ANILLOS SIMPLES Y

SEMISIMPLES

Concurso de monografias de la U.M.A 2000

Autor: Juan Martın Mombelli

DNI: 25.858.252

Domicilio: Julio Llanos 3490, Barrio Poeta Lugones, Cordoba.

e-mail: mombelli@mate.uncor.edu

Numero de libreta: 96131861

Universidad: Nacional de Cordoba.

Facultad: de Matematica, Astronomıa y Fısica

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Introduccion

En esta monografıa se intenta mostrar las diversas nociones de semisimplicidad de anillos

y sus formas mas generales en el transcurrir del tiempo. El orden en el que se presentan, sin

embargo, no es el orden en el cual se presentaron historicamente aunque es, a mi parecer, la

mejor manera de entender el contenido.

Se han incluido varias demostraciones ya que para entender los resultados en este tema tambien

hace falta entender las tecnicas utilizadas.

En la primera parte de la monografıa se presenta una definicion de semisimplicidad distinta a la

original. Esta definicion no hace uso de radicales y es en cierto sentido natural, manteniendo el

espıritu del trabajo de Emmy Noether y H. Weyl en teorıa de representacion.

Luego se introduce una nocion de radical (el radical de Jacobson).

Inicialmente el estudio de la nocion de radical fue considerado primero en el contexto de anillos

no asociativos (algebras de Lie de dimension finita), ver [8] pag. 51. En el trabajo de E. Cartan,

el radical de un algebra de Lie, siempre de dimension finita sobre C, es definido como el maximo

ideal soluble y es obtenido como la suma de todos los ideales solubles. El algebra de Lie se

dice semisimple si su radical es cero, sii no posee ideales solubles no nulos. Cartan mostro que

toda algebra de Lie semisimple es una suma directa finita de algebras de Lie simples. Ademas

caracterizo las algebras de Lie simples de dimension finita y ası se obtiene una teorıa estructural

de algebras de Lie semisimples de dimension finita.

La teorıa de Wedderburn es analoga a la teorıa de Cartan en el contexto de algebras asociati-

vas de dimension finita sobre un cuerpo. Wedderburn definio para una tal algebra A, rad(A),

que es el mas grande ideal nilpotente de A , es decir, la suma de los ideales nilpotentes de A.

En paralelo con la teorıa de Cartan, el algebra asociativa A de dim<∞ se dice semisimple si

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rad(A)= 0. El principal resultado de Wedderburn muestra que si A es semisimple, A es el pro-

ducto directo de un numero finito de algebras simples, las cuales son algebras de matrices sobre

un algebra de division necesariamente de dimension finita sobre el cuerpo de base. Artin ex-

tendio la teorıa de Wedderburn a anillos que satisfacen la condicion de cadena descendente para

ideales a izquierda (apropiadamente llamados anillos artinianos). En realidad, Artin trabajo con

anillos que cumplen ambas condiciones de cadena, la ascendente y la descendente, sin saber que

la primera implica la segunda, lo cual fue probado luego por Leviztki y Hopkins.

Artin mostro que todo anillo con estas propiedades posee un ideal nilpotente maximal, ası tene-

mos una generalizacion del radical de Wedderburn. Si este radical resulta nulo el anillo artiniano

a izquierda se dice semisimple. En su artıculo de 1927, Artin obtuvo un teorema de estructura

para anillos semisimples (y artinianos) generalizando el trabajo anterior de Wedderburn.

Para anillos no artinianos la suma de los ideales nilpotentes no es necesariamente nilpotente,

luego ya no es claro como extender la nocion del radical de Wedderburn.

El problema de encontrar una generalizacion apropiada no fue resuelto sino hasta 1945, en un

artıculo fundamental de Nathan Jacobson. Jacobson introdujo la nocion de radical definiendolo

como la interseccion de los ideales maximales del anillo. Para anillos artinianos el radical de

Jacobson coincide con el radical de Wedderburn, ası en general el primero provee un buen subs-

tituto del segundo.

Teniendo el radical de Jacobson definido para anillos arbitrarios, llegamos a una nocion mas ge-

neral de semisimplicidad: un anillo se dice Jacobson (o J-) semisimple si su radical de Jacobson

es nulo.

Para anillos J-semisimples la teorıa no resulta tan simple como para los anillos semisimples,

aunque existen resultados importantes para anillos de grupo.

Existen otro radicales definidos para anillos arbitrarios, tales como los nilradicales superior e

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inferior y el radical de Levitzki, que proveen generalizaciones alternativas del radical de Wedder-

burn, aunque no son tan fundamentales como el radical de Jacobson.

Se obtiene que los anillos J-semisimples son suma subdirecta de anillos primitivos. Y el teorema

de la densidad de Jacobson-Chevalley describe los anillos primitivos en terminos de anillos de

transformaciones lineales de modulos sobre anillos de division. Este teorema de estructura para

anillos primitivos puede verse como una generalizacion del teorema de Wedderburn-Artin para

anillos bilateralmente simples.

Finalmente se presenta el teorema de Morita.

El teorema de Wedderburn-Artin establece una profunda conexion entre un anillo simple y ar-

tiniano R y el anillo de division D =EndR(M) para M un R-modulo simple. Estos dos anillos

no son isomorfos, sino que cumplen una condicion mas debil que la existencia de un isomorfismo,

y es que las categorıas de R-modulos y de D-modulos son equivalentes. Morita muestra que esto

es un caso especial de un criterio general para que la categorıa de modulos sobre un anillo sea

equivalente a la categorıa de modulos sobre otro anillo. El teorema de Morita puede verse como

una forma mas general del teorema de Wedderburn-Artin.

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1 Anillos semisimples

El tema principal de este capıtulo es sobre una clase importante de anillos, los anillos semisimples.

Se presenta un teorema de estructura debido a Wedderburn y Artin. En lo que sigue supondremos

que todo anillo posee unidad y denotaremos por RM (respectivamente MR) a los R-modulos a

izquierda (resp. a derecha) y a RR (resp. a RR ) como R-modulo con la representacion regular

a izquierda (resp. a derecha).

Definiciones: Sea R un anillo, RM un R-modulo.

a) R se dice bilateralmente simple si R no posee ideales bilateros propios no triviales.

b) M se dice simple si M 6= 0 y M no posee submodulos propios no triviales.

c) M se dice semisimple si ∀N submodulo de M , ∃ T submodulo de M : M = N⊕

T .

A continuacion se veran dos lemas tecnicos, el primero servira para dar una caracterizacion de

modulos semisimples y el segundo servira para mas adelante. Para la prueba del primero nos

referimos a [8] pag. 27 y la prueba del segundo es simple.

Lema 1.1: Todo R-modulo semisimple a izquierda no nulo contiene un submodulo simple.

Lema 1.2: Sean I, J ideales simples de un anillo R ⇒ IJ = 0 o I ∼= J .

Gracias al lema 1.1 tenemos el siguiente:

Teorema 1.1: RM no nulo, entonces son equivalentes:

i) RM es semisimple.

ii) RM es la suma directa de submodulos simples.

iii) RM es suma de submodulos simples.

Prueba: ver [16] pag. 271 Prop. 2.4.

Teorema 1.2: Dado un anillo R, son equivalentes:

i) RR es semisimple.

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ii) Todo R-modulo a izquierda es semisimple.

iii) Todo R-modulo a izquierda libre es semisimple.

iv) Todo R-modulo a izquierda es proyectivo.

v) Toda sucescion exacta de R-modulos a izquierda se escinde.

vi) Todo R-modulo a izquierda es inyectivo.

vii) Todo ideal a izquierda de R es inyectivo.

Prueba: ver [8] pag. 28 Teorema 2.5.

Observacion 1: Sea R un anillo con unidad. Si R =⊕

i∈I Bi para una familia de ideales a

izquierda Bi, ⇒ ∃ (eij )nj=1 : eij ∈ Bij , 1 =

∑nj=1 eij y es inmediato probar que R =

⊕nj=1 Bij .

Ademas se cumple que eijeik = δjkeij y cada Bij es un anillo con unidad eij que satisface

Bij = Reij .

Veamos que la nocion de semisimplicidad es simetrica.

Proposicion 1.1: RR es semisimple ⇐⇒ RR es semisimple.

Prueba: ⇒) Si RR es semisimple ⇒ R =⊕n

i=1 Rei, Rei ideales simples y∑n

i=1 ei = 1 eiej = δijei

por la Obs. 1.

Luego R =⊕n

i=1 eiR. Ahora solo basta ver que eiR es simple para todo i y para ello veamos

que si a 6= 0 es tal que aR ⊆ eiR ⇒ aR = eiR.

Sea φ : Rei → Ra definida por φ(rei) = ra. φ es un isomorfismo pues Rei es simple.

Ademas existe un ideal a izquierda U tal que R = Ra⊕

U . Y sea ψ : Ra⊕

U → R definida por

ψ(ra + u) = φ−1(ra) = rei.

Entonces ψ en un endomorfismo de R ⇒ viene dado por multiplicacion a derecha de un b ∈ R

⇒ ei = ψ(a) = ab ∈ aR ⇒ eiR ⊆ aR

⇐) Es analogo a lo anterior. ¦

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Esto permitira hablar de anillos semisimples a secas sin aclarar si son a derecha o a izquierda.

Teorema 1.3: Sea D un anillo de division, R = Mn(D). Entonces:

a) R es bilateralmente simple, semisimple, artiniano y noetheriano a izquierda.

b) Existe un RV R-modulo simple y fiel, unico (salvo isomorfismo) tal que RR ∼= V ⊕n

c) End(RV )∼=D.

Prueba: ver [8] pag. 33 Teorema 3.3

La siguiente proposicion, cuya demostracion se deja como ejercicio para el lector, muestra como

construir anillos semisimples si contamos con ciertos ejemplos.

Proposicion 1.2 : Dado un conjunto I finito,⊕

i∈I Ri es un anillo semisimple ⇐⇒ Ri son

anillos semisimples ∀i ∈ I.

Si R es semisimple entonces R es suma de un numero finito de ideales simples. Esto se deduce de

la existencia del 1 en R como se vio en la Observacion 1, en particular R es artiniano y noethe-

riano (ademas si R es semisimple y artiniano R posee unidad. Ver [3] pag. 30, Cor.2, o para una

prueba mas directa ver [18]). Ademas, como suma de semisimples es semisimple y vimos que

Mn(D) es semisimple, ası si D1,...,Dr son anillos de division, entonces Mn1(D1)× ...×Mnr(Dr)

es semisimple; ası logramos una familia de anillos semisimples. Resulta en realidad que estos son

todos los ejemplos que se pueden dar.

Lema de Schur: R anillo, RV un R-modulo simple, entonces End(RV ) es un anillo de division.

A pesar de que la prueba de este lema es simple, es clave en la prueba del teorema de estructura

de Wedderburn-Artin pues da una idea de como se pueden recuperar los anillos de division sobre

los cuales estan definidas las algebras de matrices.

Observacion 2: Si R ∼= I⊕n, I ideal simple de R ⇒ R∼=EndR(R)=EndR(I⊕n)∼=Mn(EndR(I))

y por el lema de Schur y por el teorema 1.3 a) R es bilateralmente simple. Es inmediato ver que

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R es artiniano. En realidad esto es un si y solo si.

Ahora si R es semisimple ⇒ R =⊕m

i=1 Si donde los Si son ideales simples. Llamando Rj a la

suma directa de los Si isomorfos a Sj obtenemos que R =⊕s

i=1 Ri donde (por la observacion

anterior) los Rj resultan bilateralmente simples y artinianos. Y ası la estructura de los anillos

semisimples esta determinada por la estructura de los anillos bilateralmente simples y artinia-

nos.

Teorema (Wedderburn-Artin): RR semisimple, entonces R ∼= ∏si=1 Mni(Di) para ciertos

anillos de division D1, ..., Ds. El numero s esta unıvocamente determinado, ası como los pares

(ni, Di) (salvo permutaciones) y hay exactamente s R-modulos simples a izquierda no isomorfos.

Corolario: R bilateralmente simple y artiniano ⇐⇒ R ∼= Mn(D), D anillo de division.

Lo que no es cierto es que, si dado RM con End(RM) bilateralmente simple entonces RM es

simple. Lo que se puede afirmar es que: End(RM) es bilateralmente simple sii M es suma directa

finita de copias del cuerpo de cocientes de R/Ann(M). Ver [10].

2 Anillos J-semisimples

Como se menciono antes, el radical de Jacobson de un anillo; denotado por J (R), es la inter-

seccion de todos los ideales maximales a izquierda. Si R 6=0 existe un ideal maximal por el Lema

de Zorn (de hecho todo modulo RM no nulo con generacion finita posee un submodulo maximal).

En la definicion de J (R) se utilizan los ideales maximales a izquierda, por lo cual J (R) deberıa

llamarse radical de Jacobson a izquierda y definir analogamente el radical de Jacobson a derecha.

Afortunadamente ambas nociones coinciden, como lo mostrara el siguiente lema.

Lema 2.1: Para y ∈ R las siguientes afirmaciones son equivalentes:

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a) y ∈ J (R).

b) 1− xyz es inversible a izquierda ∀x, z ∈ R.

c) yM=0 para todo R-modulo M simple.

Prueba: a)⇒b) Si 1 − zxy no fuese inversible a izquierda ⇒ R(1 − zxy) ⊆ M para algun

ideal M maximal a izquierda. Luego como zxy ∈M⇒ 1 ∈M lo cual es absurdo.

Entonces ∃v ∈ R: v(1− zxy)=1

⇒ (1+xyvz)(1−xyz)=1−xyz+xyvz−xyvzxyz=1+xy(v−vzxy−1)z=1+xy(v(1−zxy)−1)z=1.

b)⇒c) Asumamos ym 6=0 para algun m ∈ M ⇒Rym=M ; en particular ∃x ∈ R : xym=m ⇒

(1− xy)m=0 ⇒ m=0 lo cual contradice lo supuesto.

c)⇒a) Si M es ideal maximal a izquierda ⇒ R/M es un R-modulo simple ⇒ y(R/M)=0 lo cual

implica que y ∈M, y como M es arbitrario y ∈ J (R). ¦

Notar que b) no solo implica que las nociones del radical de Jacobson a izquierda y a derecha

coinciden, sino que tambien implica que J (R) es un ideal bilatero.

De c) se obtiene:

Corolario 2.1: J (R) =⋂

MAnn(M) donde M varia sobre todos los R-modulos a izquierda

simples.

Proposicion 2.1: J (R/J (R))=0.

Prueba: Es inmediata.

Observacion 3: Para todo R-modulo RM , Ann(M) es un ideal bilatero, de lo cual, utilizando el

Corolario 2.1 se obtiene otra prueba de que J (R) es bilatero.

Definicion: Un anillo R se dice Jacobson semisimple (o J-semisimple) si J (R) = 0.

Los anillos J-semisimples son tambien llamados semiprimitivos en la literatura. Este ultimo

termino puede parecer un tanto misterioso ya que todavıa no hemos introducido la nocion de

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anillos primitivos; lo cual se hara mas adelante.

En muchos libros o artıculos, J-semisimplicidad es tomada como definicion de semisimplicidad.

La relacion entre estos dos conceptos se mostrara un poco mas adelante.

Ejemplos de anillos J-semisimples :

1- R/J (R), por la Proposicion 2.1.

2- R bilateralmente simple, por la Observacion 3.

3- Toda C∗-algebra es J-semisimple.

4- Si K es un anillo J-semisimple y K[x] es ıntegro, resulta que K[x] es J-semisimple, ver [2].

5- Si R es J-semisimple⇒Mn(R) es J-semisimple (esto se debe a que J (Mn(R)) ∼= Mn(J (R))).

Si R es semisimple, R =⊕n

i=1 Si donde Si son R-submodulos simples. Llamamos πi a la

proyeccion canonica de R sobre Si. Entonces dado x ∈ R no nulo ∃j : πj(x) 6= 0. Uno podrıa

decir que los homomorfismos de R en todos los posibles modulos simples “distinguen” los ele-

mentos de R.

Recıprocamente, si R es un anillo artiniano tal que los morfismos de R en todos los posibles

modulos simples distinguen elementos de R , entonces R es semisimple. Veamos porque: Supon-

gamos que no lo es.

Sea J un ideal simple de R y f : R → S un morfismo tal que ∃x ∈ J tal que f(x) 6=0 y S es simple

⇒ J⋂

Kerf = {0}. Como Imf = S ⇒ R/Kerf∼= S ⇒ kerf es maximal ⇒ J⊕

Kerf = R.

Es decir que todo ideal simple posee un complemento.

Sea J1 ideal simple de R y U1 ⊆ R ideal tal que J1⊕U1 = R. Como R no es semisimple ⇒

U1 no es simple. Sea J2 ⊂ U1 un ideal simple. Entonces ∃ U2 : J2⊕U2 = U1 y U2 ⊂ U1 pero

no son iguales. Siguiendo con este procedimiento obtenemos U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ ... una cadena de

inclusiones estrictas; y esto contradice el hecho de que R es artiniano.

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Ademas por el Corolario 2.1 resulta que {x ∈ R: f(x)=0 ∀f : R → S S simple} = J (R).

Ası hemos probado el siguiente:

Teorema 2.1: R es semisimple ⇐⇒ R es J-semisimple y artiniano a izquierda.

Anillos de Grupo

Los anillos de grupo no solamente son una fuente de anillos conmutativos y no conmutativos

sino que tambien proveen una conexion entre la teorıa de anillos y la teorıa de representacion de

grupos.

Clasicamente, los anillos de grupo de grupos finitos sobre los numeros complejos proveyeron uno

de los mas tempranos ejemplos de anillos semisimples. Para grupos infinitos el anillo de grupo

asociado ya deja de ser semisimple y esta provee una guıa para el estudio general de anillos no

semisimples.

Por otro lado, las ideas en teorıa de anillos tuvieron un gran impacto en el desarrollo de la teorıa

de representaciones de grupos. En la decada de 1920 Emmy Noether inicio el estudio de la teorıa

de representaciones de grupos a partir de modulos sobre el anillo de grupo asociado. Desde

este punto de vista la teorıa estructural de algebras de dimension finita de Wedderburn tiene

una interpretacion natural en el marco de la teorıa de representaciones de grupos finitos. Ası,

muchas ideas de la primera sirvieron a la segunda teorıa.

Clasicamente, la teorıa de representaciones de grupos finitos sobre cuerpos de caracterıstica cero

es de esencial importancia. El resultado mas basico de teorıa de anillos en este contexto es que

el anillo asociado es semisimple. Este famoso teorema es debido a H. Maschke en 1888, el cual

enunciaremos de una manera mas moderna.

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Teorema de Maschke: Sea K un anillo, G un grupo finito. Entonces:

KG es semisimple ⇐⇒ | G |.1 es una unidad en K.

En este teorema se consideran solo grupos finitos. La siguiente proposicion explica la razon.

Proposicion 2.3: K anillo, G grupo infinito ⇒ KG no es semisimple.

Prueba: KG semisimple ⇒ KG es artiniano por el Teorema 2.1⇒ KG es noetheriano y por lo

tanto finitamente generado lo cual contradice nuestras hipotesis. ¦

Nota: El teorema anterior es un caso particular del Teorema de Maschke para cualquier Algebra

de Hopf de dimension finita, ver [12] pag. 28, Teorema 3.2

Despues de que Jacobson introdujera el radical que lleva su nombre en 1945, uno obtiene una

nueva nocion de semisimplicidad para anillos que posiblemente no posean ninguna condicion de

cadena.

En vista del clasico resultado de Maschke es natural preguntarse cuando los anillos de grupo

sobre un cuerpo de caracterıstica cero son J-semisimples para arbitrarios grupos. Los primeros

pasos en esta direccion fueron debidos a C. Rickart que utilizando metodos de algebras de Ba-

nach probo que CG y RG son J-semisimples. La observacion de Rickart era que CG se puede

realizar como un anillo de operadores de un espacio de Hilbert. Mas adelante, Amitsur y Her-

stein probaron, independientemente, que KG es J-semisimple si K es un cuerpo no numerable y

charK = 0.

Mejorando este resultado Amitsur mostro que KG es J-semisimple si K es cualquier cuerpo de

caracterıstica cero, salvo para K algebraico sobre Q. En otra direccion Villamayor probo que

si K es un algebra conmutativa sobre Q J-semisimple y si G es un grupo que es abeliano o que

G/Z(G) es localmente finito, donde Z(G) es el centro de G, entonces KG es J-semisimple. Un

analogo al teorema de Amitsur en caracterıstica p fue probado por Passman en 1962 y dice que

si K es una extension no algebraica de Fp y G es un grupo que no posee elementos de orden p,

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entonces K(G) es J-semisimple.

3 Anillos Primitivos

En la teorıa de anillos conmutativos hay tres clases de anillos basicos: anillos reducidos, dominios

ıntegros y cuerpos. Las condiciones que definen estas tres clases realmente no hacen uso de

la conmutatividad. Ası usando las mismas condiciones que definen a estas tres clases pero

olvidandonos de la commutatividad llegamos a las nociones de: anillos reducidos, dominios y

anillos de division. Sin embargo las tres clases anteriores de anillos pueden generalizarse usando

(apropiadamente) las mismas condiciones que los definen pero no sobre elementos sino sobre sus

ideales. Ası llegamos a las nociones de: anillos semiprimos, anillos primos y anillos primitivos.

En esta seccion estudiaremos la estructura de los anillos primitivos debida a N. Jacobson.

Aquı emergera de nuevo la importancia de los anillos J-semisimples. Estos son caracterizados

como suma subdirecta de anillos primitivos.

Antes de dar la definicion de anillos primitivos presentamos la siguiente caracterizacion de un

anillo J-semisimple (o semiprimitivo), la cual motivara la definicion de anillos primitivos.

Proposicion 3.1 R es semiprimitivo ⇐⇒ R posee un modulo a izquierda fiel y semisimple.

Prueba: ⇐) Sea RM fiel y semisimple ⇒ J (R)M = 0 (por el Lema 2.1 c) ) como RM es fiel

debe ser que J (R) = 0 ⇒ R es semiprimitivo.

⇒) Sea {Si} el conjunto de todos los R-modulos simples mutuamente no isomorfos. Sea M =

⊕i Si, entonces M es semisimple y Ann(M) =

⋂iAnn(Si) = J (R) = 0 (gracias al corolario

2.1). Luego M es fiel. ¦

Definicion: Un anillo R se dice primitivo a izquierda (resp. a derecha) si R posee un modulo

simple y fiel a izquierda (resp. a derecha).

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Mientras que la nocion de semiprimitividad es simetrica, la nocion de primitividad no. Un

ejemplo de un anillo primitivo a izquierda que no lo es a derecha fue construido por G. Bergman

en 1965. Ver [6] pag. 129, Ex. 2.1.36.

Observacion (4): Dado un anillo R, si existen anillos Ri, i ∈ I, y un monomorfismo f : R → ∏i Ri

tal que πjf sea suryectiva, donde πj :∏

Ri → Rj es la proyeccion canonica, entonces R se dice

una suma subdirecta de los {Ri}i∈I . Se tiene que:

R es semiprimitivo ⇐⇒ R es suma subdirecta de anillos primitivos. Ver [3] pag.54 T. 2.2.1.

Ejemplos:

1- Si R es un anillo y RM es simple ⇒ R/Ann(M) es primitivo a izquierda.

2- R bilateralmente simple ⇒ R es primitivo por la Observacion 3.

Veamos que cuando el anillo es artiniano esta definicion no agrega nada nuevo.

Proposicion 3.2: Si R es artiniano a izquierda, entonces:

(i) R es semisimple ⇐⇒ R es semiprimitivo.

(ii) R es bilateralmente simple ⇐⇒ R es primitivo a izquierda.

Prueba: (i) Ya esta hecho en el Teorema 2.1

(ii) ⇒) Es obvio pues R debe actuar fielmente sobre todo modulo no nulo, nuevamente por la

Observacion 3.

⇐) R primitivo entonces R es semiprimitivo (lo cual es inmediato por la Proposicion 1.4) ⇒ R

es semisimple, por (i). Sea RM un modulo fiel y simple. Si R tuviese, en su descomposicion

en suma directa, ideales simples I, J no isomorfos ⇒ IM = JM = M pues M es simple y fiel.

Ahora, como JI = 0 (por el lema 1.2) ⇒ 0=J(IM)=JM =M lo cual es absurdo. Luego por la

Observacion 2 R es bilateralmente simple. ¦

En la categorıa de anillos conmutativos la nocion de anillos primitivos no agrega nada.

Proposicion 3.3: R conmutativo y primitivo a izquierda ⇐⇒ R es un cuerpo.

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Prueba: Ver [6] pag. 123 Corolario 2.1.10.

Como corolario y utilizando la Observacion 4 se tiene que si R es conmutativo, entonces R es

semiprimitivo ⇐⇒ R es suma subdirecta de cuerpos.

Observacion 5: Sean K un anillo de division, KV un K-modulo y E = EndK(V ) operando de

manera natural sobre V. Claramente EV es un E-modulo fiel y simple (esto ultimo se debe a que

KV es libre) ⇒ E es un anillo primitivo a izquierda. Si dimK(V ) = n ⇒ E ∼= Mn(K) y por lo

tanto es artiniano y bilateralmente simple. Pero si dimK(V )=∞, E da un ejemplo de un anillo

primitivo a izquierda, no bilateralmente simple, no conmutativo y no artiniano.

Esta clase de anillos primitivos es muy importante porque si R es primitivo, R esta “muy cerca”

de ser End(KV ).

Definicion: R subanillo de End(DM), donde DM es un D-modulo y D un anillo de division.

A M lo vemos como un R-modulo a izquierda de la manera natural. Decimos que R es denso en

End(DM) si ∀f ∈ End(DM) y ∀{x1, ...xn} ⊆ M ∃r ∈ R : rxi = f(xi), 1 ≤ i ≤ n.

Notar que todo subanillo denso R de End(DM) es primitivo, pues claramente RM es un R-

modulo fiel y RM es simple por el caso n = 1 de la definicion.

Mas aun, estos son todos los posibles ejemplos de anillos primitivos que se pueden dar.

El termino “denso” de la definicion proviene de la siguiente consideracion topologica: Demosle a

M la topologıa discreta y a HomD(M, M) la topologıa compacto-abierta, entonces si R cumple

con lo dicho en la definicion anterior, entonces la clausura de R es End(DM) (i.e., R es denso).

Observar que si RM es un R-modulo fiel y D = End(RM), entonces podemos ver a R como un

subanillo de End(DM) vıa: r → ξr donde ξr(m) = rm. Utilizaremos esta identificacion de

ahora en mas.

Lema 3.1: RM semisimple, D = End(RM), E = End(DM). Entonces, si W es un R-

submodulo de M ⇒ es un E-submodulo (y, por supuesto, recıprocamente).

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Prueba: Sea V un R-submodulo tal que M = W⊕

V y sea e ∈ D la proyeccion de M sobre W

respecto de esta descomposicion. ⇒ ∀f ∈ E,w ∈ W f.w = f.(e.w) = e.(f.w) ∈ W ¦

Teorema de la densidad (Chevalley-Jacobson): R anillo, RM un R-modulo semisimple y

fiel, D = End(RM). Entonces R es denso en End(DM).

Prueba: Sea f ∈ End(DM) y {x1, ..., xn} ⊆ M .

Definimos f = (f, f, ..., f) : M⊕n → M⊕n y notar que para T = EndR(RM⊕n) f ∈ EndT (T M⊕n)

Sea W = R(x1, ..., xn) , como M⊕n es semisimple, W es estabilizado por EndT (T M⊕n) (por el

lema anterior), en particular por f , luego ∃r ∈ R : r(x1, ..., xn) = (f(x1), ..., f(xn)) ¦

Corolario 3.1: RM un modulo semisimple, D = End(RM), E = End(DM).

Si DM es de generacion finita y ρ : R → E definida por: ρ(r) = ξr donde ξr(m) = rm, entonces

ρ es un morfismo suryectivo de anillos.

La prueba de este corolario es simple ası que la omitimos.

Teorema de estructura para anillos primitivos: R primitivo a izquierda y RM un modulo

simple y fiel. D = End(RM). Entonces:

(1) R es denso en End(DM).

(2) Si dimD(M)=n ⇒ R es artiniano a izquierda y R ∼= Mn(D), D anillo de division.

(3) Si dimD(M) = ∞ ⇒ R no es artiniano a izquierda y ∀n > 0 ∃Rn ⊂ R subanillo y un

epimorfismo ρn : Rn → Mn(R).

Notar que de (2) se recupera el teorema de Wedderburn-Artin para anillos bilateralmente

simples y artinianos, ya que estos son primitivos a izquierda por la prop. 3.2 ii).

Prueba: (1) ya esta hecho.

(2) Sea E =End(DM) ⇒ E∼=Mn(D) donde D es un anillo de division por Schur. Sea ρ :R → E

el mapa definido en el Corolario 4.1. ρ es suryectiva y como RM es fiel ρ es inyectiva ⇒ R∼=E

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⇒ R∼=Mn(D). Por el teorema 1.3 R resulta artiniano a izquierda.

(3) Sea {vi}∞i=1 ⊆DM un conjunto de vectores D-linealmente independientes.

Sea Vn =⊕n

i=1 Dvi y Rn ={r ∈ R : rVn ⊆ Vn} un subanillo de R ⇒Vn es un Rn-modulo a derecha

y la representacion regular ρ:Rn →End(DM)∼= Mn(D) es una suryeccion por el Corolario 3.1.

Ahora sean Ii = Ann({vj : j ≤ i}). Es claro que ∀i Ii ⊇ Ii+1 y ademas Ii 6= Ii+1 ∀i (lo cual se

probara mas adelante) Luego se tiene que I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ ... una cadena estrictamente decreciente

de ideales a izquierda, de modo que R no es artiniano.

Supongamos que Ik = Ik+1 y supongamos por un momento que R(v1, ..., vk) = M⊕k.

Entonces tenemos que f : M⊕k → M f(r(v1, ..., vk)) = rvk+1 esta bien definida.

Entonces f ∈ HomR(M⊕k,M) ∼= EndR(M)⊕k = D⊕k ⇒ f =∑k

i=1 di con di ∈ D

⇒ vk+1 = f(v1, ..., vk) =∑k

i=1 divi pero esto contradice al hecho de que {vi}ki=1 sean D-

independientes.

Ahora veamos que R(v1, ..., vk) = M⊕k. La inclusion ⊆ es obvia.

Sea (m1, ...mk) ∈ M⊕k ⇒ ∃p ∈ HomD(M⊕k,M⊕k) : p(vi) = mi y como R es denso en

EndD(M⊕k) pues M⊕k es semisimple ⇒ ∃r ∈ R : p(vi) = rvi = mi. ¦

4 Teorema de Morita

Parte de la idea que involucra el teorema de Morita es analizar el isomorfismo de espacios vec-

toriales Endk(V )∼=V ∗ ⊗k V desde un punto de vista mas general.

Dados anillos A y B denotaremos por AMod a la categorıa de A-modulos a izquierda (analogamente

a ModA) y denotaremos por AModB a la categorıa de (A,B)-bimodulos.

Definicion: Dos anillos A y B se dicen Morita equivalentes si las categorıas ModA y ModB son

equivalentes.

17

Observacion 6: Dado R anillo, M ∈ RMod, E = EndR(M) y S = Eop el anillo opuesto de

E (S = E como grupos abelianos pero el producto en S esta dado por: a.opb = ba). Es

claro que S ∈ SModS y M ∈ RModS . Esto implica que M∗ = Hom(M, R) ∈ SModR, luego

M∗ ⊗R M ∈ SModS y M ⊗S M∗ ∈ RModR.

Proposicion 4.1: Sea θ : M∗ ⊗R M → S definido por:

θ(φ ⊗m)(x) = φ(x)m, entonces θ es un morfismo de (S,S)-bimodulos y es un isomorfismo sii

M es proyectivo finitamente generado.

Prueba: Ver [20] pag. 59 Lemma 3.51.

Proposicion 4.2: τ : M ⊗S M∗ → R definido por τ(m⊗ φ) = φ(m) es un morfismo de (R,R)-

bimodulos y si τ es epimorfismo ⇒ es monomorfismo.

Prueba: τ(r(m⊗φ)r′) = τ(rm⊗φr′) = (φr′)(rm) = r(φr)(m) = rφ(m)r′ luego τ es un morfismo

de (R,R)-bimodulos.

Como τ es suryectiva ∃(mi) ⊆ M (φi)⊆ M∗ tales que τ(∑

i mi ⊗ φi)=1.

Sea∑

j nj ⊗ ψj ∈ Ker(τ) ⇒ ∑j ψj(nj) = 0.

Entonces∑

j nj ⊗ ψj =∑

j nj ⊗ ψj∑

i φi(mi) =∑

i,j nj ⊗ ψjφi(mi) =∑

i,j nj ⊗ θ(ψj ⊗mi)φi =

∑i,j njθ(ψj ⊗mi)⊗ φi =

∑i,j θ(ψj ⊗mi)(nj)⊗ φi =

∑i(

∑j ψj(nj)mi)⊗ φi = 0 ¦

Definicion: M se dice un R-progenerador si τ y θ son isomorfismos.

Teorema de Morita: R y S como antes. Si M es un R-progenerador Entonces:

i) R y S son Morita equivalentes.

ii) R∼=EndS(MS)

Prueba: i) Sean F : ModR →ModS y G : ModS →ModR los funtores definidos por:

F (N) = N ⊗R M y G(T ) = T ⊗S M∗

Entonces G(F (N)) = F (N)⊗S M∗ = (N ⊗R M)⊗S M∗ ∼= N ⊗R (M ⊗S M∗) ∼= N ⊗R R ∼= N

18

y F (G(T )) = G(T )⊗R M = (T ⊗S M∗)⊗R M ∼= T ⊗S (M∗ ⊗R M) ∼= T ⊗S S ∼= T

Donde todos los isomorfismos anteriores son naturales.

ii) Sea ψ : R → EndS(M) definida por: ψ(r)(m) = rm ∀m ∈ M . Como M es un (R,S)-

bimodulo ψ(r) ∈ EndS(M) y claramente es un morfismo de anillos.

Sea r ∈ Ker(ψ) ⇒ rm = 0 ∀m ∈ M . Como τ es suryectiva ∃(mi) ⊆ M (φi)⊆ M∗ tales que

τ(∑

i mi ⊗ φi)=1 ⇒ r = r.1 = r.τ(∑

i mi ⊗ φi)= τ(∑

i rmi ⊗ φi) = τ(0) = 0, ası ψ es inyectiva.

Ahora veamos que ψ es suryectiva.

Sea f ∈ EndS(MS) y sea m ∈ M entonces: ψ(τ(∑

i f(mi) ⊗ φi))(m) = τ(∑

i f(mi) ⊗ φi)m =

∑i θ(φi ⊗m)(f(mi)) = f(

∑i θ(φi ⊗m)(mi)) = f(

∑i φi(mi)m) = f(m).

Luego ψ(τ(sumif(mi)⊗ φi))=f y ası ψ es un isomorfismo. ¦

La parte ii) de este teorema nos permitira recuperar el Teorema de Wedderburn-Artin para

anillos bilateralmente simples y artinianos.

No es difıcil mostrar que si F : ModR → ModS da una equivalencia de categorıas entonces

R ∼= EndS(F (RR)) y ası le damos a F (RR) vıa este isomorfismo una estructura de R-modulo a

derecha; y resulta que es un R-progenerador.

Corolario 4.1: R anillo bilateralmente simple y artiniano ⇒ R ∼= Mn(D), D un anillo de

division.

Prueba: Sea I un ideal simple de R. LLamemos D =EndR(I)op.D es un anillo de division por

Schur. Y sea B=∑

r∈R Ir. B es un ideal bilatero de R ⇒ R=B.

Ası R es semisimple y R =∑

r∈R Ir. Usando la Observacion 1 se prueba que R ∼= I⊕n. I es

un R-modulo proyectivo por el Teorema 1.2 y es finitamente generado. τ(I ⊗D I∗) 6=0 y es un

ideal bilatero, luego τ(I ⊗D I∗)=R. Por la Proposicion 4.2 τ es un isomorfismo ⇒ I es un R-

progenerador ⇒ R∼= EndD(I) gracias al teorema anterior. No es difıcil probar que dimD(I)=n

⇒ R ∼= EndD(I) ∼= Mn(D). ¦

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5 Referencias

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