ANÁLISIS CINEMÁTICO DE UN TREN PLANETARIO...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE UN TREN

PLANETARIO PENTAXIAL

TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO MECÁNICO

PRESENTA

RODRIGO REYES SERRANO

ASESORES M. en C. ANTONIO CAMARENA GALLARDO

M. en C.© MARIO ANTONIO RAMÍREZ FLORES

ABRIL DEL 2010

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA


DISEÑO CINEMÁTICO DE UN TREN PLANETARIO PENTAXIAL. Ingeniería Mecánica

Rodrigo Reyes Serrano

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DEDICATORIA

La presente tesis se la dedico a mi familia, ya que gracias a sus consejos y palabras de

aliento crecí como persona. A mis padres, tíos y hermanos por su apoyo, confianza y amor.

Principalmente a mi esposa Noemí y a mi hija Zeltzin, que siempre han estado a mi lado

brindándome su apoyo y cariño. Sin ustedes a mi lado no lo hubiera logrado, les agradezco

a todos ustedes, con toda mi alma, el haber llegado a mi vida y el compartir momentos

agradables y tristes, pero esos momentos son los que nos hacen crecer y valorar a las

personas que nos rodean. Los quiero mucho a todos ustedes y gracias por estar a mi lado.





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ÍNDICE

PÁGINA

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………… 6

OBJETIVO……..…………………………………………………………………….. 6

JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………. 6

ANTECEDENTES…………………………………………………………………… 7

1.- MARCO TEÓRICO

1.1.- INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANES

1.1.1.- Historia y evolución…………………………………………...... 9

1.1.2.- Trenes de engranes…………………………………………....... 12

1.1.3.- Teoría de los engranes………………………………………….. 13

1.2.- TIPOS DE ENGRANES

1.2.1.- Rectos…………………………………………………………... 15

1.2.2.- Helicoidales…………………………………………………….. 19

1.2.3.- Cónicos…………………………………………………………. 22

1.2.4.- Cónicos en espiral………………………………………………. 23

1.2.5.- Hipoidales………………………………………………………. 23

1.2.6.- Corona con tornillo sinfín……………………………………… 24

1.3.- TRENES DE ENGRANES

1.3.1.- Tren Ordinario Simple………………………………………….. 26

1.3.2.- Tren Ordinario Compuesto……………………………………... 26

1.3.3.- Tren Epicicloidal………………………………………………... 27

2.- TREN PLANETARIO HUMPAGE

2.1.- TIPO DE MECANISMO……………………………………………….. 30

2.2.- TREN PLANETARIO PRIMARIO…………………………………… 33

2.3.- TREN PLANETARIO SECUNDARIO……………………………….. 34





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2.4.- FUNCIONAMIENTO DEL HUMPAGE……………………………… 35

3.- PROPUESTA DEL TREN PLANETARIO PENTAXIAL

3.1.- TREN PLANETARIO SIMPLE………………………………………. 37

3.2.- TREN PLANETARIO DOBLE. EL HUMPAGE……………………. 38

3.3.- TREN PLANETARIO TRIPLE. EL PENTAXIAL…………………. 40

3.3.1.- Descripción del tren propuesto………………………….……… 40

3.3.2.- Elementos que lo componen………………………………......... 42

3.3.3.- Propuesta del número de dientes……………………………….. 48

4.- CÁLCULO CINEMÁTICO DEL TREN PENTAXIAL

4.1.- POSIBLES COMBINACIONES DE ENGRANAJE………………… 50

4.2.- CÁLCULO DE LAS VELOCIDADES……………………………….. 51

4.3 CUADRO COMPARATIVO DE LAS VELOCIDADES…………….. 80

RESULTADOS………………………...……………………………………………… 81

CONCLUSIONES……..………………………………………………….…………… 83

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………… 83





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INTRODUCCIÓN Esta tesis es un trabajo de investigación para presentar la propuesta del diseño cinemático

de un mecanismo combinado de tres trenes de engranes planetarios, que contiene cinco ejes

coaxiales de movimiento.

Primero se establece el Marco Teórico, donde se exponen las consideraciones teóricas

necesarias para el desarrollo de la tesis. Después se hace un análisis del ―Tren planetario

Humpage‖, que es un mecanismo combinado de dos trenes planetarios. Posteriormente se

presenta la propuesta del ―Tren planetario pentaxial‖. Y, finalmente, se establecen los

cálculos cinemáticos del tren pentaxial, donde se comparan las velocidades obtenidas con

este tren.

Este mecanismo está diseñado de tal forma que tiene cinco ejes de movimiento coaxiales.

De estos ejes, dos son de movimiento de entrada y tres son de salida. Dadas las magnitudes

de las dos velocidades de entrada, se pueden combinar sus sentidos de rotación, lo cual nos

da cuatro posibilidades. Por otro lado, se pueden tener ocho combinaciones de cuáles

pueden ser los dos ejes de entrada; estas ocho combinaciones con las cuatro posibilidades

de sentidos de rotación nos arroja un total de 32 opciones diferentes de la cinemática del

mecanismo. Pero, además, en cada una de estas opciones hay tres ejes de salida, por lo cual

tendremos en total 96 posibles velocidades diferentes, con este mecanismo.

OBJETIVO Con este trabajo, el objetivo que se pretende lograr es hacer el diseño cinemático de un tren

de engranes planetario combinado, que tenga cinco ejes de movimiento, con lo cual se

podrán obtener hasta 96 velocidades diferentes de salida.

JUSTIFICACIÓN El diseño de este tren planetario pentaxial obedece a la necesidad de tener un mecanismo de

transmisión compacto, en el cual se puedan dar dos velocidades de entrada, y obtener una

amplia gama de velocidades de salida.





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ANTECEDENTES

El diseño cinemático de este tren planetario pentaxial está basado en el tren planetario

Humpage, el cual consta de dos ejes de entrada y uno de salida. Se pensó en realizar el

diseño cinemático de este tren planetario para poder tener dos ejes de entrada y tres de

salida, a diferencia del tren planetario Humpage que solo consta de un eje de salida, y así

poder aprovechar dos ejes más de salida. Por esta razón es que se consideró conveniente

realizar el análisis cinemático de este mecanismo, lo cual da origen a este trabajo.





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CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO





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1.1.- INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANES.

1.1.1.- Historia y evolución.

Molde chino para fabricar engranajes de bronce (siglos II a. C. a III d. C.)

Desde épocas muy remotas se han utilizado cuerdas y elementos fabricados en madera para

solucionar los problemas de transporte, impulsión, elevación y movimiento. Nadie sabe a

ciencia cierta dónde ni cuándo se inventaron los engranajes. La literatura de la antigua

China, Grecia, Turquía y Damasco mencionan engranajes pero no aportan muchos detalles

de los mismos.

Mecanismo de Anticitera

El mecanismo de engranajes más antiguo de cuyos restos disponemos es el mecanismo de

Anticitera. Se trata de una calculadora astronómica datada entre el 150 y el 100 a. C. y

compuesta por al menos 30 engranajes de bronce con dientes triangulares. Presenta

características tecnológicas avanzadas como por ejemplo trenes de engranajes

epicicloidales que, hasta el descubrimiento de este mecanismo, se creían inventados en el

http://es.wikipedia.org/wiki/Dinast%C3%ADa_Han

http://es.wikipedia.org/wiki/Bronce

http://es.wikipedia.org/wiki/Transporte

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Impulsi%C3%B3n&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Elevaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/China

http://es.wikipedia.org/wiki/Grecia

http://es.wikipedia.org/wiki/Turqu%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Damasco

http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_Anticitera

http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_Anticitera

http://es.wikipedia.org/wiki/A._C.

http://es.wikipedia.org/wiki/Bronce

http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje_planetario

http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje_planetario

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mold_for_bronze_gear_Han_dinasty.JPG

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:NAMA_Machine_d'Anticyth%C3%A8re_1.jpg





10

siglo XIX. Por citas de Cicerón se sabe que el de Anticitera no fue un ejemplo aislado sino

que existieron al menos otros dos mecanismos similares en esa época, construidos por

Arquímedes y por Posidonio. Por otro lado, a Arquímedes se le suele considerar uno de los

inventores de los engranajes porque diseñó un tornillo sin fin.

En China también se han conservado ejemplos muy antiguos de máquinas con engranajes.

Un ejemplo es el llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 d. C.), un ingenioso

mecanismo que mantenía el brazo de una figura humana apuntando siempre hacia el Sur

gracias al uso de engranajes diferenciales epicicloidales. Algo anteriores, de en torno a

50 d. C., son los engranajes helicoidales tallados en madera y hallados en una tumba real

en la ciudad china de Shensi.

No está claro cómo se transmitió la tecnología de los engranajes en los siglos siguientes. Es

posible que el conocimiento de la época del mecanismo de Anticitera sobreviviese y, con el

florecimiento de la cultura del Islam los siglos XI-XIII y sus trabajos en astronomía, fuera

la base que permitió que volvieran a fabricarse calculadoras astronómicas. En los inicios

del Renacimiento esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados

relojes, en la mayoría de los casos destinados a edificios públicos como catedrales.

Engranaje helicoidal de Leonardo

Leonardo da Vinci, muerto en Francia en 1519, dejó numerosos dibujos y esquemas de

algunos de los mecanismos utilizados hoy diariamente, incluido varios tipos de engranajes

de tipo helicoidal.

Los primeros datos que existen sobre la transmisión de rotación con velocidad angular

uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, cuando el famoso astrónomo

danés Olaf Roemer (1644-1710) propuso la forma o perfil del diente en epicicloide.

http://es.wikipedia.org/wiki/Cicer%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes

http://es.wikipedia.org/wiki/Posidonio

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Shensi&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Islam

http://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Europa

http://es.wikipedia.org/wiki/Reloj

http://es.wikipedia.org/wiki/Catedral

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

http://es.wikipedia.org/wiki/Francia

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/1674

http://es.wikipedia.org/wiki/Olaf_Roemer

http://es.wikipedia.org/wiki/Epicicloide

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Leonardo_Engranaje_helicoidal.jpg





11

Robert Willis (1800-1875), considerado uno de los primeros ingenieros mecánicos, fue el

que obtuvo la primera aplicación práctica de la epicicloide al emplearla en la construcción

de una serie de engranajes intercambiables. De la misma manera, de los primeros

matemáticos fue la idea del empleo de la evolvente de círculo en el perfil del diente, pero

también se deben a Willis las realizaciones prácticas. A Willis se le debe la creación del

odontógrafo, aparato que sirve para el trazado simplificado del perfil del diente de

evolvente.

Es muy posible que fuera el francés Phillipe de Lahire el primero en concebir el diente de

perfil en evolvente en 1695, muy poco tiempo después de que Roemer concibiera el

epicicloidal. La primera aplicación práctica del diente en evolvente fue debida al suizo

Leonhard Euler (1707). En 1856, Christian Schiele descubrió el sistema de fresado de

engranajes rectos por medio de la fresa madre, pero el procedimiento no se llevaría a la

práctica hasta 1887, a base de la patente Grant.

Transmisión antigua

En 1874, el norteamericano William Gleason inventó la primera fresadora de engranajes

cónicos y gracias a la acción de sus hijos, especialmente su hija Kate Gleason (1865-1933),

convirtió a su empresa Gleason Works, radicada en Rochester (Nueva York, EEUU) en una

de los fabricantes de máquinas herramientas más importantes del mundo.

En 1897, el inventor alemán Robert Hermann Pfauter (1885-1914), inventó y patentó una

máquina universal de dentar engranajes rectos y helicoidales por fresa madre. A raíz de este

invento y otros muchos inventos y aplicaciones que realizó sobre el mecanizado de

engranajes, fundó la empresa Pfauter Company que, con el paso del tiempo, se ha

convertido en un multinacional fabricante de todo tipo de máquinas-herramientas.

En 1906, el ingeniero y empresario alemán Friedrich Wilhelm Lorenz (1842-1924) se

especializó en crear maquinaria y equipos de mecanizado de engranajes y en 1906 fabricó

una talladora de engranajes capaz de mecanizar los dientes de una rueda de 6 m de

diámetro, módulo 100 y una longitud del dentado de 1,5 m.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_Willis&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Odont%C3%B3grafo&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Phillipe_de_Lahire&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Christian_Schiele&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Fresa_(herramienta)

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=William_Gleason&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Kate_Gleason&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gleason_Works&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_Hermann_Pfauter&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Friedrich_Wilhelm_Lorenz&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kronrad2.jpg





12

A finales del siglo XIX, coincidiendo con la época dorada del desarrollo de los engranajes,

el inventor y fundador de la empresa Fellows Gear Shaper Company, Edwin R. Fellows

(846-1945), inventó un método revolucionario para mecanizar tornillos sin fin glóbicos

tales como los que se montaban en las cajas de dirección de los vehículos antes de que

fuesen hidráulicas.

En 1905, M. Chambón, de Lyon (Francia), fue el creador de la máquina para el dentado de

engranajes cónicos por procedimiento de fresa madre. Aproximadamente por esas fechas

André Citroën inventó los engranajes helicoidales dobles.

1.1.2.- Trenes de engranes.

La principal clasificación de los engranajes se efectúa según la disposición de sus ejes de

rotación y según los tipos de dentado. Según estos criterios existen los siguientes tipos de

engranajes:

Piñón recto de 18 dientes

Ejes paralelos:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Edwin_R._Fellows&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Tornillo_sin_fin

http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Citro%C3%ABn

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Spur_Gear_12mm,_18t.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Engranajes_de_museo.jpg





13

Engranajes especiales. Parque de las Ciencias de Granada.

Cilíndricos de dientes rectos

Cilíndricos de dientes helicoidales

Doble helicoidales

Ejes perpendiculares

Helicoidales cruzados

Cónicos de dientes rectos

Cónicos de dientes helicoidales

Cónicos hipoides

De rueda y tornillo sinfín

Por aplicaciones especiales se pueden citar:

Planetarios

Interiores

De cremallera

Por la forma de transmitir el movimiento se pueden citar:

Transmisión simple

Transmisión con engranaje loco

Transmisión compuesta. Tren de engranajes

Transmisión mediante cadena o polea dentada

Mecanismo piñón cadena

Polea dentada

1.1.3.- Teoría de los engranes.

Un tren de engranajes es un mecanismo formado por varios pares de engranajes

acoplados de tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor

del siguiente. Suele denominarse como la cadena cinemática formada por varias

ruedas que ruedan sin deslizar entre sí; o bien como cualquier sistema de ejes y

ruedas dentadas que incluya más de dos ruedas o tándem de ejes y ruedas dentadas.

En la Figura 1 se muestra un ejemplo genérico de un sistema de engranaje o tren de

engranajes. Generalmente se recurre a ellos porque no es posible establecer una

determinada relación de transmisión entre dos ejes mediante un solo par de ruedas

http://es.wikipedia.org/wiki/Parque_de_las_Ciencias_de_Granada





14

dentadas; o también porque se desea obtener un mecanismo con relación de

transmisión variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas.

Figura 1. Ejemplo de Tren de engranajes





15

1.2.- TIPOS DE ENGRANES.

1.2.1.- Rectos.

Elementos de un engranaje.

Representación del desplazamiento del punto de engrane en un engranaje recto.

Los engranajes cilíndricos rectos son el tipo de engranaje más simple y corriente que existe.

Se utilizan generalmente para velocidades pequeñas y medias; a grandes velocidades, si no

son rectificados, o ha sido corregido su tallado, producen ruido cuyo nivel depende de la

velocidad de giro que tengan.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Partes_engranaje.png

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Involute_wheel.gif





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Diente de un engranaje: son los que realizan el esfuerzo de empuje y transmiten la

potencia desde los ejes motrices a los ejes conducidos. El perfil del diente, o sea la

forma de sus flancos, está constituido por dos curvas evolventes de círculo,

simétricas respecto al eje que pasa por el centro del mismo.

Módulo: el módulo de un engranaje es una característica de magnitud que se define

como la relación entre la medida del diámetro primitivo expresado en milímetros y

el número de dientes. En los países anglosajones se emplea otra característica

llamada Diametral Pitch, que es inversamente proporcional al módulo. El valor del

módulo se fija mediante cálculo de resistencia de materiales en virtud de la potencia

a transmitir y en función de la relación de transmisión que se establezca. El tamaño

de los dientes está normalizado. El módulo está indicado por números. Dos

engranajes que engranen tienen que tener el mismo módulo.

Circunferencia primitiva: es la circunferencia a lo largo de la cual engranan los

dientes. Con relación a la circunferencia primitiva se determinan todas las

características que definen los diferentes elementos de los dientes de los engranajes.

Paso circular: es la longitud de la circunferencia primitiva correspondiente a un

diente y un vano consecutivos.

Espesor del diente: es el grosor del diente en la zona de contacto, o sea, del

diámetro primitivo.

Número de dientes: es el número de dientes que tiene el engranaje. Se simboliza

como (Z). Es fundamental para calcular la relación de transmisión. El número de

dientes de un engranaje no debe estar por debajo de 18 dientes cuando el ángulo de

presión es 20º ni por debajo de 12 dientes cuando el ángulo de presión es de 25º.

Diámetro exterior: es el diámetro de la circunferencia que limita la parte exterior

del engranaje.

Diámetro interior: es el diámetro de la circunferencia que limita el pie del diente.

Pie del diente: también se conoce con el nombre de dedendum. Es la parte del

diente comprendida entre la circunferencia interior y la circunferencia primitiva.

Cabeza del diente: también se conoce con el nombre de adendum. Es la parte del

diente comprendida entre el diámetro exterior y el diámetro primitivo.

Flanco: es la cara interior del diente, es su zona de rozamiento.

Altura del diente: es la suma de la altura de la cabeza (adendum) más la altura del

pie (dedendum).

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo

http://es.wikipedia.org/wiki/Eje

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro





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Angulo de presión: el que forma la línea de acción con la tangente a la

circunferencia de paso, φ (20º ó 25º son los ángulos normalizados).

Largo del diente: es la longitud que tiene el diente del engranaje

Distancia entre centro de dos engranajes: es la distancia que hay entre los centros

de las circunferencias de los engranajes.

Relación de transmisión: es la relación de giro que existe entre el piñón conductor

y la rueda conducida. La Rt puede ser reductora de velocidad o multiplicadora de

velocidad. La relación de transmisión recomendada tanto en caso de reducción

como de multiplicación depende de la velocidad que tenga la transmisión con los

datos orientativos que se indican:

Velocidad lenta:

Velocidad normal:

Velocidad elevada:

Hay dos tipos de engranajes, los llamados de diente normal y los de diente corto cuya altura

es más pequeña que el considerado como diente normal. En los engranajes de diente corto,

la cabeza del diente vale (0,75M), y la altura del pie del diente vale (M) siendo el valor de

la altura total del diente (1,75M)

Fórmulas constructivas de los engranajes rectos

Diámetro primitivo:

Módulo:

Paso circular:





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Número de dientes:

Diámetro exterior:

Espesor del diente:

Diámetro interior:

Pie del diente:

Cabeza del diente: M

Altura del diente:

Distancia entre centros:

Ecuación general de transmisión:





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1.2.2.- Helicoidales

Engranaje helicoidal

Los engranajes cilíndricos de dentado helicoidal están caracterizados por su dentado

oblicuo con relación al eje de rotación. En estos engranajes el movimiento se transmite de

modo igual que en los cilíndricos de dentado recto, pero con mayores ventajas. Los ejes de

los engranajes helicoidales pueden ser paralelos o cruzarse, generalmente a 90º. Para

eliminar el empuje axial el dentado puede hacerse doble helicoidal.

Los engranajes helicoidales tienen la ventaja que transmiten más potencia que los rectos, y

también pueden transmitir más velocidad, son más silenciosos y más duraderos; además,

pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. De sus inconvenientes se puede

decir que se desgastan más que los rectos, son más caros de fabricar y necesitan

generalmente más engrase que los rectos.

Lo más característico de un engranaje cilíndrico helicoidal es la hélice que forma, siendo

considerada la hélice como el avance de una vuelta completa del diámetro primitivo del

engranaje. De esta hélice deriva el ángulo β que forma el dentado con el eje axial. Este

ángulo tiene que ser igual para las dos ruedas que engranan pero de orientación contraria, o

sea: uno a derechas y el otro a izquierda. Su valor se establece a priori de acuerdo con la

velocidad que tenga la transmisión, los datos orientativos de este ángulo son los siguientes:

Velocidad lenta: β = (5º - 10º)

Velocidad normal: β = (15º - 25º)

Velocidad elevada: β = 30º

Las relaciones de transmisión que se aconsejan son más o menos parecidas a las de los

engranajes rectos.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Empuje_axial&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anim_engrenages_helicoidaux.gif





20

Fórmulas constructivas de los engranajes helicoidales cilíndricos

Como consecuencia de la hélice que tienen los engranajes helicoidales su proceso de

tallado es diferente al de un engranaje recto, porque se necesita de una transmisión

cinemática que haga posible conseguir la hélice requerida. Algunos datos dimensionales de

estos engranajes son diferentes de los rectos.

Juego de engranajes helicoidales

Diámetro exterior:

Diámetro primitivo:

Módulo normal o real:

Paso normal o real:

Ángulo de la hélice:

Paso de la hélice:

Módulo circular o aparente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Helical_Gears.jpg





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Paso circular aparente:

Paso axial:

Número de dientes:

Los demás datos tales como adendum, dedendum y distancia entre centros, son los mismos

valores que los engranajes rectos.

Engranajes helicoidales dobles

Este tipo de engranajes fueron inventados por el fabricante de automóviles francés André

Citroën, y el objetivo que consiguen es eliminar el empuje axial que tienen los engranajes

helicoidales simples. Los dientes de los dos engranajes forman una especie de V.

Los engranajes dobles son una combinación de hélice derecha e izquierda. El empuje axial

que absorben los apoyos o cojinetes de los engranajes helicoidales es una desventaja de

ellos y ésta se elimina por la reacción del empuje igual y opuesto de una rama simétrica de

un engrane helicoidal doble.

Un engrane de doble hélice sufre únicamente la mitad del error de deslizamiento que el de

una sola hélice o del engranaje recto. Toda discusión relacionada a los engranes

helicoidales sencillos (de ejes paralelos) es aplicable a los engranajes helicoidales dobles,

exceptuando que el ángulo de la hélice es generalmente mayor para los helicoidales dobles,

puesto que no hay empuje axial.

Con el método inicial de fabricación, los engranajes dobles, conocidos como engranajes de

espina, tenían un canal central para separar los dientes opuestos, lo que facilitaba su

mecanizado. El desarrollo de las máquinas talladoras mortajadoras por generación, tipo

Sykes, hace posible tener dientes continuos, sin el hueco central. Como curiosidad, la

empresa Citroën ha adaptado en su logotipo la huella que produce la rodadura de los

engranajes helicoidales dobles.



http://es.wikipedia.org/wiki/Citro%C3%ABn

http://es.wikipedia.org/wiki/Logotipo





22

1.2.3.- Cónicos.

Engranaje cónico

Se fabrican a partir de un tronco de cono, formándose los dientes por fresado de su

superficie exterior. Estos dientes pueden ser rectos, helicoidales o curvos. Esta familia de

engranajes soluciona la transmisión entre ejes que se cortan y que se cruzan. Los datos de

cálculos de estos engranajes están en prontuarios específicos de mecanizado.

Engranajes cónicos de dientes rectos

Efectúan la transmisión de movimiento de ejes que se cortan en un mismo plano,

generalmente en ángulo recto, por medio de superficies cónicas dentadas. Los dientes

convergen en el punto de intersección de los ejes. Son utilizados para efectuar reducción de

velocidad con ejes en 90°. Estos engranajes generan más ruido que los engranajes cónicos

helicoidales. Se utilizan en transmisiones antiguas y lentas. En la actualidad se usan muy

Engranaje cónico helicoidal

Se utilizan para reducir la velocidad en un eje de 90°. La diferencia con el cónico recto es

que posee una mayor superficie de contacto. Es de un funcionamiento relativamente

silencioso. Además pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. Los datos

constructivos de estos engranajes se encuentran en prontuarios técnicos de mecanizado. Se

mecanizan en fresadoras especiales.

Engranaje cónico hipoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kegelradgetriebe.jpg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:EngranajeConicoHelicoidal.JPG





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Un engranaje hipoide es un grupo de engranajes cónicos helicoidales formados por un

piñón reductor de pocos dientes y una rueda de muchos dientes, que se instala

principalmente en los vehículos industriales que tienen la tracción en los ejes traseros.

Tiene la ventaja de ser muy adecuado para las carrocerías de tipo bajo, ganando así mucha

estabilidad el vehículo. Por otra parte la disposición helicoidal del dentado permite un

mayor contacto de los dientes del piñón con los de la corona, obteniéndose mayor robustez

en la transmisión. Su mecanizado es muy complicado y se utilizan para ello máquinas

talladoras especiales (Gleason)

1.2.4.- Cónicos en espiral.

El engranaje cónico espiral tiene dientes curvos oblicuos. Se da un ángulo espiral a los

dientes de manera que el avance de la cara sea mayor que paso circular, lo que produce un

contacto continuo de línea de paso en el plano de los ejes del engranaje. Con esto se

consigue una operación suave para un menor número de dientes en el piñón en el caso de

los engranajes cilíndricos rectos de Zerol que no tiene un contacto continuo de línea de

paso.

Además, en los engranajes cónicos espirales el contacto del diente se inicia en un extremo

del diente y avanza en forma oblicua atravesando la cara del diente, lo que contrasta con la

acción del diente en los engranajes cónico rectos o Zerol en los que el contacto se produce

al mismo tiempo en todo lo ancho de la cara del diente. En consecuencia, los engranajes

cónico espirales tienen una acción más suave que el engranaje cónico recto y Zerol y son

especialmente indicados para el trabajo a altas velocidades.

1.2.5.- Hipoidales.

Durante cierto tiempo los engranajes espirales se utilizaron exclusivamente en las

transmisiones de los ejes traseros de los automóviles. En 1925 Gleason introduzco el

engranaje hiperbólico que lo reemplazo en esta aplicación. Estos son de apariencia

semejante a los cónicos espirales excepto que el eje del piñón esta desplazado con respecto

a la corona de manera que los ejes no se interceptan. Para poder tener este descentramiento

a la vez que se mantiene el contacto de la línea, la superficie de contacto de un engranaje

hipoidal se aproxima a un hiperboloide de revolución en vez de a un cono como en los

engranajes cónicos.

El descentramiento es una ventaja e las aplicaciones automotrices debido a que permite

bajar la flecha de los cardan, lo que a su vez permite bajar la carrocería. Adicionalmente,

los piñones hipoidales son más fuertes que los piñones cónicos espirales, debido a que se

pueden diseñar de tal manera que el ángulo espiral del piñón sea mayor que el de la corona,





24

lo que a su vez produce un mayor diámetro del piñón y más fuerte como resultado, que en

el piñón cónico correspondiente.

Otra diferencia es que los engranajes hipoidales tienen efecto deslizante a lo largo de los

dientes en tanto que los engranajes cónicos espirales no la tienen. Los engranajes hipoidales

actúan más silenciosamente y se pueden emplear en relaciones mayores de velocidades que

los engranajes cónicos espirales; aparte de que los engranajes hipoidales pueden ser

esmerilados perfectamente.

1.2.6.- Corona con tornillo sinfín.

Tornillo sin fin de montacargas

Es un mecanismo diseñado para transmitir grandes esfuerzos, y como reductores de

velocidad aumentando la potencia de transmisión. Generalmente trabajan en ejes que se

cruzan a 90º. Tiene la desventaja de no ser reversible el sentido de giro, sobre todo en

grandes relaciones de transmisión y de consumir en rozamiento una parte importante de la

potencia. En las construcciones de mayor calidad la corona está fabricada de bronce y el

tornillo sin fin, de acero templado con el fin de reducir el rozamiento. Este mecanismo si

transmite grandes esfuerzos es necesario que esté muy bien lubricado para matizar los

desgastes por fricción.

El número de entradas de un tornillo sin fin suele ser de una a ocho. Los datos de cálculo de

estos engranajes están en prontuarios de mecanizado.

Tornillo sin fin y corona glóbicos

Con el fin de convertir el punto de contacto en una línea de contacto y así distribuir mejor

la fuerza a transmitir, se suelen fabricar tornillos sin fin que engranan con una corona

glóbica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Acero

http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanizado

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:TornillloSinFinMontacargas.JPG

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Schneckenrad_Schneckenwelle.jpg





25

Otra forma de distribuir la fuerza a transmitir es utilizar como corona una rueda helicoidal y

hacer el tornillo sin fin glóbico, de esta manera se consigue aumentar el número de dientes

que están en contacto. Finalmente también se produce otra forma de acoplamiento donde

tanto el tornillo sin fin como la corona tienen forma glóbica consiguiendo mejor contacto

entre las superficies.

Mecanizado de coronas y tornillos sin fin

El mecanizado de las coronas de engranaje de tornillo sin fin se puede realizar por medio de

fresas normales o por fresas madre. El diámetro de la fresa debe coincidir con el diámetro

primitivo del tornillo sin fin con la que engrane si se desea que el contacto sea lineal. El

mecanizado del tornillo sin fin se puede hacer por medio de fresas bicónicas o fresas

frontales. También se pueden mecanizar en el torno de forma similar al roscado de un

tornillo. Para el mecanizado de tornillos sin fin glóbicos se utiliza el procedimiento de

generación que tienen las máquinas Fellows.





26

1.3.- TRENES DE ENGRANES.

1.3.1.- Tren Ordinario Simple.

En un tren de engranajes ordinario simple, las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes

entre los que ha de establecerse la relación de transmisión deseada. En el tren de engranajes,

todos los ejes de las ruedas que lo componen (tanto extremas como intermedias) apoyan sobre

un mismo soporte fijo, según se puede ver en la Figura 2

Figura 2. Tren de engranajes ordinario simple

El mecanismo consta de tres o más ruedas dentadas que engranan. La relación de

transmisión viene dada por las características de las ruedas motriz y conducida, y no se ve

afectada por la presencia de las ruedas intermedias (ruedas locas)

La función de las ruedas intermedias suele limitarse a invertir el sentido de giro de la rueda

conducida.

1.3.2.- Tren Ordinario Compuesto.

El tren de engranajes compuesto está formado, como mínimo, por una rueda dentada doble.

La rueda dentada doble consta de dos ruedas dentadas de distinto tamaño que están unidas

y, por tanto, giran a la misma velocidad.





27

La relación de transmisión global del tren se obtiene multiplicando las dos relaciones de

transmisión simples.

1.3.3.- Tren Epicicloidal.

Un engranaje planetario o engranaje epicicloidal es un sistema de engranajes (o tren de

engranajes) consistente en uno o más engranajes externos o satélites que rotan sobre un

engranaje central o planeta. Típicamente, los satélites se montan sobre un brazo móvil o

portasatélites que a su vez puede rotar en relación al planeta. Los sistemas de engranajes

planetarios pueden incorporar también el uso de un engranaje anular externo o corona, que

engrana con los satélites. El sistema, de esta manera, tiene dos grados de libertad que se

restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija o central (2). En el

caso de los trenes epicicloidales, también cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes,

según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales.

Figura 3. Tren de engranajes epicicloidales

http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje





28

Figura 4. Tren de engranajes planetarios

En la Figura 4 se muestra un tren de engranajes planetarios con la nomenclatura y

distinción de los componentes.

Para resolver el problema cinemático se procede de los engranajes planetarios:

- Nos situamos sobre el brazo portasatélites, para estudiar el movimiento relativo respecto

del mismo (es decir lo convertimos en el eslabón de referencia). Desde el punto de vista

analítico, ello equivale a introducir una velocidad –ω3

(siendo ω3

la velocidad de giro del

brazo portasatélites) al conjunto del sistema.

- El brazo, de esta forma, se queda fijo, la rueda fija gira con velocidad –ω3

y la rueda

satélite (4) con velocidad ω4

– ω3.





29

CAPÍTULO 2

TREN PLANETARIO HUMPAGE





30

Como ya se estableció en el Capítulo 2, un tren planetario es un mecanismo de

engranaje que tiene dos ejes de entrada y uno de salida. Esta conformación nos da la

posibilidad de que podamos estar variando las dos velocidades de entrada y así poder tener

una amplia variación de valores para la velocidad de salida; efecto que no podemos obtener

tan ampliamente con un tren de engranes ordinario.

En los trenes planetarios, los tres ejes de movimiento corresponden a los ejes de

rotación de los dos engranes centrales y del brazo. Los dos ejes de entrada pueden ser

cualquiera de estos tres ejes de rotación, y el eje de salida será el restante. Incluso, a

excepción del eje del brazo, cualquiera de los ejes de rotación de los engranes centrales

puede ser un eje de entrada con velocidad cero, o sea sin movimiento; en estos casos sólo

tendremos en realidad una velocidad de entrada.

2.1.- TIPO DE MECANISMO.

El tren planetario Humpage lo podemos clasificar como un mecanismo combinado

en serie, con eslabones comunes. Este mecanismo está conformado por dos trenes

planetarios que comparten un mismo brazo y un mismo engrane central de entrada; o sea,

estos dos elementos son los eslabones comunes.

Una característica del tren Humpage es que uno de sus engranes centrales está fijo,

o sea, su velocidad es cero y, por lo tanto, en este mecanismo sólo habrá una velocidad de

entrada.

Otra característica es que el eje de rotación del brazo no tiene salida hacia el

exterior del mecanismo; esto es, su movimiento queda ―ahogado‖ dentro del mecanismo.

En la figura N° 2.1 se muestra una fotografía de un tren Humpage, la figura N° 2.2

contiene un esquema del tren Humpage y en la figura N° 2.3 se indica el diagrama de este

mecanismo.





31

FIGURA N° 2.1 Fotografía de un tren Humpage.





32

1

4

3

2

5

6

FIGURA N° 2.2. Esquema del tren Humpage.

1

4

3

2

5

6

FIGURA N° 2.3. Diagrama del tren Humpage.





33

2.2.- TREN PLANETARIO PRIMARIO.

El tren planetario Humpage está conformado, como ya se indicó, por dos trenes

planetarios simples, donde el brazo es uno sólo y común a los dos trenes. A estos dos trenes

simples les llamaremos tren planetario primario y tren planetario secundario.

El tren planetario primario es el que recibe el movimiento de entrada al mecanismo.

Está conformado por los siguientes eslabones:

El engrane (o piñón) 2, que es donde se inicia el movimiento; éste es el primer

engrane central del planetario.

El engrane 3, que va montado sobre el brazo; éste es el engrane satélite del

planetario.

El eslabón 4, que es el brazo del planetario.

El engrane 1, el cual está fijo, no se mueve; éste es el segundo engrane central del

planetario.

En la figura N° 2.4 se muestra el diagrama del tren primario.

1

4

3

2

FIGURA N° 2.4. Diagrama del tren planetario primario.





34

2.3.- TREN PLANETARIO SECUNDARIO.

El tren planetario secundario es el que nos proporciona el movimiento de salida, en

el mecanismo Humpage. Este tren está integrado por los siguientes eslabones:

El engrane (o piñón) 2, que es donde se inicia el movimiento; éste es el primer

engrane central del planetario.

El tren ordinario compuesto, conformado por los engranes 3 y 5, que va montado

sobre el brazo; estos son los engranes satélites del planetario.

El eslabón 4, que es el brazo del planetario.

El engrane 6, que es el segundo engrane central del planetario; este engrane es el

que nos proporciona el movimiento de salida. Sobre el eje de este engrane es que gira el

brazo.

En la figura N° 2.5 se muestra el tren secundario.

4

3

2

5

6

FIGURA N° 2.5. Diagrama del tren planetario secundario.





35

2.4.- FUNCIONAMIENTO DEL HUMPAGE.

El funcionamiento del reductor Humpage es de la siguiente forma (ver Fig. N° 2.3).

Al girar el eje de entrada adquiere rotación el engrane central 2, el cual le da movimiento al

engrane satélite 3, que gira libremente sobre la rama del brazo 4. Sin embargo, el satélite 3

está también conectado al engrane central 1, pero como este engrane está fijo entonces el

satélite 4 empieza a ―rodar‖ sobre este engrane central, y el efecto que produce es que el eje

del brazo empiece a girar alrededor del eje principal del mecanismo. Todo esto es lo que

define el movimiento del primer tren planetario simple.

Una vez que el brazo adquirió su movimiento, el funcionamiento del segundo tren

planetario simple es el siguiente. Al girar el engrane central 2 le transmite movimiento al

engrane satélite 3 y éste, a través de su eje hueco de rotación, le imprime la misma

velocidad al engrane satélite 5, ya que estos dos engranes conforman un tren ordinario

compuesto. Como el eje de rotación del engrane satélite 5 es la rama del brazo, el cual ya

adquirió velocidad por medio del primer planetario, entonces este satélite 5 empieza a rodar

sobre el engrane central 6. Pero debido a que la relación —o proporción— entre dientes

(Valor del Tren) entre el satélite 4 y el central 1 no es la misma que entre el satélite 5 y el

central 6, entonces se produce un efecto de ―arrastre‖ del satélite 5 sobre el central 6, con la

consiguiente producción de movimiento de rotación en el engrane 6, lo cual nos

proporciona la velocidad del eje de salida.

Cabe aclarar que en cualquier tren planetario simple siempre se tienen tres ejes de

rotación: el del primer engrane central, el del brazo, y el del segundo engrane central;

independientemente del caso particular de que alguno de los engranes centrales no se

mueva.

En consecuencia, teóricamente, para dos trenes planetarios simples, como es el caso

del Humpage, deberíamos tener seis ejes de rotación, pero sólo tenemos dos: el de entrada,

que es el que le da movimiento al engrane central inicial (engrane 2) del primer tren

planetario simple, y el de salida, que corresponde al movimiento del engrane central final

(engrane 6) del segundo tren planetario simple. Entonces ¿qué pasa con los otros cuatro

ejes? Pues como ya se indicó, el eje de rotación del engrane central 2, es el mismo tanto

para el primero como para el segundo planetario. El brazo 4, y su eje de rotación, es el

mismo tanto para el primer planetario como para el segundo y, además, este eje no sale del

mecanismo. Y, por último, el eje de rotación del engrane central 1, del primer planetario,

―no existe‖ porque este engrane está fijo. Así que, teóricamente, sí tenemos los 6 ejes: dos

veces el eje del engrane central 2 (que es el eje de entrada), dos veces el eje del brazo 4

(que no sale del mecanismo), el eje del engrane central 1 (que no se mueve), y el eje del

engrane central 6 (que es el eje de salida).





36

CAPÍTULO 3

PROPUESTA DEL TREN PLANETARIO

PENTAXIAL





37

El tren planetario pentaxial que se propone en este trabajo consta de tres trenes

planetarios simples, que están sobrepuestos, esto es, que tienen eslabones comunes. Para

mayor claridad, a continuación se expone lo que sería un tren planetario simple. Después se

explica lo que sería el tren planetario doble, que es el tren Humpage y, finalmente, se

presenta el tren planetario triple, que es la propuesta, ya que este último sería un tren de

engranes con cinco ejes, o sea el tren planetario pentaxial.

3.1.- TREN PLANETARIO SIMPLE.

Primero es necesario caracterizar a los trenes planetarios simples (Fig. N° 3.1) que

componen tanto al reductor Humpage como al modelo que se propone.

5

4

3

2

Fig. N° 3.1. Tren Planetario Simple.

Este tren planetario simple consta de engranes cónicos, ejes de rotación y brazo.

Tiene dos engranes centrales, uno grande (5) y uno pequeño (2), un engrane satélite (3) y

un brazo (4). Además, como cualquier tren planetario, hay un eje principal del mecanismo

que es la línea que pasa por los centros de los dos engranes centrales.





38

3.2.- TREN PLANETARIO DOBLE. EL HUMPAGE.

Como ya se indicó, el modelo que aquí se presenta está basado en el tren reductor

Humpage. Las características principales de este reductor son las siguientes (ver Fig. N°

3.2):

1

4

3

2

5

6

Fig. 3.2. Tren planetario Humpage.

1).- Consta de dos trenes planetarios simples.

2).- Los dos trenes planetarios comparten un mismo brazo común (4).

3).- Los dos trenes tienen el mismo engrane central de entrada (2).

4).- El eje de rotación del brazo (que generalmente en los trenes planetarios es de

entrada o de salida) en este tren no sale del mecanismo.

5).- El engrane central mayor está fijo (1).

6).- Tiene dos engranes satélites (3 y 5) que conforman un tren ordinario compuesto;

esto es, están unidos por un mismo eje, que en este caso es hueco, y que gira

libremente sobre la rama del brazo.

7).- El eje de salida es el eje de rotación del engrane central mediano (6).





39

En este tren planetario Humpage, tenemos:

El primer tren planetario simple consta de los siguientes elementos (ver Fig. N°

3.2):

1).- Eje principal: la línea central entre el eje de entrada y el eje de salida.

2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama).

3).- Engrane satélite: eslabón 3.

4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 1.

El segundo tren planetario simple consta de los siguientes elementos (ver Fig. N°

3.2):

1).- Eje principal: la línea central entre el eje de entrada y el eje de salida.


3).- Engranes satélites: eslabones 3 y 5.


El funcionamiento del reductor Humpage es de la siguiente forma (ver Fig. N° 2).

Al girar el eje de entrada adquiere rotación el engrane central 2, el cual le da movimiento al

engrane satélite 3, que gira libremente sobre la rama del brazo 4. Sin embargo, el satélite 3

está también conectado al engrane central 1, pero como este engrane está fijo entonces el

satélite 4 empieza a ―rodar‖ sobre este engrane central, y el efecto que produce es que el eje

del brazo empiece a girar alrededor del eje principal del mecanismo. Todo esto es lo que

define el movimiento del primer tren planetario simple.

Una vez que el brazo adquirió su movimiento, el funcionamiento del segundo tren

planetario simple es el siguiente. Al girar el engrane central 2 le transmite movimiento al

engrane satélite 3 y éste, a través de su eje hueco de rotación, le imprime la misma

velocidad al engrane satélite 5, ya que estos dos engranes conforman un tren ordinario

compuesto. Como el eje de rotación del engrane satélite 5 es la rama del brazo, el cual ya

adquirió velocidad por medio del primer planetario, entonces este satélite 5 empieza a rodar

sobre el engrane central 6. Pero debido a que la relación —o proporción— entre dientes

(Valor del Tren) entre el satélite 4 y el central 1 no es la misma que entre el satélite 5 y el

central 6, entonces se produce un efecto de ―arrastre‖ del satélite 5 sobre el central 6, con la

consiguiente producción de movimiento de rotación en el engrane 6, lo cual nos

proporciona la velocidad del eje de salida. Cabe aclarar que en cualquier tren planetario

simple siempre se tienen tres ejes de rotación: el del primer engrane central, el del brazo, y

el del segundo engrane central; independientemente del caso particular de que alguno de los

engranes centrales no se mueva.

En consecuencia, teóricamente, para dos trenes planetarios simples, como es el caso

del Humpage, deberíamos tener seis ejes de rotación, pero sólo tenemos dos: el de entrada,

que es el que le da movimiento al engrane central inicial del primer tren planetario simple,

y el de salida, que corresponde al movimiento del engrane central final del segundo tren

planetario simple. Entonces ¿qué pasa con los otros cuatro ejes? Pues como ya se describió





40

en el funcionamiento del tren Humpage, el eje de rotación del engrane central 2, es el

mismo tanto para el primero como para el segundo planetario. El brazo 4, y su eje de

rotación, es el mismo tanto para el primer planetario como para el segundo y, además, este

eje no sale del mecanismo. Y, por último, el eje de rotación del engrane central 1, del

primer planetario, ―no existe‖ porque este engrane está fijo. Así que, teóricamente, sí

tenemos los 6 ejes: dos veces el eje del central 2 (que es el eje de entrada), dos veces el eje

del brazo 4 (que no sale del mecanismo), el eje del central 1 (que no se mueve), y el eje del

central 6 (que es el eje de salida).

3.3.- TREN PLANETARIO TRIPLE. EL PENTAXIAL.

3.3.1.- Descripción del tren propuesto.

Considerando lo anteriormente expuesto es que se pensó en la posibilidad de poder

establecer ciertas características o modificaciones al tren planetario Humpage, de tal forma

que se pudiera utilizar el movimiento del eje de rotación del brazo 4. Se rediseñó el tren

Humpage con esta característica y así surgió la primera propuesta de diseño o modelo de un

nuevo tren planetario basado en el Humpage. En la Fig. N° 3.3 se muestra esta propuesta.

1

4

3

2

5

6

Fig. N° 3.3 Primera propuesta.





41

Como se puede ver en el diagrama de la figura referida, el eje de rotación del brazo

4 ahora si tiene salida del mecanismo. Con esta modificación ahora el tren planetario tiene

dos velocidades de salida: una en el eje del engrane central 6 (como ya se tenía) y otra en el

eje de rotación del brazo.

Sin embargo, como en esta primera propuesta el engrane central 1 sigue teniendo la

característica de mantenerse fijo, entonces se pensó en darle movimiento. Por lo tanto, en la

segunda propuesta se estableció que ahora se tuvieran dos velocidades de entrada, una en el

eje del engrane central 2 y la otra en el eje del engrane central 7 (antes 1), ver Fig. N° 3.4.

7

4

3

2

5

6

Fig. N° 3.4. Segunda propuesta.

Cabe aquí señalar el siguiente cambio de nomenclatura: El engrane central que

estaba fijo tenía la numeración ―1‖, porque todos los elementos que no se mueven, de un

mecanismo, deben ser el eslabón ―1‖; pero como ahora se propone que este eslabón sí tenga

movimiento, entonces su numeración debe ser diferente de ―1‖, por ejemplo ―7‖. En la Fig.

N° 3.4 ya se utiliza este cambio.

Después se estableció que así como se tiene una velocidad de entrada en el engrane

central 2, el cual mueve directamente al engrane satélite 3, también sería posible mover

directamente al engrane satélite 5 a través de otro engrane central, que no sea el 6. De esta





42

manera es que se llegó a la tercera propuesta de este trabajo, al agregar el engrane central 8.

Ver Fig. N° 4.5.

7

4

3

2

6

8

5

Fig. N° 3.5. Tercera propuesta.

De esta manera, en el diseño final propuesto se tienen cinco ejes de movimiento. De

éstos, dos ejes tendrán los movimientos de entrada y tres ejes serán los de movimiento de

salida.

3.3.2.- Elementos que componen el tren pentaxial.

Al haber agregado este engrane central 8, el tren propuesto se convierte en un tren

planetario compuesto, que contiene tres trenes planetarios simples, que son los siguientes

(ver Fig. N° 3.5):

El primer tren planetario simple consta de los siguientes elementos:

1).- Eje principal: la línea central del eje del brazo.






43

3).- Engrane satélite: eslabón 3.


El segundo tren planetario simple consta de los siguientes elementos:





El tercer tren planetario simple consta de los siguientes elementos:





En todo el mecanismo completo, que es un tren planetario compuesto, se tiene que

el brazo 4 es un eslabón común a los tres trenes planetarios simples; el engrane satélite 3 es

un eslabón común a los tres trenes planetarios simples; y el engrane satélite 5 es un eslabón

común al segundo y tercer trenes planetarios simples.

Finalmente, aunque no se realizó un análisis dinámico del mecanismo como ya se

había indicado, se propone que para una distribución más equilibrada de las fuerzas que se

generen, el brazo debe ser de más de una rama, con su correspondiente multiplicidad de los

engranes satélites. Dependiendo de un posterior análisis dinámico particular, para el diseño

dinámico se podrían tener dos, tres o hasta cuatro ramas del brazo. Como ejemplificación

de esto, el diseño final que se propone en este trabajo es con un brazo de dos ramas, como

se muestra en la Fig. N° 7.





44

7

4

3

5

8

3

2

56

A E DC B

Fig. N° 3.6. Propuesta final del tren planetario pentaxial.

Las figuras anteriores son diagramas de los diferentes trenes propuestos. En las

figuras que se presentan a continuación se muestran varias vistas del tren pentaxial

diseñado.





45

Fig. N° 3.7. Vista frontal.

Fig. N° 3.8. Vista superior.





46

Fig. N° 3.9. Vista lateral izquierda.

Fig. N° 3.10. Vista lateral derecha.





47

Fig. N° 3.11. Isométrico sudoeste.

Fig. N° 3.12. Isometrico sudeste.





48

3.3.3.- Propuesta del número de dientes.

Para poder aplicar calcular (en el siguiente capítulo) las velocidades del tren

pentaxial, es necesario conocer el número de dientes (N) de cada engrane.

La cantidad de dientes de cada engrane no puede ser arbitraria, ya que los engranes

que estén en contacto, unos con otros, a través de los dientes, deben tener el mismo paso

para que puedan engranar. La relación entre el número de dientes, en estos casos, resulta

igual a la relación entre los diámetros de los engranes.

Con base en lo anterior, habrá una relación entre dientes en los subconjuntos de

engranes 2-3-7 y 8-5-6. Dicho de otra manera, dando el valor del número de dientes a los

engranes 2 y 8, todos los demás engranes tendrán un número de dientes predeterminado.

En el caso del subconjunto 2-3-7, y considerando que el engrane de entrada, el N° 2,

es pequeño, se le asigna un valor de 20 dientes. De acuerdo a lo indicado y tomando en

cuenta la relación de diámetros de los engranes, se proponen los siguientes valores:

Para el engrane 3: 55 dientes; y para el engrane 7: 75 dientes.

En el caso del subconjunto 8-5-6, se propone para el engrane 8 15 dientes.

Considerando la proporción entre diámetros de los engranes de este subconjunto, tendremos

los siguientes valores:

Para el engrane 5: 25 dientes y para el engrane 6: 36 dientes.

Resumiendo, el número de dientes será:

N° de engrane N° de dientes Ni

2 20 N2

3 55 N3

5 25 N5

6 36 N6

7 75 N7

8 15 N8





49

CAPÍTULO 4

CÁLCULO CINEMÁTICO DEL TREN

PENTAXIAL





50

4.1.- POSIBLES COMBINACIONES DE ENGRANAJE.

El tren planetario Humpage (ver Fig. N° 3.2) se utiliza como un reductor de

velocidad, ya que al dar una velocidad de entrada al eje del engrane 2 se obtiene una

velocidad de salida en el eje del engrane 6, con una proporción de reducción de alrededor

de 100. Sin embargo, teóricamente es posible hacer una inversión del mecanismo, dando la

velocidad de entrada en el eje del engrane 6 y obtener una velocidad de salida en el eje del

engrane 2; con lo cual el mecanismo se convierte en un amplificador, con la misma

proporción de 100.

Considerando lo anterior, el modelo aquí propuesto puede funcionar como reductor

de velocidad o como amplificador de velocidad, dependiendo esto de cuáles sean los ejes

de entrada y cuáles los de salida. Como dos de los cinco ejes deber ser de velocidad de

entrada y los otros tres serán los de salida, entonces se puede hacer una serie de

combinaciones, lo cual nos arroja un total de 8 posibilidades de combinación del

mecanismo. En la Fig. N° 4.1 se muestra una tabla con todas estas posibilidades, donde se

hace referencia a los ejes por medio de las letras. La nomenclatura correspondiente de los

ejes se indica en la Fig. N° 4.2.

Combinación Ejes de

entrada

Ejes de salida

1a C D E A B

2a C E D A B

3a C A E D B

4a B E D A C

5a B D A C E

6a B A C D E

7a A D B C E

8a A E B C D

Fig. N° 4.1. Posibles combinaciones de movimientos de los ejes.





51

7

4

3

5

8

3

2

56

A E DC B

Fig. N° 4.2. Nomenclatura de los ejes y eslabones.

Además, dadas las magnitudes de las velocidades de rotación de los dos ejes que se

hayan seleccionado, se puede tener para cada eje dos alternativas del sentido de rotación, y

para el conjunto simultáneo de estos dos ejes, existirán cuatro posibilidades de combinación

de estos sentidos de rotación, lo cual nos da un total de 32 posibles soluciones cinemáticas

del mecanismo propuesto.

Cabe aclarar que hay otras dos combinaciones que no pueden ser posibles. No se

puede dar simultáneamente movimiento a los ejes C y B, ni a los ejes E y D; porque esto

implicaría tener dos velocidades diferentes en el tren compuesto de los engranes satélites,

condición imposible.

4.2.- CÁLCULO DE LAS VELOCIDADES.

Para el cálculo de las velocidades, hay que partir de la ecuación general de

movimiento de un tren planetario, la cual es:

𝑣𝑡 = 𝜔𝑓− 𝜔𝑏

𝜔 𝑖− 𝜔𝑏

Donde 𝑣𝑡 es el Valor del Tren, 𝜔𝑓 es la velocidad final (del eje de salida), 𝜔𝑏 es la

velocidad del brazo, y 𝜔𝑖 es la velocidad inicial (del eje de entrada). El Valor del tren, 𝑣𝑡,

se calcula por separado para cada tren planetario, suponiendo que el brazo no se mueve y





52

que, por lo tanto, el tren planetario se convertiría en un tren ordinario, ya sea simple o

compuesto.

Además, para resolver esta ecuación habrá que determinar el Valor del Tren,

suponiendo que el brazo no se mueve, por lo cual el tren planetario se comportaría como un

tren ordinario. Si este tren ordinario es simple, el Valor del Tren será:

𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓

Donde 𝑁𝑖 es el número de dientes del engrane inicial y 𝑁𝑓 es el número de dientes

del engrane final.

En el caso de que el tren ordinario sea compuesto, el Valor del Tren será:

𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐

Donde 𝑁𝑚 es el producto de los números de dientes de los engranes motrices, y

𝑁𝑐 es el producto de los números de dientes de los engranes conducidos.

El Valor del Tren (𝑉𝑇) debe llevar un signo, para los dos casos del tren ordinario.

Será positivo si el engrane inicial y el engrane final giran (o girarían) en el mismo sentido

(el que sea). 𝑉𝑇 será negativo si estos engranes giran en sentidos contrarios.

Como ya se indicó, el modelo propuesto en esta tesis tiene 32 posibles soluciones. A

continuación se realiza el cálculo de las velocidades para cada una de las 4 posibilidades

(por los sentidos de giro), de cada una de las 8 combinaciones, lo que nos da las 32 posibles

soluciones.

En cada uno de los cálculos que a continuación se realizan, se analizarán cada uno

de los tres trenes planetarios que conforman el tren pentaxial.

Se podrían establecer ecuaciones o fórmulas generales para cada combinación, pero

mejor supondremos los valores de las velocidades de entrada para obtener valores

numéricos de las velocidades de salida; esto es con el fin de posteriormente establecer una

tabla comparativa de los resultados.

Puesto que hay que dar el valor numérico de las dos velocidades de entrada, en

general éstas serían diferentes; sin embargo, asignaremos el valor numérico de 1000 RPM a

un eje y de 500 RPM al otro eje.

Respecto a los sentidos de rotación, tomaremos la convención de que los giros en

sentido antihorario, visto de izquierda a derecha, serán positivos; y los giros en sentido





53

horario, también vistos de izquierda a derecha, serán negativos (es la convención

matemática tradicional).

Por último, recordaremos el número de dientes de cada engrane:

N° de engrane N° de dientes Ni

2 20 N2

3 55 N3

5 25 N5

6 36 N6

7 75 N7

8 15 N8

a).- 1ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: C y D, ejes de salida: E, A y B. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐶 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴

Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario

simple, y tendremos:

𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666

Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos:

𝑣𝑡 = 𝜔𝑓 − 𝜔𝑏

𝜔𝑖 − 𝜔𝑏

−0.2666 = 500 − 𝜔4

1000 − 𝜔4

Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔4 = 605.2423 o sea: 𝜔𝐴 = 605.2423





54

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos:

𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 605.2423


compuesto, y tendremos:

𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525




−0.2525 = 𝜔6 − 605.2423

1000 − 605.2423

Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔6 = 505.5659 o sea: 𝜔𝐸 = 505.5659

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos:

𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 605.2423



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606




0.606 = 𝜔8 − 605.2423

1000 − 605.2423

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 844.4654, o sea:

𝜔𝐵 = 844.4654





55

a.2).- Segunda posibilidad:

𝜔𝐶 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 1000 𝑅𝑃𝑀

i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666




−0.2666 = 1000 − 𝜔4

500 − 𝜔4

Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔4 = 895.1816, o sea: 𝜔𝐴 = 895.1816


𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 895.1816



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525




−0.2525 = 𝜔6 − (895.1816)

500 − (895.1816)


𝜔𝐸 = 994.9646





56





𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606




0.606 = 𝜔8 − (895.1816)

500 − (895.1816)

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 655.7016, o sea: 𝜔𝐵 = 655.7016

a).- 2ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: C y E, ejes de salida: D, A y B. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐶 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525








57

−0.2525 = 500 − 𝜔4

1000 − 𝜔4


ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos:

𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 600.7984



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666




−0.2666 = 𝜔7 − 600.7984

1000 − 600.7984

Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔7 = 494.3712 o sea: 𝜔𝐷 = 494.3712





𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606




0.606 = 𝜔8 − 600.7984

1000 − 600.7984





58

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 842.7145, o sea: 𝜔𝐵 = 842.7145


𝜔𝐶 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 1000 𝑅𝑃𝑀

i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 1000 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525




−0.2525 = 1000 − 𝜔4

500 − 𝜔4



𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 899.2015



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666








59

−0.2666 = 𝜔7 − 899.2015

500 − 899.2015






𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606




0.606 = 𝜔8 − 899.2015

500 − 899.2015


𝜔𝐵 = 657.2853

a).- 3ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: C y A, ejes de salida: E, D y B. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐶 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐴 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666





60




−0.2666 = 𝜔7 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔7 = −366.7 o sea: 𝜔𝐷 = −366.7

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525




−0.2525 = 𝜔6 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔6 = −373.75 o sea: 𝜔𝐸 = −373.75

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606





61




0.606 = 𝜔8 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 803 , o sea: 𝜔𝐵 = 803


𝜔𝐶 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐴 = 1000 𝑅𝑃𝑀

i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos:

𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 == 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁2

𝑁7=

20

75= −0.2666




−0.2666 = 𝜔7 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔7 = 1133.3 o sea:

𝜔𝐷 = 1133.3 ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000





62

Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario compuesto, y tendremos:

𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁6=

20 (25)

55 (36)= −0.2525




−0.2525 = 𝜔6 − 1000

500 − 1000


𝜔𝐸 = 1126.25

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁2𝑁5

𝑁3𝑁8=

20 (25)

55 (15)= 0.606




0.606 = 𝜔8 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 697 , o sea:

𝜔𝐵 = 697





63

a).- 4ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: B y E, ejes de salida: D, A y C. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐵 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1,8, 5, 4 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166




−0.4166 = 500 − 𝜔4

1000 − 𝜔4



𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 647.0422



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44








64

−0.44 = 𝜔7 − 647.0422

1000 − 647.0422


𝜔𝐷 = 491.7408


𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 647.0422



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65




−1.65 = 𝜔2 − 647.0422

1000 − 647.0422


𝜔𝐶 = 64.6619


𝜔𝐵 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 1000 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 1000 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166





65




−0.4166 = 1000 − 𝜔4

500 − 𝜔4



𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 852.9577



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44




−0.44 = 𝜔7 − 852.9577

500 − 852.9577






𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65








66

−1.65 = 𝜔2 − 852.9577

500 − 852.9577

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = 1435.3379 , o sea: 𝜔𝐶 = 1435.3379

a).- 5ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: B y D, ejes de salida: A, C y E. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐵 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44




−0.44 = 500 − 𝜔4

1000 − 𝜔4



𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 652.7777





67


𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166




−0.4166 = 𝜔6 − 652.7777

1000 − 652.7777






𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65




−1.65 = 𝜔2 − 652.7777

1000 − 652.7777


𝜔𝐶 = 79.861





68


𝜔𝐵 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 1000 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44




−0.44 = 1000 − 𝜔4

500 − 𝜔4


𝜔𝐴 = 847.2222 ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4 y 6) tendremos:

𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 847.2222



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166




−0.4166 = 𝜔6 − 847.2222

500 − 847.2222





69






𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65




−1.65 = 𝜔2 − 847.2222

500 − 847.2222

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = 1420.1388, o sea: 𝜔𝐶 = 1420.1388

a).- 6ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: B y A, ejes de salida: C, D y E. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐵 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐴 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44





70




−0.44 = 𝜔7 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔7 = 280 o sea: 𝜔𝐷 = 280

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166




−0.4166 = 𝜔6 − 500

1000 − 500


iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65





71




−1.65 = 𝜔2 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = −325, o sea: 𝜔𝐶 = −325


𝜔𝐵 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐴 = 1000 𝑅𝑃𝑀

i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁7=

15 (55)

25 (75)= −0.44




−0.44 = 𝜔7 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔7 = 1220 o sea: 𝜔𝐷 = 1220

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000





72


𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁8

𝑁6=

15

36 = −0.4166




−0.4166 = 𝜔6 − 1000

500 − 1000


𝜔𝐸 = 1208.3

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 8, 5, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁8𝑁3

𝑁5𝑁2=

15 (55)

25 (20)= −1.65




−1.65 = 𝜔2 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = 1825, o sea:

𝜔𝐶 = 1825





73

a).- 7ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: A y D, ejes de salida: B, C y E. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐴 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁7

𝑁2=

75

20 = −3.75




−3.75 = 𝜔2 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔2 = 2875 o sea: 𝜔𝐶 = 2875

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁7𝑁5

𝑁3𝑁6=

75 (25)

55 (36)= −0.9469








74

−0.9469 = 𝜔6 − 1000

500 − 1000


𝜔𝐸 = 1473.45

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3, 5 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁7𝑁5

𝑁3𝑁8=

75 (25)

55 (15)= −2.2727




−2.2727 = 𝜔8 − 1000

500 − 1000


𝜔𝐵 = 2136.35


𝜔𝐴 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 1000 𝑅𝑃𝑀

i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁7

𝑁2=

75

20 = −3.75





75




−3.75 = 𝜔2 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔2 = −1375 o sea: 𝜔𝐶 = −1375

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3, 5 y 6) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁7𝑁5

𝑁3𝑁6=

75 (25)

55 (36)= −0.9469




−0.9469 = 𝜔6 − 500

1000 − 500


iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 7, 4, 3, 5 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁7𝑁5

𝑁3𝑁8=

75 (25)

55 (15)= −2.2727





76




−2.2727 = 𝜔8 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = −636.35, o sea: 𝜔𝐵 = −636.35

a).- 8ª COMBINACIÓN Ejes de entrada: A y E, ejes de salida: B, C y D. a.1).- Primera posibilidad:

𝜔𝐴 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 500 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁6

𝑁8=

36

15 = −2.4




−2.4 = 𝜔8 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 1200 o sea: 𝜔𝐵 = 1200





77

ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁6𝑁3

𝑁5𝑁2=

36 (55)

25 (20)= −3.96




−3.96 = 𝜔2 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = 2980 o sea: 𝜔𝐶 = 2980

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 1000



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁6𝑁3

𝑁5𝑁7=

36 (55)

25 (75)= −1.056




−1.056 = 𝜔7 − 1000

500 − 1000

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔7 = 1528, o sea:

𝜔𝐷 = 1528





78


𝜔𝐴 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 1000 𝑅𝑃𝑀 i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4 y 8) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑖

𝑁𝑓=

𝑁6

𝑁8=

36

15 = −2.4




−2.4 = 𝜔8 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = −700 o sea:

𝜔𝐵 = −700 ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4, 3 y 2) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁6𝑁3

𝑁5𝑁2=

36 (55)

25 (20)= −3.96




−3.96 = 𝜔2 − 500

1000 − 500





79

Despejando la variable 𝜔2 obtenemos: 𝜔2 = −1480 o sea: 𝜔𝐶 = −1480

iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 6, 5, 4, 3 y 7) tendremos: 𝜔𝑖 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 500



𝑉𝑇 = 𝑁𝑚

𝑁𝑐=

𝑁6𝑁3

𝑁5𝑁7=

36 (55)

25 (75)= −1.056




−1.056 = 𝜔7 − 500

1000 − 500

Despejando la variable 𝜔7 obtenemos: 𝜔7 = −28, o sea:

𝜔𝐷 = −28





80

4.3 CUADRO COMPARATIVO DE LAS VELOCIDADES.

Velocidades obtenidas por cada eje.

Combinación Ejes de entrada Ejes de salida

1a 1ª C=1000 E=500 A=605 E=505 B=844

1a 2ª C=500 E=1000 A=895 E=994 B=655

2a 1ª C=1000 D=500 A=600 D=494 B=842

2a 2ª C=500 D=1000 A=899 D=627 B=539

3a 1ª C=1000 A=500 E=-376 D=-366 B=803

3a 2ª C=500 A=1000 E=1126 D=1133 B=697

4a 1ª B=1000 E=500 D=491 A=647 C=64

4a 2ª B=500 E=1000 D=1008 A=852 C=1435

5a 1ª B=1000 D=500 A=652 C=79 E=508

5a 2ª B=500 D=1000 A=847 C=1420 E=997

6a 1ª B=1000 A=500 C=-325 D=280 E=291

6a 2ª B=500 A=1000 C=1825 D=1220 E=1208

7a 1ª A=1000 D=500 B=2136 C=2875 E=1473

7a 2ª A=500 D=1000 B=-636 C=-1375 E=26

8a 1ª A=1000 E=500 B=3500 C=2980 D=1528

8a 2ª A=500 E=1000 B=-2000 C=-1480 D=-28





81

RESULTADOS

Los resultados que se obtuvieron a través del análisis cinemático de este tren

planetario son satisfactorios, gracias a los resultados obtenidos mediante el cálculo

cinemático de los trenes planetarios, podemos observar la variedad de velocidades

obtenidas las cuales se demuestran en la siguiente tabla.

Velocidades obtenidas ordenadas de mayor a menor de todos los ejes de salida.

Combinación Ejes de entrada Eje de

salida

8a 1ª A=1000 E=500 B=3500

8a 1ª A=1000 E=500 C=2980

7a 1ª A=1000 D=500 C=2875

7a 1ª A=1000 D=500 B=2136

8a 2ª A=500 E=1000 B=-2000

6a 2ª B=500 A=1000 C=1825

8a 1ª A=1000 E=500 D=1528

8a 2ª A=500 E=1000 C=-1480

7a 1ª A=1000 D=500 E=1473

4a 2ª B=500 E=1000 C=1435

5a 2ª B=500 D=1000 C=1420

7a 2ª A=500 D=1000 C=-1375

6a 2ª B=500 A=1000 D=1220

6a 2ª B=500 A=1000 E=1208

3a 2ª C=500 A=1000 D=1133

3a 2ª C=500 A=1000 E=1126

4a 2ª B=500 E=1000 D=1008

5a 2ª B=500 D=1000 E=997

1a 2ª C=500 E=1000 E=994

2a 2ª C=500 D=1000 A=899

1a 2ª C=500 E=1000 A=895

4a 2ª B=500 E=1000 A=852

5a 2ª B=500 D=1000 A=847

1a 1ª C=1000 E=500 B=844

2a 1ª C=1000 D=500 B=842





82

3a 1ª C=1000 A=500 B=803

3a 2ª C=500 A=1000 B=697

1a 2ª C=500 E=1000 B=655

5a 1ª B=1000 D=500 A=652

4a 1ª B=1000 E=500 A=647

7a 2ª A=500 D=1000 B=-636

2a 2ª C=500 D=1000 D=627

1a 1ª C=1000 E=500 A=605

2a 1ª C=1000 D=500 A=600

2a 2ª C=500 D=1000 B=539

5a 1ª B=1000 D=500 E=508

1a 1ª C=1000 E=500 E=505

2a 1ª C=1000 D=500 D=494

4a 1ª B=1000 E=500 D=491

3a 1ª C=1000 A=500 E=-376

3a 1ª C=1000 A=500 D=-366

6a 1ª B=1000 A=500 C=-325

6a 1ª B=1000 A=500 E=291

6a 1ª B=1000 A=500 D=280

5a 1ª B=1000 D=500 C=79

4a 1ª B=1000 E=500 C=64

8a 2ª A=500 E=1000 D=-28

7a 2ª A=500 D=1000 E=26





83

CONCLUSIONES

Dentro de la gran variedad de mecanismos que hay, los trenes de engranes son de

gran utilidad porque nos permiten trasladar el movimiento de rotación de un eje a otro; pero

además, nos dan la posibilidad de variar el valor de la velocidad. El tren planetario

pentaxial, cuyo diseño cinemático se analizó en este trabajo, nos da la característica de

lograr una gran variación de la velocidad, dependiendo de los ejes de entrada seleccionados

y las velocidades suministradas. Y es de considerar su aplicación en la solución de

problemas técnicos y de ingeniería.

BIBLIOGRAFÍA

Calero y Carta. FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA

INGENIEROS. Editorial: Mc Graw Hill.

Carrizosa y Rivera. INTRODUCCIÓN A LOS MECANISMOS. Editorial: IPN.

Dijksman. CINEMÁTICA DE MECANISMOS. Editorial: LIMUSA.

Erdman y Sandor. DISEÑO DE MECANISMOS. ANÁLISIS Y SÍNTESIS.

Editorial: Prentice hall.

Guillet. CINEMÁTICA DE MÁQUINAS. Editorial: CECSA.

Kozhevnikov. MECANISMOS. Editorial: Gustavo Hill.

Mabie y Reinholtz. MECANISMOS Y DINÁMICA DE MAQUINARIA. Editorial:

LIMUSA-IPN.

Nieto Nieto. SÍNTESIS DE MECANISMOS. Editorial. A.C. Madrid.

Palacios. Título: ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS. Tomo I y II.

Editorial: IPN.

Shigley. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS. Editorial: Mc Graw Hill.

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