Análisis de estructuras de barras con leyes constitutivas...

PROYECTO FIN DE CARRERA

Departamento de Ingeniería de la Construcción y Proyectos de Ingeniería

Escuela Superior de Ingenieros

Universidad de Sevilla

Realizado por: Celia Tapia Martín

Dirigido por: José Ángel González Pérez

Sevilla, Junio 2013

Análisis de estructuras de barras con leyes constitutivas

no lineales

2

Agradecimientos:

A mi tutor José Ángel González Pérez, por su inestimable ayuda.

A mis padres, mi hermana y resto de la familia, por su apoyo incondicional.

A mis amigos, por su continuo ánimo.

1

ÍNDICE DE CONTENIDO

1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 5

OBJETIVOS DEL PROYECTO ............................................................................................ 7 1.1

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO ....................................................................................... 8 1.2

2 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................................ 9

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 9 2.1

FORMULACIÓN DEL ELEMENTO EULER-BERNOUILLI .................................................... 9 2.2

SECCIONES EN CAPAS .................................................................................................. 13 2.3

MÉTODO DE RESOLUCIÓN .......................................................................................... 14 2.4

DETERMINACIÓN ESTRUCTURAL ................................................................................. 17 2.5

3 MODELOS CONSTITUTIVOS ................................................................................................ 21

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 21 3.1

MODELOS CONSTITUTIVOS PARA EL ACERO ............................................................... 21 3.2

MODELO CONSTITUTIVO PARA EL HORMIGÓN .......................................................... 24 3.3

4 MÉTODOS DE ANÁLISIS ...................................................................................................... 27

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 27 4.1

ANÁLISIS EN RÉGIMEN PLÁSTICO ................................................................................ 28 4.2

5 ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE ACERO ........................................................... 35

OBJETIVO ..................................................................................................................... 35 5.1

ESTRUCTURA CONSIDERADA....................................................................................... 35 5.2

CÁLCULO DE ESFUERZOS ............................................................................................. 36 5.3

RESULTADOS NUMÉRICOS .......................................................................................... 39 5.4

5.4.1 DISCRETIZACIÓN 1 ............................................................................................... 39

5.4.2 DISCRETIZACIÓN 2 ............................................................................................... 40

5.4.3 DISCRETIZACIÓN 3 ............................................................................................... 41

5.4.4 DISCRETIZACIÓN 4 ............................................................................................... 42

5.4.5 DISCRETIZACIÓN 5 Y 6 ......................................................................................... 43

5.4.6 DISCRETIZACIÓN ÓPTIMA.................................................................................... 45

5.4.7 DISCRETIZACIÓN 7 ............................................................................................... 47

APLICACIÓN A VIGA BIEMPOTRADA ........................................................................... 48 5.5

6 ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO .................................. 51

OBJETIVO ..................................................................................................................... 51 6.1

2

ESTRUCTURA CONSIDERADA....................................................................................... 51 6.2

CÁLCULO DEL MOMENTO ÚLTIMO Y DE LOS PARÁMETROS DEL DIAGRAMA 6.3

MOMENTO-CURVATURA......................................................................................................... 52

RESULTADOS NUMÉRICOS .......................................................................................... 57 6.4

6.4.1 DISCRETIZACIÓN 1 ............................................................................................... 59

6.4.2 DISCRETIZACIÓN 2 ............................................................................................... 60

6.4.3 DISCRETIZACIÓN 3 ............................................................................................... 61

6.4.4 DISCRETIZACIÓN 4 ............................................................................................... 62

6.4.5 DISCRETIZACIÓN ÓPTIMA.................................................................................... 65

7 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS ...................................................................... 67

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 67 7.1

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS EN ESTRUCTURAS DE ACERO ...................................... 67 7.2

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS EN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO ............. 70 7.3

DESARROLLOS FUTUROS ............................................................................................. 72 7.4

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 73

ANEXO 1.PROBLEMA DE ACERO ................................................................................................ 75

ANEXO 2. PROBLEMA DE HORMIGÓN ARMADO ...................................................................... 79

3

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Viga en voladizo con elementos finitos 3D __________________________________ 5

Figura 2. Elemento lineal de dos nodos con 5 puntos de Gauss _________________________ 6

Figura 3. (a) Sección de acero en capas (b) Sección de hormigón en capas ________________ 7

Figura 4. Elemento Euler-Bernouilli ______________________________________________ 10

Figura 5. (a) Sistema de referencia global (b) Sistema local coordenadas ________________ 12

Figura 6. (a) Sección en capas (b) Elemento en secciones _____________________________ 13

Figura 7.Sentido del ángulo Ф(x) ________________________________________________ 14

Figura 8.Iteraciones en el método Newton-Raphson ________________________________ 16

Figura 9. Iteraciones con el método de la rigidez inicial ______________________________ 17

Figura 10.Cuadro de determinación del estado _____________________________________ 19

Figura 11.Curva σ-ε del acero___________________________________________________ 22

Figura 12.Tramo elástico del σ-ε del acero ________________________________________ 23

Figura 13. Respuestas elastoplásticas ____________________________________________ 23

Figura 14. Modelo del hormigón en compresión ____________________________________ 24

Figura 15.Ley de comportamiento con parámetros Kent-Park _________________________ 26

Figura 16. Clasificación de secciones (Tabla 20.1 de EAE) _____________________________ 28

Figura 17. Viga empotrada-empotrada con distribución de carga uniforme ______________ 29

Figura 18.Diagrama de flectores empotrado-empotrado _____________________________ 29

Figura 19. Sección donde ninguna fibra ha plastificado ______________________________ 29

Figura 20. Sección donde las fibras (A y C) más alejadas plastifican _____________________ 30

Figura 21. Sección parcialmente plastificada _______________________________________ 30

Figura 22. Sección plastificada en su totalidad _____________________________________ 30

Figura 23. Viga articulada-articulada _____________________________________________ 31

Figura 24.Mecanismo _________________________________________________________ 31

Figura 25 .Diagrama momento-curvatura ( del hormigón _______________________ 33

Figura 26. Desplazamientos en nodo libre para viga de acero _________________________ 36

Figura 27. Estructura a estudiar de acero _________________________________________ 36

Figura 28.Diagrama ménsula ___________________________________________________ 36

Figura 29.(a)Distribución de tensiones normales (b) Primera fibra plastifica (c) Plastifican más

fibras ______________________________________________________________________ 37

Figura 30. Tensiones normales con todas las fibras plastificadas. _______________________ 38

Figura 31.Discretización 1 en viga de acero ________________________________________ 39

Figura 32.M-δ de discretización 1 en viga de acero __________________________________ 40

Figura 33. Discretización 2 en viga de acero _______________________________________ 40

Figura 34. M- δ de discretización 2 en viga de acero _________________________________ 41


Figura 36. M- δ de discretización 3 en viga de acero _________________________________ 42


Figura 38.M- δ de discretización 4 en viga de acero _________________________________ 43

Figura 39.Discretización 5 _____________________________________________________ 44

Figura 40. Discretización 6 _____________________________________________________ 44

4

Figura 41.M- δ de discretizaciones 4, 5 y 6 ________________________________________ 45

Figura 42. Flectores para el cálculo de x __________________________________________ 45

Figura 43. Discretización óptima ________________________________________________ 46

Figura 44. M- δ de la discretización óptima ________________________________________ 46

Figura 45.Discretización 7 _____________________________________________________ 47

Figura 46.M- δ de discretizaciones 4,5,6, óptima y 7_________________________________ 47

Figura 47. Viga empotrada-empotrada ___________________________________________ 48

Figura 48. Diagrama de flectores empotrado-empotrado _____________________________ 49

Figura 49.M- δ de viga biempotrada _____________________________________________ 50

Figura 50. Elástica biempotrada _________________________________________________ 50

Figura 51. Estructura a considerar de hormigón ____________________________________ 52

Figura 52. Representación de las ecuaciones de equilibrio adimensionalizadas para flexión

simple _____________________________________________________________________ 53

Figura 53. Elemento i-j para cálculo de curvatura ___________________________________ 56

Figura 54. Comportamiento elastoplástico perfecto del acero B-400S ___________________ 57

Figura 55. Ley de comportamiento del hormigón con parábola rectángulo _______________ 58

Figura 56.Ley de comportamiento del hormigón con ablandamiento ___________________ 58

Figura 57. Discretización 1 en viga de hormigón ____________________________________ 59

Figura 58. M-χ de la discretización 1 en viga de hormigón ____________________________ 59


Figura 60.M-χ de la discretización 2 en viga de hormigón _____________________________ 60



Figura 63.Discretización 4 en viga de hormigón ____________________________________ 62


Figura 65. Porción de M-χ de la discretización 4 en viga de hormigón ___________________ 63

Figura 66. M-χ de la discretización 4 en viga de hormigón considerando ablandamiento ____ 64

Figura 67. Discretización óptima ________________________________________________ 65

Figura 68.M-χ de la discretización óptima en viga de hormigón con comportamiento parábola

rectángulo _________________________________________________________________ 65

Figura 69.M-χ de la discretización óptima en viga de hormigón con comportamiento con

ablandamiento ______________________________________________________________ 66

Figura 70. Resumen de las discretizaciones ________________________________________ 68

Figura 71. Influencia capas _____________________________________________________ 68

Figura 72. Influencia posición de los nodos ________________________________________ 69

Figura 73. Resumen de las discretrizaciones _______________________________________ 70

Figura 74. Cálculo del momento de fisuración incluyendo armaduras ___________________ 71

Figura 75. Comparativa de momento-curvatura ____________________________________ 72

5

INTRODUCCIÓN

Capítulo I

1 INTRODUCCIÓN

La finalidad que se persigue en el análisis de estructuras es reducir una estructura a un modelo

matemático que se ajuste lo mejor posible a la realidad para poder estudiar su

comportamiento. El problema que surge de esta búsqueda por aproximar de forma suficiente

la respuesta de la estructura es su elevado coste computacional en la mayoría de los

programas destinados para el cálculo de ellas.

Para el estudio de estructuras de barras con comportamiento no lineal del material, se puede

optar por realizar un análisis 3D de elementos finitos o bien, emplear un modelo simplificado

como el que se contempla en el presente proyecto.

En la siguiente figura, se representa un modelo de elementos finitos 3D para el cálculo de una

viga en ménsula con una carga aplicada en su extremo libre. En el sólido, cada triángulo

corresponde a un elemento finito de tipo tetraedro cuadrático con comportamiento no lineal,

lo que implica un alto coste computacional.

Figura 1. Viga en voladizo con elementos finitos 3D

La idea que se propone para aproximar de forma correcta la respuesta es usar elementos

finitos bidimensionales de dos nodos. Cada uno de estos elementos se define por un número

6

INTRODUCCIÓN

determinado de secciones, tantos como puntos de Gauss se utilizan para realizar la integración

en el elemento. Durante todo el proyecto, se emplean cinco puntos de Gauss para integrar

cada elemento independientemente del material empleado.

Figura 2. Elemento lineal de dos nodos con 5 puntos de Gauss

La sección de la barra localizada en cada punto de Gauss se encuentra dividida en capas para

poder estudiar el comportamiento que supone considerar leyes constitutivas no lineales.

En este proyecto se estudia una viga en ménsula. Este problema se analiza para dos de los

materiales más utilizados en la construcción, el acero y hormigón armado, considerando para

el estudio de ambos leyes constitutivas no lineales. Para realizar los análisis de ambos

problemas se proponen los siguientes modelos no lineales:

Acero:

Se estudia el comportamiento del acero empleando una ley constitutiva formada por

un tramo lineal, que finaliza en el límite elástico y por un tramo que recoge el

comportamiento plástico de este material. En este caso, se considera que no hay ni

endurecimiento isotrópico ni cinemático, de forma que este segundo tramo se

describe mediante una línea horizontal.

Hormigón:

La evolución del hormigón se estudia mediante el modelo de daño de Kent-Park

modificado. Este modelo considera que el comportamiento del hormigón en

compresión se puede definir mediante tres tramos. El primer tramo se describe

mediante una parábola hasta alcanzar una deformación máxima denominada de

fluencia. A partir de esta deformación el material sufre una pérdida de resistencia. El

hormigón confinado puede alcanzar deformaciones superiores a esta deformación de

fluencia para valores de tensiones inferiores. Este fenómeno se refleja en el segundo

tramo y se conoce como ablandamiento por deformación. Se define mediante una

recta de pendiente Z en la que influye el tamaño de la probeta ensayada. El último

tramo se describe mediante una recta horizontal y considera la capacidad del

hormigón para soportar esfuerzos cuando existen grandes deformaciones. Este

7

INTRODUCCIÓN

modelo también recoge el comportamiento a tracción de este material, con su

respectiva pendiente de reblandecimiento.

Como se cita anteriormente, para modelar el comportamiento de las secciones de los

materiales con leyes constitutivas no lineales en barras bidimensionales, se considera que

estas secciones se encuentran discretizadas en un número finito de capas con las

características mecánicas del material estudiado. De esta forma, la determinación del estado

de la estructura se realiza mediante un proceso iterativo en tres fases, a nivel de sección,

elemental y estructural. En primer lugar se obtienen los desplazamientos elementales y a

partir de ellos se calcula la deformación de la sección. La sección se encuentra dividida en un

cierto número de capas y cada una de ellas tiene asociada una ley constitutiva, a partir de las

cuales se pueden calcular el vector de fuerzas de la sección y la matriz de rigidez de la sección.

Una vez obtenidas las fuerzas internas y la matriz de rigidez a nivel seccional, se obtienen a

nivel elemental para posteriormente ensamblarlas y obtenerlas a nivel estructural. El proceso

de resolución es iterativo y consideramos que se ha alcanzado la solución cuando se cumple la

restricción de tolerancia del error establecida para el problema en particular.

Figura 3. (a) Sección de acero en capas (b) Sección de hormigón en capas

OBJETIVOS DEL PROYECTO 1.1En el presente proyecto se establecen los siguientes objetivos:

Simulación de barras bidimensionales de materiales con ley constitutiva no lineal.

Captar la influencia de la variación del número de elementos, posición de los nodos

que definen estos elementos y el número de capas en las que se encuentra dividida la

sección, pues la precisión de la solución depende de la finura de la discretización

empleada.

Para el caso concreto del acero, encontrar una discretización óptima para aproximar la

respuesta en el estudio de una estructura cualquiera, basándose en las conclusiones

obtenidas del segundo objetivo. Por tanto, se proporciona un número de capas

suficiente y un número de elementos adecuado con una cierta posición para analizar

una estructura de comportamiento desconocido.

8

INTRODUCCIÓN

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO 1.2En los Capítulos II, III y IV se introduce la teoría no-lineal de elementos finitos, mientras que en

el Capítulo V y VI, se aborda el problema de una viga en ménsula trabajando a flexión simple,

particularizado para el caso del acero y el hormigón armado respectivamente. La finalidad del

estudio de la viga en voladizo es analizar una estructura plana de barras cualquiera compuesta

por dichos materiales. El Capítulo VII recoge las conclusiones obtenidas de ambos problemas.

Los anexos 1 y 2 contienen los ficheros de entrada para resolver un problema de acero y

hormigón armado respectivamente.

En el Capítulo II, se explican el tipo de elemento finito empleado, el método de resolución y la

determinación del estado.

En el Capítulo III, se representan y explican las respectivas curvas tensión-deformación para el

caso concreto del acero y el hormigón armado, empleando para ello el modelo de

endurecimiento y el de Kent-Park modificado.

El método de análisis no lineal seguido para resolver los problemas de estos dos materiales se

explica en el Capítulo IV.

Los Capítulos V y VI analizan el caso concreto de una viga en voladizo considerando el

comportamiento no lineal de los materiales que la componen. Se realiza un estudio de la

influencia que tiene la variación de una serie de parámetros. Además, en el análisis no lineal de

estructuras de acero, se consigue un patrón para el estudio de este tipo de estructuras con

comportamiento desconocido.

9

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Capítulo II

2 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

INTRODUCCIÓN 2.1El método de los elementos finitos (MEF) consiste en la división de una estructura en

elementos donde se aproxima la solución. Dichos elementos quedan unidos entre sí por nodos

donde se plantea el cumplimiento de las ecuaciones. En los ejemplos utilizados en el proyecto

se utiliza el elemento barra de Euler-Bernouilli, cuya formulación se explica en el siguiente

apartado.

Las leyes constitutivas de los materiales utilizados son no lineales, por lo que se realiza un

análisis iterativo en secciones divididas en capas. Se explica por tanto el cálculo de las

deformaciones en la sección y el método de resolución empleado.

Para resolver problemas empleando este tipo de elemento se puede emplear el método de los

desplazamientos o rigidez y el método de las fuerzas o de la flexibilidad, donde la diferencia

principal es que en el primero las incógnitas son los desplazamientos mientras que en el

segundo son las fuerzas.

Estos problemas de análisis no lineales y secciones en capas se resuelven empleando el

método de los desplazamientos, cuyas incógnitas son los movimientos de los nodos, a partir de

los cuales se conoce el movimiento de cualquier punto del elemento. Una vez que se conoce

esto último, aplicando las condiciones de equilibrio, compatibilidad y las leyes constitutivas del

material, se obtienen las tensiones, las deformaciones y los esfuerzos en cualquier punto del

elemento. Se escoge este método porque su formulación es menos complicada, ya que el

método de las fuerzas necesita iterar para obtener las deformaciones de los modelos

constitutivos σ=σ(ε) y porque es el método más utilizado en la literatura.

FORMULACIÓN DEL ELEMENTO EULER-BERNOUILLI 2.2El elemento Euler-Bernouilli tiene tres grados de libertad en cada nodo, una traslación en el

eje X, otra en el eje Y y una rotación alrededor del eje Z, tal y como se puede ver en la Figura 4.

10


Figura 4. Elemento Euler-Bernouilli

Además de aceptar las hipótesis de pequeños desplazamientos y deformaciones, estos

elementos no tienen en cuenta la deformación transversal por cortante, y por tanto, se asume

que secciones planas permanecen planas (Teoría de Euler-Bernouilli).

La integración longitudinal para estos elementos se realiza con la cuadratura de Gauss-

Legendre. Esto es que el elemento viene caracterizado por tantas secciones transversales

como puntos de Gauss, donde se itera para aproximar la respuesta. Escogiendo un mayor

número de puntos de Gauss, aumentaremos el número de secciones y por tanto, mejoraremos

la aproximación del elemento. En el proyecto actual, cada elemento tiene cinco secciones.

Para obtener las tensiones, deformaciones y esfuerzos en cualquier punto del elemento se

deben conocer las ecuaciones de compatibilidad, la ley constitutiva y el equilibrio.

Compatibilidad:

Los desplazamientos de la sección ( vienen determinados por los desplazamientos

nodales ( a través de las funciones de forma de la siguiente manera:

( { ( (

} ( [ ]

( [ ]

Donde ( es la matriz de las funciones de interpolación. Se asume que los

desplazamientos axiales son descritos por funciones de interpolación lineales, mientras

que las funciones de los desplazamientos transversales las definen polinomios de

tercer grado (Legendre) .

( [ (

( ( (

( ( ]

Con:

(

(

(

(

(

(

11


Se acepta la hipótesis de pequeños desplazamientos, de forma que se asume que

secciones planas permanecen planas. Por tanto, la deformación de la sección está

compuesta por una deformación axial y una curvatura respecto al flector, que se

explica con más detalle en el siguiente apartado.

( { ( (

} ( ( (1)

Donde ( se obtiene al realizar las derivadas apropiadas a la matriz de las

funciones de interpolación ( ( ), quedando de la siguiente forma:

( [ (

( ( (

( ( ]

con:

(

(

(

(

(

(

Ley constitutiva:

Se relaciona el vector de fuerzas de la sección ( con la deformación de la sección

( mediante la matriz de rigidez de la sección ( de la siguiente manera:

( { ( (

} ( ( (2)

donde la ( toma la siguiente expresión para el caso lineal-elástico o para aquel

que no tenga la sección dividida en capas:

( [ ( (

( ( ]

con ( ( ( módulo de la elasticidad, sección transversal y momento de

inercia en z de la sección respectivamente.

Mientras que para el caso de una sección dividida en capas, se tiene la siguiente

expresión que se explicará en la siguiente sección:

( ∑[ ( ( ( (

( ( ( ( ]

Equilibrio:

Se establece el equilibrio aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV). Este

principio mantiene que una estructura, sobre la que actúa un sistema de cargas

externas, está en equilibrio, si al imponer unos desplazamientos virtuales compatibles

con las condiciones en los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas externas sobre

los desplazamientos virtuales

es igual al trabajo que realizan las tensiones sobre

12


las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales, ( . De esta

forma, se tiene la siguiente relación entre las fuerzas nodales y la deformación de la

sección:

∫

( (

utilizando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

∫

(

( (

∫ ( ( (

∫ ( ( (

(

(

Por tanto, queda que la matriz rigidez del elemento es igual a:

∫ ( ( (

Los desplazamientos y fuerzas nodales se pueden expresar en el sistema de referencia global o

local del elemento. La transformación de coordenadas entre ambos sistemas, se realiza

mediante la matriz de rotación :

Figura 5. (a) Sistema de referencia global (b) Sistema local coordenadas

[

]

De manera que si los desplazamientos y fuerzas nodales en el sistema de referencia global son

y , se transforman multiplicando por la matriz de giro en los desplazamientos y fuerzas

nodales en el sistema de referencia local de la siguiente forma:

13


con:

( [ ]

( [ ]

( [ ]

( [ ]

La matriz de rigidez en el sistema de referencia global es:

SECCIONES EN CAPAS 2.3Para considerar una variación no lineal de la deformación a lo largo de la sección transversal,

no se pueden utilizar elementos tipo barra clásicos. Sin embargo, si se puede emplear el

elemento de Euler-Bernouilli considerando las secciones divididas en un número de capas, tal y

como se muestra en la Figura 6(a).

Figura 6. (a) Sección en capas (b) Elemento en secciones

Haciendo uso de resistencia de materiales y considerando las hipótesis de pequeñas

deformaciones y desplazamientos, se puede aproximar el campo de desplazamientos para

( de la siguiente forma:

( ( (

|

( [ ( ] ( (

Se considera que la sección transversal es muy pequeña comparada con la longitud, y por

tanto, los desplazamientos se pueden aproximar mediante un desarrollo en serie en el

14


baricentro de la sección. En la ecuación anterior, se han retenido sólo los términos lineales y se

considera que el ángulo ( (que representa al giro) es suficientemente pequeño, por lo que

[ ( ] se puede aproximar a ( . El signo negativo proviene del criterio de signos

considerado para ( y para (

, de forma que el segundo es positivo si se produce un

giro de dy en sentido horario, mientras que el primero es positivo si gira de forma antihoraria.

Figura 7.Sentido del ángulo Ф(x)

De lo que se deduce que el campo de deformaciones aproximado para (

( (

(

(

( (

Extrapolando al problema en el que las secciones se encuentran divididas en capas, se tiene

que la deformación en una capa de la sección es:

[ ] (

Por tanto, la tensión en cada capa será:

(

donde es una función dada por la ley constitutiva del material.

A partir de estas tensiones, se puede calcular la distribución de la tensión y la matriz de rigidez

en la sección, ensamblando las ecuaciones para todas las capas.

( ∑[

]

( ∑[ ( ( ( (

( ( ( ( ]

MÉTODO DE RESOLUCIÓN 2.4La forma de resolver un problema no lineal es aproximando la solución utilizando un método

iterativo y para ello se escoge el método iterativo de Newton- Raphson modificado. Este

método se basa en aproximar la solución en cada paso, utilizando para ello la solución del paso

anterior.

Puesto que la solución es dependiente de la historia de la carga, ésta se aplica en incrementos

que se representan con el subíndice n y se denominan pasos. Dentro de cada paso hay una

15


serie de iteraciones necesarias para converger a la solución que se representan con el

subíndice k.

La ecuación de equilibrio que gobierna un sistema no lineal se puede expresar a nivel

estructural de la siguiente forma:

{

} [

] {

}

donde el subíndice t implica que se conocen las fuerzas nodales mientras que el subíndice u

indica que los desplazamientos son conocidos.

Para satisfacer el equilibrio, las fuerzas externas deben ser iguales a las internas, o lo que es lo

mismo:

El incremento de desplazamiento entre el paso n-1 y n es:

Se pueden escribir dentro del paso n las distintas iteraciones de la siguiente forma:

Por tanto, si se escribe en forma incremental la ecuación de equilibrio para la iteración k en el

paso n queda:

{

} {

} [

] {

}

El método de Newton-Raphson es el más utilizado para la resolución de problemas no lineales

por ser el más simple. Sin embargo, no es el empleado en este proyecto. En este trabajo se

aplica el método de Newton-Raphson modificado, que difiere del anterior en que para la

convergencia a la solución se emplea la matriz de rigidez inicial en todas las iteraciones,

mientras que el primero, recalcula en cada iteración una nueva matriz de rigidez.

El método de Newton-Raphson busca una solución para la ecuación de equilibrio siguiente:

( (

( (3)

Asumiendo que se conoce y desarrollando la serie de Taylor de ( :

( ( )

|

(

)

Sustituyendo la ecuación (3) en el desarrollo y considerando que el vector de fuerzas externas

no depende de los desplazamientos se obtiene:

16


|

( )

( (

Se determina el incremento de desplazamiento con la siguiente expresión:

[

]

(4)

donde:

|

Por tanto, la solución se mejora con:

En la Figura 8 se pueden ver las iteraciones que tiene lugar en un paso de carga cuando se

emplea el método de Newton-Raphson.

Figura 8.Iteraciones en el método Newton-Raphson

Se supone conocido el desplazamiento y se calcula la matriz de rigidez. Una vez

obtenida ésta se comparan las fuerzas externas con las internas, es decir, que tenga un

valor muy próximo a cero. Si este valor no está lo suficientemente próximo a cero, se calcula

un incremento del desplazamiento mediante la ecuación (4) y se realiza así un proceso

iterativo, que finaliza cuando tenga un valor muy cercano a cero y que se considere

suficientemente pequeño.

17


Como se explica anteriormente, el método de Newton-Raphson tiene un alto coste

computacional, pues recalcula la matriz de rigidez en cada iteración. Por tanto se buscan

soluciones más económicas aunque ello suponga una convergencia más lenta.

El método de Newton-Raphson modificado se diferencia del anterior citado en que utiliza

siempre la matriz de rigidez inicial. Por tanto, se tiene que la mejora es:

[ ]

Con las condiciones iniciales:

donde es constante durante todo el proceso iterativo correspondiente al paso de tiempo n.

Figura 9. Iteraciones con el método de la rigidez inicial

DETERMINACIÓN ESTRUCTURAL 2.5La determinación del estado estructural consiste en obtener las fuerzas internas a nivel

estructural correspondientes a los desplazamientos nodales. Esto se realizada en tres fases:

determinación del estado de la sección, del elemento y de la estructura, que se definen a

continuación.

18


DETERMINACIÓN DEL ESTADO DE LA SECCIÓN:

Las fuerzas internas de la sección ( se determinan a partir de las

deformaciones de la sección ( , y éstas a su vez, han sido determinadas a través

de los desplazamientos nodales ( .

[ ] (

(

( ∑[

]

( { ( (

} ( (

( { ( (

} ( (

( ∑[ ( ( ( (

( ( ( ( ]

DETERMINACIÓN DEL ESTADO DEL ELEMENTO:

La matriz de rigidez y fuerzas internas

de cada elemento se obtienen a partir

de las fuerzas internas de la sección para cada elemento ( , obtenidas en la

primera fase.

∫ (

(

∫ ( ( (

DETERMINACIÓN DEL ESTADO DE LA ESTRUCTURA:

Una vez obtenidas las matrices de rigidez y fuerzas internas de cada elemento,

se ensamblan y se obtienen la matriz de rigidez y fuerzas internas de la

estructura. Donde

Finalizada la determinación del estado de la estructura, se comparan las fuerzas internas

con las fuerzas externas

, cuya diferencia se denomina residuo . El proceso es

iterativo, así que se impone una tolerancia para ese residuo, de forma que si el residuo es

mayor a la tolerancia impuesta se sigue iterando.

19


El método de Newton-Raphson modificado realiza las operaciones en coordenadas globales,

por tanto para la determinación de estado de la estructura se emplea la matriz de giro

citada anteriormente. En el cuadro siguiente se muestra un resumen de la determinación

del estado.

Figura 10.Cuadro de determinación del estado

20


21

MODELOS CONSTITUTIVOS

Capítulo III

3 MODELOS CONSTITUTIVOS

INTRODUCCIÓN 3.1En este capítulo se describen los dos modelos constitutivos que se han considerado en el

proyecto para estructuras de acero y hormigón. Por tanto, se distingue entre:

Modelo elástico y elastoplástico:

Además del modelo elástico se considera el modelo elastoplástico. Con este último

modelo se puede considerar un comportamiento del material endurecido,

elastoplástico perfecto o reblandecido. En este proyecto se considera que el acero

tiene un comportamiento elastoplástico perfecto, es decir, el tramo plástico se

describe mediante una recta horizontal.

Modelo para el hormigón:

El programa utilizado permite varias opciones para representar este material, pero

solo se explica el modelo empleado, el cual se corresponde con el modelo de Kent-

Park modificado. Este modelo permite considerar el comportamiento a compresión

del hormigón según la parábola rectángulo o bien, considerando una pérdida de

resistencia a partir de una cierta deformación denominada deformación de fluencia.

MODELOS CONSTITUTIVOS PARA EL ACERO 3.2La curva σ-ε del acero típica en un ensayo de tracción tiene la forma representada en la

siguiente figura[10].

22


Figura 11.Curva σ-ε del acero

El tramo OA es un tramo de comportamiento elástico-lineal, donde el material es capaz de

recuperar su forma y tamaño inicial una vez retirada la carga (reversibilidad total de la carga).

En este tramo se cumple la proporción que marca la ley de Hooke ( ), de ahí que se

denomine también lineal. Finaliza en el límite proporcional (σp).

El tramo AB es elástico, por lo que la línea de descarga que seguiría si se dejara de aplicar la

carga sería OAB, pero ya no es lineal, pues se pierde la proporción que hay en la ley de Hooke

citada anteriormente. Este tramo suele ser muy pequeño, siendo a veces difícil de identificar

en el diagrama real. Finaliza cuando la tensión alcanza el límite elástico (σy).

El tramo BC se denomina de fluencia o de cedencia. En esta zona se aprecia que aumenta la

deformación siendo la tensión constante.

El tramo CDE es el de endurecimiento por deformación. El cuerpo ya no es elástico y por tanto,

hay una deformación permanente, pues si se deja de aplicar la carga, el cuerpo no vuelve a su

forma original. La línea de descarga que sigue está representada en la Figura 11 en color rojo.

De esta forma el cuerpo tiene una deformación total , una parte la recupera (la deformación

elástica ) y otra parte es permanente (deformación permanente ). Finaliza con el límite de

rotura (σu).

El tramo EF se denomina zona de estricción. Durante éste, el diámetro de la probeta

disminuye, y se necesita una carga menor para llevar a cabo la rotura de la probeta.

23


Modelo elástico:

Si se considera el modelo elástico, se tiene que la ley de comportamiento sólo

presenta el tramo OAB citado anteriormente. Este modelo se incluye para realizar una

comparativa, pero no sirve para el cálculo plástico, pues carece de este tramo.

Figura 12.Tramo elástico del σ-ε del acero

Modelo de elastoplástico:

El modelo elastoplástico recoge tres posibilidades en función de la pendiente del

tramo plástico. Si se tiene una pendiente positiva, se dice endurecido, mientras

que si es negativa se denomina reblandecido. El caso estudiado en el proyecto es el

perfectamente plástico, que queda definido por una pendiente nula.

Figura 13. Respuestas elastoplásticas

Tenemos una bilineal con una pendiente inicial igual al módulo elástico (E) y una segunda

pendiente igual a Etan, que se obtiene a partir del módulo elástico y del módulo plástico (H)

según la siguiente expresión:

(

Donde y son los módulos de endurecimiento isotrópico y cinemático

respectivamente.

24


Esta respuesta se ajusta más a la realidad en los aceros estructurales, pero complica los

cálculos en el análisis plástico, pues lleva a la no convergencia. Por ello, en los ejemplos

tratados en el presente proyecto, se utiliza un modelo con una respuesta bilineal propia de un

material perfectamente plástico, donde es cero con .

En este caso, la deformación total está compuesta por un tramo elástico que se recupera y un

tramo plástico que permanece.

MODELO CONSTITUTIVO PARA EL HORMIGÓN 3.3En las últimas décadas se han desarrollado numerosos modelos constitutivos basados en

ensayos experimentales para representar el comportamiento del hormigón. Los resultados

obtenidos indican que se deben considerar al menos:

-La degradación de la rigidez en las ramas de carga y descarga.

-El ancho de los ciclos de histéresis.

-La disminución de la resistencia.

Además, se ha podido demostrar experimentalmente que el confinamiento del hormigón

mejora las condiciones de tensión-deformación para deformaciones elevadas, haciéndolo

dúctil. El confinamiento consiste en el uso de acero como refuerzo transversal, de forma que el

refuerzo se activa cuando se llega a las proximidades de la resistencia uniaxial. Cuando esto

ocurre, las deformaciones transversales son muy elevadas debidas al agrietamiento interno

progresivo, y el hormigón debe apoyarse en el refuerzo transversal. La ductilidad y resistencia

se verán afectadas tanto por el tipo de estribos como de su separación.

El modelo seleccionado para aproximar la respuesta del hormigón, es el propuesto por Kent-

Park, que asume un diagrama de tensión-deformación para la compresión como el mostrado

en la siguiente figura:

Figura 14. Modelo del hormigón en compresión

25


En este diagrama se consideran tres zonas distinguidas por los puntos ( y

( .

Región OA :

[

(

)

]

Se trata de una parábola que supone que el acero de confinamiento no afecta al

diagrama tensión-deformación, donde y son el esfuerzo y deformación a

compresión por aplastamiento en compresión.

Región AB:

[ ( ]

Es una línea recta representada por la ecuación anterior donde:

√

Siendo h el ancho del núcleo confinado medido desde el exterior de los aros y el

espaciado entre estribos.

Región BC:

Considera la capacidad del hormigón para soportar esfuerzos a deformaciones muy

elevadas.

En el modelo utilizado se consideran los parámetros que vienen representados en la siguiente

figura, donde es la pendiente de la rama de ablandamiento por fisuración, es la

deformación límite a compresión (suele estar próxima a 0.002 para hormigones con resistencia

máxima a compresión inferior a 50 MPa), la tensión límite a compresión o resistencia

máxima a compresión, y deformación y tensión de aplastamiento a flexión simple

respectivamente y λ relación entre la pendiente de descarga en y la pendiente dada por el

módulo de deformación ( ), se trata por tanto del parámetro que controla la degradación de

la rigidez y es la resistencia máxima a tracción. Para este modelo se exige que los datos

referidos a compresión se introduzcan negativos mientras que los referidos a la tracción se

introducen positivos.

26


Figura 15.Ley de comportamiento con parámetros Kent-Park

27

MÉTODOS DE ANÁLISIS

Capítulo IV

4 MÉTODOS DE ANÁLISIS

INTRODUCCIÓN 4.1Para todo análisis de una estructura se deben satisfacer las condiciones de equilibrio y de

compatibilidad, y para ello, se deben tener en cuenta las leyes de comportamiento de los

materiales que la forman.

Los métodos de análisis global de estructuras se clasifican en:

Análisis lineales: donde se consideran leyes de comportamiento elástico-lineales y

equilibrio sobre la estructura indeformada (teoría de primer orden).

Análisis no lineales: tienen en cuenta la no linealidad mecánica, es decir, consideran

un comportamiento no lineal de los materiales, y/o la no linealidad geométrica, que

asume el equilibrio sobre la estructura deformada (teoría de segundo orden).

En este proyecto sólo se consideran las no linealidades constitutivas. Como se ha dicho en el

Capítulo II, el caso de esta no linealidad implica una dependencia de la historia de las cargas y

por tanto, se procede de forma incremental, de manera que se recorren su tramo elástico y

plástico hasta el agotamiento de la sección. Para llegar a una solución que cumpla con las

condiciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento se realiza un proceso iterativo, de

forma que estas condiciones se comprueban en un cierto número de secciones. Además se

debe realizar una discretización lo suficientemente fina para garantizar una correcta

aproximación de la solución.

En este capítulo se introducen los fundamentos del análisis plástico de estructuras de acero y

se comentan las consideraciones que hay que tener para el hormigón en dicho cálculo.

Además se explica la teoría utilizada para el análisis no lineal de barras de hormigón armado.

Se detalla más el análisis plástico en el acero porque en este material se puede ver de forma

ilustrativa la evolución hasta la plastificación de una sección, es decir, la formación de la rótula

plástica. Sin embargo, en el hormigón armado el concepto de rótula plástica queda bastante

28


limitado debido a la fragilidad del hormigón, por lo que para el caso de este último material, se

explica el diagrama momento curvatura ( frente al cual realizaremos la comparativa de

los resultados numéricos.

ANÁLISIS EN RÉGIMEN PLÁSTICO 4.2El análisis global elástico está basado en un comportamiento lineal para la ley de tensión

deformación, mientras que el análisis global plástico considera que la ley de comportamiento

además tiene un tramo plástico, lo que lo hace no lineal. Este último sostiene que una

estructura construida con materiales de características dúctiles adecuadas, puede seguir

soportando cargas aunque algún punto del material haya abandonado el régimen elástico. Si

se siguen incrementando las cargas, habrá más secciones que se conviertan en rótulas

plásticas hasta que la estructura se convierte en un mecanismo y pierde la capacidad de

resistir las cargas. El diseño en régimen elástico resulta demasiado conservador y por tanto,

menos económico. El diseño en régimen plástico obtiene valores más aproximados de la carga

de colapso.

Una forma de abordar el cálculo plástico es según la teoría de las rótulas plásticas que

permiten que la distribución de esfuerzos internos en la estructura se efectúe de forma

completa. Por tanto, según esta teoría cuando tenemos una estructura hiperéstatica y su

sección más desfavorable plastifica, podemos seguir incrementando las cargas,

correspondiendo un momento resistente a esta sección que permanece inalterado e igual al

momento resistente plástico.

Para el caso del acero, se debe saber que la Instrucción de Acero Estructural (EAE) [8] realiza

una clasificación de las secciones que permite identificar la influencia de los fenómenos de

inestabilidad local sobre su resistencia y su capacidad de rotación. De acuerdo con la Figura 16,

para poder realizar el cálculo plástico la sección debe ser de clase 1.

Figura 16. Clasificación de secciones (Tabla 20.1 de EAE)

29


En secciones de clase 2, 3 o 4 no se puede aplicar el cálculo plástico pues sus capacidades

están por debajo de las exigencias de este tipo de análisis.

Para entender el proceso que se sigue en el cálculo plástico, se considera la estructura

hiperestática mostrada en la Figura 17 [6].

Figura 17. Viga empotrada-empotrada con distribución de carga uniforme

Cuyo diagrama de flectores es el siguiente:

Las secciones más desfavorables en una viga biempotrada con una distribución uniforme de

carga son la 1 y la 2, por tanto, éstas son las primeras en alcanzar el momento resistente

plástico. Inicialmente, se tiene que con la carga aplicada, ninguna sección de la viga plastifica,

es decir, se está en el tramo elástico de la ley de comportamiento, tal y como se puede ver en

la siguiente figura.

Figura 19. Sección donde ninguna fibra ha plastificado

donde las fibras más alejadas, representadas por la letra A y C aun no han plastificado. Si se

aumenta la carga se tiene:

Figura 18.Diagrama de flectores empotrado-empotrado

30


Figura 20. Sección donde las fibras (A y C) más alejadas plastifican

Las fibras más alejadas de estas secciones 1 y 2 alcanzan el límite elástico, por lo que, desde el

punto de vista del cálculo elástico no se podría seguir aumentando la carga. Sin embargo, si se

realiza un análisis plástico, sí se pueden incrementar las cargas. Por tanto, si continuamos con

la evolución creciente de las cargas, se tiene que más fibras de estas dos secciones 1 y 2

alcanzan el límite elástico.

Figura 21. Sección parcialmente plastificada

Hasta que se aumente la carga de tal forma que toda la sección se encuentre plastificada y se

forme la denominada rótula plástica.

Figura 22. Sección plastificada en su totalidad

Una vez llegado a que ambas secciones han plastificado, se puede estudiar la viga

considerándola articulada-articulada y esta estructura sigue siendo capaz de soportar cargas,

por tanto, se puede seguir incrementando respecto a la carga plástica que agota las

31


secciones 1 y 2. Basta considerar que estas secciones están sometidas a un momento

resistente plástico que no se puede ver incrementado, condición que queda impuesta al

considerar la rótula.

Figura 23. Viga articulada-articulada

Se puede seguir aumentando la carga hasta que la siguiente sección más desfavorable

plastifique, en este caso la sección 3. La plastificación de esta sección colapsa de la estructura,

pues es ya un mecanismo y por tanto, incapaz de soportar cargas.

Figura 24.Mecanismo

Las estructuras de hormigón armado se han calculado tradicionalmente considerando un

comportamiento elástico-lineal de los materiales que lo componen. Realizando este tipo de

estudio, se calculan los esfuerzos internos y a partir de ellos se comprueba la resistencia

estructural. Sin embargo, este comportamiento elástico-lineal se aleja del que se ha podido

observar experimentalmente debido a las irregularidades del hormigón, la fisuración a

tracción, la respuesta no lineal a compresión,…

Como se dijo con anterioridad al inicio de este apartado, el diseño en régimen plástico permite

obtener valores más aproximados de la carga de colapso, siendo esta carga mayor que la

obtenida en régimen elástico, lo que supone cierto ahorro económico. Si se considera el

análisis plástico para estructuras de hormigón armado se tiene que cuando en la sección más

desfavorable se produce la plastificación de la armadura, su rigidez disminuye enormemente,

formándose lo denominado rótula plástica. Esta rótula plástica no puede absorber más

momento y traspasa esos esfuerzos a otras secciones que están menos solicitadas.

Anteriormente se expuso que la EAE clasifica las secciones, de forma que las de clase 1 son

aptas para considerarlas como rótulas plásticas. Sin embargo, la capacidad de rotación en el

hormigón es limitada debida a la fragilidad que éste presenta, por lo que para aprovechar al

máximo esa capacidad de rotación y poder realizar un cálculo mejorado de los esfuerzos se

realiza un análisis no lineal.

Este análisis no lineal presenta inconvenientes, pues se debe conocer la armadura en cada

sección de la estructura y se deben realizar iteraciones, puesto que no existe esa

32


proporcionalidad entre causa y efecto. Este análisis se inicia calculando los esfuerzos con un

análisis elástico lineal y luego se obtiene una nueva distribución de rigideces que altera las

leyes de esfuerzos, considerando el estado de los materiales, fisurado, comprimido,

plastificado,… Como se puede comprobar, se trata de un procedimiento largo y con alta

probabilidad de error en el cálculo, por lo que se recurre a uno simplificado, denominado

análisis lineal con redistribución de esfuerzos, solo aplicable para la comprobación de ELU. Este

análisis propone calcular los esfuerzos considerando un comportamiento elástico lineal y luego

modificarlos. Esta modificación consiste en reducir los momentos en las secciones más

solicitadas y aumentarlos en las que estén menos requeridas, de forma que se cumpla siempre

el equilibrio. De esta forma, se obtienen unas leyes más próximas a la realidad. Para poder

realizar este tipo de análisis es imprescindible que la estructura posea la ductilidad suficiente,

pues como se ha dicho antes, la capacidad de rotación plástica para el hormigón es limitada.

Por tanto, para hablar de rótula plástica en el hormigón armado, las normativas proponen

ciertas recomendaciones, donde las más habituales son el uso de aceros con características

especiales de ductilidad, para el caso de que el agotamiento de la estructura se deba al de las

armaduras, y la limitación de la profundidad de la fibra neutra [3].

Para realizar la comparativa de los resultados obtenidos con los resultados numéricos se

estudia en profundidad el diagrama momento curvatura. La principal fuente de error en los

métodos de cálculo lineal, se tiene al considerar que la relación momento-curvatura tiene la

siguiente expresión,

que propone a la curvatura como función lineal de momento flector actuante sobre la sección

considerada de la pieza. Considerar una relación lineal en el diagrama dista mucho de la

realidad [1].

En primer lugar, el módulo de la deformación del hormigón se representa con la siguiente

expresión:

√ Con en MPa

pero en la realidad este parámetro depende de otros factores además de la resistencia

característica a compresión del hormigón, como puede ser la relación áridos-cemento (A/C).

En segundo lugar, para el momento de inercia hay que tener en cuenta las fisuras que se

originan en este material. En una viga fisurada se debe tener en cuenta que en las fisuras el

esfuerzo de tracción para equilibrar el momento, ha de ser proporcionado por la armadura,

por lo que las tensiones en ellas son máximas. Sin embargo, alejándose de las fisuras, la

armadura reduce sus tensiones y parte se las transfiere al hormigón. Por ello, el momento de

inercia en el hormigón varía a lo largo de la luz si se encuentra fisurado, es decir, el momento

al que está sometido supera el momento de fisuración. La expresión de la inercia equivalente

es la siguiente:

(

)

[ (

)

]

33


Donde es el momento fisurado, la inercia bruta e la inercia fisurada, cuyas

expresiones se detallan en el Capítulo VI.

En la siguiente figura se muestran tres tipos de comportamiento del hormigón armado:

comportamiento lineal, comportamiento dúctil y comportamiento con poca deformación.

Figura 25 .Diagrama momento-curvatura ( del hormigón

El primero, representado en color verde, corresponde a la idealización del

comportamiento de una pieza de hormigón armado y asume que cuando el acero

alcanza su límite elástico la sección y la pieza se agotan, es decir, se alcanza el punto

A. La pendiente de este tipo de comportamiento ese corresponde con ,

donde es la inercia sin fisurar y homogeneizada, que tiene en cuenta la inercia

bruta y la inercia que aportan las armaduras.

El comportamiento representado con la línea de trazo grueso negro, muestra el

comportamiento típico de una pieza de hormigón armado sometida a flexión

mediante un proceso de carga monótonamente creciente. Debido a los fenómenos de

fisuración, retracción y fluencia, el diagrama de momento-curvatura no se considera

lineal. En este comportamiento son identificables tres tramos. El primero corresponde

a una rigidez igual que la del caso lineal . El hormigón aún no se ha fisurado por lo

que la sección trabaja íntegramente. Este tramo finaliza cuando se alcanza el

momento de fisurado ( , representado en el diagrama por la letra B. El segundo

34


corresponde a la fase fisurada del hormigón. Se inicia cuando la tensión en la fibra

más traccionada del hormigón alcanza su resistencia máxima a tracción. El momento

de fisuración se propaga y las tracciones que no puede resistir el hormigón son

absorbidas para las armaduras de acero, aumentando estas fuertemente su tensión.

Este tramo tiene una pendiente igual a que es inferior a . Para el

cálculo de esta pendiente se tiene en cuenta la inercia equivalente ( ) que como se

ha dicho con anterioridad es una expresión que tiene en cuenta la influencia de la

fisuración a lo largo de la pieza y se calcula a partir de la inercia bruta y la inercia

fisurada. Este tramo finaliza cuando se alcanza (punto C), que corresponde al

hecho de que el acero alcanza su límite elástico. En el último tramo la relación

momento-curvatura deja de ser lineal y en él se alcanza el momento máximo que es

capaz de resistir la sección, denominado momento último, que depende de la cuantía

de armadura, de la geometría de la sección y de la resistencia del acero y del

hormigón. Para un momento correspondiente a este último tramo, la curvatura es la

suma de dos componentes elásticas y una componente plástica.

El comportamiento dibujado en rojo representa una sección de hormigón que alcanza

la rotura con poca deformación.

35

ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE ACERO

Capítulo V

5 ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE

ACERO

OBJETIVO 5.1Una vez simulada una viga de acero con la ley constitutiva no lineal explicada anteriormente

en el apartado 3.2 del Capítulo III, uno de los objetivos de este problema es ver la influencia de

la variación de una serie de parámetros a la hora de aproximar de forma correcta la solución

de una estructura de acero sometida a flexión simple. Los parámetros que se van a estudiar

son el número de particiones en los que está dividida una sección y el número y posición de los

nodos a lo largo de la barra.

Para alcanzar dicho objetivo, se analizan diferentes discretizaciones en un problema sencillo,

como es el de una viga en ménsula. En las primeras configuraciones estudiadas se muestra la

influencia que tiene la modificación de los dos parámetros citados anteriormente. Luego se

estudia la configuración óptima, puesto que la respuesta de la viga en ménsula es conocida y

se puede calcular la posición en el eje x de la barra donde ésta deja de comportarse

elásticamente para iniciarse en el régimen plástico, de forma que se puede calcular con cierta

exactitud la solución de la estructura.

Por último, se estudia una configuración utilizando lo observado en las discretizaciones

anteriores para así poder determinar el número de capas de la sección y el número de nodos y

posición que aproximan de forma suficiente la solución del problema de la viga en ménsula. La

finalidad de esta última discretización es encontrar una pauta a seguir en el análisis de

estructuras de acero en las que no se conozca la evolución de los momentos flectores.

ESTRUCTURA CONSIDERADA 5.2La estructura que se analiza es una viga en ménsula, tal y como se muestra en la Figura 27. La

viga es un IPE240 de acero S275 de 5 metros de longitud que se encuentra sometida en su

36


extremo libre a un desplazamiento δ hacia abajo que toma los valores mostrados en la

siguiente tabla:

Número de paso

δ en m Número de paso



δ en m

1 -0.002 9 -0.05 17 -0.13 25 -0.21

2 -0.004 10 -0.06 18 -0.14 26 -0.22

3 -0.006 11 -0.07 19 -0.15 27 -0.23

4 -0.008 12 -0.08 20 -0.16 28 -0.24

5 -0.01 13 -0.09 21 -0.17 29 -0.25

6 -0.02 14 -0.1 22 -0.18 30 -0.26

7 -0.03 15 -0.11 23 -0.19 31 -0.27

8 -0.04 16 -0.12 24 -0.2 Figura 26. Desplazamientos en nodo libre para viga de acero

Según la Tabla 20.3.a. Esbelteces máximas para paneles comprimidos interiores (alas y almas)

de la EAE, esta sección es de clase 1, en relación a sus características geométricas c/t (altura

entre ancho del alma) y el límite elástico del acero a considerar.

Figura 27. Estructura a estudiar de acero

CÁLCULO DE ESFUERZOS 5.3La viga en voladizo estudiada tiene los diagramas de esfuerzos de cortantes y momentos

flectores mostrados en la siguiente figura:

Para calcular el momento resistente en régimen elástico, es decir, el momento que agota la

sección en este régimen, se hace uso de la ley de tensiones normales:

Figura 28.Diagrama ménsula

37


( (

(

Puesto que en el problema a considerar no hay esfuerzo axil, la tensión normal solo es debida

al momento flector, y su distribución es tal y como se muestra en la Figura 29(a). Según la ley

de tensiones normales, se tiene que la tensión máxima se alcanza cuando la coordenada z sea

la mayor posible. Por tanto, la tensión máxima admisible en régimen elástico corresponde a

aquella en la que la fibra más alejada alcanza el límite elástico, es decir, cuando la coordenada

z sea la máxima (Figura 29(b)).

En el cálculo de estructuras se emplean coeficientes parciales para las características de los

materiales. En este proyecto, el objetivo es comparar los resultados teóricos con los resultados

numéricos obtenidos de forma aproximada, por tanto, no se utilizan tales coeficientes,

empleando de este modo los valores característicos.

Figura 29.(a)Distribución de tensiones normales (b) Primera fibra plastifica (c) Plastifican más fibras

| |

| |

Donde y .

Se obtiene por tanto que el momento resistente elástico es:

Según diagrama de momento de flectores, el máximo flector se obtiene en la sección B, por

tanto, igualándolo al momento resistente elástico, se logra la carga puntal que agota la sección

B en el régimen elástico de la viga en voladizo.

En el régimen plástico, se admite que la sección todavía no se ha agotado, pues quedan fibras

que no han alcanzado su límite elástico (Figura 29 (c)). Según este análisis plástico, la sección

38


queda agotada cuando todas las fibras han llegado al límite elástico, por tanto, la distribución

de las tensiones tiene una forma birrectangular (Figura 30).

Figura 30. Tensiones normales con todas las fibras plastificadas.

Se calcula el momento capaz de agotar todas las fibras de una sección, denominado momento

resistente plástico.

Con .

Igualando este valor al momento flector máximo que se puede obtener en la viga, es decir, el

flector que se obtiene en la sección B, se tiene la carga que agota dicha sección B considerando

un comportamiento plástico.

Por tanto, si se comparan los momentos resistentes obtenidos según el cálculo elástico y el

plástico, se tiene que para el cálculo plástico, el momento resistente es un 13.27% superior

respecto al elástico. El diseño en régimen plástico aproxima mejor el momento de colapso de

la estructura, siendo éste superior al obtenido con el diseño elástico, por lo que supone cierto

ahorro de dinero.

Además, se tiene que la flecha para una viga en ménsula tiene la siguiente expresión:

Y se conoce por tanto la flecha en la carga elástica:

39


RESULTADOS NUMÉRICOS 5.4A continuación se muestran las diferentes configuraciones utilizadas para aproximar la

solución. Los parámetros que se varían son la discretización a lo largo de la barra y en la

sección transversal, es decir:

Número de capas en la sección.

Número de nodos y posición.

Como se ha dicho con anterioridad, el número de secciones que se van a analizar en cada

elemento es fijo para todas las discretizaciones e igual a 5 y el método de resolución empleado

es el de Newton-Raphson modificado, explicado en el 2.4 del Capítulo II.

En el programa se introducen como parámetros para definir el acero, el módulo de Young

, límite elástico , módulo de endurecimiento isotrópico

y módulo de endurecimiento cinemático . De forma que el comportamiento

del acero se considera elastoplástico perfecto.

5.4.1 DISCRETIZACIÓN 1

En primer lugar se comprueba la solución con una viga en ménsula formada por dos elementos

y las secciones divididas en 4 capas, tal y como se muestra en la Figura 31.

Figura 31.Discretización 1 en viga de acero

Donde los nodos están en las posiciones que se muestran en la siguiente tabla.

NODO POSICIÓN x en metros

1 0

2 2.5

3 5

Con esta discretización no obtenemos una buena aproximación de la solución pues supera con

creces los valores del momento resistente plástico. Además, el punto donde se abandona el

tramo elástico, dista considerablemente del punto ( . Con la variación de los dos

parámetros citados anteriormente se pretende permanecer dentro de los límites del momento

40


resistente plástico y aproximar mejor el punto donde abandona el tramo elástico, es decir,

donde se observa el cambio del tramo recto al no lineal, el punto ( .

Figura 32.M-δ de discretización 1 en viga de acero


Se varía el número de nodos, de forma que para esta discretización 2, se tienen 6 nodos y las

secciones divididas en 4 capas, al igual que en la discretización 1.

Figura 33. Discretización 2 en viga de acero

Con los nodos situados en las siguientes posiciones:


1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

Discr 1

melástico

mplástico

felást

41


donde se obtiene la siguiente solución:

Figura 34. M- δ de discretización 2 en viga de acero

Con la configuración de seis nodos y la sección dividida en cuatro, se logra una mejor

aproximación del momento resistente último que agota la sección B, que además para este

caso particular, agota la estructura, pues formándose en esa sección una rótula plástica se

tiene un mecanismo. Sin embargo, el punto donde varía la pendiente no se aproxima de

manera suficiente al punto ( . Además, se obtiene que la pendiente del primer

tramo es 889761 N, cuando debería ser:

Por tanto, para la siguiente discretización se variará el número de capas de la sección, sin

variar el número de nodos respecto a la primera discretización para apreciar la influencia que

recae sobre este parámetro.


En esta discretización, se tienen tres nodos y una sección dividida en doce capas, como se

observa en la Figura 35.


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,1 0,2 0,3

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

discr 2

melástico

mplástico

felást

42


Con los nodos ocupando las siguientes posiciones:


1 0

2 2.5

3 5

Obteniendo el siguiente resultado:

Figura 36. M- δ de discretización 3 en viga de acero

Con esta discretización el punto donde se abandona el tramo elástico se aproxima mejor al

( pero sobrepasamos el momento resistente plástico. La pendiente de este

primer tramo se corresponde con 923167N, un valor más próximo al calculado de forma

teórica. Como variando el número de nodos se consigue una buena aproximación del

momento plástico y cambiando el número de capas en las que se encuentra dividida la sección

aproximamos el punto de cambio de pendiente, se probará una dicretización con ambos

parámetros modificados.


Puesto que se observan mejorías al incrementar el número de nodos y secciones, se prueba

ahora una configuración con seis nodos y una sección dividida en doce capas.


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

discr 3

melástico

mplástico

felást

43


Con los nodos en las siguientes posiciones:


1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

La solución obtenida es la siguiente:

Figura 38.M- δ de discretización 4 en viga de acero

Se observa que con esta configuración se aproxima mejor el punto donde se abandona el

tramo elástico, pues está más próximo a . Además, se aproxima el momento resistente

plástico con cierta exactitud.

5.4.5 DISCRETIZACIÓN 5 Y 6

De las discretizaciones anteriores, la discretización 4 es la que mejor aproxima la respuesta de

la estructura, pues da una solución muy aceptable, pero se sigue superando el momento

resistente plástico. A continuación, se muestran otras dos discretizaciones y sus respuestas. En

la discretización 5, se tiene la sección dividida en 12 capas y se considera una viga formada por

11 nodos separados entre sí medio metro. Sin embargo, en la configuración 6, se mantiene el

número de nodos, es decir, está dividida en 6 nodos separados un metro uno de otro, y la

sección está formada por 22 divisiones.

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

discr 4

melástico

mplástico

felást

44


Figura 39.Discretización 5

Figura 40. Discretización 6

Con las siguientes posiciones de los nodos para la discretización 5:

Discretización 5


1 0

2 0.5

3 1

4 1.5

5 2

6 2.5

7 3

8 3.5

9 4

10 4.5

11 5

y para la discretización 6:

Discretización 6


1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

Las soluciones obtenidas se muestran en la siguiente gráfica:

45


Figura 41.M- δ de discretizaciones 4, 5 y 6

De la Figura 41 se puede observar como un mayor incremento de las capas de la sección no

afecta a la respuesta, pues prácticamente las discretizaciones 4 y 6 están representadas por la

misma línea. Sin embargo, la variación del número de nodos sigue afectando.

5.4.6 DISCRETIZACIÓN ÓPTIMA

Se ha podido comprobar en las discretizaciones anteriores que el número de nodos influye en

la aproximación de la respuesta. Con la discretización que se muestra a continuación se

demuestra que lo que influye en la aproximación de la solución es la posición de los nodos. A la

vista de los diagramas de flectores y el cálculo de momento resistente elástico y plástico, se

puede calcular el punto del eje x donde la barra abandona su comportamiento elástico.

Figura 42. Flectores para el cálculo de x

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

discr 6

melástico

mplástico

felást

disc4

discr 5

46


Para calcular el punto donde se inicia el comportamiento plástico igualamos la recta que

define los momentos flectores considerando la carga que agota la sección B en el régimen

plástico al momento resistente elástico. Dicho punto se corresponde con .

Por tanto, para realizar el análisis de la discretización óptima los nodos ocupan las siguientes

posiciones:


1 0

2 4.4

3 4.55

4 4.7

5 4.85

6 5

Es decir, tenemos la siguiente configuración:

Figura 43. Discretización óptima

Se obtiene la siguiente respuesta:

Figura 44. M- δ de la discretización óptima

96044,41461

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

N m

)

Desplazamiento

melástico

mplástico

felást

óptima

47


En una estructura hiperestática, a partir de los diagramas flectores, podemos identificar el

primer punto de plastificación, pero a partir de la plastificación de ese punto, se produce una

redistribución de esfuerzos que dificulta la localización de los siguientes candidatos al fallo.


Como se ha dicho, en una estructura cualquiera no se conocen a priori los puntos siguientes

que van a plastificar, por lo que se prueba una última configuración, con la que se obtiene un

número de elementos y capas en la sección suficientes para aproximar de forma correcta la

solución de la estructura cualquiera.

Figura 45.Discretización 7

La posición de los nodos se muestra en la siguiente tabla y se obtiene la respuesta siguiente:


1 0

2 4

3 4.25

4 4.5

5 4.75

6 5

Figura 46.M- δ de discretizaciones 4,5,6, óptima y 7

98107,87065 101121,5597

96044,41461 96636,36784

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento ( m )

melástico

mplástico

felást

disc4

disc5

disc6

disc óptima

disc7

48


Se puede comprobar como esta discretización logra una solución muy próxima a la

considerada óptima. Se representan las respuestas obtenidas de las discretizaciones 4, 5, 6 y

óptima para realizar la comparativa.

Para la correcta aproximación de la solución de la estructura han bastado cuatro elementos en

el empotramiento, situados a 0.25 metros uno de otro en una barra de 5 metros y las

secciones analizadas se encuentran divididas en doce capas. Puesto que ello ha bastado para

alcanzar una solución aproximada correcta, con el objetivo de analizar una estructura

cualquiera, se dispondrán los elementos usando dicha proporción donde se estimen

momentos flectores máximos. Dichos momentos flectores se obtienen en empotramientos,

uniones de barras, bajo cargas puntuales,… donde utilizaremos la proporción de cuatro

elementos en un metro para una barra de cinco. Se ha comprobado, como un número superior

a doce capas en la sección no mejora la solución, por tanto con este número de capas se

estima posible analizar cualquier estructura de forma correcta.

APLICACIÓN A VIGA BIEMPOTRADA 5.5Se considera como estructura a analizar una viga de un IPE400 biempotrada de 8 metros de

longitud con 19 nodos y la sección dividida en 12 capas tal y como se muestra en la siguiente

figura:

Figura 47. Viga empotrada-empotrada

Con la siguiente posición de los nodos:


1 0

2 0.4

3 0.8

4 1.2

5 1.6

49


6 2.4

7 2.8

8 3.2

9 3.6

10 4

11 4.4

12 4.8

13 5.2

14 5.6

15 6.4

16 6.8

17 7.2

18 7.6

19 8

Se le aplica en su punto central coincidente con el nodo 10 un desplazamiento δ hacia abajo,

incrementándose en cada paso 0.001m y se tienen los respectivos momento resistente

elástico y plástico.

El diagrama de flectores para una viga biempotrada es el mostrado en la siguiente figura:

Las secciones A, B y C sufren el mismo momento que es igual a

, por lo que las tres

secciones se agotan para el mismo valor de la carga en el régimen elástico y plástico. El valor

que agota las tres secciones agota la estructura, pues forma tres rótulas que la convierten en

un mecanismo.

De los datos recogidos de los prontuarios se tiene la siguiente expresión de la flecha con su

correspondiente valor para la carga de agotamiento de la sección en régimen elástico ( ):

Con su correspondiente momento de inercia en el eje fuerte:

Figura 48. Diagrama de flectores empotrado-empotrado

50


Y se obtiene la siguiente respuesta:

Figura 49.M- δ de viga biempotrada

El momento resistente plástico no es inferior al que se puede calcular manualmente, pero si se

dibujan las elásticas de la viga empotrada- empotrada se ve como con esta discretización la

solución obtenida del programa es totalmente válida.

Figura 50. Elástica biempotrada

En la Figura 50 se puede comprobar el proceso de agotamiento de los extremos, y como éstos

pasan a tener un comportamiento de rótula plástica, pues se aprecia rigidez en la línea que

representa el desplazamiento para 0.01 m mientras que para la de 0.047 m se tienen unas

flechas similares a una viga simplemente apoyada.

361026,4125

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Mo

me

nto

re

sist

en

te (

Nm

)

Desplazamiento (m)

emp-emp

f elástica

m elástico

m plástico

-0,048

-0,044

-0,04

-0,036

-0,032

-0,028

-0,024

-0,02

-0,016

-0,012

-0,008

-0,004

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.01

0.017

0.018

0.025

0.047

51

ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO

Capítulo VI

6 ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE

HORMIGÓN ARMADO

OBJETIVO 6.1En este capítulo se estudia el caso particular de una viga en ménsula de hormigón con el

objetivo de simular su comportamiento correcto empleando una viga bidimensional con la ley

constitutiva no lineal. Esta ley de comportamiento referida al hormigón se explica en el

apartado 3.3 de este proyecto.

Además de simular el comportamiento en estructuras de barras de hormigón armado

empleando elementos bidimensionales, este capítulo tiene como objetivo captar la influencia

de la variación del número de capas y el número de elementos finitos empleados, controlando

además la posición de los nodos, pues se prevé una importancia parecida a la que se tiene en

el problema expuesto en el capítulo anterior.

El problema simulado en el presente capítulo es más complicado que el presentado en el

análisis de vigas de acero (Capítulo V), pues este material presenta una ley constitutiva más

compleja. Esta dificultad y la idea de utilizar el mismo método de resolución (método de

Newton-Raphson modificado) conllevan a la no convergencia en algunas discretizaciones

probadas. Por tanto, a diferencia del problema expuesto en el Capítulo V, en el análisis no

lineal de estructuras de hormigón armado no se consigue obtener un número de capas para la

sección ni un número de elementos para estudiar una estructura cualquiera.

ESTRUCTURA CONSIDERADA 6.2Se analiza una viga de cinco metros de longitud en voladizo de hormigón armado de clase HA-

30 y armaduras de acero tipo B-400S. Se trata de una sección rectangular de 50 cm de altura y

de ancho 30 cm. La armadura superior (armadura a compresión) la definen dos barras de

10mm de diámetro mientras que para la armadura inferior (armadura a tracción) se disponen

de cinco barras de 25 mm de diámetro.

52


La viga se encuentra sometida en su extremo libre a un desplazamiento incremental de paso

0.001 m hacia arriba.

Figura 51. Estructura a considerar de hormigón

Otros parámetros considerados son los mostrados en la siguiente tabla:

Parámetros de la sección Valor

Recubrimiento mecánico 3 cm

Distancia de la armadura a compresión desde el borde superior

0.03 m

Ancho b 0.3 m

Canto útil d 0.47 m

Área armadura de compresión Área de armadura de tracción

CÁLCULO DEL MOMENTO ÚLTIMO Y DE LOS PARÁMETROS DEL 6.3

DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA Para corroborar que la respuesta obtenida de la discretización empleada simula de forma

correcta el comportamiento de una viga en ménsula de hormigón armado sometida a flexión

simple, se estudia:

El momento último de la sección.

La representación del diagrama momento- curvatura ( .

En primer lugar, se calcula el momento último de la sección. Para ello se hace uso de las

ecuaciones de equilibrio adimensionalizadas para el caso de flexión simple. Para este cálculo se

supone un dominio 3 y posteriormente se comprueba esta suposición [2].

53


Figura 52. Representación de las ecuaciones de equilibrio adimensionalizadas para flexión simple

Estableciendo equilibrio se tiene,

(

donde:

(

Al igual que en el problema expuesto en el capítulo anterior, para comparar estos resultados

teóricos aproximados con los obtenidos numéricamente empleando una viga bidimensional

con las secciones en capas, se utilizan los valores característicos. Por tanto, se emplean una

resistencia a compresión característica del hormigón ( igual a 30MPa y una resistencia

característica del acero ( ) igual a 400MPa.

Se calcula la capacidad mecánica del hormigón mediante la siguiente expresión:

Y la cuantía mecánica de la armadura a compresión y de la armadura a tracción, toman los

siguientes valores respectivamente:

De la primera ecuación de equilibrio se obtiene que:

Como , se tiene que .

54


Con este valor de la fibra neutra ( ) se verifica la pertenencia al dominio 3 y por tanto, el

momento último adimensional es:

por lo que el momento último de la sección toma el siguiente valor:

En segundo lugar, se analiza la representación del diagrama momento-curvatura ( . Este

diagrama explicado en el apartado 4.2 del Capítulo IV tiene tres tramos diferenciables para una

pieza de hormigón armado. Al primero de ellos le corresponde una rigidez aproximadamente

igual a y al segundo una también aproximada igual a . Siendo la

primera rigidez mayor que la segunda, debido al fenómeno de fisuración. Por tanto, para

comprobar que se muestra un comportamiento correcto, se comparan dichas pendientes con

los resultados obtenidos numéricamente descritos en el siguiente apartado.

Para el cálculo de la primera rigidez ,se calcula el valor del momento de inercia de la sección

sin fisurar y homogeneizada, es decir, aquella que tiene en cuenta el valor que aportan las

armaduras ( al momento de inercia bruto ( . Para ello se aplica el Teorema de Steiner.

(

)

(

)

Además, se conoce la expresión para el módulo de deformación del hormigón del apartado 4.2

del Capítulo IV,

√

y se tiene por tanto que el primer tramo del diagrama tiene una pendiente igual a:

Para el cálculo de la segunda pendiente de este diagrama, denominada , se calcula la inercia

equivalente ( , cuya expresión viene dada en el apartado 50.2.2.2 Cálculo de flecha

instantánea de la EHE08 [9] y es la siguiente:

(

)

[ (

)

]

donde es el momento de inercia de la sección fisurada en flexión simple. Se obtiene

despreciando la zona de hormigón en tracción y homogeneizando las áreas de las armaduras

multiplicándolas por un coeficiente de equivalencia. Para obtener esta inercia fisurada, es

necesario determinar la profundidad relativa de la fibra neutra. Para ello se hace uso del Anexo

8 de la EHE08.

55


(

)

[

√ (

)

(

)

]

Se tiene por lo que

Calculamos la inercia fisurada mediante la siguiente expresión:

( (

) ( (

)

El momento de fisuración ( ) se calcula multiplicando la resistencia media a flexotracción

del hormigón ( ) por el módulo resistente de la sección bruta respecto a la fibra en

tracción, es decir:

{(

) } con h=500mm

√

Queda por tanto saber el momento aplicado ( para conocer el momento de inercia

equivalente ( . Este momento aplicado se escoge una vez obtenido la respuesta del

programa, por lo que la inercia equivalente se muestra en el siguiente apartado.

El problema que se presenta es que la curvatura no viene dada como tal en el programa

utilizado, pero es fácilmente deducible de la formulación del elemento Euler-Bernouilli

explicada en el apartado 2.2 del Capítulo II.

La deformación de la sección se compone por una deformación axial y por la curvatura. Se

expresa de la siguiente manera:

( { ( (

} ( (

56


donde la matriz de las derivadas de las funciones de interpolación es:

( [ (

( ( (

( ( ]

con:

(

(

(

(

(

(

Con el fin de obtener la curvatura en el empotramiento, se analiza un elemento de 0.1m de

longitud a partir del nodo fijo a lo largo de todo el estudio. Se tiene por tanto, un elemento

como el mostrado en la siguiente figura:

Figura 53. Elemento i-j para cálculo de curvatura

A dicho elemento le corresponde el siguiente vector de desplazamientos, donde los tres

últimos números son cero debido a las características del empotramiento del nodo 2.

( [ ] [ ]

Por lo que:

( ( [ ( ( ( ( ] [ ]

Siendo,

(

(

La expresión que toma la curvatura es la siguiente:

(

57


RESULTADOS NUMÉRICOS 6.4Al igual que en el problema estudiado en el Capítulo V de análisis de vigas de acero, los

resultados de este problema se obtienen analizando cinco secciones en cada elemento y se

utiliza el mismo método de resolución, es decir, el método de Newton-Raphson modificado,

explicado en el apartado 2.4 del Capítulo II.

El hormigón armado está compuesto por armaduras de acero B-400S y por hormigón de

resistencia máxima a compresión 30MPa (HA-30). Para introducir esta clase de acero y de

hormigón en el programa, se tienen en cuenta los siguientes parámetros.

Acero:

E

0 0

Donde E es módulo de Young, es el límite elástico y y son los módulos de

endurecimiento isotrópico y cinemático respectivamente. De esta forma, se obtiene

que el acero se comporta como un material elastoplástico perfecto.

Figura 54. Comportamiento elastoplástico perfecto del acero B-400S

Hormigón:

En el caso del hormigón se comprueban dos situaciones. En la primera se analiza el

comportamiento según el diagrama parábola rectángulo mientras que en la segunda,

se considera el ablandamiento que sufre el hormigón cuando se sobrepasa la

deformación de rotura del hormigón a compresión simple. Los datos introducidos para

este material son los proporcionados por un ejemplo de este modelo. Para poder

considerar la parábola rectángulo se ha igualado la resistencia última del hormigón a la

resistencia máxima a compresión mientras que para analizar el comportamiento

considerando el ablandamiento que sufre este material, se conservan los datos

originales.

Se toman los siguientes parámetros para considerar la situación de la parábola

rectángulo:

λ

Es decir, la ley de comportamiento es la siguiente:

58


Figura 55. Ley de comportamiento del hormigón con parábola rectángulo

Mientras que estudiar el problema de la viga en ménsula con una ley de

comportamiento con ablandamiento se introducen los siguientes parámetros:

λ

Obteniendo la siguiente relación tensión-deformación:

Figura 56.Ley de comportamiento del hormigón con ablandamiento

Donde es la pendiente de la rama de ablandamiento por fisuración, la

deformación de rotura del hormigón a compresión simple, la resistencia máxima a

compresión, y deformación y tensión de rotura última respectivamente, λ la

relación entre la pendiente de descarga en y la pendiente dada por el módulo de

deformación inicial ( ) y la resistencia máxima a tracción. El modelo exige que los

datos referidos a la compresión se introduzcan negativos, mientras que los referidos a

la tracción sean valores positivos.

59


A continuación, se muestran las diferentes configuraciones probadas para aproximar la

solución del problema de la viga en ménsula de hormigón armado. Al igual que en el problema

del capítulo anterior, se varía:

Número de capas en la sección.

Número de nodos y posición.


En primer lugar se comprueba una viga en voladizo compuesta por cuatro nodos, cuyas

posiciones se muestran en la siguiente tabla.


1 0

2 2.5

3 4.9

4 5

El tercer nodo ocupa esa posición para poder calcular la curvatura cerca del empotramiento y

así representar el diagrama momento-curvatura. La sección se encuentra dividida en diez

particiones, tal y como se puede ver en la siguiente Figura 57. Para esta configuración se

emplea la ley constitutiva del hormigón considerando la parábola rectángulo.

Figura 57. Discretización 1 en viga de hormigón

Figura 58. M-χ de la discretización 1 en viga de hormigón

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0,0E+00 1,0E-03 2,0E-03 3,0E-03 4,0E-03 5,0E-03 6,0E-03

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

Discretización 1

60


La respuesta obtenida con esta discretización no tiene validez, pues sólo converge para los

primeros pasos de carga en desplazamiento.


Se aumenta el número de divisiones en la sección, siendo para esta segunda discretización

igual a 40 particiones. El número y la posición de los nodos es la misma que en caso anterior y

también se considera el comportamiento del hormigón como parábola rectángulo.


1 0

2 2.5

3 4.9

4 5


De la que se obtiene una aproximación de la respuesta con poca validez:

Figura 60.M-χ de la discretización 2 en viga de hormigón

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

Discretización 2

61



Se prueba ahora una configuración con un número mayor de nodos, posicionados como se

muestra en la siguiente tabla:


1 0

2 0.5

3 1

4 1.5

5 2

6 2.5

7 3

8 3.5

9 4

10 4.5

11 4.9

12 5

La sección se encuentra dividida en 10 capas, al igual que en el caso de la primera

discretización y se hace uso de la ley de comportamiento considerando la parábola rectángulo.


Se obtiene la siguiente respuesta mostrada que se considera errónea:


0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

Discretización 3

62



Se prueba una configuración con 12 nodos y una sección dividida en 40 capas:

Figura 63.Discretización 4 en viga de hormigón

Haciendo uso de la parábola rectángulo, se obtiene la siguiente respuesta:


En este diagrama se distinguen los tres tramos citados en Capítulo IV. Al primer tramo, le

corresponde una pendiente igual a la rigidez denominada . En el apartado apartado 6.3 de

este capítulo se calcula con ecuaciones aproximadas y toma el siguiente valor:

El segundo tramo tiene como pendiente la rigidez definida como . Para calcular este valor

hace falta un momento próximo al último y que permanezca en este tramo. Se toma el valor,

y se obtiene la inercia equivalente:

410836,3842

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,0E+00 5,0E-02 1,0E-01 1,5E-01

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

Discretización 4

63


(

)

[ (

)

]

Por lo que es:

El momento último calculado en el apartado anterior toma el siguiente valor:

mientras que el obtenido de forma numérica es,

Se representa el diagrama momento-curvatura de la primera parte de los resultados obtenidos

con el fin de distinguir bien los tres tramos citados con anterioridad.

Figura 65. Porción de M-χ de la discretización 4 en viga de hormigón

En este diagrama se calculan las pendientes de los tramos pertenecientes a las rigideces

anteriormente mencionadas. Se tienen los siguientes valores

y = 108.478.182,38x + 382,72 R² = 1,00

y = 53.221.632,55x + 14.990,75 R² = 1,00

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02 3,0E-02

Mo

me

nto

( N

m)

Curvatura (1/m)

Fase elástica

Series2

Fase de fisuración

Fase de prerotura

Lineal (Fase elástica)

Lineal (Fase de fisuración)

64


Para el cálculo de las pendientes se han considerado puntos pertenecientes a ambos tramos

respectivamente.

Se comparan los parámetros estudiados:

( ( (

Cálculo aproximado Programa

Se comprueba por tanto que esta configuración aproxima perfectamente el comportamiento

de una pieza de hormigón armado sometida a flexión simple.

Se realiza el análisis de la viga de hormigón considerando un comportamiento que recoge el

ablandamiento que este material sufre a partir de una cierta deformación. Se obtiene como

respuesta:

Figura 66. M-χ de la discretización 4 en viga de hormigón considerando ablandamiento

La respuesta mostrada en la Figura 66 coincide con la que se representa en la Figura 65 salvo

por el momento último. El segundo diagrama converge hasta un valor ,

que es inferior al calculado manualmente con fórmulas aproximadas y al obtenido

numéricamente teniendo en cuenta el diagrama parábola rectángulo en el comportamiento

del hormigón.

405124,9149

y = 108.478.182,38x + 382,72

y = 53.221.632,55x + 14.990,75

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02

Mo

me

nto

( N

m)

Curvatura (1/m)

Series1

Series2

Series3

Series4

Lineal (Series1)

Lineal (Series3)

65


6.4.5 DISCRETIZACIÓN ÓPTIMA

Con la última discretización analizada, se tiene una aproximación correcta de una pieza de

hormigón armado sometida a flexión simple. Se prueba en este apartado una nueva

configuración considerando siete nodos dispuestos según la siguiente tabla.


1 0

2 3

3 3.5

4 4

5 4.5

6 4.9

7 5

La sección estudiada está compuesta por 40 capas tal y como se muestra en la siguiente figura.

Figura 67. Discretización óptima

Se representan las respuestas obtenidas considerando el comportamiento del hormigón con

parábola rectángulo y con ablandamiento.

Figura 68.M-χ de la discretización óptima en viga de hormigón con comportamiento parábola rectángulo

408674,3835

y = 108.440.522,95x + 390,60 R² = 1,00

y = 53.194.901,98x + 15.210,24 R² = 1,00

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

tramo1_parábola

tramo2_parábola

tramo3_parábola

tramo4_parábola

Lineal (tramo1_parábola)

Lineal (tramo3_parábola)

66


Figura 69.M-χ de la discretización óptima en viga de hormigón con comportamiento con ablandamiento

Ambas respuestas aproximan de forma correcta el comportamiento del hormigón armado en

una pieza sometida a flexión. La única diferencia es que con el comportamiento considerando

el ablandamiento de este material se alcanza un momento último inferior al que se obtiene del

cálculo numérico con fórmulas aproximadas. Se entiende que esto es debido a que estas

fórmulas consideran un comportamiento del hormigón sin ablandamiento. Comparando los

resultados obtenemos:

( ( ( Cálculo aproximado Programa parábola

Programa ablandamiento

Para el cálculo de se emplea un momento de inercia equivalente igual a:

(

)

[ (

)

]

Obtenida para un momento aplicado igual a:

405049,5091

y = 108.440.522,95x + 390,60 R² = 1,00

y = 53.194.901,98x + 15.210,24 R² = 1,00

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02

Mo

me

nto

(N

m)

Curvatura (1/m)

tramo1_ablandamiento




Lineal (tramo1_ablandamiento)

Lineal (tramo3_ablandamiento)

67

CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS

Capítulo VII

7 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS INTRODUCCIÓN 7.1

El proyecto tiene como objetivo analizar una estructura de barras cualquiera. Para ello, se

estudia el caso concreto de una viga en ménsula sometida a flexión simple. De esta forma, en

el Capítulo V se aborda el problema de la viga en voladizo con una ley de comportamiento no

lineal referida para el acero, mientras que en el Capítulo VI se estudia el mismo problema para

el hormigón armado.

Todas las configuraciones probadas, indistintamente del material empleado, se resuelven

utilizando el método de Newton-Raphson modificado, es decir, considerando la matriz de

rigidez inicial en el resto de iteraciones. Tal y como se explicó en el Capítulo II, este método

converge para un número de iteraciones mayor que el método de Newton-Raphson, que sí

considera la variación de la matriz de rigidez. De esta forma, para algunas discretizaciones

empleadas en el hormigón armado se encuentra con la dificultad de la no convergencia.

En el caso concreto del problema del análisis de barras de acero, se representan los diagramas

momento-desplazamiento ( pues se considera que estas respuestas son suficientes

para comparar el comportamiento obtenido por el programa con la respuesta teórica que se

conoce. Sin embargo, el caso del hormigón armado es más complejo, y esta respresentación

no se considera suficiente, por lo que para este segundo caso, se realiza el estudio en

diagramas de momento-curvatura ( con el fin de analizar los cambios de pendiente

conocidos de forma teórica aunque aproximada.

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS EN ESTRUCTURAS DE ACERO 7.2Con las discretizaciones analizadas en el Capítulo V, se comprueba que tanto el número de

divisiones en la sección, como el número de nodos y posición, influyen en la aproximación de

la respuesta. Además, se concluye que no es tanto el número de nodos como su posición

estratégica, pues se obtienen respuestas similares usando configuraciones con 6 y 11 nodos.

68


A continuación, se muestra una tabla resumen de las discretizaciones empleadas:

Discretización Divisiones

de la sección

Nodos y posición

No supera Aproxima bien

(

Disc 1 4 3

Cada 2.5m Con creces

Disc 2 4 6

Cada 1m Por poco

Disc 3 12 3

Cada 2.5m Con creces

Disc 4 12 6

Cada 1m Por poco

Disc 5 12 11

Cada 0.5m

Disc 6 22 6

Cada 1m Por poco

Óptima 12

6 Segundo nodo en

4.4m

Disc 7 12 6

Segundo nodo en 4

Figura 70. Resumen de las discretizaciones

Influencia del número de capas en la sección:

Si se considera un comportamiento elástico no tiene sentido una división en capas,

pues se puede analizar como una sección sin divisiones denominada en el programa

general. Este tipo de sección tiene como parámetros el área y la inercia, por tanto,

para un análisis elástico es suficiente.

Sin embargo, para estudiar el comportamiento plástico si son necesarias estas

divisiones, pues en función de ellas se aproxima mejor la integral que define la tensión.

Cuando la fibra más alejada de la sección alcanza el límite elástico, las siguientes fibras

menos alejadas empiezan a plastificar, y esta evolución sólo puede ser captada si la

sección se encuentra dividida en un número de capas suficiente. En la siguiente figura

se muestra esta influencia.

Figura 71. Influencia del número de capas

69


Finalmente, de las discretizaciones estudiadas se puede concluir que doce divisiones

en la sección son suficientes para aproximar de forma correcta la integral de la tensión.

Influencia del número de nodos y de su posición:

Las soluciones obtenidas en la discretización 5 y la discretización 7 son válidas. La

diferencia reside en el número de nodos, de forma que con la discretización 7 (con 6

nodos) se alcanza una solución mejor empleando menos elementos. Por lo que se

concluye que no es el número de nodos, sino la posición que estos ocupan.

Además, se demuestra que para analizar una viga en ménsula bajo un

comportamiento plástico son suficientes cuatro elementos distribuidos a un metro del

empotramiento. Esto se consigue porque en el empotramiento se alcanza el mayor

flector y por tanto, es en sus cercanías donde la barra deja de comportarse

elásticamente.

Figura 72. Influencia posición de los nodos

Se concluye que para conseguir una aproximación correcta de la solución se debe utilizar

secciones divididas en doce capas, pues un número superior no mejora la solución. Además, se

dispondrán los elementos empleando la relación de cuatro elementos en un metro para una

barra de cinco donde se estimen máximos momentos flectores. Dichos momentos máximos se

tienen en los empotramientos, uniones de barras, en la mitad de las barras sometidas a

distribuciones de carga, bajo desplazamientos o cargas puntuales, etc.

Con el pretexto de corroborar lo anterior, se analiza en el apartado 5.5 del Capítulo V una viga

biempotrada sometida en el centro a un desplazamiento δ hacia abajo. La viga es un IPE400

de longitud 8 metros. La solución obtenida en el problema utilizando las pautas citadas es

válida. Para ello, se han considerado secciones divididas en doce capas y 18 elementos, cuatro

en cada empotramiento y los ocho restantes situados de forma que queden cuatro a cada lado

del desplazamiento puntual.

70


CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS EN ESTRUCTURAS DE 7.3

HORMIGÓN ARMADO En el análisis no lineal de estructuras de hormigón armado también se ha podido comprobar

que el número de capas en los que se encuentra dividida la sección y el número y posición de

los nodos, influye de manera importante en la aproximación de la solución.

A continuación se muestra una tabla resumen de las discretizaciones probadas, donde el valor

de Nc es la posición del nodo utilizado para el cálculo de la curvatura.

Discretización Divisiones de la

sección Nodos y posición

Parábola rectángulo

Ablandamiento

1 10 4 nodos

3 cada 2.5m y Nc=4.9m

Sin resultado --

Sin resultado --

2 40 4 nodos


Sin resultado --

Sin resultado --

3 10 12 nodos


Sin resultado Sin resultado

4 40 12 nodos


Resultado correcto

Resultado correcto

Óptima 40

7 nodos A partir de 3m

cada 0.5m y Nc=4.9m

Resultado correcto

Resultado correcto

Figura 73. Resumen de las discretrizaciones

Se considera que la discretización transversal, es decir, el número de capas en los que se

encuentra dividida la sección, influye al igual que antes, porque es la forma de aproximar la

tensión. En este caso, se consigue una solución correcta con un número mayor de capas que el

empleado en el caso del acero. Esto es debido a que la ley constitutiva que presenta el

hormigón es más compleja que la presenta un material como el acero, pues el primer tramo

del hormigón se representa mediante una parábola frente al tramo inicial recto que define al

acero. Además, se cree que la dificultad obtenida en la simulación de ciertas discretizaciones,

está influenciada por el método de resolución empleado (método de Newton-Raphson

modificado).

Respecto a los nodos, queda claro que más que el número de nodos empleados, es su posición

la que influye en la solución. Como se dijo con anterioridad para el problema del acero, es

debido a la ley de momentos flectores que presente la estructura considerada. En el caso de

este proyecto, se analiza una viga en ménsula donde el máximo momento flector se alcanza en

el empotramiento. Tal distribución aconseja el empleo de un mayor número de elementos en

zonas cercanas al nodo fijo.

Cabe citar algunas diferencias que se tienen en el diagrama momento-curvatura (M-χ) de los

resultados obtenidos y el diagrama M-χ teórico para una pieza de hormigón armado con las

mismas características.

71


1) En el diagrama M-χ teórico se tiene que el último tramo tiene una parte curva,

mientras que el que se obtiene representando los resultados númericos es una línea

horizontal. Esto es debido a que se considera que el acero introducido para realizar el

estudio presenta un comportamiento elastoplástico perfecto.

2) Otro aspecto a tener en cuenta es momento de fisuración. A la vista del diagrama, el

momento de fisuración es aquel en el que se observa el primer cambio de pendiente,

se obtiene que para la respuesta del programa dicho momento toma un valor de:

Mientras que el momento de fisuración calculado con las fórmulas aproximadas es:

Esta discrepancia es debida a que el programa incluye el efecto de las armaduras en su

cálculo, es decir, el momento de fisuración calculado por el programa es la suma del

momento de fisuración correspondiente únicamente al hormigón más el momento

que provocan las tensiones en las armaduras cuando la fibra más alejada del hormigón

ha alcanzado la deformación ( correspondiente a la tensión máxima a tracción, ,

dato de entrada para el modelo del hormigón.

Con la distancia entre armaduras (L) de valor 0.22m.

Figura 74. Cálculo del momento de fisuración incluyendo armaduras

La deformación correspondiente a la tensión máxima a tracción se calcula con

la siguiente expresión:

Calculada con los siguientes datos introducidos en el programa:

, y .

72


De la Figura 74, se obtiene la siguiente expresión para

Por lo que, considerando que la fibra neutra pasa por el centro de la sección

homogeneizada del hormigón y del acero, se tiene:

DESARROLLOS FUTUROS 7.4Una posible mejora para el análisis de estructuras de barras con leyes constitutivas no lineales

con este programa, sería la implementación del Método de Newton-Raphson. Con este

método se espera no tener las dificultades obtenidas para converger en el caso del hormigón

armado. Además, se cree posible que con este método de resolución se necesite un número

menor de capas para describir la secciones en el hormigón armado.

Considerando esta mejora, se podrían estudiar las estructuras bajo cargas cíclicas, de forma

que se podrían observar las influencias de:

El efecto de Bauschinger.

Disminución de la pendiente de la recta de descarga en el hormigón.

Otra posible mejora, sería implementar una función de cálculo de esfuerzos en los nodos, pues

en el programa actual, sólo es posible el cálculo de las reacciones.

52783,3 0,E+00

1,E+05

2,E+05

3,E+05

4,E+05

5,E+05

0,E+00 2,E-02

Mo

me

nto

( N

m)

Curvatura (1/m)

Figura 75. Comparativa de momento-curvatura

73

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

[1] Calavera, J. “Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón en masa, armado y

pretensado”. Tomo I. INTEMAC, Madrid 2008.

[2] Jimenez Montoya, P. García Meseguer, A., Morán Cabré, F. “Hormigón armado”.

Gustavo Gili, SA, Madrid 2000.

[3] Comisión Asesora ARCER. “Cálculo práctico de estructuras de hormigón armado con

redistribución de esfuerzos”. Monografía ARCER, Madrid 2003.

[4] Verri, A. “Modelación numérica no-lineal de estructuras de hormigón sometida a

cargas cíclicas”. Tésis de Ingeniería Civil. Universidad de Buenos Aires.

[5] Filippou, F.C., Kwak, H., “Finite element analysis of reinforced concrete structures

under monotonic loads”. November 1990.

[6] Dalmau, M.R, Vilaldel,J. “Análisis plásticos de estructuras. Introducción”. Edicions UPC,

2003.

[7] Rodríguez, L.E. “Modelación numérica del concreto simple con elementos finitos

usando un modelo constitutivo de plasticidad”. Bogotá, 2001.

[8] EAE, “ Instrucción de acero estructural”, Madrid 2011.

[9] EHE, “Instrucción de Hormigón estructural”, Madrid 2008.

[10] Paris, F. “Teoría de la elasticidad”. SAND, 2000.

74

BIBLIOGRAFÍA

75

ANEXO 1.PROBLEMA DE ACERO


-- ******************************************************** -- Set output file function writedata(x, fname) local f = assert(io.open(fname,'w')) local writenl = 0 for i,v in ipairs(x) do f:write(v, " ") writenl = writenl + 1 -- length of row size: writenl if (writenl > 0) then writenl = 0 f:write("\n") end end f:close() end -- ******************************************************** function generateincrementalload() -- format: 'staticnodalload' <node> <dof> <amplitude> -- format: tag node dof local loadform = {'incrementalnodaldisplacement', 10, 2, -0.001, -0.002, -0.003, -0.004, -0.005, -0.006, -0.007, -0.008, -0.009, -0.01, -0.011, -0.012, -0.013, -0.014, -0.015, -0.016, -0.017, -0.018, -0.019, -0.02, -0.021, -0.022, -0.023, -0.024, -0.025,

76


-0.026, -0.027, -0.028, -0.029, -0.03, -0.031, -0.032, -0.033, -0.034, -0.035, -0.036, -0.037, -0.038, -0.039, -0.04, -0.041, -0.042, -0.043, -0.044, -0.045, -0.046, -0.047}; return loadform end -- ******************************************************** function restoringforces(increment) N,V,M = model:nodeRestoringForces(19) print("Axil",N,"Cortante",V,"Flector",M) end react1 = {} function displperstep2(increment) N,V,M = model:nodeRestoringForces(19) table.insert(react1,M) end -- ******************************************************** nodes = {{1, 0, 0}; {2, 0.4, 0}; {3, 0.8, 0}; {4, 1.2, 0}; {5, 1.6, 0}; {6, 2.4, 0}; {7, 2.8, 0}; {8, 3.2, 0}; {9, 3.6, 0}; {10, 4, 0}; {11, 4.4, 0}; {12, 4.8, 0}; {13, 5.2, 0}; {14, 5.8, 0}; {15, 6.4, 0}; {16, 6.8, 0}; {17, 7.2, 0};

77


{18, 7.6, 0}; {19, 8, 0}}; nIp_stif = 5; -- ******************************************************** -- STEEL -- ******************************************************** E = 210e9; -- 210GPa fy = 2.75e8; -- 275MPa rho = 7850; -- kg/m3 materials = { {1,'hardening', E, rho, fy, 0, 0} } --materials = { {1, 'elastic', E, rho} } -- ******************************************************** -- IPE-400 -- ******************************************************** A = 8.45e-3; Iz = 2.313e-4; Wel = 1.16e-3; Wpl = 1.307e-3; print("IPE-240 Mel:",(fy*Wel)," Mpl:",(fy*Wpl),"\n") --sections = {1, 'General', {1, A, Iz}}; sections = {1, 'Layer', {1, 2.43e-3 , 193.25e-3; 1, 3.2078e-4 , 167.85e-3; 1, 3.2078e-4 , 130.55e-3; 1, 3.2078e-4 , 93.25e-3; 1, 3.2078e-4 , 55.95e-3; 1, 3.2078e-4 , 18.65e-3; 1, 3.2078e-4 , -18.65e-3; 1, 3.2078e-4, -55.95e-3; 1, 3.2078e-4 , -93.25e-3; 1, 3.2078e-4, -130.55e-3; 1, 3.2078e-4 , -167.85e-3; 1, 2.43e-3 , -193.25e-3};} elements = { {1, 'StiffnessBased2DBeamColumn',1, 2, {1, nIp_stif} }; {2, 'StiffnessBased2DBeamColumn',2, 3, {1, nIp_stif} }; {3, 'StiffnessBased2DBeamColumn',3, 4, {1, nIp_stif} }; {4, 'StiffnessBased2DBeamColumn',4, 5, {1, nIp_stif} }; {5, 'StiffnessBased2DBeamColumn',5, 6, {1, nIp_stif} }; {6, 'StiffnessBased2DBeamColumn',6, 7, {1, nIp_stif} }; {7, 'StiffnessBased2DBeamColumn',7, 8, {1, nIp_stif} }; {8, 'StiffnessBased2DBeamColumn',8, 9, {1, nIp_stif} }; {9, 'StiffnessBased2DBeamColumn',9, 10, {1, nIp_stif} }; {10, 'StiffnessBased2DBeamColumn',10, 11, {1, nIp_stif} }; {11, 'StiffnessBased2DBeamColumn',11, 12, {1, nIp_stif} }; {12, 'StiffnessBased2DBeamColumn',12, 13, {1, nIp_stif} }; {13, 'StiffnessBased2DBeamColumn',13, 14, {1, nIp_stif} }; {14, 'StiffnessBased2DBeamColumn',14, 15, {1, nIp_stif} }; {15, 'StiffnessBased2DBeamColumn',15, 16, {1, nIp_stif} }; {16, 'StiffnessBased2DBeamColumn',16, 17, {1, nIp_stif} }; {17, 'StiffnessBased2DBeamColumn',17, 18, {1, nIp_stif} }; {18, 'StiffnessBased2DBeamColumn',18, 19, {1, nIp_stif} } }

78


model = StructureModel(2,3) model:addNodes(nodes) model:addMaterials(materials) model:addSections(sections) model:addElements(elements) model:constrainNode(1,1,1,1) model:constrainNode(10,0,1,0) model:constrainNode(19,1,1,1) -- ******************************************************** -- Static analysis print("Static analysis started\n") --analysis = StaticAnalysis() solver = NonlinearSolver("initialstiffness", { residualforcedeltatolerance=1e-5, iterations=1000}) analysis = StaticAnalysis(solver) analysis:setStructureModel(model) analysis:addcallback(restoringforces,"increment") analysis:addcallback(displperstep2,"increment") staticloading = LoadDescription() loads = generateincrementalload() staticloading:addLoad(loads) analysis:solve(staticloading) writedata(react1,'Momento.txt') print("Static analysis ended\n") -- ********************************************************

79

ANEXO 2. PROBLEMA DE HORMIGÓN ARMADO


-- ******************************************************** -- Set output file function writedata(x, fname) local f = assert(io.open(fname,'w')) local writenl = 0 for i,v in ipairs(x) do f:write(v, " ") writenl = writenl + 1 -- length of row size: writenl if (writenl > 0) then writenl = 0 f:write("\n") end end f:close() end -- ******************************************************** function generateincrementalload() -- format: 'staticnodalload' <node> <dof> <amplitude> -- format: tag node dof local loadform = {'incrementalnodaldisplacement', 1, 2, 0.001, 0.002, 0.003, 0.004, 0.005, 0.006, 0.007, 0.008, 0.009, 0.01, 0.011, 0.012, 0.013, 0.014, 0.015, 0.016, 0.017, 0.018, 0.019, 0.02, 0.021, 0.022, 0.023, 0.024,

80


0.025, 0.026, 0.027, 0.028, 0.029, 0.03, 0.031, 0.032, 0.033, 0.034, 0.035, 0.036, 0.037, 0.038, 0.039, 0.04, 0.041, 0.042, 0.043, 0.044, 0.045, 0.046, 0.047, 0.048, 0.049, 0.05, 0.051, 0.052, 0.053, 0.054, 0.055, 0.056, 0.057, 0.058, 0.059, 0.06, 0.061, 0.062, 0.063, 0.064, 0.065, 0.066, 0.067, 0.068, 0.069, 0.07, 0.071, 0.072, 0.073, 0.074, 0.075, 0.076,

81


0.077, 0.078, 0.079, 0.08, 0.081, 0.082, 0.083, 0.084, 0.085, 0.086, 0.087, 0.088, 0.089, 0.09, 0.091, 0.092, 0.093, 0.094, 0.095, 0.096, 0.097, 0.098, 0.099, 0.1, 0.101, 0.102, 0.103, 0.104, 0.105, 0.106, 0.107, 0.108, 0.109, 0.11, 0.111, 0.112, 0.113, 0.114, 0.115, 0.116, 0.117, 0.118, 0.119, 0.12, 0.121, 0.122, 0.123, 0.124, 0.125, 0.126, 0.127, 0.128,

82


0.129, 0.13, 0.131, 0.132, 0.133, 0.134, 0.135, 0.136, 0.137, 0.138, 0.139, 0.14, 0.141, 0.142, 0.143, 0.144, 0.145, 0.146, 0.147, 0.148, 0.149, 0.15, 0.151, 0.152, 0.153, 0.154, 0.155, 0.156, 0.157, 0.158, 0.159, 0.16, 0.161, 0.162, 0.163 }; return loadform end -- ******************************************************** function restoringforces(increment) N,V,M = model:nodeRestoringForces(12) print("Axil",N,"Cortante",V,"Flector",M) end react1 = {} function displperstep2(increment) N,V,M = model:nodeRestoringForces(12) table.insert(react1,M) end displ1 = {} function displperstep1(increment) u,v,z = model:nodeDisplacements(11) table.insert(displ1, v)

83


end displ2 = {} function displperstep3(increment) u,v,z = model:nodeDisplacements(11) table.insert(displ2, z) end -- ******************************************************** nodes = {{1, 0, 0}; {2, 0.5, 0}; {3, 1, 0}; {4, 1.5, 0}; {5, 2, 0}; {6, 2.5, 0}; {7, 3, 0}; {8, 3.5, 0}; {9, 4, 0}; {10, 4.5, 0}; {11, 4.9, 0}; {12, 5, 0}}; nIp_stif = 5; -- ******************************************************** -- STEEL -- ******************************************************** --materials = { {1,'hardening', E, rho, fy, 0, 0} } --materials = { {1, 'elastic', E, rho} } -- Ets rho fc ec fcu ecu landa ft materials = { {1, 'ConcreteLinearTensionSoftening', 21e9, 0, -30e6, -0.002, -5e6, -0.0035, 0.03, 2.9e6}, {2, 'hardening', 2.1e11,0,4e8,0,0 } } ; sections = {1, 'Layer', {1, 0.00375, 0.2375; 1, 0.00375, 0.225; 1, 0.00375, 0.2125; 1, 0.00375, 0.2; 1, 0.00375, 0.1875; 1, 0.00375, 0.175; 1, 0.00375, 0.1625; 1, 0.00375, 0.15; 1, 0.00375, 0.1375; 1, 0.00375, 0.125; 1, 0.00375, 0.1125; 1, 0.00375, 0.1; 1, 0.00375, 0.0875; 1, 0.00375, 0.075; 1, 0.00375, 0.0625; 1, 0.00375, 0.05; 1, 0.00375, 0.0375; 1, 0.00375, 0.025;

84


1, 0.00375, 0.0125; 1, 0.00375, -0.2375; 1, 0.00375, -0.225; 1, 0.00375, -0.2125; 1, 0.00375, -0.2; 1, 0.00375, -0.1875; 1, 0.00375, -0.175; 1, 0.00375, -0.1625; 1, 0.00375, -0.15; 1, 0.00375, -0.1375; 1, 0.00375, -0.125; 1, 0.00375, -0.1125; 1, 0.00375, -0.1; 1, 0.00375, -0.0875; 1, 0.00375, -0.075; 1, 0.00375, -0.0625; 1, 0.00375, -0.05; 1, 0.00375, -0.0375; 1, 0.00375, -0.025; 1, 0.00375, -0.0125; 2, 1.57e-4, 0.22; 2, 24.54e-4, -0.22};}; elements = { {1, 'StiffnessBased2DBeamColumn',1, 2, {1, nIp_stif} }; {2, 'StiffnessBased2DBeamColumn',2, 3, {1, nIp_stif} }; {3, 'StiffnessBased2DBeamColumn',3, 4, {1, nIp_stif} }; {4, 'StiffnessBased2DBeamColumn',4, 5, {1, nIp_stif} }; {5, 'StiffnessBased2DBeamColumn',5, 6, {1, nIp_stif} }; {6, 'StiffnessBased2DBeamColumn',6, 7, {1, nIp_stif} }; {7, 'StiffnessBased2DBeamColumn',7, 8, {1, nIp_stif} }; {8, 'StiffnessBased2DBeamColumn',8, 9, {1, nIp_stif} }; {9, 'StiffnessBased2DBeamColumn',9, 10, {1, nIp_stif} }; {10, 'StiffnessBased2DBeamColumn',10, 11, {1, nIp_stif} }; {11, 'StiffnessBased2DBeamColumn',11, 12, {1, nIp_stif} } } -- ******************************************************** model = StructureModel(2,3) model:addNodes(nodes) model:addMaterials(materials) model:addSections(sections) model:addElements(elements) model:constrainNode(1,0,1,0) model:constrainNode(12,1,1,1) -- ******************************************************** -- Static analysis print("Static analysis started\n") --analysis = StaticAnalysis() solver = NonlinearSolver("initialstiffness", { residualforcedeltatolerance=1e-5, iterations=1000}) analysis = StaticAnalysis(solver) analysis:setStructureModel(model)

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analysis:addcallback(restoringforces,"increment") analysis:addcallback(displperstep2,"increment") analysis:addcallback(displperstep1,"increment") analysis:addcallback(displperstep3,"increment") staticloading = LoadDescription() loads = generateincrementalload() staticloading:addLoad(loads) analysis:solve(staticloading) writedata(react1,'Momento_hormigonprueba4.txt') writedata(displ1,'desplazamientovertical_hormigonprueba4.txt') writedata(displ2,'giro_hormigonprueba4.txt') print("Static analysis ended\n") -- *****************************************

Análisis de estructuras de barras con leyes constitutivas...

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