Análisis de pertubacion de momentos por medio de la transformacion de Szego inversa

Analisis de perturbaciones de momentosasociados a funcionales de ortogonalidad

a traves de la transformacion Szego

Edinson FuentesLicenciado en Matematicas

Codigo: 01830514

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de MatematicasBogota, D.C.

2014

Analisis de perturbaciones de momentosasociados a funcionales de ortogonalidad

a traves de la transformacion Szego

Edinson FuentesLicenciado en Matematicas

Codigo: 01830514

Trabajo de grado para optar al tıtulo deMagıster en Ciencias-Matematicas

DirectorPh.D. Luis Enrique Garza Gaona

CodirectorPh. D. Herbert Alonso Duenas Ruiz

Lınea de investigacionPolinomios Ortogonales

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de MatematicasBogota, D.C.

2014

Tıtulo en espanol

Analisis de perturbaciones de momentos asociados a funcionales de ortogonalidad a travesde la transformacion Szego.

Title in English

Analysis of perturbations of moments associated with orthogonality linear functionalsthrough the Szego transformation.

Resumen: En esta contribucion, analizamos perturbaciones a una sucesion de momentosasociada a un funcional lineal de ortogonalidad que puede ser representado por unamedida positiva con soporte en [−1, 1]. En particular, dada una cierta perturbacion adicha medida en la recta real, analizamos la perturbacion obtenida en la correspondientemedida en la circunferencia unidad, donde dichas medidas estan relacionadas por latransformacion de Szego. Se muestra que la perturbacion aplicada puede ser expresada enterminos de la parte singular de las medidas, y tambien a traves de las correspondientessucesiones de momentos.

Abstract: In this contribution, we consider perturbations to a sequence of momentsassociated with an orthogonality linear functional that can be represented by a positivemeasure supported in [−1, 1]. In particular, given a perturbation to such a measure onthe real line, we analyze the perturbation obtained on the corresponding measure onthe unit circle, when both measures are related through the Szego’s transformation. Weshow that the perturbation applied can be expressed in terms of the singular part of themeasures, and also in terms of the corresponding sequences of moments.

Palabras clave: Polinomios ortogonales, funcion de Stieltjes y Caratheodory, matriz deHankel y Toeplitz, transformacion Szego.

Keywords: Orthogonal polynomials, Stieltjes and Caratheodory function, Hankel andToeplitz matrix, Szego’s transformation.

Nota de aceptacion

Trabajo de grado

Aprobado

“Mencion Meritoria”

JuradoPh.D. German Preciado Lopez

DirectorPh.D. Luis Enrique Garza Gaona

CodirectorPh.D. Herbert Alonso Duenas Ruiz

Bogota, D.C., Diciembre de 2014

Agradecimientos

Un agradecimiento especial a los profesores Luis Enrique Garza Gaona y HerbertAlonso Duenas Ruiz, por la colaboracion, paciencia, apoyo en el desarrollo y culminaciondel trabajo de maestrıa.

Tambien quiero agradecer al profesor Luis Alfonso Salcedo Plazas director de laescuela de matematicas de la Universidad Pedagogica y tecnologica de Colombia, por lacolaboracion al momento del ingreso a la universidad Nacional de Colombia y por darmeel tiempo necesario para realizar los estudios de maestrıa en ciencias matematicas.

Un agradecimiento tambien lo merecen los diferentes amigos, companeros y profesorescon los cuales tuve la oportunidad de interactuar estos dos ultimos anos, durante eltranscurso de la maestrıa, de los cuales aprendı mucho.

Finalmente quisiera agradecer a mi esposa Martha Leonor Saiz Saenz y a mi hijoEdinson Samuel Fuentes Saiz por su constante animo y amor.

Indice general

Indice general I

Introduccion III

1. Polinomios ortogonales en la recta real 1

1.1. Preliminares de polinomios ortogonales en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Transformaciones espectrales lineales en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Perturbacion de una antidiagonal de la matriz de Hankel . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad 16

2.1. Preliminares de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad . . . . . . . 16

2.2. Transformaciones espectrales lineales en la circunferencia unidad . . . . . . . . 20

2.3. Perturbacion de una subdiagonal de la matriz de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . 27

3. Transformacion de Szego 32

3.1. Transformacion de Szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Analisis de perturbacion de momentos a traves de la transformacion deSzego 37

4.1. Analisis de la perturbacion de momentos a traves de la transformacion deSzego cuando se perturba solo el momento j-esimo en [−1, 1] . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Aplicacion de la transformacion de Szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2. Momentos perturbados en la circunferencia unidad . . . . . . . . . . . . 39

4.1.3. Parte absolutamente continua de la medida generada en la circunfe-rencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.4. Analisis de la perturbacion del momento cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.5. Analisis de la perturbacion del momento uno . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I

Indice general

4.2. Analisis de perturbacion de momentos a traves de la transformacion deSzego cuando se perturba del momento j-esimo en adelante en [−1, 1] . . . . . 45

4.2.1. Construccion del funcional que perturba del momento j-esimo enadelante en [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2. Aplicacion de la transformacion de Szego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3. Parte absolutamente continua de la medida generada en la circunfe-rencia unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.4. Analisis de la perturbacion del momento cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Transformacion de Szego inversa 52

6. Conclusiones 56

Bibliografıa 60

II

Introduccion

La teorıa de polinomios ortogonales respecto a medidas cuyo soporte se encuentra enla recta real tiene un amplio espectro de aplicaciones, tales como integracion numerica,sistemas integrables, metodos espectrales para el tratamiento de problemas de valores enla frontera, teorıa de grafos, etc. En los ultimos anos, se han estudiado las propiedadesespectrales de las matrices de Jacobi asociadas a dichos polinomios ortogonales querepresentan, en forma matricial, el operador de multiplicacion respecto a una base depolinomios ortogonales. Con respecto a esto, en [13] y [16] se pone de manifiesto unaconexion entre perturbaciones de medidas y la factorizacion LU de las matrices de Jacobicorrespondientes, ası como la relacion entre las funciones de Stieltjes asociadas, de granimportancia en el estudio de los polinomios ortogonales, que actuan como funcionesgeneradoras de la sucesion de momentos asociada con la medida.

Dichas perturbaciones han sido estudiadas en el marco de las llamadas transforma-ciones de Darboux, que tienen su origen en el problema biespectral. En su formulacionoriginal, dicho problema consiste en obtener una descripcion de todas las situaciones en lasque un par de operadores diferenciales en dos variables distintas tienen una autofunciondiferencial comun. El uso de la transformacion de Darboux para convertir un operadordiferencial de segundo orden en otro fue llevado a cabo por primera vez en [5]. Dichatransformacion consiste en factorizar el operador diferencial de segundo orden como unproducto de dos operadores diferenciales de primer orden, y luego cambiar el orden delos factores, obteniendo un nuevo operador diferencial de segundo orden. Una conexioncon los polinomios ortogonales surgio mas tarde en [8], donde se muestra que todos losoperadores diferenciales con soporte en [−1, 1] y los operadores diferenciales de segundoorden que satisfacen el problema espectral resultan de un cambio en la variable n en larelacion de recurrencia que satisfacen los polinomios ortogonales clasicos. Casi al mismotiempo, se considero la matriz Jacobi monica correspondiente a la transformacion deUvarov, en el contexto del analisis espectral de ecuaciones diferenciales lineales de cuartoorden con coeficientes polinomicos. Las soluciones polinomicas de dichas ecuacionesdiferenciales son los llamados polinomios ortogonales de Krall, que se obtuvieron a partirde los polinomios ortogonales clasicos por medio de una combinacion de dos procesosllamados transformacion de Darboux y transformacion de Darboux sin parametro (algomas de historia y referencias se puede ver en [6] pp. 1-5).

El estudio de los polinomios ortogonales con respecto a una medida de probabilidadno trivial, soportada en la circunferencia unidad T = {z ∈ C : |z| = 1} fue iniciado por G.

III

Introduccion

Szego en una serie de artıculos publicados entre 1915 y 1925 (ver [14]). Posteriormente,Ya. L. Geronimus extendio esta teorıa en un contexto mas general de ortogonalidadrespecto a funcionales, basado en la teorıa clasica de funciones de variable compleja. Uneje importante de actividad investigadora en la decada de los cincuenta fue el estudiode la conexion con el problema trigonometrico de momentos y la teorıa de procesosestocasticos estacionarios dicretos. Mas tarde, en los anos ochenta, se analiza el problemadesde una perspectiva algebraica ligada al problema de factorizacion de matrices deHessenberg (la representacion matricial del operador de multiplicacion respecto a labase de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad) de dimension finita. Dela misma manera, aparece una abundante bibliografıa en teorıa de sistemas linealesrelacionados con polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad, en el marco delos generadores de espacio de estado (algo mas de historia y referencias se puede ver en [6]).

El inicio del siglo XXI esta marcado con la aparicion de los dos volumenes de lamonografıa de B. Simon [12], que constituyen la descripcion mas exhaustiva del estadodel arte en la teorıa de polinomios ortogonales en la circunferencia unidad hasta la fecha.Uno de los resultados mas importantes es el tratamiento de la representacion matricial deloperador de multiplicacion respecto a bases ortonormales en el espacio de los polinomiosde Laurent Λ = span{zk : k ∈ Z} construidas a partir del proceso de ortonormalizacionde Gram-Schmidt de las familias S = {1, z, z−1, z2, z−2, . . .} y T = {1, z−1, z, z−2, z2, . . .}.La matriz resultante, conocida como matriz CMV, es pentadiagonal y admite unafactorizacion en terminos de dos matrices diagonales por bloques, de dimension 2 × 2la primera y de un unico bloque de dimension 1 × 1 y los restantes de dimension 2 × 2la segunda, cuyos elementos pueden ser expresados en terminos de los coeficientes deVerblunsky.

Tambien es posible establecer una conexion entre medidas soportadas en el intervalo[−1, 1] de la recta real y medidas soportadas en la circunferencia unidad, conocida en laliteratura como transformacion de Szego. En [11] y [14] se muestra no solamente comoestan relacionadas dichas medidas, sino tambien la relacion existente entre las familiasde polinomios ortogonales correspondientes, ası como la relacion entre las familias deparametros de la relacion de recurrencia de los polinomios ortogonales en la recta real y lafamilia de coeficientes de Verblunsky asociados a la medida soportada en la circunferenciaunidad. La transformacion de Szego relaciona la funcion de Stieltjes asociada con unamedida α con soporte en el intervalo [−1, 1] y la funcion de Caratheodory asociada conuna medida σ con soporte en la circunferencia unidad, de la siguiente manera

F (z) =1− z2

2z

∫ 1

−1

dα(t)

x− t=

1− z2

2zS(x), (1)

con x = z+z−1

2 , z = x +√x2 − 1. En [7] los autores muestran que cuando se tiene una

transformacion de Christoffel, Uvarov o Geronimus en el intervalo [-1,1] y se aplica latransformacion de Szego, se obtiene una transformacion Christoffel, Uvarov y Geronimus,respectivamente, en la circunferencia unidad.

En [1] los autores analizan una perturbacion de la matriz de Hankel, que consiste en lamodificacion del momento j−esimo. Asociada con esta perturbacion obtienen una nueva

IV

Introduccion

funcion de Stieltjes S(x) en funcion de la inicial S(x), dada por

Sj(x) = S(x) +m

(x− a)j+1, m ∈ R. (2)

De manera analoga, en [2] se analiza la perturbacion del momento j−esimo de la matrizde Toeplitz (matriz de momentos en T asociada con un funcional lineal Hermitiano L),es decir, se perturba el j-esimo momento unicamente. Con esta perturbacion se obtieneuna nueva funcion de Caratheodory F (z) en terminos de la funcion original F (z) de lasiguiente manera

Fj(z) = F (z) + 2Mzj , M ∈ C. (3)

Este trabajo esta dedicado a analizar que sucede al aplicar la transformacion de Szego(1) a la funcion de Stieltjes (2) asociada a una medida con soporte en el intervalo [−1, 1].Es decir, determinar que tipo de transformacion se obtiene en la correspondiente funcionde Caratheodory en la circunferencia unidad. Tambien se presentan algunos ejemplosilustrativos. La parte novedosa de este trabajo consiste en usar la transformacion deSzego para analizar la relacion existente entre los momentos de una SPO en [−1, 1] y losmomentos asociados con una SPO en T.

En el capıtulo 1 se presentan conceptos basicos sobre polinomios ortogonales enla recta real y se enuncian algunas de sus propiedades basicas. Ademas se mostraranalgunas transformaciones canonicas de medidas clasicas como lo son las transformacionesde Christoffel, Uvarov y Geronimus en terminos de la funcion de Stieltjes. Tambien semuestra como se perturba tan solo un momento de la matriz de Hankel asociado a unfuncional L, y se formula su nueva funcion de Stieltjes.

En el capıtulo 2 se presentan conceptos basicos sobre polinomios ortogonales en lacircunferencia unidad, enunciando algunas de sus propiedades e introduciendo trans-formaciones de medidas clasicas analogas al caso real, y su funcion de Caratheodory.Tambien se muestra como se perturba tan solo un momento de la matriz de Toeplitzasociado a un funcional L, y se enuncia su correspondiente funcion de Caratheodory.

El capıtulo 3 esta dedicado a la transformacion de Szego, que establece una relacionentre medidas soportadas en el intervalo [−1, 1] de la recta real y ciertas medidas soporta-das en la circunferencia unidad. De igual manera, existe una relacion entre los coeficientesde la relacion de recurrencia a tres terminos para los polinomios ortogonales en la rectareal y los parametros de Verblunsky asociados a la correspondiente medida soportada enla circunferencia unidad. Se muestra una manera sencilla de calcular dichos parametros deVerblunsky, que esta relacionada con la factorizacion LU de la matriz de Jacobi asociadacon la medida en la recta real. Por otra parte, se muestra de manera explıcita la relacionque existe entre la funcion de Stieltjes y la funcion de Caratheodory asociadas a medidassoportadas en la recta real y la circunferencia unidad.

En el capıtulo 4 se analiza que tipo de transformacion se obtiene en la circunferenciaunidad por medio de su correspondiente funcion de Caratheodory, cuando aplicamos latransformacion de Szego, a una funcion de Stieltjes asociada a una medida α(x), cuyosoporte se encuentra en el intervalo [−1, 1].

V

CAPITULO 1

Polinomios ortogonales en la recta real

En este capıtulo se presentan conceptos basicos sobre polinomios ortogonales en larecta real y se enuncian algunas de sus propiedades basicas. Ademas se mostraran algu-nas transformaciones canonicas clasicas de medidas como lo son las transformaciones deChristoffel, Uvarov y Geronimus, en terminos de la funcion de Stieltjes.En la ultima parte se muestra como se perturba tan solo un momento de la matriz deHankel asociado a un funcional L, y se formula su nueva funcion de Stieltjes, posterior-mente esta ultima funcion se usara para estudiar el comportamiento de estos polinomioscuando se aplica la transformacion de Szego directa.

1.1. Preliminares de polinomios ortogonales en la recta real

Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [3] y [14].Sea {µn}n≥0 una sucesion de numeros complejos y sea L un funcional lineal definido en elespacio P de los polinomios con coeficientes complejos tal que:

〈L, xn〉 = µn, n ≥ 0. (1.1)

Este funcional L es llamado funcional lineal de momentos, y los numeros complejos{µn}n≥0 son los momentos asociados a L.

Definicion 1.1.1. Una sucesion de polinomios {pn(x)}n≥0, donde

pn(x) = γnxn + δnx

n−1 + · · · , γn 6= 0, n ≥ 0,

es llamada una sucesion de polinomios ortogonales (SPO) con respecto a un funcionallineal L, si para todo entero no negativo n y m, se tiene

1. pn(x) es un polinomio de grado n,

2. 〈L, pm(x)pn(x)〉 = 0, para m 6= n,

3. 〈L, pn(x)pn(x)〉 = 〈L, p2n(x)〉 6= 0, n ≥ 0.

1

Capıtulo 1. Polinomios ortogonales en la recta real

La correspondiente sucesion de polinomios ortogonales monicos (SPOM) denotadapor {Pn(x)}n≥0, cuyo coeficiente principal es igual a 1, se define por

Pn(x) =pn(x)

γn.

Definicion 1.1.2. La matriz de Gram asociada con la forma bilineal del funcional lineal(1.1) respecto a la base canonica {xn}n≥0 de P, esta definida mediante

H = [〈L, xi+j〉]i,j=0,1,... = [µi+j ]i,j=0,1,... =

µ0 µ1 · · · µn · · ·µ1 µ2 · · · µn+1 · · ·...

.... . .

... · · ·µn µn+1 . . . µ2n . . ....

.... . .

.... . .

. (1.2)

Las matrices de este tipo, con valores constantes a lo largo de las anti diagonales, sonconocidas en la literatura como matrices de Hankel.

Teorema 1.1.1. Sea L un funcional de momentos con sucesion de momentos {µn}n≥0.Una condicion necesaria y suficiente para la existencia de una sucesion de polinomiosortogonales con respecto a L es

∆n = detHn = det(µi+j)ni,j= =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 µ1 · · · µnµ1 µ2 · · · µn+1...

.... . .

...µn µn+1 . . . µ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, n ≥ 0.

Hn es la submatriz principal de la matriz de Gram de tamano (n+ 1)× (n+ 1).

Definicion 1.1.3. El funcional L es llamado cuasi-definido si ∆n 6= 0 para todo n ≥ 0.

Definicion 1.1.4. Se dice que el funcional de momentos L es definido positivo, siL[π(x)] > 0 para todo polinomio π(x) que no es identicamente cero y es no negativopara todo x ∈ R.

Teorema 1.1.2. L es definido positivo si y solo si los momentos son todos reales y ∆n > 0para todo n ≥ 0.

Si el funcional L es definido positivo, entonces existe una unica sucesion de polinomios

pn(x) = γnxn + δnx

n−1 + · · · , γn > 0, n ≥ 0,

que satisface〈L, pn(x)pm(x)〉 = δn,m,

en este caso {pn(x)}n≥0 es llamada sucesion de polinomios ortonormales asociada a L.Cuando L es definido positivo, existe una representacion integral (no necesariamente unica)

〈L, xn〉 =

∫Exndα(x),

donde α es una medida positiva de Borel, no trivial, cuyo soporte E es un subconjuntoinfinito de puntos en la recta real.

2


Teorema 1.1.3. La sucesion {pn(x)}n≥0 satisface la siguiente relacion de recurrencia atres terminos

xpn(x) = an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn−1(x), n ≥ 0, (1.3)

con las condiciones iniciales p−1(x) = 0, p0(x) = µ−1/20 y donde los coeficientes estan

determinados por:

an =

∫Expn−1(x)pn(x)dα(x) =

γn−1

γn> 0,

bn =

∫Exp2

ndα(x) =δnγn− δn+1

γn+1.

La relacion de recurrencia a tres terminos (1.3) tiene la representacion matricial

xp(x) = Jp(x),

donde p(x) = [p0(x), p1(x), · · · ]t y J es una matriz simetrica tridiagonal

J =

b0 a1 0 0 · · ·a1 b1 a2 0 · · ·0 a2 b2 a3 · · ·0 0 a3 b3 . . ....

.... . .

.... . .

,

que es conocida como matriz de Jacobi [3].Existe una expresion similar usando polinomios ortogonales monicos, ası

xP (x) = JP (x),

donde P (x) = [P0(x), P1(x), · · · ]t y J es una matriz tridiagonal

J =

b0 1 0 0 · · ·a2

1 b1 1 0 · · ·0 a2

2 b2 1 · · ·0 0 a2

3 b3 . . ....

.... . .

.... . .

,

que es llamada matriz de Jacobi monica.El n-esimo polinomio ortonormal, pn(x), admite la siguiente representacion en terminosdel determinante de la matriz de Hankel

pn(x) =1√

∆n∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 µ2 · · · µnµ1 µ2 µ3 · · · µn+1...

......

......

µn−1 µn µn+1 · · · µ2n−1

1 x x2 · · · xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, n ≥ 0,

con ∆−1 = 1. El coeficiente principal esta dado por el determinante de dos matrices deHankel

γn =

√∆n−1

∆n.

3


Definicion 1.1.5. El kernel reproductor de orden n−esimo asociado con {pn(x)}n≥0

esta definido por

Kn(x, y) =n∑k=0

pk(x)pk(y), n ≥ 0.

El nombre viene del hecho de que, para cualquier polinomio qn(x) de grado a lo masn, tenemos

qn(y) =

∫Eqn(x)Kn(x, y)dα(x).

Teorema 1.1.4. El kernel reproductor puede representarse de una manera simple enterminos de los polinomios pn(x) y pn+1(x) usando la formula de Christoffel-Darboux (ver[3, 14], entre otros)

Kn(x, y) = an+1pn+1(x)pn(y)− pn(x)pn+1(y)

x− y, x 6= y,

que se puede deducir de una manera directa a partir de la relacion de recurrencia a tresterminos (1.3).

Para el caso cuasi-definido, el kernel reproductor esta definido mediante

Kn(x, y) =n∑k=0

Pk(x)Pk(y)

L[P 2k (x)]

.

La i−esima derivada parcial de Kn(x, y) con respecto a x y la j−esima derivada parcialde Kn(x, y) con respecto a y, se denotan por

K(i,j)n (x, y) =

∂i+jKn(x, y)

∂xi∂yj.

Proposicion 1.1.1. Dos de las propiedades mas importantes de los ceros de los polinomiosortogonales son

1. Los ceros de pn(x) son todos reales, simples y estan localizados en el interior de E.

2. Sean xn,1 < xn,2 < · · · < xn,n los ceros del polinomio pn(x). Los ceros de pn(x) ypn+1(x) estan separados de la siguiente manera

xn+1,i < xn,i < xn+1,i+1, i = 1, 2, ..., n.

Esta propiedad es llamada entrelazamiento de los ceros.

Ejemplo 1.1.1. Entre los polinomios ortogonales mas estudiados cabe citar los polinomiosde Jacobi, una familia de polinomios ortogonales en [−1, 1] con respecto a la funcion peso(1− x)α(1 + x)β con α, β > −1. Pueden expresarse mediante

Pα,βn (x) =(−1)n

2nn!(1− x)−α(1 + x)−β

dn

dxn((1− x)n+α(1 + x)n+β).

4


Como casos particulares α, β ∈ {±12} se obtienen las familias de polinomios ortogonales

de Chebyshev de primera a cuarta especie, con medidas respectivas dadas por:

dα1(x) =1√

1− x2dx,

dα2(x) =√

1− x2dx,

dα3(x) =

√1− x1 + x

dx,

dα4(x) =

√1 + x

1− xdx.

Cuando α = β = 0 recuperamos la medida de Lebesgue dα(x) = dx en [−1, 1], los corres-pondientes polinomios son llamados polinomios de Legendre.Cuando α = β, son conocidos como polinomios de Gegenbauer y su medida es dα(x) =(1− x2)αdx, (ver [4], pag. 17-18).

1.2. Transformaciones espectrales lineales en la recta real

En esta subseccion se consideraran algunas perturbaciones canonicas de medidas, (ver[7]).Denotaremos como Lα un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida αde Borel con soporte en algun intervalo E de la recta real.

Definicion 1.2.1. La funcion de Stieltjes asociada a α se define como

S(x) =

∫E

dα(t)

x− t.

Cuando L es cuasi-definido, esta funcion admite el siguiente desarrollo en serie en unentorno del infinito

S(x) =∞∑k=0

µkxk+1

,

donde µk son los momentos asociados con α, dados por (1.1). En lo sucesivo, supondremosque µ0 = 1.

Ejemplo 1.2.1. Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie, asociadoscon la medida

dα =dx√

1− x2,

5


donde los momentos son

µk = 〈L, xk〉

=

∫ 1

−1

xk√1− x2

dx

=

∫ π

0cosk(θ)dθ

=

π, si k = 0,

0, si k es impar,(∏k/2i=1

k−(2i−1)k−2(i−1)

)π, si k es par.

Por lo tanto, la funcion de Stieltjes para los polinomios de Tchebycheff de primera especiees

S(x) =∞∑k=0

µkxk+1

=µ0

x+

∞∑k=1

µ2k

x2k+1

=π

x+ π

∞∑k=1

∏ki=1

2k−(2i−1)2k−2(i−1)

x2k+1.

Ejemplo 1.2.2. Consideremos los polinomios de Gegenbauer con α = β = 1, cuya medidaes

dα(x) = (1− x2)dx,

los momentos son

µk = 〈L, xk〉

=

∫ 1

−1xk(1− x2)dx

=

0, si k es impar,

4(k+1)(k+3) , si k es par,

y por la tanto la funcion de Stieltjes es

S(x) =

∞∑k=0

µ2k

x2k+1

=

∞∑k=0

4

(2k + 1)(2k + 3)x2k+1.

Definicion 1.2.2. El funcional delta de Dirac δ(x− β), actua de la siguiente manera

〈δ(x− β), pn(x)〉 = pn(β), pn ∈ P.

6


Dado un funcional lineal L, algunas perturbaciones canonicas son

1. La perturbacion dαc = (x−β)dα, β /∈ supp(α), es la llamada transformacion canoni-ca de Christoffel.

2. La perturbacion dαu = dα + Mrδ(x − β), β /∈ supp(α), Mr ∈ R, es la llamadatransformacion canonica de Uvarov.

3. La perturbacion dαg = dαx−β + Mrδ(x − β), β /∈ supp(α), Mr ∈ R, es la llamada

transformacion canonica de Geronimus.

Ejemplo 1.2.3. En terminos del funcional lineal, la transformacion de Uvarov esta defi-nida por

〈Lu, pn(x)〉 = 〈L, pn(x)〉+Mr〈δ(x− β), pn(x)〉= 〈L, pn(x)〉+Mrpn(β).

Definicion 1.2.3. Una transformacion espectral racional de una funcion de Stieltjes S(x),es una transformacion de la forma

S(x) =A(x)S(x) +B(x)

C(x)S(x) +D(x),

donde A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios que dependen de x, y AD − BC 6= 0. SiC(x) = 0, se dice que la transformacion es lineal.

Las tres perturbaciones canonicas mencionadas anteriormente corresponden a transforma-ciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Stieltjes.De hecho, las funciones de Stieltjes normalizadas correspondientes a las anteriores pertur-baciones estan dadas por:

1. Transformacion canonica de Christoffel

Sc(x) = Rc(β)[S(x)] =(x− β)S(x)− 1

µ1 − β. (1.4)

Ya que

S(x) =∞∑k=0

µkxk+1

,

por lo tanto

S(x) =∞∑k=0

µkxk+1

.

Los momentos asociados a esta perturbacion son

µk = 〈Lc, xk〉= 〈L, (x− β)xk〉= 〈L, xk+1〉 − β〈L, xk〉= µk+1 − βµk,

7


donde Lc es el funcional asociado a la transformacion canonica de Christoffel de L.Sustituyendo µk en S(x) se obtiene:

Sc(x) =∞∑k=0

µk+1 − βµkxk+1

=∞∑k=0

µk+1

xk+1− β

∞∑k=0

µkxk+1

,

como µ0 = 1, entonces

Sc(x) = x

(−1

x+

1

x+

∞∑k=0

µkxk+1

)− βS(x)

= (x− β)S(x)− 1,

este ultimo resultado lo dividimos por µ1 − β, por lo que

Sc(x) =(x− β)S(x)− 1

µ1 − β,

la cual es la transformacion canonica de Christoffel.Aquı Sc(x) representa la pertubacion de la medida de probabilidad α con soporte en[−1, 1],

dαc =x− βµ1 − β

dα.

Se puede observar que αc tambien es una medida de probabilidad.

2. Transformacion canonica de Uvarov

Su(x) = Ru(β,Mr)[S(x)] =S(x) +Mr(x− β)−1

1 +Mr. (1.5)

Ya que

µk = 〈Lu, xk〉= 〈L, xk〉+Mr〈δ(x− β), xk〉= µk +Mrβ

k,

sustituyendo µk en Su(x) =∑∞

k=0µkxk+1 se obtiene

Su(x) =

∞∑k=0

µkxk+1

+Mr

∞∑k=0

βk

xk+1

=∞∑k=0

µkxk+1

+Mr

x

∞∑k=0

(β

x

)k,

8


como β /∈ supp(α) entonces∣∣∣βx ∣∣∣ < 1, y ası la serie de la derecha de la ecuacion

anterior es un serie geometrica convergente. Como consecuencia,

Su(x) = S(x) +Mr

x

(1

1− βx

)

= S(x) +Mr

(x− β).

Este ultimo resultado lo dividimos por 1 +Mr y concluimos

Su(x) =S(x) +Mr(x− β)−1

1 +Mr,

que es la transformacion canonica de Uvarov.Aquı Su(x) representa la pertubacion de la medida de probabilidad α

dαu =dα+Mrδ(x− β)

1 +Mrdα.

Se puede observar que αu(x) tambien es una medida de probabilidad.

3. Transformacion canonica de Geronimus

Sg(x) = Rg(β,Mr)[S(x)] =S(β) +Mr − S(x)

(x− β)(Mr + S(β)). (1.6)

Donde Sg(x) representa la pertubacion de la medida de probabilidad αg soportadaen [−1, 1]

dαg =(x− β)−1dα+Mrδ(x− β)

Mr + S(β).

Se puede verificar que αg tambien es una medidad de probabilidad.

Ejemplo 1.2.4. Consideremos una transformacion canonica de Uvarov para los polino-mios de Chebyshev de primera especie,

dαu = dα+Mrδ(x− β)

=dx√

1− x2+Mrδ(x− β).

La transformacion espectral de la funcion de Stieltjes de los polinomios de Chebyshev deprimera especie asociada a la perturbacion de Uvarov, segun (1.5) es

Su(x) =πx + π

∑∞k=1

∏ki=1

2k−(2i−1)2k−2(i−1)

x2k+1 +Mr(x− β)−1

1 +Mr,

la funcion de Stieltjes S(x) se obtuvo en el ejemplo 1.2.1.

En [16] se muestra que el grupo de las transformaciones espectrales lineales de la forma


D(x),

9


es un grupo no conmutativo generado a partir de las transformaciones de Christoffel yGeronimus descritas anteriormente. Ademas,

• Rc(β) ◦Rg(β,Mr)[S(x)] = S(x) (transformacion identidad).

• Rg(β,Mr) ◦Rc(β)[S(x)] = Ru(β,Mr)[S(x)].

1.3. Perturbacion de una antidiagonal de la matriz de Hankel

En esta subseccion se asumira que L es un funcional lineal definido positivo, asociadocon una medida α de Borel con soporte en algun intervalo E de la recta real. En lugarde considerar la base canonica de P, consideremos la base {1, (x− a), (x− a)2, ...} dondea ∈ R, entonces la nueva sucesion de momentos {νn}n≥0, asociada con la medida α consoporte en E esta dada por

νn = 〈L, (x− a)n〉

= 〈L, (−1)nn∑j=0

(n

j

)an−j(−x)j〉

=n∑j=0

(n

j

)(−1)n+jan−jµj ,

de lo que se puede concluir que

νn = µn +

n−1∑j=0

(n

j

)(−1)n+jan−jµj , (1.7)

donde µ0 = ν0.

Ejemplo 1.3.1. Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie, con lamedida

dα =dx√

1− x2,

segun el ejemplo 1.2.1, los momentos asociados con la base canonica son

µn =

π, si n = 0,

0, si n es impar,(∏n/2i=1

n−(2i−1)n−2(i−1)

)π, si n es par,

en consecuencia los momentos {νn}n≥0 con respecto a la base {1, (x− a), (x− a)2, ...} son

νn = µn +

[(n−1)/2]∑j=0

(n

2j

)(−1)n+2jan−2jµ2j .

10


Ejemplo 1.3.2. Los momentos con respecto a la base {1, (x − a), (x − a)2, ...} para lospolinomios de Gegenbauer (α = β = 1) son

νn = 〈L, (x− a)n〉

=

∫ 1

−1xn(1− x2)dx+

n−1∑j=0

(n

j

)∫ 1

−1(−1)n+jan−jxj(1− x2)dx

= µn +

n−1∑j=0

(n

j

)(−1)n+jan−jµj .

En el ejemplo 1.2.2 hallamos {µn}n≥0.

La matriz de Hankel asociada a L en la nueva base esta dada por,

Hn =

ν0 ν1 · · · νnν1 ν2 · · · νn+1...

.... . .

...νn νn+1 . . . ν2n

, n ≥ 0.

Ası, si L es un funcional lineal de momentos cuasi-definido, entonces los polinomios

Qn(x) =1

det Hn=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ν0 ν1 ν2 · · · νnν1 ν2 ν3 · · · νn+1...

.... . .

......

νn−1 νn νn+1 . . . ν2n−1

1 (x− a) (x− a)2 · · · (x− a)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, n ≥ 0,

costituyen una sucesion de polinomios ortogonales monicos con respecto a L, usando lanueva base1, con

Qn(x) = Pn(x− a).

Ahora se definira un funcional que perturba solo un momento de la matriz de Hankel.Antes necesitamos enunciar algunas definiciones.

Definicion 1.3.1. Dado un funcional lineal L, la derivada distribucional DL (ver [15])esta dada por

〈DL, p〉 = −〈L, p′〉, p ∈ P.

Si j es un entero no negativo, la j−esima derivada distribucional se define por

〈DjL, p〉 = (−1)j〈L, p(j)〉, p ∈ P.

En particular, para el funcional δ(x− a) la j−esima derivada distribucional resulta ser

〈Djδ(x− a), p〉 = (−1)jp(j)(a).

1Observe que al realizar un cambio en la base resulta una perturbacion en todos los elementos de lamatriz de Hankel con respecto a la base original.

11


Definicion 1.3.2. Sea L un funcional cuasi-definido entonces definimos el funcional linealde momentos Lj, por

〈Lj , pn(x)〉 = 〈L, pn(x)〉+ (−1)jmj

j!〈D(j)δ(x− a), pn(x)〉

= 〈L, pn(x)〉+mj

j!p(j)n (a),

(1.8)

donde mj y a son constantes reales, p(j)n (x) indica la j−esima derivada de pn(x) ∈ P.

Si Lj es un funcional definido positivo, entonces la transformacion anterior puedeexpresarse en terminos de su correspondiente medida, dada por

dαj = dα+ (−1)jmj

j!D(j)δ(x− a), (1.9)

que se puede ver como una medida de Uvarov generalizada.Como caso particular consideremos el caso j = 0. En este caso la medida asociada segun(1.9) es

dα0 = dα+m0δ(x− a), (1.10)

es decir una transformacion de Uvarov con, Mr = m0 y β = a, y segun la ecuacion (1.5)la transformacion espectral de la correspondiente funcion de Stieltjes, sin normalizar es

Su(x) = S(x) +m0

(x− a). (1.11)

Por otro lado, cuando Lj es definido positivo, existe una representacion en forma deintegral, entonces (1.8) se puede escribir de la siguiente manera. Sea αj(x) una medidasobre E que esta definida por

〈Lj , pn(x)〉 =

∫Epn(x)dαj(x)

=

∫Epn(x)dα(x) +

mj

j!p(j)n (a).

(1.12)

De (1.8) se puede concluir que

νk = 〈Lj , (x− a)k〉

=

νk, si k < j,

νk +mj , si k = j,νk, si k > j,

lo cual puede comprobarse facilmente, ya que

νk = 〈Lj , (x− a)k〉

= 〈L, (x− a)k〉+mj

j!((x− a)k)(j)(a)

= νk +mj

j!((x− a)k)(j)(a).

Considerando los diferentes casos para k y j, tenemos

• Si k < j, al derivar j veces un polinomio de grado k, obtenemos 0 y entonces νk = νk.

12


• Si k = j, al derivar j veces un polinomio de grado j, obtenemos j!, entonces νk+mj .

• Si k > j, al derivar j veces un polinomio de grado k obtenemos mk(k − 1) · · · (x −j − 1)(x − a)k−j y evaluando este polinomio en a obtenemos 0. Por que la base es{1, (x− a), (x− a)2, (x− a)3, ...}, esta es la importancia de usar esta base. Entoncesνk = νk.

Observe que el funcional Lj perturba el j−esimo momento de la matriz de Hankel asociadaa L, es decir, la matriz de Hankel asociada con Lj contiene los mismos momentos νn de Lexcepto por el j−esimo momento que es igual a νj +mj , es decir

Hn =

ν0 ν1 · · · νj +mj · · · νnν1 ν2 · · · νj+1 · · · νn+1...

.... . .

.... . .

...νj +mj νj+1 . . . ν2j . . . νj+n

......

. . ....

. . ....

νn νn+1 . . . νn+j . . . ν2n

, n ≥ 0,

Hn = Hn +

0 0 · · · mj · · · 00 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

.... . .

...mj · · · . . . 0 . . . 0...

.... . .

.... . .

...0 0 . . . 0 . . . 0

, n ≥ 0.

Si el funcional lineal Lj es cuasi-definido y se denota por S(x) la correspondiente funcionde Stieltjes, entonces se puede relacionar S(x) =

∑∞k=0

νk(x−a)k+1 y S(x) como:

Sj(x) = S(x) +mj

(x− a)j+1. (1.13)

Este resultado se tiene porque la funcion de Stieltjes perturbada es

Sj(x) =

∞∑k=0

νk(x− a)k+1

,

de (1.8) los momentos pertubados son

νk = 〈Lj , (x− a)k〉

=

νk, si k 6= j,

νk +mj , si k = j,

13


entonces sustituyendo en S(x) se obtiene,

Sj(x) =ν0

(x− a)+

ν1

(x− a)2+

ν0

(x− a)3+ · · ·+ νj

(x− a)j+1+

νj+1

(x− a)j+2+ · · ·

=ν0

(x− a)+

ν1

(x− a)2+

ν0

(x− a)3+ · · ·+ νj +mj

(x− a)j+1+

νj+1

(x− a)j+2+ · · ·

= S(x) +mj

(x− a)j+1.

Se puede ver la perturbacion (1.13) de la funcion de Stieltjes como una transformacionespectral lineal, es decir


D(x)

donde A(x) = (x− a)j+1, B(x) = mj y D(x) = (x− a)j+1,Denotaremos esta transformacion mediante

Sj(x) =(x− a)j+1S(x) +mj

(x− a)j+1. (1.14)

Observe que (1.11) y (1.13) son las mismas cuando j = 0.

Ejemplo 1.3.3. Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie. En elejemplo 1.3.1 se calcularon los νn en la base {1, (x − a), (x − a)2, (x − a)2, ...}, y estandados por

νn = µn +n−1∑j=0

(n

2j

)(−1)n+2jan−2jµ2j .

Por la ecuacion (1.13), la funcion de Stieltjes es

Sj(x) = S(x) +mj

(x− a)j+1

=

∞∑k=0

µk +∑k−1

j=0

(k2j

)(−1)k+2jak−2jµ2j

(x− a)k+1+

mj

(x− a)j+1,

donde los {µn}n≥0 son los momentos asociados a los polinomios de Chebyshev de primeraespecie (ver ejemplo 1.2.1).

La siguiente proposicion establece condiciones necesarias y suficientes bajo las cualesel funcional lineal Lj preserva el caracter cuasi-definido y proporciona la relacion entre lascorrespondientes SPOM.

Proposicion 1.3.1. [1] Sea L un funcional lineal de momentos cuasi-definido y{Pn(x)}n≥0 su correspondiente SPOM. Entonces las siguientes afirmaciones son equi-valentes

1. El funcional lineal de momentos Lj , definido como en (1.8), es cuasi-definido.

2. Para todo n ≥ 0, la matriz Ij + KjDj, donde

Dj =mj

j!

(jj

)· · · 0

.... . .

...

0 · · ·(j0

) ,

14


Kj =

K

(j,0)n−1 (a, a) K

(j−1,0)n−1 (a, a) · · · K

(0,0)n−1 (a, a)

K(j,1)n−1 (a, a) K

(j−1,1)n−1 (a, a) · · · K

(0,1)n−1 (a, a)

......

. . ....

K(j,j)n−1 (a, a) K

(j−1,j)n−1 (a, a) · · · K

(0,j)n−1 (a, a)

,e Ij es la matriz identidad de tamano (j + 1)× (j + 1), es no singular y

〈L, P 2n(x)〉+

P

(j)n (a)

P(j−1)n (a)

...Pn(a)

T

Dj(Ij + KjDj)−1

Pn(a)

P(1)n (a)

...

P(j)n (a)

T

6= 0.

Ademas, si Lj es cuasi-definido y denotamos por {Pn(j; ·)}n≥0 su correspondienteSPOM, entonces

Pn(j;x) = Pn(x) +

K

(j,0)n−1 (a, x)

K(j−1,0)n−1 (a, x)

...

K(0,0)n−1 (a, x)

T

Dj(Ij + KjDj)−1

Pn(a)

P(1)n (a)

...

P(j)n (a)

T

.

La demostracion se puede ver en [1] pag. 6-7.

15

CAPITULO 2

Polinomios ortogonales en la circunferencia

unidad

En este capıtulo se presentan conceptos basicos sobre polinomios ortogonales en lacircunferencia unidad, enunciando algunas de sus propiedades e introduciendo transfor-maciones de medidas analogas al caso real, y su funcion de Caratheodory.En la ultima parte se muestra como se perturba tan solo un momento de la matriz de Toe-plitz asociado a un funcional L, y se enuncia su correspondiente funcion de Caratheodory.Esta ultima funcion posteriormente se usara para estudiar el comportamiento de los poli-nomios en la circunferencia unidad cuando se aplica la transformacion de Szego directa

2.1. Preliminares de polinomios ortogonales en la circunfe-rencia unidad

Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [6], [10] y [12].Sea L un funcional lineal en el espacio de los polinomios de Laurent (Λ = span{zk}k∈Z)tal que L es hermitiano, es decir

cn = 〈L, zn〉 = 〈L, z−n〉 = c−n, n ∈ Z.

Los numeros complejos {cn}n∈Z son llamados los momentos asociados a L. Entonces sepuede introducir un funcional bilineal asociado con L en el espacio P = span{zk}k∈N delos polinomios con coeficientes complejos mediante

〈p(z), q(z)〉L = 〈L, p(z)q(z−1)〉, (2.1)

donde p, q ∈ P. Denotaremos mediante Pn el subespacio de los polinomios de grado a lomas n.

16

Capıtulo 2. Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad

Definicion 2.1.1. La matriz de Gram asociada a la base canonica {zn}n≥0 de P es

T =

c0 c1 · · · cn · · ·c−1 c0 · · · cn−1 · · ·

......

. . .... · · ·

c−n c−n+1 . . . c0 . . ....

.... . .

.... . .

, (2.2)

conocida en la literatura como matriz de Toeplitz.

Definicion 2.1.2. Se dice que el funcional lineal L es cuasi-definido si las submatricesprincipales (Tn)n≥0 que tienen tamano (n+ 1)× (n+ 1), son no singulares, es decir

detTn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣c0 c1 · · · cnc−1 c0 · · · cn−1

......

. . ....

c−n c−n+1 . . . c0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, n ≥ 0.

Teorema 2.1.1. Si L es cuasi-definido, existe una sucesion de polinomios monicos{Φn}n≥0 que satisface

1. grad Φn = n, n ≥ 0,

2. 〈Φn,Φm〉L = 0, para m 6= n, m,n ≥ 0,

3. 〈Φn,Φn〉L = Kn, n ≥ 0,

donde Kn 6= 0 para todo n. Esta sucesion de polinomios se denomina sucesion de polino-mios ortogonales monicos (SPOM) asociados a L.

Definicion 2.1.3. Si las submatrices principales (Tn)n≥0 de T tienen determinante po-sitivo, entonces el funcional lineal L se dice definido positivo.

Si L es definido positivo entonces podemos definir un producto interno y en consecuen-cia una norma

〈Φn,Φn〉 = ‖Φn‖2 = Kn, Kn > 0. (2.3)

Tambien, todo funcional definido positivo tiene una representacion integral (no necesaria-mente unica)

〈L, p(z)〉 =

∫Tp(z)dσ,

donde σ es una medida de Borel positiva, no trivial, con soporte en la circuferencia unidadT = {z ∈ C : |z| = 1}.

Teorema 2.1.2. La sucesion de polinomios ortogonales monicos satisface dos relacionesde recurrencia equivalentes

Φn+1(z) = zΦn(z) + Φn+1(0)Φ∗n(z), n ≥ 0, (2.4)

Φn+1(z) = (1− |Φn+1(0)|2)zΦn(z) + Φn+1(0)Φ∗n+1(z), n ≥ 0. (2.5)

17


Estas ultimas son denominadas relaciones de recurrencia ascendente y descendente, res-pectivamente, donde Φ∗n(z) = znΦn(z−1) es llamado el polinomio recıproco. Los numeroscomplejos {Φn(0)}n≥1 se denominan coeficientes de reflexion o coeficientes de Verblunskyy tienen suma importancia en el estudio de los polinomios ortogonales en la circuferenciaunidad. En el caso donde L sea definido positivo se tiene |Φn(0)| < 1, para todo n ≥ 1.De (2.4) se puede deducir

Φ∗n+1(z) = Φ∗n(z) + Φn+1(0)zΦn(z), (2.6)

porque al calcular el conjugado de (2.4) se deduce que

Φn+1(z−1) =1

zΦ(z−1) + Φn+1(0)Φ∗n(z),

sustituyendo Φn(z−1) = Φ∗n(z)zn y Φ∗n(z) = znΦ(z−1) en el resultado se obtiene

Φn+1(z−1) =Φ∗n(z)

zn+1+ Φn+1(0)

z

zn+1Φn(z),

multiplicando por zn+1 se deduce (2.6).

De ahora en adelante asumiremos que el funcional L es definido positivo.Sea σ una medida positiva no trivial de Borel con soporte en la circunferencia unidad T,entonces existe una sucesion (ver [7]) {ϕn}n≥0 de polinomios ortonormales

ϕn(z) = κnzn + · · · , κn ≥ 0,

que satisface ∫ π

−πϕn(eiθ)ϕm(eiθ)dσ(θ) = δm,n, m, n ≥ 0. (2.7)

Los correspondientes polinomios monicos estan definidos por

Φn(z) =ϕn(z)

κn,

donde κn es el coeficiente principal de ϕn(z). El coeficiente principal esta determinado porel determinante de dos matrices de Toeplitz

κn =

√det Tn−1

det Tn, n ≥ 1,

y de este ultimo resultado obtenemos

Kn =1

κ2n

=det Tn

det Tn−1, n ≥ 1.

Por otro lado, el k-esimo momento ck asociado con la medida σ, esta definido mediante

ck =

∫ π

−πeikθdσ(θ), k ∈ Z,

18


y el n-esimo polinomio ortonormal esta dado por

ϕn(z) =1√

det Tn det Tn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c0 c1 c2 · · · cnc−1 c0 c1 · · · cn−1

...... . . .

. . ....

c−(n−1) c−(n−2) c−(n−3) · · · c1

1 z z2 · · · zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, n ≥ 0,

con el convenio que det T−1 = 1.

Definicion 2.1.4. El kernel reproductor de orden n-esimo asociado con {ϕn(z)}n≥0 y{Φn(z)}n≥0 es

Kn(z, y) =n∑k=0

ϕk(y)ϕk(z) =

n∑k=0

Φk(y)Φk(z)

Kk,

con Kk = ‖Φk(z)‖2 = 〈Φk(z),Φk(z)〉L.

Teorema 2.1.3. El kernel reproductor puede representarse de una manera simple enterminos de los polinomios ϕn+1(z) y ϕ∗n+1(z) usando la formula de Christoffel-Darboux(ver [10, 12])

Kn(z, y) =ϕ∗n+1(y)ϕ∗n+1(z)− ϕn+1(y)ϕn+1(z)

(1− yz), n ≥ 0, yz 6= 1.

Para el caso cuasi-definido, se puede expresar en terminos de los polinomios Φn+1(z) yΦ∗n+1(z), mediante

Kn(z, y) =Φ∗n+1(y)Φ∗n+1(z)− Φn+1(y)Φn+1(z)

Kn+1(1− yz), n ≥ 0, yz 6= 1.

El nombre viene del hecho de que, para cualquier polinomio qn(z) de grado a lo masn, tenemos

qn(y) =

∫TKn(z, y)qn(z)dσ(z).

por otro lado, tambien se tiene

Φ∗n(z) = KnKn(z, 0), n ≥ 0.

La i−esima derivada parcial de Kn(z, y) con respecto a z y la j−esima derivada parcialde Kn(z, y) con respecto a y, se denota por

K(i,j)n (z, y) =

∂i+jKn(z, y)

∂zi∂yj.

Ejemplo 2.1.1. Consideremos la medida normalizada de Lebesgue

dσ(θ) =dθ

2π.

19


Los momentos para esta medida son

cn = c−n

= 〈L, zn〉

=1

2π

∫ π

−πeinθdθ

=

{1, si n = 0,0, si n 6= 0,

y entonces la matriz de Toeplitz de orden n+ 1 es

Tn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,y calculando el determinante de Tn, se obtiene que det(Tn) = 1 > 0 para todo n ∈ N.Por lo tanto su correspondiente sucesion de polinomios es

ϕn(z) = Φn(z) = zn, n ≥ 0,

y sus respectivos coeficientes de Verblunsky son Φn(0) = 0, para n ≥ 1.

2.2. Transformaciones espectrales lineales en la circunferen-cia unidad

Se consideraran algunas perturbaciones canonicas de medidas (ver [7] y [10] ), las cualesson analogas a las perturbaciones definidas en la recta real.En esta seccion L es un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida σ deBorel con soporte en la circunferencia unidad T = {z ∈ C : |z| = 1}.

Definicion 2.2.1. Dada F : D → C funcion analıtica, diremos que F es una funcion deCaratheodory si y solo si F (0) ∈ R y Re(F (z)) > 0 en D = {z ∈ C : |z| < 1}.

La funcion analıtica de Caratheodory se puede representar en terminos de los momentos{cn}n∈Z asociados con σ en un entorno del origen, es decir, admite un desarrollo en seriede Taylor alrededor del origen, de la siguiente manera

F (z) = c0 + 2

∞∑k=1

c−kzk. (2.8)

Denominaremos a (2.8) funcion de Caratheodory asociada al funcional L.

Ejemplo 2.2.1. Consideremos la medida normalizada de Lebesgue. Segun el ejemplo2.1.1, c0 = 1 y cn = 0 para todo n ∈ N− {0}, entonces

F (z) = 1.

20


Ejemplo 2.2.2. Consideremos la medida

dσ(θ) =1

π(1 + cos θ)dθ, θ ∈ [−π, π],

cuyos respectivos momentos son

ck =

2, si k = 0,1, si k = 1 o k = −1,0, en otro caso,

y entonces la funcion de Caratheodory es

F (z) = 2 + 2z.

Tambien se puede observar que det(Tn) = n+ 2 > 0 para todo, n ∈ N.

Como L es definido positivo, entonces F (z) es analıtica en D y Re(F (z)) > 0 en D.En este caso F (z) se puede representar mediante la transformacion de Riesz-Herglotz dela medida positiva σ definida mediante (ver [6])

F (z) =

∫T

eiθ + z

eiθ − zdσ(θ).

La medida σ puede descomponerse en una parte que es absolutamente continua conrespecto a la medida normalizada de Lebesgue dθ

2π y una medida singular (ver [12]). Sidenotamos por ω(θ) = σ′ la derivada de Radon-Nikodyn de σ respecto a la medida deLebesgue y por σs la medida singular, entonces

dσ(θ) = ω(θ)dθ

2π+ dσs(θ). (2.9)

Tambien existe una relacion entre la funcion de Caratheodory y la parte absolutamentecontinua ω(θ) de la medida (ver [11]).Si θ ∈ ∂D entonces

F (eiθ) ≡ lımr→1

F (reiθ),

y por lo tantoω(θ) = ReF (eiθ). (2.10)

La parte singular de la medida σs esta soportada en {θ| lımr↑1 Re(reiθ) =∞}.

Dado un funcional lineal L, algunas perturbaciones canonicas de una medida son:

1. La perturbacion dσC = |z − ξ|2dσ, |z| = 1, ξ ∈ C, es la llamada transformacioncanonica de Christoffel.

2. La perturbacion dσU = dσ +Mcδ(z − ξ) +M cδ(z − ξ−1

), ξ ∈ C− {0},Mc ∈ C, es lallamada transformacion canonica de Uvarov.

3. La perturbacion dσG = dσ|z−ξ|2 +Mcδ(z−ξ)+M cδ(z−ξ

−1), ξ ∈ C−{0},Mc ∈ C, |ξ| 6=

1, es la llamada transformacion canonica de Geronimus.

21


Definicion 2.2.2. Se llamara transformacion espectral racional de una funcion de Ca-ratheodory F (z), a una transformacion de la forma

F (z) =A(z)F (z) +B(z)

C(z)F (z) +D(z)

donde A(z), B(z), C(z) y D(z) son polinomios que dependen de z, y AD − BC 6= 0. SiC(z) = 0, la transformacion se dice lineal.

Las tres perturbaciones canonicas mencionadas anteriormente corresponden a transforma-ciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Caratheodory. Estas trestransformaciones corresponden, de una manera analoga, a las transformaciones definidasen el capıtulo anterior para el caso real.Las funciones de Caratheodory normalizadas correspondientes a las anteriores perturba-ciones estan dadas por (ver [10]).

1. Transformacion canonica de Christoffel.

FC(z) = FC(ξ)[F (z)] =A(z)F (z) +B(z)

D(z), (2.11)

donde

A(z) =−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ

(1 + |ξ|2)− 2Reξc1,

B(z) =−ξz2 + (ξc1 − ξc1)z + ξ

(1 + |ξ|2)− 2Reξc1,

D(z) = z.

Ya que

F (z) = c0 + 2

∞∑k=1

c−kzk,

y por lo tanto

FC(z) = c0 + 2

∞∑k=1

c−kzk,

donde c0 ∈ R, c−k ∈ C para k ∈ Z. Sea LC la transformacion canonica de Christoffelde L que satisface

〈p, q〉LC = 〈(z − ξ)p, (z − ξ)q〉L, ξ ∈ C.

Calculando los momentos asociados con LC se obtiene

c−k = 〈LC , z−k〉= 〈1, zk〉L= 〈(z − ξ), (z − ξ)zk〉L= 〈L, z−k〉+ 〈L,−ξz−(k−1)〉+ 〈L,−ξz−(k+1)〉+ 〈L, |ξ|2z−k〉= c−k − βc−(k−1) − ξc−(k+1) + |ξ|2c−k= (1 + |ξ|2)c−k − ξc−(k+1) − ξc−(k−1), k ∈ Z,

22


en particular tenemos c0 = (1 + |ξ|2)c0 − ξc−1 − ξc1.Sustituyendo c0 y c−k en FC(z),

FC(z) = (1 + |ξ|2)c0 − ξc−1 − ξc1 + 2∞∑k=1

((1 + |ξ|2)c−k − ξc−(k+1) − ξc−(k−1)

)zk

= (1 + |ξ|2)F (z)− ξ(c1 + z(F (z) + c0))− ξ(c−1 +1

z(F (z)− c0 − 2c−1z)),

y agrupando el termino F (z), se tiene

FC(z) =−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ

zF (z) +

−ξz2c0 + (ξc1 − ξc1)z + ξc0

z.

Si hacemos c0 = 1,

FC(z) =−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξz((1 + |ξ|2)− 2Reξc1))

F (z) +−ξz2 + (ξc1 − ξc1)z + ξ

z((1 + |ξ|2)− 2Reξc1)).

Este ultimo resultado corresponde a la transformacion canonica de Christoffel.Aqui FC representa la pertubacion de la medida de probabilidad σ

dσC =|z − ξ|2

(1 + |ξ|2)− 2Reξc1dσ. (2.12)

Se puede observar que σC tambien es una medida de probabilidad.

2. Transformacion canonica de Uvarov.

FU (z) = FU (ξ,Mc) = F (z) +B(z)

D(z), (2.13)

dondeB(z) = (ξ − ξz2)(Mc +M c)− (1− |ξ|2)(Mc −M c)z,

D(z) = (z − ξ)(ξz − 1).

Para ver esto, sea LU la transformacion canonica de Uvarov de L que satisface

〈p(z), q(z)〉LU = 〈LU , p(z)q(z)〉+Mc〈δ(z − ξ), p(z)q(z)〉+M c〈δ(z − ξ−1

), p(z)q(z)〉,

con ξ ∈ C.Calculando los momentos asociados con LU se obtiene,

c−k = 〈LU , z−k〉

= 〈L, z−k〉+Mc〈δ(z − ξ), z−k〉+M c〈δ(z − ξ−1

), z−k〉

= c−k +Mcξ−k +M cξ

k,

y en particular,

c0 = 〈LU , 1〉

= 〈L, 1〉+Mc〈δ(z − ξ), 1〉+M c〈δ(z − ξ−1

), 1〉= c0 +Mc +M c,

23


sustituyendo c0 y c−k en FU (z),

FU (z) = c0 +Mc +M c + 2∞∑k=1

(c−k +Mcξ−k +M cξ

k)zk

= F (z) +Mc

(−1 + 2

∞∑k=0

(z

ξ

)k)+M c

(−1 + 2

∞∑k=0

(ξz)k

)

= F (z) +Mc

(−1 +

2ξ

ξ − z

)+M c

(−1 +

2

1− ξz

)= F (z) +Mc

(ξ + z

ξ − z

)+M c

(1 + ξz

1− ξz

)= F (z) +

ξ(M c +Mc) + (1− |ξ|2)(Mc −M c)z − ξ(M c +Mc)z2

(z − ξ)(ξz − 1)

= F (z) +(ξ − ξz2)(M c +Mc) + (1− |ξ|2)(Mc −Mc)z

(z − ξ)(ξz − 1),

Este ultimo resultado corresponde a la transformacion canonica de Uvarov.Aqui FU representa la pertubacion de la medida de probabilidad σ

dσU = dσ +Mcδ(z − ξ) +M cδ(z − ξ−1

).

3. Transformacion canonica de Geronimus.

FG(z) = FG(ξ,Mc) =A(z)F (z) +B(z)

D(z), (2.14)

dondeA(z) = z,

D(z) = −ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ,

B(z) = ξz2 − 2iIm(q0)z − ξ,

y q0 es un parametro libre definido por q0 = c0 − ξc1. Calculando el k−esimo mo-mento, tenemos

ck = 〈zk, 1〉L= 〈zk(z − ξ), z − ξ〉L= ck − ξck+1 − ξck−1 + ck|ξ|2

= ck(1 + |ξ|2)− ξck+1 − ξck−1, k ≥ 0.

Si sk = ckξk

y qk = ckξk− ck−1

ξk−1 , entonces la expresion anterior se puede escribir como

sk = qk − |ξ|2qk+1, k ≥ 0,

y, en consecuencia,

qk =q0 − c0 − ξc1 − · · · − ξk−1ck−1

|ξ|2k, k ≥ 1, (2.15)

24


ası comoq0 = c0 − ξc1,

q1 =q0 − c0

|ξ|2=c1

ξ− c0.

Luego, q0 es un parametro libre. Por tanto,

c0 − ξc1 = q0,

c0 −c−1

ξ=c0 − q0

|ξ|2(2.16)

y (1− |ξ|2

)c0 = 2Re(q0)− c0,

es decir, c0 ∈ R. Si asumimos |ξ| > 1, de (2.16) obtenemos c1. Por otra parte de(2.15),

ckξk

= c0 +

k∑j=1

qj , k ≥ 2.

Por lo tanto, tenemos un grado de libertad que es la eleccion de q0.Por otro lado si multiplicamos ck por zk, k ≥ 1, obtenemos

F (z) = c0

(1 + |ξ|2

)− ξc1 − ξ¯c1 + 2

(1 + |ξ|2

) ∞∑k=1

c−kzk

− 2ξ

∞∑k=1

c−k+1zk − 2ξ

∞∑k=1

c−k−1zk

=(1 + |ξ|2

)FG(z)− ξ

(c1 + 2z

∞∑k=0

c−kzk

)− ξ

(c1 +

2

z

∞∑k=2

c−kzk

)

=(1 + |ξ|2

)FG(z)− ξ

(c1 +

1

z(FG(z)− c0 − 2c1z)

)− ξ(c1 + z(c0 + FG(z)))

=(1 + |ξ|2

)FG(z) + ξ

(c1 +

c0

z

)− ξ

zFG(z)− ξ(c1 + c0z)− ξzFG(z)

=

(1 + |ξ|2 − ξ

z− ξz

)FG(z) + ξc1 − ξ¯c1 + c0

(ξ

z− ξz

)=

(1 + |ξ|2 − ξ

z− ξz

)FG(z) + ¯c0 − q0 − c0 + q0 + c0

(ξ

z− ξz

).

Al despejar F (z), hacer c0 = 1 y 2iIm = q0 − q0, se tiene

FG(z) =zF (z) + ξz2 − 2iIm(q0)z − ξ−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ

. (2.17)

Este ultimo resultado corresponde a la transformacion canonica de Geronimus.De 2.17, FG(z) se puede escribir de la siguiente manera

FG(z) =zF (z)

−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ+Mr

ξ + z

ξ − z+ Mr

1 + ξz

1− ξz,

donde Mr = 12

2q0−c01−|ξ|2 .

25


La transformacion de Uvarov puede expresarse como una composicion de las transforma-ciones de Christoffel y Geronimus (ver [6]). De hecho,

• FG(ξ,Mc) ◦ FC(ξ) = FU (ξ,Mc),

• FC(ξ) ◦ FG(ξ,Mc) = I (transformacion identidad).

Ejemplo 2.2.3. Consideremos la medida

dσ(θ) = |z − 1|2 dθ2π,

es decir, una transformacion de Christoffel de la medida normalizada de Lebesgue conparametro 1 (ver [9]). Su correspondiente SPOM con respecto a σ, esta dada por

Φn(z) =1

z − 1

zn+1 − 1

n+ 1

n∑j=0

zj

, n ≥ 1,

Φ∗n(z) =1

z − 1

1− 1

n+ 1

n∑j=0

zj+1

, n ≥ 1,

y por lo tanto

Φn(0) =1

n+ 1, n ≥ 1.

Ejemplo 2.2.4. En el ejemplo 2.2.1 se mostro que la funcion de Caratheodory para lamedida normalizada de Lebesgue es F (z) = 1. Ahora supongamos que realizamos unatransformacion de Christoffel a esta medida con parametro ξ = 1, entonces de acuerdo ala ecuacion (2.12) la medida perturbada es

dσ(θ) =|z − 1|2

1 + |1|2dσ(θ)

=|z − 1|2

2

dθ

2π.

Por un lado, la transformacion canonica de Christoffel de acuerdo a (2.11) es

A(z) =−ξz2 + (1 + |ξ|2)z − ξ

(1 + |ξ|2)− 2Reξc1=−z2 + 2z − 1

2,

B(z) =−ξz2 + (ξc1 − ξc1)z + ξ

(1 + |ξ|2)− 2Reξc1=−z2 + 1

2,

D(z) = z.

entonces

FC(z) =A(z)F (z) +B(z)

D(z)

= 1− z.

26


Por otro lado, si calculamos directamente los momentos de la medida perturbada

dσ(θ) =|z − 1|2

4πdθ

=(z − 1)(z − 1)

4πdθ

= (1− cos θ)dθ

2π,

se obtiene que

ck =

1, si k = 0,

−12 , si k = 1 o k = −1,

0, en otro caso,

entonces la funcion de Caratheodory es

FC(z) = c0 + 2

∞∑k=1

c−kzk

= 1− z.

Podemos ver que utilizando ambos enfoques se obtiene la misma funcion de Carathedory,como era de esperarse.

2.3. Perturbacion de una subdiagonal de la matriz de Toeplitz

Si se desea perturbar el j-esimo momento cj de la matriz de Toeplitz se usaran lassiguientes definiciones (ver [2]).

Definicion 2.3.1. Sea L un funcional lineal Hermitiano definido en Λ y sea Lj un fun-cional lineal tal que el funcional bilineal asociado satisface

〈p(z), q(z)〉Lj = 〈p(z), q(z)〉L +Mj〈zjp(z), q(z)〉Lθ +M j〈p(z), zjq(z)〉Lθ , (2.18)

donde Mj ∈ C, p ∈ P, q ∈ P, j ∈ N es un numero fijo, y 〈·, ·〉Lθ es el funcional bilinealasociado con la medida normalizada de Lebesgue en la circunferencia unidad.

Si L es un funcional definido positivo, entonces la transformacion anterior puede ex-presarse en terminos de su correspondiente medida, dada por

dσj = dσ +Mjzj dθ

2π+M jz

−j dθ

2π

= dσ + 2Re(Mjzj)dθ

2π.

(2.19)

27


De (2.18) se puede concluir que

ck = 〈Lj , zk〉= 〈zk, 1〉Lj

=

ck, si k /∈ {j,−j},

c−j +Mj , si k = −j,

cj +M j , si k = j,

(2.20)

ya que

ck = 〈zk, 1〉L +Mj〈zjzk, 1〉Lθ +M j〈zk, zj〉Lθ

= ck +Mj

∫ π

−πeiθ(j+k) dθ

2π+M j

∫ π

−πeiθ(k−j)

dθ

2π,

y entonces

• si k /∈ {j,−j},ck = ck,

• si k = −j,

ck = 〈z−j , 1〉L +Mj〈zjz−j , 1〉Lθ +M j〈z−j , zj〉Lθ

= c−j +Mj

∫ π

−π1dθ

2π+M j

∫ π

−πe−2iθj dθ

2π

= c−j +Mj ,

• si k = j,

ck = 〈zj , 1〉L +Mj〈zjzj , 1〉Lθ +M j〈zj , zj〉Lθ

= cj +Mj

∫ π

−πe2iθj dθ

2π+M j

∫ π

−π1dθ

2π

= cj +M j .

En otras palabrras, Lj es un funcional que perturba solamente los momentos cj y c−j dela sucesion de momentos asociada a L. Es decir, La matriz de Toeplitz asociada con elfuncional Lj es igual a la asociada a L excepto por el j-esimo y −j-esimo momento que

28


es igual a cj +M j y c−j +Mj respectivamente, es decir

Tn =

c0 · · · cj +M j cj+1 · · · cnc−1 · · · cj−1 cj +M j · · · cn−1

......

. . ....

. . ....

c−j +Mj c−j+1 . . . c0 · · · cn−jc−j−1 c−j +Mj . . . c−1 · · · cn−j−1

......

. . ....

. . ....

c−n c−n+1 · · · c−n+j · · · c0

= Tn +

0 · · · M j 0 · · · 0

0 · · · 0 M j · · · 0...

.... . .

.... . .

...Mj 0 . . . · · · 00 Mj . . . 0 · · · 0...

.... . .

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 0

, n ≥ 0.

La funcion de Caratheodory asociada a Lj es

Fj(z) = F (z) + 2Mjzj , (2.21)

ya que

Fj(z) = c0 + 2∞∑k=1

c−kzk

= c0 + 2(c1z + · · ·+ cjzj + · · · )

= c0 + 2(c1z + · · ·+ cjzj +Mjz

j + · · · )

= c0 + 2∞∑k=1

c−kzk + 2Mjz

j

= F (z) + 2Mjzj .

Esta es una transformacion espectral lineal de la funcion de Caratheodory F (z) y tiene laforma

F (z) =A(z)F (z) +B(z)

D(z),

dondeA(z) = D(z) = 1 y B(z) = 2Mjz

j .

Ejemplo 2.3.1. En el ejemplo 2.2.1, se mostro que la funcion de Caratheodory para lamedida normalizada de Lebesgue es

F (z) = 1,

y segun la ecuacion (2.21)Fj(z) = 1 + 2Mjz

j .

29


Ejemplo 2.3.2. En el ejemplo 2.2.4, se mostro que la funcion de Caratheodory para lamedida

dσ(θ) =|z − 1|2

4πdθ,

esF (z) = 1− z,

entoncesFj(z) = 1− z + 2Mjz

j .

Suponga que L es un funcional lineal definido positivo y {Φn(z)}n≥0 su correspondienteSPOM. Ahora procedemos a determinar las condiciones necesarias y suficientes para queLj sea un funcional cuasi-definido, ası como la relacion entre {Φn(z)}n≥0 y {Ψn(z)}n≥0,la SPOM con respecto a Lj .

Proposicion 2.3.1. [2] Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. Lj es un funcional lineal cuasi-definido.

2. La matriz In + Sn es no singular, y

Kn = Kn + WTn (0)(In + Sn)−1Yn(0) +M j

Φ(n−j)n (0)

(n− j)!6= 0, n ≥ 1,

Wn(0) = [Υn(0)−M jn!C(0,n−1;n)],

Yn(0) = [M jΦ

(j)n (0)

j!, . . . ,M j

Φ(2j−1)n (0)

(2j − 1)!,M j

Φ(2j)n (0)

(2j)!+Mj

Φ(0)n (0)

(0)!, . . . ,M j

Φ(n)n (0)

(n)!+

MΦ

(n−2j)n (0)

(n− 2j)!,Mj

Φ(n−2j+1)n (0)

(n− 2j + 1)!, . . . ,Mj

Φ(n−j−1)n (0)

(n− j − 1)!]T ,

Υn(0) = [Φn(0),Φ(1)n (0), . . . ,Φ(n−1)

n (0)]T

y

Sn =

MjA(0,j−1;0,j−1) B(0,j−1;j,n−j−1) MjC(0,j−1;n−j,n−1)

MjA(j,n−j−1;0,j−1) B(j,n−j−1;j,n−j−1) MjC(j,n−j−1;n−j,n−1)

MjA(n−j,n−1;0,j−1) B(n−j,n−1;j,n−j−1) MjC(n−j,n−1;n−j,n−1)

,donde A,B y C son matrices cuyos elementos estan dados por

as,l =K

(s,l+j)n−1 (0,0)

(l)!(l+j)! ,

bs,l = MjK

(s,l+j)n−1 (0,0)

(l)!(l+j)! +M jK

(s,l−j)n−1 (0,0)

(l)!(l+j)! ,

cs,l =K

(s,l−j)n−1 (0,0)

(l)!(l−j)! .

Ademas, {Ψn}n≥0, la correspondiente SPOM con respecto a Lj, esta dadapor

Ψn(z) = An(z)Φn(z) +Bn(z)Φ∗n(z), n ≥ 1,

30


con

An(z) = 1 +1

KnWT

n (In + Sn)−1Dnτ(Φn(z); 0) + Mj

T ∗n−j(Φn(z); 0)

Kn,

Bn(z) = − 1

KnWT

n (In + Sn)−1Dnτ(Φ∗n(z); 0)− Mj

T ∗n−j(Φ∗n(z); 0)

Kn,

yτ(Φn(z); 0) = [MjT

∗j (Φn(z); 0), . . . ,MjT

∗2j−1(Φn(z); 0),MjT

∗2j(Φn(z); 0)+

M jT∗0 (Φn(z); 0), . . .MjT

∗n−1(Φn(z); 0) + M jT

∗n−2j−1(Φn(z); 0),M jT

∗n−2j(Φn(z); 0),

. . .M jT∗n−j−1(Φn(z); 0)]T ,

donde Tj(Φn(z); 0) es el j−esimo polinomio de Taylor asociado a Φn(z) en el puntoz = 0.

La demostracion se puede ver en [2] pag. 9-13.

31

CAPITULO 3

Transformacion de Szego

Este capıtulo esta dedicado a la transformacion de Szego, que establece una relacionentre medidas soportadas en el intervalo [−1, 1] de la recta real y ciertas medidas sopor-tadas en la circunferencia unidad.De igual manera, existe una relacion entre los coeficientes de la relacion de recurrencia atres terminos para polinomios ortogonales en la recta real y los parametros de Verblunskyasociados a la correspondiente medida soportada en la circunferencia unidad. Se muestrauna manera sencilla de calcular dichos parametros de Verblunsky, que esta relacionadacon la factorizacion LU de la matriz de Jacobi asociada con la medida en la recta real.Por otra parte, se muestra de manera explıcita la relacion que existe entre la funcion deStieltjes y la funcion de Caratheodory asociadas a medidas soportadas en la recta real yla circunferencia unidad, respectivamente.

3.1. Transformacion de Szego

A partir de una medida de Borel α no trivial, positiva, con soporte en [−1, 1] podemosdefinir una medida σ de Borel, no trivial, positiva, con soporte en [−π, π] mediante

dσ(θ) =1

2|dα(cos θ)|, (3.1)

de tal forma que si dα(x) = ω(x)dx, entonces

dσ(θ) =1

2ω(cos θ)| sin θ|dθ. (3.2)

Ejemplo 3.1.1. Si consideramos la medida

dα(x) =1

π

dx√1− x2

,

32

Capıtulo 3. Transformacion de Szego

entonces

dσ(θ) =1

2ω(cos θ)| sin θ|dθ

=1

2π

1√1− cos2 θ

| sin θ|dθ

=dθ

2π,

Observe que tomamos la medida de los polinomios de Chebyshev de primera especie cu-yo soporte es [−1, 1] y al aplicar la relacion (3.1), se genero la medida normalizada deLebesgue en el circunferencia unidad.

Si α es una medida de probabilidad, es decir,∫ 1−1 dα(x) = 1, entonces σ es tambien

una medida de probabilidad en la circunferencia unidad, ya que∫ π

−πdσ(θ) =

∫ π

−π

1

2|dα(cos θ)|

= 2

∫ 0

−π

1

2dα(cos θ)

=

∫ 1

−1dα(x)

= 1,

y en este caso existe una sucesion de polinomios ortonormales que satisface (2.7), ası co-mo los correspondientes polinomios monicos. En este caso, los coeficientes de Verblunskysatisfacen la condicion

Φ(0) ∈ (−1, 1), n = 1, 2, · · · .

Existe una relacion entre los polinomios ortogonales asociados a una medida α en [−1, 1]y los polinomios ortogonales asociados con la medida σ definida por (3.1), con soporte enla circunferencia unidad.

Teorema 3.1.1. [14] La sucesion de polinomios ortonormales {ϕn}n≥0 en la circunfe-rencia unidad asociados con la medida σ (tal como se definio en (3.1)) tiene coeficientes

reales. Ademas si x = z+z−1

2 , entonces

pn(x) =κ2n

(2√

1 + Φ2n(0))[z−nΦ2n(z) + znΦ2n(1/z)],

donde Φn(z) = ϕn(z)/κn (es decir el correspondiente polinomio ortogonal monico) y κnes el coeficiente principal de ϕn(z).

Por otra parte, los coeficientes de la relaciones de recurrencia de los polinomios enla recta real (1.3), estan relacionados con los coeficientes de Verblunsky de las relaciones(2.4) y (2.5), de la siguiente manera

Teorema 3.1.2. [14] Los coeficientes de la relacion de recurrencia para la medida α en[−1, 1], y los coeficientes de Verblunsky Φn(0) para la medida σ sobre la circunferencia

33


unidad, correspondiente a α, estan relacionados mediante las siguientes expresiones

2an =√

[1− Φ2n(0)][1− Φ22n−1(0)][1 + Φ2n−2(0)], n ≥ 1, (3.3)

2bn = Φ2n−1(0)[1− Φ2n(0)]− Φ2n+1(0)[1 + Φ2n(0)], n ≥ 0. (3.4)

Ejemplo 3.1.2. Consideremos la medida normalizada de Lebesgue dσ(θ) = dθ2π . En el

ejemplo 2.1.1 se encontro que la sucesion de polinomios ortonormales es

ϕn(z) = Φn(z) = zn, n ≥ 0,

y los coeficientes de Verblunsky son Φn(0) = 0 para n ≥ 1 y ademas Φ0(0) = 1. Segun lasecuaciones (3.3) y (3.4) los coeficientes de la sucesion de recurrencia son

an =

√

22 , si n = 1,

12 , si n > 1,

y bn = 0 para todo n ∈ N. Por lo tanto la matriz de Jacobi es

J =

0√

2/2 0 0 · · ·√2/2 0 1/2 0 · · ·

0 1/2 0 1/2. . .

0 0 1/2 0. . .

......

. . .. . .

. . .

.

En [7] se puede ver que esta matriz de Jacobi, corresponde a los polinomios de Tchebysheffde primera especie, asociado con la medida dα(x) = 1

πdx√1−x2 = ω(x)dx, tal como se

mostro en el ejemplo 3.1.1.

Dado que los momentos {cn}n≥0 son reales (por el teorema (3.1.1)), F (z), la funcionde Caratheodory asociada a σ tiene coeficientes reales. Por tanto, tenemos

ReF (eiθ) = ReF (ei(2π−θ)),

y entonces dσ(θ) + dσ(2π − θ) = 0. De esta manera, existe una sencilla relacion entre lafuncion de Stieltjes y Caratheodory asociadas con α y σ, respectivamente,

F (z) =1− z2

2z

∫ 1

−1

dα(t)

x− t=

1− z2

2zS(x), (3.5)

donde x = z+z−1

2 , z = x +√x2 − 1, (ver [11]). En la literatura, esta relacion se conoce

como transformacion de Szego.

3.2. Factorizacion LU

Definamos la sucesion {un}n≥1, mediante

un =1

2(1− Φn(0))(1 + Φn−1(0)). (3.6)

34


Usando las ecuaciones (3.3) y (3.4), obtenemos

a2n = u2nu2n−1, n ≥ 1,

bn + 1 = u2n + u2n+1, n ≥ 0,

y, entonces, tenemos una factorizacion de la forma (ver [7])

J + I = LU

donde I es la matriz identidad, y L y U son matrices bidiagonales inferior y superior,respectivamente, con

L =

1 0 0 0 · · ·u2 1 0 0 · · ·

0 u4 1 0. . .

0 0 u6 1. . .

......

. . .. . .

. . .

,

y

U =

u1 1 0 0 · · ·0 u3 1 0 · · ·

0 0 u5 1. . .

0 0 0 u7. . .

......

. . .. . .

. . .

.

Ası, de (3.6), tenemos

Φk(0) = 1− 2uk1 + Φk−1(0)

.

Por lo tanto, obtenemos una sucesion {un}n≥1 que podemos utilizar para determinar deuna manera sencilla los coeficientes de Verblunsky {Φk(0)}k≥1 de la medida σ soportadaen la circunferencia unidad.

Ejemplo 3.2.1. Consideremos los polinomios de Tchebicheff de tercera especie (α =12 , β = 1

2), en [7] se puede ver que

b0 = −1

2, bn = 0, n ≥ 1, y a2

n =1

4, n ≥ 1,

ası que

J + I =

1/2 1 0 0 · · ·1/4 1 1 0 · · ·

0 1/4 1 1. . .

0 0 1/4 1. . .

......

. . .. . .

. . .

.

Calculando la factorizacion LU de la anterior matriz, obtenemos que un = 12 , para n ≥ 1,

y de (3.6) concluimos que

Φn(0) =1

n+ 1, n ≥ 1.

35


Segun el ejemplo 2.2.3, corresponde a la transformacion de Christoffel de la medida nor-malizada de Lebesgue, es decir

dσ(θ) = |z − 1|2 dθ2π.

Recuerde nuevamente que la medida en la circunferencia unidad se hubiera podido obtener

a partir de dα(x) =√

1−x1+x

dxπ por medio de (3.2), ası

dσ(θ) =1

2

√1− cos θ

1 + cos θ| sin θ|dθ

π

=1

2

√(1− cos θ)2

1− cos2 θ| sin θ|dθ

π

=1

2π(1− cos θ)dθ

=1

2π|1− z|2dθ

=1

2π|z − 1|2dθ.

36

CAPITULO 4

Analisis de perturbacion de momentos a traves de

la transformacion de Szego

Es este capıtulo se analizara el tipo de transformacion que se obtiene en la circunferen-cia unidad por medio de su funcion de Caratheodory cuando aplicamos la transformacionSzego (3.5) a algunas funciones de Stieltjes asociadas a una medida α(x), cuyo soporte seencuentra en el intervalo [−1, 1].En la primera parte se tomara la funcion de Stieltjes que se obtuvo en la seccion 1.3 de per-turbar solo el j-esimo momento, en esta construccion se uso la base {1, (x−a), (x−a)2, · · · },al hacer a = 0 se puede usar la Transformacion de Szego para analizar lo que le sucedea los momentos en la circunferencia unidad asociados a la medida generada. Tambien ha-blaremos de la parte absolutamente continua con respecto a la medida normalizada deLebesgue de la medida en la circunferencia unidad, luego mostraremos algunos ejemplos.En la segunda parte se construira un funcional en la base canonica, el cual perturba desdeel momento j en adelante, en consecuencia obtenemos una nueva funcion de Stieltjes ala cual le aplicaremos la transformacion de Szego para analizar el comportamiento de losmomentos en la circunferencia unidad y la parte absolutamente continua de la medida.

4.1. Analisis de la perturbacion de momentos a traves de latransformacion de Szego cuando se perturba solo el mo-mento j-esimo en [−1, 1]

En la seccion 1.3 se construyo la funcion de Stieltjes Sj(x) (1.13),

Sj(x) = S(x) +mj

(x− a)j+1, (4.1)

donde S(x) =∑∞

k=0νk

(x−a)k+1 , que se obtiene al perturbar solo el j−esimo momento, en la

base {1, (x− a), (x− a)2, · · · }. Su correspondiente medida segun (1.9) es

dαj = dα+ (−1)jmj

j!D(j)δ(x− a). (4.2)

37

Capıtulo 4. Analisis de perturbacion de momentos a traves de la transformacion de Szego

4.1.1. Aplicacion de la transformacion de Szego

En esta primera parte del trabajo analizaremos lo que le sucede a los momentos dela matriz de Toeplitz cuando se perturba el momento j-esimo de la matriz de Hankelagregandole una masa mj , es decir, que sucede con las subdiagonales de la matriz de Toe-plitz si se perturba una antidiagonal de la matriz Hankel, por medio de la transformacionde Szego.Para poder aplicar la transformacion de Szego a (4.1) hay que tomar a = 0,1 ası la nuevafuncion de Stieltjes es

Sj(x) = S(x) +mj

xj+1, (4.3)

donde

S(x) =

∞∑k=0

νkxk+1

=

∞∑k=0

µkxk+1

,

esta ultima igualdad se tiene por la ecuacion (1.7). La correspondiente medida con soporteen [−1, 1], esta definida por la ecuacion (1.9)

αj = dα+ (−1)jmj

j!D(j)δ(x− 0). (4.4)

Ahora, aplicando la transformacion de Szego (3.5), entre Sj(x) y Fj(z) para el j−esimomomento, tenemos que

Fj(z) =1− z2

2zSj(x), (4.5)

y sustituyendo (4.3) en (4.5)

Fj(z) =1− z2

2z

(S(x) +

mj

xj+1

).

De (4.5) y la ecuacion anterior, Fj(z) se puede expresar como

Fj(z) =1− z2

2z

(2z

1− z2F (z) +

mj

xj+1

)= F (z) +

1− z2

2z

mj

( z+z−1

2 )j+1

= F (z) +1− z2

2z

mj

( z+z−1

2 )j+1,

y organizando se concluye que

Fj(z) = F (z) +2jmjz

j(1− z2)

(z2 + 1)j+1. (4.6)

De (4.6) podemos averiguar como son los momentos generados en la circunferencia unidady ası conocer el comportamiento de la matriz de Toeplitz. Tambien nos interesa conocercomo es la medida generada en la circunferencia unidad.

1Esto significa que la masa se esta agregando en el origen.

38


Esto lo resumimos en el siguiente esquema,

[−1, 1]

Cuando a = 0⇓

Fun. Stieltjes

Sj(x) = S(x) +mjxj+1

⇓Medida Uvarov Generalizada

dα = dα+mjj! D

(j)δ(x− 0)

−−−−−−−−−→Trans. Szego

T

Fun. Caratheodory

Fj(z) = F (z) +2jmj(1−z2)(z2+1)j+1

⇓¿Medida?

4.1.2. Momentos perturbados en la circunferencia unidad

En esta subseccion mostraremos explıcitamente los momentos perturbados en la cir-cunferencia unidad.

Igualando (4.6) con (2.21), se obtiene

2Mjzj =

2jmjzj(1− z2)

(z2 + 1)j+1,

es decir

Mj =2j−1mj(1− z2)

(z2 + 1)j+1. (4.7)

De este ultimo resultado podemos concluir que una perturbacion de un momento en elintervalo [−1, 1], no corresponde en general a una perturbacion de un momento en lacircunferencia unidad T. Es decir, perturbar una antidiagonal de la matriz de Hankel nose traduce en una perturbacion de una subdiagonal de la matriz de Toeplitz, ya que enel lado izquierdo tenemos una constante Mj y en el lado derecho tenemos una funcionracional.

Esto significa que al perturbar el j−esimo momento en [−1, 1] se obtiene una trans-formacion espectral lineal de la forma

Fj(z) = F (z) + 2zjR(z), (4.8)

donde

R(z) =2j−1mj(1− z2)

(z2 + 1)j+1

= 2j−1mj(1− z2)

(1

(z2 + 1)j+1

).

(4.9)

Para conocer el comportamiento de los momentos perturbados en la circunferencia unidad,escribamos (4.9) como una serie.Es bien sabido que

1

1 + z=∞∑n=0

(−1)nzn, |z| < 1.

39


Calculando, la j-esima derivada de este ultimo resultado, se tiene

(−1)(−2) . . . (−j)(1 + z)j+1

=

∞∑n=j

(−1)nn(n− 1) . . . (n− (j − 1))zn−j .

Reescribiendo,

(−1)jj!

(1 + z)j+1=∞∑n=j

(−1)nn!

(n− j)!zn−j , (4.10)

que es equivalente a

(−1)jj!

(z2 + 1)j+1=∞∑n=j

(−1)nn!

(n− j)!z2(n−j). (4.11)

Entonces

1

(z2 + 1)j+1=

∞∑n=j

(−1)n

(−1)jn!

j!(n− j)!z2(n−j)

=∞∑n=j

(−1)n−j(n

j

)z2(n−j),

(4.12)

y reemplazando la serie (4.12) en (4.9), tenemos

R(z) = 2j−1mj(1− z2)∞∑n=j

(−1)n−j(n

j

)z2(n−j)

= 2j−1mj(1− z2)∞∑n=0

(−1)n(n+ j

j

)z2n.

(4.13)

Ahora estudiemos el radio de convergencia de (4.13)

lımn→∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(n+1)!

(n+1−j)! z2(n+1−j)

(−1)nn!(n−j)! z

2(n−j)

∣∣∣∣∣∣ = lımn→∞

|(−1)|∣∣∣∣ n+ 1

n+ 1− j

∣∣∣∣ ∣∣z2∣∣ .

Ası la serie (4.13) converge absolutamente en el interior del cırculo de radio 1.Si sustituimos (4.13) en (4.8) se obtiene

Fj(z) = F (z) + 2zjR(z)

= F (z) + 2zj

(2j−1mj(1− z2)

∞∑n=0

(−1)n(n+ j

j

)z2n

)

= F (z) + 2jmj

∞∑n=0

(−1)n(n+ j

j

)z2n+j − 2jmj

∞∑n=0

(−1)n(n+ j

j

)z2n+2+j .

(4.14)

De (4.14) podemos concluir que, si se perturba el momento j−esimo en [−1, 1] y apli-camos la transformacion de Szego, entonces la perturbacion en F (z) corresponde a unaperturbacion en los momentos a partir de j en adelante de la siguiente manera

• Si j es par, se perturban todos los momentos pares a partir del momento j.

40


• Si j es impar, se perturban todos los momentos impares a partir del momento j.

De (4.14) se pueden deducir explicitamente los momentos perturbados, ası

c−n =

c−n, si n < j o n = j + 2k + 1,para algun k ∈ N,

c−n + in−j2j−1mj

(((n+j)/2

j

)+(

(n+j−2)/2j

)), si n = j + 2k,

para algun k ∈ N,(4.15)

donde estamos suponiendo que(j−1j

)= 0.

4.1.3. Parte absolutamente continua de la medida generada en la circun-ferencia unidad

Calculemos la parte absolutamente continua de la medida perturbada usando (2.10).Para esto primero determinemos la conjugada de Fj(z)

Fj(eiθ) = lım

r→1Fj(re

iθ)

= lımr→1

(F (reiθ) +

2j(reiθ)jmj(1− (reiθ)2)

((reiθ)2 + 1)

)= F (eiθ) +

2j(eiθ)jmj(1− e2iθ)

(e2iθ + 1)j+1.

(4.16)

Por lo tanto,

Fj(eiθ) = F (eiθ) +2j(e−iθ)jmj(1− e−2iθ)

(e−2iθ + 1)j+1

= F (eiθ)− 2j(eiθ)jmj(1− e2iθ)

(e2iθ + 1)j+1.

(4.17)

Sumando (4.16) con (4.17) y usando (2.10) tenemos

σ′(θ) = ReFj(eiθ)

= ReF (eiθ)

= σ′(θ).

(4.18)

Acabamos de mostrar que la parte absolutamente continua de la medida generada enla circunferencia unidad es la misma que la parte absolutamente continua de la medidaoriginal,

dσ = σ′(θ)dθ

2π+ dσs(θ)

= σ′(θ)dθ

2π+ dσs(θ).

(4.19)

En otras palabras, la perturbacion de un momento en la medida con soporte en [−1, 1]afecta solamente la parte singular de la medida σ con soporte en la circuferencia unidad,

41


es decir, la parte absolutamente continua con respecto la medida normalizada de Lebesguepermanece invariante bajo la transformacion de Szego.

4.1.4. Analisis de la perturbacion del momento cero

A modo de ejemplo mostremos lo que sucede cuando se perturba el momento µ0, enla matriz de Hankel.

Si hacemos j = 0 en la ecuacion (4.14), entonces la funcion de Caratheodory que seobtiene solo de perturbar el momento cero es

F0(z) = F (z) +m0 + 2m0

∞∑n=1

(−1)nz2n,

en consecuencia los momentos perturbados en la circunferencia unidad son

c−n =

c−n, si n es impar,

c−n + inm0, si n es par,(4.20)

o bien,

c−n = c−n + 2in(⌈

n+ 1

2

⌉− n+ 1

2

)m0, (4.21)

donde d·e es la funcion parte entera por encima. Esto significa que se estan perturbandotodos los momentos pares incluyendo el momento cero de la circunferencia unidad. Estose puede ver matricialmente de la siguiente manera,

H =

µ0 +m0 µ1 µ2 µ3 · · ·µ1 µ2 µ3 µ2 · · ·µ2 µ3 µ4 µ1 · · ·µ3 µ4 µ5 µ6 · · ·...

......

.... . .

⇓

Transformacion de Szego⇓

T =

c0 +m0 c1 c2 −m0 c3 · · ·c−1 c0 +m0 c1 c2 −m0 · · ·

c−2 −m0 c−1 c0 +m0 c1 · · ·c−3 c−2 −m0 c−1 c0 +m0 · · ·

......

......

. . .

.

Ejemplo 4.1.1. Consideremos los polinomios de Chebyshev de tercera especie que tienencomo medida

dα(x) = 2

√1− x1 + x

dx

π.

42


La medida generada en la circunferencia unidad bajo la transformacion de Szego es

dσ = (1− cos θ)dθ

2π

= |z − 1|2 dθ2π,

cuyos momentos son

c−n =

1, si n = 0,

−12 , si n = 1 o n = −1,

0, en otro caso.

Entonces, si se perturba el momento cero de los polinomios de Chebychev de tercera especieagregandole una masa real m0, la funcion de Carathedory perturbada es

F0(z) = 1− z +m0 + 2m0

∞∑n=1

z2n,

esto significa que solo los momentos pares son perturbados ası

c−n =

1 +m0, si n = 0,

−12 , si n = 1 o n = −1,

inm0, si n es par.

0, si n es impar, diferente de ± 1.

Su correspondiente matriz de Toeplitz perturbada es

T =

1 +m0 −1/2 −m0 · · ·−1/2 1 +m0 −1/2 −m0 · · ·−m0 −1/2 1 +m0 −1/2 · · ·

0 −m0 −1/2 1 +m0 . . ....

......

.... . .

,

La medida perturbada σ en la circunferencia unidad, cuando se perturba el momento ceroes

dσ = (1− cos θ)dθ

2π+ dσs

= |z − 1|2 dθ2π

+ dσs.

4.1.5. Analisis de la perturbacion del momento uno

En esta parte mostraremos con un ejemplo el comportamiento de los momentos en lacircunferencia unidad cuando se perturba el primer momento en [−1, 1] agregando una

43


masa m1.Si hacemos j = 0 en la ecuacion (4.14), entonces la funcion de Caratheodory que se obtienesolo de perturbar el primer momento es

F1(z) = F (z) + 2m1

∞∑n=1

(−1)n(2n− 1)z2n−1,

en consecuencia los momentos perturbados en la circunferencia unidad son

c−n =

c−n, si n es par,

c−n + i(n−1)nm1, si n es impar,

(4.22)

o bien,

c−n = c−n + 2(⌈n

2

⌉− n

2

)i(n−1)nm0, (4.23)

esto significa que al perturbar el primer momento en la recta se estan perturbando todoslos momentos impares de la circunferencia unidad. Esto lo podemos ver matricialmentede la siguiente manera,

H =

µ0 µ1 +m1 µ2 µ3 · · ·

µ1 +m1 µ2 µ3 µ2 · · ·µ2 µ3 µ4 µ1 · · ·µ3 µ4 µ5 µ6 · · ·...

......

.... . .

⇓


T =

c0 c1 +m1 c2 c3 − 3m1 · · ·

c−1 +m1 c0 c1 +m1 c2 · · ·c−2 c−1 +m1 c0 c1 +m1 · · ·

c−3 − 3m1 c−2 c−1 +m1 c0 · · ·...

......

.... . .

.

Ejemplo 4.1.2. Consideremos los polinomios de Chebyshev de primera especie que tienencomo medida

dα(x) =1√

1− x2

dx

π.

Segun el ejemplo 3.1.1, la medida generada en la circunferencia unidad por medio de latransformacion de Szego, es la medida normalizada de Lebesgue

dσ(θ) =dθ

2π.

En este caso, los momentos en la circunferencia unidad son

cn = c−n

=

{1, si n = 0,0, si n 6= 0.

44


Si se perturba el primer momento de los polinomios de Chebyshev agregando una masam1, se obtiene la perturbacion de todos los momentos impares en la circunferencia unidad,agregandoles la masa in−1nm1. La funcion de Caratheodory perturbada es

F1(z) = 1 + 2m1

∞∑n=1

(−1)n(2n− 1)z2n−1.

La correspondiente matriz de Toeplitz prturbada es

T =

1 m1 0 −3m1 · · ·m1 1 m1 0 · · ·0 m1 1 m1 · · ·

−3m1 0 m1 1 . . ....

......

.... . .

,

es decir

T = T + M

1 0 0 0 · · ·0 1 0 0 · · ·0 0 1 0 · · ·0 0 0 1 . . ....

......

.... . .

+

0 m1 0 −3m1 · · ·m1 0 m1 0 · · ·0 m1 0 m1 · · ·

−3m1 0 m1 0 . . ....

......

.... . .

,

donde T es la matriz de Toeplitz asociada a la medida normalizada de Lebesgue.La medida perturbada σ en la circunferencia unidad, cuando se perturba el momento unoes

dσ =dθ

2π+ dσs.

4.2. Analisis de perturbacion de momentos a traves de latransformacion de Szego cuando se perturba del momen-to j-esimo en adelante en [−1, 1]

En la seccion anterior se analizo el comportamiento de los momentos en la circunferen-cia unidad cuando a = 0 en la funcion (1.13) por medio de la transformacion de Szego. Enesta seccion construiremos un funcional que nos permite considerar el caso cuando a 6= 0.

4.2.1. Construccion del funcional que perturba del momento j-esimo enadelante en [−1, 1]

Sea L un funcional definido positivo y α(x) su correspondiente medida donde {υn}n≥0

es la sucesion de momentos en la base canonica {1, x, x2, · · · } definidos mediante

υk = 〈L, xk〉.

De una manera similar a la definicion 1.3.2, formularemos el siguiente funcional el cualtiene la particularidad que la masa se esta agregando en un punto a ∈ R y ademas se puede

45


utilizar la transformacion de Szego para estudiar el comportamiento de los momentos ensu respectiva funcion de Caratheodory por que se esta trabajando sobre la base canonica.

Definicion 4.2.1. Sea Lj un funcional lineal de momentos, definido por

〈Lj , pn(x)〉 = 〈L, pn(x)〉+ (−1)j〈D(j)δ(x− a), pn(x)〉

= 〈L, pn(x)〉+mj

j!p(j)n (a),

(4.24)

donde mj y a son constantes reales.

Si Lj es un funcional definido positivo, entonces la transformacion anterior puedeexpresarse en terminos de su correspondiente medida, dada por

dα = dα+ (−1)jmj

j!D(j)δ(x− a). (4.25)

Con ayuda de (4.24) podemos determinar la sucesion de momentos {υn}n≥0, donde

υk = 〈Lj , xk〉

=

υk, si k < j,

υk +mj , si k = j,

υk +mj

(kj

)ak−j , si k > j.

(4.26)

• Cuando k ≤ j es similar que en la seccion 1.3.

• Cuando k > j,

υk = 〈Lj , xk〉

= υk +mj

j!((x)k)(j)(a)

= υk +mj

j!(k)(k − 1) · · · (k − (j − 1))ak−j ,

como k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (j − 1)) = k!(k−j)! , por lo tanto

υk = υk +mj

j!

k!

(k − j)!ak−j

= υk +mj

(k

j

)ak−j .

46


La funcion de Stieltjes para estos momentos es

S(x) =

∞∑k=0

υkxk+1

=υ0

x+υ1

x2+ · · ·+ υj−1

xj+υj +mj

xj+1+υj+1 +mj

(j+1j

)a

xj+2+ · · ·

+υn +mj

(nj

)a

xn−j+ · · ·

=

∞∑k=0

υkxk+1

+

∞∑k=j

(k

j

)mj

xk+1ak−j

= S(x) +∞∑k=j

(k

j

)mj

xk+1ak−j .

(4.27)

4.2.2. Aplicacion de la transformacion de Szego

Ahora apliquemos la transformacion de Szego a (4.27), para determinar explıcitamentelos momentos en la circunferencia unidad

Fj(z) =1− z2

2z

S(x) +∞∑k=j

(k

j

)mj

xk+1ak−j

= F (z) +

1− z2

2z

∞∑k=j

(k

j

)mja

k−j(2z)k+1

(z2 + 1)k+1

= F (z) + (1− z2)mj

∞∑k=j

(k

j

)ak−j(2z)k

(1

(z2 + 1)k+1

),

(4.28)

donde de (4.12) tenemos que

1

(z2 + 1)k+1=

∞∑n=k

(−1)n−k(n

k

)z2(n−k)

=∞∑n=0

(−1)n(n+ k

k

)z2n.

(4.29)

Reemplazando (4.29) en (4.28), obtenemos

Fj(z) = F (z) + (1− z2)mj

∞∑k=j

((k

j

)ak−j(2z)k

( ∞∑n=0

(−1)n(n+ k

k

)z2n

)). (4.30)

47


La serie (4.30) puede reescribirse como

∞∑k=j

((k

j

)ak−j(2z)k

( ∞∑n=0

(−1)n(n+ k

k

)z2n

))=

=∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n2j+2n

(j + 2n

j

)(j + k + n

j + 2n

))zj+2k

+∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n+12j+1+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + k + n

j + 1 + 2n

))zj+1+2k.

(4.31)

Por lo tanto, sustituyendo (4.31) en (4.30), la funcion de Carathedory perturbada es

Fj(z) = F (z) + 2mj

∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + k + n

j + 2n

))zj+2k

+ 2mj

∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + k + n

j + 1 + 2n

))zj+1+2k

− 2mj

∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + k + n

j + 2n

))zj+2k+2

− 2mj

∞∑k=0

(k∑

n=0

(−1)n+ka2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + k + n

j + 1 + 2n

))zj+3+2k.

(4.32)

De este ultimo resultado se puede concluir que si se perturban los momentos de j enadelante de una medida α(x) con soporte en el intervalo [−1, 1] y se aplica la transformacionde Szego, entonces en la circunferencia unidad se perturban todos los momentos de j enadelante. A partir de (4.32) pueden determinarse los momentos perturbados y estan dadospor

c−(j+k) =

c−(j+k) + 2A1(k), si j + k = 0,

c−(j+k) +A1(k), si k es par,

c−(j+k) +A2(k), si k es impar,

(4.33)

donde

A1(k) = mj

k/2∑n=0

(−1)n+k/2a2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + k/2 + n

j + 2n

)

−mj

k/2−1∑n=0

(−1)n+k/2−1a2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + (k/2− 1) + n

j + 2n

),

48


y

A2(k) = mj

(k−1)/2∑n=0

(−1)n+(k−1)/2a2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + (k − 1)/2 + n

j + 1 + 2n

)

−mj

(k−3)/2∑n=0

(−1)n+(k−3)/2a2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + (k − 3)/2 + n

j + 1 + 2n

).

Es importante hacer notar el hecho que en la ecuacion (4.33), si se perturba desde elmomento cero c0 = c0 + 2A1(0), porque la funcion de Caratheodory se define F (z) =c0 + 2

∑∞k=1 c−kz

k, es decir, el momento cero no esta multiplicado por 2.

4.2.3. Parte absolutamente continua de la medida generada en la circun-ferencia unidad

Usando (2.10), calculemos la parte absolutamente continua de la nueva medida en lacircunferencia unidad. Para esto primero determinemos la conjugada de la ecuacion (4.28)

Fj(eiθ) = lım

r→1

F (reiθ) + (1− (reiθ)2)mj

∞∑k=j

(k

j

)ak−j(2reiθ)k

(1

((reiθ)2 + 1)k+1

)= F (eiθ) + (1− e2iθ)mj

∞∑k=j

(k

j

)ak−j(2eiθ)k

(1

(e2iθ + 1)k+1

).

(4.34)

Entonces la funcion conjugada es

Fj(z) = F (z) + (1− e−2iθ)mj

∞∑k=j

(k

j

)ak−j(2e−iθ)k

(1

(e−2iθ + 1)k+1

)

= F (eiθ)− (1− e2iθ)mj

∞∑k=j

(k

j

)ak−j(2eiθ)k

(1

(e2iθ + 1)k+1

).

(4.35)

sumando (4.34) y (4.35) y usando (2.9), se tiene

σ′(θ) = Re(Fj(eiθ))

= Re(F (eiθ))

= σ′(θ).

(4.36)

Es decir, la parte absolutamente continua de la medida perturbada corresponde a la medidaabsolutamente continua de la medida original

dσ = σ′(θ)dθ

2π+ dσs(θ)

= σ′(θ)dθ

2π+ dσs(θ).

(4.37)

Al igual que en el caso de perturbar solo el j−esimo momento de la matriz de Hankel,cuando se perturba del j−esimo momento en adelante, la transformacion de Szego afecta

49


solamente la parte singular de la medida σ con soporte en la circunferencia unidad, esdecir, la parte absolutamente continua con respecto la medida normalizada de Lebesguepermanece invariante bajo la transformacion de Szego.

4.2.4. Analisis de la perturbacion del momento cero

A modo de ejemplo, mostraremos el comportamiento de perturbar del momento ceroen adelante, es decir, de perturbar todos los momentos de la matriz de Hankel.

Si hacemos j = 0 en (4.26), tenemos que

υk =

{υk +m0, si k = 0,

υk +m0kak, si k > 0.

(4.38)

Estos ultimos son los momentos perturbados de la matriz de Hankel.De igual manera al hacer j = 0 en (4.33), se tiene

c−k =

c−k + 2A1(k), si k = 0,

c−k +A1(k), si k es par,

c−k +A2(k), si k es impar,

(4.39)

donde

A1(k) = m0

k/2∑n=0

(−1)n+k/2a2n2−1+2n

(2n

0

)(k/2 + n

2n

)

−m0

k/2−1∑n=0

(−1)n+k/2−1a2n2−1+2n

(2n

0

)((k/2− 1) + n

2n

)

=m0

2

(2a)k +

k2−1∑

n=0

(−1)n+ k2 (2a)2n

[(k2 + n

2n

)+

(k2 − 1 + n

2n

)] ,

y

A2(k) = m0

(k−1)/2∑n=0

(−1)n+(k−1)/2a2n+122n

(1 + 2n

0

)(1 + (k − 1)/2 + n

1 + 2n

)

−m0

(k−3)/2∑n=0

(−1)n+(k−3)/2a2n+122n

(1 + 2n

0

)(1 + (k − 3)/2 + n

1 + 2n

)

=m0

2

(2a)k +

k−32∑

n=0

(−1)n+ k−12 (2a)2n+1

[(k+12 + n

1 + 2n

)+

(k−12 + n

1 + 2n

)] .

De (4.39), se pueden calcular los primeros momentosc0 = c0 + 2A1(0) = c0 +m0,c−1 = c−1 +A2(1) = c−1 +m0a,

50


c−2 = c−2 +A1(2) = c−2 −m0 + 2m0a2,

c−3 = c−3 +A2(3) = c−3 − 3m0a+ 4m0a3,

c−4 = c−4 +A1(4) = c−4 +m0 − 8m0a2 + 8m0a

4,entonces, en terminos de matrices tenemos

H =

υ0 +m0 υ1 +m0a υ2 + 2m0a

2 υ3 + 3m0a3 · · ·

υ1 +m0a υ2 + 2m0a2 υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 · · ·

υ2 + 2m0a2 υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 υ5 + 5m0a

5 · · ·υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 υ5 + 5m0a

5 υ6 + 6m0a6 · · ·

......

......

. . .

⇓


T=c0 +m0 c1 +m0a c2 −m0 + 2m0a

2 c3 − 3m0a+ 4m0a3 · · ·

c−1 +m0a c0 +m0 c1 +m0a c2 −m0 + 2a2 · · ·c−2 −m0 + 2m0a

2 c−1 +m0a c0 +m0 c1 +m0a · · ·c−3 − 3m0a+ 4m0a

3 c−2 −m0 + 2a2 c−1 +m0a c0 +m0 · · ·...

......

.... . .

.

Esto significa que al perturbar todos los momentos de la matriz de Hankel y aplicarla transformacion de Szego se perturban todos los momentos de la matriz de Toeplitz.Ademas observe que si se hace a = 0 se obtienen los mismos resultados que en la seccion4.1.

51

CAPITULO 5

Transformacion de Szego inversa

En este capıtulo consideraremos el problema del analisis de perturbacion de momentosinverso, es decir, consideraremos el funcional (2.18) que perturba solo el j−esimo momentoy en el caso en el que L sea definido positivo podemos considerar su correspondientemedida (2.19) que es aditiva con soporte en el cırculo unidad a este funcional o medidaaplicaremos la transformacion de Szego inversa para conocer el comportamiento de losmomentos y la medida que tienen soporte en [−1, 1]. Cuando decimos transformacion deSzego inversa hacemos referencia a la relacion que existe entre una medida con soporte enT y su correspondiente medida con soporte en [−1, 1] bajo (3.2).

A diferencia del capıtulo anterior en el cual usabamos la funcion de stieltjes y ca-ratheodory para conocer los momentos perturbados en el cırculo unidad, en este seccionpartiremos de la medida (2.19) y aplicaremos directamente la transformacion de Szegoinversa.

Si consideramos la medida de Chebyshev de primera especie dxπ√

1−x2 que tiene soporte

en [−1, 1] y aplicamos la transformacion de Szego directa (3.1) o su equivalente (3.2) seencuentra que su correspiente medida con soporte en el cırculo unidad es la medida norma-lizada de lebesgue dθ

2π . De manera analoga si tomamos la medida normalizada de Lebesguey aplicamos la transformacion de Szego inversa obtenemos la medida de Chebyshev deprimera especie.

Sean α y αj las correspondiente medidas con soporte en [−1, 1] bajo la transformacionde Szego inversa aplicado a las medidas con soporte en la circunferencia unidad (2.19) σy σj respectivamente. Entonces

dαj = dα+Mj(x+ i√

1− x2)j(dθ

2π

)−1

+M j(x+ i√

1− x2)−j(dθ

2π

)−1

= dα+Mj(cos(jθ) + i sin(jθ))dx

π√

1− x2+M j(cos(jθ)− i sin(jθ))

dx

π√

1− x2

= dα+ (Mj +M j)cos(jθ)dx

π√

1− x2+ i(Mj −M j)

sin(jθ)dx

π√

1− x2.

Denotando por Tj(x) = cos(jθ), los polinomios de Chebyshev de primera especie que son

ortogonales con respecto a la medida dx√1−x2 con soporte en [−1, 1] y Uj−1(x) = sin(jθ)√

1−x2 =

52

Capıtulo 5. Transformacion de Szego inversa

sin(jθ)sin(θ) , los polinomios de Chebyshev de segunda clase que poseen la siguiente propiedad

si j es par entonces Uj−1(x) en polinomio de grado impar y tambien una funcion impar ysi j es impar entonces Uj−1(x) es un polinomio de grado par y tambien una funcion par.Con esta notacion la medida perturbada con soporte en [−1, 1] bajo la transformacion deSzego inversa aplicada a (2.19) es

dαj = dα+2ReMjTj(x)

π

dx√1− x2

− 2ImMjUj−1(x)

πdx. (5.1)

En el caso donde el funcional L sea cuasi-definido con sucesion de momentos {µn}n≥0

podemos definir el nuevo funcional Lj que tambien sera cuasi-definido, este nuevo funcionalesta relacionado con el funcional (2.18) bajo la transformacion de Szego inversa.

Definicion 5.0.2. Sea L un funcional cuasi-definido entonces definimos el funcional linealde momentos Lj, por

〈Lj , pn(x)〉 = 〈L, pn(x)〉+2ReMj

π〈L1, pn(x)Tj(x)〉 − 2ImMj

π〈L2, pn(x)Uj−1(x)〉, (5.2)

donde 〈L1, pn(x)Tj(x)〉 =∫ 1−1 pn(x)Tj(x) dx√

1−x2 es el funcional asociado a la medida de los

polinomios de Chebyshev de primera especie y 〈L2, pn(x)Uj−1(x)〉 =∫ 1−1 pn(x)Uj−1(x)dx

es el funcional asociado a la medida de Lebesgue y Mj ∈ C.

La sucesion de momentos perturbados {µn}n≥0 asociados al funcional Lj definido en(5.2) se pueden calcular de la siguiente manera

µn = µn +2ReMj

π〈L1, x

nTj(x)〉 − 2ImMj

π〈L2, x

nUj−1(x)〉.

Se pueden hacer algunas simplificaciones para 〈L1, xnTj(x)〉,

• Si n = j = 0, 〈L1, 1〉 = π.

• Si n < j, 〈L1, xnTj(x)〉 = 0, por la ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev.

• Si n ≥ j, n impar y j par o viceversa, se tendrıa que xnTj(x) es una funcion impary ası 〈L1, x

nTj(x)〉 = 0.

• Si n ≥ j, n y j son pares o impares simultaneamente se tendrıa que xnTj(x) es unafuncion par y ası 〈L1, x

nTj(x)〉 6= 0.

Entonces la sucesion de momentos perturbados es

µn =

µn +2Mj

π 〈L1, xnTj(x)〉, si n ≥ j, n y j son pares o impares

simultaneamente,

µn + 2Mj si j = n = 0,

µn en otro caso.

(5.3)

53


Esto significa que si j es par se perturban el momento j−esimo y todos los momentospares de j en adelante, de igual manera si j es impar se perturban el momento j−esimoy todos los momentos impares de j en adelante.

La sucesion de momentos {µn}n≥0 se pueden determinar explıcitamente, en [17] sepuede ver que el polinomio de Chebyshev de primer tipo de grado j tiene la siguienteformula general:

Tj(x) =j

2

[j/2]∑k=0

(−1)k(j − k − 1)!(2x)j−2k

k!(j − 2k)!, n = 1, 2, 3, ...,

donde [j/2] = j/2 si j es par y [j/2] = (j − 1)/2 si j es impar.

Por lo tanto si consideramos el caso donde j ≤ n y j, n sean pares o impares simultanea-mente tenemos que

〈L1, xnTj(x)〉 =

j

2

∫ 1

−1xn

[j/2]∑k=0

(−1)k(j − k − 1)!(2x)j−2k

k!(j − 2k)!

dx√1− x2

=j

2

[j/2]∑k=0

(−1)k(j − k − 1)!(2)j−2k

k!(j − 2k)!

∫ 1

−1xj+n−2k dx√

1− x2.

Como

∫ 1

−1xn

dx√1− x2

=

π, si n = 0,

0, si n es impar,(∏n/2i=1

n−(2i−1)n−2(i−1)

)π, si n es par,

y j + n− 2k es par, entonces

∫ 1

−1xj+n−2k dx√

1− x2=

(j+n−2k)/2∏i=1

j + n− 2k − (2i− 1)

j + n− 2k − 2(i− 1)

π.

Por lo tanto la sucesion de momentos perturbados {µn}n≥0 segun (5.3) son

• Si n ≥ j, n y j son pares o impares simultaneamente

µn = µn + jMj

[j/2]∑k=0

(−1)k(j − k − 1)!(2)j−2k

k!(j − 2k)!

(j+n−2k)/2∏i=1

j + n− 2k − (2i− 1)

j + n− 2k − 2(i− 1)

.

• Si n = j = 0, µn = µn + 2Mj .

• Si n < j o n par y j impar o n impar y j par, se tiene que µn = µn.

Si Mj es un imaginario puro, entonces la medida segun (5.1) es

dαj = dα− 2MjUj−1(x)

πdx.

54


Con relacion a los momentos tenemos las siguientes conclusiones, si j es par entoncesUj−1(x) es un polinomio impar y una funcion impar, suponiendo que n es par entoncesxnUj−1(x) es una funcion impar y ası 〈L2, x

nUj−1(x)〉 = 0 de igual manera si j y n sonimpares, esto lo podemos resumir ası

µn =

µn, si j = 0,

µn, si j y n son pares o imparessimultaneamente,

µn − 2Mj

π 〈L2, xnUj−1(x)〉, si j es par y n impar o

j es impar y n par .

(5.4)

Esto significa

• Si j es par entonces se perturban todos los momentos impares.

• Si j es impar entonces se perturban todos los momentos pares.

En el caso general donde Mj ∈ C, combinamos (5.3) y (5.4) y los momentos perturbadosson

µn =

µn, si 0 ≤ n < j y n, j son pares oimpares simultaneamente,

µn +2ReMj

π 〈L1, xnTj(x)〉, si j ≤ n y n, j son pares o

impares simultaneamente ,

µn +2ReMj

π 〈L1, xnTj(x)〉 − 2ImMj

π 〈L2, xnUj−1(x)〉, si j ≤ n y n, j no son pares o

impares simultaneamente ,

µn − 2ImMj

π 〈L2, xnUj−1(x)〉, si 0 < n < j y n, j no son pares

e impares simultaneamate .

(5.5)

Esto significa

• Si j es par y j < n se perturban todos los momentos impares.

• Si j es impar y j < n se perturban todos los momentos pares.

• Si j ≥ n se perturban todos los momentos de j en adelante y el momento j-esimotambien.

El anterior resultado lo podemos formalizar en la siguiente proposicion

Proposicion 5.0.1. Sea σ una medida positiva de Borel con soporte en la circunferenciaunidad y sea α la medida con soporte en [−1, 1] asociada a traves de la transformacionde Szego inversa. Sea {cn}n∈Z y {µn}n≥0 sus correspondientes sucesiones de momentos.Aplicando la transformacion (2.19) a σ. Entonces la correspondiente medida perturbadaen [−1, 1] es (5.1) con momentos dados por (5.5).

55

CAPITULO 6

Conclusiones

1. Sea α(x) una medida soportada en [−1, 1], y considere la perturbacion

dαj(x) = dα(x) + (−1)jmj

j!D(j)δ(x− 0). (6.1)

Entonces, los momentos asociados a αj(x) son los mismos que los asociados a α,excepto por el j−esimo, al que se le anade una masa real mj .Si se aplica la transformacion de Szego a la correspondiente funcion de Stieltjes,Sj(x), y se considera la funcion de Caratheodory resultante, se observa que dichafuncion no corresponde con un perturbacion del momento j−esimo asociado a lamedida σ en la circunferencia unidad.

2. Al aplicar la transformacion de Szego entre la funcion de Stieltjes que perturba solo elj-esimo momento en [−1, 1] agregando una masa real mj , los momentos perturbadosque tienen soporte en la circunferencia unidad, tienen el siguiente comportamiento

• Si j es par, entonces se perturban todos los momentos pares de la matriz deToeplitz a partir del momento j-esimo.

• Si j es impar, entonces se perturban todos los momentos impares de la matrizde Toeplitz a partir del momento j-esimo.

Explıcitamente los momentos perturbados son

c−n =

c−n, si n < j o n = j + 2k + 1,para algun k ∈ N,

c−n + in−j2j−1mj

(((n+j)/2

j

)+(

(n+j−2)/2j

)), si n = j + 2k,

para algun k ∈ N,

donde estamos suponiendo que(j−1j

)= 0.

Como caso particular, si se perturba el momento cero de la matriz de Hankel, seperturban todos los momentos pares de la matriz de Toeplitz, de la siguiente manera

56

Capıtulo 5. Conclusiones

H =

µ0 +m0 µ1 µ2 µ3 · · ·µ1 µ2 µ3 µ2 · · ·µ2 µ3 µ4 µ1 · · ·µ3 µ4 µ5 µ6 · · ·...

......

.... . .

⇓


T =

c0 +m0 c1 c2 −m0 c3 · · ·c−1 c0 +m0 c1 c2 −m0 · · ·

c−2 −m0 c−1 c0 +m0 c1 · · ·c−3 c−2 −m0 c−1 c0 +m0 · · ·

......

......

. . .

.

Si se perturba el primer momento de la matriz de Hankel, se perturban todos losmomentos impares de la matriz de Toeplitz, de la siguiente manera

H =

µ0 µ1 +m1 µ2 µ3 · · ·

µ1 +m1 µ2 µ3 µ2 · · ·µ2 µ3 µ4 µ1 · · ·µ3 µ4 µ5 µ6 · · ·...

......

.... . .

⇓


T =

c0 c1 +m1 c2 c3 − 3m1 · · ·

c−1 +m1 c0 c1 +m1 c2 · · ·c−2 c−1 +m1 c0 c1 +m1 · · ·

c−3 − 3m1 c−2 c−1 +m1 c0 · · ·...

......

.... . .

.

3. Si se considera la medida con soporte en [−1, 1] y a ∈ R,

dαj(x) = dα(x) + (−1)jmj

j!D(j)δ(x− a), a ∈ R, (6.2)

y al calcular los momentos se utiliza la base canonica {1, x, x2, ...}, entonces se per-turba del j−esimo momento en adelante en el intervalo [−1, 1], agregandole una masareal mj al j−esimo momento y agregandole mj

(kj

)ak−j al k-esimo momento cuando

k > j. Al aplicar la transformacion de Szego a la funcion de Stieltjes generada porla medida anterior, se obtiene una perturbacion en la correspondiente funcion deCaratheodory a partir del momento j−esimo en adelante. Es decir, al perturbar laantidiagonal j-esima en adelante de la matriz de Hankel y aplicar la transformacionde Szego se perturba la subdiagonal j-esima en adelante de la matriz de Toeplitz.

57


Los momentos perturbados son

c−(j+k) =

c−(j+k) + 2A1(k), si j + k = 0,

c−(j+k) +A1(k), si k es par,

c−(j+k) +A2(k), si k es impar,

donde

A1(k) = mj

k/2∑n=0

(−1)n+k/2a2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + k/2 + n

j + 2n

)

−mj

k/2−1∑n=0

(−1)n+k/2−1a2n2j−1+2n

(j + 2n

j

)(j + (k/2− 1) + n

j + 2n

),

y

A2(k) = +mj

(k−1)/2∑n=0

(−1)n+(k−1)/2a2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + (k − 1)/2 + n

j + 1 + 2n

)

−mj

(k−3)/2∑n=0

(−1)n+(k−3)/2a2n+12j+2n

(j + 1 + 2n

j

)(j + 1 + (k − 3)/2 + n

j + 1 + 2n

).

Como caso particular, cuando se perturban todos los momentos de la matriz deHankel, se perturban todos los momentos de la matriz de Toeplitz. Matricialmente,

H =

υ0 +m0 υ1 +m0a υ2 + 2m0a

2 υ3 + 3m0a3 · · ·

υ1 +m0a υ2 + 2m0a2 υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 · · ·

υ2 + 2m0a2 υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 υ5 + 5m0a

5 · · ·υ3 + 3m0a

3 υ4 + 4m0a4 υ5 + 5m0a

5 υ6 + 6m0a6 · · ·

......

......

. . .

⇓

Transformacion Szego⇓

T =c0 +m0 c1 +m0a c2 −m0(1− 2a2) c3 −m0(3a− 4a3) · · ·c−1 +m0a c0 +m0 c1 +m0a c2 −m0(1− 2a2) · · ·

c−2 −m0(1− 2a2) c−1 +m0a c0 +m0 c1 +m0a · · ·c−3 −m0(3a− 4a3) c−2 −m0(1− 2a2) c−1 +m0a c0 +m0 · · ·

......

......

. . .

.

4. Dada una medida α(x) con soporte en [−1, 1], y se define una nueva medida α(x) atraves de una perturbacion de momentos como cualquiera de las descritas anterior-mente y se aplica la transformacion de Szego a α(x), se obtienen una medida σ en

58


la circunferencia unidad con la siguiente propiedad,

dσ = σ′(θ)dθ

2π+ dσs

= σ′(θ)dθ

2π+ dσs,

(6.3)

donde σ es la transformacion de Szego de α. Es decir, la parte absolutamente con-tinua con respecto a la medida normalizada de Lebesgue permanece invariante bajola transformacion de Szego, esto significa que la transformacion de Szego afectasolamente la parte singular de la medida.

59

Bibliografıa

[1] Castillo K., Dimitrov D., Garza L., Rafaeli F., Pertubations on the antidiagonals ofHankel matrices, Applied Math. Comp. vol. 221, 2013, 444-452.

[2] Castillo K., Garza L., Marcellan F., Pertubations on the subdiagonals of ToeplitzMatrices, Linear Algebra Appl. vol. 434, 2011, 1563-1579.

[3] Chihara T. S., An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach,Science Publisher, 1978.

[4] Cruz, R., Sobre polinomios de Laurent ortogonales y formulas de cuadratura en lacircuferencia unidad, Tesis doctoral, universidad de la Laguna, Santa Cruz de Tenerife,Espana, 2007.

[5] Duistemaat J. J., Grunbaum F. A., Differential equations in the spectral parameter,Comm. Math. Phys. vol. 103, 1986, 177-240.

[6] Garza, L., Transformaciones Espectrales, Funciones de Caratheodory y PolinomiosOrtogonales en la Circunferencia Unidad, Tesis doctoral, Universidad Carlos III deMadrid, Espana, 2009.

[7] Garza L., Hernandez J., Marcellan F., Spectral transformations of measures supportedon the unit circle and the Szego transformation, Numer. Algor. vol. 49, 2008, 169-185.

[8] Grunbaum F. A., Haine L., A theorem of Bochner, revisited, An Algebraic aspects ofintegrable systems, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., Birkhauser, Bos-tom, MA. vol. 26, 1997, 143-172.

[9] Marcellan F., Hernandez J., Christoffel transforms and Hermitian linear functionals,Mediterr. J. Math. vol. 2, 2005, 451-458.

[10] Marcellan F., Quintana Y., Polinomios ortogonales no estandar. Propiedades alge-braicas y analıticas, XXII Escuela Venezolana de matematicas, 2009.

[11] Peherstorfer F., A special class of polynomials orthogonal on the circle including theassociated polynomials, Constr. Aprrox. vol. 12, 1996, 161-185.

[12] Simon B., Orthogonal Polynomials on the unit circle, 2 vol. Amer. Math. Soc. Coll.Publi. Series. vol 54, 2005.

[13] Spiridonov V., Vinet L., Zhedanov A., Spectral transformations, self-similar reduc-tions and orthogonal polunomials, J. Phys. A: Math. vol. 30, 1997, 7621-7637.

60

Bibliografıa

[14] Szego G. Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Coll. Publi. Series, vol 23, Amer.Math. Soc., Providence, RI, 1975.

[15] Tasis C., Propiedades diferenciales de los polinomios ortogonales relativos a la cir-cunferencia unidad, Tesis doctoral, Universidad de Cantabria, Cantabria, Espana,1989.

[16] Zhedanov A., Rational spectral transformations and orthogonal polynomials, J. Com-put. Appl. Math. vol. 85, 1997, 67-86.

[17] Kreyszig E. ,Introduction to functional analysis with applications, John Wiley & Sons,1989, pag. 350.

61

Análisis de pertubacion de momentos por medio de la transformacion de Szego inversa

Documents

Transcript of Análisis de pertubacion de momentos por medio de la transformacion de Szego inversa