ÁNGULOSÁNGULOSProf. Gustavo Adolfo Bojorquez Márquez

MATEMÁTICA

3ro de Secundaria

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PresentaciónPresentación

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PresentaciónPresentaciónLas primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

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ÁNGULOEs la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen.

A

O B

VÉRTICE: Punto OLADOS: Los rayos OA y OB

MEDIDA DE UN ÁNGULOS

La medida de un ángulo se refiere a la medida de la abertura. El sistema mas utilizado para la medición de ángulos es el SISTEMA SEXAGESIMAL, cuya unidad es el GRADO SEXAGESIMAL(1°) (que es la 360 ava parte de una circunferencia). 1° = 60’ 1 = 60”

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7,2’ = 7’ +0,2’Utilizando la equivalencia: 1’ = 60’’ 0,2’ = x De donde: Por lo tanto: 35,12° = 35° 7’ 12’’

''121

602,0

x

EJERCICIO 1.- Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales la medida de un ángulo de 35, 12°35,12° = 35° + 0,12°Utilizando la equivalencia: 1° = 60’ 0,12° = x

De donde:

'2,71

6012,0

x

EJERCICIOS SOBRE EL SISTEMA DE MEDICIÓN DE ANGULOS

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Los 12,25’ lo convertimos a grados, utilizando la equivalencia: 1° = 60’ x = 12,25’ De donde:

Por lo tanto: 16° 12’ 15’’ = 16,204°

204,060

25,121x

EJERCICIO 2: expresar en grados sexagesimales la medida de un ángulo de 16° 12’ 15’’ 15’’ lo convertimos a minutos utilizando la equivalencia: 1’ = 60’’ x = 15’’ De donde:

A los 12’ le sumamos los 0,25’, luego tenemos 12,25’

'25,060

151

x

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CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida ABC EFG m ABC = mEFG

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CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

A.- SEGÚN SU MAGNITUD

Ángulo Nulo.- su medida es cero grados.Ángulo Agudo.- Su medida es mayor que 0° y menor que 90°.Ángulo Recto.- Su medida es 90°.Ángulo Obtuso.- Su medida es mayor que 90° pero menor que 180°.Ángulo Llano.- Su medida es 180°.Ángulo Cóncavo o no convexo.- su medida es mayor que 180° pero menor que 360°.Ángulo Convexo.- Su medida es mayor que 0° pero menor que 180°.

ACTIVIDAD: Traza en tu cuaderno cada uno de estos ángulos considerandoSus características.

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B.- SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS

Ángulos Complementarios.- Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°.Así:El complemento de 20° es 70°El complemento de 23° 45’ 36” es 66° 14’ 24”

Ángulos Suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180°.Así:El suplemento de 57° es 123°El suplemento de 20° 44’ 52” es 159° 15’ 8”.

ACTIVIDAD: 1.- Halla el complemento de: 65° 43’ 47” 2.- Halla el suplemento de 145° 3’ 27”3.- Halla el complemento del suplemento de 132° 59’ 43”

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C.- SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos.- Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y dos a dos tienen un mismo lados común.

Ángulos Adyacentes o Par Lineal.- dos ángulos son adyacentes o par lineal si son consecutivos y suplementarios

Ángulos Opuestos por el Vértice.- son dos ángulos que tienen el mismo vértice común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro.

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RESOLVAMOS PROBLEMAS CON ÁNGULOS

Se tiene dos ángulos consecutivos MON y NOP cuya diferencia de sus medidas es 40°. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz OQ (rayo que divide al ángulo en dos de igual medida) del ángulo MOP con el lado común ON.

O M

NPQ

20

402

)1()2(Re

)2.....(2

)1.........(40

NOQ

NOQ

enemplazando

NOPMONNOQ

NOQMONNOQNOP

NOPMON

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AHORA TE TOCA RESOLVER LOS PROBLEMAS

1.-Tres ángulos consecutivos se forman en un plano. El primer ángulo mide la tercera parte del segundo y el tercer ángulo, 10° más que el primero. Calcula la medida de cada ángulo.2.- Calcula el complemento del suplemento de 120° y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60°.3.- Calcula la medida de un ángulo, si sabes que el suplemento de su complemento es seis veces la medida del ángulo. 4.- La diferencia entre el suplemento y complemento de un ángulo es 6 veces la medida del ángulo. Calcula el suplemento del complemento del ángulo.5.- Cinco ángulos consecutivos están formados en un plano. El tercero excede al primero en 27°, el segundo es el doble del cuarto y la mitad del quinto ángulo. Si el primero es congruente con el cuarto ángulo, ¿cuánto mide cada ángulo?

Resuelve la Actividad 15 del texto.

TEOREMAS SOBRE ÁNGULOS

TEOREMA 1.- “Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes”.

C B O D A HIPÓTESIS: AOB Y COD ángulos opuestos por el vértice TESIS: AOB COD

DEMOSTRACIÓN

AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN

1. m AOB + m BOC = 180°

Ángulos suplementarios

2. m BOC + m COD = 180°

Ángulos suplementarios

3. m AOB = COD De 1 y 2 Propiedad transitiva

4.- AOB COD Definición de congruencia

TEOREMA 2.- “ Las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto” N B

M

C O A HIPÓTESIS: AOB y BOC ángulos adyacentes MO y ON sus bisectrices respectivas.

TEOREMA 3.- “ dos ángulos que son suplementarios del mismo ángulo ode ángulos congruentes son congruentes”

TAREA GRUPAL: Actividad 16 del Texto.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE l3

l1 1 2

4 3

l2 5 6 8 7

1.- Los ángulos ALTERNOS son congruentes: Internos: 4 6 ; 3 5 Externos: 2 8 ; 1 72.- Los ángulos CONJUGADOS son suplementarios Internos: m 4 + m 5 = 180° ; m 3 + m 6 = 180° Externos: m 1 + m 8 = 180° ; m 2 + m 7 = 180° 3.- Los ángulos CORRESPÓNDIENTES son congruentes. 1 5 ; 2 6 ; 3 7 ; 8 8

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L1

L2

112º52’37’’

Calcular los siete ángulos que faltan (L1 // L2 )

140ºy

x+30º

L1L2

Calcular “x + y” a partir del gráfico dado (L1 // L2 )

EJERCICIOS

1.-

2.-

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x+30º

O

A

B L1

L2

Calcular “x” a partir del gráfico mostrado (L1 // L2)

Si la medida del ángulo AOB es el complemento de la mitad de 40º.

L1

L2

O C

x + 10º

A

B

Calcular “x” a partir del gráfico mostrado (L1 // L2). Si: m AOB = 2m BOC.∢ ∢3.- 4.-

5.-Una pareja de ángulos conjugados entre paralelas están en la relación de 3 a 7 Calcular el complemento del que se pueda.

6.- Dos ángulos alternos entre paralelas miden: 2x+20º y 3x10º. Calcular el suplemento de la suma de las medidas de ambos.

7.- Dos ángulos alternos entre paralelas miden x+50º y 70ºy. Calcular el complemento de x + y.

8.- Una pareja de ángulos conjugados entre paralelas están en la relación de 5 a 4. Hallar el suplemento de la diferencia de estos ángulos.

Ángulos de lados paralelos

      

    

Ángulos de lados perpendiculares

l1l2

l3

l4

l1// l2L3 // l4

l1

l2l3

l4

l1

l2

l3 l4

l4

l3

l2

l1

l1 l2; l3 l4

m = m

m = m

l4

l2 l1

l3

m + m = 180° m + m = 180°

En la siguiente figura se cumple que: m x = m + m ; donde l1 // l2

x

Resuelve la actividad N° 17 del texto.

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