

X

1 12 2

+ cos

Respuesta en


9

Ejemplo 2:

1 12 2

( ) cosH

( )H

Respuesta en


10

Respuesta en frecuencia del operador

integración:

( ) ( ) ( )

1

1 ( )

Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración

introdu

i ti t i t

t t t

exacto

ex e dt y e dt x

i i

Hi

ce un factor de escala inversamente proporcional a la frecuencia y un

atraso de la fase de 90°.

Respuesta en


11

Transformada Z de la regla del

trapezoide:

11 12

12

La regla del trapezoide se define del siguiente modo:


( ) ( ) ( ) ( )

La función de transferencia es:

n n n ny y x x

Y z zY z X z zX z

( ) 1 1 ( )

( ) 2 1

Está es la transformada Z del operador de la regla del trapezoide,

y como veremos está estrechamente relacionada a lo que se denomina

op

trapezoide

Y z zH z

X z z

erador bilineal.

Respuesta en


12

Respuesta en frecuencia de la regla

del trapezoide:

2 2

2 2

( ) 1 1 ( )

( ) 2 1

Evaluamos la transformada Z sobre el círculo unidad :

1 1 1 1 ( )

2 1 2

trapezoide

i

i ii

trapezoide i i i

Y z zH z

X z z

z e

e e eH

e e e

2

2

cos 1cotg

2 sin 2 2

1En las bajas frecuencias, cuando 0, ( ) , es decir que la regla

del trapezoide es una buena aproximación de baja frecuencia.

Calculemos el cociente entre la respuesta

i i

Hi

en frecuencia del trapezoide y la

respuesta en frecuencia del operador exacto:

1cotg

( ) 2 2 cotg

1( ) 2 2

trapezoide

exacto

H i

H

i

Respuesta en


13

Cocientes de las respuestas en frecuencia de

trapecio, Simpson y Tick, con la respuesta exacta:

11 12

12 1 23

2 1 2

Trapecio:

( )

Simpson:

( 4 )

Tick:

0.3584 1.2832 0.3584

n n n n

n n n n n

n n n n n

y y x x

y y x x x

y y x x x

Respuesta en


14

Respuesta en frecuencia del operador

derivación:

( ) ( ) ( )

( )

Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación

introduce u

i t i t i t

t t t

exacto

d dx e y e i e i x

dt dt

H i

n factor de escala directamente proporcional a la frecuencia y un

adelanto de la fase de 90°.

La respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación es la inversa de

la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración.

Respuesta en


15

Diferencias de Primer Orden

11 12

Es posible aproximar una derivada en forma discreta utilizando la diferencia

central de primer orden:

( ) diferencia central de primer orden

Este operador u

n n ny x x

tiliza dos muestras no consecutivas para aproximar la derivada.

Es claro que si utilizamos dos muestras consecutivas, podríamos obtener una

mejor aproximación de la derivada. Existen dos posiblidades:

f

1

b

1

diferencia de primer orden hacia adelante

diferencia de primer orden hacia atrás

El problema es que ambas a

n n n n

n n n n

y x x x

y x x x

1 12 2

proximaciones introducen un corrimiento en tiempo de

media muestra respecto de la posición correcta de la salida e , este

corrimiento en tiempo corresponde a un corrimiento lineal de la f

n ny y

ase que alcanza los

90° cuando .

Respuesta en


16

Diferencias de Orden Superior

Repetidas aplicaciones de las diferencias de primer orden pueden utilizarse para obtener

diferencias de orden superior y aproximar de manera discreta derivadas de orden superior.

Por ejemplo:

12

12

12

f

1

b

1

2 f b

1 1 1 1

f 3 3 2 2

1 2 1

( ) 2

2

n n nn

n n nn

n n n n n n n n n n

n n n n nn

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

12

1 1

2 1 1

b 3 3 2 2

1 1 1 1 2

1 1 2

2

3 3

2 2

3 3

n n n n

n n n n

n n n n n n n n nn

n n n n

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

3 f 3 b 31 12 1 1 22 2

4 f 3 b 3

2 1 1 1 1 2

2 1 1

2 2 2

3 3 3 3

4 6 4

n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x

2nx

Respuesta en


17

Respuesta en frecuencia de la diferencia

de primer orden hacia adelante:

f

1

1


( ) 1 ( )

La función de transferencia está dada por:

n n n ny x x x

Y z z X z

1

2 31 12 6

( ) ( ) 1

( )

Evaluando sobre el círculo unidad , obtenemos:

( ) 1

diferencia

i

i

diferencia

Y zH z z

X z

z e

H e i i

El cociente entre la respuesta en frecuencia de la diferencia de primer orden hacia adelante

y la respuesta en frecuencia del operador exacto es:

diferenciaH 2( ) 1

1( ) 2 6

i

exacta

ei

H i

Respuesta en


18

Cociente de la respuesta en frecuencia de la diferencia de

primer orden hacia adelante con la respuesta exacta:

10

( )20 log

( )

diferencia

exacta

HdB

H

Respuesta en


19

Desarrollo en Serie del Logaritmo

2 3 4

0

Hagamos uso de la conocida serie geométrica:

1 1 , 1

1

Integramos ambos miembros:

n

n

z z z z z zz

0

1

0 1

1

1

1

ln(1 )1

ln(1 )

ln

n

n

n n

n n

n

n

dz z dzz

z zz

n n

zz

n

1

1

1

1

( 1)(1 )

( 1) ( 1) ln( )

n n

n

n n

n

zz

n

zz

n

Respuesta en


20

Desarrollo en Serie del Logaritmo

Para obtener una convergencia más rápida del desarrollo en serie del logaritmo

hacemos el siguiente cambio de variables:

1 1 ,

1 1

w zz w

w z

2 4 6 8

3 5 7

1 1 1 1 1 ln( ) ln 2 1

1 3 5 7 9

1 2 1 2 1 2 1 ln( ) 2

1 3 1 5 1 7 1

wz w w w w w

w

z z z zz

z z z z

Respuesta en


21

Desarrollo en Serie de la exponencial

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

2

1 1 1 1

2! 3! 4!

1 1 1

2! 3! 4!

1 1 1

2! 3! 4!

11

2 2! 2

i

i

i

i

i

e

ie i

ie i

ie

e

e

2 3 4

2 3 4

1

3! 2 4! 2

1 11

2 2! 2 3! 2 4! 2

i

ii

Respuesta en


22

La Transformación Bilineal

Las operaciones de derivacion e integración están definidas en un dominio continuo.

Queremos encontrar un operador que aplicado en el dominio de los tiempos discretos

sea equivalente a multiplicar o dividir por en el dominio de las frecuencias.

La dificultad del problema radica esencialmente en la no simplicidad de la relación

que vincula a las variables y , esta relación está definida por:

i

z

ln( )

Ir desde el dominio de los tiempos discretos al dominio de la transforma

iz e

i z

da Z es simple

e inmediato. Pero ir desde el dominio de la respuesta en frecuencia al dominio de los

tiempos discretos, pasando por el dominio de la transformada Z, es una tarea compleja

que requerirá de algún tipo de aproximación.

Respuesta en


23


2

2

2

Para encontrar las aproximaciones buscadas, hacemos un desarrollo en serie de la

exponencial compleja y truncamos en el segundo término:

11

2 2! 2

1

i

i

i

i ie

z ee

i

2

3

12

1 122 2! 2

Análogamente, hacemos un desarrollo en serie del logaritmo natural y truncamos

también en el segundo término:

1 2 1 ln ln( ) 2 2

1 3 1

i

i

ii

z z zi e z

z z

1

1z

Respuesta en


24


Estas expresiones aproximadas que vinculan la variable y la variable son conocidas

como Transformación Bilineal:

112 2 1

12

E

z

iz

z iz

i

sta transformación se utiliza para aproximar derivadas e integrales por medio de un

desarrollo en serie truncado de las relaciones entre y .z

Respuesta en


25


Veamos como podemos interpretar la utilización de la Transformación Bilineal para aproximar la

derivada:

∆𝑏 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛−

12= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑦𝑛−

12=1

2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1

1

2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

1

2𝑌 𝑧 + 𝑧𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 − 𝑧𝑋 𝑧

1

2𝑌 𝑧 1 + 𝑧 = 𝑋 𝑧 1 − 𝑧

𝐻 𝑧 =𝑌 𝑧

𝑋 𝑧= 2

1 − 𝑧

1 + 𝑧

La Transformación Bilineal tiene una respuesta en amplitud muy superior a la de las diferencias

de primer orden para frecuencias extremadamente bajas y tiene una respuesta en fase exacta para

todas las frecuencias a expensas de una paupérrima respuesta en amplitud para las frecuencias

más altas.

Respuesta en


26

La TB preserva las propiedades de

causalidad, estabilidad y fase mínima

Se puede demostrar que si un sistema analógico es causal y estable, el

sistema discreto que se obtiene aplicando la Transformación Bilineal

también será causal y estable.

Asimismo, si el sistema analógico original es de fase mínima, la

Transformación Bilineal preservará dicha propiedad, de tal forma

que el sistema discreto obtenido también será de fase mínima.

Una ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de

diferencias utilizando la Transformación Bilineal, también tendrá una

solución discreta estable. Esto no siempre es así cuando la ecuación se

discretiza utilizando diferencias hacia adelante o hacia atrás.

Respuesta en Frecuencia de los SLI 27

La TB preserva las propiedades de

causalidad, estabilidad y fase mínima Si suponemos que la frecuencia puede tomar valores complejos,

estaríamos evaluando la transformada Z no solamente sobre el círculo

unidad sino sobre cualquier punto del plano complejo:

𝑧 = 𝑒−𝑖𝜔 = 𝑒−𝑖 𝑅𝑒 𝜔 +𝑖𝐼𝑚 𝜔 = 𝑒𝐼𝑚 𝜔 𝑒−𝑖𝑅𝑒 𝜔

Esta relación mapea el exterior del círculo unidad del plano Z en la mitad superior del plano w . Mientras que el interior del círculo unidad del plano

Z es mapeado en la mitad inferior del plano w. Observando la definición

de la transformación bilineal, puede verse que el mapeo que efectúa entre los planos Z y w, tiene las mismas características. Este hecho

extremadamente fortuito tiene como implicancia que la condición de fase

mínima es preservada por la transformación bilineal. Por ejemplo, que una

ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de diferencias

utilizando la transformación bilineal, también tendrá una solución digital

estable. Esto no siempre es así cuando se utilizan diferencias hacia adelante

o hacia atrás.

Respuesta en


28

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Three.


4° Clase

Cuplas y Filtros Elementales



Cuplas y Filtros

Elementales

2

Cuplas y Filtros Elementales

1 cupla o dipolokz

1 inversa de un dipolo

1 kz

1+kz cociente de dipolos

1+qz

Cuplas y Filtros

Elementales

3

La Cupla o Dipolo

0

La cupla es el más simple de los filtros digitales y su transformada Z se puede

expresar de la siguiente manera: ( )H z z z

0

Si , entonces arg( )

( ) ( ) ( )

( )

arg ( )

i

i

z e z

H z H e H

H z z z

H z

Cuplas y Filtros

Elementales

4

La Cupla o Dipolo

El argumento o la fase de la variable , es una función negativa de la

frecuencia:

arg( )

iz e

z

Cuplas y Filtros

Elementales

5

La Cupla o Dipolo

Si el cero de la transformada Z del diplo se encuentra dentro del círculo unidad,

la fase del dipolo se despliega entre y , y tendrá un salto de 2 :

Por eso se dice que el dipolo es de fase máxima.

Cuando el cero se acerca al círculo unidad el espectro de amplitud tiende a un valor

pequeño para la frecuencia igual a la fase del cero cambiada de signo.

Cuplas y Filtros

Elementales

6

La Cupla o Dipolo

Por eso se dice que el dipolo es de fase mínima. Cuanto más lejos esté el cero del

círculo unidad, menor será la variación de la fase con la frecuencia.

Si el cero de la transformada Z del dipolo se encuentra fuera del círculo

unidad, la fase del dipolo se desplegará en un entorno de la fase del cero

±π, es decir: ∅ 𝑧−𝑧0 ≈ arg(𝑧0) ± 𝜋

Cuplas y Filtros

Elementales

7

La Cupla o Dipolo

Calculemos las expresiones analíticas de los espectros de amplitud y de fase de una cupla, cuya

transformada Z está dada por la siguiente expresión, la cual difiere de la anterior en un factor de

escal1 2

1 2

a: ( )

Evaluemos la transformada Z sobre el círculo unidad:

( )

El espectro

i

H z h h z

H h h e

2 * * *

1 2 1 2

de amplitud al cuadrado, tambien conocido como espectro de potencia, está

dado por: ( ) ( ) ( )

i iH H H h h e h h e

2 * * * *

1 1 1 2 2 1 2 2

2 2 2 * *

1 2 1 2 2 1

2 2 2 *

1 2 1 2

( )

( )

( ) 2Re

i i

i i

i

H h h h h e h h e h h

H h h h h e h h e

H h h h h e

2 2 *

1 2 1 2 ( ) 2Re

Mientras que el espectro de fase está dado por:

Im ( ) ( )=arctg

Re ( )

iH h h h h e

H

H

Cuplas y Filtros

Elementales

8

La Cupla o Dipolo

Una propiedad de central importancia de la cupla o dipolo es que su espectro de amplitud no cambia

si intercambiamos y conjugamos los coeficientes, es decir:

1 1 2

* *

2 2 1

1 2

( )

( )

( ) ( )

Esto se verifica reemplazando los valore

H z h h z

H z h h z

H H

s de los coeficientes en la expresión deducida en la diapositiva

anterior para el espectro de amplitud.

Veamos que sucede con los ceros o raices de estos dipolos al intercambiar y conjugar los coeficie

1 1 1 1 2

* *

2 2 2 2 1

ntes:

Si ( ) 0 entonces

Si ( ) 0 entonces

Es decir que:

H z z h h

H z z h h

*

1 2 1 son recíprocos conjugados

El espectro de fase no es invariante ante este cambio, sino que convierte una cupla de fase mínima en

una cupla de fase

z z

máxima y vicerversa. Cuando dos secuencias de igual longitud tienen el mismo

espectro de amplitud pero distinto espectro de fase, se dice que son secuencias equivalentes.

Cuplas y Filtros

Elementales

9

Ejemplo de Cuplas Equivalentes

1

2

54

Consideremos las cuplas equivalentes:

( ) 1 0.5

( ) 0.5

El espectro de amplitud para ambas cuplas es:

( ) cos( )

Los espectros de f

H z z

H z z

H

1

2

ase son respectivamente:

sin( ) ( ) arctg

0.5 cos( )

sin( ) ( ) arctg

2 cos( )

Cuplas y Filtros

Elementales

10

La Inversa de una Cupla

La inversa de una cupla es un operador con un único polo, es decir que es un filtro

autorregresivo de primer orden:

1 ( )

Cuando el polo se acerca al

p

H zz z

círculo unidad el espectro de amplitud tiende a un valor

muy grande para la frecuencia igual al argumento del polo cambiado de signo.

Calculemos el espectro de potencia de un filtro con un único polo:

2

2 2 ** *

1 1 ( )

2Re

Utilizando coordenadas polares:

y

El espectro de potencia nos qued

p p

p pp p

i ii

p

H zz z z zz z z z

z e z e e

2

2

a:

1 ( )

1 2 cos( )p

H

Cuplas y Filtros

Elementales

11


2

2

2 2

Vamos a analizar el espectro de potencia en un entorno de :

cos( ) 1 2

1 ( )

1 ( )

Veamos que sucede cuando el polo se

p

p p

p

H

+

acerca al círculo unidad por fuera:

1 1

0

Lo hacemos acercar por fuera para que el filtro s

2

2

ea causal y estable.

Entonces el espectro de potencia del filtro con un único polo cercano al círculo

unidad, para valores de cercanos a es:

1 ( )

p

H

2

p

Cuplas y Filtros

Elementales

12


4Grafiquemos la última expresión para un polo ubicado en 1.1 , es decir

0.1 y 4 :

i

p

p

z e

Un filtro con un pico angosto puede ser utilizado para extraer una señal con una

frecuencia conocida, que se encuentra sumergida en un ruido con un espectro

mucho más ancho. El filtro deja pasar la señal centrada en la frecuencia

mientras que rechaza o no deja pasar las restantes frecuencias asociadas al ruido.

p

Cuplas y Filtros

Elementales

13

Utilidad

Tanto los filtros con un único cero como los filtros con un único polo son

demasiado elementales como para tener un uso práctico, su utilidad es

principalmente didáctica. También pueden ser utilizados como los elementos

básicos para construir filtros más largos y complejos.

Ambos filtros tienen salidas complejas aún cuando las entradas sean reales.

Para hacer un filtro con una respuesta real debemos colocar en cascada otro

filtro que tenga otro cero u otro polo en el valor complejo conjugado del cero

o polo del primer filtro. En el caso de un filtro con un único polo generaríamos

un filtro con dos polos donde uno es el complejo conjugado del otro, su

espectro de amplitud se vería similar al del filtro con un único polo, pero

tendría un pico adicional en la frecuencia .p

Cuplas y Filtros

Elementales

14

Retardo de Fase

( ) ( )

Si excitamos un SLI con una exponencial compleja, los cambios entre la entrada

y la salida serán el de la amplitud y el de la fase:

( ) ( ) ( ) ( )i t i t i i t i t ie h t H e H e e H e

( )

( )

ph

( )

Es decir que el corrimiento en fase de la salida respe

phi t i ti t ie e e

cto de la entrada puede verse como

un retardo en tiempo llamado retardo de fase. El problema con este retardo es que tiene

una ambigüedad de 2 o , donde es el período.

En propagación de ondas la

n nT T

velocidad de fase es el cociente entre la distancia recorrida

por la onda y el retardo de fase producido.

Cuplas y Filtros

Elementales

15

Retardo de Grupo

Cuando la fase varía linealmente con la frecuencia y el retardo de fase es independiente

de la frecuencia, el retardo de grupo no es más que el retardo de fase. Pero cuando el

retardo de fase varía con la frecuencia el retardo de grupo toma un valor diferente.

Cuando una señal contiene dos frecuencias muy próximas se produce un fenómeno de

interferencia conocido como batido de ondas:

1 2

1 2 2 1

( )

2 2

( ) 2cos

Es decir que la suma de

i t i t

i t i t i t i t i t i t

x t e e

x t e e e e e t e

estas dos componentes de frecuencias próximas, se verá como

una exponencial compleja de frecuencia media, cuya amplitud es modulada por un

coseno de frecuencia muy baja.

Cuplas y Filtros

Elementales

16

Retardo de Grupo

Ahora excitemos un SLI con esta señal que contiene dos frecuencias muy

próximas. Supongamos que el sistema no modifica las amplitudes pero que

introduce un corrimiento de la fase diferente para cada fre

1 2 1 1 2 2

1 2 2 1

cuencia:

( ) ( )

2 2

( )

i t i t i t i i t i

i t i i t i i t i t i t

x t e e SLI y t e e

y t e e e e e

y

( ) 2cos 2cos phi ti tt t e t e

Cuplas y Filtros

Elementales

17

Retardo de Grupo

g

g

Reescribamos el factor de modulación de la siguiente forma:

cos cos cos

( ) 2 cos

gt t t

y t t

g

Si el espectro de fase está definido en un dominio continuo de las

frecuencias, entonces el retardo de grupo es:

phi te

d

d

Cuplas y Filtros

Elementales

18

Retardo de Grupo

En propagación de ondas la velocidad de grupo es el cociente entre la distancia

recorrida por la onda y el retardo de grupo producido. Es la velocidad con la

que se propaga la envolvente de una señal, es decir la velocidad de propagación

de la energía.

Cuando el retardo de grupo es función de la frecuencia, algunas frecuencias

se retardarán más que otras y diremos que el sistema es dispersivo, en

g

estos casos

la forma de la señal de salida será distinta a la forma de la señal de entrada aún

cuando el espectro de amplitud no cambie.

Cuando una señal sufre un corrimiento constante de la fase, por ejemplo cuando

le aplicamos la transformada de Hilbert, no hay retardo de grupo, es decir no

cambia la envolvente ni hay retardo de energía, pero sí existe un cambio de forma.

Cuplas y Filtros

Elementales

19

Filtros Pasa-Todo

Definición :

Un filtro pasa-todo es aquel filtro que introduce un cambio en el espectro de

fase de la señal pero que no modifica su espectro de amplitud.

Es decir que el espectro de amplitud de un filtro pasa-todo tendrá un valor

constante e igual a uno:

( ) 1

El caso trivial de un filtro pasa-todo es la secuencia impulso unitario que

no solo no modi

pasa todo

n

H

fica el espectro de amplitud sino que tampoco modifica el

espectro de fase. El impulso unitario retardado no modifica la forma de

la señal sino que solo la retarda introduciendo un cambio lineal

n k

de la fase.

Cuplas y Filtros

Elementales

20

Impulso Unitario Retardado

Analicemos la respuesta en frecuencia de :

( )

( )

n k

n n k

k

i k

h

H z z

H e

( ) 1

( )

Es decir que el impulso unitario retardado tiene un espectro de fase

lineal, lo que corresponde a un corrimiento en tiempo de muestras

i kH e

k

k

.

Cuplas y Filtros

Elementales

21

Propiedad 1

1

( )( )

( )

( )

( )

Comparando la expresiones recuadradas, encontramos que sobre el círculo

unidad:

k

ki kkk

kk

ki k k

k

kk

k

k

X z x zX x e

dX zkx z

dX dzi kx ed

dX zz kx z

dz

( ) ( )

Es decir:

( ) ( )

dX dX zi z

d dz

dX dX ziz

d dz

Cuplas y Filtros

Elementales

22

Propiedad 2

( )

( )

Sea un filtro pasa todo:

( ) 1 ( ) 1

Tomando logaritmo natural:

ln ( ) ln 1 ( )

( ) ln ( )

n

i

i

h

H H e

H e i

i H

Cuplas y Filtros

Elementales

23

Filtro pasa-todo con un único cero

y con un único polo

0

0

La clave para construir un filtro pasa-todo con un único cero y con un

único polo es colocar el cero en el recíproco conjugado del polo, es decir:

z

p

z

z

*

*

1

1

( )

1

Para que el filtro sea causal y estable el polo debe estar fuera del círculo

unidad, en consecuencia el cero estará dentro y la fase s

p

p

p

z

zz

H zz

z

erá mixta.

Cuplas y Filtros

Elementales

24

Retardo de grupo de un filtro pasa-todo

Calculemos el retardo de grupo de un filtro pasa todo:

ln ( )

Si el filtro pasa todo es un filtro con un único cero y con un único polo, y

además es causal y e

g

d d diz iz i H z

d dz dz

*

* *

*

stable:

1 ( ) 1

1

11

1 ln 0

1 1 1 11 1

p

p

p

p p p

g

p

p p

z zH z z

z z

z z z zdiz i

dz z zz

z z z

Cuplas y Filtros

Elementales

25

Secuencias de Mínimo Retardo

La fase de un filtro pasa todo causal y estable es monotónicamente

decreciente en por lo que provoca un retardo de grupo positivo

para todas las frecuencias. La consecuencia de esto es que de todas

la

s secuencias de igual longitud que se pueden encontrar con un

mismo espectro de amplitud, la secuencia de fase mínima es la que

tiene la mayor cantidad de energía acumulada en el comienzo. Es decir

que

las secuencias de fase mínima son además de mínimo retardo.

( ) ( ) ( )

equivalente fase mínima pasa todoF z F z H z

Cuplas y Filtros

Elementales

26

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Four.

Claerbout, Jon F. (1992), Earth Sounding Analysis,

Processing versus Inversion, Blackwell Scientific

Publications


5° Clase

Transformada Discreta de Fourier



Transformada Discreta

de Fourier

2

Discretización de la Respuesta en

Frecuencia Hemos visto que la respuesta en frecuencia ( ), de un sistema SLI con respuesta

impulsiva , es una función continua y periódica de la frecuencia digital :

n

H

h

1

0

21

2

0

( )

Tomemos muestras de ( ) a intervalos regulares de la frecuencia entre 0 y 2 :

( ) ( ) 0, 1

C

Ni n

n

n

N i k nM

k k nM

n

H h e

M H

H H k H h e k M

21

0

omo ( ) es una función periódica de período 2 , va a resultar una función

discreta, periódica, de período .

Esta ecuación:

k

N i k nM

k n

n

H H

M

H h e

0, 1

representa una transformación de números en números .n k

k M

N h M H


de Fourier

3

Discretización de H(ω)

Con la idea de obtener una transformación inversa simple, vamos a limitar

la cantidad de puntos en frecuencia a la misma cantidad de puntos en tiempo:

21

0

0, 1

Aunque esta restricción no es estrictamente necesaria, al hacerlo nos quedan

ecuaciones con incógnitas.

Multipliquemos ambos miembros por

N i k nN

k n

n

i

H h e k N

N N

e

2

2 2 2 21 1 1 1 1

0 0 0 0 0

, sumemos sobre , e intercambiemos

el orden de las sumatorias:

Introduzcamos la relación de or

k mN

N N N N Ni k m i k n i k m i k m nN N N N

k n n

k k n n k

k

H e h e e h e

togonalidad de la Transformada Discreta de Fourier.


de Fourier

4

Relación de Ortogonalidad de la


21

,

0

,

Esta relación está dada por la siguiente expresión:

Donde es el delta de Kronecker:

N i k m nN

n m

k

n m

e N

,

1 si

0 si

La relación de ortogonalidad es simple de verificar si pensamos a la sumatoria

como una suma vectorial en el plano complejo de vectores de módulo unitario

regular

n m

n m

n m

N

mente orientados en todas las direcciones. Para los casos en que ,

los vectores concatenados formarán un polígono cerrado, por lo tanto la resultante

será cero. Si , formarán una línea recta sob

n m

n m

re el eje real de longitud .N


de Fourier

5


2 21

0

Haciendo uso de la relación de ortogonalidad, obtenemos una expresión simple que nos

permite calcular los coeficiente a partir de los valores :

n k

N i k m i k mN N

k n

k

h H

H e h e

1 1 1

,

0 0 0

21

0

2

El siguiente par de ecuaciones es conocido como la Transformada Discreta de Fourier:

1

N N Nn

n n m m

n k n

N i k nN

k n

n

i

n k

h N Nh

H h e

h H eN

1

0

0, 1

0, 1

Indicaremos del siguiente modo que es la Transformada Discreta de Fourier de :

N k nN

k

k n

k N

n N

H h

n k

k n

h H

H TDF h


de Fourier

6


Si bien presentamos a como la respuesta impulsiva de un SLI y a como una versión

discretizada de su respuesta en frecuencia, la Transformada Discreta de Fourier (TDF)

puede aplicarse a cualquier

n kh H

secuencia. Puede pensarse como una forma general de mapear

números complejos en otros números complejos, donde tiempo y frecuencia juegan

roles idénticos e intercambibles.

No existe una definición

N N

21

0

2

estándar de la TDF sino que podrán encontrar otras versiones con

distintos signos y con diferentes factores, como por ejemplo:

1

1

N i k nN

k n

n

i k nN

n k

k

H h eN

h H eN

1

0

La cantidad de operaciones necesarias para calcular la TDF es proporcional a , sin

embargo existen algoritmos mucho más rápidos conocidos como FFT o transformada rápida

de Fourier, capa

N

N N

2ces de realizar el cálculo en log operaciones, la condición es que la

longitud de la secuencia sea una potencia de dos, es decir que existe entero, tal que 2 .

N N

N


de Fourier

7

TDF en Notación Matricial

2 1

0

01 111 12

1

2 121 222

1 1 1 21

Sea . Podemos escribir la TDF como

En notación matricial tendremos:

1 1 1 1

1

1

1

Nik nN

k n

n

N

N

N NN

W e H W h

H

W W WH

H W W W

H W W

0

1

2

1 11

01 111 12

1

2 121 222

1 1 1 21

La TDF inversa nos quedará:

1 1 1 1

11

1

1

N NN

N

N

N N NN

h

h

h

hW

h

W W Wh

h W W WN

h W W W

0

1

2

1 11

NN

H

H

H

H


de Fourier

8

TDF en Notación Matricial

Es decir que podemos escribir la transformada discreta de Fourier utilizando

notación matricial, del siguiente modo:

H=Wh

Premultiplicando por la matr

H H

iz transpuesta conjugada de W, también llamada

Hermitiana o Hermítica, y teniendo en cuenta que W es una matriz ortogonal,

obtenemos:

W H W Wh Ih

N

H1 h W H

N


de Fourier

9

Propiedades de la TDF

La transformada discreta de Fourier no es más que la transformada Z

evaluada en puntos regularmente dispuestos sobre el círculo unidad.

En consecuencia la mayoría de las propiedades de la TDF nos resultarán

familiares debido a nuestro conocimiento previo de la transformada Z.

Analizaremos en detalle las siguientes propiedades de la TDF:

Periodicidad en tiempo.

Simetrías

Teorema del Corrimiento Li

neal de la Fase



de Fourier

10

Periodicidad en Tiempo

Una de las consecuencias más importantes de haber discretizado la respuesta en

frecuencia ( ) para obtener la transformada discreta de Fourier , es la de

haber generado periodicidad en el dominio del

kH H

2 2 2 21 1 1

0 0 0

tiempo:

1 1 1

Ambas secuencias, tanto como , son periódica

N N Ni k n N i k n i k N i k nN N N N

n N k k k n

k k k

n N n

n k

h H e H e e H e hN N N

h h

h H

s de período . No nos estamos

refiriendo a la secuencia original, la cual sólo está definida para valores de entre

0 y 1, sino a la secuencia que nos devuelve la transformada discreta de Fourier

inv

N

n

N

ersa cuando la evaluamos en otros valores de .n


de Fourier

11

Forma Centrada de la TDF

Como consecuencia de la peridodicidad de la transformada discreta de Fourier podemos

comenzar la sumatoria en cualquier punto del ciclo, siempre que la extendamos por un ciclo.

Es común escribir la TDF

1 22

2

1 22

2

del siguiente modo:

, 12 2

1

, 12 2

Llamaremos a estas últimas ecuaciones form

N

i k nN

k nN

n

N

i k nN

n kN

k

N Nk

H h e

h H e N NnN

a centrada de la TDF y a las anteriores forma

estándar de la TDF. La forma centrada es más apropiada para discutir las propiedades de

simetría de la TDF, mientras que la forma estándar es más apropiada para implementarla

computacionalemente ya que sólo utiliza subíndices positivos.


de Fourier

12

TDF de una Secuencia Conjugada

1 22

2

Dada la TDF de una secuencia :

, 12 2

Tomemos el complejo conjugado:

n

N

i k nN

k nN

n

h

N NH h e k

1 22* *

2

1 22 ´* * *

´ ´

2

Hagamos el cambio de variables :́

N

i k nN

k nN

n

N

i k nN

k n n kN

n

H h e

k k

H h e TDF h

* * n kh H


de Fourier

13

TDF de una Secuencia Real

*

*

Si es una secuencia real, entonces , en consecuencia su transformada de

Fourier deberá cumplir:

Cuando una función cumple con esta

n n n

k k

h h h

H H

igualdad, se dice que es una función Hermitiana.

Cuando una función es Hermitiana su parte real es par y su parte imaginaria es

impar: Re Re

k kH H

Im Im

O dicho de otra manera, su módulo es par y su argumento es impar:

k k

k k

H H

H H

arg arg

La transformada de Fourier de una función real es una función Hermitiana, es decir,

su espectro de amplitud es par y su espectro de fase es impar.

k kH H


de Fourier

14

Descomposición Par e Impar

Toda secuencia se puede descomponer como la suma de dos secuencias, una par y

otra impar:

Donde:

2

n

par impar

n n n

par pan nn n

h

h h h

h hh h

y

2

Tomando Transformada de Fourier a estas ecuaciones, es fácil de ver las siguientes

propiedades:

r impar imparn nn n

n k

pa

n

h hh h

h H

h

Re

Im

La transformada de Fourier de una función par es real y la de una función impar es

imaginaria pura.

r

k

impar

n k

H

h H


de Fourier

15

Teorema de Parseval

2

Se define la energía de una secuencia como la suma de los cuadrados de

sus amplitudes, es decir:

El teorema de Parseval dice que la energía de

n n

n

Energía de h h

2 2

0

una secuencia de longitud

en el dominio de la transformada discreta de Fourier es veces la energía

de la secuencia en el dominio del tiempo:

n k

k

N

N

N h H

1 1

0

N N

n


de Fourier

16

Teorema del Corrimiento

Lineal de la Fase

0 0

0

2

Veamos como se relaciona la TDF de una secuencia retardada en muestras, con

la TDF de la secuencia original:

Haciendo el cambio de v

i k nN

n n n nk

n

n

TDF h h e

0 0 0

0

0 00

0

0

2 2 2 2

2 2

ariables , obtenemos:

Observe que con los deb

k kk

i k m n i k n i k m i k nN N N N

n n m m n kkm m

i k n i k n i niN Nn n k k k

k

m n n

TDF h h e e h e e TDF h

TDF h e H e H e H e

0

2

idos recaudos para que siga siendo Hermitiana,

esta expresión es válida aún cuando queremos retardar una señal real en una fracción

del intervalo de muestro.

i k nN

kH e


de Fourier

17


2

2

Consideremos dos secuencias y , con transformadas de Fourier:

G

Multipliquemo

n n

i k nN

k n

n

i k nN

k n

n

f g

F f e

g e

2 2 2

2 2 2

s las transformadas:

G

Tomando las transformada inversa al producto de las transformadas, obtenemos:

1 1

i k n i k m i k n mN N N

k k n m n m

n m n m

i k l i k l iN N N

k k n m

F f e g e f g e

F G e e f g eN N

2

1k n m i k n m lN

n m

k k n m n m k

f g eN


de Fourier

18


2 2

Utilizando la relación de ortogonalidad de la transformada discreta de Fourier,

obtenemos:

1 1 1

i k l i k n m lN N

k k n m

k n m k

F G e f g eN N N

n mf g N ,

21

*

Es decir: *

Expresado en forma polar:

m l n n l n

n m n

i k lN

k k n n

k

n n k k

f g

F G e f gN

f g F G

Es decir que convolucionar en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar en

el dominio de las frecuencias. Multiplicar en frecuencias es equivale

F Gk kGFiii

k k k k k kF G F e G e F G e

nte a multiplicar

espectros de amplitud y sumar espectros de fase.


de Fourier

19


De manera análoga se puede demostrar que multiplicar en tiempo es equivalente

a convolucionar en el dominio de las frecuencias:

1

n n j k jkj

TDF f g F GN

*

Observe que existe un factor 1 cuando convolucionamos en el dominio de las

frecuencias, que no aparece cuando convolucionamos en el dominio del tiempo.

T

n n k kf g F G

N

iempos y frecuencias tienen roles indistinguibles e intercambiables en la transformada

de Fourier, si determinada acción en un dominio tiene cierta consecuencia en el otro

dominio, esa misma acción en el segundo dominio tendrá igual consecuencia en el

primer dominio.


de Fourier

20

Convolución Circular

Las TDF y no son en rigor las transformadas de las secuencias y de longitud

, sino que son las las transformadas de Fourier de dos secuencias infinitas, extendidas

a periódicas, de períod

k k n nF G f g

N

o , que en el primer ciclo coinciden con las secuencias originales.

Por lo tanto el producto de las transformadas en el dominio de las frecuencias

corresponde a la convolución de dos secuencias

k k

N

F G

periódicas e infinitas en el dominio del

tiempo. Es por ello que a esta convolución se la llama convolución circular a diferencia

de la convolución que hemos considerado hasta ahora que se denomina convolución lineal.

Veamos un ejemplo, dada dos secuencias y de longitud 4 :

(1,3,0,2)

(1

n n

n

n

a b

a

b

,0, 2,2)

El resultado de la convolución circular será la siguiente secuencia de período 4:

* (7,7,6,10)

Mientras que el resultado de la convolución linea

n na b

l será la siguiente secuencia de longitud 7:

* (1,3,2,10,6,4,4)n na b


de Fourier

21

Diagrama de Convolución Circular

0 1 2 3 0 1 2 3

0 0 0 0 1 0 2 0 3

1 1 3 1 0 1 1

( 4

1 2

2 2 2 2 3 2 0 2 1

3 3 1 3 2 3 3 0

0 1 1 2 2 3 3

0 0 0 1 3 2

) ( 3) ( 2) ( 1)

( 1)

( 2) ( 1)

( 3) ( 2) 3( 1)

( 1) ( 22 1) 33 (

n k n k n n n n

k

b b b b b b b b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

a a b a b a b a b

c a b a b a b a b a b

c a b a b a b a b

)

( 1) ( 2)

( 1

1 0 1 1 0 2 3 3 2

2 0 2 1 1 2 0 3 3

3 0 3 1 2 2

)

1 3 0

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b


de Fourier

22

Correlación Cruzada

Definimos la correlación cruzada ( ) entre dos secuencias y , como la

convolución entre ambas secuencias cuando la primera es revertida, adelantada

en su longitud y conjugada:

ab n na b

* * *

* * * * * * *

1 2 3 2 1 0

( ) *

Donde: ( , , , , , , )

ab n n n n k k

n

n N N N

a b a b A B

a a a a a a a

La correlación cruzada no es conmutativa. Conmutar las secuencias de entrada

es equivalente a revertir y conjugar el resultado:

(ab

*) ( )

Claro que si las secuencias son reales, la consecuencia de conmutar las entradas

sera únicamente la de revertir la secuencia resultante.

ba


de Fourier

23


*

* *

( )

Demostración:

Sea , entonces la convolución de con es:

( ) *

Haciendo el siguiente cambio de variables , nos queda:

n n n n

ab n n m m m m m m

m m m

c a c b

c b c b a b a b

n m

* ( )ab n n

n

a b


de Fourier

24


*

*2 2 2

*

Veamos a qué es igual la tranformada de Fourier de :

Si hacemos el cambio de variables , obtenemos:

n n

i k n i k n i k nN N N

k n n n

n n n

c a

C c e a e a e

m n

*2

*

Es decir que correlacionar en el dominio del tiempo, es equivalente a multiplicar

los espectros de amplitud y restar los espectros de fase:

Aki k m iN

k m k k

m

C a e A A e

* * ( )B Ak k

i

ab n n k k k k

n

a b A B A B e


de Fourier

25

Diagrama de Correlación

0 1 2 3 4

* * * * * *

2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4

* * * * * *

1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

* * * * * *

0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4

*

*

2 0

* *

2 1 1 0

* * *

2 2 1 1 0 0

*

2

( )

( 2)

( 1)

( 0)

( 1)

ab n n

n

ab

ab

ab

ab

b b b b b




a b

a b

a b a b

a b a b a b

a b

* *

3 1 2 0 1

* * *

2 4 1 3 0 2

* *

1 4 0 3

*

0 4

( 2)

( 3)

( 4)

ab

ab

ab

a b a b

a b a b a b

a b a b

a b


de Fourier

26

Autocorrelación

2* *

La autocorrelación es la correlación cruzada de una secuencia consigo misma:

( )

La transformada de Fourier de la autocorrelación es el espectro

A Ak ki

aa n n k k k k k

n

a a A A A A e A

de potencia.

El espectro de potencia es real, por lo tanto la secuencia autocorrelación en tiempo

es una función par o simétrica.

Al efectuar la operación autocorrelación podemos ver que se pierde la información

de fase. Es decir que todas las secuencias que tengan el mismo espectro de amplitud,

sin importar que espectro de fase posean, tendrán la misma autocorrelación y el mismo

espectro de potencia.


de Fourier

27

La Correlación en el Dominio

de la Transformada Z

* *

*

La correlación cruzada es simple de escribir en el dominio de la transformada Z:

( ) * (1 ) ( )

En (1 ) estamos conjugando los coeficientes del polino

ab n na b A z B z

A z

mio pero no estamos

conjugando la variable compleja , en vez de ello estamos reemplazando por

1 , lo cual sobre el círculo unidad es equivalente a conjugarla.

La autocorrelación en el dominio de la t

z z

z

*

ransformada Z es igual al espectro de

potencia en el mismo dominio, y está dado por:

( ) (1 ) ( )aa A z A z


de Fourier

28

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Five.


6° Clase

Discretización de una

Señal Analógica




Señal Analógica

2

Transformada Integral de Fourier

Recordemos que una función ( ), definida en un dominio continuo ( , ), se

puede representar como una combinación lineal de exponenciales complejas:

1 ( ) (

2

f t

f t F

) Síntesis o Transformada Inversa

Donde el espectro de frecuencia ( ) está dado por la siguiente expresión:

( ) ( ) Análi

i t

i t

e d

F

F f t e dt

sis o Transformada Directa

Indicaremos de la siguiente manera que ( ) es la transformada integral de Fourier de

la función ( ) :

( ) ( )

F

f t

f t F


Señal Analógica

3

Muestreo de una Señal Analógica

Consideremos una señal analógica ( ) cuya transformada integral de Fourier está

dada por: ( ) ( )

Su transformada inversa de Fourier es:

a

i t

a a

x t

X x t e dt

1 ( ) ( )

2

La señal discretizada se puede expresar de la siguiente manera:

1 ( ) ( )

2

Por convenienc

i t

a a

n

i n t

n a a

x t X e d

x

x x n t X e d

(2 1)

(2 1)

ia expresamos esta integral como una sumatoria de integrales:

1 ( )

2

rt

i n t

n a

rr

t

x X e d


Señal Analógica

4


(2 1)

´ 2

(2 1)

2Hacemos el siguiente cambio de variables ´ :

1 1 2 ( ) ´

2 2

rt t

i n t i n t i rn

n a a

r rr

t t

rt

x X e d X r e et

´

Simplificando la exponencial compleja e intercambiando el orden de la sumatoria y de

la integral, obtenemos:

1 2

2

Ah

ti n t

n a

r

t

d

x X r e dt

ora hacemos el siguiente cambio de variables , y obtenemos:

1 1 2

2

Dejemos por un momento esta ecuación.

i n

n a

r

t

x X r e dt t t


Señal Analógica

5

Series de Fourier

Recordemos que una función ( ) que está definida en un dominio continuo, y que

además es periódica, de período , se la puede desarrollar en series de Fourier de la

siguiente forma:

f t

T

2

2

2

2

( )

Donde los coeficientes de Fourier están dados por:

1 ( )

T

T

i ntT

n

n

n

i ntT

n

f t a e

a

a f t e dtT


Señal Analógica

6

Series de Fourier

Una función periódica, de período , tendrá un espectro de frecuencias o transformada

integral de Fourier dado por líneas espectrales de amplitud 2 , ubicadas en múltiplos

de la frecuencia fundament

k

T

a

0

0

2al: , es decir:

( ) 2 ( )

La síntesis de la señal en tiempo está dada por:

1 1 ( ) ( )

2 2

k

k

k

i t

k kT

F a k

f t F e dt

2

0

0

0

2

( )

( ) ( )

( )

i t

k

k

i kti t

k k

k k

i ntT

n

n

a k e dt

f t a k e dt a e

f t a e


Señal Analógica

7


La respuesta en frecuencia o transformada de Fourier de una señal discreta está dada

por: ( )

Teniendo en cuenta que ( ) es una función

i n

n

n

X x e

X

continua y periódica de la frecuencia,

podemos intercambiar los roles de tiempo y frecuencia, y utilizar series de Fourier

para escribir: 1 ( )

2

i

nx X e

Ahora comparando con la expresión que obtuvimos anteriormente:

1 1 2

2

Podemos ver que la relación entre la transformada

n

i n

n a

r

d

x X r e dt t t

de Fourier de la señal discretizada

y la transformada de Fourier de la señal analógica es:

1 2 ( ) a

r

X X rt t t


Señal Analógica

8


1 2( ) a

r

X X rt t t

maxmax

max max t max

( )aX

( )X 1 t

1 t

( )X

max max t max


Señal Analógica

9

Aliasing en Frecuencia

Teorema del Muestreo Podemos ver que si el intervalo de muestreo es muy grande las repeticiones del

espectro de frecuencia se solaparán, en ese caso las frecuencias más altas del espectro

se mezclarán con las más bajas.

t

max

Este fenómeno en el cual las frecuencias más altas

toman la identidad de las más bajas es conocido como . Es claro que si la

frecuencia máxima presente en la señal es menor que la mitad d

aliasing

e la frecuencia

de muestreo no se producirá solapamiento entre repeticiones. Como ya hemos visto

a la mitad de la frecuencia de muestreo se la llama frecuencia de Nyquist:

1N S2

max N

La condición para evitar aliasing es:

Esto es conocido como Teorema del Muestreo.

t

t


Señal Analógica

10

Aliasing en Tiempo

Análogamente cuando discretizamos en frecuencia producimos periodicidad en tiempo

2de período :

2

2

maxt t

max

max

2 Veamos a qué es igual Para que no se produzca aliasing

en tiempo se debe cumplir que:

2

1

1

t

t N t M t

N M

N M

:

2

2

t

t

tM

M t


Señal Analógica

11

Interpolación Seno Cardinal

Si cumplimos con la condición del teorema de Nyquist, podemos recuperar la señal

analógica a partir de la señal discreta. Veamos como hacerlo:

1 ( ) (aX t X

t

) si

Utilizando la transformada integral de Fourier, teniendo en cuenta que la señal es de

banda limitada, y que cumple con Nyquist, podemos escribir:

1 ( )a

t t

x t

t t1

( ) ( )2 2

Como: ( ) ( )

Entonces:

1 ( ) ( )

2

t t

i t i t

a

i tn

a

n

i tn i t

a a

n

X e d t X t e d

X t x n t e

x t t x n t e e d

t

t


Señal Analógica

12


t t

Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral, obtenemos:

1 ( ) ( )

2 2

Resolviendo la integral:

t

i t n ti tn i t

a a n

n n

t

tx t t x n t e e d x e d

( )2

2

sin

( )

Esta expresión no

i t n t i t n ti t n t t t t

a n n

n n

t

a n

n

t e e ex t x x

i t n ti t n t

t

t n tt

x t x

t n tt

max

s permite recuperar la señal analógica de banda limitada a partir de las

muestras tomadas con un intervalo de muestreo y es conocida como

interpolación seno cardinal ( ).

t

Sinc interpolation


Señal Analógica

13


𝑥𝑎 𝑡 = 𝑥𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑠𝑖𝑛𝜋∆𝑡 𝑡 − 𝑛∆𝑡

𝜋∆𝑡 𝑡 − 𝑛∆𝑡

= 𝑥𝑛 ∗𝑠𝑖𝑛𝜋∆𝑡 𝑡

𝜋∆𝑡 𝑡

= 𝑥𝑛 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋

∆𝑡𝑡


Señal Analógica

14

Transformada de Fourier

de la Función Cajón

Definimos a la función cajón como:

1 si ( )

0 si

El cálculo de su transformada de Fourier es inmediato:

( ) ( ) i t

T t Tf t

T t T

F f t e dt

22

sin ( ) 2

TT i t i T i T i T i Ti t

T t T

e e e e ee dt T

i i i T

TF T

T


Señal Analógica

15



La longitud de la función cajón en tiempo es 2 . Definimos al ancho de banda

2del seno cardinal como la distancia entre sus dos primeros cruces por cero = .

T

El producto de las longitudes en uno

T

y otro dominio será constante:

2 2 4

Por lo tanto, una función cajón larga en tiempo tendrá una respuesta angosta en

frecuencia y vicevers

TT

a. En el límite cuando la longitud de la función cajón en tiempo

tienda a infinito el seno cardinal en frecuencia tenderá a una delta de Dirac.


Señal Analógica

16



Utilizando la propiedad de simetría de la transformada de Fourier:

1 si ( ) ( ) entonces ( ) ( )

2

Podemos demostrar que la transformada de Fourier de una función

f t F F t f

0 0

0 0

seno cardinal es una

función cajón:1 si

F( )0 si

El cálculo de la transformada inversa de Fourier es inmediato:

0 000

0 0

sin sin1 ( ) 2

2

t tf t

t t


Señal Analógica

17



0


Señal Analógica

18

Cuando observamos una señal que se extiende desde hasta lo

hacemos desde un instante inicial hasta un instante final, es decir que al

observar la señal la estamos multiplicando en tiempo por una función

cajón, lo cual es equivalente a convolucionar su espectro de frecuencia por

una función seno cardinal. El efecto de esta convolución es el de

distorsionar el espectro de frecuencias suavizándolo, por lo tanto estamos

perdiendo resolución en el espectro de frecuencia. Esta pérdida de

resolución debida a la longitud finita de los datos observados es inevitable

y solo podemos mejorar la resolución observando la señal durante un

tiempo más prolongado. Si la función cajón es muy larga la función seno

cardinal será muy angosta, en el límite para una longitud de observación

que tienda a infinito el seno cardinal tenderá a una delta de Dirac. Por el

contrario si el tiempo de observación es muy corto, la función cajón será

muy corta y el seno cardinal será muy ancho, lo que provocará una pérdida

severa de resolución en frecuencia.

Resolución en Frecuencias


Señal Analógica

19

Otra forma de ver la interpolación

seno cardinal: Vimos que la relación entre la transformada de Fourier de una señal analógica y la

transformada de Fourier de la misma señal pero discretizada está dada por:

( )X t

-1

1( )

Si multiplicamos a esta expresión por y por la siguiente función cajón:

sin1 si 1 t

( ) TF ( ) ( )

0 si

a S

r

X rt

t

tt t

F F f tt

t t

t

Obtenemos una expresión para recuperar la transformada de Fourier de la señal

analógica a partir de la transformada de Fourier de la señal discretizada, siempre

que hayamos cumplido con el crite

t

rio de Nyquist:

( ) ( ) ( )aX t F X t


Señal Analógica

20

Otra forma de ver la interpolación

seno cardinal:

La operación equivalente en el dominio del tiempo será:

( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

Esta es otra forma de llegar a la fórmula de interpolación seno cardinal:

( )

a n a

a

x t t f t x X t F X t

x t

sin sin1

( ) * *

Esta expresión puede interpretarse como una sumatoria de senos cardinales escalados

y retardados.

n n n

n

t t n tt t

t f t x t x xt

t t n tt t


Señal Analógica

21

¿Tiempo Limitado-Banda Limitada?

En la práctica siempre que apliquemos la transformada discreta de

Fourier, la señal tendrá que ser de banda limitada en frecuencia, para

poder discretizarla en tiempo, y de longitud limitada en tiempo, para

poder discretizarla en frecuencia y así implementar la transformada

discreta de Fourier con un número finito de términos.

Sin embargo, el teorema de tiempo limitado-banda limitada nos dice

que ninguna señal puede ser simultáneamente de tiempo limitado y de

banda limitada, excepto el caso trivial cuando la señal es constante e

igual a cero.

En la práctica veremos que las señales pueden tender asintóticamente

a cero hasta alcanzar valores tan pequeños que están por debajo del

valor más pequeño que podemos observar y podremos por lo tanto, a

los fines prácticos, considerarlas nulas. El ejemplo típico es el seno

cardinal el cual está definido con valores distintos a cero entre menos

infinito e infinito, sin embargo a partir de cierto tiempo el valor de la

función será tan pequeño que podremos considerarlo nulo.


Señal Analógica

22

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Six.

Oppenheim, Alan V. and Schafer, Roland W. (1975),

Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc.


7° Clase

Aplicaciones de la Transformada

de Fourier



Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

2

La Función Peine

Se define a la función peine ( ) como una serie infinita de deltas de Dirac regularmente

espaciadas:

( ) ( )

Es una función periódica de

n

p t

p t t n t

2 2 2

2 2 2

2 2 2

período , por lo tanto sus coeficientes de Fourier están

dados por:

1 1 1 1 ( ) ( ) ( )

Es decir que la transfor

t t t

t t t

i k t i k t i k tt t t

k

n

t

a p t e dt t n t e dt t e dtt t t t

mada integral de Fourier de la función peine, es otra función peine

dada por:2 2

( )k

P kt t

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

3

La Función Peine

2 2 0 0

2 2 ( ) ( ) ( )

t t

n k

t t t

p t t n t P kt t

La TF de la función peine de período Δt, es otra función peine de período

2π/ Δt y amplitud 2π/ Δt también. La función peine nos permite vincular la

transformada integral de Fourier con la transformada discreta de Fourier.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

4

La Función Peine

Aplicando la propiedad de simetría de la transformada de Fourier:

1 ( ) ( )

2

Al par transformado:

( ) ( ) ( )n

F t f

p t t n t P

2 2

Obtenemos:

1 2 ( ) ( ) ( )

k

n k

kt t

q t t n Q k

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

5

La Función Peine

La multiplicación de una señal analógica por la función peine nos da una señal discreta

con un intervalo de muestreo :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Multi

a a a n n

n n n

t

x t p t x t t n t x t t n t x t n t x

plicar en el dominio del tiempo es equivalente a convolucionar en el dominio de las

frecuencias:

1 1 ( ) * ( ) ( ) ( )

2 2a aX P X P d

2

( )aX

2

1 2 ( ) * ( ) ( )

1 2 ( ) * ( ) ( )

k

a a

k

a a

k

k dt t

X P X k dt t

X P X k X tt t

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

6

La Función Peine

Este factor 1

∆Ω del miembro derecho se cancela con el

1

∆Ω de 𝑞 𝑡 . 𝐿𝑎 señal

tendrá un periodicidad en tiempo de 2𝜋

ΔΩ= M∆𝑡.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

7

TF de una función continua en

tiempo y continua en frecuencia:

Aquí el término continuo está usado en el sentido de que la función está definida en

un dominio continuo, no en un dominio discreto. El análisis y la síntesis se hacen

utilizando la transformada integral de Fourier:

( ) ( )

1( ) ( )

2

i t

i t

F f t e dt

f t F e d

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

8

TF de una función continua y periódica

en tiempo, y discreta en frecuencia:

2

2

2

En este caso la señal puede ser desarrollada en series de Fourier. Los coeficientes

de Fourier están dados por:

1 ( )

El espectro de frecuenci

T

T

i k tT

ka f t e dtT

as está dado por líneas espectrales de amplitud 2 , ubicadas

en múltiplos de la frecuencia fundamental 2 :

2 ( ) 2

Al hacer la síntesis obtenem

k

k

k

a

T

F a kT

2

os la serie de Fourier:

1 ( ) ( )

2

i k ti t T

k

k

f t F e d a e

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

9

TF de una función discreta en tiempo

y continua y periódica en frecuencia:

Si expresamos la señal discreta en tiempo de la siguiente manera:

( )

Al hacer el análisis obtenemos:

( ) ( )

n n

n

i t

n

n

f t f t n t f

F f t e dt f t n t

( )

Si nos olvidamos del intervalo de muestreo y ponemos esta expresión en función de la

frec

i t i t

n

n

i n t

n

n

e dt f t n t e dt

F f e

uencia angular digital = , obtenemos la expresión de la respuesta en frecuencia

de la señal discreta:

( ) i n

n

n

t

F f e

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

10

TF de una función discreta en tiempo

y continua y periódica en frecuencia:

La respuesta en frecuencia de la señal discreta:

( )

Es una función continua y periódica, de período 2 . Intercambiando los roles de

tiempo

i n

n

n

F f e

y frecuencia podemos desarrollarla en series de Fourier.

Como podemos ver ( ) ya está desarrollada en series de Fourier y los valores de la

función discreta no son otra cosa que los coeficientes dn

F

f

e Fourier, los cuales están

dados por:

1 ( )

2

i n

nf F e d

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

11

TF de una función discreta y periódica en

tiempo, y discreta y periódica en frecuencia:

21

0

21

0

En este caso lo que utilizamos es la Transformada Discreta de Fourier:

Transformada Discreta Directa

o análisis

Transformada Discr1

N i k nN

k n

n

N i k nN

n k

k

F f e

f F eN

eta Inversa

o síntesis

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

12

TF de una función discreta y periódica en

tiempo, y discreta y periódica en frecuencia:

1

0

Veamos como derivar la TDF utilizando la función peine en frecuencia:

( )

1 (

2

Ni n

n

N

n

F f e

f F

2

0

1 1

0 0

)

Vamos a discretizar la respuesta en frecuencia, sin producir en tiempo:

2 2 2 ( )

Vimos que al discretizar en

i n

N N

d k

k k

e

aliasing

F F k k F kN N N

2 2 1

00 0

2

0

frecuencia introducimos un factor de escala de 1 en tiempo:

1 1 1 2 2 ( )

2 2

2

2

Ni n i n

n d

k

n k

k

f F e F k k e dN N

f F kN

21 1

0 0

21

0

1

1

N N i k ni n N

k

k

N i k nN

n k

k

e d F eN

f F eN

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

13

Fenómeno de Gibbs

Consideremos una función discreta en tiempo, continua y periódica en frecuencia,

de período 2 , y con respuesta en frecuencia:

1 si ( )

0 s

cF

i

La función discreta en tiempo está dada por:

sin1 1 1 ( ) 1

2 2 2

La respuesta en frecuencia se puede calcular a partir de lo

cc

cc

c

i nci n i n c

n

c

nef F e d e d

in n

s valores de la función en

tiempo:

( )

Sabemos que la síntesis de Fourier en una discontinuidad converge al promedio de los

límites por dere

i n

n

n

F f e

cha y por izquierda.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

14

Fenómeno de Gibbs

Para evaluar numéricamente la respuesta en frecuencia debemos truncar el desarrollo

en serie en algún término. Trunquemos en 2N+1 términos:

𝐹 𝜔 = 𝑓 𝑛𝑒−𝑖𝜔𝑛

𝑁

𝑛=−𝑁

La expansión en series de Fourier truncada en 2N+1 términos aproxima en forma

óptima a la respuesta en frecuencia ideal en el sentido de los cuadrado mínimos. Es

decir, que si planteamos que queremos encontrar los 2N+1 coeficientes 𝑓 𝑛, que

minimicen la siguiente función:

𝐸 𝑓 𝑛 = 𝐹 𝜔 − 𝐹 𝜔2

𝜋

−𝜋

𝑑𝜔 = 𝐹 𝜔 − 𝑓 𝑛𝑒−𝑖𝜔𝑛𝑁

𝑛=−𝑁

2𝜋

−𝜋

𝑑𝜔 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

Las siguientes 2N+1 derivadas deberán ser nulas:

𝜕𝐸 𝑓 𝑛

𝜕𝑓 𝑚= 0 ∀ 𝑚 = −𝑁, 𝑁

Encontraremos que los coeficientes que son solución de este sistema de ecuaciones

son los mismos coeficientes de Fourier:

𝑓 𝑚 = 𝑓𝑚 = 12𝜋

𝐹 𝜔𝜋

−𝜋

𝑒−𝑖𝜔𝑚𝑑𝜔 ∀ 𝑚 = −𝑁, 𝑁

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

15

Fenómeno de Gibbs

0 c

0 c

En los tres ejemplos de la figura podemos ver la respuesta en frecuencia

deseada de un filtro pasa-bajos ideal con una discontinuidad en forma de

escalón en la frecuencia de corte, y las respuestas en frecuencia del filtro

truncado con longitudes 2N+1 cada vez mayores: 13, 29 y 41.

0 c

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

16

Fenómeno de Gibbs

La máxima separación entre la respuesta en frecuencia del filtro

deseado y la respuesta en frecuencia del filtro truncado, se produce

cerca de la discontinuidad, mientras que la suma parcial siempre nos

da el valor promedio en la discontinuidad. El valor máximo de la

diferencia entre las respuestas permanece constante a pesar que

agreguemos más y más términos, esta diferencia se aproxima a un

valor constante del 8,9% del salto en la discontinuidad a medida que

el número de términos de la suma parcial tiende a infinito. Es natural

esperar que esta diferencia tienda a cero a medida que aumentamos

el número de términos, pero eso no es lo que ocurre.

Este comportamiento inesperado de la convergencia fue observado a

finales del siglo XIX y se pensó inicialmente que era un error de

cálculo.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

17

Fenómeno de Gibbs

En 1899 el químico, físico y matemático estadounidense Josiah W.

Gibbs fue el primero en explicar la verdadera naturaleza de la

convergencia por lo cual este fenómeno recibe el nombre de

fenómeno de Gibss.

A medida que agregamos términos en la suma parcial, la integral de

las diferencias al cuadrado decrece uniformemente, el ripple u

ondulación del fenómeno de Gibbs oscila más rápidamente y se

desplaza hacia la discontinuidad disminuyendo el área entre las dos

curvas, pero la amplitud máxima de la ondulación no disminuye. Es

decir que no es posible obtener la respuesta ideal deseada con un

número finito de coeficientes por muchos que sean.

El problema de cómo obtener la respuesta impulsiva de un filtro, dada

su respuesta en frecuencia deseada, es un problema fundamental del

diseño de filtros digitales.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

18

Consecuencias de Discretizar

una Señal Ver apunte en la página de la materia:

http://carina.fcaglp.unlp.edu.ar/senales/archivos/Consecuencias_de_Discretizar.pdf

Gráfico tomado del Karl pag.136

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

19


una Señal


Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

20


una Señal


Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

21

Transformada de Fourier de

Secuencias Entrelazadas

0 1 2 1

0 1 2 1

Dadas dos secuencias de longitud :

( , , , , )

( , , , , )

Y sus transformadas de Fourier:

n N

n N

N

a a a a a

b b b b b

0 1 2 1

0 1 2 1

( , , , , )

( , , , , )

Formaremos una nueva secuencia de longitud 2 , entrelazando las secue

k N

k N

n

A A A A A

B B B B B

c N

0 0 1 1 2 2 1 1

ncias

y del siguiente modo:

( , , , , , , , , ,)

Veamos como calcular la transformada discreta de Fourier de la serie entrelazada

a partir de las T

n n

n N N

a b

c a b a b a b a b

21

0

21

0

DF de las dos secuencias originales:

N i j kN

k j

j

N i j kN

k j

j

A a e

B b e

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

22



2 22 1 2 1

2 2

0 0

La transformada de Fourier de la secuencia entrelazada está dada por:

0,2 1

Para obtener a partir de y

N Ni l k i l kN N

k l l

l l

k k

C c e c e k N

C A

22 1 1 22

0 0

de necesitamos dos fórmulas diferentes, una

para 0, 1 y otra para ,2 1.

Obtengamos la primera fórmula válida para 0, 1:

k

N Ni l k i j k iN N

k l j j

l j

B

k N k N N

k N

C c e a e b e

1

2

1 2

0

2 21 1

0 0

0, 1

N j kN

j

N Ni j k i k i j kN N N

k j j

j j

i kN

k k k

C a e e b e

C A e B k N

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

23



2 1 2 1

0 0

2 1

0

Obtengamos ahora la segunda fórmula válida para ,2 1:

N Ni l k i l k N NN N

k l l

l l

N ii l k NNN

k l

l

k N N

C c e c e

C c e e

l N

12

2 1

0

1 12 2

0 0

2 21 1

0 0

1

N i l k N lN

l

l

N Ni j k N i j k NN N

k j j

j j

N Ni j k N i k N i j k NN N N

k j j

j j

c e

C a e b e

C a e e b e

,2 1

i k NN

k k N k NC A e B k N N

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

24




Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

25

Interpolación

max

1

Consideremos una señal analógica (t) de banda limitada, con una transformada de

Fourier ( ) y con una frecuencia máxima . Discreticémosla con un intervalo

de muestreo tal que:

a

a

x

X

t

min

max N 1

1 max

(1)

(1) (1)

1

= ó 2

La transformada de Fourier de la señal discretizada está dada por:

1 ( ) ( ) si

n

n a

Tt

t

x

x X t Xt

1 1

12 12

(2)

2(2) (2)

2

Discreticemos (t) nuevamente pero ahora con un intervalo de muestreo .

La transformada de Fourier de la señal discretizada está dada por:

1

1 ( ) ( )

a

n

n a

t t

x t t

x

tx X t X

t

(1) (1)

1

1 1

2 1 1 2

( ) 2 ( ) si

0 si

t X t X tt t

t t t t

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

26

Interpolación

1

Ahora consideremos que la señal analógica (t) es aproximadamente de banda

limitada y de tiempo limitado. Y que tomamos muestras en tiempo cuando la

discretizamos con un intervalo de muestreo y

ax

N

t

12 12

(1) (1) (1)

2 muestras cuando la

discretizamos con un intevalo de muestreo .

Utilicemos la forma centrada de la transformada de Fourier:

2 0,n k

N

t t

x X X k n NN

(2) (2) (2)

(2)

1 , 12 2

2 0,2 1 , 1

2

La relación entre espectros está dada por:

0

n k

k

N Nk

x X X k n N k N NN

X k

(2) (1)

(2)

, 12

2 , 12 2

0 , 12

k k

k

NN

N NX X k

NX k N

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

27

Interpolación

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

Si utilizamos la forma estándar de la transformada de Fourier, tendremos:

2 0, 1 0, 1

2

2

n k

n k

x X X k n N k NN

x X X kN

(2) (1)

(2)

0,2 1 0,2 1

La relación entre espectros está dada por:

2 0, 12

0

k k

k

n N k N

NX X k

X

(2) (1)

, 12 2

2 ,2 12

Es decir que para interpolar una muestra intermedia en tiempo debemos ir al dominio

de l

k k N

N Nk N

NX X k N N

as frecuencias con la TDF multiplicar el espectro de amplitud por dos y agregar

ceros entre réplicas.

N

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

28

Decimación

Para poder decimar una señal desechando una muestra por medio, la señal debe

haber sido sobremuestreada, es decir, se tiene que haber utilizado un intervalo de

muestreo que cumpla con la condición:

t

min

max

2 4

De esta forma al decimar una muestra por medio, las réplicas se acercan pero no

llegan a solaparse. Si esta condición no se cumple, la úni

Tt

ca forma de evitar el

es aplicando un filtro corta-altos o antialias que elimine todas las frecuencias

presentes en la señal por encima de la nueva frecuencia de Nyquist.

Antes de digitalizar un

aliasing

a señal analógica se aplica un filtro antialias analógico,

implementado con componentes electrónicos, que elimine todas la frecuencias

mayores a la frecuencia de Nyquist. Aunque la señal no contenga altas frecuencias

es posible que existan ruidos de alta frecuencia que convenga eliminar.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

29

Interpolación en Frecuencia

Cuando tenemos una señal discreta de longitud su transformada discreta de Fourier

también es una secuencia de longitud . Análogamente a lo que hicimos en tiempo,

para interpolar una muestra interm

k

N

X N

edia en frecuencia debemos agregar ceros entre las

réplicas en tiempo. Hacer esto en tiempo es más sencillo porque todo lo que debemos

hacer es agregar ceros a la cola de la señal.

Sin embargo, agrega

N

r ceros no es estrictamente necesario para interpolar, la ventaja de

interpolar agregando ceros es que logramos hacer la interpolación de manera rápida y

eficiente utilizando la transformada rápida de F

1

0

ourier.

Podríamos interpolar el espectro de frecuencias para cualquier frecuencia arbitraria

simplemente utilizando la expresión:

( )N

i n

n

n

X x e

21

2

0

O bien podríamos darle valores no enteros al subíndice en la expresión:

N i k n

Nk n N

n

k

X x e X k k

R

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

30

Interpolación en tiempo

Desde el punto de vista matemático tiempo y frecuencia juegan roles idénticos en la

transformada de Fourier, existiendo un paralelismo total entre uno y otro dominio.

Para interpolar en tiempo podríamo

21

0

s evaluar la transformada discreta inversa en

valores no enteros del subíndice en la expresión:

1 ( )

Sin embargo surge un

N i k nN

n k a

k

n

x X e x n t nN

R

*

problema, si es real, entonces es Hermitiana, y debe

cumplirse que:

En la transformada inversa la parte imaginaria correspondiente

n k

k N k

x X

X X

a frecuencias positivas

se cancela con la parte imaginaria correspondiente a la misma frecuencia pero negativa

y así nos da valores reales como corresponde. Sin embargo cuando el subíndice

toma val

nx n

ores no enteros esta cancelación no se produce y hay que forzarla.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

31


*

1 1

Supongamos que tenemos una señal discreta real de longitud par 12. Por ser real

su transformada discreta de Fourier deberá ser Hermitiana:

N

N

X X X

*

11

* *

2 2 10

* *

3 3 9

* *

4 4 8

N

N

N

X X X

X X X

X X X

* *

5 5 7

*

En general tendremos: 1, 1

2

A estos coeficientes debemos agregarles los c

N

k N k

X X X

NX X k

2

0

6

orrespondientes a las frecuencias 0 y ,

es decir: ( 0)

( )N

X X

X X X

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

32


2

2

12 2

0

1

Teniendo en cuenta que la señal es real y por lo tanto es Hermitiana, la

transformada discreta inversa se puede escribir:

1 1

N

N

n k

i k n i k nN N

n k k

k

x X

x X e X X e XN N

2

2

2 21 1

2

0 1

2 21 ( )́

´

1

Veamos en detalle la última sumatoria del paréntesis. Hagamos el siguiente cambio

de variables ´ :

N

N

NN Ni n i k nN N

k

k k

N i k n i N kN N

k N k

k

e X e

k N k

X e X e

2

*n i N n

NkX e

2 2

2

1 1 2

´ 1 1

1 2 2

*

0

1

Finalmente obtenemos:

1

Esta expresión puede ser utilizada con valores no enteros d

N N

N

i k nN

k k

i k n i k nN N

n k k

k

e

x X X e X e nN

R

el subíndice y así

obtener la señal interpolada.

n

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

33


𝑥𝑛 =1

𝑁𝑋0 + 𝑋𝑘𝑒𝑖

2𝜋𝑁 𝑘×𝑛 + 𝑋𝑘

∗𝑒−𝑖2𝜋𝑁 𝑘×𝑛

𝑁2−1

𝑘=1

𝑥𝑛 =1

𝑁𝑋0 + 𝑋𝑘

𝑅 + 𝑖𝑋𝑘𝐼 𝑒𝑖

2𝜋𝑁 𝑘×𝑛 + 𝑋𝑘

𝑅 − 𝑖𝑋𝑘𝐼 𝑒−𝑖

2𝜋𝑁 𝑘×𝑛

𝑁2−1

𝑘=1

𝑥𝑛 =1

𝑁𝑋0 + 𝑋𝑘

𝑅 𝑒𝑖2𝜋𝑁 𝑘×𝑛 + 𝑒−𝑖

2𝜋𝑁 𝑘×𝑛 + 𝑖𝑋𝑘

𝐼 𝑒𝑖2𝜋𝑁 𝑘×𝑛 − 𝑒−𝑖

2𝜋𝑁 𝑘×𝑛

𝑁2−1

𝑘=1

𝑥𝑛 =1

𝑁𝑋0 + 2𝑋𝑘

𝑅 cos2𝜋

𝑁𝑘𝑛 − 2𝑋𝑘

𝐼 sin2𝜋

𝑁𝑘𝑛

𝑁2−1

𝑘=1

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

34

Regularización de Datos

La transformada discreta inversa de Fourier se puede escribir matricialmente del

siguiente modo: X=x

Donde X es un vector columna que contiene

F

a los coeficientes . El vector

columna x contiene las muestras de la señal observada. Y la matriz contiene

esencialmente exponenciales complejas. es la matriz que vincula linealmente el

domini

k

k

X

x F

F

o de Fourier con el dominio de los datos.

Si los datos están regularmente dispuestos, la matriz es una matriz ortogonal, y la

operación inversa será la transpuesta conjugada de la operación directa, e

F

H

s decir:

X= xF

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

35


-1

Si los datos no fueron regularmente adquiridos se pierde la ortogonalidad y para

resolver el problema inverso debemos invertir la matriz :

X=

F

F x

Habitualmente la cantidad de observaciones es mayor que la cantidad de

coeficientes que queremos calcular, es decir, tendremos más ecuaciones que

incognitas. En ese caso podemos calcular una soluc

nx

2

2

ión óptima en el sentido de

los cuadrados mínimos planteando la siguiente función objetiva a minimizar:

X x mínimo

Cuya solución es la conocida inver

F

1

† H H

sa generalizada:

X= x= x

F F F F

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

36


HSi la distribución de los datos es mala, la matriz , conocida como Hessiano,

estará mal condicionada. En ese caso para estabilizar la solución debemos agregar

a la función objetiva a minimizar un t

F F

22 2

2 2

érmino de regularización, que maximice alguna

propiedad deseada del dato:

X x X mínimo

Si el término de regularización es la norma dos de la solución a

R F

2

2l cuadrado, es decir X ,

se habla de regularización de Tikhonov.

Este problema inverso se resuelve habitualmente utilizando métodos iterativos, como

por ejemplo el método del gradiente conjugado por cuadrados mínimos. Una vez

obtenidos los coeficientes de Fourier, podemos utilizar la transformada inversa para

interpolar datos regulares. La generalización de este método de regularización a

n-dimensiones es conceptualmente simple pero compleja de programar.

Aplicaciones de la

Transf. de Fourier

37

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Seven.



Publications.

Sacchi, M.D., and T.J. Ulrych, 1996, Estimation of the

discrete Fourier Transform – A linear inversion

approach: Geophysics, 61, 1128-1136

Liu, B., and M.D. Sacchi, 2004, Minimum weighted

norm interpolation of seismic records,

Geophysics, 69, 1560-1568.


8° Clase

Diseño de Filtros Digitales



Diseño de Filtros

Digitales

2

Diseño de Filtros Digitales

Todos los sistemas lineales e invariantes pueden ser pensados como filtros. Sin embargo,

cuando hablamos simplemente de "filtros", nos referimos a filtros de frecuencia. Es decir,

un dispositivo analógico o un operador digital que al aplicarlo a una señal, o bien deja

pasar o impide el paso de determinadas componentes de frecuencia de la señal.

La manera más sencilla de pensar un filtro de frecuencias es como la multiplicación en el

dominio de la transformada de Fourier por una determinada respuesta en frecuencia deseada.

Sin embargo, sabemos que el mismo resultado puede lograrse mediante la convolución en

tiempo con la transformada inversa de Fourier de la respuesta en frecuencia deseada.

Las respuestas en frecuencia ideales poseen discontinuidades, pero ni los dispositivos

analógicos ni los operadores digitales de longitud finita pueden presentar discontinuidades

en sus respuestas en frecuencias.

El diseño de filtros digitales consiste en obtener la respuesta impulsiva del filtro en el

dominio del tiempo, que mejor se ajuste a determinada respuesta en frecuencia deseada.

Diseño de Filtros

Digitales

3

Filtro Pasa-Bajos

Con el propósito de ejemplificar el problema veamos como diseñar un filtro pasa-bajos,

es decir, un filtro que deje pasar las frecuencias menores a una determinada frecuencia

de corte e impida el paso

C

de las frecuencias superiores a ella.

El filtro pasa-bajos ideal está dado por:

1 si 0< ( )

0 si

C

pasa bajos

C

H

sin1

1 , 2

Cualquier otro filtro pasa-altos o pasa-banda puede ser obtenido mediante simples

operaciones con filtros pasa-bajos. Por ejemplo:

C

C

C

Ci n Cn pasa bajos

C

nh e d n

n

( ) 1 ( )

( ) ( )

C C

C C

CB CA

pasa altos pasa bajos

n pasa altos n n pasa bajos

pasa banda

H H

h h

H H

( )

CA CB

CB CA CA CB

pasa bajos pasa bajos

n pasa banda n pasa bajos n pasa bajos

H

h h h

Diseño de Filtros

Digitales

4

Filtro Pasa-Bajos

Diseño de Filtros

Digitales

5

El problema

Para que la señal tenga una respuesta en

frecuencia de alta resolución necesitamos

observar la señal durante un tiempo

infinitamente largo, de no ser así la energía de

una señal monocromática se va a dispersar en

las frecuencias vecinas.

Por otro lado para poder aislar esa frecuencia

de las frecuencias vecinas necesitamos un

filtro de frecuencias infinitamente largo en

tiempo.

Nunca se cumplirán ninguna de las dos cosas.

Es decir que por uno o por otro motivo nunca

podremos aislar perfectamente una frecuencia.

Diseño de Filtros

Digitales

6

Diseño de Filtros de Frecuencia

Utilizando Zonas de Transición

Es posible diseñar filtros menos demandantes que los filtros ideales, que tengan

una zona de transición entre la banda de paso y la banda de rechazo. También

podríamos hacer que no tengan una atenuación infinita en la banda de rechazo,

sino que se aproximen asintóticamente a un valor pequeño. Al hacer esto la

respuesta en tiempo del filtro decaerá más rápidamente y el error que cometemos

al truncarlo será mucho menor.

Jugando con la longitud del filtro y el ancho de la zona de transición entre la banda

de paso y la banda de rechazo, podemos lograr que los valores que truncados sean

tan pequeños como querramos, hasta alcanzar valores y longitudes aceptables según

nuestras necesidades. Pero nunca la respuesta en frecuencia del operador truncado

será exactamente igual a la respuesta en frecuencia deseada, ya que esta última es de

banda limitada y su respuesta en tiempo será siempre infinita.

Diseño de Filtros

Digitales

7

Ventanas

En vez de truncar en forma abrupta una señal con una ventana rectangular o función

cajón, podemos multiplicarla por otras ventanas más suaves que se atenúen más

gradualmente en los bordes. Las respuestas en frecuencia de estas ventanas, tendrán

una forma similar a un seno cardinal pero con un lóbulo central más ancho y con

lóbulos laterales que se atenúan más rápidamente. Algunas de las ventanas más

ut

2

ilizadas son las siguientes:2 1 0 1 2

Bartlet: 2 2 1 1 2 1

2 Welch: 1

2

n

n

n N n Nw

n N N n N

n Nw

N

0 1

1 1 2 Hanning: cos

2 2 1

2 Hamming: 0.54 0.46 cos

1

Blackman: 0.42 0

n

n

n

N N

nw

N

nw

N

w

2 4.5 cos 0.08 cos

1 1

n n

N N

Diseño de Filtros

Digitales

8

Ventanas

Diseño de Filtros

Digitales

9

Diseño de Filtros de Frecuencias

usando Ventanas en Tiempo Este método consiste simplemente en truncar el operador ideal en tiempo, de longitud

infinita, con una ventana con bordes menos abruptos que la ventana rectangular. Al

hacer esto en tiempo, aparece en el dominio de la transformada de Fourier, una zona

de transición entre la banda de paso y la banda de rechazo, y además se produce una

disminución en la amplitud del ripple.

Dada la respuesta ideal en frecuencia ( ), la respuesta impulsiva del filtro ideal en

tiempo está dada por:1

( )2

Truncamos de longitud infinita con una ventana

i n

n

n

H

h H e d

h

de longitud finita que produzca una

respuesta en frecuencia aceptable:

En el dominio de las frecuencias tendremos:

n

n n n

w

h h w

( ) ( ) * ( ) H H W

ℎ 𝑛 = ℎ𝑛 × 𝑤𝑛

𝐻 𝜔 = 𝐻 𝜔 ∗𝑊 𝜔

Diseño de Filtros

Digitales

10

Método de Parks-McClellan

Este método se utiliza para diseñar filtros de Chebyshev o filtros con una amplitud

constante del ripple. Intuitivamente podemos ver que si distribuimos la amplitud del

ripple de manera uniforme entre todas las frecuencias, podríamos disminuir la amplitud

máxima del ripple a expensas de aumentarla donde la amplitud del ripple es más pequeña.

Este método propone minimizar la máxima diferencia entre respuestas, un criterio que

es denominado minimax o criterio de Chebyshev. La aplicación iterativa de este criterio

nos conduce a un filtro en el cual el ripple de su respuesta en frecuencia tiene una amplitud

constante.

Filtro de 33 puntos con ripple constante

máximo 𝐻 𝜔 − ℎ 𝑛𝑒−𝑖𝜔𝑛

𝑁−12

𝑛=1−𝑁2

= 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝐻 𝜔

Diseño de Filtros

Digitales

11

Filtros de Butterworth

2

2

C

El espectro de potencia de un filtro Butterworth está dado por la siguiente expresión:

1 ( )

1

Donde es la frecuencia de corte, donde la potencia d

C

H

el filtro cae a la mitad (-6dB), y es

el orden del filtro. Este espectro de potencia tiene sus primeras 2 1 derivadas iguales a cero

en 0, a esta propiedad se le da el nombre de máximo aplanamien

to. El espectro de amplitud

es monótonamente decreciente en , con una pendiente final en las altas frecuencias de 6 dB/oct.

Los filtros de Butterworth de orden bajo tienen una buena representación en

tiempo, es decir son

filtros cortos. Mientras que los de orden alto tienen una mejor representación en el dominio de las

frecuencias pero son más largos en tiempo. Cuanto mayor es el orden del filtro más abrupta es la

zona de transición y se requiere de filtros más largos en tiempo. Como la respuesta en frecuencia de

estos filtros nunca se anula, es posible diseñar filtros de Butterworth de fase mínima, que se utilizan

para filtrar señales de fase mínima de forma tal que la señal filtrada siga siendo de fase mínima.

Diseño de Filtros

Digitales

12

Filtros de Butterworth

128 puntos

Orden 8

128 puntos

Orden 10

128 puntos

Orden 12

Diseño de Filtros

Digitales

13

Filtrado en el Dominio de Fourier

La posibilidad de utilizar transformada rápida de Fourier hace que esta manera de filtrar

sea particularmente atractiva. Cuando el operador es corto, convolucionar en el dominio

del tiempo es más rápido que multiplicar en el dominio de las frecuencias. Sin embargo,

cuando el operador es largo, multiplicar en el dominio de las frecuencias utilizando la

transformada rápida de Fourier es mucho más rápido que convolucionar en tiempo. La

ventaja de utilizar operadores en el dominio del tiempo es la de poder implementar el

filtrado como un proceso continuo, mientras que si lo hacemos en el dominio de las

frecuencias esto no es posible.

Sabemos que la convolución lineal en tiempo puede ser emulada utilizando la transformada

discreta de Fourier agregando ceros en tiempo antes de ir al dominio transformado, para así

evitar los efectos de la convolución circular propios de la transformada discreta de Fourier.

Diseño de Filtros

Digitales

14


Para filtrar en el dominio de las frecuencias debe seguir los siguientes pasos:

1. Agregue ceros al final de la señal en tiempo hasta alcanzar una longitud que sea

potencia de dos y que además sea como mínimo el doble de la longitud original.

2. Calcule la transformada rápida de Fourier con los ceros agregados en el primer paso.

3. Multiplique la transformada de Fourier de la señal por la respuesta en frecuencia del

filtro que desea aplicar.

4. Calcule la transformada rápida de Fourier inversa para regresar al dominio del tiempo

con la señal filtrada.

5. Redefina la longitud de la señal filtrada de acuerdo a la longitud original.

Diseño de Filtros

Digitales

15


¿Cual es la verdadera respuesta en frecuencia del filtro aplicado con este procedimiento?

Para encontrar la verdadera respuesta en frecuencia del filtro aplicado debemos hacer lo

siguiente:

1. Calcule la transformada discreta inversa de Fourier de la respuesta en frecuencia que

aplicó en el punto 3 del procedimiento anterior, discretizada en las mismas frecuencias

para así obtener la respuesta impulsiva en tiempo del filtro que aplicó.

2. Agregue ceros al final de la respuesta impulsiva obtenida hasta quintuplicar su longitud.

3. Calcule la transformada discreta de Fourier de la respuesta impulsiva con los ceros

agregados para así obtener la verdadera respuesta en frecuencia aplicada.

Diseño de Filtros

Digitales

16


La diferencia entre la respuesta en frecuencia verdaderamente aplicada y la respuesta

en frecuencia deseada, dependerá de la forma de la respuesta en frecuencia deseada.

Normalmente la respuesta en frecuencia deseada es tal que su transformada discreta

inversa presenta aliasing en tiempo. Esto produce grandes apartamientos de la respuesta

en frecuencia verdaderamente aplicada respecto de la respuesta en frecuencia deseada,

estos apartamientos se presentarán como ondulaciones, sin embargo en las frecuencias

donde se tomaron las muestras originales, las repuestas siempre coinciden.

Si la respuesta en frecuencia deseada no presenta discontinuidades y varía suavemente,

su transformada inversa convergerá rápidamente produciendo una cantidad mínima de

aliasing y un apartamiento pequeño entre las respuestas en frecuencia.

El filtrado de frecuencias utilizando la transformada rápida de Fourier es particularmente

atractivo debido a su velocidad y simplicidad, sin embargo la respuesta en frecuencia

verdadera que implícitamente se utiliza en el procedimiento, puede llegar a ser muy

diferente a la respuesta en frecuencia deseada, por lo cual es conveniente controlarla.

Diseño de Filtros

Digitales

17

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Eight.

Oppenheim, Alan V. and Schafer, Roland W. (1975),

Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc.,

Chapter Five.


9° Clase

Filtros Inversos y Deconvolución



Filtros Inversos y

Deconvolución

2

Filtros Inversos y Deconvolución

1 1

1

Instrumento *

*

* * * *

*

: señal que qu

n n n n

n

n n n

n n n n n n n n

n n n

n

x y x hh

y x h

y h x h h x x

h h

x

1

eremos resgistrar

: respuesta impulsiva del instrumento

: señal registrada

: operador inverso de

n

n

n n

h

y

h h

Filtros Inversos y

Deconvolución

3

Inversas exactas utilizando TDF

Convolucionar en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar en el dominio de

las frecuencias. Es decir, que para remover el efecto de la convolución deberíamos

dividir en el dominio de las frecu

1

1

encias.

Dado un operador de convolución en tiempo queremos hallar el operador inverso ,

tal que: *

Tomamos TDF:

n n

n n n

f f

f f

1

1

1

1

1 Si

El filtro inverso está dado por:

k k

k k

i i

k k k

k

n

F F

F F e F eF

f

1 1 1 1 Si algún 0 n k k kf TDF F F f

Este razonamiento está basado en el teorema de convolución de la TDF, el cual sólo es

válido para convolución circular. En aquellas situaciones en las que el tipo de convolución

involucrada es la circular, es posible encontrar la inversa exacta por medio de la TDF.

Esto no es válido para convolución lineal.

Filtros Inversos y

Deconvolución

4

Inversas exactas utilizando TDF

Si convolucionamos una secuencia periódica con otra secuencia que no es periódica,

el resultado del producto de convolución también es periódico y la inversa puede

encontrarse por medio de la TDF. Si la secuencia periódica tiene un período mayor

que la longitud de la señal no periódica, debemos agregar ceros a la secuencia no

periódica hasta alcanzar el período de la secuencia periódica, luego de hacer esto es

posible invertir en forma exacta cualquiera de las dos secuencias. Si la secuencia

periódica tiene un período menor que la longitud de la secuencia no periódica, debemos

repetir la secuencia periódica hasta alcanzar la longitud de la secuencia no periódica,

pero en esta situación la secuencia periódica no puede ser invertida ya que tendrá

elementos nulos en el dominio de las frecuencias, porque repetir una secuencia en el

dominio del tiempo es equivalente a entrelazar ceros en el dominio de las frecuencias,

y si tiene elementos nulos en el dominio de las frecuencias no puede ser invertida.

El problema de deconvolución con al menos una de las secuencias periódicas, son casos

afortunados en los cuales pueden calcularse inversas exactas por medio de la TDF.

Filtros Inversos y

Deconvolución

5

Deconvolución Lineal

Cuando ninguna de las dos secuencias convolucionadas son periódicas, el problema de

deconvolución no admite una solución exacta, solo admite soluciones aproximadas.

Podemos utilizar la TDF para emular la convolución lineal agregando ceros al final de

las secuencias, pero como el operador inverso es siempre de longitud infinita deberíamos

agregar una inmensa cantidad de ceros, tantos más cuanto más tarde el operador inverso

en converger. Pero al aplicar la transformada inversa para obtener el operador inverso,

inevitablemente siempre se producirá aliasing en tiempo.

Si el operador que queremos invertir no es de fase mínima, el operador inverso será no

causal, por lo tanto no solo deberemos agregar ceros al final de la secuencia sino también

delante de ella, para darle lugar a la componente anticipatoria.

Cuanto mayor sea la cantidad de ceros que agreguemos más se aproximará la inversa

obtenida con la TDF a la inversa obtenida por medio de la serie geométrica que vimos al

estudiar la transformada Z, si no agrego ceros o agrego pocos ceros estas inversas serán

totalmente diferentes.

Filtros Inversos y

Deconvolución

6


Veamos que la precisión del operador inverso está limitada además por otras razones.

La convolución de un operador de longitud 3 y una secuencia de longitud 5 se

puede expresar matricialmente de

n nf x

00

11 0

0 22 1 0

1 33 2 1

3 44 3 2

54 3

64

la siguiente manera:

0 0

0

.

0

0 0

Supongamos que la se

yx

yx x

f yx x x

f yx x x

f yx x x

yx x

yx

cuencia y el operador son conocidos y que deseamos

deconvolucionar para obtener la secuencia . Tenemos 7 ecuaciones y 5 incógnitas,

es decir que es posible resolver el problema. En el caso d

n n

n n

y f

f x

e convolución circular los

ceros son reemplazados por elementos repetidos de la misma secuencia.

Filtros Inversos y

Deconvolución

7


En la mayoría de los problemas en los que se encuentra involucrada la convolución

lineal debemos reemplazar los ceros de los extremos por información desconocida:

0 1 2 0

1 0 1 1

2 1 0 0 2

3 2 1 1 3

4 3 2 3 4

5 4 3 5

6 5 4 6

.

Es decir que tendremos 7 ecuaciones con 9 incógnitas, por lo tanto el proble

x x x y

x x x y

x x x f y

x x x f y

x x x f y

x x x y

x x x y

ma no

puede ser resuelto.

Filtros Inversos y

Deconvolución

8

Filtro Wiener

Dada una secuencia de longitud , queremos diseñar un operador de longitud

que al convolucionarlo con nos dé una salida deseada de longitud 1,

la salida real del filtro no será exactam

n n

n n

x M f

N x d N M

ente la deseada sino que será :

*

Queremos que el operado

n n

n

n n n n n

y d

d

x f y x f

2

2

0

r sea óptimo en el sentido de los cuadrados mínimos, para

ello planteamos la siguiente función objetiva a minimimzar:

( ) mínimo

n

N M

n k k

k

f

f d y

1

0

22 1

0 0

0, 2

( ) mínimo

N

k j k j

j

N M N

n k j k j

k j

y f x k N M

f d f x

Filtros Inversos y

Deconvolución

9

Filtro Wiener

22 1

0 0

( ) mínimo

Derivamos respecto de los coeficientes del filtro:

2

N M N

n k j k j

k j

i

i

f d f x

f

f

2 1

0 0

2 2 1

0 0 0

. . 0 0, 1

0 0, 1

N M N

k j k j k i

k j

N M N M N

k k i j k j k i

k k j

j k j

d f x x i N

d x f x x i N

f x

1 2 2

0 0 0

0, 1N M N M N

k i k k i

j k k

x d x i N

Filtros Inversos y

Deconvolución

10

Filtro Wiener

1 2 2

0 0 0

2

0

0, 1

( ) ( )

N M N M N

j k j k i k k i

j k k

N M

k k i dx xd

k

f x x d x i N

d x i i

22 1

0 0

( )

Hacemos el cambio de variables , y teniendo en cuenta que: 0 para 0,

y 0 para 1. Finalmente reemplazando obten

N M jN M M

k j k i l l j i l l j i xx

k l j l

l

l

x x x x x x j i

l k j x l

x l M

1

0

emos el siguiente sistema de

ecuaciones:

( ) ( ) 0, 1N

xx j xd

j

j i f i i N

Filtros Inversos y

Deconvolución

11

Filtro Wiener

1

0

( ) ( ) 0, 1

Esto mismo expresado matricialmente nos queda:

(0) (1) (2) ( 1)

N

xx j xd

j

xx xx xx xx

xx

j i f i i N

N

0

1

2

1

(0)

( 1) (0) (1) ( 2) (1)

( 2) ( 1) (0) ( 3) . (2)

(1 ) (2 ) (3 ) (0) ( 1)

xd

xx xx xx xd

xx xx xx xx xd

xx xx xx xx N xd

f

N f

N f

N N N f N

Donde es la matriz de autocorrelación de la secuencia , el vector columna contiene

los elementos del operador y es el vector de correlación c

xx xd

xx n

n xd

f

x f

f

ruzada entre la entrada y

la salida deseada . Este sistema recibe el nombre de sistema de ecuaciones normales.

n

n

x

d

Filtros Inversos y

Deconvolución

12

Filtro Wiener

El operador es conocido como filtro Wiener en honor a Norbet Wiener, famoso

matemático del MIT. Minimizar la norma L2 es totalmente arbitrario , podríamos haber

minimizado la norma L1 o haber propu

nf

esto cualquier otro criterio de optimización como

por ejemplo el de Chebyshev o minimax, sin embargo la norma L2 es muy conveniente

porque nos da una solución simple y fácil de obtener. Desde el punto d

e vista estadístico

minimizar la norma L2 es equivalente a considerar que los errores tienen una

distribución normal o Gaussiana. Si la secuencia es real la autocorrelación es una

función pa

n n

n

d y

x

r y la matriz de autocorrelación es simétrica. Observe que los elementos

ubicados en la misma diagonal de la matriz de autocorrelación son iguales, una matriz

con esta estructura es denominada matriz de Toeplitz. Cuando es grande es posible

resolver este sistema de ecuaciones con una matriz de Toeplitz utilizando el algoritmo

de Levinson. Este algoritmo recursivo explota la simetría de la matriz

N

de Toeplitz para

encontrar la solución de manera sumamente eficiente tanto en tiempo como en el uso de

memoria, sin invertir la matriz.

Filtros Inversos y

Deconvolución

13

Filtro Wiener

2

2

El filtro Wiener se puede deducir utilizando álgebra matricial de la siguient manera:

mínimo

Donde es la matriz de convolución de la secuencia , n

Xf d

X x f

2

2

es un vector columna que

contiene lo elementos del filtro Wiener y es un vector columna que contiene la

salida deseada . Derivamos respecto de :

n

d

d f

Xf df

0

2

1

1

0

0

Donde es la matri

T

T T

T T

T T

xx xd

T

xx

X Xf d

X Xf X d

X Xf X d

X Xf X d

X X

z de autocorrelación de y es el vector de

correlación cruzada entre y la salida deseada .

T

n xd

n n

x X d

x d

Filtros Inversos y

Deconvolución

14

Filtro Wiener Inverso

Cuando la salida deseada de un filtro Wiener es un impulso unitario, hablamos de filtro

Wiener inverso. Es decir, obtendremos un filtro inverso de longitud finita que será

óptimo en el sentido de los

N

cuadrados mínimos. Un filtro inverso con estas características

hará un mejor trabajo que el filtro inverso de longitud infinita pero truncado a la misma

longitud . Es decir que la suma de los erroresN al cuadrado será menor en el caso del filtro

Wiener inverso que en el caso del filtro inverso truncado a la misma longitud.

Sin embargo para obtener el menor error cuadrático posible hay que cambiar el

1

2

retardo

del impulso unitario según la fase de la entrada :

fase mínima

fase cero

n

n n

n N Mn

x

d

d

1

?

fase máxima

fase mixta ¿Cuál es el retardo óptimo?

Si la entrada es de fase mixta de

n n N M

n n

d

d

bemos retardar el impulso unitario en función de qué parte

del filtro inverso converge más rápidamente, si la parte causal o la parte anticausal.

Filtros Inversos y

Deconvolución

15

Modelo de Convolución

de la Traza Sísmica El modelo de convolución de la traza sísmica es una idealización que nos permite

representar una traza sísmica como la convolución entre una ondícula o firma

de la fuente, con una función de refle

t tx w

ctividad , más ruido blanco :

*

Las hipótesis que se hacen al proponer este modelo de convolución son las siguientes:

- El subsuelo está con

t t

t t t t

r n

x w r n

stituido por capas horizontales, planas y paralelas de velocidad

constante en cada una de ellas. Es decir, no existen variaciones laterales de velocidad,

la velocidad solamente varía con la profundidad.

- La fuente genera una onda compresiva plana, que se propaga en la dirección vertical

y que incide normalmente a las superficies de discontinuidad. Bajo estas circunstancias

no se generan on

1 1

1

das de corte ni existe divergencia geométrica. La reflectividad será la

correspondiente a incidencia normal: i i i i

i

i

v vr

v

1

- La ondícula no cambia su forma ni su energía a medida que se propaga por el subsuelo.

Es decir la ondícula es estacionaria. No se considera ningún tipo de atenuación anelástica.

i i iv

Filtros Inversos y

Deconvolución

16

Aplicación del Filtro Wiener al Modelo

de Convolución de la Traza Sísmica

2

2

Queremos diseñar un filtro Wiener inverso que convierta una ondícula de fase mínima

en un impulso unitario a lag cero, es decir:

mínimo

Sabemos que

f Wf

1

1

el filtro Wiener inverso que intentará hacer este trabajo, está dado por:

En el lenguaje de exploración sísmica a esta deconvolución se la denom

T T

ww wf W W W

ina deconvolución

impulsiva de fase mínima (minimum phase spiking deconvolution).

Al aplicar el operador a la traza sísmica lograremos remover parcialmente el efecto de

la ondícula y que la traza sísmi

f

ca se parezca un poco más a la reflectividad. En realidad

lo que lograremos será colapsar la ondícula, es decir, reemplazarla por una ondícula más

corta y así mejorar la resolución sísmica, pero no lograremos remover completamente a la

ondícula y recuperar la reflectividad.

Filtros Inversos y

Deconvolución

17

Regularización de Tikonov

El espectro de amplitud del operador de deconvolución es aproximadamente el inverso

del espectro de amplitud de la ondícula. Si el espectro de amplitud de la ondícula se

hace cero para alguna frecuencia, el espectro de amplitud del operador de deconvolución

tenderá a infinito para esa frecuencia. Cuando esto sucede la matriz de autocorrelación

de la ondícula es una matriz singular que no admite inww versa. Para evitar este

problema y estabilizar la solución debemos introducir un término de regularización en

la función objetiva a minimizar, lo cual es equivalente a sumarle ruido blanco no

correlacionable a la ondícula o a la traza sísmica.

Existen diferentes criterios por los que se puede optar a la hora de elegir la regularización

que estabiliza a la solución. El tipo de regularización que utili

2 2

2 2

zaremos es conocido como

regularización de y consiste en agregar el siguiente término a la función

objetiva a minimizar:

( ) mínimof Wf f

Tikonov

Filtros Inversos y

Deconvolución

18


2 2

2 2

2 2

2 2

( ) mínimo

0

2 2 0

T

f Wf If

Wf Iff

W Wf d If

1

0

Buscamos un operador que trate de invertir la ondícula pero que a la vez tenga una

norma L2 pequeña. El parámetro tendrá e

T T

T T

W W I f W d

f W W I W d

l papel de un árbitro que equilibra la

balanza entre resolución (colapso de la ondícula) y estabilidad. En exploración

sísmica se expresa como un porcentaje de la autocorrelación de la ondícula a

la

g cero: (0)

El parámetro recibe el nombre de parámetro de preblanqueo porque produce el

mismo efecto que sumarle ruido blanco no correlacionable

ww

a la ondícula.

Filtros Inversos y

Deconvolución

19


Resolución

Esta

bili

dad

Soluciones “óptimas”

α grande

α pequeño

Filtros Inversos y

Deconvolución

20

Deconvolución Estadística

Cuando conocemos la ondícula presente en la traza sísmica podemos calcular su

autocorrelacion y en este caso hablamos de deconvolución determinística. Sin

embargo, la mayoría de las veces no conocemos la ondícula y debemos estimar

su autocorrelación mediante la autocorrelación de la traza sísmica, haciendo la

hipótesis de que la reflectividad es una señal aleatoria no correlacionable.

Según el modelo de convolución de la traza sísmica:

*

Si tomamos la autocorrelación tenemos:

( ) ( ) * ( ) ( )

t t t

xx rr ww nn

x w r n

( ) (0) ( ) * ( ) (0) ( )

( ) (0) ( ) (0) ( )

Es decir que bajo esta hipótesis, la cual no es totalmente cierta,

xx rr ww nn

xx rr ww nn

la autocorrelación

de la traza sísmica es igual a la autocorrelación de la ondícula salvo un factor de

escala (0) más la autocorrelación de ruido blanco no correlacionable.rr

Filtros Inversos y

Deconvolución

21

Filtros Predictivos

0 1 1 2 2 3 3

Queremos diseñar un filtro Wiener de longitud que cuando lo apliquemos a una

secuencia nos permita predecir el valor siguiente de la secuencia:

n

n n n n

f N

f x f x f x f x f 1 ( 1) 1

0 1

0

1 0 2

1

2 1 0 3

2

3 2 1 0 4

4 3 2 1 0 5

1

O expresado matricialmente:

0 0 0 0

0 0 0

0 0 .

0

n n N n

N

x x

x xf

x x xf

x x x xf

x x x x x

x x x x x xf

Es decir que queremos diseñar un filtro Wiener que al aplicarlo a una secuencia, la

salida deseada sea la misma secuencia pero adelantada en una muestra.

Filtros Inversos y

Deconvolución

22

Filtros Predictivos

Sabemos que el filtro Wiener buscado está dado por el siguiente sistema de ecuaciones:

(0) (1) (2) ( 1)

(1) (0) (1) ( 2)

(2) (1) (0) ( 3)

( 1) ( 2) (

xx xx xx xx

xx xx xx xx

xx xx xx xx

xx xx xx

N

N

N

N N N

0

1

2

1

(1)

(2)

(3)

3) (0) ( 1)

Si la secuencia es lo suficientemente predecible, el operador nos permitirá obtener cada

valor de

xx

xx

xx

xx N xx

n n

f

f

f

f N

x f

la serie como una combinación lineal de los valores anteriores. Que esto sea posible

o no, dependerá de cuan determinística sea la secuencia en comparación con sus componentes

aleatorias. Por ejem

n

N

x

0

0 1 2

plo, la secuencia exp( ) es completamente determinística y podremos

predecirla perfectamente con un operador de longitud dos, 2cos( ) por el contrario

si tiene una componente ale

n

n n n

n

x i n

x x x

x

atoria muy importante, la predicción que podamos hacer con este

operador será muy poco confiable. A todas la secuencias con igual autocorrelación les corresponderá

el mismo operador predictivo, el cual sólo podrá predecir adecuadamente a la de fase mínima.

Filtros Inversos y

Deconvolución

23

Filtros Predictivos de la

componente aleatoria

0

1 0

2 1 0

Vamos a ampliar la matriz teniendo en cuenta que los elementos de una matriz pueden

ser matrices también, escribamos una matriz en bloques de 2 2:

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

x

x x

x x x

0

0

1

23 2 1 0

34 3 2 1 0

5 4 3 2 1 0

1

1

0

0

0 0 0

0 0

0

0

Es posible verificar que esta matriz es correcta escribiendo aN

x

f

f

fx x x x

fx x x x x

x x x x x x

f

1 0 1 1 2 2 ( 1) 1

lgunas ecuaciones del

sistema, en general tendremos:

0

Si pasamos los términos que están restando al segundo miembro, nos queda la misma

n n n n n n N Nx x f x f x f x f

ecuación de predicción que planteamos inicialmente.

Filtros Inversos y

Deconvolución

24

Filtros Predictivos de la

componente aleatoria

1 0 1 1 2 2 ( 1) 1

0 1 2 3 1

* 0

1, , , , , ,

Este operador en vez de predecir el valor siguiente de la secuencia,

pef

n n n n n n N N n n

pef

n N

x x f x f x f x f x f

f f f f f f

predice la

diferencia en el valor original y el valor estimado con el filtro predictivo. Es

decir, está prediciendo la componente aleatoria de la señal. Este operador es

denominado prediction error filt o filtro predictivo del error.

Si planteamos el sistema de ecuaciones normales de este filtro, tendremos:

(0) (1) (2) ( 1)

(1) (0) (1) ( 2)

(2) (1) (0) ( 3)

xx xx xx xx

xx xx xx xx

xx xx xx xx

xx

er

N

N

N

2

0

0

1

1

1

0

0

( 1) ( 2) ( 3) (0) 0xx xx xx N

x

f

f

N N N f

Filtros Inversos y

Deconvolución

25

Deconvolución Predictiva

Podemos ver que el sistema de ecuaciones normales del filtro predictivo del error es igual

al sistema de ecuaciones normales del filtro de deconvolución impulsiva de fase mínima,

salvo por un factor d 0e escala de la salida deseada. El operador será igual al operador

de deconvolución impulsiva salvo un factor de escala, este operador hará un buen trabajo

si la secuencia es de fase mínima

pef

n

n

x f

x , si ese no es el caso tendremos que diseñar operadores

no causales. Si al diseñar el operador predictivo , en vez de que la salida deseada sea la

entrada adelantada en una muestra, hacemos que sea

nf

0 1 2 1

la entrada adelantada en muestras,

y luego al operador predictivo del error le ponemos detrás del 1 inicial 1 ceros:

1,0,0,0, ,0, , , , , pef

n N

M

M

f f f f f

1 ceros

Obtenemos lo que se denomina un gapped prediction error filter. En el lenguaje de exploración

sísmica, este es un operador de deconvoluc

M

ión predictiva y se utiliza para atenuar reflexiones

múltiples que se presentan muestras después de la reflexión primaria.M

Filtros Inversos y

Deconvolución

26

Filtro Correlador

Queremos encontrar un operador que nos diga cuándo encuentra determinada señal

que se encuentra sumergida en ruido. Cuando exista un solapamieto completo entre

el filtro y la señal oculta queremos maximizar la salida del filtro, lo cual nos indicará

la presencia de la señal. Claramente la longitud del operador debe ser igual a la

longitud de la señal que estamos buscando. La convolución de la señal

s 0 1 2 1 0 1 2 1, , , , de longitud con el filtro , , , , , también de

longitud , será de longitud 2 1. Definimos la relación señal ruido de la señal de

salida como:

potencia instantánea de s

n N n Ns s s s N f f f f f

N N

alida cuando sólo la señal está presente en la entrada

potencia de salida cuando sólo ruido está presente en la entrada

Se puede demostrar que esta relación señal ruido será igual a:

2

,

donde es la autocorrelación del ruido

en el cual se encuentra sumergida la señal.

n j j

j

ij i j

i j

ij

s f

f f

Filtros Inversos y

Deconvolución

27

Filtro Correlador

Para encontrar el filtro que maximiza tomamos las derivadas con respecto a los

coeficientes del filtro: 0

Lo cual nos conduce a la sigu

kf

0 1 0 1

1 0 1

iente solución:

Si la escribimos en forma matricial:

ik i N k

i

N N

N N

f s

f s

f

0

Si el ruido es blanco la matriz de autocorrelación del ruido se aproxima a la matriz identidad,

en estas condiciones el filtro que estamos buscando no es más que la señal revertida. Pero

s

convolucionar con la señal revertida es lo mismo que correlacionar con la señal sin revertir.

Es decir que la operación que buscamos no es más que la correlación cruzada con la señal

que queremos detectar. Este tipo de filtro se llama filtro correlador.

Filtros Inversos y

Deconvolución

28

Bibliografía:


Processing, Academic Press, Chapter Nine.

Yilmaz, O. (1987), Seismic Data Processing, Volume 2

of Investigations in Geophysics. SEG

Hatton, L., Worthington, M.H. and Makin, J. (1986),

Seismic Data Processing: Theory and Practice,

Blackwell Scientific Publications.


10° Clase

Transformada de Hilbert



Transformada de Hilbert 2

Propiedades

• La transformada de Hilbert de una señal produce un

adelanto de su fase de π/2 radianes.

• Cuando una señal es causal en un dominio, ya sea

tiempo o frecuencia, la parte real y la imaginaria en el

otro dominio estarán vinculadas por la transformada de

Hilbert.

• Si la señal causal es además de fase mínima, entonces

el logaritmo natural del espectro de amplitud será igual a

la transformada de Hilbert del espectro de fase.


Función Signo

Se define la función signo sgn( ) como:

1 si 0 sgn( )

1 si 0

Su transformada integral de Fourier está dada por:

t

tt

t

2 sgn( )t

i


Función Signo

Calculemos la transformada integral de Fourier de la función signo:

𝐹𝑇 𝑒−𝛼 𝑡 sgn 𝑡 = 𝑒−𝛼 𝑡 sgn 𝑡 𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡 =

+∞

−∞

= 𝑒𝛼𝑡 −1 𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡

0

−∞

+ 𝑒−𝛼𝑡 +1 𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡 =

+∞

0

= 𝑒𝛼𝑡𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡

−∞

0

+ 𝑒−𝛼𝑡𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡 =

+∞

0

= − 𝑒−𝛼𝑡𝑒+𝑖Ω𝑡𝑑𝑡

+∞

0

+ 𝑒−𝛼𝑡𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑𝑡

+∞

0

= 𝑒−𝛼𝑡 𝑒−𝑖Ω𝑡 − 𝑒+𝑖Ω𝑡 𝑑𝑡 =

+∞

0

= 2𝑖 𝑒−𝛼𝑡 −𝑒+𝑖Ω𝑡 − 𝑒−𝑖Ω𝑡

2𝑖𝑑𝑡 =

+∞

0

− 2𝑖 𝑒−𝛼𝑡

+∞

0

sin Ω𝑡 =2

𝑖

Ω

Ω2 + 𝛼2


Función Signo

𝑒−𝛼 𝑡 sgn 𝑡 ⟺2

𝑖

Ω

Ω2 + 𝛼2

Tomando el límite cuando a tiende a cero:

lim𝛼→0

𝑒−𝛼 𝑡 sgn 𝑡 ⟺ lim𝛼→0

2

𝑖

Ω

Ω2 + 𝛼2

Obtenemos:

sgn 𝑡 ⟺2

𝑖

Ω

Ω2

O lo que es equivalente:

sgn 𝑡 ⟺2

𝑖Ω


Función Signo

Apliquemos la propiedad de simetría de la transformada de Fourier:

( ) ( ) ( ) 2 ( )

a la función signo:

2 sgn( )

f t F F t f

ti

2 2 sgn( )


1 sgn( )

it

it

−1

𝜋𝑡⟺ 𝑖 sgn Ω = 𝑒

𝑖𝜋2

ΩΩ


Función Signo



1Se define la transformada de Hilbert como la convolución con la función :

1 1 ( ) ( ) ( ) *

Convolucionar en tiempo por 1 , es equivalente a multipli

t

fHT f t f t d

t t

t

car en frecuencia por

sgn( ) , es decir, no modificamos el espectro de amplitud, sólo estamos aplicando

un corrimiento en fase de + 2 para las frecuencias positivas, y de 2 para las

frecuencias

i

negativas.

La transformada de Hilbert produce un adelanto de la fase de 2, por lo cual se

dice que una función y su transformada de Hilbert están en cuadratura.



de senos y cosenos

1 sin( )cos( )

( )t d

t

1 cos( )sin( )

( )t d

t


Espectro de la Función

Exponencial Compleja

Ω𝑜

Ω𝑜

Ω𝑜

Ω𝑜

−Ω𝑜

Ω

−Ω𝑜

−Ω𝑜

Ω

Ω

Ω

𝑖𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 − 𝑖𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜

-𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 + 𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜

𝜋𝛿 Ω + Ω𝑜 + 𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜

2𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜

cos Ω𝑡 + 𝑖 sin Ω𝑡 = 𝑒𝑖Ω𝑡 ⟺ 2𝜋𝛿 Ω − Ω𝑜

Espectro del sin(Ωt)

Espectro de i sin(Ωt)

Espectro del cos(Ωt)

Espectro del cos(Ωt)+i sin(Ωt)


La Función Analítica

Podemos escribir a la función exponencial compleja de la siguiente forma:

cos( ) sin( ) cos( ) . cos( )

Teniendo presente que cualquier función se puede expresar como una suma

i te t i t t i HT t

escalada

de exponenciales complejas, generalicemos esta idea y creemos una función compleja

a partir de una función real, cuya parte imaginaria tenga un retardo en fase de 90°

respecto de su parte real,

es decir:

( ) ( ) ( )

La función ( ) es conocida como función analítica asociada a ( ). Del mismo modo

como la transformada de Fourier de la función exponencia

g t f t i HT f t

g t f t

l compleja es causal, la

transformada de Fourier es la función analítica es causal también.


La Función Analítica

( ) ( ) . ( )

( ) ( ) .sgn( ) ( )

( ) ( ) 1 sgn( )

FT g t f t i TH f t

G F i i F

G F

2 ( ) si 0 ( )

0 si 0

Dada una función en tiempo cuya parte imaginaria sea igual a menos la transformada

de Hilbert de su parte real, su transformada de Fourier será

FG

causal.

Análogamente, si una función temporal es causal, la parte real e imaginaria de su

transformada de Fourier estarán vinculadas por la transformada de Hilbert.


La Función Envolvente

22

Se define a la envolvente ( ) de una función ( ) como el módulo de su función

analítica:

( ) ( ) ( ) ( )

En aquellos puntos donde la función y su envolv

E t f t

E t g t f t HT f t

ente se tocan, la envolvente ( )

será tangente a la función ( ). Dado que la envolvente es claramente mayor o

igual que la función en todo punto, la envolvente circunscribe a la función,

propiedad que

E t

f t

le da su nombre.


Transformada Generalizada

de Hilbert

sgn( )

Aplicar un adelanto arbitrario de la fase , es decir multiplicar en el dominio de

las frecuencias por , es conocido como transformada generalizada de

Hilbert:

ie

GHT f

2

( ), cos ( ) sin ( )

( ) cos ( ) sin ( )

Es fácil de ver que la aplicación de la transformada generalizada de Hilbert no

modifica a la función envolven

t f t HT f t

f t f t f t

te. Es decir que la función envolvente de ( ),

circunscribirá a todas las funciones ( ) que se obtengan aplicando un adelanto

constante y arbitrario de la fase.

f t

f t


Coeficientes de reflexión complejos

Cuando un rayo incide en una superficie de discontinuidad con un ángulo mayor al

ángulo crítico, la expresión que nos permite obtener el coeficiente de reflexión nos da

un valor complejo. En esta situación no se transmite energía a la capa subyacente,

toda la energía es reflejada hacia arriba. Esto es llamado reflexión interna total, y a

diferencia de las reflexiones precríticas en las que la forma de onda no cambia, en las

reflexiones postcríticas la forma de la onda es distorsionada. Esto se produce por la

multiplicación con un coeficiente de reflexión complejo r = |r| exp(iφ). En el dominio

de las frecuencias esto es equivalente a multiplicar por |r| exp(iφ Ω/|Ω|) donde φ es el

cambio de fase constante entre el rayo incidente y el reflejado. Un corrimiento de fase

positivo para las frecuencias positivas y negativo para las frecuencias negativas

produce un avance de la fase. El signo del corrimiento en fase debe cambiar para que

la señal en frecuencia siga siendo hermitiana y para que en tiempo siga siendo real.

Un coeficiente de reflexión r = i para las frecuencias positivas y r = –i para las

negativas, corresponde a un avance de la fase en π/2, es decir a la transformada de

Hilbert. Un corrimiento φ arbitrario de la fase corresponde a la transformada

generalizada de Hilbert. El signo del corrimiento en fase depende del signo de la

exponencial compleja utilizado en la definición de la transformada de Fourier.


Amplitud, Fase y

Frecuencias Instantáneas

.

La amplitud instantánea de una señal no es otra cosa que la función envolvente ( ).

Se define a la fase instantánea (t) de una señal ( ) como:

inst

i

E t

f t

2 ( )

( )( )

La función y su transformada de Hilbert se pueden expresar en función de la

envolvente y de la fase instantánea del siguiente modo:

nst

f tt arctg

f t

2

.

.

( ) ( ) cos ( )

( ) ( ) sin ( )

La frecuencia instantánea está dada por la derivada de la fase instantánea respecto del

tiempo:

inst

inst

f t E t t

f t E t t

.. ( ) inst

inst

dt

dt


Descomposición Par / Impar

Toda función ( ) se puede descomponer como la suma de una función par ( ), más

una función impar ( ) : ( ) ( ) ( )

Donde:

p

i

p i

f t f t

f tf t f t f t

( ) ( )( )

2

( ) ( )( )

2

Si ( ) es una función real, cuya transformada de Fourier está dada por:

( ) ( ) Re ( ) Im ( )

Entonces p

p

i

f t f tf t

f t f tf t

f t

FT f t F F i F

or las propiedades de simetría de la transformada de Fourier:

Re ( ) ( ) ( )

Im ( ) ( ) ( )

p p

i i

F FT f t F

i F FT f t F


Espectro de una

Función Real y Causal

Si ( ) es una señal real y causal,

es fácil de ver que:

( ) sgn( ) ( )

( ) sgn( ) ( )

p i

i p

f t

f t t f t

f t t f t


Espectro de una

Función Real y Causal

Si ( ) es una señal real y causal, entonces:

( ) sgn( ) ( )

( ) sgn( ) ( )

Tomando transformad

p i

i p

f t

f t t f t

f t t f t

a de Fourier a esta ecuaciones, teniendo en cuenta que 2

sgn( ) , obtenemos:2

( ) * ( )

2

( ) * ( )

La TF de las funciones pares e impares son

p i

i p

ti

F Fi

F Fi

iguales a la parte real y a la parte imaginaria

respectivamente, de la TF de la función original, entonces obtenemos:

2 Re ( ) * Im ( )

2

Im ( ) * Re( )

F i Fi

i Fi


Espectro de una

Función Real y Causal 2

Re ( ) * Im ( )

2

Im ( ) * Re( )

Teniendo en cuenta que cuando convolucionamos en el dominio de las frecuencias nos

aparece un factor 1 2 , obtenemos:

F i Fi

i Fi

1 Im ( )Re ( ) Im ( )

1 Re ( )

Im ( ) Re ( )

Esto demuestra que si la función ( ) es real y causal, la parte real y la parte imaginaria

de su

FF d HT F

FF d HT F

f t

transformada de Fourier, están vinculadas por la transformada de Hilbert.

Del mismo modo si la parte real e imaginaria de la TF de una función están vinculadas

por la transformada de Hilbert, la función debe ser necesariamente causal.


Si tratamos de aplicar lo discutido hasta ahora sobre la transformada de

Hilbert a señales digitales y queremos aprovechar las ventajas de la

transformada discreta de Fourier, nos encontramos con dos problemas.

El primero es qué queremos decir con causalidad, ya que cuando

utilizamos TDF las señales son periódicas en ambos dominios y por lo

tanto no pueden ser causales. Sin embargo, definiremos causalidad en

el contexto de la TDF como aquella señal discreta que es cero en la

primera mitad de cada período. El segundo problema está relacionado

con el teorema de “Banda Limitada / Tiempo Limitado”. Por este

teorema sabemos que la señal que no se extiende desde a en

un dominio, tendrá que hacerlo en el otro dominio. Por lo tanto una

señal causal en el dominio del tiempo tendrá que contener

necesariamente todas las frecuencias, lo cual nos lleva a preguntarnos:

¿Cómo podremos implementar la transformada de Hilbert mediante la

Transformada Discreta de Fourier?

La Transformada de Hilbert y la



La respuesta es que la “Transformada Ideal de Hilbert”, del mismo modo

que un filtro pasa-bajos ideal o filtro diferenciador ideal, son conceptos

valiosos en la teoría del continuo que sólo pueden ser implementados de

manera aproximada en forma digital. El diseño de operadores digitales

que apliquen la transformada discreta de Hilbert deberá realizarse con las

mismas técnicas que describimos para diseñar filtros de frecuencias,

como por ejemplo el uso de ventanas o zonas de transición. Debido a

que el operador en tiempo que aplique la transformada ideal de Hilbert

será infinitamente largo a causa de la discontinuidad de su respuesta en

frecuencia en el origen, cualquier implementación práctica del operador

discreto deberá truncarla de alguna manera, dando únicamente

resultados aproximados. La respuesta en frecuencia del operador

truncado tendrá la respuesta en fase exacta, pero la respuesta en

amplitud tendrá ripple. La alternativa es realizar la transformada de

Hilbert en el dominio de las frecuencias tolerando los errores introducidos

por la transformada discreta de Fourier.

La Transformada de Hilbert y la



El Operador Ideal de la

Transformada Discreta de Hilbert La respuesta impulsiva infinita de la Transformada Discreta de Hilbert es lo que se

denomina un filtro digital de cuadratura . Su respuesta en frecuencia ideal está

dada por: ( )

n

i

q

Q e 2 si 0<

sgn( ) si 0

Como sabemos ( ) es una función continua y periódica de la frecuencia de período

2 , y su transformada discreta inversa está dada por:

ii i

i

Q

0

0

0 0 0

0

1 1 1 ( ) ( )

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1 sin cos 1

i n i n i n

n

i n i n i n i n

n

n

q Q e d i e d i e d

iq ie d ie d e e d

q n d nn

0 si es par o cero

2 n si es imparn

nq n

n


El Operador Ideal de la

Transformada Discreta de Hilbert

2nq

(a) El operador discreto ideal y su espectro. (b) El espectro de amplitud del

operador truncado. Su espectro de fase es exacto.

( )Q


Relación entre los espectros de amplitud

y de fase de una señal de fase mínima

Consideremos el siguiente dipolo de fase mínima:

1, donde 1

Su transformada Z está dada por:

1

nx

X z

1

Tomemos el logaritmo natural de la transformada Z:

ln 1

Este desarrollo en serie es convergente si 1.

Ahora tomemos transformada Z inversa:

nn

n

z

X z z zn

0 si 0

si 1

Es decir que si es de fase mínima, entonces es causal.

nn

nn

n

xn

n

x x

𝑋 𝑧 =

𝑥 𝑛=

𝑥 𝑛




Si es causal, entonces:

Re Im

Pero como:

( ) ln ( ) ln ( ) arg ( ) ln ( ) ( )

Entonces si es de fase mínima:

n

x

n

x

X HT X

X X X i X X i

x

ln ( ) ( )xX HT

𝑥 𝑛

𝑋 𝜔 Im𝑋 𝜔

𝑋 𝜔




0 1 2 1

Esta demostración se puede generalizar para una secuencia de fase mínima de longitud

arbitraria: , , , ,

n Nx x x x x

11

0

0 1

1 1

11

( ) 1 si 1

( ) ln ( ) ln 1 ln 1

Si 1 para 1, 1, entonces:

ln

NNn

n k

n k

N N

k k

kk

k

X z x z z x

X z X z z z

k N

X z X z

1 1

1 1 1 1

1

1

Tomando transformada Z inversa obtenemos:

0 si 0

si 0

n nN Nn nk k

k n n k

nNn

k

k

z zn n

n

xn

n

𝑋 𝑧

𝑋 𝑧

𝑥 𝑛 =




Es decir que si de longitud arbitraria es de fase mínima, entonces

es causal, por lo tanto el logaritmo natural del espectro de amplitud está

relacionado con el espectro de fase por la transfo

nnx N x

rmada de Hilbert,

es decir:

ln ( ) ( ) si es de fase mínima.x nX HT x

𝑥 𝑛


Bibliografía:


Processing, Academic Press.



Publications


11° Clase

Factorización Espectral



Factorización Espectral 2

Factorización Espectral

Conocer la autocorrelación de una señal no nos da ninguna información sobre su espectro

de fase, sólo nos da información sobre su espectro de potencia. El problema de determinar

cuál es la señal de fase mínima, que posee un determinado espectro de potencia, es denominado

factorización espectral, porque el espectro de potencia es igual al producto de dos factores

que queremos determinar:

2*

Existen consideraciones físicas que nos permiten afirmar que una determinada señal debe

ser causal e invertible, lo cual es equivalente a decir que la señal debe ser de f

i iP X X X e X e X

ase mínima.

Si logramos determinar el espectro de fase mínima ( ), podremos obtener la señal en el

dominio del tiempo utilizando la transformada inversa de Fourier.


Método de las Raíces

0 1 2 1

Dada una secuencia real de longitud :

, , , ,

Su autocorrelación será una secuencia real y simétrica de longitud impar 2 1:

n N

N

x x x x x

N

1 2 1 0 1 2 1

1 2 1 2 1

1 2 1 0 1 2 1

1

* , , , , , , , ,

La transformada Z de la autocorrelación está dada por:

1

Si multiplicamos por obtenemos un

n n n N N

N N

N N

N

p x x p p p p p p p

P z X X z p z p z p z p p z p z p zz

P z z

2 2

1

1

1

polinomio de grado 2 2 que puede

ser factorizado del siguiente modo:

N

N

N k

k

N

z P z p z z



2 2

1

1

1

Las raíces de este polinomio o bien son reales o se presentan de a pares complejos

conjugados ya que es un polinomio con coeficient

NN

N k

k

k

z P z p z z

z

es reales. La disposición simétrica

de los coeficientes provoca además que las raíces se presenten también de a pares

recíprocos conjugados. Es decir que las raíces complejas de este polinomio se

presen

1

* *

1 1 1 1

Fase mínima Fase máxima

tarán en grupos de a cuatro. Una raíz compleja , produce los siguientes

factores asociados: - 1 1 1

z

z z z z z z z

1 si z 1

Podemos asignar las raíces cuyos módulos sean mayores que uno a y luego las

recíprocas conjugadas, cuyos módulos serán menores que uno, a 1 . De esta

forma una secuencia de longitud

X z

X z

impar, real y simétrica podrá ser factorizada como

1

Donde será de fase mínima a menos que existan ceros sobre el círculo unidad.

P z X z X z

X z



Es importante observar que no todas las secuencias de longitud impar

reales y simétricas son autocorrelaciones de una secuencia real. Para serlo

deben cumplir con una condición adicional: que su transformada de Fourier

tome valores reales positivos para todas las frecuencias. La transformada de

Fourier de la autocorrelación es igual al espectro de potencia, es decir al

espectro de amplitud al cuadrado, por lo cual debe ser positiva.

Una secuencia de longitud N tendrá N-1 raíces, y su autocorrelación de

longitud 2N-1 tendrá 2N-2 raíces. Existirán 2**(N-1) secuencias equivalentes

de longitud N que poseerán la misma autocorrelación pero sólo una de ellas

es de fase mínima.

Aunque el método de factorización de las raíces no es práctico para

secuencias largas con longitudes mayores que 100, es útil para secuencias

cortas. Además posee un gran valor didáctico. Si bien encontrar los ceros de

un polinomio no es un problema trivial, existen subrutinas disponibles en

todas las librerías matemáticas estándares para realizar esta tarea.


Método de Factorización

Espectral de Kolmogoroff

11

0

0 1

Sea una secuencia de fase mínima de longitud . Su transformada Z está dada por

( ) 1

1Donde 1 por ser de fase mínima. Tomemos e

n

NNn k

n k

n k

k n

k

x N

X z x z x z

xz

11 1

0 0

0 11

l logaritmo natural a esta

transformada:

ln ( ) ln ln 1 ln ln 1

Desarrollando en serie el logaritmo natural obtenemos:

ln ( ) ln

NN Nn

n k k

n kk

X z x z x z x z

X z

1 1

0 0

1 1 1 1

01 1

ln

Si tomamos la transformada Z inversa vamos al dominio conocido como "cepstrum":0 0

ln ln ( ) ( )

n nN Nn nk k

k n n k

n

x z x zn n

si n

xx Z X z Z X z

1

1

0

0nNk

k

si n

si nn

𝑥 𝑛 = 𝑍−1 ln 𝑋 𝑧 = 𝑍−1 𝑋 𝑧 =




*

m

Por otro lado sabemos que la autocorrelación de está dada por:

( ) * 1 , 1

La transformada Z de la autocorrelación puede ser

n

xx m n n

x

m p x x m N N

*

*

1* * *

0

0

expresada del siguiente modo:

1

1Donde está dada por:

1 1 1

N

n nn

P z X X zz

Xz

X x xz z

1*

1

1

Ahora tomemos el logaritmo natural a esta transformada Z.

N

k

k z




11 1* * * * * *

0 0

0 11

*1 1

* * * *

0 0

1 1 1

1 1 1 1 ln ln ln 1 ln ln 1

1 1 1 ln ln ln 1 ln

NN N

n k knn kk

nN N

k

k nk k n

X x x xz z z z

X x xz z n z

*

1* *

0

1 1

1 1 ln ln

En un momento vamos a utilizar esta expresión. Ahora volvamos a la transformada Z de

la autocorrelación .

nN

k

nn k

n

X xz n z

p




Consideremos que es de fase mínima, por lo tanto sus ceros están fuera del círculo

unidad, tomemos el logaritmo natural a la transformada Z de su autocorrelación:

nx

*

*1 1

*

0 0

1 1 1 1

*1 1

0

1 1 1

1 ln ln ln

1 ln ln ln

1 ln 2ln

nnN N

k nk

nn k n k

nnN N

k k

nn k k

P z X X zz

P z x x zn z n

P z xn z n

1

Tomemos ahora la transformada Z inversa simplemente identificando los coeficientes

asociados a cada potencia de z.

n

n

z




*1

1

1

0

1

1

si 0

ln 2ln si 0

si 0

Ahora comparando con la expresión para vemos que:

nN

k

k

n

nNk

k

n

nn

p Z P z x n

nn

x

0 si 0

si 02

si n>0

Como vimos al estudiar transformada de Hilbert, es una secuencia causal cuyo espectro de

amplitud está dado por:

nn

n

n

n

px n

p

x

1

2

1

2

( ) ln ( ) ln ( )

Por lo tanto su espectro de fase está dado por:

( )= ln ( )

X X P

HT P

𝑋 𝜔 =

𝑥 𝑛 =

0 𝑠𝑖 𝑛 < 0𝑝 𝑛2 𝑠𝑖 𝑛 = 0

𝑝 𝑛 𝑠𝑖 𝑛 > 0

𝑝 𝑛

𝑥 𝑛



Espectral de Kolmogoroff Resumiendo, podemos decir que si tomamos la autocorrelación y vamos al dominio

del cepstrum. En este dominio nos quedamos con la parte causal y luego volvemos

al dominio de los tiempos discretos, obte

( )

nemos la secuencia de fase mínima que

estamos buscando:

( ) ln ( )

( )

n

X z

X z Z x X z

X z e

1 ( )

Si queremos implementar el método de factorización de Kolmogoroff numéricamente

utilizando la TDF en vez de la transformada Z, sólo podremos hacerlo de manera

aproximada, ya qu

X z

nx Z e

e la secuencia es una secuencia infinita y que al discretizarla en

el dominio de las frecuencias generaremos periodicidad en tiempo e inevitablemente

aliasing "temporal".

nx

𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥 𝑛 = ln 𝑋 𝑧

𝑋 𝑧 = 𝑒𝑋 𝑧

𝑥𝑛 = 𝑍−1 𝑒𝑋 𝑧

𝑥 𝑛




2

Para implementar numéricamente el método de factorización de Kolmogoroff, conocido

el espectro discreto de potencia , debemos seguir los siguientes

pasos:

1. Tomamos el logaritmo natural del

k kMP P k P

espectro de potencia con una cantidad grande

de muestras en frecuencia para minimizar el aliasing "temporal" en el dominio del

cepstrum:

M

ln

2. Calculamos la transformada discreta inversa de Fourier:

3. Nos quedamos con la parte causal de para así obtener :

k k

kn

nn

P P

p IDFT P

p x

0 si 0

si 02

si n>0

nn

n

n

px n

p

𝑃 𝑘 = ln 𝑃𝑘

𝑝 𝑛 = 𝐼𝐷𝐹𝑇 𝑃 𝑘

𝑝 𝑛

𝑥 𝑛 =

0 𝑠𝑖 𝑛 < 0𝑝 𝑛2 𝑠𝑖 𝑛 = 0

𝑝 𝑛 𝑠𝑖 𝑛 > 0

𝑥 𝑛 :




4. Calculamos la TDF de :

5. Tomamos la exponencial de para así obtener :

n

k n

k k

k

x

X DFT x

X X

X

6. Finalmente calculamos la transformada discreta inversa de Fourier para obtener

la secuencia de fase mínima buscada:

kX

n k

e

x IDFT X

𝑋 𝑘 = 𝐷𝐹𝑇 𝑥 𝑛

𝑋 𝑘

𝑋𝑘 = 𝑒𝑋 𝑘


Método del Doble filtro Wiener

inverso de retardo cero Dada la autocorrelación ( ) de longitud (2 1) de una familia de secuencias

equivalentes de longitud , queremos hallar la secuencia de esa familia cuya fase

es mínima. Cuando vimos deconvolución

xx

n

n N

N x

impulsiva de fase mínima vimos que el

operador de deconvolución que deconvolucionaba adecuadamente a la secuencia

de fase mínima está dado por:

n

n

f

x0

1

0

0

0

Donde es la matriz de autocorrelación. También vimos que el operador es una

secuencia de fase mínima. Como no conocemos ponemos en su lugar un 1 y obtenemos

el operado

xx

xx n

x

f

f

x

1

r inverso Wiener salvo un factor de escala:1

0

0

xxf


Método del Doble filtro Wiener

inverso de retardo cero

La longitud del operador Wiener inverso debe ser grande para que se aproxime

al operador inverso. Podemos obtener la secuencia de fase mínima y de longitud

diseñando un operador de deconvolución

n

M

x

N

1

impulsiva de fase mínima de longitud

del operador : 1

0

0

Finalmente debemos escalar la secuencia por un escalar para que

n

ff

n

N

f

x

x

1 12 2 2

0 0

12

0

su energía sea

igual a la autocorrelación a lag cero:

0

0

N N

xx n n

n n

xx

N

n

n

x x

x

n nx x

𝜙𝑥𝑥 0 = 𝜆𝑦𝑛2

𝑁−1

𝑛=0

= 𝜆2 𝑦𝑛2

𝑁−1

𝑛=0

𝜆 =𝜙𝑥𝑥 0

𝑦𝑛2𝑁−1𝑛=0

; 𝑥𝑛 = 𝜆𝑦𝑛

𝑦 =

𝑦𝑛


Bibliografía:


Processing, Academic Press. Chapter Ten.



Publications


12° Clase

Procesos Aleatorios



Procesos Aleatorios 2

Proceso Aleatorio:

Un proceso aleatorio es una secuencia indexada de variables aleatorias:

𝑥𝑛

Para caracterizar un proceso aleatoria debemos especificar las funciones

de densidad de probabilidades de todos sus miembros:

𝑝𝑥𝑛

Como así también todas las funciones de densidad de probabilidades

conjuntas:

𝑝𝑥𝑛,𝑥𝑚

En procesamiento de señales digitales se utilizan procesos aleatorios para

modelar señales aleatorias. Una señal aleatoria es considerada una

realización de un proceso aleatorio. El modelo aleatorio puede estar en

conflicto con la realidad. Sin embargo, el proceso físico que genera la señal

es tan complejo y nuestro entendimiento del mismo tan pobre, que lo

interpretamos como aleatorio. Esto no significa que el proceso sea

realmente aleatorio, sólo significa que somos ignorantes.


Promedios Estadísticos:

Es habitual caracterizar una variable aleatoria por medio de sus promedios

estadísticos, tales como el valor medio, la varianza y los momentos de

orden superior:

Valor medio:

𝜇𝑥𝑛1 = 𝜇𝑥𝑛

= 𝐸 𝑥𝑛 = 𝑥 𝑝𝑥𝑛

+∞

−∞

𝑥 𝑑𝑥

Varianza:

𝜇𝑥𝑛2 = 𝜎𝑥𝑛

2 = 𝐸 𝑥𝑛 − 𝜇𝑥𝑛

2= 𝐸 𝑥𝑛

2 − 𝜇𝑥𝑛2

Momentos de orden superior:

𝜇𝑥𝑛𝑟 = 𝐸 𝑥𝑛 − 𝜇𝑥𝑛

𝑟


Procesos Estacionarios:

Cuando todos los promedios estadísticos son iguales para todas las

variables que conforman el proceso aleatorio se dice que el proceso es

estrictamente estacionario:

𝜇𝑥𝑛𝑟 = 𝜇𝑥

(𝑟) ∀𝑛

Cuando solamente el valor medio y la varianza no varían con el tiempo se

dice que el proceso es estacionario débil, estacionario en sentido amplio o

estacionario de segundo orden:

𝜇𝑥𝑛= 𝜇𝑥 ∀𝑛

𝜇𝑥𝑛2 = 𝜎𝑥𝑛

2 = 𝜎𝑥2 ∀𝑛

El valor medio, la varianza y los momentos de orden superior son

promedios estadísticos que nos proporcionan valiosa información sobre el

proceso, es decir, aunque la señal sea aleatoria, es capaz de contener

información en sus promedios estadísticos.


La Autocovarianza:

En nuestro caso el más útil de los promedios estadísticos de un proceso

aleatorio es la autocovarianza, definida como:

𝛾𝑥𝑥 𝑛,𝑚 = 𝐸 𝑥∗𝑛 𝑥𝑚

Esta nos da información sobre la dependencia entre los valores de un

proceso aleatorio a distintos tiempos, es decir, es una medida de la

variación temporal de la señal aleatoria. Sin embargo, si el proceso es

estacionario de segundo orden, la autocovarianza es independiente de un

corrimiento del origen de los tiempos, solo depende de la diferencia de

tiempos:

𝛾𝑥𝑥 𝑛, 𝑛 + 𝑚 = 𝛾𝑥𝑥 𝑚 = 𝐸 𝑥∗𝑛 𝑥𝑛+𝑚

En el contexto de procesamiento de señales digitales los procesos

aleatorios estacionarios son un concepto matemáticamente conveniente

que nos permite utilizar la teoría de probabilidades para representar

señales de energía infinita. Sin embargo, en la práctica tratamos con una

única secuencia y no con un universo o población infinita de secuencias


Ergodicidad:

Diremos que un proceso aleatorio estacionario es ergódico si sus

promedios estadísticos son iguales a los promedios temporales, es decir:

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑥 = lim𝑁→∞

12𝑁+1 𝑥𝑛

𝑁

𝑛=−𝑁

𝜎𝑥2 = 𝐸 𝑥 − 𝜇𝑥

2 = lim𝑁→∞

12𝑁+1 𝑥𝑛 − 𝜇𝑥

2

𝑁

𝑛=−𝑁

𝛾𝑥𝑥 𝑚 = 𝐸 𝑥∗𝑛 𝑥𝑛+𝑚 = lim

𝑁→∞

12𝑁+1 𝑥∗

𝑛 𝑥𝑛+𝑚

𝑁

𝑛=−𝑁

Debemos inferir las propiedades estadísticas del proceso aleatorio

estacionario a partir de una única realización del mismo. Esto sólo es

posible asumiendo que el proceso aleatorio estacionario es ergódico,

entonces los promedios estadísticos pueden ser calculados a partir de una

única secuencia de energía infinita por medio de sus promedios temporales


Promedio de la muestra:

En realidad tampoco nos es posible calcular los promedios temporales, ya

que no observamos la señal entre −∞ y +∞. Con una única realización de

longitud N que disponemos sólo podemos calcular estimadores de los

promedios temporales llamados promedio de la muestra o estimador

experimental:

𝜇 𝑥 =1

𝑁 𝑥𝑛

𝑁−1

𝑛=0

𝜎 𝑥2 =

1

𝑁 𝑥𝑛 − 𝜇 𝑥

2

𝑁−1

𝑛=0

𝛾 𝑥𝑥 𝑚 =1

𝑁 𝑥∗

𝑛 𝑥𝑛+𝑚

𝑁−𝑚−1

𝑛=0

La diferencia entre la secuencia de autocorrelación que oportunamente

definimos y este estimador de la autocovarianza es únicamente el factor 1/N.


Teorema de Wiener-Khintchine

Para muchas señales de interés, como por ejemplo: sinusoides, escalones,

signo, señales aleatorias, etc., sus amplitudes no decaen en el infinito, y la

transformada integral de Fourier de la autocorrelación no existe. Sin

embargo el teorema de Wiener-Khintchine nos dice que la transformada

integral de Fourier de la autocovarianza sí existe y es lo que se denomina

densidad del espectro de potencia:

𝑃 Ω = lim𝑇→∞

𝐹𝑇 Ω 2

2𝑇

Donde 𝐹𝑇 Ω es la transformada de Fourier de la señal 𝑓𝑇 𝑡 :

𝑓𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑡 ≤ 𝑇

0 𝑡 > 𝑇

La autocovarianza de una señal analógica de energía infinita está dada

por:

𝛾 𝑡 = lim𝑇→∞

1

2𝑇 𝑓∗ 𝜏

𝑇

−𝑇

𝑓 𝑡 + 𝜏 𝑑𝜏 =1

2𝜋 𝑃 Ω

+∞

−∞

𝑒−𝑖Ω𝑡𝑑Ω


El Peridiograma

Para el caso discreto de una señal real de energía infinita de la cual solo

hemos observado N muestras, solo podemos calcular un estimador de la

autocovarianza mediante el promedio de las muestras o estimador

experimental 𝛾 𝑥𝑥 𝑘 = 𝑝 𝑘:

𝑝 𝑘 =1

𝑁 𝑥𝑛 𝑥𝑛+𝑘

𝑁−𝑘−1

𝑛=0

; 𝑘 = − 𝑁 − 1 , 𝑁 − 1

El estimador de la densidad del espectro de potencias está dado por:

𝑃 𝜔 = 𝑝 𝑘

𝑁−1

𝑘=− 𝑁−1

𝑒−𝑖𝜔𝑘 = 𝑝 0 + 2 𝑝 𝑘

𝑁−1

𝑘=1

cos 𝜔𝑘

A este estimador de la densidad del espectro de potencia se le da el

nombre de peridiograma.


Teorema de descomposición de Wold

Este teorema prueba que toda serie de tiempo estacionaria 𝑥𝑛, puede ser

descompuesta en dos partes, una primera componente determinística 𝑢𝑛 y

una segunda componente aleatoria 𝜈𝑛:

𝑥𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝜈𝑛

Donde estas componentes son ortogonales, es decir:

𝐸 𝑢𝑛𝜈𝑛+𝜏 = 0 ; 𝜏 ≠ 0

Además la componente estocástica estacionaria, se puede expresar como

un proceso lineal promedio móvil (MA) 𝑎𝑛 con energía finita, excitado por

ruido blanco no correlacionable 𝜀𝑛, es decir:

𝑥𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝜀𝑛 ∗ 𝑎𝑛

En el caso del modelo de la traza sísmica 𝑢𝑛 = 0 , la reflectividad

representa al ruido no correlacionable 𝜀𝑛 y el modelo de promedio móvil

𝑎𝑛 representa a la ondícula:

𝑥𝑛 = 𝑟𝑛 ∗ 𝑤𝑛


Tres modelos básicos para representar a nuestros datos

Si nuestros datos discretos 𝑥𝑛 corresponden a un proceso aleatorio

estacionario, el teorema de descomposición de Wold nos permite suponer que

estos datos fueron generados por un sistema lineal excitado por ruido aleatorio

no correlacionado 𝜀𝑛, con media nula 𝐸 𝜀𝑛 = 0 y varianza 𝜎𝜀2 = 𝐸 𝜀𝑛

2 . Este

sistema lineal puede ser descripto matemáticamente de muchas maneras, pero

existen tres formas que resultan útiles y para las cuales pueden darse

excelentes justificaciones teóricas. En la literatura de análisis de señales se las

denomina:

1. Proceso Autoregresivo (Autoregressive process) (AR):

𝑥𝑛 = 𝜀𝑛 − 𝑏1𝑥𝑛−1 − 𝑏2𝑥𝑛−2 − 𝑏3𝑥𝑛−3 − ⋯− 𝑏𝑀𝑥𝑛−𝑀

2. Proceso Promedios Móviles (Moving Average process) (MA):

𝑥𝑛 = 𝑎0𝜀𝑛 + 𝑎1𝜀𝑛−1 + 𝑎2𝜀𝑛−2 + 𝑎3𝜀𝑛−3 + ⋯+ 𝑎𝑁𝜀𝑛−𝑁

3. Proceso Autoregresivo - Promedios Móviles (Autoregressive-Moving Average

process) (ARMA):

𝑥𝑛 = 𝑎0𝜀𝑛 + 𝑎1𝜀𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑁𝜀𝑛−𝑁 − 𝑏1𝑥𝑛−1 − 𝑏2𝑥𝑛−2 − ⋯− 𝑏𝑀𝑥𝑛−𝑀

Donde los coeficientes deben ser determinados para caracterizar el proceso.


Bibliografía:


Processing, Academic Press. Chapter Eleven.

Oppenheim, A.V. and Schafer, R. (1975), Digital Signal

Processing, Prentice-Hall.


13° Clase

Estimación del Espectro de Potencia



Estimación del Espectro de Potencia 2

Introducción:

La estimación del espectro de potencia de una señal, con su amplia

variedad de aplicaciones, puede ser comprendida fácilmente en

términos del teorema de corrimiento de fase de la transformada de

Fourier.

Para entender porqué esto es así, veamos este problema de

estimación desde un punto de vista práctico. Analicemos cuáles son

las consecuencias de promediar en tiempo distintas realizaciones

sincronizadas de una misma señal determinística (signal like signal)

que está contaminada con ruido aleatorio no correlacionable (noise like

signal). Y luego veamos qué solución podemos darle al problema en el

caso en que la componente coherente de las realizaciones no está

sincronizada en tiempo.

3

Relación Señal-Ruido S/R:

Imaginemos que estamos realizando un experimento controlado. El

experimento es confiable, es repetible pero la componente determinística o

coherente que queremos obtener está contaminada por una componente de

ruido aleatorio. El cociente entre la amplitud de la componente coherente que

nos interesa y la amplitud de la componente aleatoria no deseada, recibe el

nombre de relación señal-ruido (S/N signal-to-noise ratio).

Supongamos que las repetidas realizaciones tienen una mala relación señal

ruido. La componente determinística es repetible y está sincronizada en cada

experimento, sin embargo el ruido es aleatorio y cambia de un experimento

al siguiente. Como resultado de cada realización del experimento obtenemos

una secuencia que contiene una misma señal determinística más ruido

aleatorio cambiante. Una forma sencilla de mejorar la relación S/R es

repitiendo varias veces el experimento y promediarlos. Si la señal

determinística está sincronizada en todos los experimentos, al promediarlos,

el nivel de la señal se mantendrá constante, mientras que, como sabemos de

estadística aplicada, la amplitud del ruido disminuirá en proporción a 1 𝑁 .


4

Mejora de La Relación S/R:

Veamos un ejemplo de lo que sucede cuando

promediamos una señal que posee una

componente coherente más otra componente

de ruido aleatorio:

a) Componente coherente de la señal.

b) Señal contaminada con ruido aleatorio.

c) Promedio de N=100 observaciones.

d) Promedio de N=2500 observaciones.

e) Promedio de N=10000 observaciones.

A medida que aumenta el número de

observaciones que se promedian, el nivel de

la componente coherente se mantiene

constante, mientras que el nivel del ruido se

reduce en 1 𝑁 . Es decir se produce una

mejora de la relación S/N en 𝑁 .


Qué sucedería si la componente determinística no estuviera sincronizada en

los distintos experimentos. Obviamente ya no podríamos promediar los

experimentos para mejorar la relación S/R. El teorema del corrimiento de fase

nos dice que el espectro de amplitud de una señal es insensible a los

corrimientos arbitrarios de tiempo:

𝑓 𝑡 ⟺ 𝐹 Ω = 𝐹 Ω 𝑒𝑖𝜙 Ω

𝑓 𝑡 − 𝑡0 ⟺ 𝐹 Ω = 𝐹 Ω 𝑒𝑖 𝜙 Ω −Ω𝑡0

Es decir, ante un corrimiento en tiempo, la fase de la señal cambia linealmente

con la frecuencia pero el espectro de amplitud permanece invariante.

Por lo tanto si la señal coherente no está sincronizada en todos los

experimentos y no podemos promediarlos, no todo está perdido, todavía

podemos promediar los espectros de amplitud. Es decir que la estimación que

hagamos del espectro de amplitud irá mejorando a medida que apilemos más y

más experimentos. El precio que debemos pagar por esta falta de sincronía

entre los experimentos es la pérdida de la información de fase. Lo cual no es

tan malo ya que en muchas aplicaciones el espectro de amplitud nos provee

con información sumamente útil.

5

Experimentos no sincronizados:


Tratamos con dos tipos de señales con características sumamente diferentes:

las señales determinísticas y el ruido aleatorio.

Si el ruido innovativo 𝜀𝑛 es un proceso aleatorio, estacionario y ergódico, del

cual disponemos una única realización de 𝑁 muestras, en consecuencia sólo

podremos calcular un estimador de su autocovarianza:

𝑝 𝑘 =1

𝑁 𝜀∗𝑛

𝑁−𝑘−1

𝑛=0

𝜀𝑛+𝑘

Existen dos problemas fundamentales con este estimador de la auto-

covarianza. El primero es que a medida que el lag 𝑘 aumenta, la porción de la

secuencia que se solapa con otra porción de la secuencia donde no se

disponen datos y se tratan incorrectamente como si fueran nulos o ceros, es

cada vez mayor. Esto tiene como consecuencia un deterioro de la calidad del

estimador cada vez más importante a medida que el lag 𝑘 aumenta.

El segundo problema está relacionado con el comportamiento de la densidad

del espectro de potencia calculado a partir de este estimador de la auto-

covarianza aplicándole la transformada de Fourier. 6

El Problema de la estimación de la

Densidad del Espectro de Potencia:


A primera vista parecería posible que un estimador razonable de la

densidad del espectro de potencia del proceso aleatorio pudiera

obtenerse calculando la transformada de Fourier del estimador de la

autocovarianza y que la calidad de este estimador, mejorará a medida

que aumente la longitud de la muestra.

Sin embargo sorprendentemente esta mejora no se produce. Para ver

el porqué de esto consideremos un proceso aleatorio estacionario 𝜀𝑛

con valor medio 𝜇𝜀 nulo y varianza 𝜎𝜀2 constante:

𝜎𝜀2 = lim

𝑀→∞

1

2𝑀 + 1 𝜀𝑛 − 𝜇𝜀

2

𝑀

𝑛=−𝑀

Consideremos además que el proceso es no correlacionable, es decir

que las variables aleatorias que conforman el proceso son

estadísticamente independientes.

7 Estimación del Espectro de Potencia



Como sólo tenemos una realización de longitud 𝑁 de este proceso

aleatorio, el estimador de la autocovarianza estará dado por:

𝑝 𝑘 =1

𝑁 𝜀∗𝑛

𝑁−𝑘−1

𝑛=0

𝜀𝑛+𝑘

Para lag cero tendremos:

𝑝 0 =1

𝑁 𝜀𝑛

2

𝑁−1

𝑛=0

= 𝜎 𝜀2

Las fluctuaciones o desviación media estándar de este estimador van

a disminuir a medida que 𝑁 aumente en proporción a 1 𝑁 :

𝑝 0 = 𝜎 𝜀2 ±

𝜎 𝜀2

𝑁= 𝜎 𝜀

2 ± 𝜎 𝑝 0




Para lags 𝑘 distintos de cero, como el proceso es no correlacionable, la

autocovarianza será igual a cero más menos la fluctuación aleatoria:

𝑝 𝑘 = 0 ±𝑁 − 𝑘

𝑁

𝜎 𝜀2

𝑁= 0 ± 𝜎 𝑝 𝑘

Donde vemos que las fluctuaciones disminuyen en proporción al

número de términos 𝑁 − 𝑘 𝑁 debido al deterioro de la calidad del

estimador con el aumento del lag 𝑘.

La transformada de Fourier del estimador de la autocovarianza nos da

un estimador de la densidad del espectro de potencia conocido como

peridiograma:

𝑃 𝜔 = 𝑝 𝑘

𝑁−1

𝑘=− 𝑁−1

𝑒−𝑖𝜔𝑘 = 𝑝 0 + 2 𝑝 𝑘

𝑁−1

𝑘=1

cos 𝜔𝑘




Es decir que el estimador de la densidad del espectro de potencia es la suma

de números aleatorios. Esta suma es también un número aleatorio que tiene

una fluctuación estadística proporcional al número de términos 𝑁 − 1:

𝑷 𝝎 = 𝝈 𝜺𝟐 ± 𝑵− 𝟏

𝝈 𝜺𝟐

𝑵≈ 𝝈 𝜺

𝟐 ± 𝝈 𝜺𝟐

Cuando 𝑁 aumenta las fluctuaciones del peridiograma no disminuyen, sino

que tienden a un valor constante igual a 𝝈 𝜺𝟐, es decir que aumentando la

longitud de la secuencia no se produce una mejora en el estimador de la

densidad del espectro de potencia. Es cierto que al aumentar la longitud

aumenta la resolución en frecuencia, pero no aumenta la resolución

estadística, ya que las fluctuaciones de este estimador del espectro de

potencia son del mismo orden que el valor del espectro de potencia que

queremos estimar. En lenguaje estadístico se dice que el peridiograma es un

estimador no consistente de la densidad del espectro de potencia,

independientemente de la longitud de la secuencia. Al aumentar la longitud de

la secuencia solo logramos mejorar la resolución espectral sin ninguna mejora

de la resolución estadística. 10



11

Variable Aleatoria Fluctuaciones

𝜀𝑛 𝜎 𝜀

𝑝 𝑘 𝑁 − 𝑘

𝑁

𝜎 𝜀2

𝑁

𝑃 𝜔 𝑁 − 1

𝜎 𝜀2

𝑁≈ 𝜎 𝜀

2

Básicamente el motivo de este resultado es que si bien las fluctuaciones de

la autocovarianza disminuyen con 1 𝑁 , la sumatoria de la transformada

de Fourier, agrega a las fluctuaciones del peridiograma un nuevo factor

𝑁 − 1, que impide que las fluctuaciones del peridiograma disminuyan

aunque 𝑁 aumente. Cuando aumentamos la longitud del registro, aumenta

la resolución espectral pero la resolución estadística permanece constante.




Dado una secuencia aleatoria de longitud 𝑁 , una forma de aumentar la

resolución estadística es partiendo la secuencia en 𝑀 subsecuencias de

longitud 𝑁 𝑀 , calcular el peridiograma de cada una de ellas y promediarlos.

Esta es una forma de simular promedios estadísticos. Podemos hacer esto

porque estamos haciendo la hipótesis de que el proceso es ergódico, es decir,

que los promedios estadísticos son iguales a los promedios temporales. Claro

que al acortar la longitud de las subsecuencias a 𝑁 𝑀 ganamos resolución

estadística a expensas de resolución en frecuencia, es decir que estamos

tomando una decisión de compromiso entre una y otra resolución.

El problema con el que nos enfrentamos es encontrar la mejor forma de

estimar la densidad del espectro de potencia de una secuencia infinitamente

larga de ruido aleatorio cuando solo disponemos de un segmento de dicha

secuencia. Los procesos aleatorios son procesos de energía infinita que no

poseen espectros de potencia pero, por el teorema de Wiener-Khintchine, si

es posible estimar la densidad de su espectro de potencia. En todos los casos

algún tipo de hipótesis tendremos que hacer con respecto a los datos no

registrados.


Resolución Estadística a Expensas

de Resolución Espectral:

Cuando estimamos el espectro de potencia de un proceso aleatorio,

¿existe una mejor hipótesis que suponer que los datos son nulos fuera de

la ventana de observación? Para responder esta pregunta vamos a

suponer que la secuencia en cuestión 𝑥𝑛 de longitud 𝑁𝑥 es un proceso

aleatorio estacionario que se genera excitando con ruido blanco 𝜀𝑛 un filtro

MA 𝑎𝑛 de orden 𝑁. El ruido blanco es un concepto abstracto que consiste

en una señal aleatoria infinita cuyo espectro es constante para todas las

frecuencias y su fase debe variar aleatoriamente para producir la

componente innovativa. La salida de nuestro filtro MA estará dada por:

𝑥𝑛 = 𝜀𝑛 ∗ 𝑎𝑛

𝑋 𝑍 = 𝐸 𝑍 𝐴 𝑍

Es decir que el espectro de potencia de este proceso MA estará dado por:

𝑋 𝜔 2 = 𝑁𝑥 − 𝑁 𝜎𝜀2 𝐴 𝜔 2 ∝ 𝐴 𝜔 2

El problema de estimación del espectro de potencia se reduce a determinar

los coeficientes del filtro MA y calcular la densidad del espectro de potencia

del mismo. 13

Proceso Aleatorio MA

Método de Blackman and Tukey:


Si nuestros datos 𝑥𝑛 fueron generados por un proceso MA, entonces no

podemos suponer que valen cero fuera de la ventana de observación como

lo hace el peridiograma. Sin embargo como 𝑥𝑛 es generado por un proceso

MA su correlación será distinta de cero únicamente para los primeros 𝑁

lags, a partir de este lag los datos serán ruido aleatorio no correlacionado.

Es decir que sabemos que el dato en sí mismo es distinto de cero pero que

la autocorrelación tiene que ser igual a cero para un lag mayor que 𝑁. Esta

es una suposición menos estricta que la que hace el peridiograma.

La hipótesis es que los lags mayores que 𝑁 son iguales a cero, pero que

cuando los estimamos a partir de la ventana de datos disponibles,

erróneamente obtenemos valores distintos de cero como consecuencia de

no haberlos observado en una ventana infinitamente larga. Este es el

método de estimación espectral de Blackman and Tukey.

La confiabilidad de los estimadores de la autocorrelación disminuye a

medida que aumenta el lag de autocorrelación debido a la disminución de

la zona de solapamiento con datos disponibles, esto es consecuencia de

no haber observado los datos en una ventana infinitamente larga. 14




El hecho de haber observado un dato de longitud infinita en una ventana de

longitud 𝑁𝑥, nos conduce a la conclusión de que debemos utilizar ventaneos

o funciones de peso que le den más peso a los lags centrales del estimador

de la autocovarianza, con lo cual el estimador de la densidad del espectro de

potencia nos quedará:

𝑃 𝜔 = 𝑝 𝑘𝑤𝑘

𝑁−1

𝑘=− 𝑁−1

𝑒−𝑖𝜔𝑘

Donde la ventana 𝑤𝑘 será una ventana de longitud 2𝑁 − 1. Cuando esta

ventana es una ventana rectangular tendremos el caso del proceso MA de

orden 𝑁 con el cual presentamos el método. Distintas ventanas como las de

Bartlett o Welch, pueden ser utilizadas para implementar el método de

Blackman and Tukey, sin embargo la elección de la ventana raramente está

relacionada con alguna propiedad del dato o del proceso que se está

analizando. Además la elección de diferentes órdenes 𝑁 del proceso MA

produce estimadores radicalmente distintos del espectro de potencia. Por lo

general no se poseen criterios adecuados que permitan elegir de manera

apropiada el orden del proceso. 15




La utilización de ventanas aumenta la resolución estadística (es decir reduce

el bias o sesgo, y la varianza del estimador del espectro de potencia) a

expensas de la resolución en frecuencias. Multiplicar a la auto-correlación en

tiempo por la ventana es equivalente a convolucionar el peridiograma con la

transformada de Fourier de la ventana. Lo cual para toda ventana razonable,

implica una suavización del peridiograma reduciendo las fluctuaciones

estadísticas.

También es posible efectuar el promedio de subsecuencias más cortas como

discutimos anteriormente y combinar distintos tipos de ventaneo con el

promedio de diferentes segmentos, generando una gran cantidad de

estimadores distintos. También el dato puede ser segmentado con distintos

ventaneos, podemos calcular los peridiogramas de los diferentes segmentos

y luego promediar los peridiogramas. Incluso los distintos segmentos pueden

solaparse o no.

La elección de las ventanas, de los segmentos y el orden del proceso MA,

sin que exista un criterio basado en algún conocimiento que podamos tener

del proceso en cuestión, pone en evidencia cuan empíricos pueden ser estos

métodos de estimación espectral. 16




En este caso suponemos que la señal en cuestión 𝑥𝑛, a la que le queremos

estimar el espectro de potencia, fue generada excitando con ruido blanco 𝜀𝑛

un proceso AR de orden 𝑀:

𝑋 𝑍 =𝐸 𝑍

𝐵 𝑍


𝑋 𝑍 𝐵 𝑍 = 𝐸 𝑍

𝑥𝑛 ∗ 𝑏𝑛 = 𝜀𝑛

Es decir que el espectro de potencia de este proceso AR está dado por:

𝑋 𝜔 2 =𝑁𝑥 +𝑀 𝜎𝜀

2

𝐵 𝜔 2∝

1

𝐵 𝜔 2

La idea es resolver la ecuación 𝑥𝑛 ∗ 𝑏𝑛 = 𝜀𝑛 para obtener 𝑏𝑛, óptimo en el

sentido de los cuadrados mínimos, este operador está jugando el papel de

un filtro que predice el error 𝜀𝑛:

𝑏𝑛 = Φ𝑥𝑥−1

𝑁𝑥 +𝑀 𝜎𝜀2

0⋮0

17

Proceso Aleatorio AR

Método de Yule-Walker:


Luego podremos estimar el espectro de potencia de nuestra señal

como la inversa de la densidad del espectro de potencia del filtro AR

salvo factor de escala.

Para que el método funcione debemos considerar un modelo auto-

regresivo en el cual el orden 𝑀 del proceso sea mucho menor que la

longitud 𝑁𝑥 del dato.

Este método requiere de un estimador de la autocorrelación para

poder calcular los coeficientes 𝑏𝑛 del filtro autoregresivo. Obtendremos

distintas soluciones para el modelo autoregresivo según utilicemos

distintos estimadores de la autocorrelación. También deberemos elegir

el orden del proceso AR, el cual como en el caso del modelo MA,

generalmente no posee relación directa con lo que podamos llegar a

saber sobre el proceso que genera la secuencia en cuestión.

18




Como es de esperarse la estructura de solo polos del proceso AR,

en general produce más detalles o picos en el estimador del

espectro de potencia obtenido, en comparación con el estimador

obtenido modelando la secuencia como un proceso MA.

El modelo AR extiende la función de autocorrelación del dato aún

más allá (hasta infinito) de lo que podría llegar a estimarse

utilizando la ventana de observación. Por lo cual podríamos decir

que mientras que el modelo MA hace menos suposiciones sobre el

comportamiento del dato fuera de la ventana de registración que

las que hace el peridiograma, el modelo AR hace aún menos

suposiciones que el modelo MA.

19




La Teoría de la Información fue propuesta por Claude E. Shannon y Warren Weaver

a finales de la década de 1940. Es una rama de la probabilidad y de la estadística

que estudia todo lo relacionado con la información, en particular con los métodos de

compresión y transmisión, sin que se produzca pérdida o deterioro de la misma.

Una de sus ramas es la criptografía que estudia la forma de codificarla.

Se ocupa además, de cuantificarla, de analizar los diferentes modos de

representarla, como así también del estudio de la capacidad de los sistemas de

comunicación para transmitirla y procesarla.

El concepto básico de entropía en Teoría de la Información está vinculado a la

incertidumbre que existe en cualquier experimento o señal aleatoria. Es una medida

del desorden que contiene un sistema. El contenido de la información de un suceso

es una función decreciente de la probabilidad de su aparición.

Una forma de cuantificar la aleatoriedad de un suceso, es mediante la entropía

informática. Dada un variable aleatoria 𝑋 con una función densidad de

probabilidades 𝑝𝑋𝑥 se define su entropía informática mediante la siguiente

expresión: 𝐻 𝑋 = − 𝑝𝑋𝑥

+∞

−∞log 𝑝

𝑋𝑥 𝑑𝑥

Si para representar la información se usaran valores en base b entonces es

conveniente utilizar el logaritmo en base b. Si la información se va a representar

mediante código binario se usa el logaritmo en base 2.

20

Teoría de la Información de Shannon

Entropía informática:


El principio de máxima entropía nos permite obtener un estimador del espectro

de potencia correspondiente a la secuencia estacionaria infinita más aleatoria y

menos predecible posible y que aún sea consistente con los datos observados.

La entropía es una medida del desorden o de la no predictibilidad. De acuerdo

con la teoría de información de Shannon la entropía de una serie de tiempo es

proporcional a la integral del logaritmo de su densidad de espectro de potencia.

Es decir que debemos maximizar la integral:

log 𝑃 𝜔+𝜋

−𝜋

𝑑𝜔 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Sujeta a las siguientes condiciones:

𝑃 𝜔+𝜋

−𝜋

𝑒𝑖𝜔𝑘𝑑𝜔 = 𝑝𝑘

Resolviendo este problema de maximización con condiciones, aplicando cálculo

de variaciones y multiplicadores de Lagrange, se llega a que el estimador de la

densidad del espectro de potencia que satisface al principio de máxima entropía

está dado por:

𝑃 𝜔 =𝐾

𝐵 𝜔 2

21

Principio de Máxima Entropía:


Donde 𝐾 es una constante y 𝐵 𝜔 2 es el espectro de potencia de un proceso

autoregresivo de orden M, cuyos coeficientes están dados por:

𝑏𝑛 = Φ𝑥𝑥−1

𝐾0⋮0

Es decir que si los datos observados satisfacen el principio de máxima

entropía, podrán ser representados como un proceso autoregresivo de orden

𝑀. Todavía resta el problema de cómo estimar los coeficientes del proceso

AR. Una de las formas de hacerlo es utilizando el método de Yule-Walker que

ya vimos y al cual se llegó por un camino diferente. La desventaja de este

método es que estima los coeficientes de autocorrelación (o los de

autocovarianza según como lo planteamos) a partir de la ventana de

observación, los cuales como vimos se hacen menos confiables a medida que

aumenta el lag de autocorrelación. La otra forma de hacerlo es utilizando el

método de Burg el cual estima los coeficientes 𝑏𝑛 del proceso autoregresivo

directamente a partir de los datos de la ventana de observación y calcula

simultáneamente los estimadores de la autocorrelación.

22



Observación: fíjese que si el espectro de potencia se hace cero en

una banda de frecuencia, la integral que define a la entropía diverge

dando una entropía infinitamente negativa. Según la teoría de la

información de Shannon la interpretación de esto debe ser que tales

series de tiempo no poseen aleatoriedad y por lo tanto son totalmente

predecibles.

23



El problema de los métodos de estimación espectral que hemos visto

hasta ahora, es la poca confiabilidad de los estimadores de los

coeficientes de autocorrelación que se calculan a partir de una ventana de

observación de longitud finita. Este problema se agrava de sobremanera si

la ventana de observación es corta. En 1967 John P. Burg presentó un

paper en la 37° Convención de la Sociedad de Geofísicos de Exploración

(SEG), en la ciudad de Oklahoma, que tuvo un impacto revolucionario en

el análisis espectral. Burg mostró como estimar la autocorrelación evitando

los efectos de la ventana de observación de longitud finita y sin hacer

ninguna hipótesis sobre el dato fuera de la ventana de observación. El

procedimiento de Burg es recursivo, comienza diseñando un filtro que

predice el error de longitud 2, que intenta convertir el dato de entrada en

ruido blanco. Luego iterativamente va calculando la autocorrelación a lags

mayores simultáneamente con filtros predictores más largos. Mediante

esta recursión es posible extender el filtro predictivo hasta alcanzar un

orden M. Finalmente el espectro de potencia del dato es estimado como la

inversa del espectro de potencia del filtro que predice el error. 24

El Método de Burg:


𝜙0 𝜙1

𝜙1 𝜙0

1𝑓

=𝐾0

𝜙0 = 𝑥𝑖2

𝑁−1

𝑖=0

𝜙1 = −𝜙0𝑓

𝐾 = 𝜙0 1 − 𝑓2

𝐸𝑅𝑀𝑆 =1

𝑁 − 1 𝑥𝑛 ∗ 1, 𝑓 𝑚

2

𝑚

+1

𝑁 − 1 𝑥−𝑛 ∗ 1, 𝑓 𝑚

2

𝑚

𝜕𝐸𝑅𝑀𝑆

𝜕𝑓= 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑓 =2 𝑥𝑖+1𝑥𝑖

𝑁−2𝑖=0

𝑥𝑖2𝑁−1

𝑖=0 + 𝑥𝑖+12𝑁−2

𝑖=0

25

El Método de Burg

Primera iteración:


26

Bibliografía:


Processing, Academic Press. Chapter Eleven.

Oppenheim, A.V. and Schafer, R. (1975), Digital Signal

Processing, Prentice-Hall.



14° Clase

Transformada Bidimensional de Fourier



2

La extensión de la transformada de Fourier a múltiples dimensiones

es simple e inmediata.

De los cuatro tipos posibles de transformadas de Fourier en una

dimensión surgen dieciséis tipos posibles en dos dimensiones.

Veamos con cierto detalle la transformada integral de Fourier y la

transformada discreta de Fourier en dos dimensiones (2D).

Introducción:

Transformada de Fourier 2D

3

Transformada Integral de Fourier 2D:

La transformada integral de Fourier en dos dimensiones está definida por

el siguiente par de ecuaciones:

En este caso en particular las dos dimensiones de la señal 𝑓 𝑥, 𝑡 son el

espacio y el tiempo, aunque podrían haber sido cualquier otra cantidad

como por ejemplo dos dimensiones espaciales. En estas ecuaciones la

variable Κ es conocida por el nombre de frecuencia espacial o número de

onda, y es medida en unidades de radianes sobre distancia. Más halla de

sus significados físicos las variables 𝑥 y 𝑡 así como las variables Κ y Ω

juegan exactamente el mismo papel desde el punto de vista matemático.


4


Todas las propiedades de la transformada integral de Fourier 2D se pueden

derivar de manera inmediata de las correspondientes propiedades de la

transformada integral de Fourier 1D. Por ejemplo la transformada integral de

Fourier 2D de una señal real𝑓 𝑥, 𝑡 función de dos variables tiene las siguientes

propiedades de simetría:

Es decir que para una señal real 𝑓 𝑥, 𝑡 la parte real de la transformada de Fourier

2D es simétrica respecto del origen en el plano Κ − Ω , mientras que la parte

imaginaria es antisimétrica respecto del origen. Es decir que el espectro de

amplitud es simétrico respecto del origen mientras que el espectro de fase es

antisimétrico respecto del origen:

Por esta razón, solo es necesario graficar un semiplano del espectro 2D.


5

Transformada Integral de Fourier 2D de

una Exponencial Compleja:

Veamos cual es la transformada de Fourier de la siguiente exponencial compleja:

Sustituyendo en la expresión de la transformada integral de Fourier 2D, y

haciendo uso de nuestros conocimientos de la transformada 1D, obtenemos:

Es decir que la transformada de una exponencial compleja es una delta de Dirac

doble, escalada por 4𝜋2, ubicada en el punto Κ0, Ω0 del plano Κ − Ω. Lo cual a la

luz de nuestros conocimientos previos es claramente razonable ya que la señal

𝑓 𝑥, 𝑡 es una sinusoide compleja pura con dos frecuencias Κ0 y Ω0. En este caso

la señal corresponde a una onda plana porque la ubicación de los puntos en los

cuales la fase es constante:

Corresponde a un plano en un espacio de tres dimensiones 𝑥 − 𝑦 − 𝑧. La función

𝑓 𝑥, 𝑡 es independiente de las variables espaciales 𝑦 y 𝑧, por lo tanto el frente de

onda plano se propaga en la dirección negativa, y es paralelo al plano 𝑦 − 𝑧.

0 0,i x t

f x t e


6

Transformada Integral 2D de una Delta

de Dirac Lineal:

Veamos cual es la transformada de Fourier 2D de la siguiente delta de Dirac lineal:

Esta función describe una recta en el plano 𝑥 − 𝑡 de pendiente 𝑝 y de ordenada al

origen 𝜏. Su valor es cero en todos los puntos del plano excepto en los puntos

pertenecientes a la recta 𝑡 = 𝑝𝑥 + 𝜏 donde tenemos una delta de Dirac. Sustituyendo

en la expresión de la transformada integral de Fourier, obtenemos:

Lo cual nos dice que la transformada integral de Fourier 2D de una recta 𝑡 = 𝑝𝑥 + 𝜏 en el plano 𝑥 − 𝑡 es otra recta Ω = −Κ 𝑝 en el plano Κ − Ω. Obsérvese que el

espectro de amplitud de esta transformada es independiente del valor de la

ordenada al origen 𝜏. Solamente el espectro de fase depende de 𝜏. Por lo cual todas

las rectas que tienen la misma pendiente en el plano 𝑥 − 𝑡 , tendrán el mismo

espectro de amplitud. Observe que las rectas con pendiente positiva en el plano

𝑥 − 𝑡, tendrán pendiente negativa en el plano Κ − Ω, y los valores de las pendientes

serán recíprocos y de diferente signo, es decir que las rectas en uno y otro plano

serán perpendiculares.

, 2 iF e p

,f x t t px


7


Dos pares de transformadas

de Fourier 2D:

a) La transformada de una

onda plana es una función 𝛿

de Dirac en el punto 𝜔0, 𝑘0 .

b) La transformada de una

función 𝛿 de Dirac lineal, con

pendientes recíprocas de

distinto signo.

Sólo estamos graficando el

espectro de amplitud. El

espectro de fase es lineal con

pendiente −𝜏.

a)

b)


8

Transformada Discreta de Fourier 2D:

La extensión de la transformada discreta de Fourier 1D a 2D también es

inmediata. La transformada discreta de Fourier 2D está dada por el

siguiente par de ecuaciones:

La transformada 2D puede verse como dos transformadas 1D en cascada:

La transformada discreta de Fourier 2D del arreglo bidimensional 𝑓𝑛,𝑚 de

𝑁 ×𝑀 dimensiones ,se obtiene tomando la transformada discreta de

Fourier 1D primero sobre cada fila del arreglo y luego sobre cada columna

del resultado.

2 21 1

, ,

0 0

2 21 1

, ,

0 0

1

N M i j n i k mN M

j k n m

n m

N M i j n i k mN M

n m j k

j k

F f e

f F eN M

2 221 1 1

, , , ,

0 0 0

N M Ni j n i j ni k mN NM

j k n m m n m n m n m

n m n

F f e e TDF f e TDF TDF f

𝑇𝐷𝐹𝑗 𝑇𝐷𝐹𝑘 𝑇𝐷𝐹𝑗


9


Lo mismo se cumple para la transformada discreta inversa de Fourier 2D.

Para calcular la transformada 2D debemos efectuar 𝑁 +𝑀 transformadas

discretas de Fourier 1D. Dada una subrutina para calcular la transformada

rápida de Fourier FFT, la programación de la transformada 2D o de

cualquier dimensión superior, es sumamente sencilla. Claro que los

tiempos de computación son significativamente mayores, pero la gran

velocidad de cómputo de la FFT, generalmente hace que el procesamiento

en el dominio de las multi-frecuencias sea preferible respecto de otras

alternativas. Por ejemplo, para un operador lineal 2D corto en ambas

direcciones puede ser que la convolución sea más rápida que la

multiplicación en el dominio de Fourier, sin embargo la operación realizada

en el dominio de Fourier es independiente de la longitud del operador, por

lo cual si el operador es largo siempre será mas rápida su aplicación en el

dominio de la transformada de Fourier. Además existen extensiones de la

FFT a dimensiones múltiples que son más rápidas que las sucesivas

aplicaciones de la FFT-1D a cada dimensión.


10


Todas las precauciones que debemos tomar para el cálculo de la transformada

discreta 1D también debemos tomarlas para la transformada 2D:

1) El aliasing: los datos bidimensionales pueden sufrir aliasing en 𝑥, en 𝑡 o en

ambas coordenadas. Habitualmente el intervalo de muestreo requerido para

evitar el aliasing no es un problema en la dimensión temporal, pero si puede

llegar a serlo en las dimensiones espaciales, especialmente en aplicaciones

como sismología o sísmica. Sin embargo, en aplicaciones como procesamiento

de imágenes el muestreo denso de los datos es fácil de lograr en todas las

dimensiones, lo cual le da una gran ventaja a los métodos que trabajan en las

dimensiones múltiples de Fourier.

2) La transformada discreta 2D es periódica en ambas dimensiones, por lo cual

debemos tener las precauciones apropiadas a la hora de aplicar el teorema de

convolución.

3) Cuando utilizamos la TDF-2D para aproximar el espectro de señales

continuas, debemos agregar ceros en ambas direcciones para reducir las

filtraciones o pérdidas (leakage). Esta necesidad puede incrementar

enormemente los tiempos de cálculo.


11

Respuesta Impulsiva Bidimensional:

Así como la convolución es la operación más general posible que

relaciona la entrada y la salida de un sistema lineal e invariante 1D,

también lo es para un sistema lineal e invariante 2D. Es decir que en

un sistema lineal e invariante bidimensional la entrada y la salida

estarán vinculadas por el producto de convolución de la entrada con la

respuesta impulsiva bidimensional del sistema:

Esta sumatoria doble incluye todos los valores no nulos tanto de ℎ𝑛

como de 𝑥𝑛. Aquí también la convolución puede ser lineal o circular.

Cuando la convolución es lineal, la respuesta impulsiva puede ser finita

o infinita.

, , ,n m n j m k j k

j k

y h x


12

Respuesta Impulsiva Bidimensional:

En el caso particular en que sea posible factorizar la respuesta impulsiva

del sistema lineal e invariante, es decir ℎ𝑛,𝑚 = 𝑓𝑛 × 𝑔𝑚 , la suma de

convolución adquiere una forma más simple:

En este caso en particular en el cual la respuesta impulsiva se puede

factorizar, la convolución 2D se puede implementar como dos

convoluciones 1D en cascada. Si ℎ𝑛,𝑚 es un operador de 𝑁 ×𝑀 y 𝑥𝑛,𝑚 es

una secuencia de longitud P× 𝑄, entonces 𝑁 ×𝑀 × 𝑃 × 𝑄 multiplicaciones

y sumas son necesarias para calcular la convolución 2D (sin tener en

cuenta los efectos de borde) mientras que si fuera posible factorizar la

respuesta impulsiva, solamente 𝑁 ×𝑀 + 𝑃 × 𝑄 multiplicaciones y sumas

serían necesarias para calcular la convolución 2D. El precio que debemos

pagar por este dramático cambio en la cantidad de operaciones es el de

utilizar un operador con una estructura mucho más limitada.

, , ,n m n j m k j k n j m k j k

j k j k

y f g x f g x


13

Respuesta en Frecuencia de los SLI 2D:

Como es de esperarse las exponenciales complejas bidimensionales son

funciones propias de los sistemas lineales e invariantes bidimensionales.

Es decir, si la entrada a nuestro sistema lineal e invariante fuera:

Entonces la salida estaría dada por:

Donde:

Vemos que la salida es la misma exponencial compleja pero escalada por

el valor propio 𝐻 𝜔1, 𝜔2 , el cual no es otra cosa que la respuesta en

frecuencia o espectro de frecuencias del sistema lineal e invariante 2D.

1 2

,

i n i m

n mx e

1 2

, ,

i n j i m k

n m j k

j k

y h e

1 2 1 2 1 2

, , 1 2,i n i m i j i k i n i m

n m j k

j k

y e h e e H

1 2

1 2 ,, i j i k

j k

j k

H h e


14

Diseño de Filtros Bidimensionales en el

Dominio de las Frecuencias:

Sabemos que un filtro lineal e invariante puede ser aplicado por

convolución en el dominio del tiempo o por multiplicación en el dominio de

la frecuencia. Esto mismo es válido para filtros lineales e invariantes

multidimensionales. Como en el caso 1D el problema de diseñar un filtro de

frecuencias bidimensional consiste en encontrar la respuesta impulsiva

bidimensional que posea la respuesta en frecuencias deseada.

En el caso bidimensional es mucho más probable que el filtrado se realice

en el dominio de las frecuencias debido a que ahorraríamos mucho tiempo

computacional.

Sabemos que las zonas de transición abruptas en el dominio de las

frecuencias están asociadas a operadores de convolución muy largos en

tiempo, y cuando los operadores de convolución son largos es preferible

aplicarlos en el dominio de las frecuencias para ahorrar tiempo de

computación.

Para filtrar en el domino de las frecuencias debemos calcular la TDF-2D,

anular las componentes de frecuencias no deseadas y luego calcular la

trasformada inversa 2D.


15

Diseño de Filtros Bidimensionales en el

Dominio de las Frecuencias:

Sin embargo debemos ser muy cuidadosos con las zonas de transición,

debemos utilizar tapers y/o ventaneos para asegurarnos que las zonas de

transición sean suaves.

Aquí también como en el caso 1D es conveniente agregar ceros en ambas

direcciones antes de tomar la TDF-2D. Recordemos que la verdadera

respuesta en frecuencia de esta operación no es la función en frecuencia

aplicada sino la respuesta en frecuencia de su respuesta impulsiva.

Los filtros FK o fan filters son filtros de frecuencias 2D de gran utilidad.

Tienen una respuesta en frecuencias tipo abanico (fan) o porción de torta

(pie-slice). Estos filtros, también llamados filtros de pendientes dejan pasar

algunos eventos lineales con determinadas pendientes mientras que

impedirán la salida de otros eventos con pendientes diferentes. Debemos

recordar que siempre es necesario diseñar áreas de transición entre las

áreas de paso y de rechazo. Si en nuestros datos bidimensionales no

hubieran presentes eventos lineales, cualquiera sean los eventos

presentes siempre podremos pensarlos como la composición de eventos

lineales.


16

Ventanas bidimensionales:

Veamos como extender el uso de las ventanas que utilizamos en una

dimensión a dos dimensiones. Una forma sería multiplicando dos ventanas

de una sola dimensión del siguiente modo:

Este método permite combinar diferentes ventanas y distintas longitudes

en diferentes direcciones según nos resulte más conveniente. Otra forma

de extender ventanas a dos dimensiones es diseñando ventanas

circulares:

Como en el caso 1D truncar las respuestas impulsivas con estas ventanas

es equivalente a convolucionar la respuesta en frecuencias del filtro en

cuestión con la respuesta en frecuencia de la ventana utilizada. Esto

permite diseñar filtros más cortos con zonas de transición menos abruptas.

,n m n mw w w

2 2,n m n mw w


Bibliografía:

17 Transformada de Fourier 2D


Processing, Academic Press, Chapter Twelve.

Yilmaz, Oz (1987), Seismic Data Processing, Society

of Exploration Geophysicist.


15° Clase

Geoestadística



Geoestadística 2

La geoestadística, a diferencia de la estadística clásica, nos ofrece una forma

de describir la continuidad espacial de los datos, que es una característica

fundamental de innumerables procesos naturales, proveyéndonos de métodos

de adaptación de las técnicas clásicas de regresión para incluir en ellas la

información disponible de la continuidad espacial. Esta información es

incorporada en los métodos de estimación mediante alguna de las siguientes

funciones: covarianza, variograma o correlograma.

En las ciencias de la Tierra es habitual trabajar con variables definidas en todos

los puntos de una determinada región, es decir, variables definidas en un

dominio continuo Ω. Sin embargo, habitualmente sólo disponemos de

observaciones de estas variables en algunos puntos aislados de la región.

El problema que se nos plantea, es cómo estimar estas cantidades en aquellos

puntos donde no fueron observadas. Las variables con las que tratamos son

variables determinísticas, y son función de las coordenadas espaciales que

definen su ubicación, motivo por el cual lo deseable sería proponer un modelo

determinístico que nos permita predecir los valores en los puntos no

observados.

Introducción:

Por lo general el proceso físico por el cual se generaron estas cantidades es

sumamente complejo y no disponemos de la información, ni de los

conocimientos necesarios, para caracterizar un modelo determinístico

apropiado.

La incertidumbre de lo que ocurre en los puntos no observados es

extremadamente elevada. Por esta razón se hace necesario un enfoque

geoestadístico del método de estimación basado en modelos probabilísticos

que reconozcan la existencia de estas incertidumbres inevitables.

En un modelo probabilístico la variable determinística en cuestión es

considerada una variable aleatoria 𝑉 𝑥 y los datos disponibles 𝑣 𝑥𝑖 son

considerados realizaciones puntuales de un proceso aleatorio continuo. En

ningún momento debemos perder de vista que este modelo está en conflicto

con la realidad. El proceso físico determinístico generador de nuestra variable,

es extremadamente complicado y nuestro entendimiento del mismo es tan

pobre que dada su complejidad se nos presenta en apariencia con un

comportamiento aleatorio, pero esto no significa que el proceso sea aleatorio,

sólo significa que somos ignorantes.

Geoestadística 3

Introducción:

Covarianza, Variograma y Correlograma:

La información de la continuidad espacial de nuestros datos se puede

definir por medio de alguna de las siguientes funciones:

Covarianza:

𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑗 = 𝐸 𝑉 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑉 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑗 − 𝐸 𝑉 𝑥𝑗

Variograma o Semivariograma:

𝛾 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑗 =1

2𝐸 𝑉 𝑥𝑖 − 𝑉 𝑥𝑗

2

Correlograma:

𝜌 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑗 =𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑗

𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥𝑖 𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥𝑗

La varianza de 𝑉 𝑥 está dada por:

𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥𝑖 = 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑖 = 𝐸 𝑉 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑉 𝑥𝑖2 = 𝜎𝑉 𝑥𝑖

2

Geoestadística 4

Kriging Ordinario:

El método de estimación de kriging ordinario es el mejor estimador lineal

no sesgado. Es lineal porque el valor estimado es obtenido como un

promedio pesado de los datos disponibles. Es no sesgado porque la

estimación del error medio residual 𝑚𝑅 es cero. Es el mejor, u óptimo en el

sentido de los cuadrados mínimos, porque minimiza la varianza 𝜎𝑅2 de los

errores de estimación del modelo probabilístico:

𝑣 𝑥0 = 𝑤𝑖𝑣 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑚𝑅 = 0 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑎𝑑𝑜

𝜎𝑅2 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜

Utilizaremos como modelo de nuestros datos una función aleatoria 𝑉 𝑥 .

Los 𝑁 datos observados serán considerados como una realización 𝑣 𝑥𝑖 de

la variable aleatoria 𝑉 𝑥𝑖 para 𝑖 = 1, 𝑁. Esta función aleatoria nos permitirá

expresar el error, su valor medio y su varianza, como promedios

estadísticos.

Geoestadística 5

En cada punto 𝑥0 de la región de trabajo donde no tenemos un valor observado

𝑣 𝑥0 , estimaremos el valor desconocido mediante un promedio pesado 𝑣 𝑥𝑗 de

los datos disponibles.

Si definimos el error 𝑟 𝑥𝑗 de un determinado valor estimado en el punto 𝑥𝑗 como la

diferencia entre el valor estimado y el valor no observado en la misma ubicación,

tenemos:

𝑟 𝑥𝑗 = 𝑣 𝑥𝑗 − 𝑣 𝑥𝑗

Entonces el valor medio del error de 𝐾 estimadores estará dado por:

𝑚𝑟 =1

𝐾 𝑟 𝑥𝑗

𝐾

𝑗=1

=1

𝐾 𝑣 𝑥𝑗 − 𝑣 𝑥𝑗

𝐾

𝑗=1

Desafortunadamente, no podemos hacer demasiado con esta ecuación ya que

involucra cantidades que no conocemos, como son los valores verdaderos

𝑣 𝑥1 , 𝑣 𝑥2 , … , 𝑣 𝑥𝐾 , en los puntos de estimación.

La solución probabilística de este problema consiste en la conceptualización de los

valores desconocidos como realizaciones de un proceso aleatorio, y resolver el

problema para el modelo conceptual.

Geoestadística 6

Kriging Ordinario:

Si el modelo probabilístico es estacionario de segundo orden las variables aleatorias

tendrán el mismo valor medio y la misma varianza en todos los puntos 𝑥 de la región.

El valor esperado de la variable aleatoria estará dado por 𝐸 𝑉 𝑥 = 𝑚𝑣. Todo par de

variables aleatorias estacionarias tendrá una única función de distribución de

probabilidades conjunta que dependerá exclusivamente de la separación entre las

dos variables y no de sus posiciones absolutas. La covarianza entre dos variables

aleatorias separadas por una distancia ℎ, estará dada por 𝐶 ℎ :

𝐶 ℎ = 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥 , 𝑉 𝑥 + ℎ = 𝐸 𝑉 𝑥 − 𝐸 𝑉 𝑥 𝑉 𝑥 + ℎ − 𝐸 𝑉 𝑥 + ℎ

𝐶 ℎ = 𝐸 𝑉 𝑥 −𝑚𝑉 𝑉 𝑥 + ℎ − 𝑚𝑉 = 𝐸 𝑉 𝑥 𝑉 𝑥 + ℎ − 𝑚𝑉2

Cada valor de este modelo probabilístico es visto como una realización de una

variable aleatoria. Los mismos valores observados son considerados realizaciones de

variables aleatorias, como también lo son los valores exactos en los puntos no

observados. Los valores estimados en esos puntos también serán realizaciones de

variables aleatorias, puesto que son un promedio pesado de las variables aleatorias

consideradas en los puntos observados:

𝑉 𝑥0 = 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

Geoestadística 7

Kriging Ordinario:

Análogamente, el error de estimación 𝑅 𝑥0 , definido como la diferencia entre la

variable aleatoria asociada al valor estimado y la variable aleatoria de la cual el valor

real es una realización, es también una variable aleatoria:

𝑅 𝑥0 = 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

Sustituyendo en esta última ecuación la ecuación (1), podemos expresar 𝑅 𝑥0 en

función de las 𝑁 + 1 variables aleatorias involucradas en el problema planteado:

𝑅 𝑥0 = 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

− 𝑉 𝑥0

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝐸 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

− 𝑉 𝑥0 = 𝑤𝑖𝐸 𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

− 𝐸 𝑉 𝑥0

Como asumimos que la función aleatoria 𝑉 𝑥 es estacionaria, su esperanza

matemática 𝐸 𝑉 𝑥 es la misma en todos los puntos de la región, entonces podemos

escribir:

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝑤𝑖𝐸 𝑉

𝑁

𝑖=1

− 𝐸 𝑉 = 𝐸 𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1

Geoestadística 8

Kriging Ordinario:

Un estimador no sesgado es aquel para el cual la esperanza matemática del

error de estimación es igual a cero.

El valor de la esperanza matemática del error 𝑚𝑅 en cualquier punto de la

región es habitualmente referido como el sesgo (bias) del valor estimado. Como

queremos que nuestro estimador sea no sesgado (unbiased), al igualar esta

esperanza matemática a cero:

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝐸 𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1 = 0

Obtenemos:

𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1 = 0

Es decir que al imponer la condición de que la suma de los pesos sea igual a 1,

estamos obteniendo un estimador no sesgado de nuestra variable.

Geoestadística 9

Kriging Ordinario:

Obtengamos una expresión para la varianza del error del modelo probabilístico:

𝜎𝑅2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑅 𝑥0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

𝜎𝑅2 = 𝐸 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0 − 𝐸 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

2=

= 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥0 , 𝑉 𝑥0 − 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥0 , 𝑉 𝑥0 − 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥0 , 𝑉 𝑥0 + 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥0 , 𝑉 𝑥0

𝜎𝑅2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥0 − 2 𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥0 , 𝑉 𝑥0 + 𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥0

La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias está dada por:

𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

= 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑉 𝑥𝑖 , 𝑉 𝑥𝑗

𝑁

𝐽=1

𝑁

𝑖=1

Para simplificar la notación no escribiremos más el vector posición 𝑥 con su

subíndice entre paréntesis sino solamente el subíndice.

Geoestadística 10

La varianza del error del modelo probabilístico:

𝜎𝑅2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑉 0 − 2 𝐶𝑜𝑣 𝑉 0, 𝑉0 + 𝑉𝑎𝑟 𝑉0

Como asumimos que nuestras variables aleatorias son estacionarias, entonces todas

tendrán el mismo valor medio y la misma varianza:

𝑉𝑎𝑟 𝑉0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑉𝑖 = 𝜎𝑉2

Además podemos escribir:

𝐶𝑜𝑣 𝑉 0, 𝑉0 = 𝐶𝑜𝑣 𝑤𝑖𝑉𝑖

𝑁

𝑖=1

, 𝑉0 = 𝐸 𝑤𝑖𝑉𝑖𝑉0

𝑁

𝑖=1

− 𝐸 𝑤𝑖𝑉𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐸 𝑉0 =

= 𝑤𝑖𝐸 𝑉𝑖𝑉0

𝑁

𝑖=1

− 𝑤𝑖𝐸 𝑉𝑖 𝐸 𝑉0

𝑁

𝑖=𝑖

= 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉0 = 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑖0

Combinando estas expresiones obtenemos la siguiente expresión para la varianza

del error:

𝜎𝑅2 = 𝜎𝑉

2 + 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

− 2 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑖0

Geoestadística 11

La varianza del error del modelo probabilístico:

Para imponer la condición de que el estimador sea no sesgado vamos a introducir en

la expresión de 𝜎𝑅2, un término nulo escalado por una nueva incógnita 𝜇 conocida

como multiplicador o parámetro de Lagrange:


2 + 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

− 2 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑖0 + 2𝜇 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1

Este último término no modifica el valor de la varianza del error ya que es nulo, pero

impone a la solución buscada la condición de no sesgada.

Ahora debemos minimizar la varianza del error derivándola respecto de los 𝑁 pesos

𝑤𝑖 y respecto del parámetro de Lagrange 𝜇 , obteniendo un sistema de 𝑁 + 1

ecuaciones lineales con 𝑁 + 1 incógnitas, los 𝑁 pesos 𝑤𝑖 y el parámetro 𝜇.

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝜇=

𝜕 2𝜇 𝑤𝑖𝑁𝑖=1 − 1

𝜕𝜇= 2 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 2 = 0

𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

= 1

Es decir que al derivar la varianza del error respecto del parámetro 𝜇 obtenemos la

condición de solución no sesgada.

Geoestadística 12

El parámetro de Lagrange:

El primer término de la varianza del error 𝜎𝑅2 es constante e igual a la varianza de la

variable aleatoria, por lo tanto sus derivada respecto de los pesos y del parámetro µ

son nulas.

Veamos en detalle la diferenciación de la varianza del error 𝜎𝑅2 respecto de 𝑤1, las

derivadas respecto de los pesos restantes pueden ser calculadas de manera

análoga. Calculemos la derivada de a un término a la vez; comencemos con el

segundo término:

𝜕 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗𝑁𝑗=1

𝑁𝑖=1

𝜕𝑤1=

𝜕 𝑤12𝐶11 + 2𝑤1 𝑤𝑗𝐶1𝑗

𝑁𝑗=2

𝜕𝑤1= 2𝑤1𝐶11 + 2 𝑤𝑗𝐶1𝑗

𝑁

𝑗=2

= 2 𝑤𝑗𝐶1𝑗

𝑁

𝑗=1

En la sumatoria del tercer término, sólo uno de sus términos involucra al peso 𝑤1:

2𝜕 𝑤𝑖𝐶𝑖0

𝑁𝑖=1

𝜕𝑤1= 2

𝜕 𝑤1𝐶10𝜕𝑤1

= 2𝐶10

Finalmente en la sumatoria del último término, encontramos análogamente que un

único término de esta sumatoria involucra al peso 𝑤1:

2𝜕 𝜇 𝑤𝑖 − 1𝑁

𝑖=1

𝜕𝑤1= 2

𝜕 𝜇𝑤1

𝜕𝑤1= 2𝜇

Geoestadística 13

Minimización de la varianza del error:

Juntando las derivadas de los diferentes términos podemos escribir la derivada de la

varianza del error respecto de 𝑤1, del siguiente modo:

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝑤1= 2 𝑤𝑗𝐶1𝑗

𝑁

𝑗=1

− 2𝐶10 + 2𝜇

Igualando esta derivada a cero obtenemos la siguiente ecuación:

𝑤𝑗𝐶1𝑗

𝑁

𝑗=1

+ 𝜇 = 𝐶10

Calculando de manera análoga las derivadas de 𝜎𝑅2 respecto de los otros pesos y

considerando su derivada respecto del multiplicador de Lagrange, obtenemos el

siguiente sistema de 𝑁 + 1 ecuaciones con 𝑁 + 1 incógnitas:

𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

+ 𝜇 = 𝐶𝑖0 ∀ 𝑖 = 1,𝑁

𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

= 1

Este sistema de ecuaciones es habitualmente conocido como sistema de ecuaciones

de kriging ordinario y nos permite obtener los pesos que minimizan 𝜎𝑅2.

Geoestadística 14


El sistema de ecuaciones de kriging ordinario puede ser escrito en notación matricial

del siguiente modo: 𝐶11 ⋯⋮ ⋱

𝐶1𝑁 1⋮ ⋮

𝐶𝑁1 ⋯1 ⋯

𝐶𝑁𝑁 11 0

𝑤1

⋮𝑤𝑁

𝜇

=

𝐶10⋮

𝐶𝑁0

1

𝑪 𝑾 = 𝑫 La solución estará dada por:

𝑾 = 𝑪−𝟏𝑫 Para resolver este sistema y obtener los 𝑁 pesos 𝑤𝑖 y el parámetro de Lagrange

incluidos en el vector columna 𝑾, debemos definir los 𝑁2 + 𝑁 valores de covarianza

involucrados en el sistema de ecuaciones incluidos en la matriz 𝑪 y en el vector

columna 𝑫.

Los valores de la covarianza son obtenidos definiendo una función parametrizada

𝐶 ℎ , donde ℎ = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 es un escalar si la continuidad espacial es isotrópica, o

ℎ = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 es un vector si la continuidad espacial es anisotrópica.

Los pesos que nos da la solución de este sistema, nos permitirán estimar un valor no

sesgado de la variable en cuestión en el punto genérico 𝑥0 como una suma pesada

de los valores conocidos. Kriging ordinario es un interpolador exacto si 𝑥0 coincide

con un punto observado, entonces el valor estimado será igual al valor observado.

Geoestadística 15

Sistema de Ecuaciones de Kriging Ordinario:

La varianza 𝜎𝑅2 del error del valor estimado será mínima y es posible

calcularla. Con este propósito tomemos del sistema de ecuaciones de

kriging ordinario de la diapositiva 14 las siguientes ecuaciones:

𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

+ 𝜇 = 𝐶𝑖0 ∀ 𝑖 = 1, 𝑁

Multipliquemos cada una de estas 𝑁 ecuaciones por el peso 𝑤𝑖:

𝑤𝑖 𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

+ 𝜇 = 𝑤𝑖𝐶𝑖0 ∀ 𝑖 = 1, 𝑁

A continuación sumemos estas 𝑁 ecuaciones:


𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

+ 𝑤𝑖𝜇

𝑁

𝑖=1

= 𝑤𝑖𝐶𝑖0

𝑁

𝑖=1


𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

= 𝑤𝑖𝐶𝑖0

𝑁

𝑖=1

− 𝜇 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

Como los pesos suman 1, el último término es simplemente 𝜇.

Geoestadística 16

Varianza de Kriging Ordinario:

𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

= 𝑤𝑖𝐶𝑖0

𝑁

𝑖=1

− 𝜇

Sustituyendo esta ecuación en la expresión de la varianza del error 𝜎𝑅2 de la

diapositiva 11 ,obtenemos:


2 + 𝑤𝑖𝐶𝑖0

𝑁

𝑖=1

− 𝜇 − 2 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑖0


2 − 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐶𝑖0 + 𝜇 = 𝜎𝐾𝑂2

O en forma matricial:

𝜎𝐾𝑂2 = 𝜎𝑉

2 −𝑾 ∙ 𝑫

Esta varianza minimizada del error es habitualmente llamada varianza de

kriging ordinario, utilizando la notación 𝜎𝐾𝑂2 . No debemos olvidar que esta

varianza fue calculada a partir de un modelo probabilístico y no se

corresponde con la verdadera varianza del error 𝜎𝑟2 que no nos es posible

calcular.

Geoestadística 17

Varianza de Kriging Ordinario:

Cuando derivamos la expresión para la varianza del error, asumimos que nuestro

modelo probabilístico era estacionario de segundo orden. Esta hipótesis nos

permite establecer la siguiente relación entre la covarianza y el correlograma:

𝛾𝑖𝑗 =1

2𝐸 𝑉𝑖 − 𝑉𝑗

2=

1

2𝐸 𝑉𝑖

2 +1

2𝐸 𝑉𝑗

2 − 𝐸 𝑉𝑖𝑉𝑗

𝛾𝑖𝑗 = 𝐸 𝑉2 − 𝐸 𝑉𝑖𝑉𝑗 = 𝐸 𝑉2 −𝑚𝑉2 − 𝐸 𝑉𝑖𝑉𝑗 −𝑚𝑉

2

𝛾𝑖𝑗 = 𝜎𝑉2 − 𝐶𝑖𝑗 ⇒ 𝐶 ℎ = 𝜎𝑉

2 − 𝛾 ℎ = 𝛾 ∞ − 𝛾 ℎ

La relación entre la covarianza y el correlograma será:

𝜌𝑖𝑗 =𝐶𝑖𝑗

𝐶𝑖𝑖𝐶𝑗𝑗=

𝐶𝑖𝑗

𝜎𝑉2

Tengamos presente que estas relaciones son válidas para el modelo

probabilístico con valor medio y varianza constantes. Esto no implica que las

mismas relaciones existan entre la covarianza, el variograma y el correlograma

de nuestros datos reales. Estas hipótesis son las que nos permitieron expresar

las ecuaciones de kriging ordinario en función del variograma o del correlograma.

La práctica común en geoestadística es parametrizar el variograma 𝛾 ℎ , y luego

por razones de eficiencia computacional resolver el sistema utilizando la

covarianza 𝐶 ℎ .

Geoestadística 18

Relación entre la covarianza 𝐶𝑖𝑗 y el variograma 𝛾𝑖𝑗:

Es esencial entender intuitivamente el rol que cumplen la matriz 𝑪 y el vector columna

𝑫 en el cálculo de los pesos 𝑾 = 𝑪−𝟏𝑫 que intervendrán en la obtención del valor

estimado:


𝑁

𝑖=1

Comprender el rol de 𝑪 y 𝑫 nos permitirá hacer los ajustes necesarios en los

parámetros del variograma para mejorar la estimación.

Haciendo una comparación de kriging ordinario con el método de estimación por

medio de la suma pesada con las inversas de las distancias, podemos decir que el

vector 𝑫 contiene información análoga a las inversas de las distancias, sólo que en

vez de pensar en distancias geométricas son distancias estadísticas o variabilidad

espacial de nuestro observable. La matriz 𝑪 en aquel caso sólo sería la matriz

identidad 𝑰 multiplicada por la constante de normalización que garantiza que la suma

de los pesos sea igual a la unidad.

En kriging ordinario, la matriz 𝑪 contiene las inversas de las distancias estadísticas

entre los puntos con valores observados. Lo que distingue a kriging ordinario no es el

uso de distancias estadísticas, sino que multiplicar a 𝑫 por 𝑪−1 además de normalizar,

está compensando a la solución por la redundancia de los datos observados

producida por la manera en que los datos están agrupados y distribuidos

espacialmente entorno al punto de estimación (declustering).

Geoestadística 19

Interpretación intuitiva de Kriging Ordinario:

Geoestadística 20

Parámetros del variograma:

Veamos como los diferentes parámetros del variograma afectan a los pesos

de kriging ordinario. Aun cuando los datos estén regularmente grillados y

tengan un buen comportamiento, ajustar un variograma parametrizado con el

variograma de la muestra o variograma experimental, involucra importantes

decisiones del interprete. El variograma experimental no provee información

para distancias cortas menores que la distancia mínima existente entre los

datos observados. Dependiendo de lo exhaustivo que sean los datos

observados tampoco nos proveerá información para distancias intermedias.

El comportamiento del variograma en un entorno próximo al origen,

incluyendo el llamado efecto pepita (nugget effect), no puede ser

determinado con el variograma experimental, sin embargo este

comportamiento tiene una inmensa influencia en el resultado de la

estimación.

Dos de los parámetros que debemos definir del variograma son el umbral

(sill) y el rango (rank). El umbral es el valor máximo que alcanza el

variograma y es igual a la varianza de la variable observada 𝜎𝑉2. El rango 𝑎 es

la distancia a la cual el variograma alcanza el valor del umbral o el 95% del

valor del umbral si el variograma tiende asintóticamente a dicho valor.

Geoestadística 21

Parámetros del variograma:

Los tres modelos de variogramas habitualmente utilizados son:

Modelo esférico:

𝛾 ℎ = 𝜎𝑉2 1.5

ℎ

𝑎− 0.5

ℎ

𝑎

3

𝑠𝑖 ℎ ≤ 𝑎

𝜎𝑉2 𝑠𝑖 ℎ > 𝑎

Modelo exponencial:

𝛾 ℎ = 𝜎𝑉2 1 − 𝑒−3

ℎ𝑎

Modelo gaussiano:

𝛾 ℎ = 𝜎𝑉2 1 − 𝑒

−3ℎ𝑎

2

Geoestadística 22

Efecto de un factor de escala:

La siguiente figura muestra dos variogramas gaussianos que difieren

solamente en un factor de escala, lo que produce un cambio en el valor del

umbral:

Multiplicar los variogramas por un factor de escala no tiene incidencia en el

cálculo de los pesos de kriging ordinario debido a que los pesos están

normalizados, sin embargo sí tiene efecto en el cálculo de la varianza 𝜎𝐾𝑂2

de kriging ordinario. Mientras que el valor estimado no cambia, la

estimación de la varianza es modificada por el mismo factor que fue usado

para escalar el variograma.

ℎ

Geoestadística 23

Efecto de la forma del variograma:

La siguiente figura muestra tres variogramas que poseen el mismo umbral

y el mismo rango, pero difieren en la forma:

El variograma gaussiano varía más suavemente que los otros en un

entorno del origen, con lo que le da más peso a los puntos más cercanos al

punto de estimación, lo cual implica una mayor continuidad espacial de la

solución, es decir los valores estimados variarán más suavemente con un

variograma gaussiano que con uno exponencial o uno esférico.

ℎ

Geoestadística 24

Efecto pantalla:

Cuando mirando desde el punto de estimación, vemos un punto observado

escondido detrás de otro punto observado, es probable, especialmente con el

variograma gaussiano, que el punto más alejado reciba un peso negativo, este

efecto es denominado efecto pantalla (screen effect). Este efecto es parte de lo

que la multiplicación de 𝑫 por 𝑪−𝟏 produce. El grado con el cual una observación

escondida detrás de otra pierde su influencia en la estimación depende del patrón

de continuidad espacial definido por la forma del variograma. El uso de

variogramas que varíen suavemente cerca del origen producirá que el efecto

pantalla sea mucho más pronunciado, frecuentemente asignando pesos negativos

a los puntos observados escondidos.

La ventaja de métodos de estimación que asignen pesos menores que cero o

mayores que uno, respetando la condición de que la suma de los pesos sea igual

a la unidad (condición de estimador no sesgado) es que pueden conducir a

valores estimados mayores al mayor valor observado o menores que el menor

valor observado. Es razonable pensar que los valores verdaderos que estamos

estimando puedan sobrepasar los límites de los valores observados.

La desventaja es que existe la posibilidad de estimar valores negativos cuando la

variable estimada es necesariamente positiva. En estos casos está perfectamente

justificado asignarles a estos valores negativos estimados el valor cero.

Geoestadística 25

Efecto pepita:

La siguiente figura muestra dos variogramas que difieren solamente en que el de

línea roja a trazos posee un salto en el origen del 50% del valor del umbral, este

salto es denominado por los ingenieros en minas efecto pepita:

𝛾1 ℎ = 10 1 − 𝑒−3ℎ10 𝛾2 ℎ =

0 𝑠𝑖 ℎ = 0

5 + 5 1 − 𝑒−3ℎ10 𝑠𝑖 ℎ > 0

Los pesos calculados utilizando 𝛾2 ℎ son más similares entre ellos que los

calculamos utilizando 𝛾1 ℎ . Dándole un valor mayor a este parámetro logramos que

el valor estimado sea más similar a un simple promedio de los datos disponibles.

Además produce que sea mayor la varianza 𝜎𝐾𝑂2 de kriging ordinario.

ℎ

Geoestadística 26

Efecto pepita puro:

Si el variograma representa un efecto pepita puro, tendrá la siguiente

expresión:

𝛾 ℎ = 0 𝑠𝑖 ℎ = 0𝐶0 𝑠𝑖 ℎ > 0

Este variograma no tiene en cuenta la redundancia, ni la distribución

geométrica, ni el agrupamiento de los valores observados. En términos de

distancias estadísticas todos los puntos observados están a la misma

distancia del punto estimado. Con este modelo probabilístico todos los

pesos tomarán el valor 1/𝑁.

El efecto pepita puro implica una ausencia total de correlación espacial de

nuestros valores observados, los valores de nuestros datos no guardan

ninguna similaridad ni siquiera con los valores vecinos más próximos. Es

importante tener presente que la información contenida en la correlación

cruzada entre dos variables difiere de la información contenida en la

covarianza cruzada únicamente en un factor de normalización.

Geoestadística 27

Efecto del rango:

El rango es habitualmente el parámetro al que se le asigna mayor importancia. La

siguiente figura muestra dos variogramas que difieren solamente en sus rangos,

𝛾2 ℎ posee un rango dos veces mayor que el valor de 𝛾1 ℎ :

ℎ

𝛾1 ℎ = 10 1 − 𝑒−3

ℎ10

2

𝛾2 ℎ = 10 1 − 𝑒−3

ℎ20

2

= 𝛾1 ℎ 2 Este cambio tiene un efecto relativamente menor en la variación de los pesos

calculados. A pesar de estos pequeños cambios en los pesos, se producen cambios

apreciables en los valores estimados. La varianza 𝜎𝐾𝑂2 calculada con el variograma

de mayor rango es menor, ya que en términos de distancias estadísticas los puntos

observados se encuentran dos veces más cerca unos de otros y del punto de

estimación. Si el rango es muy pequeño, el resultado sería muy parecido al obtenido

con un modelo de efecto pepita puro.

Geoestadística 28

Efecto de la anisotropía:

En todos los ejemplos de variogramas que vimos hasta ahora, en ninguno de ellos

tuvimos en cuenta la presencia de anisotropía. Únicamente tuvimos en cuenta la

distancia ℎ𝑖𝑗 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 entre los puntos para cuantificar la continuidad espacial, es

decir, consideramos que la continuidad espacial era la misma en todas las

direcciones. Sin embargo, en muchos datos es posible observar una mayor

continuidad espacial en determinada dirección. En ese caso además de considerar

la variación de la continuidad espacial con la distancia también debemos hacerlo con

el acimut, lo cual implica considerar que 𝒉 es una magnitud vectorial o bien que el

variograma es función de dos variables: la distancia y el acimut.

En el caso planimétrico bidimensional, la forma habitual de tener en cuenta la

anisotropía es considerar dos variogramas para direcciones perpendiculares

asociados a las direcciones de mayor y menor continuidad espacial, y combinarlos

en una única función que depende de la distancia y del acimut.

Con un modelo anisotrópico se le asignará mayor peso a los puntos observados que

definan un acimut con el punto estimado igual al acimut de mayor continuidad

espacial del variograma, y menor peso a los puntos observados ubicados en una

dirección perpendicular, es decir en la dirección de menor continuidad espacial. Lo

habitual es variar el rango del variograma respecto a direcciones perpendiculares, el

cociente entre el rango mayor y el menor es denominado razón de anisotropía.

Geoestadística 29

Efecto de la anisotropía:

Observe que si evalúa un variograma 𝛾𝑎 ℎ con rango 𝑎, a una distancia ℎ, se

obtiene el mismo resultado que si evalúa un variograma 𝛾1 ℎ 𝑎 con rango 1, a una

distancia ℎ 𝑎 . Es decir que si ambos variogramas poseen iguales parámetros a

excepción del rango, podemos escribir:

𝛾1 ℎ 𝑎 = 𝛾𝑎 ℎ

Entonces, para el caso de dos direcciones planimétricas, si 𝑎𝑥 es el rango en la

dirección 𝑒 𝑥, y 𝑎𝑦 es el rango en la dirección 𝑒 𝑦, el variograma 𝛾 𝒉 que tiene en

cuenta la anisotropía, se puede obtener de la siguiente manera:

𝛾 𝒉 = 𝛾 ℎ𝑥 , ℎ𝑦 = 𝛾1 ℎ𝑥 𝑎𝑥 2 + ℎ𝑦 𝑎𝑦 2

Claro que tenemos que orientar nuestros ejes en las direcciones de máxima y

mínima continuidad o aplicar una rotación de coordenadas.

Información cualitativa disponible, como por ejemplo: la interpretación geológica de

un depósito de minerales, la presencia de vientos que prevalecen de determinada

dirección en estudios de contaminación atmosférica, direcciones preferenciales del

flujo en un reservorio, orientaciones principales de los esfuerzos tectónicos, etc.,

puede ser incorporada en estos métodos de estimación por medio de un modelo de

variograma que considere la presencia de anisotropía.

Geoestadística 30

Validación cruzada:

En una prueba de validación cruzada se estima el valor en un punto donde

existe una observación, sin utilizar en el proceso de estimación el valor

observado en ese punto, sólo utilizando los valores observados restantes.

Podemos verlo como un experimento en el cual simulamos nunca haber

observado ese valor. Una vez estimado el valor podemos compararlo con

el valor observado no incluido en el cálculo.

Este procedimiento se puede repetir para todos los puntos observados, y la

comparación de los valores estimados y los valores observados puede

darnos una idea de cuán bueno es nuestro método de estimación.

Aunque el concepto de validación cruzada es una manera ingeniosa para

comparar valores estimados con valores verdaderos, en la práctica hay

considerar con cautela las conclusiones alcanzadas porque pueden ser

engañosas.

Geoestadística 31

Restricciones al modelo de variograma:

Si deseamos que el sistema de ecuaciones de kriging ordinario tenga una y sólo una

solución estable, debemos asegurarnos que la siguiente matriz 𝑲, de orden 𝑁 + 1,

sea definida positiva:

𝑲 =

𝐶00 𝐶01𝐶10 𝐶11

⋯ 𝐶0𝑁⋯ 𝐶1𝑁

⋮ ⋮𝐶𝑁0 𝐶𝑁1

⋱ ⋮⋯ 𝐶𝑁𝑁

Es decir que para todo vector columna 𝒙 no nulo de dimensión 𝑁 + 1, se cumpla la

siguiente condición:

𝒙𝑻𝑲𝒙 = 𝑥𝑖𝑥𝑗𝐾𝑖𝑗

𝑁

𝑗=0

𝑁

𝑖=0

> 0

Una forma de satisfacer esta condición es utilizando modelos de variogramas que es

sabido que son definidos positivos. Aunque esta condición puede parecernos muy

restrictiva, podemos combinar aquellas funciones que sabemos que son definidas

positivas para obtener nuevas funciones que sean definidas positivas. Las

expresiones de los modelos de variogramas vistos: esférico, exponencial y

gaussiano, son funciones definidas positivas. Los correlogramas experimentales,

calculados a partir de los valores observados, en los cuales habitualmente hay que

interpolar para rellenar zonas sin información, raramente satisfacen esta condición.

Geoestadística 32

Cokriging:

Hasta ahora hemos estimado el valor de nuestra variable en determinada posición

en función de los valores observados 𝑣 𝑥𝑖 de la misma variable en posiciones

vecinas. Sin embargo, es posible que no solo dispongamos de valores observados

de nuestra variable primaria 𝑣 𝑥𝑖 sino que además dispongamos de valores

observados de otras variables secundarias que estén croscorrelacionadas (cross-

correlated) con la variable primaria, y que por lo tanto contengan información de

gran utilidad para la estimación de la variable primaria. Parece razonable que

utilicemos la información contenida en la covarianza cruzada entre la variable

primaria y las variables secundarias para reducir aún más la varianza del error de

estimación. Presentaremos los formalismos matemáticos del método de cokriging

que hace uso de la información contenida en la covarianza cruzada para el caso

de una única variable secundaria 𝑢 𝑥𝑗 . El método puede ser generalizado

sencillamente para una cantidad arbitraria de variables secundarias que posean

un nivel importante de correlación cruzada con la variable primaria.

La utilización de una variable secundaria usualmente mejora la estimación de la

variable primaria cuando disponemos de un muestreo más exhaustivo de la

variable secundaria, si ambas variables fueron observadas en los mismos puntos

entonces cokriging no producirá ninguna mejora en el resultado de la estimación.

Geoestadística 33

Cokriging para una única variable secundaria:

El valor estimado por el método de cokriging para la variable primaria en el

punto 𝑥0 será una combinación lineal de los 𝑁 valores observados de la

variable primaria 𝑣 𝑥𝑖 y de los 𝑀 valores observados de la variable secundaria

𝑢 𝑥𝑗 :


𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑗𝑢 𝑥𝑗

𝑀

𝑖=1

Donde 𝑤𝑖 y 𝑝𝑗 son los pesos de cokriging aplicados a las variables observadas

𝑣 𝑥𝑖 y 𝑢 𝑥𝑗 respectivamente para obtener el valor estimado.

Análogamente a lo realizado para derivar el método de kriging ordinario,

haciendo la hipótesis de que las variables involucradas son variables aleatorias

estacionarias de segundo orden, podemos derivar el método de cokriging:

𝑅 𝑥0 = 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

𝑅 𝑥0 = 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑗𝑈 𝑥𝑗

𝑀

𝑖=1

− 𝑉 𝑥0

Geoestadística 34

La varianza del error de Cokriging:

Obtengamos una expresión para la varianza del error del modelo probabilístico de

Cokrigring:

𝜎𝑅2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑅 𝑥0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

= 𝐸 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0 − 𝐸 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥02

𝜎𝑅2 = 𝑤𝑖𝑤𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑖𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑈𝑗

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

+ 2 𝑤𝑖𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑈𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑖=1

−

−2 𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉0

𝑁

𝑖=1

− 2 𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑗 , 𝑉0

𝑀

𝑗=1

+ 𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑉0

Donde 𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑈𝑗 es la covarianza cruzada entre las variables aleatorias 𝑉𝑖 y 𝑈𝑗.

Los pesos deben satisfacer dos condiciones, la primera es que deben ser tales

que el valor estimado sea no sesgado, es decir 𝑚𝑅 = 0, y la segunda es que

deben ser tales que la varianza del error de cokriging 𝜎𝑅2 = 𝜎𝐶𝐾

2 sea mínima.

Geoestadística 35

Estimador Cokriging no sesgado:

Primero veamos como satisfacer la condición de estimador no sesgado:

𝑅 𝑥0 = 𝑉 𝑥0 − 𝑉 𝑥0

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝐸 𝑤𝑖𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑗𝑈 𝑥𝑗

𝑀

𝑖=1

− 𝑉 𝑥0

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝑤𝑖𝐸 𝑉 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑗𝐸 𝑈 𝑥𝑗

𝑀

𝑖=1

− 𝐸 𝑉 𝑥0

Como asumimos que las funciones aleatorias 𝑉(𝑥) y 𝑈(𝑥) son estacionarias de

segundo orden, sus esperanzas matemáticas 𝑚𝑉 = 𝐸{𝑉(𝑥)} y 𝑚𝑈 = 𝐸{𝑈(𝑥)} son las mismas en todos los puntos de la región, entonces podemos escribir:

𝑚𝑅 = 𝐸 𝑅 𝑥0 = 𝐸 𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 𝐸 𝑈 𝑝𝑗

𝑀

𝑖=1

− 𝐸 𝑉

𝑚𝑅 = 𝑚𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1 +𝑚𝑈 𝑝𝑗

𝑀

𝑖=1

Geoestadística 36

Estimador Cokriging no sesgado:

El valor de la esperanza matemática del error 𝑚𝑅 es referido como el

sesgo del valor estimado. Como queremos que nuestro estimador sea no

sesgado, igualamos el error medio residual de nuestro modelo

probabilístico a cero:

𝑚𝑅 = 𝑚𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1 +𝑚𝑈 𝑝𝑗

𝑀

𝑖=1

= 0

De esta ecuación podemos deducir que la manera de satisfacer la

condición de estimador no sesgado es haciendo que la suma de los pesos

𝑤𝑖 sea igual a 1 y que la suma de los pesos 𝑝𝑗 sea igual a 0:

𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

= 1

𝑝𝑗

𝑀

𝑗=1

= 0

Geoestadística 37

Multiplicadores de Lagrange:

Busquemos los pesos que minimicen la varianza del error y que además

que satisfagan a las dos condiciones anteriores necesarias para que el

estimador sea no sesgado. Para alcanzar el objetivo de minimizar una

función con dos constricciones haremos uso del método de los

multiplicadores de Lagrange. Para implementar el método simplemente

igualamos cada condición a cero las multiplicamos por un multiplicador de

Lagrange diferente para cada una y se las sumamos a la expresión de la

varianza del error, lo cual nos conduce a la siguiente expresión:

𝜎𝑅2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑅 𝑥0 + 2𝜇𝑉 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1 + 2𝜇𝑈 𝑝𝑗

𝑀

𝑗=1

Donde 𝜇𝑉 y 𝜇𝑈 son los multiplicadores de Lagrange. Observe que estos

dos términos agregados son nulos, por lo tanto no modifican a la varianza

del error pero si le imponen las condiciones deseadas al cálculo de los

pesos.

Geoestadística 38


Para minimizar 𝜎𝑅2 debemos calcular sus derivadas parciales respecto de

los 𝑁 +𝑀 pesos y respecto de los dos multiplicadores de Lagrange:

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝑤𝑗= 2 𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉𝑗

𝑁

𝑖=1

+ 2 𝑝𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑉𝑗

𝑀

𝑖=1

− 2𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑉𝑗 + 2𝜇𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 𝑁

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝑝𝑗= 2 𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑈𝑗

𝑁

𝑖=1

+ 2 𝑝𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑈𝑗

𝑀

𝑖=1

− 2𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑈𝑗 + 2𝜇𝑈 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,𝑀

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝜇𝑉= 2 𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

− 1

𝜕𝜎𝑅2

𝜕𝜇𝑈= 2 𝑝𝑖

𝑀

𝑖=1

Geoestadística 39

Sistema de Cokriging:

Finalmente el sistema de cokriging es obtenido igualando cada una de

estas 𝑁 +𝑀 + 2 ecuaciones a 0. Reordenando los términos individuales

obtenemos:

𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉𝑗

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑉𝑗

𝑀

𝑖=1

+ 𝜇𝑉 = 𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑉𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 𝑁

𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑈𝑗

𝑁

𝑖=1

+ 𝑝𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑖 , 𝑈𝑗

𝑀

𝑖=1

+ 𝜇𝑈 = 𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑈𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,𝑀

𝑤𝑖

𝑁

𝑖=1

= 1

𝑝𝑖

𝑁

𝑖=1

= 0

Geoestadística 40

Sistema de Cokriging:

Expresado matricialmente nos queda:

𝑪𝑽𝑽 𝑪𝑼𝑽

𝑪𝑽𝑼 𝑪𝑼𝑼

1 00 1

𝑰𝑁 𝟎𝑀

𝟎𝑁 𝑰𝑀

0 00 0

𝑾𝑷𝜇𝑉𝜇𝑈

=

𝑪𝑽0𝑽

𝑪𝑽0𝑼

10

donde:

𝑪𝑽𝑽 =

𝐶𝑉𝑉11 ⋯ 𝐶𝑉𝑉1𝑁

⋮ ⋱ ⋮𝐶𝑉𝑉𝑁1

⋯ 𝐶𝑉𝑉𝑁𝑁

𝑪𝑼𝑼 =

𝐶𝑈𝑈11⋯ 𝐶𝑈𝑈1𝑀

⋮ ⋱ ⋮𝐶𝑈𝑈𝑀1

⋯ 𝐶𝑈𝑈𝑀𝑀

𝑪𝑼𝑽 =

𝐶𝑈𝑉11 ⋯ 𝐶𝑈𝑉1𝑁

⋮ ⋱ ⋮𝐶𝑈𝑉𝑀1

⋯ 𝐶𝑈𝑉𝑀𝑁

𝑪𝑽𝑼 =

𝐶𝑉𝑈11⋯ 𝐶𝑉𝑈1𝑀

⋮ ⋱ ⋮𝐶𝑉𝑈𝑁1

⋯ 𝐶𝑉𝑈𝑁𝑀

𝑾 = 𝑤1 ⋯ 𝑤𝑁𝑇 𝑷 = 𝑝1 ⋯ 𝑝𝑀 𝑇

𝑪𝑽𝟎𝑽 = 𝐶𝑉𝑉01 ⋯ 𝐶𝑉𝑉0𝑁𝑇 𝑪𝑽𝟎𝑼 = 𝐶𝑉𝑈01

⋯ 𝐶𝑉𝑈0𝑀𝑇

𝑰𝑵 es una matriz identidad de orden 𝑁, 𝑰𝑴 es una matriz identidad de orden 𝑀, 𝟎𝑵 es

una matriz cuadrada nula de orden 𝑁 y 𝟎𝑴 es una matriz cuadrada nula de orden 𝑀.

Geoestadística 41

Varianza de Cokriging:

La expresión para obtener la varianza minimizada del error 𝜎𝑅2, puede ser

simplificada haciendo las sustituciones correspondientes, utilizando las

expresiones de los multiplicadores de Lagrange. La versión simplificada

nos queda:

𝜎𝑅2 = 𝐶𝑜𝑣 𝑉0, 𝑉0 − 𝜇𝑉 − 𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉0

𝑁

𝑖=1

− 𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑗 , 𝑉0

𝑀

𝑗=1

𝜎𝑅2 = 𝜎𝐶𝐾

2 = 𝜎𝑉2 − 𝜇𝑉 − 𝑤𝑖𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑉0

𝑁

𝑖=1

− 𝑝𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑗 , 𝑉0

𝑀

𝑗=1

Geoestadística 42

Varianza de Cokriging:

El sistema de cokriging puede ser escrito en función del variograma

asumiendo que la covarianza cruzada es simétrica, es decir:

𝐶𝑜𝑣 𝑉𝑖 , 𝑈𝑗 = 𝐶𝑜𝑣 𝑈𝑗 , 𝑉𝑖

Aunque la covarianza cruzada puede no ser simétrica, la práctica más

común es modelarla como una función simétrica. Entonces la continuidad

espacial definida en función del variograma puede ser expresada en

función de la covarianza utilizando la siguiente expresión:

𝐶𝑉𝑈 ℎ = 𝛾𝑉𝑈 ∞ − 𝛾𝑉𝑈 ℎ

Para garantizar que la solución del sistema de cokriging exista y sea única,

tanto los variogramas como los variogramas cruzados deben ser definidos

positivos. Para los variogramas cruzados se utilizan habitualmente las

mismas funciones parametrizadas vistas para los variogramas, donde el

umbral estará dado por la covarianza cruzada entre las variables primaria y

secundaria en un mismo punto, es decir para ℎ = 0.

Bibliografía:

Wackernagel, H. (2003). Multivariate Geostatistics. Springer.

Davis, J. (1986). Statistics and Data Analysis in Geology. John Wiley & Sons.

Isaaks, E. & Srivastava, M. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford.

Brand, S. (1970). Statistical and Computational Methods in Data Analysis. North Holland.

Apunte de Geoestadística de la Cátedra.

Geoestadística 43

http://carina.fcaglp.unlp.edu.ar/senales/apuntes/Geoestadistica.pdf





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