INSTITUCIÓN EDUCATIVA “JOSÉ MARÍA CARBONELL”GRADO UNDÉCIMO

GUÍA DE MATEMÁTICA(Análisis Gráfico de Funciones)

Doc. JAIDER SEVERICHE LÓPEZ

Con esta guía se busca que cada estudiante: Analice las características principales de una función real teniendo en cuenta su

gráfica. Modele y estudie situaciones prácticas haciendo uso de las funciones reales.

Para ello:

1. Se realizará un análisis completo de todos los aspectos relevantes de la gráfica de funciones:1) Dominio.2) Rango o Imagen.3) Ceros.4) Conjuntos de Positividad y de Negatividad.5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.7) Ordenada al Origen.8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.9) Rectas Asíntotas

2. Se darán a conocer algunas direcciones de internet que complementan el estudio de las funciones reales y su utilidad.

3. Se propondrán algunos ejercicios aplicados.

ANÁLISIS DE FUNCIONES

1) Dominio (O Dominio Natural):El dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida. O seaes el conjunto de todos los valores de "x" a los que se le asigna un valor de "y". Si una función está dadagráficamente, su dominio se puede obtener proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobreel eje "x", como se muestra en el grafico que sigue. El conjunto así obtenido es el dominio de la función

.

Si la función está dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio se puede obtener aun sin graficar según los siguientes criterios:

a) Funciones PolinómicaEn todas las funciones polinómica el dominio está formado por todos los números reales; pues siempre es posibleelevar un número real a una potencia de exponente natural, luego multiplicarla por otro real, y por ultimo sumar orestar con otro termino similar.

b) Funciones RacionalesLa función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en forma genérica de grados "m" y "n"respectivamente. En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de números reales salvo losvalores aislados de "x" que hacen cero al polinomio denominador. Esto es así debido a que no podemos "nunca"dividir por cero.

En la siguiente grafica se muestra una función racional, y se observa que su dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la función presenta una discontinuidad (la gráfica “se parte”) donde se formauna asíntota vertical (recta que la función nunca toca): al acercarnos más y más a X = 2 la función crece o decreceindefinidamente (crece hasta +∞ o decrece hasta −∞). Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1.

c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice ParLa función compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de una expresión que depende de "x", tiene comodominio el conjunto de valores de "x" en los cuales el radicando no sea negativo (puede ser positivo o cero).En casocontrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la función, pues la raíz cuadrada (o de índice par)de un numero negativo no tiene resultado real.

En el caso de que la expresión irracional (de índice par) se halle en el denominador, habrá que exigirle al radicandoque sea estrictamente mayor a cero, pues de lo contrario al hacerse cero dicho

radicando se podrá extraer su raíz que también es cero, pero luego no se puede dividir por cero y la función no existirá en dicho punto.

PRÁCTICA 1En internet puedes encontrar diversos programas gratis para graficar funciones. Descarga “El Graficador deFunciones”, familiarízate con él y luego realiza los siguientes ejercicios: (Si conoces otro Graficador utilízalo)Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural analíticamente, y confirmar los resultados graficando en el simulador digital “Graficador de funciones”.

2) Imagen de una Función (o Rango)La imagen de una función es el conjunto de valores que toma la función "y" cuando la variable independiente "x"toma todos los valores del dominio. Gráficamente se puede obtener proyectando sobre el eje "y" todos los puntosde la "curva" que representa a la función.

Las funciones lineales de pendientes distintas de cero (rectas oblicuas) tienen como imagen el conjunto de todoslos números reales.

Las funciones cuadráticas (recuerden que estas son de la forma f(x)= ax2 + bx +c, por ejemplo f(x) = 2x2 -5x – 4 yque su grafica es una parábola) en cambio tienen como imagen un intervalo de longitud infinita desde un ciertopunto "Yv" hasta infinito si el coeficiente cuadrático "a" es positivo; o bien desde"−∞" hasta "Yv" si "a" es negativo.Dicho intervalo siempre es cerrado en el extremo finito "Yv", pues el vértice pertenece a la función.

3) Ceros de la función:Los ceros de una función son los valores de "x" que hacen cero a la misma.No todas las funciones tienen ceros, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x". Esto ocurre, comohemos visto antes, en algunas funciones cuadráticas (parábolas) con discriminante negativo; y en general puedeocurrir en funciones polinómica de grado par: 2, 4, 6 etc.

4. Conjuntos de Positividad y de Negatividad:Se llama Conjunto de Positividad o Intervalo de Positividad al conjunto de todos los valores de "x" para los cuales lafunción es positiva. Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x" en los cuales la"curva" está por encima del eje "x". Análogamente el Conjunto de Negatividad o Intervalo de Negatividad es elconjunto de todos los valores de "x" para los cuales la función es negativa. Gráficamente corresponde al intervalo (olos intervalos) de valores de "x" en los cuales la "curva" está por debajo del eje "x". En las funciones continuas, losceros son los valores de “x” que separan los conjuntos de positividad y de negatividad. Como el número cero no espositivo ni negativo, el cero de la función no debe incluirse en los conjuntos de positividad ni de negatividad. Enestos casos dichos conjuntos son siempre intervalos abiertos.

En las funciones discontinuas, tanto los ceros como las asíntotas verticales son los valores de “x” que separan (opueden separar) los conjuntos de positividad y de negatividad, como se observa en el grafico anterior. Enfunciones discontinuas también pueden darse conjuntos de positividad o negatividad cerrados o semicerrados.

5. Extremos Relativos: Máximos y MínimosLos extremos relativos se pueden ubicar gráficamente como "picos" y "valles": son los puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente (picos), o de ser decreciente a creciente (valles).Como se trata de puntos delplano deben indicarse como pares ordenados.

6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento:Una función es creciente en un punto si al crecer "x" (movernos hacia la derecha) crece "y". Una función esdecreciente si al crecer "x" decrece "y". En las funciones continuas (no se “parten”) los extremos relativos separanlos intervalos decrecimiento de los intervalos de decrecimiento. Los intervalos de crecimiento son los conjuntos devalores de "x" para los cuales la función es creciente. Análogamente, los intervalos de decrecimiento son losconjuntos de valores de "x" para los cuales la función es decreciente. Los extremos relativos "nunca" están incluidos en intervalos de crecimiento o de decrecimiento, debido a que en dichos puntos la función no es crecienteni decreciente. Son puntos donde la función es estacionaria. Por ello los intervalos de crecimiento o dedecrecimiento son siempre intervalos abiertos.

Cuando la función es discontinua, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento pueden estar< separados por lospuntos de discontinuidad (saltos) y rectas asíntotas verticales además de los extremos relativos ya vistos.

7. Ordenada al Origen:La ordenada al origen es el valor que toma la función (y) cuando la variable independiente se hace cero.Gráficamente corresponde al valor donde la curva corta al eje "y". No todas las funciones tienen ordenada al origen,puesto que en algunas funciones el número cero no está dentro del dominio de la misma, o sea en x = 0 la función no está definida. Esto ocurre, por ejemplo, en la HipérbolaEquilátera.

8. Extremos Absolutos: Máximos y MínimosLas funciones pueden presentar tambiénmáximos o mínimos absolutos en todo el dominio natural o en unadeterminada restricción a este dominio. El máximo absoluto es el mayor valor que toma la función (y) en todo eldominio o en un intervalo considerado. Análogamente, el mínimo absoluto es el menor valor de la función (y) en eldominio o intervalo considerado. Los extremos absolutos difieren entonces de los relativos, ya que estos últimos son máximos o mínimos locales (picos o valles), pero nada dicen acerca de que la función pueda tomar un valormayor a un máximo relativo o menor aun mínimo relativo para otros valores de "x". Por consiguiente, de existir losextremos absolutos son únicos. Las rectas oblicuas (no paralelas a los ejes coordenados) no tienen máximos ymínimos absolutos, pues la función crece y decrece indefinidamente. Las parábolas presentan solo un mínimoabsoluto si el coeficiente cuadrático "a" es positivo, y es igual a la ordenada del vértice "Yv". Coincide en este casocon el mínimo relativo o local. No hay máximos absolutos.Pero si el coeficiente cuadrático "a" es negativo, la parábola presentara un máximo absoluto igual a "Yv"Coincidiendotambién con el máximo relativo en el vértice. En este caso no hay mínimos absolutos. Considerandosolo el dominio natural de las siguientes funciones, se tiene:

Existen otras funciones que podrían no admitir un extremo absoluto aun restringiendo el dominio natural a uncierto intervalo acotado.Por ejemplo: en (−2, 2) la función dada no tiene ni máximo ni mínimo absoluto:

9. Rectas Asíntotas:Las rectas asíntotas son rectas a las cuales las funciones se aproximan "infinitamente" pero nunca las tocan.Pueden ser verticales, horizontales o inclusive oblicuas. En estas en general la función no está definida y alacercarnos a ellas la función adopta valores mayores que cualquier valor fijado arbitrariamente; decimos quetiende a "+∞". O bien valores menores que cualquier valor negativo Dejado en forma arbitraria; decimos que tiendea "−∞".Puede ser que por un lado tienda a "+∞" y por el otro a" −∞", o bien que tienda por ambos lados a uno de estosvalores.

La recta asíntota horizontal significa que cuando la variable independiente "x" se hace mayor que cualquier valorarbitrariamente fijado, o sea tiende a "∞", la función tiende a tomar un valor constante "y". Si una función no tieneasíntota horizontal puede tener una asíntota oblicua, o sea que al tender "x" a "∞", la función "y" también tiende a"∞", pero lo hace acercándose "infinitamente" a una recta de pendiente distinta de cero (oblicua).

PRÁCTICA 2Dadas las siguientes funciones, hallar: Dominio, imagen, Ceros, Conjuntos de Positividad y de Negatividad,Extremos Relativos (Máximos y Mínimos), Intervalos de crecimiento y de Decrecimiento, Ordenada al origen,Extremos Absolutos (Máximos y Mínimos) y Asíntotas.

PRÁCTICA 3

1. Dadas las siguientes funciones hallar su dominio analíticamente, y confirmar los resultados graficando con el simulador digital "Graficador de Funciones"

2. Represente gráficamente las siguientes funciones utilizando para ello el Simulador Digital "Graficador de Funciones", y de su grafica halle: Dominio, imagen, Ceros, Conjuntos de Positividad y de Negatividad, ExtremosRelativos (Máximos y Mínimos), Intervalos de crecimiento y de Decrecimiento, Ordenada al origen, Extremos Absolutos (Máximos y Mínimos) y Asíntotas.

1) F(x) = 4x2 – 28x + 16.2) F(x) = x3 - 5x2

3) F(x) = 2x

4) F(x) = ln x5) F(x) = log x6) F(x) = 2x+2

7) F(x) = 2–x

Teniendo en cuenta las gráficas elaboradas, responda:

a. .Es posible que una funciónlogarítmica tenga base negativa? En caso afirmativo, .Que cambios tendría la gráfica respecto a una función de base positiva? Muéstrelo con un ejemplo.b. Compare las gráficas obtenidas en 3 y 6. Que cambios ocurrieron? .Que puede predecir respecto a la variación del exponente?c. Compare las gráficas del punto 3 y 7. Que puede concluir?d. Entre las gráficas del punto 4 y 5, .Que existe en común? .Tiene el mismo dominio? .Y el rango?, Los puntos de corte con el eje X?

Consulte la definición de valor absoluto y realice las gráficas de las siguientes funciones:1) f(x) = |2x|2) f(x) = |ln x|3) f(x) = |log x|

Responda:a. .Que puede concluir respecto a los cambios entre f(x) = |log x| y f(x) = logx?b. .Que cambios sufrió el dominio y el rango de las funciones: f(x) = |2x| y f(x)= 2x? .Y para las funciones f(x) = ln x y f(x) = |ln x|DIRECCIONES DE INTERNET

Los videos que encuentras en las siguientes direcciones servirán de ayuda en la comprensión de este tema:Para informarse acerca de la importancia de las gráficas:Primera parte http://www.youtube.com/watch?v=lV0PF5R5988&feature=relatedSegunda parte http://www.youtube.com/watch?v=L-bRqfyRGK8&feature=relatedPara tutoría acerca del Graficador de Funciones http://www.youtube.com/watch?v=LIXcJLyoAeUPara encontrar el Dominio Analíticamentehttp://www.youtube.com/watch?v=c4TeoNGlcM0 Para encontrar el Rango Analíticamentehttp://www.youtube.com/watch?v=9Y69HypkcK0Para encontrar las Asíntotashttp://www.youtube.com/watch?v=LHWepipyAnA&feature=related