3.3 Método De La Tasa Interna De Retorno

UNIDAD 3 ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Interpretación del valor de una TIR

Cálculo de la Tasa Interna de Retorno para un proyecto único

-Por medio del valor presente

-Por medio del valor anual

Análisis incremental

-Comparación de alternativas mutuamente excluyentes

Si el dinero se obtiene en préstamo, la tasa de interés se aplica al saldo no pagado de manera que la cantidad prestada y el interés total del préstamo se pagan en su totalidad con el ultimo pago.

Desde la perspectiva de quien otorga el préstamo existe un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo.

La tasa de interés es el rendimiento sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total y el interés se recuperan en forma exacta con el último pago.

Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado de dinero obtenido en préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado.

También se le conoce con el nombre de:

-Tasa de Rendimiento (TR)

-Retorno sobre la Inversión (RSI)

-Índice de Rentabilidad (IR)

Ejemplo:

El banco Wells Fargo prestó a un ingeniero recién graduado $ 1 000.00 a i= 10% anual durante 4 años para comprar equipo de oficina. Desde la perspectiva del banco (el prestamista), se espera que la inversión en este joven ingeniero produzca un flujo efectivo neto equivalente de $315.47 por cada uno de los 4 años.

A= $ 1000 (A/P, 10%, 4)

A= $ 1000 (0.31547)=$315.47

Esto representa una tasa de rendimiento del 10% anual sobre el saldo no recuperado.

Determine la cantidad de la inversión no recuperada para cada uno de los 4 años utilizando:

a) La tasa de rendimiento sobre el saldo no recuperado (la base correcta)

b) La tasa de rendimiento sobre la inversión inicial de $1 000 c) Explique por qué toda la inversión inicial de $1000 no se recupera con el pago final del inciso b)

Determinar la cantidad de inversión no recuperada, utilizando:

a) Tasa de rendimiento sobre el saldo no recuperado.

El pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado

Determinar la cantidad de inversión no recuperada, util izando: b) Tasa de rendimiento sobre la cantidad inicial.

El rendimiento del 10 % se calcula siempre sobre la inversión inicial de $ 1000.

c) Explique por qué toda la inversión inicial de $1000 no se recupera con el pago final del inciso b)

Si se calcula un rendimiento del 10 % cada año sobre la cantidad inicial de $1000 debe obtenerse un total de $400 de interés.

Si se utiliza un rendimiento del 10% sobre el saldo no recuperado solo se obtiene $261.88 de interés. Hay más flujo de efectivo anual disponible para reducir el préstamo restante cuando se aplica la tasa al saldo no recuperado como en el inciso a)

Gráfica de los saldos no recuperados y tasa derendimiento de 10% anual sobre una cantidad de $1000

Para determinar la tasa de rendimiento en una serie de flujo de efectivo se utiliza la ecuación TR con relaciones de VP o VA. El valor presente de los costos o desembolsos VPD se iguala al valor presente de los ingresos o recaudación VPR.

VPD = VPR

0 = -VPD + VPR [7.1]

El enfoque del valor anual utiliza los valores VA en la misma forma para resolver i.

VAD = VAR

0 = -VAD + VAR. [7.2]

La determinación de la TR se consigue utilizando un proceso de ensayo y error, o mediante funciones en la hoja de cálculo.

En algunos casos, más de un valor de TR puede satisfacer la ecuación de VP o VA.

El valor de i que hace que estas ecuaciones numéricas sean correctas se llama i*. Es la raíz de la relación TR. Para determinar si la serie de flujo de efectivo de la alternativa es viable, compare i* con la TMAR establecida.

Si i* ≥ TMAR, acepte la alternativa como económicamente viable.

Si i* < TMAR, la alternativa no es económicamente viable.

Una ecuación de valor presente constituye la base para calcular la tasa de rendimiento cuando hay diversos factores implicados.

La base para los cálculos de la ingeniería económica es la equivalencia, en los términos VP, VF o VA para una i≥0% establecida.

En los cálculos de la tasa de rendimiento, el objetivo consiste en encontrar la tasa de interés i* a la cual los flujos de efectivo son equivalentes.

Por ejemplo, si usted deposita $1,000 ahora y le prometen un pago de $500 dentro de tres años y otro de $1,500 dentro de cinco años, la relación de la tasa de rendimiento utilizando el factor VP es:

1000 = 500(P/F, i*,3) + 1500 (P/F, i*,5)

Debe calcularse el valor de i* para lograr que la igualdad este correcta. Si se trasladan $1000 al lado derecho de la ecuación, se tiene:

0 = -1000 + 500(P/F, i*,3) + 1500(P/F, i*,5)

La ecuación se resuelve para i y se obtiene i* = 16.9% a mano, usando ensayo y error

La tasa de rendimiento siempre será mayor que cero si la cantidad total de los ingresos es mayor que la cantidad total de los desembolsos, cuando se considera el valor del dinero en el tiempo.

Utilizando i* = 16.9%, se construye una gráfica similar a la figura 7.1. Se mostrara que los saldos no recuperados cada año, empezando con $-1000 en el año 1, se recuperan exactamente por los ingresos de $500 y $1500 en los años 3 y 5.

Formas para determinar i*

i* utilizando ensayo y error manual. El procedimiento general de emplear una ecuación básica en VP es el siguiente:

1. Trace un diagrama de flujo de efectivo

2. Formule la ecuación de la Tasa de Rendimiento en la forma de la ecuación [7.1]

3. Seleccione valores de i mediante ensayo y error hasta que este equilibrada la ecuación.

Al utilizar el método de ensayo y error para determinar i*, es conveniente que en el paso 3 se acerque bastante a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si es combinar los flujos de efectivo, de tal manera que el ingreso y los desembolsos pueden representarse por un solo factor como P/F o P/A, es posible buscar la tasa de interés (en las tablas) correspondiente al valor de ese factor para n años.

El problema, entonces, es combinar los flujos de efectivo en el formato de uno solo de los factores, lo cual se realiza con el siguiente procedimiento:

1. Convierta todos los desembolsos en cantidades ya se únicas (P o F) o cantidades uniformes (A). Por ejemplo, si se desea convertir un valor A en un valor F, simplemente multiplique por A el número de años n. Es decir, si la mayoría de los flujos de efectivo son una A y solo una pequeña cantidad es F, la F se debe convertir en una A en lugar de hacerlo al revés.

2. Convierta todos los ingresos en valores únicos o uniformes.

3. Después de haber combinado los desembolsos y los ingresos, de manera que se aplique el formato P/F, P/A o A/F, se deben de utilizar las tablas de interés para encontrar la tasa de interés aproximada a la cual se satisface el valor P/F, P/A o A/F. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para el primer ensayo.

Es importante reconocer que la tasa de rendimiento obtenida en esta forma es tan solo una estimación de la tasa de rendimiento real, ya que ignora el valor del dinero en el tiempo

Ejemplo:

El ingeniero en sistemas de calefacción, ventilación y aire acondicionado de una compañía que construye uno de los edificios más altos del mundo (el centro financiero de Shanghái, en la República Popular China) ha solicitado que se gasten ahora $ 500,000 durante la construcción en software y hardware para mejorar la eficiencia de los sistemas de control ambiental. Con esto se espera ahorrar $10,000 anuales durante 10 años en costos de energía y $ 700,000al final de los 10 años en costos de renovación de equipo. Encuentre la tasa de rendimiento a mano.

Solución:

1. Construir Diagrama de Flujo:

2. Realizar la ecuación: 0 = −500,000 + 10,000 𝑃 𝐴 , 𝑖 ∗ , 10 + 700,000(𝑃 𝐹 , 𝑖 ∗ , 10)

3. Utilice el procedimiento de estimación con la finalidad de determinar la i para el primer ensayo. Todo el ingreso se considerara como una sola F en el año, de manera que pueda utilizarse el facto 𝑃 𝐹 . Se eligió el factor 𝑃 𝐹 porque la mayoría del flujo de efectivo ($700,000) ya se ajusta a ese factor y se minimizan los errores creados por ignorar el valor del dinero restante en el tiempo. Tan solo para la primer estimación de i, defina P=$500,000, n=10 y F=10(10,000)+700,000=800,000.

Ahora se establece que:

500,000= 800,000(𝑃 𝐹 , 𝑖 , 10) 𝑃 𝐹 , 𝑖 , 10) = 0.625

La i aproximada esta entre el 4% y 5%. Utilice el 5% como el primer ensayo pues esta tasa aproximada para el factor 𝑃 𝐹 es menor que el valor verdadero cuando se considera el valor del dinero en el tiempo. En i =5%, la ecuación TR es:

0 = −500,000 + 10,000 𝑃 𝐴 , 5%, 10 + 700,000 𝑃 𝐹 , 5%, 10 0 > $6,946

El resultado es positivo, lo cual indica que el rendimiento es mayor que un 5%.

Ensaye i = 6%

0 = −500,000 + 10,000 𝑃 𝐴 , 6%, 10 + 700,000 𝑃 𝐹 , 6%, 10

0 = $ − 35,519

Puesto que la tasa de interés es de 6% es muy alta, interpole linealmente entre 5% y 6%

𝑖 ∗ = 5.00 +6,946 − 0

6,946 − −35,5191.0

= 5.00 + 0.16 = 5.16%

Ejemplo:

Utilice cálculos de VA con el propósito de encontrar la tasa de rendimiento para los flujos de efectivo del ejemplo anterior.

Solución:

Las relaciones VA para desembolsos e ingresos se formulan con la ecuación

𝑉𝐴𝐷 = −500,000 𝑃 𝐴 , 𝑖 , 10 𝑉𝐴𝑅 = 10,000 + 700,000 𝑃 𝐹 , 𝑖 , 10 0 = −500,000 𝑃 𝐴 , 𝑖 ∗ , 10 + 10,000 + 700,000 𝑃 𝐹 , 𝑖 ∗ , 10

La solución de ensayo y error genera los siguientes resultados:

𝐸𝑛 𝑖 = 5%, 0 < $900

𝐸𝑛 𝑖 = 6%, 0 > $ − 4,826Por interpolación, 𝑖 ∗ =5.16%, 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 .

En conclusión para determinar 𝑖 ∗ a mano elija VP, VA, o cualquier otra ecuación de equivalencia. En general, es mejor acostumbrarse a utilizar uno solo de los métodos con la finalidad de evitar errores.

Cuando se consideran dos o más alternativas mutuamente excluyentes , la ingeniería económica es capaz de identificar la alternativa que se considera mejor económicamente.

Se examina el procedimiento para emplear las técnicas de tasa de rendimiento con la finalidad de identificar la mejor.

Solo uno de los proyectos viables puede seleccionarse. Cada proyecto viable es una alternativa.

Ejemplo:

Suponga que una compañía utiliza una TMAR de 16% anual, y que la compañía tiene $ 90 000 disponibles para inversión y que se están evaluando dos alternativas (A y B).

La alternativa A requiere una inversión de $ 50 000 y tiene una tasa de rendimiento i* A de 35% anual. La alternativa B requiere $ 85 000 y tiene una i*B de 29% anual.

Si se selecciona la alternativa A, se invertirán $ 50 000 a una tasa de 35% anual. Los $ 40 000 restantes se invertirán a la TMAR de 16% anual. Por lo tanto si se selecciona la alternativa A,

TRA Global =50 000 0.35 : 40 000 (0.16)

90 000= 26.6%

Si se elige la alternativa B, se invertirán $ 85 000 que producen 29% anual y los $ 5 000 restantes generaran 16 % anual. Ahora, el promedio ponderado es:

TRB Global =85 000 0.29 : 5 000 (0.16)

90 000= 28.3%

Estos cálculos muestran que, aunque la i* para la alternativa A es mayor, la alternativa B presenta la mejor TR global para la inversión total de $ 90 000.

Este simple ejemplo ilustra un hecho importante sobre el método de la tasa de rendimiento para comparar alternativas:

«Bajo algunas circunstancias, los valores de las TR de los proyectos no proporcionan el mismo ordenamiento de alternativas que los análisis de VP o VA. Esta situación no ocurre si se realiza un análisis de la TR del flujo de efectivo incremental»

Es necesario preparar una tabulación del flujo de efectivo incremental entre dos alternativas para preparar un análisis TR incremental. Tome la convención de que entre dos alternativas, la que tiene mayor inversión inicial se considerara como alternativa B. Entonces, para cada año en el cuadro 8.1

Flujo de efectivo incremental = Flujo de efectivo B – Flujo de efectivo A

CALCULO DEL FLUJO DE EFECTIVO INCREMENTAL PARA ANÁLISIS CON TR

Tabla 8.1 Formato para tabulación de un flujo de efectivo incremental

Flujo de efectivo Flujo de efectivo

incremental

Año Alternativa A

(1)

Alternativa B

(2)

(3) = (2) – (1)

Ejemplo:

Una compañía de herramientas y troqueles en Pittsburg está considerando la compra de una prensa de perforación con un software de lógica difusa para mejorar la precisión y reducir el desgaste de herramientas. La compañía tiene una oportunidad de comprar una maquina poco usada por $15,000 o una nueva por $ 21,000. Puesto a que la nueva máquina es de un modelo más moderno, se espera que su costo de operación sea de $ 7,000 anuales, mientras que el de la maquina más usada sería de $ 8,200. Se estima que cada máquina tendrá una vida de 25 años con un valor de salvamento de 5%. Tabule el flujo de efectivo incremental de las 2 alternativas.

Solución:

El flujo de efectivo incremental se presenta tabulado en el cuadro 8.2. Usando la ecuación (8.1) la resta realizada es (nueva – usada), ya que la maquina nueva inicialmente costara más. Los valores de salvamento en el año 25 se han separado del flujo de efectivo ordinario para lograr mayor claridad.

Cuando los desembolsos son los mismos para un número de años consecutivos, solo para soluciones a mano, se ahorra tiempo haciendo un solo listado de flujo de efectivo, como se han hecho para los años 1 a 25. Sin embargo, recuerde que se combinaron diversos años cuando se realizó el análisis.

Cuando se restan las columnas del flujo de efectivo, la diferencia entre los totales de las dos series de flojo de efectivo deben ser iguales al total de la columna de flujo de efectivo incremental, lo cual solo servirá para verificar las operaciones de suma y resta al preparar la tabulación. No es una base para elegir una alternativa.

Aquí se considera la elección entre alternativas múltiples que son mutuamente excluyentes, utilizando el método TR incremental. La aceptación de una alternativa automáticamente excluye la aceptación de cualquier otra. El análisis esta basado sobre relaciones VP (o VA) para flujo de efectivos incrementales entre dos alternativas a la vez.

Para el análisis de TR de alternativas múltiples mutuamente excluyentes, se utiliza los siguientes criterios. Seleccione aquella alternativa que:

1. Exija la mayor inversión, y

2. Indique que se justifica la inversión adicional frente a otra alternativa aceptable.

Una regla importante para aplicar cuando se evalúan alternativas múltiples con el método de TR incremental es que una alternativa nunca debe compararse con aquella para la cual no se justifica la inversión incremental.

Los pasos para solución a mano o por computadora son como sigue:

1. Ordene las alternativas desde la inversión inicial menor hasta la mayor. Registre la estimación de flujo de efectivos anual para cada alternativa de vida igual.

2. Solo para alternativa de ingreso : Calcule i* para la primera alternativa. De hecho, esto hace a NH el defensor, y a la primera alternativa, el retador. Si i* ˂ TMAR, elimine la alternativa y vaya a la siguiente.

Repita esto hasta que i*≥ TMAR por primera vez, y defina dicha alternativa como el defensor. La siguiente alternativa es ahora el retador. Vaya al paso 3. (Nota: Aquí es donde la solución por hoja de calcula por computadora puede ser un rápido asistente. Primero calcule la i* para todas las alternativas, usando la función TIR, y seleccione como el defensor la primera para la cual i≥ TMAR. Demonícela como el defensor y vaya al paso 3.)

3 .Determine el flujo de efectivo incremental entre el retador y el defensor utilizando la relación:

Flujo de efectivo incremental:

flujo de efectivo retador – flujo de efectivo defensor

Establezca la relación TR

4.Calcule Δi* para la serie de flujos de efectivo incremental utilizando una ecuación basada en VP o en VA. (VP se utiliza con mayor frecuencia.)

5. Si Δi* ≥ TMAR, el retador se convierte en el defensor y se elimina el defensor anterior. Por el contrario, si Δi*˂ TMAR, se descarta el retador y el defensor permanece contra el próximo retador.

6. Repita los pasos 3 a 5 hasta que solamente quede una alternativa. Esta es la seleccionada.

Ejemplo 8.6

Caterpillar Corporation quiere construir una instalación para almacenaje de piezas de repuesto cerca de Phoenix, Arizona. Un ingeniero de planta ha identificado cuatro diferentes opciones de ubicación. En la tabla se detallan el costo inicial de edificación de cimientos y prefabricación, asi como las estimaciones de flujo de efectivo neto anual. La serie de este flujo de efectivo neto anual varia debido a diferencias en mantenimiento, costos de mano de obra, cargos de transporte, etcétera. Si la TMAR es de 10%, utilice el análisis de TR incremental para seleccionar la mejor ubicación desde el punto de vista económico.

Solución

Todos los sitios tienen una vida de 30 años y todos son alternativas de ingreso. Se aplica el procedimiento bosquejado líneas arriba.

1. En la tabla 8.6 se ordenan las alternativas por costo inicial creciente.

2. Compare la ubicación C con la alternativa de no hacer nada. La relación TR incluye solo el factor P/A.

0=-190 000 + 19 500 (P/A,30,*ٱ)

La columna 1 de la tabla 8.6 presenta el valor del factor calculando (P/A,Δ30,*ٱ) de 9.7436 y de Δٱc* = 9.63%. Puesto que 9.63% < 10%, se elimina la ubicación C. Ahora la corporación es A contra no hacer nada, y la columna 2 muestra que ΔٱA*= 10.49%, lo cual elimina la alternativa de no hacer nada; el defensor es ahora A y el retador es B.

3. La serie de flujo de efectivo incremental, la columna 3, y Δٱ* para una comparación B a A se determina a partir de:

0=-275 000 – (-200 000)+(35 000 – 22 000)(P/A, Δ30,*ٱ)

= -75 000 + 13 000(P/A, Δ30,*ٱ)

4. De acuerdo con la tabla de interés, de debe buscar el factor P/A en la TMAR, que es (P/A,10%,30) = 9.4269. Ahora, cualquier valor P/A mayor que 9.4269 indica que Δٱ* será inferior al 10% y es inaceptable. El factor P/A es 5.7692, de modo que B es aceptable. Para fines de referencia, Δ17.28 =*ٱ%.

5. La alternativa B se justifica incrementalmente (nuevo defensor), eliminando asi la alternativa A.

6. Al comparar D con B (pasos 3 y 4) se genera la relación VP;

0=-75 000 + 7 000 (P/A, Δ30,*ٱ) y un valor P/A de 10.7143(Δ8.55 = *ٱ%). Se elimina la ubicación D y solo permanece la alternativa B, que se elige .

Una alternativa siempre debe compararse incrementalmente con una alternativa aceptable y la alternativa de no hacer nada puede resultar la única aceptable. Como C no estuvo justificada en este ejemplo, la ubicación A no fue comparada con C. Por lo tanto, si la comparación de B con A no hubiera indicado que B se justificara incrementalmente, entonces la comparación de D con A habría sido la correcta, en lugar de la D con B. Para demostrar que tan importante es aplicar apropiadamente el método de TR, considere lo siguiente. Si inicialmente se calcula la ٱ* de cada alternativa, los resultados por alternativas ordenadas son los siguientes:

Ahora aplique solo el primer criterio establecido; es decir, se realiza la inversión mas grande cuya TMAR es de 10% o mas. Se selecciona la ubicación D. Pero, como se demostró antes, esta es la selección equivocada, ya que la inversión adicional de $75 000 por encima de la ubicación B no obtendrá la TMAR. De hecho, esta obtendrá solamente 8.55%.

…FIN