ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS FINANCEIROS...Uma carteira ou portf olio e uma combina˘c~oes de dois...

ANALISE ESTATISTICA DE DADOS FINANCEIROS

Conceicao Amado, Claudia Nunes e Alberto Sardinha

Instituto Superior Tecnico - Universidade de Lisboa

Plano do Curso

Conceitos fundamentais em financas (Claudia Nunes)

Modelo de Black-Scholes (Claudia Nunes)

Volatilidade (Conceicao Amado)

Redes Neuronais (Alberto Sardinha)

2 / 73

Livros? Ha muitos!

3 / 73

Link

Conceitos fundamentais em financas A popularidade! 4 / 73

http://www.youtube.com/watch?v=IjZ-ke1kJrA

8 trillion dolars of papers around the world relying on that equation!

We were wrong! No, you mean: you were wrong!

Assets decreace just by 25%, that loss would be greater than the whole valueof the company

Sell it all today!


Quantas vezes ouvimos estes ter-mos no dia a dia? MUITAS!!!


A nossa percepcao de risco esta intima-mente ligada ao retorno de um investi-mento.Maior retorno → Maior risco??

Conceitos fundamentais em financas Risco vs Seguro 7 / 73

produtos

com risco: acoes, opcoes, futuros...

sem risco: depositos, obrigacoes, certificados do tesouro...


Portfolios

Em muitas situacoes os investidores investem em varios produtos financeiros.

Uma carteira ou portfolio e uma combinacoes de dois ou mais produtosfinanceiros, e o seu valor resulta da soma dos valores de cada produto que

o compoe.

Cada elemento do portfolio e designado por posicao.

Um investidor tem uma posicao longa quando compra um produto, e temuma posicao curta quando vende.


Os investidores devem construir uma carteira de investimentos de acordo com suatolerancia a riscos e objetivos de investimento. Frequentemente os portfolios saoconstituıdos por produtos diversificados.


Risco

Informacao que consta na pagina da CMVM

(Informacao fornecida pelo Banco Invest)


https://www.cmvm.pt/pt/SDI/ProdutosFinanceirosComplexos/Pages/Guia-sobre-Produtos-Financeiros-Complexos.aspx

O risco implica incerteza futura sobre o desvio dos ganhos ou resultadosesperados. O risco mede a incerteza que um investidor esta disposto aassumir para obter um ganho com um investimento.

Produtos sem risco mais populares:

Depositos bancarios

Obrigacoes


Taxa de juro

As taxas de juro podem ser:

Em tempo discreto rn, n ∈ N, onde rn designa a taxa do n-esimo perıodo.

Em tempo contınuo, r(t), t ≥ 0Em ambos os casos, podemos ter taxas:

Determinısticas e constantes;

Determinısticas, mas evoluem ao longo do tempo

Estocasticas

Neste curso, vamos assumir o caso mais simples:

TAXA DE JURO E DETERMINISTICA E CONSTANTE:

rn = r ou r(t) = r

(Grande simplificacao, pouco realista)


Capitalizacao vs Desconto

Capitalizacao: Se r for a taxa de juro anual, ao fim de n anos um EUR vale:

Capitalizacao anual: (1 + r)n;

Capitalizacao semestral: (1 + r2 )2n;

Capitalizacao k vezes no ano: (1 + rk )nk;

Juros continuamente capitalizados: ern.

Desconto: O valor atual de 1 EUR daqui a n anos e:

Atualizacao anual: (1 + r)−n;

Atualizacao semestral: (1 + r2 )−2n;

Atualizacao k vezes no ano: (1 + rk )−nk;

Juros continuamente capitalizados: e−rn.


Obrigacoes

Uma obrigacao e um tıtulo de credito, que confere ao seu detentor o direito dereceber periodicamente juros (cupons) e, numa determinada data, o reembolso docapital. No contrato de venda de uma obrigacao e estabelecido: o valor nominal,a maturidade e o metodo de amortizacao (correspondente a entrega periodica doscoupons).

Caso especial: zero-coupon bonds


Exemplo

Valor nominal: 1 EUR

Maturidade: 1 ano

Coupons: 0.10 EUR ao fim de 3 meses, 0.20 EUR ao fim de 6 meses

Taxa de juro: 1%, ao ano, capitalizacao contınua

Preco= 1e−0.1 + 0.1× e−0.1× 312 + 0.3× e−0.1× 6

12


Medidas de Risco

E o que acontece quando se investe num produto cujo retorno nao e assegurado?Como medir o risco?

Ha risco quando o retorno de um investimento e uma v.a., X, com valorespositivos (lucro) e negativos (perdas)

Seja X uma variavel aleatoria definida no espaco de probabilidades (Ω,F , P )

Para cada ω ∈ Ω, X(ω) designa o retorno quando o estado da economia e ω

Entao define-se uma medida de risco ρ como sendo uma funcao:

ρ : R→ R

ρ(X(ω)) representa o risco do investimento para o qual o retorno, para oestado da economia ω, e X(ω).


Propriedades de uma medida de risco

Monotonia:X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X2) ≤ ρ(X1)

(i.e., se X2 vale mais que X1, seja qual for o eventual estado da economiaω ∈ Ω, entao o risco de X1 e maior que o risco de X2)

Invariancia de conversao: se se adicionar um valor em dinheiro ao portfolio,entao o risco sera reduzido por esse valor.

Homogeneidade: se um portfolio X for aumentado em k vezes (mantendoo peso de cada elemento do portfolio) entao o risco sera multiplicado pelomesmo fator:

ρ(kX) = kρ(X)

(i.e., o risco depende da dimensao da posicao)

Subaditividade: a medida de risco de duas carteiras incorporadas deve serinferior a soma de suas medidas de risco individualmente.

ρ(X1 +X2) ≤ ρ(X1) + ρ(X2)


Exemplos de medidas de risco

Desvio Padrao

Beta: mede a quantidade de risco sistematico que um tıtulo individual ousetor industrial possui em relacao a todo o mercado de acoes. O mercadotem um valor beta de 1. Estatisticamente, beta e a estimativa do declive domodelo de regressao linear simples dos valores historicos do tıtulo em funcaodos valores historicos do mercado onde o tıtulo e comercializado.

Valor em risco (VaR): e um quantil de probabilidade e mede a perdapotencial maxima com um grau de confianca por um perıodo especificado.Pode ser utilizado quer para avaliar o risco de um portfolio ou para calcularapenas o risco de um tıtulo.


Mas nenhuma destas medidas cumpre realmente a sua funcao de medir o riscopois:

Desvio padrao: nao leva em linha de conta a direcao da alteracao. Se odesvio padrao for elevado devido a subidas no preco de uma acao, podera serbastante benefico para o investidor.

Beta: pressupostos pouco realistas

VaR: nao satisfaz as propriedades de coerencia (porque nao e uma medidasubaditiva). Porem e uma das medidas de risco mais usadas.


Embora muito utilizado, o VaR nao fornece a informacao toda relevante. Emparticular, nao da ideia da dimensao media da perda, no caso desta vista aocorrer.

Valor em Risco Condicional (CVaR): e a pior perda esperada devido aoincumprimento durante um certo perıodo de tempo, com uma dadaprobabilidade.

CVaR[X,α] =1

1− α

∫ 1

α

VaR[X, s]ds


VaR vs CVaR

Tome-se o seguinte exemplo, em que o VaR de ambos os produtos e identico:

Porem o CVaR do produto assinalado a verde e superior, pelo que se torna maisarriscado, e menos interessante que o outro.


Produtos mais usuais

Acoes

Futuros / Forwards

Opcoes

Produtos com Risco 23 / 73

Acoes

O preco das acoes varia ao longo do tempo, de forma aleatoria.

Se o tempo fordiscreto : Sn, n ∈ Ncontınuo : S(t), t ≥ 0

Pode-se deter um numero fracionario de acoes

As acoes podem reportar dividendos (em instantes aleatorios, em valoraleatorio)

Ha sempre vendedor e comprador para as acoes.

Mais tarde iremos ver que se tratam de condicoes associadas a mercadoslıquidos. Veremos tambem qual a dinamica dos processos estocasticos.


Short-selling

E possıvel vender acoes que nao se detem.

Como? Recorrendo ao emprestimo de acoes, as quais tem de ser devolvidas nofinal.Porque? Por exemplo, quando se acredita que o preco destas acoes vai descer!Brokers, aos quais e paga uma comissao.


Risco em negociar acoes

Com probabilidade maior que 0, pode acontecer que o preco de compra deuma acao, S(0), seja superior ao preco de venda, S(T ).

Nesse caso ha perda de valor, i.e., retorno negativo!


Futuros

Ao adquirir um contrato de futuros, o investidor entra num contratopara a compra (ou venda) de um determinado ativo numa data

futura e a um preco acordado hoje.

Todos os futuros sao produtos negociados em Bolsa, sendo necessario especificar

Data de vencimento;

Dimensao do contrato

Termos do contrato

Exemplos de transacoes de futuros: eletricidade, petroleo, aco... (commodities)

Em geral, num contrato de futuros, o comprador nao necessita de pagarpelo contrato. Mas tem de o respeitar!


Risco em negociar futuros

Um contrato de futuros certifica o vendedor e o comprador que na data devencimento, o preco esta definido. Mas com probabilidade 1, tal significa que um

dos envolvidos vai perder dinheiro.

Se o valor do produtoaumentar, o vendedorperde dinheiro.

Se o valor do produtodiminuir, o compradorperde dinheiro.


Opcoes

Uma opcao de compra europeia e um contrato que da ao comprador daopcao (detentor da opcao) o direito de comprar na maturidade T o ativosubjacente pelo preco K (preco de exercıcio). Caso nao exerca a opcao, ocontrato expira, sem mais nenhuma consequencia.

Caso a opcao seja de venda, entao o detentor da opcao tem o direito devender na maturidade o ativo subjacente pelo preco de K. Nesse caso aopcao diz-se ser uma opcao europeia de venda.

Caso estas opcoes possam ser exercidas ate a maturidade, entao designam-se poropcoes americanas.


Elementos de uma opcao

Maturidade, T

Ativo subjacente, S

Valor de exercıcios, K

Funcao contrato

No caso de uma opcao de compra: maxS(T )−K, 0No caso de uma opcao de venda: maxK − S(T ), 0

No caso de ser uma opcao americana, o contrato pode ser exercido ate amaturidade T . Neste caso:

Qual o instante otimo para exercer a opcao?


Opcoes

Opcao de compra europeia, o grafico do retorno e:

Um comprador de uma opcao deste tipo acredita que o mercado vai subir.


Opcoes

Opcao de venda europeia, o grafico do retorno e:

Um comprador de uma opcao deste tipo acredita que o mercado vai descer.


Combinacoes:bear call option

Por vezes, para se proteger contra perdas, o investidor pode comprar opcoes dediferentes tipos. Por exemplo:

Bear call option: vender uma opcao de compra e comprar outra, com amesma maturidade mas com valor de exercıcio mais elevado.


Combinacoes:bull call option

Bull call option: vender uma opcao de compra e comprar outra, com amesma maturidade mas com valor de exercıcio menos elevado.


Bear vs Bull

Bull, porque se refere a expectativa de que um ativo de baixo valor venhaa ter um aumento de preco. Bear, porque se refere a expectativa de quedados precos das acoes.


Combinacoes: straddle

Straddle option: Envolve a compra simultanea de uma opcao de compra eoutra de venda, com o mesmo ativo subjacente, mesma maturidade e mesmopreco de exercıcio.

Neste caso, se o mercado for volatil, melhor sera para o investidor!

A volatilidade dos mercados nem sempre e ma; pode ate ser bastantebenefica para os investidores, desde que saibam tirar partido dessa

volatilidade!


Risco em negociar opcoes

Com probabilidade 1, um dos envolvidos no contrato vai perder dinheiro, asemelhanca do que acontece nas transacoes com futuros.Entao qual e a diferenca entre futuros e opcoes?

O comprador de uma opcao pode exercer ou nao a opcao, enquanto que ovendedor da opcao e obrigado a cumprir o que esta contratado.

Pelo contrario:

Quer o comprador quer o vendedor de um contrato de futuros saoobrigados a cumprir o que esta contratado.


Preco de opcoes

Como ha um papel desigual entre comprador e vendedor de uma opcao, porquerazao ha vendedores de opcoes?

Porque uma opcao tem um preco, ie., o comprador de uma opcao paga, aovendedor da mesma, um valor!

E essa e a questao da matematica financeira: determinar o preco de umaopcao.


Arbitragem

Uma oportunidade de arbitragem surge quando e possıvel fazer uminvestimento com risco nulo.

Se

V (t) designar o valor de um investimento no instante t

V (0) designar o investimento inicial

entao existe uma oportunidade de investimento se

P (V (t) ≥ 0|V (0) = 0) = 1

Os mercados regulados nao admitem situacoes de arbitragem.

THERE ARE NO FREE LUNCHES!


Mercados financeiros perfeitos

O mercado financeiro e perfeito, i.e,

nao ha oportunidades de arbitragem,

nao ha restricoes no numero de vendas ou compras,

os custos de transacao sao nulos,

short-selling e sempre possıvel,

a taxa de juro de emprestimos e igual a taxa de juro de depositos,

e possıvel vender ou comprar um numero fracionario de acoes.


Primeiras propriedades do preco

Se dois portfolios, A e B, tiverem o mesmo valor num dado instante T ,entao tem o mesmo valor para qualquer t < T (princıpio da nao-dominancia).

Seja VF (t) o valor de um contrato futuro (para o qual a maturidade e T e Ke o valor do exercıcio) no instante t, dado que atualmente o preco do ativosubjacente e St. Entao se o ativo nao pagar dividendos nem custos ao longoda vigencia do contrato, o valor do contrato e:

VF (t) = S(t)−Ke−r(T−t)

O preco de opcoes de compra (venda) americanas e europeias e decrescente(crescente) no preco de exercıcio K.


Paridade put-call

Preco de opcoes de compra europeia c(t, S(t), T,K).Preco de opcoes de venda europeia p(t, S(t), T,K).

Se o ativo subjacente nao pagar dividendos, os precos das opcoes de comprae venda estao relacionados da seguinte forma:

p (t, S(t), T,K)) + S(t) = c (t, S(t), T,K) +Ke−r(T−t).

Caso haja lugar a pagamento de dividendos Di, i = 1, . . . , n nos instantest < t1 < t2 . . . < tn entao a relacao e da seguinte forma:

p (t, S(t), T,K) + S(t)−n∑i=1

Die−r(T−t) = c (t, S(t), T,K) +Ke−r(Tt).


COMO DETERMINAR O PRECO?


Hipoteses financeiras

Nao ha custos de transacao

O mercado e lıquido

Nao ha oportunidades de arbitragem

A taxa de juro e conhecida

Preco de opcoes 44 / 73

Hipoteses matematicas e notacao

Tempo DISCRETO

(Ω,F , P ) um espaco de probabilidades, e T ∈ N.

Ft, t ∈ 0, 1, . . . , T, uma filtragem que descreve a informacao disponıvel

Filtragem: famılia nao-decrescente de σ-algebras, com Ft ⊆ Ft+1, definidasem F , onde usualmente F0 e a σ-algebra trivial.

Preco do ativo sem risco: S0 =S0t , t ∈ 0, 1, . . . , T

, e um processo

previsıvel:

S0t+1 e mensuravel com respeito a σ-algebra Ft, para todo o t ∈ N

Preco do ativo sem risco depende do juro, atraves da equacao:

S0t+1 = (1 + rt,t+1)S0

t , t = 0, 1 . . . , T − 1.

Preco do ativo com risco: Si =Sit , t = 0, 1 . . . , T

, e um processo

mensuravel em relacao a filtragem Ft, t ∈ 0, 1, . . . , T.


Portfolios

Um portfolio e um processo estocastico (η, θ) = (ηt, θt), t = 0, 1 . . . , Tadaptado a filtragem Ft, t = 0, 1 . . . , T − 1, e que toma valores em

R× Rd.

ηt < 0: o dono do portfolio tem um emprestimo no instante t no valor de ηt;

θit < 0: o dono do portfolio tem uma posicao curta do ativo i no instante t.

Valor do portfolio no instante t: V(η,θ)t = ηtS

0t +

∑di=1 θ

itSit


Portfolios auto-financiados

Um portfolio (η, θ) diz-se ser auto-financiado se

V(η,θ)t − V (η,θ)

t−1 = ηt(S0t − S0

t−1) +

d∑i=1

θit(Sit − Sit−1)

Consequentemente, num portfolio auto-financiado nao ha nem injecao de dinheironem utilizacao do lucro resultante nalgum instante. A compra de novos ativostem de ser totalmente financiada pela venda de ativos disponıveis no portfolio.


Opcoes e Portfolios

Um derivado financeiro e um processo estocastico X da forma X = g(S),em que S designa o processo estocastico do preco do(s) ativo(s)

subjacente(s) e g e a funcao contrato. O seu preco no instante t, dado queo preco do ativo subjacente e x, e Π(t;x).

Um derivado financeiro X e replicavel se existir um portfolio (η, θ) tal que:

V(η,θ)T = X, w.p.1

Se todos os derivados financeiros forem replicaveis, o mercado diz-secompleto.

Se um derivado financeiro X for replicavel pelo portfolio (η, θ), entao:

Π(t;X) = V(η,θ)t , t ∈ [0, T ]

Qualquer outro valor levara a oportunidades de arbitragem.


Derivacao do preco

Vamos considerar dois modelos:

Modelo em tempo discreto: modelo Binomial

Modelo em tempo contınuo: modelo de Black-Scholes


Modelo binomial

Ativo sem risco, S0 = S0t , t = 0, 1, . . . , T, com

S00 = 1, S0

1 = 1 + r

Ativo com risco, S1 = S1t , t = 0, 1, . . . , T, com

S10 = s, S1

t+1 = S1tZt+1

onde Zt, t = 1, . . . , T e um conjunto de v.a. independentes eidenticamente distribuıdas, com

P (Zt = z) = p1Z=u + (1− p)1Z=d

onde u, d ∈ R.


Exemplo de arvore

Considere-se uma opcao de compra europeia, com preco de exercıcio de100 EUR, com maturidade de T = 4 meses. O preco atual do ativo

subjacente e de 100 EUR, a taxa de juro e de 0% e o ativo pode subir6,04% ou descer 5,69%. Considera-se um modelo binomial, com intervalo

temporal de um mes.


Arbitragem

O valor deste portfolio nos instante t = 0 e t = 1 e dado por:

V(η,θ)0 = η0 + θ0s, V

(η,θ)1 = η0(1 + r) + θ0sZ1

O modelo binomial nao tem portfolios de arbitragem se e so se:

d ≤ 1 + r ≤ u

Interpretacao: o retorno do investimento num produto com risco nao podedominar (caso contrario nao haveria interesse em investir em aplicacoessem risco) nem ser dominado pelo retorno de uma obrigacao (casocontrario nao haveria interesse em investir em acoes).


Portfolio de replica, T = 1

Se a condicao anterior se verificar entao qualquer derivado financeiro Xpode ser replicado por um portfolio com investimento inicial:

η0 = 11+r

ug(d)−dg(u)u−d obrigacoes

θ0 = 1sg(u)−g(d)u−d acoes

pelo que o preco

Π(0;X) = V η,θ0 =1

1 + r

ug(d)− dg(u)

u− d+

(1

s

g(u)− g(d)

u− d

)s

=1

1 + r

(1 + r − du− d

g(u) +u− (1 + r)

u− dg(d)

)=

1

1 + r(qug(u) + (1− qu)g(d))


Portfolio de replica, T arbitrario

Se a condicao anterior se verificar entao qualquer derivado financeiro Xpode ser replicado no instante t, quando ocorreram k subidas no preco

por:

ηt(k) = 11+r

uVt(k)−dVt(k+1)u−d obrigacoes

θt(k) = 1St−1

Vt(k+1)−Vt(k)u−d acoes

O preco do derivado X no instante inicial, quando ha T perıodos, e dado por:

Π(0;X) =

(1

1 + r

)T T∑k=0

qukqd

T−kg(sukdT−k)


Voltando ao exemplo

Usando as formulas anteriores, o preco deste derivado em cada um dos nos daarvore e o seguinte:

Preco desta opcao: 6.13


Opcoes americanas

Para uma opcao americana de compra cujo ativo subjacente nao pagadividendos nunca e optimo exercer antes da maturidade.

E para uma opcao de venda? Depende...


Medida de Martingala

A condicao d ≤ 1 + r ≤ u, implica que (1 + r) pode ser escrito como combinacaolinear convexa de d e u, i.e.,

1 + r = quu+ (1− qu)d

com qu = 1+r−du−d . Entao

Q = (1 + r − du− d

,u− (1 + r)

u− d)

define uma funcao de probabilidade.


Abordagem probabilıstica

O processo St

(1+r)t , t ≤ T e uma martingala em relacao a distribuicao de

probabilidades Q.

i.e.,1

(1 + r)tEQ [St|St−1] = St−1

Q designa-se por medida de martingala.

Π(0;X) =

(1

1 + r

)TEQ [g(S(T ))]


Comentario final

Para a determinacao do preco e relevante:

Taxa de juro

Horizonte temporal

Valor em caso de subida, u, e em caso de descida, d

Funcao contrato, g

Mas nao intervem a probabilidade (quica subjectiva...) do mercadosubir.


Dinamica do mercado

Para alem das hipoteses sobre arbitragem, liquidez, taxa de juro e ausencia decustos de transacao que forem feitas no modelo binomial:

No modelo de Black-Scholes o mercado segue a seguinte lei:

dB(t) = rB(t)dt (Ativo sem risco)

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dW (t) (Ativo com risco)

Modelo de Black-Scholes 60 / 73

Modelo de Black-Scholes

A solucao das equacoes diferenciais apresentadas anteriormente e:

B(t) = B(0)ert

S(t) = S(0)e(µ−0.5σ2)t+σW (t)

onde W (t) ∼ N(0, t) designa o movimento browniano no instante t. S(t), t ≥ 0designa-se por Movimento Geometrico Browniano.

µ: drift (tendencia)

σ: volatilidade

S(t) tem distribuicao log-normal, com parametros

E[S(t)] = S(0)eµt; V ar[S(t)] = S2(0)e2µt(eσ

2t − 1)

(1)


Movimento Browniano

Propriedades do movimento Browniano

W (t) tem distribuicao normal, de valor esperado 0 e variancia t;

Tem incrementos independentes e estacionarios;

Tem trajetorias contınuas em toda a parte;

Nao e diferenciavel em parte alguma;

Tem variacao linear infinita, mas variacao quadratica finita.


Integral de Ito

Nao e diferenciavel em parte alguma

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t) dW (t)︸︷︷︸???

variacao linear infinita ∫ T

0

h(W (s))dW (s)︸︷︷︸???

Estas caracterısticas do movimento Browniano obrigam a novas regras decalculo:

Calculo Estocastico


Calculo Estocastico

Basicamente, no contexto presente, epara derivar a formula de Black-Scholes, necessitamos de:

Integral de Ito:∫ T0h(W (s))dW (s)

Formula de Ito: dF (t,X(t)) a partirde dX(t)

Formula de Feynmam-Kacs:abordagem probabilıstica pararesolver uma EDP parabolica.


Equacao de Black-Scholes

Seja F (t, s) = Π(t; s) o preco de um derivado com funcao contrato g(S(T )),no instante t, quando o valor do ativo subjacente e S(t) = s. Entao F esolucao da seguinte equacao diferencial parcial com valor terminal:

Ft(t, s) + rsFs(t, s) +1

2σ2s2Fss(t, s)− rF (t, s) = 0

F (T, s) = g(s)

Ft(t, s) = ∂F (t,s)dt

Fs(t, s) = ∂F (t,s)ds

Fss(t, s) = ∂2F (t,s)ds2


Comentarios sobre a formula

Ft(t, s) +1

2σ2s2Fss(t, s) = rF (t, s)− rsFs(t, s)

Nao depende de µ, pelo que o preco de um derivado financeiro naodepende da tendencia do mercado

O lado esquerdo da formula representa a alteracao no preco da opcao devidoa dois fatores: ao tempo e a convexidade (segunda derivada) do valor dopreco em relacao ao valor do ativo subjacente;

O lado direito representa o retorno de uma posicao longa na opcao e umaposicao curta de Fs(t, s) acoes.

E necessario impor algumas condicoes fronteira para garantir unicidadede solucao.

Mas se tal for satisfeito, existe uma e uma unica solucao desta EDP comcondicao terminal, e pode-se provar com argumentos de arbitragem.


Exemplos

Opcao de compra

Opcao de compra: X = max(S(T )−K, 0)

Condicao fronteira: F (t, 0) = 0

Condicao limite; lims→∞ F (t, s) = s−Ke−r(T−t) (porque a opcaovai ser seguramente exercida)


Preco de uma opcao de compra

O preco de uma opcao de compra europeia com preco de exercıcio K ematuridade T , no instante t quando o preco do ativo subjacente e s e dadopor:

F (t, s) = sΦ (d1(t, s))− e−r(T−t)KΦ (d2(t, s))

onde Φ designa a funcao de distribuicao de uma normal reduzida, e:

d1(t, s) =1

σ√T − t

ln( sK

)+

(r +

1

2σ2

)(T − t)

d2(t, s) = d1(t, s)− σ

√T − t


Exemplos

Opcao de venda

Opcao de venda: X = max(K − S(T ), 0)

Condicao fronteira: F (t, 0) = Ke−r(T−t) (porque a opcao vai serseguramente exercida)

Condicao limite; lims→∞ F (t, s) = 0 (porque a opcao nao vai serexercida)


Preco de uma opcao de compra

O preco de uma opcao de venda europeia com preco de exercıcio K ematuridade T , no instante t quando o preco do ativo subjacente e s e dadopor:

F (t, s) = Ke−r(T−t)Φ (−d2(t, s))− sΦ (−d1(t, s))


Resultado geral

O preco de um derivado cujo valor na maturidade e g(S(T )) no instante t,quando o valor do ativo subjacente e S(t) = s, F (t, s) e igual a:

F (t, s) = e−r(T−t)EQ[g(S(T ))|S(t) = s]

onde, sob a distribuicao de probabilidades Q, S e solucao da seguinteequacao diferencial estocastica:

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dW (t)


Interpretacao

F (t, s) = e−r(T−t)EQ[g(S(T ))|S(t) = s]

Interpretacao economica: o preco de uma opcao no momento atual t eigual ao valor esperado do retorno na maturidade, descontado ao momentopresente.

Este valor esperado e tomado nao em relacao a medida de probabilidade P(sob a qual o preco do ativo subjacente e um movimento geometricoBrowniano com parametro de difusao µ) mas sim em relacao a medida deprobabilidade Q, sob a qual o preco do ativo subjacente e um movimentogeometrico Browniano com parametro de difusao r.

E sob esta medida de probabilidade o preco descontado do ativo subjacente euma martingala, como ja vimos anteriormente.


Exemplo

O preco de uma acao segue um movimento geometrico Browniano, comvolatilidade 0.2. O preco atual desta acao e 40 EUR. Uma empresa deinvestimentos esta a vender uma opcao, pelo preco 10 EUR, a qual da umretorno de 100 EUR ao fim de um ano se o preco da acao ao fim de um anofor superior a (1 + x)40. Assumindo que a taxa anual de juro e 0,02, quale o valor de x para o qual nao ha hipotese de arbitragem?

Para responder a esta questao, usamos o modelo de Black-Scholes, para o qual opreco deste derivado e igual a:

Π(0; 40) = e−0,02100×Q(

40e0,2W (1) > (1 + x)40)

= 10

Logo nao existe hipotese de arbitragem se o valor de x for igual a:

98, 0199

(1− Φ(

1 + x

0, 2)

)= 0, 10


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