1

ANALISIS COMBINATORIO

El anlisis combinatorio es una parte de la matemtica que se ocupa de resolver los problemas de

ordenacin de conjuntos y sus elementos. Para resolverlos, se deben definir principalmente factorial,

Arreglos o Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

Principio de adicin

1. Nmero de formas posibles de realizar alguna de n operaciones si una operacin puede realizarse de K1 formas, una segunda operacin se puede realizar de K2 formas, ... y la n-sima operacin se puede realizar de Kn formas y adems todas las operaciones son mutuamente excluyentes.

K1 + K2 + K3 + . . . + Kn

Ejemplo 1. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, cuntas diferentes combinaciones puede llevar?

Solucin: 3 4 = 12 diferentes combinaciones sombrero-brazalete.

b) Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. A cuntos diferentes

lugares podemos ir a almorzar?

Solucin: 3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares

1. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por carretera de cuatro formas y por avin de dos

formas. De cuntas formas diferentes puede viajar la persona de una ciudad a la otra?

Solucin

______________________________________________________________________________________________

2. Manuel desea comprar un artculo que se vende en tres centros comerciales: el primero se tiene

disponible en dos tiendas, en el segundo en 4 tiendas y en el tercer centro comercial en 3 tiendas De

cuntas maneras diferentes puede adquirir Manuel dicho artculo?

Solucin

_____________________________________________________________________________________________

3. Ada es lder de una empresa constructora y tiene que asistir a un evento, observa en su closet que

tiene a su disposicin 5 vestidos y 4 conjuntos. De cuntas formas puede vestirse?

Solucin

________________________________________________________________________________________________

4. Enzo es un coleccionista fantico de The Beatles y una de sus primeras producciones Socorro se

venden en 4 tiendas del Jockey Plaza, en 5 tiendas de la plaza San Miguel y en 6 stand del Mega Plaza.

De cuntas formas puede comprar dicha produccin?

Solucin

_______________________________________________________________________________________________

2

Principio de la multiplicacin

Si un experimento se puede describir como una sucesin de k etapas, en la que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1)(n2)(nk)

1. Una joven tiene 34 polos, 16 pantalones y 15 pares de zapatos de cuntas maneras diferentes se

puede vestir?

Solucin

_________________________________________________________________________________________________

2. De cuntas formas se puede realizar un viaje de A hasta C pasando por B, sabiendo que de A hacia B

hay 3 caminos y de B hacia C hay 5 caminos?

Solucin

_________________________________________________________________________________________________

3. Cuntos nmeros de placa de automvil de 5 smbolos se puede hacer, si cada placa comienza con 2

letras distintas (A,B oC) y termina con dgitos cualesquiera?

Solucin

________________________________________________________________________________________________

4. Un vendedor tiene 7 clientes en Honduras y 13 clientes en Guatemala. De cuntas formas puede l

telefonear

a) a un cliente en Honduras y luego a uno en Guatemala?

_______________________________________________________________________________________________

b) a un cliente en Honduras o a uno en Guatemala?

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5. Claudia visita una tienda de animales. Hay 37 perros y 15 gatos. De cuntas formas puede comprar

a) un perro o un gato? b) un perro y un gato?

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6. En una librera hay 11 libros de terror y 5 de misterio. De cuntas formas podemos seleccionar

a) terror o misterio? b) terror y misterio? c) misterio y otro misterio?

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3

PERMUTACION . Son los diferentes arreglos (ordenaciones) que se pueden hacer con una parte o con

todos los elementos que pertenecen a un conjunto. En toda permutacin lo que importa es el orden .Las

permutaciones pueden ser

Permutacin lineal: Resulta cuando los n objetos considerados son distintos y se ordenan linealmente, de

los cuales se toman k objetos a la vez sin permitir repeticiones, estos arreglos se representan por

)!(

!),(

KN

NKNP

1. Dado el conjunto { a,b,c,d} De cuntas formas pueden ordenarse dos de las letras sin repetirse?

_____________________________________________________________________________________________

2. De cuntas maneras se podrn permutar si de 7 personas,3 obtienen premios?

diferentesmanerasP _210)!37(

!7)3,7(

3. Con las letras de la palabra l ibro , cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por

vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

S entran todos los elementos.

S importa el orden.

No se repiten los elementos.

4. Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos

son mayores de 70.000?

S entran todos los elementos.

S importa el orden.

No se repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 9.

5. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el

portero no puede ocupar otra posicin distinta de la portera?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

S entran todos los elementos.

S importa el orden.

No se repiten los elementos.

6. Un grupo de doce personas hace cola en un cine para comprar una entrada. De cuntas maneras

diferentes pueden formar la cola las doce personas?

4

Solucin

_________________________________________________________________________________________

7. De cuntas maneras se puede elegir un presidente y un secretario de un grupo de 6 personas?

Solucin

_____________________________________________________________________________________________

8. En una carrera participan 5 atletas de cuntas maneras diferentes pueden llegar a la meta?

Solucin

_____________________________________________________________________________________________

9. De cuntas maneras distribuiramos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/.10 en una misma lnea?

Solucin

_______________________________________________________________________________________________

Permutacin circular: Resulta cuando los n objetos considerados son distintos y se ordenan circularmente

(alrededor de una mesa, en rondas, etc.) tomados todos a la vez )!1()( nnPc

10. Cinco primos: Abel,Ana, Gonzalo, Carlos y Martn se van de campamento a Canta, debido al intenso

fro preparan una fogata De cuntas formas pueden sentarse alrededor de la fogata?

Solucin

________________________________________________________________________________________________

Permutacin con repeticin: Resulta cuando los n objetos considerados n1 son similares de alguna

manera, n2 son similares de otra manera,, nk son similares aun de otra manera . Adems nk>0 y n1 +n2++nk =n entonces el total de n permutaciones de los n elementos est dado por:

1 2

1 2

!( , , ,... )

! !... !k

k

nP n n n n

n n n

11. Cuntas palabras diferentes sin importar su significado se pueden formar con las letras de la

palabra BAILABA?

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REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES

Son los diferentes grupos (selecciones) que se pueden hacer con una parte o con todos los elementos que

pertenecen a un conjunto no importa el orden de sus elementos.

Combinacin simple: Resulta cuando los n objetos considerados son distintos y son agrupados de k en k

objetos a la vez sin permitir repeticin de objetos.

!!

!

kkn

nC nk

5

PROPIEDADES

P1) 0 1mC Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

P2) 1mmC Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-

P3) m m

n m nC C Esto es aplicando la definicin y cancelando m.-

P4) 1 1

1

m m m

n n nC C C

Demostracin:

Partiendo del segundo miembro, y aplicando la definicin, sacando comn denominador y sacando factor

comn, se tiene:

P5) 1

1 1

m m m

n n nC C C

Ejemplos

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits

diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

35

3

35! 35.34.336545

35 3 !32! 3.2.1C

2. De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

7

3

7! 7.6.535

7 3 !3! 3.2.C

3. A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han

intercambiado?

No entran todos los elementos.

6

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

10

2

10! 10.945

10 2 !2! 2C

4. Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto

de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

49

6

49!

49 6 !6!C

5. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres.

De cuntas formas puede formarse, si:

a . Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

5 7

2 3 10.35 350C C

b. Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

5 6

2 2C C

c. Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

3 7

2 3C C

6 . Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede

formar con las cinco monedas?

5 5 5 5 5

1 2 3 4 5C C C C C

7. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir

cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Slo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.

S se repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

5

4

(5 4 1)!70

4!(5 1)!CR

8. Un grupo de 25 amigos quiere elegir, al azar, a cuatro de ellos para organizar una fiesta. De cuntas

maneras diferentes se puede elegir a dichas personas?

Solucin

________________________________________________________________________________________________

9. Una persona realiza una jugada de la Tinka, que es un juego de lotera que consiste en elegir 6

nmeros de 45 nmeros posibles. De cuntas maneras diferentes puede elegir esa jugada?

Solucin

________________________________________________________________________________________________

10. Hay 12 maneras en las cules un artculo manufacturado puede tener un pequeo defecto y 10

maneras en las cules puede tener un defecto mayor. De cuntas maneras puede ocurrir:

a. Un defecto menor y 2 mayores o dos defectos menores y uno mayor?

7

_____________________________________________________________________________________________

b)2 defectos menores y dos defectos mayores o a lo ms dos defectos mayores y uno menor?

_______________________________________________________________________________________________

11. En una tienda hay seis camisas y 5 que me gustan. Si decido comprar tres camisas y dos pantalones

De cuntas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

Solucin

______________________________________________________________________________________________

12. De cuntas maneras se puede escoger una comisin formada por 3 hombres y 2 mujeres de un grupo

de 7 hombres y 5 mujeres?

Solucin

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VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIN

Se denomina arreglo o variacin sin repeticin de un conjunto de m elementos tomados de n en n, al nmero de conjuntos distintos formado por n elementos de los m dados, teniendo en cuenta que dos conjuntos son distintos si difieren en sus elementos o en el orden en que fueron colocados.-

Por ejemplo el conjunto formado por las siguientes letras, queriendo formar conjuntos de a dos

letras, o sea un arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2:

A, B, C, D

AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

O sea que el arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2, es 12

Todo arreglo se lo denota como y se lee arreglo sin repeticin o simple de m elementos tomados de n en n, o bien y se lee variacin sin repeticin o simple de m elementos tomados de n en n

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, podemos hacer:

4

2

24 4!12

2 (4 2)!V

que generalizando queda: !

( )!

m

n

mV

m n

1. Dado el conjunto {a,b,c,d} De cuntas formas distintas se pueden seleccionar 2 de las letras sin

repertirse?

Solucin

______________________________________________________________________________________________

2. De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

8

No entran todos los elementos.

S importa el orden.

No se repiten los elementos.

4

2 4.3 12V

VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIN

En el caso de que de un conjunto se pueda escoger un elemento ms de una vez para formar una

variacin o un arreglo, estamos en presencia de un arreglo con repeticin. Por ejemplo:

1. Sea el conjunto formado por A, B, C, D y se quieren formar conjuntos de dos letras, pudiendo ser ellos

formados por las mismas, y dos conjuntos son distintos si difieren en su orden o en sus elementos. Esto

ser:

AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD

Esto es un arreglo con repeticin (se pueden repetir los elementos en un mismo conjunto) de 4 elementos

tomados de 2 en 2, y su resultado es 16.

Ahora realicemos en mismo trabajo, pero aumentando al conjunto un elementos ms y tomemos de a tres

elementos. A, B, C, D, E

AAA AAB AAC AAD AAE BEB BEC BED BEE DDA DDC DDE EAD BEA

ABA ABB ABC ABD ABE CAB CAC CAD CAE DEA DEC DEE EBD CAA

ACA ACB ACC ACD ACE CBB CBC CBD CBE EAA EAC EAE ECD CBA

ADA ADB ADC ADD ADE CCB CCC CCD CCE EBA EBC EBE EDD CCA

AEA AEB AEC AED AEE CDB CDC CDD CDE ECA ECC ECE EED CDA

BAA BAB BAC BAD BAE CEB CEC CED CEE EDA EDC EDE ECB CEA

BBA BBB BBC BBD BBE DAB DAC DAD DAE EEA EEC EEE EDB DAA

BCA BCB BCC BCD BCE DBB DBC DBD DBE DDB DDD EAB EEB DBA

BDA BDB BDC BDD BDE DCB DCC DCD DCE DEB DED EBB DCA

O sea que el total de conjuntos posibles de formar con los 5 elementos tomados de 3 en 3 y que se pueden

repetir sus elementos, es 125

El arreglo con repeticin de m elementos tomados de n en n se denota como . Ahora:

5 5 4 4

3 23 125 2 16VR y VR

O sea que en definitiva: n n

mVR m

3. Con las cifras 1, 2 y 3, Cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? Cuntos son pares?

S entran todos los elementos: 3 < 5

S importa el orden.

S se repiten los elementos.

5 5

3 3 243VR

Si el nmero es par tan slo puede terminar en 2.

4 4

32 3 81VR

9

GUIA DE EJERCICIOS PROPUESTOS

1) De cuntas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante?

2) Cuntos diferente de 6 cifras pueden formarse con los dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y en los cuales no se

repita ningn nmero?

3) De cuantas formas diferentes pueden acomodarse 7 personas en un banco?

4) Si una cuadrilla tiene 14 hombres de cuantas maneras pueden seleccionarse 11 de ellos?

5) Hallar el nmero de personas que asistieron a una reunin, si al despedirse se contaron 78 apretones de

mano?

6) Hallar el valor de x que satisfaga la igualdad 2 2 450x xV C

7) Calcular n y p en la siguiente igualdad 2 2

2 10

n n

p pC C

8) Calcular n en la siguiente igualdad:

1

2 3

2

4

7

5

n n

n

C C

C

9) De cuntas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si tres de ellos deben estar juntos?

10)Cuntos nmeros de 3 cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 pudindose repetir los nmeros?

11)Cuntos polgonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquiera no estn alineados?.-

12)Cuntos cdigos simblicos de cuatro letras se pueden formar con las letras PDQX sin repeticiones?

13)Cuntos nmeros de 5 dgitos se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4?

14)De cuntas maneras pueden estacionarse 6 bicicletas en una hilera?

15)Una mujer se prepara para salir de paseo. Se vestir con 1 de 6 vestidos, con un par de zapatos de 8 que

tiene y podr ir a 1 de 7 restaurantes que hay en la ciudad. De cuntas maneras puede realizar las

actividades?

16)De cuntas maneras pueden arreglar la letras del conjunto {P, D, Q, W, T, Z} para formar cdigos

ordenados de 3 letras sin repeticin?

18)De cuntas maneras pueden asignarse 3 personas a 5 oficinas individuales?

19)Un aula especial tiene 10 pares de audfonos para estudiantes con dificultades auditivas Cuntas

combinaciones posibles de estudiantes y audfonos se pueden dar si 7 estudiantes de la clase necesitan

utilizar los audfonos?

20)Cuntas patentes de vehculos se pueden formar utilizando los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 si se permiten

repeticiones?

21)Cuntos cdigos ordenados se pueden formar utilizando 4 letras del conjunto {A, B, C, D, E} si las letras:

a) no se pueden repetir?

b) S se pueden repetir?

c) No se pueden repetir y el cdigo debe empezar con la letra D?

d) No se pueden repetir y los cdigos deben terminar con la combinacin DE?

10

22) En un examen un estudiante debe seleccionar 6 preguntas de 10 sin importar el orden De cuntas

maneras puede realizarse la seleccin?

23) Cuntas lneas rectas estn determinados por 8 puntos si no hay tres de ellos alineados?

24) En un Senado existen 58 miembros del partido poltico A y 42 del partido B, se deben armar las

Comisiones de trabajo donde habr 6 miembros del partido A y 4 del partido B. Cuntas Comisiones se

pueden formar?

Probabilidades

25. En un concurso particular de 8 alumnos y 9 alumnas de deben escoger a dos ganadores cul es la

probabilidad de que los ganadores sean una pareja mixta? R.9/17

26. Tres caballos intervienen en una carrera ,A tiene el doble de probabilidad que ganar que B y C tiene el

triple de ganar que A cul es la probabilidad de que gane C? R. 2/3

27. En una caja hay tres focos de los cules 4 estn en buen estado, una persona toma al azar tres focos.

Hallar la probabilidad de que por lo menos uno este en buen estadoR.5/6

28. Con 7 ingenieros y 4 mdicos se van a formar comits de 6 miembros Cul es la probabilidad de que el

comit incluya

a. Exactamente dos mdicos? b. A lo sumos tres ingenieros?