Analisis numerico axcel quintero

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ANALISIS NUMERICO Página 1

ACXEL QUINTERO

C.I. 19105144

ANALISIS NUMERICO

ANALISIS NUMERICO Y MANEJO DEL ERROR

El Calculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven

problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las

características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las

computadoras) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos

problemas del mundo real.

El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver

problemas con ayuda de una computadora.

La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta

numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica.

La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica.

Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el

comportamiento de la solución.

El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden

hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario

efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado.

Algunas operaciones que puede realizar el análisis numérico:

- Resolución para las raíces de una ecuación no lineal.

- Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.

- Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales.

- Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos.

- Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones.

- Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la

función se conoce solo como una tabla de valores.

- Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de

valores. También es posible obtener integrales múltiples.

- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se proporcionan

valores iniciales de las variables. Estas pueden ser de cualquier orden y

complejidad.

- Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores

característicos y vectores característicos.

- Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones

diferenciales parciales.

- Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de varios métodos.

Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas que

solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado

es practico resolver problemas de esta forma.

Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un

programa.



La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones,

cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos

procedimientos de análisis numérico son iterativos.

Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos

generales:

1. Plantear claramente el problema.

2. Obtener un planteamiento matemático del problema.

3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2.

4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte mas

difícil en la resolución de problemas.

Métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas

matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay

muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común:

invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas.

Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas,

comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible

comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas

depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos

problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los

métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software

costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación

que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas,

porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta

su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Definiciones:

Algoritmo es un procedimiento sistemático para la resolución de problemas.

Ecuación: Es una proposición abierta que involucra una relación de equivalencia y que

no se cumple para cualquier valor de la variable o variables.

x2 – 5x + 6 es una expresión algebraica o polinomio

x2 – 5x + 6 > 0 es una inecuación

f(x) = x2 – 5x + 6 es una función

x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) es una identidad

x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación

Raíces o soluciones de una ecuación, es el conjunto de todos los valores que verifiquen

la ecuación.

x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación cuyas raíces son (2 , 3)

x2 – 5x + 6 es un polinomio cuyos ceros son (2 , 3)

f(x) = x2 – 5x + 6 es una función cuyos ceros son (2 , 3)



ERRORES

Error es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud

obtenida.

El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas

es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el

grado de aproximación de la solución que se obtiene.

Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:

Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.

Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del

problema.

Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición

matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos

errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los

efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos

casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco

precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones

numéricas.

Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos:

constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos

empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento

analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado

obtenido computacional-mente.

En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes

principales:

1.

Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta

fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos

manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha

reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan.

Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa

uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún,

la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema

no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es

razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de

bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más

nos va a preocupar.

2.

El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino

mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la

sustitución de un infinito (sumatoria o integración) o un infinitesimal

(diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son:

El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando

sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de

Taylor.

Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los

valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.

Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por

una aproximación (diferencias finitas).



Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson:

proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de

iteraciones tiende a infinito.

Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento,

ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito.

Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en

cualquier procedimiento numérico.

3.

Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen

en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión

ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados

correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos.

Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas

operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones

pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar

lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al

redondear un número se denomina error de redondeo.

Cifras significativas: conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de

cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.

Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras

que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

Ejemplos:

1- Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas)

2- Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas)

3- 40072 ( cinco cifras significativas)

4- 3.001 ( cuatro cifras significativas)

5- 0,000203 ( tres cifras significativas)

Medición del error:

La exactitud de cualquier calculo es importante para todo calculo. Hay dos formas

comunes para expresar el tamaño del error en un resultado calculado. El error absoluto

y el error relativo.

Error absoluto = | valor verdadero – valor aproximado |

Valor verdadero = valor aproximado + error

Error absoluto de x: xxxea )( 0x

Error relativo = verdaderovalor

absolutoerror

..

..

Error relativo de x : x

xexe a

r

)()( , en la practica:

x

xexe a

r

)()(



x representa el valor verdadero

x representa el valor aproximado

ea representa el error absoluto

er representa el error relativo

Un tamaño de error dado suele ser mas grave cuando la magnitud del valor verdadero es

pequeña.

Magnitud es el resultado de una medición.

Confiabilidad: porque dependen del instrumento de medición utilizado.

Necesarias: porque depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar

cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores: errores de truncamiento

y errores de redondeo

Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un

procedimiento matemático exacto.

Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento.

Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son

exactos.

Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.

Ejemplo.

Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado

de 19,999 cms. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de

9 cms. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000

cms. y 10 cms. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.

Solución. Tenemos los siguientes resultados:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

En ambos casos, el error absoluto es igual!, pero obviamente tiene mayor trascendencia

el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar

el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar a las siguiente definición.

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