REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD FERMIN TOROSISTEMA DE APRENDIZAJES INTERACTIVOS A DISTANCIA

CALCULO PROPOSICIONAL

Barquisimeto-Mayo 2014

Alumna: Hilgri PerazaC.I.: 10.846.959Asignatura: Estructuras Discretas

PROPOSICIONES

Concepto:

Es un juicio declarativo del cual tiene sentido decir que es verdadero (V) o que es falso (F), pero no ambas cosas simultaneas. Por ello solo admite una sola alternativa: Verdadero:1 Falso:0

Notación: Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t, ya que las letras mayúsculas serán usadas para denotar los conjuntos.

OPERACIONES VERITATIVAS

En el lenguaje diario se tienen ciertos términos que nos permiten conectar proposiciones para producir otras complejas, para este análisis los llamaremos:Conectivos u Operadores Lógicos: Son símbolos o conectivos que nos permiten construir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas. Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.

LA NEGACIÓN Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la negación de dicha proposición. 

La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa.

LA CONJUNCIÓNDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números dados.

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

DISYUNCIÓN EXCLUSIVADefinición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).

EL CONDICIONAL

Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

Condición Necesaria y Condición Suficiente El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática, ya que la mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente es llamado hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado también con las llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.

EL BICONDICIONAL

Definición: Sean p y q dos proposiciones, Se llama Bicondicional de p y q a la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.

o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q) La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ¹ VL(q)

TABLAS DE VERDAD DE LAS FORMAS PROPOSICIONALES

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas, de esta manera:Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES

Proposición Tautológica o Tautología

Definición: Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir, todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son 1) independientemente de los valores de sus variables.

Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautología

CONTRADICCIÓNDefinición: Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es una contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablas de verdad.

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

1. Leyes Idempotentes 1.1. p p p 1.2. p p p

2. Leyes Asociativas

2.1. (P q) r p (q r) 2.2. (P q) r p (q r)

3. Leyes Conmutativas

3.1. P q q p 3.2. P q q p

4. Leyes Distributivas

4.1. P ( q r ) ( p q ) (p r) 4.2. P ( q r ) ( p q ) (p r)

5. Leyes de Identidad

5.1. P F P 5.2. P F F 5.3. P V V 5.4. P V P

6. Leyes de Complementación

6.1. P P V (tercio excluido) 6.2. P P F (contradicción) 6.3. P P (doble negación) 6.4. V F, F V

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

7. Leyes De Morgan

7.1. ( P q ) P q 7.2. ( P q ) P q

Otras Equivalencias Notables

a. p q p q (Ley del condicional)

b. p q (p q) (q p) (Ley del bicondicional)

c. p q ( p q ) ( q p ) (Ley de disyunción exclusiva)

d. p q q p (Ley del contrarrecíproco)

e. p q ( p q )

f. ( (p q ) r ) ( p r ) (q r ) (Ley de demostración por casos)

g. (p q) (p q F) (Ley de reducción al absurdo)

Nota: Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar que el bicondicional correspondiente es una tautología

Equivalencia e Implicación lógicaDefinición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe: AÞ B si el condicional A® B es una tautología

Proposiciones EquivalentesSean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es equivalente a B, y escribimos A º B o A Û B, Si y sólo si la forma bicondicional A Û B es una tautología.

Razonamientos:Definición: Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.

Forma Proposicional de un Razonamiento Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma proposicional como:

P1 P2 P3 P4 . . . Pn

Métodos de DemostraciónDemostración Directa En la demostración directa debemos probar una implicación: P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración Indirecta Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® C nos proporciona la Ley del contrarrecíproco: P ® C º ~ C ® ~ P. Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que pÞ C, se prueba que ~ C Þ ~ P.

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es tautológicamente equivalente a la proposición (p Ù ~ q) Þ (r Ù ~ r) siendo r una proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

CONCLUSION Luego de la lectura del texto entendemos las diferentes formas

de resolver enunciados que contiene una o varia proposiciones ya que de manera lógica se dan valores a dichas proposiciones que nos permiten resolverlos. A medida que vamos obteniendo conocimiento sobre el tema nos damos cuenta como le vamos dando forma a los enunciados, ya que nos permite desde el punto de vista matemático llegar a resolver ejercicios con mayor facilidad analizando mejor los enunciados y aplicando mejor las herramientas matemáticas. Cabe destacar que también este tema nos ayuda a obtener mayor y mejor conocimiento al momento de estudiar los circuitos lógicos ya que nos ayudara a entender como es que las compuerta que están dentro de dichos circuitos funcionan . Es importante hacer resaltar que el tema es una herramienta valiosa para muchos aspecto, y es aplicable en la mayoría de las materias que se estudian en la carrera de ingeniería por lo cual es de suma importancia su estudio

BIBLIOGRAFIA:

http://saiaead.uft.edu.ve/ead/mod/assign/view.php?id=195047

Saenz J. 2006, Fundamentos de la Matemática, Inversora Hipotenusa