Jorge Guillermo Díaz Albújar

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

PRESENTACIÓN

Esta publicación presenta los fundamentos teóricos y prácticos de las ecuaciones

diferenciales ordinarias, Parciales, Transformada de Laplace y Series de Fourier. El

sesgo con el que se exponen pretende enfocar los contenidos a la formación de los

ingenieros, como se hace patente tanto en la presentación de las cuestiones teóricas,

como en los ejercicios resueltos a los que se aplica. El modo de presentarlos es el que

se utiliza en la docencia de la Escuela de Ingeniería Civil y Ambiental de la

Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT), pero pretende constituir un

texto de utilidad para la adquisición de conocimientos al respecto para cualquier

estudiante de ingeniería.

Para ser capaces de superar el grueso de las asignaturas tecnológicas de la carrera le

bastaría al alumno con una base somera de matemáticas superiores que ampliara

ligeramente los conocimientos con los que se accede a este curso. Si bien la mayor

parte de las asignaturas tecnológicas se apoyan en una base matemática de cierta

complejidad, (pensemos por ejemplo en las asignaturas de resistencia de materiales o

de hidráulica, que a su vez están apoyadas en la mecánica de medios continuos), y

que sin duda la teoría de estas materias sólo cobra sentido si se ha estudiado y

asimilado antes una serie de conocimientos matemáticos de base, en la mayoría de

los casos los cálculos necesarios para resolver en última instancia los problemas de

estructuras o hidráulica acaban siendo operaciones aritméticas sencillas que no

precisan de un aparato matemático demasiado complejo.

En cualquier caso, la base científica es fundamental para la formación del ingeniero tal

y como lo entendemos en nuestra sociedad. Me gustaría reproducir aquí la conocida

cita de Galileo (1564-1642) al respecto de las matemáticas y el universo:

La filosofía está escrita en ese vasto libro que está permanentemente ante nuestros ojos (me refiero al

universo), que sin embargo no puede entenderse si no se ha aprendido a comprender su lenguaje y a

conocer el alfabeto en el que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, cuyo guión

es el de los triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las que sólo podríamos vagar por

mazmorras tenebrosas,

Efectivamente, las leyes de la naturaleza están escritas en términos de ecuaciones

diferenciales y es conveniente conocer el lenguaje de las matemáticas para ser capaz

de conocer, resolver y dominar la naturaleza. La cuestión del control de la naturaleza

podría llevar aquí a otro tipo de discusión sobre si el fin último de la tecnología es la

dominación de la naturaleza o por el contrario sólo consigue descontrolarla, pero no

divaguemos más… aún.

INTRODUCCIÓN:

La concepción actual de la física está cimentada sobre la base de las ecuaciones

diferenciales, de forma que cualquier fenómeno de la naturaleza se puede escribir en

términos del equilibrio de fuerzas diferenciales que da la segunda ley de Newton.

Como es conocido, la segunda ley de Newton establece que la variación de la

cantidad de movimiento de un sistema físico es igual a la suma de fuerzas actuantes:

d mv dv dm

m v Fdt dt dt

esto es, suma de fuerzas actuantes igual a masa por aceleración en el caso de la

masa se conserve.

El conocimiento y entendimiento son prerrequisitos para Ia aplicación eficaz de

cualquier herramienta. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, tendremos

serios problemas para reparar un automóvil, aunque la caja de herramientas sea de lo

más completa.

Esta es una realidad, particularmente cuando se usan computadoras para resolver

problemas de ingeniería. Aunque tienen una gran utilidad potencial, las

computadoras son prácticamente ineficientes si no se comprende el funcionamiento

de los sistemas de ingeniería.

A través de muchos años de observación y experimentación, los ingenieros y los

científicos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una

y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como una ley

fundamental que engloba, en esencia, el conocimiento acumulado de experiencias

pasadas. Así, muchos problemas de ingeniería se resuelven mediante el empleo de

un doble enfoque: el empirismo y el análisis teórico. Hay que hacer un esfuerzo para

que estos dos elementos del conocimiento lleguen a fundirse en uno solo. Mientras

se toman nuevas medidas, se pueden modificar las generalizaciones o descubrirse

otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones pueden tener una gran influencia

en la experimentación y la observación. En lo particular, las generalizaciones

pueden servir como principios de organización que pueden utilizarse para sintetizar

los resultados de observaciones y experimentos en un sistema consistente y

comprensible, con conclusiones que pueden ser graficadas. Desde Ia perspectiva de

un problema de ingeniería ya resuelto, este sistema es aun mas útil cuando el

problema se expresa en forma similar a un modelo matemático.

4

ÍNDICE

PRESENTACIÓN………………………………………………………………………… 2

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………. 3

ÍNDICE……………………………………………………………………………………... 4

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS……………………………………………..6

CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.1. Generalidades ...…………………………………………………………………..7

1.1.1. Definición …………………………………………………………….........7

1.1.2. Tipos ………………………………………………………………………..7

1.1.3. Características……………………………………………………………..8

1.1.3.1. Orden de la ecuación…………………………………………8

1.1.3.2. Grado de la ecuación…………………………………………8

1.1.4. Ecuación diferencial lineal………………………………………………8

1.1.5 Usos…………………………………………………………………………9

1.1.6 Ecuaciones semilineales y cuasilineales……………………………..9

1.2. Solución de una ecuación diferencial…………………………………………10

1.3. Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O)…………………………………….....11

1.3.1. Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden………………….. 11

1.3.1.1. Teorema(Existencia y Unicidad)……………………………. 13

1.3.2. Ecuaciones de Bernoulli……………………………………………….. 15

1.3.3. Ecuaciones Separable…………………………………………………. 20

1.3.4. Ecuaciones homogéneas……………………………………………… 23

1.3.5. Ecuaciones exactas…………………………………………………….. 24

1.3.5.1 Teorema de exactitud………………………………………… 25

1.3.6. Factor Integrante………………………………………………………… 25

1.3.7. Estabilidad Dinámica del equilibrio…………………………………… 28

1.3.7.1 Análisis Cuantitativo……………………………………………28

1.3.7.2 Análisis Cualitativo……………………………………………..28

1.3.8. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden...31

5

CAPÍTULO II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN

SUPERIOR

2.1. Ecuaciones Lineales de Segundo Orden…………………………………….33

2.1.1 Ecuaciones Homogéneas con coeficientes constantes…………...33

2.1.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes homogénea………………..34

2.1.1.2. Análisis de estabilidad Dinámica……………………..37 2.1.2. Ecuaciones Diferenciales de segundo orden con Coeficientes Constantes no Homogéneas……………………………………………………37

2.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior……………………………………39 2.2.1 Análisis Cualitativo……………………………………………………….40

2.2.1.1 Teorema de Routh……………………………………………….40

2.2.2 Teorema: Principio de Superposición, ecuaciones homogéneas.43

2.2.2.1 Corolarios al Teorema de superposición……………………43

2.2.3 El Wronskiano…………………………………………………………….44

2.2.4 Criterio para soluciones linealmente independientes(Teorema)..45

2.2.5 Conjunto Fundamental de soluciones………………………………..45

2.2.6 Existencia de un conjunto Fundamental (Teorema)………………….46

2.2.7 Solución General, Ecuaciones Homogéneas………………………….46

2.2.8 Solución General, Ecuaciones No Homogéneas……………………...47

2.2.8.1. Principio de Superposición, Ecuaciones No Homogéneas.48

2.2.9. Reducción de Orden………………………………………………………48

2.2.10. Método de Coeficientes Indeterminados, Método de Superposición………………………………………………………………………51

6

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

7

CAPÍTULO I

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.1. Generalidades: 1.1.1. Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen

derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de

variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales

se dividen en:

1.1.2. Tipos:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas

respecto a una sola variable independiente.

' 2 1y xy

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas

respecto a dos o más variables.

0u u

x y

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La

resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que

consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se

puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en

cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de

Laplace).

8

1.1.3. Características:

1.1.3.1. Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina

orden de la ecuación.

1.1.3.2 Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la

ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no

ser así se considera que no tiene grado.

1.1.4. Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

1

1 1 0... 'n n

n na x y a y a x y a x y g x , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de

uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable

independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

'y y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene

como soluciones . xy f x k e , con k un número real cualquiera.

'' 0y y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo

orden, tiene como soluciones cosy f x a x bsen x , con a y

b reales.

'' 0y y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo

orden, tiene como soluciones 1

. .x

xa e b

e, con a y b reales.

9

1.1.5. Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería

para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas,

como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en

economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de

una estructura es:

'' 'Mx t Cx t Kx t P t

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que

describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la

rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P

es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación

de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda

derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial

en derivadas parciales de segundo orden:

2 22

2 2

u uc

t x

donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación

se le llama ecuación de onda.

1.1.6. Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales.

Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son

de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la

derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la

función y x puede escribirse en la forma:

10

1, ,..., '', ', , 0,n nf y y y y y x 1 1 2 1 0 0: , ,..., , , ,nf z f z

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si 1f es una función afín, es decir,

1f z az b

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse

como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función

cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria

para la función y x puede escribirse en la forma:

1 1ˆ, ,..., '', ', , , ,..., '', ', ,n n n nf y y y y y x f y x g y y y y x 2 0

ˆ: ´ ,f z f z

Se dice que dicha ecuación es semilineal si 2f es una función lineal.

1.2. Solución de una ecuación diferencial

1.2.1. Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la

función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica

la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de

soluciones:

1.2.1.1 Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o

más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de

infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una

familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc).

En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como

combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la

ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y x ni

de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

1.2.1.2 Solución particular: Si fijando cualquier punto 0 0,P x y por donde debe

pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor

de C , y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el

11

nombre de solución particular de la ecuación en el punto 0 0,P x y , que recibe el

nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde

la constante (o constantes) recibe un valor específico.

1.2.1.3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se

obtiene particularizando la solución general.

1.3. Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O)

1.3.1. Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial

ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable

independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar

expresadas en forma explícita:

0 0

,dy

f x ydx

y x y

o en su forma implícita:

, , 0dy

f x ydx

con 0 0y x y

Pero, una ecuación Diferencial lineal de primer orden se puede expresar de la

siguiente forma:

'y p x y g x

Bien, ahora determinamos su solución.

Multiplicando a ambos miembros de la ecuación por la función p x dx

e , tenemos:

'p x dx p x dx

e y p x y e g x

Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la

función buscada y x con la función p x dx

e , es decir:

12

p x dx p x dx

d ye e g x

Integrando miembro a miembro:

p x dx p x dx

d ye e g x dx

p x dx p x dx

ye e g x dx C

Finalmente, se obtiene 1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

. La cual llamaremos

Solución General.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general para ' 2y xy x

Solución:

Para este caso tenemos: 2p x x y g x x

Calculando primero, 22p x dx xdx xe e e

Luego utilizando la fórmula 1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

, resulta:

2

2

1 x

xy x e xdx C

e

2 21

2

x xy x e e C

O lo que es lo mismo: 21

2

xy Ce , Solución General

13

Ejemplo 2

Encontrar la solución general para 22

' 3y y x sen xx

Solución:

Para este caso tenemos: 2

p xx

y 2 3g x x sen x

Calculando primero, 2

2

ln 2dxp x dx xxe e e x

Luego utilizando la fórmula 1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

, resulta:

2 2

2

13y x x x sen xdx C

x

2 cos3

3

xy x x C

O lo que es lo mismo: 2

2cos3

3

x xy Cx , Solución General

1.3.1.1 TEOREMA

Si las funciones p y g son continuas en un intervalo ,a b , que contiene el punto 0x ,

entonces existe una función única y f x que satisface a la ecuación diferencial

'y p x y g x para ,x a b que cumple la condición inicial 0 0y x y

Ejemplo 3

Encontrar la solución particular para 2' 2 4xy y x si 1 2y

Solución:

Dividimos para “ x ”:

14

2' 2 4xy y x

2

' 4y y xx

Para este caso tenemos: 2

p xx

y 4g x x

Calculando primero,

2

2ln 2dxp x dx xxe e e x

Luego utilizando la fórmula 1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

, resulta:

2

2

14y x x xdx C

x

4

2

1y x x C

x

O lo que es lo mismo: 2

2

Cy x

x, Solución General

Con la condición 2y 1x se obtiene: 2 1 11

CC

Finalmente 2

2

1y x

x SOLUCIÓN PARTICULAR

Ejemplo 4

Encontrar la solución particular para 2' 2 xy y xe si 0 1y

Solución:

Para este caso tenemos: 1p x y 22 xg x xe

Calculando primero, 1p x dx dx xe e e

15

Luego utilizando la fórmula 1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

, resulta:

21

2 x x

xy x xe e dx C

e

2x xy x e xe dx C

La integral que resulta se la encuentra integrando Por Partes.

Haciendo 1

x x x

u x du dx

dv e dx v e dx eresulta:

x x xxe dx xe e dx =

=x xxe e

O lo que es lo mismo: 2x x xy x e xe e C , Solución General

Con la condición 1y 0x se obtiene: 1 2 3C C

Finalmente 2 3x x xy x e xe e SOLUCIÓN PARTICULAR

1.3.2. ECUACIONES DE BERNOULLI

Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden

transformar en Lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.

Una Ecuación de Bernoulli tiene la forma ' ny p x y g x y donde

0 1n n . Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Dividir para ny .

' n

n n n

y y yp x g x

y y y

1' n ny y p x y g x

16

PASO 2: Cambiar de variable: 1 nv y

Además, derivando la nueva variable con respecto a x , se obtiene:

1 11 ndv dyn y

dx dx

1 ndv dyn y

dx dx

1

1 n

dy dv

dx n y dx

'1

ny dvy

n dx

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:

1' n ny y p x y g x

1

nny dv

y p x v g xn dx

1

1

dvp x v g x

n dx

La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable v ,

PASO 3: Encontrar v x

PASO 4: Encontrar y x , empleando el cambio de variable utilizado.

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de 2 3' 2x y xy y

17

SOLUCIÓN:

PASO 1:

2 3' 2x y xy y Dividiendo para 2x

3

2 2

2'

xy yy

x x

3

2

2 1'y y y

x x Ecuación de Bernulli

33

3 3 2 3

' 2 1y y yy

y x y x y Dividiendo para

3 2

2

2 1'y y y

x x

PASO 2:

Aquí el cambio de variable sería: 2v y , entonces 32dv dy

ydx dx

o también

3

1

2

dy dv

dx y dx

Reemplazando en 3 2

2

2 1'y y y

x x se obtiene:

2

1 2 1

2

vdv x x

dx

2

4 2dvv

dx x x

PASO 3: Encontrar v . La última ecuación es lineal con respecto a v , por tanto

podemos encontrarla de la manera descrita anteriormente.

44

ln4ln 4dx xxxe e e e x

18

4 2 6

4 4

1 12 2v x x dx C x dx C

x x

54 1 42 2

5 5

xv x c x cx

PASO 4: Encontrar y

Como 2v y entonces

2 42

5y cx

x

Y al despejar, se obtiene:

2

4

1

2

5

y

cxx

2

4

1

2

5

y

cxx

4

1

2

5

y x

cxx

Ejemplo 1

Encontrar la solución general de 3' 1y y xy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Primero la llevamos a la forma de Bernoulli

3 4' 1y y xy xy y

4'y y xy

4yDividiendo para , se obtiene:

4

4 4 4

3

4

'

'

y y xy

y y y

yy x

y

19

PASO 2:

Aquí el cambio de variable sería: 3v y , entonces 43dv dy

ydx dx

o también

4

1

3

dy dv

dx y dx

Reemplazando se obtiene:

4 3

4

4

'

1

3

3 3

y y y x

dvy v x

y dx

dvv x

dx

PASO 3: Encontrar v .

3 3xdx xe e

3

3

13x

xv e x dx C

e

Integrando por partes:

3

3

3

31 3

3 9

x

x

x

e xv e C

e

33

9

xv x Ce

PASO 4: Encontrar y

Como 3v y entonces

3 3

3

3

33

1

3

1

1

3

1

1

3

x

x

x

y x Ce

y

x Ce

y x

x Ce

20

1.3.3. ECUACIONES SEPARABLES

Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la

forma:

0M x dx N y dy

Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros.

EJEMPLO 1

Encontrar la solución general de 2

21

dy x

dx y

SOLUCIÓN:

Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado

función de y , y luego integrando. Resulta:

2

21

dy x

dx y

2 21 y dy x dx

2 21 y dy x dx

3 3

3 3

y xy C

EJEMPLO 2

Encontrar la solución particular de 2 1

' ; 3 42

xy y

y

SOLUCIÓN:

Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado

función de y , y luego integrando. Resulta:

21

2 1

'2

xy

y

2 1

2

dy x

dx y

22 1y dy x dx

22 1y dy x dx

2 3

22 3

y xy x C

Empleando la condición inicial 0

0

3

4

x

y, encontramos C, es decir:

2 3

22 3

y xy x C

2 34 3

2 4 32 3

C

12C

Entonces la ecuación particular sería: 2 3

2 122 3

y xy x

Existen ecuaciones diferenciales que con un cambio de variable se convierten en

separables.

EJEMPLO 3

Encontrar la solución general de 21

' 22

y tg x y

SOLUCIÓN:

La ecuación dada no es lineal y tampoco es separable directa, pero haciendo el

cambio de variable 2u x y se podrá separar las variables.

22

Derivando la expresión de la nueva variable se obtiene: 2 1 2du d dy

x ydx dx dx

Entonces ' 1

'2

uy . Reemplazando y resolviendo, resulta:

21' 2

2y tg x y

2' 1

2 2

u tg u

21du

tg udx

2secdu

udx

La última ecuación es separable, resolviendo tenemos:

Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado

función de u , y luego integrando. Resulta:

2sec

duu

dx

2sec

dudx

u

2cos udu dx

1

1 cos 22

u du x C

1 2

2 2

sen uu x C

Y regresando a la variable original, queda:

2 21

22 2

sen x yx y x C Solución General.

23

1.3.4. ECUACIONES HOMOGENEAS

Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma ' /y f y x se la

denomina Ecuación Diferencial Homogénea.

Para encontrar su solución se realiza el cambio de variable y

vx

, para convertirla en

una ecuación donde se pueda separar sus variables.

Para obtener dy

dx se hace lo siguiente:

Despejando y tenemos: y vx

Derivando con respecto a “ x ”, se obtiene:

1

'

dy dvv

dx dxx

dvy x v

dx

EJEMPLO 1

Encontrar la solución general de

1

'

1

y

xyy

x

SOLUCIÓN:

Como es una ecuación homogénea hacemos el cambio de variable y

vx

de donde

'dv

y x vdx

.

Reemplazando, y resolviendo resulta:

1

'

1

y

xyy

x

1

1

dv vx v

dx v

24

1

1

dv vx v

dx v

1 1

1

v v vdvx

dx v

21

1

dv v v vx

dx v

21 2

1

dv v vx

dx v

2

1

1 2

v dxdv

v v x

En la última ecuación están separadas sus variables y podemos proceder a integrar

cada miembro:

2

1

1 2

v dxdv

v v x

21ln 1 2 ln

2v v x C

Finalmente debemos reemplazar y

vx

21

ln 1 2 ln2

y yx C

x x Solución General

1.3.5. ECUACIONES EXACTAS

Sea la función ,z f x y . Su diferencial total es f f

df dx dyx y

Si ,f x y C entonces

,

0

df x y dc

f fdx dy

x y

Suponga ahora que se tiene una ecuación diferencial de la forma:

, , 0M x y dx N x y dy

25

Que represente la diferencial total de una función desconocida ,z f x y .

Entonces el asunto sería encontrar la función desconocida.

1.3.5.1 TEOREMA DE EXACTITUD

Una ecuación diferencial , , 0M x y dx N x y dy es exacta si y sólo si

M N

y x

EJEMPLO 1

Encontrar la solución general de 2

cos 2

2

y

y

y x xedy

dx senx x e

SOLUCIÓN:

En este caso la forma diferencial de la ecuación es:

2

, ,

cos 2 2y y

M x y N x y

y x xe dx senx x e dy

Veamos si es exacta

cos 2 cos 2y yM Nx xe x xe

y x

Como las derivadas cruzadas son iguales, por tanto la ecuación diferencial si es

exacta y procedemos a encontrar la función solución.

2

1, , cos 2 y yf x y M x y dx y x xe dx ysenx x e C

2 2

2, , 2 2y yf x y N x y dy senx x e dy ysenx x e y C

2 2yysenx x e y C

1.3.6. FACTOR INTEGRANTE

En la ecuación diferencial , , 0M x y dx N x y dy , si M N

y x a veces es posible

transformarla en exacta si se la multiplica por una función ,R x y , es decir:

26

, , , 0R x y M x y dx N x y dy

0RMdx RNdy

Suponga que R R x entonces

'

' 0

1' 0

RM RN

y x

M NR R N R

y x

N MNR R R

x y

N MR R

N x y

La última expresión es una ecuación diferencial lineal para R x

Por tanto

1

1

1

10

N Mdx

N x y

N Mdx

N x y

M Ndx

N y x

R x e dx C

e

R x Ce

EJEMPLO

Encontrar la solución general de: 2

2

3dy x xy

dx y x y

SOLUCIÓN:

2

2

3dy x xy

dx y x y

2 23y x y dy x xy dx

2 23 0x xy dx y x y dy

2 2M N

yx xyy x

Hallemos R x

27

2

2 2 2

22

11 2 2

4 4

1 1 2ln 1

2ln 1 21

M N yx xy dxdx

y x yN y x

xy xdx dx

y x x x

x

R x e e

e e e

e x

Multiplicando la ecuación 2 23 0x xy dx y x y dy por 2

21R x x y

resolviendo, resulta:

2 2

2 2 2 21 3 1 0x x xy dx x y x y dy

2

22 2

3 01 1

x yy dx dy

x x

En este caso

2

2 22 2

22 2

23

1 1

2

1 1

x xyy

y x x

y xy

x x x

si es exacta

Calculando ,f x y , resulta:

2 22

2 2 2 22

2

2 2

3 3, 3

2 1 2 1 2 11

,1 2 1

yx yf x y y dx

x x xx

y yf x y dy

x x

Por tanto la solución general sería:

2

2 2

3

2 1 2 1

yC

x x

Si no existe R R x , suponga ahora que R R y entonces:

28

'

' 0

1' 0

RM RN

y x

M NR M R R

y x

M NMR R R

y x

M NR R

M y x

La última expresión es una ecuación diferencial lineal para R y

Por lo tanto

1

1

10

M Ndy

M y x

M Ndy

M y x

R y dx C

e

R y e

1.3.7. ESTABILIDAD DINÁMICA DEL EQUILIBRIO

Se trata ahora de establecer el comportamiento de una trayectoria intertemporal y t .

Determinar que ocurre con y t cuando ha transcurrido mucho tiempo t

Para esto existen dos métodos:

1.3.7.1. ANÁLISIS CUANTITATIVO.

Suponga que se conoce la regla de correspondencia y t . Entonces, si limt

y t

existe se dirá que y t es DINÁMICAMENTE ESTABLE, es decir se estabiliza o

converge a un valor finito, al cual denotaremos como y y se le llamará el nivel de

equilibrio intertemporal. Caso contrario, es decir si limt

y t se dirá que la

trayectoria de y t es DINÁMICAMENTE INESTABLE o también y t diverge del

nivel de equilibrio y .

1.3.7.2. ANÁLISIS CUALITATIVO.

Suponga que se tiene una ecuación diferencial de la forma dy

f ydt

Entonces es

posible determinar y t es dinámicamente estable o no, sin necesidad de encontrar la

29

regla de correspondencia de y t Esto se logra analizando el gráfico 'y y vs , el

cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE.

Cuando ' 0y (positiva) entonces y es creciente; por tanto, arriba del eje y dibuje

unas flechas sobre la curva de fase moviéndose de izquierda a derecha. Y cuando

' 0y (negativa) entonces es decreciente; por tanto, debajo del eje y dibuje unas

flechas sobre la curva de fase moviéndose de derecha a izquierda.

Una vez hecho esto, se concluirá si y t se acerca o se aleja del nivel de equilibrio

y que ocurre cuando ' 0y .

EJEMPLO:

Analizar la estabilidad dinámica de y t en la ecuación diferencial

7; 0 8dy

y ydt

SOLUCIÓN:

ANÁLISIS CUANTITATIVO

Observe que la ecuación diferencial dada es lineal

' 7

' 7

y y

y y y por tanto es factible

obtener su solución de manera rápida.

1

1

17

7

7

dt

dt

t t

t

y t e dt C

e

e e C

y t Ce

Considerando la condición inicial, resulta:

00 7

8 7

1

y Ce

C

C

Entonces: 7 ty t e

30

Tomando límite al infinito tenemos: lim lim 7 t

t ty t e Por tanto, se concluye

que y t no es estable dinámicamente.

Además, al graficar 7 ty t e se observa este comportamiento.

Note que cuando ha transcurrido mucho tiempo la trayectoria se aleja (diverge) del

nivel de equilibrio 7y .

ANALISIS CUALITATIVO.

Graficando la curva de fase, tenemos:

Por tanto la trayectoria para y t no es estable dinámicamente.

31

1.3.8. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

Algunas situaciones problemáticas conllevan a plantear ecuaciones

diferenciales para llegar a su solución.

Ejemplo

(CURVA APRENDIZAJE) La razón a la que las personas oyen hablar

acerca de un nuevo aumento en los impuestos prediales es proporcional

al número de personas en el país que no ha oído hablar al respecto.

a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo

b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada.

c) Grafique la solución general obtenida y analice la estabilidad dinámica.

SOLUCIÓN:

Sea Q Cantidad de personas que han oído hablar sobre el aumento

B : Población Total

B Q : Cantidad de personas que no han oído hablar sobre el aumento

k : Constante de proporcionalidad

a) La ecuación para el modelo sería: dQ

k B Qdt

b) La ecuación dQ

kQ kBdt

es lineal, por tanto su solución sería:

1 kt

kdt

ktkt

kt

Q t kBe dt C

e

eQ t e kB C

k

Q t B Ce

32

c) La gráfica de la curva de aprendizaje sería:

Se observa que cuando ha transcurrido mucho tiempo Q converge a B .

33

CAPÍTULO II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN

SUPERIOR

2.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Las ecuaciones lineales de segundo orden tienen una importancia primordial en el

estudio de las ecuaciones diferenciales por dos razones principales. La primera es que

las ecuaciones lineales poseen una rica estructura teórica que sustenta varios

métodos sistemáticos de resolución. Además, una parte sustancial de esta estructura

y estos métodos son comprensibles en un nivel matemático bastante elemental. A fin

de presentar las ideas clave en el contexto más sencillo posible, se les estudia en este

capítulo para las ecuaciones de segundo orden. Otra razón para estudiar las

ecuaciones lineales de segundo arden es que son imprescindibles en cualquier

investigación seria de las áreas clásicas de la física-matemática. No es posible

avanzar mucho en el análisis de la mecánica de fluidos, la conducción del calor, el

movimiento ondulatorio o los fenómenos electromagnéticos sin encontrar que es

necesario resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

2.1.1. ECUACIONES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

'' 'y p x y q x y g x

Si 0g x se llama Ecuación Homogénea caso contrario; es decir 0g x se llama

Ecuación no Homogénea.

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es de la

forma:

'' 'ay by cy g x donde ,a b y c y 0a

34

2.1.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON

COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes homogénea

es de la forma:

'' ' 0ay by cy

La función " "y rxy k ke , solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la

forma rxy k ke (¿Por qué?). Donde " "k es una constante que da la generalidad de

la solución. Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r .

Bien, de la solución general tenemos: 2

'

''

rx

rx

y kre

y kr e

Reemplazando en '' ' 0ay by cy tenemos:

2 0rx rx rxakr e bkre cke

2 0rxke ar br c

Ahora bien, 0k porque si no tuviéramos la solución trivial y como también

0rxe , entonces 2 0ar br c . A esta expresión se la denomina Ecuación Auxiliar

y es útil para hallar r .

Observa que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se

las puede determinar empleando la fórmula general

2

1 2

4,

2

b b acr r

a

Aquí se presentan tres casos.

Caso I

Discriminante positivo 2 4 0b ac . Entonces 1r y 2r son raíces reales y

diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales

1

2

1 1

2 2

r x

r x

y x k e

y x k e

La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones

fundamentales.

1 2

1 2

r x r xy x k e k e

35

Caso II

Discriminante cero 2 4 0b ac . Entonces 1r y 2r son raíces reales e iguales.

En este caso la solución General sería: 1 2

rx rxy x k e k e

Caso III

Discriminante negativo 2 4 0b ac . Entonces 1r i y 2r i son complejas

conjugadas

Reemplazando en 1 2

1 2

r x r xy x C e C e tenemos:

1 2

1 2

1 2

i x i x

x ix x ix

x ix ix

y x C e C e

y x C e e C e e

y x e C e C e

Como cosi xe x isen x y cosi xe x isen x

Reemplazando tenemos:

1 2cos cosxy x e C x isen x C x isen x

1 2 1 2cosxy x e C C x C i C i sen x

Por tanto la solución sería 1 2 cosxy x e k sen x k x

EJEMPLO 1 Encuentre la solución general para '' 4 ' 12 0y y y

SOLUCIÓN:

En este caso la ecuación auxiliar sería 2 4 12 0r r

Hallando las raíces tenemos 6 2 0

6 2

r r

r r

Por tanto:

6

1 1

2

2 1

6 2

1 1

x

x

x x

y x k e

y x k e

y x k e k e

Podemos comprobar que efectivamente esta es la función que satisface la ecuación diferencial dada. Obtengamos la primera y la segunda derivada

6 2

1

6 2

1

' 6 2

'' 36 4

x x

x x

y k e ke

y k e ke

36

Luego reemplazando

6 2 6 2 6 2

1 2 1 2 1 236 4 24 8 12 12 0

0 0

x x x x x xk e k e k e k e k e k e

EJEMPLO 2

Encuentre la solución general para 2 '' 3 ' 0, 0 1 ' 0 1 y y y y y

SOLUCIÓN:

En este caso la ecuación auxiliar sería 22 -3 1 0r r

Hallando las raíces tenemos

1 2

3 9 4 2 1

4

3 1

4

1r 1

2

r

r

r

Por tanto, la solución general sería: 1

21 2

xxy x k e k e

Como las condiciones iniciales están dadas debemos encontrar las constantes 1k y 2k

Como 0 1y entonces

1

21 2

10

0 21 2

1 2

0

1

xxy x k e k e

y k e k e

k k

Obteniendo la primera derivada:

1

21 2

1'

2

xxy x k e k e

Como ' 0 1y entonces

1

21 2

10

0 21 2

1 2

1'

2

1' 0

2

11

2

xxy x k e k e

y k e k e

k k

37

Resolviendo simultáneamente 1 2

1 2

1

11

2

k k

k k tenemos: 2 0k y 1 1k

Por tanto, la solución particular es: xy x e

2.1.1.2 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA

En el capítulo anterior se mencionó que la estabilidad dinámica de una trayectoria

y t se la determina con limt

y t .

Podemos ir analizando por casos.

Caso I, 1 2

1 2

r t r ty x k e k e . Si las raíces son reales y diferentes, estas tienen que ser

negativas para que la trayectoria sea dinámicamente estable.

Caso II, 1 2

rt rty x k e k e . Si las raíces son reales e iguales entonces r tiene que ser

negativa 0r para que la trayectoria sea dinámicamente estable.

Caso III 1 2costy t e k ut k senut . Si las raíces son complejas conjugadas entonces

la parte real λ tiene que ser negativa 0 para que la trayectoria sea

dinámicamente estable.

2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGÉNEAS

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término

g x variable es de la forma:

'' 'ay by cy g x

La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una

solución complementaria cy una solución particular . py

c p

SOL SOLCOMPL PART

y x y x y x

La Solución complementaria cy satisface la ecuación homogénea

'' ' 0c c cay by cy

Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente.

La Solución particular py satisface la ecuación no homogénea

'' 'p p pay by cy g x

Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de senos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Método de los coeficientes indeterminados.

38

En estos casos, de acuerdo a la forma de g x , la solución particular

py x es deducible. Observe el siguiente cuadro.

1 1

1 1 0 1 1 0

1 2

Si ... entonces ...

Si entonces

Si cos entonces cos

n n s n n

n n p n n

x s x

p

s

p

g x a x a x a x a y x x A x A x A x A

g x ae y x x Ae

g x a sen x a x y x x Asen x B x

Note que la solución particular aparece multiplicada por 'x , esto es para el caso de

que existan soluciones particulares que no sean linealmente independientes de las

soluciones complementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar 0,1,2s

EJEMPLO 1

Sea

2'' 4 ' 9 3y y y x x Hallar la solución general

SOLUCIÓN:

La solución general es de la forma c py t y y

Primero, hallemos cy .

La solución complementaria satisface la ecuación homogénea '' 4 ' 9 0c c cy y y .

La ecuación auxiliar es 2 4 9 0r r . Hallando las raíces tenemos

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

2 1

4 16 4 9,

2

4 20,

2

4 20 1,

2

4 2 5,

2

4 2 52 5

2

4 2 52 5

2

r r

r r

r r

ir r

ir r i

ir r i

Por tanto 2

1 25 cos 5x

cy x e k sen x k x

39

Segundo, hallemos Py .

Como 2 3g x x x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la

forma 2

Py x Ax Bx C (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemos

determinar los coeficientes , y A B C .

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir, 2'' 4 ' 9 3P P Py y y x x

Hallemos la primera y la segunda derivada para 2

Py x Ax Bx C

' 2

'' 2

P

P

y Ax b

y A

Reemplazando y agrupando

2 2

2 2

2 8 4 9 9 9 3

9 8 9 2 4 9 3 0

A Ax B Ax Bx C x x

Ax A B x A B C x x

Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales.

Entonces

9 1

8 9 3

2 4 9 0

A

A B

A B C

Resolviendo el sistema simultáneo tenemos:

1

9A ,

19

81B

y 94

729C

Por, tanto 21 19 94

9 81 729Py x x x

Finalmente la solución sería:

2 2

1 2

1 19 945 cos 5

9 81 729

xy x e k sen x k x x x

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de coeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos análogos. EJEMPLO:

Hallar la solución para 6 ''' 14 '' 16 ' 8 24IVy y y y y SOLUCIÓN:

Primero, encontramos la solución complementaria cy Que satisface la ecuación homogénea

6 ''' 14 '' 16 ' 8 24IV

c c c c cy y y y y .

La ecuación auxiliar sería 4 3 26 14 16 8 0r r r r

Encontramos las raíces por división sintética

40

2 2 2 0r r

3 4

3 4

3 4

2 4 4 2,

2

2 4,

2

1 1

r r

r r

r i r i

Por tanto

2 2

1 2 3 4 cosx x x

cy x k e k e e k sen k x

Segundo; la solución particular Py es de la forma Py A porque 24g x .

Entonces

' 0

'' 0

''' 0

0

P

P

P

IV

P

y

y

y

y

Reemplazando y calculando

6 ''' 14 '' 8 0 24

0 6 0 14 0 16 0 8 24

IV

P P P Py y y y

A

Por tanto 2 2

1 2 3 4 cos 3x x xy x k e k xe e k senx k x

Observe que es dinámicamente estable, es decir que y t converge al nivel de

equilibrio 3y .

2.2.1. ANÁLISIS CUALITATIVO Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, podemos utilizar el siguiente análisis si se trata de determinar la estabilidad 2.2.1.1. Teorema de Routh Sea la ecuación polinómica de grado n

1 2 3

0 1 2 3 1... 0n n n n

n na r a r a r a r a r a

41

La parte real de todas las raíces son negativas si y sólo sí los " n " primeros

determinantes de la siguiente sucesión:

1 3 5 7

1 3 5

1 3 0 2 4 6

1 0 2 4

0 2 1 3 5

1 3

0 2 4

; ; ; ;...0

00

a a a aa a a

a a a a a aa a a a

a a a a aa a

a a a

Son todos positivos Nota: 0 Si ma m n

Ya usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria y t ,

solución de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y término

constante, sea dinámicamente estable se requiere que las raíces de la ecuación

auxiliar o la parte real (en el caso de las raíces complejas) sean todas negativas.

Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema de Routh.

EJEMPLO 1 Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para

6 ''' 14 '' 16 ' 8 0IVy y y y y SOLUCIÓN:

Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es 4 3 26 14 16 8 0r r r r

En este caso 4n y además

0

1

2

3

4

1

6

14

16

8

a

a

a

a

a

Los cuatro determinantes serían:

1 3

1

0 2

1 3 5

0 2 4

1 3

6 166; 84 16 68

1 14

6 16 0 06 16 0

1 14 8 01 14 8 800 6400

0 6 16 00 0 6 16

0 1 14 8

a aa

a a

a a a

a a a

a a

Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raíces son negativas;

por tanto la solución es dinámicamente estable

42

Operadores diferenciales En cálculo, la diferenciación suele indicarse con la D

mayúscula; esto es, dy

Dydx

. El símbolo D se llama operador diferencial porque

transforma una función diferenciable en otra función; por ejemplo,

cos4 4 4D x sen x y 3 2 25 6 15 12D x x x x . Las derivadas de orden superior

se pueden expresar en términos de D en forma natural:

22

2

d d yD Dy D y

dx dx y en general

nn

n

d yD y

dx,

en donde y representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones

polinomiales donde interviene D , como 3D , 2 3 4D D y

3 2 25 6 4 9x D x D xD también son operadores diferenciales. En general, el

operador diferencial de orden n se define:

1

1 1 0...n n

n nL a x D a x D a x D a x ,

Como consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación

( )D cf x cDf x , donde c es una constante y g x ( ) ( )D f x Df x Dg x ,

el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L , operando

sobre una combinación lineal de dos funciones diferenciables, es lo mismo que una

combinación lineal de L operando sobre las funciones individuales. En símbolos, esto

significa que

g x ( ) ( )L f x Lf x Lg x , (9)

en donde y son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el

operador diferencial de orden , ,n L , es un operador lineal.

Ecuaciones diferenciales Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en

notación

D ; por ejemplo, la ecuación diferencial ” 5 ’ 6 5 - 3y y y x se puede escribir

en la forma 2 5 6 5 - 3D y Dy y x o como

2 5 6 5 - 3D D y x . Al

aplicar la ecuación (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden

escribir en forma compacta como

0 y L y L y g x

respectivamente.

43

Principio de superposición En el siguiente teorema veremos que la suma o

superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal

homogénea también es una solución.

2.2.2. TEOREMA Principio de superposición (o linealidad), ecuaciones

homogéneas

Sean 1 2, ,... ky y y soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n ,

ecuación (6), donde x está en un intervalo I. La combinación lineal

1 1 2 2Y=c ... ,k ky x c y x c y x

en donde las , 1,2,...,ic i k son constantes arbitrarias, también es una solución

cuando x está en el intervalo.

DEMOSTRACIÓN Probaremos para el caso 2.k Sea L el operador diferencial

definido en (8) y sean 1 2 y y x y x soluciones de la ecuación homogénea

0.L y Si definimos 1 1 2 2y c y x c y x , entonces, por la linealidad de L ,

1 1 2 2 1 1 2 2 1 20 0 0L y L c y x c y x c L y c L y c c

2.2.2.1. Corolarios al teorema de superposición (o linealidad)

Un múltiplo constante, 1 1y c y x , de una solución

1y x de una ecuación

diferencial lineal homogénea también es una solución.

Una ecuación diferencial lineal homogénea siempre tiene la solución trivial 0y

EJEMPLO 1

Las funciones 2

1y x y 2

2 lny x x son soluciones de la ecuación lineal homogénea

3 ''' 2 ' 4 0x y xy y para x en el intervalo 0, . Según el principio de superposición,

la combinación lineal

2 2

1 2 lny c x c x x

También es una solución de la ecuación en el intervalo.

44

La función 7xy e es una solución de '' 9 ' 14 0y y y . Como la ecuación

diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante 7xy ce también es una

solución. Cuando c tiene diversos valores, 79 xy e , 0y , 75 xy e ,…son

soluciones de la ecuación.

Dependencia e Independencia lineal

Se dice que un conjunto de funciones, 1 2, ,..., nf x f x f x es linealmente

dependiente en un intervalo I si existen constantes 1 2, ,..., nc c c no todas cero, tales

que

1 1 2 2 ... 0n nc f x c f x c f x

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente

en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un

intervalo si las únicas constantes para las que se cumple

1 1 2 2 ... 0n nc f x c f x c f x

para toda x en el intervalo son 1 2 ..., 0.nc c c

Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, 1 2, .f x f x

2.2.3. EL WRONSKIANO

Supóngase que cada una de las funciones 1 2, ,..., nf x f x f x posee 1n

derivadas al menos. El determinante

45

1 2

1 2

1 2

1 1 1

1 2

. . .

' ' . . .

., ,..., ,

.

. . .

n

P

n

n

n n n

n

f f f

f f f

W f f f

f f f

en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.

2.2.4. TEOREMA(Criterio para soluciones linealmente independientes)

sean n soluciones, 1 2, ,..., ny y y , de la ecuación diferencial

1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx,

lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I . Entonces, el conjunto de soluciones

es linealmente independiente en I si y solo si

1 2, ,... 0nW y y y

para toda x en el intervalo.

De acuerdo con el teorema anterior, cuando 1 2, ,... ny y y son n soluciones de

1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dxen un intervalo

I , el wronskiano 1 2, ,... nW y y y es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo.

Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial

lineal homogénea de orden n tiene un nombre especial.

2.2.5. DEFINICIÓN: Conjunto fundamental de soluciones

Todo conjunto 1 2, ,..., ny y y de n soluciones linealmente independientes de la ecuación

diferencial lineal homogénea de orden n , ecuación

46

1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx, en un intervalo n , se llama

conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

El asunto básico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación

lineal se contesta con el siguiente teorema.

2.2.6. TEOREMA. Existencia de un conjunto fundamental

Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal

homogénea de orden n , 1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx, en un

intervalo I .

Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una

combinación lineal de los vectores , ,i j k , linealmente independientes, toda solución de

una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n , en un intervalo I , se puede

expresar como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en

I . En otras palabras, n soluciones linealmente independientes 1 2, ,..., ny y y son las

unidades constructivas básicas de la solución general de la ecuación.

2.2.7. TEOREMA Solución general, ecuaciones homogéneas

Sean 1 2, ,..., ny y y un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

lineal homogénea de orden n , 1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx,

en un intervalo I . La solución general de la ecuación en el intervalo es

1 1 2 2 ... n ny c y x c y x c y x donde , 1,2,...ic i n , son constantes arbitrarias.

Este teorema establece que si Y x es cualquier solución de

1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dxen el intervalo, siempre

47

se pueden determinar las constantes C de tal modo que

1 1 2 2 ... .n nY x C y x C y x C y x

2.2.8. TEOREMA Solución general, ecuaciones no homogéneas

Sea Py cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden

n , ecuación 1

1 1 01...

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y g x

dx dx dx, en un intervalo

I , y sean 1 2, ,..., ny y y , un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación

diferencial homogénea asociada 1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx

, en I . Entonces , la solución general de la ecuación en el intervalo es

1 1 2 2 ... n n Py c y x c y x c y x y

En donde las , 1,2,...,ic i n son constantes arbitrarias.

Función complementaria En el teorema anterior vemos, que la solución general de

una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones:

1 1 2 2 ... n n P c Py c y x c y x c y x y x y x y x .

La combinación lineal 1 1 2 2 ...c n ny x c y x c y x c y x que es la solución

general de 1

1 1 01... 0

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx, se llama función

complementaria para la ecuación

1

1 1 01...

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y g x

dx dx dx. En otras palabras, para

resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la

ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la

ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es,

entonces,

.y función complementaria cualquier solución particular

48

2.2.8.1. TEOREMA Principio de superposición, ecuaciones no

homogéneas

Sean k soluciones particulares, 1 2, ,...,

kP P Py y y de la ecuación

1

1 1 01...

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y g x

dx dx dx, diferencial lineal no

homogénea de orden n, en el intervalo I que, a su vez, corresponden a k funciones

distintas, 1 2, ,..., kg g g . Esto es, supongamos que

iPy , representa una solución particular

de la ecuación diferencial correspondiente

1

1 1 0... 'n n

n n ia x y a x y a x y a x y g x ,

, en donde 1, 2,...i k . Entonces 1 2

...kP P P Py y x y x y x es una solución

particular de

1

1 1 0 1 2... ' ...n n

n n ka x y a x y a x y a x y g x g x g x

2.2.9. REDUCCIÓN DE ORDEN

Suponga que 1y representa una solución no trivial de la ecuación

2 1 0'' ' 0a x y a x y a x y , y que 1y está definida en un intervalo I .Se trata de

encontrar una segunda solución, 2y , tal que

1y , 2y sea un conjunto linealmente

independiente en I . Entonces, su cociente 2

1

yy

no es constante en I ; esto es,

2

1

y xu x

y x, o

2 1y x u x y x .La función u x se puede determinar

sustituyendo 2 1y x u x y x en la ecuación diferencial dada. A este método se le

llama reducción de orden, porque solo que resolver una ecuación diferencial lineal de

primer orden para determinar u .

EJEMPLO

Si 1

xy e es una solución de ” - 0y y en el intervalo , , aplique la reducción

de orden para determinar una segunda solución, 2y .

49

SOLUCIÓN:

Si 1

xy u x y x u x e , según la regla del producto

' ', '' 2 ' '',x x x x xy ue e u y ue e u e u

Y así ' '' 2 ' 0.xy y e u u

Puesto que 0,xe para esta última ecuación se requiere que '' 2 ' 0.u u Al efectuar

la sustitución 'w u , esta ecuación lineal de segundo orden en u se transforma en

' 2 0,w w una ecuación lineal de primer orden en .w Usamos el factor integrante 2 xe

y así podemos escribir

2 0.xde w

dx

Después de integrar se obtiene 2

1 ,xw c e o sea que 2

1' .xu c e Integramos de nuevo y

llegamos a

212.

2

xcu e c

Por consiguiente,

12 .

2

x x xcy u x e e c e

Al elegir 2 10 2c y c obtenemos la segunda solución que buscábamos, 2 .xy e

Dado que , 0x xW e e para todo x , las soluciones son linealmente independientes

en , .

Como hemos demostrado que 1 2 y x xy e y e son soluciones linealmente

independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión

12

2

x x xcy u x e e c e es realmente la solución general de ” - 0y y en

, .

50

Caso General Si dividimos entre 2a x para llevar la ecuación

2 1 0'' ' 0a x y a x y a x y a la forma estándar

'' ' 0,y P x y Q x y

En donde y P x Q x son continuas en algún intervalo I . Supóngase, además,

que 1y x es una solución conocida de '' ' 0,y P x y Q x y en I y que

1 0y x para toda x en el intervalo. Si definimos que 1 ,y u x y x entonces

1 1 1 1 1' ' ', '' '' 2 ' ' ''y uy y u y uy y u y u

1 1 1 1 1 1'' ' '' '' 2 ' ' 0.y Py Qy u y Py Qy y u y Py u

Para lo anterior se debe cumplir

1 1 1'' 2 ' ' 0y u y Py u o sea

1 1 1' 2 ' 0,y w y Py w

En donde hemos igualado '.w u Obsérvese que la última de las ecuaciones es lineal

y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos

1

1

'2 0

ydwdx Pdx

w y

2

1ln wy Pdx c o sea 2

1 1 .Pdx

wy c e

De la última ecuación despejamos w , regresamos a 'w u e integramos de nuevo:

1 2.2

1

Pdx

eu c dx c

y

Si elegimos 1 21 y 0,c c vemos en 1y u x y x que una segunda solución de la

ecuación '' ' 0,y P x y Q x y es

51

2 1 2

1

.

P x dx

ey y x dx

y x

EJEMPLO

La función 2

1y x es una solución de 2 '' 3 ' 4 0.x y xy y Determine la solución

general en el intervalo 0, .

SOLUCIÓN Partimos de la forma reducida de la ecuación,

2

3 4'' ' 0,y y y

x x

y vemos de acuerdo con 2 1 2

1

.

P x dx

ey y x dx

y x, que

3

3

32 ln 3

2 4. e

dx

xdx x xe

y x dx e xx

2 2 ln .dx

x x xx

La solución general en 0, está definida por 1 1 2 2;y c y c y esto es,

2 2

1 2 ln .y c x c x x

2.2.10. Método de coeficientes indeterminados, Método de la superposición

52

Bibliografía:

Libros

(1). Boyce, W. y Di Prima,R., Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la

frontera , Limusa Wiley, 4a. edición.

(2) Elsgoltz, L., Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional , Editorial Mir, Moscu,

1969.

(3) Espinoza Ramos Eduardo; Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones-5ta Edición-

Lima Perú 1996

(4) O’Neil Peter V. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Thomson Edición 6.

México, 2008

De internet

(1) Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior-Parte IV ecuaciones de derivadas parciales Available: http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf

(2) Métodos Clásicos de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Available: http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf