ANALISIS ESTADISTICO

Amda.

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Prof: Ana Maria Diaz

Amda.

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INTRODUCCIN

La investigacin cuya finalidad es: el anlisis o experimentacin de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos, la revisin o establecimiento de teoras y las aplicaciones prcticas de las mismas, se basa en los principios de Observacin y razonamiento y necesita en su carcter cientfico el anlisis tcnico de datos para obtener de ellos informacin confiable y oportuna. Este anlisis de Datos requiere de la Estadstica como una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de profesin y las personas que de una y otra forma la realizan requieren adems de los conocimientos especializados en su campo de actividades, del manejo eficiente de los conceptos, tcnicas y procedimientos estadsticos.

ESTADISTICA

Etimolgicamente, el termino estadstica viene del latn status por lo que significa la exteriorizacin cuantitativa de las cosas del Estado, pero no fue hasta el siglo XVII (Pascal y Fermat), cuando surge de la vinculacin entre el anlisis matemtico y el clculo de probabilidades, que le permite no solo describir la realidad sino modelarla.

Es el conjunto de procedimientos y tcnicas empleadas para recolectar, organizar y analizar datos, los cuales sirven de base para tomar decisiones en las situaciones de incertidumbre que plantean las ciencias sociales o naturales.

ESTADSTICA INDUCTIVA Y DEDUCTIVA

Uno de los problemas fundamentales de la Estadstica es el estudio de la relacin existente entre una poblacin y sus muestras. Segn la direccin de tal relacin la Estadstica puede ser:

Deductiva, cuando a partir del conocimiento de la poblacin se trata de caracterizar cada muestra posible.

Inductiva, cuando a partir del conocimiento derivado de una muestra se pretende caracterizar la poblacin.

Amda.

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Estadstica Descriptiva se refiere a la recoleccin, presentacin, descripcin, anlisis e interpretacin de una coleccin de datos, esencialmente consiste en resumir stos con uno o dos elementos de informacin (medidas descriptivas) que caracterizan la totalidad de los mismos. La estadstica Descriptiva es el mtodo de obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre si mismos y no sobrepasan el conocimiento proporcionado por stos. Puede utilizarse para resumir o describir cualquier conjunto ya sea que se trate de una poblacin o de una muestra, cuando en la etapa preliminar de la Inferencia Estadstica se conocen los elementos de una muestra.

Estadstica Inferencial se refiere al proceso de lograr generalizaciones acerca de las propiedades del todo, poblacin, partiendo de lo especfico, muestra. las cuales llevan implcitos una serie de riesgos. Para que stas generalizaciones sean vlidas la muestra deben ser representativa de la poblacin y la calidad de la informacin debe ser controlada, adems puesto que las conclusiones as extradas estn sujetas a errores, se tendr que especificar el riesgo o probabilidad que con que se pueden cometer esos errores. La estadstica inferencial es el conjunto de tcnicas que se utiliza para obtener conclusiones que sobrepasan los lmites del conocimiento aportado por los datos, busca obtener informacin de un colectivo mediante un metdico procedimiento del manejo de datos de la muestra.

En sus particularidades la Inferencia distingue la Estimacin y la Contrastacin de Hiptesis. Es estimacin cuando se usan las caractersticas de la muestra para hacer inferencias sobre las caractersticas de la poblacin. Es contrastacin de hiptesis cuando se usa la informacin de la muestra para responder a interrogantes sobre la poblacin.

CONCEPTOS BASICOS.

Poblacin: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten informacin sobre el fenmeo que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la vivienda en una ciudad, la poblacin ser el total de las viviendas de dicha ciudad.

Muestra: subconjunto que seleccionamos de la poblacin. As, si se estudia el precio de la vivienda de una ciudad, lo normal ser no recoger informacin sobre todas las viviendas de la ciudad (sera una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativo.

Variable: Es lo que se quiere estudiar en la poblacin. Dato: Es el valor o atributo que puede tomar la variable. Observacin: Es un conjunto de variables que estn referidas a un solo sujeto. Unidad de observacin: Es el sujeto el cual se observa y se obtiene la informacin. Parmetro: Es una caracterstica de la poblacin. Estadstico: Es una caracterstica de la muestra.

Amda.

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Ejemplo. Suponga que se desea estudiar la ganadera bobina, en el estado de cierto pas llamado Trujillo, ya que es una actividad econmica que aporta leche y carne para el consumo directo y como materia prima para industrias. El recurso pastizal es considerado como un elemento fundamental para la alimentacin del rebao. En el estado de Trujillo se encuentran 210 fincas, de las cuales se eligieron 100 para este estudio. Algunas de las variables a considerar fueron: Tipo de forraje [ Guinea, Estrella, Barrera,Taiwan]; origen de las semillas [Nacional, Importada, Mezcla]; Mtodos para lograr un forraje adecuado [Fertilizacin, Anlisis del suelo, Control qumico de la maleza, Control mecnico de la maleza y combinaciones de mtodos ].

Finca Tipo de forraje Origen Mtodo

1 Guinea nacional fertilizacin

2 Estrella nacional Fertili- C.Q.M .

100 Guinea importada C.M.M.

Marco de Muestreo: Totalidad de unidades de muestreo de las cuales se seleccionar la muestra

TIPOS DE MUESTREO Muestreo Aleatorio Simple: Todos los elementos tienen la misma probabilidad de

ser elegidos.

Muestreo Estratificado: Forma una muestra en base a submuestras aleatorias sorteadas en cada subpoblacin.

Muestreo por Conglomerados: Las unidades se encuentran formando grupo o aglomeraciones : familias, hospitales, internados. Usar como unidades de muestreo estos ncleos, para enseguida tomar dentro de los conglomerados todos o parte de los individuos que en ellos se encuentren.

Muestreo sistemtico: Seleccin de unidades tomando una de cada k unidades, el espaciamiento est dado por k=N/n

variables

Observacin

Dato Unidad de observacin

Amda.

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CLASIFICACIN DE VARIABLES

Las variables pueden ser un atributo o un valor numrico. Dependiendo del objetivo del estudio es como se trabajarn las variables, por ejemplo la edad de una persona puede ser medida en aos o bien puede tomar categoras. Nio; joven; adulto.

Las variables se clasifican segn el nivel de medicin y recorrido. Escala propuesta por Steven en 1942.

NOMINAL: Aqu se encuentran las variables que no tienen un orden entre sus categoras, las cuales son excluyentes entre s. Los nmeros solo se utilizan para identificar las categoras.

Ejemplo.

Sexo

NIVELES

DE

MEDICIN

NOMINAL

INTERVALO

RAZN

ORDINAL

Femenino

Masculino

Tipo de frutas

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Nacionalidad

Ordinal: Aqu se encuentran las variables que tienen un orden lgico entre sus categoras, las cuales son mutuamente excluyentes. No se pueden realizar operaciones aritmticas.

Ejemplo.

Nivel educacional

Peso

Italiano

Chileno

Argentino

Peruano

Bsico

Medio

Tcnico

Universitario

Bajo

Normal

Obeso

Lugar de llegada en una carrera

Amda.

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Intervalo: Aqu se encuentran las variables numricas que tienen como origen un cero , el cual no indica ausencia de la caracterstica y es colocado arbitrariamente

en algn lugar de la escala . No permite comparar mediante razn o cociente.

Ejemplo.

Razn : Aqu se encuentran las variables numricas que tienen como origen el cero absoluto como origen.

Ejemplo

Peso de un objeto, en gramos. Estatura de una persona, en metros

Distancia que recorre un auto con un galn de bencina.

Temperatura

Celsius - 16/9 -10 0 20

Farenheit 0 14 32 68

Nmero de integrantes en una

familia

Amda.

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Binario o Dicotmico: Se dice que una variable tiene este recorrido cuando slo toma dos valores o categoras.

Ejemplo.

Sexo de un alumno

Presencia de una enfermedad

Discreta: La variable se mueve en un conjunto finito o infinito numerable.

Ejemplo.

Tipo de fruta.

Nacionalidad de una persona

Nivel educacional

Lugar de llegada a la meta

Nmero de integrantes en una familia.

Continua: La variable se mueve en un conjunto infinito no numerable.

Ejemplo.

Peso de un objeto.

Estatura de una persona.

Velocidad de un cuerpo al caer.

Distancia entre dos puntos.

TAMAO DE

RECORRIDO

BINARIO

DISCRETO

CONTINUO

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Ana Mara Daz A.

Tamao de muestra

TABLAS ESTADSTICAS

En toda investigacin se tendrn un gran volumen de datos, los cuales se quieren organizar de alguna forma para poder resumir la informacin. Las Tablas de Frecuencias nos permiten ordenar los datos segn el objetivo del anlisis. Las tablas que veremos son: Tablas Unidimensionales y Tablas Bidimensionales.

TABLA UNIDIMENSIONAL

Formato .

Titulo:

Ttulo de la Tabla. En el se debe incluir la informacin que contiene: que se esta midiendo; la unidad de observacin; cuando se obtuvo dicha informacin.

Variable: El nombre de la variable o alguna sigla que la identifique.

Frecuencias: Existe varios tipos de frecuencias que se pueden utilizar en una tabla, dependen del objetivo y de la variable es cuales nos conviene utilizar. Estas pueden ser:

Frecuencia Absoluta [ ni ]: Es el nmero de veces que se repite cada valor o categora de la variable.

Variable Frecuencias

Categoras

de la Frecuencias

Variable Observadas

Total n

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Ana Mara Daz A.

Frecuencia Relativa [hi = fi = pi ] : Es la razn entre la frecuencia absoluta y el

tamao de la muestra (n). . En ocasiones es expresada en forma

porcentual. ( se multiplica por 100), para una mejor interpretacin.

Frecuencia Absoluta Acumulada [ Ni ]: Nos indica el nmero de datos que se tiene hasta cierto valor o categora de la variable. Es decir.

Frecuencia relativa Acumulada [ Hi = Fi = Pi ] Es la suma hasta la i-sima

categora de la variable, de las frecuencias relativas. .

Ejemplo.

Se tiene la siguiente informacin sobre las temperaturas mximas, en grados Celsius, registradas en el mes de Enero, en cierta localidad. 32 28 33 31 31 28 30 31 30 29 30 31 31 31 29 32 30 27 29 32 31 30 30 34 33 33 29 31 29 29 30 En cuntos das se registr una temperatura mxima de 31 ? Qu porcentaje de los das tuvieron una temperatura mxima de 29 ? Cuntos das presentaron una temperatura mxima de hasta 29?

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Ana Mara Daz A.

Cul es la unidad de Observacin y la unidad de medicin? Para obtener rpidamente la informacin que necesitamos, podemos recurrir a una tabla de frecuencias. El resultado se presenta a continuacin:

Temperatura ni Ni hi Hi

27 1 1 0.0323 0.0323

28 2 3 0.0645 0.0968

29 6 9 0.1935 0.2903

30 7 16 0.2258 0.5161

31 8 24 0.2581 0.7742

32 3 27 0.0968 0.871

33 3 30 0.0968 0.9678

34

1

31

1

Total 31 1

En un da de enero hubo una temperatura de 34 grados

En 24 das se present una temperatura de hasta 31 grados

EN el 6.45% de los das de Enero, la temperatura fue de 28 grados

En el 87.1% de los das de enero, se presentaron temperatura s de hasta 32 grados

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Ana Mara Daz A.

Comente que tipo de tabla de frecuencias debera utilizar para mostrar la distribucin de frecuencia del color preferido de auto, en cierta poblacin.

Tabla de frecuencias para variable continua.

Si se tienen los siguientes datos de la resistencia a la ruptura ( en onzas) de una muestra de 60 hilos de Camo:

32.5 15.2 35.4 21.3 28.4 26.9 34.6 29.3 24.5 31.0 21.2 28.3 27.1 25.0 32.7

29.5 30.2 23.9 23.0 26.4 27.3 33.7 29.4 21.9 29.3 17.3 29.0 36.8 29.2 23.5

20.6 29.5 21.8 37.5 33.5 29.6 26.8 28.7 34.8 18.6 25.4 34.1 27.5 29.6 22.2

22.7 31.3 33.2 37.0 28.3 24.6 28.9 24.8 28.1 25.4 34.5 23. 38.4 24.0 32.8

Observacin: Cuando se tiene una variable con un gran nmero de datos distintos, no es recomendable utilizar el formato de la tabla anterior. En estos casos debemos:

1. Encontrar el rango o recorrido de la variable.

Rango (X) = Xmx - Xmn

2. Elegir el nmero de intervalos a construir. Existen algunas formulas para este efecto. [ parte entera].

Se recomienda que no sea menor que 4 y mayor que 15 ( en muestras grandes).

3. Amplitud de los intervalos .

La amplitud es constante.

4. Llamaremos a:

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Ana Mara Daz A.

Aplicando los pasos anteriores a nuestros datos. ( Confeccionar la tabla durante la clase)

Tablas Bidimensionales.

Las tablas que representan dos variables son llamadas tablas de contingencia. En ellas se clasifica cada unidad de observacin segn las dos variables.

Frecuencia Absoluta Conjunta: Es el nmero individuos para los que X toma el valor Xi e Y toma el valor yj.

Frecuencia Absoluta marginal: Es el nmero de veces que se repite el valor xi, sin tener en cuenta los valores de Y. O bien el nmero de veces que se repite el valor de yj sin tener en cuenta el valor de X.

Las tablas pueden mostrar frecuencias relativas conjuntas o marginales.

Formato general.

Variable X Variable Y Total

Y1 Y2 Y3 Yc ni. X1 n11 n12 n13 n1c n1. X2 n21 n22 n2. nij

Xf nfc nf.

Total n.j n.1 n.2 n.c n

Frecuencia marginal

Frecuencia conjunta

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Ana Mara Daz A.

Ejemplo.

Se han seleccionado 100 estudiantes universitarios y se les ha clasificado segn las siguientes variables: sexo, estado civil y carrera que cursan. El nmero de personas en cada categora se presenta a continuacin:

Sexo Estado Civil Carrera N de

Estudiantes

V Casado Derecho 14

V Casado Ingeniera 16

V Casado Arquitectura 10

V Soltero Derecho 5

V Soltero Ingeniera 19

V Soltero Arquitectura 4

M Casada Derecho 5

M Casada Ingeniera 12

M Casada Arquitectura 0

M Soltera Derecho 5

M Soltera Ingeniera 8

M Soltera Arquitectura 2

1.- Elija dos variables y confeccione una tabla de frecuencias. 2.- Confeccione una tabla de frecuencias con la informacin presentada

Ana Mara Daz A. Pgina 1

GRAFICOS

Los grficos son representaciones que adems de resumir la informacin permiten visualizar algunas caractersticas de los datos.

Estos deben :

Ser sencillos y auto explicativos. Cumplir un objetivo Considerar el recorrido de las variables y el nivel de medicin Incluir un ttulo Indicar mediante leyendas en los ejes los nombre de las variables Sealar las unidades de medida si es que corresponden Evitar distorsiones por escalas exageradas.

Se debe elegir el grfico adecuado, dependiendo de la informacin que se tenga

1.- BARRAS SEPARADAS.

Se utiliza cuando se desea mostrar la distribucin de frecuencias de una variable discreta. En uno de los ejes se colocan las categoras de la variable y en el otro eje las frecuencias ( absolutas o relativas), sobre cada categora se levantan una barra.


2.- SECTORIAL.

3.- BARRAS AGRUPADAS.

Se utiliza para comparar distribuciones de frecuencias de variables discretas. El el eje de la absisa se colocan las categoras de una de las variables y sobre ellas se levantan barras segn las categoras de la otra variable. La altura de la barra esta determinada por las frecuencias.


4.- BARRAS DIVIDIDAS

Es una alternativa al de barras agrupadas. En el eje de la absisa se colocan las categors de una de las variables y se levantan barras, las cuales son divididas segn sean las categoras de la otra variable.

5.- HISTOGRAMA.

Se utiliza para representar la distribucin de frecuencias de una variable continua. Consiste en barras adyacentes cuyas superficies son proporcionales a las frecuencias de los intervalos, sobre el cual se levantan.

Observacin. Si los intervalos no son de la misma amplitud, se debe corregir la altura de las barras mediante la siguiente relacin.

h : Altura K = Constante

(arbitraria).


Ejemplo 1.-

Ejemplo2.-

Se tienen las ventas mensuales de ciertas empresas, en unidades monetarias.

Sueldo Empleados

0 - 150 10

150 - 300 24

300 - 450 46

450 - 600 18

600 - 750 6

Ventas Empresas

40 - 50 5

50 - 60 16

60 - 80 48

80 - 90 12

90 - 100 3


6.- POLIGONO DE FRECUENCIAS

Se utiliza para representar una variable continua o para comparar distribuciones de frecuencias de variables continuas, con intervalos de igual amplitud.

Para construirlo se marcan los puntos con coordenadas dadas por las marca de clases y las frecuencias de cada intervalo, luego se conectan los puntos sucesivos mediantes lineas rectas. En los extremos de la escala horizontal se agregan dos intervalos con frecuencia cero.

Sueldo Mujer Hombre

100 - 200 5 2

200 - 300 10 15

300 - 400 25 35

400 - 500 8 20

500 - 600 2 8

Total 50 80


7.- OJIVA.

La grfica de una distribucin de frecuencias acumuladas se llama Ojiva y se usa para determinar cuntas observaciones hay mayores o menores que un valor determinado de la variable. En el eje de la abscisa se colocan los limites superiores de cada intervalo y en el eje de la ordenada las frecuencias acumuladas de dichos intervalos. Por ltimo se conectan los puntos mediantes lneas rectas.

8.- CORRELACIN

Se utiliza para ver la posible asociacin entre 2 variables cuantitativas que son medidas en una misma unidad de observacin.


9.- Tallo y Hoja

Cumplen la misma finalidad que los histogramas pero son ms sencillos de construir. Los datos no deben estar tabulados

Ejemplo para la variable edad.

Separar cada valor en la componente tallo y hoja

tallo =n formado por el valor de la observacin menos el dgito de la derecha

hoja= dgito de la derecha

Anotar desde el ms pequeo tallo del conjunto de valores

Trazar una lnea vertical a la derecha

Anotar las hojas a la derecha de esta lnea

Stem-and-leaf plot for edad (Edad en aos) 1 | 6688889 2 | 000338 3 | 2245 4 | 01578 5 | 00123445555589 6 | 000111233344455556677788899999 7 | 00111122334455555677778888 8 | 023788 9 | 2

MEDIDAS DE RESUMEN

Las medidas de resumen tienen por objetivo, obtener un valor que resuma las mediciones.

Se tienen medidas de posicin, medidas de dispersin y medidas de forma.

1. MEDIDAS DE POSICIN. Existen medidas que son de tendencia central como: media aritmtica, Mediana, Moda, Media geomtrica y armnica. Y medidas de tendencia no central como: Deciles, Cuartiles, Percentiles, etc.

1.1.- Medidas de tendencia central.

1.1.1. Media Aritmtica. Esta medida es la usada y se puede encontrar solo en variables con nivel de medicin por lo menos de intervalos. Cuando se trabaja con la poblacin la media se simboliza por la letra griega , y cuando se trabaja con una muestra se simboliza por .

Definicin. Sea X una variable y x1, x2, xn una muestra de tamao n de valores de la variable, entonces:

En el caso que los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias,

entonces:

Ejemplo 1. El dueo de una pequea empresa esta preocupado por los costos de entrega que se asocian a pequeos pedidos. Al tomar una muestra de 28 pedidos y registrar el costo , en unidades monetarias (u.m.), se obtuvo: 15 20 25 15 17 41 50 5 9 12 14 18 19 17 28 29 11 43 32 7 8 13 37 18 10 35 16 18 Encuentre el costo promedio de entrega de los pequeos pedidos.

Ejemplo 2.

Un ejecutivo a cargo de los prstamos para cierto tipo de empresas, registra el monto, en miles de pesos, de los ltimos 140 prstamos otorgados. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de frecuencias:

Encuentre e interprete la media aritmtica.

Monto N de prstamos

600 - 800 5

800 - 1000 20 1000 - 1200 39

1200 - 1400 48

1400 - 1600 28

Propiedades.

Definicin

Sean , las medias de cada uno de los estratos y

n1, n2,nk el nmero de observaciones en cada estrato, entonces la media total o estratificada esta dada por:

Ejemplo 3 Se tiene la siguiente informacin sobre el rendimiento de 3 cursos de cierta asignatura.

Curso Promedio N de alumnos

A 3,8 50 B 5,2 35

C 4,7 48

Cul es el promedio de notas de los 3 cursos?

Ejemplo 4.

En una empresa el 2% de sus empleados pertenecen al rea gerencial, el 15% al rea administrativa y el 83% a otras reas. El sueldo promedio de los empleados en cada una de las reas son: 1000; 450; y 370 (u.m), respectivamente.

Calcular el sueldo promedio de los empleados de la empresa. Si se excluye a los empleados del rea gerencial. Cul es el

sueldo promedio de los empleados de las otras 2 reas? Se ha decidido otorgar un bono de 20 u.m. a cada uno de los

empleados, exceptuando al rea gerencial. Cul es el sueldo promedio de los empleados de toda la empresa?.

1.1.2 .- Mediana ( Me ).

Esta medida se puede encontrar en variables con nivel de medicin por lo menos ordinal y se define como un valor tal que no supera a no ms del 50% de las observaciones y es superado por no ms del 50% de las observaciones, cuando estas se han ordenado segn su magnitud.

Definicin. Si se tiene una variable X, con datos no agrupados, entonces la mediana, es:

Nota: Cuando n es par, cualquier valor comprendido entre Xn/2 y X(n/2)+1, satisface la definicin de mediana.

Ejemplo 5.

Los siguientes datos corresponden a mediciones de intensidad solar directa (watts/m2), realizadas en diferentes das, en un mismo horario, en cierta localidad durante la primavera.

562 655 558 661 868 708 775 704 809 693 498

EJEMPLO 6.

Si agrega el dato 578. Cul es la nueva mediana? En otoo la intensidad solar suele disminuir en un 2%. Basndose en

los datos de primavera, estime la mediana de la intensidad solar, en otoo.

DATOS AGRUPADOS

Si se est trabajando con una variable continua y los datos se presentan en una tabla de distribucin de frecuencia , en intervalos. Para determinar el valor de la mediana se debe interpolar dentro del intervalo que contiene a la observacin que ocupa la posicin n/2 y se obtiene la siguiente frmula:

Ejemplo 7

Supongamos que se tiene informacin sobre el gasto en publicidad en que han incurrido empresas del rubro computacional, en el ltimo mes.

En donde

Interpretacin:

El 50% de las empresas gastan en publicidad a lo ms 34.29 (u.m.), el 50% de la empresas gastan por lo menos 34.29 u.m., en publicidad.

Gasto(u.m.) N de empresas

10 - 20 3 20 - 30 6

30 - 40 14

40 - 50 3

50 - 60 4

1.1.3 MODA (M0 )

Esta medida se puede encontrar en todo tipo de variable.

Es el valor de variable que ms se repite . No es nica , hay distribuciones que son Amodal, es decir no tienen moda. Si los datos estn tabulados en intervalos se puede hablar de clase modal.

EJEMPLO 8

Al realizar un estudio sobre el grado de inters por recibir capacitacin laboral, se obtuvo:

Grado de inters N de empleados

Muy desinteresado 4

Desinteresado 6 No tiene opinin 5

Interesado 15

Muy interesado 10

Total 40

M0 ( grado de inters) = Interesado Datos tabulados

EJEMPLO 9

A continuacin se presenta la resistencia a la presin interna en ciertas botellas, en psi.

Resistencia a la presin N de botellas

187 - 192 1

192 - 197 4

197 - 202 8

202 - 207 11

207 - 212 9

212 - 217 5

217 - 222 2 Total 40

.

1.2.- MEDIDAS DE POSICIN DE TENDENCIA NO CENTRAL

PERCENTILES ( PK )

Sea X una variable con nivel de medicin por lo menos ordinal y x1 , x2 , xn , los valores de la variable, ordenados en forma creciente, se define el percentil como un valor que supera a no ms del k % y es superado a lo ms por el (100 k )% de las observaciones.

Los percentiles de orden 25, 50 y 75 reciben el nombre de Cuartiles

y se denotan por Qk.

Datos sin tabular

EJEMPLO 10

Los siguientes datos corresponden a mediciones de intensidad solar directa (watts/m2), realizadas en diferentes das, en un mismo horario, en cierta localidad durante la primavera.

498 558 562 655 661 693 704 708 775 809 868 870

Encuentre e interprete P30 y P75.

Solucin.

Percentil 30.

1.- Buscar la posicin del percentil, en este caso : 30 (12) /100 = 3.6

2.- Como np no es entero, entonces lo aproximamos al entero superior 4 .

3.- Buscar el valor de variable que se encuentre en dicha posicin.

4.- Por lo tanto P30 ( Intensidad solar) = 655, lo que significa que en el

30% de los das, se registr una intensidad solar de a lo ms

655 (watts/m2).

Percentil 75.

1.- La posicin es : 75 (12) /100 = 9.

2.- Como np es entero, entonces se buscan los valores de variable

que se encuentran en la posicin 9 y 10.

3.- Segn los datos los valores son: 775 y 809.

4.- Por lo tanto el P75 (intensidad solar) = (775 +809) /2 = 792 (watts/m2),

DATOS TABULADOS

EJEMPLO 11

Supongamos que se tiene informacin sobre el gasto en publicidad en que han incurrido empresas del rubro computacional, en el ltimo mes. (Tabla ejemplo 7).

Encuentre el percentil 80. Qu porcentaje de las empresas gastan ms de 32 u.m. en publicidad?

Percentil 80.

1.- Buscar la posicin : (80 * 40 ) /100 = 32.

2.- En las frecuencias acumuladas, ubicar donde se encuentra dicha posicin, en este caso corresponde al 5 intervalo.

3.- Aplicando los datos a la formula:

P80 ( gasto )= 50 + 10 * ( 32 -26) / 4 = 65 u.m.

El 80% de las empresas gastan hasta 65 u.m. en publicidad.

Medidas de forma.

Estas medidas nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representacin grfica. Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la informacin. Sus principales medidas son la Asimetra y la Curtosis.

ASIMETRA

Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmtica). La asimetra presenta tres estados

Gasto ni Ni

10 - 20 3 3

20 - 30 6 9

30 - 40 14 23

40 - 50 3 26

50 -60 4 40

diferentes, cada uno de los cuales define de forma concisa como estn distribuidos los datos respecto al eje de asimetra.

Si la distribucin de frecuencias de la variable es simtrica, las tres medidas de tendencia central coinciden, entonces:

.

Si la distribucin es unimodal y presenta una Asimetra positiva, entonces :

Si la distribucin es unimodal y presenta una Asimetra Negativa, entonces:

Comentario Para encontrar la media aritmtica se toma en cuenta todos los valores de la variable, por lo cual se ve influenciada por los valores extremos. En los casos en que la distribucin presente una asimetra muy marcada no es recomendable la media aritmtica sino la mediana.

MEDIDAS DE DISPERSIN Las medidas de dispersin son aquellas que permiten captar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permite identificar la concentracin de los datos en un sector del recorrido de la variable. Para encontrar las medidas que veremos, el nivel de medicin de la variable debe por lo menos ser de intervalos.

1.- Rango, Amplitud o Recorrido. Es la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo que presentan los datos no agrupados. Es la medida ms simple de comprender.

RANGO = XMX - XMN Si los datos estn agrupados en intervalos, entonces:

RANGO = XK - X0

Ejemplo 1. Suponga que una empresa tiene 2 sucursales ( A ; B ). Al tomar muestras de sus empleados y registrar la antigedad ( X ), en aos, en la empresa se encontr: XA : 3 - 9 - 5 - 7 - 2 - 8 - 5 - 3 - 1 - 6 XB : 7 - 5 - 8 - 7 - 6 - 10 - 8 - 2 - 6 - 7 - 9 - 4 Encuentre el rango en cada una de las distribuciones y comente.

2.- Amplitud Intercuartlica. La amplitud intercuartlica est dada por la diferencia entre el percentil 75 y el percentil 25. Esta medida considera el 50% central de la distribucin de frecuencias.

Ampli Interc.(X) = P75(x) - P25(x) = Q3 - Q1

Ejemplo 2. Usando los datos del ejemplo1 encuentre esta medida. Comente.

3.- Varianza. Si se ha utilizado la media aritmtica como medida de posicin, la dispersin se puede obtener calculando la suma de las desviaciones con respecto de la media al cuadrado. Cuando se tienen los datos poblacionales, la varianza esta dada por:

Cuando se trabaja con datos muestrales, la varianza esta dada por:

Como la unidad de medida de la varianza se encuentra al cuadrado,

entonces se utiliza la raz cuadrada positiva de la varianza la cual recibe el nombre de DESVIACIN TIPICA O DESVIACIN ESTANDAR.

( muestral )

Si los datos estn tabulados, la varianza muestral queda:

4.- Coeficiente de variacin. Esta medida permite comparar la variabilidad de distribuciones de frecuencias que no tienen la misma medias aritmticas y/o las mismas unidades de medicin. Esta dada por:

Ejemplo 3. Usando la informacin del ejemplo1, compare la variabilidad eligiendo la medida ms adecuada.

TALLER

1. Un proveedor de latas de aluminio utilizadas para envasar frutas en conserva est interesado en estudiar la resistencia de estos envases, para lo cual toma muestras de latas

de dos espesores diferentes: 0.0109 y 0.0111 pulgadas y se someten a una carga axial, en

libras, para medir su resistencia.

Se considera que una lata cumple con las normas de fabricacin si soporta una carga axial

de por lo menos 230 libras.

A continuacin se presentan los resultados obtenidos:

Carga axial

(en libras)

Espesor de la lata (en pulgadas)

0.0109 0.0111

200 - 230

230 - 260

260 - 275

275 - 290

290 - 314

11

21

30

29

9

6

11

13

42

25

1.1 Determine el intervalo que incluye al 30% de las latas que soportan mayor carga, cuyo espesor es de 0.0109.

1.2 Calcule e interprete la medida de posicin ms adecuada para resumir la carga axial de las latas con espesor igual a 0,0111.

1.3 El distribuidor cree que existe menor dispersin de carga axial, en las latas con espesor de 0.0109 que en las latas con espesor de 0.0111. Utilice medida(s)

estadstica adecuada(s) para verificar lo expresado por el distribuidor.

Construya un grafico que le permita comparar la distribucin de frecuencias de las

latas de aluminio que tienen un espesor de 0.0109 con las latas que tienen un espesor

de 0.0111 pulgadas, segn si la lata cumple o no con las especificaciones requeridas de carga

axial

2.- El tiempo de respuestas (en nanosegundos) de un circuito lgico en fro (X) y el tiempo de

respuesta tras una hora de uso intensivo (Y), para una muestra de 12 mquinas es el siguiente:

Mquina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tiempo de respuesta en fro (X) 6 5 8 14 7 4 5 9 6 5 7 6

Tiempo de respuesta tras una hora de uso (Y) 4 8 15 8 9 6 9 6 11 7 5 9

Se sabe que un dato es atpico, si su valor no se encuentra en el intervalo

( Q1 1,5RI ; Q3 + 1,5RI ). Detecte los posibles valores atpico en Y. (Qk cuartil k RI Amplitud (rango) intercuartlica)

1

Ana Mara Daz Araya

PROBABILIDADES Definicin 1. Se tiene un experimento aleatorio cuando se conocen todos los

resultados posibles de obtener al realizarlo, pero es imposible saber cual es el resultado individual que se obtendr.

Definicin 2. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le

denomina espacio muestral y se representa por . Definicin 3. A cada elemento del espacio muestral se le llama suceso elemental o

resultado. ( i )

Definicin 4. Un suceso o evento es un subconjunto del espacio muestral. Se denotan

por letras maysculas. Ejemplo1. E : Se lanza un dado. E : Se lanza una moneda tres veces. E : Se sacan carta, de un mazo de naipe ingles (52 cartas), hasta que salga un as. E : Se extraen fichas de una caja hasta obtener 3 fichas rojas. (En la caja hay 4 fichas rojas y 2 blancas). 1.- Encuentre el espacio muestral, para cada uno de los experimentos. 2.- Enunciar por lo menos un suceso, para cada experimento. ALGEBRA DE SUCESOS. Sean A y B sucesos de un espacio muestral.

'A No ocurre el suceso A

BA Al menos uno de los sucesos ocurren

BA Los sucesos ocurren en forma simultnea.

'BA Slo ocurre el suceso A

BA = Los sucesos son excluyentes.

)'(''

')(''

BABA

BABA

Leyes de De Morgan.

Ejemplo2

Sean A,B y C sucesos de un espacio muestral. Usando notacin de conjuntos, escriba los siguientes sucesos: 1.- No ocurre el suceso B. 2.- Ocurre A o ocurre C. 3.- Ocurre B y no ocurre C. 4.- Al menos uno de los sucesos ocurre. 5.- Slo ocurre el suceso A. 6.- Ocurren los 3 sucesos. 7.- Solo ocurre uno de los sucesos.

___ 1 ___

2

Ana Mara Daz Araya

Definicin 5. Una probabilidad es una medida de las posibilidades de que ocurra un

suceso futuro.

ENFOQUES DE PROBABILIDAD Existen tres formas de enfocar la probabilidad de un suceso: Frecuencia Relativa; Subjetivo y Clsico. En el enfoque de frecuencia relativa se utilizan datos obtenidos en observaciones empricas. Se

observa con que frecuencia ocurre el suceso en el pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de los datos histricos. El enfoque subjetivo exige que asignemos la probabilidad de un suceso basndose en las mejores pruebas disponibles. No se dispone de de datos histricos, el suceso puede que nunca haya ocurrido. El enfoque clsico hace la suposicin de que los sucesos son igualmente probables de ocurrir, es

el que se relaciona con los juegos de azar FUNCIN DE PROBABILIDAD Sea un espacio muestral, A un suceso. Se llama funcin de probabilidad sobre el espacio muestral a P(A), si satisface los siguientes axiomas.

1.- 1)(0 AP

2.- P ( ) = 1 3.-

)(....)()()()...........(

,

),(.......,,

321321

321

nn

jin

APAPAPAPAAAAP

Entonces

jiAAsexcluyentesucesosAAAASean

Propiedades. Sean A y B sucesos de un espacio muestral. 1.- P ( A ) = 1 - P ( A ) 2.- P ( ) = 0

3.- )()()'( BAPAPBAP

4.- )()()()( BAPBPAPBAP

Ejemplo 3. La probabilidad que un alumno de primer ao apruebe clculo es 0.8, la probabilidad que apruebe lgebra es 0.75 y la probabilidad que apruebe ambas asignaturas es 0.6. Si se elige un alumno que curs primer ao. Cul es la probabilidad que: 1.- haya aprobado al menos una de las dos asignaturas. 2.- haya aprobado slo clculo 3.- haya reprobado lgebra.

___ 2 ___

3

Ana Mara Daz Araya

Ejemplo 4.- Una empresa ha decidido reforzar las medidas de seguridad, ya que en la ltima obra se produjeron accidentes que se podan evitar. En la empresa se registro que el: 3% de los obreros resultaron con lesiones en sus extremidades inferiores; el 5% con lesiones en las extremidades superiores; el 3.6% con lesiones en otras partes del cuerpo; el 2% con lesiones en sus extremidades superiores e inferiores; el 1.4% con lesiones en sus extremidades superiores y en otras partes del cuerpo; el 0.4% resulta con los tres tipos de lesiones. La probabilidad que resulte con lesiones en las extremidades inferiores y en otras partes del cuerpo es 0.0098. a.- Defina los sucesos y relacione las probabilidades con ellos. b.- Si se elige un obrero al azar. Cul es la probabilidad que no haya tenido ninguna lesin? c.- Si se elige un obrero al azar. Cul es la probabilidad que haya tenido por lo menos una de las lesiones registradas? d.- Si se elige un obrero al azar. Cul es la probabilidad de que slo haya tenido lesiones en sus extremidades inferiores? Definicin 6.

Una coleccin de sucesos kAAA ,........., 21 constituyen una particin del espacio muestral,

si:

i

k

i

i

ji

A

iAP

jiAA

1

.3

0)(.2

;.1

PROBABILIDAD EN ESPACIO FINITO. Sea un espacio muestral , se sabe que:

nwPwnP

wnPP

entonceslesequiprobabsonsucesosLos

wPwPwPwPP

wwwwPP

Pwwww

n

n

n

1)()(1

)()(

:,

)(......).........()()()(

).........()(

/...........

321

321

321

En general. Sea A un suceso del espacio muestral, entonces:

P AN de casos favorables

N total de casos( )

___ 3 ___

4

Ana Mara Daz Araya

Ejemplo 5.

A continuacin se presenta informacin sobre el material y tamao de las monturas de gafas de las 100 ltimas ventas.

Tamao

Material

Plstico Metal Mixto Total

Grande 12 8 5 25

Medio 23 31 1 55

Pequeo 6 6 8 20

Total 41 45 14 100

1.- Si una persona compra una montura, calcular las siguientes probabilidades. * Que sea de tamao grande. * Que sea de plstico y de tamao pequeo. * Que sea de material metlico o mixto. 2.- Si la persona decide que sea de metal. Cul es la probabilidad que el tamao sea medio? PROBABILIDAD CONDICIONAL A veces queremos determinar la probabilidad de cierto suceso, dado que antes ha ocurrido ya otro suceso. Esto es lo que se llama probabilidad condicional. Sean A y B sucesos tales que P(B)>0, la probabilidad del suceso A condicionado a la ocurrencia del suceso B es:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Satisface los axiomas:

k

i

ii

k

i

k

BAPBAPentonces

sucesosdecoleccinunaAAAASean

BP

AsucesotodoparaBAP

11

321

)/()/(

............,,.3

1)/(.2

0)/(.1

Ejemplo 6. En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas, el 80% supera las 2000 u.m., mientras que el 9% de las compras son realizadas por hombres y supera las 2000 u.m. La probabilidad que una compra supere las 2000 u.m. es 0.65. 1.- Si se elige un cliente y resulta hombre. Cul es la probabilidad que su compra supere las 2000 u.m.? 2.- Cul es la probabilidad que la compra la haya realizado una mujer, si se sabe que el monto no superaba las 2000 u.m.?

___ 4 ___

5

Ana Mara Daz Araya

Consecuencias.

1 1

2

. ( / ) ( / )

. ( ) ( / ) ( )

( / ) ( )

'

P A B P A B

P A B P A B P B

P B A P A

REGLA DE LA MULTIPLICACIN

Sean nAAAA .........,, 321 sucesos de un mismo espacio muestral, entonces:

)....../(.......)/()/()()..........( 121213121321 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAAP Ejemplo 7. En un estante se encuentran 5 libros de clculo, 4 libros de lgebra y 2 libros de estadstica. Una persona escoge al azar 3 libros . Cul es la probabilidad que resulten: 1.- los 3 de lgebra; 2.- Solo uno de clculo; 3.- Uno de cada tema. TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Sea A A A Ak1 2 3, , ,........ una particin del espacio muestral y B un suceso cualesquiera, entonces:

Demost.

P B P B A B A B A B AP B A P B A P B A P B A

P B A P A P B A P A P B A P A

P B A P A

n

n

n n

i i

i

n

( ) ( ) ( ) ( ) .........( )

( ) ( ) ( ) ........ ( )

( / ) ( ) ( / ) ( ) ......... ( / ) ( )

( / ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2

1

Ejemplo 8. En este ltimo periodo las acciones han tenido un comportamiento inestable sufriendo bajas y alzas a nivel mundial. Se realiz un estudio en la bolsa de NN y se obtuvo la siguiente informacin: el 25% de las acciones transadas eran del sector servicios; el 30% del sector industrial y el resto de otros sectores de la economa. Adems de las acciones del sector servicios, un 2.5% sufri baja; del sector industrial un 3% sufri baja y de los otros sectores un 4% sufri baja. Si se elige una accin al azar, de este periodo, Cul es la probabilidad que haya sufrido baja?

___ 5 ___

6

Ana Mara Daz Araya

TEOREMA DE BAYES.

Sea A A A A Ak n1 2 3, , ,......... ,..... una particin del espacio muestral y B un suceso cualesquiera,

tal que P(B) > 0, entonces:

Ejemplo 9 Usando el enunciado del ejemplo8. Si se escoge una accin al azar y result que en ese periodo estuvo en alta. Cul es la probabilidad que sea del sector servicios? Ejemplo 10. El departamento de investigacin de mercado de una empresa que se dedica a la elaboracin y ventas de jugos en polvo, ha registrado que de la poblacin de consumidores de un determinado sector el 60% son mujeres y que de ellas la preferencia por los sabores A, B y C estn distribuidos en 40%, 50% y 10% respectivamente. Adems, se sabe que el 44% de la poblacin prefiere el sabor A y de los que prefieren el sabor B, un 28.57% son varones. 1.- Si se elige un consumidor en forma aleatoria.Cul es la probabilidad que prefiera el sabor C?. 2.- Si se pregunta a un consumidor su preferencia y responde que es el sabor C. Cul es la probabilidad que el consumidor sea mujer? INDEPENDENCIA DE SUCESOS. Sean A y B sucesos independientes, si solo si:

P A B P A P B( ) ( ) ( )

Consecuencias.

1

2

. ( ) ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )

' '

' ' ' '

P A B P A P B

P A B P A P B

Ejemplo 11. Una empresa de publicidad, realiz un estudio acerca de la reaccin de los nios frente a los comerciales. Este estudio muestra que el 45% de los nios entre 5 y 7 aos de edad entiende los comerciales. Otra empresa de publicidad muestra un comercial de televisin a tres nios elegidos al azar en este grupo de edad. Cul es la probabilidad que: 1.- El mensaje del comercial sea entendido por los tres nios? 2.- El comercial no sea entendido por ninguno de los tres nios? 3.- El mensaje del comercial sea entendido por uno de los tres nios?

___ 6 ___

P A BP A B

P B

P B A P A

P B A P Ak

k k k

i i

i

n( / )

( )

( )

( / ) ( )

( / ) ( )

1

7

Ana Mara Daz Araya

EJERCICIOS VARIOS 1.- Se extrae una carta de una baraja espaola de 40 cartas. Si la carta extrada es un rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario a la urna II. A continuacin, extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Hallar la probabilidad de que la bola extrada sea blanca y de la urna II 2.- En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide: I) Sabiendo que un habitante consume pan integral, cul es la probabilidad de que coma pan de multicereales? II) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, cul es la probabilidad de que no consume pan integral? III) Cul es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?

3.- El equipo directivo de cierta empresa del sector de hotelera est constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale cruz, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan ingls, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable ingles.

4.- En una oficina el 70% de los empleados son asturianos. De entre los asturianos, el 50% son hombres, mientras que de los no asturianos, slo son hombres el 20%.Qu porcentaje de empleados nos asturianos son mujeres? Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer.

5.- En un ayuntamiento hay 5 concejales del partido A, 4 del B y 1 del C. Si se eligen al azar y sucesivamente tres concejales, cul es la probabilidad de que los tres sean del partido A? y la de que pertenezcan a partidos distintos?

6.- Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un nmero par es el doble que la de sacar un nmero impar. Se lanza el dado y se pide:

La probabilidad de obtener un nmero par

Si, a la vez, se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener un nmero par y un nmero impar.

Si, a la vez, se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener, al menos, un nmero impar.

7.- Un estudiante tiene 5 disquetes, dos de los cuales tienen defectos de lectura. El estudiante prueba los discos uno a uno hasta encontrar los dos que tienen defectos de lectura o hasta probar tres de ellos.

a.- Determine el espacio muestral asociado a este experimento.

b.- Si el primer disco con defectos de lectura apareci en la primera prueba. Cul es la probabilidad que el segundo defectuoso aparezca en la tercera prueba?

___ 7 ___

8

Ana Mara Daz Araya

8.- Un fabricante de artculos elctricos sabe que de la produccin semanal de interruptores de la planta I: el 45% son del tipo A; 35% son del tipo B y 20% son del tipo C. De los interruptores tipo A; y 20% son del tipo C. De los interruptores tipo A un 6% son defectuosos, de los de tipo B un 5% son defectuosos y del tipo C un 8.5 son defectuosos.

De la produccin semanal de interruptores de la planta II: 50 son interruptores tipo A; 64 son tipo B y 26 son tipo C. De al produccin de la planta II el 10% son defectuosos. De la produccin semanal un 42% proviene de la planta I y el resto de la planta II.

a.- Se eligen 3 interruptores al azar, de los fabricados en la planta II.cual es la probabilidad que:

* Slo uno sea tipo B

* Al menos uno sea tipo A

b.- Los interruptores fabricados se mezclan y almacenan en una bodega. Determine la probabilidad que al elegir un interruptor, ste resulte defectuoso.

9.- Se realiza un Congreso de Delegados de diferentes Universidades del pas, para discutir acerca del tema La Universidad en el prximo siglo. De acuerdo al lugar geogrfico de donde provienen los delegados, se sabe que el 15% provienen de la zona norte, el 25% de la zona central y el resto de la zona sur.

En cuanto a la distribucin por sexo, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres, el 60% de los delegados de la regin metropolitana son hombres, de la zona central hay un 30% de mujeres y no hay delegados mujeres provenientes de la zona sur. a.- Se elige un delegado al azar. Cul es la probabilidad que resulte elegida una mujer? . b.- Si el elegido resulta ser un hombre. Cul es la probabilidad de que provenga de la zona sur?

___ 8 ___

ANA MARIA DIAZ A. Pgina 1

Tanto en la vida cotidiana como en el campo cientfico estamos habituados a observar fenmenos aleatorios cuyos resultados se expresan mediante nmeros; por

ejemplo el voltaje de salida en una fuente de alimentacin, el nmero de personas en

la cola del cine, la velocidad de conexin a la red, etc. Incluso en problemas de

naturaleza puramente cualitativa es muy frecuente recurrir a la codificacin numrica; en situaciones tales como: el diagnostico de un paciente sano o enfermo, preguntas del tipo estudias o trabajas?, etc., las respuestas son usualmente

codificadas con 0 y 1, aunque en realidad podra emplearse cualquier pareja de

smbolos con igual precisin.

Definicin Dado un espacio de probabilidad ( , , )P A , una variable aleatoria es una

funcin X,

X( )

:X

R

Ejemplos de variables aleatorias:

Lanzamos una moneda dos veces y definimos una funcin que a cada resultado le asigna el nmero de caras obtenidas.

Lanzamos dos dados y a cada resultado le asignamos la suma de los nmeros que

han salido. Disparamos a una diana y definimos la variable que asigna a cada impacto la

distancia de ste al centro de la diana.

Definicin Una variable aleatoria se dice que es discreta cuando su recorrido es un

nmero finito o infinito numerable de valores. En otro caso, por ejemplo si el recorrido es un intervalo, se dice que la variable es continua. El que una variable aleatoria sea discreta

o continua no viene determinado por el espacio muestral, sino por su recorrido

En los ejemplos anteriores los dos primeros casos corresponden a variables aleatorias discretas, y el tercero a una variable aleatoria continua.

Variables aleatorias discretas

Definicin Dada una variable aleatoria discreta X que toma los valores

1 2( , , ......, , ......)

nx x x se denomina funcin de probabilidad o funcin de masa a la

funcin:

0 1: ,P R ( ) ( ) ({ : ( ) })P x P X x P X x

Que verifica que:

1. 0 Rec( ) ( )P X x x X

2. 1 Re ( )

( )c x

P X x

VARIABLES ALEATORIA DISCRETAS


En el ejemplo correspondiente al lanzamiento de la moneda:

10 0

4( ) ( ) ({ , })P P X P s s

11 1

2( ) ( ) ({ , }) ({ , })P P X P c s P s c

12 2

4( ) ( ) ({ , })P P X P c c

0 0 1 2( ) , ,P X x x

Definicin Dada una variable aleatoria discreta que toma los valores 1 2

( , , ...., , ....)n

x x x

tal que 1 2

.... ....n

x x x se define la funcin de distribucin asociada a X como:

0 1: ,F R

( ) ( ) ( )i

X i

x x

F x P X x P x

Ejemplo: Para la funcin de distribucin de la variable aleatoria X : Nmero de caras, cuyo Rec(X)={0,1,2} la funcin de distribucin es:

0 si 0

1 4 si 0 1

3 4 si 0 2

1 si 2

/( )

/X

x

xF x

x

x

Propiedades:

Si ( )X

F x es la funcin de distribucin de una variable aleatoria discreta X , esta debe

satisfacer

(1) ( )X

F x es escalonada y los puntos de salto son los ix

(2) 0lim ( )X

xF x

; 0lim ( )

Xx

F x

(3) ( )X

F x es no decreciente, es decir, si ( ) ( )X Y

x y F x F y

(4) ( )X

F x es continua por la derecha

Ejemplo: Dado un experimento que consiste lanzar un dado cargado 100 veces se obtiene la siguiente funcin de Probabilidad:

0 1 si 1 3

0 4 si 2

0 2 si 4

0 05 si 5

0 15 si 6

0 en otro caso

. ,

.

.( )

.

.

X

x

x

xP x

x

x


Determine la funcin de distribucin. Solucin De acuerdo a la definicin debemos ir acumulando las probabilidades tal que:

0 si 1

0 1 si 1 2

0 5 si 2 3

0 6 si 3 4

0 8 si 4 5

0 85 si 5 6

1 si 6

.

.

( ) .

.

.

X

x

x

x

F x x

x

x

x

Representaciones grficas:

Funcin de Cuanta Funcin de Distribucin

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1 2 3 4 5 6

Valores de la variable

Pr

ob

ab

ilid

ad

Probabilidad

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valor de la variable

Pro

bab

ilid

ad

Acu

mu

lad

a

Caracterstica de una variable aleatoria Discreta

Definicin Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores 1 2

( , , ...., , ....)n

x x x

se define la esperanza de X como:

Re ( )

( ) ( )i i

c x

E X x P X x

Es decir como la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable multiplicado por su probabilidad.

Propiedades :

(a) Si X es una variable aleatoria y ( )h X una funcin de dicha variable, se define

la esperanza de ( )h X como: Re ( )

( ) ( ) ( )i i

c x

E h X h x P X x

(b) ( ) ( )E aX b aE X b

(c) ( ) ( ) ( ) ( )E h X g X E h x E g x


(d) E aX bY aE X bE Y

(e) E a a a R

Ejemplo: Sea X una variable discreta cuya funcin de probabilidad esta dada por

0 2 si 1

0 3 si 2

0 5 si 3

0 en otro caso

.

.( )

.X

x

xP x

x

Determine la esperanza o el valor esperado de X . Solucin Paso 1: Aplicando la definicin se tiene:

1 0 2 2 0 3 3 0 5 2 3Re ( )

( ) ( ) , , , ,i i

c x

E X x P X x

Definicin: Se define la Varianza de una variable aleatoria discreta X como:

2 2

Re ( )

( ) ( ) ( ) ( )i i

c x

V X E X x P X x

Desarrollando, se tiene que 2 2

( ) ( )V X E X .Tambien se denota2

( )X

V X . A la

Raiz cuadrada positiva de la varianza de X se le denomina desviacin estndar y se

denota por X

Propiedades :

(a) ( ) ( )V X b V X

(b) 2( ) ( )V aX b a V X

(c) 0 , Cte.V a a R

Cecilia Larran - Ana Mara Daz

1

ALGUNOS MODELOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIADA1

DISTRIBUCIN DE BERNOULLI

Considere la inspeccin de un artculo nico salido de la lnea de ensamblaje. Se decide anotar

un 1 si el artculo tiene defectos (xito, con probabilidad p) y 0 (fracaso, con probabilidad

q = 1 p) si no lo tiene. Si X es la variable aleatoria1 que representa el estado del artculo que se inspecciona, entonces X tiene una distribucin de Bernoulli:

Resumiendo, X tiene una distribucin Bernoulli si existen las condiciones siguientes:

1.- El experimento se realiza una sola vez.

2.- El resultado del experimento puede ser un xito o un fracaso.

3.- La probabilidad de xito se denota por p y la probabilidad de fracaso por q. ( p+q=1)

Ejemplos:

Lanzar una moneda y que salga cara. p =

Elegir una persona de la poblacin y que est enfermo. p = 1/1000 = prevalencia de la enfermedad

Si X es una v. a. Bernoulli con parmetro p (X B(1,p) ), entonces la media y la varianza son:

= E(X) = p y 2 = V(X) = pq

DISTRIBUCION BINOMIAL

Si se repite en forma independiente un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con

parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin Binomial.

Ejemplo: En la fabricacin de cilindros para gas, se ha observado que el 8% no cumple con las

especificaciones requeridas. Se toman 4 cilindros y se someten a un control, Cul es la

probabilidad de que 2 cumplan con las especificaciones?, Cul es la probabilidad de que por lo

menos tres cumplan con las especificaciones?

Se define la variable aleatoria

X: N de cilindros en la muestra que cumplen con las especificaciones Se pide calcular las probabilidades P(X = 2) y P(X > 3)

1Una variable aleatoria es una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un

experimento aleatorio. Un modelo de distrib. de prob. es la representacin simblica de una poblacin.

2

Rex X

E(X) = x p(x) 3 2 2 2 2Rec X

V(X) = E(X ) - (E(X)) , E(X ) x p(x)

q , x = 0

p(x) = p , x = 1

0 , en otro caso

donde p es la probabilidad

de observar un artculo

defectuoso (xito).

p + q = 1

Funcin

de

Cuanta

(funcin que asigna las

probabilidades)

X: xito obtenido en la prueba

1-xx , x = 0 , 1 p q

p(x)= , 0 en otro caso


2

En este experimento se indica con E un cilindro cumple con las especificaciones y con D un

cilindro que no cumple con las especificaciones. Con esto, el espacio muestral (conjunto de todos los resultados del experimento) se puede describir:

Resultado x Resultado x Resultado x Resultado x

DDDD 0 DEEE 3 EDDD 1 EEEE 4

DDCE 1 EDEE 3 DDEE 2 EDDE 2

DDED 1 EEDE 3 DEDE 2 EDED 2

DEDD 1 EEED 3 DEED 2 EEDD 2

El suceso en que X = 2 est formado por seis resultados:

{(E,E,DD) , ( D,E,D,E) , (D,E,E,D) , (E,D,D,E) , (E,D,E,D) , (D,D,E,E) } , E = xito, D = Fracaso P(E) = 0,92 P(D) = 0,08

Como debemos suponer independencia en la realizacin del experimento (se supone que la

poblacin es infinita), entonces la probabilidad de (E,E,DD) es

P( 1 2 3 4E E D D ) = P(E1)P(E2)P(D3)P(D4) = (0,92)2(0,08)

2 = 0,00542

Por otra parte, la probabilidad que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente

excluyentes para los que X = 2, es la misma. Por lo tanto

P(X = 2) = 6 (0,0054) = 0,03252

En general,

P(X = x) = (nmero de resultados con x xitos en ) x 4-xP(X=xito) P(X=fracaso)

Determinamos P(X > 3) = P( X = 3) + P(X = 4)

= 4 (0,92)3 (0,08)

1 + 1 (0,92)

4(0,08)

0 = 0,9656

Una variable aleatoria X se distribuye Binomial si existen las cinco condiciones siguientes:

1. El experimento de Bernoulli se realiza un numero determinado de veces (n). 2. El resultado de cada experimento puede ser un xito o un fracaso, la probabilidad de xito

se denota por p y la probabilidad de fracaso por q.

( p+q = 1)

3. La probabilidad de xito p permanece constante de experimento en experimento. 4. La poblacin es infinita (se supone quela realizacin de c/experimento es con reposicin). 5. Se define la v.a X como el n de xitos en las n pruebas o realizaciones

Notacin: X B(n , p)

La funcin de probabilidad o funcin de cuanta es

x n-x

= P(X = x)

np q , x = 0,1,2, ...,n

p(x) = x

0 , en otro caso

Esperanza E(X)= n p ; Varianza V(X) = n p q

Del ejemplo de los cilindros de gas determine:

Probabilidad de que los 4 cilindros no cumplan con las especificaciones.

Probabilidad de que a lo ms uno cumpla con las especificaciones


3

DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICA1.

Se usa para modelar situaciones de poblaciones finitas, en que:

1.- El experimento se repite un nmero determinado de n veces sin reposicin.

2.- El resultado del experimento puede ser un xito (E) o un fracaso (F).

3.- La probabilidad de xito cambia de experimento en experimento.

4.- Se conoce el tamao de la poblacin.(N)

Se defina la v.a.1

X: N de casos favorables en la muestra de tamao n

Espacio muestral del exp. ()

E N F

En donde N1 = N de casos favorables en la poblacin (n de xitos) N N1 = N de casos desfavorables en la poblacin (n fracasos)

Factor decorrecinpara pobl.finitas

2 31 1 1N N N - N N - nEsperanza E(X) = n ; Varianza V(X)= nN N N N -1

Ejemplo:

Una empresa que se dedica al rubro de la computacin, tiene para la venta 5 impresoras a color

comn; 4 impresoras lser y 6 impresoras matriciales. Una persona compre 5 impresoras Cul es

la probabilidad que i) solo 3 de ellas sean lser? ii) Por lo menos una sea lser.

Solucin:

Se define la v.a. X = N impresoras lser (L) entre las 5 vendidas

X Hipergeomtrica

L N = 15 LC

i) Entonces P (X = 3) =

4 11

3 5-3

15

5

= 0,073 ii) P( ) =



2

Rex X

E(X) = x p(x) 3 2 2 2 2Rec X

V(X) = E(X ) - (E(X)) , E(X ) x p(x)

N1 N N1

n

x n - x

La funcin de probabilidad o funcin de cuanta es (funcin que asignas las prob.)

1 1

1

=P(X=x)

N N-N

x n-x , si x = 0,1,2, ... n N

Np(x) =

n

0 , en otro caso

N1 = 4 N N1 = 11

n = 5

x 5- x

Funcin de cuanta

=P(X=x)

4 11

x 5 - x , si x = 0, 1, 2, 3, 4

15p(x) =

5

0 , en otro caso


4

DISTRIBUCIN DE POISSON1

Se utiliza para describir experimentos en el que se observan la aparicin de sucesos puntuales

sobre un soporte contnuo. Por ejemplo, el nmero de llegadas de clientes por hora, el nmero de

accidentes industriales al mes, en nmero de conexiones elctricas defectuosas por milla de

cableado de un sistema. En cada uno de estos casos los sucesos que ocurren se miden en una

unidad de tiempo o distancia.

Para aplicar la distribucin de Poisson es preciso tener en consideracin:

1. La probabilidad de que ocurra el suceso es constante para dos intervalos de tiempo o espacio cualesquiera.

2. La aparicin de un suceso en cualquier intervalo es independiente de su aparicin en cualquier otro intervalo.

Se define la v.a.1 de Poisson como

X: N de sucesos que ocurren en una unidad

Notacin. X ()

La funcin de probabilidad1 o funcin de cuanta es (funcin que asignas las prob.) es:

( ) 0,1,2,3,4,........!

x ep x si x

x

; : promedio de sucesos en la unidad

2 3Esperanza E(X) = ; Varianza V(X)=

Ejemplo.

Una empresa de pavimentacin tiene contrato con una municipalidad para el mantenimiento de

sus calles. Estas calles dan un promedio de 2 defectos por milla, despus de ser utilizadas durante

un ao. Si se consideran que los defectos se ajustan a una distribucin de Poisson. Cul es la

probabilidad que se presente un defecto en cualquier milla, despus de soportar trfico un ao? Solucin:

Se define la v.a. X = N de defectos en el pavimento por milla, entonces X tiene una

distribucinn de Poisson con E(X) = 2 =

X ( = 2)

x -2

=P(X = x)

2 e, 0, 1, 2, ...

p(x) = x!

0 , en otro caso

P(X = 1) =

1 -22 e

1! = 0, 271

La probabilidad que se presente un defecto en cualquier milla, despus de soportar trfico un ao

es 0,271.

Ejemplo:

Suponga que el nmero de veces que el hilo de cierta tela se rompe, en un intervalo de tiempo, es

un proceso de Poisson y que cada 10 horas de trabajo de telar se produce en promedio una

ruptura de hilo. Si se est produciendo cierto tipo de tela, que tomar 25 horas de trabajo en ese

telar, y si dos o ms rupturas hacen que el producto se vuelva no satisfactorio, obtenga la

probabilidad de que la tela se termine en calidad de satisfactorio.

X =

X ( = )



2

Rex X

E(X) = x p(x) 3 2 2 2 2Rec X

V(X) = E(X ) - (E(X)) , E(X ) x p(x)


5

Ejercicios

1. Una venta particular involucra cuatro artculos seleccionados al azar de un gran lote que tiene un 10%

de defectuosos.

a. Cul es la probabilidad de que entre cuatro artculos vendidos a lo ms uno sea defectuoso?. b. El comprador de los artculos devolver los defectuosos para ser reparados, y el costo en pesos de

reparacin es C = 3X2 + 2, siendo X el nmero de defectuosos entre los cuatro artculos vendidos.

Encuentre el costo esperado de reparacin.

2. El nmero de usuarios que no pueden acceder a un determinado sitio web, en una hora, es una variable

aleatoria distribuida Poisson con promedio de 6 usuarios por hora.

Calcule la probabilidad, de que en un periodo de media hora no puedan acceder a este sitio web, tres

o ms usuarios.

3. DISTRIBUCIN GEOMETRICA (est relacionada con el exp. de Bernoulli)

1.- El experimento de Bernoulli se repite hasta obtener un xito.

2.- El resultado del experimento puede ser un xito o un fracaso.

3.- La probabilidad de xito (p) es independiente del obtenido en otro experimento

Se define la v.a.

X: N de pruebas necesarias para obtener el primer xito.

Funcin de cuanta: ...,.........4,3,2,1)( 1 xsiqpxp x

2

)(;1

)(p

qXVVarianza

pXEEsperanza

Ejemplo:

Un organismo de defensa del consumidor analiza unidades de un producto hasta encontrar uno,

que no presenta su fecha de vencimiento . Se sabe que en el mercado un 3% de unidades de este

producto no tiene su fecha de vencimiento . Cul es la probabilidad que se tengan que revisar

menos de 4 unidades?

4. DISTRIBUCIN PASCAL (est relacionada con el exp. de Bernoulli)

Se defina la v.a.

X: N de pruebas de Bernoulli necesarias hasta obtener r xitos.

Funcin de cuanta:

......3,2,1,1

1)(

rrrrxsiqp

r

xxp rxr

2

)(:;)(p

qrxVVarianza

p

rXEEsperanza

Ejemplo.

Usando el enunciado anterior (3), Cul es la probabilidad que se revisen a lo ms 6 unidades

para encontrar 3 sin fecha de vencimiento?

Ana Mara Daz Pgina 1

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Definicin: Una variable aleatoria continua es aquella que toma valores en uno o varios intervalos de la recta real.

En las variables continuas la funcin de probabilidad no se puede calcular como la

suma de las probabilidades de ciertos puntos porque el conjunto de posibles valores de la variable es no numerable.

FUNCIN DE DENSIDAD.

Sea X una variable aleatoria continua, con funcin de densidad fx (x), tal que:

0)( xf X

1)( dxxf X

La funcin de densidad se emplea para calcular un rea que representa la

probabilidad de que X tome un valor en el intervalo 21, xx , es decir :


Ejemplo 1: La temperatura a que tiene lugar una reaccin qumica es una variable

aleatoria, con funcin de densidad:

casootroen

xsixKxf X

0

214)(

Cul debe ser el valor de k, para que f(x) sea funcin de densidad?

Solucin.

Sabemos que se debe cumplir que:

1)( dxxf X , entonces

21

214

2

1

kdxxK

Cul es la probabilidad que la temperatura de la reaccin qumica se encuentre

entre -0,5 y 0,5?


Funcin de distribucin

La funcin de distribucin F 0 1: ,R 0 , nos da la probabilidad acumulada desde - hasta el valor que se tiene en consideracin:

x

XX dttfxXPxF )()()(

Esta funcin es Continua.

Por lo tanto la funcin de densidad de una variable aleatoria continua, es la derivada

de su funcin de distribucin, '

( ) ( )X Xf x F x

Por otra parte, las variables aleatorias continuas verifican las siguientes propiedades:

1 0 ; 1 . lim ( ) lim ( )X X

x xF x F x

2

1

1 2 2 12. ( ) ( ) ( ) ( )

x

X

x

P x X x f t dt F x F x

1 2 1 2 1 2 1 2 2 13. ( ) ( ) ( )P x X x P x X x P x X x P x X x F x F x 2

2

2

4 0 . ( ) ( )

x

X

x

P X x f t dt x R

Ejemplo 2 . Tomando la funcin de densidad de la temperatura (ejemplo1), vamos a

determinar la funcin de distribucin.

Solucin.

10)4(21

20)(2

21

98)4(

21

20)(21

00)()(1

1 2

1 2

21

1

x

X

x

X

xx

XX

dtdttdtxFxsi

xxdttdtxFxsi

dtdttfxFxsi

Por lo tanto:

21

2121

9810

)(2

xsi

xsixx

xsi

xFX


Ejemplo 3. El peso de una naranja para la elaboracin de jugo concentrado (Kg), se

puede considerar una variable aleatoria, con funcin de densidad:

..0

2.01.0)01.0(2

125

)(

COen

xsix

xf x

Calcular la probabilidad que una naranja, elegida al azar, tenga un peso:

1.- Superior a 0.15 Kg.

Sol. 0.578125

2.- De a lo ms 0.18 Kg.

Sol. 0.75

3.- Entre 0.12 y 0.16 Kg.

Sol. 0.375

Esperanza Matemtica

Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad f (x), se define la

esperanza de X, como:

dxxfxXE X )()(

Propiedades : Sea X una variable aleatoria continua y g(x) = a X + b, en donde a y b

son constantes.

(a) ( ) ( )E aX b aE X b

(b) ( ) ( ) ( ) ( )E h X g X E h x E g x

(c) E aX bY aE X bE Y

(d) E a a a R (e) Min MxX E ( X ) X


Esperanza de una funcin

Si X es una variable aleatoria y ( )g X una funcin de X , entonces se define la

esperanza de ( )h X como:

dxxfxgxgE X )()())((

Varianza

Sea X una variable aleatoria continua con funcin de densidad f(x), se define la varianza, como:

dxxfXExXExE XX )())(()(222

Una formula equivalente para calcular la varianza, esta dada por:

222 )()( XEXEX

Propiedades : Sea X una variable aleatoria continua , entonces:

(a) ( ) ( )V X b V X

(b) 2( ) ( )V aX b a V X

(c) 0 , Cte.V a a R

Ejemplo 4. Tomando la informacin del ejemplo 1. Determinar la temperatura

esperada y la desviacin estndar de la temperatura.

Solucin.

8391.07041.0)(

7041.02857.0421

2)()()(

2857.0)4(21

2)(

22

1

2222

2

1

x

dxxxXEXEx

dxxxXE


Ejercicios.

1.- Sea V la variable aleatoria que indica el nmero de ventas diarias de un

determinado artculo, en cierto supermercado. Las ventas diarias del artculo tienen la siguiente funcin de cuanta:

P (v) = P ( V = v ) = (24 -5v) / 70 si v = 0, 1,2,3,4.

1.1.- Cul es la probabilidad que en un da se vendan ms de 2 artculos?

1.2.- Encuentre la mediana, valor esperado y la varianza de V.

1.3.- En los das en que se venden menos de 4 artculos. Cul es la

probabilidad de que se venda por lo menos uno?

2.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida til de

un compresor se puede modelar con la siguiente funcin de densidad:( en

aos)

2.1.- Cul es la vida esperada del compresor?

2.2.- Qu porcentaje de los compresores tienen una vida de por lo menos 1 ao?

2.3.- Si se quiere garantizar el 10% de los compresores. Cul debe ser la vida til

garantizada por el fabricante?

1


Modelo de Variable Aleatorias

Si un conjunto dado de variables aleatorias (distribuciones) tienen sus funciones de

cuanta o de densidad con la misma estructura funcional matemtica, diremos que

pertenecen a la misma familia de distribuciones o al mismo modelo de probabilidad. La estructura matemtica depende de 1 ms parmetros, y se les llama

parmetros de la distribucin.

1.- Distribucin de probabilidad Uniforme ,X U a b

Se dice que la variable aleatoria X posee una Distribucin Uniforme en el intervalo [ a ,

b ], si su funcin de densidad es la siguiente:

..0

1

)(

coen

bxasiab

xf X

Si X ~ U ( a ; b ) su Funcin de Distribucin esta dada por:

bxsi

bxasiab

axaxsi

xFX

1

0

)(

Grficamente

Esperanza 2

( ) ( )

b

a

a bE X xf x dx

Varianza

22

12

( )( )

X

b aV X

2


Ejemplo 1. El tiempo que una persona emplea para desarrollar cierta tarea, tiene u

comportamiento uniforme entre 30 y 40 minutos. Si la persona comienza a desarrollar

una nueva tarea. Cul es la probabilidad que el tiempo empleado sea inferior a 38

minutos?

Solucin.

Sea X : tiempo que emplea una persona para desarrollar cierta tares, en minutos.

X ~ U ( 30 ; 40 )

8.03040

3038)38()38(

XFXP

Ejemplo 2. En un sistema de abastecimiento de agua formado por bombas en paralelo que descargan a una mltiple de distribucin. La descarga de una bomba

(10 (litros/minutos) se considera una variable aleatoria con distribucin Uniforme en

el intervalo ( 5.4 ; 5.8 ).

a.- Cul es la descarga esperada de agua, por este tipo de bombas? Sol. 5.6* 10 (litros/minutos)

b.- Qu porcentaje de las veces la bomba descarga entre 5500 (litros/minutos) y

5750 (litros/minutos)? Sol. 62.5 %

2.- Distribucin de Probabilidad Exponencial X Exp

La variable aleatoria X tiene distribucin exponencial de parmetro > 0, cuya funcin de densidad es:

00

0

)(

xsi

xsie

xf

x

X

Grficamente

3


Si X ~ Exp ( ) , su funcin de Distribucin es:

01

00

)(

xsie

xsi

xFx

X

Grficamente

.

Esperanza

0

1( ) ( )E X xf x dx

Varianza 2

2

1( )

XV X

Observacin:

Se dice que la distribucin exponencial no tiene memoria, ya que en la duracin que tenga un objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva

funcionando.

Ejemplo1.- Se sabe que el tiempo de falla, en aos, de un componente de cierto sistema electrnico tiene un comportamiento exponencial con un tiempo promedio de

falla de 5 aos. Cul es la probabilidad que este tipo de componente falle despus

de 8 aos?

Solucin. X : tiempo que demora en fallar un componente, en aos.

E ( X ) = 5 = 1/ 5 = 0.2 X ~ Exp ( 0.2 )

202.0)1(1)(1)8(1)8( 82.0 exFXPXP X

4


Ejemplo2. El tiempo, en minutos, que transcurre antes de que una persona sea

atendida en una cafetera es una variable aleatoria que tiene una distribucin

exponencial con parmetro 0.25 . Cul es la probabilidad que una persona

sea atendida antes del tiempo esperado?

Sol. P( X< 4 ) = 0.6321

Ejemplo3. La vida til de cierto tipo de batera tiene un comportamiento exponencial con media 10 aos. Si se sabe que la batera ha estado funcionando por

lo menos 4 aos. Cul es la probabilidad que funcione a lo ms 15 aos?

Solucin.

Sea X : Tiempo de vida til de una batera, en aos. X ~ Exp ( 1/10)

6672.06703.0

4472.0

)4(

)154()4/15(

XP

XPXXP

o bien

P ( X 11 ) = 0.6672

5


3. Distribucin de Probabilidad Normal 2,X N

Si una variable aleatoria continua tiene un comportamiento que se puede modelar por

la siguiente funcin de densidad:

..

.

0

02

1

)(

2

2

1

coen

xsie

xf

x

X

Entonces se dice que X tiene distribucin Normal de parmetros y .

Grficamente.

A partir de la grafica, se puede apreciar que. La curva es simtrica alrededor de su eje vertical, donde se encuentra el

parmetro . La curva es asinttica al eje horizontal. La curva tiene sus puntos de inflexin en x = , es cncava hacia abajo si

< x < + . La curva toma su mximo valor cuando x = .

Su Funcin de Distribucin se puede encontrar:

dtexF

tx

X

2

2

1

2

1)(

6


F(x) es el rea sombreada de esta grfica

Esperanza ( ) ( )E X xf x dx

Varianza 2

( )X

V X

Propiedades: (1) Moda: Por ser una distribucin simtrica y campaniforme la esperanza, la

mediana y la moda coinciden y son igual a .

(2) Asimetra: La distribucin es siempre simtrica por lo tanto su coeficiente de

asimetra es siempre Cero.

(3) Curtosis:

2

4

43 0

Teorema.

Sea X una variable aleatoria, tal que X ~ N ( , ), se define la variable

aleatoria

xZ , cuya funcin de densidad esta dada por:

..0

2

1

)(

2

2

coen

zsie

zf

z

Z

Entonces Z ~ N ( 0 ; 1 ) conocida como la distribucin Normal Estndar

Observacin: Para facilitar el clculo de las probabilidades existen tablas que dan directamente el rea bajo la curva hasta el valor z, para el caso = 0 y = 1

7


Ejemplo Sea Z ~ N ( 0 ; 1 ) . Calcular las siguientes probabilidades:

1. P ( Z 1.23 ) = La tabla nos muestra la probabilidad acumulada, es decir la funcin de distribucin. En la tabla se debe buscar el valor de z, como se muestra:

Por lo tanto P ( Z 1.23 ) = F (1.23) = 0.8907

2. P ( Z > -2.00) = 1-P ( Z -2.00) = 1- 0.0228 = 0.9772

3. P ( -0.5 X 0.34 ) = F ( 0.34 ) - F ( -0.5 ) 0.6331 - 0.3085

8


Ejemplo 1

El tiempo de aprobacin de un crdito en una entidad bancaria se distribuye

normalmente con media 6 das y varianza 4 (das)2 . Si se escoge al azar un prstamo , Cul es la probabilidad que:

1.1.- Demore a lo ms 5 das en aprobarse.

1.2.- El tiempo de aprobacin se encuentre entre 4 y 7 das

Ejemplo 2

El monto de las pensiones otorgadas por una AFP es una variable aleatoria que se distribuye aproximadamente normal con una desviacin estndar de 50 mil pesos.

Adems se sabe que un 27,43% de las pensiones otorgadas tienen un monto superior

a $ 180000.

2.1.- Cul es monto esperado de la pensin? 2.2.- Si se elige un pensionado al azar Cul es la probabilidad que el monto de su

pensin sea como mximo $ 150000?

2.3.- Si se eligen al azar y en forma independiente a 5 pensionados. Cul es la

probabilidad que dos de ellos reciban una pensin con un monto inferior a $150000?

Ejemplo3.

En cierta industria textil, las ventas diarias se distribuyen normal con una media

de 1,5 millones de pesos y una desviacin estndar de 0,3 millones de pesos. La

industria decide realizar una campaa de promocin de sus productos, estimando

que sus ventas aumentan en un 10%. Cul es la probabilidad que las ventas en un da cualesquiera, despus de la campaa, supere los 2 millones de pesos?

Ejemplo 4.

En cierta industria automotriz, el nmero de horas semanales de trabajo que se pierden por enfermedad (x), se distribuye aproximadamente normal con una media de

60 horas y desviacin estndar de 15 horas. Si la perdida econmica se relaciona con

el nmero de horas semanales perdidas por enfermedad a travs de la siguiente

formula:

P = 250 + 350 X, (en pesos)

Determine la probabilidad que la perdida econmica se encuentre comprendida entre $20000 y $25000.

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO MATEMTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIN

Prof. Alma Placencia Prof. Rosa Monao

1) Definicin de Vector Aleatorio de dimensin n, o variable aleatoria n dimensional. Def: Se dice que (X1, X2, X3,, Xn) es una variable aleatoria de dimensin n, si X1, X2, Xn, son n variables aleatorias, tal que: f(x1, x2, x3,, xn) es la funcin de densidad conjunta, si Xi son v.a.c. p(x1, x2, x3,, xn) es la funcin de cuanta conjunta, si Xi son v.a.d. f(xi) es la funcin de densidad marginal de Xi . p(xi) es la funcin de cuanta marginal de Xi .

2) Definicin de Independencia de n variables aleatorias. Def: Se dice que (X1, X2, X3,, Xn) son n variables aleatorias independientes, si y slo si se cumple:

f(x1 ,x2, , xn) = ( ) ( ) ( ) ( )in

in xfxfxfxf

121 ...

=

= pi para toda x1 ,x2, , xn

p(x1 ,x2, , xn) = ( )in

ixp

1=pi , para toda x1 ,x2, , xn

Consecuencias: Si (X1, X2, , Xn) son n variables aleatorias independientes, se cumple:

E[X1+ X2+ + Xn] = [ ] [ ] [ ] [ ]=

=+++n

iin XEXEXEXE

121 ...

V[X1+ X2+ + Xn] = [ ] [ ] [ ] [ ]=

=+++n

iin XVXVXVXV

121 ...

ya que Cov [Xi; Xj] = 0 , xi xj , en v.a. indep. Si Xi ~ N ( )2; ii ; i = 1, 2, entonces:

X1 + X2 ~ N ( )222121 ; ++ X1 - X2 ~ N ( )222121 ; +

Etc.

3) Definicin de muestra aleatoria de Tamao n (m.a.(n)) Def. Se dice que (X1, X2, , Xn) es una m.a (n), si (X1, X2, , Xn) son n v.a. independientes y tienen la misma distribucin de probabilidad.

4) Distribucin de probabilidad Ji-cuadrado o Chi-cuadrado ( )2n Def: Sean (X1, X2, , Xn), n v.a. independientes distribuidas N(0,1), entonces:

2222

21 ~... nnXXX +++ (Ji-cuadrado con n grados de libertad)

Def: Sea (X1, X2, , Xn) n v.a. independientes, tal que Xi ~ N(; 2), i = 1,2,,n,

entonces 2

1

2

~ nn

i

iX

=

(Ji-cuadrado con n.g.l.)

Propiedades: Es una distribucin de probabilidad asimtrica, unimodal, con Recorrido (0; +

), con E[X]= n V(x) = 2 n. Grficamente (caso; n = 1, n =2, n > 2)

Uso de tabla Ji cuadrado En la tabla aparecen los percentiles correspondientes a ciertos valores de probabilidad dados.

Ejemplo: Determinar k, tal que [ ] 99,0220 = kP Resp k = 99

299,0;20 566,37 P== (Percentil 99)

Ejemplo: Determinar k1, tal que [ ] 05.012185 =< kP 05

205.0;200

205.0;1851 279,168 Pk ===

5) Distribucin de Probabilidad t de Student

Def: Sea X ~ N(0;1) y sea Y ~ 2n . Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces:

ntnY

X~

/ (t de Student con n grados de libertad)

Propiedades:

Es una distribucin de probabilidad simtrica respecto a su media igual a cero, es unimodal, con Recorrido (-, + ). Su grfica es ms achatada que N(0,1) o ms dispersa, pero cuando (n ), n es grande, se aproxima en forma y probabilidad a la N(0,1). Grficamente:

-600 -400 -200 0 200 400 600

0.00

00.

002

0.00

40.

006

t Distribution: Degrees of freedom=1

x

Dens

ity

-30 -20 -10 0 10 20 30

0.00

0.10

0.20

0.30

t Distribution: Degrees of freedom=2

x

Dens

ity

-4 -2

ANALISIS ESTADISTICO

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