Análisis y Diseño de Losas - Ing Roberto Morales

8/17/2019 Análisis y Diseño de Losas - Ing Roberto Morales

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Ing. Roberto Morales Morales

RECTOR UNI - PERU

ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS



Losas en una DirecciónLosas en una Dirección

Las losas armadas en una dirección son panelesLas losas armadas en una dirección son panelesde piso de concreto para los cuales la relaciónde piso de concreto para los cuales la relaciónde luz mayor a la luz menor es igual o mayor quede luz mayor a la luz menor es igual o mayor que2.0. Cuando esta relación es menor que 2 el2.0. Cuando esta relación es menor que 2 elpanel de piso llega a ser una losa en dospanel de piso llega a ser una losa en dosdirecciones.direcciones.Una losa en una dirección es diseñada como unUna losa en una dirección es diseñada como un

paño de viga de ancho de 1m usando el mismopaño de viga de ancho de 1m usando el mismoprocedimiento de análisis y diseño que el deprocedimiento de análisis y diseño que el devigas con refuerzo simple.vigas con refuerzo simple.



En el diseño de losas, normalmente se asume unEn el diseño de losas, normalmente se asume unespesor.espesor.Las losas normalmente para cargas típicas noLas losas normalmente para cargas típicas norequieren de refuerzo por corte.requieren de refuerzo por corte.

L n

t

b b b b b

Ln

Ln

Ln

1 m



Refuerzo transversalRefuerzo transversal

Astemp = 0.0020 bt para f Astemp = 0.0020 bt para f yy = 2800, 3500 kg/cm2= 2800, 3500 kg/cm2= 0.0018 bt para f = 0.0018 bt para f yy = 4200= 4200

s < 5t, 45 cms < 5t, 45 cm con y = 0.35%con y = 0.35%

A st 0.0018 bt 4200f y 0.0014 bt= ≥

⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟



Aplicación: Aplicación:

Diseñar la losa simplemente apoyada reforzadaDiseñar la losa simplemente apoyada reforzadaen una dirección, que se muestra en la figura.en una dirección, que se muestra en la figura.Considere:

f'c = 280 kg/cm2

f y = 4200 kg/cm2

wD = 0.56 t/m2

wL = 0.50 t/m2

Dimensionar la losa para una cuantía de 0.004



Usar:Usar: h = 16 cm d = 16h = 16 cm d = 16 -- (2 + 0.635) = 13.36 cm(2 + 0.635) = 13.36 cm

ΡΡmaxmax = 0.75= 0.75 ΡΡbb = 0.0213 > 0.004........... Conforme= 0.0213 > 0.004........... ConformeΡΡminmin == ΡΡtemptemp = 0.0018 < 0.004 ….....…= 0.0018 < 0.004 ….....… ConformeConforme

Diseño:Diseño:a = 2 cma = 2 cm d = 13.36 cmd = 13.36 cm

d 12.77 cm h d 2 12.77 21.27

2 15.4 cm= ⇒ = + + = + + =r φ

( )d

a2

12.36 cm A s Mn

f y da2

2.38 * 10 5

0.9 * 4200 12.36− = ⇒ =

−

=⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟φ

A s 5 cm 2 a As f y

0.85 f c b

5.09 * 4.20.85 * 0.28 * 100

0.90 cm= ⇒ = = =.'

09



CONFORME

Usar:

φ1/2" @ 0.26 Respuesta

d a2

12.91 cm A s 4.88 cm 2 a 0.86 cm− = ⇒ = ⇒ =

ρ As /bd100 * 13.36

0.003654.88= = =

φ= φ ⇒ = = = = =b 1 A 1.27A nA s 0.26ms n n A / m 4.88s



Refuerzo transversal

Ast

= 0.0018 bt = 0.0018 * 100 * 16 = 2.88 cm2 /mUsar: φ 3 / 8" @ s

0.712.88

0.25 m= =

f 1/2” @ 0.26

f 3 / 8 ” @

0 . 2 5

0.16

f 3/8” @ 0.25

f 1/2’’ @ 0.26



Diseño de una Losa MacizaDiseñar la losa maciza por flexión reforzada enuna dirección. Considere: espesor = 14 cm, s/c= 600 kg/m2, f'c = 210 kg/cm2, f y = 4200 kg/cm2.

Solución:

P.P. = 0.14 * 1 * 2.4 * 1.2 = 0.40

acab = 0.10 * 1.2 = 0.12S/C = 0.60 * 1.6 = 0.96wu = 1.48 t/m



S/C = 600 kg/m2

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

1/24

1/14

3.40 3.70

1/14

1/9 1/24

124 0.71 t m a 0.40 cm A s 1.68 cm

2 ⇒ − ⇒ = ⇒ =

∴ 3 / 8" @ 0.42φ

19

2.07 t m⇒ −

1

24

0.84 t m a 0.47 cm A s 2.00cm 2 ⇒ − ⇒ = ⇒ =



Diseño:Mu = 2.07 t-m a = 2 cm

3 / 8" @ 0.36 m∴ φ1

14 1.22 t m a 0.69 cm A s 2 cm 2⇒ − ⇒ = ⇒ = .93

3 / 8" @ 0.24 m∴ φ1

14 1.45 t m a 0.83 cm A s 3.51 cm 2 ⇒ − ⇒ = ⇒ =

∴ 3 / 8" @ 0.20 mφ

⇒

d 14 21.27

2 11.37 cm= − + =⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟



As = 5.09 cm2 a = 1.20 cm Conforme

Usar

A s 2.07 * 10 5

0.9 * 4200 11.37a2

5.28 cm 2 =−

=⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⇒ =′

=a As f y0.85 f c 100

1.24 cm

⇒

φ 1/ 2" @1.275.10

0.25 m=



2.07 t-m ............... 1.20 cm

Mu ........................ xAs min = 0.0018 bd = 0.0018 * 100 * 11.37 = 2.05 cm2

φ3/8" @ 0.35

s < 3t, 45 cm = 42, 45 cm Conforme

f 3/8” @ 0.24

f 3/8” @ 0.42f 1/2” @ 0.25

f 3/8” @ 0.36

f 3/8” @ 0.20



Líneas de fluenciaLos términos "Líneas de Fluencia Positiva" y"Líneas de Fluencia Negativa" son usados paradistinguir los asociados a tracción en la parteinferior de la losa y tracción en la parte superiorde la losa respectivamente.

P

Línea de Fluencia PositivaLínea de Fluencia Negativ

PLANTA



Las orientaciones para establecer los ejes de rotación y

líneas de fluencia son:1. Las líneas de fluencia son generalmente rectas.2. Los ejes de rotación generalmente se encuentran a

lo largo de las líneas de apoyo, las cuales puedenser rótulas reales o líneas de fluencia que actúancomo rótulas plásticas.

3. Los ejes de rotación pasan por los puntos de apoyo(como las columnas).

4. La línea de fluencia comun a dos porciones de losapasa por el punto de intersección de los ejes de

rotación de dichas porciones.5. Las deformaciones en la estructura plastificada seproducen alrededor de un eje de rotación y se hallanconcentradas en las líneas de fluencia. Lasporciones limitadas por ellas permanecen planas



Apoyos simples en todos los lados

Apoyo Apoyo



Formas típicas de línea de fluencia:

Apoyos no paralelos

Apoyos simples

en todos los lados

213

4

12




4 Apoyossimples

3 Apoyossimples

Bordelibre 2 Apoyos

empotrados2

1

1

2

3

Borde Libre




Eje de rotación

Bordelibre

3 Apoyosempotrados

2

1

3




Columna

2 apoyos empotrados

Apoyo simple

Libre



Métodos de análisisa) Análisis por el método de equilibrio

A partir de una configuración aproximada de las líneasde fluencia puede encontrarse la verdadera,considerando el equilibrio de las porciones de la losa.Cada porción considerada como cuerpo libre, debeestar en equilibrio bajo la acción de las cargasaplicadas, momentos flectores a lo largo de las líneasde fluencia y reacciones o fuerzas cortantes a lo largode las líneas de apoyo.Debe notarse que los momentos de fluencia sonmomentos principales, por lo tanto los momentos detorsión son nulos a lo largo de las líneas de fluencia ygeneralmente las fuerzas cortantes son también nulas.



Métodos de análisisb) Análisis por el método de los trabajos

virtualesEn base a una configuración de líneas defluencia se le da al sistema un conjunto dedesplazamientos virtuales compatibles con laconfiguración supuesta, siendo posiblecalcular las rotaciones correspondientes.

Igualando el trabajo exterior con el trabajointerior, se encuentra la relación entre lascargas aplicadas y los momentos últimos dela losa.



Losas isotrópicas y ortotrópicasSi una losa es reforzada idénticamente endirecciones ortogonales, los momentosresistentes últimos son los mismos en esas dosdirecciones y a lo largo de cualquier otra

dirección. Estas losas son llamadasIsotrópicamente reforzadas.Si una losa es reforzada diferentemente en dos

direcciones ortogonales, la losa es llamadaanisotrópica u ortotrópica.



Momentos últimos en ejes noperpendiculares a las armaduras

El problema es calcular el momento último enuna dirección cualquiera si se conocen losmomentos últimos resistentes en dos direccionesperpendiculares.

mq

1

q

q

senq

cosq

mx

my



mq, mx ,my : momentos últimos por unidad de longitud.Tenemos:

En caso de losas isotrópicas

(Los momentos últimos son iguales en cualquier dirección)

m (m x cos ) cos (m y sen ) senθ θ θ θ θ= +

m m x cos2

m y sen2

θ θ θ= +

⇒ =m x m y∴ = + m m x cos 2 m x sen 2θ θ θ

m m x m yθ = =



Ejemplos de Aplicacióna) Métodos de Equilibrio

Aplicación Nº 01:Se tiene una losa continua uniformementecargada como se muestra en la figuraadjunta. La losa tiene una luz de 3 m y estáreforzada para proveer una resistencia aflexión positiva de 0.70 t-m/m. A flexiónnegativa tiene una resistencia de 0.70 t-m/m en la sección A y de 1.05 t-m/m en C.Hallar la capacidad de carga límite de lalosa..



Solución:Considerando un metro de ancho tendremos:

w t/m

A

B

C

3-xx

1 m

PLANTA

3.00



Analizando cada parte de la losa como cuerporígido:

……….. …….(1)

………..(2)

De (1) .......................(3)

M Awx2

20.70 0.70 0∑ = − − =

MCw (3 x) 2

20.70 1.05 0∑ = − − − =

w2.8

x2=



Aplicación Nº 02:

Se tiene una losa cuadrada simplementeapoyada en sus cuatro lados eisotrópicamente reforzada. Determinar elmomento resistente límite por metro lineal

requerido para sostener una cargauniformente distribuida de W t/m2.



Solución:Tenemos la configuración de falla

L

L



Considerando una de las cuatro partes iguales ysu equilibrio alrededor de su eje de rotación.



La carga distribuida concentrada en el centro de gravedad

será:

La proyección de los momentos sobre el eje de rotaciónserá:

Luego:

PewL2

4=

Mp MBC cos mL2

2

2

2

mL

2

= = =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟α

MEJEwL2

4

1

3

L

2

mL

2

mL

20= − − =

⎛

⎝ ⎜

⎜

⎞

⎠⎟

⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⇒ = −mw L2

24t m m/



Aplicación Nº 03:Para la losa que se muestra simplementeapoyada, determinar el momento resistenteúltimo para una carga límite uniformementedistribuida w (t/m2). La losa es isotrópicamentereforzada.

12

2

6.0

x

1.53.01



Solución:Zona 1:La carga concentrada será: Pe w 3x

2=

m

3.0

m

Pe

x/3

Eje de rotación

x



Considerando el equilibrio en el eje tendremos:

De aquí:

........................(1)

MEJE3wx

2x3

3m 0= − =⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

mwx2

6=



Zona 2:Las cargas concentradas considerando lassecciones mostradas serán:

m m

m

x 6 -2x x

1.50

0 .50.75

Pe 2

Pe 1 Pe 1

Eje de Rotación

6.00



Tomando momentos respecto al eje de rotación:

6m + 1.5wx - 6.75w = 0 …………....………………. (2)

(1) en (2)

Pe1

wx1.5

2=

Pe2 w(6 2x) 1.5= −

MEJE 0∑ =

( )6 m 2 wx1.52 0.5 w(6 2x) 1.5 (0.75) 0− − − =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

6wx2

61.5 wx 6.75w 0 x 1.95 m

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + − = → =



t-m/m

b) Método de Trabajos Virtuales

m wx26

m 0.634 w= ⇒ =

0.70 0.70 1.05

A B C



Aplicación Nº 04:Se tiene una losa continua uniformementecargada. La losa tiene una luz de 3 m y estáreforzada para proveer una resistencia a flexiónpositiva de 0.70 t-m/m y a flexión negativa de0.70 t-m/m en A y 1.05 t-m/m en C. Determinar lacapacidad de carga última de la losa.



Solución:Tenemos las rotaciones:

θ A1x= θ θ θ θ θB B1 B2 A C= + = +

⇒ = +−

θB x x1 1

3θC

13 x

=−

1/21/2

W (t/m )

2

w(3-x)wx

A

B

C

C A

qB1 qB2

x 3 - x

3 3



Cuando tenemos una deflexión unitaria en B, sedesarrolla un trabajo externo de:

Y un trabajo interno de:

WE wx12 w (3 x)

12= + − =

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

32w

W M 0.701x

0.701x

13 x

1.051

3 xΙ = ∑ = + +−

+−

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ ⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟αθα

= +−

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟14 175

3. .x x



Igualando:

Si: WI = WE

........................................... (1)

Para determinar el valor mínimo de w diferenciamos (1)con respecto a x, e igualamos a cero:

∴ +−

= 1.4

x

1.75

3 x

3w

2

w0.933

x

1.167

3 x

= +−

( )dwdx

00.933

x21.167

3 x 20= ⇒ − +

−=



Resolviendo:

2.046 x = 2.898

En (1)w = 1.39 t/m2

0 966 1083

. .x x

=−

x m=142.



Aplicación Nº 05:Para la losa que se muestra en la figura adjuntadeterminar el momento último resistente parauna carga límite uniforme w t/m2. La losa esisotrópicamente reforzada.

1.5

3 .0

x6 .0



Solución:Considerando un desplazamiento virtual de D =1de la linea de fluencia paralela a los ladosmayores.

2 A

11D=1

2A2B

X

3 . 0 m



Tendremos:

051.0

Pe2A

/3

2x/3

D/3

e1

P

x/3

D=1.0Zona 1:

Pe 2B

D/ 2

Zona 2A:

0.5 0.5

Zona 2B:

We1

Pe1 3

w3x

2

1

3

wx

2= = =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

∆



¨̈

Igualamos el trabajo exterior al trabajo interior para eltotal de la losa:

We2A Pe2A3

x1.5 w

2

1

3

wx

4= = =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

∆

We2B Pe2B 2(6 2x) 1.5 w

12

4.5 w 1.5 wx= = − = −⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

∆

Wi M= ∑ θ

Wi 3 mLx

6 mL

1.5= +⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

( )2

wx

2 4

wx

4 2 4.5 w 1.5 wx 2

3 m

x

6 m

1.5

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟+ + − = +

− + = +⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟wx 9 w m6x

8



..................................................... (1)

Para hallar el momento último tenemos que diferenciarcon respecto a x e igualar a cero.

simplificando:x2 + 1.5x - 6.75 = 0Que viene a ser la misma ecuación que se obtuvousando el método de equilibrio. En (1)

t-m/m

mw (9 x)

6x

8=

−

+

( )dm

dx (9 x) ( 1)

6

x 8

2

6x2

1

6

x 8

1

0= − − + − −

+ − +

−

=⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⇒ = → =x m m w195 0 634. .



Aplicación Nº 06:Para la losa exagonal inscrita en un círculo dediámetro 8.80 m determine el valor de la cargauniforme última t/m2. La losa tiene 20 cm deespesor y está reforzada con φ1/2" @ 0.15 encada sentido (inferior). Está simplementeapoyada en sus bordes. Considere f' c = 210kg/cm2 y f y = 4200 kg/cm2.



Solución:Por simetría la hipótesis de falla corresponde alas líneas de fluencia que pasan por lasbisectrices. Las zonas delimitadas son iguales.

1.2 7

8.80

C

A B

G

4.40 Eje de Rotación

3

23 81L .m m



Por metro de Losa:

As =

a = 1.99 cm

m = 8.45 * 4.2 (0.167 - 0.001) = 5.58 t-m

m = 5.58 t-m/m

10.15

* 1.27 8.45 cm 2 / m=

a = ⇒8 45 4 2

0 85 0 21 100. * .

. * . *

m A f d as y= −⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟2

a) Método de Equilibrio



a) Método de Equilibrio

5.58 * 4.40 - 0.5 * 4.40 * 3.81w * 1.27 = 0

w = 2.31 t/m2

b) Método de Trabajo Virtual

∆M = 1.0WE :

Wi :

M AB 0=∑

6 * 4.40 * 3.81 * 0.5 W13

16.76 W=

6 * 5.58 * 4.40 *1

3.81 38.66⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =

WE Wi w 2.31 t / m 2= ⇒ =



Aplicación Nº 07:La losa de la figura adjunta tiene sus cuatrobordes simplemente apoyados. Ignorando losefectos de esquina, complete la configuración delas líneas de fluencia y determine el valor de lacarga uniformemente repartida que correspondea esta hipótesis de falla. El espesor de la losa es15 cm y tiene refuerzo de φ 3/8" @ 0.20 en cada

sentido (malla inferior) considere.

f k 2



f'c = 210 kg/cm2

f y = 4200 kg/cm2

45°

45° 30°

30°

5.0

5.0

45°

45°

S l ió



Solución:

Por metro de losa:



As = 5 * 0.71 = 3.55 cm2/m

dp=h-(r+f)

dp = 15 - (2 + 0.95) = 12.05 cm

a3.55 * 4200

0.85 * 210 * 1000.84 cm= =

( ) 1.73t m / mam A f d 3.55 * 4.2 0.1205 0.0042s y 2= −= − = −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

d1d2

Si damos al punto F un desplazamiento virtual



Si damos al punto F un desplazamiento virtual

encontramos los desplazamientos de los otrospuntos por relaciones geométricas.

∆F 1=

∆E1.10

1.800.61= =

∆IB1.001.85

0.54= =

∆3A0.951.80

0.53= =

∆ ∆ ∆IA 4

E3

0.203= = =

∆ ∆ ∆2 3B13 F

13= = =

L ego:



Luego:

WE:(1) (IA):

(IB):

(2)

(3) (3A):

(3B):

12

* 5 * 1.20 * w * 0.203 0.61 w=

12

* 4.5 * 1.30 * * 0.54 1.58w w=

1

2 * 5 * 1.85 *

1

31.54 w=

12

* 4.10 * 0.50 * w * 0.53 0.54 w=

12

* 6.83 * 1.80 * w * 13

2.05 w=

(4) 1



(4)

∑= 6.52 wWI:

(1)

(2)

(3)

(4)

∑ = 17.68 t-m WE = WL

6.52 w = 17.68 w = 2.71 t/m2

1

2

* 1.83 * 1.10 * w * 0.203 0.20 w=

5 * 1.73 *1

1.85 4.68 t m= −

5 * 1.73 *1

1.854.68 t m= −

6.83 * 1.73 *1

1.806.56 t m= −

1.83 * 1.73 *0.611.10 1.76 t m= −

⇒

Efectos de esquina en líneas de



Efectos de esquina en líneas defluencia

En el estudio anterior se ha considerado que laslíneas de fluencia llegan hasta los ángulos entredos lados que se cortan. Otra posibilidad es quelas líneas de fluencia se bifurquen antes dellegar al ángulo, como se muestra en la figuraadjunta. a

b

c

Efectos de esquina en líneas de



Efectos de esquina en líneas defluencia

Si el ángulo de la losa está anclado ocurre que el eje de

rotación es a-b y la línea ab se convierte en una línea defluencia. Lo que quiere decir que la zona abc no sedeforma.Las distribuciones de las líneas de fluencia con líneas

bifurcadas en los ángulos conducen a una menorcapacidad de la losa, que aquellas que no presentanestas características. Sin embargo frecuentemente seignora en el análisis correspondiente, debido a que el

error que se comete ignorando el efecto de esquinausualmente es pequeño y el incluirlo conduce a unanálisis complicado.



m’

m m

1

1/3

A B

2.0

4.00

Análisis del ejemplo de losa cuadrada con carga



Análisis del ejemplo de losa cuadrada con cargauniforme repartida.

Por equilibrio:

m’

a

a

mc

b

m

P e h

Mab 0∑ =

( )m m' a1

2a h w

1

3h 0+ − =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

(1)1 1⎛ ⎞



….......................… (1)

Se tiene:

Si: h < 1/2 diagonal Hay efecto de esquinaSi: h > 1/2 diagonal No hay efecto de esquina

Si la esquina no está anclada el elemento triangular abcgiraría alrededor del eje ab levantándose de los apoyos.

m' = 0 En (1):

Donde:m = Momento Unitario positivo

( )m m' a

1

2 a h w

1

3 h 0+ − =⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

→→

h6 m

w=



Aplicación Nº 08:Calcular la carga uniformemente repartida que produce la

falla de una losa cuadrada de 4 m de lado, continua ensus cuatro bordes y reforzada en dos sentidos con φ 3/8"@ 0.25 m en la cara inferior yφ 3/8" @ 0.20 m en la carasuperior.

f'c = 210 kg/cm2

f y = 4200 kg/cm2

t=0.15

4.0

4.0



Solución:Calculamos los momentos positivos y negativos por unidadde longitud.

m: As = 1/0.25 * 0.71 = 2.84 cm2

m': As = 1/0.20 * 0.71 = 3.55 cm2

a = 0.84 cm

m’ = 1.73 t-m/m

a2.84 * 4200

0.85 * 210 * 1000.67 cm= =

( )dprom 15 2 22

15 2 0.95 12.05 cm= − + = − + =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟φ

0.0067m 2.84* 4.2 0.1205 1.40 t m/m2

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −

⇒

a) Sin considerar efectos de esquina



a) Sin considerar efectos de esquina

w = 4.70 t/m2

( ) ( )4 1.4 1.7312

4 2 w13

2 0+ − =

m’

m m

1

1/3 A B

2.0

4.00

b) Considerando efectos de esquina:



b) Considerando efectos de esquina:

Tomando un valor de: WE = 0.9w = 0.9 * 4.70 =4.23 t/m2. En (1):

Luego es posible que se bifurquen las líneas defluencia.

( ) ( )h

6 m m'W

E

6 1.40 1.734.23

2.11 mdiag

2= + = + =

diag2

22

L=



∆o 1= ∆P1.762.00

* 1.0 0.88= =

b

Eje de giro

supuesto

2.36 d/2<

0.50

0.71/2

0 . 7 1

2.11 =1

AB

P

o

a c 1

. 7

6 2

. 0 0

3.00

El triángulo abc trabaja como un apoyo más, ya



g j p y , yque no se deforma, por eso no se considera paraefectos de energía.WE :(A)

(B)

Wi :(A)

( )12

* 0.71 * 2.11 * w * 13

0.88 0.220 w=

( )1

2 * 4 * 2 * w *

1

31.00 1.333 w=

( ) ( )A achurado w * 2* 0.5 0.258 w1 *1.762

= − = −

WE4 1.295 w=

( )1.40 1.73 * 0.71 *0.88

2.110.927 t m+ = −

(B) ( )140 173 3 01

2 04 695. . * . * .+ = −t m



WE = Wi we = 4.34 t/m2

Con respecto al valor sin considerar efectos de esquinada:

WE = 0.92 w t/m2

Verificando:wA = 4.21 t/m2

wB = 4.37 t/m2 (Conforme)Para fines prácticos se podrá diseñar sin considerarefectos de esquina tomando una seguridaddisminuyendo el valor de W en un 10% a 15%.

( )2 0.

∴ ⇒

Wi t m4

5 622= −.



Losas Armadas en dos DireccionesConsideraciones sobre los Procedimientosde Diseño:

El capítulo 13 del Código ACI 318-05 trata demanera especial los sistemas de losas en dosdirecciones. Sus disposiciones son aplicables a:Losas apoyadas sobre vigas, losas planas,placas planas y losas con viguetas en dosdirecciones (losas reticulares).



Losas Armadas en dos DireccionesSe hace referencia específica a dos métodos:

Uno semiempírico, el Método de Diseño Directoy un análisis elástico aproximado, conocidocomo el Método del Pórtico Equivalente.

Las disposiciones específicas de ambosmétodos están limitadas en su aplicación apórticos ortogonales sometidos a cargas debidassólo a la gravedad. En el caso de fuerzassísmicas lo recomendable es combinar losresultados del análisis sísmico con el análisisbajo cargas de gravedad.



Losas Apoyadas sobre vigas Losas Planas

Placas Planas Losas con Viguetas en dos Direccione

Tipos de Losas Armadas en Dos Sentidos:



Vista Planta - Vista Frontal:

Vigas

(a) Vigas y Losas (b) Losas Planas

AbacoCapitel

(c) Losa con ábacos y columnas con capitel (d) Losas Nervadas

Vista Planta - Vista Frontal:



L /22

Ib

L /22 L /22

Ib

Is

Is

Viga Exterior

Figura 2. Secciones de losas y vigas consideradas para el Cálculo de la expresión

Viga Interior

Criterio para elCriterio para el DimensionamientoDimensionamiento



de Losas Armadas en dos Sentidosde Losas Armadas en dos Sentidos1.1. Espesor mínimo de losaEspesor mínimo de losa

El código ACI propone espesores mínimos de losaque garantizan que sus deflexiones no seanexcesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados,dicho espesor debe ser incrementado. Esta situaciónsuele presentarse en sistemas de losas con vigas.El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos,es funcion de am el cual es igual al promedio de losvalores de a correspondientes a las vigas que limitanel paño. El parámetro a se determina a través de laexpresión (ACI-13.0):




de Losas Armadas en dos Sentidosde Losas Armadas en dos Sentidos

Donde:Donde:Ecb: Módulo de elasticidad del concreto d las vigas.

Ecs: Módulo de elasticidad del concreto d la losa.Ib : Momento de inercia de la sección bruta de la vigarespecto a su eje centroidal.

Is : Momento de inercia de la sección bruta de la losarespecto a su eje centroidal cc

α =E

E

cb b

cs s

Ι

Ι




de Losas Armadas en dos Sentidosde Losas Armadas en dos SentidosSi vigas y losa constituyen un sistemaSi vigas y losa constituyen un sistema

monolítico, se considerará que las vigas incluyenmonolítico, se considerará que las vigas incluyenuna porción de losa a cada lado, la cuáluna porción de losa a cada lado, la cuál seraseraigual a la proyección de la viga sobre o porigual a la proyección de la viga sobre o por

debajo de la losa, la que sea mayor y no deberádebajo de la losa, la que sea mayor y no deberásuperar cuatro veces el espesor de la losa (figurasuperar cuatro veces el espesor de la losa (figura1). En la1). En la figura 2 se muestra las secciones de

vigas y losas a ser consideradas en la expresión1.




de Losas Armadas en dos Sentidosde Losas Armadas en dos SentidosSiSi aam < 0.2, la rigidez de las vigas es practicamente nula

y por lo tanto su presencia no se considera.en este caso,los espesores de losa se determinan haciendo uso de latabla.

Para losas con abacos h> 10cm.Para losas sin abacos h> 12.5cm.



LLnn/34/34LLnn/34/34LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/28/2852505250



ConConv igasv igas dede

bordeborde

SinSinv igasv igas dede

bordeborde

ConConvigasvigas dedebordeborde

SinSinv igasv igas

dedebordeborde

PaPaññoointerior interior

PaPaññoo exterior exterior PaPaññoointerior interior

PaPaññoo exterior exterior

ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsf uerzoEsf uerzodede

f luenciaf luenciadel acerodel acero

fyfy(kg/cm(kg/cm22))




ConConv igasv igas dede

bordeborde

SinSinv igasv igas dede

bordeborde

ConConvigasvigas dedebordeborde

SinSinv igasv igas

dedebordeborde

PaPaññoointerior interior

PaPaññoo exterior exterior PaPaññoointerior interior

PaPaññoo exterior exterior

ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsf uerzoEsf uerzodede

f luenciaf luenciadel acerodel acero

fyfy(kg/cm(kg/cm22))

Si : 2.0 >Si : 2.0 > aam > 0.2 , el espesor de losa estará



dado por la expresión:

Si : am > 2.0 , el espesor mínimo estará dadopor la expresión:

h

Lf

cmn

y

m=

+⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

+ − >

0 814000

36 5 0 212 5

.

( . ). .

β α

h

Lf

cm

ny

=

+⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

+ >

0 814000

36 9 9 0

.

. .β



El parámetro b es igual a la relacion entre lamayor y menor luz lebre de la losa.

En los extremos discontinuos, la losa deberaproveerse una viga de borde con un valor de ano menor que 0.8 o si no la hay, el peralte sera

igual al espesor determinado con las dosexpresiones anteriores incrementado en un 10%.



2. Ábacos o panelesLos dimensiones de los ábacos deberán

satisfacer las condiciones presentadas en lafigura 3. (ACI-13.3.7)

h

>h/4

>I b/6>I a /6

Ia Ib Al eje Al eje

Figura 3. Provisiones para el dimensionamiento de ábacos

Á



2. Ábacos o panelesPara el cálculo del refuerzo negativo sobre la

columna, el espesor del ábaco por debajo de lalosa no se considerará mayor que un cuarto dela distancia entre la cara de la columna o capitel

y el borde del ábaco. Si el espesor del ábaco esmayor, no se tomará en cuenta.



3. CapitelesLos capiteles reducen la luz libre de los paños de la losa,

sin embargo, para el diseño, esta reducción es limitada aun mínimo de 65% de la luz entre ejes de apoyos. Parael cálculo de los momentos de la losa, las dimensionesde las columnas no se considerarán mayores que lasdefinidas por la intersección del mayor cono circular opirámide recta que se pueda inscribir entre el capitel y lasuperficie inferior de la losa del ábaco si es que existe ycuyos lados están inclinados 45° respecto al eje de lacolumna. La figura 4 muestra esta consideración másclaramente.



3. CapitelesLos capiteles también incrementan la resistencia

al punzonamiento de la unión losa-columna puesaumentan el perímetro de la columna Ancho Efectivo del Capitel

Losa

Abaco

CapitelColumna

45º 45º

Figura 4. Ancho Efectivo de una columna provista de capitel

Diseño de losas Armadas en dos



Direcciones según e Joint Comitee ASCE-ACI 1940:Este método solo es aplicable a losas armadas en dossentidos apoyadas en vigas o muros. Se definen lossiguientes parámetros:Ls: luz menor del paño analizado medida centro a

centro de los apoyos o luz libre mas dos veces el

espesor de la losa, el que sea menor.LI: luz mayor del paño analizado medida centro acentro de los apoyos o luz libre mas dos veces elespesor de la losa, el que sea menor.

wu: carag amplificada uniforme por unidad de area.m: cociente de la luz menor del paño entre la luzmayor, m= Ls/LI.




Direcciones según e Joint Comitee ASCE-ACI 1940:La losa se considera dividida en franjas medias y franjas

de columna como se muestra en la fig. La sección criticapara el maximo momento negativo se ubica en la cara delas vigas y para el máximo positivo, en el centro de lospaños. Los momentos, en la dirección mayor y menor, se

calculan a través de la siguiente expresión:

M = CwuLs2

El parámetro C depende de las condiciones de apoyo dela losa y se indica en la tabla 2.


ú



Direcciones según e Joint Comitee ASCE-ACI 1940:El momento por unidad de ancho obtenido a traves de laexpresion anterior corresponde a la franja media. Elmomento de la franja de la columna sera 2/3 delcalculadopara la franja media. Si el momento negativo a un lado

de la viga es menor qu el 80% del momento en su otrolado, los 2/3 de la diferencia se reparten a ambos ladosproporcionalmente a las rigideces de las losas.

El calculo de los momentos en las vigas se efectuahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:


Di i ú J i C i



Direcciones según e Joint Comitee ASCE-ACI 1940:El calculo de los momentos en las vigas se efectúahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:

Viga paralela a la luz Ls : wequiv= wLs/3Viga paralela a la luz LI : wequiv= wLs/3*(3-m2)/2

El calculo de las fuerzas cortantes se efectúa empleandola distribución real de la carga sobre la viga.

Por su simplicidad este método resulta muy útil para eldiseño de losas apoyadas en muros y vigas.

Franjas de Columna

L /4



Franja Media

L /4s

Ls/2

Ls/4

Ls/4Ls/4

L Ls I<

Ls

LIFranjas medias y franjas de columna según el

Método del Joint Comitee ASCE-ACI

Tabla 2.Tabla 2.

Coeficientes p r el Cálc lo de los Momentos de diseñoCoeficientes p r el Cálc lo de los Momentos de diseñod l dd l d i



Coeficientes para el Cálculo de los Momentos de diseñoCoeficientes para el Cálculo de los Momentos de diseñode losas apoyadas en vigasde losas apoyadas en vigas

A) Mét d d Di ñ Di t



A) Método de Diseño DirectoEs un procedimiento simplificado que permitedeterminar los momentos de diseño de losasarmadas en dos direcciones. Los elementosdiseñados haciendo uso de este procedimientosatisfacen los requerimientos de resistencia de laestructura y también la mayor parte de lascondiciones necesarias para un adecuadocomportamiento bajo cargas de servicio.El Método de Diseño Directo consta de trespasos fundamentales como se muestra acontinuación:

A) Mét d d Di ñ Di t



A) Método de Diseño Directo

Donde:wu: carga última factorizada total por unidad de

áreaLn: luz libre en la dirección de análisis de losmomentos

L2: luz perpendicular a la dirección de análisis

1. Determinación del momento estático factorizado total(ACI-13.6.2) igual a la suma del momento positivo alcentro de la luz entre apoyos y la semisuma de losmomentos negativos en ellos.

M w L Lo u n= 22

8

2. Distribución del momento estático total Mo a las

secciones críticas para flexión positiva y negativa (ACI13 6 3)



Luz externa

M (-)u M (-)uM (-)uM (-)u

M (+)u

M (+)u

Luz interna

secciones críticas para flexión positiva y negativa (ACI-13.6.3).

Distribucion del Momento Estatico TotalT E



Distribucion del Momento Estatico Totalpara un Tramo Extremo

3. Distribución de los momentos factorizados negativos y

positivos en las franjas de columna e intermedias y enlas vigas, si las hay (sección 13.6.4 a la 13.6.6).

Losas sin vigas entre los apoyos

interioresBorde

exterior sinrestricción

Losa con

vigas entretodos losapoyos Sin viga de borde Con viga de

borde

Borde

exteriortotalmenterestringido

Momentonegativo interior 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momentopositivo 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Momentonegativo exterior 0 0.16 0.26 0.30 0.65

Porcentaje de Momento Positivo y Negativoque Corresponden a la Franja de Columna



que Corresponden a la Franja de Columnal2/l1 0.5 1.0 2.0

Momento negativo interior

α1l2/l1 = 0 75 75 75

α1l2/l1 ≥ 1.0 90 75 45Momento negativo exterior

βt = 0 100 100 100α

1l2/l

1 = 0

βt ≥ 2.5 75 75 75βt = 0 100 100 100

α1l2/l1 ≥ 1.0βt ≥ 2.5 90 75 45

Momento positivo

α1l2/l1 = 0 60 60 60α1l2/l1 ≥ 1.0 90 75 45

Requisitos para la aplicación delmétodo:



método:1. Debe haber un mínimo de tres luces continuas en cada

dirección.2. Los paneles deben ser rectangulares con una relación

de las luces largas a las cortas dentro de un panel nomayor que 2.

3. Las longitudes de las luces sucesivas en cada direcciónno deben diferir en más de un tercio de la luz más larga.

4. Las columnas pueden correrse con respecto a cualquiereje de columnas sucesivas un máximo del 10% de la luzrespectiva en la dirección del desplazamiento.

5. Las cargas las genera únicamente la gravedad, y lacarga viva no debe exceder 2 veces la carga muerta.

Requisitos para la aplicación delmétodo:



método:Si se utilizan vigas en los ejes de columnas, la rigidez

relativa de las vigas en las dos direccionesperpendiculares, determinada por la relacióna1L12/a2L22, debe estar entre 0.2 y 5.0.

Franja de columna para L2 < L1:



Franj a centr al

Fran ja d e co lumna

Franja de col umna

1/2 Fr anjacentral

e q ui v al en t e

e q ui v al en t e

interior

exterio r

P ó r t i c o

i n t er i or

P ó r t i c o

ex t er i or

L

2

L

2

L

/ 2 2

L

/ 2 2

L

/ 2 2

L

/ 4 2

L

/ 4 2

L / 4 2

L 1

Aplicación Nº 01:



Aplicación N 01: Análisis y Diseño de una Losa Armada en dos

direcciones apoyada sobre Vigas

Usando el Método de Diseño Directo, sedeterminará los momentos de diseño en las dosdirecciones, además de diseñar los paneles delosa, para un piso intermedio de un edificio de

concreto armado.

5.225

4.55

(0

.35x0.50)

(0.35x0.70)

0.45 V-B (0.35x0.70)

(0.35x0.70)

(0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)V-B (0.35x0.70)D

S

N

EW



V-B

(0.35x0.70)

5.00

4.55

V-B

(0.35x0.70)

6.50

6.050.45

4.55

5.225

0.45

V-I

(0.35x0.50)

V-B

(0.35x0.70)

V-B (0.35x0.70)

6.05

6.725

0.45 0.45

V-I (0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)

6.725

6.05

V-I (0.35x0.50)

V-I

(0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)

0.45

V-I (0.35x0.50)

V-B

(0.35x0.70)

0.45

V-I

V-B

0.45

V-I

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

V-B

V-I

V-I (0.35x0.50)

V-I

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)C

B

A

1 2 3 4

Altura de piso = 3.7 m

Dimensiones de las vigas de borde = 35*70 cm²d l 0



gDimensiones de las vigas interiores = 35*50 cm²Dimensiones de las columnas = 45*45 cm²

Espesor de la losa = 15 cmCarga viva de servicio = 500 kg/m²

f'c = 280 kg/cm² (Para todos los elementos, concretode peso normal)f y = 4200 kg/cm²

Cálulos y Discusiones



Cálulos y Discusiones1. Diseño preliminar para el espesor de la losa h:

a) Control de la deflexión:

Elemento torsional

35 cm

55 cm (h ≤w

=55 cm

=15 cm

)4h f

hw

h f

Viga de borde:

Ib = 1482624.44 cm4

Figura 5.1a Porción de losa que debe incluirse con la viga de borde

Viga interior:



Ib = 585247.40 cm4

Figura 5.1b Porción de losa que debe incluirse con la viga interior

+8h

Elemento torsional b=35 cm

105 cm w+2h(b b≤

=15 cm

=35 cmhw

h f

f )

Franja de columna:



El Código del ACI divide los paños en franjas parafacilitar la distribución de los momentos en ellos. Lafranja de columna es una franja con un ancho a cadalado del eje de las columnas igual al menor valor entreL1/4 y L2/4, donde L1 y L2 son las longitudes centro a

centro del paño de la losa.

Ancho de franja = 1.25 m

Lm1

454

125= = .

2L 6.5 1.63m4 4

= =

Para las franjas de losa:



Para las franjas de losa:En este caso es el ancho entre las líneas

centrales de los paneles a cada lado de la vigaPara un ancho de 3.475 m (Viga de bordeexterior NS):

6 502

0 452

3 475. .

.+ =

Ιs cm= =347 5 1512

97734 383 4. *

.




Para las franjas de losa:Para un ancho de 6.5 m (Viga interior NS):

Para un ancho de 2.725 m (Viga de bordeexterior EW):

Ιs cm= =650 1512

182812 503

4*.

5 0.45 2.725 m2 2

+ =

Ιs cm= =272 5 1512

76640 633

4. *.




Para las franjas de losa:Para un ancho de 5 m (Viga interior EW):

Ιs cm= =500 1512

1406253

4*

Rigidez Relativa de la Viga y de laLosa (a)



Losa (a)

Vigas de borde (NS):

Vigas de borde (EW):

α =E

E

cb b

cs s

Ι

Ι

α = =1482624 44

97734 381517

.

..

α = =1482624 4476640 6 19 35.. .

Rigidez Relativa de la Viga y de laLosa (a)



osa (a)Vigas interiores (NS):

Vigas interiores (EW):

α = =585247 4182812 5

3 20..

.

α = =585247 4140625

4 16.

.

Rigidez Relativa de la Viga y de la

Losa (a)



( )Puesto que a > 2.0 para todas las vigas utilizamos laexpresion para este caso:

h = 13.87 cmLn: longitud de la luz libre en la dirección larga medidacara a cara de las columnas

Ln

= 6.5 - 0.45 = 6.05 m

Usando 15 cm de espesor de la losa

hL

f yn

=+⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟

+

0 814000

36 9

.'

β

∴

2. Momento factorizado en la losa:



Dirección N-S, ejes 1 y 4, considerando la franjade diseño en el borde del edificio.

Carga muerta factorizada:wD = 1.2 * (360 + 132.95) = 591.54 kg/m².

(Es el peso del alma de la viga por metro,dividido por l2)

0 35 0 552400

6 52

0 452

132 95 2. * . *. .

. /+⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟= kg cm




Carga viva factorizada:

wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²

Luego: wu = wD + wL = 591.54 + 800.0 =1391.54 kg/m²

wu = 1.39 t/m²⇒




a) Momento factorizado total por tramo:

Mo = 12.50 t-m

Mw L L

ou n= 2

2

8

M t mo = = −139 3 475 4 558

12502. * . * .

.

⇒

Se verificará las limitaciones de la sección 13.6.1.6 parala rigidez relativa de las vigas en dos direccionesperpendiculares.

P l l i i



Para el panel interior:

0.2 < 1.76 < 5.0 .................... OK!

Para el panel exterior :

0.2 < 0.38 < 5.0 .................... OK!

α

α1 2

2

2 12

2

215 17 3 4754 16 5 0

176L

L= =. * .

. * ..

αα

1 22

2 12

2

215 17 3 475

19 35 5 00 38L

L= =. * .

. * ..




b) Momento factorizado negativo y positivo:De la tabla 4-1.7, las relaciones de momento quedeben aplicarse para obtener los momentos exterioresnegativo, positivo y el momento negativo interior sonrespectivamente: 0.16, 0.57 y 0.70.

Luz interior:Momento negativo = 0.65Mo = 8.13 t-mMomento positivo = 0.35Mo = 4.38 t-mLuz extrema:

Momento negativo exterior = 0.16Mo = 2.00 t-mMomento positivo = 0.57Mo = 7.13 t-mMomento negativo interior = 0.70Mo = 8.75 t-m

3. Distribución de momentosfactorizados en las franjas de columnas

centrales:



Porcentaje del momento total negativo y positivo

en la franja de columna.La franja de columna tiene un ancho de (5/4 +0.45/2) = 1.475 m

LL

LL

21

21

6 55

130 130= = ⇒ =.. .

α α121

121

15176 55

19 72 19 72LL

LL

= = ⇒ =. *.

. .

3. Distribución de momentosfactorizados en las franjas de columnas

centrales:



De la tabla 4-1.1 (Momentos en la franja de

columna como porcentaje del momento total enla sección crítica), interpolando linealmentetenemos:

Momento negativo:



La franja de columna toma el 66% del momento

negativo, o sea 5.37 t-m, de los cuales las vigastoman el 85%, o sea 4.56 t-m y la losa toma elresto o sea 0.81 t-m. Los 2.76 t-m restantes seasignan a la franja central de la losa.

X1 = 35 cm X2 = 15 cm X1 = 35 cm X2 = 15 cm

Y1 = 55 cm Y2 = 90 cm Y1 = 70 cm Y2 = 55 cm

C1 = 470910.42 cm4 C2 = 90618.75 cm4 C1 = 685285.42 cm4 C2 = 51243.75 cm4

∑C = 470910.42 + 90618.75 = 561529.17 cm4 ∑C = 685285.42 + 51243.75 = 736529.17 cm4

Momento positivo:

L f j d l l 66% d l



La franja de columna toma el 66% del momentopositivo, o sea 2.89 t-m, de los cuales las vigastoman el 85%, o sea 2.46 t-m y la losa toma elresto o sea 0.43 t-m. Los 1.49 t-m restantes seasignan a la franja central de la losa.La constante torsional para la viga de borde seencuentra a partir de la siguiente ecuación parauna forma rectangular de 35*70 cm² con un ala

sobresaliente de 15*55 cm². De la figura 5.1atenemos:

Momento positivo:

⎛ ⎞ ⎛⎜

⎞⎟

3



Donde:x: dimensión menory: dimensión mayor

La restricción relativa proporcionada por la resistenciatorsional de la viga de borde transversal efectiva serefleja mediante el parámetro bt.

Cxy

x y= ∑ −⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1 0 633

3.

Momento positivo:

bE C



Donde:

Is = 182812.5 cm4

bt = 2.01

βtcbcs s

E CE

=2 Ι

Ιs

L h= 23

12

Ιs cm= =650 1512

182812 53

4*.

βt = =736529172 182812 5

2 01.

* ..

Momento negativo exterior:

L f j d l l 73% d l




negativo exterior, o sea (2.00) * 0.73 = 1.46 t-m,de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 1.24t-m y la losa toma el resto o sea 0.22 t-m. Los(2.00) * 0.27 = 0.54 t-m restantes se asignan a lafranja central de la losa.

Momento positivo:

L f j d l t l 66% d l t




positivo, o sea (7.13)*0.66 = 4.71 t-m, de loscuales las vigas toman el 85%, o sea 4.00 t-m yla losa toma el resto o sea 0.71 t-m. Los(7.13)*0.34 = 2.42 t-m restantes se asignan a lafranja central de la losa.

Momento negativo interior:

L fr nj de col mn tom el 66% del momento




negativo interior, o sea (8.75) * 0.66 = 5.78 t-m,de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 4.91t-m y la losa toma el resto o sea 0.87 t-m. Los(8.75)*0.34 = 2.98 t-m restantes se asignan a lafranja central de la losa.

Dirección N-S, ejes 2 y 3, considerandola franja de diseño en el eje interior de

las columnas.Carga muerta factorizada:



Carga muerta factorizada:w

D= 1.2*(360 + 45.23) = 486.28 kg/m²

(Es el peso del alma de la viga por metro, dividido por L2)Carga viva factorizada:wL= 1.6*(500) = 800 kg/m²

Luego: wu = wD + wL = 486.28 + 800 = 1286.28 kg/m²wu = 1.29 t/m2

0 35 0 3524006 5

45 23 2. * . *.

. /= kg cm

⇒

Dirección N-S, ejes 2 y 3, considerandola franja de diseño en el eje interior de

las columnas.a) Momento factorizado total por tramo:




Mo = 21.70 t-m

M w L Lo

u n= 2 28

M t mo = = −129 6 5 4 558

21702. * . * . .

⇒

Se verificará las limitaciones de la sección13.6.1.6 para la rigidez relativa de las vigas endos direcciones perpendiculares.Panel interior:



Panel interior:

a1 = 3.20 L2 = 6.5 ma2 = 4.16 L1 = 5.0 m

0.2 < 1.30 < 5.0 .......... CONFORME

αα

1 22

2 12

22

3 20 6 5

4 16 5 0130L

L= =. * .

. * ..

Panel exterior:a

1= 3.20 L

2= 6.5 m

a2 = 19.35 L1 = 5.0 m2 2



0.2 < 0.28 < 5.0 ........... CONFORME

Con L2/L1 = 6.5/5 = 1.30, a1L2/L1 = 3.20 * 6.5/5 = 4.16 ybt = 736529.17/(2*182812.5) = 2.01, el momentofactorizado total se repartirá a las secciones de momentonegativo y positivo de acuerdo con la tabla 4-1.7 y sedistribuirá lateralmente a través del ancho de lassecciones críticas a momento con la ayuda de la tabla 4-1.1.

α

α

1 22

2 12

2

2

3 20 6 5

19 35 5 00 28

L

L= =. * .

. * ..

Dirección E-W, ejes A y D, considerandola franja de diseño en el borde del

edificio.Carga muerta factorizada:



Carga muerta factorizada:wD = 1.2* (360 + 169.54) = 635.45 kg/m²

(Es el peso del alma de la viga por metro, dividido por L2)


wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²Luego: wu = wD + wL = 635.45 + 800.0 = 14.35.45 kg/m²wu = 1.44 t/m²

0 35 0 552400

52

0 452

169 54 2. * . *.

. /+⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟= kg cm

⇒



a) Momento factorizado negativo y positivo:

De la tabla 4-1.7, las relaciones de momento quedeben aplicarse para obtener los momentosexteriores negativo y positivo y el momento negativoi i i 0 16 0 57 0 70



interior son respectivamente: 0.16, 0.57 y 0.70.

Luz interior:Momento negativo = 0.65Mo = 11.67 t-mMomento positivo = 0.35M

o= 6.28 t-m

Luz extrema:Momento negativo exterior = 0.16Mo = 2.87 t-mMomento positivo = 0.57Mo= 10.23 t-mMomento negativo interior = 0.70Mo = 12.57 t-m

Los momentos factorizados en las franjas de

columna y franjas centrales se resumen comosigue:



Los momentos factorizados en las franjas decolumnas y franjas centrales se resuemn comosigue:



Distribución de momentos factorizados

en las franjas de columnas y centrales:Porcentaje del momento total negativo y positivo



j g y pen la franja de columna.La franja de columna tiene un ancho de (5/4 +0.45/2) = 1.475 m

LL

21

56 5

0 77= =.

.

α1 21

19 35 56 5

14 88LL

= =. *.

.

Distribución de momentos factorizados

en las franjas de columnas y centrales:De la tabla 4-1.1 (Momentos en la franja de



( jcolumna como porcentaje del momento total enla sección crítica), interpolando linealmentetenemos:

Momento negativo:

Que la franja de columna toma el 82% del



Q jmomento negativo, o sea 9.57 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 8.13 t-m y la losatoma el resto o sea 1.44 t-m. Los 2.1 t-mrestantes se asignan a la franja central de lalosa.

Momento positivo:

Que la franja de columna toma el 82% del momento



positivo, o sea 5.15 t-m, de los cuales las vigas toman el85%, o sea 4.38 t-m y la losa toma el resto o sea 0.77 t-m. Los 1.13 t-m restantes se asignan a la franja centralde la losa.

De la franja de columna en la dirección N-S, tenemos: C= 736529.17 cm4

La restricción relativa proporcionada por la resistenciatorsional de la viga de borde transversal efectiva serefleja mediante el parámetro βt.

Momento positivo:

β cbE C=



Donde:

βtcb

cs sE

=2 Ι

ΙsL h= 2

3

12

Ιs cm= =500 1512

1406253

4*

βt = =736529172 140625

2 62.

*.

Momento negativo exterior:




momento negativo exterior, o sea (2.87)*0.82 =2.35 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%, osea 2.00 t-m y la losa toma el resto o sea 0.35 t-m. Los (2.87)*0.18 = 0.52 t-m restantes seasignan a la franja central de la losa.

Momento positivo:




momento positivo, o sea (10.23)*0.82 = 8.39 t-m,de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 7.13t-m y la losa toma el resto o sea 1.26 t-m. Los(10.23)*0.18 = 1.84 t-m restantes se asignan a lafranja central de la losa.

Momento negativo interior:




momento negativo interior, o sea (12.57)*0.82 =10.31 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,o sea 8.76 t-m y la losa toma el resto o sea 1.55t-m. Los (12.57)*0.18 = 2.26 t-m restantes seasignan a la franja central de la losa.

Dirección E-W, Ejes B Y C,Considerando la Franja de Diseñoen el Eje Interior de las Columnas.

Carga muerta factorizada:




wD = 1.2*(360 + 58.8) = 502.56 kg/m²

(Es el peso del alma de la viga por metro,dividido por L2)

0 35 0 35 24005

58 8 2. * . * . /= kg m





g

wL = 1.6*(500) = 800 kg/m²

Luego: wu = wD + wL = 502.56 + 800 = 1302.56kg/m²

wu = 1.30 t/m²⇒





) p

Mo = 29.74 t-m

M w L Lo

u n= 2 28

M t mo = = −130 5 6 058

29742

. * * . .

⇒

Con L2/L1 = 5/6.5 = 0.77, α1L2/L1 = 4.16*5/6.5 = 3.20y βt = 736529.17/(2*140625) = 2.62, el momentofactorizado total se repartirá a las secciones demomento negativo y positivo de acuerdo con la tabla4-1.7 y se distribuirá lateralmente a través del ancho



y

de las secciones críticas a momento con la ayuda dela tabla 4-1.1.1. Puesto que α1L2/L1 > 1.0, las vigas deben

proporcionarse una resistencia del 85 % delmomento en la franja de columna de acuerdocon la sección 13.6.5.1 del Código ACI.

2. La porción del momento factorizado no resistidapor la franja de columna, se asignará a las dosmedias franjas centrales.



Momento Momentos e n lasFranja de columna



Momento Momentos e n lasFactorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas

(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas

(t-m)²Luz extrema:

NegativoExterior 0.16 Mo = 2.87 82 2.35 2.00 0.35 0.52

Positivo 0.57 Mo = 10.23 82 8.39 7.13 1.26 1.84

NegativoInterior 0.70 Mo = 12.57 82 10.31 8.76 1.55 2.26

Luz interior

Negativo 0.65 Mo = 11.67 82 9.57 8.13 1.44 2.1

Positivo 0.35 Mo = 6.28 82 5.15 4.38 0.77 1.13

%

Franja de columna



M M lF j d l



Momento Momentos en las

Factorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas(t-m)²

Luz extrema:NegativoExterior 0.16 Mo = 4.76 82 3.90 3.32 0.58 0.86

Positivo 0.57 Mo = 16.95 82 13.9 11.82 2.08 3.05

NegativoInterior 0.70 Mo = 20.82 82 17.07 14.51 2.56 3.75

Luz interior

Negativo 0.65 Mo = 19.33 82 15.85 13.47 2.38 3.48

Positivo 0.35 Mo = 10.41 82 8.54 7.26 1.28 1.87

Franja de columna

%

4. Momento factorizado en lascolumnas:

Analizando para la dirección N-S, ejes 2 y 3,tenemos:



tenemos:a) Columnas interiores

Con luces iguales en la dirección de

análisis y luces iguales en la direccióntransversal.

M w L Lu L n

= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟0 07 0 5

2

2. .

Mu = 0.07[0.5 (1.7 * 0.50) * 6.5 * 4.55²] = 4.0 t-m

Mu = 4.0 t-m⇒



Con el mismo tamaño de la columna y longitudsobre y debajo de la losa.

Este momento se combina con la carga axial

factorizada (para cada piso) para el diseño de lascolumnas interiores.

M t m M t mc c= = − ⇒ = −4 02

2 0 2 0.

. .

b) Columnas exteriores:El momento negativo exterior total de la losa-viga es transferido a las columnas exteriores;con el mismo tamaño de la columna ylongitud sobre y debajo del sistema de losa:



longitud sobre y debajo del sistema de losa:

M t m M t mc c= = − ⇒ = −3 82

2

191 191.

. .

5. Resistencia al corte:

a) Vigas:



Puesto que α1L2/L1 > 1.0 para todas lasvigas, deben resistir el cortante total (bw = 35cm, d = 44 cm).

Se verificará sólo las vigas interiores, porqueellos transportan fuerzas cortantes muchomás altas que las vigas de borde.

W

S

E

N

L = 6.5 m2

Figura 5.1c Áreas tributarias para cálculos decortante



L = 5.0 m1

L /2 L - L L /21 2 1 1

Vigas NS:

V w LL w L

u uu= =1

2 2 411 12



Vigas EW:

( )V w

L L

w L L

L

u u u= + −1

2 2 2 2 21 1

2 11

( ) ( )Vw L

L L Lw L

L Luu u

= + − = −1

1 2 11

2 14 2 2 4 2

Vigas NS:

V w Lu

u= 124



Vu = 8.88 t

φVc = 0.75 * 0.53 * * 35 * 44/1000 = 10.24 t

φVc = 10.24 t > Vu = 8.88 t .......... OK!

V tu = =142 5 04

8 882. * . .

V f b dc c w=0 53. '

280

⇒

Sólo se requiere refuerzo mínimo de corte

Vigas EW:

( )w L L Lu −1 2 12



Vu = 14.2 t

φVc = 10.24 t < Vu = 14.2 t ..........CONFORME

( )Vu

u=

1 2 14

( )V tu = − =142 5 2 6 5 5

414 2

. * * .. ⇒

La resistencia requerida al corte, seráproporcionada por el refuerzo de corte

( )V

V Vs

u c= − φ

φ



b) Losas: (bw = 100 cm , d = 12 cm)

( )V ts = − =14 20 1161

0 753 45

. ..

.

Vw L

uu

=5 21

V tu = =142 5

2 3 55. *

.

V f b dc c w=0 53. '



φVc = 0.75 * 0.53 * * 100 *12/1000 = 7.99 t

φVc = 7.99 t > Vu = 3.55 t ..........CONFORME

La resistencia al cortante de la losa es adecuadasin el refuerzo por corte

280

7. Las vigas de borde deben diseñarse pararesistir el momento no transferido a lascolumnas exteriores por las vigasinteriores, de acuerdo con la sección 11.6del Código ACI.



del Código ACI.

Diseño de una Losa Armada en dos

direcciones y con vigas de borde

Aplicación:

Un sistema de piso armado en dos direccionespara un edificio de concreto armado está



pcompuesto por paneles de losa con dimensiones6 * 7.5 m2 en planta, apoyados en vigasperaltadas en los ejes de columnas y vaciadasmonolíticamente con la losa, como aparece en lafigura. Utilizando concreto con f'c = 280 kg/cm2 yacero con f y = 4200 kg/cm2, diséñese un panelexterior común para soportar una carga viva deservicio de 600 kg/m2, además del propio pesodel piso.

50 5035 35 35 35

17.5 1 7.5

(a)



Figura, losa de piso armada en dos direccionescon vigas en los ejes de columnas:; (a) SecciónX-X (la sección Y-Y es similar); (b) Planta parcialdel piso.

(a)

7.5 m 7.5 m 7.5 m

6 m

Y



(b)

6 m

Y

6 m

PANEL EXTERIORCOMUN PANEL INTERIORX X

Solución:El sistema de piso satisface todos los límites establecidos enel Método de Diseño Directo del código ACI. Con propósitosilustrativos, se diseñará únicamente un panel exterior común



como se ilustra en la figura. Los límites de espesor queindica el código ACI, se utilizarán como guía para obtener elespesor deseado de la losa. Para utilizar las ecuaciones que

indica el código (referidas al espesor) se introducirá un valortentativo de h=17.5 cm y se supondrán las dimensiones delas vigas en 35 * 50 cm2 como en la figura. La proyecciónefectiva del ala más allá de la cara de las almas de las vigas

es la menor de 4hf o h - hf, que en este caso es igual a 32.5cm. Los momentos de inercia de las vigas T, sedeterminarán con respecto a su centro de gravedad.

Viga de Borde (Exterior)

17.5



50

35 32.5

I b cm= 492446 35 4.

Viga Interior

100



17.5

35

I b cm= 575656 37 4.

Franja de Columna

El código del ACI divide los paños en franjas para facilitarla distribución de los momentos en ellos. La franja de



columna es una franja con un ancho a cada lado del ejede las columnas igual al menor valor entre L1/4 y L2/4,donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del pañode la losa.

∴ Ancho de franja = 1.5 m

L14

7.54

1.875m= =

L14

64 1.5m= =

Para las Franjas de Losa

En este caso es el ancho entre las líneascentrales de los paneles a cada lado de la viga.



Para un ancho de 3.93 m (Viga de bordeexterior):

Ιs393 *17.5 3

12175519.53 cm 4= =

Para las Franjas de Losa

Para un ancho de 6 m:



Para un ancho de 7.5 m:

Ιs600 *17.5 3

12267968.75 cm 4= =

Ιs750 *17.5 3

12 334960.94 cm4

= =

Rígidez relativa de la Viga y de la

Losa ( )α = Ecb bΙ



Para la viga de borde:

Ecs sΙ

α = =492446.35175519.53

2.8

Rígidez relativa de la Viga y de la

Losa ( )Para las dos vigas de 7.5 m de largo:



Para la viga de 6 m de largo:

α =575656.37267968.75

2.1=

α = =575656.37

334960.941.7

Rígidez Promedio ( m)

2 8 2 1 1



αm2.8 2.1 1.7

32.2= + + = ⇒ am = 2.2

Relación entre la luz libre endirección larga y la luz libre en la

corta ( )Luz larga = 750 - 35 = 715 cm

L 600 35 565



Luz corta = 600 - 35 = 565 cm

b = 1.27β = =

715

565 1.27 ⇒

Espesor mínimo de la losa

h

Ln 0.8f y

14000

36 9=

+

+

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

β



0.2 < αm < 2 mh > 12.5 cm

Donde:

Ln: Luz libre en dirección larga en cmLn = 750 - 35 = 715 cm

El espesor mínimo no debe ser menor que eldeterminado por la ecuación.

h

Ln 0.8f y

14000

36 9

+

+

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

β



⇒ h = 16.58 cm

h 36 9= + β

h715 0.8

4200

1400036 9 * 1.27

16.58 cm=+

+ =

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

y el limite necesita no ser mayor que el valor de

la ecuación:

h

Ln 0.8f y

14000

36

+⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟



⇒ h = 21.85 cm

h 36=

h715 0.8

420014000

3621.85 cm= + =

⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

*Para losas con vigas de borde rígidas

relativamente altas, con valores de αm ≥ 2, laecuación que controla es:

Ln 0 8f y+

⎛ ⎝⎜

⎞

⎠⎟



De donde:h = 16.58 cm (mínimo)

El limite de 9 cm de la ecuación siαm ≥ 2 ⇒ 9cm (mínimo).

hLn 0.8 y14000

36 9=

+

+⎝ ⎜ ⎠⎟

β

Evidentemente no controla en este caso y elespesor tentativo adoptado de 17.5 cm será labase para los demás cálculos.

Sea:



Sea:wc = 2400 kg/m3 (peso específico del concreto)

Para una losa de 17.5 cm la carga muertaes:

wD17.5100

* 2400 420kg

m2= =⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

wD17.5100 * 2400 420

kg

m2= =⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

Carga viva:

wL = 600

Si se aplican los coeficientes de carga usuales

kgm2



Si se aplican los coeficientes de carga usualespara obtener las cargas de diseño, se obtiene:

wu = 1.2wD + 1.6wL

wu = 1.2 * 420 + 1.6 * 600 = 1464 kg/m2

⇒ wu = 1.464 t/m2

Momento estático total para cargas

mayoradas

M wuL2Ln2=



Donde:Ln: Se define como la luz en la dirección delanálisis de los momentos

L2: Se define como la luz en la direccióntransversal

M wuL2Ln28o =

Para la dirección de la luz corta considerandola franja de losa y viga centrada en el ejeinterior de columnas, el momento estáticototal de diseño es:

21 464 * 7 5 * 5 65



⇒ Mo = 43.81 t-mEsto se distribuye de la siguiente manera:Momento Negativo de Diseño = 43.81 * 0.65 =28.48 t-m

21.464 * 7.5 * 5.65M 43.81 t - mo 8

= =

Momento Positivo de Diseño = 43.81 * 0.35 =15.33 t-m

La franja de columna tiene un ancho de 2 * 6/4 =

3 m



3 mL 7.52 1.25L 6

1

= =

L 7.52 1.7* 2.131L 61

α = =

Tabla, factores de distribución aplicados almomento estático Mo para calcular momentospositivos y negativos en la luz extrema.V



Tabla, momentos en la franja de columna comoporcentaje del momento total en la seccióncrítica.



Los factores de distribución para el momento de

la franja de columna, se obtendrá a partir de latabla.

Interpolando linealmente tenemos:



Interpolando linealmente tenemos:

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 ≈ 68% delmomento negativo, o sea 19.37 t-m, de loscuales las vigas toman el 85% o sea 16 46 t-m y



cuales las vigas toman el 85%, o sea 16.46 t m yla losa toma el resto o sea 2.91 t-m. Los 9.11 t-mrestantes se asignan a la franja central de lalosa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 67.5 ≈ 68% delmomento positivo, o sea 10.42 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 8.86 t-m y la losa



las vigas toman el 85%, o sea 8.86 t m y la losatoma el resto o sea 1.56 t-m. Los 4.91 t-mrestantes se asignan a la franja central de lalosa.

Un análisis similar se realiza para la direcciónde luz corta, teniendo en cuenta la franja delosa y viga en el borde del edificio, con bas een un momento estático total de diseño iguala:

2



⇒ Mo = 22.96t -m

M1.464 * 3.93 * 5.65 2

822.96 t mo = = −

Del cual el 65% se asigna a la sección de flexiónnegativa y el 35% a la sección de flexiónpositiva, como antes:Momento Negativo de Diseño = 22.96 * 0.65 =14.24 t-mMomento Positivo de Diseño = 22 96 * 0 35 =



Momento Positivo de Diseño 22.96 0.35 8.72 t-m

En este caso:L 7.52 1.25L 61 = =

L7.52 2.8* 3.51 L 61α = =

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 ≈ 68% delmomento negativo, o sea 9.68 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 8.23 t-m y la losa

l 1 45 L 4 56



g , ytoma el resto o sea 1.45 t-m. Los 4.56 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 67.5 ≈ 68% delmomento positivo, o sea 5.93 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 5.04 t-m y la losat l t 0 89 t L 2 79 t



g , ytoma el resto o sea 0.89 t-m. Los 2.79 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Momento estático total de diseño en ladirección larga del panel exterior, es:

M 61 65

= = −21.464*6*7.5

M 61.76 t mo 8



⇒ Mo = 61.65 t -m

Este se repartirá a las secciones de momentonegativo y positivo de acuerdo con la tabla y sedistribuirá lateralmente a través del ancho de lassecciones criticas de momento con la ayuda dela tabla.

De la tabla, las relaciones de momento quedeben aplicarse para obtener los momentosexteriores negativo y positivo y el momentonegativo interior son respectivamente: 0.16, 0.57y 0.70.



La constante torsional para la viga de borde se

encuentra a partir de la siguiente ecuación parauna forma rectangular de 35 * 50 cm con un alasobresaliente de 17.5 * 32.5 cm.

50

17.5



35 32.5

Cx

y

x y= −∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟1 0 63

3

3.

Donde:

x: dimensión menory: dimensión mayor

C 1 0.63 * 3550

353

* 503= −⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟



⇒ C = 437816.28 cm4

50 3⎛⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟

+ −⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟1 0.63 * 17.5

32.517.5 3 * 32.5

3= 437816.28 cm 4

En este caso:

L2L1

67.5

0.8L2L1

0.8= = ⇒ =



α α1 L2L12.1* 675 1.7 1 L2L1

1.7= = ⇒ =

La restricción relativa proporcionada por laresistencia torsional de la viga de bordetransversal efectiva se refleja mediante elparámetro βt.

βt Ecb C2E

=Ι



En el problema:

βt 2E cs sΙ

βt437816.28

2 * 267968.750.82= =

Momento Negativo Exterior

El factor de distribución para el momento de lafranja de columna, se obtendrá a partir de latabla.Que la franja de columna toma el 93% del



Que la franja de columna toma el 93% delmomento negativo exterior, o sea (61.76 * 0.16) *0.93 = 9.19 t-m, de los cuales las vigas toman el85%, o sea 7.81 t-m y la losa toma el resto o sea1.38 t-m. Los (61.76* 0.16) * 0.07 = 0.69 t-mrestantes se asignan a la franja central de lalosa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 81% delmomento positivo, o sea (61.76 * 0.57) * 0.81 =28.51 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,o sea 24 23 t-m y la losa toma el resto o sea



o sea 24.23 t m y la losa toma el resto o sea4.28 t-m. Los (61.76 * 0.57) * 0.19 = 6.69 t-m

restantes se asignan a la franja central de lalosa.

Momento Negativo Interior

Que la franja de columna toma el 81% delmomento negativo interior, o sea (61.76 * 0.70) *0.81 = 35.02 t-m, de los cuales las vigas tomanel 85% o sea 29 77 t-m y la losa toma el resto o



el 85%, o sea 29.77 t m y la losa toma el resto osea 5.25 t-m. Los (61.76 * 0.70) * 0.19 = 8.25 t-m

restantes se asignan a la franja central de lalosa.

Refuerzo de la losa

Es conveniente tabular el refuerzo de diseño de lalosa.

En la dirección de 7.5 m, las dos mediasfranjas de columna pueden combinarse con



franjas de columna pueden combinarse conel propósito de realizar los cálculos en unasola franja de 265 cm de ancho.En la dirección de 6 m, la media franja decolumna exterior y la media franja decolumna interior generalmente son diferentesy se tratan en forma independiente.

Refuerzo de la losa

Los momentos de diseño determinados con baseen las distribuciones anteriores se resumen en la

columna 3 de la tabla.Primero se colocará el acero positivo en la



Primero se colocará el acero positivo en ladirección corta, seguido de las barras positivas

en la dirección larga. Si se deja una distancialibre de 2 cm por debajo del acero y se utilizanbarras de φ1/2", el espesor efectivo en la

dirección corta será de 15 cm mientras que en lalarga será de 14 cm; una situación similar seobtiene para el acero superior.

Refuerzo de la losa

Después de calcular los momentos de diseño pormetro de franja de losa (columna 6); debe

encontrarse el espesor efectivo mínimo de losaque se requiere por razones de flexión.



q q p .

Para las resistencias de los materiales utilizados,la máxima cuantía determinada de acero es:0.75ρb = 0.02125

Donde:

ρ βb 0.85 1f'cf y

*6000

6000 f y=

+

280 6000



ρb = 0.02833 ⇒ 0.75ρb = 0.02125

ρb 0.85 * 0.85 *280

4200*

60006000 4200

002833=+

=

Luz de 7.5 m:

b600

4352

* 2 265 cm= − =⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟



Luz de 6 m:

b600

4

35

2

132.5 cm= − =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

Obsérvese que debe proveerse una área mínimade acero igual a 0.0018 veces el área bruta deconcreto para control del agrietamiento portemperatura y retracción de fraguado.

Para una franja de losa de 100 cm el áreacorrespondiente es:



0.0018*17.5*100 = 3.15 cm2

Expresado en términos de la cuantía de aceromínima para los espesores efectivos reales, seobtiene:

En dirección de 7.5 m:

En dirección de 6 m:

ρmin3.15

14 *1000.0023= =



ρmin

3.15

15 *1000.0021= =

Estos requisitos controlan en los sitios indicadosen la tabla el área total de acero en cada franja.Se obtiene fácilmente a partir de la cuantía deacero y está determinada en la columna 8.Finalmente se obtiene la cantidad necesaria debarras. Obsérvese que en dos sitios, la cantidadexigida de barras la controlan los requisitos de



exigida de barras la controlan los requisitos deespaciamiento máximo de 2 *17.5 = 35 cm.La capacidad a cortante de la losa se verifica conbase en las áreas tributarias. A una distancia d dela cara de la viga larga.

La resistencia a cortante de diseño de la losa

es:

0.35V 1.464 3 0.15 3.92 tu 2

= − − =⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

φ =V 0.75 * 0.53 f' b d



Donde:bw = 100 cm d = 15 cm

φVc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 9.98 tVu = 3.92 t < φVc = 9.98 t CONFORME

φc c w

280

Tabla, diseño del refuerzo de la losa.



(*)corresponde a: cuantía de acero controlada por los requisitos de retracción defraguado y temperatura.

(**)corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamientomáximo

B) Método del Pórtico Equivalente

Descripción del Método:Es un procedimiento para el análisis de sistemasde losas armadas en dos direcciones máselaborado que el método directo, el cual



qconsidera un análisis elástico para ladeterminación de momentos. En este método laestructura se divide, para efectos analíticos, enpórticos contínuos centrados en los ejes de

columnas y extendiéndose, tanto longitudinalcomo transversalmente.

Descripción del Método:

Este método se basa en la transformación de laestructura tridimensional en una serie desistemas bidimensionales denominados pórticosequivalentes (ver figura 3.1), centrados en losejes de las columnas o de los apoyos, con cada



j p ypórtico extendiéndose hasta la altura total de laestructura. El ancho de cada pórtico equivalenteestá limitado por los ejes centrales de lospaneles adyacentes, además de que estos son

capaces de reproducir el comportamiento delconjunto si se toman algunas previsiones en ladeterminación de sus propiedades.



El pórtico equivalente, está constituido por treselementos básicos los cuales se presentan en lafigura 3.2 y son:

1. Las franjas de losa limitadas por las líneas

centrales de los paños adyacentes al eje enestudio. Las vigas dirigidas en la direccióndel pórtico se consideran parte de ellas al



del pórtico se consideran parte de ellas al

igual que los ábacos que pudieran existirsobre las columnas.

2. Las columnas u otros soportes verticalesalineados a lo largo del eje analizado. En casode que la losa sea sostenida por capiteles, seconsidera que éstos forman parte de lacolumna. La longitud de la columna es evaluada

al eje de las losas de niveles consecutivos.

3 L l d l i



3. Los elementos de la estructura que transmiten

los momentos de la losa a la columna, sontransversales a la dirección de análisis y seextienden a todo lo ancho de la franja de losa.Son denominados también elementos de rigideztorsional.

2

A

L2

L1L2

Kct

Kcb

K

L /22

L /22

c1



Vigay losa

L1

Kct

Kcb

Figura 3.2 Elementos que constituyen el pórtico equivalente

Consideraciones para la Aplicacióndel Método:

1. Debe considerarse que la estructura estáconstituida por pórticos equivalentes a lo largo de

ejes de columnas tomadas longitudinal ytransversalmente a través de la estructura.



2. Cada pórtico debe consistir en una hilera decolumnas o apoyos y franjas de viga-losa limitadaslateralmente por el eje central de la losa a cadalado del eje de las columnas o los apoyos.


3. Debe suponerse que las columnas o apoyos estánunidos a las franjas de viga-losa mediante elementos

torsionales (ACI-13.7.5) transversales a la dirección deltramo para el cual se están determinando losmomentos, extendiéndose hasta los ejes centrales de



las losas laterales a cada lado de la columna.

4. Los pórticos adyacentes y paralelos a un borde debenestar limitados por dicho borde y el eje central de la

losa adyacente.


5. Se permite el análisis de cada pórtico equivalente en sutotalidad. Alternativamente, para cargas

gravitacionales, se permite un análisis de cada piso otecho con sus extremos lejanos considerados comoempotrados.



6. Cuando las vigas-losa son analizadas separadamente,se permite determinar el momento en un apoyo dadosuponiendo que la viga losa esta empotrada en

cualquier apoyo distante dos vanos del considerado,siempre que la losa continué más allá de dicho punto.

r a n a c e n r a

j

d l

F r a n j a d e c o l u m n a

1 / 2 F r a n j a c e n t r a l

i n t e r i o r

r

L2 L2

L /22L /22 L /22

L /42L /42 L /42

L1



Figura 3.3 Franjas de diseño del pórtico equivalente

equivalenteequivalentePórtico

interior

Pórtico

exterior

Cálculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:

Definida la geometría y las rigideces efectivas dela franja de la viga losa y de los apoyos, el

análisis del pórtico equivalente puede llevarse acabo mediante el método de distribución demomentos En general el pórtico se analiza en su



momentos. En general el pórtico se analiza en su

totalidad, sin embargo, si sólo se considerancargas de gravedad, es posible analizar cadanivel por separado. En este caso, se asume que

los extremos de las columnas del nivelcorrespondiente se encuentran empotrados enlos extremos opuestos a la losa.


Una vez determinados los momentos de diseñopositivos y negativos, falta distribuirlos a lo ancho delas secciones críticas. Para fines de diseño, el anchototal de la franja se divide en franjas de columna ymedias franjas centrales adyacentes, definidas

i l



previamente y los momentos se suponen constantesdentro de los límites de cada una de ellas. Ladistribución de momentos a las franjas de columna ya las franjas centrales se realiza utilizando los

mismos porcentajes determinados con relación alMétodo de Diseño Directo. Estos se resumen en latabla 4-1.1 del capítulo IV.


La distribución de momentos y cortantes a vigasen los ejes de columnas, si éstas existen, se

realiza también según los procedimientos delMétodo de Diseño Directo. La restricción Nº 6para la aplicación del Método de Diseño Directo,



para la aplicación del Método de Diseño Directo,

relacionada con la rigidez relativa de vigas en losejes de columnas en las dos direcciones,también es aplicable en este caso si se utilizan

estas relaciones de distribución.


En apoyos interiores, la sección crítica para elmomento negativo factorizado (tanto en la franja de

columna como en las franjas intermedias) se debetomar en el borde de los apoyos rectilíneos, pero ano más de 0.175L1 del centro de la columna. En los



apoyos exteriores provistos de ménsulas o capiteles,la sección crítica para el momento negativofactorizado en el tramo perpendicular a un borde,debe considerarse situada a una distancia del borde

del elemento de soporte no mayor de 1/2 de laproyección de la ménsula o capitel más allá de lacara del elemento de apoyo (ver figura 3.4).



Figura 3.4 Sección crítica para la determinación del momento negativo de diseño


A través de las tablas 4-2.1 hasta la 4-2.6 delcapítulo 4 se obtienen los coeficientes de

rigidez, factores de transporte y los coeficientesde momento de empotramiento para lasdiferentes geometrías y configuraciones de



g y g

carga. Una amplia gama de proporciones detamaño-luces de columna en ambas direccioneslongitudinales y transversales es abarcado en las

tablas.


La tabla 4-2.1 puede usarse para placas planas ylosas en dos direcciones con vigas. Las tablas 4-

2.2 hasta la 4-2.5 se proponen que sean usadospara losas planas y losas reticulares con variospaneles deprimidos (cabeza sólida). La tabla 4-



p p ( )

2.6 cubre el caso excepcional de una placa planacombinado con una losa plana. Los coeficientesde momento de empotramiento se proveen para

cargas uniformes y parcialmente uniformes.


Los coeficientes parciales de carga han sidodesarrollados para cargas distribuidas sobre la

longitud del tramo igual a 0.2L1. Sin embargo, lascargas que actúan sobre las porciones máslargas del tramo pueden ser consideradas



g p

sumando los efectos de las cargas que actúansobre cada intervalo de 0.2L1. Por ejemplo, si lacarga parcial se extiende sobre 0.6L 1, entonces

los coeficientes que corresponden a los tresintervalos consecutivos de 0.2L1 seránagregados.


Para cargas concentradas, una carga parcial dealta intensidad puede ser considerada para una

situación apropiada, y se asume que serádistribuido sobre 0.2L1. Para valores delparámetro entre aquellos listados, la



p q

interpolación puede hacerse. Se muestran losdiagramas de rigidez en cada tabla. Con uncriterio adecuado por parte del diseñador, las

condiciones de tramos diferentes pueden serconsideradas con la ayuda de la informacióndada en las tablas.

Columnas:Los tipos comunes de columna y condiciones deapoyo en los extremos para los sistemas delosas se muestran en la figura 3.5. La rigidez delas columnas está basada en la longitud deéstas (Lc) desde la mitad del espesor de la losasuperior hasta la mitad del espesor de la losainferior



inferior.Los diagramas de rigidez de las columnaspueden usarse para determinar la rigidez aflexión de la columna, Kc. Los diagramas derigidez están basados en las consideracionessiguientes:

a) El momento de inercia de la columna, exterior al nudolosa-viga se basa en la sección transversal bruta delconcreto. La variación del momento de inercia a lolargo de los ejes de la columnas entre los nudos deviga-losa se tiene en cuenta. Para columnas concapiteles se asume que el momento de inercia varía

linealmente desde la base del capitel al fondo de lalosa-viga, (13.7.4.1 y 13.7.4.2).



b) El momento de inercia es asumido infinito desde laparte superior de la losa hasta la parte inferior de laconexión losa-viga. Como en los elementos de la losa-viga, el factor de rigidez Kc para las columnas no

pueden basarse en la suposición de miembrosprismáticos uniformes (13.7.4.3).

La tabla 4-2.7 del capítulo IV puede usarse paradeterminar la rigidez de la columna real y factores detransporte.

Elementos TorsionalesEl cálculo de la rigidez de los elementos torsionalesrequiere varías suposiciones simplificatorias. Si noexisten vigas que formen pórticos con la columna, sesupone como viga efectiva una porción de la losaigual al ancho de la columna o capitel. Si existen



g p

vigas que lleguen a la columna, se asume uncomportamiento de viga T o viga L, con alas que seprolongan a cada lado de la viga una distancia igual ala proyección de la viga hacia arriba o hacia debajode la losa



1. La porción de losa con un ancho igual al de lacolumna, consola o capitel en la dirección en lacual se están determinando los momentos.

2. En construcciones monolíticas, la porción delosa anteriormente definida incluyendo,además, la sección de la viga perpendicular ala dirección de análisis sobre y por debajo de lalosa.



losa.3. La sección de la viga perpendicular a la

dirección de análisis considera el aporte de lalosa.

Los elementos torsionales para las conexionescomunes de losa-viga se muestran en la figura3.6. El primer criterio se aplica a losas sin vigasentre apoyos mientras que el segundo y eltercero se utilizan cuando existen vigas en ladirección perpendicular al eje en estudio.La rigidez Kt de los elementos torsionales escalculado por la siguiente expresión:



calculado por la siguiente expresión:

KE C

LcL

tcs= ∑

−⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

9

1222

3

Donde la sumatoria es aplicable al caso comúncuando hay vigas de borde a ambos lados de la

columna.El término C es una sección transversalconstante que define las propiedades torsionalesde cada elemento torsional que conforma laconexión:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞3



Donde x es la dimensión menor e y es ladimensión mayor de una parte rectangular.

Cxy

x y= ∑ −⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝ ⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟1 0 63 3

3.



I=∞

sin vigasSistema de losa Diagrama de rigidez

de la columna

lc

I=∞

cE Icc

I=∞

I=∞

I=∞

I=∞

Diagrama de rigidezde la columna

Sistema de losa concapiteles de columna

cl ccE cI



Fondo de la

Superficie de

unión losa-viga

la losa-viga

Sistema de losacon abacos de la columna

Diagrama de rigidez

lc IE

I=∞

ccc

I=∞

de la columnaDiagrama de rigidez

con vigasSistema de losa

Il Ec cc c

Figura 3.5 Secciones para calcular la rigidez de la columna Kc.

Donde:Kta: Incremento de la rigidez torsional debido a la

viga paralela (note que la viga paralela semuestra en la figura 3.2).

Is: Momento de inercia del ancho de losa igual alancho total entre las líneas centrales del

panel, l2, excluyendo esa porción del alma deviga que se extiende sobre y debajo de lalosa (note la parte A de la figura 3.2).

I sL h= 2

3



Isb: Momento de inercia de la sección de la losaespecificada por Isb que incluye esa porción delalma de la viga que se extiende sobre y

debajo de la losa (para la viga paralela mostradaen la figura 3.2, Isb es para la sección total Tque se muestra).

s12

La Columna equivalentes (R13.7.4)

Con la publicación del ACI 318-05, el concepto dela columna equivalente de definir un elemento de

una sola rigidez consistiendo de columnas realessobre y debajo de la losa-viga más un elementotorsional transversal agregado se eliminó delCódigo Con el uso creciente de las



Código. Con el uso creciente de lascomputadoras para el análisis de losas en dosdirecciones por el Método del Pórtico Equivalente,el concepto de combinar rigideces de columnasreales y elementos torsionales en una sola rigidezha perdido mucho de continuidad.


La columna equivalente, sin embargo, se retuvoen el comentario hasta la edición del Código de

1989, como una ayuda de análisis dónde la losa-viga para diferentes niveles de pisos sonanalizados separadamente para cargas de



gravedad, especialmente cuando se usa ladistribución de momentos u otros procedimientosde cálculo manual para el análisis.



Figura 3.6 Criterios para la determinación de la sección transversal de los elementos torsionales.


Mientras el concepto de la columna equivalentetodavía se reconoce por R13.7.5, los detalles del

procedimiento contenidos en el comentariodesde la edición '83 para calcular la rigidez de lacolumna equivalente, Kec, se eliminó de R13.7.5



del Código '95.Los ejemplos 5.2.1 y 5.2.2 utilizan el concepto dela columna equivalente con la distribución del

momento para el análisis por carga de gravedad.



Note que para un pórtico exterior, el elementotorsional agregado está en un sólo lado. Lapresencia de vigas paralelas también influirá enla rigidez de la columna equivalente.La rigidez a flexión de la columna equivalente Kec

es dado en términos de su inversa, o flexibilidad,como sigue:

1 1 1



K K Kec c t= +Σ Σ



Donde:Kct: Rigidez a flexión en la superficie de la

columna inferior que conforma la conexión.Kcb: Rigidez a flexión en la base de la columnasuperior que conforma la conexión.

( ) ( )K

K K K KK K K Kec

ct cb ta ta

ct cb ta ta=

+ ++ + +



Kta: Rigidez torsional de cada elementotorsional, uno en cada lado de la columna,incrementado debido a la viga paralela (si la

hubiera).



Disposición de la carga viva(R13.7.6)

En el caso usual donde el patrón exacto de la cargano es conocido, los máximos momentos factorizadosse desarrollan con las condiciones de cargamostrados en la figura 3.7 para los tres tramos delpórtico parcial y se describe como sigue:

a) Cuando la carga viva de servicio no excede



tres cuartos de la carga muerta de servicio, sóloel patrón de carga (1) con la carga vivafactorizada total en todos los tramos necesita ser

analizado para los momentos factorizadosnegativos y positivos.

b) Cuando la relación de la carga viva de servicio yla carga muerta excede los tres cuartos, los cinco

patrones de carga mostrados necesitan seranalizados para determinar todos los momentosfactorizados en los elementos de la losa-viga.Los patrones de carga (2) hasta la (5) consideranla carga viva factorizada parcial para determinarlos momentos factorizados. Sin embargo, con lacarga viva parcial, los momentos factorizados no



pueden tomarse menores de aquellos queocurren con la carga viva factorizada total entodos los tramos; por lo tanto el patrón de carga

(1) necesita ser incluido en el análisis

Para los sistemas de losas con vigas, las cargasapoyadas directamente por las vigas (como elpeso del alma de la viga o un muro apoyadodirectamente por las vigas) puede serinconveniente incluir en el análisis del pórtico

para la carga de la losa, w d + w 1. Un análisisadicional del pórtico puede requerirse con lasección de la viga diseñada para llevar estas



cargas además de la porción de los momentosde la losa asignada a las vigas.

1. Patrón de carga para el momento de diseñoen todos los tramos con L < 3/4D

w

A

Dw +

B

L

C D



2. Patrón de carga para el momento de diseñopositivo en el tramo AB*

w

B A

3/4wwD+ L wD

C D

3/4D+



3. Patrón de carga para el momento de diseñopositivo en el tramo BC*

A B C D

wD wD3/4wwD+ L



4. Patrón de carga para el momento de diseñonegativo en el apoyo A*

A B C D

3/4wwD+ L wD



5. Patrón de carga para el momento de diseñonegativo en el apoyo B*

A B C D

3/4wwD+ L wD



5. Patrón de carga para el momento de diseñonegativo en el apoyo B*

LD +w 3/4 w w

A B C

D

D



Momentos factorizados (R13.7.7)

La distribución de momentos probablemente es elmétodo de cálculo manual más conveniente para analizarpórticos parciales que involucran varios tramos continuos

con los extremos lejanos de las columnas superiores einferiores fijos. Los mecanismos del método no sedescribirán aquí, salvo una discusión breve de lossiguientes dos puntos: (1) el uso del concepto de la

l i l d i l f d



columna equivalente para determinar los factores dedistribución en la conexión y (2) el procedimientoapropiado para distribuir el momento de la columna

equivalente obtenido en el análisis del pórtico de lascolumnas reales sobre y debajo de la conexión losa-viga.

Momentos factorizados (R13.7.7)

Un nudo del pórtico con los factores de rigidez Kmostrados para cada elemento que conforma laconexión se muestra en la figura 3.8.Las expresiones que se dan debajo para losfactores de distribución del momento DF en la

ió l i id d l l



conexión, usan la rigidez de la columnaequivalente, K ec . Estos factores de distribuciónson usados directamente en el procedimiento dedistribución de momentos.

Rigidez de la columna equivalente

Factor de distribución de la losa-viga

K K KK Kec c tc t

= ∑ ∑∑ + ∑*

( )

( )KK K K K

K K K Kec ct cb t tcr cb t t

=+ ++ + +

K



DF tramo 2- 1) =

DF tramo 2- 3) =

KK K K

bb b ec

11 2+ +

KK K K

bb b ec

21 2+ +

Factor de distribución de la columna equivalente(momento desbalanceado de la losa-viga)

El momento desbalanceado determinado para la

columna equivalente mediante las iteraciones de

DF K

K K Kec

b b ec=

+ +1 2



columna equivalente mediante las iteraciones dedistribución de momento se distribuyen a lascolumnas reales sobre y debajo de la losa-vigaen proporción a las rigideces de las columnasreales en la conexión.

Refiriéndose a la figura 3.8:

c

1L

tK

1

Lb1K

K2

Kb2

c t

KtK

cb

3

b2K

b1K

ctK



cbKLK = k E I /L 1

cL

Figura 3.8 Factores de distribución de momentos DF

Porción del momento desbalanceado en lacolumna superior

Porción del momento desbalanceado en lacolumna inferior

=+

KK K

cbcb ct

Kct



Las columnas "reales" se diseñan entonces paraestos momentos.

= +KK K

ctcb ct

Momentos factorizados negativos(R13.7.7.1 - R13.7.7.3)

Los momentos negativos factorizados para eldiseño deben tomarse en la cara de los apoyosrectilíneos, pero no a una distancia mayor que0.175l 1 del centro de un apoyo. Este valorabsoluto es un límite en los apoyos estrechoslargos para prevenir la reducción indebida en elmomento de diseño El elemento de apoyo se



momento de diseño. El elemento de apoyo sedefine como una columna, capitel, ménsula omuro.

Momentos factorizados negativos(R13.7.7.1 - R13.7.7.3)

Los apoyos no rectangulares deben tratarsecomo apoyos cuadrados que tienen la mismaárea de sección transversal. Note que para lossistemas de losas con vigas, las caras de lasvigas no son consideradas en las localizacionesde la cara de los apoyos. Las localizaciones dela sección crítica para el momento negativo



la sección crítica para el momento negativofactorizado para las distintas condiciones deapoyo se muestra en la figura 3.4. Note losrequisitos especiales mostrados para los apoyosexteriores.

Redistribución de momentos(R13.7.7.4)

Si un diseñador debe escoger usar el Método delPórtico Equivalente para analizar un sistema delosas que cumple con las limitaciones delMétodo de Diseño Directo, los momentosfactorizados pueden reducirse para que elmomento estático total factorizado (suma de losmomentos positivos y promedio de los



momentos positivos y promedio de losmomentos negativos) no necesita exceder M ocalculado por la ecuación (13-3) del Código ACI.Esta reducción permisible se muestra en la figura3.9.

no necesitan ser mayores queno necesitan ser mayores que ::

Reducción permisible para los momentos M u1 ,Mu2 y

M M M

Mu uu0

1 232

= +⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ +

w L Lu n, /2 2 8

⎛⎜⎜

⎞⎟⎟

w L Lu 2 12



Mu3 =

⎛ ⎝ ⎜⎜

⎞ ⎠⎟⎟

+ +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟

w L L

M M M

u

u u u

2 12

1 2 3

8

2

Puesto que el Método del Pórtico Equivalentepara el análisis no es un método aproximado, la

redistribución del momento permitida en lasección 8.4 del ACI puede usarse. Elagrietamiento excesivo puede producirse si estas

provisiones son imprudentemente aplicados. Sedeja a decisión del diseñador el cuidado acercade eso, si la hubiera, y si es garantizada la

redistribución.



redistribución.



Análisis y Diseño de una Losa Armada en dos Direcciones

apoyada sobre Vigas

Usando el Método del Pórtico Equivalente, sedeterminará los momentos de diseño en las dosdirecciones para el sistema de losa mostrado,para un piso intermedio de un edificio deconcreto armado.



V-B

(0.35x0.70)

5.00

4.55

V-B

(0.35x0.70)

4.55

5.225

0.

45

(0.35x0.50)

(0

.35x0.70)

V-I (0.35x0.50) V-I (0.35x0.50)

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

(0.35x0.70)

5.225

4.55

V-I

(0.35x0.50)

V-B

(0.35x0.70)

0.45

V-I

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

0.45 V-B (0.35x0.70)

V-B

(0.35x0.70)

V-I

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

V-I

(0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)V-B (0.35x0.70)D

C

B

S

N

EW



6.50

6.050.45

V-I

V-B

V-B (0.35x0.70)

6.05

6.725

0 .4 5 0 .45

V-B (0.35x0.70)

6.725

6.05

V-I

V-B (0.35x0.70)

0.45

V-B

0.45A

1 2 3 4

Altura de piso = 3.7 mDimensiones de las vigas de borde = 35*70

cm²Dimensiones de las vigas interiores = 35*50cm²

Dimensiones de las columnas = 45*45 cm²Carga viva de servicio = 500 kg/m²

f'c = 280 kg/cm² (Para todos los elementos), el



f c 280 kg/cm (Para todos los elementos), elconcreto de peso normal

f y = 4200 kg/cm²

Calculos y Discusiones

1. Diseño preliminar para el espesor de la losah:a) Control de la deflexión:

Los términos para a son determinados en elejemplo 5.1.1

Relación de la rigidez a flexión de la viga y de lalosa.



α = 15.17 (viga de borde NS)α = 19.35 (viga de borde EW)

α = 3.20 (viga interior NS)α = 4.16 (viga interior EW)

Calculos y Discusiones

Puesto que todos poseen α > 2, la ecuación (9-12) de la sección 9.5.3.3 del Código ACIcontrolará el espesor mínimo.Por lo tanto:

h

L fy

n

=

+⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

+

0 814000

36 9

.

β



36 9 β

Donde:

Ln: longitud de la luz libre en la dirección larga

medida cara a cara de las columnas

β = Luz libre en la direccion l a

Luz libre en la direccion corta

arg

β β= = ⇒ =6 05

4 55133 133

.

.. .



Ln = 6.5 - 0.45 = 6.05 m

h = 13.87 cm

Usando 15 cm de espesor de la losa

h cm=+⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟

+ =

605 08 420014000

36 9 13313 87

.

* ..



2. Elementos del pórtico equivalente:Se determina las constantes de distribución demomentos y los coeficientes de los momentos deempotramiento para los elementos del pórticoequivalente. El procedimiento de distribución demomentos será usado para el análisis del pórticoparcial para cargas verticales. El factor de rigidez

K, factor de transporte COF y factores de momentode empotramiento FEM para la losa viga y los

Pórtico Equivalente Exterior, dirección N-S,ejes 1 y 4.



de empotramiento FEM para la losa-viga y loselementos de columna son determinados usando

las tablas disponibles o usando un método deanálisis.

a) Unión losa-viga, rigidez a flexión en ambosextremos Ksb:

Por interpolación de la tabla 1 tenemos:

K = K = 4 23

cLN11

0 455

0 09 0 1= = ≈.. .

cLN22

0 453 475

0 13= ≈..

.



KNF KFN 4.23

Donde:Isb : es el momento de inercia de la sección

losa-viga, mostrada en la figura 5.2aIsb = 2305128.11 cm 4

E cs = 15000 = 25099801 kg/cm²

K = 48948 t m

280

K t msb = = −4 23 2305128 11 25099801

500 1048948095

. * . *

*

⇒



Ksb = 48948 t-mFactor de transporte COF = 0.513, por

interpolación de la tabla 1 .

⇒

Momento de empotramiento FEM = 0.0851 , porinterpolación de la tabla 1.

347.5 cm

b=35 cm

=2

CLpanel

L

15 cm

55 cm



Figura 5.2a Sección transversal de la losa-viga

b) Elementos de columna, rigidez a flexión K c:

Para columnas interiores:Refiriéndose a la tabla 2, t a=507.5=42.5cm,t b=15/2=7.5 cm, H = 3.7 m = 370

cm, H c = 370 - 42.5 - 7.5 = 320 cm, t a /tb = 5.67,H/H c = 1.16

Así:K = 6 80 K = 4 98 por interpolación



K AB = 6.80, K AB = 4.98 por interpolación.

Donde: Ιcc

cm= = =

4 44

124512 34171875

Kct

= 15763 t-m

K E

Lct c c

c= 6 80.

I

K t mct = = −6 80 250998 01 341718 75370 10

15763 275. * . * .

*.

K E

Lcb c c

c= 4 98.

I

K t mb = = −4 98 250998 01 341718 7511544 28

. * . * .

⇒



Kcb = 11544 t-m

K t mcb = = −370 10

11544 285*.

⇒

Para columnas exteriores:Refiriéndose a la tabla 2, ta =70-

7.5= 62.5cm,t b=15/2= 7.5 cm, H = 3.7 m = 370cm, H c = 370 - 62.5 - 7.5 = 300 cm, t a /tb = 8.33,H/H c = 1.23

Así:K AB = 8.68, K BA = 5.27 por interpolación.

K E

Lct c cc= 8 68.

I



c

K t mct = = −8 68 250998 01 341718 75

370 10 20121355. * . * .

* .

Kct = 20121 t-m

Kcb = 12217 t-m

K E

Lcb c c

c= 5 27.

I

K t mcb = = −5 27 250998 01 341718 75

370 10

12216 535. * . * .

*

.

⇒

⇒



c) Elementos torsionales, rigidez torsional K t:

D d

KE C

L c

L

tc

=−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

9

12 2

2

3

C x

yx y= ∑ −⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 6 33

3.



Donde:

c2 = 45 cm y L 2 = 3.475 m = 347.5 cm

Para columnas interiores

Donde C es tomado como el mayor valorcalculado con la ayuda de la ecuación anterior,para el elemento torsional mostrado en la

figura 5.2b

X1 = 35 cm X2 = 15 cm X1 = 35 cm X2 = 15 cm

Y1 = 35 cm Y2 = 105 cm Y1 = 50 cm Y2 = 35 cmC1 = 185077.08 cm 4 C2 = 107493.75 cm 4 C1 = 399452.08 cm 4 C2 = 28743.75 cm 4

4 4



∑C = 185077.08 + 107493.75 = 292570.83 cm 4 ∑C = 399452.08 + 2x28743.75 = 456939.58 cm 4

+8h

Elemento torsional b=35 cm

105 cm w+2h(b b≤

=15 cm

=35 cmh w

h f

f )



Figura 5.2b Elemento torsional unido a la columna interior

Kt = 45030 t-m

K1 35

9 250998 01 456939 58

347 5 1 45347 5

10

=−⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟

* . * .

. *.

*

⇒



Para columnas exteriores:Donde C es tomado como el mayor valor

calculado con la ayuda de la ecuación anterior,para el elemento torsional mostrado en la figura5.2c.

X1 = 35 cm X2 = 15 cm X1 = 35 cm X2 = 15 cm

Y1 = 55 cm Y2 = 90 cm Y1 = 70 cm Y2 = 55 cm

C1 = 470910.42 cm 4 C2 = 90618.75 cm 4 C1 = 685285.42 cm 4 C2 = 51243.75 cm 4

∑C = 470910.42 + 90618.75 = 561529.17 cm 4 ∑C = 685285.42 + 51243.75 = 736529.17 cm 4



Elemento torsional

55 cm (h ≤w

=55 cm

=15 cm

)4h f

hw

h f



35 cm

Figura 5.2c Elemento torsional unido a la columna exterior

Kt = 72583 t-m

K t mt =−⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟

= −9 250998 01 736529 17

347 5 1 45347 5

10

72583 223 5

* . * .

. *.

*

.

⇒



d) Incremento de la rigidez torsional K ta debido alas vigas paralelas:

Donde:

Is = Momento de inercia de la sección de la losamostrada en la figura 5.2d

K Kta t sbs

= I

I

I s f l h

cm= = =2

3 3

412347 5 15

12 97734 38. *

.



Isb= Momento de inercia de la sección total L

mostrada en la figura 5.2dIsb = 2305128.11 cm4

Para columnas interiores:

Kta = 1062061 t-m

Para columnas exteriores:

K t mta = = −45030 2305128 1197734 38 106206146* .. .

⇒

K t mta = = −72583 2305128 1197734 38

1711916 66* .

.



Kta = 1711917 t-m

97734 38.

⇒

b=35 cm

347.5 cm

viga paral ela

L =2

LC

15 cm

55 cm

panel



Figura 5.2d Losa-viga en la dirección de análisis

e) Rigidez de la columna equivalente (K ec ):

Donde:ΣKta es para los elementos torsionales que se

encuentran a cada lado de la columna y ΣKc espara la columna superior e inferior de la uniónl ig d i i t di

K K KK Kec c ta

c ta= ∑ ∑∑ + ∑

*



losa-viga de un piso intermedio.

Para columnas interiores:

L1

L1

Kc

K ta



K c

Kec = 26623 t-m

( ) ( )( ) ( )

K t mec =

++ + = −

15763 11544 1062061

15763 11544 106206126622 50

*.

⇒



Para columnas exteriores:

L11

cK

K ta



Kc



f) Factor de distribución en la unión losa-viga DF:Nudo exterior:

Nudo interior:

DF =+

=4894848948 31738

0 607.

DF = + + =4894848948 48948 26623

0 393.



COF para la losa-viga = 0.513

31738

4894848948

26623 26623

4894848948

31738

4894848948



3.Análisis del pórtico parcial delpórtico equivalente:

Se determina los máximos momentos positivos ynegativos de la losa-viga usando el método dedistribución de momentos.

Con una relación de la carga viva de servicio y lacarga muerta.

L = = > =500139

30 75



D >

360139

40 75. .

3.Análisis del pórtico parcial delpórtico equivalente:

El pórtico se analizará para cinco condiciones decarga con patrones de carga y carga viva parcialcomo lo permite la sección 13.7.6.3 del Código

ACI (en página 161 ver la ilustración de los cincopatrones de carga considerada)



a) Cargas factorizadas y momentos deempotramiento

Sea:

(Es el peso del alma de la viga por metro,dividido por L 2)


0 3 5 0 5 5 24006 52

0 452

13295 2. * . *. .

. /+⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟= kg cm



wD = 1.2 * (360 + 132.95) = 591.54 kg/m²

Carga viva factorizada:wL = 1.6 * (500) = 800 kg/m²Luego: w

u= w

D+ w

L= 591.54 + 800.0 =

1391.54 kg/m²wu = 1.39 t/m²

· FEM debido a w D + wL:FEM = 0.0851*(1.39*3.475)*5² = 10.27 t-m

· FEM debido a wD

+ 3/4wL:

FEM = 0.0851*(0.591+0.75*0.8)*3.475*5²=8.80 t-m

⇒



· FEM debido sólo a w D:FEM = 0.0851*(0.591*3.475)*5² = 4.37 t-m

b) La distribución del momento para las cincocondiciones de carga se muestra en la tabla5.2.1. Los momentos de rotación en sentidoantihorario que actúan en los extremos delelemento se consideran como positivo. Losmomentos positivos en las luces se determinan

mediante la siguiente ecuación:

Mu (Centro del tramo) = M o - (MuL + MuR )/2

Donde:M : es el momento en el centro para una viga

⇒



Mo: es el momento en el centro para una viga

simple.

Cuando los momentos en los extremos no soniguales, el máximo momento en el tramo noocurre en el centro, pero su valor es cerca delcentro del tramo.



Momento positivo en el tramo 1-2 para lacarga (l):

+Mu = (1.54x3.475)5²/8 - (4.86 + 13.34)/2 = 7.62t-m

Los siguientes valores del momento para laslosas-vigas se obtienen de la tabla 5.2.1. Noteque según la sección 13.7.6.3 del Código ACIlos momentos de diseño no se tomarán



menores que los producidos con la carga vivafactorizada total en todos los tramos.

Máximo momento positivo en la luz extrema= El mayor de 7.62 o 7.40 = 7.62 t-m

Máximo momento positivo en la luz interior*= El mayor de 4.41 o 5.43 = 5.43 t-m

Máximo momento negativo en el apoyo del

extremo= El mayor de 4.86 o 4.70 = 4.86 t-mMáximo momento negativo en el apoyo

interior de la luz exterior = El mayor de 13.34 o 12.01 = 13.34 t-mMáximo momento negativo en el apoyo



Máximo momento negativo en el apoyo

interior de la luz interior = El mayor de 12.31 o 11.44 = 12.31 t-m

4. Momentos de diseño:

Los momentos factorizados positivos y negativospara el sistema de losas en la dirección N-S ejes1 y 4 son mostrados en la figura 5.2e. Losmomentos negativos factorizados son tomadosen las caras de los apoyos rectilíneos pero a unadistancia no mayor de 0.175l 1 del centro de

apoyos.



0.45/2 = 0.225 < 0.175*5 = 0.875 (se localiza enla cara de los apoyos).



5. Momento factorizado total portramo:

Los sistemas de losas dentro de las limitacionesde la sección 13.6.1 pueden tener los momentosresultantes reducidos en una proporción tal quela suma numérica de los momentos positivos y elpromedio de los momentos negativos nonecesitan exceder el valor del momento estático

total Mo dado por la ecuación (13-3) del Código ACI.Se verificará las limitaciones de la sección



Se verificará las limitaciones de la sección

13.6.1.6 para la rigidez relativa de las vigas endos direcciones perpendiculares.

Para el panel interior:

0.2 < 1.76 < 5.0 .................... OK!Para el panel exterior:

αα

1 22

2 12

2

215 17 3 475

4 1 6 5 0176L

L= =. * .

. * ..

αα

1 22

2 12

22

15 17 3 475

1935 500 38L

L= =. * .

. * ..



0.2 < 0.38 < 5.0 .................... OK!

1

Tabla 5.2.1 Distribución de momentos para elpórtico parcial (Dirección N-S ejes 1 y 4)

+ 1 2 3 4

Nudo 1 2 3 4

Tramo 1-2 2-1 2-3 3-2 3-4 4-3

DF 0 607 0 393 0 393 0 393 0 393 0 607



DF 0.607 0.393 0.393 0.393 0.393 0.607

COF 0.513 0.513 0.513 0.513 0.513 0.513

1. Todos los tramos cargados con la carga vivafactorizada total:

FEM 11.39 -11.39 11.39 -11.39 11.39 -11.39

COM * 0 -3.55 0 0 3.55 0.00

0.72 0 -0.72 0.72 0 -0.72

0.14 -0.22 -0.14 0.14 0.22 -0.14

0.07 -0.04 -0.07 0.07 0.04 -0.07

0.02 -0.02 -0.02 0.02 0.02 -0.02

0.01 -0.01 -0.01 0.01 0.01 -0.01

Σ 12.36 -15.24 10.42 -10.42 15.24 -12.36

DM** -7.50 1.89 1.89 -1.89 -1.89 7.50

M neg. 4.86 -13.34 12.31 -12.31 13.34 -4.86M

l 7.62 4.41 7.62



central 7.62 4.41 7.62



3. Tramo central cargado con 3/4 de la cargaviva factorizada:

FEM 5.10 -5.10 9.83 -9.83 5.10 -5.10

COM * -0.95 -1.59 0.95 -0.95 1.59 0.95

0.13 0.30 -0.13 0.13 -0.30 -0.13

-0.03 -0.04 0.03 -0.03 0.04 0.03

Σ 4.24 -6.42 10.69 -10.69 6.42 -4.24

DM** -2.57 -1.68 -1.68 1.68 1.68 2.57

M neg. 1.67 -8.10 9.01 -9.01 8.10 -1.67

M central 2.61 5.43 2.61



5. Primer y segundo tramo cargado con 3/4 dela carga viva factorizada:

FEM 9.83 -9.83 9.83 -9.83 5.10 -5.10

COM * 0.00 -3.06 0.95 0.00 1.59 0.95

0.42 0.00 -0.32 0.42 -0.30 -0.32

0.06 -0.13 -0.03 0.06 0.10 -0.03

0.03 -0.02 -0.03 0.03 0.01 -0.03

0.01 -0.01 -0.01 0.01 0.01 -0.01

Σ 10.37 -13.06 10.39 -9.29 6.51 -4.54

DM** -6.29 1.05 1.05 1.09 1.09 2.75

M neg. 4.07 -12.01 11.44 -8.20 7.61 -1.78

M central 6.40 4.62 2.80



Figura 5.2e Momentos de diseño positivos y negativos para la losa-viga(Todos los tramos cargados con la carga viva factorizada total, excepto para el tramo central)

* Momento de transporte COM

Es el producto negativo del factor de distribución, factorde transporte y el momento desbalanceado en el nudo,llevado del extremo opuesto del tramo.

**Momento distribuido DM

Es el producto negativo del factor de distribución y el

momento desbalanceado en el nudo.



Todas las limitaciones de la sección 13.6.1 estánsatisfechas y pueden aplicarse las provisionesde la sección 13.7.7.4

M0 = 13.85 t-m

M w L Lu n

0 2

2

8=

M t m02154 3475 455

813 85= = −. * . * .

.

⇒



Luz extrema:

Luz interior :

( )7 62 2 43 10 09

2 13 88. . .

.+ +

= −t m

( )5 43

9 44 9 442

14 87. . .

.+ + = −t m



Para ilustrar el procedimiento apropiado, losmomentos factorizados en la luz interior pueden

reducirse como sigue:

Reducción permisible

Momento negativo de diseño ajustado=9.44*0.93 = 8.78 t-mMomento positivo de diseño ajustado =5.43*0.93= 5.05 t-m

= =13 88

14 87

0 93.

.

.



M0 = 13.85 t-m

6.Distribución de los momentos dediseño a través de la franja losa-viga.

Los momentos factorizados positivos y negativosen las secciones críticas pueden distribuirse a la

franja de columna, viga y a las dos mediasfranjas centrales de la losa-viga según lasproporciones especificadas en 13.6.4, 13.6.5 y

13.6.6, si los requerimientos de la sección13.6.1.6 es satisfecho.



β t = 2.01

LL

21

6 55

130= =.. ⇒

LL

21

1 30= .

α1 1

21517

6 55

1972= = =LL

. * .

. α1 2

11972= =L

L.

βts

C=2 I

β173652917

2 01= =..

⇒

⇒



β t12 182812 5* .

Donde:

C = 736529.17 cm 4 (Ver la figura 5.2c)

De la tabla 4-1.1 (Momentos en la franja decolumna como porcentaje del momento total enla sección crítica).

I s cm= =650 15

12 182812 53

4*

.



Los momentos factorizados en las franjas decolumna y franjas centrales se resumen comosigue:

Franja de columnaMomento

factorizado(t-m) % Momento

(t-m) 1Momento enla viga (t-m)

Momento en lalosa (t-m)

Momento en lasdos medias

franjas centrales(t-m) 2

Luz extrema:

Negativoexterior 2.43 73 1.77 1.50 0.27 0.66

Positivo 7.89 66 5.21 4.43 0.78 2.68

Negativo interior 10.09 66 6.66 5.66 1.00 3.43

Luz interior:

Negativo 9.44 66 6.23 5.30 0.93 3.21



Positivo 5.43 66 3.58 3.04 0.54 1.85

a) Unión losa-viga, rigidez a flexión en ambosextremos K sb :

Por interpolación de la tabla 1, tenemos:

K = K = 4.13

Pórtico Equivalente Interior, dirección N-S, ejes2 y 3.Elementos del pórtico equivalente:

c 0 455

0 09 0 1N11L

= = ≈. . . c 0 456 5

0 07N22L

= ≈..

.



KNF

KFN

4.13

Análisis y Diseño de Losas - Ing Roberto Morales

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