Microsoft Word - ANALISIS ESTRUCTURAL PARTE IV.doc

4. MTODOS DE TRABAJO Y ENERGA

Son de aplicacin ms general que los mtodos geomtricos, ya que pueden utilizarse en varios tipos de estructuras, como prticos, cerchas y bastidores. La desventaja, es que solo se puede calcular una deflexin a la vez. Trabajo: Se define como el producto entre la fuerza y el desplazamiento del punto de aplicacin de esta. Es positivo (+), cuando la fuerza va en la misma direccin del desplazamiento y negativo (-), cuando tiene sentido contrario. Se tiene una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo.

El trabajo hecho por la carga P es sobre un desplazamiento d ser.

= 6W0 Pd6 rea bajo el diagrama carga desplazamiento. Para estructuras dentro del rango elstico lineal, el trabajo de la carga P a travs de un desplazamiento 1 ser:

Anlisis de Estructuras I

W1 =

P61 : 2

Si la carga permanece aplicada, y se realiza un desplazamiento adicional 2, al trmino anterior se le debe sumar: W2 = P(6 2 61 ) = P6

90

El trabajo total ser:

P61W =2 + P(6 2 61)

1P6W =+ P62

Para un momento que acta en el extremo de una viga en voladizo, el trabajo realizado por el momento a travs de una rotacin d ser:

Anlisis de Estructuras I

918W = Md80

Trabajo total de un momento sobre la rotacin

En el rango elstico lineal el trabajo del momento a travs de un desplazamiento 1 ser:

W = 1 M82 1

Si la carga permanece constante, el trabajo adicional realizado por el momento es:

W = M8

El trabajo total ser:

1 8

W =M2

+ M81

4.1 ENERGAPOTENCIALDE DEFORMACINEN ELEMENTOS ESTRUCTURALES LINEALES

La Energa potencial total, es la medida de la energa que es capaz de absorber, almacenar o disipar la estructura.

M p = U + VU : Energia de deformacion.V : Potencial de cargas aplicados o trabajo producido por las cargas.

4.1.1 Energa elstica de deformacin bajo carga axial.

L P 2U = dx0 2AE

Para una seccin prismtica

2U = P L2AE

4.1.2 Energa elstica de deformacin por flexin.

L M 2

2

y2L EI d 2

0U = 2EI dx

o U = 0

dx

2 dx

4.1.3 Energa elstica de deformacin para fuerza cortante y torsin.

Cortante

L V 2U = dx

As = A

0 2A s G KL V 2U = K dx0 2AGAs: rea efectiva de cortanteA: rea realK: Factor de forma que depende de la forma de la seccin

TorsinL T 2U = dx0 2GJ

4.2 TRABAJO REAL - DEFLEXIONES BAJO UNA SOLA CARGA

4.2.1 Viga y Elemento Estructural con carga concentrada Po.

4.2.2 Viga con carga como par Mo.

4.2.3 Eje uniforme sometido a un torque To

Problema: Halle la deflexin en el extremo libre A.

L M 2U = dx0 2EI

M = Px L ( Px )2

P 2 L3

U = 01

2EI

dx =

6EI

U =P62 A

2U

PL3

6 A = P

=3EI

bh 3I =12

6 A =

4PL3 bh 3E

Problema: Halle la rotacin en el extremo derecho de la viga.

L M 2U = 0 2EI

L dx = 0

2

M o x L dx2EI

L2

oU = M x 2dx =

M o 2 L

2EIL2 0

6EI

U = 1 M2

o8 o

8 o = 2U M o

= M o L3EI

8 o = 4M o L Ebh 3

Problema: Halle el ngulo de torsin de todo el eje.

J AB =

J BC =

n(2d )432 nd432

= nd42

l2T 2U =

ldx +

(2T)2dx

0nd 42G32

l2 2G

nd 42

2l2U = 16T x +

l4T 2x

Gnn 4 0

nd 4G l2

8T 2L U =nd 4G

4T 2 L++nd 4G

2T 2 Lnd 4G

14T 2 L=nd 4G

H= 2U =CA T

28TLnd 4G

4.3 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Castigliano se dio cuenta que la derivada parcial de la energa de deformacin U, con respecto a una fuerza, momento o torque, es igual al desplazamiento, rotacin y giro respectivamente, con respecto a su lnea de accin. Tiene la desventaja que solo se puede aplicar en estructuras linealmente elsticas.

6 = UiPi

8i =

UM i

U Hi = Ti

U : Energa de deformacin interna en la estructura.6i :Deflexin en el punto de aplicacin de la carga Pi8i :Rotacin en el punto de aplicacin del momento Mi

Hi : Angulo de torsin en el punto de aplicacin del torque Ti

4.3.1 Armaduras y Cerchas

F 2

6 = UiP

L U = i i2A E

Energa de deformacin en una armadura

i

6 = b

i iF 2L i i

iP i2Ai Ei

F F 2

6i =

L i i iP

Teorema de Castigliano Modificado

i 2Ai E i

4.3.2 Vigas

= U

= U

L M 2=

6iPi

=

L M 2

8iMi

=

U

L M 2

dx0 2EI

6iP

dx2EI

8iM

dx2EI

i 0 i 0

L M M

L V V

6 i =

P

EI dx + K P

GA dx

0i

0i

L M

8 =

M dx + K

L V V

0dx

i0 M

i EI

M

i GA

4.3.3 Prticos Planos y Bastidores

F F L

L M M

L V V

i i i

6i = P A E

+ P

EI dx + K P

GA dx

ii i

0i

0i

F F L

L

8 = i i i +

M M dx

iM i

Ai Ei

M

0i EI

Generalmente en los prticos, se pueden despreciar las deformaciones axiales y cortantes, ya que son muy pequeas comparadas a las producidas por flexin.

4.3.4 Estructuras Espaciales

L L

L F F

L06 =

M M dx + K

V V dx +

T T dx + i i i

00iiP EIi

P GAi

P GJi

P A i E i

L L

L F F

8 =

M M dx + K

V V dx +

T T dx + i i L i

i0 M i EI

0 M i GA

0 M i GJ

M i

A i E i

Procedimiento

1. Si la carga tiene un valor numrico, se reemplaza el valor de la carga en el punto determinado por una variable Pi, Mi o Ti para calcular la deflexin, rotacin o giro segn sea el caso. Sino existe carga en el punto donde se quiere calcular la deflexin, entonces se aplica una carga ficticia en dicho punto y en la direccin de la deflexin, rotacin o giro deseado.

2. Se encuentran todas las fuerzas internas Fi, Mi, Ti y Vi o las ecuaciones de F(x), M(x), V(x) y T(x) en cada elemento.

3. Se deriva F, M, V y T respecto a la carga Pi, Mi o Ti necesaria para encontrar la deflexin, rotacin o giro deseado.

4. Se reemplaza el valor numrico de Pi, Mi o Ti en las expresiones o funciones y sus derivadas. Si son cargas ficticias se reemplazan por cero despus de derivar.

5. Se reemplaza en el teorema de Castigliano y se encuentra la rotacin, deflexin o giro deseado.

Problema: Halle la deflexin en el extremo del voladizo en la viga.

Despreciando las deformaciones axiales y aplicando una carga ficticia en el punto donde se quiere hallar la deflexin.

M A = 0 10(13)(6,5) Q(13)+ B y (10)= 0vB y = 84,5 + 1,3Q

Fy = 0A y 10(13) Q + 84,5 + 1,3Q = 0A y = 45,5 0,3Q

V = (45,5 0,3Q ) 10x

M = (45,5 0,3Q )x 5x

V 10x Q = 0

2 0 x 10 m

V = 10x + Q 0 x 3.0 mM = 5x 2 + Qx

La deflexin en C es:

LM M

0=

L V V

0+

6 c Q EI dx

Q GA dx

SegmentoOrigenVVQMMQ

ABA(45,5 0,3Q )10 x 0,3(45,5 0,3Q )x 5x2 0,3x

BCC10 x + Q15x 2 + Q xx

6 = 1

10 3( 0,3x )[(45,5 0,3Q )X 5X 2 ]dx + (x )(5x 2 + Qx )dx

c EI 01 10

0 3

+ ( 0,3)[(45,5 0,3Q ) 10x]dx + (1)(10x + Q )dxGA 0 0

6 = 1

10 ( 13,65x 2 + 1,5x 3 )dx + 35x 3dx +

1 10 3 ( 13,65 + 0,3x )dx +

c

10xdx

EI 0

0 GA 0 0

6 c =

1 [ 4550 + 3750 + 101,25]+EI

1 [ 136,5 + 15 + 45]

GA

( )3

0,20

0,015 * 0,40 2(0,020)3

I = 0,20 0,4012

22 12

I = 359,64x106 m 4

=() (0,2A 0,20 0,40 2

0,015)* (0,4 2(0,020)) = 13,4x10 3 m 2

6 c =

2

19 (6 )( 698,75)+

19 (3 )( 76,5)

200x10

4456,8x10

77x10

22,25x10

6 c = 4,94

mm 0,094 mm

6 c = 5,02 mm

4.3.5 Estructuras Indeterminadas con una Redundante

Si se escribe la energa de deformacin en trminos de la redundante de la estructura, entonces Pi, ser la redundante y i el desplazamiento en la direccin de la redundante, que para un soporte fijo es igual a cero.

U = 0Pi

Condicin que indica que la deflexin en el apoyo i es cero, por restriccin.

Problema: Calcule el valor de la redundante Rc para el prtico mostrado, usando elSegundo Teorema de Castigliano. Considerar solo las deformaciones de flexin.

SEEDBC SEEDBRSistema Estructural estticamenteSistema Estructural estticamente determinado bajo cargas determinado bajo la redundante

Columna AB Viga BC

M = PL + 2LRc

104MRc

= 2L

M = RcX P X L

M1 =RcX

M 2 =Rc X

L M M

6c =

dx

0 Rc EI

U 1 L

L 2L

6c =

= 0 =

(2L)( PL + 2LRc)dx + (x )(Rcx )dx +

(x )[Rcx P(x L)]dx

Rc

EI 0

0 L

b1 3

3 RcL3

7RcL3

7PL3

3PL3

0 = 2PL EI

+ 4RcL ++3

+3 3 2

0 = 17P + 20Rc6 3Rc = 17P40

4.3.6 Estructuras Indeterminadas con varias Redundantes

Se requiere que la energa de deformacin del sistema sea escrita en trminos de las cargas aplicadas y de todas las redundantes, o que unas reacciones queden en trminos de las redundantes. La energa de deformacin del sistema es funcin de las redundantes y de las cargas aplicadas.

U = U(P, R1, R2, , Ri)

P: Cargas AplicadasRi: Redundantes

UR1

= 61,

UR 2

= 6 2 ,..

UR i

= 6i

Las anteriores ecuaciones representan la compatibilidad en la direccin indicada, entonces se obtienen i ecuaciones simultneas para resolver el sistema.

Problema: Resuelva el prtico mostrado utilizando el segundo teorema de Castigliano. Considere solo deformaciones de flexin.

M A = 0

DCL

M A (15)(4)(2)+ R CY (8) R CX (3)= 0

M A FY

= 120 8R CY + 3R CX= 0

(15)(4)+ R AY + R CY = 0

R AY FXR AX

= 60 R CY= 0

= R CX

Aplicando el Teorema de Castigliano se obtiene las ecuaciones de compatibilidad.

U L M=

Mdx = 6CX = 0

R CX

0 R CX EI

U L M=

Mdx = 6CY = 0

R CY

Viga A-B

15x 2

0 R CY EI

M +2 + 120 8R CY + 3R CX (60 R CY )x = 0M = 7.5x 2 120 + 8R CY 3R CX + 60x R CY x

MR CX

= 3

MR CY

= 8 x

Columna B-C

M + 4 R x5 CY L

3 R x = 05 CX L

M = 4 R x5 CY L

3 R x5 CX L

MR CY

= 3 x5 L

MR CX

= 4 x5 L

6CX = 04 ( 3)( 7.5x 2 R CY x + 60x + 8R CY 3R CX 120)dx 1 0

EI 53

4 3

+

x R

x R

x dx

0

5 L 5

CY L

5 CX L L

6CY = 04 (8 x )( 7.5x 2 R CY x + 60x + 8R CY 3R CX 120)dx b1 0

EI

5 4

4 3

+

x R

x R

x dx

1 0 5

L 5

CY L

5 CX L L

6 CX

=[480 + 24R CY 1440 96R CY 36R CX + 1440 20R CY + 15R CX ]

6 = 1

EI 1280 64R CY

+ 3840 + 256R CY

96R CX

3840 + 480 + 21.33R

CY

CY EI 1280 64R CY + 24R CX + 960 + 26.66R CY 20R CX

92R CY + 51R CX = 480176R CY 92R CX = 1120

Resolviendo el sistemaR CY = 25.31 kNR CX = 35.25 kN

V = 15x + 34.69N = 36.25kNM = 7.5x 2 + 34.69x 26.27M MAX (2.31)= 13.84kN

N = 44.19kN V = 1.5kNM = 1.5x

4.4 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL (Jhon Bernoulli / 1717)

4.4.1 Principio de los desplazamientos virtuales para cuerpos rgidos

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y se somete a cualquier desplazamiento virtual, el trabajo virtual de las fuerzas externas es cero.

A la estructura mostrada se le da un desplazamiento virtual desde la posicin ABC hasta la posicin ABC.

Las fuerzas que actan sobre ella efectan trabajo. El trabajo virtual total de las cargas externas es:

WVT = WVx + WVy + WV

WVx: Trabajo virtual de las fuerzas en xWVy: Trabajo virtual de las fuerzas en yWV: Trabajo virtual de los momentos a travs de un desplazamiento .

Wvx = 0

No hay

fuerzas en X

Wv8 = 0

No hay

momentos

El trabajo de las fuerzas por el desplazamiento 6 vy vertical ms una rotacin v ser:

Wvy =

Pb 6 vy +L

Pa (6 vy + L ) P(6 vy + a ) L

vT LW = Pb + Pa L

P 6 vy + (Pa Pa)8

WvT = Fy6 vy + M A8 v = 0WvT = 0

4.4.2 Principio de los desplazamientos virtuales para cuerpos deformables

Si una estructura deformable esta en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas y se sujeta a cualquier deformacin pequea real, el trabajo externo virtual realizado por las fuerzas externas virtuales que actan a travs de los desplazamientos y rotaciones reales, es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas virtuales que actan a travs de desplazamientos reales.

Virtual: Termino relacionado con las fuerzas para indicar que el sistema no depende de la accin que causa la deformacin real

VEW = W Trabajo virtual externo = Trabajo virtual interno.Vi

El principio se puede aplicar sin importar las causas de las deformaciones reales, para estructuras elsticas e inelsticas. El principio se puede resumir en:

Fuerza

virtual

externa

=

Fuerza

virtual

interna

Ferza

real

externa

Desplazamiento

real

interno

4.4.3 Deflexiones por Deformaciones Axiales

Suponga la siguiente estructura sometida a dos cargas P1 y P2.

: Deflexin vertical en el punto Q para encontrar el desplazamiento producido por las cargas P1 y P2, Se quitan las cargas y se aplica una carga ficticia unitaria en el punto y direccin de .

Se considera que la estructura esta sometida a desplazamientos virtuales idnticos que las deflexiones causadas por las cargas reales.

La fuerza virtual ficticia realiza un trabajo externo WVE = 1* .

Si FVi representa la fuerza interna en el elemento i producida por la carga ficticia unitaria,

que acta a travs de la deformacin axial real

= Pi LiAi Ei

(deflexin del elemento i), el

trabajo virtual interno total realizado por todos los elementos de la estructura ser:

W =F =

F PiLi

Vi

Vi i

Vi

AiEi

Donde:Pi: Fuerza en el elemento i producida por las cargas reales. Li: Longitud en el elemento iAi: rea en el elemento iEi: Modulo de elasticidad del elemento i

Aplicando el principio del trabajo virtual

WVE = WVi

PiLi

1* = FVi AiEi PiLi = FVi

AiEi

n Fi PiLi

i =1En forma anloga a Castigliano la deflexin es: j = Pj AiEjSi el signo es negativo, la deflexin es en sentido contrario a la carga unitaria aplicada.

Para encontrar la rotacin de una barra, se debe colocar un momento unitario.

PiLi = M Vi AiEi

4.4.4 Cambios de temperatura e imperfecciones iniciales de fabricacin

La deformacin del elemento j de longitud L, debido a un cambio de temperatura T es:

= TL1* = FVi ( i TLi )

: Coeficiente de expansin trmica (1/C)

Por imperfecciones de fabricacin se conoce de antemano.

Procedimiento

1. Determinar las fuerzas internas por las cargas aplicadas, temperatura o errores de fabricacin2. Quite todas las cargas reales, aplique la carga unitaria en el punto y direccin de la deflexin deseada.3. Calcule las fuerzas virtuales internas FVi4. Encontrar la deflexin por medio del principio del trabajo virtual.

Problema: Hallar la deflexin horizontal x y vertical y en el nodo B. E=200GPa, A=1200 mm2 para todos los elementos.

D

84

CA B 21 21

2. Fuerza Virtual horizontal3. Fuerza Virtual Vertical

0 1

1 0 0.43

0.43

ELEMENTOL (m)F (KN)Fvi (KN)Fv1(FiLi)(KN^2.m)Fv2 (KN)Fv2(FiLi)(KN^2.m)

AB4.00211840.4336.12

BC3.0021000.4327.09

AD5.66-79.200-0.61273.45

BD4.0084001.00336

CD4.003500-0.711244.25

FVi (FiLi)

84 796.91

1* BV

1* BH

1=FV 2 (FiLi)

1AE

=FV 1 (FiLi)AE1 3

1KN * BH

=200 x109

*1.2x10

3 * 84x10

BH = 0.35mm1 3

1KN * Bv =

200 x109

*1.2x10

3 * 796.91x10

Bv = 3.32mm

4.4.5 Deflexiones debidas a la flexin

Sobre una viga actan unas cargas. Se desea encontrar la deflexin vertical en un puntoC de la viga.

??ACB

?

?Para determinar se aplica una carga virtual unitaria en el punto C, en la direccin del desplazamiento deseado.

El trabajo virtual externo WVE

efectuado por la carga unitaria es: WVE

= 1*

El momento flector virtual interno Mv que acta sobre el elemento dx, efecta trabajo virtual interno a medida que se presenta una rotacin d sobre el elemento dx: dWVi = M v d

114

Mv se mantiene constante durante la rotacin d =

M dxEI

M: Momento flector producido por las cargas reales que causan la rotacin d

MdWVi =V L

M dxEIM

WVi =M V dx0 EIIgualando al trabajo virtual externo

L1* = M V

M dxEI

0

Para encontrar la pendiente en un punto C, se utiliza un momento virtual unitario, en la direccin de la rotacin . Mv ser el momento virtual interno producido por el unitario

L1* = M V

M dxEI

0

4.4.6 Trabajo Virtual Interno debido a la fuerza Cortante

Siguiendo un proceso anlogo al anterior puedo encontrar trabajo debido a corte

LWVi = K Vv0

V dxAG

Vv: Fuerza cortante resultante de la carga ficticia. V: Fuerza cortante resultante de la carga real.

Los esfuerzos cortantes estan dados por = VQ IbQ : Primer momento del area respecto al eje centroidalb : Ancho de la seccion transversal donde se esta calculando V : Fuerza cortanteI : Inercia

Las deformaciones estan dadas por

G : Modulo de cortante

= G

El trabajo virtual interno y las deformaciones reales internas quedan:

Vv Q v = =Ib

VQGIb

Integrando sobre el volumen del elemento:

Wvi

= dq

Trabajo virtual interno del esfuerzo cortante

Wvi

dq Fuerza en el elemento debido a la carga virtual

= v dv

= v

dv = Vv Q

VQ ddx

G

=Vv V 1

x

2 Q

Ib GIb

d dx

2

x G I

b

As =

I2 Q 2

Area efectiva de cortante; se expresa en terminos del area real de la seccion transversal

d b

As = A K

K = 1.2K = 10/9

SeccionesSecciones

rectangulares circulares

K: Factor de forma K 1.0

Perfiles de

acero

K = 2.0 Secciones Circulares huecas

0L V

dq = Wvi

= Vv AsG dx

L V L V

Wvi

= Vv0

A dx = K Vv AG dx = Wvi

0GK

Para calcular K para la seccin circular hueca o tubo delgado

rm= Radio mediot = Espesor de la ParedQ = ydA

Integrando la posicin 8 del EN hasta n/2 para el lado derecho

2Q = 2 (rmCen)(rm td)2

Q = 2r 2 t Cend = 2r 2 t[ Cos] 2

= 2r 2 t[0 + Cos]

m m m

mQ = 2r 2 tCos

As =

I22 2r 2 t2

m Cos dA0 b

225As =I =I

m 2 2r 2 tCos 22t

rm td

trm

0

La inercia de un tubo delgado respecto a un eje centroidal es:

3I = trm

(tr

3 )2

As =

m

5trm

= trm

El rea total es:

A = 2rm t

K = A As

= 2rm t = 2.0rm t

4.4.6 Trabajo Virtual Interno debido a la Torsin

0L T

El Trabajo virtual interno debido a torsin es:

WVi = Tv JG dx

Tv : torsin ficticia producida por la carga virtual equivalente. T : Torque producido en la seccin por las cargas realesJ : Momento polar inercia para seccin circular o para secciones rectangulares con h>b(dimensiones) es:

J=Cb3h

C = 1

16

3.36 b

(1

b 4 )

16 3

h 13h 4

Para corte WVE = 1* Para torsin WVE = 1*

: ngulo de torsin

Procedimiento

1. Determine las fuerzas internas en los elementos debido a las cargas reales.2. Si se quiere determinar la deflexin, aplique una carga unitaria en el punto y direccin del desplazamiento deseado.3. Si la rigidez a flexin EI es variable, divida el elemento en segmentos.4. Encuentre en cada segmento una expresin del momento, cortante, torque o fuerza axial debido a las cargas reales.5. Determine la ecuacin de momento Mv, torque Tv, corte Vv, fuerza axial Fv, debido a la carga virtual, usando el mismo sistema coordenado que para las cargas reales.6. Determine la pendiente o deflexin utilizando el principio del trabajo virtual.

Cerchas y Amaduras

Vigas

Porticos Planos

Estructuras Espaciales

Problema: Hallar la deflexin en el punto D del perfil metlico.

B DA C E

E= 200 GPaG= 77 GPaI1 = IAB = IDE = 300 x106 mm4I2 = IBD= 600x106 mm4A1 = 21000mm2A2 = 42000mm2

1. Fuerzas reales

B DA C E

V=75 150 0M= 75x 150

2. Sistema Virtual

B DA C E

V= -1 0M=()x -1

3. Principio virtualL L

WVE = WVi

1*

= M

M dx + k V

V dx

D V EI

V GA

0 0I 2 = 2I1

A2 = 2 A1

1* D =200 x10

19 * 3x10

3 14 0 4

x (75x)dx +

1 6 1

2 43

x (75x)dx +

1 9 1

2 46

x [75x 150( x 6)]dx

12+ 1 x 1( x 9)[75x 150( x 6)]dx +1

49 3

6

9

77 x109

* 21x10 3

12

1 (75)dx + 1 1 (75)dx + 1 1 (75)dx + (0.75)(75)dx

0 4

2 3 4

2 6 4 9

81* D = 1.667 x10

[168.75 + 590.63 + 928.13 + 506.25]x103

+ 6.184 x10

10

[56.25 + 28.13 28.13]

D = 1.667 x10 8

* 2193.75x103

+ 6.184 x10

10

*168.75x103

D = 36.56mm + 0.104mm

D = 36.66mm

Deflexin debido a la flexin: 36.56mmDeflexin debido a la fuerza cortante: 0.104mm

Generalmente la deflexin causada por las fuerzas cortantes es mucho mas pequea que la causada por la flexin, por eso se desprecia.

Problema: Un tubo de acero de 102mm de dimetro esta cargado como se muestra. Hallar444

la deflexin vertical en A y giro en A respecto a B A / B . I = 298 x10mm4, E=200GPa, G=77GPa.

mm , J=596 x10

D

B C

A

Se ponen las cargas unitarias virtuales en la direccin que se requiere. Por el principio del trabajo virtual se tiene:

VM T

1* A = M V

dx + k T dxEI GJ

VM T

1* = M V

dx + k T dxEI GJ

El subndice indica que las fuerzas internas virtuales son causadas por un par unitario.

ELEMENTOMTMvTvM VT V

AB-2.0x0-x00.001

BC-2.0x0.5-x0.251.000

CD-2.0x-0.50-1-x-0.25-0.50.001

Deflexin en A:1

0.25

0.25 1

1* A =9 6200x10 * 2.98x10

(x)(2.0x)dx +

( x)(2.0x)dx + ( x 0.25)[ 2.0 x 0.25]dx

0 0 01 0.5 1

+77 x109 * 5.96x106

[(0.25)(0.5)]dx +(0.50)(1.0)dx

A = 1.667 x10 6

0*1385.42 + 2.179x10 6

0 * 562.5

A = 2.324mm + 1.226mm

A = 3.55mm

Rotacin en A:

1 * A =

200x10 9

1* 2.98x10 6

0.5[(01.0)(2.0 x)]dx +0

77 x10 9

1* 5.96x10 6

1 (1.0)(1.0)dx 0

6 A = 1.667 x10

* 250 + 2.179x10 6

* 1000

A = 0.419 2.179 A = 2.598rad

Problema: Determine la rotacin y desplazamiento horizontal en D incluyendo todas las deformaciones:DatosE = 200GPaIv=1.04 x 10-3m4Ic=0.52 x 10-3m4G= 77GPaAv=16 x 10-3m2 Seccin transversal de la vigaAc=8 x10-3m2. Seccin transversal de la columna

M A = 0150(3) 20(10)(5) + Dy(10) = 0Dy =145KN

Fy = 0 20(10) +145 + Ay = 0Ay = 55KN

Fx = 0Ax = 150KN

1. Cargas Reales

Columna ABCV =150 15 < x 3 >0M =150x 150 < x 3 >F = 55

Viga CD (Origen D) V =145 20x M145x 10x 2F = 0

Anlisis de Estructuras I

2. Desplazamiento Fuerza virtual

M A = 01(5) + Dy(10) = 0Dy = 3 KN5Fx = 0Ax = 1KNFy = 0Ay = 3 KN5

Columna ABC (origen A)

VV = 1M v = 1xFv = 3 / 5

Viga CD (origen D)

VV = 3 / 5M v = 3x / 5Fv = 1

118

1 *

M M dx + K V

V dx + F

F

dx oF

FiLi

D v EI

v GA

v AE

v AiLi

ElementoFVMFvVvMv

AB55150150x3/51x

BC5504503/51x

CD0145-20x145x-10x^213/53/5x

D 9 3 1 3

6 1 10 3

Anlisis de Estructuras I

= (150 x)( x)dx + (450)( x)dx +( x)(145x 10 x 2200 x10 * 0.52x10 2 5

) +

0 0 0 3 10

1 (1)(150)dx + 1

(3 / 5)(145 20 x)dx +

1 3 (55x3) + 3 (55x3)

9 3

9 3

77 x10

* 8x10 0 2 0

200 x10

* 8x10 5 5

3. Rotacin - Desplazamiento virtual

i M A = 01 + Dy(10) = 0Dy = 1 KN10 Fx = 0Ax = 0KN Fy = 0

Ay =

1 KN10

Columna ABC (Origen A)VV = 0MV = 0

1Fv =10

Viga CD (Origen D)

1VV = 10

1MV = 1 x10Fv = 0

v vM V F

1 G D

= M v

dx + k V dx +F dxEIGA AE

9 3 9 3 1 3

1 1 10

= (1 1 / 10 X )(145x 10 x2 )dx +)(1 / 10)(145 20 x)dxD 200 x10 G 0.52 x10 77 x10 G 8x10 2

+200 x109

1G 8x10

13 10

0

G (55 G 3) +

0

31 55 G 10

ElementoF V V

M V

AB 1/10 0 0BC 1/10 0 0CD 0 -1/10 1-1/10x

Problema: Utilice el mtodo del trabajo virtual para resolver la siguiente estructuraDatos: b= 0.3m h=0.4mE=20GPa Vconc=0.1G=E/2(1+V) G=8.3GPaCy: redundante esttica

M A = 0100(3) 20(6)(9) + Dy(12) = 0Dy = 115KNFy = 0Ay = 105KNFx = 0Ax = 0V = 105 100 < x 3 >0 20 < x 6 >

M = 105x 100 < x 3 > 10 < x 6 >2Ay = 0M A = 0Cy(6) + Dy(12) = 0Dy = 1 Cy2

Fy = 0Ay + Cy + Dy = 0Ay = Cy + 1 Cy = 1 Cy2 2V = 1 Cy + Cy < x 6 >0R 2M = 1 Cyx + Cy < x 6 >R 2Desplazamiento _ VirtualAy = 1 / 2Dy = 1/ 2V = 1 1 < x 6 >02M = 1 x 1 < x 6 >2

121

ELEMENTOVMVRMRVVMV

AB105105x-0.5Cy-0.5Cyx0.50.5x

BC5105x-100(x-3)-0.5Cy-0.5Cyx0.50.5x

D5-(x-6)105x-100(x-3)-10(x-6)2-0.5Cy-0.5Cy+Cy(x-6)-0.50.5x-(x-6)

1 3 6

12 1

1 * D

= 0 =

3 (0.5x)(105x)dx + (0.5x)(5x + 300)dx + (

x + 6)(10 x 2 + 125x 60)dx +

200 x10 9 * 0.3 * 0.4 0 0 6 2 12

3 1 6 1

12 1 1 3

( 2 x)(1 / 2Cyx)dx + ( 2 x)(1 / 2Cyx)dx + ( 2 x + 6)(1 / 2 6Cy)dx + 8.3x10 9 * 0.3 * 0.4 (1 / 2)(105)dx

6 36 12 1

63 1 6 1

012 1

+ (1 / 2)(5)dx + ( 2 )( x + 11)dx + ( 2 )(1 / 2Cy)dx + ( 2 )(1 / 2Cy)dx + ( 2 )(1 / 2Cy)dx0 6 0 3 6

Trabajo Virtual Utilizando Tabla de Integracin

La tabla de integracin proporciona el valor de la integral del producto de dos funciones: las funciones de la parte superior de la tabla se suponen que son las fuerza virtuales internas, y son lineales ya que su carga virtual es ::::: puntual unitaria. Las funciones de la parte izquierda se suponen los diagramas de deformacin interna, por ejemplo M/EI; V/GA; F/AE y T/GJ.La ecuacin de la fuerza virtual, siempre es un diagrama lineal, es decir que la integracin sobre la longitud de cualquier elemento ser de la forma:

L1 x 6 = ( ax + b )0

f(x) dx

- ax + b:Ecuacin lineal de la fuerza virtual

- f(x) dx:Deformaciones internas generales

La integral se puede escribir como:

L1 x 6 = a0

Lx f(x) dx + b 0

f(x) dx

1 x 6 = a (Primer momento de rea del diagrama real) + b(rea bajo el diagrama real)

1 x 6 = a( X x AR) + b (AR)

X AR = Primer momento de rea del diagrama real alrededor del origen. AR = rea bajo el diagrama real.Factorizando AR .

1 x 6 = AR (a X + b)

(ax + b)= Valor del diagrama virtual en una posicin que es el centroide del diagrama real (x).

1 x 6 = AR Mv ( X )

En vez de escribir las ecuaciones e integrar, ahora solo se necesita encontrar el rea bajo el

diagrama real

M , localizar su centroide y evaluar la fuerza virtual en esa posicin; esEI

decir, el rea real por el valor de la ordenada virtual en la posicin X , este mtodo se conoce como integracin visual.

Problema: Encontrar el desplazamiento utilizando tablas de integracin e integracin visual. EI = 50MN . m2 .

AX

4.0 m

3

105

105

5

4

105

15KN

5

4

91.875

3.0

5.0

91.875

4.0

5

3 91.875 V M 5

2w = wsen2 = 15 3 N 5

10.5

wN = 5.4 KN m

139.125x2

V M

M

x215 KN m

91.875KN

M A = 0 15(7)(3.5)+ CY (40)= 0CY = 91.875KNFY = 0AY + CY = 0AY = 91.875KNFX = 0AX = (15) * (7)AX = 105KN

1 x 6 c = a

M V

M dxEI

En forma simblica queda:

L1

12 aCd 15 L1 L

L1

C2 a 21d 2m

1x6 c = 0

+ L2

I = L1 (C1 + 2d1 )+ L2 a2 (C2 + 2d2 )X C 6 6

5.0 * 4

120

2 43.125

4 * 4 * 120

2 30

+

+

I X C

= EI EI6

3 3= 687..5 *10 + 480 *10

+ EI EI 6

I X C

50 *106

50 *106

I X C = 0.023m

C = 2.3cm

Por integracion visual:

= LC ; X = 3LR 3 4

Viga:

5 *

120

= EI

= 200 ; X = 3* 5 = 3.75m

3R EI 4

Columna:4 *120 = EI = 160R 3 EI

_x = 3 * 4 = 3.0m4

Evaluacin de la fuerza puntual en la posicin del centroide del rea real

Viga:

M v (3.75)= 3.0COLUMNA:

M v (3.0)= 3.0

I X C =

200EI

* 3.0 +

160EI

* 3 =

1080 *10350 *106

= 0.0216m

C = 2.2cm