Analisis Combinatorio

Anlisis Combinatorio5 SEC1Una comida gratisDiez jvenes decidieron celebrar la terminacin de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabl entre ellos una discusin sobre el orden en que haban de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocacin fuera por orden alfabtico; otros, de acuerdo a la edad; otros, por los resultados de los exmenes; otros, por la estatura, etc. La discusin se prolongaba, la sopa se enfri y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcili el camarero, dirigindoles las siguientes palabras:Jvenes amigos, dejen de discutir. Sintense a la mesa en cualquier orden y escchenme.

2Una comida gratisTodos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continu:- Que uno cualquiera anote el orden en que estn sentados ahora. Maana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado maana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y as sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el da en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidar a comer gratis diariamente, sirvindoles los platos ms exquisitos y escogidos.

3Una comida gratisLa proposicin agrad a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada da en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocacin alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo, no lograron llegar hasta ese da. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el nmero total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. stas son exactamente 3628,800. Es fcil calcular, que este nmero de das son casi 10,000 aos.

4Anlisis Combinatorio1. QUE ES EL ANLISIS COMBINATORIO?I.- El smbolo de sumatoriaII.- Factorial de un nmero

2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEOPrincipio de AdicinPrincipio de Multiplicacin

3. MTODOS DE CONTEO:PERMUTACINPERMUTACIN CIRCULARPERMUTACIN CON REPETICINCOMBINACIN5Cdigo secretoLos miembros del club de matemtica del CI no quieren que sus dems compaeros del colegio se enteren de las calificaciones que obtienen en las pruebas de olimpiadas matemticas. Para tal efecto han decidido utilizar dos letras seguidas de tres nmeros para formar cdigos de identificacin. Ellos van a utilizar las letras A y S y los nmeros 1, 2 y 3. Permiten la repeticin de letras, mas no de los nmeros. Cuntos miembros puede albergar el club antes que tengan que cambiar su mtodo de construir cdigos?

6Cdigo secretoSOLUCIN:

Para resolver este problema vamos a recurrir a la estrategia llamada hacer una lista organizada.Esta estrategia es til a la hora de resolver problemas donde sea necesario encontrar todas las maneras posibles de hacer algo. Hay cuatro formas de ordenar las letras A y S: AS, SA, AA y SS. Para cada uno de estos ordenamientos le asociamos todas las formas diferentes de ordenar los nmeros 1, 2 y 3. Veamos:AS123SA123AA123SS123AS132SA132AA132SS132AS213SA213AA213SS213AS231SA231AA231SS231AS312SA312AA312SS312AS321SA321AA321SS321Se pueden formar 24 cdigos diferentes de identificacin. Despus que se unan al club 24 miembros se agotaran los cdigos y para albergar a ms miembros tendra que ampliarse la construccin de cdigos.7Anlisis CombinatorioDe cuntas formas diferentes podr viajar una persona desde A hasta D sin retroceder?ABCD8Anlisis CombinatorioQUE ES EL ANLISIS COMBINATORIO?La combinatoria o anlisis combinatorio es la parte de la Matemtica que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o ms conjuntos y como contar ordenadamente su nmero.El anlisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y mtodos para determinar el nmero o la manera de formar diferentes grupos con los elementos de un conjunto. Nos ocuparemos entonces de la correcta aplicacin de tales reglas y procedimientos, como as tambin de la definicin de algunos smbolos que nos servirn en el desarrollo de este captulo.9Anlisis CombinatorioI.- El smbolo de sumatoria: permite abreviar la notacin de una suma cuyos trminos admiten cierta ley de formacin. Por ejemplo, para indicar la suma:a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7

escribimos: y se lee, sumatoria de ai con i variando de 1 a 7.

Si el ndice i es variable desde 1 a n, la notacin es: y significa la suma abreviada de los n trminos: a1 + a2 + a3 + ... + an. El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada uno de los sucesivos valores de su rango de variacin y sumando los trminos as obtenidos.

10Anlisis CombinatorioII.- Factorial de un nmero: el factorial de un nmero natural n mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros nmeros naturales; el smbolo caracterstico es "!". As:

De la definicin se deduce que el factorial de un nmero es igual al producto de dicho nmero por el factorial del anterior. Ejemplo: 6! = 6.5! = 6.5.4!En general:

Adems se define: 0! = 1 y 1! = 1.

11Anlisis CombinatorioPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

En determinados problemas, se observa que una operacin (o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar dicha operacin. Para tales casos es til conocer determinadas tcnicas de conteo que facilitaran el clculo sealado y ser el medio adecuado para resolver estos problemas. El anlisis combinatorio es lo que puede llamarse una forma abreviada de contar.Las operaciones o actividades que se presentan sern designadas como eventos.12Anlisis CombinatorioPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

Ejemplos:

Sealar las prendas que utiliza una persona para vestirse.Ordenar 7 objetos en 10 casilleros.Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4 consonantes y 2 vocales sealadas.Pintar un dibujo de 2 figuras, con 5 colores posibles.Designar 2 delegados de 30 personas.Elegir un camino de 10 posibles.13Anlisis CombinatorioPRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

Estas operaciones que sealamos, pueden efectuarse de una o varias maneras, para encontrar la cantidad de formas, se utilizar dos principios fundamentales de conteo:

Principio de Adicin.Principio de Multiplicacin.

14Anlisis Combinatorio1. Principio de Adicin:

Si una operacin o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y otra operacin o actividad B, puede realizarse de n maneras diferentes, entonces la operacin que consiste en hacer A o B (no ambas simultneamente, sino la una o la otra) podr ocurrir de (m + n) formas distintas.La regla se puede ampliar a ms de dos tareas siempre que no haya dos de ellas que se puedan efectuar simultneamente.15Anlisis Combinatorio1. Principio de Adicin:

Ejemplo 1:

Javier puede viajar de Lima a Cuzco por va area, usando 2 lneas de transporte areo o por va terrestre, usando 3 lneas de mnibus.De cuntas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?

16Anlisis Combinatorio1. Principio de Adicin:Ejemplo 1:Javier puede viajar de Lima a Cuzco por va area, usando 2 lneas de transporte areo o por va terrestre, usando 3 lneas de mnibus. De cuntas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?

Resolucin

Por el principio de adicin:

Por va area: 2 formas Por va terrestre: 3 formas.Podr viajar de (2 + 3) = 5 formas17Anlisis Combinatorio1. Principio de Adicin:

Ejemplo 2:

Manuel desea cruzar un ro, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeas o un deslizador. De cuntas formas podr cruzar Manuel el ro utilizando uno de los medios de transporte sealados?

18Anlisis Combinatorio1. Principio de Adicin:Ejemplo 2:Manuel desea cruzar un ro, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeas o un deslizador. De cuntas formas podr cruzar Manuel el ro utilizando uno de los medios de transporte sealados?Resolucin

Puede utilizar: 2 botes (2 formas)3 lanchas (3 formas)1 deslizador (1 forma)

Como al usar una, no necesita utilizar las otras, el total de formas es: 2 + 3 + 1 = 6

19Anlisis Combinatorio2. Principio de Multiplicacin:

Si una operacin o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas maneras, se realiza otra operacin o actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambas operaciones o actividades podrn efectuarse de (m x n) maneras distintas.


Ejemplo 1:

Un equipo de bsquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. Cuntos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?

21Anlisis Combinatorio2. Principio de Multiplicacin:Ejemplo 1:Un equipo de bsquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. Cuntos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?Resolucin

Por el principio de multiplicacin sern:4 x 5 = 20 uniformes diferentes.


Ejemplo 2:

Cuntos nmeros distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?

23Anlisis Combinatorio2. Principio de Multiplicacin:Ejemplo 2:Cuntos nmeros distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros?Resolucin

Para elegir el primer nmero slo tenemos una posibilidad, y es el 1, para la segunda tenemos dos posibilidades, al igual que para la tercera y la cuarta, luego el nmero es: 1 x 2 x 2 x 2 = 8.

24Anlisis CombinatorioMTODOS DE CONTEO:

En diferentes casos, se tomar de algn conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para tomar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden en que estn colocados dichos elementos o por la naturaleza de alguno de ellos. Si los elementos que forman una agrupacin son diferentes entre s, sern llamadas agrupaciones sin repeticin y si algunos de ellos son iguales se dir que son agrupaciones con repeticin.25Anlisis Combinatorio1. PERMUTACIN:

Se llama as a un arreglo u ordenacin de todos o parte de los elementos de un conjunto considerando el orden en que se encuentran.

Para n objetos diferentes, el nmero de permutaciones, representado como Pn, que se puede obtener con los n objetos est dado por:

26Anlisis Combinatorio1. PERMUTACIN:

Ejemplo 1:Cuntas posibilidades de ubicacin tienen cinco alumnos al sentarse en cinco sillas colocadas en lnea recta?ResolucinEs una permutacin lineal de cinco elementos tomados de cinco en cinco. Calculamos el nmero de posibilidades:P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

27Anlisis Combinatorio1. PERMUTACIN:

Ejemplo 2:Ocho amigos planean salir de viaje en dos automviles de modo que irn 4 en cada vehculo. De cuntas formas pueden ir, si todos tienen licencia de conducir?ResolucinEs una permutacin lineal de ocho elementos tomados de ocho en ocho. Calculamos el nmero de posibilidades:P8 = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320

28Anlisis CombinatorioEJERCICIOS

01. De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al cine y encuentran una fila libre de seis asientos.I. De cuntas maneras diferentes podrn sentarse?II. De cuntas, si los hombres se sientan en los extremos?III. De cuntas, si las mujeres se sientan siempre juntas?02. Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en la foto, slo pueden aparecer 5 alumnos sentados en lnea recta. De cuntas maneras se puede tomar dicha foto?29Anlisis CombinatorioEJERCICIOS

03. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. Cuntas juntas directivas de 3 miembros (presidente, vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre?

04. Se lanza simultneamente 3 dados de diferente color. De cuntas maneras distintas puede obtenerse por suma un nmero mayor que 4?30Anlisis CombinatorioEJERCICIOS

05. De cuntas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si slo 2 de ellas saben manejar?06. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. Cuntos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas?31Anlisis Combinatorio2. PERMUTACIN CIRCULAR:

Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) sealado.

El nmero de permutaciones circulares, denotado como Pc, de n elementos est dado por:

32Anlisis Combinatorio2. PERMUTACIN CIRCULAR:

Ejemplo 1:De cuntas maneras distintas podrn sentarse 4 nios alrededor de una mesa circular?ResolucinSe deber de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos (nios) alrededor de un centro (mesa), estar dado por:

PC (4) = (4 1)! = 3! = 6

33Anlisis Combinatorio2. PERMUTACIN CIRCULAR:

Ejemplo 2:Alrededor de una torta de cumpleaos, se ubican 6 vasos diferentes. De cuntas formas pueden ser ubicados?ResolucinSe deber de encontrar las diferentes ordenaciones de 6 elementos (vasos) alrededor de un centro (torta), estar dado por:

PC (6) = (6 1)! = 5! = 120


08. En un campamento por Semana Santa, de cuntas maneras se podrn sentar 5 amigas alrededor de una fogata?09. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. De cuntas formas podrn ubicarse, si tres de ellas deben estar siempre juntas?10. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos nias y tres nios. De cuntas formas podrn hacerlo si el asiento vaco debe quedar entre las nias?35Anlisis Combinatorio3. PERMUTACIN CON REPETICIN:

Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos entre s, esto es, hay elementos que se repiten.

El nmero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos, esta denotado por:

Donde k1, k2, k3, .., kn es el nmero de veces que se repite cada elemento.

36Anlisis Combinatorio3. PERMUTACIN CON REPETICIN:

Ejemplo 1:Con 2 bolas rojas, 2 bolas amarillas y 3 bolas azules. De cuntas maneras distintas se pueden ordenar?ResolucinSe tendr:

37Anlisis Combinatorio3. PERMUTACIN CON REPETICIN:

Ejemplo 2:De cuntas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA?ResolucinPodemos observar que la letra T se repite 2 veces, la letra A 2 veces y las letras P e I una vez cada una.Luego:


11. Cuntas palabras diferentes, no necesariamente pronuncia-bles o con sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO?12. Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar 8 vasos, 5 de los cuales contienen whisky, 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto. De cuntas formas los podr ordenar?13. De cuntas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos?39Anlisis Combinatorio4. COMBINACIN:

Es una seleccin o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes).

En general con n elementos diferentes, el nmero de combinacio-nes que se pueden obtener agrupando de k en k (k n), estar dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k, pero dividido entre el nmero de permutaciones de k elementos que se pueden obtener.

40Anlisis Combinatorio4. COMBINACIN:

Ejemplo 1:De cuntas maneras diferentes se puede escoger 3 nios de un total de 5?ResolucinAl sealar que vamos a escoger, indica que no se necesita indicar ningn orden, lo que s interesa es el grupo formado, luego se trata de combinar 5 elementos, tomndolos de 3 en 3.

41Anlisis Combinatorio4. COMBINACIN:

Ejemplo 1:De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisin de 3 personas. De cuntas maneras diferentes se puede formar dicha comisin?ResolucinSe buscar el nmero de combinaciones de 7 elementos agrupados de 3 en 3.


14. Entre Ana, Beatriz, Carlos y Diego se debe elegir una comisin formada por tres personas. De cuntas formas distintas se puede elegir la comisin?15. Cuntas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le damos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?16. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. Cuntas partidas se jugar si se juega todos contra todos.43Anlisis Combinatorio5 SEC44

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