Proyecto 1Cinemática y Dinámica

Grupo: 12Integrantes:

Espinoza Sánchez EnriqueRomero Rodríguez BrunoAlonso Becerra Jonathan

Morales Ortega Aldo

Profesor: M.I. Yahvé Abdul Ledezma Rubio

Objetivo

Determinar el comportamiento de la aceleración, velocidad y el movimiento en general, de una partícula que representa a un corredor en una carrera durante los primeros 20 metros mediante un programa de análisis deportivo (Kinovea) y la interfaz ingenieril de mathematica.

Introducción

Encontrar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) día a día es bastante común. Un objeto que dejas caer y no encuentra ningún obstáculo en su camino (caída libre) o cuando dejamos caer una pelota en una pendiente ejemplos de ello Sabemos que la trayectoria es una línea recta y por tanto, la aceleración normal es cero.Este movimiento se caracteriza porque su aceleración es constante, o sea, su aceleración tangencial es nula.Cuando nos referimos a un movimiento uniformemente acelerado, queremos decir que tiene aceleración constante. Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuando la velocidad experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo. En ese momento el valor de la aceleración permanece constante al transcurrir el tiempo.La velocidad inicial puede ser cero ya que es cuando el cuerpo parte del reposo.Tenemos muchos ejemplos sobre este efecto y es por eso que haremos estudio de él.Para poder estudiarlo, es necesario partir de una posición inicial y una final.

Determinar el comportamiento del movimiento de un cuerpo, no es algo simple, si consideramos todos los factores que afectan, como la gravedad, la fricción o la resistencia, podrán volver dicho análisis muy complicado. Por fortuna, desde el punto de vista de la cinemática, solo analizaremos las relaciones de desplazamiento y despreciaremos las dimensiones y forma del objeto en estudio, es decir, lo conduraremos como una partícula, pero aun con estas consideraciones, lograr seguir momento a momento una partícula en su trayectoria puede resultar muy

difícil si te toma en cuenta un movimiento tridimensional, por lo que consideraremos un movimiento en línea recta.Para lograr medir la posición en cada instante de nuestra partícula, aremos uso de un software de análisis deportivo llamado Kinovea, que mediante un video y una referencia es capaz de tabular el desplazamiento de una partícula, En este caso para poder hacer los estudios necesarios fue en un trayecto de 20 metros. Lo que quiere decir que su posición inicial es cero y la final 20m (se prefería un trayecto de 30m pero por la falta de rango de la cámara solo se capturaron 20m).Normalmente la posición va en metros, la velocidad en metros sobre segundo (o en kilómetros por hora en velocidades más grandes) y la aceleración en metros sobre segundo al cuadrado.Como ejemplo de aceleración tenemos la gravitatoria que generalmente se toma como de 9.81 metros sobre segundo al cuadrado.Podremos saber la magnitud de la aceleración y saber si las suposiciones que tenemos son válidas. Creemos que la velocidad es constante y por medio de este proyecto vamos a descubrirlo.Haremos un video con una persona corriendo y por medio del programa Kinovea lo analizaremos para poder obtener sus gráficas (s vs t), (v vs t) y (a vs t) que son las que representan dicho cuerpo.La aceleración debe tener un comportamiento de recta horizontal ya que es constante. La velocidad al ser la integral de la aceleración es una recta en forma ascendente ya que su aceleración es constante. Y debe ser positiva ya que en ningún momento se desacelera.Su posición es integral de la velocidad, por lo que debe tener el comportamiento de una media parábola que comienza en el origen. Como la velocidad aumenta conforme aumenta el tiempo, la posición va aumentando exponencialmente (en el caso ideal)Por medio del análisis de los resultados obtenidos se determinara si dichas suposiciones son correctas.

Marco teórico

Cinemática de la partículaComenzamos suponiendo que la partícula (corredor) se mueve en línea recta.Para todo cuerpo, se mueva en línea recta o no, el desplazamiento es el cambio de posición de dicho cuerpo con respecto al tiempo en el espacio, observable desde un punto de referencia.El cambio de desplazamiento con respecto al tiempo es la velocidad

∆x/∆t=vEn nuestro caso el desplazamiento tiene cambio en un solo eje, el x.El cambio de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración

∆v/∆t=aPara obtener los cambios instantáneos, haremos que los incrementos tiendan a 0, es decir, convertiremos los cambios en diferenciales.

dx/dt=vdv/dt=a

Estas ecuaciones del movimiento también pueden ser determinadas mediante la operación inversa a la derivación, es decir, integrando, tomando en cuenta las condiciones iníciales.

a=dv/dt → ∫ adt =∫ dv → at =v

→ at =dx/dt → ∫ at dt =∫ dx → a2 t 2 =x

Dependiendo de su comportamiento, existen dos tipos básicos de movimiento, el movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es aquel en que la velocidad es una constante, en ocasiones decimos que no tiene aceleración, sin embargo, su aceleración es igual a cero. A los cuerpos que presentan este tipo de movimiento, también se les conoce como en reposo

v= cte → v= dx/dt → vdt= dx

→ ∫0

t

cte dt =∫x0

x

dx → cte*t │0t = x │x 0x

→cte(t) = x - x0 → cte(t) + x0= x

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es aquel en que la aceleración es una constante

Si a= cte → a=dv/dt → cte*dt=dv

→ ∫0

t

cte dt =∫v0

v

dv → cte(t) │0t = v │v 0v → cte(t) + v0 = v

cte(t) + v0 = dx/dt → (cte(t) + v0 )*dt= dx → ∫0

t

(cte(t )+v0)∗dt

= ∫x0

x

dx → cte2 (t 2) + v0 (t) │0t = x │x 0x → cte2 (t 2) + v0 (t) + x0 = x

Como el objeto de estudio es el movimiento de un cuerpo real (un ser humano) la manera de como representa un MRU o un MRUA a lo largo de toda su trayectoria solo se asemeja ya que es probable que presente una aceleración variable respecto al tiempo debido a la resistencia del viento, la perdida de adherencia con el suelo o la fatiga del individuo.

a = f(t)La variación de la aceleración respecto al tiempo puede tener un comportamiento lineal, cuadrático o exponencial, dicho comportamiento será determinado por los modelos de aproximación a la grafica de la aceleración.

Si la aceleración respecto al tiempo crece o decrece a un ritmo constante.

cte(t)= dv/dtSi la aceleración presenta en su grafica una forma parecida a parábola

f(t 2) = aSi la aceleración presenta un comportamiento de crecimiento o decaimiento exponencial

a= a0* e±kt

Análisis de datos

Al analizar el video con el programa Kinovea, nos tabula la posición de la partícula con respecto al tiempo, sin embargo es que la medida del desplazamiento nos la da en pixeles y no en metros, por lo que se usara un factor de conversión

Tras usar el factor de conversión 20m=1145px(archivo excel)

Utilizando la función de pegado especial de excel, importamos los datos al programa Mathematica para hacer una gráfica de los pares ordenados de desplazamiento sobre tiempo.

Usando el comando fit del programa Matematica aproximaremos la grafica a una función lineal, exponencial o cuadrática

Con base a lo presentado en el marco teórico, una vez obtenido un modelo matemático para el desplazamiento, procedemos a derivarlo (respecto al tiempo ) para obtener la grafica de la velocidad, y derivamos nuevamente para obtener la aceleración.

ResultadosGrafica de los puntos obtenidos.

Graficas de ajusteLineal

Exponencial

Comparación

Cuadrática

Comparación

Modelo no lineal (mejor aproximación)

Mediante una aproximación no lineal y con un juego de valores se tiene un mejor modelos que después se normaliza.

Comparación

Resultados finales

Con base a la función obtenida en el ajuste tenemos:(posición)

Velocidad (dx/dt)

Aceleración (dv/dt)

Conclusión(Bruno Romero Rodríguez)Mediante esta engañosamente sencilla practica tuvimos la oportunidad de analizar el comportamiento del movimiento de un cuerpo real, que mas alla de los ejercicios que usualmente vemos en clase nos permitió observar desde el punto de vista de la cinemática el verdadero comportamiento de los cuerpos en la naturaleza, ya que en el caso de la tierra, todos los cuerpos están sometidos a diferentes factores (fuerzas, pero en cinemática no las investigamos) que hacen que el movimiento de los cuerpos sea muy variado.Aunque de acuerdo con el ejemplo visto en clase, la grafica de aproximación mas adecuada a la grafica de aceleración debió haber sido la de aproximación exponencial, en nuestro caso, la mas aproximada fue la aproximación no línea con exponencial de potencia positiva, pero esto se debió a un pequeño error en el video que el programa interpreto como un desplazamiento extra (un pico en la grafica), pero si elimináramos dicho detalle, efectivamente la mejor aproximación seria exponencial, al igual que varios otros fenómenos estadísticos que ocurren en la naturaleza, como el decaimiento radioactivo, o el crecimiento poblacional, la aceleración de un ser humano en los primeros metros de una carrera presenta el comportamiento de la función exponenciala= a0* e−kt

este error también pudo producirse por que nuestro rango de observación solo fue de 20 metros, y al final nos resulto una aceleración con una k positiva en un modelo no lineal

ConclusiónEnrique Espinoza Sánchez

Como se observa en la gráfica formada por los puntos de correspondientes a los valores de distancia y tiempo, el comportamiento se asemeja una función exponencial o una función cuadrática y para determinarlo de forma correcta se empezó el desarrollo desde una aproximación lineal que como se observa en la comparación, la diferencia entre los puntos obtenidos y la aproximación lineal difiere mucho. Al analizar la aproximación exponencial se percata que tiene una similitud bastante aproximada, con un ligero desfase al inicio de las funciones que es posible asociarlo a pequeños errores en la toma de datos, de igual forma la aproximación cuadrática tiene un parecido bastante aceptable pero no tanto como la exponencial, por lo que tomaremos como mejor aproximación a la función exponencial.A través de un modelo de ajuste no lineal se convirtió dicho ajuste a una expresión normal y así se obtuvo una función, mucho mejor aproximada.Al obtener las gráficas de velocidad y aceleración nos percatamos que tienen formas curvilíneas y eso se debe a que la función a la que aproximamos nuestros valores es una función exponencial que depende del tiempo, y por más que se derive siempre se mantendrá la base de Euler.No fue fácil realizar la grabación de 100m planos por cuestiones de equipo profesional, por lo que se redujo el campo de análisis a 20m.

La herramienta mathematica es muy poderosa por lo que su buen manejo es indispensable para el estudiante de ingeniería. Con base a los datos obtenidos se concluye que la aceleración no es constante contrario a lo que se esperaba.

ConclusiónAldo Raymundo Morales Ortega

La ayuda de aplicar un problema “sencillo” del MRUA nos resultó bastante interesante porque pudimos llevar la teoría a la práctica y así poder determinar que las aseveraciones eran ciertas. Complementarlo con programas como Mathematica y Kinovea para poder completarlo fue de gran utilidad y no solo en plano como los realizados en clase.Pudimos acercarnos bastante a las gráficas de aceleración cuadrática solo por un pequeño problema con Kinovea que nos movía un punto de la gráfica. Se llegó a tener algo de dificultad con los programas ya que eran desconocidos para todos los integrantes y fue ir aprendiendo sobre la marcha y de manera autodidacta.Al seguir investigando sobre este fenómeno me asombró la cantidad de información que hay sobre dicho movimiento y es que grandes científicos de todas las épocas lo han estudiado. Desde Galileo hasta Newton y un sinfín de grandes personalidades.Me hubiera gustado realizarlo con los 100 metros que al principio planteó el profesor pero por problemas con que kinovea detectara la partícula tuvimos que reducirlo a 20 metros, ya que al no ser una cámara demasiado potente se perdía el seguimiento de la partícula y no nos servía el video. Me interesaría posteriormente con un equipo de mayor potencial realizarlo en 100 metros para tener datos más específicos y comprobar por mi mismo lo que ya hemos leído bastante y que considero un descubrimiento bastante asombroso.Para terminar, quedó demostrado que la aceleración es constante y la velocidad, al ser su integral es ascendente exponencialmente siendo lo que más es atractivo de la práctica.

Bibliografía.https://www.youtube.com/watch?v=PewDMQUj2i8http://www3.uji.es/~planelle/APUNTS/IAQ/guia_math.pdf

http://dcb.fi-c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/CienciasAplicadas/CinematicaDinamica/cinematicadelaparticula.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=CKLKOct5g5o&list=PLilnwC7Bci64kNIvqPaFE4KmjDtkEpnSj&index=9

BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell y CLAUSEN, William E. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica. Edición México McGraw-Hill, 2007