Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOFACULTAD DE INGENIERÍA

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

MECÁNICA DE FLUIDOS I

DOCENTEMg. TC. Ing. LOAYZA RIVAS, Carlos Adolfo

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Civil

Mecánica De Fluidos 1

U N I V E R S I D A D “ C É S A R V A L L E J O ”

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TÍTULO

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

ALUMNOS:

CURINAMBE HONORIO, Kelvin.

JARA ABANTO, Deysi Margot

QUEZADA CRISÓLOGO, Juver

RÍOS PACHAMANGO, Omar Edu.

RODRÍGUEZ BARRUETO, Darwin

DOCENTE:

Mg. TC. Ing. LOAYZA RIVAS, Carlos Adolfo

CURSO:

MECÁNICA DE FLUIDOS I

TRUJILLO-PERÚ2013

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INFORME N° 03 2013-I – UCV/FAI/EIC/RBD

DE : RODRÍGUEZ BARRUETO, Darwin

AL : Mg. TC. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas.

ASUNTO : Informe de ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA.

FECHA : 12 de Julio del 2013

Es grato dirigirme hacia su persona para hacerle llegar mi más cordial

saludo y al mismo tiempo hacerle llegar el informe titulado: “ANÁLISIS DIMENSIONAL Y

SEMEJANZA HIDRÁULICA”, para su respectiva revisión.

Es todo cuanto tengo que informar, me despido afectuosamente.

Atentamente:

____________________________ DARWIN RODRÍGUEZ, Barrueto

3



Mecánica De Fluidos 1 4

DEDICATORIA

El presente trabajo de investigación lo

dedicamos con especial afecto y

gratitud a nuestros padres, quienes

nos brindan permanentemente su

apoyo desinteresado y sin escatimar

esfuerzos para lograr nuestra ansiada

visión intelectual y profesional.




AGRADECIMIENTO

Al Mg. TC. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas

por su gran apoyo profesional como

docente de la asignatura y a su constante

orientación magistral en la comprensión

de la misma.

A la Universidad Particular “César

Vallejo”, en especial a la Escuela de

Ingeniería Civil por cumplir con el

encargo social de formar profesionales

con capacidad innovadora e inspiradora

para la formación permanente de otros

profesionales que tienen visión en el

futuro.




INTRODUCCIÓN

El análisis dimensional consiste en obtener parámetros adimensionales, que profundizan

de manera significativa nuestra comprensión de los fenómenos de flujo de fluidos en

forma parecida a la de un gato hidráulico, donde la relación de los diámetros del pistón

determina la ventaja mecánica, un numero adimensional que es independiente del

tamaño total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en un

número a situaciones en que se tengan diferentes magnitudes físicas y, a veces,

diferentes propiedades de fluido.

Los conceptos del análisis dimensional que se presentan en este informe, más una

comprensión de la mecánica del tipo de fluido en estudio, hacen posible realizar la

generalización de los datos experimentales. La consecuencia de dicha generalización es

múltiple, ya que ahora se puede describir en fenómeno en su totalidad sin estar

restringido a la discusión del experimento especializado que se realice.

Así, es posible realizar menor número de experimentos, aunque de carácter altamente

selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr así importantes

ahorros en tiempo y dinero.

Los resultados de los experimentos también se pueden presentar a otros ingenieros y

científicos en una forma más compacta y significativa para facilitar su uso y comprensión.

Igualmente es importante debido a que, a través de tales presentaciones incisivas y

ordenadas de información, los investigadores puedan descubrir nuevas características y

áreas faltantes de conocimientos del problema en estudio.

Este avance dirigido de nuestra comprensión de un fenómeno sería perjudicado sino se

contará con las herramientas del análisis dimensional. También se presentara las

relaciones que hay entre los efectos viscosos, el número de Reynolds.

Para el caso que se trata de flujos comprensibles, el número de Mach es el parámetro

adimensional más importante. Cuando se refiere a canales abiertos, el número de Froude

es el que tiene mayor significancia.

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I. OBJETIVOS

1.1.- OBJETIVO GENERAL

Desarrollar, explicar el Análisis Dimensional y la Semejanza Hidráulica, aplicados

en el campo de la carrera de Ingeniería Civil y la Investigación Experimental.

1.2.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Explicar el concepto de Análisis Dimensional.

Exponer la Homogeneidad Dimensional.

Desarrollar y explicar el teorema de BUCKINGHAM.

Explicar la Semejanza Geométrica, Cinemática y Dinámica, que existe entre los

modelos y los prototipos.

Demostrar los números de Reynolds, Froude, Euler, Mach y Weber.

Explicar algunos ejemplos de aplicación del análisis dimensional y la semejanza

hidráulica.

II. JUSTIFICACIÓN.

Este trabajo es realizado como muestra del aprendizaje y desarrollo del aprendizaje de

la mecánica de fluidos I; así mismo, por el interés en el curso, por la investigación de la

formación del futuro ingeniero civil, y para alcanzar la capacidad de demostrar los

parámetros adimensionales y la aplicación dentro del campo de la Ingeniería Civil

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL

1.1.- Definición:

El análisis dimensional es una herramienta muy útil de la moderna mecánica de los

fluidos. Mediante la técnica del análisis dimensional se puede expresar cualquier

magnitud física (velocidad, viscosidad, etc.) en función de sólo tres dimensiones

fundamentales (L, M, T o L, F, T) y con ello facilitar el estudio de los modelos

hidráulicos.

Es una técnica mediante la cual se deduce información acerca de un fenómeno

bajo la premisa de que cualquier fenómeno puede ser expresado por medio de

une ecuación dimensionalmente homogénea.

1.2.- Aplicaciones:

El análisis dimensional sirve para:

Conversión de unidades de un sistema a otro.

Desarrollo de ecuaciones.

Reducir el número de variables requeridas en un programa experimental.

Establecer los principios para el diseño de modelos.

El análisis dimensional nos permite entonces la compactación del problema de la

experimentación, permite la reducción de variables iniciales a un número de

variables considerablemente menor que las que intervienen en el problema.

1.3.- Homogeneidad Dimensional y relaciones dimensionales.

Las ecuaciones deducidas analíticamente son correctas para cualquier sistema de

unidades y en consecuencia cada grupo de términos en la ecuación debe tener la

misma representación dimensional, esta es la ley de homogeneidad dimensional.

La resolución de los problemas de mecánica de fluidos que se presentan en los

proyectos de ingeniería requiere generalmente desarrollos teóricos y datos

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experimentales. Agrupando las magnitudes significativas para formar parámetros

adimensionales es posible reducir el número de variables que intervienen y estos

resultados más concisos (ecuaciones o gráficos de datos experimentales) que

sean luego aplicables a otros casos semejantes.

El valor relativo de un parámetro cualquiera, comparado con la unidad, indicaría

su importancia.

1.4.- Teorema π de Buckingham.

El teorema de π de Buckingham expresa que en un problema físico en que

intervengan n magnitudes en las que hay m dimensiones fundamentales, las

magnitudes pueden agruparse en n-m parámetros adimensionales. Sean A1, A2,

A3…. An las magnitudes que intervienen, tales como la presión, viscosidad,

velocidad, etc. Si se sabe que todas las magnitudes son esenciales a la solución,

entre ellas debe existir una relación funcional.

F (A1, A2, A3…. An) = 0

Si π1, π2, etc., representan los grupos adimensionales de las magnitudes A1, A2, A3….

An entonces si son m las dimensiones independiente que intervienen, se pueden

formar una ecuación de la forma:

ƒ (π1, π2, π3,…. πn-m) = 0

El método de determinación de los parámetros π consiste en elegir m de las A

magnitudes, con diferente dimensiones que contengan entre ellas junto con otras

de las A magnitudes para cada π. Por ejemplo, sean A1, A2, A3 que contienen M, L y

T o F, L y T, no necesariamente en cada una, si no colectivamente. Entonces el

primer parámetro π se tomara así:

π1=A1x1 A2

y1 A3z1 A4

El segundo,

π1=A1x2 A2

y2 A3z2 A5

Y así sucesivamente, hasta

πn−m=A1xn−mA2

yn−mA3z n−m An

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En estas ecuaciones los exponentes tienen que determinarse de tal manera que

cada π sea adimensional. Para esto, se sustituyen las dimensiones de las A

magnitudes y los exponentes de M, L y T o F, L y T se igualan a cero

respectivamente. Esto origina tres ecuaciones con tres incógnitas para cada

parámetro π de tal forma que los exponentes x, y, z se pueden determinar y, por

consiguiente, el parámetro π.

En muchos casos las magnitudes A son tales que los grupos adimensionales son

evidentes y se forman sin necesidad de cálculos. El caso más simple es aquel en

que dos de las magnitudes tienen la misma dimensión, por ejemplo longitudes,

entonces el cociente de estos dos términos es un parámetro π.

Consideraciones:

1. Si una magnitud es adimensional constituye un grupo π sin necesidad de

aplicar el procedimiento anterior.

2. Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su

cociente será un número adimensional π. Por ejemplo: L/L es adimensional y,

por tanto, un número π.

3. Cualquier número π puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida

π-1.Por ejemplo, π3puede de remplazarse por π32

, ó π2por 1/ π2.

4. Cualquier número π puede sustituirse por su producto por una constante

numérica. Por ejemplo: π1 puede remplazarse por 3π1.

5. Cualquier número π puede expresarse como función de otros números π. Por

ejemplo, si hay dos números π, π1=f (π2 )

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2. SEMEJANZA HIDRÁULICA

2.1 Definición:

La semejanza hidráulica es el estudio comparativo entre modelo y prototipo. El

único medio de analizar la estructura (prototipo) es a través del estudio de su

modelo; es decir una construcción del prototipo en tamaño reducido.

Antes de ejecutar proyectos de gran magnitud, a veces es necesario realizar

observaciones sobre réplicas (modelo) del sistema real que va a ser construido

(prototipo). El estudio de modelos se realiza con el fin de evitar errores costosos y

obtener información que ayudará a diseñar el prototipo. Se requiere que entre el

modelo y el prototipo exista semejanza.

2.2 Clases de Semejanza Hidráulica.

En la semejanza hidráulica se distinguen 3 clases.

A. Semejanza Geométrica.

Existe semejanza geométrica entre modelo y prototipo cuando las relaciones

entre las dimensiones homologas son iguales:

L2m L2 p

L1m L1 p

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PrototipoModelo




L1mL1P

=L2mL2 p

=Lr

En general: Lr=

LmLP ; donde: Lr = Relación de longitudes.

Esto implica que todos los ángulos en el modelo son iguales a los ángulos en el

prototipo, y que la relación de áreas es igual a la relación de longitudes al

cuadrado y que la relación de volúmenes es igual a la relación de longitudes al

cubo.

Lr2=AmAP ,

Lr3=V mV P

B. Semejanza Cinemática.

Existe semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:

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a) Las trayectorias de las partículas homólogas son geométricamente

semejantes.

V 1m V 1 p

V 2m V 2P

b) Las relaciones entre las velocidades de las partículas homólogas son iguales.

V 1mV 1 p

=V 2mV 2 p

=V r

En general: V r=

VmV p donde: V r = Relación de velocidades.

C. Semejanza Dinámica.

Existe semejanza dinámica cuando:

a) Tienen semejanza geométrica y cinemática.

b) Las relaciones entre las fuerzas del modelo y del prototipo son semejantes.

F1 p F2 p

F1m F2m

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PrototipoModelo

PrototipoModelo




F 1mF1 p

=F2mF2 p

=F r

En general: F r=

FmF p ; donde:F r = Relación de fuerzas

F1 = Fuerza de Inercia = m. a

F2 = Fuerza cualquiera que interviene en el fenómeno, que puede ser una

fuerza viscoso, gravitatoria, elástica, de presión o fuerza de tensión superficial.

El ingeniero que ensaya un modelo hidráulico estudia únicamente las fuerzas

predominantes. En la mayoría de los problemas con líquidos llega a predominar

sólo una fuerza de entre las mencionadas, aparte de la fuerza de inercia.

La consideración de la fuerza predominante se hace a través de un parámetro

adimensional. Estos parámetros son:

2.3 Número de Reynolds (Re)

Se expresa como R y su nombre es en honor a Osborne Reynolds (1842-1912) físico

y profesor inglés quien realizó trabajos importantes del flujo en tuberías. Este

número es tal vez el más importante en hidráulica y mecánica de fluidos considera

el efecto de la viscosidad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de

inercia y viscosidad.

Re=F IFN

=maτA

=( ρ∀ )a

μ .dvdy. A

=ρ (L3) (LT 2 )μ .VL. L2

=ρ (L2 /T 2 )L2μVL

¿ ρV2 L2

μVL=ρVLμ

=VLμ /ρ

=VL∂

∴ Re=VL∂

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“Si Re es menor, mayor es el efecto de la viscosidad”

Donde:

V = Velocidad.

∂ = Viscosidad Cinemática.

L = Longitud características (En tuberías se usa L = D).

El número de Reynolds permite clasificar el régimen de flujo en flujo laminar y

turbulento y una zona en el que el flujo no es ni laminar ni turbulento.

Flujo laminar 0<R<2000 fuerzas viscosas predominantes.

Es un flujo que se presenta para velocidades relativamente bajas y se llama laminar

por que el flujo realmente se da en capas, es un flujo organizado existe muy poco

mezclado, existe un gradiente de velocidad entre las capas

Flujo turbulento >4000 Es un flujo que se presenta para velocidades relativamente

altas este flujo se caracteriza por ser un flujo mezclado en donde la componente

transversal de la velocidad ya no es despreciable. En este tipo de flujo las fuerzas

viscosas comienzan a ser despreciables

El número de Reynolds se utiliza como criterio de semejanza en flujos donde

predomina el efecto viscoso; tales como:

- Sistemas a presión (tuberías).

- Modelos de naves aéreas.

- Cuerpos sumergidos (torpedos).

- Medidores de caudal (Venturí).

- En transiciones.

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2.4 Número de Froude. (F)

Este número relaciona las fuerzas inerciales con las fuerzas gravitacionales y su

nombre es honor de William Froude (1810-1879) un arquitecto Naval británico

quien realizó experimentos con placas planas arrastradas a través del agua para

estimar la resistencia debido a la acción de las olas.

F IFG

=mamg

= ρV2L2

ρL3 g=V

2

gL

A la raíz cuadrada de esta expresión se le denomina número de Froude.

∴ F= V

√ gL

“Si F es menor; mayor es el efecto de la gravedad”. El número de Froude se utiliza

como criterio de semejanza en flujos donde predomina la fuerza gravitatoria; tales

como:

- Cuerpos donde existe una superficie libre. (barcos).

- En modelos de canales (L = Tirante de agua).

- En vertederos, aliviaderos de demasías.

- En compuertas y caídas.

- En el salto hidráulico.

2.5 Número de Euler (EU)

Su nombre es en honor del matemático Suizo Leonhard Euler (1707-1783) famoso

por su prolífico trabajo de matemáticas puras, este número es importante en el

estudio de cambios bruscos de presión en un fluido, se utilizar para analizar las

pérdidas de presión en conductos cerrados y para estudiar el fenómeno de

cavitación, entre otros.

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Considera el efecto de la presión y se obtiene planteando la relación entre las

fuerzas de inercia y presión.

EU=F IFP

= maρ . A

= ρV2L2

P . L2= ρV

2

P

∴ Eu=ρV 2

P

“si EU es menor; mayor es el efecto de la presión”

El número de Euler se utilizada en aquellos fenómenos donde predomina el cambio

de presión, tales como:

- Máquinas hidráulicas.

- Bombas, turbinas.

2.6 Número de Mach. (M)

Se denota con M, su nombre es memoria de Ernest Mach (1938-1916) físico y

filósofo austriaco que investigó las ondas de choque de proyectiles supersónicos.

Este número es importante en el estudio de flujos compresibles (acústica) y es la

relación entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido en el mismo fluido, o

puede interpretarse también como la relación de las fuerzas inerciales con respecto

a las fuerzas de compresibilidad.

F IF E

=m .aE . A

= ρV2L2

EL2= ρV

2

E= V 2

E / ρ=VC

A la raíz cuadrada de esta expresión se le denomina número de Mach.

∴ M= V

√E / ρEste número permite clasificar los flujos en subsónicos M<1, Sónicos M=1 y

supersónicos M>1

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El número de Mach, se vuelve muy importante en flujos de alta velocidad, donde las

variaciones de la densidad debidas a la presión se vuelven muy importantes.

- Codos sometidos a golpes de ariete.

- Naves aéreas en el túnel supersónico.

2.7 Número de Weber (W).

Se denota con W, su nombre es en honor de Moritz Weber (1871-1951) quien

desarrolló las leyes de la semejanza moderna, Weber fue quien puso el nombre a

los números de Reynolds y Fraude. Es la relación de fuerzas inerciales con respecto

a las fuerzas de tensión superficial. Este es importante en el estudio de la interface

líquido-gas y líquido-líquido e interface líquido frontera (Estudio de orificios y

vertederos con pequeña alturas, problemas de capilaridad etc.). Este número toma

importancia en el estudio de modelos a escala pequeña. Si el número de Weber es

grande, los efectos de la tensión superficial son despreciables, como en el caso de

un barco.

Considera el efecto de la tensión superficial y se obtiene planteando la relación

entre las fuerzas de inercia y tensión superficial.

W=F IFG

=m .aσ . L

= ρV2L2

σ . L= ρV

2 Lσ

∴ W= ρV2Lσ

“Si W es menor; mayor es el efecto de la fuerza de tensión superficial”.

El número de Weber se utiliza en:

- Ensayos de ondas capilares en canales pequeños.

- Estudios del movimiento capilar del agua en los suelos.

Comentario.

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Para la perfecta semejanza dinámica se deberían cumplir simultáneamente las cinco

ecuaciones siguientes:

Rem=Rep ; Eum=Eup; Fm=F p ; Mm=M p ; Wm=W p

El cumplimiento simultáneo de estas cinco ecuaciones es imposible en el ensayo de

modelos reducidos solo pueden cumplirse se la escala 1:1. Por eso de la ecuación

dada, es de ordinario escoger una sola, la que más se ajuste al fenómeno.

El arrastre sobre un submarino que se mueve bastante por debajo de la superficie

libre debe determinarse mediante ensayos en un modelo a escala 1:20 con

respecto al prototipo. Los ensayos deben llevarse a cabo en un túnel de agua.

Establezca la relación necesaria entre los arrastres del modelo y del prototipo para

determinar el arrastre en el prototipo cuando la velocidad en este es 5 nudos. La

viscosidad cinemática del agua de mar es 1.30 x 10-6 m2/s y su densidad es 1.010

kg/m3 a la profundidad del prototipo. El agua en el túnel tiene una temperatura de

50° C.

Debido a que el submarino se moverá bastante por debajo de la superficie libre, no

deben considerarse efectos de onda, por consiguiente el número de Froude no es

importante. Debido a la baja velocidad del submarino la compresibilidad no juega

ningún papel, de manera que el número de Match tampoco es importante.

Ciertamente, solo deben tenerse en cuenta los números de Reynolds y Euler para la

similitud dinámica. Si L denota la longitud del submarino, se tiene el siguiente

número de Reynolds para el flujo del prototipo.

[ ℜ ] p=V pLPv p

=[5kn ] [0.5144 (m /s) /kn ] [l(m)] p

[1.30 x 10−6m2/s ][ ℜ ] p=1.978 x10

6 LP

Para el agua a 50° C

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v=0.556 x10−6

ρ=988

El número de Reynolds para el flujo debe igualarse a este último valor:

[ ℜ ]m=(V m)(

120L)P

0.556 x10−6

Igualando los números de Reynolds del modelo y el prototipo:

V m=22m / s

Se medirá el arrastre Fm durante un ensayo en un túnel de agua. Se desea el

arrastre F p correspondiente al prototipo. Para la similitud dinámica todas las

componentes de fuerza tienen la misma relación en puntos correspondientes.

Considerándose los números de Euler tenemos que:

PmρmV

2m

=PPρPV

2P

Remplazando Pm por Fm/L2m y Pp por F p/L

2P

Fm /L2m

ρmV2m

=F p/L

2P

ρPV2P

∴F p=ρPV

2P

ρmV2m( LPLm )

2

Fm

Al insertar valores conocidos, F p es igual a

F p=(1010) [ (5 )(0.5144)]2

(988 )(22)2¿¿

F p=5.59 Fm

Por consiguiente, cualquier arrastre medido en el túnel de agua debe multiplicarse

por 5.59 para obtener al arrastre apropiado para el prototipo.

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La potencia P necesaria para mover una bomba de flujo axial depende de las

variables siguientes:

Densidad del fluido, ρ

Velocidad angular del rotor, N

Diámetro del rotor, D

Altura, ∆ H D

Caudal, Q

Un modelo a escala de 1: 3 con respecto al prototipo tiene las siguientes

características:

Nm=900rm

Dm=5 pulg

(∆H D)m=10 pies

Qm=3 pies3/ seg

Pm=2caballos de fuerza

Si la bomba en tamaño real debe moverse con una velocidad de 300 r/min, ¿Cuál es

la potencia requerida por esta bomba? ¿Cuál es caudal Q?

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MAGNITUD SÍMBOLO DIMENSIONES

Potencia P ML2T-3

Densidad ρ ML-3

Velocidad angular N T-1

Diámetro D L

Altura ∆ H D L

Caudal Q L3 T-1




π1=(M L−3 )x1 Ly1 ¿

x1+1=0

−3 x1+ y 1+2=0

−z1−3=0

x1=−1 ; y1=−5; z 1=−3

π1=[ P

ρ D5N 3 ]π2=(M L−3 )x2 Ly 2¿

x2=0

3 x1+ y 1+2=0 ; y 2=−1

z2=0

π2=[∆ H D

D ]

π3=(M L−3 )x1 Ly 1¿

x3=0

−3 x3+ y3+3=0 ; y 3=−3

−z3−1=0; z 3=−1

π3=[ QD3 N ]

[ Pρ D5 N3 ]=f [(∆ H D

D ) , QD3N ]Para el flujo en el modelo se tiene:

π2=[∆ H D

D ]=π2= 10(5/12)

=24

π3=[ QD3 N ]= 3(900 )(2 π /60)(5/12)3

=0.440

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Con el fin de obtener similitud dinámica, deben mantenerse los valores de estos π

para la bomba en escala natural

[ ∆ HDD ]p

=24

(∆ H D)p(5 /12)(3)

=24→(∆H D)p=30 pies

También:

[ QD3 N ]p

=0.440

QP

(300 )(2π /60)[3(5 /12)]3=0.440∴QP=27 pies

3/s

Finalmente se requiere:

[ P

ρ D5 N3 ]m=[ P

ρ D5N3 ]p2

ρ (55 )(9003)=

Pp

ρ [(3 )(5)]5(3003)∴ Pp=18caballos de fuerza

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. El caudal a través de un tubo capilar horizontal se cree que depende de la caída de

presión por unidad de longitud, del diámetro y de la viscosidad. Encontrar la fórmula

de la ecuación.

Solución:

Se tabulan las magnitudes y sus dimensiones:

Entonces:

F (Q, ΔP/l, D, μ) = 0

Las magnitudes fundamentales que intervienen son tres, por lo que con las cuatro

magnitudes por lo que con las cuatro magnitudes del problema podrá formarse un

único solo monomio π.

π=Q x 1( ΔPl )y 1

DZ 1μ

Sustituyendo las dimensiones

π=(L3T−1 )x 1 (M L−2T−2) y 1Lz1M L−1T−1=M 0L0T 0

Los exponentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de

esta ecuación. Para L, primeramente

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MAGNITUD SÍMBOLO DIMENSIONES

Caudal Q L3T-1

Caída de

presión/longitud

ΔP/l ML-2T-2

Diámetro D L

Viscosidad μ ML-1T-1




3 x1−2 y 1+z1−1=0

Y de forma semejante para M y T

y 1+1=0

−x1−2 y1−1=0

Resolviendo el sistema de ecuaciones; x1=1 , y 1=−1 , z1=−4

π= Q μ

D4( ΔPl )Despejando Q:

Q=C ΔPlD 4

μ

Experimentalmente C = π/128

2. Suponiendo que la fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una corriente

fluida es función de la densidad, la viscosidad, la velocidad del fluido, y de una

longitud característica del cuerpo; desarrollar la ecuación general aplicando el

teorema π de Buckinghan.

SOLUCIÓN

a) Las cinco magnitudes físicas, se relacionan matemáticamente así:

f 1(F , ρ ,μ ,L ,V ) = 0

Sus dimensiones son:

F=F , ρ=FL−4T 2 , μ=FL

−2T , L=L , V=LT−1

b) Cogemos como magnitudes básicas: L, V y ρ. Entonces el número de grupos π es

5 – 3 = 2

c) Primer grupo π:

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π1=(Lx1)(V

y1 )( ρz1 )(F )…………………(1)

Dimensionalmente:

F0L0T 0=(Lx 1)(L

y1T− y1 )(F

z1 L−4 z1T

2Z1)(F )

F0L0T 0=(Lx 1+ y 1−4 z1 )(F

z1+1)(T2Z1− y1)

Igualando los exponentes de F, L y T se obtiene:

x1+ y1−4 y1=0 ; z1+1=0 ; − y1+2 z1=0

De donde:

x1=−2; y1=−2 ; z1=−1………………… (2)

(2) en (1)

π1=L−2V−2 ρ−1F

π1=F /L2V 2 ρ………………………………………………(α)

Segundo grupo π:

π2=(Lx2)( v

Y2 )( ρz2)μ…………………. (3)

Dimensionalmente:

F°L°T° = (LX2 )(L

y2Y− y2 )(F

z2 L−4 z2T

2 z 2)(FL−2T )

F°L°T° = (Lx 2+ y2−4 z2−2 )(F

z2+1)(T− y2+2 z2+1 )


X 2+Y 2−4 Z2−2=0 ; Z2+1=0 ; − y2+2 z2+1=0

De donde:

X 2=−1 ; Y 2=−1 ; Z2=−1 (4)

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(4) en (3): π2=L−1V−1 ρ−1 μ

π2=μρVL

1π 2

= ρVLμ

Por la consideración (3) del teorema de Buckingham:

1π 2 Puede sustituirse por π2 ;

Luego: π2=

ρVLμ , o bien π2=R2 (β )

d) Por definición del teorema π de Buckingham, la expresión:

f 1(F , ρ , μ ,L ,V )=0

Puede remplazarse por la relación:

φ (π1 , π2 )=0

Es decir:

φ ( F

L2V 2 ρ,R2 )=0

También sabemos por la consideración (5) del mismo teorema que cualquier

número π puede expresarse como función de otros π .

Es decir: π1=f ( π2 )

F

L2V 2 ρ=f (Re)

FL2V 2 ρ

=KRe→F=KRe L2V 2 ρ=(2KR e) ρL

2V2

2

27




F=CD ρAV 2

2

3. Determine una fórmula que dé la distancia recorrida por un cuerpo que cae

libremente, suponiendo que la distancia “d” dependa del cuerpo w, de la gravedad g y

del tiempo t.

SOLUCIÓN

d=f (W ,g ,T )d=KW x g yT z ______ (1 )

Donde “k” es un coeficiente adimensional que se determina por lo general

experimentalmente.

La ecuación (1) debe ser dimensionalmente homogénea.

Luego:

F° L1T°=(F X ) (LY T−2 y ) (T 2)F° L1T°=(F x ) (Ly ) (T−2 y+ z)


X = 0 ; Y = 1 ; -2y + z = 0

De donde: X = 0 ; Y = 1 ; Z = 2…… (2)

2 en 1:

d=KgT2

Experimentalmente

K=1 /2⇒d=12gT 2

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4. El número de Reynolds es una función de la densidad, la viscosidad y la velocidad del

fluido, así como la de una longitud característica. Encuentre las expresiones del

número de Reynolds mediante el análisis dimensional.

SOLUCIÓN

Re=f (ρ , μ ,V , L )Re=Kρx μyV z Lw ______ (1 )

Dimensionalmente:

F° L°T °=(FL−4T 2)X (FL−2T )Y (LT−1)Z (L )W

F° L°T °=FX+Y L−4 X−2Y +Z+W T2 X+Y−Z

Igualando los exponentes de F, L y T se define:

X + Y = 0; -4X – 2Y + Z + W = 0; 2X + Z + w = 0

Pero hay más incógnitas que ecuaciones, entonces puede expresar tres incógnitas

en términos de la cuarta. Resolviendo en función de “Y”, se obtiene:

X = -Y ; Z = -Y ; W = - Y……. (2)

2 en 1:

Re=Kρ−Y μY V−Y L−Y

Re=K (ρVLμ )−Y

Experimentalmente: K=1; Y = -1

⇒Re= ρVLμ

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5. Un barco cuyo casco tiene una longitud de 200m ha de moverse a 10m/s. ¿A que

velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala 1:8.

SOLUCIÓN

Como se trata de un cuerpo en superficie libre, predomina la fuerza gravitatoria, por

lo tanto se debe usar el mismo Nº de Fraude (F) en el modelo y prototipo.

Fm=F pVm

√gmLm=

V p

√g p Lp

Vm=√ gmg p . LmLp .V pDonde:

LmLp

=18;

V p=10ms; Vm=?; gm=g p (En el mismo lugar)

Remplazando:

Vm=√(1)(1/8 ) (10) = 3.54

Vm=3 .54ms

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CONCLUSIONES

Se logró explicar el concepto de Análisis Dimensional (que es una técnica mediante la cual

se deduce información acerca de un fenómeno bajo la premisa de que cualquier

fenómeno puede ser expresado por medio de une ecuación dimensionalmente

homogénea.) y la Semejanza Hidráulica (es el estudio comparativo entre modelo y

prototipo. El único medio de analizar la estructura (prototipo) es a través del estudio de

su modelo; es decir una construcción del prototipo en tamaño reducido).

Se desarrollo satisfactoriamente el teorema de BUCKINGHAM, el cual dice que en un

problema físico en que intervengan “n” magnitudes en las que hay “m” dimensiones

fundamentales, las magnitudes pueden agruparse en n-m parámetros adimensionales.

También se logro explicar la Semejanza Geométrica, Cinemática y Dinámica, que existe

entre los modelos y los prototipos.

Se desarrollo la demostración de los números de Reynolds, Froude, Euler, Mach y Weber.

Y por todo lo mencionado, con algunos ejemplos de aplicación sobre dicho tema de

Análisis Dimensional y Semejanza Hidráulica, se hizo una mayor comprensión del tema

antes citado.

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BIBLIOGRAFÍA

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Jaime Ernesto Díaz Ortiz. “Mecánica de los Fluidos e Hidráulica”. Edición 1. Cali

Colombia. 2006. Pág. 73.

Carlos Arturo Duarte, José Roberto Niño. “Introducción a la Mecánica de los Fluidos”.

Capitulo 6-1.

Merle C. Potter,David C. Wigggert. “Mecánica de los fluidos”. Edición 3. Pág. 209.

REFERENCIAS LINKOGRÁFICAS

http://es.scribd.com/doc/97581079/analisis-dimensional-y-semejanza-hidraulica

http://www.buenastareas.com/ensayos/An%C3%A1lisis-Dimensional-y-Semejanza-Hidr

%C3%A1ulica/3879376.html

http://ingenieriahidraulicausmp.blogspot.com/2012/01/analisis-dimensional-y-

semejanza.html

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http://es.scribd.com/doc/97581079/analisis-dimensional-y-semejanza-hidraulica




ANEXOSGRÁFICOS Y FOTOGRAFÍAS DE ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

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Algunas dimensiones de las magnitudes

físicas son:

IMAGEN 01

Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en la Mecánica de Fluidos, incluyen solo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y θ (temperatura).

IMAGEN 2




IMAGEN 2.1

Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

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