REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMIN TOROFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA EN COMPUTACIÓN

Integrantes:Wilcar Rojas C. I: 13313297

Análisis Numérico

ACTIVIDAD N° 1

Conceptos En Que Se Basan Los

Métodos Numéricos, Importancia De

Utilizar Métodos Numéricos

Análisis numérico

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se

encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas

simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del

mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.

Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente

complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones

matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje

necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos

susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que

permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Cálculo Numérico y el Manejo de

ErroresEl análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y

realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las

características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las

computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del

algoritmo.

Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que

funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en

contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes

de cambiar de uno a otro sistema.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra

comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como

algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas

computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la

Métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones

aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una

característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de

tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de

problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y

geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se

utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El

uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica

de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al

emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede

diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se

aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables

de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las

matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían

obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la

materia.

Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que

pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos

implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se

debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados

obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden

expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del

valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor

individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La

imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los

valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para

que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el

obtenido por aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como

Ev, o deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error

detectado, podemos normalizar su valor :

Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos

interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor

absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que

determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas

en que es confiable el valor aproximado obtenido.

Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras

significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:

Es=(0.5x 102–2)%=0.5%

Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo

aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen

especificado

Hay dos formas de expresar el tamaño del error en los resultados de un

cálculo, el Error Absoluto y el Error Relativo.

Error absoluto. Sea x0 una aproximación del valor exacto

x, entonces:

error absoluto: ε = ε (x) = |x − x0|

Se trata de una medida cuantitativa del error, mide asépticamente lo

que dista la aproximación x0 del valor exacto x.

Error relativo. Sea x0 una aproximación del valor exacto

x, entonces:

error relativo: e = e(x) = ε / |x|

Se trata de una medida cualitativa del error, mide lo proporcionada

que es la aproximación x0 en relación con la magnitud del valor exacto

x.

ERROR DE REDONDEO

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y

12° decimal introduciendo así un error de redondeo

Por ejemplo, el valor de “e” se conoce como 2.718281828… hasta el infinito.

Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto

decimal) estamos obteniendo u error de

E = 2.718281828 −2.71828182 = 0.000000008…

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era

mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso

en el cual el error sería solo de

E = 2.118281828 −2.11828183 = −0.000000002..

, que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error

introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de

cifras significativas.

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se

usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar

el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la

serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir

aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie

de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo “n”

veces.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y

truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar

para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro

lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la

ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos

y seguramente mayor error de redondeo).

Entonces, ¿qué criterio utilizamos? …lo ideal sería determinar el punto en que los

errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de

truncamiento.

Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los

computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por

lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar

olvidar su aporte al error total.

Cálculos estables e inestables.

Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción

entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un

concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o mal

condicionado.

Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que

se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas

posteriores y degradan la calidad de los resultados.

Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos

de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.