Analisis Dimensional

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” FÍSICA

ANALISIS DIMENSIONAL

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Hallar la dimensión de “E” en el Sistema Internacional

E=DV2

gD = Densidad; V= Velocidad lineal g = AceleraciónA) ML-2 B) ML-1 C) LMT-2

D) LM E) ML-3

02. En la siguiente fórmula física:

E=AV 2+BP Donde: E= Energía; V = Velocidad; P = Presión, Hallar [A/B] A) ML-3 B) ML2 C) ML2T-3

D) LM-3T E) ML-4

03. Sabiendo que el impulso es I = Ft, encotrar las dimensiones de “Z” para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:

AI=WZ

+mZ

W = Trabajo; F = Fuerza; m = Masa; t: Tiempo A) LT2 B) LT-1 C) LT-2

D) LT-3 E) L2T-1

04. Hallar X + y para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta:

2H=a2bx

3C y Senθ

Donde: H = Altura; b = Radio; a = Velocidad c = Aceleración

A) 1 B) 3 C) 3D) 4 E) 5

05. Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que la expresión propuesta sea dimensionalmente correcta:

W=0,5mV α+AgH+BPQ=Aα α√B

V = Velocidad; W = Trabajo; m = Masa h = Altura; P = Potencia

g = Aceleración de la gravedad α = Exponente desconocido

A y B son magnitudes desconocidas

A) M 2T1/2 B) M 3T2/3 C) LM2/3T2/3

D) M3/2T1/2 E) 1

06. Se da la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:

V=3at3

+ h−bc

Siendo: V = Volumen; t = Tiempo; h = Altura Determinar la expresión dimensional de:

E= bac

A) T-3 B) T-2 C) T-1

D) M2L3 E) MT-3

07. Hallar la dimensión de [ab], si:

S=( aQR +b)d2

S y Q: FuerzasR y d: Longitudes

A) ML-2T-2 B) ML-3T-1 C) MLTD) ML2T-3 E) MLT-3

08. En la siguiente expresión:

F=aV (b− cv )+c

Donde: F = Fuerza V = Velocidad

Hallar la dimensión de “B”

A) M-1T B) MT C) CMT-1

D) LT E) MT-2

09. Se ha experimentado que la velocidad del sonido “V” en gas essólo función de la densidad “B”. ¿Cuál es la fórmula que expresa la velocidad del sonido en función de las características del gas, si el módulo de la comprensibilidad tiene dimensiones de presión?([K]=1)

A) V = K B) V = K√ dB C) V = K√ BdD) V = K√dB E) V = K

2 √ dB10. El valor de la velocidad tangencial (V) de un satélite

artificial terrestre está dado por la siguiente expresión: V = ARa gb

Donde: A = Es un número R = Radio de curvatura g = Aceleración de la gravedad Hallar el valor de a y b

A) -1/2; -1/2 B) 1/2; 1/2 C) 1; 1D) -1; -1 E) 2; 2

11. Se sabe que el periodo (P) de revolución de un satélite alrededor de un planeta depende del radio de la órbita (R), de la constante de gravitación universal (G) y de la masa del planeta alrededor del cual orbita. Hallar una expresión para la masa del planeta si la constante de gravitación universal:

(G)=(FUERZA )( AREA )

MASA2(K: Constante de proporcionalidad)

A) K R3

GP 2 B) K R2

GP 2 C) K R3

GP 3

D) K RGP 2 E)

K R2

GP 3

12. La fuerza de resistencia (R) que se crea a causa de la diferencia de presiones en los bordes delantero y posterior de un cuerpo en movimiento en el interior de un fluido, está dada por la siguiente expresión:

59


R=C2ραV β Sγ

Donde:C: Coeficiente adimensional

ρ : Densidad del fluido V: Velocidad relativa del cuerpo respecto al fluido S: Superficie transversal del cuerpo

Hallar: α ,β , γ A) 1; 1; 1 B) 2; 1; 1 C) 1; 2; 1 D) 2; 2; 1 E) 1; 2; 2

13. Un chorro de agua con densidad (D) y velocidad (V) choca contra un área (A). la fuerza que ejerce el chorro de agua contra la superficie tiene la siguiente forma:

F=√X V X A yDZ

Hallar la fórmula física correcta

A) F=√2 V 2AD B) F= VAD

C) F=√3 V 3 AD D) F= VAD3

E) F=√5 V 5A2D3

14. En la expresión:

ABX = 3CSen( 2π B/C Y )Hallar [X]/[Y], sabiendo que: A = Potencia; B = Velocidad; C = TrabajoA) MT-1 B) MT C) M-1TD) M-1T-1 E) MT2

15. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta Hallar [X / k3]

xLogn =(2E-KMdy )(P2−t )

Donde: E = Fuerza; d = Densidad; M = Masa P = Potencia; Y = Aceleración angular A) ML3T4 B) ML2T4 C) MLT2

D) M2L3T2 E) M2L5

16. Hallar la dimensión de “V” en la siguiente ecuación dimensional y correcta:

V=(a+bc )EFLogx

+mRc

Donde:m = Masa; a = Aceleración; R = Longitudb = Constante numérica; F = FuerzaA) 1 B) MT C) MT2

D) MT-1 E) M-2

17. en un experimento de física se comprobó que la relación: QPF = (FAV)UNA Es dimensionalmente correcta siendo: P = Presión; F = Fuerza; A = Área V = Volumen; U = Energía.¿Cuáles son las dimensiones de N?A) L-4M-1T-2 B) LMT C) L-2M-2T-1

D) L2M-1T-3 E) L3MT-1

18. Hallar las dimensiones de y para que la expresión:

y=BPe5mBV

Sea dimensionalmente correcta siendo:P = Presión; m = Masa; V = Velocidad

e = 2,73A) T-3 B) T-2 C) T-1

D) MT E) MT-2

19. La siguiente ecuación nos define la velocidad en del tiempo (t) de un cuerpo que se desplaza sobre una superficie horizontal: V = AW Cos(Wt). De las siguientes proposiciones, podemos afirmar que es (son) verdadera(s):I. [W] = T-1

II. [A] = LIII. [V] = LT-1

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) I y II E) Todas

20. La fuerza de razonamiento que sufre una esfera dentro de un líquido está dada por la fórmula empírica:

F = KnXrYVZ

Siendo K = Constante numérica

n = Viscosidad =

MasaLongitud . Tiempo

r = Radio; V = Velocidad El valor de (x + y + z) es: A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 3

ANÁLISIS VECTORIAL

VECTOR

Este es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado.

La Física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales.

y

MóduloSentido

Línea de acción60


A = A A = Módulo del Vector A = Dirección del Vector A

RA

B

ABCosBAR 222

A

BR = A + B = Rmáx

B A

B

A

R22 BAR

3R

R

x

x

Rx

x

2R

En general un vector se representa de la siguiente forma:

OPERACIONES VECTORIALES

I. SUMA DE VECTORES O COMPOSICIÓN VECTORIALEs una operación que tiene por finalidad hallar un único

valor resultante (R ) , el cual es igual a la suma de todos los vectores.

Ejemplos:

* Sean A y B vectores ® R=A+B* Sean A ; B y C vectores ® R=A+B+C

II. RESTA DE VECTORESEsta es una operación que tiene por finalidad, hallar un

vector denominado diferencia (D) , el cual es igual a la resta de vectores.Ejemplo:

* Sean A y B vectores ® D=A−B

METODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

A. MÉTODO DEL PARALELOGRAMOSe utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen.Gráficamente se construye. Un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.

Vector resultante: R=A+B

Módulo de R:

Casos particulares:A. Si = 0º (A B)

* Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante

B. Si = 180 (A ¯ B)

* Se obtiene el menor valor posible de la resultante

C. Si = 90º (A ^ B)

* Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras

Propiedad:Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo

D. Si = 60º

E. Si = 120º

B. MÉTODO DEL POLÍGONO

Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector

resultante (R )se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Ejemplo:

R = A - B = Rmin

Rx

x

R = x

x

x

x R = 0

R3x

8x

R = 7x

61


A

CB

R

C

AO

Polo

Y

XA

yA A

22yRRR

RR

Tg y

0yR00 yRRR

Sean A ; B y C vectores

Construimos el polígono vectorial:

C. MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Son aquellos que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

Se cumple que:

El método de los componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir:

1º Se halla las componentes rectangulares.2º Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry)3º Se calcula el módulo de la resultante aplicando

Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.


01. Hallar el módulo de la resultante de los vectores

A y B , si se sabe que: A = √10 ;B=4

A) √24 B) 5√2 C) 2√5D) √26 E) √17

02. Determinar el módulo de la resultante si “M” es punto medio de los vectores (A = 2; B = 10)

A) 3 B) 5 C) 8D) 2 E) 7

03. Dos vectores A y B forman 60º entre sí siendo el

módulo de la resultante √5 y el módulo del vector

diferencia √3 . Si A y B formarán 90º entre sí, el módulo de la resultante sería

A) 1 B) √2 C) 2

D) 4 E) 2√2

04. Determinar la magnitud del vector resultante de los vestores que se muestran en la figura.

Si A = 2 u; B = 3 u, C = √3 u y D = 1 u

A) 5 B) 6 C) 4D) 7 E) 3

Ax = ACos

Ax = ACos

62


05. La resultante máxima que se puede obtener con

A y B es 12 y la mínima es 3. ¿Qué módulo

tendrá la resultante de A y B si formarán 60° entre sí?A) 6 B) 7,5 C) 10,5

D) 12 E) 5√306. Determinar el módulo del vector resultante.

A) 30 B) 30√2 C) 50

D) 50√2 E) 30√307. Hallar el módulo de la resultante de los vectores

mostrados, sabiendo que M, N y O son puntos medios.

A) 8 B) 4 C) 2D) Cero E) 6

08. Determinar el módulo del vector resultante si:

A) 10 cm B) 20 cm C) 4 cmD) 7 cm E) 15 cm

09. Dados los siguientes vectores, hallar el módulo de la

resultante de los vectores mostrados |f|=3 y|d|=4, siendo f y d perpendiculares.

A) 6 B) 8 C) 10

D) 15 E) 5

10. Hallar el módulo del vector resultante, si se sabe que: B = 3; D = 4; E = 5

A) 34 B) 29 C) 19D) 14 E) 8

11. Si el exágono regular es de lado “L”, hallar el módulo del vector restante.

A) √5 L B) √3 L C) √7 L

D) √9 L E) √2L

12. Hallar X en función de

a y b(AB=3BC ,DE=3CD , AF=FE)

A) (2a+b )/2 B) (3a+b )/2

C) (a+3b )/2 D) (a+2b )/2

E) (2a+3b )/213. Si ABCD es un cuadrado, hallar X en función de

M y N .

63


37º

45º

(8; y)

X

ji 86

210 A

º

Y

A) (2a+b )/2 B) (2a+b )/2 C)

(2a+b )/2D) (2a+b )/2 E) (2a+b )/2

14. Si x=a+b+c+d , el módulo del vector x es:

Datos: |a|=|b|=4 √2 ;|c|=|d|=8

A) 4 B) 12 C) 4√2D) 8√2 E) 0

15. Si la resultante del grupo de vectores es nula, hallar “θ ”

A) 30º B) 37º C) 45ºD) 53º E) 60º

16. Si la resultante en el eje “X” es 10, hallar “θ ”

A) 30º B) 37º C) 45ºD) 53º E) 60º

17. El sistema mostrado tiene una resultante nula. Hallar el

ángulo “θ ”

A) ArcCos(1/√5 ) B) ArcCos(1/√3 ) C) 30º

D) 53º E) ArcCos(1/√7 )

18. Hallar el ángulo “θ ” y el módulo de la resultante de las fuerzas mostradas, sabiendo que la resultante se encuentra sobre la línea de acción de la fuerza de 90 N.

A) 37º; 80N B) 60º; 40N C) 65º; 30ND) 83º; 75N E) 53º; 20N

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME VARIADO

CINEMÁTICA

CONCEPTO:

100 N80 N

12º

X

Y12º

90 N

d

c a

b

30

45

Y

X30

45

3/4F

F

ºº

37º

50

F

º

Y

X

12º

52

ºº

12

º

Y

X

64


xt

x0 x10

(a)( t0 D

01D

Y(b)

to

O Dr D tX

frrrrD of

x+2 +20

8220 D

3

0

8

4 X12r

or

Y

)(tDvm

)(tdv p

0®

ttDLimV

Es la parte de la ciencia física llamada mecánica, que se encarga del estudio de la geometría del movimiento pero sin analizar sus causas.

MOVIMIENTO:Es el fenómeno físico donde un cuerpo, llamado móvil, cambia de posición con respecto a un sistema de referencia al cual se considera fijo. El movimiento es relativo al sistema de referencia y generalmente se consideran sistemas de referencia fijos a la tierra.

O: origen de coordenadas

* Movimiento según la trayectoria:

a. Rectilíneo

b. Parabólico

c. Circular

d. Elíptico

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO:

1. TRAYECTORÍA:La línea por el móvil (recta o curva).

2. VECTOR POSICIÓN (¿ ; r ):Vector dirigido desde el origen de coordenadas hasta la posición que ocupa el móvil en cierto instante.

3. DESPLAZAMIENTO (D) :Vector dirigido desde la posición inicial hasta la final, indica el cambio de posición.

4. DISTANCIA RECORRIDA (d):

Longitud de la trayectoria por el móvil.

APLICACIÓN

a.

b.

r o=(4 ;8)r o=(12;3 )D=Δr=(12;3 )−(4 ; 8)D=(8 ;5)

VELOCIDAD MEDIA (Vm) :Magnitud física vectorial que indica la rapidez y dirección del desplazamiento efectuado durante cierto intervalo de tiempo.

IMPORTANTE:a. El desplazamiento no depende de la trayectoria

descrita.b. La distancia recorrida es llamada también espacio

recorrido.

RAPIDEZ PROMEDIO (Vp):Magnitud física que indica la rapidez de la distancia recorrida durante un cierto intervalo de tiempo.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA (v ) :Magnitud física vectorial que se determina mediante el cociente del desplazamiento efectuado y el intervalo de tiempo empleado cuando este es muy pequeño (tiende a cero). Indica la rapidez y dirección del movimiento en un instante cualquiera, en el movimiento curvilíneo es tangente a la trayectoria.

MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

O x

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL

O X

Y

X

65


+2

V

V

pm VV

tV

tVV

aif

m

0®

ttV

LimV

a VAcelerado

a VRetardad

o

V

a

Taa

Na

t tV V V

d d

tdV d = V.t

vdt

1V

d1

2V

d2D

(a) Movimiento Rectilíneo:

D=Δr=(12;3 )−(4 ; 8)D=(8 ;5)

(b) Movimiento Circulíneo:

* Movimiento Rectilíneo:

* IMPORTANTE:

a. Si V = Constante, el movimiento es uniforme.b. Si V ¹ Constante, el movimiento es variado.

ACELERACÍON MEDIA (am) :Magnitud física vectorial que expresa la rapidez del cambio de la velocidad durante un intervalo de tiempo.

* V : Cambio vectorial de la velocidad.* Unidades: m/s2

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA (a ) :Magnitud física vectorial que se determina mediante el cociente del cambio de la velocidad instantánea y el intervalo de tiempo transcurrido cuando este es muy pequeño. Indica la rapidez y dirección del cambio de la velocidad en un instante cualquiera, en el movimiento curvilíneo esta dirigida al interior de la trayectoria.

a. Movimiento Rectilíneo

b. Movimiento Curvilíneo

* Componentes de la aceleración

aT : Aceleración tangencialaN Aceleración normal

⇒a=√aT2 +aN2

MOVIMIENTO RECTILÍINEO UNIFORME (MRU)

CONCEPTO: Movimiento efectuado en línea, con velocidad constante, el móvil recorre distancias iguales en intervalos de tiempo también iguales.

LEYES DEL MRU

V = consonante “d” es directamente proporcional al “t”

ECUACIONES DEL MRU

* IMPORTANTE:

1 kmh

=10003600 s

⇒1 kmh

= 518ms

TIEMPO DE ENCUENTRO (tE):

Si dos móviles parten simultáneamente al encuentro efectuando ambos un MRU, entonces el tiempo que emplearán en encontrase estará dado por la siguiente expresión:

66


21 VVDtE

1V 2V

D

21 VVDtA

xxo x

Vt

V

tVof .

lV fV

d

t

a

tV

tVV

aif

®®®®

* d1 + d2 = D Pero: d = V.tV1.t = V2.t = Dt (V1. + V2) = D

Sentido físico de la velocidad:Si V = 10 m/s = Cte.

Se recorren 10 m por cada segundo

TIEMPO DE ALCANCE (tA):

Si un móvil va al alcance de otro que se aleja simultáneamente en la misma dirección, efectuando ambos un MRU, entonces el tiempo que emplea en alcanzarlo estará dado por la siguiente expresión:

OBSERVACIÓN:Ubiquemos al móvil en un eje coordenado:

Sabemos que: d = V.t

Pero: D=¿f−¿0→¿f−¿0=V t

Donde: ¿o = Posición inicial

¿ f = Posición final

t = Intervalo de tiempo transcurrido

MOVIMIENTO RECTÍLINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

CONCEPTO

Es el movimiento efectuado en línea recta con aceleración constante, en tiempos iguales el móvil efectúa cambios de velocidad también iguales pero recorre distancias diferentes.

LEYES DEL MRUV

a→

= Constante El cambio de velocidad = Vf – Vi es directamente

proporcional al tiempo transcurrido t

→ ΔVt

=Cons tan te Si la velocidad inicial es nula, la distancia recorrida es

directamente proporcional al tiempo transcurrido al cuadrado.

→ dt2

=Cons tan te

ACELERACIÓN DEL MRUV a→

* Unidad: m/S2

CASOS:a) Movimiento acelerado: Vf > Vi

b) Movimiento retardado: Vf < Vi

ECUACIONES DEL MRUV

1. d = Vi . t ±

at2

22. Vf = Vi ± a . t3. Vf

2 = Vi2 ± 2a.d

4.

dt=V i+V f

2Donde:(+): Movimiento acelerado(-): Movimiento retardado

PARA RECORDAR:Si la aceleración es constante, entonces no cambia de valor ni de dirección.

Sentido físico de la aceleración:Si: a = 3m/s2 = constante

® La velocidad cambia en 3 m/s por cada segundo.

IMPORTANTE:a)

a

V

d

aV

1 s10 4

a = 6

67


Acelerado porque aumenta la velocidad

b)

Retardado porque disminuye la velocidad

OBSERVACIÓN: Distancia recorrida en el enésimo segundo

dn=±a2

(2n−1 )

LOS NÚMEROS DE GALILEO

Si el móvil parte del reposo (velocidad inicial nula) y viaja con MRUV, se cumple que las distancias que recorre en intervalos de tiempos iguales son directamente proporcionales a los números impares, los cuales son denominados los números de Galileo.

EjemploSuponga que un móvil parte del reposo y acelera, si en los 2 s iniciales recorre 4 m. ¿Cuánto recorrerá en los 6 s siguientes?

Solución:En este caso consideramos intervalos de tiempo de 2 s cada uno

®k = 4 m y x = 3k + 5k + 7k = 15 ® x = 60 m

OBSERVACIÓNUbiquemos al móvil en un sistema de coordenadas

En este caso D=¿f−¿0 entonces las ecuaciones se

expresan de la siguiente manera:

1.¿f=¿o t+

a t2

2

2.V f=V o+a .t

Donde:xo = Posición inicialxf = Posición finalt = Intervalo de tiempo transcurrido

Regla de signos:

Ejemplo:Un móvil con MRUV parte desde la posición +2 m con una velocidad de +4 m/s y acelera a +3 m/s2. Determine la velocidad final y su posición final al cabo de 2 s.

Solución:

¿ f=¿o+V o t+a t 2

2→¿ f=2+4(2 )+3

2(2 )2=+ 16 m

V f=V o+a . t→V f=4+3(2)=10 m / s


01. Un auto se desplaza con una determinada velocidad constante “V” durante 4 s, recorriendo una determinada distancia. Luego aumenta su velocidad en 4 m/s, recorriendo la misma distancia en 3,5 s. Hallar “V” en m/sA) 28m/s B) 14 m/s C) 7 m/sD) 20 m/s E) 21m/s

02. Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 09:00 h. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 08:00 h. ¿A qué hora sale siempre de su casa?A) 06:00 h B) 07:00 h C) 08:00 hD) 05:00 h E) 04:00 h

03. Rocío ha estado viajando durante 4 horas. Si hubiera viajado un ahora menos con una velocidad mayor de 5 km / h, habría recorrido 5km menos. ¿Cuál es su velocidad en km/h?A) 4 km/h B) 5 km/h C) 10 km/hD) 8 km/h E) 20 km/h

04. “Abelito” observa que caminando a razon de 0,8 m/s de su casa a la academia “Discovery” tarda 4 min más que caminando a 0,9 m/s. ¿Cuál es la distancia de su casa a la academia?A) 1000m B) 1500m C) 2200mD) 1750m E) 1728m

05. Una persona esta situada a 510 m de un gran cerro. Si emite un grito, ¿Después de que tiempo escuchará el eco?(Vsonido =340 m/s)A) 1,5 s B) 2,0 s C) 2,5 sD) 3,0 s E) 4,0 s

06. ¿Cuánto tiempo demora un tren de 400 m de longitud que viaja una velocidad de 72 km/h en pasar por un tunel de 80 m de largo?A) 36 s B) 42 s C) 18 sD) 24 s E) 50 s

07. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿Qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?

1 s7 m/s12

a = 5

7 k5 k3 k1 k

tt ttVl = 0

a

x4 7 k5 k3 k1 k

2 s2 s 2 2 sVi = 0

a

aVVo

txxo

x

+-

50 20

Pare

Mur

68


A) 2 cm/s B) 3 cm/s C) 4 cm/sD) 5 cm/s E) 6 cm/s

08. Un auto recorre rectilíneamente la primera mitad del camino con una velocidad de 60 km/h y la segunda mitad con una dirección perpendicular a la primera con una velocidad de 120 km/h. Hallar la velocidad media y promedio en km/h.

A) 40√2 ; 80 B) 20√2 ; 40 C) 60; 60

D) 50; 80 E) 10√2 ; 20

09. Un tren de 100 m demora 10 s en pasar a una persona que se mueve en su misma dirección con 2m/s, y en pasar un túnel 40s. determinar la longitud del túnel.A) 100 m B) 200 m C) 280 mD) 380 m E) 400 m

10. Dos móviles situados en una misma línea recta separados 1,5km parten simultáneamente con velocidades constantes de 42m/s y 28m/s. alejándose cada vez más. Al cabo de que tiempo estarán separados 5km?A) 20 s B) 50 s C) 100 s D) 80 s E) 60 s

11. Un ciclista se desplaza con una rapidez constante de 4m/s, de pronto observa un vache” en su camino y gira 74º su timón si la maniobra duró 0,4 segundos, ¿Qué aceleración media experimento el ciclista si mantuvo constante su rapidez en el giro?A) 4,8 m/s2 B) 8,6 m/s2 C) 10 m/s2

D) 6 m/s2 E) 12 m/s2

12. Una pelota de tenis que viaja con una velocidad horizontal de 10m/s recibe un golpe de raqueta que lo devuelve con una velocidad horizontal de 15m/s en sentido opuesto a su velocidad inicial. Si el golpe de la raqueta duró 0,5s, ¿Cuál es valor de la aceleración media que experimenta la pelota durante el golpe?A) 10 m/s2 C) 5 m/s2 C) 15 m/s2

D) 25 m/s2 E) 50 m/s2

13. En el diagrama para que el movil valla de “A” hacia “B” emplea 2s, observándose que en “A” su rapidez es 8m/s y que en “B” es 4m/s. ¿Qué aceleración media tendrá el móvil en este trayecto?

A) 2√3 m/s2 B) 4 m/s2 C) 10 m/s2

D) 6√3 m/s2 E) 5 m/s2

14. Se muestra la incidencia rebote elástico de una partícula. Si el choque dura un tiempo “T” y la velocidad de incidencia es “V”, hallar el módulo de la aceleración media en el tiempo “T”.

A)

Vt B)

V √2t C)

3Vt

D)

√3V2t E) Cero

15. Un auto parte del reposo y viaja durante 4s, en ese instante su velocidad es de 20m/s. continúa con la misma aceleración, la velocidad que tendrá a los 9s de iniciado su recorrido es: A) 25 m/s B) 35 m/s C) 45 m/sD) 55 m/s E) 65 m/s

16. Un móvil con MRUV parte con cierta velocidad inícial. Si al recorrer 180m en 12s logra duplicar su velocidad, el módulo de su velocidad al transcurrir los 6 primeros segundos es: A) 5 m/s B) 10 m/s C) 15 m/sD) 20 m/s E) 25 m/s

17. Un cuerpo que se mueve con MRUV recorre 36m en 3 segundos. ¿Cuántos metros recorrió en el 2do segundo de los 3 segundos?A) 18 m B) 16 m C) 14 mD) 12 m E) 6 m

18. Un leopardo africano cuya aceleración es de 8m/s2

persigue a una gacela cuya aceleración es de 5m/s2’

y esta ubicada a 150m de él. Si ambos parten del reposo simultáneamente, calcular el tiempo que tarda el leopardo en atrapar la gacela.A) 2 s B) 3 s C) 4 sD) 9 s E) 10 s

19. Un móvil MRUV recorre 50m en los 2 primeros segundos, 75m en los siguientes 2 segundos. ¿Cuántos metros recorrerá en los siguientes 4 segundos?A) 90 m B) 100 m C) 115 mD) 125 m E) 225 m

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL)

Un cuerpo se encuentra en caída libre cuando se mueve únicamente por defecto de su propio peso. Esto implica que toda fuerza (tal como la fricción del aire), es despreciada.

OBSERVACIÓN

Cada cuerpo celeste tiene su propio valor para su aceleración de la gravedad.

Debe tenerse en cuenta que el cuerpo en caída libre experimenta una aceleración especial, la cual es conocida como “aceleración de la gravedad” y su valor, para nuestros problemas, será cerca a la tierra de 9,8 m/s2. Para facilidad de los problemas, a veces se toma el valor de la aceleración de la gravedad como 10 m/s2, pero es necesario que el problema lo especifique.

TIPOS DE MVCL

WH

VV120º

A8 m/s

4 m/sB60

69


Hacia abajo: El movimiento es acelerado Hacia arriba: El movimiento es desacelerado

OBSERVACIÓN:

Valores de la aceleración de la gravedad (g) en módulo:

En el polo: 9,83 ms2

En el Ecuador: 9,78 m/s2

En Lima – Perú: 9,8 m/s2

ta + tp: Tiempo de subida (tsubida) tc + td: Tiempo de bajada (tbajada) ta + tb + tc + td: Tiempo de vuelo (tv ; tvuelo)

De la figura se deduce lo siguiente:

1.|V 1

→|=|V 5

→|;|V

→2|=|V

→4|

2.|V→

3|=0(Altura máxima)

3. ta = td ; tb = tc ; ta + tb = tc + td

ECUACIÓNES DEL MVCL

1. Vf = Vo ± gt2. V2 = V2

o ± 2gh

3.h=V o . t±1

2gt 2

4.h=

(V o+V f )2

t

REGLA DE SIGNOS

(+): Cuando el movimiento es descendente

(-): Cuando el movimiento es ascendente

OBSERVACIÓN:

Existen otros movimientos de caída libre que no son verticales; por ejemplo: El movimiento parabólico, el movimiento de un satélite alrededor de la tierra.

FÓRMULAS ADICIONALES

1.t subida=tbajada=

t vuelo2

2.t vuelo=

2V og

3. Altura máxima (hmáx): hmáx =

V2o

2g

4. hn = V ±

12g(2n−1 )

hn: Altura recorrida en el número de segundos “n”

FÓRMULAS VECTORIALES

h = Vector desplazamientoCovección: (+)

¯ (-)

Por lo tanto: g (-)¯


01. Desde el piso se lanza un proyectil hacia arriba y retorna al punto de lanzamiento, al cabo de 8 segundos. ¿Con qué velocidad retorna el punto de lanzamiento? (g = 10 m/s2)A) 10 m/s B) 20 m/s C) 30 m/sD) 40 m/s E) 50 m/s

02. Un cuerpo se suelta de una altura de 100 m. ¿Con qué velocidad llegará al piso y en qué tiempo?(g = 10 m/s2)

A) 20√3m/s;√20 s B) 20 √5m/s;2√5 s

C) 10√5 m/s;√10 s D) 5√5m/s;2√5 s

E) 2√5m/s;3√5 s

03. Una pelota cae verticalmente al piso y rebota en él. La velocidad justo antes del choque es V y justo después del choque es 0,9V. Si la pelota se deja caer desde un metro de altura, ¿a qué altura llegará después del primer bote? (g = 9,8 m/s2)A) 0,90 m B) 1,00 m C) 0,95 mD) 0,85 m E) 0,81 m

04. Un cuerpo cae en el último segundo un cuarto de la altura total. ¿Qué tiempo estuvo en movimiento?

A) 2(2+√3 ) s B) (1+√3 ) s C) 2(1-√3 ) s

D) 2√3 s E) 2(1+√3 )

B

A’

tb

ta td

g

tc

C

B’

A

V1

V5

V4

V2

V3

70

V f=V o+g t

h=V o t+g2t 2


05. Se le lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde tierra con uno velocidad de 40 m/s. Hallar después de que tiempo y a qué altura se encuentra cuando su velocidad sea de 10 m/s hacia abajo. (g = 10 m/s2)A) 10 s; 20m B) 5 s; 75m C) 5 s; 200mD) 10 s; 75m E) 8 s; 120m

06. Un paquete ubicado a 70 m del piso es lanzado verticalmente hacia arriba con V0= 20 m/s. determinar a qué altura se encontrará luego de 6s(g =10 m/s2)A) 5m B) 10m C)15m D)25m E)35m1

07. Un cuerpo es disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s. Si la altura alcanzada por el cuerpo coincide con la del edificio, ¿Cuántos pisos tiene el edificio, Si cada piso tiene 5 m de altura y que tiempo demorará en volver al piso?A) 49;10s B) 98;20s C)49;5sD) 98;10s E) 98;15

08. Desde el piso se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a razón de 20 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo como máximo se encontrará a 15 m de altura? ( g =10 m/s2)A)1s B)2s C)3s D)4s E)5s

09. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una V= 30 m/s. ¿al cabo de qué tiempo asciende la última tercera parte de su altura máxima? (g =10 m/s2) A) 1,21 s B) 1,41s C) 1,53sD) 1,73s E) 1,81

10. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo la pelota poseerá una velocidad de 40 m/s.? (g =10 m/s2)A)3s B)4s C)5s D)6s E)absurdo

11. Una piedra se lanza verticalmente desde un punto A con una velocidad de 80 m/s. ¿A qué distancia de A se encontrará un punto B, en el cual la velocidad de la piedra será 20 m/s. hacia abajo? (g =10 m/s2)A) 100m B)200m C)300mD) 320m E)360m

12. Desde la azotea de un edificio de 80 m, un apersona suelta una pelota de fútbol con la intención de agarrar dicha pelota, otra persona distante 20 m de la base del edificio, presentando un MRU, se dirige hacia el lugar de impacto.¿ Cuál debe ser la velocidad V para que logre su propósito? (g =10 m/s2). Desprecie los efectos del aire.

A) 6 m/s B) 8 m/s C) 30 m/sD) 5 m/s E) 10 m/s

13. Desde la azotea de un edificio de 80 m, se suelta un cuerpo, luego de 2 s se lanza verticalmente hacia abajo otro cuerpo. Si ambos llegan simultáneamente a la base del edificio, calcular con que rapidez fue

lanzado el segundo cuerpo. Despreciar los efectos del aire (g =10 m/s2)A) 35 m/s B) 10 m/s C) 30 m/sD) 60 m/s E) 20 m/s

14. Una esfera se deja en libertad desde una altura de 80m y al rebotar en el piso se eleva sólo hasta la cuarta parte de la altura anterior. ¿Qué tiempo ha transcurrido hasta que se produce el 3er. Impacto? (g =10 m/s2)A)4s B)6s C)8s D)9s E)10s

15. De la llave de un caño malogrado que está a 7,2 m de altura cae una gota de agua cada 0,1 s. Cuando está por caer la tercera gota, se termina de malograr el caño y sale un chorro grande de agua. ¿Cuál deberá ser la velocidad con que sale el chorro para que alcance la primera gota, en el momento preciso, que ésta choca con el piso? (Considerar: g =10 m/s2)A) 1,8 m/s B) 2,0 m/s C) 2,2 m/sD) 2,4 m/s E) 2,6 m/s

16. Dos cuerpos “P” y “Q” se colocan en la misma vertical tal como se indica en la figura. El cuerpo “P” se lanza hacia arriba con una velocidad de 60 m/s y en el mismo instante “Q” se deja caer. ¿Desde qué altura “X” se tendrá que dejar “Q” para que ambos se encuentren en la misma altura recorrida por “P”?

A)450 m B)360 m C)620 m D) 210 m E) 870 m 17. Desde una altura de 20 m, respecto a la superficie de

un lago se suelta un objeto, llegando hasta el fondo del lago en 7 s. si consideramos que el objeto se mueve con una velocidad constante estando dentro del agua, ¿Qué profundidad tiene el agua? (g =10 m/s2)A) 100 m B) 80m C) 60m D) 120m E) 75m

18. En el pozo de la figura caen sin fricción gotas a razón de una gota/ segundo. Un objeto asciende a una velocidad constante de 10 m/s y es alcanzado por una gota cuando está a una profundidad h = 500 m.¿Cuánto subirá, aproximadamente, el objeto hasta ser alcanzado por la segunda gota? (g =10 m/s2)

A) 3 m B) 5 m C) 7 m D) 9 m E) 11 m

19. Un pequeño cohete comienza a moverse con una aceleración constante de 5 m/s2. Si al cabo de 6 s se termina el combustible, ¿Qué altura como máximo logra elevarse? Desprecie los efectos del aire y considere. (g =10 m/s2)

V

20 m

h

VV

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

71


ÁreaD

0 m

V V V

20 m

5 s5 s20 m5 m 25 m 45 m

A) 130 m B) 125 m C) 110 mD) 90 m E) 135 m

20. Desde un globo aerostático que sube describiendo un MRU con una velocidad de 10 m/s, una persona suelta una moneda y observa que demora 6 s en llegar al suelo. Calcular desde que altura h fue soltada la moneda. Desprecie los efectos del aire sobre la moneda (g =10 m/s2)

A) 120m B) 80m C) 100m D) 125m E) 140

GRÁFICAS EN CINEMÁTICA

En el estudio de las magnitudes cinemáticas es común encontrar una relación entre dos o más magnitudes, de tal manera que si aumenta el valor de una de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumentando o disminuyendo), por lo tanto se afirma que entre ellas existe una proporción (directa o inversa) o una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc., en general se dice que una de ellas esta en función de la otra.

Cuando una magnitud es función de otra, entonces se puede construir una grafica que relacione a dichas magnitudes y para ello se emplean los ejes rectangulares x – y, en cinemática encontramos que la velocidad, la aceleración y la posición del móvil se puede expresar en función del tiempo y por lo tanto se pueden construir las gráficas correspondientes.

I. En el MRUV

1. Gráfica V – t (Velocidad versus tiempo)En este caso la gráfica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esto se debe a que la velocidad es constante y no depende del tiempo transcurrido.

Propiedad

OBSERVACIÓN

(a)Primer cuadrante ® área (+) ® desplazamiento hacia la derecha(b) Cuarto cuadrante ® área (-) ® desplazamiento hacia la izquierda

1. Gráfica x – t (Posición versus tiempo) En este caso la gráfica es una línea recta inclinada la cual no necesariamente pasa por el origen de coordenadas, esto se debe a que el móvil va cambiando de posición durante el transcurso del tiempo.

Propiedad

Ejemplo:Se presenta un móvil con MRUV represente sus gráficas V – t y x – t

Solución:

Hallando la velocidad: V= d

t=20

5=4 m /s

Construyendo las gráficas tenemos:

II. En el MRUV2. Gráfica a – t (Aceleración versus tiempo) En

este caso la grafica es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, esto se debe a que la aceleración es constante y no depende del tiempo transcurrido.

Área

tt0

V

V

D =

tt

0

xo

x

V = Tg

0t (s)

V (m/s)

5 10

6

34

12

5

7

0 t (s)

x (m)

5 10

40

102030

50

tt0

a

a

Área

10 m/s

h

72


Propiedad

2. Gráfica V – t (Velocidad versus tiempo)En este caso la gráfica es una línea recta inclinada cuya pendiente puede ser positiva o negativa, esto se debe a que la velocidad del móvil va cambiando continuamente ya sea aumentando o disminuyendo así como también cambiando su dirección.

Propiedad

OBSERVACIONES:

Si el móvil parte del reposo la gráfica es:

Si el móvil desacelera la gráfica es:

Pero: Tg = Tg ®

3. Gráfica x- t (Posición versus tiempo)

En este caso la gráfica es un arco de parábola cuyo eje es vertical paralelo el eje de coordenadas (x), si el móvil parte del reposo la gráfica es una semiparábola, cumpliéndose que en cada punto de

la gráfica la pendiente nos da la velocidad instantánea del móvil.

Propiedad

OBSERVACIÓN:

Si el móvil parte del reposo la gráfica es:

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Un móvil realiza tres MRU consecutivos tal como se representan en la gráfica MRU mostrada, hallar la distancia recorrida en todo el movimiento y también el desplazamiento.

Resolución:

V = Vf – Vi = Área

D =

D = Área

A = Tg

t

t

0 Vf V

a = Tg

0

Vi

V

tt

a = -Tg

Arco de parábola

t

x

t0

xo

x

V = Tg

Semiparabo

t

x

t0

xo

x

V (m/s)

t (s)30205

10

40

10

t t0

Vf

Vi

V

Área

V (m/s)

A3

A2

A1

t (s)30205

10

40

10

73


-xx(m)

37º

C

12

A

B

4

t t(s)

V(m/s)

B2

A

37º

3 t(s)45º

x(m)

2

t(s)α

α1

0

-1 A

B C

D E

1 2 3 4 5 6

x(m)

t(s)

100

07

2 4 6 8

d = Área = A1 + |A2| + A3

d = 10 (40) + |10(−5 )| + 10 (10)d = 400 + 50 + 100 = 550 mD = Área = A1 + A2 + A3

D = 10 (40) + 10 (-5) + 10 (10) = 450 M

2. Un móvil efectúa dos MRUV consecutivos tal como se indica en la gráfica. Si la velocidad inicial es 10 m/s, determine la velocidad final de los 20 s iniciales.

Resolución: V = Área = A1 + A2

® Vf – 10 = 15 (6) + (20 - 15) (4) = 110 ® 120 m/s

3. La gráfica mostrada corresponde a un MRUV, determine el valor de la aceleración del móvil.

Resolución:Datos: xo = 4 m; x = 29 m; t = 5 s; Vi = 0 m/sDistancia recorrida: d = x – xo = 29 – 4 = 25 mHallando la aceleración:

D= V i+at2

2→25=0+ a

2(5)2→a=2m /s2


01. Dada la gráfica x vs t, ¿en qué relación están las

velocidades en los tramos AB y BC ?

A) 1; 2 B) 2 ; 3 C) 3 ; 4D) 1 ; 3 E) 4 ; 1

02. Se muestra la gráfica V – t de dos partículas que se mueven en el eje X. ¿Después de qué tiempo de haber salido el móvil “A” sus velocidades se igualan?

A) 10 s B) 12 s C) 20 sD) 24 s E) 30 s

03. El movimiento rectilíneo de un móvil está representado por la siguiente gráfica x – t.

Se puede afirmar que: I. El móvil se detiene dos veces en el trayecto

mostrado. II. El móvil siempre tiene velocidad positiva o nula.III. La velocidad en t = 4.5 s es 1 m/s.

A) Sólo I es verdadera B) Sólo II es verdaderaC) I y II son verdaderas D) I y III son verdaderasE) Todas son verdaderas

04. Del gráfico mostrado hallar el módulo de la velocidad media y la velocidad promedio en el intervalo [2; 8] segundo. Dar la respuesta en m/s.

A)

503; 100

3B) 25 ; 50 C) 60 ; 80D) 100 ; 50 E) 30 ; 60

05. Hallar la velocidad media en el intervalo de t = 4 s hasta t = 12 s.

a

0 2015

46

Semiparabo

5

x (m)

t (s)0

4

29

74


V(m/s)

10

t(s)

5

0 4 8 12 16

x(m)

30

t(s)0 5 8 10

V

10

t(s) 5 10 12 14 15

x(km)

600

6 h 10h t(h)

V(km/h)

80

t(h)

0 2

40

V

4

3

2

t

1 –

3 6

1

2

3

1 4

x(m)40

Arco de parábola

t(s)4

V(m/s)

1012

BA

5 6 t(s)

A) 2 m/sB) 5 m/sC) 7.5 m/sD) 10 m/sE) 12.5 m/s

06. Hallar el módulo de la velocidad media y promedio desde t = 0 hasta t = 10 s.

A) 8 m/s ; 5 m/sB) 8 m/s ; 4 m/s C) 6 m/s ; 5 m/sD) 5 m/s ; 8 m/sE) 10 m/s ; 14 m/s

07. Hallar la posición del móvil para t = 15 s, si para t = 0 su xo = - 4 m, según la gráfica V – t.

A) 61 m B) 57 m C) 36 mD) 28 m E) 48 m

08. Un automóvil a las 6 horas se encuentra en el kilómetro 600 de la Panamericana Norte, llegando a Lima a las 10 horas. A las 9 horas, ¿cuánto dista de Lima?

A) 150 km B) 120 km C) 300 kmD) 450 km E) 480 km

09. Un móvil se mueve en línea recta con una velocidad cuya dependencia del tiempo se muestra en la figura. ¿Qué distancia, en km, recorre en las primeras cuatro horas?

A) 40 B) 80 C) 160D) 240 E) 320

10. En el gráfico se muestran las velocidades en función del tiempo de 3 móviles. Determinar la relación entre la aceleración menor y mayor.

A) 4 B) 5 C) 2D) 1/5 E) 1/4

11. Se muestra el gráfico x – t de un automóvil que se desplaza en línea recta. Hallar la velocidad instantánea para t = 3.


12. Dos móviles parten de un mismo punto en la misma dirección, describiendo las gráficas mostradas en la figura. Determinar el instante en que A alcanza a B.

A) 10 s B) 12 s C) 15 sD) 18 s E) 20 s

13. Dos móviles parten de un mismo punto. ¿En qué instante se encuentran?

75


t(s)

V(m/s)

0

8

A

B

6 8

2

x(m)

4Tangente

t(s)0

6 10 t

V(m/s)

5

-10

6 12

V(m/s)

9

8

4

t(s)

3

0

A

B

4

a(m/s)

8

t(s)

A

B

4 6

V(m/s)

t(s)053º

V2(m2/s2)

x(m)0 4

4

x(m)

t(s)0 6

30

15

A) 10 s B) 12 s C) 14 sD) 16 s E) 18s

14. Un móvil que se mueve en línea recta describe un MRUV, cuya gráfica X – t se muestra. Hallar el área del triángulo sombreado.

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

15. Se muestra la gráfica V – t de una partícula que se mueve sobre el eje “x”. Hallar el módulo del vector desplazamiento.

A) 40 m B) 30 m C) 10 mD) 70 m E) 36 m

16. Dos móviles A y B parten simultáneamente sus posiciones iniciales son xA = -2 m y xB = +4 m. Calcular en qué posición se encuentran, si ambos se mueven en la misma recta.

A) 2 s B) 4 s C) 6 sD) 8 s E) 10 s

17. En el gráfico a – t de un coche que se mueve en el eje x. hallar la velocidad para t = 4, si para t = 2 el coche

se encontraba moviendo en la dirección del eje negativo con una rapidez de 8 m/s.

A) 20 m/s B) - 20 m/s C) 4 m/sD) 8 m/s E) 24 m/s

18. La gráfica representa MRUV de dos móviles. Si ambos llegan a encontrarse cuando sus velocidades son iguales, ¿qué distancia los separaba inicialmente?

A) 20 m B) 4 m C) 16 mD) 8 m E) 24 m

19. La gráfica corresponde al movimiento uniformemente variado que realiza un cuerpo. En el intervalo desde x = 0 hasta x = 4 podemos afirmar:

A) La velocidad media es nula. B) El tiempo de recorrido es 4 s. C) No se puede conocer el tiempo de recorrido. D) La velocidad media es 8 m/s. E) La aceleración es de 2 m/s2

20. El gráfico representa el movimiento de dos móviles. ¿Qué distancia los separa al cabo de 12 s?

A) 20 m B) 15 m C) 30 mD) 10 m E) 25 m

76


BABA VVV /

A

AVA

BAV /

BV

AV

B

BVB

BBBA aaa /

Trayectoria

RelativaB BVA BAV /

BV

AV

B

AVA

Reposo

Relativo

MOVIMIENTO RELATIVO – MOVIMIENTO PARABÓLICO

MOVIMIENTO RELATIVO

Un cuerpo se encuentra en movimiento relativo respecto a otro cuando su posición respecto a este segundo cuerpo cambia en el transcurso del tiempo. Por el contrario, si dicha posición permanece invariable se dice que los cuerpos se encuentran en reposo relativo, Así por ejemplo, la posición de un pájaro en vuelo o de un hombre corriendo o de un automóvil en marcha esta variado continuamente con respecto a la superficie terrestre, y decimos entonces que dichos cuerpos se mueven con relación a la tierra. Por el contrario un árbol o una casa son cuerpos que mantienen una posición invariable con respecto a la superficie terrestre y, por tanto, se encuentra en reposo con relación a la tierra.

Tanto el reposo como el movimiento tienen carácter relativo; es decir son estados que dependen de las condiciones mutuas entre el cuerpo supuesto en reposo o en movimiento y el cuerpo respecto al cual se refieren estas propiedades.

Un asiento de un automóvil se encuentra en reposo respecto a este pero en movimiento respecto a la superficie terrestre. Por el contrario, un árbol y una casa están en movimiento respecto al automóvil.

Concluimos, pues, que un mismo cuerpo debe encontrarse en reposo respecto a otro y, a la vez, en movimiento respecto a un tercero. Por consiguiente, al analizar el movimiento de un cuerpo es necesario especificar con relación a que otro cuerpo se refiere el movimiento.

Convencionalmente se denomina movimiento absoluto al movimiento efectuado por un móvil con respecto a un sistema considerado fijo. El sistema que consideramos fijo será la tierra a no ser que se diga lo contrario.

VELOCIDAD RELATIVA (V A /B )

La velocidad relativa de un móvil “A” con respecto a un móvil se obtiene haciendo la diferencia vectorial de sus velocidades medidas con respecto a un mismo sistema de referencia.

La velocidad (V A /B ) nos representa la velocidad con la

cual se desplaza el móvil “A” al tomar como sistema de referencia móvil “B”, es decir considerando que el móvil “B” estuviera en reposo.

ACELERACÍON RELATIVA (a A/ B)La aceleración relativa de un móvil “A” con respecto a un móvil “B” se obtiene mediante la diferencia vectorial de sus aceleraciones medidas con respecto a un mismo sistema de referencia.

NOTAS

1.V A /B=−V B / A ; aA /B=−aB/ A

2.

Si :a A=−aB⇒ a A/ B=0 y −V B/ A=cte

3.

Si :aB=0⇒aA /B=aA y −aB / A=−aA4. Si las posiciones de 2 cuerpos “A” y “B” son conocidas

en un cierto instante al igual que su velocidad relativa, siendo esta última constante, entonces la trayectoria relativa de “A” con respecto a “B” es la línea trazada desde su posición inicial en la dirección de su velocidad relativa.

MOVIMIENTO COMPUESTO

Es aquel movimiento realizado por un móvil que esta formado por dos o más movimientos elementales que pueden ser MRU, MRUV, etc.Si los movimientos que forman el compuesto son perpendiculares se realizan al mismo tiempo y en forma independiente.

Ejemplo: Un barco cruza un río

A

VRVB

SVRP

VT

C

xQ

y

Vo

V

y

Voy

A

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

77


gSenVH o

2

22

max

gSenVT o

Vuelo22

gCosSenVR o 22

gSenVR o 22

RHTg max4

V B= Velocidad del barco respecto al ríoV R= Velocidad del ríoV T= Velocidad resultante del barco

Se cumple que los movimientos elementales PQ y PSson MRU y PC es el compuesto.

Luego:y = VB tx = VRtDPC = Vt t

MOVIMIENTO PARABÓLICOEs aquel movimiento cuya trayectoria es una curva llamada parábola en donde la aceleración es constante. Si un cuerpo se lanza en forma inclinada o se lanza en forma horizontal y se mueve cerca a la tierra despreciando la resistencia del aire realiza un movimiento parabólico de caída libre en donde la aceleración de la gravedad es constante.Este movimiento parabólico es un movimiento compuesto formado por dos movimientos perpendiculares que se realizan al mismo tiempo y en forma independiente, uno de ellos en un MRU horizontal y el otro vertical de caída libre.

FÓRMULAS

MOVIMIENTO HORIZONTAL (MRU)

MOVIMIENTO VERTICAL (CAÍDA LIBRE)

Vfy = Voy ± gt

V2fy = V2

oy ± 2gh

h = Voy t ±

g2t2

(-): Movimiento subida(+): Movimiento bajada

FÓRMULAS VECTORIALES

V Fy=V oy+g t

h=V oy+g2t2

FÓRMULAS ADICIONALES

1. ALTURA MÁXIMA

2. TIEMPO DE VUELO (tabc)

3. ALCANCE HORIZONTAL (R)

4.

5. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA

x = Vxt = Vo Cost

d

h

Vx

Vx

Vx

Voy

VfyVfy

d = Vx t

Vo Hmax

A

B

CR

h = y

Vo

xx

y

78


R

Tgy 1

1V 2V

VA VB

160 m

V1

V2

t= ¿V oCosα

Luego:

y=V oy t−g2t 2

y=V o Senα . ¿V oCosα

− g2

¿2

V o2Cos2α

y=¿Tg α− g2

. ¿V o

2Cos2α

Sabiendo:

R=2V o

2 SenCosαg

V o2= Rg

2SenαCosαReemplazando:

EJERCICCIOS PROPUESTOS

01. Dos coches “P” y “Q” se mueven con velocidades de 10 m/s y 14 m/s según la figura. Hallar las velocidades de cada uno respecto de “R” que viaja a razón de 8 m/s.

A) 6 m/s (→ ) ; 16 m/s (← )B) 2 m/s (→ ) ; 22 m/s (← )C) 1 m/s (→ ) ; 10 m/s (← )D) 18 m/s (→ ) ; 6 m/s (← )E) 2 m/s (→ ) ; 6 m/s (← )

02. Dos coches P y Q se desplazan uniformemente en la misma dirección (P detrás de Q) con velocidades VP = 10 m/s y V Q = 30 m/s, separados inicialmente una distancia d = 40 m. Se pide calcular:

A. La velocidad de Q respecto a P. B. El tiempo que emplean para estar separados

una distancia 3d. A) 20 m/s ; 4s B) 20 m/s ; 4s C) 20 m/s ; 4sD) 20 m/s ; 4s E) 20 m/s ; 4s

03. Dado los coches “A” y “B” con velocidades constantes de 80 m/s y 70 m/s respectivamente, hallar el tiempo que emplean los móviles para que su distancia de separación sea de 290 m, si la inicial era de 160m.

A) 5 s B) 4 s C) 3 s D) 2 s E) 1 s 04. Dos argollas se desplazan por dos carriles que se

cortan en ángulo recto con velocidades constantes VA

= 12 m/s y VB = 9 cm/s. A partir de las posiciones mostradas se pide calcular:

A. La distancia mínima a la que se encontrarán los cuerpos durante sus movimientos.

B. El tiempo necesario para que se presente la distancia mínima.

A) 90 cm ; 8 s B) 90 cm ; 4 s C) 120 cm ; 4 sD) 120 cm ; 8 s E) 90 cm ; 12 s

05. Un tren de longitud 169 m se mueve con velocidad constante de 18 m/s y en dirección opuesta un auto de longitud 3 m con velocidad constante de 25 m/s. Hallar la velocidad relativa del auto respecto al tren y al tiempo que emplean en cruzarse. A) 27 m/s (← ) ; 3 s B) 19 m/s (→ ) ; 1 sC) 7 m/s (← ) ; 2 s D) 27 m/s (→ ) ; 4 sE) 43 m/s (← ) ; 4 s

06. Un automóvil sube por una pendiente inclinada 30º con la horizontal con una aceleración constante de 6 m/s2. Si el conductor ve caer una gota de lluvia delante de él, ¿cuál es la aceleración relativa de la gota para el conductor? g = m/s2

A) 14 m/s2 B) 7 m/s2 C) 8 m/s2

D) 9 m/s2 E) 16 m/s2

07. Dos móviles A y B están sobre la misma recta y parten del reposo simultáneamente yendo al encuentro con aceleraciones constantes de 1 m/s2 y 2 m/s2 desde una distancia de 150 m. Halle la aceleración relativa de A respecto a B y el tiempo que tardan en encontrarse. A) 1 m/s2 y 17.3 s B) 3 m/s2 y 10 s C) 2 m/s2 y 15 sD) 1 m/s2 y 10 s E) 1 m/s2 y 20 s

08. Dos móviles parten en direcciones perpendiculares de un mismo punto con velocidades de 14 m/s y 48 m/s. ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán separados una distancia de 400 m?

A) 4 s B) 10 s C) 8 sD) 16 s E) 2 s

09. Un leopardo africano cuya aceleración es 8 m/s2

persigue a una gacela cuya aceleración es 5 m/s2 y está ubicada a 150 m de él. Si ambos parten del reposo simultáneamente, calcular el tiempo que tarda el leopardo en atrapar la gacela. A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 9 s E) 10 s

10. Una lancha navegando río abajo, dejó atrás una balsa en el punto A. transcurridos T = 1 h, la lancha dio la vuelta y volvía a encontrar la balsa a una distancia de L = 6 km más abajo del punto A. Hallar la velocidad de la

P Q R

79


VA

VB

B

A

40 m

23º

x

54 m

AB

1 000 m

A

H

d

A

y

37º x B

53º

37º

37º

25 m/s

corriente en ambas direcciones, si a lo largo del recorrido de la lancha el motor trabajó por igual. A) 3 km/h B) 2 km/h C) 6 km/hD) 4.5 km/h E) 1.5 km/h

11. Dos bolitas A y B pasan simultáneamente por los

puntos P y Q con velocidades VA = 6 m/s y VB = 6√3m/s que lo mantienen constantes. Calcular el mínimo acercamiento entre A y B.

A) 10 m B) 12 m C) 18 mD) 24 m E) 36 m

12. Desde una boya, que se encuentra en medio de un ancho río, partieron los botes A y B, los botes tomaron direcciones perpendiculares entre sí; el bote A, a lo largo del río, y el bote B a lo ancho. Habiéndose separado a una misma distancia de la boya, los botes emprendieron el regreso. Hallar la relación entre el tiempo consumido por cada bote TA/TB, si la velocidad de cada uno de ellos supera 1,25 veces a la del río. A) 5/3 B) 5/7 C) 4/3D) 7/4 E) 8/7

13. La velocidad de un bote respecto a tierra es de 5 m/s y la velocidad de la corriente del río es de 4 m/s. Hallar la distancia aguas abajo a la cual llegará a la orilla opuesta cuando el bote atraviesa el río de 54 m de ancho. La velocidad del bote respecto al río es perpendicular a las orillas.

A) 43.2 m B) 90 m C) 72 mD) 80 m E) N.A.

14. Un avión caza, que vuela horizontalmente, con una rapidez de 250 m/s, tal como se muestra, suelta una bomba en A y simultáneamente se dispara desde B un proyectil con dirección horizontal, impactando a la bomba a 500 m de altura. Si las velocidades de impacto son perpendiculares, ¿con qué rapidez se disparó el proyectil?. Desprecie los efectos del aire (g = 10 m/s2)


15. Se lanza un cuerpo desde el punto A con una

velocidad V= (20i+40 j ) (ms )

. Despreciando la resistencia del aire, calcular d y H. (g = 10 m/s2)

A) 200 m ; 150 m B) 120 m ; 60 m C) 160 m ; 80 m D) 155 m ; 60 mE) 140 m ; 80 m

16. En el gráfico se muestra la trayectoria parabólica de un proyectil en un plano vertical, calcular el tiempo que transcurre desde A hasta B. la velocidad en A es 15 m/s, considere (g = 10 m/s2)

A) 2.2 s B) 1.8 s C) 3 sD) 2.8 s E) 2.5 s

17. Una piedra se lanza de un edificio a otro con la velocidad de 10 m/s, logrando impactar, formando un ángulo de 45º con la horizontal. Hallar la separación entre los edificios. (g = 10 m/s2)

A) 8.4 m B) 11.2 m C) 14.6 mD) 16.1 m E) 6.4 m

18. Una partícula es lanzada perpendicularmente a un plano inclinado tal como se muestra. Determine el tiempo que debe pasar para que impacte en el plano. No considere la oposición del aire. (g = 10 m/s2)

A) 6.5 s B) 6 s C) 6.25 sD) 7 s E) 5.6 s

80


100 m/s

37 º

600 m

50 m/s

37 º

245º

A

B

tdV

d = V. t

Vdt

t

= . t

t

19. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento, la esfera chocará con el piso por primera vez? Desprecie la resistencia del aire y considere que el primer choque es elástico. (g = 10 m/s2)

A) 160 m B) 200 m C) 150 mD) 240 m E) 180 m

20. En el gráfico mostrado, si el cuerpo A se lanza 3 s antes que B. Calcular desde qué altura fue lanzado A, si colisiona con el cuerpo B cuando éste alcanza su altura máxima. Desprecie la resistencia del aire y considere (g = 10 m/s2)

A) 120 m B) 130 m C) 9 mD) 115 m E) 100 m

MOVIMIENTO CIRCULAR – MCU – MCUV

CONCEPTO

Es el movimiento de trayectoria circular donde el valor de la velocidad del móvil se mantiene constante en todo instante, se recorren en la circunferencia distancias iguales y también se describen ángulos centrales en tiempos iguales.

VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL (V ) : Es la velocidad instantánea del MCU, su valor nos indica la longitud de diferencia recorrida en la unidad de tiempo y es tangente a la circunferencia de trayectoria.

VELOCIDAD ANGULAR ϖ : Es la magnitud física vectorial que nos indica la rapidez y dirección del ángulo central descrito. Su dirección se determina mediante la regla de la mano derecha

LEYES DEL MCU

|V| = Constante v = Constante d es directamente proporcional a t es directamente proporcional a t

ECUACIONES DEL MCU

PERÍODO (T): Tiempo empleado por el móvil con MCU en efectuar una vuelta o revolución (describir 2p rad).

FRECUENCIA (f) Magnitud física escalar que indica el número de vueltas (revoluciones) efectuadas por el móvil

V

V

dd

tt

d

tV

v

H

v

“Regla de la mano

v

v

81


TtNf 1

R

Va

Movimiento acelerado

R

V

a

Movimiento desacelerado



Ta

cpaa

V


con MCU en la unidad de tiempo. Se determina mediante la inversa del período.

Donde: N = # de revolucionesT = Tiempo transcurrido

Unidad: hertz (Hz) =

1s=s−1

Equivalencias:

1Hz <> 1 revoluciónsegundo

=1 rps

1 revoluciónminuto

=1 rpm

ACELERACIÓN CENTRÍPETA acp : Es la aceleración que

posee todo cuerpo con MCU, esta relacionada con el cambio de dirección de la velocidad tangencial y esta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V)

CONCEPTOS PREVIOS

1. ACELERACIÓN TANGENCIAL O LINEAL (aT ): Si

un cuerpo se desplaza por una curva y el valor o módulo de su velocidad tangencial cambia, entonces aparece la aceleración tangencial cuya dirección será tangente a la circunferencia y su sentido coincidirá con el de la velocidad tangencial si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.

Unidades:

ms2; cms2;etc

2. ACELERACIÓN ANGULAR (α )Si un cuerpo se desplaza por una curva y su velocidad angular cambia, entonces aparece la aceleración angular cuya dirección es perpendicular al plano de rotación y su sentido coincidirá con el de la velocidad angular si el movimiento es acelerado y será de sentido opuesto a ella si el movimiento es desacelerado.

Unidades:rads2; radmin2

; revs2; revmin2

;etc

3. ACELERACIÓN (a )Se denomina así a la resultante de la aceleración tangencial con la aceleración centrípeta, también se le denomina aceleración instantánea.

acp

acp

VV

acpr

V

82


Ta

cpaa

V


22cpT aaa

t

S

RR

iV

fV

Ta Ta

fi

R

R

f

t

VA = VB

aA TT aa

Puntos periféricos

Puntos periféricos

Por el teorema de Pitágoras

Características del M.R.U.V

1.|aT| = constante;

aT # constante

2. |α| = constante; α = constante

3.|acp| # constante

acp # constante4. En tiempos iguales la rapidez tangencial “V” cambia

cantidades iguales.5. En tiempos iguales la rapidez angular “” cambia

cantidades iguales.6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes y realiza

desplazamientos angulares diferentes.

FÓRMULAS

I. TANGENCIALES

Este gráfico es de M.C.U.V …………………

1. Vf = Vi = ± aT = .t 2. V2f = Vi

2 ± 2aT. S

3. S = Vit. ±

12 aT.t2 4. Sn = Vi ±

12 aT (2n - 1)

Sn = arco recorrido en el número de segundo “n” (n – ésimo segundo)(+) Movimiento acelerado

(-)Movimiento desacelerado

Además:

st=V i+V f

2II. ANGULARES

Este gráfico es de un M.C.U.V …………………….

1. f = i ± at

2. ωf2=ωi

2±2aθ

3.θ=ωi t±

12at 2

4.θn=ωi±

12α(2n−1)

n: ángulo descrito en el número de segundo “n”

(+): Movimiento acelerado

(-): Movimiento desacelerado

Además:

θt=ωi+ωf

2Relación entre la Aceleración tangencial “aT” y la aceleración angular “”

aT=V f−V o

t=ωf−ωiR

t=(ωf−ωit )R

PROPIEDADES DE LA TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS:

1.

2. Disco o rueda

aT = R

BA

BA

B A

Eje de giro

A

B83


232

1aaa

232

1VVV

12 cm

4 cm

y ω

A

B

y

VoO

OA B

Para las ruedas:

3.

VBloque = VRueda

Además: aBloque = aTRueda

4.

Además:

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Una piedra de amolar, rota con una velocidad angular constante. Un punto ubicado a 2cm de la periferia, medidos en la dirección radial, posee una velocidad tangencial, 1/5 menor que la que posee un punto ubicado en la periferia. ¿Cuál es el radio de la piedra?A) 2.5 cm B) 5.5 cm C) 10 cmD) 12 cm E) 14 cm

02. Una partícula se mueve en torno a una circunferencia con MCUV partiendo del reposo, si tarda 2 minutos en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria un desplazamiento angular de 24 rev. Si cuando pasa por el segundo punto lo hace a razón de 18 RPM. Hallar el número de vueltas entre el primer punto y el punto de partida. A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

03. El tronco de cono mostrado está girando en torno al eje y – y. Hallar la relación en que se encuentran las velocidades lineales de los puntos “A” y “B”, si el periodo es 5 segundos.

A) 0.5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

04. Se dispara una bala con una velocidad V = 200 m/s contra un cascarón esférico de papel que gira con movimiento uniforme respecto a un eje vertical. Sabiendo que el radio del cascarón es 2m, calcular con qué velocidad angular mínima deberá girar el cascarón para que el proyectil haga un solo agujero. La dirección del movimiento de la bala pasa por el centro de la esfera.

A) 2 π rad/s B) 4 π rad/s C) 6 π rad/sD)8 π rad/s E) 10 π rad/s

05. Dos partículas parten simultáneamente de los extremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en la figura. Si giran con periodos TA = 20 s y TB = 30 s respectivamente, calcular al cabo de qué tiempo logran cruzarse por segunda vez.

A) 12 s B) 14 s C) 16 sD) 18 s E) 20 s

06. Calcular la aceleración angular que tiene un disco, sabiendo que es capaz de triplicar su velocidad luego de realizar 600 vueltas en 20 sA) π rad/s2 B) 2 π C) 3 πD) 4 π E) 5 π

07. En la figura el cilindro gira a razón de 180 RPM, el cilindro es hueco de 3m de largo. Si se dispara un proyectil por una de las bases, perfora a la otra base luego de que el cilindro ha girado “B”, hallar la velocidad de la bala.

A = B

RVBloque = R

aBloque = R

Polea móvil

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

84


ω

AB

C

16 m/sA B

AB

C

Q

A

B

30º


08. Si el bloque tiene que bajar a velocidad constante de 16 m/s, ¿cuál debe ser la velocidad angular con que debe girar la rueda C? (RA = 8 cm; RB = 15 cm; RC = 25 cm)

A) 105 rad/s B) 108 rad/s C) 120 rad/sD) 218 rad/s E) 311 rad/s

09. Un disco de 300 cm de radio, parte del reposo con MCUV y luego de 16 s su velocidad es 20 rad/s. ¿Qué arco habrá recorrido en dicho tiempo?A) 160 m B) 320 m C) 480 mD) 600 m E) 80 m

10. Una rueda acelera a razón de 2 rad/s2 y gira un ángulo de 75 rad en 5 s. ¿Cuánto tiempo ha estado en movimiento antes de comenzar el intervalo de 5 s, si partió del reposo?A) 6 s B) 5 s C) 4 sD) 3 s E) 2 s

11. Una volante empieza a girar desde el reposo. Si al cabo de 10s tiene una velocidad de 180 RPM, ¿cuántas vueltas habrá girado?A) 50 B) 40 C) 30D) 25 E) 15

12. Un ciclista corre por un velódromo con MCUV de tal modo que al cabo de 5 s su velocidad lineal es de 15 m/s. Se observa también que durante dicho tiempo el ciclista logró girar un ángulo central de 2 rad/s, siendo el radio de la pista igual a 25m. Calcular la velocidad lineal que tenía al iniciar su movimiento. A) 5 m/s B) 10 m/s C) 15 m/sD) 20 m/s E) 25 m/s

13. Desde el reposo se da la partida de una partícula con MCUV, hallar la velocidad lineal del móvil luego de 2 s de movimiento, si en ese instante, la aceleración

normal es 2√3 m/s2 y forma 30º con la aceleración lineal. A) 2 m/s B) 4 m/s C) 6 m/sD) 8 m/s E) 10 m/s

14. En cierto instante la aceleración de un móvil con MCUV mide 5 m/s2 y forma 127º con la velocidad lineal. Hallar la velocidad del móvil 2 s después de este momento. El radio del trayecto circular es 16 m. A) 2 m/s B) 3 m/s C) 4 m/sD) 5 m/s E) 6 m/s

15. Dos móviles parten simultáneamente y desde el reposo con aceleraciones angulares constantes de π/9 rad/s2 y 2π/9 rad/s2. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?

A) 3 s B) 4 s C) 5 sD) 6 s E) 7 s

16. Hallar la velocidad angular de la rueda “B” después de 5 s de iniciado el movimiento sabiendo que la rueda “A” posee una aceleración angular de 3 rad/s2. RA = 2m; RB = 0.5m.

A) 12 rad/s B) 24 rad/s C) 30 rad/sD) 42 rad/s E) 60 rad/s

17. El disco “A” posee una aceleración angular de 10 rad/s2. Calcular la aceleración del bloque “Q” después de 15 s de iniciado el movimiento. RA = 30 cm; RB = 50 cm; RC = 20 cm


18. Un cilindro presenta movimiento de rotación y traslación, si la velocidad en “A” es 20 m/s, calcular la velocidad en “B”.

A) 10 m/s B) 10√3 m/s C) 20 m/s

D) 20√3 m/s E) 5√3 m/s

19. En el instante mostrado, se observa la rueda delantera de un automóvil. La velocidad de “A” es 4 m/s, calcular la velocidad del punto “B”.

85


A

B60º

R

R/2

A A

A) √7 m/s B) √5 m/s C) √3 m/s

D) 2√5 m/s E) 5√3 m/s

20. Una rueda de radio (R = 1.6 π) m, rueda uniformemente por una superficie horizontal. Del punto “A” de la rueda se desprende una gota de barro. ¿Con qué rapidez se traslada la rueda, si la gota después de estar en el aire vuelve a caer sobre el mismo punto, luego que la rueda dio 4 vueltas? (g = 10 m/s2)


ESTÁTICA

INTRODUCCIÓN

La mecánica básica se basa en tres leyes fundamentales que expresó por primera vez Sir Isaac Newton en 1686, en

sus Philosaphiae Naturales Principia Matemática (Los Fundamentos Matemáticos de la Ciencia de la Naturaleza). No debe creerse, sin embrago que la mecánica como ciencia comenzó con Newton. Muchos le habían precedido en estos estudios, siendo quizás el más destacado Galileo Galilei, quién en sus trabajos sobre el movimiento acelerado había establecido una gran parte de los fundamentos utilizados po Newton para la formulación de sus tres leyesLas leyes de Newton no pueden reducirse matemáticamente de ninguna manera, son generalizaciones de observaciones experimentales del movimiento real de los cuerpos materiales y de cómo las fuerzas aplicadas afectan a estos movimientos. En consecuencia, son leyes naturales que describen el comportamiento del mundo externo.En este capítulo solo utilizaremos la Primera y Tercera ley de Newton. La segunda ley se estudia en Dinámica.

CONCEPTO:Es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar a los cuerpos que se encuentran en equilibrio.

EQUILIBRIO:Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto solo hay dos posibilidades: esta en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante.

Equilibrio: a = 0

FUERZA (F )Cuando suspendemos un cuerpo golpeamos un clavo, estiramos o comprimimos un resorte, empujamos un automóvil o limpiamos una ventana de vidrio, decimos que estamos interaccionando; la interacción es pues jalar o empujar los demás cuerpos, entonces:

Cabe recalcar que esta interacción puede ser por contacto o a distancia

Su unidad en el S.I. es: ………………………

MEDICIÓN ESTÁTICA DE LA FUERZAConsideramos el resorte en espiral de longitud (L) que se muestra en la figura, en el extremo de este resorte apliquemos una fuerza (F) vertical hacia abajo, observemos un aumento (x) en la longitud directamente proporcional a la fuerza aplicada.

Robert Hooke fue el primero que estableció esta relación mediante el invento de un resorte compensador para un reloj.

La ley de Hooke se escribe como:

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

La fuerza es la medida de la interacción que se manifiesta entre dos cuerpos

L

x

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

1. V = 0 (Reposo)

2. V = cte (MRU)

86


F: Fuerza deformadoraK: Constante de rigidez (depende del tipo de material)X: ElongaciónL: Longitud natural (sin deformar)

NATURALEZA DE LAS FUERZAS

Todas las interacciones se agrupan en tres tipos de fuerzas:

1. FUERZA GRAVITACIONALEs la fuerza de atracción entre dos cuerpos debido a sus respectivas masas, esta fuerza es muy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo menos uno de los cuerpos tenga una masa muy grande como la del sol o de los planetas.

EL PESO: de los cuerpos (W ) es una fuerza gravitacional y se debe a que la masa de la tierra (M) atrae la masa (,) de los cuerpos.

W: Peso del cuerpom: Masa del cuerpog: Aceleración de la gravedad

El peso de un vector que siempre apunta hacia el centro de la tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende de la aceleración de la gravedad (g)

2. FUERZA ELECTROMAGNÉTICASe descompone en:

FUERZA ELÉCTRICA: Es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que ambos poseen cargas eléctricas.

FUERZA MAGNÉTICA: Es una fuerza adicional a la fuerza eléctrica cuando las cargas eléctrica están en movimiento.

3. FUERZAS NUCLEARESSon fuerzas que aparecen cuando la distancia entre los cuerpos es menor que 10-15 m y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango.Estas fuerzas explican porque las partículas dentro del núcleo del átomo se mantienen unidas.

FUERZAS USUALES USADAS EN ESTÁTICA

1. TENSIÓN (T) EN UNA CUERDATenemos una cuerda fija en el punto B y jalada desde el otro extremo A mediante una fuerza F.

Debido a la fuerza F las moléculas de la cuerda se separan.

Para contrarrestar esta separación molecular aparece una fuerza de restitución, llamada TENSIÓN (T) la cual se opone a la fuerza exterior F.

Separando imaginariamente la porción MA de la cuerda observamos que la tensión (T) se opone a la fuerza exterior F, ya que en el punto M las moléculas se separan.

2. COMPRENSIÓN (C) EN UNA BARRA:Tomemos una barra apoyada en el punto B y en el otro extremo A apliquemos una fuerza F que comprime la barra.

Debido a la fuerza F las moléculas de la barra se acercan.

Para contrarrestar este acercamiento molecular aparece una fuerza de restitución, llamada COMPRESIÓN (C) la cual se opone a la fuerza exterior F.

Separando imaginariamente una porción MA de la barra observamos que la fuerza de compresión (C) se opone a la fuerza exterior F, por que en el punto M las moléculas se acercan.

3. FUERZA NOMINAL (N)Consideremos un cuerpo sobre una superficie plana

Debido al contacto las moléculas inferiores del cuerpo se comprimen (acercan)

En el contacto aparece una fuerza NORMAL (N) para contrarrestar el acercamiento molecular.

Separando imaginariamente el cuerpo de la superficie plana representamos la fuerza normal (N) la cual siempre ingresa al cuerpo en forma perpendicular al contacto.

LEYES DE NEWTON

W = mg

Todas las fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional, electromagnético o

B AMF

Corte

TF

M A

B AM F

Corte

C M A F

N

Las fuerzas de tensión (T), compresión (C) normal (N) son moleculares y por tanto de naturaleza electromagnética

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

87


)()( ® FF

)()( ¯ FF

1F

3F

2F

0321 FFF

SenF

SenF

SenF 321

1RA LEY (LEY DE LA INERCIA)

La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que:

La tendencia que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante se llama

INERCIA INTERPRETACIONES DE LA LEY DE LA INERCIA

EJEMPLO 01:Cuando tiramos hábilmente el mantel de la mesa observamos que los utensilios (copas, botella, tazón) tienden a permanecer en reposo.

EJEMPLO 02: Si un caballo se detiene de golpe, le jinete sale despedido por encima, porque todo cuerpo en movimiento, por inercia, tiende a seguir en movimiento.

EJEMPLO 03:Algunas veces si no disminuimos la velocidad del auto, este puede salirse de la carretera en la curva ya que por la ley de la inercia el auto trata de conservar su velocidad constante (en línea recta)

3RA (LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN)(Tercera ley de Newton)

Descubierta por Isaac Newton y publicada en el mismo año que la ley anterior, establece que:

La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes. La acción sobre uno de los cuerpos y la reacción sobre el otro cuerpo, pero esto nunca se anulan.INTERPRETACIONES DE LA LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Ejemplo 01:

Cuando un patinador empuja el pasamanos (acción A )

éste reacciona y la fuerza de reacción R hace que él se aparte

Ejemplo 02:

En un lanzamiento de un cohete, este ejerce una gran fuerza

de acción A sobre los gases, para expulsarlos, y los gases

ejercen una fuerza igual y opuesta de reacción R sobre el cohete que lo impulsa hacia arriba.

Ejemplo 03:

Al clavar con un martillo, este impulsa al clavo, hacia abajo (acción) y el clavo reacciona sobre el martillo deteniéndolo e inclusive hasta hacerlo rebotar.La acción y reacción y reacción actúan en cuerpos diferentes la acción sobre el clavo y la reacción sobre el martillo.

1RA. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

“Si un cuerpo se encuentra en equilibrio entonces la fuerza resultante que actúa sobre el es igual a cero”

Si un cuerpo en equilibrio (m) actúan 3 fuerzas, estas deben ser concurrentes, coplanares o paralelas.Ejemplo:

Para plantear la solución a este problema, podemos escoger cualquiera de las 3 formas que indicamos a continuación.

1. Por descomposición rectangular: trazando un sistema de coordenadas rectangulares.Se debe cumplir que:

a. ∑ F ¿=0⇒

b. ∑ F y=0⇒

2. Mediante el triángulo de fuerzas, ya que si la resultante es cero, los vectores fuerza deben tomar un polígono cerrado.

3. Aplicando el Teorema de Lamy

DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (D.C.L)

Consiste en aislar a un cuerpo graficar sobre el, primero su peso y luego todas las fuerzas externas que

Todo cuerpo continúa en su estado de REPOSO o de movimiento a velocidad CONSTANTE mientras que sobre el cuerpo no actúe una fuerza resultante EXTERIOR que lo obligue a cambiar de velocidad

Siempre que un objeto ejerce una fuerza (ACCIÓN) sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual (REACCIÓN) y

F1

F3

F2

y

x

F3

F2F1

m

88


30º

60º

60º

P = 100 2KK = 50

T = K

3KN

1

º90Sen

P

º150SenT

º120SenN

2

actúan sobre el (tensiones, comprensiones, reacciones, etc)

Ejemplo 01:

En el sistema mostrado hallar la tensión en la cuerda y la reacción normal del plano inclinado liso, si el bloque pesa 100 N, existe equilibrio.

D.C.L. del bloque

Primera soluciónPor descomposición rectangular. Ubicado los ejes adecuadamente:

∑ F ¿0⇒T−100 Sen30º = 0T−100 . 1

2=0

\T = 50 N

∑−100. √32

=0

∴N=√3NSegunda solución:

Mediante el triángulo de fuerzas:

® T = K\ T = 50 N

→N=K √3∴N=50√3NTercera solución:

Aplicando el Teorema de Lamy:

De

(1)→ P1

=T12

,100 . 12

.=T

\T = 50 N

(2)→ P1

= N√32

,100 . √32

.=N

∴N=50√3N

Ejemplo 2:

El sistema mostrado está en equilibrio. Hallar las reacciones normales si el peso de la esfera homogénea es de 100 N y no existe rozamiento

Primera solución:

30º

P = 100 N60º

30º

30º

NT

P = 100 N

100 Cos30º

100 Sen30º

30º

30º

xN

T

P = 100

30º

120º

TTN

150º

53º

N1

N2

53º

N2.Sen53º

P = 100 N

N2.Cos53ºN1

N2

y

30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º30º

89


F

A

B

Liso

Áspero

60º

W = 500 N

A 53º

B37º

AB C

60º

2P

60º 30º

1 2

3

∑ F¿=0N1 – N2 Cos53º = 0N1 = N2 Cos53º

∑ F y=0N2 Sen53º - 100 = 0N2 = 125 N

Reemplazando:N1 = 75 N

Segunda solución:

Tercera solución:

Por el teorema de Lamy

100Sen 127 º

=N1

Sen 143 º=

N2

Sen 90 ºResolviendo:N1 = 75 NN2 = 125 N

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Calcular “F” para mantener el equilibrio. (Wbloque = 300 N).

A) 75 N B) 150 N C) 300 ND) 100 N E) 200 N

02. Si RA = 5 N; RB = 13 N, hallar el peso de la barra.

A) 6 N B) 18 N C) 12 ND) 9 N E) 8 N

03. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio y la barra es de peso despreciable, encontrar la reacción de la articulación.

A) 100 N B) 200 N C) 300 ND) 400 N E) 500 N

04. Hallar la tensión de la cuerda AB, el peso del bloque en equilibrio es 49 N.

A)140N B)135N C)165N D)80N E)220N

05. El sistema está en equilibrio. Hallar el peso del bloque “A”. WB = 7 N; WC = 5 N.

A)3N B)6N C)9N D)12N E)15N

06. Se muestra un cuerpo de peso 2P en equilibrio. ¿Qué proposición es verdadera?

a. La tensión 1 es P. b. La tensión 2 es 2P. c. La tensión 3 es 2P.d. La tensión en 1 es igual que en 2.e. El cuerpo no puede estar en equilibrio.

100 = P

4.25

N1 =

N2 =

37º

53º

P = 100 N

143º

N1

127º

N2

90


1m 2kgM

AB

4 kg2 kg

N

74ºθ

53º

F

A30º

B

LL

L60º

4 mA

6 m

07. El conjunto de cuerpos mostrados están en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda 1. (M = 4 m). Considere g = 10 m/s2 y desprecie el rozamiento.

A)40N B)20N C)35N D)30N E)25N

08. Cada uno de los cuerpos mostrados se encuentran en equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza de reacción del piso sobre el cuerpo A. (g = 10 m/s2)

A)20N B)40N C)30N D)16N E)60N

09. Una persona sostiene una esfera sobre un plano inclinado. ¿En cuál de los casos se ejerce menos fuerza sobre la esfera? Desprecie el rozamiento. I. II.

A) En I B) En IIC) En ambos casos D) Falta conocer “θ”E) Depende de la masa de la esfera

10. Determinar la medida del ángulo θ, si el conjunto de cuerpos permanece en equilibrio. Los bloques tienen pesos iguales.

A) 16º B) 53º C) 37ºD) 74 º E) 60º

11. Las esferas mostradas son idénticas y de 60 N cada una. Calcular el módulo de la fuerza que ejerce el taco de madera sobre la esfera inferior. Desprecie el rozamiento.

A) 60 N B) 100 N C) 160 ND) 120 N E) 200 N

12. La esfera homogénea permanece en reposo apoyada sobre una superficie semiesférica y atada con una cuerda en donde la tensión es de 48 N. Calcular el módulo de la fuerza de reacción por parte de la superficie semiesférica.

A) 56 N B) 60 N C) 80 ND) 50 N E) 36 N

13. Si el cuerpo A es de 90√3 N de peso se encuentra en equilibrio, calcular el módulo de la fuerza F que hace posible esto. Desprecie el rozamiento.

A) 90√3 N B) 90 N C) 80 N

D) 80√3 N E) 50 N

14. Si la barra homogénea de 100 N se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la tensión en la cuerda.

A) 200 N B) 80√3 N C) 50√3 N

D) 100 N E) 100√3 N

15. Una barra homogénea de 80 N se encuentra apoyada en una pared lisa. Calcular el módulo de la fuerza que le ejerce la articulación A a la barra mencionada.

A) 80 N B) 60 N C) 200 ND) 100 N E) 120 N

θ

F2

θF1

91


53º

A B

30º

cm12

3 kg

4 kg

5 kg

β

α

30º

23º

16. El delgado cable que pasa por un pequeño orificio practicado en la barra de 40 N, sostiene a la esfera de 60 N. Hallar el módulo de la fuerza de reacción sobre el extremo, inferior de la barra.

A) 100 N B) 80 N C) 60 ND) 120 N E) 110 N

17. Una cuerda de peso “P” está suspendida por los extremos (tal como se muestra). Si dicha cuerda presenta una tensión “T” en su punto inferior, calcular la fuerza que ejerce el techo sobre el extremo B de la cuerda.

A) √2T 2+P2 B)

12 √4T 2+P2

C) √T2+P2

D) √P2+4T 2 E) √2P2+T 2

18. Una esfera homogénea de 2 kg se mantiene en un plano inclinado en la forma como se indica. Calcular el módulo de la fuerza con que la esfera aplasta al plano. Considerar la longitud natural del resorte 10 cm y K = 5N/cm. (g = 10 m/s2). Despreciar el rozamiento.

A) 15√3 N B) 20 N C) 10√3 N

D) 5√3 N E) 15 N

19. Los bloques suspendidos se encuentran en equilibrio. Determinar “α + β”

A) 127º B) 180º C) 270ºD) 360º E) 217º

20. Una esfera de 40 N está en reposo sobre un plano inclinado y sujetada por un cable ideal. Calcular el módulo de la tensión en el cable.

A) 16 N B) 15 N C) 25 ND) 30 N E) 32 N

92

Analisis Dimensional

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