Ejemplo problema programacin lineal.Maximizacin de utilidades

Comencemos

CASO PRACTICO

Como Ingeniero se le pide resolver el siguiente caso:Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorias de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuantas auditorias y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin.

Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls.

Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls.

El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

Dmonos un tiempo; analicemosComo Ingenieros, tratemos de encontrarle una solucin

.Volviendo a nuestro casoUna compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorias de empresas pequeas. Tienen inters en saber cuantas auditorias y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin.

Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dls.

Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de 100 dls.

El mximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

Tenemos:Variables del caso:X1: Cantidad de AuditoriasX2: Cantidad de Liquidaciones

Funcin de ingresos:Z = 300 X1 + 100 X2

Pero nos falta clasificar el resto de los datos dados en el caso:800 hrs. de trabajo directo totales320 hrs. de revisin totales40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisin para las auditorias8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisin para las liquidaciones.

Como hacemos para asociar los datos de tiempo con las variables del caso.La respuesta es la siguiente:

40 X1 + 8 X2 80010 X1 + 5 X2 320 X2 60X1 0X2 0

Luego, la pregunta es:

De que forma utilizamos todo esto?

Cmo llegamos a la solucin?

La Programacin Lineal (PL)Tcnica de Optimizacin Matemtica

Consiste en la minimizacin o maximizacin de una funcin lineal en presencia de restricciones lineales de igualdad o desigualdad.

Pasos bsicos a seguir:1. Reconocer las variables del sistema

2. Escribir la funcin objetivo en funcin de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando grficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de soluciones factibles.

6. Calcular el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices para ver en cul de ellos presenta el valor mximo o mnimo segn nos pida el problema (hay que tener en cuenta aqu la posible no existencia de solucin si el recinto no est acotado de forma adecuada).

Apliquemos estos pasos empricamente al caso anterior

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditoras (X1).Cantidad de liquidaciones (X2).

RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directoTiempo disponible de revisinNmero mximo de liquidaciones.

Variables del caso:X1: Cantidad de AuditoriasX2: Cantidad de LiquidacionesFuncin de ingreso total:MAX. Z = 300 X1 + 100 X2

Sujeto a:40 X1 + 8 X2 80010 X1 + 5 X2 320 X2 60X1 0X2 0

Graficando

La solucin ptima siempre se encuentra en uno de los vrtices del conjunto de soluciones factibles.Se analizan estos valores en la funcin objetivo. El vrtice que representa el mejor valor de la funcin objetivo ser la solucin ptima.

La solucin optima es:

X1 = 12 Auditorias

X2 = 40 Liquidaciones

Z = $7600

EJERCICIOS1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?

2. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Pesos. Cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaa 2 kgs. de ambos metales. Cuntas bicicletas de paseo y de montaa vender?

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaa para obtener un beneficio mximo de 850.000 Pesos.

3. Minimizar la funcin f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

4. Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:

5. Maximiza la funcin z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones:

6. Una fbrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fbrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:

El mximo nmero de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, cuntas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el mximo beneficio?