Ang Solido Soldovieri - Viloria

2015 Actualización # 09 (16/04/15).

Desde el 2015

S O L D O V I E R I

V I L O R I A

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

El Angulo Sólido y algunas de sus

aplicaciones

Un texto bastante completo sobre un

tema poco documentado para cátedra.

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

NUEVO

Copyright© 2015 por Terenzio Soldovieri C. y Tony Viloria.

Todos los derechos reservados.

Impreso en la República Bolivariana de Venezuela.

Artes, dibujos y gráficos: Terenzio Soldovieri C.

Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C.

Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por los autores, utilizando LaTeX.

Aquí va la dedicatoria ………………………………………..

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Terenzio Soldovieri C. [email protected] [email protected]

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Tony Viloria Avila [email protected]

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SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA AVILA, Tony

Profesores del Departamento de Física

Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)

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EL ANGULO SOLIDOY ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

1era edición (preprint)

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Actualización # 9 (16/04/2015)

Escrito usando LATEX

Copyright c 2015 por Terenzio Soldovieri C. & Tony Viloria Avila.

República Bolivariana de Venezuela

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Agradecimientos

Aquí van los agradecimientos.

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: I

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: II

Prólogo

Aquí va el prólogo.

Terenzio Soldovieri C. - Tony Viloria Avila.Departamento de Física

Facultad de CienciasLa Universidad del Zulia (LUZ)

Maracaibo - Estado ZuliaRepública Bolivariana de Venezuela

ALBERT EINSTEIN

III

"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramoslas mismas cosas". "Lo más incomprensible del Universo, es que sea compren-sible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideresel estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetraren el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegría de ver y entender esel más perfecto don de la naturaleza".

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: IV

ÍNDICE GENERAL

1 El Angulo Sólido 1

1.1. Conocimientos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. Angulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Angulo diedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Angulo poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3.2. Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3.3. Intersección de un ángulo poliedro con la superficie de

una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4. Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4.1. Definición y clasificación de una superficie . . . . . . . . . . 111.1.4.2. Representacion vectorial de una superficie . . . . . . . . . 13

1.1.5. Triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5.2. Definición de triángulo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.5.3. Exceso esférico y superficie de un triángulo esférico . . . . 181.1.5.4. Teoremas trigonométricos fundamentales para la resolu-

ción de triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Teorema del Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Teorema del Coseno para los lados . . . . . . . . . . . . . . . . 19Teorema del Coseno para los ángulos internos . . . . . . . . . 20Teorema de la Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.5.5. Algunas relaciones trigonométricas derivadas . . . . . . . . 20

V

ÍNDICE GENERAL

Relación trigonométrica entre los lados de un triángulo es-férico y sus alturas esféricas . . . . . . . . . . . . . . 20

Funciones trigonométricas de los semiángulos . . . . . . . . . 21Relación trigonométrica entre el exceso de un triángulo es-

férico y sus lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2. Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2. Unidades de ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Expresión diferencial e integral del Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . 251.4. Propiedades del ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1. Propiedad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2. Propiedad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.3. Propiedad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.4. Propiedad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.5. Propiedad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.6. Propiedad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.7. Propiedad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.8. Propiedad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5. Diferenciales notables de ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de super-

ficie Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.2. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de super-

ficie cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.5.3. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de super-

ficie esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6. Diferencial de superficie y diferencial de volumen en función del ángulo

sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.1. Diferencial de superficie dS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.2. Diferencial de volumen dV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7. Ecuación para el cálculo del ángulo sólido subtendido por un triánguloutilizando trigonometría esférica y cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 411.7.1. Primer enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.2. Segundo enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Algunos ejemplos de cálculo de Angulos Sólidos 49

2.1. Angulo sólido subtendido por una superficie plana pequeña . . . . . . . . 502.2. Angulo sólido subtendido por un casquete esférico . . . . . . . . . . . . . . 51

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: VI

ÍNDICE GENERAL

2.2.1. Conociendo de antemano la superficie del casquete . . . . . . . . 522.2.2. Sin tener de antemano la superficie del casquete . . . . . . . . . . . 52

2.3. Angulo sólido subtendido por una superficie pequeña que está sobre unaesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto que seencuentra en su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1. Usando coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2. Usando coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto que seencuentra fuera de su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferencial de superficiecomprendido entre dos meridianos de una esfera con respecto al centrode la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferencial de superficiecomprendido entre dos paralelos de una esfera con respecto al centrode la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8. Angulo sólido de la superficie formada por la intersección de dos meridi-anos con dos paralelos de una esfera con respecto al centro de la misma 60

2.9. Angulo sólido subtendido por una esfera y un hemisferio con respecto asu centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9.1. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9.2. Hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.10.Angulo sólido según el cual se ve el espacio comprendido en el interiorde un diedro de ángulo � desde un punto P de su arista . . . . . . . . . . 62

2.11.Angulo sólido subtendido por una de las caras de un cubo con respectoa un punto situado en el centro del mismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.11.1. En coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.11.2. En coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.11.3. Utilizando la expresión vectorial (primer enfoque) . . . . . . . . . . . 682.11.4. Utilizando la expresión vectorial (segundo enfoque) . . . . . . . . . 70

2.12.Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto a unpunto situado en su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.13.Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto a unpunto situado directamente sobre uno de sus vértices . . . . . . . . . . . . 78

3 Algunas aplicaciones de la definición de Angulo Sólido 83

3.1. En Electrofisiología Cardíaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: VII

ÍNDICE GENERAL

3.2. En Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3. En Electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4. En Gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.5. En Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5.1. Intensidad de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5.2. Intensidad de radiación medida a una distancia de la superficie

de un cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.6. En Telecomunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6.1. Area efectiva de una antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.2. Temperatura de una antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7. En Dispersión de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.8. En Detección de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8.1. Factores que afectan la eficiencia de un detector . . . . . . . . . . 1093.8.2. Tipos de eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.8.2.1. Eficiencia geométrica "G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.8.2.2. Eficiencia intrínseca insidente "i (E) . . . . . . . . . . . . . . 1113.8.2.3. Eficiencia intrínseca de la fuente " (E) . . . . . . . . . . . . 1113.8.2.4. Eficiencia de pico de energía completo para la fuente

" (E)R (E) y eficiencia de pico de energía completo " (E)R (E)112

Bibliografía 113

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: VIII

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Angulo plano � subtendido por una figura plana con respecto a un puntoP de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Medición del ángulo plano � subtendido por una figura plana con re-specto a un punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Cada ángulo plano tiene la propiedad de que � = s1R1= s2

R2� � � sn

Rn. Por esta

razón � sirve para identificar cada ángulo plano. . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Definición de 1 radián. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Angulo diedro de tamaño �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Angulo poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Angulo poliedro formado por infinitas semirrectas que parten del punto V

(vértice) y se apoyan sobre la curva cerrada C. . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. La intersección de un ángulo poliedro con dos esferas de radios R1 y R2

centradas en su vértice V generan respectivamente dos superficies S1 yS2 que son homotéticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9. Cinta de Möbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10.Botella de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11.Representación vectorial de una superficie abierta S de dos caras. . . . . 131.12.Representación vectorial de la superficie abierta de dos caras S y la

definición del vector unitario bn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.13.Representación vectorial de una superficie dS diferencial, abierta y de

dos caras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.14.Orientación de bn en una superficie cerrada S de dos caras. Cada trozo

dibujado sobre S representa un diferencial de la misma. . . . . . . . . . . . 151.15.Caras de S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IX

ÍNDICE DE FIGURAS

1.16.Intersección de un plano con una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.17.Angulo esférico �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.18.(a) Triángulo esférico. (b) Alturas esféricas ha, hb y hc de un triángulo esférico. 171.19.Triángulo esférico y el ángulo triedro asociado. . . . . . . . . . . . . . . . . 171.20.Cono formado de manera tal que las semirectas que surgen del punto P

tocan el cuerpo sin pasar nunca por su interior, es decir, lo bordean. . . . 221.21.Angulo sólido subtendido por un cuerpo con respecto a un punto de

referencia P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.22.(a) Definición de 1 estereorradián y (b) otras unidades para expresar án-

gulos sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.23.Angulo sólido subtendido por una supeficie diferencial dS con respecto a

un punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.24.Diferencial de angulo sólido d subtendido por una superficie infinitesimal

dS con respecto a un punto de referencia P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.25.Corte transversal del cono elemental de la figura 1.24. . . . . . . . . . . . . 261.26.Angulo sólido cuando P no está en el origen del sistema de coorde-

nadas escogido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.27.Se cumple que S1

R21= S2

R22� � � Sn

R2n. Por esta razón sirve para identificar cada

ángulo sólido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.28.Angulo sólido subtendido por una pantalla rectangular con respecto a

dos puntos P1 y P2 a diferentes distancias de la misma. El ángulo sólidocon respecto al punto más cercano es mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.29.Dos superficies S1 y S2 que poseen el mismo perímetro C con respecto alpunto P y que juntas forman la superficie cerrada S. . . . . . . . . . . . . . 30

1.30.Soperficies que subtienden un mismo ángulo sólido con respecto a unpunto de referencia P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.31.Proyección de la superficie S sobre la superficie de la esfera auxiliar deradio R = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.32.Angulo sólido subtendido por una superficie cerrada S con respecto aun punto P externo a la misma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.33.(a) Superficie cerrada S con un punto P en su interior, respecto del cual sedesea calcular el ángulo sólido subtendido por la misma. (b) La super-ficie de la esfera auxiliar quedará completamente cubierta al proyectarS sobre la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.34.Angulos sólidos 1 y 2 opuestos por el vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.35.Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superfi-

cie Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: X

ÍNDICE DE FIGURAS

1.36.Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superfi-cie cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.37.Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superfi-cie dS esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.38.Diferencial de volumen dV en coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . 41

1.39.Triángulo escaleno �A0B0C 0 cuyo ángulo sólido subtendido con respec-to al punto P se desea calcular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.40.(a) Angulo sólido subtendido por el triángulo escaleno �A0B0C 0 con re-specto al punto P . (b) Vista ampliada del triángulo esférico resultante�ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.41.(a) Vectores de posición de los vértices del triángulo plano �A0B0C 0 conrespecto al punto P . (b) Vectores de posición de los vértices del triánguloplano �A0B0C 0 y de su centroide C, todos con respecto al punto P . Semuestra, además, el vector unitario bn perpendicular a la superficie delmencionado triángulo. Se ha girado con respecto al de la figura 1.40,para poder observar mejor los detalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.42.(a) Retángulo subdividido en dos triángulos. (b) Pentágono subdivididoen tres triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.43.(a) Superficie S de forma compleja representada mediante un gran númerode pequeños triángulos cuyos vértices están sobre la misma. Figura toma-da de la referencia [21]. (b) Malla basada en icosaédrica con 1280 trián-gulos proyectados sobre una esfera. Figura tomada de la referencia [22].(c) Triangulación de un torso humano. Figura tomada de la referencia [23]. 47

2.1. Angulo sólido subtendido por una superficie S plana y pequeña conrespecto a un punto P situado a una distancia R de la misma. . . . . . . . 51

2.2. (a) Casquete esférico y (b) Cálculo del ángulo sólido subtendido porun casquete esférico con respecto a un punto P situado en el centro dela esfera que lo genera. Se utilizan coordenadas esféricas con origen 0en P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3. Superficie pequeña S sobre una esfera de radio R y centro P . . . . . . . . 53

2.4. (a) Disco de radio b que se encuentra a una distancia h de un punto Pubicado sobre su eje de simetría y (b) Cálculo del ángulo sólido subten-dido por el disco con respecto a P usando coordenadas cilíndricas. . . . 54

2.5. Cálculo del ángulo sólido subtendido por el disco con respecto a P ,usando coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: XI

ÍNDICE DE FIGURAS

2.6. Cálculo del ángulo sólido para un disco de superficie S y de radio b quese encuentra a una distancia h de un punto P ubicado fuera de su ejede simetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7. Diferencial de superficie dS entre dos meridianos ' y '+ d' de una esferade radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.8. Diferencial de superficie dS entre dos paralelos � y �+d� de una esfera deradio R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.9. (a) Esfera de radio R. (b) Hemisferio de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.10.Angulo diedro de tamaño �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.11.Cubo de lado ` en cuyo centro se ha colocado el origen de un sistemade coordenadas Cartesianas y con respecto al cual se desea calcular elángulo � sólido subtendido por la cara ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.12.Cálculo del ángulo sólido �, en coordenadas Cartesianas, subtendidopor la cara ABCD con respecto al punto P ubicado en el centro del cubo. 66

2.13.(a) Cálculo en coordenadas cilíndricas del ángulo sólido 4 subtendidopor la porción ABP 0 de la cara BDFH del cubo con respecto al puntoP . (b) Vista de la mencionada cara sobre el plano xy con la finalidad deobtener el límite superior para r en la integral (2.61). . . . . . . . . . . . . . 67

2.14.Pirámide de base cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.15.(a) Placa rectangular de largo `1 y ancho `2, a la cual se le calcula elángulo sólido subtendido por ella con respecto al punto P . (b) Placa vistadesde +z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.16.(a) Placa rectangular de superficie S y dimensiones a, b. (b) Para llevar acabo el cálculo del ángulo sólido subtendido por S con respecto al puntoP , se posiciona un sistema de coordenadas Cartesianas de manera quesu origen coincida con el vértice que está justo debajo de dicho punto. . 78

2.17.(a) Placa rectangular dividida en dos triángulos �AB0 y �BC0. (b) Es-tablecimiento de los límites de integración para el cálculo del ángulosólido subtendido por la placa rectangular con respecto al punto P . . . 79

3.1. Electrocardiograma (ECG). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2. Componentes de un ECG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3. Angulo sólido subtendido por la zona explorada con respecto al electro-do considerado como un punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4. Influencia espacial: el ángulo sólido subtendido por la frontera se incre-menta después de incrementar la superficie isquémica, aumentando tam-bién la desviación del segmento ST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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ÍNDICE DE FIGURAS

3.5. Influencia no espacial: la posición del electrodo, el tamaño de la super-fície isquémica y el ángulo sólido se mantienen invariantes. Sin embargo,la diferencia de potencial entre los voltajes transmembrana se ha ampli-ado y se ha intensificado el flujo de corriente (flechas). Como resultado,aumenta la desviación del segmento ST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6. Campo�!B originado por una corriente I que en un circuito C, calculado

en el punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7. (a) Mover P una cantidad d�!r manteniendo fija la posición del circuito, es

equivalente a mover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una can-tidad �d�!r manteniendo P fijo, de aquí que se genere una superficie se-mejante a una cinta como la indicada por la zona rayada. (b) Pequeñasuperficie d

�!S en forma de cinta mostrada por la zona sombreada. . . . . 90

3.8. Angulo sólido �d subtendido por la superficie dS con respecto al puntoP donde es calculado el campo

�!B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.9. Carga q encerrada en una superficie S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10.Carga q fuera de la superficie S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.11.Intensidad de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.12.La densidad de flujo f es la medida de la potencia radiante que pasa

por la superficie S desde todo el espacio circundante. Aquí se suponeque debajo de S no hay fuentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.13.(a) Angulo sólido subtendido por la superficie receptora Sr con respectoa la superficie emisora Se (b) Angulo sólido subtendido por la superficieemisora Se con respecto a la superficie receptora Sr. . . . . . . . . . . . . . 100

3.14.(a) Emisión de potencia desde la resistencia al espacio y (b) el radiadorcaptura potencia desde el espacio debido a su intensidad de radiación. 102

3.15.(a) Diagrama real de radiación de la antena y (b) diagrama simplificado. 1043.16.Un conmutador conecta alternativamente la antena y la resistencia R

ruidosa (Nyquist). La resistencia está adaptada a la impedancia de en-trada del amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.17.La Temperatura de Antena. Su respuesta a la potencia entregada a laantena por una fuente extendida a través de su lóbulo principal. . . . . . 105

3.18.Dispersión de una partícula de masa m por el campo de fuerza repulsivooriginado por la masa M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.19.Haz de partículas idénticas que incide sobre un blanco situado en 0. . . . 1073.20.Dispersión de un haz de partículas incidentes por un centro de fuerzas 0. . 1083.21.Ejemplos de detectores y fuentes de radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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CAPÍTULO 1

El Angulo Sólido

CONTENIDO DEL CAPITULO1.1. Conocimientos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Angulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Angulo diedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Angulo poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4. Super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5. Triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2. Unidades de ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Expresión diferencial e integral del Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . 25

1.4. Propiedades del ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1. Propiedad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Propiedad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.3. Propiedad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.4. Propiedad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.5. Propiedad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.6. Propiedad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.7. Propiedad 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

CAPÍTULO 1. EL ANGULO SÓLIDO

1.4.8. Propiedad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5. Diferenciales notables de ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.1. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de super�cie

Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6. Diferencial de super�cie y diferencial de volumen en función delángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.1. Diferencial de super�cie dS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.2. Diferencial de volumen dV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7. Ecuación para el cálculo del ángulo sólido subtendido por un trián-gulo utilizando trigonometría esférica y cálculo vectorial . . . . . . . . 41

1.7.1. Primer enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7.2. Segundo enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Como para toda definición matemática y su posible uso en otras ciencias, porejemplo, la Física es necesario comprenderlas lo mejor posible para así poder com-prender a profundidad todas aquellas cantidades en las cuales están involucradas.

En el presente capítulo se tratará la definición matemática conocida como El An-gulo Sólido, el cual tiene numerosas aplicaciones en el campo de la Física, algunas delas cuales serán abordadas más adelante. Esta definición suele ser tratada con pocagenerosidad en los textos en los cuales está involucrada. En general, se le dedican pe-queñas secciones y a lo más un capítulo muy resumido [1], [2], [3], [4]. Por esta razónesta definición se intentará presentar con la mayor claridad posible para que así ellector logre entenderla y tener una idea bien clara al respecto.

1.1. Conocimientos básicos

1.1.1. Angulo plano

Como se verá más adelante, el ángulo sólido es la medida de un ángulo en el es-pacio, por lo que es conveniente recordar y entender primeramente cómo se miden

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1.1. CONOCIMIENTOS BÁSICOS

Figura (1.1): Angulo plano � subtendido por una figura plana con respecto a un punto P de referencia.

ángulos en el plano. Un ángulo plano � es una medida de la abertura entre dos rec-tas que se intersectan en un punto.Supóngase que el ángulo � es aquél subtendido1

por una figura plana, por ejemplo un rectángulo, con respecto a un punto P . Este án-gulo se obtiene geométricamente trazando desde P dos rectas L1 y L2 que tocan elperímetro del cuadrado sin pasar nunca por su interior, como se muestra en la figura1.1. Para medirlo se procede como sigue:

1. Sobre las rectas L1 y L2 se superpone una circunferencia, que suele denominarsecircunferencia auxiliar, de tal manera que su centro coincida con el punto P , comose muestra en la figura 1.2.

Figura (1.2): Medición del ángulo plano � subtendido por una figura plana con respecto a un punto P .

1Del lat. subtendere. Tr. Geom. Unir con una línea recta los extremos de un arco de curva o de una líneaquebrada [5] También puede hacer referencia al arco de circunferencia comprendido entre los ladosde un ángulo. En el caso de un ángulo sólido es la parte de esfera abarcada (casquete esférico).



2. Se mide la logitud s del arco que queda limitado por las dos rectas y se mide elradio R.

3. La medida del ángulo � subtendido por las dos rectas vendrá dado por,

Angulo plano= Longitud del arcoRadio del arco �! � = s

R(1.1)

A las porciones de recta que limitan al ángulo se le denominan lados del ángulo yal punto de intersección P se le denomina vértice.

Figura (1.3): Cada ángulo plano tiene la propiedad de que � = s1R1

= s2R2� � � snRn

. Por esta razón � sirvepara identificar cada ángulo plano.

Si con centro en el vértice de un ángulo tal como el ángulo � mostrado en la figura1.3 se traza una circunferencia auxiliar de radio R1, se obtiene un arco de longitud s1

de manera que su cociente da como resultado la medida de � como fue descritoantes. Si para el mismo ángulo se traza una nueva circunferencia auxiliar de radio R2con centro en su vértice se obtiene un arco de logitud s2, dando su cociente comoresultado la misma medida � y así sucesivamente, es decir,

� =s1R1

=s2R2� � � snRn

(1.2)

Esta propiedad es la que hace posible tomar a (1.1) como medida del ángulo �. Deesta manera,

Cualquiera que sea el tamaño de la circunferencia auxiliar, la relación(1.1) se mantendrá constante para la misma abertura entre las rectas.



Sin embargo, al observar la figura 1.2, se puede deducir fácilmente que el ángulo� disminuirá si dicho cuerpo se aleja del punto P .

El ángulo � tal como es definido en (1.1) es adimensional, pues es el cociente entredos longitudes. Sin embargo, resultaría algo incómodo medir ángulos de esta manerapor eso el Sistema Internacional de Unidades utiliza el Radián como unidad de ángulo.El radián se denota por rad. En concreto,

Un radián (rad) es la medida de aquél ángulo subtendido por dos rectasde tal manera que � = 1 rad, es decir, s = R, es decir,

1 rad =R

R

como se muestra en la figura 1.4.

Figura (1.4): Definición de 1 radián.

La adopción del nombre “radián” como unidad de ángulo plano es notablementeartificial, pues no surge como la mayor parte de las unidades derivadas del SistemaInternacional, que son conjuntos de otras unidades relacionadas por operaciones. Poreso el Sistema Internacional dice del radián lo siguiente:

“El radián es un nombre especial dado al número uno que puede us-arse para aportar información acerca de la cantidad a la que califica. Enla práctica, el símbolo rad se usa cuando conviene, pero el símbolo de launidad derivada uno se suele omitir al especificar valores de cantidadesadimensionales”.

Lo mismo dice para el estereorradián que es la unidad de medida de un ángulo sóli-do como se verá más adelante. Además de en radianes, los ángulos planos también



suelen medirse en grados sexagecimales y en grados centesimales. Un grado sexages-imal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1=360 de lacircunferencia. Es la nonagésima 1=90 parte de un ángulo recto. El grado sexagesimal,como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimales, está definido partien-do de que un ángulo recto tiene 900 (90 grados sexagesimales) y de que sus divisores,el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 900 (grados sexagesimales)1 grado sexagesimal = 600 (minutos sexagesimales)1 minuto sexagesimal = 6000 (segundos sexagesimales).

(1.3)

Es posible expresar una cantidad en grados, minutos y segundos. Las partes degrado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo. Por ejemplo:1203403400; 1303023; 800; 124045034; 7000; �203401000. También es posible representar en formadecimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuentaque:

10 = (1=60)0 = 0; 016666670 (redondeando a ocho dígitos)100 = (1=60)0 = (1=3600)0 = 0; 000277780

(1.4)

Así 1201502300 = 120 + 15(1=60)0 + 23(1=3600)0 � 12; 256390.

Es posible obtener una equivalencia entre los radianes y la medida de ángulo engrados sexagesimales planteándose una simple regla de tres: 3600 equivalen a la log-itud de una circunferencia completa 2�R, entonces � grados sexagesimales equival-drán a una longitud de arco s,

3600 �! 2�R

� �! s(1.5)

de aquí que,

s =2�R�

3600=�R�

1800(1.6)

Ahora, al sustituir este resultado en (1.1) se obtiene,

� =� �

1800

�� radianes (1.7)

o también,

� =

�1800

�

�� grados sexagesimales (1.8)

entonces,

10 = 0; 01745329 rad (1.9)



o,1 rad = 57; 295780 (1.10)

El grado centesimal o gon, también llamado gradián (plural: gradianes), es unaunidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y, como éste,no perteneciente al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como elángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1=400 de la circunfer-encia. La circunferencia se divide, por tanto, en 400 gon y un ángulo recto en 100 gon,lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partesdel grado sexagesimal,

1g =

�9

10

�� 10 = 0; 90 (1.11)

Su símbolo es una "g"minúscula en superíndice colocada tras la cifra, por ejemplo:12; 4574g). La denominación de gon suele restringirse a los ámbitos especializados dela topografía y la ingeniería civil, donde es muy utilizada esta unidad de medida paradefinir el valor de los ángulos. La denominación de gradián se emplea en las calcu-ladoras, en las que suele representarse con la abreviatura grad. Sus divisores son:

1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100m o 100c)1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100s o 100cc)

(1.12)

Por ejemplo, las siguientes cantidades representan el mismo ángulo:

2304703500 (grados sexagesimales)23; 79310 (grados sexagesimales con fracción decimal)26g43c67cc (gon con minutos y segundos centesimales)26; 4367g (gon o grados centesimales)

(1.13)

Los minutos y segundos de gon se corresponden con la fracción decimal de gon,cosa que no ocurre con los grados sexagesimales. No deben confundirse los gradoscentesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ángulos en gradossexagesimales.

La definición de ángulo plano (1.1) puede modificarse para crear un conceptomás útil para la ciencia y la ingeniería. Ese concepto es el de Angulo Plano Orientado.Si en la figura 1.2 para medir el arco s se va desde la recta L1 a la L2, es decir, ensentido contrario al avance de las agujas de un reloj, la medida s se considera positivay, como el radio R se considera siempre positivo, el ángulo � resulta positivo. Por otrolado, si para medir el arco s se va desde L2 a la L1, es decir, en el sentido del avancede las agujas de un reloj, la medida s se considera negativa y así el ángulo � resulta



negativo. Esto suele expresarse diciendo que los ángulos que se describen en sentidocontrario al del movimiento de las agujas del reloj son positivos, y los que se describenen el mismo sentido al del movimiento de las agujas de un reloj son negativos.

1.1.2. Angulo diedro

Un ángulo diedro [6], [7], [8], [9], es aquél formado por dos planos que se cortan, co-mo se muestra en la figura 1.5. El tamaño del ángulo diedro se define como el tamañodel ángulo (en la figura es �) formado entre dos líneas que se cortan (una en cadaplano) que son ambas perpendiculares a la arista a lo largo de la cual se cortan los dosplanos. El valor de un ángulo diedro es la amplitud del menor ángulo posible que con-forman dos semirrectas pertenecientes una a cada semiplano. Se obtiene tomandoun plano auxiliar perpendicular a la recta común, siendo la apertura de las semirrectasintersección la medida del ángulo diedro.

Figura (1.5): Angulo diedro de tamaño �.

1.1.3. Angulo poliedro

1.1.3.1. Definición

Un ángulo poliedro [6], [7], [8], [9] es la parte del espacio limitada por varios ángu-los planos no coplanarios, con vértice V común y lados compartidos (cada lado escomún a dos ángulos) como, por ejemplo, se muestra en la figura 1.6. A los ángulosse les llaman caras, a los lados se les llaman aristas y al vértice de los ángulos se lellama vértice del ángulo poliedro. Dos caras consecutivas forman un ángulo diedro. Elángulo poliedro más sencillo es un ángulo triedro, que es el formado por tres caras.



Figura (1.6): Angulo poliedro.

Se considera también como ángulo poliedro al formado por infinitas semirrectas deextremo común que se apoyan sobre una curva cerrada C, es decir, una superficiecónica (ver figura 1.7). Equivale a un ángulo poliedro de infinitas caras.

Figura (1.7): Angulo poliedro formado por infinitas semirrectas que parten del punto V (vértice) y seapoyan sobre la curva cerrada C.

1.1.3.2. Tipos

Los ángulos poliedros pueden ser convexos y cóncavos:

1. El convexo es el ángulo poliedro que queda en el mismo semiespacio respecto alos planos de cada una de sus caras.

2. El cóncavo es el ángulo poliedro en el que al prolongar el plano de alguna de lascaras, una parte de él queda en un semiespacio y el resto en el otro.



1.1.3.3. Intersección de un ángulo poliedro con la superficie de una esfera

Si un ángulo poliedro se corta por la superficie de una esfera con centro en suvértice y radio R, la superficie intersección es proporcional a R2 (ver figura 1.8).

Si se corta el ángulo poliedro por dos esferas de radios R1 y R2, las superficies S1 y S2son homotéticas; por tanto son proporcionales al cuadrado de su razón de homote-cia2[10],

S2S1=R22R21

(1.14)

Es posible hallar la superficie S1 en función de únicamente la superficie S2 y el radio R2

Figura (1.8): La intersección de un ángulo poliedro con dos esferas de radios R1 y R2 centradas en suvértice V generan respectivamente dos superficies S1 y S2 que son homotéticas.

de la esfera que define a esta última superficie. En efecto, al hacer R1 = 1u| {z }Esfera unitaria

(u =una

unidad de longitud) en (1.14) resulta que,

S11u2

=S2R22

) S1 =

�S2R22

�u2 (1.15)

y como esta relación es general para cualquier esfera de radio R2 = R entonces,

Se =

�S

R2

�u2 (1.16)

donde Se es la superficie determinada por el ángulo poliedro sobre la superficie de laesfera unitaria y S es la superficie determinada por el mismo ángulo sobre la esfera de

2La homotecia es la transformación que hace corresponder a todo punto A de una figura otro punto A0

(homólogo de A) alineado con A y con centro de homotecia 0 dado que forma que: OA0

OA = k. Aquí kes una constante no nula, llamada razón de homotecia.



radio R. Nótese que la cantidad Se1u2

es adimensional y numéricamente igual a Se. Si aesta cantidad se le denomina entonces,

= SR2

(1.17)

que es clave para la definición matemática de ángulo sólido.

En el caso de que se usen más de dos esferas, relaciones como las (1.14) se seguiráncumpliendo. En vista de esto, ahora es posible escribir que,

S1R21

=S2R22

= � � � = SnR2n

= = constante (1.18)

con n = 1; 2; 3; : : : ;hasta el número total de esferas.

1.1.4. Superficie

1.1.4.1. Definición y clasificación de una superficie

Antes de ver cómo es posible representar vectorialmente una superficie, es opor-tuno repasar un poco de teoría sobre las mismas.

Se entiende como superficie al objeto geométrico que posee dos di-mensiones, es decir, cada uno de sus puntos espaciales de tres coorde-nadas se puede definir usando sólo dos parámetros. También es posibledefinirla como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea(generatriz) que se mueve en el espacio siguiendo una ley determinada ycontinua.

Una superficie puede ser abierta o cerrada [11]:

1. Superficie abierta: es aquella superficie limitada por una curva cerrada. Puede serde dos caras o de una cara. Se dice que es de dos caras cuando dado un puntosobre una de sus caras no puede situarse en igual posición sobre la otra cara, sincruzar su contorno. Se puede visualizar esto imaginando que se quiere colorear lasuperficie frotando un creyón sobre ella y al hacerlo, sin levantar el creyon ni cruzarel contorno, queda una cara sin colorear. Será de una cara cuando no ocurre lo an-terior. Como ejemplo de una superficie abierta de este tipo está la cinta de Möbius(ver figura 1.9). Se obtiene fácilmente pegando los extremos de una cinta de papel,



Figura (1.9): Cinta de Möbius.

después de haber girado media vuelta uno de los lados menores del rectángulo,con respecto al otro. Se ve que la superficie abierta así obtenida es de una solacara.

2. Superficie cerrada: es la superficie exterior de un objeto con volumen. Tambiénpueden ser de dos caras y de una cara. Se dice que es de dos caras cuando divideal espacio en dos regiones, una interior a la superficie y otra exterior, de maneraque un punto no puede pasar de la una a la otra sin atravesar la superficie. Será deuna cara cuando no se cumple lo anterior, es decir, no separa al espacio en dosregiones. Por lo tanto, no puede decirse que un punto sea interior o exterior porquedos cualesquiera se pueden unir por una linea que no atraviesa la superficie. Comoejemplo de una superficie cerrada de una cara está la botella de Klein (ver figura1.10), que se forma extendiendo el área lateral de un cilindro y llevando a empal-marla con la base inferior, después de atravesar la superficie lateral del mismo, ysuprimir la parte atravesada de la superficie lateral. Esta superficie se penetra a símisma, y puede observarse que no divide al espacio en dos partes, una interior yotra exterior.

Figura (1.10): Botella de Klein.

De aquí en adelante sólo serán consideradas superficies abiertas y cer-radas de dos caras.



1.1.4.2. Representacion vectorial de una superficie

Como se sabe, la magnitud del producto vectorial de dos vectores�!A y

�!B es igual a

la superficie del paralelogramo cuyos lados son definidos por dichos vectores [1]. Estosugiere que es posible representar vectorialmente una superficie.

Figura (1.11): Representación vectorial de una superficie abierta S de dos caras.

La representación vectorial de una superficie abierta cualquiera se hace por con-vención. En efecto, considérese una superficie abierta S de dos caras como una delas mostradas en la figura 1.11, cuyo contorno C está orientado de la forma señala porla flecha. Por convención,

La superficie S se representará mediante un vector�!S de forma tal que:

1. su magnitud sea igual a la medida de S.

2. su dirección sea perpendicular S.

3. y su sentido sea el mismo del avance de un tornillo de rosca derechacuando se hace girar en el sentido de orientación del contorno C de S.Suele utilizarse también la regla de la mano derecha y la llamada regladel sacacorchos.

Por lo anterior, también es posible escribir,

�!S = Sbn (1.19)

donde bn es un vector normal a�!S , como se muestra en la figura 1.12. Obviamente, la

orientación de bn sigue el mismo convenio que el usado para�!S .



Figura (1.12): Representación vectorial de la superficie abierta de dos caras S y la definición del vectorunitario bn.

Figura (1.13): Representación vectorial de una superficie dS diferencial, abierta y de dos caras.

Para el caso de una superficie diferencial dS se cumple igualmente todo lo anterior,sólo que su representación vectorial será,

d�!S = bndS (1.20)

como se muestra en la figura 1.13, siendo la superficie total,

�!S =

ZS

d�!S (1.21)

Para una superficie cerrada se tendrá que�!S =

�!0 .

En el caso de una superficie cerrada, es conveniente orientar bn de tal manera quesiempre apunte hacia el exterior de la misma, como se muestra en la figura 1.14.

En una superficie S abierta de dos caras se puede hablar de una “cara negativa”y una “cara positiva”. Se denomina cara negativa (también cara sur) de S, aquellapor donde penetra bn y cara positiva (también norte) aquella por donde sale el mismo,como es mostrado en la figura 1.15.



Figura (1.14): Orientación de bn en una superficie cerrada S de dos caras. Cada trozo dibujado sobre Srepresenta un diferencial de la misma.

Figura (1.15): Caras de S.

1.1.5. Triángulos esféricos

1.1.5.1. Definiciones básicas

La intersección de una esfera con un plano genera una circunferencia (ver figura1.16). Se generará la mayor circunferencia posible, denominada circunferencia máxi-ma, cuando el plano se hace pasar por el centro de la esfera. Al resto de las circunfer-encias, es decir, aquellas que se generan por la intersección de planos que no pasanpor el centro, se les denominan circunferencias menores. Una circunferencia máximadivide a la esfera en dos hemisferios iguales.Dadas dos circunferencias máximas deuna superficie esférica, éstas siempre se cortan en dos puntos que son los extremos deun diámetro de la esfera; en efecto, los planos que determinan las dos circunferenciasmáximas se cortan en una recta que pasa por el centro de la esfera, es decir, en undiámetro, luego los extremos del mismo son los puntos en que se cortan las circunfer-encias máximas.

Se denomina ángulo esférico entre dos circunferencias máximas, como se muestra



Figura (1.16): Intersección de un plano con una esfera.

en la figura 1.17, a aquél formado por las semitangentes a dichas circunferencias enuno de sus puntos de contacto. También se puede definir como el ángulo diedro queforman los planos que determinan a las circunferencias máximas.

Figura (1.17): Angulo esférico �.

1.1.5.2. Definición de triángulo esférico

Si tres puntos de una superficie esférica A, B y C son unidos por arcos de circunfer-encia máxima se obtiene una figura triangular denominada triángulo esférico, comose muestra en la figura 1.18a. Cada uno de esos arcos son sus lados y subtienden ángu-los planos a, b, y c con respecto al centro 0 de la esfera, los cuales deben ser menoresa � rad.Los lados de un triángulo esférico se miden, por conveniencia, mediante el án-gulo plano que subtienden y no por su longitud. En caso de que se desee conocer lamedida de longitud del arco, sólo habrá que multiplicar por el radio de la esfera.



Figura (1.18): (a) Triángulo esférico. (b) Alturas esféricas ha, hb y hc de un triángulo esférico.

Como se muestra en la figura 1.18b, al arco de circunferencia máxima perpendicu-lar al arco BC y que pasa por A se le llama altura esférica AD del triángulo y se designapor ha; al que pasa por B perpendicularmente al arco AC se le llama altura esféricaBF del triángulo y se designa por hb; y finalmente al que pasa C perpendicularmenteal arco AB se le llama altura esférica CG del triángulo y se designa por hc. Como puedenotarse, las alturas esféricas también se miden por el ángulo plano que subtienden yno por su longitud.

Cuando se unen mediante rectas, véase la figura 1.19, el centro 0 de la esfera conlos vértices de un triángulo esférico �ABC se forma un ángulo triedro 0A0B0C0 que sedenomina ángulo triedro asociado al triángulo esférico. Los lados a, b y c del triánguloesférico son precisamente los ángulos de las caras del mismo y los ángulos internos �,� y de dicho triángulo esférico, son sus ángulos diedros.

Figura (1.19): Triángulo esférico y el ángulo triedro asociado.

Ahora, en vista de lo anterior, es posible decir que,



Un triángulo esférico es aquella figura obtenida mediante la intersec-ción de un ángulo triedro con una superficie esférica cuyo centro esté en suvértice.

Es evidente que las medidas de los ángulos de las caras del ángulo triedro así comolas de sus ángulos diedros son independientes del radio de la esfera, por lo tanto, lasrelaciones entre los lados y los ángulos de un trángulo esférico también lo son, por estarazón suele considerarse en general la esfera unitaria para el estudio de este tipo detriángulos.

1.1.5.3. Exceso esférico y superficie de un triángulo esférico

Como se sabe, la suma de los ángulos internos de un triángulo plano (GeometríaEuclídea) suman � rad. En en caso de un triángulo esférico la suma de estos ángulo essiempre superior a dicha cantidad. En verdad se puede demostrar que en un triánguloesférico los ángulos internos �, � y cumplen que,

� < � + � + < 3� (1.22)

Se llama exceso esférico " de un triángulo esférico a la la suma de susángulos internos disminuida por dos ángulos rectos, es decir, disminuida en �rad. Es siempre positivo.

Matemáticamente se obtiene mediante,

" = �+ � + � � (1.23)

Por otro lado, la superficie de un triángulo esférico viene dada por el llamado Teo-rema de Girard, cuyo enunciado es el siguiente:

Si R es el radio de una esfera y �, � y son los ángulos internos de untriángulo esférico (medidos en radianes) cuyos lados son arcos de circunfer-encias máximas de dicha esfera, entonces la superficie S de dicho triángulovendrá dada por la expresión,

S = (�+ � + � �)R2 (1.24)



Al usar (1.23) la expresión (1.24) puede escribirse también como,

S = "R2 (1.25)

El anterior teorema es bastante sencillo de demostrar. Demostraciones de este teore-ma se pueden encontrar en las referencias [12], [13] y [14]. En el caso de que la esferasea unitaria resulta,

S = " (1.26)

resultado que será útil más adelante para calcular el ángulo sólido subtendido por untriángulo esférico con respecto a un punto.

1.1.5.4. Teoremas trigonométricos fundamentales para la resolución de triángulos es-féricos

Las demostraciones de las relaciones aquí presentadas pueden verse en las refer-encias [12], [14] y [15].

Teorema del Seno En todo triángulo esférico, los senos de los lados son proporcionalesa los senos de los ángulos opuestos,

Sen aSen�

= Sen bSen�

= Sen cSen

(1.27)

Esta relación permite calcular un lado o un ángulo, conocido su lado o ángulo opuestoy otro par de elementos opuestos

Teorema del Coseno para los lados En todo triángulo esférico, el coseno de un ladoes igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, más el producto de los senosde dichos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos,

8><>:Cos a = Cos bCos c+ Sen b Sen cCos�

Cos b = Cos aCos c+ Sen a Sen cCos �

Cos c = Cos aCos b+ Sen a Sen bCos

(1.28)



Teorema del Coseno para los ángulos internos En todo triángulo esférico el cosenode un ángulo interno es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dosángulos, más el producto de los senos de los mismos ángulos por el coseno del ladoadyacente a ambos,

8><>:Cos� = �Cos � Cos + Sen � Sen Cos aCos � = �Cos�Cos + Sen� Sen Cos bCos = �Cos�Cos � + Sen� Sen � Cos c

(1.29)

Teorema de la Cotangente En todo triángulo esférico la cotangente de un lado porel seno del otro es igual al coseno de éste por el coseno del ángulo comprendidoentre ambos lados, más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuestoal primer lado,

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

Ctg a Sen b = Cos bCos + Sen Ctg�

Ctg a Sen c = Cos cCos � + Sen � Ctg�

Ctg b Sen a = Cos aCos + Sen Ctg �

Ctg b Sen c = Cos cCos�+ Sen�Ctg �

Ctg c Sen a = Cos aCos � + Sen � Ctg

Ctg c Sen b = Cos bCos�+ Sen�Ctg

(1.30)

Los cuatro teoremas anteriores son las únicas relaciones independientes en triángu-los esféricos y, por consiguiente, bastan para resolver todos los problemas solubles.

1.1.5.5. Algunas relaciones trigonométricas derivadas

Para comodidad de operación se han derivado, de los anteriores teoremas, unagran variedad de relaciones trigonométricas. En lo siguiente, se presentan algunasque serán de utilidad más adelante.

Relación trigonométrica entre los lados de un triángulo esférico y sus alturas esféricas

Sen a Senha = Sen b Senhb = Sen c Senhc

=p1� Cos2 a� Cos2 b� Cos2 c+ 2Cos aCos bCos c

(1.31)


1.2. ANGULO SÓLIDO

que proviene, por ejemplo, de combinar las expresiones 44 y 57 (páginas 24 y 26) dela referencia [14], cuyas demostraciones aparecen como ejercicio.

Funciones trigonométricas de los semiángulos

8>><>>:Cos2 �

2= Sen p Sen(p�a)

Sen bSen c

Sen2 �2= Sen(p�b) Sen(p�c)

Sen bSen c

Tg2 �2=

Sen2 �2

Cos2 �2

= Sen(p�b) Sen(p�c)Sen p(p�a)

(1.32)

donde,p =

1

2(a+ b+ c) (1.33)

es el semiperímetro del triángulo esférico. Estas relaciones permiten calcular los ángu-los internos de un triángulo esférico, conocidos los tres lados o el semiperímetro y doslados.

Relación trigonométrica entre el exceso de un triángulo esférico y sus lados

8>>><>>>:Sen "

2=

p1�Cos2 a�Cos2 b�Cos2 c+2Cos aCos bCos c

4Cos a2Cos b

2Cos c

2

, Teorema de Cagnoli.

Cos "2= 1+Cos a+Cos b+Cos c

4Cos a2Cos b

2Cos c

2

Tg "2=

Sen "2

Cos "2=

p1�Cos2 a�Cos2 b�Cos2 c+2Cos aCos bCos c

1+Cos a+Cos b+Cos c

(1.34)

que provienen, por ejemplo, de las expresiones 351 y 359 (páginas 86 y 87) de la refer-encia [14], cuyas demostraciones están presentes.

1.2. Angulo Sólido

1.2.1. Definición

De la misma manera como se puede definir un ángulo plano como la relación entrela logitud del arco que se origina entre dos semirrectas que se interceptan y el radio dela circunferencia auxiliar usada, también existe una definición similar para un ánguloen tres dimensiones.

Supóngase ahora que se tiene una superficie abierta � en el espacio y un puntoP externo a la misma. Entonces al trazar semirrectas que partan desde el punto P y



Figura (1.20): Cono formado de manera tal que las semirectas que surgen del punto P tocan el cuerposin pasar nunca por su interior, es decir, lo bordean.

toquen � sin pasar a través de la misma (se pueden dibujar infinitas semirrectas), segenera un ángulo poliedro de infinitas caras, es decir, una superficie cónica como semuestra en la figura 1.20. De aquí en adelante a este ángulo poliedro se le dará elnombre de Angulo Sólido3, siendo el subtendido por � con respecto al punto P .

Figura (1.21): Angulo sólido subtendido por un cuerpo con respecto a un punto de referencia P .

Siguiendo operaciones semejantes a las del caso plano, si se dibuja una esferaauxiliar de radio R con centro en el punto P , ésta intercepta a la superficie cónicagenerando un sector esférico de superficie S como se muestra en la figura 1.21. Lasuperficie S así obtenida y � son homotéticas entonces, en base a lo estudiado en lasección 1.1.3.3, debe cumplirse la relación (1.17). La cantidad ahora tiene un sig-nificado particular pues es la medida del ángulo sólido antes mecionado. De esta

3En realidad a todos los ángulos poliedros se les denominan también ángulos sólidos.


1.2. ANGULO SÓLIDO

manera,

Angulo sólido= Superficie del sector esférico cortado sobre la esfera auxiliarRadio de la esfera auxiliar �! = S

R2(1.35)

Obviamente, aquí se cumplirá la propiedad (1.18), siendo ésta la que justifica elusar (1.35) cómo medida del ángulo sólido.

1. El ángulo sólido es un concepto geométrico que da una idea cuantita-tiva de la apertura con que se ve desde un punto una superficie deter-minada. Puede considerarse como el análogo tridimensional de lo querepresenta un ángulo en el plano (abertura con que se ve un arco desdeun punto); de allí su nombre.

2. El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desdeun punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada poruna superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto.

3. En referencia a la figura 1.21, el ángulo sólido también se puede entendercomo la superficie mínima de un obstáculo situado sobre la esfera de ra-dio unidad dispuesto de tal manera que un foco luminoso puntual situadoen P no ilumine ningún punto de la superficie S.

4. En términos simples, el ángulo sólido es la fracción de la superficie de unaesfera que cubre un objeto en particular cuando es visto por un obser-vador situado en el centro de la misma.

1.2.2. Unidades de ángulo sólido

También el número real en (1.35) es adimensional al igual que � en (1.1) pero, de-bido a que sirve para identificar un ángulo sólido, el Sistema Internacional de Unidadesle atribuye la unidad Estereoradián4, el cual se simboliza como sr. De forma análogaa la definición de 1 radián,

4El nombre se deriva del griego stereos para “sólida” y el radio en latín significa “rayo”.



Un estereorradián (sr) es el ángulo sólido subtendido por un cuerpo conrespecto al centro de una esfera auxiliar de radio R, de manera que el áreainterceptada por el cono sobre la superficie de la misma vale R2, es decir,

1 sr =R2

R2

como se muestra en la figura 1.22a.

Figura (1.22): (a) Definición de 1 estereorradián y (b) otras unidades para expresar ángulos sólidos.

Es fácil deducir, a partir de (1.35), que una esfera completa abarcará un ángulosólido,

=4�R2

R2= 4� sr (1.36)

Al igual que se pueden convertir radianes a grados, también puede convertir deestereorradianes a “grados cuadrados”. Si se tiene un cuadrado sobre la superficie deuna esfera cuyos lados son arcos s de circunferencia correspondientes cada uno aun ángulo plano �, como se muestra en la figura 1.22b, entonces la superficie S delcuadrado viene dada por,

S = s2 (1.37)

entonces al sustituir aquí (1.1) para s resulta,

S = R2�2 (1.38)

y al sustituir este resultado en (1.35) se obtiene finalmente el ángulo sólido,

= �2 radianes cuadrados (1.39)

que relaciona el radián con el estereorradián. De aquí se deduce que,

1 sr = 1 rad2 (1.40)


1.3. EXPRESIÓN DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SÓLIDO

o si se usa (1.10),

1 sr =�57; 295780

�2= 3282; 80 grados cuadrados (1.41)

Al igual que para los ángulos planos, se puede hablar de orientación con respectoa los ángulos sólidos. Por convenio, se dice que el ángulo sólido es positivo si desde elpunto P se divisa la cara negativa (cóncava) de la superficie que subtiende el mismo.El ángulo sólido será negativo si desde P se divisa la cara positiva (convexa) de lasuperficie.

1.3. Expresión diferencial e integral del Angulo Sólido

Supóngase ahora que se tiene una superficie plana muy pequeña dS, representadavectorialmente por el vector d

�!S perpendicular a ella, que está situada a una distancia

R de un punto fijo P y que está posicionada mediante el vector�!R = R bR con respecto

al mismo. El vector bR es un vector unitario en la dirección de�!R , es decir, bR = �!

RR

.

Figura (1.23): Angulo sólido subtendido por una supeficie diferencial dS con respecto a un punto P .

Gráficamente, igual que en la sección 1.2, el ángulo sólido subtendido por dS conrespecto al punto P se obtiene al trazar semirrectas desde este punto tocando dS sinpasar por su interior, como se muestra en la figura 1.23. De esta manera se obtiene unasuperficie cónica cuya abertura interior representa el ángulo sólido buscado, superficieque suele llamársele cono elemental, por ser dS una superficie elemental o diferencial.Por la misma razón, el ángulo sólido subtendido es también elemental o diferencial yserá denotado como d.

Para encontrar el valor numérico de d es necesario usar la definición (1.35) y, comoya se sabe de la seción antes mencionada, debe emplearse el procedimiento repre-sentado en la figura 1.24. Es decir, se dibuja una esfera unitaria auxiliar con centro en



Figura (1.24): Diferencial de angulo sólido d subtendido por una superficie infinitesimal dS con respectoa un punto de referencia P .

P , sobre la cual el cono intercepta una superficie dS 00 y otra esfera con centro en elmismo punto pero con radio igual a la distancia R entre P y dS, sobre la cual el conointercepta una superficie dS 0. Estas dos superficies son homotéticas, siendo la segun-da numéricamente igual al ángulo sólido buscado y la primera, aquella que debe sersustituida en (1.35). Entonces,

d =dS 0

R2(1.42)

Ahora para encontrar d es necesario conocer el valor de dS 0, que (al igual quedS 00) es un sector esférico diferencial. Obviamente,

�!R un vector normal al mismo.

Figura (1.25): Corte transversal del cono elemental de la figura 1.24.

Es posible aproximar, como se muestra en la figura 1.25, el valor de la superficie deeste sector esférico (por su condición diferencial) mediante una superficie diferencial


1.3. EXPRESIÓN DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SÓLIDO

plana dSp perpedicular a�!R y, por ende, tangente a dicho sector,

dS 0 � dSp (1.43)

En general5 la superficie dS formará un ángulo � 6= 0 con�!R y, por lo tanto, con la dSp.

Entonces,

dSp ' bR � d�!S = �!R

R� d�!S = Cos�dS (1.44)

de manera que, en vista de este resultado y de (1.43), la expresión (1.42) puede serescrita finalmente como,

d ' dS0

R2=

8><>:bR�d�!SR2�!R�d�!SR3

Cos�dSR2

(1.45)

que es la expresión diferencial buscada. Para determinar el ángulo sólido subtendidopor una superficie S es necesario integrar sobre toda ella (1.45) resultando,

=

8><>:RS

bR�d�!SR2R

S

�!R�d�!SR3R

SCos�dSR2

(1.46)

siendo la expresión integral buscada y que puede tomarse como definición formal delángulo sólido bajo el cual se ve la superficie S desde un punto de referencia P . Aquí�!R es cada vector con origen en P y extremo en un punto de cada dS.

En el caso de que el punto P no se encuentre en el origen del sistema de coorde-nadas escogido sino que se encuentra a una posición �!r 0 de éste (ver figura 1.26), elángulo sólido vendrá dado por la expresión,

(�!r 0; S) =RS

(�!r ��!r 0)�d�!S (�!r )

j�!r ��!r 0j3 (1.47)

que en función del vector�!R = �!r ��!r 0 se puede escribir como,

=

ZS

bR � d�!SR2

(1.48)

5La superficie dS puede ser considerada esencialmente plana debido a que es muy pequeña y, porende, es suficiente un único ángulo para indicar su orientación.



Figura (1.26): Angulo sólido cuando P no está en el origen del sistema de coordenadas escogido.

que es la misma definición (1.46).

El factor 1R2

en el integrando de (1.48) permite relacionar a la superficie proyecta-da bR � d�!S con una superficie definida en la esfera de radio unidad (esfera auxiliar)mediante una homotecia con centro en �!r 0, es decir, con centro en el centro de lamecionada esfera.

1.4. Propiedades del ángulo sólido

1.4.1. Propiedad 1

Cualquiera que sea el tamaño de la esfera auxiliar, el ángulo sólido

subtendido por un cuerpo con respecto a un punto P , y por ende la relación(1.35), se mantendrá constante si se mantiene también costante la distanciaentre ambos.

Esta propiedad es debida a la homotecia vista en la sección 1.1.3.3. Al igual comoocurre con los ángulos planos, si con centro en el punto P de la figura 1.21 se traza unaesfera auxiliar de radio R1, se obtiene una superficie S1 de manera que su cocienteda como resultado la medida del ángulo sólido subtendido por el rectángulo conrespecto a dicho punto. Si para la misma disposición se traza una nueva esfera auxiliarde radio R2 con centro en P se obtiene una superficie S2 dando su cociente como


1.4. PROPIEDADES DEL ÁNGULO SÓLIDO

resultado la misma medida y así sucesivamente, es decir,

Figura (1.27): Se cumple que S1R21= S2

R22� � � SnR2

n. Por esta razón sirve para identificar cada ángulo sólido.

=S1R21

=S2R22

= � � � = SnR2n

(1.49)

1.4.2. Propiedad 2

Para el mismo cuerpo, el ángulo sólido por él subtendido con respectoa un punto P será mayor mientras más cercano esté del mismo y menormientras lo esté más alejado.

Como se muestra en la figura 1.28 un angulo sólido puede ser el que subtiendeuna pantalla de cine frente a ojos de un observador. Si se ubica al observador en doslugares distintos P1 y P2 respecto a la pantalla de cine, desde la posición P1, la superficiede la pantalla proyectada sobre la esfera es S1. En la posición P2, la proyección de estamisma pantalla es S2. Por lo tanto, según (1.35), los ángulos sólidos serán,

1 =S1R

2 =S2R

(1.50)

En la figura antes mencionada se nota que 2 es mayor que 1, por estar el observadormás cerca de la pantalla. Debido a lo anterior, entonces es posible afirmar que: unángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto de referencia dado,midiendo su tamaño aparente.



Figura (1.28): Angulo sólido subtendido por una pantalla rectangular con respecto a dos puntos P1 y P2a diferentes distancias de la misma. El ángulo sólido con respecto al punto más cercano es mayor.

1.4.3. Propiedad 3

El ángulo sólido subtendido por dos superficies S1 y S2, que poseen elmismo perímetro C con respecto a un punto P externo a ambas, subtiendenel mismo ángulo sólido con respecto de dicho punto.

Considérese la figura 1.29. En dicha figura se muestran dos superficies S1 y S2 queposeen el mismo perímetro C con respecto al punto P y que juntas forman la superficiecerrada S. El perímetro C está determinado por todos los puntos de tangencia de lasuperficie cónica sobre la superficie cerrada S.

Figura (1.29): Dos superficies S1 y S2 que poseen el mismo perímetro C con respecto al punto P y quejuntas forman la superficie cerrada S.

En el caso de la superficie S1, su diferencial de superficie d�!S 1 apunta hacia adentro

de S y en el caso de S2, su diferencial de superficie d�!S 2 apunta hacia afuera de la



misma. Si el diferencial de superficie d�!S de S es definido de tal manera que apunte

siempre hacia afuera de la misma entonces,

ZS

�!r � d�!Sr3

=

ZS1

�!r ��d�!S 1

�r3| {z }

1

+

ZS2

�!r � d�!S 2

r3| {z }2

=

ZS2

�!r � d�!S 2

r3�ZS1

�!r � d�!S 1

r3(1.51)

donde se ha usado la definición de ángulo sólido (1.46). Pero a partir de Teorema deDivergencia Gauss [16], Z

S

�!r � d�!Sr3

=

ZV

�!r ��!rr3

�dV (1.52)

donde V es el volumen encerrado por S con P fuera del mismo. Para resolver la integralde la derecha, se desarrollará primero su integrando. En efecto6,

�!r ��!rr3

�=

�bex @@x

��!rr3

�+

�bey @@y

��!rr3

�+

�bez @@z

��!rr3

�(1.53)

puesto que�!r = bex @@x + bey @@y + bez @@z . Pero,

�!rr3

=xbex + ybey + zbez(x2 + y2 + z2)

32

=

"x

(x2 + y2 + z2)32

#bex + " y

(x2 + y2 + z2)32

#bey+

"z

(x2 + y2 + z2)32

#bez (1.54)

ya que �!r = xbex+ ybey + zbez y r2 = x2+ y2+ z2. Entonces, al sustituir (1.54) en (1.53) resulta,

�!r ��!rr3

�=

@

@x

"x

(x2 + y2 + z2)32

#+@

@y

"y

(x2 + y2 + z2)32

#+@

@z

"z

(x2 + y2 + z2)32

#

=�2x2 + y2 + z2

(x2 + y2 + z2)52

+x2 � 2y2 + z2

(x2 + y2 + z2)52

+x2 + y2 � 2z2

(x2 + y2 + z2)52

o,�!r �

��!rr3

�= 0 (1.55)

Ahora, si se sustituye este resultado en (1.52) se obtiene,ZS

�!r � d�!Sr3

= 0 (1.56)

6Estos cálculos son menos tediosos si se utiliza notación indicial, mediante la cual�!r = bei @

@xi, �!r = beixi y

r2 = x2i (por el convenio de suma de Einstein y donde i = 1 : : : 3, x1 = x, x2 = y, x3 = z).



que al ser sutuida en (1.51) da como resultado final que,ZS1

�!r � d�!S 1

r3=

ZS2

�!r � d�!S 2

r3

o,1 = 2 (1.57)

1.4.4. Propiedad 4

Dado un cono correspondiente a un ángulo sólido subtendido conrespecto a un punto dado P (que es su vértice), todas las superficies queestén inscritas él subtenderán el mismo ángulo sólido con respecto a P .

Esta propiedad es consecuencia de la anterior. Si como se muestra en la figura1.30 las superficies S1; S2; S3; : : : ; Sn tienen todas curvas perimetrales inscritas en un conocomún que tiene vértice en P , entonces todas subtenderán un mismo ángulo sólido con respecto a dicho vértice.es decir,

Figura (1.30): Soperficies que subtienden un mismo ángulo sólido con respecto a un punto de referen-cia P .

S1 = S2 = S3 = � � � = Sn (1.58)

1.4.5. Propiedad 5

El ángulo sólido subtendido por una superficie S con respecto a unpunto P , es igual a la superficie que se origina sobre la esfera unitaria cen-trada en P , debido a la intersección de las líneas rectas que van desde Phasta el perímetro de S.



Considérese la figura 1.31. En esta figura S es una superficie cuyo ángulo sólidosubtendido con respecto a P se desea calcular. Para hacer esto, como ya se vio antes,se posiciona una esfera auxiliar de radio R de tal manera que su centro coincida conP y luego se trazan líneas rectas desde P hasta el perímetro C de S. La intersección delas líneas rectas con la superficie de la esfera origina el perímetro C1 que da forma a lasuperficie S1. La superficie S3 (representada por la zona con entramado) es la formadapor la superficie S1 más la superficie S2 de la pared del cono que se encuentra entreel perímetro C1 de S1 y el perímetro C de S, es decir,

S3 = S1 + S2 (1.59)

Figura (1.31): Proyección de la superficie S sobre la superficie de la esfera auxiliar de radio R = 1.

Las superficies S y S3 poseen el mismo perímetro C con respecto a P , así mediantela propiedad anterior es posible escribir que,

S = S3 (1.60)

y además, las superficies S3 y S1 poseen el mismo perímetro C1 con respecto a P

pudiéndose escribir,S3 = S1 (1.61)

entonces de este resultado y del (1.61) se puede concluir que,

S = S1 (1.62)

El ángulo sólido S1 se obtiene a partir de la definición de ángulo sólido (1.46) como,

S1 =

ZS1

�!r � �!dS1r3

(1.63)



pero aquí r = R por estar dS1 sobre la esfera auxiliar. Supóngase ahora que la esfera esunitaria, es decir, R = 1. Entonces, �!r es un vector unitario para S1 perpendicular a dS1y, por ende, paralelo a d

�!S 1. Por lo tanto,

�!r � �!dS1r3

= dS1 (1.64)

resultando a partir de (1.63) que,

S1 =

ZS1

dS1

o,S1 = S1 (1.65)

Finalmente al sustituir el resultado (1.65) en (1.62) se obtiene,

S = S1

como se quería mostrar.

Por el anterior resultado se puede decir que,

Se define el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie desde elpunto P como el área de la proyección cónica de dicha superficie sobreuna esfera de radio unidad centrada en P .

1.4.6. Propiedad 6

El ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada S con respectoa un punto P externo a la misma es nulo.

Esta propiedad es consecuencia de la propiedad 3 y está demostrada por la expre-sión (1.56). La situación descrita se muestra en la fugura 1.32, donde la curva perimetralC está formada por todos los puntos tangentes sobre S de las semirrectas que partende P y pasan por los bordes de la misma.

1.4.7. Propiedad 7

El ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada S con respectoa un punto P interno a la misma es 4� sr.



Figura (1.32): Angulo sólido subtendido por una superficie cerrada S con respecto a un punto P exter-no a la misma.

Se tiene una superficie cerrada S como la mostrada en la figura 1.33a y se de-sea calcular el ángulo sólido por ella subtendido con respecto al punto P que seencuentra en su interior.Procediendo de la forma ya descrita, se dibuja una esfera

Figura (1.33): (a) Superficie cerrada S con un punto P en su interior, respecto del cual se desea calcularel ángulo sólido subtendido por la misma. (b) La superficie de la esfera auxiliar quedará completa-mente cubierta al proyectar S sobre la misma

unitaria (R = 1) auxiliar en su interior con centro en P y se procede a proyectar S so-bre la superficie de la misma, como se muestra en la figura 1.33b. Obviamente estaproyección da como resultado toda la superficie S1 de la esfera auxiliar. Estonces porla propiedad 5 se tiene que,

S = S1 (1.66)

pero,S1 = 4�R = 4� (1.67)

por ser unitaria. Entonces al sustituir este resultado en (1.66) se obtiene finalmente,

= 4� sr (1.68)



como se quería mostrar.

1.4.8. Propiedad 8

Si se tienen dos conos opuestos por su vértice P , los ángulos sólidos alos que corresponden ambos son iguales.

A partir de la figura 1.34 es realmente obvio llegar a la conclusión de que,

1 = 2 (1.69)

Figura (1.34): Angulos sólidos 1 y 2 opuestos por el vértice.

1.5. Diferenciales notables de ángulo sólido

1.5.1. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de su-perficie Cartesiano

En la figura 1.35 se observa una superficie diferencial dS que está sobre la superficieplana S. En coordenadas Cartesianas se tiene que,

dS = dxdy (1.70)

como se puede determinar fácilmente de la mencionada figura.Ahora bien, a partir de la definición de ángulo sólido (1.45) se tiene que el ángulo

sólido diferencial d subtendido por la superficie diferencial dS con respecto al puntoP viene dado por,

d =Cos�dS

R2(1.71)


1.5. DIFERENCIALES NOTABLES DE ÁNGULO SÓLIDO

Figura (1.35): Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superficie Cartesiano

o al sustituir (1.71),

d =Cos�dxdy

R2(1.72)

pero de la figura es fácil determinar que,

Cos� =z

R(1.73)

R2 = x2 + y2 + z2 (1.74)

entonces al sustituir estas expresiones en (1.72) resulta finalmente,

d = zdxdy

(x2+y2+z2)32

(1.75)

que es el ángulo sólido diferencial buscado.

Hay que tener presente que,

La expresión (1.75) es más útil cuando se desea determinar el ángulosólido de una superficie rectangular, aunque las integrales tienden a ser difí-ciles de resolver.



1.5.2. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de su-perficie cilíndrico

En la figura 1.37 se observa una superficie diferencial dS que está sobre la superficiede una esfera de radio r = R. En coordenadas esféricas se tiene que,

dS = (rd') (dr) = rdrd' (1.76)

como se puede determinar fácilmente de la mencionada figura.

Figura (1.36): Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superficie cilíndrico.

A partir de la definición de ángulo sólido (1.45) se tiene que el ángulo sólido diferen-cial d subtendido por la superficie diferencial dS con respecto al punto P viene dadopor,

d =Cos�dS

R2(1.77)

entonces al sustituir (1.76) en esta expresión se obtiene,

d =Cos�rdrd'

R2(1.78)

pero de la figura 1.37 también es fácil determinar que,

Cos� =z

R(1.79)

R2 = r2 + z2 (1.80)


1.5. DIFERENCIALES NOTABLES DE ÁNGULO SÓLIDO

que al ser sustituidas en (1.78) producen el resultado final,

d = zrdrd'

(r2+z2)32

(1.81)

que es el ángulo sólido diferencial buscado. También puede ser escrito como,

d = zdRd'R2

(1.82)


La expresines (1.81) y (1.82) es más útil cuando se desea determinar elángulo sólido de superficies planas que son secciones de discos.

1.5.3. Diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de su-perficie esférico

En la figura 1.37 se observa una superficie diferencial dS que está sobre la superficiede una esfera de radio r = R. En coordenadas esféricas se tiene que,

dS = (r Sen �d') (rd�) = r2 Sen �d�d' (1.83)

como se puede determinar fácilmente de la figura.Para una esfera de radio R se ten-drá que,

dS = R2 Sen �d�d' (1.84)

Ahora bien, a partir de la definición de ángulo sólido (1.45) se tiene que el ángulosólido diferencial d subtendido por la superficie diferencial dS con respecto al puntoP viene dado por,

d =Cos�dS

R2(1.85)

o al sustituir (1.84),d = Cos� Sen �d�d' (1.86)

observándose que es independiente del radio de la esfera. Por último, como d�!S es

paralelo a�!R (puesto que aquí R es siempre perpendicular a dS) entonces � = 0 resul-

tando finalmente,

d = Sen �d�d' (1.87)



Figura (1.37): Diferencial de ángulo sólido d subtendido por un diferencial de superficie dS esférico.

que es el ángulo sólido diferencial buscado.


La expresión (1.87) es más útil para situaciones en las cuales es nece-sario determinar el ángulo sólido asociado con una sección de la superficiede una esfera, especialmente para secciones bordeadas por líneas ' con-stantes y � constantes.

1.6. Diferencial de superficie y diferencial de volumen enfunción del ángulo sólido

1.6.1. Diferencial de superficie dS

El diferencial de superficie dS en coordenadas esféricas viene dado por,

dS = r2 Sen �d�d' (1.88)

como se vio en la sección anterior con referencia a la figura 1.37. Entonces, al sustituir(1.87) en esta expresión resulta,

dS = r2d (1.89)

como era de esperarse por la definición de ángulo sólido (1.45).


1.7. ECUACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL ÁNGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNTRIÁNGULO UTILIZANDO TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Y CÁLCULO VECTORIAL

1.6.2. Diferencial de volumen dV

En la figura 1.38 se muestra un diferencial de volumen dV en coordenadas esféricas.Es fácil determinar a partir de la misma que,

Figura (1.38): Diferencial de volumen dV en coordenadas esféricas.

dV = (rd�) (r Sen �d') (dr) = r2 Sen �drd�d' (1.90)

entonces, al sustituir (1.87) en esta expresión resulta,

dV = r2drd (1.91)

que es la expresión buscada.

1.7. Ecuación para el cálculo del ángulo sólido subtendi-do por un triángulo utilizando trigonometría esférica ycálculo vectorial

Se tiene un triángulo escaleno �A0B0C 0 que subtiende un ángulo sólido con re-specto al punto P , como se muestra en la figura 1.39.Si ahora se dibuja una esferaunitaria auxiliar con centro en P , entonces se genera un triángulo esférico �ABC so-bre la superficie de la misma, como puede observarse en la figura 1.40. Este triángulo



Figura (1.39): Triángulo escaleno �A0B0C 0 cuyo ángulo sólido subtendido con respecto al punto P sedesea calcular.

resulta de la intecepción del cono generado por el triángulo �A0B0C 0 con la superficiede la esfera unitaria auxiliar.

Figura (1.40): (a) Angulo sólido subtendido por el triángulo escaleno �A0B0C 0 con respecto al puntoP . (b) Vista ampliada del triángulo esférico resultante �ABC.

Como se sabe de antes, debido a que la esfera auxiliar es unitaria entonces elángulo sólido es numéricamente igual a la superficie S�ABC del triángulo �ABC ,

= S�ABC (1.92)

y además, a partir de (1.26), por la misma razón se cumple también que,

S�ABC = " (1.93)



entonces, al combinar ambas expresiones resulta,

= " (1.94)

1.7.1. Primer enfoque

A continuación se presentará el cálculo de utilizando trigonometría esférica ycálculo vectorial, siguiendo los cálculos mostrados en la referencia [17].

Por la segunda de las relaciones trigonométricas (1.34) se tiene que,

Cos"

2=1 + Cos a+ Cos b+ Cos c

4Cos a2Cos b

2Cos c

2

(1.95)

la cual, debido al resultado (1.94), puede ser escrita como,

Cos

2=1 + Cos a+ Cos b+ Cos c

4Cos a2Cos b

2Cos c

2

(1.96)

Esta expresión puede ser fácilmente reescrita de una forma más compacta utilizandosumatorias y productorias. En efecto,

Cos

2=

1 +3Pi=1

Cos �i

43Qi=1

Cos �i2

(1.97)

donde �1 = a, �2 = b y �3 = c.

Por otro lado, de la trigonometría plana se tiene que para un ángulo � se cumpleque,

Cos2�

2=

1

2(1 + Cos �) (1.98)

1 = Sec2 � � Tg2 � (1.99)

entonces es posible escribir,

Cos2�

2=

1

2(1 + Cos �) (1.100)

Tg2

2= Sec2

2� 1 = 1

Cos2 2

� 1 (1.101)

Ahora bien, al elevar al cuadrado (1.97) resulta,

Cos2

2=

�1 +

3Pi=1

Cos �i

�2�4

3Qi=1

Cos �i2

�2SOLDOVIERI C., Terenzio - VILORIA A., Tony. El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015. Pág.: 43


o,

Cos2

2=

�1 +

3Pi=1

Cos �i

�216

3Qi=1

Cos2 �i2

(1.102)

ya que, �3Qi=1

Cos�i2

�2=

3Qi=1

Cos2�i2

(1.103)

por las propiedades de las productorias [18]. Entonces, al sustituir (1.100) en (1.102) seobtiene,

Cos2

2=

�1 +

3Pi=1

Cos �i

�22

3Qi=1

(1 + Cos �i)

(1.104)

donde se ha tenido presente que,

3Qi=1

1

2(1 + Cos �i) =

1

8

3Qi=1

(1 + Cos �i) (1.105)

nuevamente, debido a las propiedades de las productorias. Al sustituir (1.104) en (1.101)resulta que,

Tg2

2=

23Qi=1

(1 + Cos �i)�1 +

3Pi=1

Cos �i

�2 � 1o,

Tg

2=

"2

3Qi=1

(1 + Cos �i)��1 +

3Pi=1

Cos �i

�2# 12

1 +3Pi=1

Cos �i

(1.106)

Desarrollando los términos entre corchetes se obtiene,8>>>>>>><>>>>>>>:

�1 +

3Pi=1

Cos �i

�2= 1 + 2

3Pi=1

Cos �i +

�3Pi=1

Cos �i

�2�

3Pi=1

Cos �i

�2= (Cos �1 + Cos �2 + Cos �3)

2 =3Pi=1

Cos2 �i + 2W

3Qi=1

(1 + Cos �i) = (1 + Cos �1) (1 + Cos �2) (1 + Cos �3) =3Qi=1

Cos �i +3Pi=1

Cos �i +W + 1

(1.107)donde,

W = Cos �1Cos �2 + Cos �1Cos �3 + Cos �2Cos �3 (1.108)



En vista de los anteriores resultados, la expresión (1.106) puede ser escrita ahora como,

Tg

2=

s1�

3Pi=1

Cos2 �i + 23Qi=1

Cos �i

1 +3Pi=1

Cos �i

(1.109)

donde se ha dejado inalterado el denominador. Obsérvese ahora que el numeradorde la anterior expresión es, debido a la relación trigonométrica (1.31), igual al produc-to Sen a Senha. Entonces,

Tg

2=Sen a Senha

1 +3Pi=1

Cos �i

(1.110)

Considérense ahora los vectores �!r 1, �!r 2 y �!r 3 que posicionan respectivamente losvértices A0, B0 y C 0 del triángulo �A0B0C 0 con respecto al punto P , como se puede veren la figura 1.41a.

Figura (1.41): (a) Vectores de posición de los vértices del triángulo plano �A0B0C 0 con respecto al pun-to P . (b) Vectores de posición de los vértices del triángulo plano �A0B0C 0 y de su centroide C, todoscon respecto al punto P . Se muestra, además, el vector unitario bn perpendicular a la superficie delmencionado triángulo. Se ha girado con respecto al de la figura 1.40, para poder observar mejor losdetalles.

Al multiplicar numerador y denominador de (1.111) por el producto de los módulosde estos tres vectores resulta,

Tg

2=

r1r2r3 Sen a Senhar1r2r3 + r1r2r3Cos a+ r1r2r3Cos b+ r1r2r3Cos c

(1.111)



pero,

r1r2r3 Sen a Senha| {z }=Cos(�2�ha)

= r1(r2r3 Sen a)| {z }=j�!r 2��!r 3j

Cos��2� ha

�= r1 j�!r 2 ��!r 3jCos

��2� ha

�(1.112)

siendo �2� ha el ángulo entre el vector �!r 1 y �!r 2��!r 3, por lo que al usar la definición de

producto escalar resulta,

r1r2r3 Sen a Senha =�!r 1 � (�!r 2 ��!r 3) = [�!r 1�!r 2�!r 3] , producto escalar triple (1.113)

y además, al usar nuevamente la definición de producto escalar,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

r1r2r3Cos a = r1(r2r3Cos a)| {z }=�!r 2��!r 3

= r1 (�!r 2 � �!r 3)

r1r2r3Cos b = r2(r1r3Cos b)| {z }=�!r 1��!r 3

= r2 (�!r 1 � �!r 3)

r1r2r3Cos c = r3(r1r2Cos c)| {z }=�!r 1��!r 2

= r3 (�!r 1 � �!r 2)

(1.114)

por lo que finalmente,

= 2Tg�1�

[�!r 1�!r 2�!r 3]r1r2r3+r1(�!r 2��!r 3)+r2(�!r 1��!r 3)+r3(�!r 1��!r 2)

�(1.115)

que es la expresión mostrada en la referencia mencionada al principio de la presentesección.

1.7.2. Segundo enfoque

Otro posible enfoque del mismo problema es el que se presenta en las referencias[19], [20].

Los ángulos internos �, � y pueden ser hallados a partir de,

� = Tg�1j(�!r 3 ��!r 1)� (�!r 1 ��!r 2)j� (�!r 3 ��!r 1) � (�!r 1 ��!r 2)

(1.116)

Los ángulos � y se hallan a partir de esta misma expresión permutando cíclicamentelos índices de los vectores, es decir,

� = Tg�1j(�!r 2 ��!r 3)� (�!r 3 ��!r 1)j� (�!r 2 ��!r 3) � (�!r 3 ��!r 1)

(1.117)



Figura (1.42): (a) Retángulo subdividido en dos triángulos. (b) Pentágono subdividido en tres triángulos.

= Tg�1j(�!r 1 ��!r 2)� (�!r 2 ��!r 3)j� (�!r 1 ��!r 2) � (�!r 2 ��!r 3)

(1.118)

Se debe dibujar un vector �!r c desde P hasta el centroide del triángulo plano �A0B0C 0 yun vector unitario bn en la dirección normal hacia afuera del mismo, como se muestraen la figura 1.41b.

Bajo las anteriores condiciones se puede mostrar que el ángulo sólido vendrádado por,

="

j�!r c � bnj�!r c � bn (1.119)

o,

= (�+�+ ��)j�!r c�bnj �!r c � bn (1.120)

donde se ha usado (1.24).

Figura (1.43): (a) Superficie S de forma compleja representada mediante un gran número de pequeñostriángulos cuyos vértices están sobre la misma. Figura tomada de la referencia [21]. (b) Malla basadaen icosaédrica con 1280 triángulos proyectados sobre una esfera. Figura tomada de la referencia [22].(c) Triangulación de un torso humano. Figura tomada de la referencia [23].



Las expresiones (1.115) y (1.120) son muy útiles ya que pueden facilitar el cálculodel ángulo sólido subtendido por una superficie S cualquiera, pues siempre se la po-drá subdividir en triángulos cuyos vértices estén sobre la misma. En los casos en que Ssea un polígono, por ejemplo, puede ser subdividido en unos pocos triángulos, siendoel ángulo sólido subtendido por el mismo la suma de los ángulos sólidos de cada unode estos triángulos, como se muestra en la figura 1.42 para el caso de un tetrágono(cuadrilátero) y un pentágono. En el caso de que S sea compleja se puede subdividiren una gran cantidad de pequeños triángulos, como las mostradas en la figura 1.43por ejemplo, empleándose luego el cálculo numérico computacional para determi-nar la suma de los ángulos sólidos de cada uno de ellos [24], [19], [20], [25], [26], [22],[27].


CAPÍTULO 2

Algunos ejemplos de cálculo de Angulos Sólidos

CONTENIDO DEL CAPITULO2.1. Angulo sólido subtendido por una super�cie plana pequeña . . . . . . 50

2.2. Angulo sólido subtendido por un casquete esférico . . . . . . . . . . . 51

2.2.1. Conociendo de antemano la super�cie del casquete . . . . . . . . . . . . 52

2.2.2. Sin tener de antemano la super�cie del casquete . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Angulo sólido subtendido por una super�cie pequeña que está sobreuna esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto quese encuentra en su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1. Usando coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2. Usando coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto a un punto quese encuentra fuera de su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferencial de super-�cie comprendido entre dos meridianos de una esfera con respectoal centro de la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferencial de super-�cie comprendido entre dos paralelos de una esfera con respecto alcentro de la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8. Angulo sólido de la super�cie formada por la intersección de dosmeridianos con dos paralelos de una esfera con respecto al centro dela misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

49

CAPÍTULO 2. ALGUNOS EJEMPLOS DE CÁLCULO DE ANGULOS SÓLIDOS

2.9. Angulo sólido subtendido por una esfera y un hemisferio con respectoa su centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.1. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.9.2. Hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.10. Angulo sólido según el cual se ve el espacio comprendido en el inte-rior de un diedro de ángulo � desde un punto P de su arista . . . . . 62

2.11. Angulo sólido subtendido por una de las caras de un cubo con re-specto a un punto situado en el centro del mismo . . . . . . . . . . . . 63

2.11.1. En coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.11.2. En coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.11.3. Utilizando la expresión vectorial (primer enfoque) . . . . . . . . . . . . 68

2.11.4. Utilizando la expresión vectorial (segundo enfoque) . . . . . . . . . . . . 70

2.12. Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto aun punto situado en su eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.13. Angulo sólido subtendido por una placa rectangular con respecto aun punto situado directamente sobre uno de sus vértices . . . . . . . 78

En general, el cálculo de ángulos sólidos para distintas situaciones resulta en expre-siones integrales que deben resolverse aplicando métodos numéricos. En el presentecapítulo se mostrarán algunos ejemplos ilustrativos de la forma cómo se calculan án-gulos sólidos, para así familiarizar al lector al respecto.

2.1. Angulo sólido subtendido por una superficie plana pe-queña

Dada la superficie S plana y pequeña (ver figura 2.1) situada a una distancia R

con respecto a un punto P , se quiere calcular el ángulo sólido subtendido por ella conrespecto a dicho punto. Se supondrá que las dimensiones de S mucho menores queR.

El ángulo sólido según (1.46) viene dado por,

=

ZS

Cos�dS

R2(2.1)

En este caso la distancia desde P a cualquier parte de la superficie S es prácticamentela misma, por lo tanto R es efectivamente constante sobre dicha superficie. Como


2.2. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UN CASQUETE ESFÉRICO

Figura (2.1): Angulo sólido subtendido por una superficie S plana y pequeña con respecto a un puntoP situado a una distancia R de la misma.

Figura (2.2): (a) Casquete esférico y (b) Cálculo del ángulo sólido subtendido por un casquete esféricocon respecto a un punto P situado en el centro de la esfera que lo genera. Se utilizan coordenadasesféricas con origen 0 en P .

consecuencia de lo anterior el ángulo � es constante resultando,

=Cos�

R2

ZS

dS

o,

= SR2Cos� (2.2)

2.2. Angulo sólido subtendido por un casquete esférico

Un casquete esférico es la parte de una esfera cortada por un plano, como semuestra en la figura 2.2a. Se calculará el ángulo sólido subtendido por el mismo conrespecto a un punto P situado en el centro de la esfera que lo genera, empleandocoordenadas esféricas con origen 0 situado en P . En este caso es posible hacerlo dedos formas:



2.2.1. Conociendo de antemano la superficie del casquete

Con las dimensiones indicadas en la figura 2.2b la superficie S del casquete esféricoviene dada por,

S = 2�rh (2.3)

como es fácil encontrar en la bibliografía relacionada. Por otro lado, del triángulo40AB es fácil determinar que,

Cos � =r � hr

o,h = r (1� Cos �) (2.4)

que al ser sustituida en (2.3) resulta en,

S = 2�r2 (1� Cos �) (2.5)

Finalmente, al sustituir el resultado (2.5) en la definición para el ángulo sólido (1.35)se obtiene,

=S

R2

o,

= 2� (1� Cos �) (2.6)

donde se ha tenido presente que R = r.

2.2.2. Sin tener de antemano la superficie del casquete

Utilizando coordenadas esféricas como se indica en la figura 2.2b se tiene que elelemento de superficie dS viene dado por,

dS = r2 Sen �d�d' (2.7)

que al ser sustituida en la definición para el ángulo sólido (1.46) resulta en,

=

ZS

Cos� Sen �d�d' (2.8)

Como la superficie del casquete está contenida completamente en la esfera se tieneque � = 0 de manera que,

=

Z 2�

0

Z �

0

Sene�de�d' (2.9)


2.3. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA SUPERFICIE PEQUEÑA QUE ESTÁ SOBREUNA ESFERA

donde se ha usado una tilde � para distinguir entre la variable � y la � en uno delos límites de integración. Se pudo haber usado directamente la integración de laexpresión (1.87). Finalmente al integrar la anterior expresión se obtiene,

= 2� (1� Cos �) (2.10)

que, como era de esperarse, es idéntico al resultado (2.6).

2.3. Angulo sólido subtendido por una superficie pequeñaque está sobre una esfera

Se tiene una pequeña superficie sobre una esfera de radio R y centro P como semuestra en la figura 2.3. Para esta sencilla situación se desea calcular el ángulo sólido que subtiende S con respecto al centro P de la esfera.

Figura (2.3): Superficie pequeña S sobre una esfera de radio R y centro P .

A partir de la definición para el ángulo sólido (1.46) se tiene que,

=

ZS

Cos�dS

R2(2.11)

En este caso � = 0 y R es igual al radio de la esfera para cualquer punto sobre S.Entonces,

=1

R2

ZS

dS

o,

= SR2

(2.12)



2.4. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto aun punto que se encuentra en su eje de simetría

En la figura 2.4a se muestra un disco de superficie S y de radio b que se encuentra auna distancia h de un punto P ubicado sobre su eje de simetría. Se calculará el ángulosólido subtendido por el disco con respecto al punto P [2].

Figura (2.4): (a) Disco de radio b que se encuentra a una distancia h de un punto P ubicado sobresu eje de simetría y (b) Cálculo del ángulo sólido subtendido por el disco con respecto a P usandocoordenadas cilíndricas.

2.4.1. Usando coordenadas cilíndricas

Con la finalidad de usar (1.46) para calcular , se recubrirá toda S mediante unaserie de coronas circulares concéntricas como el mostrado en la figura 2.4b. El radiointerno de cada una de estas superficies es r y el radio externo es r + dr, de maneraque la superficie de cada corona circular viene dada por,

dS = � (r + dr)2 � �r2 = 2�rdr (2.13)

donde se ha despreciado el término de segundo orden de dr0 ya que éste es infinites-imalmente pequeño. Es fácil determinar a partir del triángulo 4APC que cada puntosobre la corona circular está a una distancia de P dada por,

R =ph2 + r2 (2.14)


2.4. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UN DISCO CON RESPECTO A UN PUNTO QUESE ENCUENTRA EN SU EJE DE SIMETRÍA

y además,

Cos� =h

R(2.15)

entonces, a partir de (1.46) el ángulo sólido buscado vendrá dado por,

=

ZS

cos�dS

R2(2.16)

Ahora bien, al sustituir los resultados (2.14) a (2.15) en (2.16) resulta,

= 2�h

Z b

0

rdr

(h2 + r2)3=2(2.17)

que al ser integrada resulta finalmente en,

= 2��1� hp

h2+b2

�(2.18)

que es el ángulo sólido buscado.

El resultado (2.18) pudo haberse obtenido directamente a partir de,

= h

Z 2�

0

Z b

0

rdrd'

(h2 + r2)3=2(2.19)

que es la integración de (1.81).

Este ángulo sólido es posible escribirlo en función del semiángulo � subtendido porel disco con respecto a P . En efecto, a partir del triángulo 4ABP es fácil determinarque,

Tan � =b

ho,

b = hTan � (2.20)

que al ser sustituida en (2.18) resulta en,

= 2� (1� Cos �) (2.21)

Por último, si � es pequeño entonces Cos � ' 1 � 12�2 por lo que el resultado (2.21)

puede escribirse como,

= ��2 (2.22)



Figura (2.5): Cálculo del ángulo sólido subtendido por el disco con respecto a P , usando coordenadasesféricas.

2.4.2. Usando coordenadas esféricas

Al usar coordenadas esféricas (ver figura 2.5), el diferencial de ángulo sólido vendrádado a partir de (1.87),

d = Sen �d�d' (2.23)

entonces,

=

Z 2�

0

Z �

0

Sen �d�d' (2.24)

donde � es el valor que toma � en el borde del disco, es decir, es el semiángulo sub-tendido por el disco con respecto a P . Al integrar resulta,

= 2� (1� Cos �) (2.25)

que es idéntico al resultado (2.21). Y como,

Cos � =hp

h2 + b2(2.26)

que al ser sustituida en (2.25) da como resultado,

= 2�

�1� hp

h2 + b2

�(2.27)

que es idéntico al resultado (2.18).


2.5. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UN DISCO CON RESPECTO A UN PUNTO QUESE ENCUENTRA FUERA DE SU EJE DE SIMETRÍA

2.5. Angulo sólido subtendido por un disco con respecto aun punto que se encuentra fuera de su eje de simetría

En la figura 2.6 se muestra un disco de superficie S y de radio b que se encuentra auna distancia h de un punto P ubicado fuera de su eje de simetría [28]. Se calcularáel ángulo sólido subtendido por el disco con respecto al punto P .

Figura (2.6): Cálculo del ángulo sólido para un disco de superficie S y de radio b que se encuentra a unadistancia h de un punto P ubicado fuera de su eje de simetría.

Del triángulo 4A0P , usando el Teorema del Coseno, es posible determinar que,

R02 = r2 + d2 � 2rdCos ('o � ') (2.28)

y usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo 4A0P que,

R02 = R2 � h2 (2.29)

por lo tanto, al sustituir (2.29) en (2.28) y despejando q2, se obtiene,

R2 = h2 + r2 + d2 � 2rdCos ('o � ') (2.30)

Además, (Cos� = h

R

dS = rdrd'(2.31)

Ahora, a partir de (1.46) el ángulo sólido buscado vendrá dado por,

=

ZS

Cos�dS

R2(2.32)



Entonces, al sustituir los resultados (2.30) y (2.31) en (2.32) resulta finalmente,

= hR 2�0

R b0

r

[h2+r2+d2�2rdCos('o�')]3=2drd' (2.33)

Nótese aquí que al hacer d = 0 (P está en el eje de simetría) se obtiene (2.19) comodebería esperarse ya que, al hacer esto, el presente caso se reduce al estudiado enla sección anterior.

Para resolver la integral (2.33) suelen aplicarse métodos numéricos, métodos semi-analíticos y aproximaciones.

2.6. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferen-cial de superficie comprendido entre dos meridianosde una esfera con respecto al centro de la misma

La figura 2.7 muestra el diferencial de superficie dS que se forma entre dos meridi-anos ' y ' + d' de una esfera de radio R. Se desea calcular el ángulo sólido d sub-tendido por este diferencial de superficie con respecto al centro de la esfera [2].

Figura (2.7): Diferencial de superficie dS entre dos meridianos ' y '+ d' de una esfera de radio R.

En coordenadas esféricas el elemento de superficie dS viene dado por,

dS = R2 Sen �d�d' (2.34)


2.7. DIFERENCIAL DE ÁNGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR EL DIFERENCIAL DE SUPERFICIECOMPRENDIDO ENTRE DOS PARALELOS DE UNA ESFERA CON RESPECTO AL CENTRO DE

LA MISMA

puesto que r = R.

A partir de (1.45) el ángulo sólido d viene dado por,

d =Cos�dS

R2(2.35)

pero para el presente caso � = 0 entonces,

d =dS

R2(2.36)

Ahora, al sustituir (2.34) en este último resultado se obtiene,

d = Sen �d�d' (2.37)

por lo tanto el ángulo sólido d buscado vendrá dado por,

d = d'

Z �

0

Sen �d�

o,

d = 2d' (2.38)

que es el diferencial de ángulo sólido buscado.

2.7. Diferencial de ángulo sólido subtendido por el diferen-cial de superficie comprendido entre dos paralelos deuna esfera con respecto al centro de la misma

La figura 2.8 muestra el diferencial de superficie dS que se forma entre dos paralelos� y �+d� de una esfera de radio R. Se desea calcular el diferencial de ángulo sólido dsubtendido por este diferencial de superficie con respecto al centro de la esfera [2].

Partiendo del resultado (2.37) del ejemplo anterior se puede escribir que,

d = Sen �d�

Z 2�

0

d' (2.39)

resultando,

d = 2� Sen �d� (2.40)

que es el diferencial de ángulo sólido buscado.



Figura (2.8): Diferencial de superficie dS entre dos paralelos � y � + d� de una esfera de radio R..

2.8. Angulo sólido de la superficie formada por la intersec-ción de dos meridianos con dos paralelos de una es-fera con respecto al centro de la misma

La figura 2.8 muestra la superficie S que se forma por la intersección de los meridi-anos '1 y '2 con los paralelos �1 y �2.

Calcular el ángulo sólido subtendido por S con respecto al centro de la esfera es


2.9. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA ESFERA Y UN HEMISFERIO CON RESPECTOA SU CENTRO

Figura (2.9): (a) Esfera de radio R. (b) Hemisferio de radio R.

realmente sencillo. El diferencial de ángulo sólido d viene dado por (1.87),

d = Sen �d�d' (2.41)

entonces,

=

Z '2

'1

Z �2

�1

Sen �d�d' (2.42)

que al ser integrada resulta en,

= ('2 � '1) (Cos �1 � Cos �2) (2.43)

que es el ángulo sólido buscado.

2.9. Angulo sólido subtendido por una esfera y un hemisfe-rio con respecto a su centro

En la figura 2.9 se muestran una esfera y un hemisferio cuyo ángulo sólido subten-dido con respecto a su centro se desea calcular.

Para ambos casos se usará la expresión (1.87),

d = Sen �d�d' (2.44)



2.9.1. Esfera

Para la esfera se tiene que,

=

Z 2�

0

Z �

0

Sen �d�d'

o,

= 4� sr (2.45)

resultado que ya se había mencionado antes.

2.9.2. Hemisferio

Para el hemisferio se tiene en cambio que,

=

Z 2�

0

Z �2

0

Sen �d�d'

o,

= 2� sr (2.46)

como era de esperarse, pues debe ser la mitad del valor para la esfera.

2.10. Angulo sólido según el cual se ve el espacio com-prendido en el interior de un diedro de ángulo � des-de un punto P de su arista

Se desea calcular el ángulo sólido según el cual se ve el espacio comprendido enel interior de un diedro de tamaño � [2]como el de la figura 2.10.

Para tal fin, obsérvese que para ver todo el espacio basta que � = 2� rad, el cualcomo ya se sabe corresponde a un ángulo sólido de = 4� sr. Ahora bien, si para� = 2� rad corresponde = 4� sr, entonces para un � cualquiera corresponderá unángulo sólido , planteamiento que define la regla de tres directa,

2� rad �! 4� sr

� �! (2.47)

cuya solución para es,

= 2� (2.48)


2.11. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA DE LAS CARAS DE UN CUBO CONRESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN EL CENTRO DEL MISMO

Figura (2.10): Angulo diedro de tamaño �.

que es el ángulo sólido pedido.

También es posible obtener este resultado mediante integración. El ángulo entredos meridianos de una esfera (véase figura 2.7) también es un ángulo diedro como elmostrado en la figura 2.10. Por lo tanto, a partir (2.38) se tiene que,

d = 2d' (2.49)

Ahora, al integrar ambos miembros con ' inicial igual a 0 y ' final igual al tamaño � delángulo diedro resulta,

= 2

Z �

0

d'

o,

= 2� (2.50)

que es igual al resultado (2.48) como era de esperarse.

2.11. Angulo sólido subtendido por una de las caras de uncubo con respecto a un punto situado en el centrodel mismo

La figura 2.11 muestra un cubo de lado ` en cuyo centro se ha colocado el origen0 de un sistema de coordenadas Cartesianas. Se desea calcular el ángulo sólido �subtendido por una de sus caras, en este caso la cara ABCD, con respecto a unpunto P situado en su centro [29]. El cálculo se hará usando coordenadas Cartesianasy coordenadas cilíndricas.



Figura (2.11): Cubo de lado ` en cuyo centro se ha colocado el origen de un sistema de coordenadasCartesianas y con respecto al cual se desea calcular el ángulo � sólido subtendido por la cara ABCD.

2.11.1. En coordenadas Cartesianas

El ángulo sólido viene dado a partir de la definición (1.46) por,

=

ZS

Cos�dS

R2(2.51)

Si se usan coordenadas Cartesianas, como se muestra en la figura 2.12, es fácil encon-trar al observar el triángulo 40P 0P 00 que se cumplen las expresiones,

Cos� =`

2R(2.52)

R2 = x2 + y2 +`2

4(2.53)

Al sustituir primero (2.52) y después (2.53) en (2.51) se obtiene,

� =`

2

ZS

dS�x2 + y2 + `2

4

� 32

(2.54)

pero en coordenadas Cartesianas,

dS = dxdy (2.55)

entonces,

� =`

2

Z `2

� `2

Z `2

� `2

dxdy�x2 + y2 + `2

4

� 32

(2.56)



donde se han tenido presentes los límites de integración para x y y en concordan-cia con lo mostrado en la figura 2.12. También se pudo haber usado directamente laintegración de la expresión (1.75) para llegar a (2.56).

Será realizada primero la integración con respecto a y. Utilizando 1.2.43.-17 (página92) de la referencia [30], Z

dx

(x2 � A2)32

= � x

A2 (x2 � A2)12

con A2 = x2 + `2

4resulta,

� =`2

2

Z `2

� `2

dx�x2 + `2

4

�qx2 + `2

2

(2.57)

Si ahora se utiliza 1.2.45-10 (página 94) de la referencia [30],Zdx

(x2 +B2)px2 + A2

=1

BpA2 �B2

Tg�1xpA2 �B2

Bpx2 + A2

, si A2 > B2

con B2 = `2

4y A2 = `2

2resulta,

� = 2 Tg�1 xq

x2 + `2

2

��`2

� `2

o,

� =23� sr (2.58)

Este resultado era de esperarse. En efecto, el ángulo sólido subtedido por las 6 carasdel cubo con respecto al punto P es de 4� sr por cubrir todo el espacio (como ocurrepara una esfera), entoces el subtendido por una de sus caras es 1

6de este valor, es

decir,� =

1

6(4�) sr =

2

3� sr

2.11.2. En coordenadas cilíndricas

Para facilitar los cálculos, se encontrará primero el ángulo sólido subtendido por laoctava parte de la cara del cubo, el triángulo rectángulo 4ABP 0. En la figura 2.13a



Figura (2.12): Cálculo del ángulo sólido �, en coordenadas Cartesianas, subtendido por la cara ABCDcon respecto al punto P ubicado en el centro del cubo.

se muestra lo anterior en coordenadas cilíndricas r, ', z. De esta figura y a partir deltriángulo 4PP 0P 00 es fácil encontrar que,

R2 =`2

4+ r2 (2.59)

manteniéndose la expresión (2.52). Entonces, al sustituir primero (2.52) y luego (2.59) en(2.51) resulta,

4 =`

2

ZS

dS�r2 + `2

4

� 32

(2.60)

pero en coordenadas cilíndricas,dS = rdrd' (2.61)

entonces,4 =

`

2

ZS

rdrd'�r2 + `2

4

� 32

(2.62)

Se pudo haber usado directamente la integración de la expresión (1.81).El problema ahora aquí es establecer los límites de integración. Las variables r y '

están relacionadas por la ecuación de la recta que contiene al segmento AB quecondiciona el límite superior para r como se puede observar en la figura 2.13b (el infe-rior es 0 como fácilmente se puede observar). En efecto, a partir del triángulo 4ABP 0

se puede escribir,

Cos' =`

2r(2.63)



Figura (2.13): (a) Cálculo en coordenadas cilíndricas del ángulo sólido 4 subtendido por la porciónABP 0 de la cara BDFH del cubo con respecto al punto P . (b) Vista de la mencionada cara sobre elplano xy con la finalidad de obtener el límite superior para r en la integral (2.61).

o,r =

`

2Sec' (2.64)

que es la ecuación de la recta que contiene al segmento AB, proporcionando ellímite superior de la variable r. Ahora bien, en vista del anterior resultado (2.62) sepuede escribir ahora como,

4 =`

2

Z �4

0

Z `2Sec'

0

rdrde'�r2 + `2

4

� 32

(2.65)

donde se ha usado la tilde � para distinguir entre variables y límites de integración. Loslímites para ' son fácilmente determinados a partir de la figura 2.13b. Ahora, al integrar(2.65) se obtiene,

4 =1

12� sr (2.66)

Finalmente, el ángulo sólido � subtendido por la cara BDFH es,

� = 84

o,

� =23� sr (2.67)

como se había obtenido a partir de coordenadas Cartesianas.



2.11.3. Utilizando la expresión vectorial (primer enfoque)

Al considerar nuevamente el triángulo 4ABP 0 de la figura 2.13, es fácil encontrarque los vectores de posición de sus vértices A, B y P 0 con respecto al punto P vienendados por, 8><>:

�!r A = `2bex + `

2bez

�!r B = `2bex + `

2bey + `

2bez

�!r P 0 = `2bez (2.68)

entonces, 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

rA =p�!r A � �!r A = p

22`

rB =p�!r B � �!r B = p

32`

rP 0 =p�!r P 0 � �!r P 0 = `

2�!r A � �!r B = `2

2�!r A � �!r P 0 = `2

4�!r B � �!r P 0 = `2

4

[�!r A�!r B�!r P 0 ] = �!r A � (�!r B ��!r P 0) = `3

8

(2.69)

Ahora, a partir de (1.115) se tiene que,

4ABP 0 = 2Tg�1�

[�!r A�!r B�!r P 0 ]rArBrP 0 + rA (

�!r B � �!r P 0) + rB (�!r A � �!r P 0) + rP 0 (�!r A � �!r B)

�(2.70)

donde �!r A = �!r 1, �!r B = �!r 2 y �!r P 0 = �!r 3, de manera que al sustituir aquí los resultados(2.69) se obtiene que,

4ABP 0 = 2Tg�1

24 `3

8�p22`��p

32`� �

`2

�+�p

22`� �

`2

4

�+�p

32`� �

`2

4

�+�`2

� �`2

2

�35

4ABP 0 = 2Tg�11

2 +p3 +

p2 +

p6

4ABP 0 =�

12sr

de manera que,

� = 84ABP 0

o,

� =23� sr (2.71)

que es idéntico a los resultados (2.58) y (2.67) como era de esperarse.



Para obtener el anterior resultado, también se pudo haber tomado el triángulo�BDH de manera que, 8><>:

�!r B = `2bex + `

2bey + `

2bez

�!r D = � `2bex + `

2bey + `

2bez

�!r H = `2bex � `

2bey + `

2bez (2.72)

entonces, 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

rB =p�!r B � �!r B = p

32`

rD =p�!r D � �!r D = p

32`

rH =p�!r H � �!r H = p

32`

�!r B � �!r D = `2

4�!r B � �!r H = `2

4�!r D � �!r H = � `2

4

[�!r B�!r D�!r H ] = �!r B � (�!r D ��!r H) = `3

4

(2.73)

Ahora, a partir de (1.115) se tiene que,

4BDH = 2Tg�1�

[�!r B�!r D�!r H ]rBrDrH + rB (

�!r D � �!r H) + rD (�!r B � �!r H) + rH (�!r B � �!r D)

�(2.74)

donde �!r B = �!r 1, �!r D = �!r 2 y �!r H = �!r 3, de manera que al sustituir aquí los resultados(2.73) se obtiene que,

4BDH = 2Tg�1

24 `3

2�p32`��p

32`��p

32`�+�p

32`� �� `2

4

�+�p

32`� �

`2

4

�+�p

32`� �

`2

4

�35

4BDH = 2Tg�14

3p3�

p3 +

p3 +

p3

4BDH =�

3sr

de manera que,

� = 24BDH

o,

� =23� sr (2.75)

que es idéntico al resultado (2.71) como era de esperarse.



2.11.4. Utilizando la expresión vectorial (segundo enfoque)

Al considerar nuevamente el triángulo 4ABP 0 de la figura 2.13, es fácil determinarque, 8>>>>>><>>>>>>:

�!r A = `2bex + `

2bez

�!r B = `2bex + `

2bey + `

2bez

�!r P 0 = `2bez

�!r C = `3bex + `

6bey + `

2bezbn = bez

(2.76)

donde �!r A, �!r B y �!r P 0 son los mismos encontrados para el primer enfoque, �!r C es elvector de posición de su centroide C con respecto a P y bn es un vector unitario per-pendicular a su superficie. Entonces,8><>:

�!r A ��!r B = � `2

4bex + `2

4bez

�!r B ��!r P 0 = `2

4bex � `2

4bey

�!r P 0 ��!r A = `2

4bey (2.77)

a partir de los cuales,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

(�!r P 0 ��!r A)� (�!r A ��!r B) = `4

16bex + `4

16bez

(�!r P 0 ��!r A) � (�!r A ��!r B) = 0(�!r B ��!r P 0)� (�!r P 0 ��!r A) = `4

16bez

(�!r B ��!r P 0) � (�!r P 0 ��!r A) = � `4

16

(�!r A ��!r B)� (�!r B ��!r P 0) = `4

16bex + `4

16bey + `4

16bez

(�!r A ��!r B) � (�!r B ��!r P 0) = � `4

16

(2.78)

Ahora, al sustituir los resultados (2.78) en (1.116) a (1.118) se obtiene que,

� = Tg�1j(�!r P 0 ��!r A)� (�!r A ��!r B)j� (�!r P 0 ��!r A) � (�!r A ��!r B)

� = Tg�1

�� `416bex + `4

16bez��

0=1

=�

2rad (2.79)

� = Tg�1j(�!r B ��!r P 0)� (�!r P 0 ��!r A)j� (�!r B ��!r P 0) � (�!r P 0 ��!r A)

= Tg�1

�� `416bez�� `4

16

�=

�

4rad (2.80)



= Tg�1j(�!r A ��!r B)� (�!r B ��!r P 0)j� (�!r A ��!r B) � (�!r B ��!r P 0)

= Tg�1

�� `416bex + `4

16bey + `4

16bez��

�� `4

16

�=

�

3rad (2.81)

que al ser sustituidos junto con los dos últimos resultados de (2.76) en la expresión(1.120), da como resultado,

4ABP 0 =(�+ � + � �)

j�!r C � bnj �!r C � bn=

��2+ �

4+ �

3� �

�� `3bex + `

6bey + `

2bez� � bez��

�`

3bex + `

6bey + `

2bez� � bez

=

�112��

`2

�� `2

��=

1

12� sr (2.82)

entonces finalmente,

� = 84ABP 0

o,

� =23� sr (2.83)

resultado que es idéntico a los anteriores, como era de esperarse.

Figura (2.14): Pirámide de base cuadrada.



Se puede mostrar que partiendo del triángulo �BDH se llega al mismo resultadosiguiendo este enfoque, lo cual se deja al lector como ejercicio.

Los resultados anteriores también corresponden al del ángulo sólido subtendido poruna pirámide de base cuadrada con respecto al mismo punto P , cuya base tiene lasdimensiones de la cara del cubo estudiado y altura igual a la distancia de ésta almencionado punto, como se puede visualizar en la figura 2.14. Es decir, tanto la caradel cubo como la pirámide de base cuadrada subtienden el mismo ángulo sólido conrespecto a P bajo las condiciones antes mencionadas. En la referencia [31] se muestrael cálculo del ángulo sólido subtendido por una pirámide de altura h y base cuadradade lado 2b y altura h, con respecto a un punto situado en el vértice opuesto a la basey utilizando la expresión vectorial (1.115).

2.12. Angulo sólido subtendido por una placa rectangularcon respecto a un punto situado en su eje de simetría

Se calculará el ángulo sólido subtendido por una placa rectangular [32], [33], delargo `1 y ancho `2 con respecto a un punto P situado en su eje de simetría a unadistancia d. Se usarán coordenadas esféricas, de tal manera que su origen coincidacon la posición de P y el plano que contiene a la placa sea paralelo al plano xy, comose muestra en la figura 2.15a. Este caso es, en esencia, el de la cara del cubo realizadoen la sección anterior.

Como se sabe de (1.87) el ángulo sólido en coordenadas esféricas viene dado por,

=

ZS

Sen �d�d' (2.84)

Para hallar el ángulo sólido pedido se dividirá la placa en cuatro secciones igualescomo se muestra en la figura 2.15a y b, por lo tanto el ángulo sólido subtendido porla placa será 4 veces el ángulo sólido subtendido por una de ellas. Se escogerá lasección ABCP 0, la cual se dividirá en dos secciones triangulares ABP 0 y BCP 0. Esto sehace debido a que en la trayectoria ABC existe una discontinuidad en B que afectaa los límites de integración, como se verá en lo que sigue.

Los intervalos de variación de x y y en la sección ABCP 0 son,(0 6 x 6 1

2`2

0 6 y 6 12`1

(2.85)


2.12. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTOA UN PUNTO SITUADO EN SU EJE DE SIMETRÍA

Figura (2.15): (a) Placa rectangular de largo `1 y ancho `2, a la cual se le calcula el ángulo sólidosubtendido por ella con respecto al punto P . (b) Placa vista desde +z.

El problema ahora es determinar los intervalos de variación de ' y �. En coordenadasesféricas se tiene que, 8><>:

x = r Sen �Cos'

y = r Sen � Sen'

z = rCos �

(2.86)

a partir de las cuales es muy fácil determinar que,(' = Tan�1 y

x

� = Cos�1 zpx2+y2+z2

(2.87)

Intervalos de variación de ' y � para la sección ABP 0: a partir de los intervalos(2.85), la primera de las expresiones (2.87) y al observar a partir de la figura 2.15b que' comienza en 0 resulta,

0 6 ' 6 Tan�1 `1`2

(2.88)

Por otro lado, a partir de la figura 2.15b se puede determinar que el punto P 00 que barretoda la sección ABP 0 tiene como coordenadas Cartesianas,

P 00 = (x; y; z) = (x; xTan'; d) (2.89)

En esta sección P 00 tiene como límite la recta x = 12`2 en la cual está contenido el

segmento AB, por lo que los puntos P 00 sobre este segmento vendrán dados mediante,

P 00 =

�1

2`2;1

2`2Tan'; d

�(2.90)



Teniendo presente este resultado y el hecho de que en esta sección � comienza en 0se tiene a partir de (2.87) que,

0 6 � 6 Cos�1 Cos'p�21 + Cos

2 '

donde �1 =`22d

, habiéndose usado la identidad trigonométrica Sec2 '�Tan2 ' = 1 y queSec' = 1

Cos'.

Finalmente, en la sección ABP 0 los intervalos de variación para ' y � son,

Para la sección ABP 0(0 6 ' 6 Tan�1 `1

`2

0 6 � 6 Cos�1 Cos'p�21+Cos

2 '

(2.91)

Intervalos de variación de ' y � para la sección BCP 0: es obvio que en esta sección' partirá del límite superior del intervalo para ' en (2.91) y tendrá como límite superior�2

por lo que,

Tan�1`1`26 ' 6 �

2(2.92)

Por otro lado, a partir de la figura 2.15b se puede determinar que el punto P 00 que barretoda la sección BCP 0 tiene como coordenadas Cartesianas,

P 00 = (x; y; z) =

�y

Tan'; y; d

�(2.93)

En esta sección P 00 tiene como límite la recta y = 12`1 en la cual está contenido el

segmento BC, por lo que los puntos P 00 sobre este segmento vendrán dados mediante,

P 00 =

�`1

2Tan';1

2`1; d

�(2.94)

Teniendo presente este resultado y el hecho de que en esta sección � comienza en 0se tiene a partir de (2.87) que,

0 6 � 6 Cos�1 Sen'p�22 + Sen

2 '

donde �2 =`12d

, habiéndose usado la identidad trigonométrica Csc 2'�Ctg 2' = 1 y queCsc' = 1

Sen'.

Finalmente, en la sección BCP 0 los intervalos de variación para ' y � son,

Para la sección ABP 0(Tan�1 `1

`26 ' 6 �

2

0 6 � 6 Cos�1 Sen'p�22+Sen

2 '

(2.95)



Evaluación de la integral (2.84) en la sección ABCP 0: en vista de la informaciónsobre los límites de integración para ' y � aportada por (2.91) y (2.95), a partir dela integral (2.84) se tiene que el ángulo sólido subtendido por la sección ABCP 0 conrespecto al punto de referencia P puede ser escrita como,

ABCP 0 =

ZABP 0

Sen �d�d'+

ZBCP 0

Sen �d�d'

ABCP 0 =

Z Tan�1`1`2

0

Z Cos�1 Cos'p�21+Cos

2 '

0

Sen �d�d'+

Z �2

Tan�1`1`2

Z Cos�1 Sen'p�22+Sen

2 '

0

Sen �d�d' (2.96)

Ahora el problema se reduce a efectuar las integraciones. Si en las integrales conrespecto a � se hace el cambio de variables,8>>>>>>><>>>>>>>:

u = Cos �

du = � Sen �d�Cuando � = 0) u = 1

Cuando � = Cos�1 Cos'p�21+Cos

2 ') u = Cos'p

�21+Cos2 '

Cuando � = Cos�1 Sen'p�22+Sen

2 ') u = Sen'p

�22+Sen2 '

(2.97)

resulta,

ABCP 0 = �Z Tan�1

`1`2

0

Z Cos'p�21+Cos

2 '

1

dud'�Z �

2

Tan�1`1`2

Z Sen'p�22+Sen

2 '

1

dud'

o al integrar con respecto a u,

ABCP 0 =

Z Tan�1`1`2

0

1� Cos'p

�21 + Cos2 '

!d'+

Z �2

Tan�1`1`2

1� Sen'p

�22 + Sen2 '

!d'

=�

2�Z Tan�1

`1`2

0

Cos'd'p�21 + Cos

2 '�Z �

2

Tan�1`1`2

Sen'd'p�22 + Sen

2 '(2.98)

En este momento se puede hacer que las dos integrales anteriores tengan la mismaforma. En efecto, al hacer el cambio ' = �

2� '0 en la segunda integral se obtiene,

ABCP 0 =�

2�Z Tan�1

`1`2

0

Cos'd'p�21 + Cos

2 '�Z Tan�1

`2`1

0

Cos'0d'0p�22 + Cos

2 '0(2.99)

ya que, 8>>><>>>:' = �

2� '0 ) '0 = �

2� '

d' = �d'0

Cuando ' = �2) '0 = 0

Cuando ' = Tan�1 `1`2) '0 = Tan�1 `2

`1

(2.100)



y donde se han intercambiado sus límites de integración. Se puede observar fácil-mente que ambas integrales tienen ahora la misma forma.

Ambas integrales en (2.99) tienen ahora la forma,ZCos �d�p�2 + Cos2 �

(2.101)

donde � es constante. Si en esta integral se efectúa el cambio de variables,8<: u = Sen �p1+�2

du = Cos �p1+�2

d�(2.102)

resulta,ZCos �d�p�2 + Cos2 �

=

Z p1 + �2dup

�2 + 1� (1 + �2)u2=

Zdup1� u2

= Sen�1 u+ C (2.103)

donde C es una constante de integración y se ha usado la identidad trigonométricaCos2 � + Sen2 � = 1 para encontrar que Cos2 � = 1 � (1 + �2)u2. Esta última integral essencilla resultando la expresión,Z

Cos �d�p�2 + Cos2 �

= Sen�1 u+ C = Sen�1

Sen �p1 + �2

!+ C (2.104)

por lo que (2.99) se puede escribir ahora como,

ABCP 0 =�

2� Sen�1

Sen'p1 + �21

!��Tan�1

`1`2

0

� Sen�1 Sen'0p1 + �22

!��Tan�1

`2`1

0

=�

2� Sen�1

24Sen�Tan�1 `1

`2

�p1 + �21

35� Sen�124Sen

�Tan�1 `2

`1

�p1 + �22

35 (2.105)

Ahora, según la columna correspondiente a Tan x = a en la tabla 4.3.45 (página 73)de la referencia [34],

Sen

�Tan�1

`1`2

�=

`1

`2

q1 +

`21`22

=`1p`21 + `

22

(2.106)

Sen

�Tan�1

`2`1

�=

`2

`1

q1 +

`22`21

=`2p`21 + `

22

(2.107)

entonces,

ABCP 0 =�

2� Sen�1

"`1p

(`21 + `22) (1 + �

21)

#� Sen�1

"`2p

(`21 + `22) (1 + �

22)

#(2.108)



y como a partir de 4.4.32 (página 80) de la referencia [34],

Sen�1 z1 � Sen�1 z2 = Sen�1hz1�1� z22

� 12 � z2

�1� z21

� 12

i(2.109)

resulta que,

ABCP 0 =�

2� Sen�1

"`1p`21 + �

22 (`

21 + `

22) + `2

p`22 + �

21 (`

21 + `

22)

(`21 + `22)p(1 + �21) (1 + �

22)

#(2.110)

Pero, a partir de 4.4.35 (página 80) de la referencia [34],

Sen�1 z1 � Cos�1 z2 =

8<: Sen�1nz1z2 � [(1� z21) (1� z22)]

12

oCos�1

nz2 (1� z21)

12 � z1 (1� z22)

12

o (2.111)

entonces,Sen�1 z + Cos�1 z =

�

2) Cos�1 z =

�

2� Sen�1 z (2.112)

y además, debido a que �1 =`22d

, �2 =`12d

, la expresión (2.110) puede escribirse ahoracomo,

ABCP 0 = Cos�1

"2d

s4d2 + `21 + `

22

(4d2 + `21) (4d2 + `22)

#(2.113)

Entonces, finalmente, el ángulo sólido buscado vedrá dado por,

= 4ABCP 0

o,

= 4Cos�1�2d

r4d2+`21+`

22

(4d2+`21)(4d2+`22)

�(2.114)

Si en el anterior resultado se hace d = 12`, `1 = `2 = ` (placa cuadrada), lo cual

reproduciría el ejemplo estudiado en la sección anterior, se obtiene,

� = 4Cos�1

8><>:2�`

2

�vuuut 4�`2

�2+ (`)2 + (`)2h

4�`2

�2+ (`)2

i h4�`2

�2+ (`)2

i9>=>;

= 4Cos�1

p3

2

!o,

� =2

3� sr (2.115)

coincidiendo con el resultado obtenido en el mencionado ejemplo, como era de es-perarse.



2.13. Angulo sólido subtendido por una placa rectangularcon respecto a un punto situado directamente sobreuno de sus vértices

Se desea calcular el ángulo sólido subtendido, con respecto al punto P , por unaplaca rectangular de dimensiones a y b [35], como se muestra en la figura 2.16a.

El punto de referencia P está situado a una distancia h directamente arriba de unode sus vértices .Para esto, se empleará un sistema de coordenadas Cartesianas conel origen posicionado en el el vértice que está debajo de P , como se puede ver en lafigura 2.16b.

Figura (2.16): (a) Placa rectangular de superficie S y dimensiones a, b. (b) Para llevar a cabo el cálculodel ángulo sólido subtendido por S con respecto al punto P , se posiciona un sistema de coordenadasCartesianas de manera que su origen coincida con el vértice que está justo debajo de dicho punto.

A partir del diferencial de ángulo sólido subtendido por un elemento de superficieCartesiano (1.75) se tiene que,

d =hdxdy

(x2 + y2 + h2)32

(2.116)

ya que z = h. Entonces,

= h

Z b

0

Z a

0

dxdy

(x2 + y2 + h2)32

(2.117)

Al integrar primero con respecto a y, utilizando 1.2.43.-17 (página 92) de la referencia[30], Z

dx

(x2 � A2)32

= � x

A2 (x2 � A2)12

(2.118)


2.13. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTOA UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VÉRTICES

con A2 = x2 + h2 resulta de forma muy sencilla,

= hb

Z a

0

dx

(x2 + h2) (x2 + b2 + h2)12

(2.119)

Si ahora se utiliza 1.2.45-10 (página 94) de la referencia [30],Zdx

(x2 +B2)px2 + A2

=1

BpA2 �B2

Tg�1xpA2 �B2

Bpx2 + A2

, si A2 > B2 (2.120)

con B2 = h2 y A2 = b2 + h2 resulta,

= Tg�1bx

hpx2 + b2 + h2

��a0

o,

= Tg�1�

ab

h(a2+b2+h2)12

�(2.121)

El anterior cálculo pudo haberse llevado a cabo dividiendo el rectángulo en dostriángulos, como se puede ver en la figura 2.17a. En efecto,

Figura (2.17): (a) Placa rectangular dividida en dos triángulos �AB0 y �BC0. (b) Establecimiento delos límites de integración para el cálculo del ángulo sólido subtendido por la placa rectangular conrespecto al punto P .

Triángulo �AB0: para este caso, según lo mostrado en la figura 2.17b, se puedeescribir que,

�AB0 = h

Z a

0

Z bax

0

dydx

(x2 + y2 + h2)32

(2.122)



a partir de la cual, realizando la integración con respecto a y, se obtiene fácilmentela expresión,

�AB0 =hb

a

Z a

0

xdx

(x2 + h2)q�1 + b2

a2

�x2 + h2

(2.123)

habiéndose utilizado (2.118) con A2 = x2 + h2. Si en esta integral se hace el cambio devariable, 8>>>>><>>>>>:

u2 =�1 + b2

a2

�x2 + h2

2udu = 2�1 + b2

a2

�xdx) xdx = udu�

1+ b2

a2

�Cuando x = 0) u = h

Cuando x = a) u =pa2 + b2 + h2

(2.124)

resulta que,

�AB0 =hb

a

Z pa2+b2+h2

h

du

u2 + h2b2

a2

(2.125)

Al utilizar 1.2.10.-14 (página 41) de la referencia [30],Zdx

x2 � A2 =1

ATg�1

x

A(2.126)

con A2 = h2b2

a2, para integrar la anterior expresión se obtiene que,

�AB0 = Tg�1au

hb

��pa2+b2+h2h

o,

�AB0 = Tg�1 a

pa2 + b2 + h2

hb� Tg�1 a

b(2.127)

Ahora, al utilizar 4.4.34. (página 80) de la referencia [34],

Tg�1 z1 � Tg�1 z2 = Tg�1z1 � z21� z1z2

(2.128)

con, (z1 =

apa2+b2+h2

hb

z2 =ab

(2.129)

resulta,

�AB0 = Tg�1 ab

pa2 + b2 + h2 � abh

b2h+ a2pa2 + b2 + h2

(2.130)

Triángulo �BC0: para este caso, según lo mostrado en la figura 2.17b, se puedeescribir que,

�BC0 = h

Z b

0

Z aby

0

dxdy

(x2 + y2 + h2)32

(2.131)


2.13. ANGULO SÓLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTOA UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VÉRTICES

a partir de la cual, mediante un procedimiento análogo al seguido para el cálculo de�AB0, se obtiene el resultado,

�BC0 = Tg�1 ab

pa2 + b2 + h2 � abh

a2h+ b2pa2 + b2 + h2

(2.132)

Nótese que �AB0 6= �BC0, contrario a lo que se podría haber pensadode antemano. Esto es debido a que P está sobre un vértice que es distintoen cada triángulo. Si la placa fuese un cuadrado, es decir a = b, entoncesambos ángulos sólidos resultan idénticos.

El ángulo sólido subtendido por la placa rectancular con respecto a P vendrádado por,

= �AB0 + �BC0 (2.133)

que en vista de (2.130) y (2.132) resulta en,

= Tg�1abpa2 + b2 + h2 � abh

b2h+ a2pa2 + b2 + h2

+ Tg�1abpa2 + b2 + h2 � abh

a2h+ b2pa2 + b2 + h2

(2.134)

Al utilizar aquí (2.128) con, 8><>:z1 =

abpa2+b2+h2�abh

b2h+a2pa2+b2+h2

z2 =abpa2+b2+h2�abh

a2h+b2pa2+b2+h2

(2.135)

se obtiene finalmente que,

= Tg�1

"ab

h (a2 + b2 + h2)12

#(2.136)

resultado idéntico al resultado (2.121), como era de esperarse.


CAPÍTULO 3

Algunas aplicaciones de la de�nición de Angulo

Sólido

CONTENIDO DEL CAPITULO3.1. En Electro�siología Cardíaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2. En Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3. En Electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4. En Gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5. En Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5.1. Intensidad de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5.2. Intensidad de radiación medida a una distancia de la super�cie de un

cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6. En Telecomunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6.1. Area efectiva de una antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6.2. Temperatura de una antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7. En Dispersión de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.8. En Detección de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8.1. Factores que afectan la e�ciencia de un detector . . . . . . . . . . . . . 109

3.8.2. Tipos de e�ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Existe una basta cantidad de aplicaciones de la definición de ángulo sólido. En lassiguientes secciones se presentará un pequeño grupo de ellas.

83

CAPÍTULO 3. ALGUNAS APLICACIONES DE LA DEFINICIÓN DE ANGULO SÓLIDO

3.1. En Electrofisiología Cardíaca

En medicina es útil la definición de ángulo sólido, por ejemplo, en ElectrofisiologíaCardíaca [36], [37], [38] y [39].

Figura (3.1): Electrocardiograma (ECG).

Si hay alguna técnica de diagnóstico médico que conozca gran parte de la población,esa es la electrocardiográfica. Todo el mundo tiene en mente una pantalla donde semonitorizan ondas ininteligibles, asociadas en ocasiones a sonidos característicos. Elelectrocardiograma (ECG/EKG, del alemán Elektrokardiogramm) es la representacióngráfica de la actividad eléctrica del corazón, que se obtiene con un electrocardió-grafo en forma de cinta continua, como se muestra en la figura 3.1. Es el instrumentoprincipal de la electrofisiología cardíaca y tiene una función relevante en el cribado ydiagnóstico de las enfermedades cardiovasculares, alteraciones metabólicas y la pre-disposición a una muerte súbita cardíaca. También es útil para saber la duración delciclo cardíaco.

Figura (3.2): Componentes de un ECG.


3.1. EN ELECTROFISIOLOGÍA CARDÍACA

El médico evalúa el electrocardiograma en función de los valores absolutos de ca-da tensión, el intervalo de tiempo transcurrido entre ellas, así como su “pendiente” yduración. A partir de estos valores se pueden diagnosticar muchas alteraciones pa-tológicas del corazón. Para interpretar un ECG, el médico se ayuda de un gráficonormalizado. Las características deflexiones hacia arriba y hacia abajo de la tensiónpresentes en las curvas del corazón que registra el ECG se identifican con letras (verfigura 3.2):

Onda P: se caracteriza por ser la primera onda pequeña semicircular y positivasituada por encima del 0. Representa la activación auricular.

Onda Q: suele ser pequeña, es decir, ni extensa ni profunda y representa la primeracurva negativa después de la onda P y el final del intervalo QT. La onda Q representael comiendo de la activación ventricular.

Onda R: siempre es corta y alta. Es la primera onda positiva después de la onda Q,así como la primera onda positiva después de la onda P si no hay onda Q. La onda Rrepresenta la activación ventricular.

Onda S: suele ser pequeña, al igual que la onda Q. Es la primera onda negativadespués de la onda R y también representa la activación ventricular.

Complejo QRS: representa la propagación del estímulo, es decir, la denominadadespolarización de los ventrículos. La despolarización supone la alteración del estadoeléctrico (potencial) de las células cardíacas de los ventrículos. Esto se hace percep-tible en el ECG mediante el complejo QRS. De modo paralelo a la despolarización delos ventrículos tiene lugar la repolarización de las aurículas. Para ello, se produce la nor-malización del potencial de las aurículas después del estímulo, aunque “desaparece”el impulso de la corriente en el complejo QRS y con ello, deja de aparecer en el ECG.

Onda T: es relativamente amplia, gruesa y semicircular y representa la primera de-flexión positiva después del complejo QRS. Corresponde a la formación del impulso,es decir, la repolarización de los ventrículos. Tras el final de una onda T, se terminala acción eléctrica del corazón. Después de una pausa de duración determinada,comienza el siguiente ciclo. Cuanto mayor sea la frecuencia cardíaca, menor seráeste intervalo de tiempo.

Onda U: es una onda muy pequeña, positiva, semicircular que aparece justo de-spués de la onda T y no siempre está presente. Corresponde a la oscilación de larepolarización de los ventrículos.



Además de la interpretación de cada onda del ECG, también se interpretan losintervalos de tiempo entre las ondas:

Segmento PQ: abarca desde el comienzo de la onda P hasta el comienzo de lasondas Q o R (cuando la onda Q no está presente). Representa el periodo de uniónatrio-ventricular. Tras este término se esconde el periodo de unión del estímulo, es decir,el periodo en el que transcurre el estímulo eléctrico de las aurículas a los ventrículos.

Segmento ST: abarca desde el final de la onda S o la onda R (cuando la onda Sno está presente) hasta el comienzo de la onda T. Muestra el comienzo de la repolar-ización ventricular. Anormalidades en este segmento pueden indicar serios problemas.

Intervalo QT: (segmento) abarca el complejo QRS, el segmento ST y la onda T. Elintervalo que transcurre entre el comienzo de la propagación del estímulo hasta el finalde la repolarización ventricular comprende la contracción de los ventrículos (sístoleventricular) eléctrica.

El corazón en un momento determinado tiene un número de células que se en-cuentran en una situación eléctrica diferente de las demás, lo que define unos límitesde activación y cada uno de ellos genera un número infinito de dipolos. Para deter-minar determinar la magnitud del potencial registrado en un electrodo cualquiera, esnecesario sumar la contribución de todos los dipolos que hacen parte de cada límitede activación. El equivalente de esta suma será un Angulo Sólido.

Figura (3.3): Angulo sólido subtendido por la zona explorada con respecto al electrodo consideradocomo un punto P .


3.1. EN ELECTROFISIOLOGÍA CARDÍACA

El límite de la superficie (límite de activación), lamada superficie isquémica1, estádefinido por las zonas del corazón con diferentes potenciales de transmembrana Vm1 yVm2 (ver figura 3.3). El punto P observador corresponde a cualquiera de los electrodosque se colocan en la superficie corporal para registrar el ECG.

La magnitud del ángulo sólido es directamente proporcional al radio de los límitesde activación e inversamente proporcional a la distancia entre el corazón y el elec-trodo observador. Es decir, mientras más grande sea la superficie explorada (zonascon diferentes potenciales de transmembrana) mayor será el ángulo sólido y mientrasmás lejos se encuentre el electrodo observador de la superficie a explorar menor seráel ángulo sólido, esto se puede observar en la figura 1.28 mostrada en el capítulo 1donde los observadores son los electrodos y la pantella es la zona explorada. Lo an-terior explica el por qué a los pacientes con enfisema pulmonar se observa un trazoelectrocardiográfico característicamente de bajo voltaje (aumenta la distancia entreel electrodo del pecho y el corazón, es decir, magnitud inversamente proporcional a ladistancia). Así mismo, los potenciales registrados en el ECG son directamente propor-cionales al ángulo sólido y a la diferencia de potencial entre los límites de la superficieque en un momento determinado esté siendo explorada.

Existen dos formas de influir sobre el potencial obtenido en el electrodo observador:

1. Modificando el tamaño de la superficie a explorar (límites de activación): si se au-menta el tamaño de la superficie isquémica se aumenta la magnitud del potencialregistrado en el electrodo observador (ver figura 3.4). Esto es lo que se conoce conel nombre de “influencia espacial”. Es una influencia netamente geométrica e in-dependiente del potencial de acción de las células cardíacas.

2. Modificando la diferencia de potencial en los límites de la superficie a explorar: sinnecesidad de aumentar el tamaño de la superficie isquémica, se puede aumentarla magnitud del potencial registrado con el sólo hecho de aumentar la diferenciaentre los voltajes de transmembrana (Vm1 � Vm2) de la zona a explorar, como semuestr en la figura 3.5. A este fenómeno se le llama “influencia no espacial”, porquees independiente de la geometría cardíaca y sólo tiene que ver con el potencialde acción.

1En medicina, se denomina isquemia al estrés celular causado por la disminución transitoria o perma-nente del riego sanguíneo y consecuente disminución del aporte de oxígeno (hipoxia), de nutrientesy la eliminación de productos del metabolismo de un tejido biológico. Este sufrimiento celular puedeser suficientemente intenso como para causar la muerte celular y del tejido al que pertenece (necro-sis). Una de las funciones principales de la sangre es hacer que el oxígeno tomado por los pulmones ynutrientes circulen por el organismo y lleguen a todos los tejidos del cuerpo.



Figura (3.4): Influencia espacial: el ángulo sólido subtendido por la frontera se incrementa después deincrementar la superficie isquémica, aumentando también la desviación del segmento ST.

Figura (3.5): Influencia no espacial: la posición del electrodo, el tamaño de la superfície isquémica yel ángulo sólido se mantienen invariantes. Sin embargo, la diferencia de potencial entre los voltajestransmembrana se ha ampliado y se ha intensificado el flujo de corriente (flechas). Como resultado,aumenta la desviación del segmento ST.

De acuerdo con lo anterior:

La magnitud de la elevación del segmento ST registrada en un elec-trodo durante un proceso coronario agudo, es funcion de: el ángulo sóli-do que se crea entre los límites de la superficie isquémica y la localizacióndel electrodo (influencias espaciales) y de la diferencia de potenciales detransmembrana de la zona enferma con respecto a la normal (influenciasno espaciales).


3.2. EN MAGNETISMO

3.2. En Magnetismo

El concepto de potencial es muy útil en la Física. Particularmente en electrostáticaeste concepto tiene dos propiedades bastante diferentes:

1. La diferencia entre los potenciales de dos puntos es igual al trabajo necesario paramover una unidad de carga entre ellos.

2. Simplifica los cálculos relacionados con los campos de tal manera que es posibleplantearse sólo una suma de potenciales para luego derivarlo, en lugar de tenerque hacer una suma separada para cada componente del campo.

En magnetostática existe, bajo ciertas circunstancias, una función escalar que pre-senta la segunda propiedad antes mencionada: su gradiente proporciona el campo�!B . Sin embargo, no posee una propiedad análoga a la primera debido a que dichafunción escalar no es univaluada, siendo esto de poca importancia en la práctica de-bido a que no existen cargas magnéticas libres y raramente es necesario calcular eltrabajo requerido para mover una desde un punto a otro.

Figura (3.6): Campo�!B originado por una corriente I que en un circuito C, calculado en el punto P .

La función escalar antes mencionada recibe el nombre Potencial Escalar Magnéti-co �M . Para el caso de un circuito de corriente, el potencial �M es proporcional alángulo sólido subtendido por el mismo con respecto al punto P donde se desea cal-cular �M . Antes de mostrar esto es necesario conocer la Ley de Biot-Savart [40], [41],[42],



En el caso de una corriente que circula por un circuito filiforme cerrado C(ver figura 3.6), un elemento infinitesimal de longitud d

�!del circuito recorrido

por una corriente I, crea una contribución elemental de campo magnéticod�!B en un punto P situado en la posición que apunta el vector �!r a una

distancia r respecto de d�!

, quien apunta en la dirección de la corriente I,

d�!B =

�0I

4�

d�!l � brr2

(3.1)

donde �0 = 4�;10�7NA2

(en el SI) es la permeabilidad magnética del vacío.

Esta ley, que data de 1820 y es llamada así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Felix Savart. Puesto que la corriente I y, en consecuencia, el campo

�!B

no son funciones del tiempo, este último es llamado Campo Magnetostático. Es unade las leyes fundamentales de la magnetostática, tanto como la Ley de Coulomb loes en electrostática.

Figura (3.7): (a) Mover P una cantidad d�!r manteniendo fija la posición del circuito, es equivalente amover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una cantidad �d�!r manteniendo P fijo, de aquí quese genere una superficie semejante a una cinta como la indicada por la zona rayada. (b) Pequeñasuperficie d

�!S en forma de cinta mostrada por la zona sombreada.

Ahora bien, considérese nuevamente un circuito de corriente de cargas como elmostrado en la figura 3.6. Para definir la normal positiva a la superficie que encierra elcircuito se hace que la dirección de la corriente lleve la misma que indica un tornillode rosca derecha en su avance. Si se desplaza P una distancia infinitesimal d�!r , a partirde la forma integrada de (3.1) es posible escribir [43],

d�!r � �!B =

�0I

4�

Zd�!l � brr2

!� d�!r (3.2)


3.2. EN MAGNETISMO

Mover P una cantidad d�!r manteniendo fija la posición del circuito, es equivalente amover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una cantidad �d�!r manteniendoP fijo, de aquí que se genere una superficie semejante a una cinta como la indicadapor la zona rayada en la figura 3.7a. El valor del miembro derecho de (3.2) permanececonstante si primero se evalúa la integral y después se efectúa el producto escalarcon d�!r o al efectuar primeramente el producto escalar del integrando d

�!l �brr2

con d�!r ydespués evaluar la integral alrededor de todo el circuito, por lo que es posible escribir(3.2) ahora como,

d�!r � �!B =�0I

4�

Z �d�!l � br� � d�!r

r2(3.3)

Póngase atención en el producto escalar�d�!l � br� � d�!r . Como es sabido, la regla del

producto escalar triple establece que,��!A ��!B

�� !C =

��!B ��!C

�� !A =

��!C ��!A

�� !B (3.4)

entonces, �d�!l � br� � d�!r = �d�!r � d�!l � � br (3.5)

y como,�!A ��!B = ��!B ��!A =

�!B �

��!A

�(3.6)

resulta que, �d�!l � br� � d�!r = hd�!l � (�d�!r )i � br (3.7)

entonces ahora (3.3) se puede escribir como,

d�!r � �!B =�0I

4�

Z hd�!l � (�d�!r )

i� br

r2(3.8)

La expresión d�!l � (�d�!r ) es un vector que representa la pequeña superficie2 d

�!S en

forma de cinta mostrada por la zona sombreada en la figura 3.7b,

d�!S = d

�!l � (�d�!r ) (3.9)

siendo d�!l � (�d�!r ) � br = d�!S � br la proyección de d

�!S sobre un plano perpendicular a

�!r . Entonces es posible escribir ahora el integrando de (3.8) como,hd�!l � (�d�!r )

i� br

r2=d�!S � brr2

= d (3.10)

2Recuérdese que la magnitud del producto vectorial es igual a la superficie del paralelogramo formadopor los vectores que están como factores del producto, por lo tanto el vector resultante representaríavectorialmente dicha superficie.



donde se ha usado la definición de ángulo sólido (1.45). Aquí d representa el ángulosólido subtendido por la superficie dS con respecto al punto P . Por lo tanto, la integralsobre el circuito cerrado C proporciona el ángulo sólido completo subtendido por lacinta.

Figura (3.8): Angulo sólido �d subtendido por la superficie dS con respecto al punto P donde es calcu-lado el campo

�!B .

La interpretación de (3.10) es clara: cuando P es desplazado d�!r , el ángulo sólido subtendido por todo el circuito con respecto a P cambia d. Equivalentemente, si semantiene P fijo y se mueve cada punto del circuito �d�!r (esto es desplazar el circuitoentero) entonces el cambio en el ángulo sólido es igualmente d.

El ángulo sólido d es mostrado en la figura 3.8, donde representa la disminucióndel ángulo sólido completo subtendido con respecto a P , lo cual ocurre cuandoP se mueve una distancia d�!r con respecto al circuito o cuando el circuito se mueve�d�!r con respecto a P . Por lo tanto es posible escribir,Z h

d�!l � (�d�!r )

i� br

r2= �d (3.11)

pero como es una función escalar,

d =�!r � d�!r (3.12)

por lo que, Z hd�!l � (�d�!r )

i� br

r2= ��!r � d�!r (3.13)

que al ser sustituido en (3.8) resulta,

d�!r � �!B = ��0I4�

�!r � d�!r


3.3. EN ELECTRICIDAD

o,

�!B = ��0I

4�

�!r (3.14)

que representa la forma de ángulo sólido de la Ley de Biot-Savart o la Ley de Ampere3.Esta expresión también puede ser escrita como,

�!B =

�!r�M (3.15)

con,

�M = ��0I4� (3.16)

el potencial escalar magnético. La dirección de�!B es la de ��!r de modo que

�!B

apunta hacia afuera del circuito a lo largo de su normal positiva. Si dos circuitos decorriente idénticos están muy cercanos el uno del otro, pero transportan corrientes endirecciones opuestas, es claro que los campos que producen se cancelarán mútua-mente. Con la convención para los signos de los ángulos sólidos mencionada en elcapítulo 1, la matemática reproduce este obvio resultado físico.

3.3. En Electricidad

En electrostática, por ejemplo, la definición de ángulo sólido es útil a la hora deestudiar el campo elétrico

�!E originado por una carga, grupo de cargas o una dis-

tribución continua de cargas que se encuentran en el interior o en el exterior de unasuperficie cerrada S. Su aplicación da origen a la Ley de Gauss [44], [42], [45], [46].

(1) Cuando la carga se encuentra en el interior: supóngase que se tiene una cargapuntual q en el interior de una superficie cerrada S como se muestra en la figura 3.9.Se sabe de los cursos de Física General que el campo eléctrico

�!E originado por esta

carga es,�!E =

1

4�"0

q

r2br (3.17)

donde "0 = 8; 85;10�12 C2

Nm2 es la permitividad del vacío Al multiplicar escalarmenteambos miembros de la anterior expresión por el vector diferencial de superficie d

�!S

de S resulta,�!E � d�!S = q

4�"0

br � d�!Sr2

(3.18)

3Esta expresión es análoga a la electrostática�!E = ��!rV .



Figura (3.9): Carga q encerrada en una superficie S.

donde el producto escalar que aparece en el segundo miembro, se interpreta comola proyección del elemento diferencial de superficie sobre un plano perpendicular alvector, es decir,

dS 0 = br � d�!S (3.19)

de manera que (3.18) se puede escribir ahora como,

�!E � d�!S = q

4�"0

dS 0

r2(3.20)

En este punto el campo eléctrico�!E originado por la carga q puede ser relacionado

con la definición de ángulo sólido. En efecto, a partir de (1.45) se tiene que,

dS 0 = r2d (3.21)

puesto que para el presente estudio R = r. Aquí d representa el ángulo sólido subten-dido por dS con respecto al punto donde se encuentra ubicada q en el interior de S.Entonces, al sustituir (3.21) en (3.20) se obtiene,

�!E � d�!S = q

4�"0d (3.22)

que al ser integrada sobre toda la superficie S resulta en,ZS

�!E � d�!S = q

4�"0

ZS

d (3.23)

PeroRSd es el ángulo sólido subtendido por la superficie S con respecto al punto

donde se encuentra la carga q y como ésta se encuentra en el interior de S entonces,ZS

d = 4� (3.24)


3.3. EN ELECTRICIDAD

Finalmente, al sustituir el resultado (3.24) en (3.23) se obtiene,

RS

�!E � d�!S = q

"0(3.25)

Esta expresión es la que se conoce como forma integral de la Ley de Gauss. La mismapuede enunciarse como:

El flujo saliente del campo eléctrico�!E a través de cualquier superficie

cerrada S es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, divididapor la constante "0.

Aquí a S suele llamársele Superficie Gaussiana. La ley de Gauss es una de las ecua-ciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocidotambién como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el senti-do de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de lasuperficie gaussiana S dependerá de cómo sean estas líneas.

El razonamiento anterior puede extenderse para una distribución discreta o contin-ua de cargas, de manera que en el segundo miembro aparecerá la totalidad de lascargas encerradas por S.

Figura (3.10): Carga q fuera de la superficie S.

(b) Cuando la carga se encuentra en el interior: se estudiará ahora qué sucedecon el campo elétrico producido por cargas que se encuentren fuera de la superficie



cerrada S. Para este caso, como se muestra en la figura 3.10, se pueden escribir elsiguente par de expresiones,

�!E a � d

�!S a =

q

4�"0

br � d�!S a

r2a(3.26)

�!E b � d

�!S b =

q

4�"0

br � d�!S b

r2b(3.27)

Análogamente a como se hizo en (a), estas dos expresiones pueden ser escritas enfunción del ángulo sólido como,

�!E a � d

�!S a = � q

4�"0da (3.28)

�!E b � d

�!S b =

q

4�"0db (3.29)

puesto que dS 0a = �br � d�!S a y dS 0b = br � d�!S b. Como da = da = d entonces,�!E a � d

�!S a = � q

4�"0d (3.30)

�!E b � d

�!S b =

q

4�"0d (3.31)

El signo negativo en (3.30) indica que se trata de un flujo de campo entrante.

En las expresiones (3.30) y (3.31) se observa como las contribuciones al flujo totalse anulan, esto es, el flujo debido a una carga externa, atraviesa dos veces a la su-perficie S, una vez entrando y otra vez saliendo. También aquí es posible extenderel razonamiento para una distribución discreta o continua de cargas externa a S. Lacontribución será en todo caso nula.

3.4. En Gravitación

Empleando un razonamiento análogo al anterior, partiendo de la expresión para elcálculo del vector de campo gravitacional �!g ,

�!g = �Gmr2br (3.32)

del campo originado por una masam que se encuentra en algún lugar en el interior dela superficie cerrada S, es posible encontrar la expresión de la forma integral de la Leyde Gauss para el campo gravitacional [47], [48]. En este caso se llega a la expresión,

RS�!g � d�!S = �4�Gm (3.33)


3.5. EN RADIACIÓN

3.5. En Radiación

La definición de ángulo sólido es fundamental en el estudio de la radiación pues esútil para definir algunas magnitudes que se emplean para el estudio de la misma.

3.5.1. Intensidad de Radiación

Antes de definir la intensidad de radiación es necesario definir: Potencia de ra-diación y la densidad de flujo radiante.

(a) Flujo de Radiación o Potencia de Radiación P : es la cantidad de energía radi-ante E emitida en el espacio por una fuente luminosa por unidad de tiempo,

P =E

t(3.34)

cuya unidad de medida es el watt (W ),

[P ] =[E]

[t]=J

s= W (3.35)

(b) Densidad de flujo luminoso f : es la potencia por unidad de superficie,

f =P

S(3.36)

y es la parte de la potencia de radiación total emitida por una fuente de luz que escapaz de afectar el sentido de la vista. Su unidad de medida es,

[f ] =[P ]

[S]=W

m2(3.37)

La intensidad de radiación I (brillo), véase la figura 3.11, es una magnitud que de-fine la cantidad de energía por unidad de tiempo (potencia) que llega desde unadirección dada, desde una fuente extendida (no puntual). Esta magnitud se determi-na mediante,

I =E

t S (3.38)

donde,S es la superficie colectora de energía, perpendicular a la dirección de medición(metros

cuadrados). es el elemento de ángulo sólido (estereorradian).E es la energía que entra en el cono proveniente de la dirección seleccionada

(joule).



Figura (3.11): Intensidad de radiación

En esta expresión se observa claramente la importancia que tiene el concepto deángulo sólido en la definición de la intensidad de radiación, dotándola de direccional-idad. La unidad de intesidad de radiación es:

[I] =[E]

[t] [S] []=

W

m2 sr(3.39)

La intensidad de radiación, al usar (3.34) también puede ser obtenida mediante,

I =P

S(3.40)

definiéndola como la potencia óptica P emitida por unidad de ángulo sólido , porunidad de superficie de la superficie emisora S. Y al usar (3.36) mediante,

I =f

(3.41)

Para tener una idea gráfica de como se puede medir la intensidad de radiaciónproveniente de varias direcciones, se puede pensar que cuando se observa una fo-tografía, las áreas más brillantes de la figura corresponden a las direcciones de mayorIntensidad de radiación y viceversa para las oscuras. Con esto, queda claro que laintensidad de radiación es lo que normalmente se denomina “brillo superficial”. La In-tensidad de radiación sólo tiene sentido para superficies radiantes. Cuando se tratade fuentes puntuales la definición carece de sentido pues el angulo sólido subtendidopor la fuente tiende a cero (en I este ángulo está en el denominador).

La potencia radiante proviene desde distintas fuentes que presentan sus propiasintensidades de radiación, como se muestra en la figura 3.12. Si las fuentes poseen


3.5. EN RADIACIÓN

Figura (3.12): La densidad de flujo f es la medida de la potencia radiante que pasa por la superficie Sdesde todo el espacio circundante. Aquí se supone que debajo de S no hay fuentes.

tamaños aparentes (ángulos sólidos) pequeños, se puede evaluar la densidad de flujocomo,

f = I11Cos �1 + I22Cos �2 + � � �+ InnCos �n (3.42)

Cada fuente individual contribuye con su densidad de flujo parcial. El factor Cos �ntiene en cuenta la inclinación de la fuente radiante respecto a la normal

�!N a la super-

ficie colectora.

Si una fuente de gran intensidad de radiación (I grande) se aleja mucho del obser-vador como para hacer que su ángulo sólido �! 0, pero el producto I no se hacecero, se está ante lo que llama “Fuente Puntual”. Un ejemplo lo puede proveer unaestrella, ya que su tamaño no es apreciable ( �! 0), ni con telescopios y sin embargosu brillo superficial (intensidad de radiación) I es suficientemente grande para que elproducto I sea el adecuado para que la pueda ser vista.

3.5.2. Intensidad de radiación medida a una distancia de la superficiede un cuerpo negro

En un experimento se coloca una superficie emisora Se de un cuerpo negro a unadistancia d de una superficie receptora Sr paralelas entre sí, a fin de medir la intensidadde radiación y el brillo b, como se muestra en la figura 3.13a. Se utilizará el subíndice rpara indicar la superficie receptora y e para indicar la emisora.

La potencia Pr que llega a la superficie receptora Sr desde la superficie emisora Se,



Figura (3.13): (a) Angulo sólido subtendido por la superficie receptora Sr con respecto a la superficieemisora Se (b) Angulo sólido subtendido por la superficie emisora Se con respecto a la superficie recep-tora Sr.

según (3.40), es obtenida mediante,

Pr = I Se 1 (3.43)

pero de la definición de ángulo sólido (??),

1 =Srd2

(3.44)

que es el ángulo sólido subtendido por Sr visto desde Se, como se muestra en la figura3.13a. Entonces al sustituir (3.44) en (3.45) resulta,

Pr = I Sr

�Sed2

�(3.45)

pero aplicando nuevamente la definición de ángulo sólido (??),

2 =Sed2

(3.46)

en correspondencia con la figura 3.13b. Entonces al sustituir esta expresión en (3.45) sepuede escribir,

Pr = I Sr2 (3.47)

Ahora, al sustituir (3.47) en (3.36) da como resultado,

f =PrSr= I2 (3.48)


3.6. EN TELECOMUNICACIONES

de aquí que la intensidad de radiación percibida por Sr (el brillo) es,

I = f2

(3.49)

significando que,

El brillo percibido desde un emisor de superficie extendida es indepen-diente a la distancia d a ella.

3.6. En Telecomunicaciones

Una antena es un dispositivo (conductor metálico) diseñado con el objetivo deemitir o recibir ondas electromagnéticas hacia el espacio libre. Una antena transmisoratransforma energía eléctrica en ondas electromagnéticas, y una receptora realiza lafunción inversa.

Existe una gran diversidad de tipos de antenas. En unos casos deben expandir enlo posible la potencia radiada, es decir, no deben ser directivas (ejemplo: una emisorade radio comercial o una estación base de teléfonos móviles), otras veces deben serlopara canalizar la potencia en una dirección y no interferir a otros servicios (antenasentre estaciones de radioenlaces).

Las características de las antenas dependen de la relación entre sus dimensiones yla longitud de onda de la señal de radiofrecuencia transmitida o recibida. Si las dimen-siones de la antena son mucho más pequeñas que la longitud de onda las antenas sedenominan elementales, si tienen dimensiones del orden de media longitud de ondase llaman resonantes, y si su tamaño es mucho mayor que la longitud de onda sondirectivas.

3.6.1. Area efectiva de una antena

Para determinar la superficie efectiva de una antena es necesario hallar primera-mente la superficie efectiva de un radiador isótropo.

Un radiador isótropo es un dispositivo que puede irradiar al espacio uniformementepara todas las direcciones toda la energía que entra en él desde un generador. El solpuede ser considerado un radiador isótropo.



Figura (3.14): (a) Emisión de potencia desde la resistencia al espacio y (b) el radiador captura potenciadesde el espacio debido a su intensidad de radiación.

Por otro lado, una resistencia R cualquiera a una temperatura absoluta T mayor a00K, es un generador de ruido blanco que puede transmitir esa potencia a un circuitoal que esté conectada. En el caso mostrado en la figura 3.14, la resistencia que hacede carga para la que genera el ruido está a 00 Kelvin (no produce ruido). Si el valor dela resistencia de carga es el mismo que el de la emisora de ruido (existe adaptaciónde impedancias), la transferencia de potencia será máxima, siendo su valor dado por,

Pr = kT (3.50)

independiente del valor de la resistencia. Aquí Pr es la potencia de ruido, k es la con-stante de Boltzmann 1; 38;10�23 J

0Ky T temperatura absoluta de R (0K). El descubrim-

iento de este fenómeno fué realizado por Nyquist y estableció que el espectro deesta potencia es plano (independiente de la frecuencia), por lo menos dentro delrango de frecuencias de interés. Combinando las propiedades de emisión del radi-ador isótropo con las generadoras de potencia de una resistencia a temperatura TR,es posible conectarlos y hacer que se establezca un equilibrio termodinámico entre laemisión de la potencia generada por la resistencia desde el radiador al espacio y larecibida por el radiador desde el espacio, que tiene una temperatura de brillo Te (verfigura 3.14),

Emisión Pr = kTr

Recepción Pe = SiIfe(3.51)

observándose la aplicación de la definición de ángulo sólido. Aquí Si es la superficieefectiva del radiador isótropo, Pr es la potencia de ruido irradiada por el radiadorisótropo, Pe es la potencia capturada por el radiador isótropo e If es la intensidd deradiación (brillo) del espacio. El ángulo sólido e es el de todo el espacio que, comose sabe, es de 4� sr. El brillo del espacio B viene dado por, Rayleigh-Jeans,

B = If =kTe

�2(3.52)



Igualando las potencias Pr y Pe de (3.51) por estar en equilibrio termodinámico (Tr =Te) resulta,

Si =�2

4�(3.53)

que es la superficie efectiva buscada para un radiador isótropo, que será tomadacomo referencia para encontrar la superficie efectiva de una antena.

La superficie efectiva de una antena cualquiera Sant resulta ser el producto de lasuperficie efectiva de un radiador isótropo por la ganancia G de la antena,

Sant = SiG (3.54)

o al usar (3.53),

Sant =�2

4�G (3.55)

3.6.2. Temperatura de una antena

Con frecuencia se determina la potencia en función de la temperatura absoluta,lo cual es posible a través de la ecuación de Nyquist (3.50) vista en la sección anterior.Supóngase que se tiene una antena de la que se conoce su diagrama de radiación.En la figura 3.15, con el diagrama real (a) se puede estimar cuál es la ganancia mediaG de los lóbulos laterales. Si la antena actúa como emisora el valor de G dará unaidea de la potencia que se desperdiciará en direcciones no deseadas. La gananciamáxima Gm�ax corresponde al lóbulo principal de ángulo sólido 0. El diagrama (b) semuestra una simplificación del diagrama de radiación que permite estimar su perfor-mance.

Se debe tener en cuenta que existe una relación entre la ganancia y el ancho delhaz (ángulo sólido del lóbulo principal),Z

S

Gd = 4� (3.56)

debido a que la integración se realiza sobre toda la esfera. Llevada al diagrama sim-plificado significa que,

G00 +G(4� � 0) = 4� (3.57)

Aquí,

G0 =2�

0(3.58)



Figura (3.15): (a) Diagrama real de radiación de la antena y (b) diagrama simplificado.

El el valor de G para un reflector parabólico es aproximadamente G = 0; 5 de modoque para valores de G0 � 1 será 200. La expresión (3.59) es muy valiosa para conocerrápidamente la Gm�ax de una antena en función del ancho del haz (o viceversa).

Figura (3.16): Un conmutador conecta alternativamente la antena y la resistencia R ruidosa (Nyquist).La resistencia está adaptada a la impedancia de entrada del amplificador.

Cuando el conmutador está conectando la antena (ver figura 3.16), en el amplifi-cador entra una potencia de señal Ps. Con el conmutador abajo, entra la potenciade ruido Pr desde la resistencia. Si se varía la temperatura de la resistencia para igualarla señal que viene de la antena se tendrá,

Pr = kTr (3.59)

y la potencia de señal desde el cielo,

Ps =

ZS

ISantd +X

fSant =

ZS

IGSid +X

fGSi (3.60)



El primer término incluye las fuentes extendidas caracterizadas por su intensidad deradiación I, y el segundo toma en cuenta las fuentes puntuales con su densidad deflujo f que las caracteriza. Entonces,

Ps =

ZS

kTfG

4�d +

XfGSi (3.61)

donde Tf es la temperatura de brillo de las fuentes extendidas (0K). Igualando ahora(3.59) con (3.61) resulta,

kTr =

ZS

kTfG

4�d +

XfGSi (3.62)

A la temperatura Tr a la que se debe someter la resistencia para que su poten-cia iguale a la proveniente de la antena, se le llama Temperatura de Antena Tant demanera que,

Tant =RS

TfG

4�d +

P fSikG (3.63)

observándose en esta expresión la importancia de la definición de ángulo sólido ensu determinación. La evaluación del primer término correspondiente a fuentes dis-tribuidas implica dos aspectos. Uno es el que tiene en cuenta la señal no deseadaque, de todos modos, entra por la antena por los lóbulos laterales, como la prove-niente del piso a 3000K. El suelo abarca un angulo sólido de 2� sr y proporciona unvalor elevado a la Tant. El otro aspecto tiene en cuenta la evaluación de la contribu-ción a la Tant desde las radiofuentes extendidas.

Figura (3.17): La Temperatura de Antena. Su respuesta a la potencia entregada a la antena por unafuente extendida a través de su lóbulo principal.

La Tant será el indicador de toda la potencia que entra en la antena. En la figu-ra 3.17, una fuente extendida entra su potencia en la antena por su lóbulo principal(cículos graduales). La Tant responderá a la integración de toda la superficie.



3.7. En Dispersión de Partículas

Es posible estudiar, empleando la Mecánica Clásica, la dispersión de partículasmediante campos de fuerzas centrales [49], [50]. Desde luego, si el tamaño de laspartículas es del orden atómico, es de esperarse que los resultados específicos de untratamiento clásico sean a menudo incorrectos desde un punto de vista físico, ya queen tales regiones suelen ser importantes los efectos cuánticos. En reacciones nuclear-es, sobre todo a altas energías y en el caso de iones pesados, las fórmulas clásicas, yen particular las aproximaciones semiclásicas, dan resultados similares a los cuánticos.

En su formulación para un cuerpo, el problema de la dispersión se ocupa de ladesviación de partículas por un centro de fuerzas atractivo o repulsivo. En la figura3.18 se muestra la dispersión de una partícula de masa m que incide en el campo defuerza repulsivo originado por una partícula de masaM (M � m). La partículam se ac-erca desde el infinito, es dispersada por el campo de fuerza siguiendo una trayectoriahiperbólica y luego se aleja al infinito, de manera queM se encuentra en el foco de lamisma. Al interaccionar con el centro de fuerza la partícula cambia la dirección de su

Figura (3.18): Dispersión de una partícula de masa m por el campo de fuerza repulsivo originado por lamasa M .

velocidad �!v , siendo el ángulo entre la velocidad inicial �!v 0 y la velocidad �!v f final eldenominado ángulo de dispersión, el cual será denotado mediante �. Se denominaráparámetro de impacto b a la distancia perpendicular entre la dirección de la veloci-dad inicial �!v 0 de la partícula incidente y la asíntota (a la trayectoria) adyacente. Losdatos iniciales que se emplean generalmente en problemas de dispersión en camposcentrales son b y la energía E.

Considérese ahora un haz uniforme de partículas (da igual que sean electrones,


3.7. EN DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS

protones o planetas) todas de igual masa y energía4 que inciden sobre un centro defuerza y supóngase que la fuerza disminuye tendiendo a cero para grandes distancias.Las diferentes partículas en el haz tienen distintos parámetros de impacto con respectoal centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes ángulos �.Se define

Figura (3.19): Haz de partículas idénticas que incide sobre un blanco situado en 0.

la intensidad del flujo I ver (figura 3.19), también llamada densidad de flujo, como elnúmero de partículas N que atraviesan en cada unidad de tiempo t una unidad desuperficie S colocada normalmente a la dirección del haz,

I =N

St(3.64)

Obsérvese ahora la figura 3.20. Aquellas partículas del haz incidente que poseenel mismo parámetro de impacto b son dispersadas en un cono con vértice en 0 ysemiángulo �, puesto que el sistema posee simetría axial, el cual encierra un ángulosólido .

Al usar el resultado (2.40) el diferencial de ángulo sólido d viene dado por,

d = 2� Sen�d� (3.65)

ya que aquí � es igual a la coordenada �. Si n () es el número partículas que sondesviadas dentro del ángulo sólido por unidad de tiempo t, entonces se define lasección eficaz de dispersión � () como la fracción de partículas incidentes que sondesviadas dentro del ángulo sólido ,

� () =n ()

I(3.66)

notándose que � () tiene unidades de superficie. Por diferenciación,

d� () = � () d (3.67)4Generalmente se emplea un haz de partículas idénticas en experimentos de dispersión.



Figura (3.20): Dispersión de un haz de partículas incidentes por un centro de fuerzas 0.

que representa la fracción de partículas dispersadas en un ángulo sólido d, es decir,representa la probabilidad de dispersión en un diferencial de ángulo sólido d. Ahorabien, por conservación del número de partículas por unidad de tiempo se tiene que,

Número de partículas incidentesentre b y b+db

t=

Número de partículas dispersadasen un ángulo sólido d

t(3.68)

que puede ser escrito como,IdS1 = Id�

o,dS1 = d� (3.69)

o también,dS1 = �d (3.70)

donde se ha usado (3.67). Pero como,

dS1 = 2�bdb (3.71)

entonces, al sustituir este resultado y el (3.65) en (3.70) se obtiene que,

2�bdb = 2�� Sen�d�

de aquí que,

� = bSen�

�� dbd�� (3.72)


3.8. EN DETECCIÓN DE RADIACIÓN

que es la sección eficaz en función del ángulo de dispersión �. El valor absoluto en laderivada es para garantizar que � sea positiva, puesto que representa una probabili-dad. Esta expresión también puede ser escrita como,

d�d= b

Sen�

�� dbd�� (3.73)

mediante el uso de (3.67), que es encontrada muy frecuentemente en la literatura yes la denominada sección eficaz diferencial.

El parámetro de impacto b se determina a partir de la ley de fuerza que gobierna elcaso particular que se esté estudiando. Uno puede darse cuenta que el conocimientode la sección eficaz diferencial permite determinar el potencial de interacción entreel proyectil y la partícula que sirve de blanco.

3.8. En Detección de Radiación

Se denomina Sistema Espectrométrico a aquél formado por una fuente de radiacióny el detector que se utiliza para medir su actividad. Tanto las fuentes de radiación co-mo los detectores empleados pueden ser de variados tamaños, aspectos y materiales,además de poder estar geométricamente dispuestos el uno respecto al otro en var-iedad de formas. Dada una fuente de radiación, siempre se intenta buscar el mejordetector para el tipo de radiación a estudiar y la mejor disposición geométrica de unocon respecto al otro para lograr la mayor detección de radiación posible, es decir,lograr la mayor eficiencia [51], [52].

3.8.1. Factores que afectan la eficiencia de un detector

No todas las radiaciones que llegan a un detector producen un pulso. La eficienciade un detector está dada por la relación entre el número de radiaciones que cuentay el número que le llegó. Una eficiencia de 100% implica que todas las radiaciones quellegan son detectadas. En cambio una eficiencia de 1%, por ejemplo, significa que decada 100 radiaciones que recibe, cuenta sólo una. Es importante conocer la eficienciade cualquier detector (calibrarlo) para tomarla en cuenta al calcular la dosis recibida.

Hay varias circunstancias que afectan la eficiencia de un detector. Una de ellas esel tipo y la energía de la radiación. Las eficiencias relativas de un detector para alfas,betas, gammas o neutrones son muy diferentes, debido a los diferentes mecanismos



de interacción de cada uno de ellos con materia (ya sea el material del detectoro de su envoltura). Considérese la eficiencia de un contador Geiger para radiaciónexterna. Las partículas alfa no logran traspasar las paredes del recipiente, así que sueficiencia es cero. Las betas, en cambio, serán contadas en la medida en que puedanatravesar las paredes del recipiente; si éstas son delgadas podrá detectar la mayoríaque le lleguen. Los rayos X y gamma en general pueden atravesar las paredes, perola probabilidad de que ionicen el gas es pequeña por su baja densidad; sin embargo,esto no impide su uso en términos generales. Para detectar neutrones los contadoresGeiger convencionales no sirven.

La energía de las radiaciones incidentes es otro parámetro que afecta la eficienciade un detector. Para empezar, la energía de partículas alfa o beta determina si éstasson capaces de cruzar la envoltura y ser contadas. En el caso de rayos X o gamma,el poder de ionización depende del coeficiente de absorción para cada uno de lostres efectos (fotoeléctrico, Compton o pares). Como ya se vio, éste depende de laenergía de los fotones, y en general es muy grande para bajas energías, así que es deesperarse que los contadores en general tengan mayor eficiencia con bajas energíasde rayos X o gamma.

El material del detector afecta su eficiencia, principalmente por su densidad. Losdetectores sólidos son más eficientes que los gaseosos porque hay más materia queionizar. Además, en los gaseosos la presión del gas determina la eficiencia. Tambiénel tamaño de un detector es determinante para su eficiencia, porque en un detectorgrande hay más materia que ionizar, además de que es más difícil que la radiación seescape.

El efecto producido en el detector y la manera como éste se pone en evidencia sonimportantes para su eficiencia. El efecto puede ser ionización (como en los detectoresgaseosos), producción de luz, excitación atómica o reacción química. Cualquiera quesea el efecto en un detector dado, éste se tiene que medir de alguna manera. Si esionización, se puede medir con un circuito electrónico apropiado. Si es destello lumi-noso, se necesita una celda fotoeléctrica sensible. Si es reacción química, se identificael nuevo compuesto, por ejemplo, por su cambio de color.

Finalmente, el aparato asociado desempeña un papel importante, por ejemp-lo, el circuito electrónico y el indicador de corriente en los detectores gaseosos. Elacoplamiento eléctrico del detector al circuito, el nivel de discriminación para eliminarruido electrónico, los valores y la precisión de los voltajes empleados, la magnitud deamplificación de los pulsos, la sensibilidad del indicador de carátula, la precisión de las


3.8. EN DETECCIÓN DE RADIACIÓN

escalas del indicador, son factores que afectan la eficiencia de conteo. Además, esimportante señalar que la eficiencia debe referirse a la combinación detector-circuito-indicador, y no sólo a una parte.

Los monitores de radiación y los dosímetros dan lecturas en unidades de exposi-ción, de dosis absorbida o de dosis equivalente. Los pulsos que produce el detector setienen que transformar a estas unidades. Lo mismo puede decirse del ennegrecimien-to de una película o del cambio de color de una solución. Siempre hay lugar a erroren las lecturas debido a los procesos descritos. Los fabricantes generalmente calibransus aparatos por comparación con fuentes de características conocidas (patrones),y recomiendan cómo se deben usar y cómo se pueden garantizar lecturas correc-tas. Además, algunas de sus características van cambiando con el tiempo, así que sedeben verificar de cuando en cuando.

3.8.2. Tipos de eficiencia

Es posible calcular, para las distintas disposiciones geométricas fuente-detector, dis-tintos tipos de eficiencia [51]:

3.8.2.1. Eficiencia geométrica "G

Para una fuente puntual, ésta es la fracción de la radiación total que incide sobre lacara del cristal del detector. En otras palabras, la eficiencia geométrica de una fuentepuntual es la fracción del ángulo sólido total 4� que el cristal subtiende en la fuente.Matemáticamente,

"G =

4�

dependiendo sólo de la geometría fuente-detector. Véase como ejemplo la figura3.21.

3.8.2.2. Eficiencia intrínseca insidente "i (E)

Es la fracción de la radiación monocromática isótropa con energía fotónica E in-cidente sobre la cara del cristal del detector, que interactúa para producir centelleomesurable.



Figura (3.21): Ejemplos de detectores y fuentes de radiación.

3.8.2.3. Eficiencia intrínseca de la fuente " (E)

Es la fracción de la radiación monocromática isótropa de una fuente con energíafotónica E que incide sobre la cara del cristal del detector, que interactúa para pro-ducir un centelleo mesurable.

3.8.2.4. Eficiencia de pico de energía completo para la fuente " (E)R (E) y eficien-cia de pico de energía completo " (E)R (E)

Los términos y " (E)fueron definidos antes. El término R(E) es la razón del áreadel pico completo de energía5 con respecto al área del espectro total de un rayo defotones monocromático de energía E y es llamado frecuentemente la razón pico-totalo la fotofracción.

Como puede observarse de todo lo anterior, la eficiencia en los sistemasespectrométricos es fuertemente dependiente de la definición de ángulo .Por lo tanto en este tipo de estudios es fundamental su aplicación.

Este tipo de problemas, la eficiencia en los sistemas expectrométricos, es de muyvieja data y sigue siendo un duro tema de investigación, aún en la actualidad.

5Pico de energía completo: es la altura del pulso de distribución (usualmente Gaussiana) que resulta dela disipación de la enegía de rayo gamma total en el cristal. El pulso completo de energía existentepuede consiguirse mediante una única interacción, o múltiples interacciones incidentes que involucranel efecto fotoeléctrico, efecto Compton y la producción de pares.


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