III CONGRESO COLOMBIANO Y I CONFERENCIA ANDINA INTERNACIONAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ALGORITMO DE PUNTOS INTERIORES APLICADO AL PROBLEMA DEL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSION DE LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE

ENERGIA ELECTRICA

INTERIOR POINT ALGORITHM APPLIED TO ELECTRICAL SYSTEMS TRANSMISSION PLANNING PROBLEM

Edgar M. Carreño F.Ingeniero Electricista. M.Sc.

emfra@utp.edu.co

Antonio Escobar Z.Ingeniero Electricista. M.Sc

Profesor Asociado, UTPaescobar@utp.edu.co

Ramón A. Gallego R.Ingeniero Electricista. Ph.D.

Profesor Titular, UTPragr@utp.edu.co

Rubén A. Romero L.Ingeniero Electricista.

Ph.D. Profesor ruben@dee.feis.unesp.br

Grupo de Investigación en Planeamiento de Sistemas Eléctricos – UTP (Colombia) Universidad Estadual Paulista (Brasil)

Resumen: La técnica de optimización denominada puntos interiores aprovecha las características del problema para su evolución por el interior de la región factible a diferencia del método SIMPLEX, utilizado comúnmente para resolver problemas de programación lineal, que evoluciona por los puntos extremos del espacio de solución. Al usar la técnica de punto interior se logran disminuir considerablemente los tiempos de ejecución en problemas de gran tamaño.

El problema de planeamiento a largo plazo de la expansión de redes de transmisión de energía eléctrica, consiste en decidir que, cuanto y donde se deben adicionar nuevos elementos a la red de transporte, considerando la red existente y un conjunto de elementos candidatos para ser adicionados, con el propósito de satisfacer la demanda eléctrica futura proyectada y cumpliendo unos criterios técnico-económicos. Este problema es del tipo No Lineal Entero Mixto (PNLEM) y en él se presenta el fenómeno de explosión combinatorial para sistemas eléctricos de gran tamaño. Este problema de planeamiento se ha intentado resolver mediante técnicas que generalmente resuelven muchos problemas de programación lineal (PL) sucesivos, cada uno de los cuales requiere de un tiempo de procesamiento relativamente elevado, debido a la gran cantidad de variables y restricciones involucradas.

Este artículo presenta la implementación de un algoritmo de punto interior aplicado al problema del planeamiento mencionado, con el propósito de disminuir los tiempos de procesamiento.

Abstract: The optimization techniques that use interior points take advantage of the characteristics of the problem to move inside the feasible region. In contrast, simplex method to solve linear programming problems move on the boundary. The method of interior point reduces the execution times in large size problems. The long term transmission expansion planning problem consists in deciding what, how much and where new elements should be added to an existing network, given the network and some candidate lines, to satisfy a projected demand, taking into account technical and economical considerations. The problem is of Mixed Integral Non Linear (MINL) type, and presents a combinatorial exponential increase in size, and a high complexity. It has been attempted using

various techniques that generally use successive PL large problems that demand relatively large processing time. This paper presents an implementation of an interior point algorithm for the expansion planning problem that allows a significative reduction of processing time.

Palabras Clave: Punto interior, Planeación de la expansión de redes de transmisión, Optimización, Programación No Lineal Entera Mixta.

Keywords: Interior point algorithm, Transmission expansion planning, Optimization, Mixed Integral Non Linear.

1. INTRODUCCION

En los últimos años, las técnicas de optimización se han utilizado extensamente en la mayoría de las áreas del conocimiento, especialmente en el manejo de procesos, recursos, ganancias y portafolios de inversión. Estos problemas son comúnmente formulados como modelos de programación no lineal, los cuales adoptan la siguiente forma general:

(1)

Donde y y son en general funciones no lineales.

Sin embargo, muchos problemas de la vida real pueden ser modelados como lineales, o se linealizan alrededor de un punto, y para su solución se emplean técnicas basadas en el método SIMPLEX (Danzig,(1963)) como en el caso de la programación lineal dual que se aplicará aquí.

La formulación de un problema de programación lineal dual es como sigue (Dantzig,(1963)):

(2)

Donde es una matriz de , y son vectores de dimensión y c es un vector de dimensión .

Los problemas que contienen una formulación no lineal, tal como el presentado en (1) pueden ser resueltos con una secuencia de problemas lineales (LP) como los dados por (2) (Bazaraa, (1970)) . Sin embargo, estas técnicas se limitan a la solución de problemas de pequeño y medio tamaño.

El método SIMPLEX evoluciona a través de los puntos extremos de la región factible hasta encontrar al punto extremo óptimo del problema. En sistemas muy grandes, el número de puntos extremos aumenta exponencialmente, y por lo tanto, el proceso de búsqueda a través de estos requiere de tiempos de cómputo muy altos.

Para intentar dar solución a esta debilidad del método SIMPLEX fueron propuestos los métodos de puntos interiores, tanto para problemas lineales como para no lineales, lográndose reducciones sustanciales en el tiempo de cómputo de los primeros y formas de solución interesantes en los segundos.

Una de las primeras publicaciones aceptadas y reconocidas fue el método de punto interior de Karmarkar (Karmarkar, (1984)) denominado algoritmo de escalamiento proyectivo.

El método de Karmarkar (Karmarkar, (1984), Adler, (1989)), ha sido estudiado e implementado en varias formas que son considerablemente más rápidas que el método SIMPLEX estándar, y, generalmente, requiere de 20 a 60 iteraciones para encontrar la solución óptima de problemas de gran tamaño.

Posteriormente se presentaron nuevos métodos de escalamiento, que básicamente eran simplificaciones de los algoritmos existentes, y más tarde, se presentaron los métodos conocidos como primales – duales, que utilizan el concepto de barrera logarítmica, que permite delimitar un subespacio de solución que es fácilmente solucionable por una iteración de Newton, lo que le permite avanzar hacia el óptimo del problema (Mehrortra, (1992)).

El problema del planeamiento a largo plazo de las redes de transmisión de energía eléctrica, consiste en decidir que, cuanto y donde se deben adicionar nuevos elementos de red, considerando una red actual y un conjunto de elementos candidatos definidos para cumplir con una demanda proyectada, cumpliendo criterios tanto técnicos como económicos.

El modelamiento matemático de una red de transmisión presenta varios problemas al momento de resolverlo, por su naturaleza No Lineal Entera Mixta (PNLEM). El principal problema es que no es convexo, lo cual no garantiza la obtención del óptimo global, y puede conducir al proceso a óptimos locales, aunque eventualmente puede encontrarse el óptimo global.

Al momento de aumentar el tamaño de los sistemas e incrementar el número de variables, se produce una explosión combinatorial que le añade otro grado de dificultad matemática al problema, otro hecho importante es que el modelo matemático contiene variables continuas y enteras, y por lo tanto el sistema obtenido no es diferenciable.

Históricamente, Garver fue el primero en expresar el problema de planeamiento a través de un modelo matemático y proponer soluciones (Garver, (1970)). Durante los últimos años se han aplicado técnicas de programación entera mixta usando descomposición de Benders, simulated annealing, algoritmos genéticos, búsqueda TABU, GRASP, entre otros.

Todas estas técnicas, están soportadas sobre la solución de problemas de Programación Lineal (PL) sucesivos, donde generalmente, con la ayuda del resultado de un PL e índices de

sensibilidad, se propone una nueva red y se ejecuta un nuevo PL modificado hasta obtener un error mínimo, que generalmente esta asociado a algún parámetro eléctrico de interés.

En este contexto, la solución del PL es el punto que más consume tiempo en cualquiera de las técnicas mencionadas, en especial si el problema es de gran tamaño, es por esto que se hace necesario buscar nuevas herramientas para resolver estos PL con el fin de aumentar la velocidad de los algoritmos, manteniendo la calidad de las respuestas. Es aquí donde son interesantes los métodos de punto interior.

La estructura de este artículo es la siguiente: En la sección 2 se presenta el modelo matemático simplificado usado en el planeamiento de la expansión de sistemas de transmisión, la sección 3 presenta un algoritmo de puntos interiores primal-dual, en la sección 4 se acondiciona el modelo matemático para ser utilizado con el algoritmo de puntos interiores, en la sección 5 se aplica el método al sistema modificado de 6 barras de Garver, y por último se presentan las conclusiones.

2. MODELO MATEMÁTICO

El modelo matemático aplicado al problema de planeamiento es conocido con el nombre de modelo de transportes, y fue propuesto por Garver (Garver, (1970)).

El modelo de transportes es la versión más simplificada del modelo DC, que representa una red de transmisión, y tiene la característica de ser un problema Lineal Entero Mixto (PLEM). El modelo de transportes se especifica de la siguiente manera:

(3)

s.a.(4)(5)

(6)(7)

Entero (8)

Irrestricto (9)

donde es el costo de inversión en líneas y transformadores, cij es el costo de adición de una línea/transformador entre las ramas i y j, nij es el número de circuitos adicionados entre i y j, S es la matriz de incidencia de rama-barra del sistema, f es el vector de flujos, g es el vector de generadores, d es el vector de demandas, nij

o representa el numero de circuitos en la configuración base, es el flujo por los circuitos en el camino i-j en que cada circuito tiene una

capacidad de transmisión , es el vector de generación de las barras de generación con

capacidades máximas de generación , es el vector del máximo número de líneas

permitidas entre las barra i y j, y es el conjunto de las ramas candidatas.

La función objetivo (3) representa la suma de los costos de todas las líneas/transformadores adicionados, las restricciones (4) representan la primera ley Kirchhoff, las restricciones (5) representan la capacidad de transmisión de los circuitos (el valor absoluto significa que el flujo de potencia eléctrica puede ir en cualquier sentido), (6) y (7) representan los límites máximos de capacidad de generación y del número de líneas/transformadores, (8) y (9) establecen la naturaleza de este problema como Entero Mixto (PLEM)

3. ALGORITMO DE PUNTOS INTERIORES EN PROGRAMACIÓN LINEAL

El primer método de puntos interiores que tuvo éxito fue presentado en (Karmarkar, (1984)). En la actualidad existen muchas variaciones del método, que generalmente son agrupadas en tres categorías principales: Métodos de proyección, Métodos de escalamiento y métodos primales - duales (Quintana, (2002))

Este trabajo aplica un método primal-dual para solucionar un problema de programación lineal de la forma:

(10)

en donde , , , , representan, respectivamente, el vector de coeficientes de costo

en , variables del problema en , vector de restricciones lineales de igualdad ,

vector de restricciones lineales de desigualdad .

En planeamiento de sistemas de transmisión, el modelo de transportes tiene la forma matemática de (10) cuando se le permite a las variables enteras tomar valores continuos, es

decir, cuando a se le retira la condición de ser entero. Esto también es válido cuando el

modelo utilizado en el problema de planeamiento es no lineal.

El primer paso en el proceso de solución consiste en transformar todas las restricciones de desigualdad en igualdad con la adición de variables de holgura (11) de la siguiente manera:

(11)

La condición de no negatividad puede ser considerada introduciendo una barrera logarítmica, imponiendo una condición de positividad a las variables de holgura de una manera implícita, en este caso el problema (11) se transforma en:

(12)

Donde y el parámetro de barrera es monótonamente decreciente en el proceso iterativo

hasta llegar a un valor de cero. Una secuencia de parámetros genera una serie de

subproblemas dados por (12), y como , una secuencia de soluciones del

problema (12) se aproxima a , optimo local del problema (11) (Fiasco, (1968)) .

La función lagrangeana resultante del subproblema (12) con función logarítmica es la siguiente:

(13)

En donde , , representan respectivamente el vector de los multiplicadores de Lagrange de las restricciones de igualdad y de desigualdad . Estos multiplicadores de lagrange son las variables duales del problema.

Un mínimo local del problema (12) es expresado en términos de un punto estacionario de , el

cual debe satisfacer las condiciones necesarias de primer orden de Karush - Kuhn Tucker (KKT):

(14)

(15)

(16)

(17)

En donde , , , y representan respectivamente: la matriz de los vectores

gradientes de las restricciones de igualdad, la matriz de los vectores gradiente de las restricciones de desigualdad, la matriz diagonal definida por los componentes de s, y un vector de unos de dimensión apropiada.

El sistema KKT descrito puede ser interpretado así: las ecuaciones (15) y (16) junto con aseguran la factibilidad del primal, la ecuación (14) en conjunto con garantiza la factibilidad dual, y la ecuación (17) representa las ecuaciones de complementariedad perturbadas.

Las iteraciones del MPI primal-dual aplican invariablemente una iteración del método de Newton para ecuaciones no lineales para resolver el sistema KKT (14)-(17), calcula un tamaño de paso

en la dirección de Newton, actualiza las variables y reduce el parámetro . El algoritmo

termina cuando las infactibilidades primal y dual, y la distancia de complementariedad son menores que una tolerancia predeterminada.

3.1. Cálculo de la dirección de búsqueda.

En el sistema de KKT no lineal, su solución es aproximada por una iteración del método de Newton (la dirección de Newton es solo un medio para seguir el camino de minimización parametrizado por ). Entonces, al aplicar el método de Newton al sistema (18)-(21), para la determinación de la dirección de búsqueda, se obtiene el siguiente sistema simétrico:

(18)

Donde representa una matriz diagonal definida por los componentes de divididos por los

respectivos elementos de .

El sistema (18) posee las siguientes características: dimensión elevada, alto grado de dispersión, simetría y poca variabilidad en el proceso iterativo, ya que solo los elementos de la matriz varían durante el proceso.

3.2. Actualización de las variables

Las nuevas variables primales y duales son calculadas de la siguiente forma:

(19)

Donde , , y representan respectivamente: el paso primal, el paso dual y el factor de

seguridad que garantiza la estricta positividad de las variables ( ).

3.3. Cálculo del tamaño de los pasos primal y dual.

Una vez resuelto el sistema lineal (18), se obtiene una dirección la cual encuentra un nuevo punto dentro del proceso. Para hacer una actualización de las variables es preciso saber el tamaño de los pasos primal y dual. Estos pasos son calculados de tal forma que garantizan la no negatividad de las variables y , lo que quiere decir que existen pasos primal y dual máximos, que son calculados de la siguiente manera:

(20)

(21)

Los valores de los pasos primal y dual pueden ser escogidos entre los intervalos

y respectivamente y de forma independiente, por lo tanto, cada

valor puede ser diferente.

Generalmente, en el caso de PL, son aplicados los pasos máximos en la actualización de las variables sin ningún problema.

3.4. Actualización del parámetro de barrera.

Un paso importante dentro del MPI es escoger un parámetro de barrera . En programación lineal se han propuesto muchos esquemas para escoger este parámetro. Todos estos métodos están basados en el gap de dualidad o en el gap de complementariedad del problema. En este trabajo se usa el de complementariedad por que está directamente relacionado con (Granville, (1994), Wu (1994)).

(22)

(23)

en donde , y representan, respectivamente: el gap de complementariedad, el número de restricciones de desigualdad y el parámetro de combinación de direcciones que en el MPI primal-dual es de

3.5. Criterio de parada

El proceso iterativo termina cuando se cumplen las siguientes condiciones

(24)

(25)

(26)

(27)

en donde

(28)

(29)

(30)

(31)

En donde , , representan el error primal y dual respectivamente (Torres (1998))

Las tolerancias típicas para convergencia son: , .

La ecuación (28) representa el error primal, por lo tanto también representa la factibilidad primal de la solución del problema. La ecuación (29) es el error dual, y también representa la factibilidad dual de la solución del problema. Las condiciones (26) y (27) indican que el problema parametrizado por es igual al problema original sin el parámetro.

3.6. Punto Inicial

El punto inicial para el método no necesita satisfacer una estricta factibilidad en todas las

variables. La única condición que tiene que ser satisfecha es , la cual tiene que ser

cumplida durante todo el proceso iterativo (Vanderbei, (2000)).

3.7. Algoritmo de MPI para PL

3.7.1. Inicialización: seleccionar un punto inicial , con y .

3.7.2. Calcular la dirección de búsqueda: solucionar el sistema (18) para el punto actual.

3.7.3. Calcular el tamaño de los pasos primal y dual usando (20) y (21).

3.7.4. Actualizar las variables primal y dual con (19).

3.7.5. Probar convergencia usando (24)-(27), si se cumple el criterio de convergencia, FIN, de lo contrario, retornar al paso 3.7.2 actualizando el parámetro de barrera con (23).

4. APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE PUNTOS INTERIORES AL PROBLEMA DEL PLANEAMIENTO DE LA EXPANSIÓN

Para la aplicación del algoritmo, se analiza el modelo matemático presentado en la sección 3 y se adecua a la formulación.

El modelo de transportes tiene un número de variables igual a:

donde es el número de variables, es el número de líneas y es el número de generadores eléctricos.

El número de ecuaciones de igualdad es igual al número de barras del sistema, dadas por la ecuación (4):

representa las ecuaciones de igualdad y es la cantidad de barras en el sistema.

Las ecuaciones de desigualdad , vienen dadas por las ecuaciones (5) (6) y (7).

Con el sistema de ecuaciones de igualdad, se obtiene el respectivo gradiente

donde es la matriz de incidencia nodo-rama, es una matriz de tamaño , con el

elemento , si el generador i está conectado a la barra , con los demás elementos para

el mismo , iguales a cero.

Con el sistema de ecuaciones de desigualdad se obtiene:

donde es una matriz diagonal con elementos iguales a los límites máximos de las líneas,

es una matriz Identidad de tamaño , e es una matriz identidad de tamaño .

5. PRUEBAS Y RESULTADOS

Figura 1. Sistema Garver de Prueba con 6 barras y desconectado.

Para probar la metodología, se utiliza el sistema de prueba de Garver (Garver, (1970)) de 6 barras, en el caso especial de sistema desconectado totalmente, mostrado en la Figura 1.

Tabla 1. Datos de barra sistema de pruebaBarra Generación (MW) Demanda (MW)

1 150 802 0 2403 360 404 0 1605 0 2406 600 0

Tabla 2. Datos de línea para el sistema de pruebaNodoinicial

Nodofinal

Flujo máximo (MW) Costo ( U$)

1 2 0 100 401 3 0 100 381 4 0 80 601 5 0 100 201 6 0 70 682 3 0 100 202 4 0 100 40

Nodo Nodo Flujo máximo (MW) Costo ( U$)

inicial final2 5 0 100 312 6 0 100 303 4 0 82 593 5 0 100 203 6 0 100 484 5 0 75 634 6 0 100 315 6 0 78 61

El sistema cuenta con 6 barras, 3 generadores y 15 posibles corredores para instalar líneas, por lo tanto posee 33 variables, 5 ecuaciones de igualdad y 51 ecuaciones de desigualdad. Como punto inicial, las variables correspondientes a las líneas se inicializaran con 0, los flujos con 0 y los generadores en sus valores máximos:

Con estos datos se resuelve el sistema (9), y el algoritmo entrega los siguientes resultados:

Tabla 3. Comportamiento del proceso iterativo para el sistema de pruebaiteración

1 -39.9374 58.8308 0.8956 0.6003 0.00852 -48.5727 56.6862 0.8736 0.0473 0.00663 -40.2594 52.7371 0.8619 0.0354 0.00484 -23.4092 47.0876 0.8385 0.0268 0.00355 -10.3432 43.4775 0.7230 0.0229 0.00296 38.2491 30.5144 0.4887 0.0140 0.00177 116.0121 10.1176 0.2696 0.0058 6.4432e-48 154.6112 5.0588e-4 0.0160 4.2475e-4 4.6865e-59 154.6015 2.5294e-8 7.9869e-7 3.7565e-5 4.1449e-6

Se puede observar que en la iteración 8 ya se tiene una solución de muy buena calidad.

El resultado final es el siguiente:

para comparar nuestros resultados, el mismo sistema se resuelve usando GAMS utilizando el solver MINOS, el cual encontró la misma solución en 17 iteraciones.

6. CONCLUSIONES

Se ha aplicado con éxito un algoritmo para resolver PL mediante puntos interiores tipo Primal – Dual al problema del planeamiento de la expansión de las capacidades de transmisión de energía eléctrica.

El método de puntos interiores aplicado muestra un desempeño mejor que el de un software especializado para resolver PL, aunque el sistema de prueba utilizado es un sistema pequeño desde el punto de vista eléctrico. De esta forma se logra disminuir la cantidad de iteraciones necesarias por PL, lo que conlleva a reducciones considerables de tiempo de procesamiento cuando se aplican técnicas que requieren resolver miles o millones de PL sucesivos, como en el caso del método Branch and Bound, métodos heurísticos constructivos u otros métodos usados ya con éxito en la solución del problema PNLEM que representa al planeamiento de la expansión de las redes de transmisión de energía eléctrica de sistemas de gran tamaño.

Dada la potencialidad del método, en la actualidad se esta implementando la solución para el sistema eléctrico colombiano en su red de 230/500KV y en el sistema norte-nordeste brasilero, tanto en su versión lineal como no lineal. Los resultados de estos trabajos se presentarán en futuras publicaciones. Dentro de la línea futura de trabajo se explorará una aplicación donde en cada iteración la base del PL aumente, como es el caso de los métodos basados en cortes (ej, Benders).

7. AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer a la Universidad Tecnológica de Pereira por su apoyo al grupo de investigación en Planeamiento de Sistemas Eléctricos.

BIBLIOGRAFÍA

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