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ANÁLISIS Y CONTROL DESISTEMAS NO LINEALES CON RETARDOS

Luis Alejandro Márquez Martínez

Departamento de electrónica y telecomunicaciones

Análisis y control de sistemasno lineales con retardos

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Sistemas con retardosSistemas con retardos

• Todo sistema cuya evolución incluye información de su evolución pasada.

• Matemáticamente puede ser modelado por ecuaciones diferenciales y de diferencias.

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Retardos en sistemas físicosRetardos en sistemas físicos

• Fenómenos de transporte

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas


• Tiempos de reacción

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas


• Tiempo de cómputo

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Sistemas con retardos inducidosSistemas con retardos inducidos

Aprovechar la dinámica más rica de los sistemas con retardo

- generación de caos

- estabilización

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Naturaleza de los retardosNaturaleza de los retardos

VARIANTES EN EL TIEMPO

CONSTANTES

Conmensurables

No conmensurables

Distribuidos

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

MotivationMotivation

Sistemas con retardos + Técnicas estandard

• rendimiento subóptimo• posible fuente de inestabilidad• complicación no siempre necesaria

predictores de estado

=

Soluciones no causales

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

• Caracterizar de manera constructiva la existencia de soluciones causales a diversos problemas de control

• Estudiar las propiedades de los sistemas no lineales con retardos

ObjetivosObjetivos

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Enfoque utilizadoEnfoque utilizado

Desarrollado a partir de resultados conocidos

- SLR : Modelos : -- sobre un anillo, (Kamen, Morse, Tza. et Par.)-- Roesser

- SNL : Enfoque diferencial-algebraico-- Sistemas continuos-- Sistemas discretos

I. Introducción

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Sistemas consideradosSistemas considerados

: campo de funciones meromorfas de variables

• analíticas en todo su dominio de definición• permite tener resultados genéricos

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Enfoque diferencial-algebráicoEnfoque diferencial-algebráico

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Generalización a sistemas con retardosGeneralización a sistemas con retardos

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

El anillo El anillo

No conmutativo :

• Íntegro • División de Euclides• Identidad de Bezout

• Anillo de Ore (izquierdo)

Anillo de polinomios en con coeficientes sobre

pero :II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

El anillo El anillo

No conmutativo :


• Anillo de Ore (izquierdo) pero :II. Metodología


SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

El anillo El anillo

No conmutativo :




con

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

El anillo El anillo

No conmutativo :




SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

El módulo a la izquierda El módulo a la izquierda

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

estáticos dinámicos

Compensadores causalesCompensadores causales

dinámica con respecto a d/dt

• sin memoria • sin memoria d

inám

ica

con

resp

ecto

a

• con retardos

• bicausales

• general con retardos

• general con retardos

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Compensadores causales (sistemas con retardos)Compensadores causales (sistemas con retardos)

• Estático con retardos

• Dinámico con retardos

Extensión no lineal del modelo de Roesser

II. Metodología

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Algunas aplicacionesAlgunas aplicaciones

• Rechazo de perturbaciones• Rechazo de perturbaciones

• Síntesis de observadores• Síntesis de observadores

• Accesibilidad• Accesibilidad

III. Aplicaciones

• Inversión de sistemas• Inversión de sistemas

• Equivalencia triangular• Equivalencia triangular

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

AccesibilidadAccesibilidad

Definición : un sistema es accesible si•

•

CN para la controlabilidad - implica que podemos modificar toda dinámica del sistema

Solución algebraica : usa la filtración siguiente

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Accesibilidad (cont.)Accesibilidad (cont.)

Contribución : cálculo alterno de los submodulos

A partir de

se demuestra que

TEOREMA : el sistema es accesible si

III. Aplicaciones

rango por líneas

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

CS de accesibilidadCS de accesibilidad

SL : Criterio de Kalman

Este resultado es equivalente a :

SLR : Controlabilidad débil

SNL : Accesibilidad fuerte

SLVT : Criterio de Silvermann - Meadows

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Rechazo de perturbacionesRechazo de perturbaciones

C

Formulación del problema :

dado un sistema sometido a una perturbación q, encontrar un compensador C que desacople la salida y de q

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Rechazo de perturbacionesRechazo de perturbaciones

Ejemplo introductivo :

Problema : cómo identificar los estados que no « estorban »?

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

SL(R) :

SNL :

Solución estática bicausalSolución estática bicausal

TEOREMA : existe una solución estática bicausal al PRP si

estas conditiones son también necesarias para los sistemas : - monovariables - cuadrados inversibles

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Linealización Entrada / Salida (monovariable)Linealización Entrada / Salida (monovariable)

?

.

Objetivo : obtener una transferencia lineal

Sistema no lineal

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Linealización Entrada / Salida (monovariable)Linealización Entrada / Salida (monovariable)

Soluciones propuestas para este problema :

• Retroalimentación estática de salida- linealización por inyecciones aditivas de entrada/salida

• Retroalimentación de estado (estática y dinámica)

Posibles aplicaciones

• Seguimiento de trayectorias

• Síntesis de observadores( utilizando los resultados disponibles en el caso lineal con retardos )

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

ObservabilidadObservabilidad

x

t

y

y

t t

t

x

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Síntesis de observadoresSíntesis de observadores

• Observador con dinámica de error lineal

Si el sistema es linealizable por inyecciones de salida :

observable si III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

Inversión de sistemasInversión de sistemas

yu

tt

Para sistemas sin retardo, solución basada en el algoritmo de estructura (Singh).

Motivación : permite encontrar las entradas que producen una salida deseada

Contribución : extensión al caso de SNLR (IEEE MCCS 98, Kybernetika 2000)

III. Aplicaciones

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

III. Aplicaciones

Equivalencia triangularEquivalencia triangular

Contribución : solución completa (S&C Letters 2007)

Problema. Dado un sistema, encontrar, si es posible,un cambio de coordenadas x tal que el sistema puedaser escrito como

con

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. PerspectivasIV. Perspectivas

Aplicación tecnológicaAplicación tecnológica

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Sincronización de sistemas mecánicos

Sincronización de sistemas mecánicos

Contribución : solución causal (Intl J. Ctrl. 2008)Aplicación : sincronización de redes eléctricas

Internet

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Aplicación tecnológicaAplicación tecnológica

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Desarrollo de enfoque “geométrico” para SNLRDesarrollo de enfoque “geométrico” para SNLR

• Se define una extensión del corchete de Lie para SNLR

• No se tiene una geometría definida• Equiv. con SL vía cambio de coordenadas. ( ACC 2010 )• CNS para integrabilidad (TAC 2011)• Linealización por inyección E/S (Automatica 2013)

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Desarrollo de herramientas computacionalesDesarrollo de herramientas computacionales

SAC: Symbolic Analysis Control [package] ( IFAC 2007 )

• Basado en software libre MAXIMA

• Multiplataforma

• Versión beta disponible

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Desarrollo de herramientas computacionalesDesarrollo de herramientas computacionales

Algoritmo eficiente para inversión de matrices(IFAC TDS 2010)

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones


Desarrollo de un sistema de monitoreo respiratorioDesarrollo de un sistema de monitoreo respiratorio

• EPOC y mortalidad infantil

• Monitoreo permanente de un médico

• deseable• no posible

• Opción: monitoreo electrónico

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones



Enfoque propuesto: identificación paramétrica

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones



SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones



Otro enfoque: análisis de componentes independientes

SNLR

I. Introducción

II. Metodología

III. Aplicaciones

IV. Perspectivas

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