Anlisis numricoEl anlisis numrico o clculo numrico es la rama de las matemticas que se encarga de disear algoritmos para, a travs de nmeros y reglas matemticas simples, simular procesos matemticos ms complejos aplicados a procesos del mundo real.

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[editar] Introduccin generalEl anlisis numrico es una rama de las matemticas cuyos lmites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numricos que nos permitan resolver problemas matemticos, en los que estn involucradas cantidades numricas, con una precisin determinada. En el contexto del clculo numrico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solucin aproximada de un problema mediante un nmero finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lgica. En algunos casos, se les da el nombre de mtodos constructivos a estos algoritmos numricos. El anlisis numrico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son tiles para clculos matemticos extremadamente complejos, pero en ltima instancia operan con nmeros binarios y operaciones matemticas simples. Desde este punto de vista, el anlisis numrico proporcionar todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemticos susceptibles de expresarse algortmicamente, basndose en algoritmos que permitan su simulacin o clculo en procesos ms sencillos empleando nmeros.

[editar] Conceptos generalesA partir de aqu, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con nmeros representados de forma finita. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemticas pueden llevarse adelante a travs de la generacin de una serie de nmeros que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de clculo y refinamiento importantsimo a la mquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solucin. El problema ocurre en determinar hasta cundo deber continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solucin del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al anlisis numrico es el de la representacin, tanto de los nmeros como de otros conceptos matemticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representacin en ordenadores de nmeros reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemtica convencional.

[editar] Aplicaciones

En general, estos mtodos se aplican cuando se necesita un valor numrico como solucin a un problema matemtico, y los procedimientos "exactos" o "analticos" (manipulaciones algebraicas, teora de ecuaciones diferenciales, mtodos de integracin, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por fsicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de stos de obtener soluciones, aunque la precisin no sea completa. Debe recordarse que la fsica experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayora de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenmeno arrojen valores exactamente iguales. Otro motivo que ha propiciado el auge del anlisis numrico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento de la potencia de clculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realizacin a mano.

[editar] Problemas[editar] Clasificacin segn su dimensinLos problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

Problemas de dimensin finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de nmeros, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc. Problemas de dimensin infinita: problemas en cuya solucin o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de nmeros, como integracin y derivacin numricas, clculo de ecuaciones diferenciales, interpolacin, etc.

[editar] Clasificacin atendiendo a su naturaleza o motivacinAsimismo, existe una subclasificacin de estos dos grandes apartados en tres categoras de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivacin para el empleo del clculo numrico:

1) Problemas de tal complejidad que no poseen solucin analtica. 2) Problemas en los cuales existe una solucin analtica, pero sta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la prctica. 3) Problemas para los cuales existen mtodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la prctica, requieren una cantidad de clculos excesiva; mayor que la necesaria para un mtodo numrico.

[editar] reas de estudioEl anlisis numrico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver.

[editar] Clculo de los valores de una funcinUno de los problemas ms sencillos es la evaluacin de una funcin en un punto dado. Para polinomios, uno de los mtodos ms utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el nmero de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmtica de punto flotante.

[editar] Interpolacin, extrapolacin y regresin

La interpolacin resuelve el problema siguiente: dado el valor de una funcin desconocida en un nmero de puntos, cul es el valor de la funcin en un punto entre los puntos dados? El mtodo ms sencillo es la interpolacin lineal, que asume que la funcin desconocida es lineal entre cualquier par de puntos sucesivos. Este mtodo puede generalizarse a la interpolacin polinmica, que suele ser ms precisa pero que sufre el llamado fenmeno de Runge. Otros mtodos de interpolacin usan otro tipo de funciones interpoladoras dando lugar a la interpolacin mediante splines y a la interpolacin trigonomtrica. Otros mtodos de interpolacin utilizando derivadas sucesivas de la funcin son mediante los polinomios de Taylor y la aproximacin de Pad. La extrapolacin es muy similar a la interpolacin, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la funcin desconocida en un punto que no est comprendido entre los puntos dados. La regresin es tambin similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la funcin en los mismos (con un error debido a la medicin), queremos determinar la funcin desconocida. El mtodo de los mnimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

[editar] Resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuacionesOtro problema fundamental es calcular la solucin de una ecuacin o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuacin o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuacin 2x + 5 = 3 es lineal mientras que la ecuacin 2x2 + 5 = 3 no lo es. Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de mtodos para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Mtodos directos, i.e., mtodos que utilizan alguna factorizacin de la matriz son el mtodo de eliminacin de Gauss, la descomposicin LU, la descomposicin de Cholesky para matrices simtricas (o hermticas) definidas positivas, y la descomposicin QR. Mtodos iterativos como el mtodo de Jacobi, el mtodo de GaussSeidel, el mtodo de las aproximaciones sucesivas y el mtodo del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas. En la resolucin numrica de ecuaciones no lineales algunos de los mtodos ms conocidos son los mtodos de biseccin, de la secante y de la falsa posicin. Si la funcin es adems derivable y la derivada se conoce, el mtodo de Newton es muy utilizado. Este mtodo es un mtodo de iteracin de punto fijo. La linealizacin es otra tcnica para resolver ecuaciones no lineales.

[editar] Mtodos numricos para ecuaciones algebraicas polinomialesLas ecuaciones algebraicas polinomiales poseen una gran cantidad de mtodos numricos para resolverse, entre ellos podemos enumerar los siguientes:

Mtodo de Greffe (o mtodo de Lobachevsky o de Lobachevsky-Dandelin-Greffe o del cuadrado de las races) Mtodo de Laguerre Mtodo de Bairstow (o mtodo de Lin-Bairstow) Mtodo de Bernoulli Mtodo de Horner Mtodo de Householder

Mtodo de Newton-Raphson especializado para polinomios Mtodo de Richmond especializado para polinomios Mtodo modificado de Richmond Mtodo de Newton-Horner Mtodo de Richomnd-Horner Mtodo de Birge-Bite Mtodo de Jenkins-Traub

[editar] Descomposicin espectral y en valores singularesBastantes problemas importantes pueden ser expresados en trminos de descomposicin espectral (el clculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposicin en valores singulares. Por ejemplo, el anlisis de componentes principales utiliza la descomposicin en vectores y valores propios.

[editar] OptimizacinArtculo principal: Optimizacin (matemtica)

Los problemas de optimizacin buscan el punto para el cual una funcin dada alcanza su mximo o mnimo. A menudo, el punto tambin satisface cierta restriccin. Ejemplos de ,problemas de optimizacin son la programacin lineal en que tanto la funcin objetivo como las restricciones son lineales. Un mtodo famoso de programacin lineal es el mtodo simplex. El mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimizacin con restricciones a problemas sin restricciones.

[editar] Evaluacin de integralesArtculo principal: Integracin numrica

La integracin numrica, tambin conocida como cuadratura numrica, busca calcular el valor de una integral definida. Mtodos populares utilizan alguna de las frmulas de NewtonCotes (como la regla del rectngulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos mtodos se basan en una estrategia de "divide y vencers", dividiendo el intervalo de integracin en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudindose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el mtodo de Romberg. Para el clculo de integrales mltiples estos mtodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo til el mtodo de Monte Carlo.

[editar] Ecuaciones diferencialesEl anlisis numrico tambin puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los mtodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuacin correspondiente. Es til ver la derivacin numrica. Para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias los mtodos ms utilizados son el mtodo de Euler y los mtodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuacin, llevndola a un subespacio de dimensin finita. Esto puede hacerse mediante un mtodo de los elementos finitos. Nociones bsicas de errores Introduccin. En una situacin real lo que se requiere no es muchas veces una respuesta exacta a un problema, sino ms bien una respuesta aproximada con una precisin prescrita; que es justamente lo que se da en el planteamiento numrico de un problema. Usaremos el trmino algoritmo para describir un procedimiento que requiere de un nmero finito de pasos para resolver un problema. Un mtodo numrico es un algoritmo diseado para dar respuesta numrica a un problema con una precisin prescrita. El clculo numrico evala los mtodos numricos diseados. Este proceso de tratamiento de la informacin que se vislumbra en el prrafo anterior, se puede resumir en el siguiente cuadro:

Es posible disponer de varios algoritmos para un problema dado, y si nuestro inters es elegir el mejor debemos considerar como criterios de seleccin la rapidez y la precisin. Por otro lado, es normal que los errores estn presentes en cada una de las etapas del proceso esquematizado en el cuadro anterior, es decir, es probable que exista error en la entrada, en el algoritmo y por ende en la salida. Es necesario, por tanto, revisar cada una de las fuentes de error. Fuentes de error. a) Error en el planteamiento. En la mayora de los casos el planteamiento de un problema corresponde a un modelo idealizado de los fenmenos reales debido a que, en general, nos vemos forzados a suponer condiciones que simplifiquen el problema real. b) Error del mtodo. En la prctica, ante la dificultad que significa resolver un problema en forma analtica, o ante la imposibilidad de hacerlo, se opta por reemplazar el procedimiento por uno que ofrezca una solucin aproximada a la del problema original. c) Error en la entrada de datos. Las imperfecciones de los medios utilizados para recopilar datos, provocan errores en las entradas numricas de un problema. d) Error de truncamiento. Por ejemplo, la evaluacin de funciones mediante desarrollos en series infinitas, obliga a considerar en el clculo slo un nmero finito de sumandos, truncando el resto de la sumatoria. e) Error de redondeo. La casi totalidad de los nmeros reales requieren, para su representacin decimal, de una infinidad de dgitos. En la prctica, para su manejo slo

debe considerarse un nmero finito de dgitos en su representacin, procedindose a su determinacin mediante un adecuado redondeo. Un caso tpico lo presentan los computadores que, en su memoria, almacenan slo representaciones finitas de los nmeros reales. En este caso hablamos de redondeo inherente. f) Error de propagacin. Al operar aritmticamente con cantidades aproximadas, los errores asociados a stas son propagados al resultado de la operacin. A veces estos errores pueden ser tan significativos que el resultado carece de sentido. g) Error de discretizacin. Muchos problemas de clculo aproximado se resuelven por discretizacin del problema original. Es as como integrales definidas se aproximan por sumas finitas, derivadas se aproximan por cuocientes de diferencias, etc. Computadores y error de redondeo.El error de redondeo es resultado directo de las limitaciones de los computadores: la aritmtica de la mquina slo comprende valores con un nmero finito de dgitos; as que cuando se combinan valores a travs de una operacin aritmtica los errores son automticos. Los nmeros se almacenan en la computadora como una secuencia de dgitos binarios o bits (unos o ceros), pero para analizar los efectos de los errores de redondeo, se supone que los nmeros se representan en la forma normalizada decimal de punto flotante

La secuencia de dgitos se conoce como la mantisa y el ndice n como el exponente. El manejo finito que hace el computador de los nmeros implica que existe un nmero mximo, digamos k, de dgitos por medio del cual puede representarse un valor; esto es, la mantisa slo debe contener k dgitos. Cualquier nmero real puede escribirse en la forma:

La forma de punto flotante mencionada anteriormente, y denotada por fl(x), se obtiene finalizando la mantisa de x despus de k dgitos. Hay dos formas de hacerlo. a) Corte o truncamiento: los dgitos se cortan de la mantisa para dar:

b) Redondeo : Si , entonces el dgito se mantiene sin cambio, truncando luego para dar finalmente:

Si , entonces el dgito se aumenta en 1 y luego se trunca el nmero x. Tambin hay restricciones respecto al tamao del exponente; n debe satisfacer la desigualdad

donde M y m son enteros positivos que pueden variar segn la mquina en que se trabaje. Si n llega a ser mayor que M, entonces se dice que el nmero se ha desbordado (overflow); es decir, es demasiado grande para representarlo en la mquina. Por otro lado, si n es menor que - m, entonces se dice que se ha producido un vaciamiento (underflow); en este caso algunos computadores reajustan el valor del nmero a cero y continan el clculo, y otros dan un mensaje de error. Error absoluto, error relativo y dgitos significativos. Durante un clculo, la acumulacin de errores de redondeo puede descomponer por completo el resultado, de modo que es esencial poder identificar las operaciones tendientes a producir grandes errores de redondeo. Pueden utilizarse dos medidas para cuantificar estos errores. Definicin: Si es una aproximacin a x, entonces se define el error absoluto como

, y el error relativo como siempre que x no sea cero. Observaciones: A partir de esta definicin, se observa que la representacin de punto flotante de x tiene un error relativo igual a:

Si se dispone de k dgitos, entonces se encuentra que un lmite de error relativo de

por truncamiento y por redondeo.

Definicin: Se dice que los nmeros x y coinciden hasta s dgitos (cifras) significativos si s es el mayor nmero entero no negativo para el cual

Cifras Significativas y Redondeo 1. Cualquier dgito diferente de cero es significativo. 1234.56 6 cifras significativas 2. Ceros entre dgitos distintos de cero son significativos. 1002.5 5 cifras significativas 3. Ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero no son significativos. 000456 3 cifras significativas 0.0056 2 cifras significativas 4. Si el nmero es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. 457.12 5 cifras significativas 400.00 5 cifras significativas 5. Si el nmero es menor que uno, entonces nicamente los ceros que estn al final del nmero y entre los dgitos distintos de cero son significativos. 0.01020 4 cifras significativas 6. Para los nmeros que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dgitos son significativos a menos que se diga los contrario. 1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros clculos 0.0010 2 cifras significativas 1.000 4 cifras significativas 7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un nmero ilimitado de cifras significativas

NOTE: Es mucho ms fcil contar y encontrar las cifras significativas si el nmero est escrita en notacin significativa. CIFRAS SIGNIFICATIVAS La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un lmite de sensibilidad, es lgico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener una exactitud de milsimas o millonsimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en cuanto a su precisin se refiere, se trabaja con las cifras significativas. Al afirmar que la medicin de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm , se quiere decir que sobre el valor de 15 cm tenemos plena certeza, mientras que el 4 decimal es un tanto ambiguo y est afectado por cierto error. Lo nico que se puede decir con seguridad es que el valor obtenido est ms cerca de 15 cm que de 16 cm de 14 cm . Acerca de las centsimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la medicin es 15,42 cm 15,38 cm , pero si que este valor se encuentra entre 15,35 cm y 15,45 cm, presentndose entonces una incertidumbre total de 0,1 cm . Como vemos no es lo mismo escribir 15,4 cm que escribir 15,40 cm ya que en este caso estamos afirmando que conocemos la longitud con una exactitud de hasta una centsima, (que es diez veces ms exacto que en el caso anterior) y as, la incertidumbre es ya de una milsima de centmetro, es decir el valor de la longitud se encuentra entre 15,395 cm y 15,415 cm . Las dos cifras 15,4 cm y 15,40 cm implican mtodos e instrumentos de medida que pueden ser diferentes. De esta manera:

Todo este bloque de cifras contiene la misma informacin desde el punto de vista experimental. Se dice por lo tanto que todas ellas tienen el mismo nmero de cifras significativas que en este caso es de tres (3), compuesta de dos dgitos ciertos (15) y uno afectado por la incertidumbre (el 4 decimal). Sin embargo el nmero total de dgitos no representa necesariamente la precisin de la medicin. Por ejemplo la poblacin de una ciudad se reporta con seis cifras como 260 000 . Esto puede significar que el valor verdadero de la poblacin yace entre 259 999 y 260 001 los cuales tienen seis cifras significativas. En realidad lo que significa es que la poblacin est ms cerca de 260 000

que de 250 000 de 270 000 . En notacin decimal:

.

Coma flotanteSe ha sugerido que Tipo de dato real sea fusionado en este artculo o seccin (discusin).

Una vez que hayas realizado la fusin de artculos, pide la fusin de historiales aqu.

La representacin de coma flotante, es una forma de notacin cientfica usada en los CPU, GPU, FPU, etc, con la cual se pueden representar nmeros reales extremadamente grandes y pequeos de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritmticas. El estndar para la representacin en coma flotante es el IEEE 754.

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[editar] Notacin cientficaArtculo principal: Notacin cientfica

Como la representacin en coma flotante es casi idntica a la notacin cientfica tradicional, con algunos aadidos y algunas diferencias, primero se describir la notacin cientfica para entender cmo funciona, y luego se describir la representacin de coma flotante y las diferencias.

[editar] RepresentacinLa notacin cientfica, es usada para representar nmeros reales. Siendo r es el nmero real a representar, la representacin en notacin cientfica est compuesta de tres partes:

c. El coeficiente, conformado por un nmero real con un solo dgito entero seguido de una coma (o punto) y de varios dgitos fraccionarios. b. La base, que en nuestro sistema decimal es 10, y en el sistema binario de los computadores es 2. e. El exponente entero, el cual eleva la base a una potencia

[editar] Coeficiente

Un signo en el coeficiente indica si el nmero real es positivo o negativo. El coeficiente tiene una cantidad determinada de dgitos significativos, los cuales indican la precisin del nmero representado, mientras ms dgitos tenga el coeficiente, ms precisa es la representacin. Por ejemplo, lo podemos representar en notacin cientfica, con 3 cifras significativas, 3,14 x 100, o con 12 cifras significativas, 3,14159265359 x 100, teniendo la segunda representacin mucho ms precisin que la primera.[editar] Base y exponente

El coeficiente es multiplicado por la base elevada a un exponente entero. En nuestro sistema decimal la base es 10. Al multiplicar el coeficiente por la base elevada a una potencia entera, lo que estamos haciendo es desplazando la coma del coeficiente tantas posiciones (tantos dgitos) como indique el exponente. La coma se desplaza hacia la derecha si el exponente es el positivo, o hacia la izquierda si es negativo). Ejemplo de cmo cambia un nmero al variar el exponente de la base:

2,71828 x 10-2 representa al nmero real 0,0271828 2,71828 x 10-1 representa al nmero real 0,271828 2,71828 x 10 0 representa al nmero real 2,71828 (el exponente cero indica que la coma no se desplaza) 2,71828 x 10 2,71828 x 101 2

representa al nmero real 27,1828 representa al nmero real 271,828

[editar] EjemploUn ejemplo de nmero en notacin cientfica es el siguiente:-1,23456789 x 103

El coeficiente es -1,23456789, tiene 9 dgitos significativos, y est multiplicado por la base diez elevada a la 3. El signo del coeficiente indica si el nmero real representado por la notacin cientfica es positivo o negativo. El valor de la potencia nos indica cuntas posiciones (cuntos dgitos) debe ser desplazada la coma del coeficiente para obtener el nmero real final. El signo de la potencia nos indica si ese desplazamiento de la coma debe hacerse hacia la derecha o hacia la izquierda. Una potencia positiva indica que el desplazamiento de la coma es hacia la derecha, mientras que un signo negativo indica que el desplazamiento debe ser hacia la izquierda. Si la potencia es cero, la coma no se desplaza ninguna posicin. La razn de la denominacin de "coma flotante", es porque la coma se desplaza o "flota" tantos dgitos como indica el exponente de la base, al cambiar el exponente, la coma "flota" a otra posicin. En el nmero representado en la notacin cientfica anterior, -1,23456789 x 103, el exponente es 3 positivo, lo que indica que la coma del coeficiente -1,23456789 debe ser desplazada 3 posiciones hacia la derecha, dando como resultado el nmero real equivalente:-1234,56789

Abajo, una tabla con ejemplos de nmeros reales de tres dgitos significativos y su representacin en notacin cientfica:Nmero real Notacin cientfica

1230000000000000000 1,23 x 1020 00,0 123000000,0 1230,0 123,0 12,3 1,23 0,123 1,23 x 108 1,23 x 103 1,23 x 102 1,23 x 101 1,23 x 100 1,23 x 10-1

0,0123 0,00123 0,0000000123

1,23 x 10-2 1,23 x 10-3 1,23 x 10-8

0,00000000000000000 1,23 x 10-20 00123

Como puede verse en la tabla, la representacin en notacin cientfica de los nmeros reales es mucho ms compacta cuando los nmeros son muy grandes en magnitud, o cuando son de magnitud muy pequea (cercanos a cero), es por eso que es muy usada en ciencia, donde hay que lidiar con cifras enormes como la masa del sol, 1,98892 1030 kg, o muy pequeas como la carga del electrn, -1,602176487 10-19 coulomb, y tambin es por eso que se usa, en forma de coma flotante, para la representacin de nmeros reales en el computador.

[editar] Representacin en los computadores y las calculadorasPara la entrada y el despliegue de nmeros en notacin cientfica, los computadores y las calculadoras pueden representarlos de diferentes maneras. Por ejemplo, dependiendo del sistema, la velocidad de la luz, 2,99792458 x 108, puede representarse como sigue:Notacin Comentario

2,99792458 Notacin cientfica estndar usada en ciencia y tecnologa x 108 2,99792458 Usada generalmente en los computadores y en calculadoras, a e8 veces la "e" va en mayscula Usada en el lenguaje BASIC para representar nmeros de doble 2,99792458 precisin (15 dgitos significativos). Quedando la "e" del ejemplo d8 anterior para nmeros de simple precisin (6 1/2 dgitos significativos) Usada en calculadoras. El exponente de 10, (la expresin x 108), 2,99792458 es ingresado usando una variedad de teclas dependiendo de la x 108 calculadora, como 10x o EXP

[editar] Sistema binarioArtculo principal: Sistema binario

Un valor real se puede extender con una cantidad arbitraria de dgitos. La coma flotante permite representar solo una cantidad limitada de dgitos de un nmero real, solo se trabajar con los dgitos ms significativos, (los de mayor peso) del nmero real, de tal manera que un nmero real generalmente no se podr representar con total precisin sino como una aproximacin que depender de la cantidad de dgitos significativos que tenga la representacin en coma flotante con que se est trabajando. La limitacin se halla cuando

existen dgitos de peso menor al de los dgitos de la parte significativa. En dicho caso stos suelen ser redondeados, y si son muy pequeos son truncados. Sin embargo, y segn el uso, la relevancia de esos datos puede ser despreciable, razn por la cual el mtodo es interesante pese a ser una potencial fuente de error. En la representacin binaria de coma flotante, el bit de mayor peso define el valor del signo, 0 para positivo, 1 para negativo. Le siguen una serie de bits que definen el exponente. El resto de bits son la parte significativa. Debido a que la parte significativa est generalmente normalizada, en estos casos, el bit ms significativo de la parte significativa siempre es 1, as que no se representa cuando se almacena sino que es asumido implcitamente. Para poder realizar los clculos ese bit implcito se hace explcito antes de operar con el nmero en coma flotante. Hay otros casos donde el bit ms significativo no es un 1, como con la representacin del nmero cero, o cuando el nmero es muy pequeo en magnitud y rebasa la capacidad del exponente, en cuyo caso los dgitos significativos se representan de una manera denormalizada para as no perder la precisin de un solo golpe sino progresivamente. En estos casos, el bit ms significativo es cero y el nmero va perdiendo precisin poco a poco (mientras que al realizar clculos ste se haga ms pequeo en magnitud) hasta que al final se convierte en cero.

[editar] EjemploEmplearemos varios ejemplos para describir la notacin de coma flotante. Abajo tenemos 3 nmeros en una representacin de coma flotante de 16 bits. El bit de la izquierda es el signo, luego hay 6 bits para el exponente, seguidos de 9 bits para la parte significativa:

[editar] Signo

El signo es expresado por el bit de la izquierda, con 0 indicando que el nmero es positivo y 1 indicando que el nmero es negativo. En los ejemplos de arriba, el primer nmero es negativo y los dos siguientes son positivos.[editar] Exponente

El exponente indica que tanto se debe desplazar hacia la derecha o hacia la izquierda la coma binaria de la parte significativa. En este caso, el exponente ocupa 6 bits capaces de representar 64 valores diferentes, es decir, es un exponente binario (de base 2) que va desde -31 a +32, representando potencias de 2 entre 2-31 y 2+32, indicando que la coma binaria se puede desplazar en hasta 31 dgitos binarios hacia la izquierda (un nmero muy cercano a cero), y hasta 32 dgitos binarios hacia la derecha (un nmero muy grande). Pero el exponente no se almacena como un nmero binario con signo (desde -31 hasta +32) sino como un entero positivo equivalente que va entre 0 y 63. Para ello, al exponente se le debe sumar un desplazamiento (bias), que en este caso de exponente de 6 bits (64 valores), es 31 (31 es la mitad de los 64 valores que se pueden representar, menos 1), y al final, el

rango del exponente de -31 a +32 queda representado internamente como un nmero entre 0 y 63, donde los nmeros entre 31 y 63 representan los exponentes entre 0 y 32, y los nmeros entre 0 y 30 representan los exponentes entre -31 y -1 respectivamente:-31 0 32 L=tril(ones(10)); %construye L >>A=L*L'; %construye L*Lt >>A%matriz simtrica A= 1111111111 1222222222 1233333333 1234444444 1234555555 1234566666 1234567777 1234567888 1234567899 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Si se quiere comprobar que efectivamente se trata de una matriz positiva definida, basta con teclear:

>>eig(A)%calcula los valores propios de A Que obtendr: ans = 0.2557 0.2738 0.3080 0.3662 0.4652 0.6431 1.0000 1.8730 5.0489 44.7661 Y todos los valores propios de A son positivos Para evitar problemas de convergencia en los mtodos iterativos es necesario que el esquema convergente quede determinado. Para el mtodo de Jacobi basta teclear: >> S=diag(diag(A));%crea la matriz diagonal >> T=S-A; >>B=inv(S)*T; >>eig(B) Que arroja: ans = -6.2572 -0.3709 0.4470 0.7060 0.8199 0.8800 0.9156 0.9386 0.9545 0.9666 Como cada uno de los valores propios es menor que ("