Algoritmos Geneticos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

MATEMTICA CENTRO LOCAL METROPOLITANO

APLICACIN DE LOS ALGORITMOS GENTICOS SIMPLES EN LA OPTIMIZACIN DE FUNCIONES REALES

(presentado para optar al ttulo de Licenciado en Matemtica Mencin Anlisis Numrico)

Ral Ins Barrera Nez

Caracas, junio de 2006

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Aprobacin del Profesor Tutor

Luego de haber ledo detenidamente el presente Trabajo de

Grado, le doy m aprobacin tanto en lo referente a forma como a

contenido.

______________________

Jos Ramn Gascn

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INDICE GENERAL Pgina

APROBACIN DEL PROFESOR TUTOR II

VEREDICTO DEL JURADO ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

LISTA DE ILUSTRACIONES V

RESUMEN VI

GLOSARIO DE TRMINOS VII

INTRODUCCIN IX

CAPTULO I 1

LOS ALGORITMOS GENTICOS 1

1.1. Breve acercamiento a la biologa gentica 1

1.2. Historia furtiva 4 1.2.1. De la teora de la evolucin 4 1.2.2. De los algoritmos genticos 5

1.3. Aspectos bsicos de los algoritmos genticos 7

1.4. Operacionalidad de los algoritmos genticos simples 9 1.4.1. Caractersticas de los algoritmos genticos simples 9 1.4.2. Ejecucin del proceso de los algoritmos genticos simples 11 1.4.3. Operadores genticos 13

1.4.4. Ejemplo manual de optimizacin numrica mediante el AGS 15

1.4.5. Cdigo fuente de un algoritmo gentico simple 23

CAPTULO II 25

MTODOS CLSICOS DE OPTIMIZACIN NUMRICA 25

2.1. Algoritmo del gradiente con paso constante 25 2.1.1. Ejemplo manual del algoritmo del gradiente con paso constante 27

2.2. Algoritmo de Newton con paso constante 29 2.2.1. Ejemplo manual del algoritmo de Newton con paso constante 31

CAPTULO III 32

ENSAYOS DE APLICACIN DEL ALGORITMO GENTICO SIMPLE Y DE LOS MTODOS CLSICOS EN LA OPTIMIZACIN NUMRICA 32

3.1. Evaluacin de la funcin 1)10(22 += xsenxY en el dominio [0,2] 32 3.1.1. Aplicacin del algoritmo gentico simple 33 3.1.2. Aplicacin de los mtodos clsicos de optimizacin numrica 39

3.2. Evaluacin de la funcin ( )

(( ))222222

yx0,0011

0,5yxsen0,5Z ++

++= , en el dominio [-200, 200] X [-200, 200] 40

3.2.1. Aplicacin del algoritmo gentico simple 41 3.2.2. Aplicacin de los mtodos clsicos de optimizacin numrica 42

CAPTULO IV 43

POSIBLES MODIFICACIONES AL ALGORITMO GENTICO SIMPLE Y CONCLUSIONES 43

4.1 Modificaciones sobre los operadores genticos 43 4.1.1. Seleccin (Elitismo) 44 4.1.2. Cruce (Varios tipos) 45 4.1.1. Mutacin 45

4.2 Conclusiones 45

ANEXO 1 ARTCULO DE PRENSA PUBLICADO EN EL CUERPO 4-8 DEL UNIVERSAL, EL 09/04/2006 47

ANEXO 2 CDIGO FUENTE DEL ALGORITMO GENTICO SIMPLE 50

A.2.1. Para funciones reales de una variable 50

A.2.2. Para funciones reales de dos variables 56

ANEXO 3 HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES UTILIZADAS 62

REFERENCIA BIBLIOGRFICA 63

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LISTA DE ILUSTRACIONES

GRFICO Pgina

1. Diagrama de flujos del proceso del algoritmo gentico simple 12

2. Figura N 1 grfica de la funcin 35

3. Figura N 2 Valores regulares de la funcin para distintas generaciones 39

4. Figura N neraciones 40

6. Figura N 5 Valores regulares de la funcin en la poblacin inicial 41

7. Figura N 6 Valores regulares de la funcin en la poblacin final 41

inio

e inio

ABL

I. Tabla N 1 Resumen de resultados empricos 37

1)10(22 += xsenxY

3 Nmero de mutaciones y cruces para distintas ge

5. Figura N 4 Funcin de aptitud acumulada distintas generaciones 40

8. Figura N 7 grfica de la funcin en el dom222

0,52y2x2sen

0,5Z

++=

[-10, 10] X [-10-, 10] 42 yx0,0011 ++

9. Figura N 8 grficas de la funcin n el dom2

22

0,52y2x2sen

0,5Z

++=

[-5, 5] X [0, 2,5] 43 yx0,0011 ++

T AS

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RESUMEN

El objeto del presente trabajo de grado es utilizar el concepto de algoritmo gentico

simple aplicado a la optimizacin de funciones de variable real (una y dos variables),

siguiendo como referencia el libro intitulado Genetic Algorithms in Search, Optimization, and

Machine Learning, cuyo autor es D. E. Golberg (1989), en cuanto al aspecto conceptual y al

uso de las rutinas algortmicas que en el mencionado texto se describen (modificadas

brevemente por el autor). Los resultados de los ensayos experimentales realizados

aplicando esta novedosa herramienta se compararon con los obtenidos mediante los

mtodos tradicionales de optimizacin numrica permitiendo evidenciar la potencialidad del

algoritmo gentico simple en un escenario donde las funciones presentan en su dominio de

definicin: oscilaciones moderadas y la existencia de varios mximos locales. El campo de

aplicacin de esta herramienta se encuentra en el conjunto de las funciones para las cuales

las tcnicas tradicionales especializadas fallan o no aplican. El tema de la convergencia del

algoritmo gentico no fue revisado en ninguno de sus aspectos. Aunque los resultados

provenientes del algoritmo gentico son incuestionablemente mejores no pretendemos

demostrar que el mismo sea siempre ms eficiente para resolver problemas de optimizacin.

Palabras claves: algoritmo, gentico, optimizacin, funciones, reales.

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GLOSARIO DE TRMINOS

ADN (cido desoxirribonucleico): Es el compuesto contenido en el cromosoma,

responsable de la transmisin del material gentico de la clula en el proceso de divisin

celular conducente a la reproduccin de un organismo.

Alelo: Variantes o formas alternativas de un gen.

Algoritmo: Procedimiento iterativo utilizado para resolver un problema matemtico.

Convergencia: Se dice que un objeto matemtico posee la caracterstica de convergencia

(o converge), si tiende o se dirige a un objeto (o al mismo objeto) en la medida que sus

elementos independientes varan en una direccin y sentido especficos.

Cromosoma: Es una diminuta estructura filiforme compuesta por cidos nucleicos y

protenas, presente en todas las clulas vegetales y animales.

Error: Diferencia que existe entre un objeto matemtico y otro mediante el cual intentamos

representarlo.

Evolucin: Consiste en el proceso de transitar, en inmensos lapsos de tiempo, por una

serie progresiva de transformaciones conducentes a una cspide habitada por mentes

supremas.

Evolucionismo: Doctrina filosfica o cientfica basada en la evolucin.

Evolucionista: Ente partidario del evolucionismo.

Fenotipo: Conjunto de caractersticas hereditarias comunes a una determinada especie

vegetal o animal debido a la existencia de genes semejantes.

Gen: Cada una de las partculas que en el ncleo de la clula condicionan la transmisin

de los caracteres hereditarios.

Gentica: Es la ciencia que estudia la herencia biolgica y la variacin, apoyndose en las

leyes y principios que gobiernan las semejanzas y diferencias entre los individuos de una

misma especie.

Genotipo: Conjunto de factores hereditarios legtimos de un individuo o de una especie.

Gradiente: Sea f una funcin diferenciable sobre un abierto de un espacio vectorial

eucldeo E de dimensin finita. La diferencial de f se identifica a un campo de vectores,

llamado gradiente de f y notado grad f, gracias a la relacin

= hxfgradhfd

x/, .

Herencia: Tendencia de la naturaleza a reproducir en los seres los caracteres de sus

antepasados.

Mecnica molecular: Estudio de los movimientos de las molculas y de sus tomos.

Optimizacin: Accin y efecto de buscar el objeto de mejor desempeo, calificado

mediante una funcin de aptitud o mtrica.

Promedio: Trmino medio o representante de un conjunto de objetos numricos.

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INTRODUCCIN

El objeto de esta monografa es introducir el concepto de algoritmo gentico e

ilustrar alguna de sus aplicaciones.

El algoritmo gentico simple fue desarrollado por John Holland profesor de la

Universidad de Michigan en Ann Arbor en los aos setenta aunque las ideas de programas

que usan tcnicas evolutivas fueron desarrolladas en aos anteriores.

Se trata de un mecanismo de bsqueda de soluciones para diversos problemas

basado en las ideas de la evolucin de las especies de Darwin. Forma parte de un conjunto

de tcnicas computacionales que simulan procesos biolgicos o naturales, entre estos se

encuentran las redes neuronales, el recocido simulado y los propios algoritmos genticos.

Debemos sealar que desarrollamos en este trabajo de grado el algoritmo gentico

simple tal como aparece explicado en el libro de Goldberg (1989) (ver bibliografa). No nos

ocupamos en detalle de la extensa gama de variaciones del algoritmo gentico y slo al final

revisamos algunas de las posibilidades.

Cabe sealar que actualmente diversas investigaciones se desarrollan en el campo

de los algoritmos genticos pero no vamos a detenernos en ellas. En cambio explicaremos

en detalle el algoritmo gentico simple y lo aplicaremos en el proceso de optimizacin de

funciones de variable real (una y dos variables); tambin compararemos nuestros resultados

con los que se obtienen con el clsico mtodo del gradiente, el cual asume la regularidad de

la funcin objetivo.

La monografa en su captulo primero, empieza explicando las nociones bsicas del

mecanismo de la herencia desde el punto de vista de la biologa, as como la estructura en

detalle del algoritmo gentico simple. Una corrida del mismo es realizada prcticamente a

mano, para ilustrar los diversos operadores genticos y su implementacin.

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En el siguiente captulo se exponen algunos mtodos de optimizacin del anlisis

numrico, tales como el algoritmo del gradiente con paso constante y el algoritmo de Newton

con paso constante.

En el captulo tercero se exponen los resultados numricos, que arroja el algoritmo

gentico simple al optimizar funciones de una y dos variables, que oscilan moderadamente y

comparamos estos resultados con los que se obtiene aplicando el algoritmo del gradiente

con paso constante.

Aunque los resultados provenientes del algoritmo gentico simple son

incuestionablemente mejores, no pretendemos demostrar que el mismo sea siempre ms

eficiente para resolver problemas de optimizacin.

En el ltimo captulo exponemos las conclusiones del trabajo y mencionamos

brevemente algunas de las posibles modificaciones del algoritmo gentico.

Debemos sealar que no hemos tocado el problema de la convergencia del

algoritmo gentico, en particular no presentamos el Teorema Fundamental de Holland que

carece de rigurosidad matemtica y que ha motivado el uso de cadenas de Markov para

presentar los aspectos de convergencia con una base slida (ver Rudolph (1994) en la

bibliografa).

En una serie de anexos se presenta el cdigo fuente del programa del algoritmo

gentico simple en lenguaje pascal y las caractersticas tcnicas del computador y del

compilador donde se realizaron los experimentos. Debemos sealar que el programa fue

modificado del original del libro de Goldberg (1989), traduciendo al idioma castellano las

salidas y declaraciones del mismo e incluyendo la posibilidad de trabajar con varias

variables.

Por ltimo, esperamos que este trabajo pueda servir de apoyo a los ingenieros,

matemticos y profesionales en general que busquen en el algoritmo gentico una

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herramienta para resolver problemas, presentando una exposicin auto contenida y

concisa del mismo

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CAPTULO I

Los algoritmos genticos

1.1. Breve acercamiento a la biologa gentica

Se denomina gen la porcin o seccin particular de un cromosoma1 que contiene las

instrucciones o el material necesario para que un ser vivo presente un rasgo especfico (por

ejemplo: color del cabello, estatura, color de los ptalos, produccin de las protenas, color

de la piel, etc.). Un gen est siempre localizado en la misma parte de un cromosoma

determinado, y a este sitio se le denomina locus (del latn lugar).

Debido a que los cromosomas estn ubicados en parejas, en cada uno de los

cromosomas homlogos estn presentes los mismos genes, pero cada cromosoma puede

presentar una variante de estos genes. A cada una de las variantes o formas alternativas de

un gen se le llama alelo, y cada alelo se ubica siempre en el mismo locus dentro del

cromosoma.

La evolucin se puede definir como los cambios en el pool o conjunto gentico de

una poblacin. Segn los informticos evolucionistas, la evolucin optimiza a la naturaleza,

puesto que va creando seres cada vez ms perfectos, cuya cumbre es el hombre. Indicios

adicionales de esta optimizacin se encuentran en el organismo de los animales, desde el

tamao y tasa de ramificacin de las arterias, diseados para maximizar el flujo de sangre,

hasta el conjunto de reacciones del metabolismo, diseado para maximizar la cantidad de

energa extrada de los alimentos.

1 Cromosoma: Elemento que existe en el ncleo de las clulas en el momento de su divisin o mitosis.


Los mecanismos de cambio en la evolucin alteran la proporcin de un tipo

determinado de alelos en una poblacin especfica, bien sea disminuyendo la variabilidad de

los mismos o aumentndola.

Los principales mecanismos que disminuyen la variabilidad son los siguientes:

Seleccin natural: Mecanismo mediante el cual los individuos que tengan algn

rasgo que los haga menos vlidos para realizar su tarea de seres vivos, no llegan a

reproducirse, y, por tanto, su patrimonio gentico desaparece del pool; incluso algunos de

ellos ni siquiera llegan a nacer.

Deriva gnica: El simple hecho de que un alelo sea ms comn que otro en la

poblacin, causa que la proporcin de alelos de esta poblacin vaya aumentando en una

poblacin aislada (efecto fundador).

Los ms importantes mecanismos que aumentan la variabilidad, los cuales suceden

generalmente en el mbito molecular, son los siguientes:

Mutacin: Es una alteracin del cdigo gentico que puede suceder por mltiples

razones y que se presenta en la naturaleza con una probabilidad muy baja de ocurrencia.

Por generar nuevos individuos, es considerada el motor de la evolucin. En el proceso de

formacin del ser humano, la enzima ADN polimerasa es la sustancia motivadora de

cambios.

Poliploida: Las clulas normales poseen dos copias de cada cromosoma (diploide)

y las clulas reproductivas una copia (haploides), sin embargo, puede suceder por accidente

que alguna clula reproductiva tenga dos copias cada una, en tal caso, si se lograra

combinar con otra clula diploide o haploide dar lugar a un ser vivo con varias copias de

cada cromosoma (poliploide). La mayora de las veces, la poliploida da lugar a individuos

con algn defecto gentico (por ejemplo, el tener 3 copias del cromosoma 21 da lugar al

Sndrome de Down), aunque en algunos casos se crean individuos viables. Un caso

conocido de mutacin fue el producido en el mosquito culex pipiens, en el cual se duplic un

gen que generaba una enzima que rompa los organofosfatos, componentes habituales de

los insecticidas.


Recombinacin: Cuando dos clulas sexuales o gametos2, una masculina y otra

femenina se combinan, los cromosomas de cada una de ellas tambin lo hacen,

intercambindose genes, que a partir de ese momento pertenecern a un cromosoma

diferente. A veces tambin se produce traslocacin dentro de un cromosoma: una secuencia

de cdigo se elimina de un sitio y aparece en otro sitio del cromosoma, o en otro

cromosoma.

Flujo gentico: Es un intercambio de material gentico entre seres vivos de

diferentes especies que suelen ser virus o bacterias. Normalmente este intercambio se

produce a travs de un vector mediante el cual incorporan a su material gentico genes

procedentes de una especie a la que infectan y a su vez cuando infectan a un individuo de

otra especie pueden transmitirle sus genes a los tejidos generativos de gametos.

De este conjunto de mecanismos, la seleccin natural acta sobre el fenotipo y suele

disminuir la diversidad, haciendo que sobrevivan slo los individuos ms aptos; los

mecanismos que generan diversidad al combinar caractersticas actan habitualmente sobre

el genotipo.

Aunque los detalles de la evolucin no han sido completamente comprendidos,

incluso hoy, existen algunas premisas en los que se fundamentan:

La evolucin es un problema que opera a nivel de cromosomas, y no a nivel de individuos. Cada individuo es codificado como un conjunto de cromosomas.

La seleccin natural es el mecanismo mediante el cual los individuos mejor adaptados son los que tienen mayores posibilidades de reproducirse.

El proceso evolutivo tiene lugar en la etapa de la reproduccin. Sin embargo, los genetistas y los bilogos evolucionistas afirman que la evolucin no

slo optimiza, sino que tambin adapta localmente en el espacio y en el tiempo; en cierto

sentido, evolucin significa progreso. Un organismo ms evolucionado puede estar en

desventaja competitiva con uno de sus antepasados, si se colocan en el ambiente de estos

ltimos.

2 Gameto: Clula reproductiva, masculina o femenina, cuyo ncleo slo contiene n cromosomas


1.2. Historia furtiva

1.2.1. De la teora de la evolucin

La hiptesis de la teora de la evolucin, la cual se basa en que pequeos cambios

heredables en los seres vivos y la seleccin natural son los dos hechos que provocan los

cambios en la naturaleza y la generacin de nuevas especies; fue descrita, aun

desconociendo cual era la base de la herencia, por Charles Darwin (1859) en su libro El

Origen de las Especies y presentada junto con Wallace, quien lleg a las mismas

conclusiones de forma independiente.

El seor Darwin pensaba que los rasgos de un ser vivo eran como un fluido, y que

los elementos de los dos padres se mezclaban de manera continua en la descendencia; la

debilidad de esta hiptesis estaba en que al cabo de cierto tiempo una poblacin

determinada tendra los mismos rasgos intermedios.

En estudio publicado en la revista estadounidense Science (2006), se confirma que

la reconstruccin del proceso de evolucin de la mecnica molecular por etapas satisface los

principios de la teora de la evolucin de Charles Darwin, lo cual demuestra la validez actual

de este planteamiento (Vase Anexo 1).

Quien descubri que los caracteres se heredaban en forma discreta, y que se

tomaban del padre o de la madre, dependiendo de su carcter dominante o recesivo, fue el

monje agustino Gregor Mendel (1864) a travs de experimentos realizados con arvejas para

intentar responder algunas interrogantes del problema de la herencia.

Las teoras de Mendel, quien trabaj en total aislamiento, se olvidaron y no se

volvieron a redescubrir hasta principios del siglo XX. En 1902 el norteamericano Walter

Sutton y el alemn Theodor Bover, cada uno por su cuenta, advirtieron que el

comportamiento de los cromosomas durante la meiosis3 tena una conducta paralela con la

de los factores mendelianos en la transmisin de la herencia.

3 Meiosis: Divisin celular mediante la cual una clula reproductora diploide (con cromosomas homlogos) se divide en cuatro clulas haploides (los cromosomas no tienen parejas y la informacin gentica no est por


W. Sutton y T. Bover (1902) concluyeron que los factores hereditarios de que

hablaba Mendel se encuentran localizados en los cromosomas, en el interior del ncleo

celular. Este es el enunciado fundamental de la teora cromosmica de la herencia.

A partir de este hallazgo, se consider que los factores hereditarios tenan una

localizacin muy especfica en el cromosoma y que al separarse cada uno de los

cromosomas homlogos, se estaban separando por consiguiente los dos factores

encargados de un rasgo determinado.

1.2.2. De los algoritmos genticos

El inicio de los estudios de lo que hoy podra llamarse algoritmos genticos se

present a finales de los aos 50 y principios de los 60, en manos de bilogos evolucionistas

que buscaban la explicacin de los modelos de comportamiento de la evolucin natural,

mediante la optimizacin.

En 1965; Ingo Rechenberg, profesor de la Universidad Tcnica de Berln, introdujo

una tcnica que llam estrategia evolutiva, en la que no haba poblacin ni cruzamiento:

cada padre mutaba para producir un descendiente y se conservaba el mejor de los dos,

convirtindose en el padre de la siguiente ronda de mutacin. Versiones posteriores de esta

tcnica introdujeron la idea de poblacin.

En 1966; L.J. Fogel, A.J. Owens y M.J. Walsh introdujeron en Norte Amrica una

tcnica que se llam programacin evolutiva. En este mtodo, las soluciones candidatas

para los problemas se representaban como mquinas de estado finito sencillas; y al igual

que en la estrategia evolutiva de Rechenberg, el algoritmo funcionaba mutando

aleatoriamente dos mquinas simuladas y conservando la mejor de las dos.

A finales de la dcada de los aos 60; John Holland, siendo investigador de la

Universidad de Michigan, desarroll una tcnica que permiti incorporar la seleccin natural

a un programa. Luego de estudios a travs de los cuales comprendi que la evolucin es

una forma de adaptacin ms potente que el aprendizaje, tom Holland la decisin de

duplicado). Durante tal proceso, cada par de cromosomas homlogos presentes originalmente en la clula reproductora se separan y cada clula hija resultante contiene slo uno de cada dos cromosomas homlogos.


aplicar sus ideas sobre el tema para desarrollar programas adaptados a un fin especfico. En

el curso que dictaba en la mencionada universidad, denominado Teora de Sistemas

Adaptativos, con la participacin de los estudiantes surgieron las ideas embrionarias de lo

que se convertira definitivamente en los algoritmos genticos.

Los objetivos de la investigacin de John Holland fueron los siguientes:

a. Imitar los procesos adaptativos de los sistemas naturales y

b. Disear sistemas artificiales (normalmente programas) que retengan los

mecanismos ms importantes de los sistemas naturales.

Ms tarde David Goldberg (1989), alumno de Holland, fue pionero en tratar de

aplicar los algoritmos genticos a problemas industriales, logrando resultados favorables.

El gran objetivo de Holland era lograr que las computadoras aprendieran por s

mismas, tcnica que l invent y denomin originalmente planes reproductivos, conocida

de manera popular bajo el nombre de algoritmo gentico despus de la publicacin de su

libro en 1975.

Como se observa, el motor de todos los elementos relacionados con los algoritmos

genticos se haya alimentado en la simple y poderosa idea de Charles Darwin: El azar en la

variacin, junto con la ley de seleccin, es una tcnica de resolucin de problemas de gran

complejidad y de aplicacin casi ilimitada.

Por ltimo, es importante sealar que los algoritmos genticos se utilizan para

abordar una amplia variedad de problemas en un conjunto de campos sumamente diversos,

demostrando claramente su capacidad y potencialidad. Dentro de sus mltiples aplicaciones

en diversas reas, una pequea muestra de stas, se encuentra en los siguientes ejemplos:

1) Diseo de salas de concierto con propiedades acsticas ptimas (Acstica).

2) Diseo de la forma del ala de un avin supersnico (Ingeniera

aeroespacial).

3) Produccin de curvas ajustadas a los datos en el problema de la curva de

rotacin galctica (Astronoma y Astrofsica).

4) Diseos de frmacos, en la llamada qumica combinatoria (Qumica).


5) Construccin de placas especiales de circuitos reconocedores de voz

(Ingeniera elctrica).

6) Prediccin del rendimiento futuro de acciones (Mercados financieros).

7) Evolucin de redes neuronales que pudieran jugar damas (Juegos).

8) Utilizacin para los hipocentros de los terremotos, basndose en datos

sismolgicos (Geofsica).

9) Diseo de polmeros conductores de electricidad basados en el carbono,

conocidos como polianilinas (Ingeniera de materiales).

10) Descubrimiento de una regla para el problema de clasificacin por mayora

en autmatas celulares de una dimensin (Matemtica y algoritmia).

11) Evolucin de planes tcticos para las batallas militares (Ejrcito y

cumplimiento de la ley).

12) Deteccin de la presencia de ciertas sustancias en el exterior de la clula o

transportarla hacia el interior de sta (Biologa nuclear).

13) Evolucin de un complejo sistema de reconocimiento de patrones con una

amplia variedad de usos potenciales (Reconocimiento de patrones y

explotacin de datos).

14) Promocin de nuevas tecnologas en el campeonato anual de ftbol entre

equipos de robots autnomos (Robtica).

15) Diseo de horarios de los exmenes universitarios (Diseo de rutas y

horarios).

16) Diseo de molinos elicos para generar energa elctrica, mediante tarea

multiobjetivos (Ingeniera de sistema).

1.3. Aspectos bsicos de los algoritmos genticos

Se presenta en este aparte, un conjunto de factores bsicos requeridos para poder

abordar la tcnica de optimizacin mediante la aplicacin de los algoritmos genticos, los

cuales irn acompaados de ejemplos sencillos que permitan comprender su proceso.


Los algoritmos genticos son mtodos de bsqueda y optimizacin basados en la

teora de la evolucin de Charles Darwin, los cuales constituyen uno de los focos de mayor

atractivo para los investigadores de las diversas ramas del saber.

El mtodo de bsqueda est basado en los mecanismos de seleccin que utiliza la

naturaleza para que los individuos ms aptos de una poblacin sobrevivan, debido a su

capacidad para adaptarse ms fcilmente a los cambios que se producen en su entorno.

Estos cambios que se efectan en los genes de un individuo y cuyos atributos son

transmitidos a sus descendientes cuando stos se reproducen sexualmente.

John Koza (1992), profesor de la Universidad de Stanford, propone la siguiente

definicin de algoritmo gentico:

Es un algoritmo matemtico altamente paralelo que transforma un conjunto de objetos matemticos individuales con respecto al tiempo usando operaciones modeladas de acuerdo al principio Darwiniano de reproduccin y supervivencia del ms apto, y tras haberse presentado de forma natural una serie de operaciones genticas de entre las que se destaca la recombinacin sexual. Cada uno de estos objetos matemticos suelen ser una cadena de caracteres (letras o nmeros) de longitud fija que se ajusta al modelo de las cadenas de cromosomas, y se les asocia con una cierta funcin matemtica que refleja su aptitud. Los algoritmos genticos estn enmarcados junto con la programacin evolutiva, las

estrategias evolutivas, los sistemas clasificadores y la programacin gentica dentro una

rama de la computacin denominada computacin evolutiva. Las bases biolgicas de estos

algoritmos y sus diferencias se centran en los operadores que utilizan en sus procesos.

En la lista siguiente indican de las tcnicas mencionadas anteriormente y sus

respectivos objetivos:

Nombre de la tcnica Objetivo

Algoritmo gentico Individuo ptimo

Programacin gentica Programa ptimo

Programacin evolutiva Operador gentico ptimo

Estrategia Evolutiva Aprendizaje ptimo

Sistema clasificador Poblacin ptima


1.4. Operacionalidad de los algoritmos genticos simples

1.4.1. Caractersticas de los algoritmos genticos simples

La aplicacin ms comn de los algoritmos genticos simples (AGS) ha sido la

solucin de problemas de optimizacin, donde han mostrado alta eficiencia y gran

confiabilidad. Sin embargo no todos los problemas son apropiados para ser resueltos por

esta tcnica; las siguientes caractersticas son fundamentales para su aplicacin:

El espacio de bsqueda (sus posibles soluciones) debe estar delimitado dentro de un cierto rango.

Se debe definir una funcin de aptitud que indique qu tan buena o mala es la adaptacin de los individuos.

Las posibles soluciones se codifican utilizando el cdigo binario (0s y 1s).

El espacio de bsqueda debe ser siempre discreto (aunque sea muy grande). Sin

embargo, tambin podr intentarse usar la tcnica con espacios de bsqueda continuos,

cuando exista un rango relativamente pequeo.

La funcin de aptitud (o alguna modificacin de sta) es la funcin objetivo del

problema de optimizacin tratado. El resultado que produce sta es un nmero real,

preferiblemente no negativo que a mayor resultado es mejor la solucin. El algoritmo

gentico nicamente maximiza, pero la minimizacin puede realizarse fcilmente utilizando

el reciproco de la funcin maximizante, siempre que el mismo est determinado. Una

caracterstica que debe presentar la funcin es que tiene que ser capaz de castigar a las

malas soluciones y de premiar a las buenas, de forma que sean estas ltimas las que se

propaguen con mayor rapidez.

Dentro del conjunto de ventajas y desventajas manifiestas en la tcnica de bsqueda

y optimizacin mediante el uso de los algoritmos genticos simples, podemos mencionar las

siguientes:

Ventajas:


a. No necesitan conocimientos especficos sobre el problema que intentan

resolver, en particular si la funcin es regular.

b. Operan de forma simultnea con varias soluciones, en vez de trabajar de

forma secuencial como las tcnicas tradicionales.

c. Cuando se usan para problemas de optimizacin (maximizar una funcin

objetivo) resultan menos afectadas por los mximos locales (aparentes

soluciones) que las tcnicas tradicionales.

Esta importante ventaja servir de plataforma para el desarrollo de las pruebas

empricas, que permitirn demostrar su potencialidad, la cual constituir el objetivo

principal de esta monografa.

d. Resulta sumamente fcil ejecutarlos en las modernas arquitecturas

masivamente paralelas.

e. Usan operadores probabilsticos, en vez de los tpicos operadores

determinsticos de las otras tcnicas.

Desventajas:

a. Es difcil determinar la velocidad de convergencia (o an la convergencia),

dependiendo en cierta medida de los parmetros que se utilicen (tamao de

la poblacin, nmero de generaciones, nivel de precisin deseado, etc.).

b. Pueden converger prematuramente debido a una serie de problemas

relacionados con los valores de sus parmetros.

Dado un problema especfico a resolver, la entrada del algoritmo gentico simple

representa un conjunto de soluciones potenciales del mismo, codificadas mediante el

alfabeto binario y una mtrica llamada funcin de aptitud que permite evaluar

cuantitativamente a cada candidata. Estas candidatas pueden ser soluciones factibles, con

el objetivo de que el AGS las mejore, pero se suelen generar aleatoriamente.


1.4.2. Ejecucin del proceso de los algoritmos genticos simples

Los pasos que se ejecutan en el proceso de aplicacin de los algoritmos genticos

simples para la simulacin sucinta de la evolucin natural, se presentan en el siguiente

diagrama:

Diagrama de flujos del proceso del algoritmo gentico simple


si

no

si

no

Generar un conjunto aleatorio de N soluciones factibles

Calificar cada solucin factible (aplicar la funcin de aptitud)

Seleccionar dos individuos de acuerdo a su calificacin

Cruzar o mezclar los cdigos genticos de los dos individuos seleccionados

Mutar algunos elementos del cdigo gentico de ciertos individuos

Incluir a los dos nuevos en una nueva poblacin

Condicin de finalizar?

La nueva Poblacin tiene N individuos?

A

Denominarla poblacin actual

Fin

B

B

A

Codificar el dominio del problema


1.4.3. Operadores genticos

Los operadores genticos de mayor uso en la aplicacin de los algoritmos genticos

simples son descritos brevemente y adems utilizados en los casos prcticos a desarrollar el

siguiente captulo.

a. Seleccin

Dado el conjunto de individuos de la poblacin actual con una probabilidad

proporcional a su calificacin, la operacin de seleccin consiste en elegir dentro del

mencionado conjunto, a los individuos mejor adaptados al medio en trminos del resultado

de la funcin de aptitud.

Entre las mltiples formas de seleccin comnmente utilizadas cabe mencionar a las

siguientes: seleccin proporcional a la aptitud, seleccin por rueda de ruleta, seleccin

elitista, seleccin escalada, seleccin por torneo, seleccin por rango, seleccin

generacional, seleccin por estado estacionario, seleccin jerrquica.

Para el caso del algoritmo gentico simple, la seleccin de mayor popularidad es la

seleccin proporcional a la aptitud equivalente a la seleccin por rueda de ruleta.

b. Cruce

Cruzar o mezclar los cdigos genticos de dos individuos seleccionados como

padres para generar hijos que posean cdigos mixtos.

Este operador gentico tambin tiene varias acepciones, debido a que existen

muchas formas de hacerlo, sin embargo, para nuestro caso utilizaremos el cruzamiento de

un punto (1-point crossover) el cual se escoge al azar.

1. Mediante el Proceso de Bernoulli4 (con probabilidad pc de xito).

2. Si ocurre un xito cruzar o mezclar los cdigos de los dos individuos

seleccionados para formar dos sujetos mixtos, a los que llamaremos nuevos

individuos.

4 Un experimento de Bernoulli es aquel en el que pueden ocurrir exclusivamente dos eventos posibles, uno con probabilidad de xito pc y otro con probabilidad de fracaso 1-pc).

3. Si ocurre un fracaso llamamos a los individuos seleccionados nuevos

individuos.

Grficamente el operador gentico de cruzamiento de un punto (1-point

crossover), con punto de cruce en la tercera posicin del cromosoma, es como sigue:

Puntos de Cruce

Padres 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Descendientes 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

c. Mutacin Mutar o alterar deliberadamente algunos elementos del cdigo de ciertos individuos,

los cuales se seleccionan aleatoriamente, para as generar nuevos individuos ubicados en

regiones del problema no exploradas an.

1. Por cada bit de cada nuevo individuo, mediante el Proceso de Bernoulli (con

probabilidad pm de xito).

2 Si ocurre un xito cambiar el bit en turno por su complemento.

3 Si ocurre un fracaso el bit permanece inalterado.

Grficamente el operador gentico de mutacin como sigue:


Los

parmetros del algoritmo gentico que deben ser tomados en cuenta al realizar un ensayo

emprico son: los valores de probabilidad para los operadores reproduccin, cruce y

mutacin, el tamao de la poblacin, el nmero de generaciones, la precisin deseada y el

1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Descendiente

1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 Descendiente mutado

gen mutado


tipo de seleccin a utilizar. Adems, es necesario establecer el rango o el intervalo de

bsqueda y la codificacin de la funcin objetivo.

Los parmetros empricos recomendables para el algoritmo gentico simple se

sealan a continuacin:

Nmero de generaciones 57

Tamao de la poblacin 47

Probabilidad de cruce 0,60

Probabilidad de mutacin 0,03

Seleccin ruleta

La convergencia del algoritmo gentico simple, se apoya en el siguiente enunciado

Siendo que el algoritmo gentico simple opera con una poblacin en cada iteracin, es de

esperarse que el mtodo, al final del proceso, de cmo resultado que la mayora de los

individuos de la poblacin sean muy similares, y que en el infinito todos sean iguales.

La teora para estudiar la convergencia de estos algoritmos en caso de cadenas

binarias, se basa principalmente en considerar que una cadena es un representante de una

clase de equivalencia o esquema.

John Holland, con el Teorema los Esquemas, intenta dar respuesta a que si existe

una manera matemtica que indique como se afectar a la siguiente generacin en el

proceso evolutivo, el cual depende de la seleccin, cruce y mutacin. A partir de los

resultados, el Teorema de los Esquemas (Teorema Fundamental), prueba que la poblacin

converge a unos esquemas que cada vez son ms parecidos, y en el lmite a una cadena

nica.

El mencionado teorema ha sido cuestionado por muchos matemticos, sin embargo

el tiempo ha permitido avances importantes al respecto, lo cual da robustez al mismo.

1.4.4. Ejemplo manual de optimizacin numrica mediante el AGS

Para la funcin ( ) 2xxf =

Usando un algoritmo gentico simple con probabilidad de cruce pC = 0,60 y

probabilidad de mutacin pM = 0.03333, para 5 generaciones, con seleccin por torneo (este

mecanismo de seleccin es distinto al utilizado en el Anexo 2, se indica slo a manera de

ilustracin).

Se desea encontrar el valor de x que hace que la funcin f(x) alcance su valor

mximo, siendo el rango de la variable x los valores enteros comprendidos entre 0 y 31.

Sabemos que el mximo se alcanza en x = 31, donde f vale 961.

Lo primero que debemos hacer es codificar las posibles soluciones (posibles valores

de x). Lo haremos con la codificacin binaria. Esto es (0,0,0,0,0) equivale a x = 0 y que

(1,1,1,1,1) equivale a x = 31.

Cada posible valor de la variable x en representacin binaria se le denomina

individuo. Una coleccin de individuos constituye lo que se denomina poblacin y el nmero

de individuos que la componen es el tamao de la poblacin. Una vez que tenemos

codificada la solucin, debemos escoger un tamao de poblacin. Para este ejemplo vamos

a escoger 6 individuos.

Debemos partir de una poblacin inicial. Una manera de generarla aleatoriamente,

puede ser lanzando una moneda al aire; si sale cara, la primera componente del primer

individuo es un 0 y en caso contrario es un 1. Se repite el lanzamiento de la moneda y

tendremos la segunda componente del primer individuo (un 0 si sale cara y un 1 si sale

sello). As hasta 5 veces y se obtendr el primer individuo. Se repite la secuencia anterior

para generar los individuos restantes de la poblacin. En total se realizan 5 * 6 = 30

lanzamientos de la moneda.

Iteracin 1



El siguiente paso es hacer competir a los individuos entre s. Que utilizaremos en

nuestro caso como un proceso de seleccin. En la tabla 1 se resume este paso.

Tabla 1.- SELECCIN N del individuo Poblacin inicial Valor de X Valor de F(x) Pareja asignada

1 (0,1,1,0,0) 12 144 6

2 (1,0,0,1,0) 18 324 3

3 (0,1,1,1,1) 15 225 2

4 (1,1,0,0,0) 24 576 5

5 (1,1,0,1,0) 26 676 4

6 (0,0,0,0,1) 1 1 1

Como de observa en la tabla precedente, el mejor individuo es el 5 (f(5) = 676). Al

Calcular la media de f resulta fmed = 324,33. Ahora bien, una manera de realizar el proceso

de seleccin es mediante un torneo entre dos. A cada individuo de la poblacin se le asigna

una pareja y entre ellos se establece un torneo: el mejor genera dos copias y el peor se

descarta. En la ltima columna se indica la pareja asignada a cada individuo, lo cual se ha

realizado aleatoriamente. Es importante resaltar, como se dijo anteriormente, que existen

muchas variantes de este proceso de seleccin.

Despus de realizar el proceso de seleccin, la poblacin que tenemos es la

mostrada en la columna 2 de la tabla 2. Observamos, por ejemplo, que en el torneo entre el

individuo 1 y el 6 de la poblacin inicial, el primero de ellos ha recibido dos copias, mientras

que el segundo no es tomado en cuenta. Este proceso se repite hasta completar la tabla 2

que sigue:

Tabla 2.- CRUCE N del individuo Poblacin 1 Pareja asignada

1 (0,1,1,0,0) 5

2 (1,0,0,1,0) 3

3 (1,0,0,1,0) 2

4 (1,1,0,1,0) 6

5 (1,1,0,1,0) 1

6 (0,1,1,0,0) 4

Tras realizar la seleccin, se realiza el cruce. Que en este caso lo haremos mediante

el cruce de un punto, esto es: se forman parejas entre los individuos aleatoriamente de


forma similar a la seleccin. Dados dos individuos pareja, que se van ha cruzar, se establece

un punto de cruce aleatorio, que no es ms que un nmero aleatorio entre 1 y 4 (la longitud

del individuo menos 1). Por ejemplo, en la pareja 2-3 el punto de cruce es 3, lo que significa

que un hijo de la pareja conserva los tres primeros bits de la pareja 2 y hereda los dos

ltimos de la pareja 3, mientras que el otro hijo de la pareja conserva los tres primeros bits

de la pareja 3 y hereda los dos ltimos de la pareja 2. La poblacin resultante se muestra en

la columna (2) de la tabla 3. Cabe destacar que en el ensayo en todas las parejas se efectu

el cruce y el individuo 2 sufri una mutacin en el bit 3.

Tabla 3.- POBLACION TRAS EL CRUCE Y DE LA MUTACIN N del individuo Poblacin 1 Valor de X Valor de F(x)

1 (0,1,1,1,0) 14 196

2 (1,0,1,1,0) 22 484

3 (1,0,0,1,0) 18 324

4 (1,1,0,0,0) 24 576

5 (1,1,0,0,0) 24 576

6 (0,1,1,1,0) 14 196

Ahora el valor mximo de f es 576 (para los individuos 4 y 5), mientras que antes de

la seleccin, el cruce y la mutacin era de 676. Aunque el mximo individual disminuy, se

observa que fmed ha escalado de 324,3 a 392, significa que la poblacin despus de la

seleccin, el cruce y la mutacin es mejor que antes de estas transformaciones.

El siguiente paso es volver a realizar la seleccin, el cruce y la mutacin tomando

como poblacin inicial la de la tabla 3. Esta manera de proceder se repetir hasta construir 5

generaciones y como el resultado ser la mejor solucin de la ltima iteracin, aunque

tambin se puede ir guardando la mejor solucin de todas las iteraciones anteriores y al final

tomar la mejor solucin. En realidad un algoritmo gentico no garantiza la obtencin del

ptimo pero, si est bien construido, proporcionar una solucin razonablemente buena.

Puede ocurrir tambin que se obtenga el ptimo, pero el algoritmo no tiene capacidad para,

en ese momento, detener el proceso y dar informacin del resultado.

Iteracin 2


Repitiendo todo el proceso indicado para la construccin de la pareja asignada, nos

resulta la siguiente tabla poblacional donde aplicaremos el operador de seleccin tal como

se hizo en la iteracin 1:

Tabla 1.- SELECCIN N del individuo Poblacin 2 Valor de X Valor de F(x) Pareja asignada

1 (0,1,1,1,0) 14 196 3

2 (1,0,1,1,0) 22 484 2

3 (1,0,0,1,0) 18 324 4

4 (1,1,0,0,0) 24 576 5

5 (1,1,0,0,0) 24 576 6

6 (0,1,1,1,0) 14 196 1

Despus del proceso de seleccin tenemos a continuacin la tabla de cruce para la

iteracin 1:


1 (1,0,0,1,0) 5

2 (1,0,1,1,0) 6

3 (1,1,0,0,0) 3

4 (1,1,0,0,0) 4

5 (1,1,0,0,0) 1

6 (0,1,1,1,0) 2

Aplicando los operadores genticos de cruce y mutacin, nos resulta la siguiente

tabla poblacional. Cabe destacar que en el ensayo en todas las parejas se efectu el cruce y

ningn individuo sufri una mutacin.

Tabla 3.- POBLACION TRAS EL CRUCE Y DE LA MUTACIN

N del individuo Poblacin 2 Valor de X Valor de F(x)

1 (1,0,0,0,0) 16 256

2 (1,0,1,1,0) 22 484

3 (1,1,0,1,0) 26 676

4 (1,1,0,0,0) 24 576

5 (1,1,0,1,0) 26 676

6 (0,1,1,1,0) 14 196

Ahora el valor mximo de f es 676 (para los individuos 3 y 5), que era el mximo en

la poblacin inicial, se observa que fmed ha aumentado de 392 a 473,33, nuevamente se


evidencia que la poblacin va mejorando a medida que se le aplican los operadores

genticos a sus individuos.

Repitiendo el proceso anterior, los resultados de las iteraciones restantes son los

siguientes:

Iteracin 3


1 (1,0,0,0,0) 16 256 3

2 (1,0,1,1,0) 22 484 6

3 (1,1,0,1,0) 26 676 2

4 (1,1,0,0,0) 24 576 5

5 (1,1,0,1,0) 26 676 4

6 (0,1,1,1,0) 14 196 1


1 (1,1,0,1,0) 5

2 (1,0,1,1,0) 4

3 (1,1,0,1,0) 3

4 (1,1,0,1,0) 2

5 (1,1,0,0,0) 1

6 (1,0,0,0,0) 6



1 (1,1,0,0,0) 24 576

2 (1,0,1,1,0) 20 400

3 (1,1,0,1,0) 26 676

4 (1,1,0,1,0) 24 576

5 (1,1,0,1,0) 26 676

6 (1,0,0,0,0) 16 256

En las parejas 3 y 6 se efectu el cruce y ningn individuo sufri una mutacin.

El valor mximo de f es 676 (individuos 3 y 5) y fmed ha aumentado de 473,33 a

500.


Iteracin 4


1 (1,1,0,0,0) 24 576 2

2 (1,0,1,0,0) 20 400 1

3 (1,1,0,1,0) 26 676 6

4 (1,1,0,0,0) 24 576 5

5 (1,1,0,1,0) 26 676 3

6 (1,0,0,1,0) 18 196 4

Tabla 2.- CRUCE

N del individuo Poblacin 4 Pareja asignada

1 (1,1,0,0,0) 6

2 (1,1,0,0,0) 4

3 (1,1,0,1,0) 5

4 (1,1,0,1,0) 2

5 (1,1,0,1,0) 3

6 (1,1,0,0,0) 1



1 (1,1,0,0,0) 24 576

2 (1,1,0,0,0) 24 576

3 (1,1,0,1,0) 26 676

4 (1,1,0,0,0) 26 676

5 (1,1,0,1,0) 26 676

6 (1,0,0,1,0) 18 324

En todas las parejas se efectu el cruce y ningn individuo sufri una mutacin.

El valor mximo de f es 676 (individuos 3, 4 y 5) y fmed ha aumentado de 500 a 584.

Iteracin 5



1 (1,1,0,0,0) 24 576 5

2 (1,1,0,0,0) 24 576 4

3 (1,1,0,1,0) 26 676 1

4 (1,1,0,0,0) 26 676 3

5 (1,1,0,1,0) 26 676 6

6 (1,0,0,1,0) 18 324 2


1 (1,1,0,1,0) 3

2 (1,1,0,1,0) 6

3 (1,1,0,1,0) 1

4 (1,1,0,1,0) 5

5 (1,1,0,1,0) 4

6 (1,1,0,0,0) 2

Tabla 3.- POBLACION TRAS EL CRUCE Y DE LA MUTACIN N del individuo Poblacin 5 Valor de X Valor de F(x)

1 (1,1,0,1,0) 26 676

2 (1,1,0,0,0) 24 576

3 (1,1,0,1,0) 26 676

4 (1,1,0,1,0) 26 676

5 (1,1,0,1,0) 26 676

6 (1,0,1,1,0) 22 484

En todas las parejas se efectu el cruce y el individuo 6 sufri una mutacin en el bit

3.

El valor mximo de f es 676 (individuos 1, 3, 4 y 5) y fmed ha aumentado de 584 a

627,33.

Como la condicin del proceso es finalizar en la quinta generacin, el algoritmo

gentico en este caso nos da como resultado que el mximo de la funcin para el intervalo

estudiado es 676; se evidencia la necesidad de seguir iterando, en este caso, porque

conocemos el valor mximo de la funcin. He aqu un problema real del algoritmo, que es la

tendencia a la homegeinizacin de la poblacin, es decir a que todos los individuos de la

misma sean idnticos. Esto impide que el algoritmo siga explorando nuevas soluciones, con

lo que podemos quedar estancados en un mximo local no muy bueno. Existen tcnicas


para contrarrestar esta situacin. El mecanismo ms elemental, aunque no siempre

suficientemente eficaz, es introducir una mutacin tras la seleccin y el cruce. Una vez que

se ha realizado la seleccin y el cruce se selecciona un nmero determinado de bits de la

poblacin y se alteran aleatoriamente.

1.4.5. Cdigo fuente de un algoritmo gentico simple

Existen varios paquetes y bibliotecas de algoritmos genticos en el mercado, sin

embargo, de acuerdo a las caractersticas especficas de algn problema, se hace necesario

reimplementar todo el algoritmo, en vez de emplear algn paquete preexistente. Algunos de

esos paquetes son:

GALOPPS: Su direccin primaria en Internet es GARAGe.cps.msu.edu/software/software-index.html, y su direccin para descargarlo

va FTP es garage.cps.msu.edu/pub/GA/galopps/

GAGS: Generador de aplicaciones basadas en algoritmos genticos, escrito en C++. Desarrollado por el grupo de J.J. Melero. Excelente. Su direccin Web es kal-

el.ugr.es/gags.html, y su direccin para descargarlo va FTP es kal-el.ugr.es/GAGS/.

FORTRAN GA: Desarrollo de algoritmos genticos para Fortran. Su direccin Web es www.staff.uiuc.edu/~ carroll/ga.html.

Galib: Biblioteca de algoritmos genticos de Matthew. Conjunto de clases en C++ de algoritmos genticos. Su direccin Web es lancet.mit.edu/ga/, y su direccin para

descargarlo va FTP es lancet.mit.edu/pub/ga/. Podemos registrarlo en

http://lancet.mit.edu/ga/Register.html.

GAS: Paquete para desarrollar aplicaciones de algoritmos genticos en Python. Su direccin Web es starship.skyport.net/crew/gandalf, y su direccin para descargarlo

va FTP es ftp.coe.uga.edu/users/jae/ai.

GECO: Conjunto de herramientas para Lisp. Su direccin para descargarlo va FTP es ftp://ftp.aic.nrl.navy.mil/pub/galist/src/.


GPdata: Para desarrollar algoritmos genticos en C++. Su direccin para descargarlo va FTP es ftp.cs.bham.ac.uk/pub/authors/W.B.Langdon/gp-code/, y su

documentacin -GPdata-icga-95.ps- la podemos encontrar en el site de Internet

cs.ucl.ac.uk/genetic/papers/.

gpjpp: Bibliotecas de clases para desarrollar algoritmos genticos en Java Su direccin Web es www.turbopower.com/~ kimk/gpjpp.asp.

GP Kernel: Biblioteca de clases para programacin gentica en C++. Su direccin Web es www.emk.e-technik.th-darmstadt.de/~ thomasw/gp.html.

lil-gp: Herramientas para programacin gentica en C. Su direccin Web es isl.msu.edu/GA/software/lil-gp/index.html, y su direccin para descargarlo va FTP es

isl.cps.msu.edu/pub/GA/lilgp/. Podemos encontrar los parches para Linux en

www.cs.umd.edu/users/seanl/patched-gp.

PGAPack: Parallel Genetic Algorithm Library. Biblioteca de algoritmos genticos paralelos. Podemos encontrarlo en la direccin de Internet con un navegador en

www.mcs.anl.gov/home/levine/PGAPACK/index.html, y su direccin para

descargarlo va FTP es ftp.mcs.anl.gov/pub/pgapack/.

Sugal: SUnderland Genetic ALgorithm system. Para hacer experimentos con algoritmos genticos. Podemos encontrarlo en la direccin de Internet con el

navegador en www.trajan-software.demon.co.uk/sugal.htm.

ADATE: Automatic Design of Algorithms Through Evolution. Programacin evolutiva. Su direccin Web es www-ia.hiof.no/~ rolando/adate_intro.html.

GPsys: Sistema de programacin gentica en Java. Podemos encontrarlo en la direccin de Internet www.cs.ucl.ac.uk/staff/A.Qureshi/gpsys.html.

En el Anexo 2 de esta monografa, se presenta el cdigo fuente del algoritmo

gentico simple, en lenguaje pascal, aplicado a la optimizacin de las funciones reales

de una y dos variables que fueron elegidas para ser estudiadas mediante esta

herramienta.

CAPTULO II

Mtodos clsicos de optimizacin numrica En el conjunto de mtodos clsicos de optimizacin numrica, existen dos grandes

grupos, que lo podemos denominar algoritmos para problemas con restricciones (que

requieren los valores de la funcin objetivo y el conjunto de restricciones) y algoritmos para

problemas sin restricciones (que requieren los valores de la funcin objetivo y los valores de

la o las derivadas de la funcin objetivo); en el primer grupo cabe mencionar el Mtodo

Simplex y en el segundo grupo, se ubican el Algoritmo del Gradiente con paso constante y el

Algoritmo de Newton con paso constante, stos, en nuestra opinin, es una buena

representacin de los mtodos de optimizacin clsicos considerados no heursticos, debido

a que la bsqueda de los puntos ptimos se realiza mediante estrategias que no dependen

de eventos aleatorios, lo cual los hace distintos al Algoritmo Gentico Simple, en cuanto a

sus mecanismos de funcionamiento.

Procederemos en las lneas subsiguientes a indicar y a describir brevemente la

rutina de los dos mtodos antes mencionados, que utilizan los algoritmos para problemas sin

restricciones, el cual es el tema que nos ocupa, a fin de tener una panormica de estas

alternativas de optimizacin numrica para comparar sus resultados con los obtenidos con la

aplicacin del algoritmo gentico simple.

2.1. Algoritmo del gradiente con paso constante

Este algoritmo es del tipo:

{ },/ doptimalidadenecesariacondicinunaverificaxIRx n=xk , en la iteracin k se calcula un punto

nkk

kk

k

dado

.

Se ha demostrado que si

k IRdIRtdondedtxx +=+ ,,1

( ) ( ) ( ) .0,/0tan0,, TtxftdxfTexistetolopordxfentoncesIRd n >


Visto que el problema matemtico consiste en maximizar f(x) para , con f

continuamente diferenciable, es natural escoger en cada iteracin una direccin

nIRx

( ) 0, > kkk dxfquetald y la manera ms sencilla de hacerlo es tomando ( )kk xfd = .

Los algoritmos del gradiente escogen as dk en cada iteracin y por lo tanto difieren

entre s slo en la manera de determinar el nmero tk llamado paso, el cual junto con dk

define . Para todos los algoritmos del gradiente se tiene

kk

kk dtxx +=+1

( ){ }.0/ == xfIRx nEl algoritmo del gradiente con paso constante, es un algoritmo de bsqueda del valor

ptimo de una funcin objetivo, el cual tiene la siguiente estructura:

{ ( )}( )Inicio: Escoger 000 / xfxfxxquetalIRx n =)

es acotado,

( 1,0 , hacer k=0, ir a la iteracin k

Iteracin K paso 1: Calcular ( )kxf

paso 2: Si ( ) 0= kxf parar

si no, hacer ( ) ,1, == kk xfd ir al paso 3

paso 3: Calcular ( ) ( ) ( ) ( ) 22

, kkkkk xfxfdxfx +=

paso 4: Si ( ) ,0, kx hacer =kt ir al paso 5

si no, hacer = ir al paso 3


paso 5: ir a la iteracin k ,1,1 +=+=+ kkdtxx kkkk

La siguiente proposicin se apoya en un supuesto vital para la operatividad de este

algoritmo:

Proposicin: Si f es dos veces continuamente diferenciable, si existen M>0, m>0 tales que

( ) nIRytodoparaymyxHyyM ,, 22 , para todo , donde H es la matriz hessiana de f, entonces cualquier sucesin infinita generada por el algoritmo a

partir de x

0xx

0 converge linealmente hacia un punto x* de . Adems

( ) ( ) ( ) ( )( ).1

21

, *0x21

2*0**

+=

=

Mm

Mmqy

xmMqCconCqxxxfxfqxfxf

kkkk

2.1.1. Ejemplo manual del algoritmo del gradiente con paso constante

Aplicar el AGPC para obtener algunos trminos de la sucesin que converge al valor ptimo

de ( )242

2221

21 xxxxxf += , con ( )0,1

43 0 == xy .

Tenemos que f es cncava y dos veces continuamente diferenciable. Como ( )210 =xf y

la curva de nivel ( )21=xf es una elipse, el conjunto ( ) ( ){ }00 / xfxfxX = es

convexo y compacto.

Adems ( )

=1

41

411

xH , los autovalores son -3/4 y -5/4



Por lo tanto ( ) 22 3,5 yyxHyy 44

, se deduce que la sucesin generada a partir

de converge hacia un punto de ( )0,10 =x . A continuacin se calculan algunos trminos de esta sucesin

Iteracin 0:

( ) ( ) ( ) ( )21,

1617,,

00

411

020000 ===

= xfxfxfdxf

( )

( ) 01617

21

21

3211,

321,

410

,1

0

00

( ) ( ) ( ) ( ) 002,0#,004,0#,,00

051,0031,0

# 222222 =

xfxfxfdxf

( )( )

( ) 0005,0#,025,0024,0

#

00015,0#1,

00015,0#,012,0016,0

#1

22

2

22

+==

+==

yfdxy

x

yfdxy

025,04

,0#43,2x

La solucin es

+= 024,0#3 223 dxx

( ) ( ) 0,0,0 ** == xfx . Aunque la sucesin converge rpidamente, se observa una gran influencia de los errores de redondeo cerca de la solucin en la

determinacin de ( ),x .

2.2. Algoritmo de Newton con paso constante

Los algoritmos del gradiente consideran la aproximacin lineal de la funcin objetivo

para determinar la direccin de desplazamiento. Sin embargo, si estamos cerca del punto

solucin, es decir si es pequeo o bien si f es estrictamente cncava, una

aproximacin cuadrti en torno a xk representa mejor el comportamiento de f, donde:

( )xfca F(x)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kkkkkk xxxHxxxxxfxfxF ++= ,2

, siendo H la matriz hessiana 1,

de f.

Si f es estrictamente cncava, F lo es tambin y alcanza su mximo en el punto x tal que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )kkkkkkk xfxHxxregularesxHseaoxxxHxf ==+ ,,0 Por lo tanto en todo punto xk donde H(xk) es definida negativa, un desplazamiento a

partir de xk en la direccin ( ) ( )kkk xfxHd = 1 producir un crecimiento del valor de f ya que ( ) ( ) 0,, >= kkkkk ddxHdxf



Esta manera de determinar dk caracteriza lo

cada iteracin calculan xk+1 a partir de xk mediante

s algoritmos de Newton, los cuales en

( ) ( )kkkkk xfxHdcondtxx =+= , el mtodo de escoger el paso t

kk + 11 y slo difieren entre s en

ara to

k.

P dos los algoritmos de Newton, tenemos: ({ }) 0=x ,.bajo el supuesto ue f es al menos dos veces continuamente diferenciable y su matriz hessiana regular.

wton con paso constante se escribe as:

Inicio: Escoger

/= fIRx n

q

El algoritmo de Ne

nIRx 0 ( )1,0,21,0

(es conveniente tomar

( )8,0,5,0 , hacer k=0, ir a la r n ite aci k

cular

( )kxf Iteracin K paso 1: Cal

paso 2: Si ( ) 0= kxf parar si no, hacer ( ) ( )kkk xfxHd = 1 , hacer 1= , ir al paso 3

cula paso 3: Cal r ( ) ( ) ( ) ( ) kkkkkk dxfxfdxfx ,, += ,

paso 4: Si ( ) ,,0, k hacerx = kt ir al paso 5

si no, hacer = , ir a

paso 5 , k=k+1 ir a la iteracin k

l paso 3

kkkk dtxx +=+1

2.2.1. Ejemplo manual del algoritmo de Newton con paso constante Aplicar el ANPC para obtener algunos trminos de la sucesin que converge al valor ptimo

de ( )242

2221

21 xxxxxf += , con 4,07,0 == y .

En el ejemplo anterior vimos que ( )

=1

41

411

xH , tiene por autovalores -3/4 y

-5/4, por lo que sucesin generada por el algoritmo a partir de ( )0,10 =x converge.

Iteracin 0: ( ) ( )

=

=

=

141

411

,00

411

,01 0100 xHxfx

( ) ( ) ( ) ( )


1,,21,

01 0000010 ==

== dxfxfxfxHd

( ) 0,00

,1 00 =

=+== yfdxy

( ) ( ) ( ) ( ) 01,0,4,01, 0000 >== dxfxfyfx Por lo tanto

=+=00001 dxx

Iteracin 1: parar. ( ) ,00

,00 11

=

= xfx

CAPTULO III

Ensayos de aplicacin del algoritmo gentico simple y de los mtodos clsicos en la optimizacin numrica

En este captulo vamos a maximizar la funcin 1)10(22 += xsenxy , en el

dominio [0, 2] y minimizar la funcin ( )

( )( )222222

001,01

5,05,0

yx

yxsenZ ++

++= , en el dominio

[-200, 200] X [-200, 200] mediante el algoritmo gentico simple, implementado en lenguaje

pascal a fin de comentar los resultados obtenidos.

3.1. Evaluacin de la funcin 1)10(22 += xsenxY en el dominio [0,2]

Iniciaremos el ensayo mencionando algunas caractersticas de esta funcin, cuyo

grfico se muestra en la figura N 1 que sigue:

5


21.510.50

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

figura N 1 grfica de la funcin 1)10(22 += xsenxY Como se observa, esta funcin en el dominio de definicin, tiene una oscilacin

moderada con tendencia al aumento y manifiesta un incremento de su amplitud directamente

proporcional al incremento de la variable independiente. El mximo global se ubica muy

cerca de x = 2 y registra varios mximos locales, que se resaltan a partir de x = 1.


En el Anexo 3 de este trabajo se detallan las herramientas computacionales

utilizadas para el desarrollo de este aparte y de otros donde se hizo necesario el uso de las

mismas.

3.1.1. Aplicacin del algoritmo gentico simple

Los parmetros para la corrida de la funcin que se intenta optimizar mediante el

algoritmo gentico simple son los que se detallan a continuacin:

Tamao del cromosoma: 15 Tamao de la poblacin: 100

Nmero de generaciones: 200 Probabilidad de cruce: 0,85

Probabilidad de mutacin: 0,013.

El tamao del cromosoma igual 15, significa que los valores de la variable x se

codificaron con 15 bits cada uno, resultando que los individuos se representan mediante

ristras de 0s y 1s de tamao 15.

El tamao de la poblacin igual 100, significa que para cada una de las 200

generaciones estarn formadas por 100 individuos.

Pc = 0,85; quiere decir que en cada generacin se modificar probablemente el 85%

de la poblacin y en todos los cruces que se aplican, los hijos sustituirn a los padres

independientemente de que la aptitud de stos sea peor que la de los padres.

Pm = 0,013, significa que el 10% de la poblacin y el 0,13% de los genes es probable

que sean sometidos a mutacin, por lo que en este caso como tenemos 100 individuos cada

uno codificado con 15 genes se espera que aproximadamente 19 genes sean mutados por

cada generacin y as los individuos mutados sustituirn a los iniciales independientemente

de su aptitud.

La tabla N 1 que se presenta a continuacin, contiene un resumen de los resultados

empricos, de los datos que consideramos relevantes, obtenidos mediante la corrida del

programa del algoritmo gentico simple, con las caractersticas paramtricas mencionadas

anteriormente, que se encuentra en el Anexo 2 de este trabajo.


En la misma se observa que una vez realizadas 200 generaciones, el algoritmo

gentico encontr el valor mximo de la funcin en estudio que result ser igual a 4,8035, el

cual se alcanza en el valor de la variable x igual a 1,9504379406.

Tabla N 1 Resumen de resultados empricos


Valor de X Mximo Mnimo Promedio Suma Mutaciones Cruces Generaciones1,8289132361 3,0797 1,0050 1,5705 157,0515 17 43 11,9411603100 4,7886 1,0000 1,6305 163,0526 31 86 21,9500106815 4,8025 1,0000 2,0026 200,2616 45 128 31,9500106815 4,8025 1,0020 2,2726 227,2647 59 172 41,9494613483 4,7993 1,0007 2,7030 270,3016 76 216 51,9498275704 4,8017 1,0042 2,8430 284,2982 97 258 61,9498215702 4,8016 1,0006 3,2116 321,1613 116 298 71,9500106815 4,8025 1,0010 3,4588 345,8796 127 340 81,9506177701 4,8028 1,0012 3,7419 374,1892 141 385 91,9506177701 4,8028 1,0005 3,9620 396,2000 160 428 101,9506177701 4,8028 1,0010 3,9602 396,0231 175 474 111,9506177701 4,8028 1,0123 4,1118 411,1769 198 518 121,9501937925 4,8031 1,0185 4,1554 415,5434 217 559 131,9498275704 4,8017 1,0089 4,1857 418,5693 232 607 141,9498275704 4,8017 1,0002 4,1899 418,9862 251 649 151,9500106815 4,8025 1,0191 4,1718 417,1812 271 695 161,9501937925 4,8031 1,0041 4,2386 423,8643 290 735 171,9508651900 4,8032 1,0024 4,2333 423,3294 304 784 181,9508651900 4,8032 1,0018 4,3154 431,5449 325 828 191,9501937925 4,8031 1,0018 4,3134 431,3423 343 872 201,9501937925 4,8031 1,0605 4,3905 439,0480 356 914 211,9501937925 4,8031 1,0011 4,4666 446,6635 378 958 221,9501327555 4,8030 1,3814 4,2848 428,4767 397 1.003 231,9506177701 4,8028 1,0126 4,1757 417,5684 416 1.040 241,9506177701 4,8028 1,1804 4,3564 435,6425 429 1.084 251,9501937925 4,8031 1,1225 4,3614 436,1446 446 1.131 261,9501937925 4,8031 1,0020 4,2147 421,4660 469 1.174 271,9507431257 4,8033 1,0036 4,2421 424,2080 485 1.218 281,9504379406 4,8035 1,0045 4,1769 417,6861 505 1.264 291,9505600146 4,8035 1,0000 4,2572 425,7215 533 1.310 301,9505600146 4,8035 1,0084 4,3004 430,0397 555 1.352 311,9505600146 4,8035 1,0916 4,3781 437,8083 577 1.393 321,9505600146 4,8035 1,0337 4,3390 433,9004 597 1.436 331,9506179856 4,8029 1,0001 4,3258 432,5818 626 1.478 341,9506177701 4,8028 1,0000 4,0788 407,8834 655 1.518 351,9507431257 4,8033 1,0101 4,2195 421,9456 672 1.558 361,9507431257 4,8033 1,0101 4,3783 437,8302 690 1.600 37

Funcin de Aptitud Nmero

Continuacin de Tabla N 1 Resumen de resultados empricos


Valor de X Mximo Mnimo Promedio Suma Mutaciones Cruces Generaciones1,9507431257 4,8033 1,0043 4,4152 441,5206 708 1.642 381,9507431257 4,8033 1,6957 4,4755 447,5470 731 1.684 391,9507431257 4,8033 1,1278 4,4546 445,4580 749 1.725 401,9507431257 4,8033 1,0738 4,3399 433,9920 769 1.763 411,9509261310 4,8027 1,0129 4,3800 438,0019 780 1.799 421,9500106815 4,8025 1,1193 4,3345 433,4524 797 1.839 431,9509261310 4,8027 1,0408 4,3470 434,6953 825 1.883 441,9509261310 4,8027 1,0013 4,3734 437,3395 846 1.923 451,9508651900 4,8032 1,0005 4,2481 424,8061 869 1.967 461,9507431257 4,8033 1,0001 4,1711 417,1129 884 2.005 471,9501937925 4,8031 1,0000 4,2156 421,5561 896 2.049 481,9506177701 4,8028 1,1034 4,4398 443,9789 919 2.089 491,9506177701 4,8028 1,2007 4,4719 447,1919 934 2.131 501,9506177701 4,8028 1,0096 4,3980 439,7984 956 2.176 511,9506177701 4,8028 1,0115 4,3682 436,8249 973 2.219 521,9507431257 4,8033 1,0047 4,2965 429,6507 991 2.260 531,9506177701 4,8028 1,0002 4,4256 442,5634 1.004 2.307 541,9506177701 4,8028 1,2636 4,4005 440,0500 1.034 2.349 551,9507431257 4,8033 1,0005 4,4866 448,6561 1.057 2.389 561,9506177701 4,8028 1,0120 4,2150 421,5034 1.068 2.433 571,9507431257 4,8033 1,0000 4,0684 406,8424 1.093 2.476 581,9507431257 4,8033 1,0000 4,2469 424,6913 1.113 2.517 591,9507431257 4,8033 1,0001 4,0269 402,6906 1.140 2.559 601,9507431257 4,8033 1,0001 4,1717 417,1681 1.157 2.600 611,9507431257 4,8033 1,0015 4,2964 429,6375 1.168 2.642 621,9507431257 4,8033 1,0015 4,2806 428,0582 1.182 2.689 631,9503158660 4,8034 1,4975 4,4106 441,0584 1.198 2.730 641,9506820887 4,8034 1,3398 4,3082 430,8227 1.219 2.770 651,9506820887 4,8034 1,0005 4,4545 445,4484 1.236 2.811 661,9506820887 4,8034 1,0013 4,4024 440,2356 1.259 2.851 671,9506820887 4,8034 1,0000 4,3572 433,7153 1.278 2.890 681,9506820887 4,8034 1,0000 4,2844 428,4440 1.292 2.935 691,9506820887 4,8034 1,0080 4,2389 423,8881 1.305 2.975 701,9506820887 4,8034 1,0015 4,5238 452,3835 1.331 3.015 711,9506820887 4,8034 1,0000 4,3515 435,1515 1.347 3.054 721,9504379406 4,8035 1,0120 4,1643 416,4337 1.370 3.098 731,9506820887 4,8034 1,0050 4,4866 448,6623 1.389 3.138 741,9504379406 4,8035 1,0115 4,4545 445,4520 3.757 8.430 200Nmero promedio de cruces por generacin: 42Nmero promedio de mutaciones por generacin: 19

Funcin de Aptitud Nmero

Las grficas que se observan a continuacin, muestran los resultados empricos de

la poblacin en funcin al nmero de generaciones, obtenidos en 74 simulaciones, con las

caractersticas paramtricas mencionadas anteriormente.

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Nmero de Generaciones

Valo

res

Apt

itud

Mximo Mnimo Promedio

figura N 2 Valores regulares de la funcin para distintas generaciones

Los resultados de los mximos y los mnimos de la funcin de aptitud (colores verde

y azul en la figura N 2), reflejan mucha estabilidad en la medida que avanzan las

generac la figura

N 2) m

e la funcin de aptitud acumulada con respecto al nmero de generaciones

produci

iones. Ahora bien, el valor promedio de la funcin aptitud (color naranja en

uestra cierta variabilidad con tendencia hacia el valor mximo, esto confirma la teora

en cuanto a que las generaciones resultantes tienden, en promedio, a ser ms aptas que sus

ascendientes.

Las dos grficas (figuras N 3 y 4) que siguen, muestran elocuentemente la relacin

directamente proporcional existente entre nmero de mutaciones, el nmero de cruces y la

estabilizacin d

das en los ensayos.


0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

0 10 20 30 40 50 60 70 80


Nm

ero

de C

asos

Mutaciones Cruces

figura N 3 Nmero de mutaciones y cruces para distintas generaciones

Funcin de aptitud acumulada por cada generacin

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50 60 70 80


figura N 4 Funcin de aptitud acumulada distintas generaciones

La grfica (figura N 5) subsiguiente muestra las posiciones de los valores mximo,

mnimo y promedio de la funcin de aptitud para la distribucin inicial de la poblacin.


21.510.50

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2


1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

figura N 5 Valores regulares de la funcin en la poblacin inicial

La figura N 6 muestra las posiciones de los valores mximo, mnimo y promedio de

la funcin de aptitud para la distribucin final de la poblacin despus de 200 generaciones,

observndose que la lnea de posicin del valor mximo y mnimo coinciden con el valor

mximo y mnimo de la funcin en estudio.

21.510.50

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Promedio

Mnimo

Mximo

Promedio

Mnimo

Mximo

figura N 6 Valores regulares de la funcin en la poblacin final

3.1.2. Aplicacin de los mtodos clsicos de optimizacin numrica

Se realizaron pruebas (cambiando el punto inicial) sobre la funcin

1)10(22 += xsenxy dirigidas a obtener resultados respecto a la ubicacin del mximo global con el software matemtico Maple 8, consiguindose como conducta modal que el

mismo detiene la bsqueda, en todo caso, en el primer mximo local que halla despus del

punto inicial y declara tal resultado como el valor mximo global de la funcin; produciendo

as una solucin aproximada con un inmenso error.

3.2. Evaluacin de la funcin ( )(( )) 222222

yx0,0011

0,5yxsen0,5Z ++

++= , en el dominio [-200, 200] X [-200, 200]

Continuando con el proceso de evaluacin, la figura N 7 ilustra la inversa de la

funcin que antecede en el dominio [-10, 10] X [-10, 10], debido a que para el dominio

62.5

50

37.5

25

105

0-5-10 -5 0 -105 10

12.5

x

y

z

figura N 7 grfica de la funcin en el domino [-10, 10] X [-10, 10]( )( )222222

yx0,0011

0,5yxsen0,5Z

++

++=

completo de definicin, la funcin inversa no presenta valores mximos relevantes.


Como se observa, esta funcin tiene dos mximos globales en el entorno

(-5, 5) X (0, 2,5) y mltiples mximos locales.

100

75

50

-5-2.5

0


figura N 7 grfica de la funcin en el domino [-5, 5] X [0, 2,5]( )( )222222

yx0,0011

0,5yxsen0,5Z

++

++=

3.2.1. Aplicacin del algoritmo gentico simple Los parmetros para la corrida de la funcin que se intenta optimizar mediante el

algoritmo gentico simple son los que se detallan a continuacin:

Tamao del cromosoma: 30 Tamao de la poblacin: 100

Nmero de generaciones: 200 Probabilidad de cruce: 0,85

Probabilidad de mutacin: 0,013.

El tamao del cromosoma igual 30, significa que los valores de las variables x, y se

codificaron con 15 bits cada uno, resultando que los individuos se representan mediante

ristras de 0s y 1s de tamao 30. Los primeros quince, de izquierda a derecha corresponden

a la variable y; las quince posiciones restantes corresponden a la variable x.

Los datos que consideramos relevantes, obtenidos mediante la corrida del programa

del algoritmo gentico simple, con las caractersticas paramtricas mencionadas

52.50

2.5

25

xy

z

anteriormente, el cual se encuentra en el Anexo 2 de esta monografa, refuerzan las

conclusiones obtenidas en el caso de la funcin de una variable. Una vez realizadas las 200

generaciones consideradas, el algoritmo gentico encontr dos valores que podemos

considerar una buena aproximacin a los mximos de la funcin en estudio que resultaron:

102,9237, el cual se alcanza en el punto (2,7039399396, 1,5930661948) y 102,8904, el cual

se alcanza en el punto (-0,81179235200, -3,0335398419).

3.2.2. Aplicacin de los mtodos clsicos de optimizacin numrica

Los resultados generados, utilizando el mismo software matemtico aplicado en el

aparte 3.1.2., productos de la evaluacin de la funcin ( )( )( )222222

yx0,0011

0,5yxsen0,5Z ++

++= son

anlogos a los arrojados en el aludido aparte.



CAPTULO IV

Posibles modificaciones al algoritmo gentico simple y conclusiones

Como se evidenci en el ejemplo manual del captulo I de esta monografa, el

algoritmo gentico simple al finalizar la quinta generacin, produjo como resultado para el

mximo de la funcin en el intervalo estudiado un valor igual a 676 (siendo su mximo

verdadero igual a 961); este escenario comprob que el mencionado algoritmo no es la

panacea ante el problema de optimizacin, marcando la necesidad de seguir iterando, todo

basado en el hecho, siempre imposible, de que se conoce el valor mximo de la funcin. He

aqu un importante problema real de este algoritmo, como lo es la tendencia a la

homegeinizacin de la poblacin, es decir a que todos los individuos de la misma sean

idnticos, impidiendo que el algoritmo siga explorando nuevas soluciones con lo que,

probablemente, se quede estancado en un mximo local no muy bueno, este evento suele

denominarse convergencia prematura en contraposicin a la convergencia lenta que en

muchos casos se produce.

Otro conflicto en el comportamiento del algoritmo gentico puede ser la existencia de

muchos ptimos locales, adems el hecho de que el ptimo global se encuentre muy

aislado.

Existen muchas tcnicas para contrarrestar tales situaciones. Los mecanismos que

nicamente mencionaremos en este captulo tienen que ver con las modificaciones

realizadas sobre los operadores genticos.

4.1 Modificaciones sobre los operadores genticos

Las modificaciones del algoritmo gentico simple, en cuanto a sus operadores

genticos, sern capaces de producir una versin mejorada del mismo, que no es ni se

pretende que sea una solucin definitiva al problema mencionado.

La investigacin en el campo de los algoritmos genticos est centrada en la

bsqueda de un algoritmo robusto, eficaz y rpido. En tiempos recientes, se han utilizado

diferentes parmetros para ensayos prcticos sobre un mismo problema, as mismo se han

desarrollado nuevas representaciones para los operadores de seleccin, cruce y mutacin a

fin de aumentar la velocidad de los algoritmos genticos; ya que empricamente se ha

comprobado que la modificacin de los parmetros y operadores que los definen pueden

impactar vigorosamente sobre el funcionamiento de dicho algoritmo.

4.1.1. Seleccin (Elitismo) Como antes se ha dicho, para el algoritmo gentico simple la seleccin de mayor

popularidad es la seleccin proporcional a la aptitud equivalente a la seleccin por rueda de

ruleta, siendo la probabilidad de seleccionar a un individuo

=

=pN

jj

iseli

F

FP

1

, donde:

iF : es el valor de la funcin de aptitud del individuo i-simo.

pN : es el nmero de individuos de la poblacin y se conoce como el tamao de la

poblacin.

Esta manera de escoger como padre a los individuos de la poblacin presenta el

inconveniente de la rpida convergencia provocada por los superindividuos.5

El problema anterior se puede resolver efectuando una seleccin proporcional al

rango del individuo, lo cual produce una reparticin ms uniforme en la escogencia.

( ) 2/1)(

+= irango

i

FrangoP , donde es el rango de la funcin objetivo del mejor individuo. Existe un modelo de seleccin elitista donde se obliga a que el mejor individuo de la

poblacin anterior sea seleccionado para pasar a la poblacin siguiente.

Entre la gran variedad de mtodos de refinamiento del modelo de seleccin

proporcional, cabe mencionar al modelo del seleccin del valor esperado, el esquema de

seleccin que ha proporcionado empricamente buenos resultados es el muestreo

estocstico con reemplazamiento del resto, introducido por Brindle (1991), otros

5 Estos son individuos con valores relativamente elevados en la funcin de aptitud.



procedimientos de seleccin consiste en mtodos de seleccin dinmicos (las

probabilidades de seleccin varan en cada generacin).

4.1.2. Cruce (Varios tipos) En el algoritmo gentico simple los individuos seleccionados para desempear el

papel de padres son recombinados utilizando el cruce basado en un punto. De Jong (1975)

ha realizado experimentos con operador de cruce basado en mltiples puntos y ha concluido

empricamente que el cruce basado en dos puntos produce mejoras importantes al

algoritmo.

Existen otros operadores de cruce son: a) Operador de cruce uniforme, b) Operador

de cruce basado en la funcin objetivo, c) Operador de cruce en el sentido del simulated

annealing, etc.

4.1.1. Mutacin Este operador es considerado de importancia capital debido a que permite al

algoritmo gentico explorar sobre todo el espacio de bsqueda. En la mayora de las

implementaciones del algoritmo gentico simple la probabilidad de mutacin permanece

constante en todas las generaciones. La bsqueda del valor ptimo de la mencionada

probabilidad ha motivado el desarrollo de muchos trabajos de investigacin.

Experimentalmente, modificando la probabilidad de mutacin se han logrado mejorar

los resultados del algoritmo gentico simple. Adicionalmente, en algunos casos se ha

ensayado con algoritmos genticos que modifican dinmicamente la probabilidad de

mutacin (y de cruce).

4.2 Conclusiones

1. El desarrollo de las pruebas experimentales realizadas en esta monografa, sobre

las dos funciones reales elegidas para ser evaluadas mediante el algoritmo gentico

simple, y la comparacin con los resultados que arrojaron los mtodos tradicionales

de optimizacin numrica, permiti exponer la potencialidad del algoritmo gentico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

Algoritmos Geneticos

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