UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS

CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL

DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Trabajo de Investigación Tutelado

Alejandro de Miguel Tejada

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Tutor:

Pablo de la Fuente Martín

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Junio de 2011

�

Resumen La aparición de estructuras cada vez más esbeltas en el panorama de la

ingeniería civil, hace que los periodos propios de oscilación sean más largos. Este factor hace que cargas que en otra época podían considerarse estáticas, adquieran un carácter dinámico y por tanto cambien por completo la forma de analizar y calcular la estructura.

Tradicionalmente se ha abordado el cálculo dinámico, mayorando las cargas dinámicas a las que se veía sometida una estructura. A partir de aquí el método seguido para obtener la respuesta, era similar al empleado en el campo de la estática.

Diversas exigencias; crecientes en nuestros días, como el confort, conocimiento de los coeficientes de seguridad..., hacen del análisis dinámico una herramienta fundamental para abordar el problema.

Se centrará este Trabajo de Investigación, en el análisis dinámico de estructuras desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, método que ha cobrado una gran importancia por dos motivos fundamentales:

• De un lado, está la llegada de los ordenadores, capaces de reducir los tiempo de análisis hasta límites inimaginados hace no muchos años.

• Por el otro, es el método más eficaz de análisis cuando en el sistema a analizar, existan circunstancias que hagan inabordable el problema desde otro punto de vista, como en el caso de amortiguamientos no proporcionales, o parámetros dependientes de la frecuencia excitadora.

Por último se incluye en este Trabajo de Investigación, una aplicación experimental que ayuda a entender parte de las aplicaciones de un algoritmo tan importante, en lo que a dominio de la frecuencia se refiere, la transformada de Fourier.

kc

'

'

A

0

0±A

T

fT = 1

fu

A2A

60km/h

Tf

h

f = 12⇡

q

km

�t

�⇧H = 0

� (t1, t2)

⇧H =ˆ t2

t1

(Ep � Ec)dt +ˆ t2

t1

Eddt

Ep Ec Ed

mu + cu + ku = p(t)

m

c

k

u

u

u

mu

cu

ku

p(t)

F (t)I + F (t)D + F (t)K = p(t)

m c k

{M}u + {C}u + {K}u = p(t)

u u u

t

p(x, t)

m@2u

@t2+

@2

@x2(EI

@2u

@x2) = p(x, t)

u

@2

@x2(EI

@2v

@x2+ c I

@3v

@t@x2) + m

@2v

@t2+ c

@v

@t= p(x, t)

u(y, t) i(y) �i(t)

u(y, t) =1X

i=1

i(y)�i(t)

i(y)

�i(t)

F (t)I + F (t)D + F (t)K = {p(t)}

{u}{a}i Yi(t)

{u} = [a] {Y }i

[a]{u}

M {u} + C {u} + K {u} = {p(t)}

Yi + 2Di!iYi + !2i Yi =

Pi(t)Mi

Pi(t) = {a}Ti {p(t)}

Mi {a}Ti M {a}i

!i

Di

{u} = {a}1 Y1 + {a}2 Y2 + ... + {a}n Yn

�t

�t �t

�t

T

�t

�tT 1

10�t

x(t)p(t)

H(⌦)P (⌦) H(⌦)P (⌦)

X(⌦)x1(t) p1(t)

x2(t) p2(t)

X1(⌦)P1(⌦)

=X2(⌦)P2(⌦)

= .........Xn(⌦)n(⌦)

= H(⌦)

X1(⌦) P1(⌦)

H(⌦)p(t)

g(t) Tp

g(t) = g(t + nTp)

Tp

g(t) = a0 +1X

n=1

ancos(2⇡nf1t) +1X

n=1

bnsin2⇡(nf1t)

f1 = 1Tp

an = 2Tp

´ Tp2

�Tp2

g(t)cos(n⌦1t)dt

bn = 2Tp

´ Tp2

�Tp2

g(t)sin(n⌦1t)dt

a0 = 1Tp

´ Tp2

�Tp2

g(t)dt

⌦1 = 2⇡f1

g(t) = a0 +1X

n=1

ancos(n⌦1t) +1X

n=1

bnsin(n⌦1t)

g(t)

g(t) (�Tp

2 ,Tp

2 )

g(t)g(↵+0) g(↵�0) ↵

t = 0

p0

u(t) =p0

k

(p0sin⌦1t)

u(t) =p0

k

11� �2

sin(⌦1t)

(p0cos⌦1t)

u(t) =p0

k

11� �2

cos(⌦1t)

� = ⌦1!

! :⌦1 :

(p0sin⌦1t)

u(t) =p0

k

1(1� �2)2 + (2⇠�)2

�

(1� �2)sin(⌦1t)� 2⇠�cos(⌦1t)

(p0cos⌦1t)

u(t) =p0

k

1(1� �2)2 + (2⇠�)2

�

2⇠�sin(⌦1t) + (1� �2)cos(⌦1t)

g(t) = a0 +1X

n=1

ancos(n⌦1t) +1X

n=1

bnsin(n⌦1t)

u(t) =a0

k+

1X

n=1

an

k

11� �2

n

cos(n⌦1t) +1X

n=1

bn

k

11� �2

n

sin(n⌦1t)

�n = n⌦1!

u(t) =a0

k+

1X

n=1

an

k

1(1� �2

n)2 + (2⇠�n)2�

2⇠�nsin(n⌦1t) + (1� �2n)cos(n⌦1t)

+1X

n=1

bn

k

1(1� �2

n)2 + (2⇠�n)2�

(1� �2n)sin(n⌦1t)� 2⇠�ncos(n⌦1t

=a0

k+

1X

n=1

1k

1(1� �2

n)2 + (2⇠�n)2[�

an2⇠�n + bn(1� �2n)

sin(n⌦1t)+

�

an(1� �n)2 � bn2⇠�n

cos(n⌦1t)]

⇠⇠ = c

cc

sin(n⌦1t) =ein⌦1t � e�in⌦1t

2i

cos(n⌦1t) =ein⌦1t + e�in⌦1t

2

g(t) =1X

n=�1cnein⌦1t

p = ei⌦1t

mu + cu + ku = ei⌦1t

u = e�⇠!t(Acos(!ddt) + Bsin(!dt))

!d = !p

1� ⇠2 !

u = Hei⌦1t

u u u

(�m⌦21 + ic⌦1 + k)Hei⌦1t = ei⌦1t

u = e�⇠!t(Acos(!dt) + Bsin(!dt)) +1

�m⌦21 + ic⌦1 + k

ei⌦1t

ei⌦1t

H(⌦1)ei⌦1t

H(⌦1) =1

�m⌦21 + ic⌦1 + k

=1

k(��2 + 2i⇠� + 1)

� = ⌦1!H(⌦1)

g(t) =1X

n=�1cnein⌦1t

u(t) =1X

�1cnH(n⌦1)ein⌦1t

cn =1Tp

ˆ Tp2

�Tp2

g(t)e�in⌦1tdt

g(t) =1X

�1cnein⌦1t

cn =1Tp

ˆ Tp2

�Tp2

g(t)e�in⌦1tdt

Tp

⌦1 = 2⇡Tp

= �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦

cn

g(t) =1X

�1cnein⌦1t =

1Tp

1X

�1(cnTp)ei⌦nt =

12⇡

1X

�1(cnTp)ei⌦nt�⌦

cnTp =ˆ Tp

2

�Tp2

g(t)e�in⌦1tdt =ˆ Tp

2

�Tp2

g(t)e�i⌦ntdt

Tp �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦ ⌦.

cnTp = G(⌦) =ˆ 1

�1g(t)e�i⌦tdt

g(t) =12⇡

ˆ 1

�1G(⌦)ei⌦td⌦

G(⌦) g(t)G(⌦)

1X

�1cnei⌦nt

u(t) =1Tp

1X

�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt =

12⇡

1X

�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt4⌦

Tp

u(t) =12⇡

ˆ 1

�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦

�(t)

�(t) = 0 t 6= 0

�(t) t = 0

´1�1 �(t)dt = 1

h(t) =12⇡

ˆ 1

�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦

´1�1 f(z)�(z � t0)dt = f(t0)

G(⌦) =ˆ 1

�1�(t)e�i⌦tdt = 1

G(⌦) h(t)

h(t), H(⌦)

U(⌦) u(t)

u(t) =12⇡

ˆ 1

�1U(⌦)ei⌦td⌦

U(⌦) = G(⌦)H(⌦)

g(t) h(t) g(t) ⇤ h(t)

u(t) = g(t) ⇤ h(t) =ˆ 1

�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧

h(⌧)

g(⌧)

g(⌧)

U(⌦) =ˆ 1

�1[ˆ 1

�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧ ]e�i⌦tdt =

ˆ 1

�1[ˆ 1

�1h(t� ⌧)e�i⌦tdt]g(⌧)d⌧

t� ⌧ = y

U(⌦) =ˆ 1

�1[ˆ 1

�1h(y)e�i⌦tdy]e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ =

ˆ 1

�1H(⌦)e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ = H(⌦)G(⌦)

U(⌦) u(t)

u(t) =12⇡

ˆ 1

�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦

Tp

G(⌦) =ˆ 1

�1g(t)e�i⌦tdt

⌦1 = �⌦ =2⇡Tp

Tp �t,tm = m�t.

g(t) =�⌦2⇡

1X

�1G(⌦)ei⌦nt

⌦n = n⌦1

ei⌦nt = ein�⌦m�t = ein 2⇡

Tpm�t = ein 2⇡

N�t m�t = e2⇡in mN

g(tm) =�⌦2⇡

N�1X

n=0

G(⌦)e2⇡in mN

(N � 1)�⌦g(t), G(⌦)

G(⌦) = Tpcn =ˆ Tp

2

�Tp2

g(t)e�i⌦ntdt

G(n�⌦) = �t

N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡in mN

�⌦

Tp = N�t

u(n�t) =N�1X

n=0

g(n�t)h {(m� n)�t}�t

g(t) h(t) �t

g(m�t)h(m�t)

G(n�⌦) =N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡im nN

h(t)h(t)

”T0”

G(n�⌦) H(n�⌦)

U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)

u(m�t) =12⇡

N�1X

m=0

U(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

h(t)H(⌦)

H(⌦)

Tp = 1,6

Tp

m�t m �t = 0,1

G(n�⌦) =N�1X

m=0

g(m�t)e�im�tn�⌦�t =N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡im nN �t

n�⌦n�f �f

�f =�⌦2⇡

=1Tp

Tp = 2⇡�⌦ = 1

�f = 1, 6

�⌦ = 1,25⇡ �f = 0,625

n = N2

n = N2 .

k�⌦

G(k�⌦) =N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡im kN �t

k�⌦ N �⌦2 l�⌦ l = N

2 + (N2 � k) = N � k

G {(N � k)�⌦} =N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡im(N�k)

N �t =

=N�1X

m=0

g(m�t)e2⇡im kN �t

n = �k

G {(�k)�⌦} =N�1X

m=0

g(m�t)e2⇡im kN �t

N �⌦2

N �⌦2

N �⌦2 = ⇡

�t �t

G(⌦) =ˆ t1

0e�i⌦tdt

G(⌦) =ˆ t1

0cos(⌦t)dt� i

ˆ t1

0sin(⌦t)dt =

sin(⌦t1)⌦

+ icos(⌦t1)� 1

⌦

N�⌦N �⌦

2

N �⌦2

�t

⇡�t

�t

�tTp

H(⌦)

H(⌦)

h(t)

G(⌦) =ˆ t1

0e�i⌦tdt =

sin(⌦t1)⌦

+ icos(⌦t1)� 1

⌦

�⌦

N�⌦N �⌦

2

N2

N2

g(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

N = 16 �⌦ = 1,25⇡.

N �⌦2

N

H(⌦) =1

m(!2 � ⌦2)

!h(t)

H(⌦)

�⌦ = 0,15625Tp = 64⇥ 0,15625 = 10

H(n�⌦)

H(n�⌦) =1

m(!2 � ⌦2)

H(⌦).

g(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

h(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

H(⌦)h(t)

h(t) =1

m⌦sin(⌦t) t > 00 t < 0

h(t)

h

H(⌦) h(t)

h(t)”⇠”

h(t)

�⌦

Tp = 2⇡�⌦

h(t) 2⇡r�⌦ r

�1 1

h(t) =1

m!de�⇠!(t� 2⇡

�⌦m)sin!d(t� 2⇡�⌦m)

m

h(t)

h(t)

h(t) =1

m!d

0X

r=�1e�⇠!(t�rTp)sin(!d(t� rTp))

sin✓ = 12(ei✓ � e�i✓)

h(t) =1

m!de�⇠!t

0X

r=�1e⇠!rTp

ei!d(t�rTp) � e�i!d(t�rTp)

2i=

=1

m!d

e�⇠!t

2i

(

ei!dt0X

r=�1e�rTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt

0X

r=�1e�rTp(�⇠!�i!d)

)

�r r

h(t) =1

m!d

e�⇠!t

2i

(

ei!dt1X

r=0

erTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt1X

r=0

erTp(�⇠!�i!d)

)

h(t) =1

m!d

e�⇠!t

2i

⇢

ei!dt

1� eTp(�⇠!+i!d)� e�i!dt

1� eTp(�⇠!�i!d)

�

h(t) =e�⇠!t

m!d

⇢

sin(!dt)� e�⇠!Tpsin(!d(t� Tp)1� 2e�⇠!Tpcos(!dTp) + e�2⇠!Tp

�

h(t) h(t)Tp Tp h(t)

h(t)

Tp

⇠ = 0

h(t) =1

2m!(sin(!t) +

cos(!t)sin(!Tp)1� cos(!Tp)

h(t)

h(t) h(t) Tp

h(t)

g(t) Tp

h

Th,

h

g h

Tp = p�t Th = q�t T0 T0 = N�t = (p + q + 1)�t

Th

Th

Th

h

Th

Tp +Th

g tp

g

tpTh g

g

0t0p

th

g Tp

Tp

T0 = Tp + T2

T0.

h(t),0 < t < T0

t = 0,�T0,�2T0... h(t)

h(t) =e�⇠!t

m!d

⇢

sin(!dt)� e�⇠!T0sin(!d(t� T0))1� 2e�⇠!T0cos(!dT0) + e�2⇠!T0

�

u(k�t)g(t)

u(m�t) =N�1X

j=0

g(j�t)h {(m� j)�t}�t

u(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

G(n�⌦) g(m�t) H(n�⌦)h(m�t)

u(m�t) u(m�t)

t = 0 u(m�t) u(m�t)0 < t < T0

T0

u(m�t)

u(m�t)u(m�t)

t = 0 u(0) u(0)u(m�t) u(0)

t = 0 u(0)u(0) u(0)

t = 0 u(0)

u(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

H(n�⌦) h(t)

h(t) =1

m!d

e�⇠!t

2i

⇢

ei!dt

1� eT0(�⇠!+i!d)� e�i!dt

1� eT0(�⇠!�i!d)

�

U(⌦).

U(⌦).

U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)

U(n�⌦)�N

2N2 ,

u(m�t) =1T0

N2X

n=�N2

U(n�⌦)e2⇡in tT0

t = m�t

T0 = N�t

�⌦ = 2⇡T0

t = 0 t = 0

u(0) =2⇡i

T 20

N2X

n=�N2

nU(n�⌦) =2⇡i

T 20

N2X

n=�N2

nRe {U(n�⌦)} + inIm {U(n�⌦)}

Re {U(n�⌦)}) U(n�⌦)Im {U(n�⌦)}) U(n�⌦)

Re {U(n�⌦)} nRe {U(n�⌦)}

Im {U(n�⌦)} nIm {U(n�⌦)}

u(0) =�4⇡T 2

0

N2X

n=0

nIm {U(n�⌦)}

�u(0) = u(0)� u(0)

�u(0) = u(0)� u(0)

u(k�t)�u(0) �u(0)

t = 0

r(t) = e�⇠!t(cos(!dt) +⇠!

!dsin(!dt))

t = 0

s(t) =e�⇠!t

!dsin(!dt)

⌘1(t) = �u(0)r(t)

⌘2(t) = �u(0)s(t)

u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)

�(t) N � 2u1 �(t) N � 1

u2

�(t) u1 h (N�2)�tu2 h (N � 1)�t

R1 R2

u(m�t) = u(m�t) + R1u1(m�t) + R2u2(m�t)

R1u1(0) + R2u2(0) = u(0)� u(0)R1 ˙u1(0) + R2 ˙u2(0) = u(0)� ˙u(0)

u(0) u(0)

u(0)

u(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦

˙u(0)

˙u(0) = � 4⇡(T0)2

N2X

n=0

nIm {U(n�⌦)}

˙u1(0) ˙u2(0) h(t)

˙h(t) =1

m!d�e�⇠!t

n

!dcos!dt� !de�⇠!T0cos!d(t� T0)

o

� ⇠!h(t)

� = 1� 2e�⇠!T0cos!dT0 + e�2⇠!T0

˙u1(t) ˙h(t) (N � 2)�t

˙u2(t) ˙h(t) (N�1)�t

u1(0) = h(2�t) ˙u1(0) = ˙h(2�t)u2(0) = h(�t) ˙u2(0) = ˙h(�t)

R1 R2

u(n�t) =N�1X

n=0

g(n�t)h {(m� n)�t}�t

G(n�⌦) =N�1X

m=0

g(m�t)e�2⇡in mN �t

G(n�⌦) g(t).

H(n�⌦) =N�1X

k=0

h(k�t)e�2⇧in kN �t

H(n�⌦)h(t).

U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)

U(n�⌦)

u(m�t) =12⇡

N�1X

n=0

U(n�⌦)e2⇡in mN

u(m�t)

N2

N2

N2

N = 2� �

X(n) =N�1X

m=0

x(m)e�2⇡in mN

�t.� = 3.

W = e�2⇡ iN

n m

n = 4n2 + 2n1 + n0

m = 4m2 + 2m1 + m0

n0 n1 n2 m0 m1 m2

X(n2, n1, n0) =1X

m0=0

1X

m1=0

1X

m2=0

x(m2, m1, m0)Wnm

Wnm

Wnm = W (4n2+2n1+n0)(4m2+2m1+m0) = W (4n2+2n1+n0)4m2W (4n2+2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0

WmN = e�2⇡im NN = cos(2m⇡)� isin(2m⇡) = 1

W 16n2m2 = W 8n1m2 = W 8n2m1 = 1

Wnm = W 4n0m2W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0

X(n2, n1, n0) =1X

m0=0

1X

m1=0

(

1X

m2=0

x(m2, m1, m0)W 4n0m2

)

W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0

x1(n0, m1, m0) =1X

m2=0

x(m2, m1, m0)W 4n0m2

m1 m0 n0

x1(n0, m1, m0) = x(0, m1, m0)W 0 + x(1, m1, m0)W 4n0

x1 xn0 = 1 m1 = 0 m0 = 1

x1(1, 0, 1) = x1(5) =

x(0, 0, 1)W 4⇥1⇥0 + x(1, 0, 1)W 4⇥1⇥1 = x(1) + x(5)

x x1

x(1) x(5) W 4

x(5) x1(5)4n0m2 m2 = 0 4n0 m2 = 1

W 4n0 , n0 = 0,W 0

x x1

(N � 1)x1

x1(0) x1(4)

x1(0) = x(0) + x(4)W 0

x1(4) = x(0) + x(4)W 4

x1

m1 m0 n0 = m2 = 0n0 = m2 = 1. N

2 = 4W s W s+(N

2 )

W s+(N2 ) = e(2⇡ i

N )(N2 +s) = ei⇡e2i⇡ s

N = �W s

x1(j) = x(j) + x(N2 + j)W s

x1(N2 + j) = x(j)� x(N

2 + j)W s

x x1N2

x2(n0, n1, m0) =1X

m1=0

x1(n0, m1, m0)W (2n1+n0)2m1

n0 n1 m0 x2(n0, n1, m0)x2 x1

W (2n1+n0)2m1

x1 x2N2 N � 1

x3(n0, n1, n2) =1X

m0=0

x2(n0, n1, m0)W (4n2+2n1+n0)m0

X x3

X(n2, n1, n0) = x3(n0, n1, n2)

X

X x3

x1 x2 x3

� = log2NN2 (N

2 )log2N.

m = 0,25

t1 = 0,6

⇠ = 0,06.

⇡2

! = 2⇡

p = sin( 21,2 t)

!d = !p

1� ⇠2

mu + cu + ku = p(t)

mu + cu + ku = 0

u = e�!⇠t[C1sin!dt + C2cos!dt] +p0

k

(1� (⌦! )2)sin⌦t� 2⇠⌦

! cos⌦t

[1� (⌦! )2]2 + 4⇠2(⌦

! )2

C1 C2

�0,2423 0,097

u = e�0,377t � 0,2423sin(6,2718t) + e�0,377t0,097cos(6,2718t) + 0,299sin(5,235t)� 0,097cos(5,235t).

u = e�0,377t(�0,040sin(6,2718t) + 0,1475cos(6,2718t).

t

2,9s0,1s

t u t u

2,9s

¯h(t) g(t)H(⌦)

G(⌦)U(⌦) u(t)

t u u t u u

2,9h(t)

h(t)

5s

h(t) 10s

30s

15s

h(t)

u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)

⌘1 µ2

2,9

t u u u t u u u

{u}�n(t)

{u} =MX

n=1

�nyn

[�]M n M

n

yn + 2⇠n!nyn + !2nyn = pn

y0n = �TnMu0

y0n = �TnMv0

n

M ¨{u} + C{u} + K{u} = fg(t)

f

g(t)

H(⌦)ei⌦t

{u} = Hei⌦t

(�⌦2M + i⌦C + K)H = f

⌦ HHR + iHI 2N

N

⌦ H 2N

Hj j

(u)G ⇥Hj, G

g(t)

uj(m�t) =12⇡

L�1X

l=0

Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦

L�t�t

uj G(l�⌦)uj

uj uj

Hj Hj

Hj Hj

Hj(⌦) =1X

s=�1Hj(⌦ + s

2⇡�t

)

s 2⇡�t Hj(⌦)

H(⌦)

⇡�t

Hj(⌦) ⌦ > ⇡�t Hj(⌦) w Hj

Hj(⌦)

uj(m�t) =12⇡

L�1X

l=0

Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦

Rp tpT0

Rp

up(tp) = Rphj(tp)

hj Hj

hj =12⇡

L�1X

l=0

Hj(l�⌦)�⌦

uj(0) = uj(0) +2NX

p=1

Rphj(tp)

2NX

p=1

Rphj(tp) = uj(0)� uj(0)

2NX

p=1

Rp˙hj(tp) = uj(0)� ˙uj(0)

uj(m�t) = uj(m�t) +2NX

p=1

Rphj(tp + m�t)

hj(t)˙hj(t)

hj Hj(l�⌦)˙hj(t)

p

˙hj(tp) =hj(tp + �t)� hj(tp ��t)

2�t

h(t)

✓

p1

p2

◆

=✓

1,000,75

◆

p

m2 = 2 m1 = 3

k1 = 100 k2 = 150

t1 = 1,00

⇠ = 0,00.

p = 20

�t = 0,05

t

M {u} + K {u} = {p(t)}

i

yi + !2i yi = pi

K =✓

250 �100�100 100

◆

M =✓

3 00 2

◆

|K � !2i M | = 0

!1 = 4,75rad/s !2 = 10,52rad/s

(K � !iM) {ai} = 0

a1 =✓

1,001,82

◆

a2 =✓

1,00�0,82

◆

y1 + !21y1 = p1

y2 + !22y2 = p2

!1 = 4,75 !2 = 10,52

hi(t) =1

2Mi!i(sin!it +

cos!itsin!iT0

1� cos!iT0)

Mi i Mi = {ai}T M {ai}

t y y y t y y y

T0 = 3s.

(�⌦2M + K)H = f

f

f =✓

10,75

◆

M K fH

250� 3⌦2 �100�100 100� 2⌦2

�

H =✓

10,75

◆

H(⌦)H(⌦) ⌦

�t = 0,05s.

�⌦ = 2⇡T0

= 2,09N2 �⌦ = 60

2 2,09 = 62,70rad/s

H(⌦)

H(⌦) H1(⌦) H2(⌦)

H1 (⌦) w H1(⌦) H2 (⌦) w H2(⌦)

H1(⌦) H2(⌦)g(k�t)

G(k�⌦)

{U(k�⌦)} = {G(k�⌦)}✓

H1(k�⌦)H2(k�⌦)

◆

R1h1(0,40) + R2h1(0,30) + R3h1(0,40) + R4h1(0,40) = u1(0)

R1h2(0,40) + R2h2(0,30) + R3h2(0,40) + R4h2(0,40) = u2(0)

R1˙h1(0.40) + R2

˙h1(0.30) + R3˙h1(0.20) + R4

˙h1(0.40) = ˙u1(0)

R1˙h2(0.40) + R2

˙h2(0.30) + R3˙h2(0.20) + R4

˙h2(0.40) = ˙u2(0)

u1(0) = �0,049 u2(0) = 0,084 ˙u1(0) = 2,8228 ˙u2(0) = 0,463.

R1 R2 R3 R4

R1 = 458,952 R2 = �972,150 R3 = 994,566 R4 = �444,381

uj(m�t) = uj(m�t) +2NX

p=1

Rphj(tp + m�t)

fn1 =⇡

2

r

EaI

mL4

Ea

I

m

L

Rx(⌧)

Rx(⌧)

DEP (⌦) =12⇡

ˆ +1

�1Rx(⌧)e�i⌦⌧d⌧

Rx(⌧) =ˆ +1

�1DEP (⌦)ei⌦⌧d⌦

m

↵� ↵ �

DEP =1

2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)

�fA(⌦) a(t)

A⇤(⌦) A(⌦)

Ea = 210000 Nmm2

Ixx = 450,10�8m4

m = 20,4kgm

±30g.

N = 26322400Hz

2400

1200Hz.

DEP =1

2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)

357,4Hz

fn1 =⇡

2

r

EaI

mL4

fn1 =⇡

2

s

2,1E11 ⇥ 450E�8

20,4⇥ 0,904= 417,39Hz

R = ku R u

⇠ =�p

4⇡2 + �2

�

(ti, ai),

yi = L(ai).

⌧i = tif f

(⌧i, yi)

y = a⌧ + b

� = �a

�.

� = 0,070⇠ = 0,070p

4⇡2+0,0702= 0,070

6,283 = 0,011 ⇠ = 1,1 %