Analisis Dimensional Mecanica de Fluidos

5/17/2018 Analisis Dimensional Mecanica de Fluidos - slidepdf.com

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ANÁLISIS DIMENSIONAL

1) INTRODUCCION Y DEFINICION DE ANALISIS DIMENSIONAL.

Los parámetros adimensionales profundizan de manera significativa nuestra comprensión de los

fenómenos de flujo de fluidos en forma parecida al caso de un gato hidráulico, donde la relación de

los diámetros de pistón determina la ventaja mecánica, un numero adimensional que esindependiente del tamaño total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en

número a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones físicas y, a veces diferentes

propiedades de fluido. Los conceptos de análisis dimensional presentados, mas una comprensión

de la mecánica del tipo de flujo en estudio, hacen posible realizar esta generalización de datos

experimentales. La consecuencia de tal generalización es múltiple, ya que ahora se puede describir el fenómeno en su totalidad sin estar restringido a la discusión del experimento especializado que

se realizó. Así es posible realizar menor número de experimentos, aunque de carácter altamenteselectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr así importantes ahorros de

tiempo y dinero. Los resultados de una investigación se pueden también presentar a otros

ingenieros y científicos en una forma más compacta y significativa para facilitar su uso. Igualmenteimportante es el hecho que, a través de tales presentaciones, incisivas y ordenas de información, los

investigadores pueden descubrir nuevas características y áreas faltantes de conocimientos del

problema en estudio. Este avance dirigido de nuestra comprensión de un fenómeno seria perjudicado si no se contara con las herramientas de análisis dimensional. Muchos de los

parámetros adimensionales pueden verse como la razón de un par de fuerzas de fluidos, cuya

magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a otra. Sialgunas fuerzas en una situación de flujo particular son mucho menores que otras, es posibledespreciar el efecto de las fuerzas más pequeñas y tratar el fenómeno como si fuera determinado

completamente por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos

matemáticos experimentales mas sencillos, aunque no necesariamente mas fáciles, para resolver el problema. Para situaciones con varias fuerzas de la misma magnitud, tales como fuerzas de inercia,

de viscosidad y gravitacionales, se requieren técnicas especiales. Después de una discusión de

dimensiones, análisis dimensional y parámetros adimensionales, se presentan estudios de similituddinámica y de modelos.

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES

Para resolver problemas prácticos de diseño en la mecánica de fluidos se requiere, por lo común de

desarrollos teóricos y resultados experimentales. Por la agrupación de cantidades significativas en

parámetros adimensionales es posible reducir el numero de variables que aparecen y hacer esteresultado compacto (ecuaciones o graficas de datos) aplicable a todas las situaciones similares.

Si se tuviera que escribir la ecuación de movimiento ∑F =ma para una partícula de fluido,

incluyendo términos de fuerza de todos tipos que pudieran actuar sobre ella, tales como: gravedad, presión, viscosidad, elasticidad, y tensión superficial, resultaría una ecuación de la suma de estas



fuerzas igualada a ma, la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada

termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso la fuerza. La división de cada término dela ecuación por cualquiera de los términos haría a la ecuación adimensional. Por ejemplo

dividiendo toda la ecuación entre el termino de la fuerza inercial, produciría una suma de

parámetros adimensionales igualada a la unidad. la magnitud relativa de un parámetro cualquiera,

comparada con la unidad, hincaría su importancia. Si se dividiera totalmente la ecuación de fuerzaentre un termino diferente, por ejemplo entre el termino de la fuerza viscosa, resultaría otro

conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia el caso del flujo es difícil determinar

cuales parámetros serian mas útiles.Un ejemplo del uso de análisis dimensional y sus ventajas esta dado por la consideración del salto

hidráulico. La ecuación de cantidad de movimiento para este caso

)1.1.4.(..................................................).........(22

12

11

2

2

2

1 V V g

yV y y−=−

γ γ γ

Se puede volver a escribir como

2

1

1

2

1

2

1

2

1

22

1 112 y

y

y

y y

g V

y

y y

−=

−

γ γ

Resulta claro que, al lado derecho representa las fueras inerciales y, al izquierdo, las fuerzas de presión debidas a la gravedad. Estas dos fuerzas son de igual magnitud, ya que una determina la

otra en esta ecuación, mas aun, el término2

12

yγ

tiene las dimensiones de fuerza por unidad de

anchura y multiplica a un número adimensional que es especificado por la geometría del salto

hidráulico.

Si se divide esta ecuación entre el termino geométrico 1-1

2

y

yy entre un número representativo de

las fuerzas de la gravedad, se tiene

)2.1.4......(................................................................................12

1

1

2

1

2

1

2

1

+=

y

y

y

y

gy

V

Ahora, el lado izquierdo es la razón de las fuerzas de la inercia y la gravedad, que cuando larepresentación de las fuerzas se ha oscurecido por la cancelación de términos que son comunes

tanto en el numerador como en el denominador. Esta razón es equivalente a un parámetro

adimensional, en realidad el cuadrado del número de Froude, que se tratara con mayor detalle. Es

también interesante notar que esta razón de fuerzas se conoce una vez dada la razón1

2

y

y, sin

importar cuales son los valores de 2 y y 1 y , de esta observación de puede obtener una apreciación



del mayor alcance que la ecuación (4.1.2) ofrece sobre la ecuación (4.1.1) aunque una es solo un

nuevo arreglo de la otra.Al escribir la ecuación de cantidad de movimiento que condujo a la ecuación (4.1.2) solo se

incluyeron las fuerzas de inercia y de gravedad en el enunciado original del problema. Pero tras

fuerzas tales como la tensión superficial y la viscosidad, están presentes aun cuando se

despreciaron por ser pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia y de gravedad; sinembargo solo la experiencia con el fenómeno o con los fenómenos similares justificaría tal

simplificación inicial, por ejemplo si se hubiera incluido la viscosidad por no tener seguridad sobre

la magnitud de sus efectos, la ecuación de momento sería:

)(22

12

1

1cos

2

2

2

1 V V g

yV F

y yavis −=−−

γ γ γ

Con el resultado que

Esta afirmación es mas completa que aquella dada por la ecuación (4.1.2). sin embargo los

experimentos mostrarían que el segundo término por el lado izquierdo es generalmente una

pequeña fracción del primer término, por lo que se puede despreciar al hacer pruebas iniciales sobreel salto hidráulico.

En la última ecuación se puede considerar que la razón1

2

y

yes una variable dependiente que se

determina para cada uno de los varios valores de las razones de fuerzas.

Si en un experimento modelo se pueden crear las mismas razones geométricas y de fuerza que

ocurren en la unidad a escala completa, entonces la solución adimensional para el modelo es válidatambién para el prototipo. Frecuentemente como se verá, no es posible tener todas las razones

iguales en el modelo y el prototipo. Entonces se trata de planear la experimentación de manera tal

que las razones de fuerza dominantes sean tan iguales como sea posible. Los resultados que seobtienen con tal modelo incompleto son a veces suficientes para describir el fenómeno con el

detalle que se desea.

Escribir una ecuación de fuerza para una situación compleja puede no ser factible y entonces se usa

otro proceso, el análisis dimensional, si se conocen las cantidades pertinentes que entran en el problema.

En una situación dada, varias de las fuerzas pueden ser de poca significancia, permaneciendo quizá

dos o tres fuerzas del mismo orden de magnitud. Son tres fuerzas del mismo orden de magnitud se

obtienen dos parámetros adimensionales; un conjunto de datos experimentales sobre un modelogeométricamente similar proporciona las relaciones en tres parámetros que valgan para todos los

demás casos similares de flujo.

+=+

− 1

2

1

2

21

2

1

2cos

1

21 1

2

1

)( y

y

y

y

y y y

y F

gy

V avis

γ



DIMENSIONES Y UNIDADES.

Las dimensiones de la mecánica son fuerza, masa longitud y tiempo; ellas están relacionadas con la

segunda ley de movimiento de Newton,

F=ma…………………………………………………………………………(4.2.1)

Para todos los sistemas físicos, probablemente seria necesario introducir dos dimensionesadicionales, una que trate con la electromagnética y la otra con los efectos térmicos. Para el trabajo

de compresibilidad en este texto, no es necesario incluir una unidad térmica porque las ecuaciones

de estado unen la presión. La densidad y la temperatura.

La segunda ley de movimiento de Newton en forma dimensional es:

)2.2.4.........(..........................................................................................2−= MLT F

Que muestra que solo tres de las dimensiones son independientes. F es la dimensión de fuerza, M la

dimensión de masa, L la dimensión de longitud y T la dimensión de tiempo. Un sistema común.Empleado en análisis dimensional es el sistema MLT.

Una combinación adimensional de Δ p, ρ, l , y Q es

(a) ρ

p∆2l

Q(b) 2 pl

Q

∆ ρ

(c) 2 pQ

l

∆ ρ

(d) ρ

plQ∆(e)

p∆ ρ

2l

Q

2) SEMEJANZA GEOMETRICA, CINMATICA Y DINÁMICA.

Semejanza geométrica.

Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geométrica cuando las relaciones entre todas las

dimensiones correspondientes u homólogas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones

pueden escribirse



.

mod

rel prototipo

elo L L

L= o r

p

m L L

L= ……………………………………………..(1)

= prototipo

elo

A

Amod 2.

2

2

mod2

r rel prototipo

elo L L

L

L== ………………….……………………………….(2)

Semejanza cinemática.

Entre modelo y prototipo existe semejanza cinemática si (1) la trayectoria de las partículas móviles

homologas son geométricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las

partículas homologas son iguales. A continuación se dan las siguientes relaciones útiles:

Velocidad:r

r

P

m

v

m

p p

mm

v

m

T

L

T

T

L

L

T L

T L

V

V === :

/

/……………………………………(3)

Aceleración:r

r

P

m

p

m

p p

mm

p

m

T

L

T

T

L

L

T L

T L

a

a22

2

2

2

:/

/=== …………………………………(4)

Caudal:r

r

P

m

p

m

p p

mm

p

m

T

L

T

T

L

L

T L

T L

Q

Q 3

3

3

3

3

:/

/=== ……………………….……………..(5)

Semejanza dinámica.

Entres dos sistemas semejantes geométrica y cinemáticamente existe semejanza dinámica si lasrelaciones entre las fuerzas homólogas en modelo y prototipo son las mismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del segundo principio

del movimiento de Newton, ΣFx = Max . las fuerzas que actúan pueden ser cualquiera de lassiguientes, o una combinación de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presión, fuerzas



gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y fuerzas elásticas. Entre modelo y prototipo

se desarrolla la siguiente relación de fuerzas:

( )

( ) p p

mm

p

m

a M

a M

fuerzas

fuerzas=

∑∑

elásticassuperf.,tensiónias,gravitator presión, de viscosas,

elásticassuperf.,tensiónias,gravitator presión, de viscosas,

La relación entre las fuerzas de inercia se desarrolla en la siguiente forma:

22

23

3

mod )(r

r r r

r

r

P p

mm

p p

mm

prototipo

elor T

L L

T

L

L

L

a M

a M

fuerza

fuerza F ρ

ρ

ρ =×===

)6..(......................................................................222

r r r r r r r V AV L F ρ ρ ==

Esta ecuación expresa la ley general de la semejanza dinámica entre modelo y prototipo y se leconoce con el nombre de ecuación newtoniana.

3) PARÁMETROS ADIMENSIONALES

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS DE PRESION (Número de Euler).

Viene dada por (utilizando T= L/V ).

)7.....(........................................)/(/ 2

2

22

2

224

2

23

p

V

L

V L

L

LV L

pL

T L L

pA

Ma ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ ===

×=

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS VISCOSAS (Número de Reynolds), seobtiene a partir de

)8.......(........................................2

22

µ

ρ

µ

ρ

µ

VL

L L

V

V L

Ady

dV

Ma

rA

Ma=

=

=



RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS GRAVITATORIAS. Se obtiene de

)9...(................................................................................2

3

22

Lg

V

g pL

V L

Mg

Ma==

ρ

La raíz cuadrada de esta relación, Lg

V se llama NUMERO DE FROUDE.

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS ELÁSTICAS. (Número de Cauchy). Se

obtiene a partir de

)10...(................................................................................2

2

22

E V

ELV L

EA Ma ρ ρ ==

A la raíz cuadrada de esta relación, ρ / E

V , se llama NÚMERO DE MACH.

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS DE TENSION SUPERFICIAL.

(Número de Weber). Se obtiene de

)11...(................................................................................222

σ

ρ

σ

ρ

σ

LV

L

V L

L

Ma==

4) EL TEOREMA П DE BUCKINGHAM.

El teorema П de Buckingham(1) demuestra que, en un problema físico que incluye n cantidades en

las que hay m dimensiones, las cantidades se pueden ordenar en n-m parámetros adimensionalesindependientes. Sean 1

A , 2 A , 3 A ,……., n A las cantidades implicadas, tales como la presión,

viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales a la solución, por lo que

debe existir alguna relación funcional

)1.3.4...(..................................................0).....,,.........,,( 321 =n A A A A F



Si 1Π , 2Π , 3Π ,…, representan algunas agrupaciones adimensionales de la cantidades 1 A , 2 A , 3 A ,

……, entonces con m dimensiones implicadas, existe una ecuación de la forma

f ( 1Π , 2Π , 3Π ,……., mn−Π ) = 0…………………………………………..(4.3.2)

El método para determinar los parámetros Π, consiste en selecciona m de las cantidades A, con

diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones y usarlas como variables

repetitivas, junto con una de las otras A cantidades para cada Π. Por ejemplo, sea que 1 A , 2 A , 3 A

contengan M, L, T no necesariamente en cada una, sino en forma colectiva. Entonces el primer

parámetro Π está compuesto como

)3.3.4........(................................................................................43211

111

A A A A

zY x

=Π

El segundo como

53212222 A A A A zY x=Π

y así hasta

n zY x

mn A A A A mnmnmn −−−=Π−

321

En estas ecuaciones se determinarán los exponentes para que cada Π sea adimensional. Las

dimensiones de las cantidades A se sustituyen y los exponentes de M, L, T se fijan iguales a cero

respectivamente, estos producen tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro Π, con loque se pueden determinar los exponentes x, y, z y de aquí el parámetro Π.

Si solo están implicadas dos dimensiones, dos de las cantidades A se escogen como variables

repetitivas y se obtienen dos ecuaciones con los dos exponentes incógnitos para cada término de Π.

En muchos casos la agrupación de términos A es tal que el arreglo adimensional es avidente por inspección. El caso mas simple es aquel cuando dos cantidades tienen las mismas dimensiones, por ejemplo, longitud, la razón de estos dos términos, siendo el parámetro Π.



EJERCICIO.

La descarga por un tubo capilar horizontal se piensa que depende de la caída de presión por

unidad de longitud, el diámetro y la viscosidad. Encuentre la forma de la ecuacion.

Solución: las cantidades son listadas por sus dimensiones:

Descarga Q L³T ¹Caída de presión por Unidad de longitud Δp/l ML²T²

Diámetro D L

Viscosidad µ ML¹T¹

Entonces

0,,, =

∆

µ Dl

pQ F

Se usan tres dimensiones, y con cuatro cantidades habrá un parámetro Π:

µ 1

1

1z

y

x D

l

pQ

∆=Π

Sustituyendo en las dimensiones da

000112213 111 )()( T L M T ML LT MLT L z y x ==Π −−−−−

Los exponentes de cada dimensión deben ser iguales en cada lado de la ecuación. Con L primero,

0123 111 =−+− z y x

E igualmente para M y T

011 =+ y

012 11 =−−− y x



De la cual 11 = x , 11 −= y , 41 −= z

Yl p D

Q

/4∆=Π

µ

Después de resolver para Q

µ

4 D

l

pC Q

∆=

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