Alguien sabe que es el número

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asCaacutetedra Metodologiacutea de las MatemaacuteticasDocente Viacutector Huerta HerreraProfesor de MatemaacuteticaLicenciado en EducacioacutenMaacutester en Tecnologiacuteas de la Informacioacuten

iquestAlguien sabe que es nuacutemero(Extracto)

1 Introduccioacuten

Uno de los temas de estudio usuales en el programa de formacioacuten inicial de maestros es ldquoNuacutemeros naturales Sistemas de numeracioacutenrdquo cuyo objetivo es la profundizacioacuten por parte del estudiante del concepto de nuacutemero natural y sus usos y de las relaciones con los sistemas de siacutembolos que los representan Parece razonable que cuando preguntemos a un estudiante iquestqueacute son los nuacutemeros naturales no se limiten a recitar la serie 1 2 3hellip sino que sean capaces discriminar entre el concepto ldquonuacutemerordquo de los siacutembolos y las palabras mediante los cuales se expresan Sin embargo es tambieacuten esperable que no sean capaces de dar una definicioacuten de la nocioacuten de ldquonuacutemero naturalrdquo Esto no debe sorprendernos el concepto de nuacutemero natural ha sido motivo de fuertes controversias filosoacuteficas de hecho la conceptualizacioacuten actual es relativamente reciente (data de finales del siglo XIX y principios del XX) Asimismo para cualquier concepto matemaacutetico podemos encontrar distintas definiciones coherentes entre siacute pero que resaltan un determinado aspecto del nuacutemero

La naturaleza de los nuacutemeros naturales y en particular su relacioacuten con los conjuntos es una cuestioacuten que interesa tanto a las matemaacuteticas como a la filosofiacutea de las matemaacuteticas Pero los nuacutemeros1 son tambieacuten herramientas esenciales en nuestra vida cotidiana y profesional por lo que constituyen un tema de estudio imprescindible en la escuela desde los primeros niveles El maestro debe tener por tanto ideas claras sobre los usos de los nuacutemeros los sistemas de numeracioacuten los procedimientos de caacutelculo asiacute como sobre el origen y naturaleza de los nuacutemeros

En este trabajo a partir de un episodio de clase en la formacioacuten de maestros abordamos el estudio de las relaciones entre las nociones conjuntistas y los nuacutemeros naturales Consideramos necesario distinguir entre los usos praacutecticos e ldquoinformalesrdquo de los nuacutemeros (responder cuestiones tales como iquestcuaacutentos elementos hay o iquestqueacute lugar ocupa un objeto) y los usos ldquoformalesrdquo (queacute son los nuacutemeros y coacutemo se construyen los sistemas numeacutericos) cuestiones estas uacuteltimas relativas a los fundamentos de la matemaacutetica como cuerpo organizado de conocimientos Dentro de estos dos grandes contextos de uso es posible distinguir diversos momentos histoacutericos en los cuales las cuestiones se abordan con diversos recursos y desde distintas aproximaciones ponieacutendose en juego praacutecticas operativas y discursivas propias Vistos de manera retrospectiva podemos identificar ciertas invariancias que permiten hablar del ldquonuacutemero naturalrdquo en singular pero desde un punto de vista local parece necesario distinguir entre los diversos nuacutemeros naturales que ldquomanejaronrdquo los pueblos primitivos y culturas antiguas (egipcios romanos chinoshellip) como tambieacuten entre las praacutecticas numeacutericas que se realizan actualmente en la escuela infantil o primaria y las que realizan los matemaacuteticos logicistas del siglo XIX o las formulaciones axiomaacuteticas hilbertianas

En vano aplicaremos nosotros los occidentales nuestro propio concepto cientiacutefico del nuacutemero violentamente al objeto de que se ocupaban los matemaacuteticos de Atenas y Bagdad es lo cierto que el tema el propoacutesito y el meacutetodo de la ciencia que en estas ciudades llevaba el mismo nombre eran muy diferentes de los de nuestra matemaacutetica ltltNo hay una matemaacutetica hay muchas matemaacuteticasgtgt (Spengler 1918 96)

Asiacute pues la comprensioacuten de la naturaleza y significado de los nuacutemeros requiere adoptar una visioacuten antropoloacutegica sobre la matemaacutetica como la propuesta entre otras aproximaciones por el ldquoenfoque ontosemioacutetico del conocimiento y la instruccioacuten matemaacuteticardquo (Godino Batanero y Font 2007) Esta es la razoacuten por la que en la seccioacuten 3 incluimos algunas ideas baacutesicas sobre este marco teoacuterico las cuales son seguidamente aplicadas a discernir las caracteriacutesticas principales de los significados informales y formales de los nuacutemeros

Comenzamos presentando el episodio de clase mencionado2 que nos va a servir de motivacioacuten inicial para el abordaje de este problema

2 El episodio de clase


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Incluimos a continuacioacuten un extracto de una interaccioacuten profesor-estudiantes de maestro en torno a la coexistencia no siempre coherente de concepciones diversas de los nuacutemeros naturales El episodio es una muestra de los conflictos semioacuteticos tanto de los estudiantes como del propio formador

[El formador comienza la clase sobre ldquolos nuacutemeros naturalesrdquo expresando]

Trabajaremos primero el concepto de nuacutemero la idea y despueacutes pensaremos en el idioma en que podemos escribirlo iquestQueacute son los nuacutemeros por ejemplo iquestQueacute es el nuacutemero cinco Se nos presenta un problema utilizamos los nuacutemeros desde muy pequentildeos Sin embargo se nos pregunta iquestqueacute es un nuacutemero y tenemos dificultad para responder

[Pregunta a los estudiantes]

iquestAlguien sabe queacute es un nuacutemero3

[Un alumno responde]

ldquoUn signo que designa una cantidadrdquo

[El profesor vuelve a preguntar]

ldquoiquestQueacute es el nuacutemero cuatrordquo

[Los alumnos no responden]

[El profesor escribe en la pizarra el siacutembolo 4 y dice]

Esto no es maacutes que un signo iquestCuaacutel seriacutea la idea que hay detraacutes de esto iquestCoacutemo podriacutea definirlo

[El profesor se responde]

Si quiero comunicar queacute significa el nuacutemero cuatro ponemos ejemplos de grupos que vengan de cuatro en cuatro como por ejemplo cuatro tizas cuatro dedos cuatro personas cuatro sillas etc Lo que tienen de comuacuten todos estos conjuntos es lo que llamamos la idea de ser cuatro

iquestDe queacute manera se trabaja en Educacioacuten infantil y en Educacioacuten primaria Se empieza a mostrar los nuacutemeros como uacutetiles pero como futuros maestros lo vamos a tomar como objeto de estudio

[Continuacutea la clase explicando la construccioacuten logicista de los nuacutemeros naturales como conjunto de las clases de equivalencia de conjuntos finitos obtenidas mediante la relacioacuten de equipotencia o coordinabilidad de conjuntos]

[El profesor mientras dice ldquovamos a partir de dos conjuntosrdquo escribe en la pizarra]

A B conjuntos finitos A asymp B hArr exist f A rarr B biyectiva

[Explica que la relacioacuten de coordinabilidad entre conjuntos es una relacioacuten de equivalencia es decir cumple con las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva Explica que la relacioacuten de equivalencia clasifica a los conjuntos se forman clases de conjuntos]

Para denotar la clase de un conjunto escribiremos Cl(A) = conjuntos B tales que B asymp A

iquestQueacute tienen en comuacuten los conjuntos equipotentes con uno dado

El nuacutemero de elementos Aquello que tienen en comuacuten es lo que se llama nuacutemero natural Se han clasificado todos los conjuntos y a cada una de estas colecciones de conjuntos equipotentes es lo que se llama nuacutemero natural

El episodio muestra un modelo didaacutectico del tipo ldquomayeacuteutica socraacuteticardquo esto es las preguntas del profesor son retoacutericas ya que eacutel detenta toda la carga del discurso De hecho la respuesta inicial dada por el alumno (ldquoun signo que designa una cantidadrdquo) no es considerada ni discutida ni valoradahellip El profesor tiene una ldquohoja de rutardquo que cumplir y en ella no se contemplan las intervenciones de los estudiantes como ldquomotorrdquo del proceso instruccional Las intervenciones de los estudiantes cumplen una mera funcioacuten faacutetica o de contacto esto es mostrar una buena disposicioacuten mutua entre emisor y receptor Este hecho es indicador de la


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presuncioacuten por parte del profesor de la existencia de un ldquosignificado privilegiadordquo del nuacutemero natural a saber aquel asociado a la definicioacuten conjuntista

En la siguiente seccioacuten describimos algunas nociones teoacutericas que consideramos uacutetiles para entender la pluralidad de significados de las nociones matemaacuteticas las cuales aplicaremos al caso de los nuacutemeros naturales

3 Los significados como sistemas de praacutecticas

En el Enfoque Ontosemioacutetico del Conocimiento y la Instruccioacuten Matemaacuteticos (EOS) (Godino Batanero y Font 2007) se concibe el significado de los conceptos matemaacuteticos (nuacutemero funcioacutenhellip) desde una perspectiva pragmaacutetico-antropoloacutegica Seguacuten el EOS el significado de un objeto matemaacutetico es el sistema de praacutecticas operativas y discursivas que una persona (una institucioacuten comunidad de praacutecticashellip) realiza para resolver una cierta clase de situaciones-problema en las que dicho objeto interviene En los sistemas de praacutecticas intervienen diversos tipos de objetos interrelacionados (configuracioacuten) ademaacutes de la propia situacioacuten-problema que motiva las praacutecticas matemaacuteticas en el EOS se consideran como objetos intervinientes y emergentes de las praacutecticas lenguajes conceptos proposiciones procedimientos y argumentos

Los sistemas de praacutecticas se han categorizado en el EOS teniendo en cuenta diversos puntos de vista El primero es la distincioacuten entre las facetas personal e institucional La primera hace referencia a las praacutecticas idiosincraacutesicas de un individuo particular la segunda a las praacutecticas sociales y compartidas por un grupo de personas miembros de una misma institucioacuten Cuando esta nocioacuten se aplica a la descripcioacuten de los conocimientos de un sujeto particular seraacute necesario distinguir el sistema global de praacutecticas que potencialmente puede poner en juego dicho sujeto de los subsistemas de praacutecticas declaradas (en un proceso de evaluacioacuten) y logradas (al ser comparadas con unas praacutecticas institucionales de referencia) En cuanto a las praacutecticas institucionales tambieacuten es necesario distinguir entre las efectivamente implementadas en un proceso de estudio de las pretendidas y de las praacutecticas de referencia De esta manera la interpretacioacuten semioacutetica de las praacutecticas lleva a hablar de significados personales (globales declarados y logrados) y de significados institucionales (implementados evaluados pretendidos referenciales) La figura 1 resume los tipos de significados personales e institucionales introducidos en el EOS

Desde esta perspectiva se entienden los procesos de aprendizaje en teacuterminos de acoplamiento de significados como se indica en la parte central de la figura 1 La ensentildeanza implica la participacioacuten del estudiante en la comunidad de praacutecticas que soporta los significados institucionales y el aprendizaje en uacuteltima instancia supone la apropiacioacuten por el estudiante de dichos significados

Figura 1 Tipos de significados pragmaacuteticos


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31 Significados informales de los nuacutemeros

Para comunicar a otras personas y como medio de registrar para nosotros mismos en otros momentos el tamantildeo o cantidad de elementos de un conjunto de objetos discretos podemos hacerlo usando diferentes recursos y procedimientos

1) En nuestra cultura occidental actual estaacute generalizado el uso de las ldquopalabras numeacutericasrdquo uno dos treshellip y los siacutembolos numeacutericos indoaraacutebigos 1 2 3hellip Estas colecciones ilimitadas de palabras y siacutembolos son las que usan nuestros estudiantes cuando preguntamos por ejemplo iquestCuaacutentos alumnos hay en clase y responden ldquohay noventa y un estudiantesrdquo o escriben ldquo91rdquo Para ello han debido aplicar un procedimiento riguroso de conteo poniendo en correspondencia biyectiva cada alumno de la clase con una y solo una palabra numeacuterica recitadas en un orden establecido

Podemos observar que al contar han aplicado los principios del conteo

1048707Principio del orden estable Las palabras numeacutericas uno dos treshellip deben recitarse siempre en el mismo orden sin saltarse ninguna

1048707Principio de la correspondencia uno a uno A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numeacuterica distinta y soacutelo una

1048707Principio cardinal La palabra adjudicada al uacuteltimo elemento contado del conjunto representa no soacutelo el lugar que ocupa ese objeto en el recuento efectivamente realizado sino tambieacuten el cardinal del conjunto

Como consecuencia de la aplicacioacuten sistemaacutetica de estos principios se tiene

1048707Principio de irrelevancia del orden El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto

Ademaacutes en relacioacuten con el desarrollo cognitivo del nintildeo se tiene el

1048707Principio de abstraccioacuten no importa la naturaleza de los objetos que se esteacuten contando ni si la coleccioacuten es un conjunto homogeacuteneo o heterogeacuteneo de objetos

1048707Principio de conservacioacuten de la cantidad la variacioacuten de la posicioacuten espacial de los objetos no afecta a la cantidad

2) Si les pedimos que comuniquen el resultado del recuento sin usar las ldquopalabras o los siacutembolos numeacutericosrdquo los alumnos pueden inventar otros medios de expresar el tamantildeo numerosidad nuacutemero de elementos (o cardinal) del conjunto de alumnos de la clase Por ejemplo

- La coleccioacuten de marcas hellip o cuadraditos sobre el papel tantos como elementos tiene el conjunto

- Una combinacioacuten de siacutembolos para distintos agrupamientos parciales ( para indicar diez alumnos para expresar una unidad)

Cada uno de estos ldquosistemas de objetosrdquo usados para expresar la ldquopropiedadrdquo de los conjuntos ldquonuacutemero de elementosrdquo o cardinal es un ldquosistema numeralrdquo Para que efectivamente sirvan a este fin deben cumplir una serie de reglas (axiomas de Peano)

1 Uno es nuacutemero natural

2 A cada nuacutemero le corresponde otro nuacutemero que se llama su siguiente o sucesor

3 Uno no es sucesor de ninguacuten otro elemento

4 Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor (la funcioacuten sucesor es inyectiva)

5 Todo subconjunto de N que contiene un primer elemento y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N (principio de induccioacuten)


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Como tenemos libertad para inventar siacutembolos y objetos como medio de expresar el cardinal de los conjuntos esto es de responder a la cuestioacuten iquestcuaacutentos hay la coleccioacuten de sistemas numerales posibles es ilimitada En principio cualquier coleccioacuten ilimitada de objetos cualquiera que sea su naturaleza se podriacutea usar como un sistema numeral diversas culturas han usados conjuntos de piedrecitas o partes del cuerpo humano etc como sistemas numerales

De esta manera es clave aceptar la vinculacioacuten del ldquonuacutemerordquo con el ldquosistema de representacioacutenrdquo pero tambieacuten hay que aceptar que el nuacutemero no tiene una relacioacuten ldquonecesariardquo con un sistema concreto de siacutembolos

Asimismo la conservacioacuten de la cantidad y del nuacutemero de elementos de las colecciones de objetos (cardinalidad) no es la uacutenica caracteriacutestica del nuacutemero El orden lineal el caraacutecter conexo de la serie o las propiedades iterativas de los nuacutemeros son caracteriacutesticas consustanciales y que configuran asimismo su significado

32 Significados formales

Hemos mencionado en el apartado anterior la formulacioacuten axiomaacutetica de Peano para los nuacutemeros naturales la cual se apoya esencialmente en el uso iterado de la funcioacuten siguiente S De hecho la axiomaacutetica de Peano es comuacuten a todos los subconjuntos de nuacutemeros enteros positivos minorados es decir que tienen un elemento miacutenimo o primer elemento Si denotamos por α este primer elemento la axiomaacutetica de Peano permite definir cualquier conjunto E entero minorado En efecto sea E un conjunto E entero minorado entonces

1 α isin E

2 existS S E rarr E tal que forall e isin E S (e) isin E

3 No exist e isin E tal que S (e) = α

4 Sean e u isin N y S (e) = S (u) entonces e = u

5 (Principio de induccioacuten) Sea A sube E tal que

a) α isin A

b) Si e isin A rArr S (e) isin A

Entonces A = E

De tal manera que si asignamos ldquoα = 1 E = Nrdquo se retoma la definicioacuten empiacuterica de los nuacutemeros naturales antes introducida

Pero en el debate ldquofundacionalrdquo de las matemaacuteticas surgido a finales del siglo XIX y principios del XX se introdujeron otras maneras de concebir los nuacutemeros naturales

A finales del siglo XIX se fundamenta toda la matemaacutetica sobre los nuacutemeros naturales y esta uacuteltima sobre la teoriacutea de conjuntos Sin entrar en detalles formales la idea de fondo de esta alternativa es la que usa el formador del episodio mencionado en la seccioacuten 2 partir de un conjunto formado por un solo elemento (y todos los equipotentes o coordinables con eacutel) todos tienen ldquola propiedadrdquo o cardinal de tener un elemento A continuacioacuten se considera un conjunto que tiene la propiedad o cardinal de tener dos elementos y todos los equipotentes con eacutel Y asiacute sucesivamente se construye el sistema de todos los cardinales finitos Es claro que este sistema de cardinales finitos cumple los axiomas de Peano Las entidades matemaacuteticas que se ponen en juego en las situaciones de cardinacioacuten y caacutelculo aritmeacutetico son analizadas de manera formal o estructural en el marco interno de las matemaacuteticas Para ello los nuacutemeros dejan de ser considerados como medios de expresioacuten de cantidades de magnitudes (nuacutemeros de personas o cosas papel que cumplen en una situacioacuten etc) y son interpretados bien como elementos de una estructura caracterizada seguacuten la teoriacutea de conjuntos bien seguacuten los axiomas de Peano5 En este contexto de formalizacioacuten matemaacutetica se plantean cuestiones tales como

- iquestCoacutemo se deberiacutean definir los nuacutemeros

- iquestCoacutemo se deberiacutean definir las operaciones aritmeacuteticas a partir de los axiomas de Peano

- iquestCoacutemo se deberiacutean definir las operaciones aritmeacuteticas cuando los nuacutemeros naturales son definidos como los cardinales de los conjuntos finitos


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- iquestQueacute tipo de estructura algebraica tiene el conjunto N de los naturales dotado de la ley de composicioacuten interna adicioacuten

La respuesta a estas cuestiones requiere la elaboracioacuten de recursos linguumliacutesticos especiacuteficos teacutecnicas operatorias (recursioacuten operaciones conjuntistas) conceptos (definiciones conjuntistas de adicioacuten y sustraccioacuten definiciones recursivas definicioacuten algebraica de sustraccioacuten) propiedades (estructura de semigrupo con elemento neutro para la adicioacuten y multiplicacioacuten) y argumentaciones (deductivas) en definitiva un sistema de praacutecticas operativas y discursivas con rasgos o caracteriacutesticas especiacuteficas adaptadas a la generalidad y rigor del trabajo matemaacutetico

A pesar de las diferencias entre los significados informales-empiacutericos y formales de los nuacutemeros siempre ha existido una fructiacutefera relacioacuten sineacutergica entre los mismos ldquoLos requerimientos praacutecticos han inducido innovaciones de escritura como el refinamiento de los sistemas de notacioacuten posicionales y la introduccioacuten de la notacioacuten numeacuterica negativa Los desarrollos conceptuales han sustentado estas innovaciones asegurando que las reglas de los procedimientos reflejen las estructuras de significados subyacentes asiacute como desarrollando el conocimiento de otras propiedadesrdquo (Ernest 2006 80)

4 iquestQueacute son los nuacutemeros naturales

iquestQueacute son realmente los nuacutemeros si llamamos nuacutemeros tanto a lsquo1 2 3helliprsquo como a lsquouno dos treshelliprsquo como a lsquoone two threehelliprsquo etc (Ferreiroacutes 1998 52) Esta cuestioacuten es sin duda de difiacutecil respuesta si tenemos en cuenta las fuertes controversias que se plantearon entre autores de la talla de Frege Russell Peano Dedekind etc a propoacutesito de las diferentes formulaciones del nuacutemero natural Seguacuten Russell con el fin de proporcionar al concepto de nuacutemero con alguna extensioacuten que sea real tenemos que comprender ldquoel nuacutemero como el nuacutemero de una cantidadrdquo y proporcionar una aplicacioacuten para el concepto asiacute definido demostrando la existencia de conjuntos de cardinalidad arbitraria (Otte 2003 222) De esta manera la intuicioacuten aritmeacutetica se sustituye por una intuicioacuten conjuntista lo que no deja de ser conflictivo

Para Frege los nuacutemeros son objetos perfectamente concretos que existen en un cierto mundo ideal y su anaacutelisis de los naturales se desarrolloacute de acuerdo con esa idea Por el contrario Dedekind se limitoacute a sentildealar que todos los conjuntos de nuacutemeros (ya sean en una lengua o en otra ya los denotemos con cifras aacuterabes o chinas) tienen una misma estructura y que esta estructura es lo que caracteriza al conjunto de nuacutemeros naturales (Ferreiroacutes 1998 52)

El trabajo de Benacerraf (1983) ha dado argumentos de peso para cuestionar las visiones conjuntistas de los nuacutemeros naturales Benacerraf concluye que los nuacutemeros no pueden ser conjuntos o conjuntos de conjuntos ya que existen muy diferentes presentaciones del significado y referencia de las palabras numeacutericas en teacuterminos de la teoriacutea de conjuntos El nuacutemero 3 no es ni maacutes ni menos que aquel que es precedido por 2 y 1 (y en su caso el 0)6 y seguido por 4 5 etc O de manera maacutes precisa es un objeto que estaacute precedido por dos (o tres) objetos en un orden preestablecido y seguido por infinitos tambieacuten ordenados de tal manera que dos elementos definidos como ldquocontiguosrdquo lo seraacuten siempre Con otras palabras cualquier objeto puede desempentildear el papel de 3 esto es cualquier objeto puede ser el tercer elemento en alguna progresioacuten (preestablecida de manera arbitraria) Lo que es peculiar a 3 es que eacutel define ese papel - no por ser un paradigma de ninguacuten objeto que lo juegue sino por representar la relacioacuten que cualquier tercer miembro de una progresioacuten guarda con el resto de la progresioacuten

ldquoPor tanto los nuacutemeros no son objetos en absoluto porque al dar las propiedades (necesarias y suficientes) de los nuacutemeros simplemente caracterizamos una estructura abstracta - y la distincioacuten estaacute en el hecho de que los lsquoelementosrsquo de la estructura no tienen ningunas propiedades distintas de las que relacionan unos con otros lsquoelementosrsquo de la misma estructurardquo (Benacerraf 1983 291)

Una vez que tomamos conciencia de que ademaacutes de los siacutembolos indoaraacutebigos 1 2 3hellip podemos usar una infinita variedad de ldquoobjetosrdquo (perceptibles manipulables o mentales) para expresar el tamantildeo de las colecciones finitas de otros objetos debe resultar conflictivo decir que los nuacutemeros naturales son 1 2 3hellip La uacutenica solucioacuten es aceptar que un nuacutemero natural es un elemento de cualquier sistema numeral y el conjunto de los nuacutemeros naturales es la clase de sistemas numerales no un sistema numeral particular Ahora bien como todo sistema numeral viene caracterizado por una estructura u organizacioacuten recursiva especiacutefica (los axiomas de


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Peano por ejemplo) tambieacuten podemos decir que el conjunto de nuacutemeros naturales se caracteriza por la estructura de cualquier sistema numeral Cada nuacutemero particular seraacute un elemento de dicho sistema

En la vida cotidiana y en la praacutectica escolar los nuacutemeros naturales se asimilan al sistema de siacutembolos y palabras numeacutericas 1 2 3hellip uno dos treshellip one two threehellip pues estos sistemas numerales constituyen sistemas naturalmente ordenados sistemas que cumplen los axiomas de Peano Pero el maestro debe tomar conciencia de que cuando considera la serie de siacutembolos 1 2 3hellip como los nuacutemeros naturales estaacute haciendo uso de una metonimia esto es tomar la parte por el todo no es lo mismo un ejemplar particular que la clase o tipo al que pertenece

El profesor de matemaacuteticas debe conocer que la expresioacuten ldquoEl conjunto N de los nuacutemeros naturalesrdquo induce a confusioacuten ya que fuerza a pensar en una secuencia de objetos identificables de manera uniacutevoca Con ella se oculta la arbitrariedad de la naturaleza de los objetos que forman los sistemas naturalmente ordenados o simplemente a identificarlos con los siacutembolos numerales indoaraacutebigos 1 2 3hellip

Dada la abstraccioacuten que supone este discurso teoacuterico la ensentildeanza de los nuacutemeros en los niveles de educacioacuten primaria deberaacute limitarse a los componentes operatorios (situaciones de cardinacioacuten y ordenacioacuten lenguajes y teacutecnicas) evitando definiciones innecesarias para el trabajo efectivo con los nuacutemeros

La figura 4 representa la pluralidad (sin buscar la exhaustividad) de significados informales y formales de los nuacutemeros naturales Las situaciones de cardinacioacuten han sido abordadas por diversas culturas mediante praacutecticas e instrumentos diferentes dando lugar a objetos ldquonuacutemerordquo diferentes Estas diversas configuraciones numeacutericas son articuladas en nuevos contextos de uso formales dando lugar a distintas construcciones numeacutericas

Figura 4 Pluralidad de significados de los nuacutemeros

Es importante resaltar que las praacutecticas informales no tienen una existencia meramente ldquohistoacutericardquo Coexisten en el tiempo con la formalizacioacuten cientiacutefica en las praacutecticas usuales de las escuelas y determinan el progreso de los significados personales No son un ldquomal menorrdquo sino hitos necesarios en el desarrollo cognitivo de los nintildeos y consustanciales a los procesos de transposicioacuten didaacutectica


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5 Anaacutelisis del episodio y reflexiones finales

En la respuesta del estudiante ldquoUn signo que designa una cantidadrdquo se pone de manifiesto una manera de concebir los nuacutemeros que proviene de la experiencia empiacuterica de uso de los nuacutemeros pero que puede servir de base para describir de manera ldquorigurosardquo ldquolo que son los nuacutemerosrdquo Cualquier sistema de signos que pueda cumplir el papel de designar cantidades (discretas o discretizables) estaraacute formado por un primer elemento y una funcioacuten siguiente uniacutevoca en definitiva un sistema de ldquoobjetosrdquo que cumple los axiomas de Peano o una axiomaacutetica equivalente (Peirce Dedekind)

Ciertamente que el conjunto cociente asociado a la relacioacuten de equipotencia definida entre los conjuntos finitos constituye un sistema ldquonaturalmente ordenadordquo y por tanto cumple los axiomas de Peano Son tambieacuten los nuacutemeros naturales Pero no hay razoacuten matemaacutetica ni filosoacutefica para privilegiar la configuracioacuten de objetos y significados de la construccioacuten logicista de los nuacutemeros La comprensioacuten de los nuacutemeros requiere en particular articular esta configuracioacuten con la generada a partir de los axiomas de Peano que es semejante a la construccioacuten elaborada por Dedekind (1888)

Ademaacutes hay que tener en cuenta que la formalizacioacuten matemaacutetica no agota todos los usos de los nuacutemeros Cuando un nintildeo pequentildeo solicita presionar el botoacuten del ascensor del piso donde vive sabe que el nuacutemero que ahiacute aparece representa un lugar en una botonadura no el nuacutemero de personas que viven ni los antildeos que eacutel tiene ni ninguna otra cantidad De manera similar cuando juega al juego del pantildeuelo y sale corriendo cuando se nombra su nuacutemero entiende que es una forma de designacioacuten de una persona no el nuacutemero de personas que deben salir o que constituyen el equipo Este uso como ordinal o como coacutedigo hace que tanto la respuesta del estudiante como del profesor formador sean restrictivas Por ejemplo iquestqueacute hubiera dicho el profesor si un alumno contesta a la pregunta queacute es el nuacutemero con ldquosigno que designa la posicioacuten de un objeto en una coleccioacuten ordenadardquo

Los nuacutemeros la aritmeacutetica es la respuesta social al problema de comunicar el tamantildeo o numerosidad de los conjuntos de ordenar una coleccioacuten de objetos y de analizar procesos iterativos-recurrentes Pero cada pueblo cada forma de vida comenzoacute dando su propia respuesta a este problema En principio cada sociedad cultura etapa histoacuterica tiene sus propios nuacutemeros y su propia aritmeacutetica asociada distinguible seguacuten la configuracioacuten de objetos y significados que la caracteriza En cada configuracioacuten existen objetos organizados de manera recursiva con un primer elemento y un siguiente determinado de manera uniacutevoca para cada elemento Estas organizaciones son las que permiten solucionar los problemas geneacutericos de la cuantificacioacuten la ordenacioacuten la iteracioacuten y la codificacioacuten Una mirada retrospectiva a todas estas configuraciones es la que permite identificar las regularidades que hoy describimos como nuacutemero natural (Rotman 1988)


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Incluimos a continuacioacuten un extracto de una interaccioacuten profesor-estudiantes de maestro en torno a la coexistencia no siempre coherente de concepciones diversas de los nuacutemeros naturales El episodio es una muestra de los conflictos semioacuteticos tanto de los estudiantes como del propio formador

[El formador comienza la clase sobre ldquolos nuacutemeros naturalesrdquo expresando]

Trabajaremos primero el concepto de nuacutemero la idea y despueacutes pensaremos en el idioma en que podemos escribirlo iquestQueacute son los nuacutemeros por ejemplo iquestQueacute es el nuacutemero cinco Se nos presenta un problema utilizamos los nuacutemeros desde muy pequentildeos Sin embargo se nos pregunta iquestqueacute es un nuacutemero y tenemos dificultad para responder

[Pregunta a los estudiantes]

iquestAlguien sabe queacute es un nuacutemero3

[Un alumno responde]

ldquoUn signo que designa una cantidadrdquo

[El profesor vuelve a preguntar]

ldquoiquestQueacute es el nuacutemero cuatrordquo

[Los alumnos no responden]

[El profesor escribe en la pizarra el siacutembolo 4 y dice]

Esto no es maacutes que un signo iquestCuaacutel seriacutea la idea que hay detraacutes de esto iquestCoacutemo podriacutea definirlo

[El profesor se responde]

Si quiero comunicar queacute significa el nuacutemero cuatro ponemos ejemplos de grupos que vengan de cuatro en cuatro como por ejemplo cuatro tizas cuatro dedos cuatro personas cuatro sillas etc Lo que tienen de comuacuten todos estos conjuntos es lo que llamamos la idea de ser cuatro

iquestDe queacute manera se trabaja en Educacioacuten infantil y en Educacioacuten primaria Se empieza a mostrar los nuacutemeros como uacutetiles pero como futuros maestros lo vamos a tomar como objeto de estudio

[Continuacutea la clase explicando la construccioacuten logicista de los nuacutemeros naturales como conjunto de las clases de equivalencia de conjuntos finitos obtenidas mediante la relacioacuten de equipotencia o coordinabilidad de conjuntos]

[El profesor mientras dice ldquovamos a partir de dos conjuntosrdquo escribe en la pizarra]

A B conjuntos finitos A asymp B hArr exist f A rarr B biyectiva

[Explica que la relacioacuten de coordinabilidad entre conjuntos es una relacioacuten de equivalencia es decir cumple con las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva Explica que la relacioacuten de equivalencia clasifica a los conjuntos se forman clases de conjuntos]

Para denotar la clase de un conjunto escribiremos Cl(A) = conjuntos B tales que B asymp A

iquestQueacute tienen en comuacuten los conjuntos equipotentes con uno dado

El nuacutemero de elementos Aquello que tienen en comuacuten es lo que se llama nuacutemero natural Se han clasificado todos los conjuntos y a cada una de estas colecciones de conjuntos equipotentes es lo que se llama nuacutemero natural

El episodio muestra un modelo didaacutectico del tipo ldquomayeacuteutica socraacuteticardquo esto es las preguntas del profesor son retoacutericas ya que eacutel detenta toda la carga del discurso De hecho la respuesta inicial dada por el alumno (ldquoun signo que designa una cantidadrdquo) no es considerada ni discutida ni valoradahellip El profesor tiene una ldquohoja de rutardquo que cumplir y en ella no se contemplan las intervenciones de los estudiantes como ldquomotorrdquo del proceso instruccional Las intervenciones de los estudiantes cumplen una mera funcioacuten faacutetica o de contacto esto es mostrar una buena disposicioacuten mutua entre emisor y receptor Este hecho es indicador de la


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Entonces A = E








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