Algoritmo Para La DistribucióN De MelodíAs En Varias Voces

Algoritmo para la distribución de melodías en varias voces

Desarrollo y aplicación de un algoritmo para la distribución de melodías

en varias voces

Andrés Eduardo Coca Salazar

Departamento de MúsicaUniversidad de Caldas

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1. Introducción2. Desarrollo del algoritmo3. Implementación4. Condiciones de prueba5. Conclusiones6. Audición

Contenido

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Ilusiones acústicas• Ilusiones que usan sonidos para crear una falsa percepción al oyente.

Diana Deutsch • Estudio y clasificación. • Departamento de psicología de la universidad de California (UCSD).

Ilusiones musicales

• Se basan en la distribución de una o dos melodías para dos instrumentos de tal forma que se crucen las voces.

Tipos de ilusiones musicales

• Octava • Escala • Cromática

INTRODUCCIÓN

• Glissando• Paradoja del trítono • Melodía misteriosa

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ILUSIÓN CROMÁTICA

Percepción:

Escuchar la escala cromática interpretada por una voz, pero en realidad sólo es una parte de ella de forma discontinua y alternada en dos voces.

INTRODUCCIÓN

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Composición de una obra musical para cuarteto de cuerdas clásico.

• Paradoja del trítono• Ilusión cromática • Melodía misteriosa.

Inconvenientes

• Difícil ejecución para el violín debido a los grandes intervalos que tiene de forma consecutiva. • Dos escalas cromáticas con sentido opuesto y una separación de dos octavas.

Solución

• Diseño de un algoritmo para distribuir automáticamente la escala a dos o más voces.

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ESTADO DEL ARTE

• Algoritmos existentes– Construcción y desarrollo de melodías.– Construcción rítmica.– Ensamble instrumental.

• Métodos – Estocásticos. – Inteligencia artificial:

• Algoritmos evolutivos, algoritmos genéticos, RNA.• Aportes

– Orquestación ensamble– Característica de la música del siglo XXI.– Relación con la psicología– Se amplían más las posibilidades de opción por que se puede generalizar

para varias voces y varias melodías.

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DESARROLLO DEL ALGORITMO

Clasificación de las distribuciones

Según el número de conjuntos que se van a ordenar.

• Distribuciones Monomelódicas:

• Un conjunto de elementos

• Distribuciones Multimelódicas:

• Más de dos conjuntos

Para distribuir uno o más conjuntos de elementos de forma ordenada, se debe seguir un procedimiento secuencial que se realiza por medio del análisis matemático de las matrices resultantes.

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DISTRIBUCIONES MONOMELÓDICAS

[ ]Y = 1 2 ... 1i i−

[ ]1 kA = Y ... Y = , n

k i ni

≤

Matriz melódica: Contiene los n elementos que se van a distribuir.

Con la variable de entrada i se crea la matriz Y.

Matriz de asignación

[ ]1 2X = ... nx x x


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Matriz distribuida M.

Casos especiales

• Comparar magnitud de i contra n.

• Si i < n: Distribución ideal para i > 1.• Si i = n:

• Si i > n: p filas sin asignación.

( )M Xdiag=

p i n= −

A , 1, 2...c cnf c i= =

( ) ( )M , X ,cf n c n=

11 1, 1

1, 1,

X X

M

X X

i

i n

+ − − = − − − − −

L K

K O O

L K


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• Los elementos de la matriz X pueden ser las notas de una escala o una melodía. • La variable i indica el número de instrumentos que se utilizarán.

Ejemplo: Distribuir la escala de C mayor para cuatro instrumentos.

[ ]X = C D E F G A B 31,75 1

4k = =

( )M 4,7

C G

D A

E B

F

− − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − −

[ ]A 1 2 3 4 1 2 3=


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Distribuciones Multimelódicas

• Musicalmente es más útil usar 2 o más melodías. • La distribución resultante forma intervalos y acordes entre las voces. • Los intervalos y los acordes se pueden preparar para obtener variedad y carácter en la obra. • Las ilusiones musicales se construyen con dos conjuntos de notas (escala o melodía).• Caso general de las distribuciones monomelódicas.

La matriz melódica X es de orden m x n.

m: Número de conjuntos de notas.n: Número de notas que conforman el conjunto de notas..

La matriz de asignación A tiene el mismo orden de X


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Construcción de la matriz de asignación

• La primera fila de A contiene la matriz Y, k veces.• Las demás filas son desplazamientos circulares unitarios hacia la

izquierda, de la fila inmediatamente anterior.

Función desplazamiento circular

[ ] ( )( )1Y Y 1,mod Yn nn n n m+

= − ≡ −

A mod , 2in i i >

• Se debe delimitar el último elemento de cada fila con la función módulo.


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2. La primera fila de A contiene la matriz Y, k veces. • Crear una relación de recurrencia con la primera fila de A que contiene a Y.

Ecuación de recurrencia

Solución por el método iterativo

• Función módulo i a cada fila o a la matriz completa.

1Y Y 1n n−= +

( )1Y Y 1n n= + −


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Se crea A por cualquiera de los dos métodos.

• Desplazamiento circular

• Relación de recurrencia

Crear la matriz distribuida M

1

2

n

Y

YA

...

Y

=

( ) ( )M , X ,cf n c n=A , 1,2...c cnf c i= =


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Casos especiales

Dependiendo de la relación de magnitud entre el número de melodías m y el número de instrumentos i.

• Si m > i:

• Imposible hacer distribución, porque una de las voces tendría que interpretar más de una melodía simultáneamente.

• Instrumentos melódicos. • Apropiado para instrumentos polifónicos.

• Si m = i:

• La distribución sólo generará una matriz M.


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3. Si m < i:

• Se pueden crear diferentes matrices con los desplazamientos circulares de A restantes.• Opción de elegir el desplazamiento a utilizar, según los siguientes criterios.

a. Forma jerárquica:

• Utilizar obligatoriamente los primeros i desplazamientos.• Seleccionar cualquiera de los i-1 desplazamientos

circulares que sobran, para ocupar la ultima fila de A.

• Forma aleatoria:

• Formar la matriz A seleccionando aleatoriamente m formas de desplazamiento de las i posibles.

i mPExisten formas de crear una matriz A.


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IMPLEMENTACIÓN

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Diagrama de flujo

• Editor de Matlab 5.3• Toolbox MIDI

• Los elementos vacíos de M se ajustan con ceros que musicalmente significan silencios.

IMPLEMENTACIÓN

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Condiciones de prueba

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• Se aplicó el algoritmo para distribuir la escala cromática y crear la ilusión respectiva e introducirla en una sección de la obra para cuarteto de cuerdas clásico Op1. #1 - Pitch Music.

• El programa devuelve un archivo MIDI con la distribución.

• Se incorporó a la obra después de una selección auditiva según el gusto del compositor.

Ilusiones musicales usadas en Pitch Music

CONDICIONES DE PRUEBA

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• Se usaron dos conjuntos y se distribuyeron de tal forma que se traslaparan sólo dos voces a la vez.

• Corresponde a distribuir los conjuntos por separado para dos instrumentos y luego fusionar las matrices resultantes e intercambiar las filas.

• Distribuir los dos conjuntos para cuatro instrumentos e intercambiar algunos elementos o filas.

• Aparentemente la parte interpretada por cada instrumento suena como si se usara la escala por tonos enteros o hexáfona, pero es una fracción de la escala cromática de forma alternada a dos voces.

Resultado con la ilusión cromática


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SCORE de los compases 40 y 41.

Ilusión cromática en Pitch Music


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CONCLUSIONES

• El efecto musical producido con el algoritmo de distribución es composicionalmente coherente y diáfano, aunque se podría describir como caótico porque la melodía o escala interpretada pareciera que saltara de instrumento en instrumento de forma desordenada, pero en realidad está lógicamente diseñada.

• Cuando se usan más de dos melodías, se puede utilizar la característica de simultaneidad para diseñar intervalos y acordes apropiados. Además, para lograr mayor variedad se pueden usar diferentes ritmos.

• Es posible aplicar el algoritmo en sistemas de composición conocidos como el dodecafónico o serialismo integral.

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• Se supera la dificultad de ejecución interválica, pero se genera dificultad de ensamble debido al ritmo en contratiempo.

Se recomienda pocos compases con la misma matriz para evitar la monotonía.

• Al prescindir del trabajo mecánico, el tiempo ahorrado se puede aprovechar en la elección adecuada del tipo de distribución o en otro proceso más humano como la ejecución y dirección de la obra. También se podría diseñar una máquina de aprendizaje que deduzca cual es la distribución que más le gusta al usuario y que pronostique cual será la elección más probable, para que la elección de la distribución sea automática después de una fase de entrenamiento.

CONCLUSIONES

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Cuarteto de cuerdas Op.1 Nº1 – Pitch Music

Primer Movimiento

AUDICIÓN


Premios y distinciones

• 2º Puesto - II Concurso de composición Departamento de música Universidad de caldas, dic.16 de 2004• Reconocimiento a las mejores ponencias: VIII Nacional de Semilleros de Investigación, Pasto Oct.16 de 2005.


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