Analisis matricial de armaduras 2d - Problemas Resueltos

ANALISIS ESTRUCTURAL II

Fernández Arcela Marco

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA: ANALISIS MATRICIAL EN ARMADURAS 2D

PROBLEMAS PROPUESTOS

CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II

CICLO:

VI

ALUMNO: FERNANDEZ ARCELA, MARCO DAVID

PIMENTEL 03 DE MAYO DEL 2015



ANALISIS ESTRUCTURAL II – PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

La estructura plana mostrada en la figura esta compuesta con 5 elementos biarticulados.

Los elementos AD y BC no estan unidos directamente, al igual que los elementos CF y

DE. Suponga para todos elementos EA = 30000 ton.

La estructura se somete a una carga de 20 ton. Aplicada en el punto “C” dirigida

verticalmente hacia abajo. Note que la estructura y las acciones sobre ella son simetricas,

por lo que no hay componentes horizontales de desplazamiento en C o D. Por lo tanto, el

analisis puede hacerse con 2 GDL. Indicados.

Determine:

a) Los desplazamientos para ambos grados de libertal

b) Las fuerzas axiales en los elementos CD y en 1 cualquiera de los otros elementos.

Desarrollo:

Datos:

EA = 3x104 ton



LONGITUD DE LAS BARRAS

N° de Barra Longitud (m)

1 7.00

2 7.00

3 8.00

4 7.80

5 4.20

HALLAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL [k], donde EA = CTE

[𝑘] =𝐸𝐴

𝐿

4285.71 0 0 0 0

0 4285.71 0 0 0

[𝑘] = 0 0 4285.71 0 0

0 0 0 4285.71 0

0 0 0 0 7142.86

PASO 1.- Hallar Matriz Continuidad

𝝁𝟏 = [𝟎. 𝟖𝟎

−𝟎. 𝟔𝟎] 𝝁𝟐 = [

𝟎. 𝟖𝟎−𝟎. 𝟔𝟎

] 𝝁𝟑 = [𝟎. 𝟖𝟎𝟎. 𝟔𝟎

]

𝝁𝟒 = [𝟎. 𝟖𝟎𝟎. 𝟔𝟎

] 𝝁𝟓 = [𝟎. 𝟎𝟎𝟏. 𝟎𝟎

]

[0] [µ1]t 1

-[µ2]t [0] 2

[a] = [µ3]t [0] 3

[0] -[µ4]t 4

[µ5]t -[µ5]t 5

5 6



MATRIZ DE CONTINUIDAD

0 0 0.8 -0.6 1

-0.8 0.6 0 0 2

[a] = 0.8 0.6 0 0 3

0 0 -0.8 -0.6 4

0 1 0 -1 5

X Y X Y

5 6

PASO 2.- Hallar Matriz de Rigidez General [K]

[𝑲] = [𝒂]𝒕[𝒌][𝒂]

Hallar [a]t

0 -0.8 0.8 0 0

[a]t = 0 0.6 0.6 0 1

0.8 0 0 -0.8 0

-0.6 0 0 -0.6 -1

5485.71 0 0 0

[K]= 0 10228.57 0

-

7142.857

0 0 5485.714 0

0

-

7142.857 0 10228.57

PASO 3.- Hallar los desplazamientos [µ]

[𝜇] = [𝐾]−1[𝐹]

Hallar [𝐾]−1

0.00018229 0 0 0

[𝐾]−1 = 0 0.00019082 0 0.00013325

0 0 0.00018229 0

0 0.00013325 0 0.00019082



Hallamos [F] y luego [µ]

0.00 0.00

[F] = 0.00 [µ]=

-

0.00266508

0.00 0.00

-20.00 -0.0038164

PASO 4.- Hallar el vector deformaciones [e]

[𝒆] = [𝒂][𝝁]

0.002

-0.002

[e]= -0.002

0.002

0.001

PASO 5.- Hallar el vector de fuerza en cada barra [s]

[𝒔] = [𝒌][𝒆]

9.81

-6.85

[s]= -6.85

9.81

8.22



PASO 6.- Hallar el vector Fuerzas Externas [F], para comprobar que el resultado sea

correcto

[𝑭] = [𝒂]𝒕[𝒔]

0.00

[F]= 0.00

0.00

-20.00

PASO 7.- Hallar las Reacciones de los Apoyos

[𝑯] = [𝒂𝒉]𝒕[𝒔]

Hallar [𝒂𝒉]

-[µ1]t 0 0 0 1

0 0 0 [µ2]t 2

[ah]= 0 -[µ3]t 0 0 3

0 0 [µ4]t 0 4

0 0 0 0 5

1 2 3 4

-0.8 0.6 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 2

[ah]= 0 0 -0.8 -0.6 0 0 0 0 3

0 0 0 0 0.8 0.6 0 0 4

0 0 0 0 0 0 0 0 5

X Y X Y X Y X Y

1 2 3 4



Hallar [𝒂𝒉]𝒕

-0.8 0 0 0 0

0.6 0 0 0 0

0 0 -0.8 0 0

0 0 -0.6 0 0

[𝒂𝒉]𝒕 = 0 0 0 0.8 0

0 0 0 0.6 0

0 0.8 0 0 0

0 -0.6 0 0 0

Las reacciones son:

-7.85

5.89

5.48

4.11

[H]= 7.85

5.89

-5.48

4.11



RESPUESTAS:

a) El punto 5 se desplaza 0.00 en el eje “X”, -0.00266508 en eje “Y”

El punto 6 se desplaza 0.00 en el eje “X”, -0.00381640 en el eje “Y”

b) Las fuerzas axiales son las siguientes :

CD es 8.22 en compresión.

BC es 9.81 en compresión.

AD es 6.85 en tensión.

DE es 6.85 en tensión.

CF es 9.81 en compresión.



EJERCICIO N° 2 .- RESOLVER CON MÉTODO MATRICIAL

La estructura de la figura se somete a una carga vertical ( hacia abajo) de 12 ton. En el

nudo 3, determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos y las fuerzas axiales en

cada barra. Las barras horizontales tienen un area de seccion transversal de 15 cm2; el

resto de los elementos tien un area de 10 cm2.

Considerar para todos los elementos EI = 2.1x106 kg/cm2

Note que, siendo la estructura y las acciones simetricas, el analisis puede

efectuarse con dos grados de libertad.

Desarrollo:

Hallar EA, asumiendo que el area transversal es circular para todas las barras.

Entonces: PARA LOS ELEMENTOS HORIZONTALES

𝐴ℎ = 15𝑐𝑚2 = 𝜋𝑟2

𝑟 = √15

𝜋= 2.19 𝑐𝑚

𝐼 =1

4𝜋𝑟4 =

1

4𝜋(2.19)4 = 1.7162𝑐𝑚4

Al EI lo divido en I, y quedara solo E

𝐸𝐼

𝐼=

2.1𝑥106 𝑘𝑔𝑐𝑚2

1.7162 𝑐𝑚4= 1.2236𝑥106

𝑘𝑔

𝑐𝑚2

PARA LOS ELEMENTOS RESTANTES

𝐴 = 10𝑐𝑚2 = 𝜋𝑟2

𝑟 = √10

𝜋= 1.78 𝑐𝑚

𝐼 =1

4𝜋𝑟4 =

1

4𝜋(1.78)4 = 1.4012𝑐𝑚4

Al EI lo divido en I, y quedara solo E

𝐸𝐼

𝐼=

2.1𝑥106 𝑘𝑔𝑐𝑚2

1.4012 𝑐𝑚4= 1.4987𝑥106

𝑘𝑔

𝑐𝑚2



Ahora Multiplicamos por el A, y tendremos

un EA, para elementos horizontales

𝐸𝐴 = 18.3548𝑥106 𝑘𝑔 Transformamos de kg a tn

𝐸𝐴 = 18.3548𝑥103 𝑡𝑛

Ahora Multiplicamos por el A, y tendremos

un EA, para los demas elementos.

𝐸𝐴 = 14.9866𝑥106 𝑘𝑔 Transformamos de kg a tn

𝐸𝐴 = 14.9866𝑥103 𝑡𝑛



1 4.00

2 4.00

3 4.00

4 4.00

5 5.00

6 5.00

7 5.00

8 5.00

9 3.00


[𝑘] =𝐸𝐴

𝐿

4588.70 0 0 0 0 0 0 0 0

0 4588.70 0 0 0 0 0 0 0

0 0 4588.70 0 0 0 0 0 0

0 0 0 4588.70 0 0 0 0 0

[𝑘] = 0 0 0 0 2997.33 0 0 0 0

0 0 0 0 0 2997.33 0 0 0



0 0 0 0 0 0 2997.33 0 0

0 0 0 0 0 0 0 2997.33 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4995.55


𝝁𝟏 = [𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎

] 𝝁𝟐 = [𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎

] 𝝁𝟑 = [𝟏. 𝟎𝟎. 𝟎. 𝟎𝟎

]

𝝁𝟒 = [𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎

] 𝝁𝟓 = [𝟎. 𝟖𝟎

−𝟎. 𝟔𝟎] 𝝁𝟔 = [

𝟎. 𝟖𝟎−𝟎. 𝟔𝟎

]

𝝁𝟕 = [𝟎. 𝟖𝟎

−𝟎. 𝟔𝟎] 𝝁𝟖 = [

𝟎. 𝟖𝟎𝟎. 𝟔𝟎

] 𝝁𝟗 = [𝟎. 𝟎𝟎𝟏. 𝟎𝟎

]

[µ1]t [0] 1

-[µ2]t [0] 2

[0] [µ3]t 3

[0] -[µ4]t 4

[a] = [0] [µ5]t 5

[µ6]t [0] 6

-[µ7]t [0] 7

[0] -[µ8]t 8

[µ9]t -[µ9]t 9

5 6


1 0 0 0 1

-1 0 0 0 2

0 0 1 0 3

0 0 -1 0 4

[a]= 0 0 0.8 -0.6 5

0.8 0.6 0 0 6

-0.8 0.6 0 0 7

0 0 -0.8 -0.6 8

0 1 0 -1 9

X Y X Y

5 6




[𝑲] = [𝒂]𝒕[𝒌][𝒂] Hallar [a]t

1 -1 0 0 0 0.8 -0.8 0 0

[a]t = 0 0 0 0 0 0.6 0.6 0 1

0 0 1 -1 0.8 0 0 -0.8 0

0 0 0 0 -0.6 0 0 -0.6 -1

13013.98732 0 0 0

0 7153.62406 0 -4995.54753

[K]= 0 0 13013.98732 0

0 -4995.54753 0 7153.62406


[𝜇] = [𝐾]−1[𝐹]

Hallar [𝐾]−1

7.68404E-05 0 0 0

[𝐾]−1 = 0 0.00027284 0 0.00019053

0 0 7.68404E-05 0

0 0.00019053 0 0.00027284


0.00 0.00

[F] = 0.00 [µ]= -0.002286

0.00 0.00

-12.00 -0.003274


[𝒆] = [𝒂][𝝁] 0.00



0.00

0.00

[e]= 0.00

0.00196447

-0.00137184

-0.00137184

0.00196447

0.00098772


[𝒔] = [𝒌][𝒆]

0.00

0.00

0.00

[s]= 0.00

5.88

-4.11

-4.11

5.88

4.93


correcto

[𝑭] = [𝒂]𝒕[𝒔]

0.00

[F]= 0.00

0.00

-12.00


[𝑯] = [𝒂𝒉]𝒕[𝒔]

Hallar [𝒂𝒉]

-[µ1]t [0] [0] [0]

[0] [0] [µ2]t [0]

[0] -[µ3]t [0] [0]

[0] [0] [0] [µ4]t

[ah]= -[µ5]t [0] [0] [0]

[0] -[µ6]t [0] [0]

[0] [0] [0] [µ7]t



[0] [0] [µ8]t [0]

[0] [0] [0] [0]

-1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0

[ah]= 0 0 0 0 0 0 1 0

-0.8 0.6 0 0 0 0 0 0

0 0 -0.8 -0.6 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.8 -0.6

0 0 0 0 0.8 0.6 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


-1 0 0 0 -0.8 0 0 0 0

0 0 0 0 0.6 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 -0.8 0 0 0

[ah]t= 0 0 0 0 0 -0.6 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0.8 0

0 0 0 0 0 0 0 0.6 0

0 0 0 1 0 0 0.8 0 0

0 0 0 0 0 0 -0.6 0 0

Las reacciones son:

-4.711

3.533

3.289

[H]= 2.467

4.711



3.533

-3.289

2.467

RESPUESTAS:

a) Determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos.

En el punto 5 se desplaza verticalmente 0.002286 hacia abajo

En el punto 6 se desplza verticalmente 0.003274 hacia abajo

b) Las fuerzas axiales en cada barra.

Nro de barra Fza. Axial

1 0.00 ------

2 0.00 ------

3 0.00 ------

4 0.00 ------

5 5.88 Compresion

6 -4.11 Tension

7 -4.11 Tension

8 5.88 Compresion

9 4.93 Compresion



EJERCICIO N° 3 .- RESOLVER CON MÉTODO MATRICIAL

La estructura plana de la figura mostrada esta compuesta por elementos biarticulados, determine

los desplazamientos verticales de los nudos B y C y las fuerzas axiales en cada elemento, que se

despues de aplicar una carga vertical (hacia abajo) de 12 ton. En el nudo C, para todos los

elementos considerar (EA=3x104 ton). Note que, siendo la estructura y las acciones simetricas

puede realizarse con dos grados de libertad.

Solucion:

EA = 3x104 ton





1 4.34

2 3.79

3 4.34

4 3.79

5 1.20


[𝑘] =𝐸𝐴

𝐿

6933.75 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 7905.69 0.00 0.00 0.00

[k]= 0.00 0.00 6933.75 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 7905.69 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 25000.00




𝝁𝟏 = [𝟎. 𝟖𝟑𝟎. 𝟓𝟓

] 𝝁𝟐 = [𝟎. 𝟗𝟓𝟎. 𝟑𝟐

] 𝝁𝟑 = [𝟎. 𝟖𝟑

. −𝟎. 𝟓𝟓]

𝝁𝟒 = [𝟎. 𝟗𝟓

−𝟎. 𝟑𝟐] 𝝁𝟓 = [

𝟎. 𝟎𝟎𝟏. 𝟎𝟎

]

[µ1]t 0

0 [µ2]t

[a]= -[µ3]t 0

0 -[µ4]t

[µ5]t -[µ5]t


0.83 0.55 0 0

0 0 0.95 0.32

[a]= -0.83 0.55 0 0

0 0 -0.95 0.32

0 1 0 -1


[𝑲] = [𝒂]𝒕[𝒌][𝒂] Hallar [a]t

0.83 0 -0.83 0 0

0.55 0 0.55 0 1

[a]t= 0 0.95 0 -0.95 0

0 0.32 0 0.32 -1

9553.32413 0 0 0

[K]= 0 29194.9202 0 -25000

0 0 14269.77794 0

0 -25000 0 26619.0862


[𝜇] = [𝐾]−1[𝐹]



Hallar [𝐾]−1

0.00010468 0 0 0

[𝐾]−1= 0 0.00017496 0 0.00016432

0 0 7.00782E-

05 0

0 0.00016432 0 0.00019189


0.00 0.00

[F] = 0.00 [µ]= -0.00197184

0.00 0.00

-12.00 -0.00230271


[𝒆] = [𝒂][𝝁]

-0.001

[e]= -0.001

-0.001

-0.001

0.000


[𝒔] = [𝒌][𝒆] -7.52

[s]= -5.83

-7.52

-5.83

8.27


correcto

[𝑭] = [𝒂]𝒕[𝒔]

0.00

[F]= 0.00

0.00

-12.00




[𝑯] = [𝒂𝒉]𝒕[𝒔]

Hallar [𝒂𝒉]

-[µ1]t [0]

-[µ2]t [0]

[ah]= [0] [µ3]t

[0] [µ4]t

[0] [0]

-0.83 -0.55 0 0

-0.95 -0.32 0 0

[ah]= 0 0 0.83 -0.55

0 0 0.95 -0.32

0 0 0 0


-0.83 -0.95 0 0 0

[ah]t= -0.55 -0.32 0 0 0

0 0 0.83 0.95 0

0 0 -0.55 -0.32 0

Las reacciones son:

11.78

[H] = 6

-11.78

6



RESPUESTAS:

a) Determine los desplazamientos ( verticales) de los nudos B y C.

En el punto 5 se desplaza verticalmente 0.00197184 m hacia abajo

En el punto 6 se desplza verticalmente 0.00230271 m hacia abajo

b) Las fuerzas axiales en cada barra.

Nro de Barra Fza. Axial

1 -7.52 Compresion

2 -5.83 Compresion

3 -7.52 Compresion

4 -5.83 Compresion

5 8.27 Tension

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